PREVISÃO E CONTROLE DE ENERGIA

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1 PREVISÃO E CONTROLE DE ENERGIA Eliane da Silva Christo (UFF) eliane.ch@gmail.com MIRLEY BITENCOURT FERREIRA (UFF) mirleybit@hotmail.com Um dos componentes mais importantes de infra-estrutura no processo de reestruturação do setor de energia elétrica reside na oferta regular e confiável de energia elétrica, um equilíbrio entre oferta e demanda. Em termos econômicos, a previssão e o controle estatístico da demanda de energia se tornaram a base da composição de preço no mercado e os erros de previsão e falhas passaram a resultar em perdas financeiras. O problema maior no estudo de modelos de previsão é otimizar os dados previstos, ou seja, minimizar as diferenças entre os valores reais e os previstos, os erros de previsão. Estes erros são causados pela má elaboração dos modelos ou pela grande variabilidade do processo. O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um modelo de previsão de energia minimizando os erros de previsão através do controle estatístico do processo, ou seja, usando gráficos de controle dos resíduos para eliminar dados eventualmente fora de controle, visando reduzir a variabilidade do processo. Palavras-chaves: Previsão de Séries Temporais, Energia, Controle Estatístico do Processo

2 . Introdução Nos últimos anos, a indústria de energia elétrica de diversos países vem sofrendo diversas transformações, principalmente no que diz respeito à estrutura do mercado e regulamentação. O principal objetivo deste processo de reestruturação é promover a eficiência econômica através da competição. Um dos componentes mais importantes de infra-estrutura no processo de reestruturação reside na oferta regular e confiável de energia elétrica, um equilíbrio entre oferta e demanda. Compete, portanto, a cada operação estabelecer critérios operativos que possam assegurar a integridade do sistema, garantindo deste modo o fornecimento de energia a todos os consumidores, dentro de padrões de qualidade aceitáveis com relação às oscilações de tensão e freqüência e tempo de interrupção do serviço. Em termos de modelo matemático, esta margem de segurança é obtida impondo-se restrições de segurança. Cada uma destas restrições tem a função de prevenção contra a ocorrência de algum evento crítico. Em termos econômicos, a previsão e o controle estatístico da demanda de energia se tornaram a base da composição de preço no mercado e os erros de previsão e falhas passaram a resultar em perdas financeiras. Diante dessa situação, eliminar desperdícios, adotar tecnologias avançadas, desenvolver novos produtos, envolver os colaboradores e buscar a melhoria contínua dos processos de produção tornaram-se a base de sustentação dos negócios. O Controle Estatístico do Processo concentra-se na diminuição ou eliminação da incidência de erros, defeitos e falhas em um processo. O problema maior no estudo de modelos de previsão é otimizar os dados previstos, ou seja, minimizar as diferenças entre os valores reais e os previstos, os erros de previsão. Estes erros são causados pela má elaboração dos modelos ou pela grande variabilidade do processo. Neste contexto, tornam-se necessários estudos aprofundados para elaboração do modelo ótimo de previsão. 2. Metodologia 2.. Avaliação da Autocorrelação da Série Para iniciar a análise da série é preciso detectar se há autocorrelação entre os dados. A saber, autocorrelação caracteriza uma série temporal não-estacionária, isto é, não possui média ou variância constantes ao longo do tempo e a covariância entre dois períodos de tempo não depende apenas da distância entre os dois períodos. Pode-se detectar a presença de autocorrelação através dos seguintes meios: (i) o gráfico de correlograma, com base no cálculo da função de autocorrelação (FAC ou ACF autocorrelation function) e da função de autocorrelação parcial (FACP ou PACF partial autocorrelation function), (ii) as estatísticas Q de Box-Pierce, (iii) e de Ljung-Box, (iv) o teste da raiz unitária, (v) o teste da correlação cruzada, ou (vi) o teste do periodograma acumulado. Os gráficos de correlograma da FAC e da FAPC são métodos visuais fáceis e eficientes de detectar a presença de autocorrelação. Eles mostram a autocorrelação da série em várias defasagens (lag), indicando em quais pontos esse autocorrelação é significativa, com base nos teste Q de Box-Pierce e no teste de Ljung-Box (LB). A autocorrelação está presente em séries temporais, e existem dois tipos destas séries, estacionárias e não-estacionárias (BOX; JENKINS; REINSEL. 994). A série temporal estacionária refere-se a uma série em que sua média fica em torno de um determinado valor fixo: Xt= μ+et, 2

