Medidas Invariantes Absolutamente Contínuas para

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado Medidas Invariantes Absolutamente Contínuas para Transformações de Markov Rolando Restany Gomes de Araújo Salvador Bahia Março de 2006

2 Medidas Invariantes Absolutamente Contínuas para Transformações de Markov Rolando Restany Gomes de Araújo Dissertação apresentada ao colegiado do curso de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Banca examinadora: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) Prof. Dr. José Ferreira Alves (Universidade do Porto Portugal) Prof. Dr. Alberto Adrego Pinto (Universidade do Porto Portugal)

3 Araújo, R. R. G. Medidas Invariantes Absolutamente Contínuas para Transformações de Markov. Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Pinheiro. Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, 38 páginas, Salvador-Ba, Palavras-Chave: Medidas Invariantes, Transformações de Markov, Operador de Perron-Fröbenius.

4 Dedicado à Fausta Maria da Conceição (in memorian) e Francisca de Assis Gomes.

5 Nenhum problema pode ser resolvido pelo mesmo estado de consciência que o criou. É preciso ir mais longe. Eu penso 99 vezes e nada descubro. Deixo de pensar, mergulho num grande silêncio e a verdade me é revelada! Albert Einstein

6 Agradecimentos Agradeço às duas pessoas diretamente responsáveis por mais esta vitória, minha mãe, Francisca de Assis Gomes e minha avó materna, Fausta Maria da Conceição; que não mediram esforços nem sacrificios, durante toda minha vida para oferecer o que de melhor estava ao seu alcance e sem sombra de dúvidas, não teria chegado à conclusão deste curso se não fosse pelo ajuda, carinho, atenção exclusiva e o amor delas. Agradeço aos meus familiares pelo apoio e ajuda durante todo esse período. Aos professores do Instituto de Matemática, pela atenção e disponibilidade em atender, mesmo na resolução de pequenos problemas. Em especial, aos professores José Ferreira Alves (Faculdade de Ciências do Porto), que sempre se mostrou prestativo e atencioso na resolução de dúvidas e o Prof. Vilton Jeovan pela orientação, paciência e transmissão do conhecimento; que certamente é o bem mais precioso que pode ser dado à outra pessoa. A estes serei eternamente grato. Aos amigos professores do município de Catu: Profa. Jeane Chiam, Profa. Anaci, Prof. Acimar, pelo incentivo e apoio, principalmente nos momentos de maior desânimo. Não poderia deixar de mencionar a Profa. Julieta Bezerra, que com extrema compreensão e carinho possibilitou minha dedicação durante todo o período do curso de mestrado, bem como a Profa. Giselda Fróes pela compreensão e apoio na reta final do curso. Aos amigos do curso: Abílio Souza, Adriano Cattai, Elisângela Farias, Rosane Funato, Gilclécio Dantas, Silvia Costa, Maurício Porto, Tailsom Jeffersom, os quais pelo objetivo comum que nos uniu, tem a sua parcela de contribuição durante este período de convivência. Aos funcionários do Instituto de Matemática pela boa vontade e gentileza em atender. Aos demais amigos não citados. vi

7 Resumo Neste trabalho estudaremos a dinâmica das transformações de Markov. Mostraremos que tais transformações admitem medidas invariantes que são absolutamente contínuas com respeito à medida de Lebesgue. Verificaremos esse fato, via operador de Perron-Frobënius; pois seus pontos fixos são densidades de medidas invariantes. Veremos que sob a hipótese de controle forte de distorção, tais transformações exibem medidas invariantes absolutamente contínuas, com densidades limitadas no espaço das funções lipschitz contínuas. Em particular, mostraremos que para uma transformação markoviana expansora por partes, de classe C 2, definida numa variedade compacta M, existe um conjunto finito de tais medidas, que provaremos ser ergódicas e que Lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de uma dessas medidas. vii

8 Abstract In this work we study the dynamics of the transformations of Markov. We show that such transformations admit invariant measures that are absolutely continuous with respect to the measure of Lebesgue. We verify that fact, through operator of Perron-Frobënius; because such measures are their fixed points. We see that under the hypothesis of strong distortion control, such transformations exhibit invariant measures absolutely continuous with limited densities in the space of the functions continuous lipschitz. In particular, we show that for a C 2 piecewise expanding markovian map, defined in a compact variety M, one exists finite set of such measures, that we prove to be ergodics and that Lebesgue almost whole point belongs the basin of one of those measured. viii

9 Sumário Resumo vii Abstract viii Introdução 1 1 Preliminares 3 2 Dinâmica do Operador de Perron-Fröbenius Existência da probabilidade Transformações de Markov Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas Propriedades de Distorção e Ergocidade Teoremas A e B 25 Apêndice 32 Bibliografia 36 Índice Remissivo 37 ix

10 Introdução Os Sistemas Dinâmicos munidos de medidas invariantes é o principal objeto de estudo da Teoria Ergódica. Em termos simples um sistema dinâmico é qualquer sistema cujo comportamento se modifica com o tempo; na verdade o mundo à nossa volta pode ser visto como um sistema dinâmico complexo. Mesmo os sistemas ditos simples, podem apresentar um comportamento a longo prazo que apenas podem ser descritos de maneira probabilística, esses sistemas são denominados caóticos. Nesse trabalho de dissertação, provaremos a existência de probabilidades invariantes fisicamente relevantes para a dinâmica de uma transformação de Markov, a qual definiremos mais adiante. Se um dado sistema apresenta infinitos pontos periódicos, ele também apresentará infinitas medidas invariantes, no entanto, desejamos encontrar medidas invariantes que sejam relevantes em termos de medida de lebesgue. Queremos que a probabilidade de encontrar algum iterado da transformação que reje o sistema em um conjunto mensurável seja não nula apenas quando a medida de lebesgue nesse conjunto mensurável também seja não nula. Para tal é suficiente que essas medidas invariantes sejam absolutamente contínuas em relação à medida de lebesgue. Propriedades adicionais dessas medidas serão verificadas, como por exemplo ergodicidade, que nos diz num certo sentido que o sistema não pode ser decomposto em termos probabilísticos em mais de um sistema não trivial. Dividimos essa dissertação em três capítulos. No Capítulo 1, que chamamos de Preliminares, apresentaremos algumas definições e resultados gerais da Teoria da Medida. Omitiremos as demosntrações na maioria das vezes por se tratarem de resultados conhecidos, no entanto, citaremos a fonte utilizada e página, para os leitores que desejarem uma consulta mais detalhada. No Capítulo 2, onde construiremos as condições necessárias para chegarmos ao resultado 1

