PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP. Marcelo Cardoso Ferraz. Prisma e pirâmide: um estudo didático de uma abordagem computacional

Transcrição

1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP Marcelo Cardoso Ferraz Prisma e pirâmide: um estudo didático de uma abordagem computacional MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA SÃO PAULO 2010

2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP Marcelo Cardoso Ferraz Prisma e pirâmide: um estudo didático de uma abordagem computacional Dissertação apresentada à banca examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva. SÃO PAULO 2010

3 Banca Examinadora

4 Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: Local e Data:

5 AGRADECIMENTOS À DEUS, por ter me dado a força para concluir este trabalho. À minha esposa Regina Macedo Pires Ferraz, que sempre me apoiou durante o curso, com muita compreensão e paciência. Aos meus pais, Joaquim e Benedita, pelo apoio e incentivo nos momentos mais difíceis. À minha orientadora Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva, pelo incansável trabalho de orientação, incentivo e paciência nos momentos mais difíceis. Ao Professor Doutor Saddo Ag Almouloud, e à professora Doutora Victoria Jesus Flores Salazar, pelas valiosas sugestões que contribuíram para a melhoria deste trabalho. À escola, que permitiu a aplicação das atividades experimentais. Aos professores, pela participação nas atividades que permitiram a elaboração da pesquisa. À todos os colegas de caminhada, sobretudo Fábio e Sérgio, pelo companheirismo e sugestões. Às observadoras Márcia e Regina, por terem sido eficientes no processo de experimentação. À Secretaria de Educação do Estado de São Paulo pela bolsa de estudos concedida pelo programa Bolsa Mestrado. A todos que de alguma forma, contribuíram para a realização deste trabalho. O Autor

6 RESUMO Nos estudos preliminares, sobretudo, na revisão bibliográfica, observou-se que alguns trabalhos constatam as dificuldades que os professores encontram em ensinar o conteúdo volume de prismas e pirâmides. Com o objetivo de aprofundamento dos conhecimentos relacionados ao estudo do volume de prismas e pirâmides e conscientes de que o tema ainda carece de pesquisas, considerou-se por hipótese deste estudo que uma sequência de ensino concebida à luz da Teoria das Situações Didáticas e da Teoria dos Registros de Representações semióticas, mediada pelo uso de um software de geometria dinâmica, o Cabri 3D, poderá contribuir para aprofundar o estudo sobre o tema. O objetivo da pesquisa foi desenvolver uma sequência de ensino para aprofundar o estudo com professores da rede pública estadual que contribuísse para o desenvolvimento da capacidade de expressar algebricamente e graficamente o volume de prismas e pirâmides, favorecendo o quadro das grandezas. Após a elaboração, a análise a priori da sequência e a aplicação em um grupo de professores de Matemática da Diretoria de ensino de Jacareí da rede pública estadual, a análise a posteriori mostrou que nossa hipótese foi confirmada, isto é, que uma sequência desenvolvida e aplicada com base na Teoria das Situações Didáticas e na mudança de registros de representação conduz os professores a reconhecer o volume de prismas e pirâmides como grandezas. Palavra-Chave: Volume de prisma e pirâmides. Registro de representação. Teoria das Situações Didáticas. Cabri 3D.

7 ABSTRACT In the preliminary studies, moreover, in the bibliográphy revision, it's been observed that some works report difficulties that teachers might find when teaching the content: prism and pyramid volumes. Aiming the deepening of the knowledge related to the studies of prism and pyramid volume and aware that the theme still needs reaserch, it's been considered as an hypothesis at this study that a teaching sequence conceived by the Theory of Didatic Situations and the Theory of Registry of semioptical Representations, done by the use of a dynamic geometry software, Cabri 3D, could contribute to deepen the study on the theme. The objective of the rersearch was to develop a teaching sequence to deepen the study with teachers currently in the public network tha would allow the development of the ability to express algebrically and graphically the volume of prisms and pyramids, favoring the greatness chart. After the elaboration, the prior analysis of the sequence and sbjecting that to a group of Mathematics teachers from the board of the Public Teaching Department of Jacareí, The posteriori analysis showed that our hypothesys had been confirmed, that is, that a sequence developed and applied based on the Theory of Didatic Situations and on the change of registry of representation conduct the teachers to recognizing the volume of prisms and pyramids as greatnesses. Keywords: Prism e pyramid volume. Registry of Representation. Theory of Didatic Situations. Cabri 3D.

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO CAPÍTULO PROBLEMÁTICA O Interesse pelo Tema Revisão Bibliográfica O Problema de Pesquisa Aspectos Metodológicos Construindo a Fundamentação Teórica Registros de Representação Semiótica Teoria das Situações Didáticas CAPÍTULO ESTUDOS PRÉVIOS Estudo Matemático do Princípio de Cavalieri O Volume de Sólidos Geométricos nos Documentos Oficiais A Geometria Dinâmica e o Cabri 3D O Volume de Sólidos Geométricos nos Livros Didático CAPÍTULO AS ATIVIDADES E SUAS ANÁLISES Sujeitos da Pesquisa Descrição da Aplicação da Sequência As Atividades Grupo 1: Exploração do Software Grupo 2: Atividades de Desenvolvimento da Aprendizagem sobre o Volume dos Sólidos

9 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE A SEQUÊNCIA DE ENSINO

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Figuras geométricas Figura 2: Objetos com forma de prisma Figura 3: Poliedros e corpos redondos Figura 4: Duas caixas de madeira Figura 5:Objetos com forma de prismas Figura 6: Definição do prisma Figura 7: Obtenção do prisma por sobreposição de polígonos na mesma direção Figura 8: Volume da pirâmide de base triangular Figura 9: Pontos no plano e no espaço Figura 10: Vista frontal e vista superior Figura 11: Posições relativas das retas Figura 12: Posições relativas entre planos Figura 13: Construção realizada pela dupla B, atividade 1 do grupo Figura 14: Construção realizada pela dupla A, atividade 1 do grupo Figura 15: Institucionalização da atividade 1 do grupo Figura 16: Triângulos simétricos em relação ao ponto T Figura 17: Construção realizada pela dupla A, atividade 2 do grupo Figura 18: Construção realizada pela dupla B, atividade 2 do grupo Figura 19: Construção realizada pela dupla C, atividade 2 do grupo Figura 20: Institucionalização da atividade 2 do grupo Figura 21: Pentágono e triângulo equivalentes Figura 22: Construção realizada pela dupla A, atividade 3 do grupo Figura 23: Construção realizada pela dupla B, atividade 3 do grupo Figura 24: Construção realizada pela dupla C, atividade 3 do grupo Figura 25: Secção reta do paralelepípedo Figura 26: Prisma e pirâmide com mesma altura Figura 27: Construção apresentada pela dupla C, atividade 5 do grupo Figura 28: Solução realizada pela dupla C, atividade 5 grupo Figura 29: Construção realizada pela dupla A, atividade 5 do grupo

11 Figura 30: Estrutura do paralelepípedo Figura 31: Secção de um paralelepípedo Figura 32: Construção realizada pela dupla A, atividade 1 do grupo Figura 33: Construção realizada pela dupla B, atividade 1 do grupo Figura 34: Institucionalização da atividade 1 do grupo Figura 35: Triângulo e retângulo equivalente Figura 36: Prisma e paralelepípedo equivalentes Figura 37: Secções do prisma e do paralelepípedo Figura 38: Construção realizada pela dupla A, atividade 2 do grupo Figura 39: Construção realizada pela dupla B, atividade 2 do grupo Figura 40: Institucionalização da atividade 2 do grupo Figura 41: Pirâmides equivalentes Figura 42: Prisma e pirâmides Figura 43: Institucionalização da atividade 3 do grupo Figura 44: Pirâmide Figura 45: Secção da pirâmide Figura 46: Construção realizada pela dupla A, atividade 4 do grupo Figura 47: Construção realizada pela dupla B, atividade 4 do grupo Figura 48: Construção II realizada pela dupla B, atividade 4 do grupo Figura 49: Construção II realizada pela dupla A, atividade 4 do grupo Figura 50: Construção III realizada pela dupla B atividade 4 do grupo Figura 51: Institucionalização da atividade 4 do grupo

12 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Representações do volume da pirâmide Quadro 2: Apreensão sequencial de um prisma triangular Quadro 3: Apreensão perceptiva de um cubo Quadro 4: Apreensão discursiva de um paralelepípedo Quadro 5: Modificação mereológica de um prisma reto de base triangular Quadro 6: Modificação ótica de uma pirâmide Quadro 7: Modificação posicional de um paralelepípedo Quadro 8: Área do quadrilátero pelo rastro do segmento Quadro 9: Volume do paralelepípedo pela translação do retângulo EFGH Quadro 10: Princípio de Cavalieri Quadro 11: Ferramentas do Cabri 3D Quadro 12: Quadro representativo das atividades propostas aos professores Quadro 13: Quadro das construções do retângulo equivalente ao triângulo Quadro 14: Quadro das construções do pentágono equivalente ao triângulo... 87

13 LISTA DE PROTOCOLOS Protocolo 1: Respostas da atividade 1, item b (dupla A) Protocolo 2: Respostas da atividade 1, item b (dupla B) Protocolo 3: Respostas da atividade 1, item f (dupla A) Protocolo 4: Respostas da atividade 1, item f (dupla B) Protocolo 5: Respostas da atividade 1, item g (dupla A) Protocolo 6: Respostas da atividade 1, item g (dupla B) Protocolo 7: Respostas da atividade 1, item h (dupla A) Protocolo 8: Respostas da atividade 1, item h (dupla B) Protocolo 9: Respostas da atividade 1, item i (dupla A) Protocolo 10: Respostas da atividade 1, item i (dupla B) Protocolo 11: Respostas da atividade 2, item d (dupla A) Protocolo 12: Respostas da atividade 2, item d (dupla B) Protocolo 13: Respostas da atividade 2, item e (dupla A) Protocolo 14: Resposta da atividade 2, item e (dupla B) Protocolo 15: Respostas da atividade 2, item g (dupla A) Protocolo 16: Respostas da atividade 2, item g (dupla B) Protocolo 17: Respostas da atividade 2, item h (dupla A) Protocolo 18: Respostas da atividade 2, item h (dupla B) Protocolo 19: Respostas da atividade 3, item b (dupla B) Protocolo 20: Respostas da atividade 3, item b (dupla C) Protocolo 21: Respostas da atividade 3, item c (dupla B) Protocolo 22: Respostas da atividade 3, item c (dupla A) Protocolo 23: Respostas da atividade 3, item d (dupla A) Protocolo 24: Respostas da atividade 3, item d (dupla B) Protocolo 25: Respostas da atividade 3, item e (dupla A) Protocolo 26: Respostas da atividade 3, item e (dupla B) Protocolo 27: Respostas da atividade 3, item e (dupla C) Protocolo 28: Respostas da atividade 3, item g (dupla C) Protocolo 29: Respostas da atividade 3, item h (dupla B)

14 Protocolo 30: Respostas da atividade 3, item h (dupla A) Protocolo 31: Respostas da atividade 4, item e (dupla A) Protocolo 32: Respostas da atividade 4, item e (dupla B) Protocolo 33: Respostas da atividade 4, item f (dupla B) Protocolo 34: Respostas da atividade 4, item f (dupla A) Protocolo 35: Respostas da atividade 4, item j (dupla A) Protocolo 36: Respostas da atividade 4, item j (dupla B) Protocolo 37: Respostas da atividade 4, item k (dupla B) Protocolo 38: Respostas da atividade 4, item k (dupla A)

15 INTRODUÇÃO Durante os anos que lecionamos no Ensino Médio nas escolas das redes pública e particular, verificamos algumas dificuldades encontradas pelos professores em ensinar os conteúdos relacionados ao ensino da geometria espacial. O fato levou a buscar elementos que permitissem compreender as questões relacionadas ao tema junto ao Programa de Estudos de Pós-Graduação em Educação Matemática na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC-SP, mais especificamente no grupo de pesquisa (PEAMAT Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática). Resolvemos, então, elaborar nossa dissertação utilizando o conteúdo volume dos prismas e das pirâmides e os referenciais teóricos aliados à utilização da tecnologia no desenvolvimento de uma sequência de reconstrução de conhecimento para professores. Inicialmente, realizamos uma revisão de alguns trabalhos com foco nesse tema, utilizando sequências didáticas e/ou tecnologia, para verificar a relevância e as alternativas apontadas e, posteriormente, efetuar as escolhas adequadas para nossa pesquisa. Encontramos algumas pesquisas que fazem referência ao emprego da tecnologia para o estudo da geometria espacial, trabalhos que abordam questões da didática do ensino e aprendizagem da geometria espacial, porém nas leituras realizadas não encontramos trabalhos que abordassem o ensino e a aprendizagem do volume de prismas e pirâmides com o auxílio de um software de geometria dinâmica. 14

