Árvores Genéricas de Busca

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1 Árvores Genéricas de Busca Árvores não binárias também podem ser usadas para buscar elementos. Essas árvores são chamadas de árvores genéricas de busca, e elas podem ser de dois tipos: árvore de busca multidirecional e árvore de busca digital. 1. Árvores de busca multidirecional (ABM) Em uma árvore de busca binária, cada nó nd contém uma única chave e aponta para duas subárvores. Na subárvore esquerda estão as chaves menores e na subárvore direita estão as chaves maiores ou iguais 1 à chave contida em nd. Pode-se estender esse conceito para árvores em geral, nas quais cada nó contém uma ou mais chaves. Uma ABM de ordem n é uma árvore na qual cada nó contém n ou menos subárvores e contém uma chave a menos que a quantidade de suas subárvores. Por exemplo, se um nó tiver 4 subárvores, ele terá 3 chaves. Adicionalmente, se s 1, s 2,..., s n forem as n subárvores de um nó contendo as chaves k 1, k 2..., k n-1 ordenadas em ordem ascendente, todas as chaves da subárvore s 1 serão menores do que k 1, todas as chaves na subárvore s i (onde 2 <= i <= n-1) serão maiores ou iguais a k i-1 e menores que k i, e todas as chaves na subárvore s n serão maiores ou iguais a k n-1. A subárvore s i é chamada de subárvore esquerda de k i e sua raiz é chamada de filho esquerdo da chave k i. De maneira similar, também se define subárvore e filho direito de uma determinada chave. A figura 1 apresenta alguns exemplos de uma ABM. A árvore a) tem ordem 4 e as árvores b) e c) têm ordem 3. Definições (Exemplos se referem à figura 1): Nó completo: Contém o número máximo de chaves. Na árvore a), os nós A,D,E e G são completos. ABM top-down: árvore na qual todo nó incompleto é uma folha. Por ex, árvore b). Semifolha: Nó com pelo menos uma subárvore vazia. Na árvore b), os nós B, C, D, E, F, G, I, J, K, L, M, N, O, P, Q e R são exemplos de semifolhas. Folha: Nó com todas as subárvores vazias. ABM balanceada: Todas as semifolhas encontram-se no mesmo nível, ou seja, todas as semifolhas são folhas, e todas as subárvores vazias estão no mesmo nível. Exemplo: árvore c). Note que a árvore c) não é top-down, mas está balanceada. E note que a árvore a) não é top-down e também não está balanceada.

2 Figura 1 Árvores de Busca Multidirecional 1.1. Implementando uma ABM Em uma ABM de ordem n, geralmente, implementam-se os nós como vetores que possuem n-1 chaves e n ponteiros para as n subárvores. Essa estratégia é possível porque em 1 Chaves iguais podem ser colocadas à esquerda. É importante que, uma vez escolhido o lado, todas as inserções e busca subseqüentes usem o mesmo padrão.

