SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO BIFÁSICO GÁS-LÍQUIDO NO PADRÃO DE GOLFADAS UTILIZANDO UM MODELO LAGRANGEANO DE SEGUIMENTO DE PISTÕES

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS CURITIBA DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS PPGEM HENDY TISSERANT RODRIGUES SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO BIFÁSICO GÁS-LÍQUIDO NO PADRÃO DE GOLFADAS UTILIZANDO UM MODELO LAGRANGEANO DE SEGUIMENTO DE PISTÕES CURITIBA OUTUBRO - 29

2 HENDY TISSERANT RODRIGUES SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO BIFÁSICO GÁS-LÍQUIDO NO PADRÃO DE GOLFADAS UTILIZANDO UM MODELO LAGRANGEANO DE SEGUIMENTO DE PISTÕES Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração em Engenharia Térmica, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR. Orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Co-orientador: Prof. Eugênio S. Rosa, PhD. CURITIBA OUTUBRO - 29

3 TERMO DE APROVAÇÃO HENDY TISSERANT RODRIGUES SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO BIFÁSICO GÁS-LÍQUIDO NO PADRÃO DE GOLFADAS UTILIZANDO UM MODELO LAGRANGEANO DE SEGUIMENTO DE PISTÕES Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de Mestre em Engenharia, e aprovada em sua versão final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, área de concentração em Engenharia Térmica. Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr.Eng. Coordenador de curso Banca Examinadora Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Eng. PPGEM/UTFPR Prof. Eugênio Spanó Rosa, PhD DE/FEM/UNICAMP José Roberto Fagundes Netto, PhD PETROBRAS/CENPES Prof. Cezar Otaviano R. Negrão, PhD PPGEM/UTFPR Curitiba, 3 de Fevereiro de 21

4 iii AGRADECIMENTOS Agradeço ao LACIT/PPGEM/UTFPR e ao 2PFG/FEM/UNICAMP pela possibilidade de realização desse trabalho. Agradeço à Petrobras e ANP pelo suporte técnico e financeiro para o desenvolvimento do tema. Agradeço aos professores Rigoberto E. M. Morales, Eugênio S. Rosa e Ricardo A. Mazza pelo apoio, incentivo, troca de informações e amizade ao longo dos últimos anos. Dedico esse trabalho à minha esposa Joyce, pelo apoio e carinho incondicional, e aos meus pais, pelo cuidado e preocupação em todos os momentos. Agradeço a Deus por tudo que tem proporcionado em minha vida.

5 iv RODRIGUES, Hendy Tisserant, Simulação numérica do escoamento bifásico gáslíquido no padrão de golfadas utilizando um modelo lagrangeano de seguimento de pistões, 29, Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 18p. RESUMO No escoamento bifásico de líquido e gás em tubulações, tem-se com grande freqüência a ocorrência do padrão de golfadas. Esse padrão de escoamento tem como característica a sucessão intermitente no tempo e no espaço de duas estruturas distintas: bolha alongada e pistão de líquido. O presente trabalho apresenta a modelagem matemática lagrangeana unidimensional do escoamento em golfadas, onde as equações de conservação da massa e quantidade de movimento são aplicadas a cada bolha e pistão, tornando-os elementos computacionais definidos por volumes de controle discretos que evoluem ao longo da tubulação. O modelo leva em conta efeitos desprezados em trabalhos anteriores, como a variação da fração de líquido no pistão e a intermitência intrínseca do escoamento, obtida através da introdução aleatória de bolhas e pistões na entrada da tubulação. As equações diferenciais obtidas na modelagem são discretizadas através do método de diferenças finitas. O sistema de equações algébricas resultantes da discretização é resolvido utilizando o algoritmo TDMA. São calculados parâmetros característicos do escoamento em golfadas, como os comprimentos e velocidades das bolhas e pistões e a queda de pressão. Essas variáveis são monitoradas através de valores médios ou distribuições em determinados pontos da tubulação e seguindo-se uma célula ao longo de sua passagem pela tubulação. Os resultados numéricos obtidos são comparados a dados experimentais, fornecidos pelo 2PFG/FEM/UNICAMP, para o escoamento de ar-água, ar-glicerina e N 2 -óleo em um duto horizontal, inclinado e vertical. Palavras-chave: Escoamento intermitente em golfadas, modelo de seguimento de pistões, escoamento bifásico.

6 v RODRIGUES, Hendy Tisserant, Simulação numérica do escoamento bifásico gáslíquido no padrão de golfadas utilizando um modelo lagrangeano de seguimento de pistões, 29, Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 18p. ABSTRACT In two-phase gas-liquid flow through pipelines the slug flow pattern frequently occurs. This flow pattern is characterized by an intermittent, in space and time, succession of two distinct structures: elongated bubble and liquid slug. This work presents the one-dimensional Lagrangean mathematical model for slug flow. The mass and momentum conservation equations are applied for each bubble and slug, which become computational elements defined by discrete control volumes that evolve through the pipe. The model takes into account some effects neglected in previous works such as the slug liquid fraction variation and the inherent intermittence, obtained by the random introduction of bubbles and slugs at the pipe inlet. The differential equations obtained in the mathematical model are discretized using the finite difference method and the resulting linear system is solved with the TDMA algorithm. Typical parameters of slug flow are calculated, such as the bubbles and slugs lengths and velocities and pressure drop. These variables are monitored through its mean values or distributions in determined locations along the pipe, or by the following of one bubble passage through the pipe. Numerical results are compared against experimental results from 2PFG/FEM/UNICAMP for air-water, airglycerin and nitrogen-oil flows in horizontal, inclined and vertical pipes. Keywords: Slug flow, slug tracking model, two-phase flow.

