Pesquisa Operacional Aplicada à Mineração

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1 Pesquisa Operacional Aplicada à Mineração Módulo de Otimização Parte III Prof. Marcone J. F. Souza Prof. Túlio A. M. Toffolo Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 1

2 Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto Prof. Túlio Ângelo Machado Toffolo Departamento de Computação Universidade Federal de Ouro Preto 2

3 Roteiro Problema da Alocação Dinâmica de Caminhões Aplicações de técnicas de otimização na Vale Problema da Seleção de Projetos Problema do Caixeiro Viajante Heurísticas computacionais para otimização Conceitos básicos Heurísticas construtivas Heurísticas clássicas de refinamento Metaheurísticas 3

4 PROBLEMA DA ALOCAÇÃO DINÂMICA DE CAMINHÕES 4

5 Alocação Dinâmica de Caminhões carregadeiras Caminhão 1 Frente 1 Carregadeira 1 Caminhão 2 Frente 2 Mistura Desejada Carregadeira 2 Caminhão 3 Frente 3 frentes = minerio esteril Caminhão 4 ca minhoes 5

6 Alocação Dinâmica de Caminhões Dados de entrada (1): t ij : Teor do parâmetro j na frente i (%); tl j : Teor mínimo admissível para o parâmetro j (%); tu j : Teor máximo admissível para o parâmetro j (%); tr j : Teor recomendado para o parâmetro j (%); wnm j : Peso por desvio negativo para o parâmetro j; wpm j : Peso por desvio positivo para o parâmetro j; wpp: Peso por desvio positivo de produção; wnp: Peso por desvio negativo de produção; 6

7 Alocação Dinâmica de Caminhões Dados de entrada (2): Qu i : Massa disponível na frente i (t); tempciclo i : Tempo de ciclo de caminhões para a frente i; estmin i : Se a frente i é de minério (1) ou estéril (0); Cu k : Produção máxima da carregadeira k (t/h); Cl k : Produção mínima da carregadeira k (t/h); capcam l : Capacidade do caminhão l (t); comp lk : Se o caminhão l é compatível (1) ou não (0) com a carregadeira k; rem: Relação estéril/minério. 7

8 Alocação Dinâmica de Caminhões Variáveis de decisão: x i : Ritmo de lavra para a frente i (t/h); y ik : 1 se a carregadeira k opera na frente i e 0 c.c.; usou l = 1 se o caminhão l for usado e 0 caso contrário; n li : Viagens que o caminhão l realiza à frente i; dnm j e dpm j : Desvios negativo e positivo da meta do parâmetro j (t/h); dnu l edpu l : Desvios negativo e positivo de utilização do caminhão l; dnp e dpp: Desvios negativo e positivo de produção; 8

9 Alocação Dinâmica de Caminhões Função objetivo min ( wnm j dnm j + wpm j dpm ) j + j Parametros wnp dnp+ wnp dpp+ l Caminhoes CapCam l usou l 9

10 Alocação Dinâmica de Caminhões Admite-se que haja falta (dnm j ) ou excesso (dpm j ) do parâmetro j na mistura em relação à meta de qualidade ( t ij tr ) j x i + dnm j dpm j i Frentes estmin i =1 = 0 j Parametros Os desvios dnm j e dpm j devem ser penalizados na função objetivo. 10

11 Alocação Dinâmica de Caminhões Atendimento aos limites de especificação (obrigatório): ( t ij tu ) j x i i Frentes estmin i =1 0 j Parametros ( t ij tl ) j x i i Frentes estmin i =1 0 j Parametros 11

12 Alocação Dinâmica de Caminhões A produção deve respeitar o máximo admitido: x i pu j Parametros i Frentes estmin i =1 A produção deve respeitar o mínimo admitido: x i pl j Parametros i Frentes estmin i =1 12

