3. TRIÂNGULO DE VELOCIDADES

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1 3. TRIÂNGULO DE VELOCIDADES 3.1 Composição de uma máquina hidráulica Uma máquina de fluxo hidráulica é composta basicamente de duas partes de constituição simétrica, uma fixa (n=0) e outra móvel (n 0). A parte fixa é composta pelo sistema diretor, por aletas ajustáveis, o pré-distribuidor, injetores e tubo de sucção. Nestes órgãos fixos poderá ocorrer a transformação de energia de pressão em energia de velocidade ou energia de velocidade em energia de pressão, conforme seu formato (injetor ou difusor). Estes componentes são esquematizados na Figura 3.1, que mostra o esquema de uma turbina, e Figura 3., mostrando o desenho de uma bomba centrífuga e um rotor. Figura 3.1 Arranjo de turbina hidráulica Figura 3. Esquema de uma bomba centrífuga A parte móvel da máquina é formada apenas pelo rotor, composto das pás, cubo e coroa. Este é o principal órgão da máquina, responsável pela transformação de energia hidráulica em energia mecânica ou vice-versa. Para melhor entender a composição de uma máquina hidráulica, a Figura 3.3 mostra o esquema de uma bomba centrífuga. Nela o fluido entra no centro do rotor (olho do rotor), e é capturado pelas pás. O movimento de rotação do rotor faz com que o fluido receba energia das pás. Na saída o fluido é descarregado a altas velocidades na voluta cuja área da seção transversal aumenta gradualmente à medida que se direciona para a saída da bomba. Este formato da voluta faz com que a energia de velocidade do fluido se transforme gradualmente, reduzindo perdas por choques e turbulência, em energia de pressão, pela desaceleração do fluido. Algumas bombas têm um sistema diretor na saída (em volta do rotor), chamado anel difusor, que tem por objetivo minimizar as perdas ao guiar e desacelerar o fluido. 3-1

2 Figura 3.3 Esquema de uma bomba centrífuga [Fonte: adaptado de CHAPALLAZ et al. 199] 3. Projeções Considera-se, de maneira geral, que o escoamento em máquinas hidráulicas se processa em superfícies de revolução superpostas. A velocidade do fluido em cada ponto do escoamento possui uma componente tangencial ao eixo, uma componente radial e uma componente axial. As pás (simples ou em dupla curvatura) e outras partes do rotor, desenhadas conforme o escoamento desejado do fluido no rotor, são definidas a partir da sua projeção em dois planos (Figura 3.): o plano meridiano e o plano normal. Figura 3. - Planos de representação e trajetória (fonte: Campos, 1996) Plano meridiano O plano meridiano (Figura 3.) é um plano paralelo ao eixo da máquina. A representação nesse plano é feita pelo rebatimento dos pontos principais da pá sobre o plano, mantendo-se a mesma distância do ponto ao eixo no rebatimento. Assim, cada ponto do rotor fica representado no plano pelo traço da circunferência que ele descreveria se dotado de rotação em torno do eixo. 3-

3 Figura 3. - Projeção meridiana e normal de uma aresta (fonte: Campos, 1996) Plano normal É um plano perpendicular ao eixo da máquina, da mesma maneira, a representação é feita através do rebatimento dos pontos necessários da pá sobre o plano. Tendo visto os dois planos a representação de um rotor radial de uma bomba no plano meridiano e no plano normal é mostrado na Figura 3.6a. E na Figura 3.6b é apresentado um rotor axial. Figura 3.6 (a) Rotor radial nos planos (b) - Representação de turbina axial Para as máquinas axiais, além das projeções normal e meridional, pode-se representar o rotor segundo vários cortes cilíndricos desenvolvidos, em cada diâmetro em estudo, denominado desenvolvimento de corte cilíndrico e mostrado nas Figura 3.7 (a) e (b). 3-3

