Árvore B. Uma Árvore B de ordem m éumaárvore,talque: Cada nó contém no máximo m

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1 Árvore B Uma Árvore B de ordem m éumaárvore,talque: Cada nó contém no máximo m 1valores; Os valores dentro de cada nó estão ordenados; Todos os valores na subárvore esquerda de um valor são menores que ele e todos os valores na subárvore direita de um valor são maiores que ele. Todo os nós, exceto a raiz, contém no mínimo (m 1)/2 valores; Cada nó que não seja uma folha tem n + 1filhos,onden éo números de valores no nó. Ela é perfeitamente balanceada, ou seja, todas as subárvores vazias estão no mesmo nível.

2 Árvore B: Página Um nó de uma árvore B é chamado de página. Página Raiz: não contém número mínimo de nós. Página Interna: devem conter (m 1)/2 apple n < m nós e n + 1 filhos. Página Folha: devem conter (m 1)/2 apple n < m nós e nenhum filho (devem estar todas no mesmo nível).

3 Árvore B: Exemplo

4 Árvore B: Exemplo

5 Árvore B: Exemplo

6 Árvore B: Exemplo

7 Árvore B: Exemplo

8 Árvore B: Exemplo

9 Árvore B: Exemplo

10 Árvore B: Exemplo

11 Árvore B Cada página possui um vetor de valores e um vetor de ponteiros. #define ORDEM 1000 typedef struct pagina { int n; int k[ordem-1]; struct pagina *filho[ordem]; } Pagina; typedef Pagina* ArvoreB;

12 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

13 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

14 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

15 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

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18 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

19 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

20 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

21 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

22 Busca Abuscaserámaiscomplexadentrodeumapágina.Comocada página está ordenada podemos usar busca binária dentro de cada página para definir o valor ou o filho da árvore que deve ser seguido.

23 Busca Binária int binsearch(int* v, int min, int max, int x) { if (max == min) return min; int meio = (max-min)/2; if (v[meio] == x) return meio; if (v[meio] < x) return binsearch(v, meio+1, max, x); if (v[meio] > x) return binsearch(v, min, meio-1, x); } Complexidade

24 Busca Binária int binsearch(int* v, int min, int max, int x) { if (max == min) return min; int meio = (max-min)/2; if (v[meio] == x) return meio; if (v[meio] < x) return binsearch(v, meio+1, max, x); if (v[meio] > x) return binsearch(v, min, meio-1, x); } Complexidade O(log m), nopiorcasoovetortemm 1elementos

25 Busca Pagina *search(pagina *T, int x, int *i) { if (T == NULL) { return NULL; *i = -1; } else { int p = binsearch(t->k, 0, T->n, x); if (x == T->k[p]) { return T; *i = p; } if (x < T->k[p]) return search(t->filho[p], x, i); if (x > T->k[p]) return search(t->filho[p+1], x, i); } } Complexidade

26 Busca Pagina *search(pagina *T, int x, int *i) { if (T == NULL) { return NULL; *i = -1; } else { int p = binsearch(t->k, 0, T->n, x); if (x == T->k[p]) { return T; *i = p; } if (x < T->k[p]) return search(t->filho[p], x, i); if (x > T->k[p]) return search(t->filho[p+1], x, i); } } Complexidade O(h log m) oqueresultaemo(log n)

27 Inserção Para acharmos o lugar correto para inserir um nó, devemos realizar uma busca na Árvore, até acharmos a folha correspondente, ao achar a folha, teremos 2 casos. Caso 1: ovalorcabenapágina. Caso 2: ovalornãocabenapágina.

28 Inserção: Caso 1 Ovaloréinseridonapáginadeformaordenadaeonúmerode valores é atualizado.

29 Inserção: Caso 1 Ovaloréinseridonapáginadeformaordenadaeonúmerode valores é atualizado.

30 Inserção: Caso 2 Éachadaamediana(valorqueestánomeiodovetor)entre todos os valores da pagina e o valor a ser inserido. Todos os valores menores que a mediana formaram uma nova pagina. Todos os valores maiores que a mediana formaram uma nova pagina. Amedianaéinseridanapáginapai,comosvaloresmenoresde filho esquerdo e os maiores de filho direto.

31 Inserção: Caso 2

32 Inserção Deve ser encontrada a folha na qual o valor será inserido. Ainserçãoemumafolhacheiairápercorreaárvoreatéaraiz ou até que seja encontrada uma página com espaço. AcomplexidadedoalgoritmoseráO(log n). Não existem rotações nem fator de balanceamento, mas é necessário manter o vetor de cada página ordenado. Aseparaçãodeumapáginaemduaséchamadadequebrada página (ou split em inglês).

33 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14, 16, 12

34 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5,1, 24, 4, 9, 42, 14, 16, 12

35 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14, 16, 12

36 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14, 16, 12

37 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4,9,42,14,16,12

38 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9,42,14,16,12

39 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42,14,16,12

40 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14,16,12

41 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14, 16,12

42 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14, 16, 12

43 Inserção: Exemplo Crie a Árvore B de ordem 5 com as seguintes inserções: 25, 5, 1, 24, 4, 9, 42, 14, 16, 12

44 Árvore B Uma árvore B de ordem 3 é essencialmente uma árvore 2-3. Árvores B são usadas em banco de dados (ORACLE, SQL) e em sistemas de arquivos (NTFS, HFS). Uma página contém somente as chaves de cada registro e normalmente está na memória secundária. Ao ser acessada é trazida para a memória principal.

45 Árvore B Uma árvore B de ordem 3 é essencialmente uma árvore 2-3. Árvores B são usadas em banco de dados (ORACLE, SQL) e em sistemas de arquivos (NTFS, HFS). Uma página contém somente as chaves de cada registro e normalmente está na memória secundária. Ao ser acessada é trazida para a memória principal. Apesar das operações de busca e inserção (e remoção) terem complexidade O(log n), o acesso a disco é menor,pois há um acesso por página somente e o número de páginas numa árvore BémuitomenorqueonúmerodenósdeumaárvoreAVL.

46 Árvore B Simulador Online https: //

47 Exercício Diga quantas comparações são necessárias para encontrarmos o número 72 na árvore abaixo.