Dance Dance Revolution

Transcrição

1 Dance Dance Revolution Senhor White, um homem obeso, está obcecado por um jogo chamado Dance, Dance, Revolution (DDR). Porém, suas habilidades de dança são tão ruins que ele não consegue dançar uma música, mesmo se ele se esforçar ao máximo. Será o DDR apenas uma maneira dele esbanjar sua saúde? De jeito nenhum. Ele ainda espera um dia ser conhecido como Terpsícora White. Assim, ele está pensando em escrever um programa para planejar a sequência de movimentos de seus pés, para que ele possa economizar energia durante a dança. Agora, ele está ansioso para dançar facilmente (sem muito esforço). DDR é um jogo de dança que exige do dançarino usar os pés para pisar nos pontos de acordo com a sequência de instruções do jogo. Há um ponto central e quatro pontos secundários. Esses pontos secundários são classificados como superior, esquerda, inferior e direita. Por simplificação, esses pontos serão representados por números. Isto é, o ponto central é 0, o superior é 1, a esquerda é 2, a parte inferior é 3, e o ponto a direita é 4, como apresentado pela figura ao lado No início, os dois pés do dançarino ficam no ponto central. De acordo com a sequência de instruções, o dançarino tem que mover um de seus pés para os pontos secundários. Por exemplo, se a sequência exige que ele, primeiramente, se mova para o ponto superior, ele deverá mover um de seus pés a partir do ponto 0 para o ponto 1 (observação: apenas um dos pés). Além disso, se a sequência então exige que ele mova um pé para o ponto inferior, ele deverá mover um dos seus pés para o ponto 3, independentemente de usar o pé que permanece no ponto 0 ou aquele que está no ponto 1. Existe uma regra estranha no jogo: não é permitido mover os dois pés para o mesmo local. Por exemplo, se a sequência requer que o dançarino mova um pé para o ponto inferior e um de seus pés já está lá (no ponto 3), o dançarino deve manter o pé no mesmo ponto e pisar novamente neste ponto (ao invés de mover o outro pé para o ponto 3). Depois de dançar por um longo tempo, Sr. White pôde calcular quanta energia será consumida quando ele se move de um ponto a outro. Mover um de seus pés a partir do ponto central para todos os pontos secundários irá consumir 2 unidades de sua força. Mover de um ponto secundário para outro ponto secundário adjacente irá consumir 3 unidades (como do ponto superior para o ponto esquerdo). Mover-se de 1

2 um ponto de um lado para o ponto do lado oposto vai consumir 4 unidades, como do ponto superior ao ponto inferior. No entanto, se ele permanece no mesmo ponto e pisar novamente, ele vai usar 1 unidade de energia/força. Suponha que a sequência de instruções manda o Sr. White se deslocar para os pontos 1, 2, 2 e, então, 4. Suas posições de pés podem ficar assim: (0, 0) (0, 1) (2, 1) (2, 1) (2, 4) Sendo que cada par de inteiros entre parênteses representa a posição de cada um dos pés (o pé esquerdo no número da esquerda e o pé direito no número da direita). A sequência de movimentos apresentada exige do Senhor White 8 unidades de energia. Se ele fizesse outros movimentos para satisfazer a mesma sequência de instruções ele provavelmente gastaria muito mais energia, pois 8 unidades é o menor custo para a sequência. Entrada A entrada consistirá de uma série de sequências de instruções. Cada sequência de instruções contém uma sequência de números. Cada número valerá 1, 2, 3 ou 4 e representa cada uma das quatro posições possíveis para se colocar os pés. Um número 0 (zero) na sequência de instruções indica o fim da sequência (e não corresponde a nenhuma instrução). A entrada será encerrada com uma sequência contendo um único número zero. Saída Para cada sequência de instruções, imprima a quantidade mínima de força/energia necessária para a execução daquela sequência. O número deverá ser impresso sozinho na linha. Exemplo de Entrada Exemplo de Saída