4 Figura 3.7 (a) - Rotor axial com corte cilíndrico (b) Corte cilíndrico do rotor axial 3.3 Notação Com a finalidade de identificação dos pontos principais do rotor é usual adotar-se índices que indiquem as posições desses pontos no rotor. Uma convenção possível é a de Betz que apresenta índices que aumentam no sentido do escoamento (para todas as máquinas hidráulicas). Ela adota os índices e para as arestas de entrada e saída do rotor, respectivamente, e os índices 3 e 6 para os pontos do escoamento imediatamente antes e depois do rotor. A Figura 3.8 mostra outros pontos desta convenção. Figura 3.8- Convenção de Betz (fonte: Campos, 1996) 3. Triângulos de velocidade no rotor As hipóteses iniciais para análise do triângulo de velocidades consideram que o rotor é composto por um número infinito de pás infinitamente finas. Neste caso, consideram-se as linhas de corrente congruentes com as pás e o escoamento como sendo unidimensional. Assim, o triângulo de velocidades é válido para todos os pontos localizados no mesmo diâmetro. Entre as seções de entrada e saída o escoamento deverá produzir o mínimo de perdas com a adoção de perfis ou formatos de pás mais adequados. Outras hipóteses consideradas são a de regime permanente (vazão mássica constante); a de que os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor são representativos do escoamento; e a de que as velocidades na entrada e saída são uniformes nas seções. Para construção do triângulo de velocidades é preciso entender os conceitos de velocidade absoluta e velocidade relativa do fluido. 3-

5 Movimento relativo É o movimento da partícula percebido por um observador movendo-se com o rotor. Neste caso a trajetória (relativa) da partícula acompanha o perfil da pá, como se o rotor estivesse parado (em repouso) e o fluido escoando através dos canais formados pelas pás. A velocidade tangente a esta trajetória é conhecida por velocidade relativa e será representada por w (Figura 3.9). Figura 3.9 Movimentos relativo e absoluto [ Fonte: CHAPALLAZ et al., 199] Movimento absoluto É o movimento da partícula percebido por um observador posicionado fora do rotor. A trajetória da partícula resulta da composição de dois movimentos, um dentro dos canais do rotor e outro de rotação do rotor. A velocidade tangente a esta trajetória é denominada velocidade absoluta e será representado por c (Figura 3.9). Velocidade tangencial 1 Como o rotor está em movimento de rotação, o fluido que escoa através de seus canais acompanha esse movimento. É possível obter a velocidade tangencial do fluido em cada ponto do rotor, sabendo sua posição (diâmetro) e a rotação do rotor. A esta velocidade é dada o nome de velocidade tangencial e representada por u. Sabendo a velocidade angular ω, assim como as dimensões geométricas do rotor, a componente tangencial é expressa por: u r Dn 60 (3.1) D: diâmetro [m] no ponto considerado n: rotação [rpm] ω: velocidade radial [rd/s] r: raio [m] no ponto considerado u: velocidade tangencial [m/s] Triângulos de velocidade Finalmente, o triângulo de velocidades é formado pelas três velocidades vistas anteriormente e podem ser representadas na forma vetorial por: C W u (3.) 1 Também conhecida por velocidade de arrastamento, circunferencial ou periférica. 3-

6 seguir. Sua representação gráfica é dada pela Figura 3.10 e as componentes mostradas na figura são definidas a Figura 3.10 Exemplo de triângulo de velocidades c: velocidade absoluta [m/s] do escoamento no ponto em estudo; u: velocidade tangencial [m/s] do escoamento no ponto em estudo; w: velocidade relativa [m/s] do escoamento no ponto em estudo; C m : componente meridiana da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta C sobre o plano meridiano); C u : componente tangencial da velocidade absoluta (projeção da velocidade absoluta sobre a direção tangencial); : ângulo formado pela velocidade absoluta e a velocidade tangencial, também chamado ângulo do escoamento absoluto; β: ângulo formado pela velocidade relativa e a tangencial, também chamado ângulo do escoamento relativo ou ângulo construtivo da pá. O triângulo de velocidades pode ser construído em qualquer ponto do rotor, porém, a entrada e a saída são os pontos mais importantes e serão os objetos de estudo deste ponto em diante (Figura 3.11). Figura Trajetórias em uma bomba centrífuga [adaptado de CHAPALLAZ et al., 199] A Figura 3.1 mostra triângulos de velocidades, na saída do rotor, para alguns tipos de rotores de bombas e ventiladores com base no ângulo construtivo: β>90º (pás curvadas para frente), β=90º (pás retas), e β<90º (pás curvadas para trás). Figura 3.1 Tipos de rotores em bombas e ventiladores e seus triângulos de velocidades 3-6