16 Em nossa revisão percebemos diversos aspectos positivos e negativos relacionados ao ensino e aprendizagem da geometria e propusemo-nos a desenvolver uma pesquisa com foco no estudo do volume dos prismas e das pirâmides. Entendemos, então, que nossa pesquisa tinha relevância e passamos a construir as etapas do trabalho. O presente estudo foi estruturado em três capítulos, no capitulo 1 apresentamos a problemática, com a justificativa de escolha do tema, uma breve revisão bibliográfica de alguns trabalhos com foco no ensino e aprendizagem da geometria espacial, envolvendo sequências didáticas e o emprego das tecnologias aplicadas ao ensino desse conteúdo, a questão de pesquisa, metodologia e a fundamentação teórica. Assim, o estudo está fundamentado na linha francesa da Didática da Matemática, na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e na Teoria dos Registros de Representações Semióticas de Duval. No segundo capítulo, realizamos alguns estudos, mediante uma análise das indicações apresentadas pelos documentos oficiais quanto ao estudo do volume de prismas e pirâmides e o uso de tecnologias, seguido de uma apresentação do software Cabri 3D, estudo matemático do princípio de Cavalieri e sobre a abordagem dada pelos livros didáticos em relação ao estudo do volume de prismas e pirâmides. No capítulo 3, apresentamos o experimento, os participantes, descrevemos o processo de aplicação e as atividades que compõem a sequência de ensino, com as análises a priori e a posteriori e sua construção subdividida nas fases, desenvolvimento, implementação e análises das respostas apresentadas pelos professores. Finalmente, fizemos nossas considerações finais. 15

17 CAPÍTULO 1 PROBLEMÁTICA Neste primeiro capítulo apresentaremos a questão norteadora deste trabalho de pesquisa, seguido dos aspectos metodológicos que delinearão esse estudo e, por fim, a fundamentação teórica. 1.1 O Interesse pelo Tema Em nossa experiência profissional na educação básica presenciamos a evidência de diversas deficiências que dificultavam o desenvolvimento das atividades que abordavam o pensamento sobre geometria espacial. Durante as aulas, percebíamos que os resultados obtidos não eram satisfatórios em questões relacionadas aos volumes de sólidos geométricos, mais especificamente, sobre o volume de prismas e de pirâmides. Então começamos um processo de questionamento sobre possíveis causas que pudessem provocar esses resultados. Encontramos no trabalho de Pavanello e Andrade (2002) que essas dificuldades têm sido exaustivamente observadas em cursos de capacitação ou aperfeiçoamento e manifestam-se em questões desde a mais simples até as mais complexas. 16

18 Almouloud e Mello (2000) afirmam que alguns dos motivos que justificam tais deficiências são que grande parte dos professores atuantes recebeu uma formação muito precária em geometria. Nos cursos de formação inicial não acontecem discussões para produzir uma proposta mais eficiente para o ensino de geometria e as modalidades de formação continuada não têm atingido o objetivo de mudar a prática na sala de aula em relação ao ensino da geometria. Incomodado com essa situação e visando diminuir as dificuldades encontradas nas aulas de Matemática, buscamos junto a cursos de capacitação o aprimoramento de nossas práticas e de nosso conhecimento matemático. Encontramos nos cursos oferecidos pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo um caminho para a qualificação e formação profissional. Ao término da realização desses cursos, percebemos que a prática ainda não respondia satisfatoriamente às necessidades encontradas no processo de ensino e aprendizagem da geometria o que nos fez buscar no curso de mestrado Profissional na PUC-SP conhecimentos em níveis mais avançados. As aulas oferecidas nesse curso nos aproximou de alguns softwares que favorecem o ensino de geometria, como Cabrí II plus, Cabrí 3D, Teleduc. Dentre as disciplinas houve a geometria em que foram abordados conceitos de geometria plana e de geometria espacial, com ênfase em demonstrações geométricas. As demonstrações relacionadas à geometria plana eram abordas com o auxílio do Cabri II, já as demonstrações relacionadas à geometria espacial eram abordadas com o auxílio do Cabri 3D. Esse tipo de abordagem nos fez acreditar que seria possível transformar as aulas para uma abordagem mais dinâmica, minimizando as dificuldades encontradas no ensino de geometria. Assim, na sequência apresentaremos nossa revisão bibliográfica, com a finalidade de verificar o que indicam as pesquisas realizadas a respeito do ensino e aprendizagem da geometria. 17

19 1.2 Revisão Bibliográfica Com a intenção de ampliar o conhecimento sobre a geometria, mais especificamente sobre a geometria espacial e sobre as tecnologias e sua utilização no processo de ensino e aprendizagem, buscamos materiais que abordam o assunto e encontramos trabalhos como Ramos (2001), Buratto (2006), Silva (2006), Rosalves (2006), Silveira (2008), entre outros. Neles aparece a preocupação com o processo de ensino e aprendizagem de geometria e alguns aspectos que mostram seu abandono. Para Pavanelo (1995) a geometria está ausente nas salas de aula e algumas causas são: A primeira é que muitos professores não detêm os conhecimentos geométricos necessários para a realização de suas práticas pedagógicas [...] A segunda causa da omissão geométrica deve-se à exagerada importância que, entre nós, desempenha o livro didático [...] E infelizmente, em muitos livros didáticos, a geometria é apresentada apenas como um conjunto de definições, propriedades, nomes e fórmulas desligada de quaisquer aplicações ou explicações de natureza histórica ou lógica. (PAVANELO, 1995 apud RAMOS, 2001, p. 2) Além dos aspectos apresentados anteriormente, podemos encontrar em diversas pesquisas em educação matemática, a notificação da importância do desenvolvimento da habilidade de visualização no ensino de geometria espacial. Nestas pesquisas é dado destaque a atividade de olhar, na tentativa de integrar o saber ver às representações geométricas e à aprendizagem sobre os objetos geométricos. Buscam-se também procedimentos que possam ser colocados em prática na sala de aula com o intuito de aprimorar a desenvoltura desse olhar. Para Parsysz (1988 apud FLORES, 2007) os alunos não desenvolveram a capacidade de imaginar uma situação espacial a partir de um desenho. Assim muitas pesquisas preocupadas em encontrar soluções para os problemas apresentados no processo de ensino e aprendizagem, buscaram demonstrar que é possível desenvolver tal capacidade nos alunos. 18

20 O professor tem papel fundamental no desenvolvimento dessa capacidade de imaginar uma situação espacial a partir de um desenho. De modo que, se faz necessário pesquisar como os professores buscam desenvolver essa capacidade no aluno, como podemos perceber a seguir no trabalho de Arent (1972 apud FLORES, 2007). O autor afirma que agora é hora de pensar na relação que o professor tem com o saber que ele ensina. Então que o futuro professor tome consciência da significação que ele dá ao saber que vai ensinar. Para Parsysz (1988 apud SALAZAR, 2009) a representação de uma figura tridimensional é necessária, porque só depois de passar por ela, os estudantes podem ter imagens mentais dos objetos geométricos. O autor distingue três níveis de representação de uma mesma figura: No nível 0 é a figura propriamente dita, no nível 1 é a representação próxima, de objetos geométricos, usando modelos como, por exemplo, maquetes que mantêm as dimensões da figura original e no nível 2 a representação é distante, de objetos tridimensionais feita em um suporte bidimensional. Contudo guarda uma relação de proporcionalidade, isto é, a representação envolve conceitos conhecidos e/ou aceitos de modo intuitivo. O autor ressalta que, de uma passagem para outra, por vários motivos, existe perda de informação. Por exemplo, Na passagem do nível 0 ao 1: nem tudo pode ser mostrado na representação uma vez que algumas propriedades aparecem somente pela boa leitura e dependem da natureza da figura representada. Na passagem do nível 0 ao nível 2: a representação de uma figura tridimensional não é muito clara e sua visualização torna-se difícil por causa das propriedades das figuras tridimensionais, havendo perda de informação na representação. Parsysz (1988 apud SALAZAR, 2009) afirma que a impossibilidade de proporcionar uma representação próxima de uma figura tridimensional em um desenho, e na necessidade de recorrer a uma representação distante ocorre em problemas de codificação. O autor assinala que os problemas referem-se, tanto à codificação (produção) quanto à decodificação (leitura/interpretação) de representações planas de figuras tridimensionais, visto que os estudantes tendem a considerar as propriedades do desenho como as da própria figura. 19

21 Encontramos trabalhos apresentados por Parsysz (1988 apud JESUS, 2009) que buscam por possibilidades de diminuir os problemas de codificação (produção) e a decodificação (leitura e interpretação). Essas buscas priorizam o uso da tecnologia, em especial o uso do computador, na intenção de proporcionar representações de figuras espaciais mais próximas da figura propriamente dita. Com a intenção de introduzir a tecnologia no processo de ensino aprendizagem, Silveira (2008) realizou um trabalho de investigação com a utilização do software Cabri 3D no desenvolvimento de atividades de uma sequência didática sobre prismas e pirâmides, procurando favorecer o raciocínio dedutivo e o desenvolvimento de propriedades desses sólidos. Em sua pesquisa, a autora afirmou que alguns aspectos positivos em relação ao processo de ensino da Matemática são: A maioria dos professores é experiente, mais da metade possui experiência com o ensino de geometria, conhece o conteúdo e sabe das dificuldades do ensino da aprendizagem destes conhecimentos geométricos. Além disso, todos os professores pesquisados usam livro didático e quadro verde como material didático e a maioria deles usa material concreto. Porém, em contra partida, constatou-se que em relação ao laboratório de informática nenhum deles o utilizam para desenvolver o conteúdo. Afirmam que o motivo é a falta de material de computadores e softwares ou não possuem conhecimentos sobre sua utilização. A experiência de Silveira (2008) revelou ainda que o auxílio de um software de geometria dinâmica nas aulas de geometria contribuiu para superar algumas dificuldades de compreensão dos conceitos e propriedades dos sólidos geométricos. A visualização e o movimento que o recurso computacional proporcionou, fizeram com que os alunos articulassem melhor o raciocínio na resolução de problemas. Avançando, de um modo geral, em seus conhecimentos em geometria, fazendo conjecturas, deduções e validações. A utilização do software na construção e visualização das figuras auxiliou-os na análise, obtenção das propriedades da pirâmide e em suas representações. Porém a maioria dos alunos 20

22 não alcançou os objetivos esperados na sua totalidade, pois não souberam responder algumas das questões propostas. No entanto, observamos que a autora não abordou o volume dos sólidos mencionados como grandeza, mas sim como um número. Em relação à formação de futuros professores encontramos no trabalho de Buratto (2006), algumas características que apontam para a necessidade de melhoria no processo de formação. A autora propôs a 30 alunos do 5 semestre do Curso de Licenciatura de Matemática da Universidade do Planalto Catarinense-UNIPLAC, um conjunto de situações na tentativa de contribuir com o ensino e a aprendizagem de conceitos de geometria e com a intenção de auxiliar na formação inicial dos licenciandos e em suas práticas pedagógicas com relação ao cálculo de áreas de figuras planas. Buratto (2006) apurou que os licenciandos pesquisados consideraram a matéria difícil, a metade deles afirma não ter domínio sobre o conteúdo relacionado às áreas de figuras planas, e ainda ter estudado alguns conceitos de geometria como retas, pontos, áreas, ângulos internos e externos, perímetros, trigonometria etc. Na realização das atividades os licenciandos utilizaram o processo de memorização que aprenderam ao longo da sua vida na escola sobre o assunto em questão, levando a autora a considerar que o ensino de matemática em relação ao conteúdo ou ao método de ensino e avaliação ainda não é feito de maneira refletida. Silva (2006) realizou sua pesquisa com sólidos platônicos por meio de webquest na tentativa de descobrir se o trabalho, utilizando basicamente recursos da internet, apresentava alguma vantagem sobre as aulas tradicionais com o uso de livros e apostilas. Constatou que a utilização da atividade Webquest proporcionou a consolidação, pelos alunos em geral, das noções básicas de Geometria Espacial. O autor apresentou algumas vantagens oferecidas pela ferramenta tecnologia como: 21

