B-tree. B-Trees. Estrutura do nodo da B-tree. Balanceamento. Disposição dos elementos ordenados na B-tree. Exemplo de uma B-tree de ordem 3

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1 B-tree B-Trees Material da Prof. Denise Bandeira, aula de Christian Hofsetz B-Trees são árvores balanceadas. Diferente das árvores binárias, os nós de uma B-tree podem ter um número variável de nodos filho. Cada nodo interno tem um conjunto de campos chave e de campos ponteiro para os seus nodos filho. Os valores de chave são armazenados dentro do nodo em ordem não decrescente. Os nodos folha tem os seus campos ponteiro com valores nulos. Estrutura do nodo da B-tree Considerando X como um nodo interno da B-Tree e n o número de chaves armazenadas em X as n chaves k1, k2...kn são armazenadas em ordem crescente; e X possui n+1 ponteiros f1, f2...fn+1 para seus filhos f1 k1 f2 k2 f3 k3 f4 k fn kn fn+1 Disposição dos elementos ordenados na B-tree Em um nodo, cada campo chave tem associado a ele um campo ponteiro para um nodo filho Esse nodo filho é a raiz de uma subárvore que contém nodos com todos os valores de chave menores ou iguais ao valor da chave em questão no nodo pai; e maiores do que o valor da chave anterior no nodo pai. Cada nodo tem também um campo ponteiro adicional que indica o seu filho mais à direita Esse nodo é a raiz de uma subárvore que contém nodos com todos os valores de chave maiores do que todas as chaves do nodo pai. Exemplo de uma B-tree de ordem 3 ordem = 3 (número de filhos em cada nodo ou ordem) Alguns autores utilizam a palavra ordem de uma B-tree para indicar o número máximo de chaves num nó. Outros autores utilizam a palavra ordem para indicar o número máximo de filhos. Balanceamento Para uma B-tree é definido o número mínimo de filhos que todos os seus nodos devem ter, o grau mínimo. Se m é a ordem da B-tree, todo nodo, exceto a raiz, deve possuir m/2 ou mais sub-árvores e. m/2 chaves. m/2 => menor inteiro maior ou igual a m/2. Se m = 6 => grau mínimo = 3. Se m = 5 => grau mínimo = 3. Todos os nodos folha de uma B-tree estão sempre na mesma altura. 1

2 Exemplo de uma B-tree de ordem 5 m = 5 (ordem) n = 4 (chaves) T = 3 (grau mínimo) Nenhum nodo pode ter menos o que 3 filhos ou 2 chaves. Aplicações Como cada nodo tende a ter um número grande de filhos, tipicamente é necessário passar por um número pequeno de nodos até localizar a chave desejada. Se o acesso a cada nodo requer um acesso a disco, então uma b- tree irá minimizar o número de acessos a disco necessários. O grau mínimo (fator de minimização) é usualmente escolhido de forma que o tamanho total de cada nodo corresponda a um múltiplo do tamanho de bloco do meio de armazenamento. Esta escolha simplifica e otimiza os acessos a disco. Consequentemente, uma b-tree é uma estrutura de dados apropriada para situações onde o conjunto completo de dados não podem residir na memória primária e acessos à memória secundária são muitos custosos. Altura da B-tree Uma árvore B com n chaves, altura h e grau mínimo t >= 2 satisfaz a relação: Altura da B-tree Se uma árvore B possui altura h, o número de nós é minimizado quando a raiz contém uma chave e todos os outros nós contém t - 1 chaves. Neste caso, existem 2 nós no nível 1, 2t nós no nível 2, 2t² nós no nível 3, e na altura h terá 2t h-1 nós. Logo, o número de chaves satisfaz: Busca em B-tree Processo similar à busca em uma árvore binária. Comparação entre os valores da chave de busca e das chaves armazenadas na B-tree. Como as chaves estão ordenadas, pode-se realizar uma busca binária nos elementos de cada nó. Custo a busca binária: O(lg(t)). Se a chave não for encontrada no nó em questão, continua-se a busca nos filhos deste nó, realizando-se novamente a busca binária. Custo da busca completa O(lg(t).log t (n)) Inserção em B-tree Localizar o nó folha X onde o novo elemento deve ser inserido. Se o nó X estiver cheio, realizar uma subdivisão de nós passar o elemento mediano de X para seu pai subdividir X em dois novos nós com t - 1 elementos inserir a nova chave Se o pai de X também estiver cheio, repete-se recursivamente a subdivisão acima para o pai de X No pior caso terá que aumentar a altura da árvore B para poder inserir o novo elemento 2

3 , 68 48, , 57 Remoção em B-Tree Dois casos: O elemento que será removido está em um nó interno (não folha). O elemento que será removido está em uma folha. 3

4 Elemento removido de um nó não folha Remover o valor 10 Seu sucessor, que sempre estará em uma folha, será movido para a posição eliminada e o processo de eliminação procede com a eliminação de um valor de nó folha (o valor sucessor ao que está sendo removido, nesse caso). Removido 10 Elemento removido de um nó folha Quando um elemento for removido de uma folha X e o número de elementos permanece maior ou igual a t - 1, apenas remove-se o elemento. Quando um elemento for removido de uma folha X e o número de elementos no nó folha diminui para menos que t - 1, deve-se reorganizar a árvore B. A solução mais simples é analisarmos os irmãos da direita ou esquerda de X. Se um dos irmãos (da direita ou esquerda) de X possui mais de t - 1 elementos, a chave k do pai que separa os irmãos pode ser incluída no nó X e a última ou primeira chave do irmão (última se o irmão for da esquerda e primeira se o irmão for da direita) pode ser inserida no pai no lugar de k. Remover o valor 69 Removido 69 Se os dois irmãos de X contiverem exatamente t - 1 elementos (ocupação mínima), nenhum elemento poderá ser emprestado. Neste caso, o nó X e um de seus irmãos são concatenados em um único nó que também contém a chave separadora do pai. 4

5 Remover o valor 70 Removido 70 Se o pai também contiver apenas t - 1 elementos, deve-se considerar os irmãos do pai como no caso anterior e proceder recursivamente. No pior caso, quando todos os ancestrais de um nó e seus irmãos contiverem exatamente t - 1 elementos, uma chave será tomada da raiz e no caso da raiz possuir apenas um elemento a árvore B sofrerá uma redução de altura. Remover o valor 55 Referências Removido 55 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Clifford Stein, et al., Introduction to Algorithms, 2nd Edition, MIT Press, Bruno R. Preiss. Data Structures and Algorithms with Object-Oriented Design Patterns in C++. Disponível em: tml#section animação em Java: 5