7 Velocidade meridiana (componente meridiana) e Vazão A componente meridiana da velocidade absoluta (C m ) tem direção normal à seção transversal em que o fluido escoa. Sua importância está em sua relação com a vazão de fluido que escoa através do rotor. Considerando o princípio da conservação da massa para regime permanente: C. da 0 SC Aplicando ao volume de controle delimitado pelas paredes do rotor e pelas seções de entrada () e saída (), e considerando o escoamento uniforme na seção de escoamento: Considerando que o produto interno é dado por: entrada C. da C. da C da cos saída C. da C. da C. da 0 C C m m da da Aplicando: C. da C m A C C. da m A C m da C da 0 incompress ível 0 Cm A Cm A m Q Q (3.3) A unidade do produto C m A é [m 3 /s], ou seja, a vazão de fluido por determinada seção do rotor. Para cálculo das áreas serão feitas algumas considerações em relação às notações previamente definidas. Quando forem citados os diâmetros (D) de entrada e de saída do rotor, estarão se referindo a D 3 (=D ) e D 6 (=D ). O mesmo se aplicará às alturas (b) das pás na entrada e saída, referidas por b 3 (=b ) e b 6 (=b ). Desta forma, as áreas das seções de entrada (3) e saída (6), regiões imediatamente antes e imediatamente depois do rotor respectivamente, são definidas para as máquinas radiais por: A 3 D3b3 e A6 D6b6 (3.) Para máquinas axiais estas áreas são dadas por: A 3 A 6 D e D i, (3.) onde o sub índice e indica o diâmetro externo, e i indica o diâmetro interno. Se as pás tiverem espessura desprezível, então: A A3 e A A6 (3.6) Se as espessuras das pás não forem desprezíveis, então haverá um estrangulamento da área se comparadas às áreas pouco antes da entrada do rotor (ponto 3 ) e na entrada do rotor (ponto ). Da mesma forma para a região da saída do rotor (ponto ) e pouco depois da saída do rotor (ponto 6 ). Pode-se definir esta redução/estrangulamento da área por um fator de estrangulamento (f), onde 1<f<0, e a relação entre as áreas fica: A f A3 e A f A6 (3.7) Aplicando a conservação da massa nas seções de entrada e saída: 3-7

8 Q C Q C m3 A3 Cm A Cm3 A3 Cm f A3 Cm3 Cm f Cm3 Cm f (3.8) m A Cm6 A6 Cm f A6 Cm6 A6 Cm6 Cm f Cm6 Cm f (3.9) Os fatores de estrangulamento são definidos por Figura 3.13 Esquemas de pás com respectivas espessuras (s) S S t (3.10) sen f t S t t (3.11) Há diferença entre as espessuras s e s t. A primeira indica a espessura da pá e a segunda indica a espessura de recobrimento da pá nos perímetros de entrada e saída (Fig.3.13). Observe que o valor de s é o mesmo para a entrada e a saída, mas s t pode ter valores distintos nestas regiões, uma vez que é função do ângulo construtivo da pá nestas regiões. E finalmente, fica fácil perceber que se as espessuras das pás são desprezíveis, então o fator de estrangulamento é 1 (pois S t 0) e as velocidades meridianas em 3 e são iguais, o mesmo ocorrendo para os pontos e 6. Ângulo α É o ângulo entre a velocidade absoluta (C) e a velocidade tangencial (u). C tg C m u (3.1) Ângulo β ângulo construtivo da pá É fixado a partir do momento em que se define a curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) das pás, na entrada até a saída do rotor. Cm tg u C u C W m u (3.13) 3-8

9 Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora radial Será considerado que na entrada da pá ocorre escoamento sem choque, e a velocidade relativa w deverá ser tangente à pá, formando o ângulo com a direção tangencial. Na saída a velocidade relativa w é tangente à pá formando o ângulo com a direção tangencial. Isto só ocorre devido à consideração do número infinito de pás. Figura Representação das velocidades em rotor de bomba radial (fonte: Campos, 1996) A velocidade meridiana (C m ) é normal às seções de entrada e saída do rotor. Para o rotor radial da Figura 3.1, a vazão é estabelecida em função da área e da componente meridiana. Caso as espessuras das pás sejam desprezadas: Q D b C D b C m m (3.1) Se as espessuras das pás forem consideradas, devem ser verificadas as relações de velocidades meridianas, conforme já visto, ou então pode-se chegar facilmente à seguinte fórmula para vazão Q. D. b Z. b. S t C m (3.1) do escoamento Área da seção de escoamento ocupada pelas pás Área livre das pás Z é o número de pás do rotor. O triângulo de velocidade na entrada estabelece a condição de entrada radial ( = 90 0 ) para o ponto de projeto, de modo que C u = 0 e C m =C. O ângulo construtivo deve ser tal que, C arctg m u (3.16) para não haver choque (ou incongruência do escoamento com a pá) na entrada. 3-9