23 Facilidade dos alunos visualizarem as figuras geométricas bem como suas planificações, que dificilmente são encontradas em livros e apostilas; Proporcionar ao aluno o contato com representações de sólidos geométricos manipuláveis, facilitando assim a abstração e a compreensão de alguns conceitos que dificilmente poderiam ser observados em representações bidimensionais. (SILVA, 2006, p. 116). O autor constatou também, com os resultados obtidos em seu trabalho, que quanto ao aprendizado dos alunos sobre Geometria Espacial e os sólidos Platônicos, os resultados foram satisfatórios, pois após a conclusão da tarefa e apresentação dos trabalhos, ele percebeu que as dificuldades relacionadas à visualização e nomenclatura das características dos sólidos, tais como vértice, aresta e faces foram sanadas. Rosalves (2006) afirma que devido à grande dificuldade apresentada pelos alunos em representar os objetos tridimensionais com lápis e papel buscou o trabalho com o auxílio do Cabrí 3D, particularmente as relações entre os objetos e suas representações, e teve como objetivo investigar o papel das representações dinâmicas nesse software. O autor afirma ainda que os resultados mostraram que em determinadas situações as perdas de informações são menores no Cabrí 3D do que no lápis e papel, evidenciando que o software auxilia no processo de decodificação, ampliando a interpretação do desenho por parte dos alunos e levando-os a um melhor aproveitamento das interferências perceptivas. Para Parsysz (1988 apud Flores, 2009) as dificuldades na visualização gera um dos problemas no processo de aprendizagem de Geometria Espacial. Esse fato conduziu a algumas reflexões didáticas sobre tais dificuldades e a respeito da importância inquestionável da Geometria Espacial e da necessidade de procurar uma alternativa para tentar superá-las. A leitura desses trabalhos nos ajudou a perceber o apoio que as representações de objetos geométricos oferecem ao ensino de Geometria Espacial. Quando as representações de objetos geométricos são realizadas com o emprego de um ambiente de Geometria Dinâmica cuja base é o movimento devemos utilizar, a seguinte distinção: Figura é a representação de objetos geométricos que conservam suas propriedades quando são deslocados, ou seja, 22

24 manipulados. Desenho é a representação de objetos geométricos, que quando manipulados não conservam suas propriedades, isto é, deformam-se. O trabalho realizado por Gobert (2001 apud FLORES, 2007) denota que a importância da visualização no ensino da geometria ainda é merecedora de investigação. Ela constata que, de fato, as pesquisas neste domínio evidenciam, e isso não importa o nível de escolaridade, as dificuldades que os alunos têm para fazer corresponder um objeto do espaço com sua representação plana: trata-se de dificuldades em mudar ou articular diferentes pontos de vista sobre um mesmo objeto; em sair das representações estereotipadas; em visualizar planos de seções numa representação em perspectiva [...] (ibid, p. 87). As pesquisas apresentadas apontam a problemática relacionada à aprendizagem de geometria espacial no ensino brasileiro. Os vários aspectos levantados que justificaram o baixo desempenho dos alunos nas avaliações referentes a esses conteúdos nos aproximaram do estudo do volume de sólidos, mais especificamente de prismas e de pirâmides. 1.3 O Problema de Pesquisa As várias pesquisas apresentadas em nossa revisão bibliográfica relacionadas ao ensino de geometria, mais especificamente sobre sólidos geométricos, apontam a preocupação com o tema, comprovam as dificuldades já mencionadas e propõem sequências de ensino para a melhoria do processo de ensino e aprendizagem relacionadas ao estudo de geometria. Os resultados apontados nos motivaram a realizar um estudo que possa contribuir para a melhoria da aprendizagem dos professores quanto à compreensão de sólidos geométricos. Pensamos que seja necessária uma abordagem que vise encorajar os professores para uma nova postura no processo de ensino da geometria espacial, oferecendo atividades que possibilitem o desenvolvimento de suas habilidades, enriquecendo suas aulas de matemática, criando novos espaços para tratar a aprendizagem de propriedades geométricas dos sólidos, com o auxílio de uma ferramenta computacional. 23

25 Tomamos como hipótese que o software Cabri 3D poderá contribuir, oferecendo aos professores as ferramentas necessárias ao desenvolvimento do estudo do volume de prismas e de pirâmides. Para tanto, nosso objetivo consiste em desenvolver uma seqüência de ensino, mediadas pelo uso do software Cabri 3D, para realizar um estudo com os professores, buscando responder a seguinte questão: Como os professores reconstroem seus conhecimentos sobre o volume de prismas e pirâmides utilizando o Cabri 3D como ferramenta de aprendizagem? Na tentativa de responder a essa questão de pesquisa objetivamos desenvolver, com os professores, uma sequência de atividades que possa permitir aos participantes justificar matematicamente, com base na geometria plana e espacial, algumas construções geométricas, realizadas por meio do software Cabrí 3D, utilizadas para representar sólidos geométricos em questões em que desenvolvem justificativas para propriedades inerentes a esses sólidos na tentativa de desenvolver a autonomia necessária para trabalhar situações que envolvam esses procedimentos com seus alunos em sala de aula. Esperamos, com nosso trabalho, contribuir para reflexões, estudos e para o debate em Educação Matemática sobre o ensino de Geometria, em particular das propriedades dos sólidos geométricos em questão. 1.4 Aspectos Metodológicos Ao buscarmos subsídios para responder nossa questão de pesquisa, apoiamo-nos nos pressupostos da Engenharia Didática, os quais nos auxiliarão na construção e análise de uma sequência de atividades que visem garantir aos professores construir conhecimentos em geometria, especificamente sobre o volume dos prismas, pirâmides. Para ARTIGUE (1988 apud ALMOULOUD, 2007, p. 171) a Engenharia Didática se caracteriza como: 24

26 [...] um esquema experimental com base em realizações didáticas em sala de aula, isto é na construção, realização, observação e análise de sessões de ensino. Caracteriza-se também como pesquisa experimental pelo registro em que se situa e pelos modos de validação que lhe são associados: a comparação entre análise a priori e análise a posteriori A autora distingue quatro fases para uma Engenharia Didática. 1) Análises prévias ou preliminares 2) Concepção e análise a priori das situações didáticas da engenharia; 3) Experimentação 4) Análise a posteriori e validação. Em nossa pesquisa a Engenharia Didática, em cada uma de suas fases, terá a seguinte composição: As análises preliminares feitas com o objetivo de identificar os problemas de ensino e aprendizagem sobre o quadro teórico didático e sobre os conhecimentos adquiridos no estudo do volume de sólidos geométricos. Na primeira fase da pesquisa foram feitos estudos envolvendo a Teoria das Situações Didáticas, de Brousseau (1986) e dos Registros de Representação Semiótica, de Duval (2003), além de aspectos de conhecimentos ligados à geometria, e alguns objetos matemáticos como prisma e pirâmide. Na fase 2: Concepção e análise a priori com a finalidade de responder as questões e validar as hipóteses levantadas na fase anterior, elaboramos e analisamos uma sequência de situações-problemas. Nesta segunda fase delimitamos as análises didáticas a serem consideradas e que serão abordadas nas sessões de realização das atividades pelos professores participantes deste estudo. Nessas atividades são considerados os seguintes aspectos e/ou objetivos: Criar condições para que os professores possam levantar conjecturas, realizar construções e desenvolver as justificativas. Utilizar vários registros de representação semiótica, efetuando os devidos tratamentos e conversões quando necessário. 25

27 Na fase 3: Experimentação, é o momento de colocar em funcionamento todos os dispositivos construídos.trabalharemos com um grupo de 6 professores da rede estadual de ensino de São Paulo, na realização da sequência didática, que se desenvolverá em cinco encontros com duração de três horas cada, com os seguintes procedimentos: execução das atividades em sala de aula (com a presença do pesquisador e de dois professores observadores) e discussão com o grupo, esclarecendo o conteúdo de cada atividade. Nesta fase proporemos aos professores que trabalhem com a seqüência de atividades que concebemos, isto é, caberá aos professores a responsabilidade de administrar sua relação com o conhecimento na fase adidática e ao formador, a responsabilidade de coordenar as atividades, fazendo devoluções ainda na fase adidática e institucionalizar o conhecimento na fase didática. Na fase 4: Análise a posteriori e validação, para obter um conjunto de resultados. Nesta fase, faremos o tratamento dos dados que serão recolhidos durante a experimentação e a observação realizadas. Analisaremos a produção dos professores tendo como base as atividades propostas na sequência didática e nas discussões ocorridas em classe. A validação das hipóteses da pesquisa resultará da confrontação das análises a priori e a posteriori. Recorreremos às documentações salvas nos computadores e aos documentos escritos pelos professores, realizados durante todos os encontros, para observar os resultados e analisar como é o desenvolvimento dos professores durante as resoluções. 1.5 Construindo a Fundamentação Teórica Registros de Representação Semiótica Na análise do conhecimento matemático, o sistema de produção das representações semióticas é fundamental, pois no estudo da matemática precisamos compreender os objetos matemáticos e para isso, recorremos às notações simbólicas como códigos, tabelas, gráficos, esquemas e escritas para representá-los, já que estes não são diretamente perceptíveis aos sentidos humanos. Podemos obter representações semióticas em registros diferentes, 26

28 como: um enunciado em língua materna, uma fórmula algébrica ou uma representação gráfica. Segundo Duval (1995, apud FLORES, 2007) o relacionamento entre uma figura real com a sua representação está na complexidade que existe entre a coordenação dos registros de representação presente na atividade de leitura e interpretação destas figuras. Essa relação exige um tratamento que vai ao encontro da articulação entre as dimensões bidimensionais, ou seja, entre a articulação da figura no espaço e sua representação. Segundo o autor uma abordagem com a maquete de um cubo é um bom exemplo. Podemos tomá-la nas mãos e olhá-la por todos os lados e ângulos. Agora imaginemos o desenho deste cubo no papel. Não importa o modo que o desenhamos, haverá certamente uma vista privilegiada, as outras estarão ocultas. É preciso, portanto perceber esta representação plana como contendo todos os aspectos do cubo como se ele estivesse no espaço. Preocupado com essas representações Raymond Duval desenvolveu a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Para Duval (1999, apud ALMOULOUD, 2007) a maneira de visualizar e raciocinar é dependente da utilização dos registros de representações semióticas e toda comunicação matemática se estabelece por meio dessa representação. A teoria dos registros de representação semiótica é fundamental no entendimento de qual papel têm as representações semióticas no desenvolvimento cognitivo e na origem das dificuldades encontradas pelos alunos na aprendizagem matemática e serve como modelo para auxiliar na explicação das condições de aquisição dos mesmos e na distinção entre objeto e suas propriedades. Para Duval (2003 apud, JESUS, 2008) a distinção entre um objeto matemático e sua representação é de grande relevância para a compreensão da matemática. Logo, temos que tomar cuidado, pois a confusão entre objeto e sua representação é quase inevitável, e toda confusão implicará numa perda da compreensão e consequentemente os conhecimentos adquiridos não estarão disponíveis no desenvolvimento da atividade matemática. Apesar de buscar uma 27