3 1374 Cálculo de Potências Iniciando com x e multiplicando-o repetidamente por x, é possível computar x 31 com trinta multiplicações. x 2 = x * x; x 3 = x 2 * x; x 4 = x 3 * x;... ; x 31 = x 30 * x A operação de elevar ao quadrado pode encurtar bastante a sequência de multiplicações. A seguir está uma maneira de computar x 31 com oito multiplicações: x 2 = x * x; x 3 = x 2 * x; x 6 = x 3 * x 3 ; x 7 = x 6 * x; x 14 = x 7 * x 7 ; x 15 = x 14 * x; x 30 = x 15 *x 15 ; x 31 = x 30 * x Esta não é a menor sequência de multiplicações para computar x 31. Há muitas maneiras diferentes de se fazer isso com apenas sete multiplicações. Uma delas é: x 2 = x * x; x 4 = x 2 * x 2, x 8 = x 4 * x 4, x 10 = x 8 *x 2 ; x 20 = x 10 * x 10 ; x 30 = x 20 *x 10 ; x 31 = x 30 * x Por outro lado, não há maneira de computar x 31 com menos de sete multiplicações. Assim, esta é uma das formas mais eficientes de computar x 31 apenas com multiplicações. Se a divisão também estiver disponível, nós podemos encontrar uma sequência de operações ainda menor (com cinco multiplicações e uma divisão): x 2 = x*x; x 4 = x 2 *x 2 ; x 8 = x 4 *x 4 ; x 16 = x 8 *x 8 ; x 32 = x 16 *x 16 ; x 31 = x 32 /x. Esta é uma das maneiras mais eficientes de computar x 31 caso a divisão seja tão rápida quanto a multiplicação. Sua missão é escrever um programa para encontrar o menor número de operações para computar x n usando multiplicações e divisões, iniciando com x e sendo n um inteiro positivo. Produtos e quocientes na sequência de operações devem ser compostos apenas por x elevado a um inteiro positivo (por exemplo, o termo x -3 não é permitido). Entrada A entrada consistirá de uma sequência de uma ou mais linhas, cada uma contendo um único inteiro n. Este número será positivo e menor ou igual a O final da entrada será indicado por um zero. Saída Seu programa deverá imprimir a menor quantidade de multiplicações e divisões necessárias para computar x n, iniciando em x. Para cada valor de entrada imprima em uma linha a resposta. 3

4 Exemplo de Entrada Exemplo de Saída

5 Meteoros A famosa empresa coreana de internet NHN criou um serviço de fotos baseado na Internet que permite que aos usuários dessa empresa tirar uma foto de um fenômeno astronômico no espaço, controlando um telescópio de alta performance de propriedade da NHN. Alguns dias mais tarde, uma chuva de meteoros é esperada, e será a maior deste século. NHN anunciou um concurso que premiará o usuário que tirar uma foto com a maior quantidade possível de meteoros, utilizando o serviço de fotografia da empresa. Para esta competição, NHN fornece as informações sobre as trajetórias dos meteoros na sua página web com antecedência. A melhor maneira de ganhar é calcular o momento (o tempo) em que o telescópio pode fotografar o número máximo de meteoros. Você terá n meteoros, cada um em movimento linear uniforme. O meteoro m i se move pela trajetória p i + t v i sobre o tempo t, onde t é um valor real não negativo, p i é o ponto inicial de m i e v i é a velocidade de m i. O ponto p i = (x i, y i ) é presentando pelas coordenadas x i e y i no plano (X, Y), e a velocidade v i = (a i, b i ) é um vetor diferente de zero, com dois componentes a i e b i no plano (X, Y). Por exemplo, se p i = (1, 3) e v i = (-2, 5), então o meteoro m i estará na posição (0, 5.5) no tempo t = 0.5, pois p i + t v i = (1, 3) (-2, 5) = (0, 5.5). O telescópio possui um frame retangular com a coordenada inferior esquerda na posição (0, 0) e coordenada superior direita na posição (w, h), conforme ilustrado pela figura a seguir. 5