7 vi SUMÁRIO AGRADECIMENTOS...III RESUMO... IV ABSTRACT... V SUMÁRIO... VI LISTA DE FIGURAS... IX LISTA DE TABELAS... XII LISTA DE SÍMBOLOS... XIII 1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS JUSTIFICATIVAS ESTRUTURA DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ESTUDOS ANTERIORES SOBRE ESCOAMENTO EM GOLFADAS Modelos estacionários Modelos transientes DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS IMPORTANTES ASSOCIADOS AO ESCOAMENTO BIFÁSICO EM GOLFADAS EQUAÇÕES DE FECHAMENTO Velocidade de translação das bolhas de gás Fração de líquido no pistão Freqüência da célula unitária MODELAGEM MATEMÁTICA EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO APLICADAS A UMA CÉLULA GENÉRICA Conservação da massa na célula Conservação da quantidade de movimento no pistão Acoplamentos entre o pistão e as bolhas adjacentes EQUAÇÕES AUXILIARES Deslocamento da frente da bolha Deslocamento da traseira da bolha Definição do atrito Velocidade do filme de líquido MODELAGEM DAS SINGULARIDADES... 54

8 vii Coalescência de bolhas MÉTODO DE SOLUÇÃO NUMÉRICA DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES ACOPLADAS DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES AUXILIARES CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO PROCESSO DE ENTRADA DE BOLHAS E PISTÕES NO DOMÍNIO DE CÁLCULO Cálculo das variáveis na entrada de uma nova célula PROCESSO DE SAÍDA DE BOLHAS E PISTÕES DO DOMÍNIO DE CÁLCULO PROCESSO DE INÍCIO DA SIMULAÇÃO ALGORITMO DE SIMULAÇÃO SONDAS VIRTUAIS SIMULAÇÕES PRELIMINARES Análise do passo de tempo Análise das constantes do fator de esteira Análise da condição de contorno aleatória versus condição periódica RESULTADOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS COMPARAÇÃO ENTRE AS SIMULAÇÕES E OS RESULTADOS EXPERIMENTAIS Resultados para o escoamento de ar e água Resultados para o escoamento de ar e glicerina Resultados para o escoamento de N 2 e óleo SAE RESULTADOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL E INCLINADO CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS COMPARAÇÃO ENTRE AS SIMULAÇÕES E RESULTADOS EXPERIMENTAIS Resultados para o escoamento de ar e água na vertical Resultados para o escoamento de N 2 e óleo SAE 2-5 na vertical Resultados para o escoamento de ar e água inclinado CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A RESULTADOS PARA DIVERSAS CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO AR E ÁGUA NA HORIZONTAL AR E GLICERINA NA HORIZONTAL NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA HORIZONTAL AR E ÁGUA NA VERTICAL NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA VERTICAL AR E ÁGUA INCLINADO

9 viii APÊNDICE B RESUMO DE CORRELAÇÕES PARA CÁLCULO DAS VARIÁVEIS DE FECHAMENTO APÊNDICE C MODELOS DE DOIS FLUIDOS E DRIFT FLUX MODELO DE DOIS FLUIDOS (TWO-FLUID MODEL) MODELO DE DRIFT FLUX

10 ix LISTA DE FIGURAS FIGURA 1.1 PADRÕES DE ESCOAMENTO BIFÁSICO LÍQUIDO-GÁS EM TUBULAÇÕES HORIZONTAIS (LÍQUIDO EM BRANCO E GÁS EM CINZA): A) BOLHAS DISPERSAS, B) GOLFADAS E C) ESTRATIFICADO... 2 FIGURA 1.2 PADRÕES DE ESCOAMENTO BIFÁSICO LÍQUIDO-GÁS EM TUBULAÇÕES VERTICAIS (LÍQUIDO EM BRANCO E GÁS EM CINZA): A) BOLHAS DISPERSAS, B) GOLFADAS, C) AGITADO E D) ANULAR... 2 FIGURA 1.3 REPRESENTAÇÃO DAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS... 3 FIGURA 2.1 REPRESENTAÇÃO DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS A) HORIZONTAL OU INCLINADO E B) VERTICAL... 9 FIGURA 2.2 REPRESENTAÇÃO DAS LINHAS DE CORRENTE NO LÍQUIDO EM UM REFERENCIAL A) SE MOVENDO COM A BOLHA E B) ESTACIONÁRIO, E C) REPRESENTAÇÃO DOS PERFIS DE VELOCIDADE NO LÍQUIDO... 1 FIGURA 2.3 LINHAS DE CORRENTE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL FIGURA 2.4 REPRESENTAÇÃO DA QUEDA DE PRESSÃO AO LONGO DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS FIGURA 2.5 VOLUME DE CONTROLE AO LONGO DE UM TRECHO DE TUBULAÇÃO FIGURA 3.1 REPRESENTAÇÃO DA J-ÉSIMA CÉLULA GENÉRICA DO ESCOAMENTO EM GOLFADAS FIGURA 3.2 VOLUME DE CONTROLE DEFINIDO PELAS FRONTEIRAS DO PISTÃO FIGURA 3.3 VOLUME DE CONTROLE DEFINIDO PELAS FRONTEIRAS DO FILME E BOLHA ALONGADA FIGURA 3.4 FORÇAS QUE ATUAM NO VOLUME DE CONTROLE DEFINIDO PELO PISTÃO FIGURA 3.5 REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NO ACOPLAMENTO DA TRASEIRA DO PISTÃO COM A FRENTE DA BOLHA FIGURA 3.6 REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NO ACOPLAMENTO ENTRE A FRENTE DO PISTÃO E A TRASEIRA DA BOLHA FIGURA 3.7 REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NO ACOPLAMENTO ENTRE A FRENTE DO PISTÃO E A FRENTE DA BOLHA FIGURA 3.8 REPRESENTAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE NA INTERFACE ENTRE O PISTÃO E A BOLHA QUE O SEGUE FIGURA 3.9 COALESCÊNCIA DE BOLHAS FIGURA 4.1 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO ESCOAMENTO AO LONGO DO TUBO EM DIFERENTES INSTANTES DE TEMPO E A DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAL FIGURA 4.2 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO PROCESSO DE ENTRADA DE PISTÃO DE LÍQUIDO E BOLHAS DE GÁS NO DOMÍNIO COMPUTACIONAL FIGURA 4.3 REPRESENTAÇÃO DA GEOMETRIA UTILIZADA NA INTEGRAÇÃO DO PERFIL DA BOLHA FIGURA 4.4 FLUXOGRAMA PARA CÁLCULO DOS PARÂMETROS DA NOVA CÉLULA QUE SERÁ INSERIDA NA TUBULAÇÃO FIGURA 4.5 REPRESENTAÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES EXPERIMENTAIS FIGURA 4.6 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO PROCESSO DE SAÍDA DE BOLHAS E PISTÕES DO DOMÍNIO COMPUTACIONAL FIGURA 4.7 REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DA CONDIÇÃO INICIAL FIGURA 4.8 ALGORITMO GERAL DE SIMULAÇÃO... 85