11 principal do nosso trabalho, estudaremos a dinâmica do Operador de Perron-Frobenius, também conhecido como operador de transferência. Inicialmente, sem nos preocuparmos com o espaço de atuação do operador, provaremos que os pontos fixos do operador são probabilidades invariantes absolutamente contínuas à medida de lebesgue. Definiremos transformações de Markov e mostraremos que para essas transformações, existem probabilidades invariantes absolutamente contínuas limitadas no espaço das funções integráveis. Em seguida introduziremos o espaço das funções Lipschitz contínuas e estudaremos o comportamento do operador de Perron-Frobenius neste espaço. Um dos principais resultados desse capítulo é: Lema(2.4) Seja (T, P) uma transformação de Markov tal que para todo p P com inf{µ(t ( s)); s P} > 0; então existe uma probabilidade T -invariante q absolutamente contínua à µ tal que dq dµ L (µ). Finalmente, no Capítulo 3, apresentaremos os resultados principais deste trabalho, no qual provaremos a existência de um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente contínuas e ergódicas para uma C 2 transformação markoviana expansora por partes definida numa variedade compacta M, e que são limitadas no espaço das funções lipschitz contínuas. Este resultado é obtido a partir da prova do Teorema A, abaixo publicado por Jon Aaronson, em An Introduction to Infinite Ergodic Theory. Mathematical Surveys and Monographs 50, American Math. Society, 1997, 168. Teorema A. Suponha que (T, P) uma transformação de Markov; tal que para todo cilindro p P tenham forte controle de distorção. Se #T (P) < ; então existe uma densidade invariante µ, absolutamente contínua a medida de Lebesgue m, tal que log dµ pertence ao espaço das funções dm Lipschitz contínuas (L). Outro Teorema que demonstraremos é: Teorema B. Se T : M M é uma C 2 aplicação markoviana expansora por partes, com um número limitado de imagens, então existe um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente contínuas à Lebesgue e ergódicas tal que m q.t.p. pertence a bacia de uma dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente limitada por alguma constante. Por último, no Apêndice, faremos um breve estudo dos shifts, onde exibiremos um resultado de menor importância, mas de alguma relevância para a obtenção do resultado principal do nosso trabalho. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 2

12 Capítulo 1 Preliminares Nosso principal objetivo neste capítulo é estabelecer as notações necessárias à compreensão dos capítulos subseqüentes e apresentar definições e resultados que serão úteis para o entendimento da teoria que será desenvolvida no decorrer deste trabalho. Citaremos alguns teoremas de Análise Funcional e da Teoria da Medida. Por se tratarem de resultados conhecidos na literatura vigente omitiremos ou simplificaremos suas demonstrações. Admitimos que X é um espaço topológico e B denota a σ-álgebra de Borel. Seja µ uma aplicação com domínio B, µ : B [0, + ], satisfazendo as seguintes propriedades: (i) µ( ) = 0 (ii) µ( A i ) = i=1 µ(a i ), com A i s disjuntos dois a dois e A i B i. i=1 Dizemos que a aplicação µ acima é uma medida sobre os borelianos de X e chamamos a terna (X, B, µ) de espaço de medida. Quando µ(x)=1, dizemos que se trata de um espaço de probabilidades. Dizemos que T : X X é uma transformação mensurável se T 1 (A) B A B. No caso em que µ(t 1 (A)) = µ(a) A B, dizemos que T preserva medida ou simplesmente que µ é T -invariante. A transformação mensurável T : X X no espaço (X, B, µ) é dita não singular se µ(t 1 (A)) = 0, A B tal que µ(a) = 0. Note que toda transformação preservando medida é necessariamente não singular. Uma propriedade se diz satisfeita em quase todos os pontos (abreviadamente q.t.p.), se o

13 Preliminares conjunto dos pontos onde a propriedade não é satisfeita tem medida nula. A transformação não singular T : X X é chamada q.t.p. invertível se T é invertível em algum Y B com µ(x \ Y ) = 0 e é dita q.t.p. localmente invertível se existem conjuntos mensuráveis disjuntos {A j ; j 1} tal que µ(x \ A j ) = 0 e T é invertível em cada A j, com j 1 A j B, j. Um conjunto A B é dito T-invariante se temos T 1 (A) = A. Um espaço de medida (X, B, µ) é chamado finito se µ(x) <. No caso em que existe uma seqüencia {A k } k 1, A k B, satisfazendo X = A k e µ(a k ) < k; então (X, B, µ) é dito σ-finito. k=1 Seja (X, B, µ) um espaço de medida, (X, B ) um espaço mensurável e T : X X uma aplicação mensurável. A medida transportada de µ por T é a medida µ := T µ : B [0, + ] definida por: µ (A ) := µ(t 1 (A )), A B. Enunciaremos alguns Teoremas, dos quais faremos uso no decorrer do nosso trabalho: 1.1 Teorema (Mudança de Variáveis). Seja (X, B, µ) um espaço de medida, (X, B ) um espaço mensurável e T : X X uma aplicação mensurável. Considere ν = µt 1 a medida transportada de µ por T. Então g : X R é ν-integrável se e somente se g T : X R é µ-integrável e: g dν = g T dµ. X X Prova. Ver demonstração em [3], pág Sejam µ e ν duas medidas num espaço mensurável (X, B). Dizemos que ν é absolutamente contínua com respeito a µ se µ(a) = 0 implica ν(a) = 0, qualquer que seja A o conjunto mensurável. Neste caso escrevemos ν µ. Caso tenhamos µ(a) = 0 se e somente se ν(a) = 0, dizemos que µ é equivalente a ν e escrevemos µ ν. Chamamos suporte da medida µ o conjunto dos pontos tais que toda vizinhança tem medida positiva para µ e este é denotado por supp(µ) = {x; aberto V x, µ(v ) > 0}. Quando µ Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 4

14 Preliminares é invariante para T a bacia de µ a qual denotamos por B(µ) é o conjunto dos pontos tais que n 1 1 lim ϕ(t j (x)) = n n j=0 ϕ dµ para toda função contínua ϕ : X R. Note que a bacia sempre é um conjunto invariante. Uma probabilidade invariante µ diz-se ergódica se todo subconjunto invariante por T, tem medida é 0 ou 1. Se µ é ergódica então B(µ) tem µ-medida total. 1.2 Teorema (Radon-Nikodym). Seja (X, B, µ) um espaço de medida σ-finita. Seja ν : B R uma medida σ-finita absolutamente contínua com respeito a µ. Então existe uma função mensurável não negativa f : X R tal que: ν(a) = A fdµ, A β. Prova. Ver demonstração em [9], pág A função f L 1 (µ) obtida no Teorema de Radon-Nikodym é chamada de derivada de Randon-Nikodym ou densidade da medida ν em relação a medida µ e denotada por f = dν dµ. 1.3 Lema (Fatou). Seja {f n } n=1 uma seqüencia de funções mensuráveis não negativas e f = lim f n q.t.p. sobre um conjunto mensurável E, então: n f dµ lim inf f n dµ. E n E Prova. Ver demonstração em [9], pág Teorema (Convergência Dominada). Seja {f n } n=1 uma seqüencia de funções mensuráveis e f n g sobre um conjunto E, onde g é uma função integrável sobre E. Se f = lim f n q.t.p. n em E então: f dµ lim f n dµ. E n E Prova. Ver demonstração em [4], pág. 75. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 5

