Aula 04 Sistemas
Análise de Sinais Sistemas Introdução aos Sistemas A noção de sistemas é intuitiva. Quase tudo que nos rodeia é algum tipo de sistema. Qualquer mecanismo, ou dispositivo, que funcione como a interconexão de componentes físicos é um sistema. Um circuito eléctrico, (com resistências, bobinas e condensadores); ou um circuito electrónico (com transístores, díodos, etc.) são exemplos de sistemas. circuito eléctrico circuito electrónico
Análise de Sinais Sistemas Um simples mecanismo como uma alavanca, ou um mecanismo mais complexo como o motor de um carro são também exemplos de sistemas. alavanca motor de um carro Um automóvel, um robô ou um avião são outros exemplos de sistema. São sistemas mais complexos pois dentro deles têm muitos circuitos eléctricos e electrónicos assim como muitos mecanismos. Ou seja, são sistemas que possuem dentro outros sistemas, ou subsistemas.
Análise de Sinais Sistemas O corpo humano é também um exemplo de sistema, e de um sistema bastante sofisticado, cheio de subsistemas: o sistema circulatório, o sistema respiratório, o aparelho digestivo, o sistema nervoso, etc., etc. Na verdade, o corpo humano de cada pessoa é um sistema diferente. E cada órgão deste, (seja o cérebro, ou o coração, ou os pulmões, ou o fígado, ou os rins, ou o intestino, ou o pâncreas, etc.), também é um sistema por si só, ou seja, é um subsistema do mesmo.
Análise de Sinais Sistemas Entretanto, há muitos outros sistemas menos palpáveis que estes mencionados acima, como por exemplo: o aquecimento de uma casa; o funcionamento dos elevadores de um edifício; a automação de uma fábrica; a gestão e a economia de um país; etc. o sistema de automação de uma indústria O sistema de elevadores de um prédio grande
Análise de Sinais Sistemas Os sinais que estudamos aqui, em geral, estão associados a algum sistema. Eles podem representar, por exemplo, a entrada de um sistema, ou alternativamente, a saída do sistema. É comum se representar sistemas esquematicamente através de uma caixa preta (black box) entrada Sistema saída Outros nomes para entrada e saída?
Análise de Sinais Sistemas Classificação de Sistemas Sistema entrada ( input ) controlo excitação saída ( output ) resposta observação
Análise de Sinais Sistemas Classificação de Sistemas Na realidade muitos sistemas têm não apenas uma entrada e uma saída mas múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas. entradas Sistema saídas Caixa preta (black box) de um sistema com múltiplas entradas e/ou múltiplas saídas
Análise de Sinais Sistemas Classificação de Sistemas Existe uma forma de representar sistemas usando blocos e por isso chamada de diagrama de blocos. Na realidade a caixa preta (black box) é um diagrama de blocos com apenas um bloco. entrada Sistema saída
Análise de Sinais Sistemas Classificação de Sistemas Outros exemplos de diagrama de blocos.
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Natureza física elétricos; eletrónicos; mecânicos; eletromecânicos; térmicos; hidráulicos; ópticos; acústicos; químicos; informáticos; aeronáuticos; aeroespaciais; biológicos; biomédicos; económicos; sociológicos; socioeconómicos; etc. a maioria dos sistemas complexos são combinações de vários subsistemas de naturezas diferentes
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Natureza física Equipamentos médicos numa sala de cirurgia, exemplos de sistemas desenvolvidos na engenharia biomédica.
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Natureza física Portanto, no campo da saúde também encontramos muitos sistemas de bioengenharia, ou seja, sistemas biológicos e biomédicos em simultâneo com sistemas mecânicos, elétricos ou eletrónicos. Um membro artificial, ou cada aparelho utilizados em cirurgias são alguns exemplos de sistemas biomédicos
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Continuidade no Tempo contínuos discretos discretizados
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Continuidade no Tempo Quando o sistema que foi digitalizado é armazenado em bits (sequências de zeros e uns ) então diz-se que o sistema foi digitalizado. Isso é o caso sistemas digitais de áudio (música em mp3) ou de vídeo, e até mesmo os exames de eletrocardiogramas e eletroencefalogramas que são armazenados digitalmente no computador. A digitalização não é o mesmo que a discretização. Normalmente são usados muitos bits para armazenar cada posição discreta.