11 x FIGURA 4.9 VARIAÇÃO DO TEMPO DE SIMULAÇÃO E DO RESÍDUO RELATIVO EM FUNÇÃO DO PASSO DE TEMPO UTILIZADO FIGURA 4.1 EVOLUÇÃO DOS COMPRIMENTOS DE BOLHAS E PISTÕES, TAXA DE COALESCÊNCIAS E VELOCIDADE DA BOLHA AO LONGO DO TUBO PARA DIVERSOS VALORES DAS CONSTANTES DE ESTEIRA NO ESCOAMENTO DE AR E ÁGUA FIGURA 4.11 EVOLUÇÃO DOS COMPRIMENTOS DE BOLHAS E PISTÕES, TAXA DE COALESCÊNCIAS E VELOCIDADE DA BOLHA AO LONGO DO TUBO PARA DIVERSOS VALORES DAS CONSTANTES DE ESTEIRA NO ESCOAMENTO DE AR E GLICERINA FIGURA 4.12 RESULTADOS PARA UMA CÉLULA SEGUIDA AO LONGO DE SUA PASSAGEM PELO TUBO COM AS CONDIÇÕES DE CONTORNO PERIÓDICA E INTERMITENTE FIGURA 4.13 TAXA DE COALESCÊNCIA AO LONGO DO TUBO PARA AS CONDIÇÕES DE CONTORNO PERIÓDICA E INTERMITENTE FIGURA 4.14 FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA OS COMPRIMENTOS DE BOLHAS E PISTÕES E PARA A VELOCIDADE DA BOLHA EXPERIMENTAIS E SIMULADOS UTILIZANDO-SE AS CONDIÇÕES DE ENTRADA PERIÓDICA E ALEATÓRIA FIGURA 5.1 REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E ÁGUA NA HORIZONTAL... 1 FIGURA 5.2 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W#2 12 FIGURA 5.3 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W#4 12 FIGURA 5.4 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W# FIGURA RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@W# FIGURA 5.6 REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E GLICERINA NA HORIZONTAL FIGURA 5.7 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA CONDIÇÃO A@G# FIGURA 5.8 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA CONDIÇÃO A@G# FIGURA 5.9 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA CONDIÇÃO A@G# FIGURA 5.1 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE AR E SOLUÇÃO DE GLICERINA NA CONDIÇÃO A@G# FIGURA 5.11 REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA HORIZONTAL FIGURA RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 N@O# FIGURA 5.13 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 N@O#

12 xi FIGURA 5.14 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA CONDIÇÃO N@O# FIGURA 5.15 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO HORIZONTAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA CONDIÇÃO N@O# FIGURA 6.1 REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E ÁGUA NA VERTICAL FIGURA 6.2 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV# FIGURA 6.3 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV# FIGURA 6.4 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV# FIGURA 6.5 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WV# FIGURA 6.6 REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA VERTICAL FIGURA 6.7 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA CONDIÇÃO N@OV# FIGURA 6.8 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA CONDIÇÃO N@OV# FIGURA 6.9 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA CONDIÇÃO N@OV# FIGURA 6.1 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO VERTICAL DE NITROGÊNIO E ÓLEO SAE 2-5 NA CONDIÇÃO N@OV# FIGURA 6.11 REPRESENTAÇÃO DAS SEÇÕES DE TESTE EXPERIMENTAL E NUMÉRICA PARA O ESCOAMENTO DE AR E ÁGUA INCLINADO FIGURA 6.12 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI# FIGURA 6.13 RESULTADOS MÉDIOS PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI#5 129 FIGURA 6.14 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI# FIGURA 6.15 RESULTADO DAS FUNÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA O ESCOAMENTO INCLINADO DE AR E ÁGUA NA CONDIÇÃO A@WI#

13 xii LISTA DE TABELAS TABELA 4.1 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NAS SIMULAÇÕES PRELIMINARES TABELA 5.1 DEFINIÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS TABELA 5.2 DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O ESCOAMENTO DE AR E ÁGUA TABELA 5.3 DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O ESCOAMENTO DE AR E GLICERINA TABELA 5.4 DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O ESCOAMENTO DE NITROGÊNIO E ÓLEO TABELA 6.1 DEFINIÇÃO DAS CONFIGURAÇÕES EXPERIMENTAIS TABELA 6.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA AR E ÁGUA NA VERTICAL TABELA 6.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA NITROGÊNIO E ÓLEO SAE TABELA 6.4 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA AR E ÁGUA INCLINADO

14 xiii LISTA DE SÍMBOLOS A C C D F f Fr g h j J L M m n P Q R Re S t U x y Área Coeficiente de atrito Constante da velocidade da bolha Diâmetro Força Freqüência Número de Froude Aceleração da gravidade Constante de esteira Numeração das células Velocidade superficial Comprimento Massa Vazão mássica Número de bolhas dentro do tubo Pressão Vazão volumétrica Fração volumétrica da fase Número de Reynolds Perímetro Tempo Velocidade absoluta Coordenada da frente do pistão Coordenada da frente da bolha β Δ ρ μ σ Fator de intermitência Variação Massa específica Viscosidade dinâmica Tensão superficial

15 xiv τ θ Tensão cisalhante Ângulo de inclinação do tubo com a horizontal Sub-índices B D G L S T U Região da bolha alongada Deslizamento Fase gasosa Fase líquida Região do pistão de líquido (slug) Translação da bolha alongada Unidade