15 Preliminares 1.5 Teorema (Ascoli-Arzelá). Seja (X, d) um espaço métrico compacto. Seja F uma família equicontínua de funções ψ : X R. Isto é, para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que se x y < δ então ψ(x) ψ(y) < ɛ para toda ψ F. Se F é uniformemente limitada; isto é, existe M > 0 tal que ψ < M para toda ψ F, então toda seqüencia {ψ n } de elementos de F tem uma subseqüência {ψ nk } uniformemente convergente em X. Prova. Ver demonstração em [7], pág Denotamos L p (X, B, µ); 1 p < ou simplesmente L p (µ) o espaço das funções, tais que f p é integrável. Em L p (µ) definimos a norma p como: ( f p = f p dµ X Definimos L (µ) o espaço das funções tais que existe M > 0 tal que f(x) M para q.t.p. x X, e escrevemos L (µ) = {f : X R; M > 0; µ({x; f(x) > M}) = 0. Em L (µ) definimos a norma como: ) 1 p f = inf {M > 0; µ({x; f(x) > M}) = 0}. Uma partição P de um espaço de probabilidades (X, B, µ), que chamaremos de uma partição com respeito a medida µ, é uma família de subconjuntos de B de medida não nula; tais que: (i) A i, A j P, i j µ(a i A j ) = 0 (ii) µ(x \ A i ) = 0 A i P Chamamos de densidade de probabilidade a uma função ρ L 1 (µ) tal que ρ 0 e ρ = 1, de fato observe que ρ induz uma medida de probabilidade ν ρ dada por 0 ν ρ (A) := ρ dµ 1 A B. Dizemos que ν ρ é T -invariante se ν ρ (T 1 (A)) = ν ρ (A); A B. A Seja (X, B, µ) um espaço de medida. Se T : X X é uma transformação não singular, definimos o operador P : L 1 (µ) L 1 (µ) por Pf dµ = A T 1 (A) Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 6 f dµ

16 Preliminares Observe que o operador está bem definido, ou seja, se ν f é a medida definida por ν f := T 1 (A) f dµ, temos pela não singularidade de T que ν f µ. Logo, pelo teorema de Randon- Nikodym existe uma única g f L 1 (µ), tal que ν f (A) := A g f dµ, A B. Assim Pf é, por definição nossa g f dada pelo Teorema de Randon-Nikodym. O operador P é chamado de Perron-Fröbenius correspondente para T. A importância deste operador para o estudo de medidas invariantes segue do fato que seus pontos fixos são densidades de medidas invariantes absolutamente contínuas. Para verificarmos esta afirmação, suponha que h L 1 (µ) seja um ponto fixo de P, ou seja, Ph = h. Assim, definindo ν por ν(a) = A h dµ, veremos que ν µ e, além disto ν(t 1 (A)) = T 1 (A) h dµ = Logo, ν é absolutamente contínua e invariante. A Ph dµ = A h dµ = ν(a). 1.6 Proposição. Seja P : L 1 (µ) L 1 (µ) o operador de Perron-Fröbenius de uma transformação T como dita anteriormente. Então valem: 1. P é um operador linear, 2. P é positivo: f 0 Pf 0, 3. P preserva a média: Pf dµ = X X f dµ, 4. P é uma contração fraca: Pf 1 f 1, n vezes {}}{ 5. Se T n = T... T e P é o operador de Perron-Fröbenius correspondente para T então P n é o operador correspondente para T n e A P n f dµ = T n (A) f dµ. Prova. 1. Seja A X um conjunto mensurável e sejam λ 1 e λ 2 constantes. Então, se f 1, f 2 Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 7

17 Preliminares L 1 (µ), Logo, P(λ 1 f 1 + λ 2 f 2 )dµ = A T 1 (A) (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ) dµ = λ 1 f 1 dµ + λ 2 = λ 1 = A T 1 (A) A Pf 1 dµ + λ 2 A (λ 1 Pf 1 + λ 2 Pf 2 )dµ. T 1 (A) Pf 2 dµ f 2 dµ P(λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ) = λ 1 Pf 1 + λ 2 Pf 2 f 1, f 2 L 1 (µ) e λ 1, λ 2 R. 2. Qualquer que seja A mensurável, tem-se Pf dµ = Logo, se f 0, então Pf 0. A T 1 (A) f dµ O resultado decorre diretamente de Pf dµ = X T 1 (X) f dµ = X f dµ 4. Seja f L 1 (µ). Sejam f + = max(f, 0) e f = min(0, f). Então, f + e f L 1 (µ), f = f + f e f = f + + f. Como P é um operador linear, tem-se Pf = P(f + f ) = P(f + ) P(f ). Consequentemente, Pf P(f + ) + P(f ) = P(f + ) + P(f ) = P f e Pf 1 = X Pf dµ X P f dµ = X f dµ = f A prova segue por indução em n. Para n = 1, óbvio, admitindo que vale para n = k; para n = k + 1 obtemos P k+1 f dµ = P k (Pf) dµ = A A T k (A) Logo, P n f dµ = A Pf dµ = T n (A) T 1 (T k (A)) f dµ. f dµ = T (k+1) (A) f dµ. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 8

18 Preliminares 1.7 Corolário. P é contínuo. Prova. Segue da contração fraca. Uma coleção F L 1 (µ) é chamada uniformemente integrável, se para todo ɛ > 0, existe M > 1 tal que, f dµ ɛ, f F, { f M} em que { f M} = {x X, f(x) M}. Uma coleção F é uniformemente integrável, se e somente se, é fracamente pré-compacta em L 1 (µ), ou seja toda seqüência de funções em F possui subseqüência {f nk } k 1 que convergente fracamente para alguma h L 1 (µ). Escrevemos f nk h, significando f nk dµ A A h dµ, A B. O préfixo pré é usado porque tomamos h L 1 (µ), ao invés de h F. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 9

19 Capítulo 2 Dinâmica do Operador de Perron-Fröbenius Neste capítulo, provaremos a existência de pontos fixos para o Operador de Perron-Fröbenius, quando T for uma Transformação de Markov. Ademais, analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fröbenius no espaço das funções Lipschitz contínuas e concluiremos que existe um ponto fixo para o mesmo, sendo este uma densidade de uma medida T -invariante. 2.1 Existência da probabilidade Dada f L 1 +(µ), vamos definir A n f por A n f := 1 n 1 P k f e provaremos nesta seção, a n k=0 existência de uma probabilidade T -invariante cuja densidade é o limite de uma subseqüência de A n f. 2.1 Proposição. Seja T uma transformação não singular de (X, B, µ). Se existe f pertencente a L 1 (µ) + tal que {A n f} n 1 é uma família uniformemente integrável, então existe uma probabilidade T -invariante que é absolutamente contínua a µ. Prova. Segue da integrabilidade uniforme, que existe subsequência {A nk f} k 1 e uma h pertencente a L 1 (µ), tal que A nk f h significando que A nk f dµ h dµ := ν(a) ; A B A onde definimos ν desse modo; obviamente ν é medida e ν µ. A

20 Existência da probabilidade Por hipótese, temos que lim n k 1 n k 1 P j f = h, n k j=0 então, devido a continuidade do operador vale Ph = lim P n k 1 n k 1 P j f. n k j=0 Por outro lado, P 1 n k 1 P j f = 1 n k 1 P j+1 f n k n k j=0 j=0 = 1 n k 1 n k j=0 P j f 1 n k P 0 f + 1 n k P n f como as duas últimas parcelas são limitadas, vão para zero quando n k. Segue então que, Ph = lim P 1 n k 1 n P j f 1 k 1 = lim P j f = h n k n k n k e então, A Ph dµ = j=0 A n k j=0 h dµ = ν(a); A B. Como já foi observado ν, tendo a densidade como ponto fixo de P, é T -invariante. 2.2 Proposição. Seja T uma transformação não singular de (X, B, µ). Se existe M > 0 e 1 p tal que P n f p M n, então existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente contínua à µ tal que h = dν dµ Lp (µ). L p (µ), de fato, Prova. Segue da Proposição (2.1) que para qualquer f L p (µ) + temos A n f := 1 n 1 P k f n A n f p = 1 n 1 P k f p n k=0 n 1 1 P k f p n k=0 n 1 1 M n Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 11 k=0 k=0