3 Xt : uma característica da qualidade t : tempo no instante,2,3... μ: média do processo XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO et: variação aleatória em torno da média considerada como sendo N(0,σ t 2 ) com σ t 2 constante. Já a série temporal não-estacionária tem sua média oscilando, assim sendo, não é possível determinar um valor para esta. Tal série não é previsível, é impossível determinar seu comportamento num tempo adiante, logo, não é coerente tentar determinar sua capacidade de processo. O processo será autocorrelacionado caso os valores da variação aleatória forem interdependentes, sendo independentes o processo será não autocorrelacionado. A correlação de uma série temporal pode ser medida através do cálculo de função de autocorrelação : ρ k = cov(xt, Xt-k) / V(X), para k = 0,,2,... cov(xt, Xt-k) covariância das observações em k períodos de tempo (ou lags) V(X) variância das observações, assumida como constante. Tal expressão equivale a: ρ k = (Xt ) (Xt-k ) / (Xt )2, para k = 0,,2,... É aconselhável efetuar a expressão utilizando valores baixos para k, em geral, k n/4, sendo n o número total de observações Modelos Box&Jenkins A filosofia da modelagem Box & Jenkins baseai-se em duas idéias: o princípio da parcimônia (escolher um modelo com o menor número de parâmetros possíveis para uma representação matemática adequada) e a construção de modelos através de um ciclo iterativo (estratégia de seleção de modelos até a obtenção de um modelo satisfatório). A modelagem Box & Jenkins segue a equação w t k k 0 a t k at - ruído branco onde: B operador retardo que representa um atraso de um período de tempo (BkZt=Zt-k) k - filtro linear definido como q p (B) (B) Desta forma os modelos Box & Jenkins são dados por ( B)w p t q (B) a t 3

4 onde XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO (.) e (.) são polinômios de graus p e q, respectivamente Como na vida prática nem todos os processos são estacionários, deve-se procurar algum tipo de operador que produza a partir de wt um processo não estacionário. Nesta modelagem consideram-se somente os processos chamados não estacionários homogêneos, isto é, aquela classe de processos não estacionários para os quais diferenças sucessivas produzem um processo estacionário. Utilizando-se o operador soma (SnZt= -n Zt) e aplicando-o na série disponível obtém-se o modelo ARIMA(p,d,q) (B) dzt = (B)at Nesse modelo supõe-se que a d-ésima diferença de Zt possa ser representada por um modelo ARMA(p,q). O passo seguinte na metodologia é a identificação do modelo, ou seja, a sua ordem. Para isso são utilizados os conceitos de função de autocorrelação e autocorrelação parcial (Souza, 996). Após a identificação da ordem do modelo, é necessário obter as estimativas dos parâmetros desse modelo. A técnica utilizada para as estimativas é a da máxima verossimilhança. Para comprovar a validade do modelo selecionado, são realizados alguns testes estatísticos. Finalmente, após a obtenção da estimativa do modelo, procede-se à previsão de valores futuros da série e de seus limites de confiança. Destaca-se que uma análise mais profunda desse método pode ser encontrada nas referências (BOX & JENKINS, 970) e (SOUZA & CAMARGO, 996) Gráficos de Controle para Dados Correlacionados Se os dados que representam o processo forem autocorrelacionados pode ser que muitas causas especiais, detectadas durante a avaliação da estabilidade, sejam apenas falsos alarmes. Quando isto ocorre, as cartas de controle convencionais de Shewhart não devem ser aplicadas diretamente tanto para a análise da estabilidade quanto para o controle de processos (MONTGOMERY, 2004). Uma alternativa para o controle estatístico de processos autocorrelacionados, consiste em espaçar as medidas por um intervalo de tempo suficientemente longo e os tradicionais gráficos de controle de X-bar, R e S são substituídos pelos gráficos de observações individuais I e amplitude móvel MA. Utiliza-se o gráfico da amplitude móvel com o objetivo de monitorar a variabilidade do processo e o gráfico de controle para observação individual com o objetivo de monitorar o nível do processo. O gráfico da média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) é também indicado para detecção de pequenas mudanças na média do processo, além de ser recomendado para a análise de variáveis autocorrelacionadas (MONTGOMERY, 2004). A análise é feita baseada na estatística Zt= Xt+( λ)zt, onde o parâmetro que controla os pesos é dado por 0<λ e o atributo de interesse é Xi. O gráfico de controle EWMA consiste na representação gráfica de Zi versus o número da amostra t (ou do tempo t). A linha central e os limites de controle para os gráficos de controle EWMA são construidos sob a suposição de normalidade. Valores baixos de λ fazem com que o gráfico detecte mais rapidamente pequenas mudanças na média do processo. Dependendo do valor escolhido para λ é possível mostrar que o gráfico EWMA é mais poderoso que o de Shewhart para a detecção de pequenas mudanças na média do 4