16 Capítulo 1 Introdução 1 1 INTRODUÇÃO Escoamentos multifásicos ocorrem com grande freqüência tanto na natureza como em aplicações industriais. Exemplos de sua ocorrência na natureza estão no transporte de sedimentos em rios e correntes marinhas, e movimentação de massas térmicas na atmosfera terrestre. Em aplicações industriais, escoamentos multifásicos podem ocorrer em geradores de vapor, condensadores e no transporte de misturas em tubulações. Um caso particular de escoamentos multifásicos são os escoamentos bifásicos de líquido e gás, nos quais o escoamento pode se arranjar geometricamente em diversos padrões, a depender das condições do escoamento, como vazões das fases, configurações geométricas e propriedades dos fluidos. Nas Figuras 1.1 e 1.2 são representados os padrões de ocorrência mais comum nos escoamentos em dutos horizontais e verticais. Na Figura 1.1 são mostrados os padrões: bolhas dispersas, golfadas (slug flow) e estratificado, enquanto na Figura 1.2 são mostrados os padrões: bolhas dispersas, golfadas (slug flow), agitado (churn flow) e anular. O escoamento estratificado ocorre em dutos horizontais sob determinadas condições de vazão de líquido e gás. Aumentando-se a vazão de líquido o escoamento se torna instável até transacionar para o escoamento em golfadas, que permanece para uma grande faixa de vazões de gás. Com o aumento ainda maior da vazão de líquido, a turbulência associada quebra as bolhas alongadas formando bolhas dispersas. No caso do escoamento em dutos verticais, para baixas vazões de gás ocorre o escoamento em bolhas dispersas. Aumentando-se a vazão de gás as bolhas começam a coalescer, formando as bolhas alongadas (escoamento em golfadas). Em altas vazões de gás o escoamento passa por uma transição (também chamado de escoamento agitado) até atingir o padrão anular.

17 Capítulo 1 Introdução 2 a) b) c) Figura 1.1 Padrões de escoamento bifásico líquido-gás em tubulações horizontais (líquido em branco e gás em cinza): a) Bolhas dispersas, b) golfadas e c) estratificado a) b) c) d) Figura 1.2 Padrões de escoamento bifásico líquido-gás em tubulações verticais (líquido em branco e gás em cinza): a) Bolhas dispersas, b) golfadas, c) agitado e d) anular Dentre os padrões de escoamento apresentados, o escoamento em golfadas ocorre em uma grande faixa de vazões de líquido e gás. Dessa forma, em diversas atividades industriais, o correto tratamento desse padrão de escoamento é de suma importância.

18 Capítulo 1 Introdução 3 O escoamento em golfadas é caracterizado pela sucessão de duas regiões distintas: o pistão de líquido e a bolha alongada. O pistão de líquido é composto por uma região com grande quantidade de líquido, e pode conter pequenas bolhas de gás dispersas. Porém, mesmo com a presença de bolhas dispersas, o pistão ainda se caracteriza como uma barreira entre as duas bolhas de gás adjacentes. Para o escoamento horizontal, a região da bolha alongada é considerada um escoamento estratificado, com líquido na região inferior e gás na região superior. No caso do escoamento vertical, na região da bolha o escoamento é anular com líquido no exterior e gás no interior. Tanto no escoamento horizontal como no vertical, a região de líquido que escoa ao lado da bolha é chamada de filme de líquido, e é considerada livre de gás disperso. A Figura 1.3 apresenta uma célula unitária do escoamento em golfadas, contendo uma bolha com comprimento L B e um pistão com comprimento L S. Para a caracterização desse tipo de escoamento, é importante também quantificar as velocidades do líquido no pistão, bolha, U LS, do líquido no filme, U LB U T, além da pressão do gás no interior da bolha, P GB., e de translação da Figura 1.3 Representação das principais variáveis do escoamento em golfadas O escoamento em golfadas ocorre de maneira intermitente, pois a repetição das estruturas bolha alongada e pistão de líquido não é periódica no tempo e nem no espaço. Ou seja, todas as bolhas e pistões que passam por um referencial fixo apresentam comprimentos e velocidades diferentes. Acredita-se que a intermitência

19 Capítulo 1 Introdução 4 é independente da forma de entrada das duas fases na tubulação. Ou seja, mesmo que as fases sejam injetadas na tubulação de forma periódica ou contínua, o escoamento se torna intermitente ao longo da tubulação. Os primeiros estudos sobre o escoamento em golfadas foram realizados por Wallis (1969), que definiu o conceito de célula unitária. Logo depois, Dukler e Hubbard (1975) e Fernandes et al. (1983) realizaram estudos experimentais e desenvolveram modelos simplificados para o escoamento em golfadas na horizontal e vertical, respectivamente. Mais tarde, Taitel e Barnea (199) propuseram um modelo genérico para qualquer ângulo da tubulação. Esses trabalhos são conhecidos como os modelos de estado estacionário, pois desconsideram a intermitência do escoamento, e calculam os parâmetros como se as bolhas e pistões se repetissem periodicamente no tempo e no espaço. Mais recentemente, com o desenvolvimento computacional, modelos de simulação numérica surgiram com o intuito de obter resultados mais realistas, levando em conta a intermitência do escoamento. Uma classe de modelos surgiu baseada nos modelos de dois fluidos e drift flux, que utilizam uma malha euleriana ao longo da tubulação e a solução numérica das equações diferenciais de conservação da massa e quantidade de movimento para cada fase. Esses modelos apresentam um custo computacional muito alto e apresentam instabilidades na solução das equações de acordo com o arranjo das fases. Outra classe de modelos que surgiu recentemente são os modelos lagrangeanos de seguimento de pistões (slug tracking). Nessa classe de modelos, são obtidas equações para volumes de controle definidos geometricamente pelos pistões e bolhas, e esses volumes de controle são seguidos ao longo da simulação. Como os volumes de controle têm a mesma ordem de grandeza das bolhas e pistões, a simulação apresenta um menor custo computacional. Existem diversos modelos de seguimento de pistões na literatura, iniciando-se por Barnea e Taitel (1993), depois Zheng et al. (1994), Nydal e Banerjee (1995), Taitel e Barnea (2), Grenier (1997), Franklin e Rosa (24), Ujang et al. (26) e Rodrigues (26). Dentre os diversos modelos de seguimento de pistões propostos na literatura, são utilizadas diferentes simplificações na modelagem. Efeitos importantes, como a consideração do pistão de líquido aerado e a variação da fração de líquido no pistão, ou a característica intermitente do escoamento, não são tratados com muita