21 2.2. TRANSFORMAÇÕES DE MARKOV a última desigualdade decorre de P n f p M n. Assim {A n f} n 1 é uma família uniformemente integrável e isto já prova a existência da probabilidade T -invariante ν. Decorrente da integrabilidade uniforme, temos que existe uma subsequência {A nk f} k 1 satisfazendo A nk f h; então: h p p = = h p dµ lim A n k f p dµ k lim inf A nk f p dµ k = lim k inf A n k f p p e portanto, h = dν dµ Lp (µ). 2.2 Transformações de Markov Seja T uma transformação não singular localmente invertível e P uma partição enumerável de X. Nessas condições, dizemos que P é uma Partição de Markov para a transformação T se : (i) T (A) é a reunião de elementos de P, A P (ii) T : A T (A) é invertível, A P (iii) P gera B sob T, no sentido de que k=0 T k (P) = B, em que: { } T k (P) = T k A k, A k P, k k=0 k=0 Dada uma transformação T não singular localmente invertível e P uma partição de Markov; chamamos o par (T, P) de Transformação de Markov. Chamamos Conjunto Cilindro e denotamos por p, o conjunto p = [p 0,..., p n 1 ] = n 1 i=0 T i p i, em que os elementos p 0,..., p n 1 P e p P n 1 é uma partição de X. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 12

22 Transformações de Markov Consideraremos que µ( p) > 0, p P. Chamamos de g n o ramo inverso de T n, satisfazendo T n g n (x) = x, x p. A fim de simplificar nossa notação, denotaremos o ramo inverso de T n restrito ao cilindro p por g p := g p0... g pn 1 de g p, que é T n ( p), por Dom(g p ). = (T n p ) 1. Ademais; designaremos o domínio Vamos denotar P := P n 1. Como (T n p ) é uma bijeção com sua imagem escreveremos n N o Jacobiano de (T n p ) com respeito a µ por J µ T n, ou seja, µ(t n ( p)) := J µ T n dµ. p Diremos que uma Transformação de Markov (T, P) tem distorção limitada em todo cilindro (ou controle fraco de distorção), se existe C > 0, tal que J µ g p (x) J µ g p (y) 1 C; x, y Dom(g p), p P 2.3 Lema (Lema da distorção). Sejam p = [p 0,..., p n 1 ] P n 1 um cilindro e q P e suponhamos que (T, P) tem distorção limitada em todo cilindro, então: µ(g q p) µ( p) C 2 µ( q T (p n 1)). µ(t (p n 1 )) Prova. Temos que T n ( p) = T (p n 1 ) e para µ q.t.p. x p: µ( p) = µ(g p T (p n 1 )) = J µ g p (x) dµ < < x T (p n 1 )) x T (p n 1 )) x T (p n 1 )) x T (p n 1 )) x T (p n 1 )) J µ g p dµ ( J µ g p (y ɛ ) + ɛ) dµ ((C + 1) J µ g p (z) + ɛ) dµ ɛ, z (C + 1) J µ g p (z) dµ = C J µ g p (z) µ(t (p n 1 )), z. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 13

23 Transformações de Markov Por outro lado, procedendo da mesma forma temos: µ(g q p) = J µ g p (x) dµ = q T n ( p) q T (p n 1 ) J µ g p (x) dµ C J µ g p (x) µ( q T (p n 1 )) e então, temos o resultado desejado. < C 2 µ( p) µ( q T (p n 1)) µ(t (p n 1 )) 2.4 Lema. Seja (T, P) uma Transformação de Markov com distorção limitada em todo cilindro e inf{µ(t ( s)); s P} > 0; então existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente contínua à µ tal que dν dµ L (µ). Prova. Segue do Lema (2.3) que n 1, p = [p 0,..., p n 1 ] P n 1 um cilindro e A um conjunto mensurável, A B vale: µ(t n (A) p) µ( p) C 2 µ((a) T (p n 1)) µ(t (p n 1 )) Seja Γ = {T ( s); s P} e suponhamos que µ(t ( s)) ɛ > 0; T ( s) Γ. Assim nós temos, µ(t n (A)) = µ(t n (A) p) µ( p) µ( p) r P n C 2 µ(a T (p n 1)) µ( p) µ(t (p n 1 )) r P n C2 ɛ µ(a T (p n 1 )) µ( p) r P n C2 ɛ r P n µ(a) µ( p) C2 ɛ µ(a) Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 14

24 Transformações de Markov Observamos que se g L 1 1 (µ) + e g dµ M, A B, isto implica que g M. µ(a) A Tomando agora a densidade f 1 e A B temos, A P k 1 dµ = = T n (A) r P n = r P n = r P n = 1 dµ x ( r T n (A)) x g p (A T n ( r)) A J µ g p ( r) dµ 1 dµ r P n µ(g p (A T n ( r))) = r P n µ( r T n (A)) = µ(t n (A)) C2 ɛ µ(a) 1 dµ portanto, encontramos P n 1 C2 ɛ n. Assim, pela Proposição (2.2) existe uma probabilidade T -invariante ν µ em X e n k tal que dν dµ L (µ) e em L (µ), significando 1 A n k n k 1 j=0 1 n k n k 1 j=0 P j 1 dµ P j 1 dν dµ A dν dµ dµ A B. 2.5 Lema. Seja (T, P) uma Transformação de Markov com distorção limitada em todo cilindro e inf{µ(t ( s)); s P} ( > ) 0; então existe uma probabilidade T -invariante ν absolutamente contínua dν à µ tal que inf > 0. q T ( s) dµ Prova. Inicialmente, observemos que para p e q P temos, ( C 2 ɛ ) 1 µ( p) µ( q) µ(g p(x)) µ(g p (y)) ( C 2 ɛ ) µ( p) µ( q), Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 15

25 2.3. AÇÃO DO OPERADOR NO ESPAÇO DAS FUNÇÕES LIPSCHITZ CONTÍNUAS de fato, observemos que µ(g p (x)) µ(g p (y)) = p J µg p dµ q J µg q dµ. Do Lema anterior e da hípótese de distorção limitada, podemos escrever log J µg p J µ g p (x) J µ g q J µ g q (y) 1 C. Ademais, pelo Lema da Distorção, encontramos p J µg p dµ q J µg q dµ C2 ɛ Jµg p (x)µ( p) J µ g q (y)µ( q) Portanto, para A B ( ) C 2 1 ( ) C µ(a) µ(t n 2 (A)) µ(a), ɛ ɛ assim; ( ) C ɛ n k n k 1 j=0 ( ) C P j 2 1 ɛ como 1 n k 1 n k j=0 P j 1 dν, temos então dµ ( C 2 ɛ ) 1 dν dµ ( C 2 ɛ ). 2.3 Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas Nesta seção analisaremos o comportamento do Operador de Perron-Fröbenius no espaço das funções Lipschitz contínuas, que definiremos adiante e para tal faremos uso de alguns lemas auxiliares, que fornecerão subsídios para podermos concluir que existe algum ponto fixo do Operador nesse mesmo espaço. Dada uma partição mensurável P de um espaço de medida (X, B, µ) e uma aplicação mensurável T : X X definiremos uma métrica associada a P e T como segue. Seja 0 < β < 1 fixado, introduziremos a métrica d β em X dada por d β = β s(x,y), onde s(x, y) é o tempo de separação Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 16