29 apreensão conceitual dos objetos, é só por meio de representação semiótica que uma atividade é possível. Apresentaremos a seguir as explicações sobre Tratamento e conversão apresentadas por Duval (1999, apud ALMOULOUD, 2007). O tratamento é a transformação de uma representação em outra do mesmo registro, isto é, uma transformação estritamente interna a um registro. A conversão é uma transformação de uma representação de um registro D em uma outra representação de um registro A, conservando pelo menos a referência ao mesmo objeto. Para Duval (2003, apud JESUS, 2008) tendo o professor bem claro e definido o objeto matemático a ser ensinado, terá mais facilidade de definir quais registros de representação semiótica serão mais adequados à construção do mesmo, bem como fazer as conversões necessárias. É a coordenação entre vários registros, ou pelo menos dois tipos de registros, e a passagem de um registro para outro, que garante e potencializa a apreensão do objeto matemático. Ao efetuarmos conversão entre registros de representação semiótica, estamos possibilitando o acesso à propriedades e/ou aspectos diferentes de um mesmo objeto matemático que não são perceptíveis nem acessíveis em alguns registros. Quando mudamos de registro de representação não estamos mudando apenas de tratamento, estamos ampliando possibilidades de se explicar propriedades e/ou aspectos diferentes de um mesmo objeto. Ainda segundo o autor para fazer a análise desse desenvolvimento cognitivo e das dificuldades encontradas pelos alunos é imprescindível levar em conta três fenômenos interligados: Diversos tipos de registros de representação semiótica como; registro em linguagem natural, registro simbólico (numérico ou algébrico) e registro figural. Há diferença entre o objeto representado e seus registros de representação semiótica, pois os objetos não são diretamente perceptíveis ou observáveis, seu acesso está ligado ao registro de representação semiótica. Para Duval (2003 apud, JESUS, 2008) os alunos apresentam sucesso nas atividades quando utilizam um único registro, pois estes são privilegiados no 28

30 ensino, porém não reconhecem os objetos num outro registro e isso limita sua capacidade de compreensão da matemática. Além disso, a compreensão matemática é igual a capacidade de mudar de registro e este não deve ser confundido com sua representação.tal confusão ocorre principalmente quando utilizamos apenas um tipo de registro e ainda o treinamento num sentido não treina a conversão. Teremos o cuidado de não abordar o assunto apenas em um registro, já que é onde a maioria dos alunos obtém sucesso, mas queremos que, ao solicitar a resolução de um problema que exija a mudança de registros ou mesmo a articulação simultânea de dois registros diferentes, o sucesso seja alcançado. Assim procuramos em nosso trabalho caracterizar os objetos matemáticos no quadro geométrico, mais especificamente no quadro da Geometria espacial, usando três tipos de registro de representação semiótica: o registro em língua natural, o registro simbólico e o registro figural, como podemos visualizar no quadro 1. Quadro 1: Representações do volume da pirâmide Registro na língua natural Registro figural Registro simbólico O volume de uma pirâmide qualquer é igual a um terço do produto da área da base pela medida da altura. Segundo Duval (1995, apud SALAZAR, 2009), a geometria envolve três formas de processo cognitivo que preenchem específicas funções epistemológicas: A visualização é o processo que serve para a exploração heurística de uma situação; a construção (processo por instrumentos) é a construção de configurações em que as ações representadas e os resultados observados são ligados aos objetos matemáticos representados; o raciocínio na relação do processo do discurso para a extensão do conhecimento conduz para a prova e explicação. 29

31 Ainda segundo o autor, essas três espécies de processos cognitivos e suas inter-relações são necessárias para se conseguir o conhecimento completo da geometria. Por outro lado, a heurística dos problemas de geometria refere-se a um registro espacial que dá lugar às formas de interpretações autônomas. Para essas interpretações, Duval (1995, apud SALAZAR, 2009) distingue as seguintes apreensões: Sequencial: solicitada nas tarefas de construção ou nas tarefas de descrição, considerando a ordem em que tal fato acontece, com objetivo de reproduzir uma figura com ajuda de um instrumento.exemplo: construção de um prisma reto triangular.as informações do Quadro 2 mostram a sequência de passos para a construção desse prisma, utilizando o Cabri 3D. Quadro 2: Apreensão sequencial de um prisma triangular Apreensão sequencial de um prisma triangular construído com Cabri 3D A apreensão sequencial, para realizar a construção do prisma reto de base triangular como Cabri 3D, é dada pelo encadeamento de passos para a construção Passo 1: selecione a ferramenta polígonos regulares para criar um triângulo regular no plano horizontal com centro O. Passo 2: utilize a ferramenta perpendicular para criar uma reta r perpendicular ao plano horizontal passando pelo ponto O. 30

32 Passo 3: com a ferramenta vetor, criar um vetor com origem no ponto O e extremidade em um ponto qualquer da reta r. Passo 4: utilize a ferramenta prisma do Cabri 3D. Clique no triângulo que formará a base do prisma e em seguida, clique no vetor. Dessa maneira a construção é validada. Perceptiva: é a interpretação das formas da figura em uma situação geométrica (Quadro 3), permitindo identificar ou reconhecer de forma direta o objeto; Quadro 3: Apreensão perceptiva de um cubo Apreensão perceptiva de um tetraedro construído com o cabrí 3D A figura representa o cubo ABCDEFGH Discursiva: é a interpretação dos elementos, inclusive as que não são assinaladas por uma legenda ou pelas hipóteses, da figura geométrica, privilegiando a articulação dos enunciados, como mostramos no Quadro 4. 31

33 Quadro 4: Apreensão discursiva de um paralelepípedo. Apreensão discursiva de um paralelepípedo construído com Cabri 3D A reta r é perpendicular ao plano horizontal, e aresta está contida na reta r, logo o paralelepípedo ABCDEFGH é retângulo. Operatória: é uma apreensão centrada sobre as modificações possíveis de uma figura de partida e sua reorganização perceptiva que essas modificações apontam para obter novos elementos que podem nos levar à solução de uma determinada situação-problema. A apreensão operatória das figuras depende das modificações que a figura pode sofrer, que são classificadas por Duval (1995) do seguinte modo: Modificação mereológico : a figura pode separar-se em partes que são subfiguras da figura dada, fracionando-se e reagrupando-se, isto é, uma relação da parte e do todo; Por exemplo, as informações do quadro 5 mostram a decomposição de um prisma de base triangular ABCDEF e três pirâmides ABCD, OPQR, KLMN e GHIJ Quadro 5: Modificação mereológica de um prisma reto de base triangular Modificação mereológica de um prisma reto de base triangular construído com o Cabri 3D Figura inicial: Prisma reto de base triangular 32

34 A figura inicial é modificada com a transformação geométrica translação. O prisma reto de base triangular foi transformado em três tetraedros. Modificação ótica: é a transformação de uma figura em outra chamada sua imagem; por exemplo, a modificação apresentado no quadro 6, por meio de uma deformação obtida pela movimentação de dois dos seus vértices. Quadro 6: Modificação ótica de uma pirâmide Modificação ótica de uma pirâmide construída com Cabri 3D Figura inicial: pirâmide ABCV. A figura inicial é transformada, arrastando os pontos V e A. 33

35 Modificação posicional: é o deslocamento em relação a um referencial. Quadro 7: Modificação posicional de um paralelepípedo. Modificação posicional de um paralelepípedo construído com o Cabri 3D Na figura inicial, constrói-se o paralelepípedo ABCDEFGH e o vetor de translação. A figura é deslocada, utilizando a transformação geométrica translação em relação ao vetor. Para Duval (1995 apud, ALMOULOUD e MELLO, 2001) essas modificações são realizadas psiquicamente, graficamente e mentalmente. A operação que consiste em organizar uma ou várias subfiguras, todas dentro da figura de partida chamaremos de reconfiguração. Essa operação permite engrenar imediatamente os tratamentos tais como as medidas de áreas por soma de partes elementares. Para Salazar (2009) com a utilização do Cabrí 3D é preciso considerar o registro figural dinâmico que para a autora é o registro utilizado em ambientes de Geometria Dinâmica Teoria das Situações Didáticas A Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Guy Brousseau (1986, apud ALMOULOUD 2007) visa elaborar um modelo de interação entre o aprendiz, o saber e o meio no qual a aprendizagem deve acontecer. Essa teoria tem como objetivo estudar os fenômenos que interferem no processo de ensino e aprendizagem, propondo um modelo teórico para construção, análise e experimentação de situações didáticas, considerando as 34

36 interações entre professor e aluno, mediadas pelo saber numa situação de ensino. Para o autor, a teoria das situações didáticas é: O conjunto de relações estabelecidas explicitamente e/ou implicitamente entre um aluno ou um grupo de alunos, um certo meio (contendo eventualmente instrumentos ou objetos) e um sistema educativo (o professor) para que estes alunos adquiram um saber constituído ou em constituição. (BROUSSEAU, 1986 apud ALMOULOUD, 2007, p. 33). Segundo Brousseau (2008) para analisar o processo de aprendizagem, a TSD observa e decompõe esse processo em dois grupos de fases diferentes, a fase adidática e a fase didática. Na fase adidática o aluno se encontrará em ação, formulação, validação, já na fase didática o aluno se apropriará de um novo saber, no momento de institucionalização, planejado e proporcionado pelo professor. Para Brousseau (1986 apud, ALMOULOUD, 2007), uma situação didática é formada pelas múltiplas relações pedagógicas estabelecidas, com a finalidade de desenvolver atividades voltadas para o ensino e para a aprendizagem de um conteúdo especifico, entre professor, alunos e o saber. A situação didática não é suficiente para entender por completo o conteúdo em questão. É necessária uma vinculação com outros recursos didáticos, para que se entenda realmente o assunto. Segundo Almouloud (2007) para analisar o processo de aprendizagem, a Teoria das Situações Didáticas observa e decompõe o mesmo em quatro fases diferentes. Essas fases estão extremamente interligadas de forma que não percebemos seus limites, ou seja, onde termina uma e começa a outra. Segundo o autor a Fase de ação é quando o aprendiz se encontra numa situação de ação, tal que o conhecimento é ensinado por meio da resolução de um problema e da melhor solução encontrada pelo aprendiz, nas condições propostas. A interação do aluno sobre a situação é composta pela ação do 35

37 mesmo e pelo retorno de informações oferecido ao mesmo, pelo meio, devido a suas ações. Uma boa situação de aprendizagem deve permitir ao aprendiz julgar o resultado de suas ações e ajustá-los, se necessário, sem a intervenção do professor.a situação provoca uma aprendizagem por adaptação e essa fase é essencial para o aluno exprimir suas escolhas e decisões. Nessa situação o professor pode fazer algumas devoluções, na tentativa de levar o aprendiz a aceitar a responsabilidade da construção do seu próprio conhecimento. A responsabilidade da resolução do problema deve ser do aprendiz, assim ele experimenta, cria estratégias, prova ou abandona suas conjecturas sem a preocupação de explicação de seus argumentos. Ainda segundo Almouloud (2007) a Fase de formulação é quando ocorre a troca de informações entre uma ou várias pessoas na tentativa de explicar as ações utilizadas na resolução de um determinado problema. Nessa fase os interlocutores são os emissores e receptores e trocam várias mensagens que podem ser escritas ou orais redigidas em linguagem matemática ou natural. Nesse momento pode surgir uma linguagem não muito característica da aprendizagem matemática, mas são as linguagens utilizadas pelos próprios aprendizes. Para Almouloud (2007) a Fase de validação é a fase em que o aprendiz utiliza de alguns mecanismos para explicar os motivos ou causas de determinada coisa acontecer ou não. Conhecida também como a fase das certezas e a ausência de contradições, isto é, a fase da prova. Até o término dessa fase o professor interage com o aprendiz apenas como devolutor (faz devoluções dos questionamentos dos aprendizes em forma de perguntas orientando o mesmo para buscar por si as respostas, aceitando a responsabilidade da situação de aprendizagem), caracterizando assim a situação de acordo com o processo de ensino e aprendizagem idealizado por Brousseau. Nas três fases descritas anteriormente é o aluno o ator principal do processo de ensino e aprendizagem, ou seja, é ele quem age, formula e valida. 36

38 Então salientamos que, apesar dessas fases proporcionarem momentos de extrema importância na construção do conhecimento do aluno, elas podem deixar conhecimentos falsos, validados de forma incorreta, já que o aluno trabalha de forma mais livre e sem a interferência direta do professor. Para impossibilitar qualquer tipo de conhecimento equivocado pelo aluno se faz necessário outro tipo de fase: a institucionalização. Almouloud (2007) afirma que a Fase de institucionalização é a fase em que para corrigir possíveis equívocos que possam ter ocorridos nas fases anteriores como: definições erradas, demonstrações incorretas, etc., o professor pesquisador faz as intervenções diretas que achar necessárias na intenção de estabelecer o caráter do objeto e a universalidade do conhecimento. É de responsabilidade do professor pesquisador selecionar tópicos essenciais que devem passar a incorporar um saber formal, oficial, a ser instituído como patrimônio cultural pronto para ser utilizado em novas situações. De acordo com Almouloud (2007) para Brousseau (1986), as situações de ensino tradicionais são situações de institucionalização, porém o professor não se preocupa com a criação das fases adidáticas (ação, formulação e validação). Na tentativa de fazer a articulação entre as teorias nosso trabalho se baseará numa sequência didática que permitirá aos professores o contato com uma representação realizada por meio do Cabri 3D que permitirá a visualização da mesma figura por vários ângulos de visão, transformações mais rápidas, levando-os a perceber a existência de várias propriedades de uma mesma figura geométrica. Além disso, as atividades propostas possibilitam aos professores relacionar os objetos do espaço com suas características, promovendo a coordenação entre os registros gráficos e linguísticos, conforme a teoria de Duval. 37