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Linearidade lineares não lineares
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Linearidade homogeneidade: quando a entrada x é multiplicada por um valor k; então a saída fica também multiplicada por este mesmo valor k; aditividade: quando a entrada é a soma de x 1 e x, que produzem individualmente as saídas 1 e respectivamente; então a saída é a soma das saídas 1 e.
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Linearidade caso contínuo
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Linearidade caso discreto
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Modelização de Sistemas Caixa preta (black box) diagrama esquemático de um sistema caso discreto Caixa preta (black box) diagrama esquemático de um sistema caso contínuo
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Modelização de Sistemas com Equações de Diferenças [caso discreto] com Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) [caso contínuo] com Equações Diferenciais Parciais (EDP) [caso contínuo] com Equações de Retardo [caso contínuo] com Tabelas [caso discreto] com Fluxogramas ou Gráfico de fluxos [caso discreto ou contínuo] com Equações Integrais [caso contínuo] com Equações Integro-Diferenciais [caso contínuo]
Análise de Sinais Modelização de Sistemas Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) d dt 6t d dt dx dt (t 4) x d dt 4 d dt dx dt 3x 3 x x d dt 5 d dt dx dt x(t 3) x d d e x 0 dt dt 10
Análise de Sinais Modelização de Sistemas Equações de Diferenças [ n ] 7 [ n 1 ] [ n ] x[ n ] 4 x[ n 1 ] [ n ] 4 x[ n 1 ] [ n ] 5 n [ n 1 ] x[ n 1 ] x[ n ] [ n ] ( x [ n ]) 4 x[ n ] [ n ] x[ n ] 3
equação de onda ( wave equation ) ) u u (u k z u u x u k t u zz xx equação de calor ( heat equation ) ) u u (u k z u u x u k t u zz xx Equações Diferenciais Parciais (EDP) Análise de Sinais Modelização de Sistemas
Análise de Sinais Modelização de Sistemas Equações de Retardo e Equações Algébricas Equações de Retardo (t) x(t δ) Equações Algébricas (t) x(t) (t) ' (t) (t) 3(t τ) 5 x [n] (t) x 3 x(t) [n] 5x [n] [n] 6x[n] x(t) 5 x[n [n] cos(x[n]) n δ ] 0,5
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: d dt Continuidade no tempo e Linearidade 4 d dt dx dt 3x sistema contínuo e linear d dt 6t d dt dx dt (t 4) x sistema contínuo e linear d dt 5 d dt dx dt x(t 3) sistema contínuo e linear 3 x x sistema contínuo e não linear 10 e x sistema contínuo e não linear d dt x d dt 0 sistema contínuo e não linear
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Continuidade no tempo e Linearidade [ n ] 7 [ n 1 ] [ n ] x[ n ] 4 x[ n 1 ] sistema discreto e linear [ n ] 4 x[ n 1 ] sistema discreto e linear [ n ] 5 n [ n 1 ] x[ n 1 ] x[ n ] sistema discreto e linear [ n ] ( x [ n ]) 4 x[ n ] [ n ] x[ n ] 3 sistema discreto e não linear sistema discreto e não linear
equação de onda ( wave equation ) ) u u (u k z u u x u k t u zz xx equação de calor ( heat equation ) ) u u (u k z u u x u k t u zz xx sistema contínuo e linear sistema contínuo e linear Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Continuidade no tempo e Linearidade
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Continuidade no tempo e Linearidade (t) x(t δ) sistema contínuo e linear ' (t) (t) 3(t τ) x(t) [n] sistema contínuo e linear 5 x[n n ] sistema discreto e linear δ (t) x(t) 7 sistema contínuo e não linear (t) x (t) x(t) 3 sistema contínuo e não linear [n] x[n] sistema discreto e linear [n] 1 cos(π x[n]) sistema discreto e não linear
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Variância no tempo variantes no tempo invariantes no tempo Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t), o sinal de saída é (t), não importa quando é aplicada esta entrada. Na realidade, nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática consideramos como invariante no tempo muitos sistemas cuja variação no tempo é muito lenta.