26 Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas de x e y, definido a seguir. Se x e y estão em elementos distintos de uma partição P de X então s(x, y) = 0. Se x e y estão num mesmo elemento da partição então s(x, y) é o maior inteiro n 0 tal que T k x e T k y estão no mesmo elemento da partição para k = 0,..., n. Aqui trabalharemos com o conceito de função Lipschitz contínua com respeito aos elementos da partição P de X. Assim no nosso contexto, dizemos que uma função f : X R é Lipschitz contínua em A X se: D A f := f(x) f(y) sup < x y A d β (x, y) e Lipschitz contínua em x X se é Lipschitz contínua em alguma vizinhança de x. Uma função é localmente Lipschitz contínua em A X se é Lipschitz contínua em cada ponto de A. Dada uma função f : X R, dizemos que f é P-Lipschitz contínua por partes em X, se é Lipschitz contínua em cada A P e D P f := sup D A f <. Note que qualquer função limitada P-Lipschitz contínua A P por partes é Lipschitz contínua em X. Seja P uma partição definida como segue P := {X\T (X) partição de T (X) gerada por T (P)}, a coleção das funções P -Lipschitz contínua por partes em X é denotada por L e equipada com a norma: f L := f 1 +D X f. Por simplicidade nos referiremos ao espaço L, como o espaço das funções Lipschitz contínuas. No nosso contexto o Teorema (1.5) acima será enunciado da seguinte forma: 2.6 Teorema. Se {f n } n=1 é uma sequência de funções Lipschitz contínuas e sup f n L <, n 1 então existe uma subsequência {f nk } k=1 e uma função g lipschitz contínua tal que f nk (x) g(x), quando k x X, e g L lim n inf f n L f nk g 1 0, quando k. Prova. Tomemos uma sequência {f n } n=1 em L (espaço das funções lipschitz contínuas). Por hipótese f n L K; n 1 e K > 0. Podemos tomar f n (x) 2K, x X, n 1 e sabemos que f n (x) f n (y) K d β (x, y); x, y X; n 1. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 17

27 Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas Seja Γ X um subconjunto enumerável denso; logo existe uma subsequência {f nk } tal que (f nk (x)) k 1 é uma sequência de Cauchy x Γ. De fato (f nk (x)) k 1 é uma sequência de Cauchy x X e então existe g L, g : X R tal que lim k f n k (x) = g(x) x X. E decorrente do Lema de Fatou, temos que g 1 lim k inf f n k 1. Seja P uma partição definida como anteriormente; tomemos um elemento qualquer B P, então para x, y B, com x y D P g = g(x) g(y) d β (x, y) f n k (x) f nk (y) d β (x, y) D P f nk portanto D P g lim k inf D P f n k e isto é suficiente para mostrar que g L. Por outro lado, g L = g 1 +D P g lim inf f n k 1 + lim inf D P f n k k k e portanto, g L lim k inf f n k L. Por último, como f nk (x) g(x); x X, pelo Teorema da Convergência Dominada g 1 lim k f n k 1 e então temos f nk g 1 0, quando k. A fim de simplificar a notação escreveremos d(x, y) = d β (x, y) para representar a métrica d β (x, y) = β s(x,y), onde 0 < β < 1 fixado e s(x, y) é o tempo de separação de x e y. Consideraremos que as transformações de Markov trabalhadas nesta seção satisfazem inf{µ(t ( p)); p P} > 0, p P. 2.7 Lema. Seja p um cilindro e h : p R tal que h é uma função Lipschitz contínua e g p é o ramo inverso de (T n p ), então para 0 < β < 1 fixado e x, y Dom(g p ) vale: h(g p (x)) 1 h(x) dµ + β n D p h µ( p) p Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 18

28 Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas Prova. h(g p (x)) = 1 µ( p) 1 µ( p) 1 µ( p) 1 µ( p) p p p p h(x) dµ + h(g p(x)) 1 µ( p) h(x) dµ + h(g p (x)) h(g p (y)) h(x) dµ + D p h d(g p (x), g p (y)) h(x) dµ + D p h β n p h(x) dµ Para o Lema e Proposição a seguir consideraremos o conjunto Ω β abaixo; o qual desempenhará papel importante na próxima seção. Em que { } Ω β := p P; J µ g p (x) J µ g p (y) 1 Cd β(x, y); (x, y) p Dom(g p ) com C R Lema. Suponha h uma função Lipschitz contínua e p = [p 0,..., p n 1 ] P n 1 um cilindro. Então para x, y p Ω β temos: ( ) J µ g p (x) h(g p (x)) J µ g p (y) h(g p (y)) M d(x, y) M h dµ + (M + 1)µ( p)β n D p h p Prova. Inicialmente, da desigualdade triangular obtemos J µ g p (x)h(g p (x)) J µ g p (y)h(g p (y)) J µ g p (x) h(g p (x)) J µ g p (x) J µ g p (y) J µ g p (y) h(g p (x)) h(g p (y)) = (I) + (II) Analisando os fatores da parcela (I), observamos que: (i) J µ g p (x) M µ( p), x p, decorre diretamente do Lema da Distorção (ii) h(g p (x)) 1 h(x) dµ + β n D p h; pelo Lema (2.7) µ( p) p (iii) J µ g p (x) J µ g p (y) 1 M d(x, y); pois por hipótese p P; temos que p Ω β Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 19

29 Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas e, portanto, ( ) 1 (I) M µ( p) M d(x, y) h dµ + D p h β n µ( p) p ( ) M d(x, y) h dµ + µ( p) D p h β n p Analisando a parcela (II), basta verificarmos que h(g p (x)) h(g p (y)) d(g p (x), g p (y)) D p h d(x, y) β n D p h e, portanto, (II) M µ( p) d(x, y) β n D p h Assim, podemos concluir que ( (I) + (II) M M d(x, y) ) h dµ + µ( p) D p h β n + M µ( p) d(x, y) D p h β n p ( ) M d(x, y) M h dµ + (M + 1) µ( p) D p h β n p chegando então ao resultado desejado. A próxima Proposição estabelece um estimativa para o Operador de Perron-Fröbenius no espaço das funções Lipschitz contínuas. 2.9 Proposição. Seja h uma função Lipschitz contínua e P o Operador de Perron-Fröbenius para T, então vale: P n h M (D P h β n + h 1 ) Prova. Inicialmente, podemos deduzir uma representação do Operador de Perron-Fröbenius que será útil na demostração desta proposição. Sabemos que T é invertível em cada p P n 1, T 1 : T ( p) p e g p ramo inverso de T n, restrito a p; que estamos denotando por g p, e que satisfaz T n g p (x) = x x p, dessa forma podemos escrever T n (X) = = p P n 1 p p P n 1 Im(g p ) Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 20

30 Ação do Operador no espaço das funções Lipschitz contínuas agora, pela definição do operador P n h dµ = X = = = T n (X) h dµ h dµ Im(g p ) p P n 1 h dµ p P n 1 p P n 1 Im(g p ) Dom(g p ) J µ g p h g p dµ e, portanto, temos P n h = p P n 1 J µ g p h g p. Segue então que para x Dom(g p ) P n h(x) p P n 1 M ( ) 1 h(x) dµ + D p h β n M µ( p) µ( p) p ( ) 1 µ( p) h(x) dµ + D P h β n, pois D p h D P h µ( p) p P n 1 p M ( h 1 + D P h β n ) Por último, para h uma função Lipschitz contínua e x, y q P, temos P n h(x) P n h(y) J µ g q (x) h(g q (x)) J µ g q (y) h(g q (y)) q P n 1 ( ) = M d(x, y) M h dµ + (M + 1) µ( q) β n D q h, pelo Lema(2.8 ) q P n 1 M d(x, y) (M h 1 + (M + 1) D P h β n ) ; q ou seja, em que basta tomarmos P n h(x) P n h(y) d(x, y) M, M = M (M h 1 + (M + 1) D P h β n ). Dessa forma, segue por definição que D P P n h < M, sendo então o próprio Operador P Lipschitz contínuo. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 21