5 processo, além de ser robusto em relação a não-normalidade da distribuição da característica de qualidade de X. Entre os gráficos de controle, destacam-se: (i) gráfico de resíduos, (ii) gráfico CUSUM (soma acumulada), (iii) EWMA, (iv) gráficos de controle max, LI λ e LS λ, (v) gráfico com intervalo variável (VSI), (vi) gráfico ARMA (Auto-regressivo e de média móvel), (vii) gráfico de Médias de Grupos, e (viii) o método da estimação conjunta. Wardell, Moskowitz, e Plante (994) estudaram o desempenho do gráfico de resíduos na presença de autocorrelação, que é o gráfico tradicional de Shewhart aplicado aos resíduos. O desempenho do CUSUM em processos autocorrelacionados foi estudado por Yashchin (993), Atienza, Tang, e Ang (2002), Lu e Reynolds (999), e Lu e Reynolds (200). O gráfico CUSUM é utilizado no lugar do gráfico de Shewhart quando se quer detectar mudança na média do processo menor que,5σ mais rapidamente. O gráfico EWMA possui a mesma finalidade do CUSUM. Seu desempenho em processos serialmente correlacionados foi estudado por Montgomery e Mastrangelo (99) e Lu e Reynolds (999). Uma das mais importantes propriedades estudadas pelos pesquisadores na escolha de um gráfico para controle dos resíduos é a distribuição RL (run length). O RL é a quantidade de amostras ou observações necessárias para o gráfico sinalizar um estado fora de controle. O conhecimento da distribuição RL permite estimar a ARL quantidade média de amostras ou observações para que o gráfico sinalize um estado fora de controle e o SRL ou SDRL o desvio padrão de RL. Normalmente deseja-se que a ARL seja grande quando não há causas especiais, e pequenas quando há (para que se possa identificá-la mais rapidamente). Uma alternativa para o controle estatístico de processos autocorrelacionados, consiste em espaçar as medidas por um intervalo de tempo suficientemente longo e os tradicionais gráficos de controle de X-bar, R e S são substituídos pelos gráficos de observações individuais I e amplitude móvel MA. Utiliza-se o gráfico da amplitude móvel com o objetivo de monitorar a variabilidade do processo e o gráfico de controle para observação individual com o objetivo de monitorar o nível do processo. O gráfico da média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) introduzido por Roberts (959) é também indicado para detecção de pequenas mudanças na média do processo, além de ser recomendado para a análise de variáveis autocorrelacionadas (Mastrangelo e Montgomery, 99; Hunter, 986). A análise é feita baseada na estatística Zt= Xt+( λ)zt, onde o parâmetro que controla os pesos é dado por 0<λ e o atributo de interesse é Xi. O gráfico de controle EWMA consiste na representação gráfica de Zi versus o número da amostra t (ou do tempo t). A linha central e os limites de controle para os gráficos de controle EWMA são construidos sob a suposição de normalidade. Valores baixos de λ fazem com que o gráfico detecte mais rapidamente pequenas mudanças na média do processo. Dependendo do valor escolhido para λ é possível mostrar que o gráfico EWMA é mais poderoso que o de Shewhart para a detecção de pequenas mudanças na média do processo, além de ser robusto em relação a não-normalidade da distribuição da característica de qualidade de X. A autocorrelação nada mais é do que um mecanismo existente no processo, que faz com que os dados não sejam independentes entre si ao longo do tempo. Em qualquer momento durante um processo, o valor de uma variável não é só um valor aleatório. Normalmente, é influenciado pelo seu próprio valor em algum momento no tempo. A autocorrelação tem sido reconhecida como um fenômeno natural nas indústrias onde parâmetros como temperatura e pressão variam lentamente para a taxa ao qual eles são medidos. Quando os gráficos de controle de Shewhart são construídos para dados 5