39 CAPÍTULO 2 ESTUDOS PRÉVIOS Neste capítulo, apresentaremos a importância do contexto histórico, na intenção de mostrar qual foi o papel do Princípio de Cavalieri no estudo dos volumes dos sólidos geométricos. Na sequência, apresentaremos como os documentos oficiais tratam o ensino dos sólidos geométricos e que tipo de abordagem é dada a estudo dos sólidos geométricos pelos livros didáticos, seguindo com a apresentação da introdução da tecnologia na educação. 2.1 Estudo Matemático do Princípio de Cavalieri Existem relatos que fazem referência à existência da curiosidade sobre o volume dos sólidos mais comuns desde a antiguidade. Segundo Boyer (1996) o primeiro registro desta preocupação é o trabalho apresentado no papiro de Moscou. Comprado no Egito em 1893, o papiro de Moscou tem quase o comprimento do papiro de Rhind, mas só um quarto de largura. Foi escrito por um desconhecido escriba da décima segunda dinastia (1890 a.c. aproximadamente). Contém vinte e cinco exemplos de atividades matemáticas, sendo dois com significado especial. Associado ao Problema 14 do Papiro de Moscou há uma figura que parece um trapézio, mas os cálculos associados a ela mostram que o que se quer representar é o tronco de uma pirâmide como indica figura 1. 38

40 Figura 1: Figuras geométricas. Fonte:(BOYER,1996, p. 15) O escriba apresenta sua resolução a partir da fórmula moderna V= (a² + ab + b²) /3, onde h é a altura e a e b são os lados das bases quadradas. Essa fórmula não aparece escrita em nenhum lugar, mas em substância era evidentemente conhecida pelos egípcios. Tomando-se b = 0, a fórmula se reduz à fórmula familiar, um terço da base vezes a altura, para o volume da pirâmide. Como os egípcios chegaram a esse resultado não se sabe. Porém foi só com um axioma conhecido como princípio de Cavalieri que as demonstrações sobre os volumes dos sólidos teve maior grau de satisfação. Bonaventura Cavalieri (Milão, 1598 Bolonha, 1647) foi um sacerdote jesuíta e matemático italiano, discípulo de Galileu e escreveu sobre diversos aspectos de matemática pura aplicada, geometria, trigonometria, astronomia, óptica, etc. Sua obra fundamental é a "Geometria dos indivisíveis, pela qual é considerado como um dos precursores do cálculo infinitesimal. A base da nova teoria é que toda figura geométrica pode ser considerada como uma totalidade de elementos primordiais, chamados "indivisíveis". Essa teoria ajudou muitos outros matemáticos, principalmente nas demonstrações sobre as figuras espaciais. Cavalieri foi um dos mais importantes matemáticos que participou da transição da Renascença para o mundo moderno. Estimulado pela Steriometria de Kepler bem como por ideias antigas e medievais e pelo encorajamento de Galileu, desenvolveu sistematicamente num livro chamado Geometria indivisibilibus, as ideias volumétricas de Kepler. 39

41 Em seu livro Geometria indivisibilibus continuorum publicado em 1635 argumenta essencialmente o sugerido por Oresmi, Kepler e Galileu Uma área pode ser pensada como sendo formada de segmentos ou indivisíveis e que um volume pode ser considerado como composto de áreas que são volumes indivisíveis ou quase atômicos. O método dos indivisíveis é bem ilustrado pela proposição ainda conhecida em muitos livros de geometria no espaço como o teorema de Cavalieri. Se dois sólidos têm alturas iguais e se secções feitas por planos paralelos às bases e a distâncias iguais dessas estão sempre numa dada razão, então os volumes dos sólidos estão também nessa razão. Segundo Struik (1992) com a intenção de alcançar o público sobre os ensinamentos da nova ciência, isto é, sobre o que hoje chamamos de calculo infinitesimal Cavalieri expôs na Gemetria indivisibilibus continuorum (1635) uma forma simples de cálculo, baseando-se na concepção escolástica indivisível, o ponto gerando a reta e a reta gerando o plano através do movimento. Então, adicionou segmentos de recta para obter uma área e segmentos de plano para obter um volume. (struik, 1992, p. 161) Para Eves (2004) Cavalieri argumentava, fazendo-se deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à da original, uma vez que ambas são formadas das mesmas cordas. Um procedimento análogo com os elementos do conjunto das secções planas paralelas de um sólido dado fornecerá um outro sólido com o mesmo volume do original. Esses resultados ligeiramente generalizados fornecem os chamados princípios de Cavalieri. 1. Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determinará nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. 2. Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determinará nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante.(eves, 2004,p. 426). 40

42 Ilustramos a seguir, por meio de simulações realizadas no Cabri 3D, a área de um retângulo, o volume de um paralelepípedo e o princípio de Cavalieri, já que este último representa ferramentas poderosas para o estudo sobre áreas e volume. Na primeira simulação apresentamos uma área como o deslocamento de um segmento em relação a uma determinada reta. Quadro 8: Área do quadrilátero pelo rastro do segmento. Dada uma reta r e um segmento com a extremidade A na reta r. Ao criar o rastro do segmento, na direção da reta r determinamos a área de um quadrilátero. Na segunda simulação apresentamos o volume de um sólido pelo deslocamento de um retângulo numa mesma direção. Quadro 9: Volume do paralelepípedo pela translação do retângulo EFGH. Dado um retângulo DEFG no plano horizontal. Ao transladarmos esse retângulo na direção vertical, determinamos o paralelepípedo ABCDEFGH. 41

43 Apresentamos na terceira simulação que: dois sólidos tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja áreas são iguais, então os volumes desses sólidos são iguais. Vamos considerar os sólidos S 1 e S 2 apoiados no plano horizontal. Consideremos também o plano β, paralelo ao plano horizontal, que ao seccionar S 1, também secciona S 2, determinando duas regiões planas de áreas A 1 e A 2. Nessas condições, podemos afirmar que, se para todo plano beta temos A 1 = A 2, então: Volume S 1 = Volume S 2. Quadro 10: Princípio de Cavalieri. Dados dois prismas S 1 e S 2 sobre um plano horizontal α, com bases respectivamente A 1 e A 2. Se ao transladarmos um plano β paralelo ao plano α, este determina sobre os prismas secções com áreas iguais então esses prismas possuem volumes iguais. 2.2 O volume de Sólidos Geométricos em Documentos Oficiais Atualmente a preocupação com a melhora na qualidade do ensino também passa pela elaboração e pela implantação de materiais adequados às necessidades dos alunos, com a intenção de auxiliar os profissionais da educação nessa qualidade do processo do ensino e aprendizagem. 42

44 As reflexões e discussões sobre questões referentes à organização curricular da escola de 2º grau da rede oficial de ensino do Estado de São Paulo possibilitaram à Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e a Coordenadoria de Normas Pedagógicas publicarem, em 1986, a primeira edição da Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau. O documento propõe a inclusão da Matemática nos currículos escolares justificada pela sua dupla função, a de trabalhar com atividades práticas e a de desenvolver o raciocínio lógico. A Proposta para o 2 grau aponta que é fundamental na concepção de aprendizagem, a participação do aluno na construção do seu conhecimento e a função do professor deve ser a de orientador de rumos, num trabalho de erros e acertos. O documento apresenta ainda que o desenvolvimento de um conteúdo deve desafiar os alunos a refletir, levantar hipóteses, procurar caminhos para solucionar problemas, etc. Acreditamos que a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau é um bom instrumento a possibilitar a aprendizagem no sentido mencionado anteriormente. A linguagem utilizada deve ser o fim do processo de aprendizagem e não o início, pois é conveniente observar que a ação e linguagem apóiam-se mutuamente, construindo uma aprendizagem com significado para o aluno. Nesse sentido a Teoria dos Registros e Representações pode contribuir satisfatoriamente, pois durante todo o processo as representações serão privilegiadas. Em relação à escolha dos conteúdos o documento afirma que deve-se levar em consideração o número de aulas destinadas à Matemática em cada escola e a necessidade de garantir um programa significativo, para isso sugere que o aluno trabalhe prioritariamente com os seguintes conteúdos: Funções, geometria, trigonometria, Análise Combinatória, probabilidade, Geometria Analítica, Matemática Financeira e Estatística. Embora haja grades curriculares com duas a cinco aulas semanais de Matemática, o estudo da Geometria figurou entre os conteúdos, sendo proposto 43

45 para a 2ª série desta etapa de escolaridade com o objetivo de reconhecimento das formas e relações geométricas e da sistematização da geometria. Em particular, para o estudo dos volumes dos sólidos geométricos, a Proposta Curricular para o 2º Grau aponta como objetivos, partir de objetos concretos para construir as definições das figuras geométricas, apresentando a seguinte situação como exemplo. Construir um cubo qualquer ou então construir um cubo de aresta 5 cm. Verificar que quantidade de cubos e aresta 5 cm cabe dentro de um cubo de aresta 10 cm. (SÃO PAULO, 1992, p. 340) Na situação de construções a utilização de um software favorece a simulação de diversas figuras espaciais, possibilitando aos alunos conjecturar e validar suas conjecturas sobre essas figuras e comparando-as. Porém acreditamos na abordagem que privilegie a construção do conceito de volume como grandeza, e nesse sentido a comparação entre cubos unitários não é o caminho mais apropriado para se começar uma abordagem, pois pode conduzir à construção do conceito de volume sobre o aspecto numérico. Sugerimos uma abordagem que relacione o aspecto figural com o aspecto da grandeza, isto é, o volume como resultado da translação de retângulos sobre uma direção e num determinado sentido. O documento sugere o trabalho com as propriedades geométricas apresentando ao aluno que a partir das medidas das três dimensões de um paralelepípedo retângulo podemos calcular o seu volume, e que o conceito de volume poderá ser caracterizado como uma pilha de retângulos idênticos de área conhecida. Assim, o volume desse paralelepípedo será a área desse retângulo multiplicada pela sua altura. Sugere ainda que se calcule o volume de várias caixas paralelepípedas para constatar tal formalização. A sugestão de que se formalize o estudo sobre o volume de um paralelepípedo por meio de comparação com outros paralelepípedos favorece a conceito do volume como uma grandeza, no entanto neste caso o documento propõe que se faça essa comparação por meio das medidas e isso pode fortalecer o aspecto numérico, caracterizando o volume como um número. Outro aspecto que nos chamou a atenção foi a sugestão de que se pode calcular o 44

46 volume de um paralelepípedo retângulo a partir das medidas das três dimensões do mesmo. O volume de um sólido não pode ser calculado, ele pode ser representado por meio de uma expressão, mas isso não quer dizer que essa expressão seja o volume. Em seguida, o documento sugere o trabalho mais genérico explicitando para os alunos as funções de variáveis que medem o volume V = x.y.z, do paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z. Em relação ao estudo dos prismas e pirâmides o documento sugere que a abordagem sobre o assunto seja iniciada pela confecção de prismas e pirâmides por meio de recortes e colagem de cartolinas. Utilizar as figuras confeccionadas por meio de recortes e colagem de cartolinas é um caminho possível para se apresentar os sólidos geométricos, porém é necessário que se faça a distinção entre superfície poliédrica e poliedros. Outra distinção que se deve fazer é entre o volume de um sólido e a capacidade de um recipiente. Em relação ao estudo do volume dos sólidos o documento aponta que é fundamental evitar sua redução a um amontoado de fórmulas, apresentando que as situações sobre o tema se desenvolvem em três situações: Volume dos sólidos como prismas e cilindros, caracterizados como pilhas de placas idênticas. O volume do paralelepípedo deve ser realizado por comparação com um cubo unitário. Volumes de sólidos como pirâmides e cones caracterizados como pilhas de placas semelhantes que vão afunilando da base até o vértice. O documento sugere que em seguida seja mostrado, por meio de corte de sabão, que o volume da pirâmide pode ser obtido pela decomposição do prisma reto de base triangular, em três pirâmides equivalentes, completando a informação de que se a pirâmide não possui base triangular ela pode ser 45