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Variância no tempo [ n ] 5 n [ n 1 ] x[ n 1 ] x[ n ] sistema variante no tempo d dt 6t d dt dx dt (t 4)x sistema variante no tempo Definição: SLIT - Sistemas lineares e Invariantes no tempo LTI sstems
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Variância no tempo [ n ] 7 [ n 1 ] [ n ] x[ n ] 4 x[ n 1 ] sistema invariante no tempo [ n ] 4 x[ n 1 ] sistema invariante no tempo [ n ] ( x [ n ]) 3 n x[ n ] sistema variante no tempo d dt 4 d dt dx dt 3x sistema invariante no tempo
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Variância no tempo d dt x d dt t 0 sistema variante no tempo 3 x x sistema invariante no tempo d dt d dx 5 x(t 3) sistema invariante no tempo dt dt
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Natureza aleatória determinísticos estocásticos Um sistema determinístico é aquele que não sofre a influência de nenhuma perturbação aleatória, ou seja, não tem incerteza. O sinal de saída (t) para um sinal de entrada x(t) pode ser calculado (ou determinado ) com precisão quando se conhece o modelo do sistema. Na realidade, nenhum sistema é determinístico. Todos os sistemas têm algum tipo de incerteza ou carácter aleatório e portanto chamados de estocásticos.
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Memória sem memória com memória Um sistema sem memória é aquele que: se o seu sinal de saída no instante t 1 depende apenas do sinal de entrada daquele instante t 1. [ n ] ( x [ n ]) 4 x[ n ] sistema sem memória (t) x (t) x(t) 3 sistema sem memória pois a saída [n], ou (t), depende da entrada x[n], ou x(t), apenas nos instantes de tempo ( t ou n ).
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Memória [ n ] x[ n ] sistema sem memória 3 (t) sistema sem memória x(t) 7 [n] x[n] sistema sem memória [n] 1 cos(π x[n]) sistema sem memória
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Inversibilidade inversíveis não inversíveis Sistemas são inversíveis se entradas distintas levam a saídas distintas. é possível achar um sistema inverso S -1 cuja entrada [n], ou (t), produz a saída x[n], ou x(t), respectivamente. (t) x(t) [n] x[n] 7 sistema inversível sistema inversível
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Inversibilidade (t) x(t) 7 [n] x[n] Nestes sistemas, cada sinal de entrada x produz um sinal de saída exclusivo, diferente das saídas das outras entradas. Por isso o sinal de entrada x pode ser expresso em termos do sinal de saída como: x(t) ½ ((t) 7) x[n] [n]/
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Inversibilidade caso contínuo sistema com retardo ( time dela sstem ) (t) x(t δ) a saída (t) reproduz a entrada x(t) com um atraso de δ unidades de tempo sistema em avanço ( time advance sstem ) x(t) (t δ) o sinal de saída x(t) reproduz o que será o sinal de entrada (t) em δ unidades de tempo depois.
Análise de Sinais Sistemas Exemplos de classificação de sistemas: Inversibilidade caso discreto sistema com retardo ( time dela sstem ) [n] x[n n δ ] a saída [n] reproduz a entrada x[n] com um atraso de δ unidades de tempo sistema em avanço ( time advance sstem ) x[n] [n n δ ] o sinal de saída x[n] reproduz o que será o sinal de entrada [n] em δ unidades de tempo depois. sistema com retardo e sistema em avanço são sistema inversíveis e um é o inverso do outro
Análise de Sinais Classificação de Sistemas Causalidade causais (ou não antecipativos) não causais (ou antecipativos) Um sistema é causal (ou não antecipativo) se a saída no instante t 1 depende da entrada apenas nos instantes t < t 1. se a saída no instante t 1 dependesse da entrada em instantes t > t 1 então este sistema anteciparia o que ia acontecer e portanto seria antecipativo ou não causal. No nosso mundo físico real, se a variável t (ou n no caso discreto) representa o tempo, então tem uma dinâmica que evolui no tempo e portanto não é possível se ter um sistema não causal pois não é possível se prever o futuro. Entretanto, há casos que a esta variável t (ou n no caso discreto) pode representar outro parâmetro ou uma outra grandeza física (que não seja o tempo) e desta forma já é possível ocorrer sistemas causais.