6 autocorrelacionados, os limites de controle tradicionais aumentam a probabilidade de ocorrer alarmes falsos. 3. Resultados A série utilizada são cargas mensais da demanda de fora da ponta dos anos 982 a 2000 de uma empresa de energia X. A análise de previsão foi feita para o último ano (Janeiro à Julho de 2000), o qual não entrou no modelo para identificação e estimação dos parâmetros. A figura da série original encontra-se a seguir. Nota-se, que a série é não estacionária, esse fato será confirmado com a figura 2 das autocorrelações. Figura- Série de Empresa de energia X Antes de aplicar as metodologias, deve-se verificar se a série é homocedástica, ou seja, variância constante. Esta verificação é feita através do histograma da série ou através do teste de homogeneidade de variância. Quando uma série é heterocedástica deve-se aplicar a função não linear de Box & Cox para normalizá-la. Pelo teste de homogeneidade de variância, tabela, verifica-se que a série é homocedastíca, ou seja, não há necessidade da transformação de Box & Cox. Levene Test for Homogeneity of Variances Statistic df df2 2-tail Sig Tabela Testes de variância Para identificação do modelo, inicialmente, analisa-se o correlograma da série, figura 2: H0 : Variância Homocedástica; H : Variância Heterocedástica 6

7 Figura 2 Função de autocorrelação Na figura 2 observa-se que as autocorrelações estimadas apresentam valores absolutos altos (até o lag 8), pois estes intervalos estão fora do intervalo de confiança, além de decaírem lentamente. Isto indica, que deve-se aplicar o operador diferença a série e fazer o cálculo novamente. O resultado se encontra na figura 3. Figura 3 Função de autocorrelação Aplicando a ª diferença na série e estimando sua função de autocorrelação observa-se que ela atingiu as características de um processo estacionário, sem necessidade de mais diferenciação. Com isto, o grau de diferenciação d é. Além do gráfico da autocorrelação, determinou-se o gráfico da autocorrelação parcial (figura 4). 7

