MATEMÁTICA FINANCEIRA E INSTRUMENTOS DE GESTÃO LICENCIATURA EM GESTÃO [LGE103] EXERCÍCIOS #2 [Matemática Financeira] 2007-2008 FACULDADE DE ECONOMIA DO PORTO
Exercício 1 Uma taxa de juro anual nominal capitalizável semestralmente de 8% equivale a: a) Uma taxa de juro anual efectiva de 8,16%. b) A uma taxa efectiva de 4,0% ao semestre. c) A uma taxa efectiva de 1,9804% ao trimestre. d) Todas as alíneas anteriores estão certas. Exercício 2 Uma taxa de juro anual nominal capitalizável continuamente de 10% equivale a: a) Uma taxa de juro semestral efectiva de 5,127%. b) A uma taxa efectiva de 5,000% ao semestre. c) A uma taxa anual efectiva de 10,250%. d) Todas as alíneas anteriores estão certas. Exercício 3 Na data de aposentação, um seu cliente tem de optar entre dois planos de reforma: uma anuidade de 50 000 durante 20 anos vencendo-se a primeira daqui a um ano (Plano A); e um pagamento único de 500 000 liquidado hoje (Plano B). Qual o plano que permite ao seu cliente aceder a um maior valor actual? a) O plano B, se a taxa de juro anual efectiva for 6%. b) O plano A, se a taxa de juro anual efectiva for 5%. c) O plano A, se a taxa de juro anual efectiva for 10%. d) Os planos são indiferentes, se a taxa de juro anual efectiva for 7%. Exercício 4 Qual dos seguintes montantes é mais próximo do valor final correspondente a investir 5 000 por 14 meses a uma taxa de juro anual nominal de 6% capitalizável mensalmente? a) 5 293. b) 5 845. c) 6 183. d) 5 362. Exercício 5 A Shock Tech, é uma nova empresa de prestação de serviços de informática, cujas receitas correntes são de 0,5 milhões de euros por ano. Espera-se que as receitas venham a crescer à taxa de 20% ao ano durante os próximos 5 anos, e que depois disso cresçam ao ritmo de 3% ao ano. Qual o valor actual dos receitas futuras da empresa se a taxa de desconto apropriada for de 12%? a) 8,08 milhões de euros. b) 11,7 milhões de euros. c) 4,22 milhões de euros. d) 17.32 milhões de euros. 2/13
Exercício 6 Um investidor aplicou EUR 100 num dado activo financeiro em 31.12.2000. Esse activo não pagou rendimentos durante todo o período do investimento. O investidor procedeu à sua alienação em 31.12.2003 por EUR 115. Por afirmar-se: a) Que a sua rendibilidade média anual foi de 15%. b) Que o retorno médio anual obtido, em termos geométricos, foi de 4,769%. c) Que o retorno médio anual obtido, em termos aritméticos, foi de 4,769%. d) Que o retorno médio anual obtido, em termos contínuos, foi de 13,976%. Exercício 7 Admita que pretende aconselhar um seu cliente a fazer um depósito bancário com uma taxa de rendibilidade projectada de 3 por cento ao ano. O seu cliente pretende saber quanto terá (previsivelmente) acumulado ao fim de 7 anos, se investir um capital de EUR 250 000. a) EUR 312 235. b) EUR 307 468. c) EUR 250 000. d) EUR 302 500. Exercício 8 Tudo o resto constante, pode afirmar-se que: a) O valor actual de uma perpetuidade é tanto maior quanto maior o prazo de vencimento. b) O valor actual de uma dívida é tanto menor quanto maior a taxa de juro. c) O valor actual de um crédito é tanto menor quanto menor a taxa de juro. d) Quanto maior a inflação maior o valor actual de um pagamento futuro. Exercício 9 O Senhor Endividado contraiu um empréstimo de EUR 10 000 por 3 anos, acumulando juros à taxa efectiva de 5% ao ano. Como no vencimento se encontrava com dificuldades financeiras, negociou o adiamento da amortização para data mais oportuna, passando a taxa a ser de 7,5% ao ano. À medida que foi recuperando passou a liquidar o empréstimo, tendo pago EUR 2500 no final do 1º ano, EUR 3000 no final do segundo ano e EUR 4000 passados dois anos e meio. Passados 3 anos pretende liquidar o remanescente. Qual a quantia a pagar? a) EUR 500. b) EUR 3316. c) EUR 4120. d) EUR 2076. Exercício 10 A taxa de juro anual nominal praticada por uma instituição de crédito é de 2,0 %. Podemos afirmar que: a) Se a capitalização for mensal, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %. b) Se a capitalização for semestral, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %. 3/13