Análise de Sinais Sistemas Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT): Linear time invariant sstems (LTI sstems) h(t) reposta impulsional h[n] reposta impulsional
Análise de Sinais Sistemas Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT): Linear time invariant sstems (LTI sstems) (caso contínuo) (t) h(t) x(t) h(t τ) x( τ) dτ integral de convolução
Análise de Sinais Sistemas Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT): Linear time invariant sstems (LTI sstems) (caso discreto) [ n] h[ n] x[ n] k h [ n k] x[ k] soma de convolução
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Propriedades da Convolução: Comutativa h [ n] x[ n] x[ n] h[ n] h(t) x(t) x(t) h(t) Distributiva ( [ n] h [ n] ) x[ n] h [ n] x[ n] h [ n] x[ n] h1 1 ( (t) h (t) ) x(t) h (t) x(t) h (t) *x(t) Associativa h 1 1 ( [ n] h [ n] ) x[ n] h [ n] h [ n] x[ n] ( ) h1 1 ( (t) h (t) ) x(t) h (t) ( h (t) x(t) ) h1 1
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Ilustração da Propriedade Distributiva: Diagrama de bloco esquemático da soma de sistemas S 1 e S nos quais são aplicados a mesma entrada x(t) (caso contínuo) ( (t) h (t) ) x(t) h (t) x(t) h (t) *x(t) h 1 1
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Ilustração da Propriedade Associativa: A propriedade associativa da convolução diz respeito à sistemas ligados em cascata. Isto é, sistemas em que a saída de um deles é a entrada do outro. Se sistemas S 1 e S, lineares e invariantes no tempo (SLIT), estão ligados em cascata então a resposta à entrada impulso unitário dos sistemas juntos (S 1 e S ) é a convolução ( h 1 [n] * h [n] ) no caso discreto ou a convolução ( h 1 (t) * h (t) ) no caso contínuo. ( [ n] h [ n] ) x[ n] h [ n] h [ n] x[ n] ( ) h1 1 (caso discreto)
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) SLIT sem memória: É fácil de verificar que, no caso discreto, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h[n] é da forma: h [ n] k u [ n] onde k h[0] é uma constante. o Portanto, pela fórmula da convolução [eq. (4.4)], temos que: [ n] h[ n] x[ n] h[ n k] x[ k] k u [ n k] x[ k] k k o e então, pela a eq. (3.3) [ n] k x[ n]
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) SLIT sem memória: Por outro lado, no caso contínuo, se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é sem memória então a sua resposta ao impulso h(t) é da forma: h(t) k u (t) onde k área do impulso u o (t). o Portanto, pela fórmula da convolução [eq. (4.5)], temos que, em sistemas SLIT sem memória: (t) e então, pela a eq. (3.13) h(t) x(t) h(t τ) x( τ) dτ (t) k x(t) k u o (t τ) x( τ) dτ
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) SLIT inversíveis: Se um sistema linear e invariante no tempo (SLIT) é inversível então a seu inverso também é um SLIT. (caso discreto) h 1 [n] a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e h [n] a resposta do sistema inverso, S -1, à entrada impulso unitário. h 1 (t) a resposta do sistema S à entrada impulso unitário; e h (t) a resposta do sistema inverso, S -1, à entrada impulso unitário. (caso contínuo)
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) SLIT inversíveis: No caso discreto temos que o sistema total ( overall sstem ), em cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x[n], e portanto este sistema total é a identidade. E, como para o sistema identidade, a resposta impulsional h[n] u o [n], temos então que: h 1 [n] * h [n] u o [n] eq. (4.6)
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) SLIT inversíveis: Semelhantemente, no caso contínuo temos que o sistema total ( overall sstem ), em cascata, ambos o sinal de entrada e o sinal de saída são x(t), e portanto este sistema total é a identidade E, como para o sistema identidade, a resposta impulsional h(t) u o (t), temos então que: h 1 (t) * h (t) u o (t) eq. (4.7)
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Exemplo A: Os sistemas com retardo ( time dela sstems ) já descritos acima [n] x[n n δ ] (t) x(t δ) (caso discreto) (caso contínuo) são SLIT e temos que as respostas ao impulso unitário h 1 (t) e h (t) para os sistemas das equações eq. (4.) e eq. (4.3) são respectivamente: h 1 (t) u o (t δ) h (t) u o (t δ) e, pela eq. (3.10), verifica-se que h 1 (t) e h (t) satisfazem a eq. (4.7) acima, ou seja, h 1 (t) * h (t) u o (t). Por outro lado temos que as respostas ao impulso unitário h 1 [n] e h [n] para os sistemas das equações eq. (4.1) e eq. (4.) são respectivamente: h 1 [n] u o [n n δ ] h [n] u o [n n δ ] e, pela eq. (3.3), verifica-se que h 1 [n] e h [n] satisfazem a eq. (4.6) acima, isto é, h 1 [n] * h [n] u o [n]
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Estabilidade Há muitas definições de estabilidade de sistemas. Uma definição bastante usada para definir estabilidade de sistemas é a seguinte: Um sistema é estável se para todo sinal de entrada limitado ele produz um sinal de saída limitado. Às vezes usa-se a sigla BIBO estável para descrever esta definição de estabilidade de sistemas. BIBO Bounded Input, Bounded Output (ou seja: entrada limitada, saída limitada ) No caso de SLIT (sistemas lineares e invariantes no tempo) temos resultados específicos para este tipo de estabilidade:
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Estabilidade Para um SLIT discreto prova-se que: O sistema é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h[n] satisfaz k [ ] < h k eq. (4.8) Um sinal h[n] que satisfaz a equação eq. (4.8) é dito ser absolutamente somável. Portanto, um SLIT discreto é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h[n] é absolutamente somável. Para um SLIT contínuo prova-se que: O sistema é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h(t) satisfaz h( τ) dτ < eq. (4.9) Um sinal h(t) que satisfaz a equação eq. (4.9) acima é dito ser absolutamente integrável. Portanto, um SLIT contínuo é estável se e somente se a resposta ao impulso unitário h(t) é absolutamente integrável.