8 Figura 4 Função de autocorrelação parcial Através dos gráficos 3 e 4, verifica-se que o lag nos 2 gráficos é significativo. Com isto, tem-se, a princípio, o modelo ARIMA (,,) A seguir, na tabela 2 serão apresentados os testes estatísticos aplicados ao modelo selecionado (identificado e com os parâmetros estimados), para a comprovação de sua validade. Model Arima Parâmetros Estimados Sig. dos Parâmetro s R2 ajustado Ljung-Box BIC MAPE (,,) =0.472 = (,,0) = (0,,) = (2,,) = = = Tabela 2- Modelos Ao estimar os parâmetros de 3 modelos candidatos ARIMA(,,), ARIMA(0,,) e ARIMA(,,0) verificou-se que todos os parâmetros foram significativos ao nível de 5%. Porém, o primeiro modelo apresentou estatísticas melhores que as demais. O R2 o critério BIC foram maiores e o MAPE menor. Apesar de apresentar número maior de parâmetros. Realizando o teste de sobrefixação do modelo ARIMA(,,), elaborando o modelo ARIMA(2,,). Ao analisar este modelo que sofrefixa o identificado, contatou-se que nem todos os parâmetros são significativos ao nível de 5%. Pelos resultados apresentados, ainda tendo o modelo sobrefixado com R2 e BIC maiores, o modelo escolhido como representativo do processo gerador da série em estudo é o ARIMA(,,) mesmo não sendo o mais parcimonioso. A figura 5 apresenta função de autocorrelação dos resíduos deste modelo. 8

9 Figura 5 Função de autocorrelação dos erros Após o término do processo iterativo de identificação, estimação e diagnóstico, pode-se utilizar do modelo gerador da série que melhor se ajusta aos dados reais para prever valores futuros. A previsão obtida através do modelo escolhido encontra-se na tabela 3 Previsão da série 39 para o período de janeiro a julho de 2000 Período Lower 2.5 Previsão Upper 97.5 Atual Tabela 3 Previsão Box&Jenkins A figura 6 apresenta o gráfico de previsão do modelo escolhido. 9

10 Sample Range Sample Mean XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Figura 6 Previsão Box & Jenkins Através da tabela 3 e da figura 6, observa-se que as previsões estão bem próximas dos valores reais, porém vale ressaltar que à medida que o horizonte de previsão vai aumentando, os valores previstos tendem a não serem tão preciso. Eles tendem para uma reta. Como os resíduos do modelo são independentes e normalmente distribuídos, o gráfico de controle de Shewhart pôde ser aplicado para identificar se todos os pontos destes resíduos estão sob controle. Através da análise dos gráficos de controle da média e amplitude ( X R ), figura 7, observa-se que um ponto (amostra 6) se encontra fora dos limites de controle. Gráfico Xbar-R dos Resíduos 50 UCL=44, _ X=0, Sample LCL=-44,0 250 UCL=269, _ R=54, LCL=39, Sample Tests performed with unequal sample sizes Figura 7 Gráfico de Controle dos Resíduos 0

11 Série XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Como o ponto fora de controle corresponde a amostra6 (mês Novembro do ano 997) da série de energia, foi feito uma análise mais detalhada através do gráfico da série somente deste ano específico. A figura 8 apresenta esta análise. 50 Série Temporal Ano Meses Figura 8 Gráfico da Ano 997 Observa-se que, pela figura 8, os pontos anterior (mês de Outubro) e posterior (mês de Dezembro) à amostra 6 influenciam fortemente na mesma. Por isso, foram feitas análises retirando os três pontos, e retirando o anterior e o posterior, respectivamente. E então, foi feita uma nova previsão da série de energia. O modelo de previsão foi o mesmo da análise anterior -ARIMA(,,) e uma comparação entre os erros percentuais médios é apresentada na tabela 4. Séries Original Sem Novembro Sem Nov. e Sem Out. e Sem Out., Nov. Dez. Nov. e Dez. MAPE 0,0567 0,0574 0,0562 0,0553 0,0555 Tabela 4 MAPES Observa-se que, se se retira somente o ponto fora de controle a previsão não melhora. O melhor resultado de previsão ocorre quando é retirado, além do ponto fora de controle, o ponto anterior a ele (mês de Outubro), pois certamente este está influenciando mais fortemente para o processo estar fora de controle. Então feita a previsão com o modelo ARIMA (,,) para a série de energia sem os meses de Outubro e Novembro de 997, os gráficos de controle ( X R ) dos resíduos independentes e normalmente distribuídos são apresentados na figura 9.