20 Capítulo 1 Introdução 5 relevância. Além disso, não são encontrados modelos para simulação do escoamento inclinado ou vertical, e sua comparação com resultados experimentais. 1.1 Objetivos O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um modelo unidimensional utilizando o método de seguimento de pistões (slug tracking) com a finalidade de simular o escoamento bifásico em golfadas em dutos horizontais, inclinados e verticais. No desenvolvimento do modelo foram considerados os efeitos de inércia do pistão de líquido, troca de quantidade de movimento entre os pistões e as bolhas, efeito do filme de líquido na variação da quantidade de movimento em uma célula, e efeito da variação da fração de líquido no pistão. O modelo apresentado é genérico para qualquer ângulo de inclinação da tubulação. As equações diferenciais obtidas na modelagem matemática são discretizadas através do método de diferenças finitas com o esquema semi-implícito de Crank-Nicholson, gerando um sistema linear que é resolvido numericamente a cada passo de tempo. O modelo foi implementado em um programa computacional na linguagem FORTRAN. A intermitência do escoamento é introduzida no modelo através da condição de entrada das bolhas e pistões na tubulação. Sempre que uma nova célula vai entrar na tubulação, os parâmetros dessa célula são sorteados de listas de valores independentes para cada variável. Dessa forma, cada nova célula apresenta valores diferentes para cada variável. Como dados de saída das simulações, tem-se o monitoramento das variáveis importantes em algumas posições ao longo da tubulação, ou o acompanhamento de uma célula ao longo de sua passagem pela tubulação. Isso permite a avaliação dos valores médios ou as distribuições das variáveis. Os resultados obtidos são comparados com dados experimentais para escoamentos horizontais de ar e água, ar e glicerina e nitrogênio e óleo, verticais de ar e água e nitrogênio e óleo, e inclinados de ar e água.

21 Capítulo 1 Introdução Justificativas O escoamento no padrão de golfadas ocorre em diversos tipos de aplicações industriais. Uma dessas aplicações em que o escoamento em golfadas tem grande ocorrência é a indústria petrolífera. Esse padrão de escoamento é característico nas linhas de produção, que transportam o petróleo desde o poço até a unidade estacionária de produção (UEP), onde as fases são separadas e processadas. A variação intrínseca de vazão e pressão do escoamento em golfadas interfere na planta de processamento, pois ora tem-se a chegada de apenas líquido, e ora tem-se a chegada de grande quantidade de gás, o que afeta os parâmetros no dimensionamento da planta. Além disso, a freqüência de alternância das regiões do pistão de líquido e da bolha alongada em determinada região da linha de produção causa vibrações. A freqüência dessas vibrações deve ser monitorada, e deve-se atentar para o risco de ressonância e possíveis danos. Devido a esses fatores, torna-se importante a modelagem do escoamento em golfadas e o entendimento dos fenômenos que ocorrem, de forma a prever situações e se evitar danos ou perda de produção. Do ponto de vista acadêmico, este trabalho faz parte de um esforço realizado pelo LACIT/UTFPR e 2PFG/FEM/UNICAMP, financiado pela Petrobras, no sentido de estudar e caracterizar o escoamento bifásico de líquido e gás. Nos últimos anos, tem-se realizado estudos experimentais e numéricos com essa finalidade. O modelo aqui apresentado deve ser implementado em um programa computacional dando origem a um simulador de escoamento bifásico, com interface amigável ao usuário, de forma que possa ser utilizado por engenheiros de campo em análises de elevação e escoamento. 1.3 Estrutura do trabalho O presente trabalho está dividido em sete capítulos. O primeiro capítulo apresenta a introdução ao tema, bem como os objetivos e justificativas do trabalho. No segundo capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica sobre o escoamento em golfadas. São apresentados alguns conceitos desse padrão de escoamento,

22 Capítulo 1 Introdução 7 modelos propostos para a simulação do escoamento em golfadas e a revisão das equações de fechamento para a velocidade de translação das bolhas, fração de líquido no pistão e freqüência da célula unitária. O apêndice C apresenta os modelos numéricos de dois fluidos e drift flux, e o apêndice B apresenta um resumo das correlações existentes na literatura para o cálculo das variáveis de fechamento. O terceiro capítulo apresenta a modelagem matemática unidimensional do escoamento em golfadas. São aplicadas as equações de conservação da massa e quantidade de movimento a uma célula genérica do escoamento, e, ao final do desenvolvimento, são obtidas duas equações diferenciais para a velocidade do pistão e para a pressão do gás na bolha. Além disso, são apresentadas equações auxiliares, utilizadas para descrever o movimento das bolhas e pistões a partir das velocidades e pressões. No capítulo 4 é apresentado o método de solução numérica, com a discretização das equações diferenciais e implementação em um sistema linear. É apresentado também o algoritmo de simulação e a definição das condições iniciais, de contorno, e de entrada e saída de bolhas e pistões na simulação. São apresentadas também simulações preliminares com o objetivo de se definir parâmetros para a realização das simulações, como o passo de tempo, a definição das constantes do fator de esteira e a comparação entre as condições de contorno periódica e aleatória. Os capítulos 5 e 6 apresentam a comparação entre resultados experimentais e numéricos para diversas condições de escoamento. O capítulo 5 apresenta os resultados para escoamento horizontal de ar e água, ar e glicerina e nitrogênio e óleo SAE 2-5, enquanto o capítulo 6 apresenta resultados para escoamento vertical de ar e água e nitrogênio e óleo SAE 2-5, e resultados para o escoamento inclinado de ar e água. Nesses capítulos são apresentados apenas alguns resultados do banco de simulações, e os demais resultados são apresentados no apêndice A. O capítulo 7 apresenta as conclusões do trabalho e recomendações para trabalhos futuros.