c) Se a capitalização for trimestral, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %. d) Se a capitalização for anual, a taxa de juro efectiva trimestral é de 0,5 %. Exercício 11 O Sr. A fez um depósito num banco no valor de 5000. Sabendo que a taxa de juro anual efectiva praticada pelo banco é de 2,25%, daqui a 5 anos o Sr A terá na sua conta: a) 5562,5. b) 5588,4. c) 5542,5. d) 5572,1. Exercício 12 O Sr. A fez um depósito num banco no valor de 5000. Sabendo que a taxa de juro nominal anual praticada pelo banco é de 2% e que o depósito capitaliza semestralmente, daqui a meio ano o Sr A terá na sua conta: a) 5049,75. b) 5051,5. c) 5060. d) 5050. Exercício 13 A D. Rosa fez hoje um depósito o qual lhe irá permitir receber daqui a 1 ano e meio o valor de 1000. Como a taxa de juro anual efectiva em vigor é de 1,75 % o valor do depósito efectuado é de: a) 975. b) 976,563. c) 974,313. d) 975,442. Exercício 14 Um cliente de um banco solicitou um empréstimo para construção de casa própria, tendo acordado para a fase de construção as seguintes condições: - montante global do empréstimo de 150 000, o qual é entregue ao cliente parcelarmente. As entregas são semestrais e correspondem a 20% do montante global (a primeira entrega ocorre no momento 0); - taxa de juro anual nominal com capitalização mensal de 4,5%; - pagamento mensal dos juros devidos; - início do processo de amortização do capital decorrido um ano após a realização da última transferência pelo banco. A taxa de juro mensal efectiva praticada pelo banco é de: a) 0,38 %. b) 0,407%. c) 0,375%. d) 0,42%. 4/13
Exercício 15 Na situação descrita no Exercício 14, no momento em que o cliente inicia a amortização do capital, o valor da dívida perante o banco é de: a) 163 500. b) 150 000. c) 175 000. d) 160 000. Exercício 16 Na situação descrita no Exercício 14, até ao momento em que o cliente inicia a amortização do capital, o maior juro mensal pago foi de: a) 112,5. b) 225. c) 750. d) 562,5. Exercício 17 Na situação descrita no Exercício 14, até ao momento em que o cliente inicia a amortização do capital o montante total de juros pagos pelo cliente ao banco foi de: a) 13 500. b) 15 000. c) 12 500. d) 14 500. Exercício 18 Na situação descrita no Exercício 14, o cliente inicia a amortização do capital no momento (mês): a) 30. b) 35. c) 36. d) 37. Exercício 19 Na situação descrita no Exercício 14, a partir do momento em que se inicia a amortização do capital foi acordado que o processo teria uma duração de vinte anos, em prestações mensais constantes, a uma taxa de juro mensal efectiva de 0,35%. O valor da prestação mensal paga pelo cliente é: a) 921,630. b) 625. c) 850. d) 965,35. Exercício 20 O Sr. ABC contraiu um empréstimo no valor de 200000, o qual irá ser pago em 240 prestações postcipadas, iguais e mensais. A taxa anual nominal é de 1,8%. O valor da prestação a pagar é de: 5/13
a) 833,(3). b) 902,245. c) 997,663. d) 992,932. Exercício 21 O Sr. ABC contraiu um empréstimo no valor de 200000, o qual irá ser pago em 240 prestações postcipadas, iguais e mensais. A taxa anual nominal é de 1,8%. O valor total dos juros pagos durante todo o processo de amortização é de: a) 35 000. b) 38 303,7. c) 38 465,5. d) 37 905,2. Exercício 22 Aquando do falecimento do avô, o Netinho recebeu uma herança de EUR 100 000 que o seu pai e tutor aplicou à taxa de juro efectiva de 10% ao ano. Passados três anos, faleceu a avó deixando uma herança de EUR 130 000. Sabendo que quando o avô faleceu o netinho tinha 8 anos e que as taxas de juro não sofreram alterações, responda: a) Quem deixou maior herança, o avô ou a avó? b) Verifique se o pecúlio acumulado quando o Netinho