6 Um meteoro está no frame (enquadrado) do telescópio se estiver no interior do frame (não podendo estar nas bordas). Por exemplo, na figura os pontos p 2, p 3, p 4, e p 5 não estão enquadrados no telescópio, pois não estão no interior do frame. Você precisará computar o momento no qual a maior quantidade de meteoros estará enquadrada pelo telescópio e, então, imprimir o número de meteoros enquadrados nesse momento. Entrada A entrada consistirá de T casos de teste. O número T será dado na primeira linha de entrada. Cada caso de teste inicia com uma linha contendo dois inteiros w e h (1 w, h ), correspondendo a largura e altura do frame do telescópio. A segunda linha contém um inteiro n, correspondendo ao número de pontos (meteoros), 1 n Cada uma das n linhas seguintes contém quatro inteiros x i, y i, a i, e b i ; sendo (x i, y i ) o ponto inicial do meteoro e (a i, b i ) o vetor de velocidade diferente de zero v i do meteoro m i ; x i e y i são valores inteiros entre e , e a i e b i são inteiros entre -10 e 10. Observe que pelo menos a i ou b i será diferente de zero. Cada um desses quatro valores será separado por um espaço em branco e todos os pontos iniciais p i são diferentes. Saída Seu programa deverá imprimir o número máximo de meteoros que poderão ser fotografados pelo telescópio em algum momento. Exemplo de Entrada Exemplo de Saída 1 2 6

7 1445 Obras de Arte Cubistas O Centro Internacional de Cubismo Picassiano é um museu nacional espanhol de obras de arte cubista, dedicado a Pablo Picasso. O centro realizou um concurso para uma obra de arte que será exibida na frente da fachada do edifício do museu. A obra de arte é uma coleção de cubos que são empilhados no chão e se destina a divertir os visitantes, que ficarão curiosos com a mudança na forma da coleção de cubos quando ela é vista de frente e dos lados. A obra de arte é uma coleção de cubos com largura de um metro de comprimento e será construída em um terreno plano que é dividido em uma grade de um por um metro quadrado. Devido a algumas razões técnicas, cubos da obra de arte devem ser colocados no chão, encaixando-se na grade, ou colocados sobre outro cubo da maneira que a face inferior do cubo superior se encaixe exatamente na face superior do cubo inferior. Nenhuma outra forma de colocar cubos é possível. Você é membro do corpo de juízes responsável por selecionar uma entre a grande abundância de obras de arte apresentadas no concurso. A decisão é tomada com base principalmente na qualidade artística, mas o custo para a instalação da obra é outro fator importante. Sua tarefa é investigar o custo de instalação de cada obra proposta. O custo é proporcional ao número de cubos, então você tem que descobrir o número mínimo de cubos necessários para a instalação. Cada obra proposta consistirá de uma visão frontal e uma visão lateral (a visão do lado direito), como mostrado na figura abaixo. A visão frontal indica qual é a altura máxima das pilhas de cubos para cada coluna. Há muitas maneiras de instalar a obra, como indicado nas próximas figuras. 7

8 A figura da esquerda usa 16 cubos, o que não é a solução minimal para a obra (isto é, é possível instalar a obra proposta com menos cubos). A figura da direita é, para a obra de arte apresentada, a instalação que usa a menor quantidade de cubos (13). Note que uma pilha com altura 3 da figura da direita exerce a função de duas da figura da esquerda (em relação ao esquema inicial da obra proposta). Note também que trocar duas colunas inteiras (uma com a outra) não muda a visão lateral, assim como trocar linhas inteiras não muda a visão frontal. Assim, essas trocas não mudam o custo da proposta de arte. Observe a figura a seguir: Uma instalação ótima desta obra pode ser atingida com 13 cubos, como mostrado na figura ao lado, que é justamente um remanejamento de colunas da instalação ótima apresentada anteriormente. Entrada A entrada será composta por uma sequência de casos de teste. O fim da entrada será indicado por uma linha contendo dois zeros, separados por um espaço em branco. Cada caso de teste é formatado da seguinte maneira: w d h 1 h 2... h w h' 1 h' 2... h' d Os inteiros w e d correspondem ao número de colunas e linhas da grade, respectivamente. Você pode assumir que 1 w 10 e 1 d 10. Os inteiros, separados 8

9 por um espaço em branco na segunda e terceira linha especificarão a forma da obra de arte. Os inteiros h i (1 h i 20, 1 i w) na segunda linha dão a visão frontal, isto é, as alturas máximas das pilhas de cubos para cada coluna, ordenadas da esquerda para a direita (vistas frontalmente). Os inteiros h' i (1 h' i 20, 1 i d) na terceira linha dão a visão lateral, isto é, as alturas máximas de cubos para cada linha, ordenadas da esquerda para a direita (vistas pela visão lateral a direita). Saída Para cada caso de teste, imprima uma linha contendo o número mínimo de cubos necessários para instalar a respectiva obra de arte. Você pode assumir que, para cada caso de teste, há no mínimo uma instalação possível para a obra. Exemplo de Entrada Exemplo de Saída