47 decomposta em pirâmides de bases triangulares, mostrando assim que para qualquer pirâmide vale h. A sugestão de recorte de sabão possibilita uma experimentação, pois caso não realize o corte adequado não é possível voltar o sabão ao que era antes, não realizando assim com sucesso a atividade. Além disso, nem sempre o corte favorece as comparações entre base e altura das pirâmides, dificultando assim as conjeturas. Acreditamos que a utilização do software para simular a decomposição do prisma reto de base triangular, em três pirâmides equivalentes, representa outro caminho rico em possibilidades. Em 1999, o Ministério da Educação (MEC), por intermédio da Secretaria da Educação Média e Tecnológica elaborou os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Médio PCNEM. O trabalho envolveu discussões realizadas por especialistas e educadores de todo o país, para auxiliar o professor na realização do seu trabalho, servindo de apoio. O documento propõe um currículo baseado no domínio de competências básicas e não no acúmulo de informações e atribui significados ao conhecimento escolar, na perspectiva de trabalho contextualizado e interdisciplinar (BRASIL, 1999). No Ensino Médio, o ensino da Matemática, de modo geral, deve dar ênfase ao desenvolvimento de competências que são metas a serem perseguidas durante essa etapa da escolaridade. São três grandes competências a serem desenvolvidas: representação e comunicação, investigação e compreensão e contextualização das ciências no âmbito sócio-cultural. Desse modo, o trabalho com a Geometria deve contemplar o desenvolvimento dos conteúdos específicos dentro de uma abordagem que contribua para o desenvolvimento das competências mencionadas. Os PCNEM (BRASIL, 1999) de matemática apontam que uma vertente importante para justificar a inclusão da matemática nos currículos escolares é: Ela desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, 46

48 projetar, transcender o que é imediatamente sensível. Portanto, a matemática tem uma dupla função: aplicações práticas e o desenvolvimento do raciocínio. Outro aspecto importante apresentado no documento é a participação do aluno na elaboração de seu conhecimento, este é um ponto fundamental da concepção da aprendizagem atual. Essa participação deve ser orientada tendo em vista os conceitos a serem construídos, bem como as tarefas a serem realizadas. Assim como na Proposta Curricular de Matemática para o 2º Grau (1986), percebemos na TSD um bom caminho para o desenvolvimento do conhecimento sobre a aprendizagem de geometria proposto anteriormente. O desenvolvimento de uma tarefa pode ter como ponto de partida um problema para se iniciar a discussão de ideias centrais relacionadas ao tema em questão. A linguagem deve aproximar-se o mais próximo possível da linguagem do aluno e cada conceito precisa ser interiorizado pelos estudantes antes de qualquer tentativa de formalização. Como as representações tanto na construção quanto nas justificativas serão realizadas pelos professores em linguagem própria, acreditamos no fortalecimento na utilização da Teoria de Registros e Representação de Duval. Diante das sugestões apresentadas anteriormente sentimos reforçada a nossa escolha pelas teorias apresentadas como fundamentais para o nosso estudo. Em relação ao cálculo do volume dos sólidos geométricos podemos encontrar na Proposta Curricular uma tentativa de sistematização do cálculo indireto de volumes dos sólidos mais frequentes, classificados em três grupos: Prismas/ cilindros. Pirâmides e cones. Esferas. 47

49 A proposta Curricular (1986), salienta ainda que no estudo de volumes é fundamental evitar sua redução a um amontoado de fórmulas. Basicamente, as situações elementares envolvendo cálculo de volumes resumem-se em três: Volume de sólidos como prismas e cilindros, caracterizados como pilhas idênticas. Volume de sólidos por comparação com um cubinho de uma unidade de volume. Volume de sólidos como pirâmides e cones caracterizados como pilhas que vão se afunilando. A inversão dessas situações segue nossa proposta de favorecer o estudo do volume dos sólidos como grandeza, relacionando primeiro a figura com a grandeza e depois com o aspecto numérico. De forma geral, notamos que esses documentos apontam para um trabalho no qual as primeiras ideias relacionadas ao estudo dos sólidos geométricos devam privilegiar diferentes maneiras de se apresentar os sólidos geométricos em questão. Percebemos nesse momento, apesar do documento não mencionar diretamente, a sugestão de se ensinar o volume dos sólidos por meio do Princípio de Cavalieri, porém devemos salientar que para essa abordagem se faz necessário ter bem construído o conceito de área como grandeza. A Proposta Curricular para o estado de São Paulo implementado em 2008, apresenta como seu principal objetivo organizar o ensino nas escolas da rede e melhorar a qualidade da aprendizagem dos alunos (São Paulo, 2008). O conhecimento é distribuído em quatro áreas: Ciências Humanas e suas Tecnologias; Ciências da Natureza e suas Tecnologias; Linguagens, Códigos e suas Tecnologias; Matemática e as áreas do conhecimento. Na proposta para o Ensino Médio encontramos os conteúdos dispostos em quatro blocos temáticos: Números, Grandezas e Medidas, Geometria e Tratamento da informação. 48

50 Segundo a Proposta, o tema Geometria métrica espacial está relacionado entre os conteúdos do 4 bimestre do 2 ano do Ensino Médio, apresentado no Caderno do Professor, documento que integra a proposta curricular de 2008 com o objetivo de oferecer sugestões para o trabalho docente. Com o desenvolvimento desse estudo, notamos que esses documentos apontam para um trabalho no qual as primeiras ideias relacionadas ao estudo dos sólidos sejam realizadas ainda no Ensino Fundamental, por meio de comparações com as unidades padrões e tendo continuidade no Ensino Médio, retomando a idéia de comparação com a unidade e estendendo esse conceito para o entendimento sobre os volumes dos sólidos, fundamentando-se no Princípio de Cavalieri. Aqui mais uma vez reforçamos que construir o conceito de volume por meio de comparações de medidas pode conduzir os alunos a priorizarem a ideia de volume como um número e não como grandeza. É possível encaminhar os alunos a construir o conceito de volume a partir de comparações entre volumes, mostrando que sólidos diferentes podem possuir volumes iguais, generalizar a partir destas comparações e depois utilizar o quadro dos números para fazer comparações entre medidas que representam esses volumes. Diante das situações sugeridas nos documentos oficiais, apresentaremos em seguida o que alguns documentos apontam sobre a utilização da tecnologia nas aulas de Matemática. Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (1999) que o impacto causado pela tecnologia, cujo instrumento mais relevante é hoje o computador, exigirá do ensino de Matemática um redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habilidades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento. Para isso, habilidades como selecionar informações, analisar as informações obtidas e, a partir disso tomar decisões, exigirão linguagem, procedimentos e formas de pensar matemático que devem ser desenvolvidos ao 49

51 longo do ensino, bem como a capacidade de avaliar limites, possibilidades e adequação das tecnologias em diferentes situações. Assim, as funções da Matemática descritas anteriormente e a presença da tecnologia nos permitem afirmar que aprender matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar resultados dessa ciência e que a aquisição do conhecimento matemático deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber matemático. O documento aponta que a aprendizagem deve contemplar formas de apropriação e construção de sistemas de pensamento mais abstratos e resignificativos ara o Ensino Médio. Dessa forma, podemos entender que os documentos oficiais indicam a utilização de recursos tecnológicos, como um fator positivo para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática e, de forma especial, no que se refere ao ensino das figuras geométricas. Assim, em nossa pesquisa, escolhemos trabalhar com o software Cabrí 3D, pois acreditamos que ele poderá contribuir para uma atividade mais dinâmica e diversificada, permitindo aos alunos compreender o estudo dos sólidos geométricos mediante simulação, investigação e exploração de figuras geométricas espaciais, de forma simultânea. 2.3 A Geometria Dinâmica e o Cabri 3D Acreditamos que a tecnologia deve ser incorporada na educação e utilizada para auxiliar no desenvolvimento da aprendizagem, porém é importante salientar que a tecnologia por si não valida esse mesmo processo. A seguir apresentaremos alguns autores que discorrem sobre algumas características da utilização da tecnologia ou sobre o papel das novas tecnologias no ensino da geometria. 50

52 Valente (1993) afirma que a maneira pela qual determinamos a utilização do computador, isto é, concebemos a tarefa em que será utilizado, vincula seu uso inteligente. Para o autor os softwares educacionais são muito valorizados pelos professores, uma vez que a máquina de ensinar e administrar o ensino facilita muito as tarefas do professor. Porém isso implica ser capaz de refletir sobre a aprendizagem a partir de dois pólos: a promoção do ensino ou a construção do conhecimento pelo aluno. Valente (1993) afirma que o computador pode ser um importante aliado nas necessidades do profissional moderno, que deve apresentar as seguintes características: crítico, criativo, com capacidade de pensar, de aprender a aprender, de trabalhar em grupo e de conhecer o seu potencial intelectual, com capacidade de constante aprimoramento. Ainda segundo o autor, os softwares educacionais podem ser úteis no ensino de matemática, apontando que um ambiente computacional educativo pode estar inserido na categoria: As simulações envolvem a criação de modelos dinâmicos e simplificados do mundo real e permitem explorar diversas situações; além disso, uma simulação para o estudante fazer conjecturas, estabelecer hipóteses, testá-las e analisar resultados, possibilitando a exploração de propriedades dos objetos estudados. Para Salazar (2009) as representações de figuras planas e espaciais desempenham um importante papel na aprendizagem da geometria espacial, então os ambientes computacionais se tornam importante recurso nessa aprendizagem, pois as novas formas de manipulação oferecidas pelos ambientes de Geometria Dinâmica e pela manipulação direta das figuras na tela, possibilita sua exploração, mantendo as relações geométricas da construção, isto é, suas propriedades invariantes. Essa manipulação permite melhorar a visualização, além de possibilitar diferentes pontos de vista relacionados a uma mesma figura. Em se tratando da geometria espacial o Cabri 3D é um importante ambiente que pode ajudar a validar situações geométricas de maneira 51

53 experimental como podemos observar na afirmação de Chaachoua (1997apud SALAZAR, 2009). Ainda segundo o autor o Cabri 3D permite criar uma realidade espacial de objetos geométricos e possibilita a manipulação direta e a retroação, ou seja, modificar o que está feito, como também a função desfazer do Cabri 3D Para a autora as potencialidades das representações acima mencionadas são infinitas em comparação com as representações de figuras espaciais feitas com lápis e papel. Por exemplo, as representações realizadas no Cabri 3D nos permitem olhá-las por todos os ângulos e lados, já na representação desta figura espacial feita no papel, não importa o modo como desenhamos, haverá certamente uma vista privilegiada e as outras estarão ocultas. Além disso, nas construções realizadas com lápis e papel os objetos construídos não podem ser movimentados, não podemos revisar a construção realizada. O Cabri 3D foi lançado em 2004, concebido e desenvolvido por Cabrilog. Fundamenta-se na tecnologia Cabri, originária das pesquisas desenvolvidas no laboratório Leibiniz (associado à Universidade Joseph Fourier, em Grenoble, França). O ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D é um simulador e permite criar representações de figuras espaciais. A seguir, apresentaremos as principais características do Cabri 3D, bem como as ferramentas e os recursos que utilizaremos na pesquisa. O Cabri 3D favorece a exploração de figuras construídas baseadas em vários ângulos de visão do observador. Isso acontece porque o usuário pode observar sua construção, como se esta estivesse dentro de uma bola de cristal. Essa concepção é favorecida com a mudança de tons das cores das figuras representadas indicando se elas estão construídas perto do observador ou não, isto é, as cores são mais intensas ou mais tênues, respectivamente. Com suas ferramentas, é possível criar pontos, retas, planos, prismas, pirâmides, cilindros, cones e esferas, etc., isto é, das construções dinâmicas mais elementares às mais complexas. 52