31 2.4. PROPRIEDADES DE DISTORÇÃO E ERGOCIDADE 2.4 Propriedades de Distorção e Ergocidade Um subconjunto aberto mensurável W X, tal que W (T ) = {x; aberto U x, n > 0 com T n (U) U } é chamado conjunto errante para T uma transformação não singular. Denotamos por W(T ) a coleção dos conjuntos errantes. Dessa forma chamamos a parte Dissipativa da transformação T e denotamos por D(T ) = (W(T )) a união mensurável das coleções de conjuntos errantes para T. Dessa forma, a transformação T é chamada totalmente dissipativa se D(T ) = X mod µ. O conjunto C(T ) := X\D(T ) é chamado parte Conservativa de T. A transformação não singular T é chamada Conservativa se C(T ) = X mod µ. Se podemos particionar o domínio X da forma {C(T ), D(T )}, então dizemos que T possui uma decomposição de Hopf. (Ver em [1], pág. 15) Seja o conjunto { Ω β := p P; J µ T n } (x) J µ T n (y) 1 Cd β(t n (x), T n (y)); (x, y) p P n 1 em que C R +. Nós dizemos que uma transformação de Markov (T, P) possui controle forte de distorção se existe C > 1 tal que para todo p P, p Ω β. Observe que por questão de conveniência estamos reescrevendo o conjunto Ω β, definido anteriormente, mas são de fato os mesmos. Seja (T, P) uma Transformação de Markov e C > 0. Uma coleção Θ P é chamada Coleção Schweiger para T se todos os elementos da coleção possuem distorção limitada para algum C > 0, e B = X mod µ. B Θ Uma Transformação de Markov (T, P) possui controle fraco de distorção se existe uma Coleção Schweiger para T Lema. Suponha que (T, P) é uma Transformação de Markov com controle fraco de distorção e Θ é uma Coleção Schweiger para T. Se A Θ; então µ(t n (A)) = A C mod µ n=1 e µ(t n (A)) < A X\C mod µ n=1 Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 22

32 Propriedades de Distorção e Ergocidade em particular C e D são ambos uniões de conjuntos em Θ. Prova. Da segunda implicação temos que dado um ponto x A, x volta a A finitas vezes, não retornando a partir de um certo n n 0 fixado, ou seja, A D = X\C. Para a primeira implicação suponhamos que µ(a\c) > 0 então B B A := {B B; B A}, µ(b) > 0 tal que portanto, pelo Lema (2.4) µ(t n (B)) < n=1 µ(t n (A)) < n=1 Ao estudarmos a dinâmica de certas transformações a longo prazo, desejamos saber onde os pontos do espaço são levados por iterados futuros da transformação que reje o sistema, assim definimos o ω limite de um ponto x X, como sendo o conjunto dos pontos y X, tais que para toda vizinhança V de y a relação T n (x) V, n > 0 é satisfeita para infinitos valores de n. Dizemos também que uma transformação contínua T de um espaço topológico X é transitiva se existe x X tal que ω T (x) = X. A transformação T é dita topologicamente transitiva se para todo par de conjuntos abertos, não vazios U, V X existe n 1 tal que T n (U) V. Lembremos que T é dita ergódica, se para todo A B, invariante (T 1 (A) = A mod µ), implica µ(a) = 0 ou µ(a c ) = Lema. Seja T uma transformação não singular localmente invertível e X um conjunto T - invariante, se existe φ invertível tal que φ conjuga (T, X) e (σ, Σ), onde σ é shift e Σ é invariante por σ; então (T, X) é topologicamente transitivo. Prova. Este Lema é um corolário da Proposição A.5. (Ver Apêndice) 2.12 Lema. Suponha que T é topologicamente transitivo com controle fraco de distorção, então T é conservativo ou totalmente dissipativo. Se T é conservativo então T é ergódico. Prova. Assumamos que B Θ B = Xmod µ; Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 23

33 Propriedades de Distorção e Ergocidade daí pelo Lema (2.10) temos C = B mod µ. B Θ C Assim, segue pela irredutibilidade que T é conservativo ou totalmente dissipativo. Suponha que T é conservativo. Já que Θ gera B; segue pelo Lema de Distorção que µ(t n (A) p) µ( p) C 2 µ(a) T (p n 1)) µ(t (p n 1 )) n N; p (P n 1 Θ); A B. Agora, suponha que T 1 (A) = A e µ(a) > 0, então para A B, µ(a p) µ( p) C 2 µ(a) T (p n 1)) µ(t (p n 1 )) n N; p (P n 1 Θ). Para µ-q.t.p. x X, temos que, µ(a p) µ( p) = µ(a [p o(x),..., p n 1 (x)]) µ(t (p n 1 )) χ A (x) quando n em qur para n 1, p n 1 (x) é definido por T n (x) p n 1 (x) P. Por conservatividade de T, se p = [p o,..., p n 1 ] Θ então para µ-q.t.p. x p, T k x p para infinitos k s, portanto, χ A (x) µ(t (p n 1 )) µ(a T (p n 1 )) C2. E segue que, A = B mod µ. B Θ, µ(a B)>0 Já que µ(a) > 0, B Θ tal que B A; por irredutibilidade se B Θ, então k 0 tal que µ(b T k B ) > 0, portanto B A. Assim A = Xmod µ, logo µ(a c ) = 0 e concluimos que T é ergodico. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 24

34 Capítulo 3 Teoremas A e B Neste capítulo demonstraremos os dois Teoremas Principais deste trabalho, provaremos que uma C 2 Transformação Markoviana Expansora por Partes possui uma medida invariante µ que é absolutamente contínua com respeito à medida de Lebesgue m, isto é µ = hm, onde h é densidade acotada longe do zero e portanto log h também é limitado. De fato, mostraremos que h pertence ao espaço das funções P -Lipischitz contínuas por partes. Esta condição implica que a medida µ é equivalente à de Lebesgue no sentido de que possuem os mesmos conjuntos de medida Lebesgue zero. Lembramos que dado um cilindro p = [p 0,..., p n 1 ] P n 1 P, denotamos o ramo inverso de T n restrito ao cilindro p, por g p := g p0... g pn 1 = (T n p ) 1. Ademais, nós dizemos que uma transformação de Markov (T, P) possui controle forte de distorção se existe C > 1 tal que para todo p P, p Ω β. Onde { Ω β := p P; J µ T n } (x) J µ T n (y) 1 C d β(t n (x), T n (y)); (x, y) p P n 1 com C R +. Teorema A. Suponha que (T, P) uma transformação de Markov; tal que para todo cilindro p P tenham forte controle de distorção. Se #T (P) < ; então existe uma densidade invariante µ, absolutamente contínua a medida de Lebesgue m, tal que log dµ pertence ao espaço das funções dm Lipschitz contínuas (L).