12 Sample Range Sample Mean XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Gráfico Xbar-R dos Resíduos 40 UCL=5, _ X=8, Sample LCL=-35,9 250 UCL=249, _ R=40, LCL=3, Sample Tests performed with unequal sample sizes Figura 9 Gráficos de Controle dos Resíduos sem Out. e Nov. de 997 Observa que, após as retiradas dos meses Outubro e Novembro de 997, todos os pontos ficaram sob controle estatístico. Alguns outros pontos dos resíduos gerados pela previsão se encontraram bem próximos aos limites do gráfico de controle da amplitude, o que pode estar influenciando negativamente na previsão. Porém, deve-se atentar para a não atirada excessiva de dados da série, pois isto pode levar a perda de informações. 4. Conclusões Quando os dados não são independentes, ou seja, dados correlacionados, as cartas de controle convencionais de Shewhart não devem ser aplicadas diretamente tanto para a análise da estabilidade quanto para o controle de processos Shewhart. Com isso, usa-se um modelo de previsão que mais se ajusta aos dados correlacionados, e depois se pode fazer um gráfico de controle dos resíduos deste modelo que é independente e normalmente distribuído. No artigo foi feito, primeiramente, um modelo ARIMA(,,) na série de energia, logo após observou-se num gráfico de controle tradicional se todos os dados estavam sob controle. E verificou-se que, um ponto, correspondente ao mês de Novembro de 997, estava fora. Com isso, foram feitas várias análises: Retirando este ponto somente; retirando este ponto mais os meses de Outubro e Dezembro, respectivamente. Constatou-se através dos erros médios percentuais (MAPE) das previsões que o melhor modelo foi aquele onde se retiraram os meses de Outubro e Novembro simultaneamente. A nova série sem os meses Outubro e Novembro, modelada também pelo ARIMA (,,), apresentou além de um menor MAPE, todos os resíduos sob controle estatístico. O que comprova o bom desempenho da análise. Alguns outros pontos dos resíduos gerados pela previsão se encontraram bem próximos aos limites do gráfico de controle da amplitude, o que pode estar influenciando negativamente na 2

13 previsão. Porém, deve-se atentar para a não atirada excessiva de dados da série, pois isto pode levar a perda de informações. E como se trata de uma série real de demanda de energia elétrica, as informações contidas nos dados históricos são de suma importância para uma previsão precisa. Referências BOX, G.E.P. and G.M. JENKINS. Time series analysis: Forecasting and control. San Francisco: Holden-Day, 970. MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4ª Edição. Rio de Janeiro: LTC, SOUZA, R. C. ; CAMARGO, M. E.. Análise e Previsão de Séries Temporais: Os Modelos Arima.. ed. Brasil: Inijuí, RS, 220 p WARDELL, D. G.; MOSKOWITZ, H.; PLANTE, R. D. Run Length Distributions of Residual Control Charts for Autocorrelated Processes. Journal of Quality Technology. v. 26, n. 4, p , 994. YASHCHIN, E. Performance of CUSUM Control Schemes for Serially Correlated Observations. Technometrics. v. 35, n., p , 993. ATIENZA, O. O.; TANG, L. C.; ANG, B. W.. A SPC Procedure for Detecting Level Shifts of Autocorrelated Processes. Journal of Quality Technology, v. 30, n. 4, p , 998. LU, C-W.; REYNOLDS, M. R. JR.., Cusum Charts for Monitoring an Autocorrelated Process. Journal of Quality Technology, v. 33, n. 3, p , 200. LU, C-W.; REYNOLDS, M. R. JR., EWMA.Control Charts for Monitoring the Mean of Autocorrelated Processes. Journal of Quality Technology, v. 3, n., p , 999. MONTGOMERY, D. C.; MASTRAGELO, C. M. Some Statistical Process Control Methods for Autocorrelated Data. Journal of Quality Technology, v. 23, n. 3, p , 99. HUNTER, J. S. The exponentially weighted moving average. Journal of Quality Technology, n. 8, ,