13 Alocação Dinâmica de Caminhões A meta de produção deve ser buscada sempre que possível. x i + dnp dpp = pr j Parametros i Frentes estmin i =1 A relação estéril/minério deve ser atendida: x i rem i Frentes estmin i =0 x i 0 j Parametros i Frentes estmin i =1 13

14 Alocação Dinâmica de Caminhões No máximo uma carregadeira operando em cada frente k Carregadeiras y ik 1 i Frentes y = y F1 i1 = 1 y = 1 i Cg1 y 22 =1 Cg2 F2 14

15 Alocação Dinâmica de Caminhões Cada carregadeira deve operar em no máximo uma frente. y ik 1 k Carregadeiras i Frentes y 11 = 1 Cg1 y 21 = 0 1 = 1 y k F1 y 12 = 0 Cg2 y 22 = 1 y 2 k = 1 F2 y 13 = 0 Cg3 y 23 = 0 15

16 Alocação Dinâmica de Caminhões O ritmo de lavra da frente i deve ser maior do que a produtividade mínima da carregadeira k alocada à frente x i k Carregadeiras Cl k y ik i Frentes O ritmo de lavra da frente i deve ser menor do que a produtividade máxima da carregadeira k alocada à frente x i k Carregadeiras Cu k y ik i Frentes 16

17 Alocação Dinâmica de Caminhões Cada caminhão l deve realizar viagens apenas à uma frente i que esteja alocada uma carregadeira compatível n il tempciclo i k Carregadeiras comp lk =1 60y ik i Frentes, l Caminhoes n il Ζ + i Frentes, l Caminhoes 17

18 Alocação Dinâmica de Caminhões Cada caminhão l deve operar no máximo 60 minutos multiplicado pela taxa máxima de utilização (tipicamente 80%) i Frentes n il tempciclo i 60txMax l Caminhoes n = 3 e T = 10 min F1 n = 2 e T = 10 min n T i1 i1 = 50 min Ca1 n = 1 e T = 15 min F2 n = 3 e T = 5 min n T Ca2 i2 i2 = 55 min n = 1 e T = 5 min F3 n = 1 e T = 20 min

19 Alocação Dinâmica de Caminhões O ritmo de lavra da frente i deve ser igual à produção realizada pelos caminhões alocados à frente x i = l Caminhoes n il capcam l i Frentes n11 = 3 e cap1 = 50 t x1 = n1 lcapl = 330 t/h n21 = 2 e cap2 = 50 t F1 Ca1 Ca2 n = 2 e cap = 50 t 11 1 x2 = n2 lcapl = 260 t/h F2 n = 1 e t = 80 t Ca3 n = 2 e cap = 80 t

20 Alocação Dinâmica de Caminhões Um caminhão é usado se ele faz alguma viagem a alguma frente usou l i Frentes tempciclo i n il 60 l Caminhoes usou l { 0,1} l Caminhoes 20

21 APLICAÇÃO DE TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO NA VALE 21

22 Aplicações Principais sistemas de Otimização desenvolvidos por nós que são utilizados pela VALE. COMPÕE Otimização do Planejamento do Fluxo de Produtos OPTITRENS Otimização do Planejamento de Carregamento de Trens OPTIPILHAS Otimização do Planejamento Diário de Lavra 22

23 COMPÕE OTIMIZAÇÃO DO PLANEJAMENTO DO FLUXO DE PRODUTO 23

24 Processo Produtivo de uma Mineradora 24

25 Objetivos Atendimento às demandas Atendimento aos requisitos de qualidade Minimização dos custos com transporte 25

26 Motivações Problema real com aplicação prática imediata O problema abordado integra problemas clássicos da literatura Mistura de minérios Programação e sequenciamento da produção Desenvolvimento de uma ferramenta computacional para apoio à tomada de decisão 26