35 Teoremas A e B Prova. Sabemos que (T, X) e (σ, Σ) são conjugados, então pelo Lema (2.11) nos podemos assumir que (T, P) é topologicamente transitivo. Pela Proposição (2.2) e Lema (2.4) existe h : X R, tal que Ph = h. Pelo Lema (2.5) concluímos que log h L (µ); e isto é suficiente para mostrar que h L. Pela ergodicidade de T, nos temos que n 1 1 P k 1 h = dµ n dm em L1 (µ) quando n. k=0 Pela Proposição (2.8); existe q 1, 0 < β < 1 e M > 0 tal que P q f L M D P f β n + M f 1 θ f L + M f 1 f L e 0 < θ < 1. Agora, iterando nós temos P qn f L = P q (P q...q f) L θ P q...q f L +M P q...q f 1 θ(θ n 1 f L +(θ n )M f 1 ) + M f 1 = θ n f L +(θ n θ)m f 1 +M f 1 = θ n f L +(θ n θ + 1)M f 1 tomando M = θ n M, obtemos: n=0 P qn f L θ n f L +M f 1 < ; f L; n 1 e 0 < θ < 1. Considere A n 1 := 1 n n 1 P k 1. Nós mostramos que sup P k 1 L < ; de fato lembremos n 1 k=0 que P k 1 L = P k 1 1 +D X P k 1. Pelo Lema(2.4), P k 1 1 C2 µ(a); A B e pela Proposição ɛ (2.9), para g uma função Lipschitz contínua vale D P P k g < M, assim D X P k 1 <. Considerando A n 1 := 1 n 1 P k 1 para k 1, temos n k=0 n 1 1 A n 1 L = P k 1 1 n n L k=0 n 1 k=0 P k 1 L Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 26

36 Teoremas A e B reescrevendo k = a q + b, em que a 0 e 0 b < q obtemos A n 1 L 1 n n 1 k=0 n 1 P aq+b 1 L 1 P aq (P b 1) L n k=0 θ a P b 1 L +M P b 1 1 <, conforme exposto acima. Por último, recaímos nas hipóteses dadas pelo Teorema de Ascoli-Arzelá, (Teorema 2.6) e portanto, A n 1 possui subsequência convergente em L 1 (µ) cujo limite é h, função lipschitz contínua. Portanto, µ = hm é uma medida finita T -invariante absolutamente contínua, com log h limitado. Seja T uma transformação definida num subconjunto X M, em que M é uma variedade compacta e X possui medida Lebesgue total. Dizemos que T é uma Transformação Markoviana Expansora por Partes se existir uma partição enumerável P, com respeito a medida de lebesgue, do domínio X e conjuntos cilindros tais que: (i) (DT (x)) 1 1 λ > 1 x p P, (ii) log det DT (x) det DT (y) C d(x, y); x, y p, p P, (iii) Para cada p k P; T pk é um difeomorfismo C 2 com uma extensão ainda C 2 a p k. Dizemos que um conjunto A M é positivamente invariante para T, se T (A) = A. Um conjunto invariante (T 1 (A) = A) é em particular um conjunto positivamente invariante. Para provar o próximo Teorema, necessitaremos do seguinte Lema: 3.1 Lema. Se A M é um conjunto positivamente invariante, então existe uma bola B de raio δ/4 tal que m(b\a) = 0. Em particular, sendo a medida de M finita, teremos somente um número finito de conjuntos invariantes distintos. Prova. É suficiente mostrarmos que existe uma bola de raio δ/4, onde a medida relativa de A está próxima de 1. Seja k > 0 um número pequeno. Sejam A c um compacto contido em A e A v uma vizinhança de A c tal que m(a\a c ) e m(a v \A c ) sejam ambos menores que k m(a). Para x A c seja V n (x) a vizinhança de x; ademais V n (x) é enviada com distorção limitada por T n na Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 27

37 Teoremas A e B bola de raio δ em torno de T n (x). Podemos escolher n sufiucientemente grande de a que para todo x A c se tenha V n (x) A v. Seja U n (x) V n (x) a pré imagem por T n de B δ/4 (T n (x)). Sejam x 1,..., x N A c tais que U n (x 1 ),..., U n (x N ) cubram A c. Podemos ainda se necessário for, reordenar os índices, de forma tal que para m N termos uma subfamília maximal U n (x 1 ),..., U n (x m ), cujos elementos são disjuntos dois a dois. Notemos que V n (x 1 ),..., V n (x N ) cobrem A c, uma vez que a união deste conjunto contém U n (x i ), para todo 1 i N. De fato, cada U n (x i ) deve intersectar algum U n (x k ) com k m e, deste modo, a sua imagem por T n, uma bola de raio δ/4em torno de T n (x i ), intersecta a bola de raio δ/4 em torno de T n (x k ), estando assim contida na correspondente bola de raio δ. Em particular temos U n (x i ) V n (x k ). Pela distorção limitada, existe uma constante uniforme C > 0, independente de x e de n, tal que m(u n (x)) é maior que C m(v n (x)). Assim sendo, a medida de lebesgue de U n (x 1 )... U n (x m ) é maior que C m(a c ). Se θ > 0 é tal que m(u n (x i ) \ A c ) θ m(u n (x i ) para todo 1 i m, então m(u n (x 1 )... U n (x m ) \ A c ) θ Cm(A c ) θ C(1 k)m(a). Por outro lado, dado que U n (x i ) A v e A c A, esta medida tem que ser inferior a k m(a) k m(a) m(u n (x 1 )... U n (x m ) \ A c ) θ C(1 k)m(a). Podemos deste modo reduzir k > 0, aumentando n, de forma tal que θ seja forçosamente pequeno. Desta forma podemos encontrar n e U n (x i ) tais que a medida de lebesgue relativa de U n (x i ) A c em U n (x i ) seja arbitrariamente próxima de 1. Então, pela distorção limitada e pelo fato de A se positivamente invariante a medida de lebesgue relativa de T n (A c ) A na bola de raio δ/4 em torno de T n (x i ) também está arbitrariamente próxima de 1. Um conjunto compacto positivamente invariante A é chamado atrator se sua bacia de atração B(A) = {x M, w(x) A} possui medida lebesgue positiva. Teorema B. Se T : M M é uma C 2 Transformação Markoviana expansora por partes, com um número limitado de imagens, então existe um conjunto finito de medidas invariantes absolutamente contínuas com respeito à medida de Lebesgue e ergódicas tal que m q.t.p. pertence a bacia de uma dessas medidas. Ademais a densidade de cada uma dessas medidas com respeito a Lebesgue é uniformemente limitada por alguma constante. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 28

38 Teoremas A e B Prova. Sejam x e y pertencentes ao cilindro p n = [p 0,..., p n 1 ], com d β (x, y) ɛ, ou seja, x e y estão muito próximos. Lembramos que d = d β = β s(x,y), onde s(x, y) é o tempo de separação de x e y. Se x e y estão em elementos distintos de uma partição P de X então s(x, y) = 0. Se x e y estão num mesmo elemento da partição então s(x, y) é o maior inteiro n 0 tal que T k x e T k y estão no mesmo elemento da partição para k = 0,..., n. Ademais, por (i) (DT (x)) 1 1 λ > 1 x p P (ii) log det DT (x) det DT (y) C d(x, y); x, y p, p P temos, d(t j (x), T j (y)) λ (n+s(t n (x),t n (y)) j) d(t n+s(t n (x),t n (y)) (x), T n+s(t n (x),t n (y)) (y)) λ (n j) λ s(t n (x),t n (y)) r, onde r = diam p e pondo β = λ 1 e fazendo k = n j obtemos, d(t j (x), T j (y)) β n j β s(t n (x),t n (y)) em que C = C Agora, tomando logaritmos encontramos log det DT n (x) det DT n (y) = = n 1 k=0 n 1 log det DT (T k (x)) det DT (T k (y)) (log det DT (T k (x)) log det DT (T k (y)) ) k=0 C n β n k r β s(t n (x),t n (y)) k=0 = C d β (T n (x), T n (y)) n β n k r. Convém observar que como m é a medida de Lebesgue, temos que k=0 J m T n = det DT n. Agora, utilizando o fato de que para todo x > 0 tem-se log x x 1 ; obtemos, log det DT n (x) det DT n (y) = log J m T n (x) J m T n (y) J m T n (x) J m T n (y) 1 Cd β(t n (x), T n (y)) portanto, recaímos nas hipóteses do Teorema A e então, existe densidade invariante µ; absolutamente contínua a Lebesgue e limitada no espaço das funções Lipschitz contínuas. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 29