10 Figura Triângulos de velocidade máquina hidráulica geradora radial (fonte: Campos, 1996) Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica geradora axial A particularidade deste tipo de rotor é a igualdade das componentes Cm na entrada e na saída devido à igualdade das áreas, e também a igualdade da componente tangencial u na entrada e na saída para o mesmo diâmetro. Figura Triângulos de velocidade máquina hidráulica geradora axial (fonte: Campos, 1996) O corte cilíndrico representado na Figura 3.1 é relativo ao diâmetro médio, sendo o corte da pá representado por uma curva. Na realidade, as pás de máquinas axiais possuem uma certa espessura, e nos casos de máquinas de bom rendimento o corte é um perfil aerodinâmico. A vazão para esta máquina é dada por: Q D e Di Cm D e Di Cm (.17) 3-10

11 Triângulo de velocidades para rotor de máquina hidráulica motora A máquina motora axial é representada na Figura 3.16 (a), e a radial na Figura 3.16 (b). Na radial as componentes meridionais (Cm) na entrada e na saída não são necessariamente iguais. Estas serão iguais se a máquina for de seção constante. Na máquina axial as componentes meridionais (Cm) são necessariamente iguais, e as componentes tangenciais (u), serão iguais ao considerarmos o mesmo diâmetro. Figura 3.16 (a) Máquina hidráulica motora axial (b) Máquina hidráulica motora radial (fonte: Campos, 1996) Sistema diretor de máquina hidráulica radial Aplicando a equação da conservação da massa na formulação integral, considerando regime permanente e velocidade uniforme nas seções, para a superfície de controle composta das superfícies de controle I e II, e uma vez que não há fluxo pelas laterais (Figura 3.17 (a)), pode-se simplificar a equação da continuidade, desenvolvida inicialmente para máquinas geradoras. Figura 3.17 (a) Sistema diretor radial (b) Sistema diretor axial (fonte: Campos, 1996) SC SCII CdA 0 8Cm8 da 7Cm 7 da 0 8Cm8 A8 7Cm 7 A SCI ou: 8 C m 8 D8 b8 7 C m 7 D7 b7 (3.18) 3-11

12 Ao considerar b 7 =b 8, e b 1 =b tem-se para máquinas hidráulicas geradoras: Cm Cm 8 7 D D 7 8 C m8 C m7 e p 8 p 7 Verifica-se que há uma desaceleração do escoamento na direção da saída para caixa espiral. Para máquinas hidráulicas motoras: Cm Cm D 1 Cm 1 Cm e p1 p D1 Há, portanto, uma aceleração do escoamento na direção da entrada do rotor. Sistema diretor de máquinas hidráulicas axiais Da mesma maneira, pode-se considerar: Q 1 Q Cm 1A1 Cm A Sendo: A 1 De 1 Di 1 e A De Di (3.19) Para máquinas axiais (Figura 3.17 (b)) a área na entrada é igual a área na saída do sistema distribuidor, pois De 1 =De e Di 1 =Di, sendo De e Di, respectivamente, os diâmetros externos e internos, da coroa circular por onde passa a água, tanto para turbinas quanto para bombas axiais. Então: EXERCÍCIOS SUGERIDOS Para MHM: Cm1 Cm Para MHG: Cm 7 Cm8 1. Desenhar e determinar os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor de uma bomba centrífuga. Sabe-se que o mesmo gira a 170 rpm, o canal é de secção constante e a espessura das pás desprezível. São conhecidos ainda: a. Diâmetro de saída igual ao dobro do diâmetro de entrada; b. Ângulo construtivo da pá na entrada: 30º c. Ângulo construtivo da pá na saída: 38º d. Diâmetro na entrada: 0, m R. u =1,m/s; u =30,8m/s; c = cm =8,9m/s; c = 1,3m/s; cm = cm =8,9 m/s; w =17,8m/s; w =1,m/s; α =90º; α =,7º. Pede-se desenhar e determinar os elementos dos triângulos de velocidades para os diâmetros de entrada e saída de um ventilador radial, do qual são conhecidos: a. Rotação do rotor: 70 rpm b. Vazão: 0 m 3 /min c. Diâmetro na entrada do rotor: 600 mm d. Diâmetro na saída do rotor: 8 mm e. Ângulo construtivo da pá na saída do rotor: 90º f. Por motivos de facilidade de construção, as alturas das pás na entrada e saída do rotor são iguais e valem 10 mm; e g. A espessura das pás é desprezível. R. u =3,m/s; u =33,6m/s; c =3,3m/s; c =c m=10,11m/s; c m=7,1 m/s; w =,6m/s; w =7,1m/s; α =90º; α =11,9º 3. Em uma turbina de reação são conhecidos: a. Altura da pá na entrada: 8 cm 3-1