27 Descrição do Problema 27

28 Produtos Primários Estoque Fator de Manuseio Mina-trem Fe SiO 2 Al 2 O 3 P Mn H 2 0 OS Para cada trimestre: Produção Teores da Produção Trimestral Fe SiO 2 Al 2 O 3 P Mn H 2 0 OS Terminais e Modais de Transporte (local de produção) Possibilidades de escoamento do minério 28

29 Produtos Finais Especificação (Metas) Demanda Fe SiO 2 Al 2 O 3 P Mn H 2 0 OS 1º 2º 3º 4º Pesos na Função Objetivo Demanda Fe SiO 2 Al 2 O 3 P Mn H 2 0 OS Desvios e Fator de Manuseio Fe SiO 2 Al 2 O 3 P Mn H 2 0 OS Tipo de Transporte (ponto de entrega): Ferroviário, rodoviário ou via dutos? 29

30 Especificação Meta Caso em que a meta e os limites são especificados: Desvio do Limite Superior DESVIO DA META Desvio do Limite Inferior 30

31 Exemplo de Composição 31

32 Funcionalidades / Restrições Definir blendagens - Quais produtos iniciais podem compor determinado produto final? Impor blendagens - Permite ao usuário impor uma blendagem. Atingir meta Permite ao usuário determinar o valor exato de uma propriedade na mistura de um determinado produto final. Utilizar produto Permite ao usuário a forçar a utilização de uma determinada quantidade de um produto primário. etc... 32

33 Formulação Matemática 33

34 Formulação Matemática 34

35 Formulação Matemática 35

36 Formulação Matemática... Formulação completa disponível em: 36

37 Resolução do Modelo Multiobjetivo 37

38 Resolução do Modelo Multiobjetivo 38

39 Resolução do Modelo Multiobjetivo 39

40 Testes 40

41 Conclusões Diminuição drástica do tempo de tomada de decisão Redução: cerca de 7 dias para alguns segundos; Possibilita a analise de diversos cenários para a tomada de decisão Solução gerada é ótima!!! 41

42 OPTITRENS OTIMIZAÇÃO DO PLANO DE CARREGAMENTO DE TRENS 42

43 Mina 1 Mina t/h t/h Terminal Ferroviário t/h

44 Exemplo de Otimização Silo 1 Silo 2 01:00 04:30 1 trem = Mina 2 2 trem = Pátio 08:00 PIC VGR Empilhamento Carga 17,5 17,5 = 35 Silo 1 1 trem = Mina 2 Silo 2 2 trem = Pátio PIC Empilhamento 8,7 VGR Carga Empilhamento 33,7 = 42,4 + 21% 44

45 Exemplo de Otimização 01:00 04:30 08:00 Silo 1 1 trem = Mina 2 Silo 2 2 trem = Pátio PIC VGR Empilhamento Carga Empilhamento 8,7 33,7 = 42,4 + 21% Silo 1 1 trem = Mina 2 2 trem = Mina 2 Silo 2 Fila=2h PIC VGR Empilhamento Carga Carga 17,5 33,7 = 51,2 + 46% 45

46 Objetivos Otimizar a logística do terminal Capturar dados do PIMS Detectar gargalos na cadeia produtiva Armazenar dados históricos de utilização 46

47 Algoritmos Utilizados na Otimização Iterated Local Search Principais estrutura de vizinhança: Troca de horário de trem Troca de origem (mina/pátio) Troca de destino (silo) 47

48 Utilização do Sistema 48

49 Principais Benefícios Melhoria da produtividade do terminal Homegeneização das produções dos diferentes turnos Fácil identificação de gargalos na cadeia produtiva Simplificação da atividade de planejamento e controle de qualidade Simplificação da atividade de apontamento 49

50 PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE 50

51 Problema do Caixeiro Viajante Dado um conjunto de cidades e uma matriz de distâncias entre elas PCV consiste em encontrar uma rota para um Caixeiro Viajante tal que este: parta de uma cidade origem passe por todas as demais cidades uma única vez retorne à cidade origem ao final do percurso percorra a menor distância possível Rota conhecida como Ciclo Hamiltoniano 51