39 Teoremas A e B Para provar a existência de um número finito dessas medidas, suponhamos A X algum conjunto T -invariante com medida Lebesgue positiva, dado pelo Lema anterior, então pelo exposto temos que 1 n 1 P k χ A converge na norma L 1 (m) para alguma h A que é limitada no espaço das n k=0 funções Lipschitz contínuas. Escrevendo µ A = h A m; temos µ A densidade T -invariante absolutamente contínua. Observe que escrevendo A c = X\A temos µ A (A c ) = A c h A dm = lim n 1 n n 1 k=0 A c P k χ A dm = lim n 1 n n 1 k=0 X χ A c T k χ A dm = 0. Dessa forma, µ A dá peso total ao conjunto A, ou seja µ A = 1. Então X pode ser decomposto numa quantidade finita de conjuntos T -invariantes como acima e logo teremos necessariamente uma quantidade finita de medidas invariantes absolutamente contínuas e ergódicas. Sabemos que µ(supp µ) = 1 µ probabilidade, em particular µ j (supp µ j ) = 1, como µ j m temos então m(supp µ j ) > 0. Sabemos também que supp µ j é um conjunto positivamente invariante. Pelo que acabamos de comentar e pelo Lema(3.2), temos que existe uma bola contida no supp µ j, ou seja int(supp µ j ) j. Seja K = {x, w(x) (int(supp µ 1 )... (int(supp µ j ))} =, observamos que K é positivamente invariante. Logo se m(k) > 0, temos pelo Teorema anterior que existe uma medida ν, absolutamente contínua a lebesgue tal que ν(k) = 1. Observemos que K int(supp µ j ) =, dessa forma µ j 1 µ j (int(supp µ j )) < 1 e assim teríamos µ j ν j. Absurdo pois µ 1,..., µ n, com 1 j n, são todas as medidas absolutamente contínuas à lebesgue. Dessa forma, temos necessariamente m(k) = 0 Logo para m q.t.p. x M teremos alguma µ j tal que w(x) int(supp µ j ) ; mas isto implica que existe n 0 tal que T n 0 (x) pertence ao int(supp µ j ) e logo T n 0 (x) pertence ao supp µ j, como supp µ j é um conjunto positivamente invariante T n (x) pertence ao supp µ j para todo n n 0, então concluímos que w(x) supp µ j. Ou seja, lebesgue quase todo ponto pertence a bacia de uma dessas medidas. 3.2 Corolário. Se #T (P) = 1, então existe uma única medida µ absolutamente contínua com respeito à medida de lebesgue. Prova. Como #T (P) = 1, então existe um conjunto positivamente invariante A X tal Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 30

40 Teoremas A e B que T (A) = X, assim pelo Teorema A temos que 1 n 1 P k χ A converge na norma L 1 (m) para a n k=0 densidade h A que é limitada no espaço das funções Lipschitz contínuas. Escrevendo µ A = h A m; temos µ A medida T -invariante absolutamente contínua e ergódica, com µ A (T (A)) = µ(x) = 1. Suponhamos B X conjunto positivamente invariante. Então, µ 1 (B) = µ A(A B) µ A (A) e µ 2 (B) = µ A(A c B) µ A (A c ) são duas medidas absolutamente contínuas, com densidades h 1 = dµ 1 /m e h 2 = dµ 2 /m que são funções lipschitz contínuas. Dessa forma, A e A c tem interior não vazio, contradição. Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 31

41 Apêndice Shift Os shifts são um importante objeto no estudo em Sistemas Dinâmicos. Parte de sua importância provêm do fato de que certos difeomorfismos contém na sua dinâmica transformações que se assemelham ao de uma transformação shift. Isto é, sob certas condições um difeomorfismo f de uma variedade compacta M possui um conjunto X M, tal que f N (X) = X, para algum N e f N X é conjugado a um shift, ou seja, é dinâmicamente equivalente a algum shift. Seja S um conjunto enumerável e seja B a σ-álgebra pelos conjuntos cilindros da forma [s 1,..., s n ] := {x S N ; x k = s k, 1 k n, n 1}; onde s 1,..., s n S. Chamamos de shift a aplicação σ : S N S N, dada por (σx) n = x n+1 ; onde S N é um espaço métrico compacto quando equipado com a topologia produto ( topologia gerada pelos conjuntos cilindros), B(S N ) é a coleção de Borel conjuntos e σ : S N S N é contínua. Shift de Markov Seja S um conjunto enumerável como anteriormente. Uma matriz estocástica n n é uma matriz P : S S [0, 1], cujos coeficientes p s,t satisfazem p s,t = 1, s S. t S Para q {conjunto das probabilidades em S} tal que q(s) > 0; definimos a medida

42 Apêndice m q {conjunto das probabilidades em S N } por: n 1 m q ([s 1,..., s n ]) = q s1 k=1 p sk ;s k+1. Seja σ : S N S N um shift; então σ é uma transformação mensurável do espaço de medida (S N, B(S N ), m q ). E é denominado Shift de Markov de P com distribuição inicial q. O shift de Markov de P é chamado não singular se m q σ 1 m q para todo q {conjunto das probabilidades em S} tal que q(s) > 0 s. Um subconjunto Σ S N é um subshift se é compacto e invariante por σ, isto é, σ(σ) = Σ. Dizemos que um subshift Σ é transitivo ou topologicamente transitivo se σ Σ é respectivamente, transitivo ou topologicamente transitivo. O subshift Σ S N é do tipo finito se existe uma matriz P n n, cujos coeficientes p s,t são 0 ou 1 e tal que x Σ, se e somente se, p x(k),x(k+1) = 1 para todo k Z. Neste caso, denotamos Σ = Σ P. Reciprocamente dada uma matriz P n n com coeficientes p s,t que tomam só valores 0 ou 1, podemos definir o conjunto Σ := {x = (x 1, x 2,...) S N ; p x(k),x(k+1) = 1 k Z. Não é difícil ver que Σ é um conjunto compacto e σ(σ) = Σ [8]. Se p s,t = 1 para todo s e t, obtemos Σ = S N. Conjugação Mostraremos (T, X) e (σ, Σ) são conjugados. Para isso seja φ : X S N definida por T n 1 x p (φ(x))n P e sua inversa φ 1 : S N X, dada por φ 1 (s 1,..., s n 1 ) = n 1 k=1 T k p sk. A função φ 1 está bem definida pois n 1 k=1 T k p (φ(x))k é uma interseção não vazia de compactos encaixados e lim {diam[ N define um único ponto x em X. N n= N T n p (φ(x))n ]} = 0; consequentemente n 1 k=1 T k p (φ(x))k Rolando Restany Gomes de Araújo rrestany@ufba.br Página 33