54 Apresentamos no quadro 11 as figuras das principais ferramentas do Cabri 3D. Nele encontramos em cada janela as ferramentas oferecidas pelo software. Quadro 11: Ferramentas do Cabri 3D. Ressaltamos que no Cabri 3D as construções apresentam a superfície dos corpos redondos (cone, cilindro e esfera) e dos poliedros (tetraedro, paralelepípedo, prisma, pirâmide e os poliedros regulares). E os polígonos (triângulos, quadrado, pentágono) como superfície um fato importante que favorece no estudo de áreas das figuras geométricas. É possível realizar construções, manipular as figuras, mantendo suas propriedades, construir, visualizar figuras em três dimensões, verificar e testar as propriedades. Além disso, com a ferramenta revisar construção, é possível observar todos os passos realizados durante as construções, facilitando na percepção de alguma falha que porventura tenha ocorrido. 53

55 Outra possibilidade oferecida pelo Cabri 3D é a mudança do estilo de superfície. Essa ferramenta favorece ao usuário a visualização de objetos que estão ocultos num determinado ângulo de visão. A função ocultar e mostrar, permite ao usuário esconder objetos previamente construídos e mostrá-los novamente caso necessite. A opção rastro permite representar a trajetória criada pelo movimento de alguns objetos como: pontos, retas, segmentos de retas, vetores e circunferências. Para Hugot (2005, apud SALAZAR, 2009) o usuário coloca-se em posição central em seu processo de concepção, por meio da manipulação direta e, segundo a equipe que desenvolveu o Cabri 3D, suas funções didáticopedagógicas são diversas, com destaque para fornecer um ambiente de simulação porque propõe um ambiente que respeite as leis do modelo de Geometria Euclidiana. Como citado anteriormente, os objetos criados podem ser manipulados em três dimensões, podendo-se observar e interpretar, em tempo real, os resultados ou efeitos obtidos. Além de que o ambiente fornece múltiplas interações e favorece a descoberta pela exploração. Pelo poder motivador, pois desperta a vontade do usuário, porque possui atributos gráficos, como: cor, tamanho, textura, etc., para tornar as figuras mais atraentes, dinâmicas e legíveis. Todas as características apresentadas anteriormente sobre o Cabri 3D e sua utilização nos levou a adotá-lo como ferramenta no desenvolvimento das atividades propostas aos professores. 2.4 O Volume dos Sólidos Geométricos nos Livros Didáticos Diante das abordagens apresentadas por algumas pesquisas, mencionando as limitações das apresentações dos conteúdos nos livros didáticos, achamos necessária a observação de como alguns livros, utilizados nas escolas públicas, apresentam as definições dos objetos geométricos abordados em nosso trabalho, bem como os volumes dos sólidos em questão. 54

56 No conjunto de livros pesquisados nas escolas públicas da região onde atuam os professores participantes da nossa pesquisa, separamos os livros que são mais utilizados como auxílio e fonte de inspiração para elaboração de suas aulas. A maioria dos livros didáticos consultados separa um capítulo para tratar da geometria espacial e intitulam de Métrica: Poliedros. Podemos perceber nitidamente que eles priorizam a geometria das medidas. Este capítulo é composto por tópicos dos quais citaremos apenas aqueles de nosso interesse: Prismas e pirâmides. A introdução da apresentação desses poliedros é feita geralmente por meio de desenhos para exemplificá-los, com exceção o trabalho de Iezzi (2004) que apresenta como mostra a figura 2, objetos que têm a forma de prismas. Na figura são apresentadas ao leitor algumas caixas de presente e um cubo para representar prismas. Entendemos que o desenho azul pode ser utilizado como uma representação figural de um prisma, já as caixas de presente são superfícies poliédricas e desta forma representam a superfície de um prisma, porém esta distinção não é feita pelo autor. Figura 2: Objetos com forma de prisma. Fonte:IEZZI, 2004, p. 417 Levando em consideração que muitos professores utilizam polígonos recortados em cartolinas, papelão, caixa de sapato, baú de caminhão, etc. para representar os poliedros, achamos necessário diferenciar superfície poliédrica de poliedros, pois acreditamos que haja uma confusão nesse sentido. Quando os alunos constroem os objetos geométricos por meio da colagem de polígonos, eles estão construindo superfícies poliédricas e não poliedros, como 55

57 podemos perceber nas indicações encontradas no livro de Dolce e Pompeu (1985). Superfície poliédrica limitada convexa é a reunião de um número finito de polígonos planos e convexos (ou regiões poligonais convexas), tais que: Dois polígonos não estão no mesmo plano.a) Cada lado de polígono não esteja em mais que dois polígonos;b) Havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, estes devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno.c) O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).as superfícies poliédricas limitadas convexas que tem contorno são chamadas abertas. As que não têm, fechadas. (DOLCE e POMPEU, 1985, p. 119) A distinção entre poliedros e corpos redondos é feita apenas por Smole e Diniz (2005), como mostra a figura 3. Nela encontramos, em relação aos poliedros, a representação de suas estruturas, pois como elas foram representadas não privilegiam o entendimento de sólidos geométricos. Figura 3: Poliedros e corpos redondos. Fonte: (SMOLE E DINIZ, 2005, p. 238) Acreditamos que essa abordagem baseada em representações por meio de figuras estáticas, isto é, sem transformação, não possibilita aos alunos o desenvolvimento de competências como: representação e comunicação, investigação e compreensão como propõe os documentos oficiais. Uma introdução bastante interessante foi a mencionada por Dante (2009), quando apresenta aos leitores a figura 4 e, em seguida propõe a situação: Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas 56

58 figuras. Deseja-se saber: Em qual delas será usada maior quantidade de madeira? Qual delas terá espaço interno maior? (DANTE,2009, p. 360) Figura 4: Duas caixas de madeira. Fonte: (DANTE, 2009, p. 360) Na figura 4 encontramos novamente a representação da estrutura dos sólidos e novamente não é feita nenhuma discussão sobre volume, superfície ou estrutura. Salientamos que esse seria um bom momento para a discussão sobre volume e capacidade, porém o assunto não é mencionado. É afirmado ao leitor que a resolução deste e de outros problemas similares são possíveis com o estudo de assuntos como a noção de poliedro, o cálculo da área total e do volume de um prisma e de uma pirâmide, etc., que serão abordados neste capítulo. Para a caracterização do que seja poliedro mencionaremos a definição encontrada em Giovanni & Bonjorno (2005) por entendermos que esta é mais simples e a que mais se aproxima das outras encontradas. Denomina-se Poliedro o sólido limitado por polígonos planos, de modo que: Dois desses polígonos não estão num mesmo plano; Cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos. (ibid, p. 248) A maioria dos autores separaram os poliedros em dois grupos: prismas e pirâmides. Uma maneira bastante usual de apresentação de prismas e pirâmides é a apresentação de figuras para representá-los, como encontramos na 57

59 apresentação de Smole (2005). Ela afirma que encontramos os objetos em forma de prisma em nosso cotidiano. Na figura 5 apresentada por Smole (2005) encontramos objetos que representam superfícies de sólidos, já na figura 6 encontramos a representação de um sólido de base hexagonal. Figura 5: Objetos com forma de prismas. Fonte: (SMOLE, 2005, p. 241) 6: Então, em seguida, apresenta a definição de prisma como mostra a figura Figura 6: Definição do prisma. Fonte: (SMOLE, 2005, p. 241) Outra maneira que achamos interessante de definir prisma é encontrada em Longen (2004), quando o autor afirma que a construção de um prisma pode ser imaginada efetuando a sobreposição de vários polígonos iguais numa mesma direção (translação de um polígono). 58

60 Situação exemplificada pela figura 7, representando a translação da superfície poligonal ABCDEF na direção r, obtendo assim um prisma. Figura 7: Obtenção do prisma por sobreposição de polígonos na mesma direção. Fonte: (LONGEN, 2004, p. 82) Os prismas podem ser classificados em vários grupos, porém apresentaremos somente os que são de nosso interesse. Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto as faces laterais são retângulas. Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases. Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo é a reunião de seis paralelogramos. Paralelepípedo reto é um prisma reto cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo reto é a reunião de quatro retângulos (faces laterais) com dois paralelogramos (bases). Paralelepípedo retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos. Cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes. (DOLCE e POMPEU, 1985, p. 139) Percebemos facilmente que o tipo de abordagem utilizada pelos livros não prioriza outro aspecto importante apresentado nos documentos oficiais, que é a participação do aluno na elaboração de seu conhecimento, pois segundo os documentos, este é um ponto fundamental da concepção da aprendizagem atual. Então, passaremos a tratar dos volumes dos sólidos encontrados nos livros didáticos já mencionados. Utilizaremos como apoio ao nosso trabalho a definição de volume de um sólido encontrada em Dolce e Pompeu (1985), quando apresentam: 59

61 Volume de um sólido ou medida do solido como um número real positivo s associado ao sólido de forma que: 1º) sólidos congruentes têm volumes iguais. 2º) se um sólido S é a reunião de dois sólidos S 1 e S 2 que não tem pontos interiores comuns, então o volume de S é a soma dos volumes de S 1 com S 2. Os sólidos são medidos por uma unidade que, em geral, é um cubo. Assim, o volume deste cubo é 1. Se sua aresta mede 1 cm (um centímetro), seu volume será um (um centímetro cúbico).se sua aresta medir 1m, seu volume será 1m³. (DOLCE e POMPEU, 1985, p. 151), Entendemos que o tipo de definição prioriza o entendimento do volume de um sólido como um número e não uma grandeza, já que nesta abordagem o volume de um sólido é associado a um número real positivo. Alguns livros consultados apresentam a fórmula para que os alunos possam calcular o volume dos prismas, sem nenhuma preocupação com a demonstração ou mesmo uma explicação de como foi encontrada tal fórmula. A sugestão de que se formalize o estudo sobre o volume de um paralelepípedo por meio de comparação com outros paralelepípedos favorecendo o conceito de volume como uma grandeza é ignorada pelos livros, pois as comparações realizadas entre os paralelepípedos é entre o paralelepípedo e o cubo unitário, priorizando assim o volume como medida. O princípio de Cavalieri é utilizado pela maioria dos livros didáticos para mostrar o volume dos prismas. Tomamos a apresentação feita pelo Smole (2007) observando que a autora apresenta inicialmente um breve histórico sobre Cavalieri para em seguida apresentar seu princípio. O princípio de Cavalieri é apresentado como segue: Dois sólidos, S 1 e S 2, de mesma altura h, apoiados num plano α e contidos num mesmo semi-espaço de origem α, terão o mesmo volume se qualquer plano paralelo a α determinar em S 1 e S 2 secções com áreas iguais. 60

62 Volume de prismas. Consideremos um prisma qualquer e um paralelepípedo reto retângulo, de mesma altura h, apoiados num plano α e contidos num mesmo semi-espaço de origem α, de modo que suas bases sejam equivalentes. Então qualquer plano paralelo a α que intercepta os dois sólidos determina secções com áreas iguais. Logo, pelo principio de Cavalieri, os dois sólidos têm volumes iguais:.(smole, 2005, p. 301) Na primeira figura são apresentados dois corpos, cuja secções são circulares e nessa parte do livro o assunto abordado são os prismas. Na segunda figura são apresentadas as estruturas de dois prismas, sem distinção da representação de um sólido e da estrutura de um sólido, para realizar o estudo do volume de prismas pelo Princípio de Cavalieri. Nas duas figuras os alunos podem entender que se trata de uma única secção e que esta é estática, assim como na figura, além disso, outro aspecto marcante é que os elementos geométricos são apresentados sem possibilitar aos leitores discussões sobre os elementos geométricos envolvidos neste estudo, em especial a equivalência entre as áreas das bases e as alturas dos prismas. Em nossos estudos encontramos o volume de sólidos como uma pilha de polígonos idênticos de área conhecida, porém acreditamos que a representação 61

63 do Princípio de Cavalieri por meio de figuras estáticas dificulta aos alunos a visualização e por fim a percepção da propriedade em questão. Em relação às pirâmides apresentaremos inicialmente o tipo de representação mais utilizada nos livros didáticos. Dolce e Pompeu (1985), definem pirâmide como: Consideremos um polígono convexo (região poligonal convexa) ABC... MN situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirâmide (ou pirâmide convexa) à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. V é o vértice e o polígono ABC... MN é a base da pirâmide. Consideremos um polígono convexo (região convexa) ABC... MN situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirâmide (ou pirâmide convexa) à reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do polígono. (DULCE e POMPEU, 1985, p. 178) A maioria dos livros justifica, mesmo que de maneira bem simplória, como se encontra a expressão do volume da pirâmide e apresenta V =. B.h, como tal. Nela o volume da pirâmide de base triangular é obtido pela decomposição de um prisma triangular, como apresentado na figura 8: Figura 8: Volume da pirâmide de base triangular. Fonte: (DANTE, 2009, p. 375) 62