52 Problema do Caixeiro Viajante 52

53 Problema do Caixeiro Viajante 53

54 Problema do Caixeiro Viajante Dados de entrada: Cidades: Conjunto de cidades d ij = distância entre as cidades i e j Variáveis de decisão: x ij = 1 se a aresta (i,j) será usada; 0, caso contrário f ij = quantidade de fluxo de i para j Função objetivo: 54

55 Problema do Caixeiro Viajante De cada cidade i só sai uma aresta: x ij j Cidades = 1 i Cidades i A cada cidade j só chega uma aresta: x ij i Cidades = 1 j Cidades j 55

56 Problema do Caixeiro Viajante O fluxo que chega a uma cidade i menos o que sai é igual a uma unidade: i Cidades f ik f kj j Cidades = 1 k Cidades k 1 f f - 1 k 56

57 Problema do Caixeiro Viajante O fluxo máximo em cada aresta é igual a n-1, onde n é o número de cidades: f ij ( n 1) x i Cidades, ij j Cidades f ij 0 i Cidades, j Cidades x ij {0,1} i Cidades, j Cidades 57

58 Problema do Caixeiro Viajante Considerando PCV simétrico (d ij = d ji ), para n cidades há (n-1)!/2 rotas possíveis Para n = 20 cidades, há rotas possíveis. Um computador que avalia uma rota em 10-8 segundos gastaria cerca de 19 anos para encontrar a melhor solução por enumeração completa Métodos de enumeração implícita, tais como branch-andbound, embutidos em solvers, podem reduzir significativamente este tempo Não há garantia de que isso sempre ocorra 58

59 Problema do Caixeiro Viajante Para dimensões mais elevadas, a resolução por modelos de programação matemática é proibitiva em termos de tempos computacionais PCV é da classe NP-difícil: ainda não existem algoritmos exatos que o resolvam em tempo polinomial À medida que n cresce, o tempo de execução cresce exponencialmente 59

60 Problema do Caixeiro Viajante PCV é resolvido por meio de heurísticas: Procedimentos que seguem uma intuição para resolver o problema (forma humana de resolver o problema, fenômenos naturais, processos biológicos, etc.) Não garantem a otimalidade da solução final Em geral, produzem soluções finais de boa qualidade rapidamente 60

61 HEURÍSTICAS PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE 61

62 Heurísticas Construtivas Consistem em construir uma solução passo a passo, elemento por elemento De refinamento Consistem em efetuar modificações na solução construída, de forma a tentar melhorá-la 62

63 Heurística de construção gulosa Funcionamento: Constrói uma solução, elemento por elemento A cada passo é adicionado um único elemento candidato O candidato escolhido é o melhor segundo um certo critério O método se encerra quando todos os elementos candidatos foram analisados 63

64 Heurísticas construtivas Vizinho mais próximo Idéia central: Construir uma rota passo a passo, adicionando à solução corrente a cidade mais próxima (ainda não visitada) da última cidade inserida Inserção mais barata Idéia central: Construir uma rota passo a passo, partindo de rota inicial envolvendo 3 cidades e adicionar a cada passo, a cidade k (ainda não visitada) entre a ligação (i, j ) de cidades já visitadas, cujo custo de inserção seja o mais barato 64

65 PCV Vizinho mais Próximo :: Exemplo -Passo 1 Cid i j d ij

66 PCV Vizinho mais Próximo :: Exemplo -Passo 2 Cid i j d ij =

67 PCV Vizinho mais Próximo :: Exemplo -Passo 3 Cid i j d ij =

68 PCV Vizinho mais Próximo :: Exemplo -Passo 4 Cid i j d ij =

69 PCV Vizinho mais Próximo :: Exemplo -Passo 5 Cid i j d ij =

70 PCV Vizinho mais Próximo :: Exemplo -Passo final Cid = 16 5 S = (6,1,3,4,5,2) 70

71 Heurística da Inserção Mais Barata Inserção mais barata Idéia central: Construir uma rota passo a passo, partindo de rota inicial envolvendo 3 cidades (obtidas por um método qualquer) e adicionar a cada passo, a cidade k (ainda não visitada) entre a ligação (i, j ) de cidades já visitadas, cujo custo de inserção seja o mais barato 71