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Exemplo B: Tomando-se novamente os sistemas com retardo ( time dela sstems ) descritos no Exemplo A acima [n] x[n n δ ] (caso discreto) (t) x(t δ) (caso contínuo) observamos que, no caso discreto k h [ k] u [ n n ] 1 k e portanto a eq. (4.8) é satisfeita e o sistema com retardo discreto é estável. Semelhantemente, observamos que, no caso contínuo h( τ) dτ uo ( τ δ) dτ o e portanto a eq. (4.9) é satisfeita e o sistema com retardo contínuo também é estável. Este resultado é de certa forma óbvio pois um sinal de entrada limitado irá permanecer limitado após uma translação (shift) para a direita (retardo). δ 1
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Exemplo C: O sistema discreto cuja relação entre os sinais de entrada/saída é dada pela equação abaixo: [ n] x[ k] k é chamado de somador ou acumulador. É fácil observar que h[n], a resposta ao impulso unitário, para este sistema é h[n] u 1 [n] degrau unitário discreto. Este sistema não é estável pois nitidamente não satisfaz a eq. (4.8) uma vez que: k h [ k] u [ k] (1 1 1 K) k 1 Ou seja, h[n] deste sistema não é absolutamente somável.
Análise de Sinais Sistemas lineares e Invariantes no tempo (SLIT) Exemplo D: No caso contínuo, o sistema cuja relação entre os sinais de entrada/saída é dada pela equação abaixo: ( ) t é chamado de integrador t x( τ) dτ ou acumulador. É fácil observar que h(t), a resposta ao impulso unitário, para este sistema é h(t) u 1 (t) degrau unitário contínuo. Este sistema não é estável pois nitidamente não satisfaz a eq. (4.9) uma vez que: h( τ) dτ 0 u 1 ( τ δ) dτ 0 τ dτ τ 0 Ou seja, h(t) deste sistema não é absolutamente integrável.
Análise de Sinais Teoria de Sistemas Alguns tópicos que são estudados na Teoria de Sistemas O que vimos aqui neste capítulo foram apenas algumas noções básicas de sistemas. Entretanto, a Teoria de Sistemas é muito mais ampla e inclui muitos outros temas de estudo. Modelização ( modeling ) Identificação de parâmetros Controlo de sistemas Optimização Simulação Realimentação ( feedback ) Estimação de estado
Análise de Sinais Teoria de Sistemas Alguns tópicos que são estudados na Teoria de Sistemas Estabilidade Sistemas robustos Sistemas tolerantes à falhas Processamento paralelo ou distribuído Sistemas fuzz Sistemas inteligentes entrada input controlo excitação Caixa preta (black box) saída output resposta observação
Análise de Sinais Teoria de Sistemas Sistemas inteligentes o reconhecimento de coisas e objetos o reconhecimento de pessoas tarefas do nosso dia a dia como: caminhar, falar, ler, escrever, subir e descer escadas, lembrar de nomes, factos ou coisas, conduzir (um veículo), identificar uma placa de trânsito, cozinhar, costurar, etc. etc. tarefas como: cantar, dançar, tocar um instrumento, compor, redigir um texto, pintar um quadro, ou outras actividades que envolvem arte. entradas saídas
Obrigado! Felippe de Souza felippe@ubi.pt