10 1638 Arranjo de Postes Existem postes de altura 1, 2,..., N, consecutivas. Se você olhar para conjuntos de postes pelo lado esquerdo ou pelo lado direito, haverá postes menores escondidos por postes mais altos. Por exemplo, considere os dois arranjos de 4 postes na figura seguinte: Para cada arranjo, apenas um poste será visto ao se olhar pelo lado esquerdo, e dois postes podem ser vistos ao se olhar pela direita. Escreva um programa que calcule o número de arranjos de n postes, de forma que do lado esquerdo você consiga ver f postes e do lado direito você consiga ver r postes. Entrada Seu programa receberá como entrada T casos de teste. O número de casos de teste T é dado na primeira linha da entrada. Cada caso de testes consiste de uma linha contendo três inteiros, n, f, e r (1 f, r n 20), sendo n o número de postes, r o número de postes que poderão ser vistos pela direita e f o número de postes que poderão ser vistos pela esquerda. Saída Para cada caso de teste, seu programa deverá imprimir uma linha contendo o número de arranjos de postes possíveis. A seguir são apresentados quatro casos de teste. Exemplo de Entrada Exemplo de Saída

11 Admiral Michiel de Ruyter Adriaenszoon é o mais famoso almirante da história holandesa e é muito conhecido por seu papel nas guerras anglo-holandesas do século 17. De Ruyter comandou pessoalmente um navio de guerra e emitiu ordens para navios de guerra aliados durante as batalhas navais. No tempo de De Ruyter, teoria dos grafos tinha acabado de ser inventada e o almirante usou-a para sua grande vantagem no planejamento de batalhas navais. Os pontos de passagem no mar são representadas por vértices, e possíveis ligações a partir de um ponto de passagem para outro são representadas como arestas dirigidas. Dados quaisquer dois pontos de passagem W1 e W2, há no máximo uma ligação W1 W2. Cada aresta dirigida é marcada com o número de balas de canhão que precisam ser disparadas a fim de se movimentar com segurança um navio ao longo dessa ligação, afundando os navios inimigos encontrados ao longo do caminho. Uma das táticas mais bem sucedidas de De Ruyter foi a manobra De Ruyter. Aqui, dois navios de guerra começam no mesmo ponto e dividem-se para lutar através da frota inimiga, juntando-se novamente em um ponto de destino. A manobra exige que os dois navios de guerra tomem rotas disjuntas, o que significa que eles não devem visitar o mesmo ponto (excepto os de início e fim), ou usar a mesma ligação (aresta) durante a batalha. Sendo holandês, o almirante De Ruyter não gosta de perder dinheiro; na guerra naval do século 17, isso significava disparar a menor quantidade possível das caras balas de canhão. Figura 1. Instância da tática: Dois navios (vermelho e azul) se movendo do ponto de início (1) até o ponto de destino (6). A rota do navio vermelho foi 1 3 6, disparando 33 balas de canhão; a rota do navio azul foi 11

12 (disparando 53 balas de canhão pelo caminho). Ao todo, 86 balas de canhão foram disparadas. Exceto pelos pontos de início e fim, nenhum vértice ou aresta foi visitado duas vezes. Entrada Para cada caso de teste, a entrada consistirá de: Uma linha contendo dois inteiros v (3 v 1000) e e (3 e 10000), correspondendo ao número de vértices e de arestas, respectivamente. Então, e linhas seguirão: para cada aresta haverá uma linha contendo três inteiros: 1. a i (1 a i v), o ponto inicial (vértice) da ligação (aresta); 2. b i (1 b i v e a i b i ), o ponto final (vértice destino) da ligação (aresta). Lembrando que todas as arestas são direcionadas; 3. c i (1 c i 100), o número de balas de canhão que precisam ser disparadas para se navegar pela ligação (aresta). O ponto de origem sempre será 1 e o ponto de destino v. Sempre haverá ao menos dois caminhos disjuntos de 1 para v. Saída Para cada caso de teste, a saída deverá consistir de uma única linha contendo o inteiro positivo correspondente a menor quantidade possível de balas de canhão que serão disparadas pelos dois navios ao longo de seus caminhos até o ponto de destino. Exemplo de Entrada Exemplo de Saída 86 12