72 Heurística da Inserção Mais Barata Custo da inserção = d ik + d kj - d ij i d ik k d ri d ij d kj t r d jr j u 72

73 PCV Inserção mais Barata :: Exemplo -Passo 2 Cid i k j d ik + d kj d ij = = = = = = = = = =

74 PCV Inserção mais Barata :: Exemplo -Passo 3 Cid i k j d ik + d kj d ij = = = = = = = = =

75 PCV Inserção mais Barata :: Exemplo Passo final Cid i k j d ik + d kj d ij = = = = = = 17 75

76 PCV Inserção mais Barata :: Exemplo Passo final Cid Distância Totals = 17 S = ( ) 76

77 PROBLEMA DA SELEÇÃO DE PROJETOS 77

78 Seleção de Projetos Concorrentes Produção Mina 1 Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3... Projeto n VPL Mina 2 Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3... Projeto n Mina 3... Mina m Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3... Projeto n Em cada mina apenas uma opção de projeto pode ser escolhida; O objetivo é maximizar o VPL respeitando a meta de produção. Projeto 1 Projeto 2 Projeto 3... Projeto n Meta de Produção 78

79 Seleção de Projetos Concorrentes 79

80 Seleção de Projetos Concorrentes Exemplo de VPL ($x10 6 ): Exemplo de Produção (Mt):

81 Seleção de Projetos Concorrentes Dados de entrada: Minas: conjunto de minas; Projetos: conjunto de opções de projeto em cada mina; VPL ij : Valor Presente Líquido do projeto j para a mina i; prod ij : produção do projeto j na mina i; M: meta de produção; Pfalta: penalidade por produção inferior à meta estabelecida; Pexc: penalidade por produção superior à meta estabelecida. 81

82 Seleção de Projetos Concorrentes Variável de Decisão: 1 caso a mina i opere com o projeto j x ij = 0 caso contrário 82

83 Seleção de Projetos Concorrentes max i Minas j Projetos VPLij xij Pfalta dnp Pexc dpp ij j Projetos x = 1 i Minas i Minas j Projetos prod ij xij dpp + dnp = M x ij {0,1} i Minas, j Projetos 83

84 HEURÍSTICA PROBLEMA DA SELEÇÃO DE PROJETOS 84

85 Seleção de Projetos Concorrentes Representação de uma solução: *Obs.: Com esta representação, a restrição de que em cada mina um projeto tem que ser implementado é automaticamente satisfeita 85

86 Heurísticas de refinamento Princípio de funcionamento: Partir de uma solução inicial qualquer Caminhar, a cada iteração, de vizinho para vizinho de acordo com a definição de vizinhança adotada, tentando melhorar a solução construída 86

87 Seleção de Projetos Concorrentes Exemplo de vizinhança: Solução s: Exemplo de vizinho s : gerado a partir de s, substituindose o projeto implementado em uma mina por outro

88 Método da descida/subida (Descent/Uphill Method) Parte de uma solução inicial qualquer A cada passo analisa todos os possíveis vizinhos Move somente para o vizinho que representa uma melhora no valor atual da função de avaliação. Em problemas de minimização, um vizinho s é melhor que s quando f(s ) < f(s)). Neste caso, s passa a ser a nova solução corrente O método é interrompido quando um ótimo local (com respeito à definição de vizinhança) é encontrado 88