perfizer 18 anos chegará aos EUR 500 000 tidos como necessários para fazer face às suas despesas de formação numa prestigiada universidade? Exercício 23 A Empresa da Luz, SA pratica actualmente (data zero) um dividendo de EUR 1,5 por acção. Os analistas esperam que o dividendo da empresa venha a crescer eternamente a um ritmo de 3 por cento ao ano. A taxa de juro anual efectiva adequada ao perfil de risco desta empresa, segundo os mesmos analistas, é de 9 por cento. a) Qual o dividendo esperado para o ano 5? b) Qual o valor actual dos dividendos da empresa? c) Qual o valor actual dos dividendos, considerando apenas os dividendos a distribuir nos próximos 50 anos? Exercício 24 O Senhor João é titular de uma poupança de EUR 100 000, mas planeia atingir um valor de EUR 250 000, fazendo aplicações com uma taxa de juro efectiva de 20% ao ano. 1) Quantos anos demora a empresa a atingir o seu objectivo? 2) Se o Senhor João atingir o seu objectivo em 10 anos, a que taxa de juro aplicou as suas poupanças? Exercício 25 O Senhor Sortudo acaba de ganhar uma lotaria no valor de EUR 100 000. Depois de 6/13
muito pensar decidiu proceder à sua aplicação num depósito bancário, com um prazo de 10 anos, vencendo juros à taxa efectiva de 10 por cento. (i) Na hipótese de os juros serem automaticamente capitalizados, responda: a) Qual o valor acumulado na data de vencimento? b) Qual o valor acumulado no início do oitavo ano? c) Qual o montante total dos juros de juros? d) Qual o montante dos juros de juros gerados no quinto ano? (ii) Qual o valor acumulado do capital do Senhor Sortudo, no caso de não haver lugar à capitalização automática de juros, mas havendo lugar à aplicação (numa outra aplicação) dos juros libertos à taxa anual efectiva de 8 por cento? Exercício 26 A Senhora Dona deseja comprar uma casa nova. O valor da casa é de EUR 200 000 e será totalmente financiada com um empréstimo bancário à taxa de juro nominal de 5% ao ano. Responda: 1) Se o prazo do empréstimo for 30 anos, quanto será a mensalidade? 2) Se a mensalidade for de EUR 1000 quantos anos demora a pagar a casa? 3) Admita que a senhora prevê poder pagar EUR 2000 por mês, excepto em Dezembro e Agosto, altura em que gasta todo o seu rendimento. Qual a mensalidade e o prazo que deve acordar com o banco? Exercício 27 Imagine que é um consultor financeiro que foi abordado por um cliente que lhe pediu ajuda para definir a sua estratégia financeira pessoal. Ele tem poupanças no valor de EUR 250 000 depositadas num banco; tem 55 anos; e espera trabalhar mais 10 anos, obtendo um rendimento de EUR 100 000 por ano. A taxa de juro anual efectiva é de 5%. a) O seu cliente pretende preparar-se para, durante a sua reforma, gastar EUR 80 000 por ano. As estimativas actuariais apontam para uma esperança de vida de 90 anos. Quanto é que ele necessita de ter no banco na data em que se reformar? b) Quanto é que ele necessita de poupar em cada ano nos próximos 10 anos de modo a suportar o nível de vida que pretende ter na reforma (gasto de EUR 80 000 por ano). c) Assuma que as taxas de juro efectivas declinarão para 4 por cento ao ano dentro de 10 anos a contar de agora. Quanto é que o seu cliente tem de reduzir nas suas despesas anuais de consumo durante o período de reforma, assumindo que ele que ele cumprirá o plano de poupança que lhe sugeriu na alínea b). Exercício 28 Suponha que pretende solicitar financiamento bancário por dois anos. O Banco A oferece-lhe um empréstimo à taxa de 7,4% ao ano com pagamento anual de juros. O 7/13