3 ABMs existe um limite para a quantidade de filhos de um nó, e podemos esperar que a maioria dos nós seja a mais completa possível. Entretanto, quando os nós não são completos, as ABMs implementadas dessa maneira desperdiçam espaço (afinal, usando um vetor, será alocado espaço para todas as chaves e para todos os ponteiros das subárvores, independente do espaço ser usado ou não). Apesar desse possível desperdício, as ABMs são bastante utilizadas em armazenamento externo. Em armazenamento externo, a questão de manter as chaves em um bloco compacto é mais importante do que o efetivo desperdício de espaço. Quando se pensa em armazenamento externo, fica-se limitado à velocidade de acesso ao disco rígido (hard disk), que é bem menor do que a velocidade de acesso à memória principal (RAM). Essa demora se deve principalmente à necessidade de posicionar o cabeçote de leitura sobre a informação que será recuperada. Após posicionar o cabeçote, a leitura em si é rápida. A leitura de informações em um disco é feita em blocos, de maneira que, o ideal é manter o maior número de elementos juntos (seqüencialmente organizados) para que, após apenas uma movimentação do cabeçote de leitura, todos os dados sejam copiados para a memória RAM, onde o acesso aos dados é muito mais rápido. (Imagine que, se armazenássemos uma árvore binária em disco, para cada chave acessada seria necessário um acesso a disco). Dessa maneira, concentrando várias chaves em apenas um nó (e esse nó pode ser entendido como um bloco de um disco), que será copiado para a memória principal em apenas uma leitura de disco, ganha-se desempenho. Por essa razão, os sistemas de armazenamento baseados em ABMs buscam maximizar o tamanho dos nós, e nós de tamanho 200 ou mais não são incomuns. Em relação ao desperdício de espaço, é importante lembrar que espaço em disco (armazenamento externo) é muito mais barato que espaço em memória (armazenamento interno) Inserção em uma ABM A inserção em uma ABM pode ser feita de duas maneiras: a primeira é análoga a técnica de inserção em árvores de busca binária, e gera ABMs top-down. A segunda é uma técnica um pouco mais elaborada, e gera ABMs balanceadas. As ABMs balanceadas geradas por essa técnica de inserção são chamadas de Árvores B. Independente da técnica, inserções são sempre feitas em nós folha. A primeira técnica, resumidamente, funciona da seguinte maneira: Encontra-se o nó folha onde a nova chave se insere; Se esse nó folha possuir espaço, a nova chave é inserida nesse nó; Se o nó folha estiver completo, é criado um novo nó (contendo apenas a nova chave) e ele é inserido na posição correspondente na árvore. Um exemplo é mostrado na figura 2 (sala de aula).

4 1.3. Árvores B A segunda técnica de inserção em ABMs é mais complexa, mas para compensar essa complexidade, ela gera árvores balanceadas, de maneira que o número máximo de nós acessados para encontrar determinada chave se mantém pequeno. Outra vantagem desse segundo método é que os nós (exceto a raiz) numa árvore criada por essa técnica são, no mínimo, semicompletos - (n-1)/2 chaves - de modo que muito pouco espaço de armazenamento é desperdiçado. Uma ABM balanceada de ordem n, na qual cada nó não raiz contém pelo menos (n-1)/2 chaves, é chamada árvore B de ordem n. Os dois primeiros passos da técnica de inserção são idênticos aos da primeira técnica, ou seja, encontra-se o nó folha onde a nova chave se insere, e se o nó tiver espaço, insere-se a chave nesse nó. Veja bem, uma nova chave é sempre inserida em um nó folha, mesmo que algum nó não-folha possua espaço. Se o nó estiver cheio, porém, não é criado um novo nó, e sim o nó folha deve ser dividido. Se a árvore B tem ordem n, então o nó completo tem n-1 chaves. Inserindo a nova chave, o nó passa a ter n chaves. Dessas n chaves, dividem-se as primeiras n/2 chaves em um nó e as últimas n/2 chaves em outro nó. A chave central sobe para o nó pai, e os dois novos nós são inseridos como filhos esquerdo e direito dessa chave central. Se o nó pai tiver espaço, a chave é inserida nesse nó. Se não tiver espaço, o nó pai também é subdivido em duas partes, repetindo o mesmo processo, até que se chegue a raiz (que não precisará ter n/2 nós). Se a árvore B tiver ordem ímpar, a divisão de nós completos sempre gerará nós de tamanho n/2 (por exemplo, em uma árvore B de ordem 5, o nó completo possui 4 chaves. Inserindo uma nova chave nesse nó e dividindo-o, tem-se: uma chave central e dois nós de tamanho 2), e a operação de inserção é direta. Em árvores de ordem par, os nós gerados da divisão de um nó completo serão de tamanhos diferentes. O nó gerado com maior número de chaves pode ficar à direita (tendência direita) ou à esquerda (tendência esquerda) da chave central. Nesse caso, o maior nó teria n/2 chaves e o menor teria (n-1)/2. Por exemplo, para uma árvore B de ordem 6, o nó completo possui 5 chaves. Inserindo uma nova chave, tem-se: uma chave central, um nó com 3 chaves e outro com 2. O nó com 3 chaves pode ficar à direita ou à esquerda, dependendo da tendência usada. Exemplos: Figura 3 (sala de aula) 1.4. Eliminação em ABMs A eliminação de uma chave em uma ABM pode ser feita de diversas maneiras, mas aqui será destacado apenas o método de exclusão utilizado em árvores B.