23 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 8 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesse capítulo é apresentada a revisão da bibliografia utilizada na modelagem do escoamento em golfadas para a implementação em um modelo de seguimento de pistões (slug tracking). Inicialmente, são apresentados estudos que evidenciam alguns conceitos e características importantes do escoamento em golfadas. Em seguida, são revisados os modelos para se calcular parâmetros do escoamento em golfadas, como os modelos de estado estacionário e os modelos de simulação numérica transientes. Na seqüência são desenvolvidos parâmetros e conceitos importantes para escoamentos bifásicos em geral. Por fim, são apresentadas as equações geralmente utilizadas no cálculo das variáveis de fechamento dos modelos de escoamento em golfadas: velocidade de translação das bolhas de gás, fração de líquido no pistão e freqüência da célula unitária. 2.1 Estudos anteriores sobre escoamento em golfadas Nessa seção serão apresentadas algumas características básicas do escoamento no padrão de golfadas, que resultam de estudos experimentais e numéricos apresentados na literatura. A principal característica desse padrão de escoamento é a repetição intermitente, no espaço e no tempo, de duas estruturas distintas: bolha alongada e pistão de líquido. A bolha alongada escoa ao lado de um filme de líquido em uma geometria anular (na vertical) ou estratificada (na horizontal). O pistão de líquido possui pequena concentração de gás na forma de pequenas bolhas dispersas. No escoamento vertical a bolha alongada possui simetria em relação ao eixo central do tubo, enquanto no escoamento horizontal a bolha alongada é deslocada para cima devido ao efeito da gravidade, e encosta-se à parede do tubo. No escoamento inclinado as características são semelhantes às do escoamento horizontal até determinado ângulo de inclinação crítico em que a bolha alongada deixa de tocar a parede do tubo. Esse ângulo crítico é desconhecido, pois depende de diversos parâmetros do escoamento (vazões, geometria, propriedades dos

24 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 9 fluidos, condições de operação). Além disso, no escoamento vertical o pistão de líquido é mais aerado do que no escoamento horizontal. Imagens fotográficas do escoamento em golfadas são encontradas nos trabalhos de Fagundes Netto (1999) para o escoamento horizontal e Talvy et al. (2) para o escoamento vertical. De forma ilustrativa, as imagens apresentadas pelos autores são representadas nas Figuras 2.1a e 2.1b. Nota-se que a frente da bolha alongada tem formato cilíndrico, pois a bolha tende a minimizar o arrasto de forma. Na traseira da bolha percebe-se um formato mais complexo, com desprendimento de pequenas bolhas e uma esteira. b) a) Pistão de líquido Bolha alongada Figura 2.1 Representação do escoamento em golfadas a) horizontal ou inclinado e b) vertical O estudo do movimento do líquido ao redor da bolha alongada é importante, pois auxilia a entender como o escoamento em golfadas ocorre. Diversos autores estudaram o movimento do líquido ao redor da bolha alongada, tanto experimentalmente, com a medição das velocidades, como numericamente, através da simulação do escoamento ao redor da bolha. Mao e Dukler (1989) realizaram um estudo experimental e mediram diversos parâmetros do escoamento vertical, como as velocidades e comprimentos de bolhas

25 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 1 e pistões, frações de vazio e as tensões cisalhantes na parede. Bugg et al. (1998) implementaram um modelo numérico bidimensional baseado em diferenças finitas para determinar as linhas de corrente ao redor da bolha. Taha e Cui (26) também obtiveram as linhas de corrente ao redor de uma bolha alongada numericamente, porém, utilizaram o programa comercial Fluent para uma análise tridimensional. Polonsky et al. (1999), van Hout et al. (22) e Nogueira et al. (26) utilizaram a técnica de PIV (particle image velocimetry) para a visualização do escoamento ao redor da bolha em seus experimentos. Alguns resultados apresentados por esses autores são esquematizados nas Figuras 2.2 e 2.3. As Figuras 2.2a e 2.3a apresentam as linhas de corrente a partir de um referencial que se move junto com a bolha alongada. O escoamento é suave ao redor do nariz da bolha devido ao formato cilíndrico. No entanto, na traseira da bolha forma-se uma esteira onde ocorrem recirculações que geram o desprendimento de pequenas bolhas. a) y x b) y x c) Figura 2.2 Representação das linhas de corrente no líquido em um referencial a) se movendo com a bolha e b) estacionário, e c) representação dos perfis de velocidade no líquido As Figuras 2.2b e 2.3b apresentam as linhas de corrente a partir de um referencial estacionário, e percebe-se que a bolha alongada empurra o líquido que

26 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 11 está à sua frente. No escoamento vertical, o líquido que passa pelo filme é acelerado para trás e, ao chegar ao pistão seguinte, se desacelera e muda de direção, causando a recirculação. Além disso, no escoamento horizontal, a velocidade do líquido no filme é sempre positiva, enquanto no escoamento vertical a velocidade do filme pode ser negativa devido ao efeito gravitacional. Nas Figuras 2.2c e 2.3c estão apresentados os perfis de velocidade do líquido no filme e no pistão a partir de um referencial estacionário. O líquido em contato com a parede é estacionário, mas na região do filme, as camadas superiores são arrastadas pela interface com a bolha alongada de forma semelhante ao escoamento de Couette. No caso do escoamento vertical, mesmo a bolha se movendo para cima, na fronteira do gás com o filme de líquido a velocidade é negativa. No pistão, o perfil de velocidades necessita de uma distância para se recuperar da aceleração abrupta e atingir o perfil característico de regime permanente. É importante ressaltar que os desenhos apresentados são apenas ilustrativos.

27 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 12 a) b) c) y x y x Figura 2.3 Linhas de corrente para o escoamento vertical Outro parâmetro importante no escoamento em golfadas é o comportamento da pressão ao longo da célula unitária. Dukler e Hubbard (1975) mediram a variação temporal da pressão entre determinada posição no tubo e a saída no escoamento horizontal. Pinto e Campos (1996) utilizaram um medidor de pressão diferencial em uma posição do tubo no escoamento vertical. Os resultados obtidos por Dukler e Hubbard (1975) e Pinto e Campos (1996) são resumidos através da Figura 2.4, que apresenta as bolhas 1 e 2, com pressões P 1 e P 2, separadas por um pistão. A pressão ao longo da bolha alongada é constante, e, no pistão de líquido, há uma variação de pressão, Δ PS, devido ao atrito nas paredes e força gravitacional (no escoamento vertical ou inclinado). No entanto, logo no início do pistão existe uma variação de pressão mais acentuada. Dukler e Hubbard (1975) chamaram essa variação de Δ PMix, que surge devido à mistura do líquido que vem do filme e é incorporado ao pistão seguinte. O termo Δ PMix está relacionado à expansão súbita de um jato de líquido, que é um fenômeno complexo