Banco B oferece-lhe um empréstimo pelo mesmo período à taxa nominal de 7,175% ao ano, com pagamento mensal de juros. Qual o banco com que fará o empréstimo? Exercício 29 Determine as taxas de juro anuais das seguintes operações: a) Pede um empréstimo de 900 e promete pagar 972 daqui por um ano; b) Empresta 900 e recebe a promessa de receber 972 ao fim de um ano. c) Pede emprestado 65.000 e promete pagar 310.998 ao fim de 15 anos. d) Pede hoje um empréstimo no valor de 11.000 e promete efectuar pagamentos anuais de 2.487,22 ao ano durante 7 anos, a começar daqui a um ano. Exercício 30 O Senhor Endividado contraiu um empréstimo de EUR 20 000 por 5 anos, acumulando juros à taxa efectiva de 5% ao ano. a) Admitindo que foi estipulado que os juros vencidos em cada ano eram imediatamente pagos, construa uma tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em dívida e os pagamentos a efectuar pelo devedor. b) Admitindo que foi convencionado um pagamento único a efectuar no final dos 5 anos, construa uma tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em dívida e os pagamentos a efectuar pelo devedor. c) No cenário da alínea a), suponha que ao fim de 3 anos (imediatamente após o pagamento correspondente a esse ano) o devedor solicita o reembolso antecipado dos seus compromissos. Suponha ainda que devedor e credor acordaram, para o efeito, numa taxa de desconto efectiva de 8% ao ano. Qual o montante a pagar? E se tivessem acordado uma taxa de desconto efectiva de 5% ao ano? E se essa taxa efectiva for de 3% ano? d) No cenário da alínea b), admita que o devedor, para satisfazer o pagamento a que se comprometeu, decidiu depositar, no final de cada ano, uma certa quantia num fundo de amortização (sinking fund), rendendo juros à taxa efectiva de 3% ao ano. Quanto é que deposita cada ano? Construa uma tabela que descreva o plano do fundo de amortização. Exercício 31 O Senhor Endividado contraiu um empréstimo de EUR 20 000 por 5 anos, acumulando juros à taxa efectiva de 5% ao ano. a) Suponha que foi estipulado um regime de pagamentos constantes, isto é, com amortização periódica pelo chamado «sistema francês», construa uma tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em dívida e os pagamentos a efectuar pelo devedor (distinguindo a quota-juro da quota-capital). b) Suponha que foi estipulado um regime de reembolsos constantes, construa uma tabela onde se evidencie o juro vencido todos os anos, o capital em dívida e os pagamentos a efectuar pelo devedor (distinguindo a quota-juro da quota-capital). c) No cenário da alínea a), suponha que ao fim de 3 anos (imediatamente após o pagamento correspondente a esse ano) o devedor solicita o reembolso antecipado dos seus compromissos. Suponha ainda que devedor e credor acordaram, para o efeito, numa taxa de desconto efectiva de 8% ao ano. Qual o montante a pagar? E se tivessem acordado uma taxa de desconto efectiva de 5% ao ano? E se essa taxa efectiva for de 3% ano? 8/13
c) No cenário da alínea b), suponha que ao fim de 3 anos (imediatamente após o pagamento correspondente a esse ano) o devedor solicita o reembolso antecipado dos seus compromissos. Suponha ainda que devedor e credor acordaram, para o efeito, numa taxa de desconto efectiva de 8% ao ano. Qual o montante a pagar? E se tivessem acordado uma taxa de desconto efectiva de 5% ao ano? E se essa taxa efectiva for de 3% ano? Exercício 32 Uma sociedade de crédito ao consumo concede um empréstimo de 5000. O empréstimo será reembolsado em 4 anos em prestações mensais de 130 (a primeira um mês depois do desembolso). Qual o valor da TAEG? Exercício 33 Uma empresa de aluguer de automóveis compra os veículos ao importador para de imediato os arrendar a clientes em contratos de 4 anos. O preço corrente de cada veículo é de 20000 e a empresa espera vendê-los no fim dos contratos por 7500. Os clientes pagam uma renda anual antecipada que aumenta 750 por ano. Qual deve ser o valor da primeira renda para gerar uma TIR de 15% por ano para a empresa? Exercício 34 Um empréstimo obrigacionista de 5 milhões de euros foi emitido e reembolsado pelo mesmo montante 3 anos depois. A taxa de juro foi 8% ao ano, sendo os juros pagos em cada data de aniversário