5 A retirada de uma chave de um nó pode ser feita pela compactação do nó (se a chave estiver em um nó folha) ou pela substituição da chave pela sua sucessora (se a chave estiver em um nó não folha), que necessariamente estará em um nó folha. Por sucessora entende-se a chave que viria em seguida caso as chaves fossem impressas classificadas (como a sucessora em-ordem para árvores binárias). Se após essa operação, algum nó folha ficar com menos de (n-1)/2 chaves, deve-se tomar duas atitudes: 1. Verificar se um dos dois irmãos (anterior e seguinte) desse nó contém um número de chaves pelo menos uma unidade a mais do que o valor mínimo de chaves. Nesse caso, empresta-se uma chave desse nó irmão. 2. Se os dois irmãos estiverem com o número mínimo de nós, então deve-se concatenar ou consolidar o nó que perdeu uma das chaves com um de seus irmão. O nó recém criado vai conter as chaves dos dois nós concatenados e também a chave do nó pai que os separava. Se o nó pai, por esse motivo, ficar também com um número menor do que (n-1)/2 de chaves, então aplicam-se as duas técnicas (empréstimo ou consolidação) também ao nó pai, e assim por diante, até que um nó possua pelo menos (n-1)/2 chaves ou que o processo de consolidação/empréstimo chegue ao nó raiz. Exemplos da técnica citada acima são apresentados na figura 4 (sala de aula) Eficiência de uma ABM Avaliar a eficiência de uma ABM implica em estudar dois aspectos: tempo de busca e espaço utilizado. O tempo de busca é calculado através do número de nós acessados (e não pelo número de comparações) em uma operação de busca, pois uma ABM é utilizada principalmente para buscar registros armazenados em memória secundária (por exemplo, disco rígido) e uma operação crítica em unidades de disco é a leitura ou escrita de dados. Quando se analisa o tempo de busca de uma chave, ambas as árvores são parecidas, pois, na prática, para um conjunto aleatório de chaves, a árvore top-down se mantém relativamente balanceada, como a árvore B. Porém, a árvore B está sempre balanceada e consegue garantir sempre um tempo de busca baixo. Em relação ao espaço utilizado, uma ABM, independente de ter todos os nós completos, sempre ocupará o espaço de armazenamento total, isto é, uma árvore de ordem 7, com 5 nós, ocupará em disco o espaço correspondente a 35 chaves, independente dos nós terem 1 ou 7 chaves. Será melhor a árvore que aproveitar melhor esse espaço reservado, evitando o desperdício. Uma árvore top-down não possui um número mínimo de chaves para seus nós, o que acaba gerando um grande desperdício de espaço. Já, a árvore B possui em todos os nós (exceto, talvez, na raiz) pelo menos (n-1)/2 nós, o que garante um aproveitamento de quase 50% do

6 espaço armazenado, no mínimo. Na prática, uma árvore B consegue em média ocupar 69% do espaço total Árvore B* Este tipo de árvore é utilizado para aprimorar a utilização de espaço em uma árvore B. Para isso, retarda-se a divisão de um nó no caso dele encher em função de uma inserção. Em substituição, as chaves do nó a ser dividido e as chaves de um de seus irmãos adjacentes, bem como a chave no pai que separa os dois nós, são redistribuídas uniformemente. Esse processo é mostrado na figura 5, que representa uma árvore B de ordem 7. Quando um nó e seu irmão estiverem completos, os dois nós serão divididos em 3. Isso assegurará uma utilização mínima de armazenamento de 67%, e a utilização do armazenamento será mais alta na prática. Esse tipo de árvore é chamado árvore B*. Exemplo: Figura 5 (sala de aula) 1.7. Árvore B+ Uma árvore B+ permite que as chaves sejam percorridas seqüencialmente com maior rapidez. Para isso, todas as chaves são mantidas em nós folha e as folhas são ligadas entre si, formando uma lista encadeada. Nesse caso, algumas chaves são repetidas nos nós não folha para manter as características de uma árvore B. Exemplo: Figura 6 (sala de aula).