28 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 13 devido à geometria em que a expansão ocorre. Mais tarde, Taitel e Barnea (199b) concluíram que a variação de pressão forças gravitacionais e de atrito que atuam no filme de líquido. Δ PMix também pode ser calculada a partir das Pressão P 1 ΔP S ΔP Mix P 2 P 3 x L B L S L Mix Figura 2.4 Representação da queda de pressão ao longo do escoamento em golfadas Os estudos apresentados anteriormente tiveram como motivação o conhecimento de parâmetros específicos do escoamento em golfadas, como queda de pressão ou perfis de velocidades. Esses parâmetros são importantes, pois servem de base para a correta modelagem do fenômeno. Outros trabalhos foram realizados com o intuito de modelar o escoamento para o cálculo de variáveis importantes para utilização em projetos de engenharia. A seguir são apresentados alguns modelos com essa característica Modelos estacionários Os primeiros modelos propostos para calcular parâmetros de interesse do escoamento em golfadas são os modelos chamados de estado estacionário ou modelos de célula unitária. Essa definição é devido à consideração de que o escoamento é estacionário e periódico, ou seja, uma única célula (bolha e pistão) se repete tanto no tempo como no espaço. Com essa simplificação, todos os cálculos

29 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 14 são realizados para uma única célula e extrapolados para todo o comprimento do tubo. Um dos primeiros estudos foi realizado por Wallis (1969), que definiu o conceito de célula unitária. O autor utilizou correlações existentes na época para calcular a velocidade da bolha e propôs uma forma simples de se calcular a queda de pressão gravitacional e por atrito. Em seguida, Dukler e Hubbard (1975) realizaram um estudo experimental do escoamento em golfadas na horizontal. Os autores apresentam características do escoamento que são aceitas até hoje, como a queda de pressão devido à aceleração do líquido que passa do filme para o pistão que o segue. A partir do modelo proposto por eles pode-se calcular os parâmetros de interesse, como comprimentos de bolha e pistão e queda de pressão na célula. No entanto, esse modelo despreza a intermitência (aleatoriedade) do escoamento e necessita de algumas equações adicionais de fechamento, como a freqüência da célula e a fração de líquido no pistão. Fernandes et al. (1983) realizaram um estudo do escoamento em golfadas na vertical. O trabalho segue a linha proposta por Dukler e Hubbard (1975), porém inclui algumas características importantes ao escoamento vertical. Os autores também propõem uma rede de equações para a solução do escoamento, porém são necessárias equações de fechamento. Mais recentemente, Taitel e Barnea (199a) apresentam um modelo estacionário mais genérico para o escoamento em golfadas. Os autores apresentam a modelagem genérica para o escoamento horizontal, vertical e inclinado. Além disso, os autores propõem três modelos para levar em consideração o formato da bolha alongada (também chamado de modelo de bolha), o que não havia sido feito pelos autores anteriores. No entanto, mesmo sendo o trabalho mais completo sobre a modelagem em estado estacionário, ainda são necessárias equações de fechamento. Os modelos de estado estacionário possuem grandes restrições e simplificações. Porém, a sua resolução é muito simples (apenas equações algébricas) e resulta no cálculo de valores médios razoáveis de propriedades físicas do escoamento em golfadas, o que explica sua grande aceitação e utilização na indústria.

30 Capítulo 2 Revisão bibliográfica Modelos transientes Com o desenvolvimento dos computadores, surgiram novas metodologias para o cálculo dos parâmetros no escoamento bifásico durante processos transientes. As três principais metodologias são as de dois fluidos, drift flux e seguimento de pistões (slug tracking). Uma revisão dos modelos de dois fluidos e drift flux é apresentada no apêndice C e, a seguir, é apresentada a revisão dos modelos de seguimento de pistões. Nos modelos de seguimento de pistões, cada pistão e bolha do escoamento são considerados objetos distintos, que são propagados ao longo da tubulação. Dessa forma, cada volume de controle computacional tem comprimento da ordem dos comprimentos de bolhas e pistões, o que diminui consideravelmente o número de equações a serem resolvidas e diminui erros na solução numérica. Um dos primeiros trabalhos desenvolvidos com a metodologia de seguimento de pistões foi o de Barnea e Taitel (1993). Os autores apresentam um modelo bem simplificado, em que o líquido e o gás são considerados como incompressíveis, os pistões não possuem bolhas de gás dispersas, e a fração de líquido no filme abaixo da bolha é constante. Devido a essas considerações, todos os pistões possuem a mesma velocidade, e a traseira da bolha tem a mesma velocidade de translação que a frente da bolha. A velocidade de translação da frente da bolha é calculada, a cada passo de tempo e para cada célula, em função da velocidade do pistão à sua frente e uma correção devido ao comprimento do pistão à frente da bolha devido à esteira (quanto menor o pistão, maior é a velocidade da bolha). Dessa forma, pistões pequenos tendem a desaparecer, devido às coalescências. Como condição de entrada das células na tubulação, os autores testaram a entrada de uma população de pistões seguindo uma distribuição uniforme ou uma distribuição normal, porém, obtiveram resultados semelhantes para as duas condições. Os comprimentos das bolhas na entrada são calculados de forma proporcional aos comprimentos dos pistões. Além disso, no modelo apresentado, nenhuma consideração foi feita com relação à queda de pressão ou à variação de quantidade de movimento nos pistões. Os autores testaram o modelo em uma tubulação vertical e para o avanço das frentes das bolhas foi utilizado o método de discretização por diferenças finitas explícito no tempo.