da emissão. O IPC assumiu os seguintes valores nas seguintes datas: Data da emissão 307 Um ano depois 322 Dois anos depois 332 Três anos depois 345. Qual a TIR real da emissão? Exercício 35 Uma empresa obteve um empréstimo de 5 000 000 de um banco. O empréstimo deve ser reembolsado em 5 prestações anuais iguais, a primeira das quais um ano após o desembolso. As prestações são calculadas a uma taxa de juro anual efectiva de 10%. a) Calcule o valor de cada prestação e os juros totais nos 5 anos de vida do empréstimo. b) Imediatamente após o segundo pagamento, a empresa pediu ao banco para reescalonar o reembolso por forma a que ele ocorresse ao longo dos próximos 5 anos. O banco concordou na condição de a taxa de juro passar a ser de 12% anual efectiva e ainda de os pagamentos serem feitos no fim de cada trimestre. 9/13
i. Calcule o valor da nova prestação trimestral. ii. Qual o valor da componente juros da segunda prestação trimestral? Exercício 36 Um promotor imobiliário vai construir um bloco de apartamentos, o que demorará 6 meses. O promotor terá de pagar ao empreiteiro 2 milhões de euros no início do projecto e depois 500000 euros no final de cada um dos seis meses que durará a construção. O promotor espera receber 80000 euros de rendas no início do 7 mês e do cada um dos meses subsequentes. O promotor espera suportar 150000 euros de custos anuais de manutenção e de gestão, pagáveis mensalmente com início no fim do 7 mês. a) Se bloco for vendido cinco anos após o início do projecto, qual deve ser o preço de venda para gerar uma TIR anual de 15%? b) Se o preço de venda for na realidade o calculado em a) e a taxa de inflação for de 3% ao ano, qual será o valor da TIR real apurada pelo promotor? Exercício 37 Um investidor isento de impostos ganhou 100000 numa lotaria e decidiu investir o dinheiro por 20 anos. Gastou metade (A) num investimento que rende 3000 por semestre durante 20 anos, começando 6 meses depois do prémio. A outra metade do prémio é investida num título do Tesouro (investimento B) que paga 100000 dentro de 20 anos ("cupão 0"). Seis meses depois do prémio o investidor compra um contrato (investimento C) que paga 150000 dentro de 19 1/2 anos a troco de pagamentos regulares de 6000 por ano começando na data de compra do contrato. a) Calcule a TIR do investimento A. b) Calcule a TIR do investimento B. c) Calcule a TIR do investimento C. d) Calcule a TIR do investimento global. Exercício 38 Uma senhora investe 5000 no primeiro dia de cada trimestre, começando em 1 de Janeiro de 2004, numa conta poupança que vence juros a uma taxa nominal de 3% por ano com capitalização mensal. Ela também levanta 250 no primeiro dia de cada mês, começando em 1 de Fevereiro de 2004. Quanto dinheiro terá ela na conta em 31 de Dezembro de 2006? 10/13
Exercício 39 Um empréstimo é reembolsado em 3 anos através de pagamentos de 200, 300 e 400 euros no fim de cada mês durante os primeiro, segundo e terceiro anos respectivamente. A taxa de juro efectiva mensal do empréstimo é 0,5%. Decomponha o 15 pagamento em capital e juros. Exercício 40 Um indivíduo contrai um empréstimo de 100000 em 1 de Janeiro de 2005 que reembolsa através de pagamentos anuais com início em 1 de Julho de 2010 e fim em 1 de Julho de 2020. Calcule a TAEG supondo que: a) o primeiro pagamento é de 12000 e os subsequentes crescem 7,5% ao ano. b) o primeiro pagamento é de 12000 e os subsequentes crescem 500 por ano. Exercício 41 Um investidor está a considerar a compra de um edifício, onde se encontra a sede de uma companhia de seguros, por 3 milhões de euros. A renda é paga por essa companhia no início de cada ano e é aumentada de 5 em 5 anos. O último aumento ocorreu há 3 anos e fixou a renda actual (200.000 EUR). O próximo aumento será dentro de 2 anos, o seguinte de 7, etc. Ao fim de 42 anos a propriedade regressa ao proprietário original. O