89 METAHEURÍSTICAS 89

90 Metaheurísticas Métodos heurísticos, de caráter geral, dotados de mecanismos para escapar das armadilhas dos ótimos locais Princípio básico: aceitar soluções de piora Podem ser baseados em Busca Local ou Busca Populacional. Os métodos baseados em Busca Local são fundamentados na noção de vizinhança: Dada uma solução s, diz-se que s é um vizinho de s, se s é obtido de s a partir de um movimento m, isto é: s s m A estrutura de vizinhança varia de acordo com o problema tratado Os métodos baseados em Busca Populacional partem de um conjunto de soluções, aplicando sobre estes operadores que visam à melhoria desse conjunto. 90

91 Metaheurísticas Exemplos de metaheurísticas: de busca local: Busca Tabu Simulated Annealing Iterated Local Search (ILS) Variable Neighborhood Search (VNS) de busca populacional: Algoritmos Genéticos Colônia de Formigas 91

92 Algoritmo Genético Os Ags fazem uma analogia com processos naturais de evolução: Dada uma população, os indivíduos com características genéticas melhores têm maiores chances de sobrevivência e de produzirem filhos cada vez mais aptos, enquanto indivíduos menos aptos tendem a desaparecer As características dos indivíduos, registradas em seus genes, são transmitidas para seus descendentes e tendem a propagar-se por novas gerações 92

93 Algoritmo Genético Características dos descendentes são parcialmente herdadas de seus pais (Crossover) e parcialmente de novos genes criados durante o processo de reprodução (Mutação) O objetivo de um AG é tentar melhorar as qualidades genéticas de uma população através de um processo de renovação iterativa das populações 93

94 Operadores genéticos CROSSOVER MUTAÇÃO 94

95 Relação entre AG e Problema de Otimização AG Indivíduo População Cromossomo Gene Alelos Crossover / Mutação Problema de Otimização Solução de um problema Conjunto de soluções Representação de uma solução Parte da representação de uma solução Valores que uma variável pode assumir Operadores de busca 95

96 Avaliação de cromossomos Feita pela função de aptidão (fitness) Em um problema de maximização pode ser a própria função objetivo Em um problema de minimização pode ser o inverso da função objetivo 96

97 Fase de seleção Binary tournament selection: Selecionar dois indivíduos aleatoriamente O primeiro pai é o indivíduo com maior aptidão Selecionar, aleatoriamente, outros dois pais O segundo pai é o indivíduo com maior aptidão nessa nova seleção Aleatório Roleta russa 97

98 Fase de reprodução Operador mutação clássico Dois ou mais cromossomos passam por um processo de mutação e/ou recombinação para gerar novos cromossomos filhos (offsprings)

99 Fase de reprodução Operador crossover clássico (one point crossover): Descendentes são formados a partir da reunião de segmentos de cada pai:

100 Sobrevivência / morte de cromossomos Como selecionamos os cromossomos que devem sobreviver? Sobrevivem os que possuem os melhores níveis de aptidão? É importante permitir também a sobrevida de cromossomos menos aptos, do contrário o método ficaria preso em ótimos locais Elitismo 100

101 Algoritmo Genético Gere uma população inicial Avalie a população Critérios de parada satisfeitos? Não Selecione os pais Crossover Mutação reprodução Sim Avalie a população Liste os melhores indivíduos Defina os sobreviventes 101

102 Seleção de cromossomos sobreviventes Níveis de aptidão Cromossomos

103 Roleta Russa (Seleção de sobreviventes)

104 Iterated Local Search (ILS) Método de busca local Explora o espaço de soluções por meio de perturbações nas soluções ótimas locais, seguidas de procedimentos de busca local Se ao aplicar a busca local não for encontrada uma solução melhor, a perturbação é aumentada Sempre que é encontrada uma solução melhorada, a perturbação volta ao nível mais mínimo Termina quando um critério de parada for atingido, p. ex., tempo de processamento 104

105 Iterated Local Search (ILS) 105