31 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 16 Em seguida, Zheng et al. (1994) aprimoraram o modelo de Barnea e Taitel (1993) para a simulação do escoamento em terrenos acidentados (hilly terrain), com variação discreta na inclinação em determinados locais da tubulação. As inovações desse modelo são a consideração dos pistões aerados, com a fração de líquido no pistão calculada em função da velocidade do pistão (que continuava sendo igual para todos os pistões) e a adição de modelos para a geração e dissipação de pistões durante a passagem em uma mudança brusca de inclinação. Logo depois, Nydal e Banerjee (1995) apresentaram um modelo considerando o pistão como não-aerado, a fração de líquido no filme variável e o gás compressível. Os autores utilizam quatro equações para calcular os parâmetros ao longo do tempo, através de uma discretização explícita no tempo: equação de conservação da quantidade de movimento no pistão de líquido para o cálculo da velocidade do pistão, equação de conservação da massa na bolha para o cálculo da pressão do interior da bolha, equação de conservação da massa de líquido no filme para calcular a altura do filme, e equação de conservação da quantidade de movimento no filme para calcular a velocidade do filme. As velocidades das frentes das bolhas são calculadas em função da velocidade do pistão. Os autores aplicam o modelo ao escoamento em terrenos acidentados, e introduzem uma população de pistões na entrada do tubo distribuídos uniformemente. Mais tarde, Taitel e Barnea (1998) propuseram um novo modelo de seguimento de pistões, considerando diversos efeitos que haviam sido negligenciados. Nesse modelo, o gás é considerado como compressível e ideal, a fração de líquido no filme é variável e considerada igual à altura de filme de equilíbrio, a fração de líquido no pistão é calculada em função da velocidade do pistão (que agora é variável devido à expansão do gás) e a queda de pressão é calculada. Os valores das velocidades dos pistões e das pressões nas bolhas são calculados através de um sistema linear de equações que surgem devido à aplicação do balanço de quantidade de movimento na célula, desprezando-se os termos de variação e fluxo de quantidade de movimento (ou seja, a somatória de forças na célula é nula), e do balanço de volume entre dois pistões adjacentes, que representa a variação da velocidade superficial de um pistão até outro devido à expansão do gás.

32 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 17 Os autores apresentam resultados para esse modelo apenas no escoamento horizontal, e com entrada de todos os pistões com mesmo comprimento. Pouco tempo depois, Taitel e Barnea (2) estenderam o seu modelo para o escoamento em terrenos acidentados, incorporando os mecanismos de geração e desaparecimento de pistões apresentado em Zheng et al. (1994). Nydal et al. (23) apresentaram um modelo semelhante ao apresentado por Nydal e Banerjee (1995), porém, incorporaram a aeração do pistão e um modelo para simular processos de pigging (limpeza de tubulações utilizando-se uma esfera com diâmetro semelhante ao da tubulação). Nesse caso, a esfera é considerada como um pistão, com alguns atributos modificados. Além disso, os autores apresentam comparações com experimentos em tubulações com mudança de inclinação, como risers. Mais recentemente, Al-Safran et al. (24) utilizaram o modelo proposto em Taitel e Barnea (2) e compararam os resultados das simulações com dados experimentais obtidos no TUFFP (Tulsa University Fluid Flow Projects) para dois casos de escoamento em terrenos acidentados. Segundo os autores, a comparação dos resultados é boa. Grenier (1997) apresentou um modelo de seguimento de pistões, que foi reapresentado por Franklin e Rosa (24), e segue alguns conceitos do modelo de Nydal e Banerjee (1995). O gás é considerado compressível e ideal, o pistão é nãoaerado e a fração de líquido no filme é constante. O modelo é baseado na aplicação das equações de conservação da massa e quantidade de movimento na forma integral a volumes de controle que seguem as bolhas e pistões. A equação de conservação da quantidade de movimento é aplicada ao pistão de líquido, sem desconsiderar os termos de variação e fluxo da quantidade de movimento no pistão, resultando em uma equação para a variação temporal da velocidade do pistão. Franklin e Rosa (24) mostraram que o termo de fluxo de quantidade de movimento pode ser escrito como a soma dos termos de queda de pressão devido à aceleração do líquido que passa do filme para o pistão e devido à diferença de pressão hidrostática entre o filme na traseira da bolha e o pistão. A equação de conservação da massa é aplicada à fase de gás na célula resultando em uma equação para a variação temporal da pressão no interior da bolha. A entrada das

33 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 18 bolhas e pistões na tubulação é realizada de maneira periódica (todas as bolhas e pistões possuem os mesmos comprimentos). Mais recentemente, Ujang et al. (26) propuseram seu modelo de seguimento de pistões. Os autores consideraram o gás como incompressível e o pistão é aerado, porém as velocidades do líquido e do gás no pistão são iguais. A fração de líquido no filme é calculada através do balanço de quantidade de movimento em regime estacionário e a transferência de gás da bolha para o pistão seguinte é modelada através de uma equação experimental. As variáveis primárias são a massa de gás e o comprimento de cada objeto (bolha ou pistão) e a discretização é explícita no tempo. Os autores propõem uma forma de inserção de bolhas a partir de uma distribuição não-correlacionada de Poisson, baseada em dados experimentais. O modelo só é válido para o escoamento horizontal, devido às correlações utilizadas para modelar a transferência de gás da bolha para o pistão seguinte. Finalmente, Rodrigues (26) utilizou o modelo proposto por Franklin e Rosa (24), porém, o pistão de líquido foi considerado como aerado e a equação de conservação da quantidade de movimento foi aplicada a toda a célula, considerando-se os termos de variação de quantidade de movimento e fluxo de quantidade de movimento no filme de líquido. Além disso, o autor propôs um modelo para a inserção das células de forma intermitente (aleatória), com uma população de bolhas e pistões calculados com base em uma distribuição normal para a velocidade das bolhas na entrada. No entanto, os resultados mostraram que os termos de inércia do filme de líquido não são relevantes, e o modelo de intermitência utilizado introduzia a intermitência somente em uma variável, a velocidade da bolha. Além disso, alguns resultados para o escoamento vertical foram apresentados, porém, sem muitos dados experimentais para comparação. O presente trabalho é uma evolução do trabalho de Rodrigues (26). Na modelagem apresentada, as variáveis principais são as velocidades do líquido nos pistões e as pressões no interior das bolhas, que são resultado da resolução de um sistema de equações resolvido a cada passo de tempo. As frações de líquido no pistão e no filme são consideradas variáveis no tempo e a entrada de bolhas e pistões é realizada a partir de populações independentes para os comprimentos de