13 b. Altura da pá na saída: 13 cm c. Diâmetro de entrada: 60 cm d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 10º e. Ângulo construtivo da pá na saída: 30º f. Número de pás: 1 g. Espessura das pás: 6 mm Sabendo-se que o canal tem secção transversal constante, pede-se determinar para uma rotação de 600 rpm: a vazão e o ângulo formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na entrada do rotor. (R. Q= 1,07m 3 /s; α =17,7º ). Tem-se uma bomba centrífuga cujo rotor gira a 110 rpm e tem as seguintes dimensões: a. Altura da pá na entrada: 0,7 mm b. Diâmetro do rotor na entrada: 178 mm c. Diâmetro do rotor na saída: 381 mm d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 18º e. Ângulo construtivo da pá na saída: 0º Desprezando-se a espessura das pás pede-se: f. Os elementos dos triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor g. A vazão recalcada pela bomba h. Canais de seção transversal constante R. u =10,71m/s; u =,93m/s; c =3,m/s; c =13,8m/s; c m=c m=3, m/s; w =11,7m/s; w =10,3m/s; α =90º; α =1,7º; Q= 7, m 3 /s. Uma turbina Francis operando com 79 m 3 /h e sob uma queda de 6,8 mca e rotação de 10 rpm desenvolve uma potência hidráulica de 1,99 CV. São conhecidos os seguintes elementos do seu rotor: a. Diâmetro de saída: 0,07 m b. Altura da pá na saída: 31,6 mm c. Altura da pá na entrada: 17 mm d. Ângulo construtivo da pá na entrada: 90º Considerando canais de seção transversal constante e espessura das pás desprezível, pede-se determinar os elementos dos triângulos de velocidades para a entrada e saída do rotor. R. u =7,13m/s; u =3,9m/s; c =7,8m/s, c =3,1m/s; c m=c m=3,1 m/s; c u=7,13m/s; c u=0, w u=0m/s; w u=3,9m/s, w =3,1m/s; w =m/s; α =1,7º; α =90º; β = 38,º 6. Uma instalação de bombeamento opera na captação de água da estação de tratamento que serve a uma indústria de abate de gado. Para bombear 3 m 3 /h a bomba tem um rotor com diâmetros de entrada e de saída de 00 mm e 00 mm respectivamente. A altura do rotor na entrada é de 0 mm e na saída de 0 mm, os ângulos construtivos das pás na entrada e saída são de 18º e 0º respectivamente. O coeficiente de estrangulamento do rotor na entrada é de 0,81. Considerando a seção transversal constante determine: a) o valor da componente absoluta na direção tangencial na saída do rotor (R. 0 m/s); e b) o valor do ângulo formado entre a velocidade absoluta e a velocidade tangencial na saída do rotor (R. 17º). 7. Determine os componentes do triângulo e velocidades do rotor de uma bomba centrífuga que opera a 970 rpm, com vazão de 0,0 m3/s, cujo desenho é dado a seguir. Considere α 90º, espessura das pás é desprezível. ( R. u =10,16m/s; u =0,3m/s; c =,68m/s, c =16,9m/s; c m=1,99m/s; c m=,3 m/s; c u=1,8m/s; c u=16,33m/s, w u=8,37m/s; w u=3,98m/s, w =8,6m/s; w =,6m/s; α =7,93º; α =13,7º) 3-13

14 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAMPOS, M.C. Apostila de Máquinas Hidráulicas-UFPR. Curitiba: CHAPALLAZ, J.M.; EICHENBERGER, P.; FISCHER, G. Manual of pumps used as turbines. Deutsches Zentrum fur Entwicklungstechnologien GATE: Eschborn, 199. Disponível em: 0direct l--11-en about utfZz-8-00&cl=CL1.11&d=HASH011f0bf873d88d1a0807.1&gc=1. Visitado: 10/10/01. GUIMARÃES, L.B. Máquinas hidráulicas. Curitiba: UFPR, TURTON, R.K. Principles of turbomachinery. th ed. London: Chapman & Hall,