investidor estima ir ser necessário gastar 500.000 EUR seis meses após a compra na remodelação do centro, não sendo depois requerido qualquer outro investimento. O investidor pretende obter uma taxa de rentabilidade de 10% por ano. Mostre que se os aumentos de renda forem sempre à mesma taxa essa taxa é de 22,04%. Exercício 42 O Sr. Esteves efectuou há dois anos um depósito a prazo de 10 000, que capitalizava semestralmente. Na altura, a taxa de juro semestral em vigor era de 1,4% mas hoje, passados dois anos, a taxa de juro semestral diminuiu para 1,25%. Considerando que não se prevê que a taxa vá sofrer alterações, quanto dinheiro deverá receber o Sr. Esteves ao levantar o seu depósito daqui a 2 anos? Exercício 43 A D. Constança pretende adquirir uma viatura que custa 15 000. Como não pode pagá-la a pronto obteve três condições de pagamento: A Sem entrada inicial; prestação mensal postcipada de 300 durante 60 meses. B 2 000 de entrada inicial; prestação mensal postcipada de 250 durante 60 meses. C 5 000 de entrada inicial; prestação mensal postcipada de 300 durante 36 meses. 11/13
a) Calcule o valor total dos juros pagos pela D. Constança, em cada uma das modalidades de pagamento que lhe foram propostas. b) Determine o valor da taxa de juro anual nominal praticada em cada uma das modalidades de pagamento. c) Se fosse você a escolher que faria? Justifique. Exercício 44 Mostre que, sendo i a taxa de juro referente ao período de capitalização: a) A razão entre os capitais referentes a dois períodos de capitalização consecutivos é igual a 1+i. b) A razão entre os juros gerados em dois períodos de capitalização consecutivos é igual a 1+i. Exercício 45 Os termos de um empréstimo de 57500 a 20 anos feito em 15 de Setembro de 2000 previam que a taxa de juro em vigor em cada semestre teria o valor de uma certa taxa indexante referente ao primeiro dia útil do mês imediatamente anterior ao início do semestre (taxa anual proporcional com capitalização mensal) acrescida de um ponto percentual. 0s valores do indexante nas datas relevantes são apresentados na tabela seguinte. Data Tx. ref. Data Tx. ref. 1-08-2000 5,128% 1-02-2002 3,375% 1-02-2001 4,767% 1-08-2002 3,500% 1-08-2001 4,500% O devedor deve ainda pagar um seguro de vida com um custo anual, pago antecipadamente, de 200 - que cresce 1% anualmente. Calcule: a) As prestações mensais nos primeiros cinco semestres. b) A TAEG. Exercício 46 Uma família obteve hoje um financiamento de 100 000 euros para a compra de uma habitação. Do contrato constam as seguintes condições: amortização através de uma renda anual, postcipada de n termos, a iniciar-se daqui a um ano, de valor constante de 10 000 euros. o último pagamento (inferior a 10 000 euros) é feito um ano após o pagamento do n-iésimo termo da renda constante. a taxa de juro efectiva anual contratada foi de 7%. 1. Determine durante quanto tempo tem lugar o pagamento anual de 10 000 euros. 2. Calcule os juros totais formados ao longo de todo o processo. 12/13
3. Calcule o montante apenas respeitante à amortização de capital do 1º e do n- iésimo termos da renda constante. Exercício 47 Os termos de um empréstimo de 57500 feito em 15 de Setembro de 2000 previam que a taxa de juro em vigor em cada semestre teria o valor de uma certa taxa indexante referente ao primeiro dia útil do mês imediatamente anterior ao início do semestre (taxa anual proporcional com capitalização mensal) acrescida de um ponto percentual. 0s valores do indexante nas datas relevantes são apresentados na tabela seguinte. Data Tx. ref. Data Tx. ref. 1-08-2000 5,128% 1-02-2002 3,375% 1-02-2001 4,767% 1-08-2002 3,500% 1-08-2001 4,500% A prestação mensal seria de 400, excepto a última, de valor inferior e que reembolsaria o capital em dívida remanescente. Calcule o prazo previsto do empréstimo no início de cada um dos 5 primeiros semestres. 13/13