64 Na figura 8 é apresentada três vezes a estrutura do prisma ABCDEF de base triangular. Na primeira representação, encontramos interno ao prisma a pirâmide ABCD, na segunda a pirâmide CDEF e na terceira a pirâmide EDBC, nomeados respectivamente de I, II e III. O autor afirma que as pirâmides são equivalentes, porém entendemos que este tipo de abordagem estática não favorece a discussão sobre a equivalência entre as pirâmides em questão. Encontramos em vários livros a apresentação dos volumes de prismas e pirâmides como um amontoado de fórmulas e a linguagem utilizada é o início do processo e não o fim, como propõe os documentos oficiais, justificando que é conveniente observar que a ação e linguagem apóiam-se mutuamente, construindo uma aprendizagem com significado para o aluno. Acreditamos que a abordagem adotada pelos livros não possibilita aos alunos as habilidades como selecionar informações, analisar as informações obtidas e, a partir disso, tomar decisões. Entendemos que o tema exige linguagem, procedimentos e formas de pensar matemático que devem ser desenvolvidos ao longo do ensino bem como a capacidade de avaliar limites, possibilidades e adequação das tecnologias em diferentes situações. Diante do tipo de abordagem apresentada pelos livros didáticos consultados sobre as representações de prismas e pirâmides, confirmamos a necessidade de utilizar o software Cabri 3D para representar de maneira dinâmica as figuras geométricas, potencializando as possibilidades da aprendizagem dos professores no estudo desses elementos geométricos. 63

65 CAPÍTULO 3 AS ATIVIDADES E SUAS ANÁLISES Neste capítulo, apresentaremos a descrição dos participantes da pesquisa, da aplicação e suas análises a priori e a posteriori da sequência de ensino. 3.1 Sujeitos da pesquisa Os sujeitos participantes desta pesquisa são professores, que foram organizados em três grupos. Um grupo foi composto por seis professores que realizaram as atividades propostas, outro grupo por dois professores observadores responsáveis pela observação do desenvolvimento da situação de aprendizagem 1 e o último grupo formado pelo professor pesquisador, mestrando no curso de Educação Matemática no programa da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, que conduzirá a pesquisa. Daqui por diante (neste trabalho) usaremos o termo professor para nos referirmos aos professores que realizarão as atividades, o termo observador para os professores observadores e o termo pesquisador para o professor pesquisador. Os professores foram selecionados junto a Diretoria de Ensino de Jacareí, situada na região do Vale do Paraíba. Estes professores foram divididos em três duplas. Para preservar seu anonimato, nomes fictícios foram lhes atribuídos, como: Marcio, Carlos, Marcos, Ricardo, Fabio e Joana. 1 Utilizamos o termo situação de aprendizagem segundo Brousseau. Como consta em nosso quadro teórico, p

66 Decidimos trabalhar com os professores dessa diretoria devida a alguns aspectos como: localização, facilidade de comunicação e ter o cargo de professor de Matemática vinculado a essa diretoria. Destacamos que dos professores participantes da pesquisa nenhum deles teve algum tipo de contato com o Cabri 3D anteriormente de modo que podemos afirmar que para todos o Cabri 3D foi uma novidade. 3.2 Descrição da aplicação Nossa pesquisa é composta por dois grupos de atividades. O primeiro grupo denominado Exploração do software Cabrí 3D é formado por cinco atividades com o objetivo de exploração do software, o segundo grupo denominado reconstrução da aprendizagem sobre o volume de sólidos por meio do Cabrí 3D é formado por quatro atividades com o objetivo de possibilitar o estudo sobre o volume de prismas e de pirâmides com o auxílio do software. Para facilitar a compreensão da organização das atividades e da sequência que deverá ser realizada apresentamos no quadro 12 a estrutura de aplicação. Quadro 12: Quadro representativo das atividades propostas aos professores. Grupos Nº da ATV Nome da atividade 1 Pontos, retas e planos Grupo 1 Exploração do 2 Polígonos Equivalentes software Cabri 3D 3 Pentágono e Retângulos equivalentes 4 Paralelepípedos 5 Prismas e pirâmides Grupo 2 Reconstrução da aprendizagem sobre o volume dos sólidos com a 1 Descobrindo uma relação 2 Prismas equivalentes (Princípio de Cavalieri). 3 Trissecção do prisma utilização do Cabri 3D 4 Relação entre as secções e as alturas das pirâmides 65

67 A sequência de ensino foi aplicada pelo pesquisador e contou com a colaboração de dois observadores: Márcia e Regina. A observadora Márcia observou a dupla A e a observadora Regina observou a dupla B. O desenvolvimento da sequência de atividades contou com o registro de representação figural dinâmico 2, simulações realizadas no Cabrí 3D da língua natural e simbólica utilizadas para apresentar as respostas das atividades apresentadas nas fichas das atividades. A realização das atividades aconteceu em 5 encontros com 3 horas de duração cada, de 11 à 15 de janeiro numa escola particular situada na cidade de Arujá, munida de 20 computadores, todos com o Cabrí 3D devidamente instalado, e um aparelho de data show. Em um primeiro momento, o pesquisador apresentou os envolvidos na pesquisa e organizou a formação das duplas, comunicou os professores que durante a atividade, estes se mantivessem em atitude de investigação e que a troca de informação entre os membros da pesquisa era permitida. Em seguida, foi entregue aos professores um roteiro 3, que é apresentado na íntegra no apêndice, contendo informações sobre a utilização das ferramentas e as fichas contendo as atividades. No primeiro encontro, trabalhamos para a realização das cinco primeiras atividades de exploração do software possibilitando aos professores simular as figuras geométricas espaciais, por meio de construções e manipulações utilizando as principais ferramentas do Cabrí 3D que seriam utilizadas na realização das atividades seguintes. Nos encontros seguintes nossa intenção foi oferecer ferramentas e espaço para discussão no desenvolvimento da reconstrução dos conhecimentos sobre o volume de sólidos, por meio das resoluções das atividades do segundo grupo. 2 Consideramos como registro figural dinâmico o registro utilizado em ambientes de Geometria Dinâmica como proposto por Flores (2009). 3 Como os professores não tiveram nenhum contato com o Cabri 3D, então o roteiro surgiu na intenção de auxiliar os professores em suas construções. 66

68 No segundo encontro propusemos a realização das atividades 1 na intenção de desenvolver o conhecimento sobre o volume de paralelepípedos. Já o conhecimento acerca do volume dos prismas foi desenvolvido no terceiro encontro por meio da resolução da atividade 2. No quarto encontro propusemos a realização da atividade 3 para desenvolver junto aos professores a reconstrução do conhecimento do volume de pirâmides equivalentes.já no quinto e último encontro propusemos aos professores a resolução da atividade 4 para que eles desenvolvessem o estudo acerca do estudo de pirâmides equivalentes. Em todos os encontros, o professor pesquisador utilizou o recurso tecnológico (data show) de forma expositiva e durante a aplicação da seqüência disponibilizou a cada dupla de professores um computador com o software Cabrí 3D instalado para sua utilização como um recurso de simulação. 3.3 As atividades Para a realização dessas atividades nos fundamentamos na teoria dos Registros de Representação Semiótica proposta por Duval (1999), e Teoria das Situações Didáticas proposta por Brousseau (1986) Grupo 1: exploração do software Desenvolvemos nossas atividades compostas por várias construções realizadas no Cabrí 3D. Nossa intenção era que essas construções possibilitassem a visualização, manipulação e observação das representações das figuras geométricas e suas relações com o espaço por meio de manipulação direta, utilizando o Cabrí 3D como um ambiente favorável a simulação das figuras geométricas espaciais. 67

69 Atividade 1: Pontos, retas planos. a) Crie 3 pontos no plano horizontal 4 e 2 pontos no espaço 5, Nomeie os pontos do plano horizontal de A,B,C e os pontos no espaço de D e E. Movimente os pontos. b) Com o botão direito do mouse, modifique o ângulo de visão. c) Crie uma reta e nomeia de r. movimente seus pontos. d) Crie um plano. Movimente seus pontos. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla. fam.1. Análise a priori da Atividade 1 Essa atividade foi idealizada para possibilitar aos professores a exploração das ferramentas do Cabrí 3D relacionadas aos objetos geométricos ponto, reta e plano e que essa exploração permitisse aos professores utilizar essas ferramentas sem dificuldades nas atividades seguintes. Para vivenciarem as situações de ação, formulação e validação proposta por Brousseau (1986), os professores deveriam seguir o roteiro com as orientações para o desenvolvimento desta atividade que seria realizada no Cabri 3D, realizando as criações e manipulações sugeridas. No item a nosso objetivo era que os professores explorassem a ferramenta ponto, isto é, que criassem e nomeassem pontos no plano horizontal e no espaço, como mostra a figura 9. A nomeação de cada ponto possibilita sua identificação diminuindo possíveis confusões. Os pontos podem ser determinados diretamente no plano horizontal ou no espaço, como proposto no item a desta atividade. Também podem ser determinados sobre algumas figuras geométricas como: reta, segmento de reta, circunferência, etc., ou ainda pela intersecção entre essas figuras geométricas. 4 No Cabrí 3D o retângulo cinza representa o plano base o qual chamaremos de plano horizontal. 5 Utilizaremos a palavra espaço para nos referir à região do espaço fora do plano horizontal. 68

70 Apresentamos na figura 9 um possível ângulo de visão 6 que seria obtido pelos professores. Neste ângulo de visão os professores visualizariam o plano horizontal representado por um retângulo cinza e sobre ele os pontos A, B e C, já os pontos D e E no espaço. Figura 9: Pontos no plano e no espaço Propomos a movimentação dos pontos A, B e C, esperando que ao movimentá-los, os professores desenvolvessem a apreensão operatória por meio da mudança posicional e percebessem que a movimentação desses pontos acontece apenas sobre o plano horizontal, e ao movimentar os pontos D e E eles percebessem que esses pontos poderiam ser movimentados em todas as direções. No item b, após a mudança do ângulo de visão, acreditávamos que os professores percebessem que um ponto criado no plano horizontal seria sempre pertencente a ele, mesmo que este ponto não estivesse dentro do retângulo cinza, extinguindo qualquer engano sobre sua localização. Os professores ao perceberem essa relação reforçaria a nossa crença de que desenvolveram a apreensão operatória por meio da mudança do ângulo de visão. Como exemplos dos diferentes ângulos de visão apresentamos na figura 10 dois ângulos de visão diferentes do ângulo de visão já apresentado. O ângulo de visão na figura 10 a) é o frontal onde aparecem os pontos A, B e C pertencentes ao retângulo cinza e os pontos D e E no espaço, já na figura 10 b) temos o ângulo de visão superior 6 É o ângulo de visão apresentado inicialmente pelo Cabrí 3D. 69

71 a) b) Figura 10: Vista frontal e vista superior Com relação ao item c pretendíamos que os professores criassem e nomeassem a reta r e com a movimentação dos pontos e percebessem que a sua movimentação é relativa aos pontos que a determinaram. Eles poderiam determinar a reta r contida no plano horizontal, paralela ou secante ao plano horizontal, isto dependeria de onde os pontos que determinaram a reta foram criados. a) b) c) Figura 11: Posições relativas das retas Na figura 11 apresentamos três possíveis soluções encontradas pelos professores. A figura 11 a) nos mostra uma reta r criada no plano horizontal, pois para a criação da reta r foram utilizados os pontos A e B que pertencem ao plano horizontal, porém pode ser criada uma reta r a partir de novos pontos criados no mesmo plano. A figura 11 b) nos mostra uma reta r secante ao plano horizontal, pois ela foi determinada a partir dos pontos D e E que distam diferentes do plano horizontal.já a figura 11 c) nos mostra uma reta r paralela ao plano horizontal, pois esta foi determinada a partir dos pontos D e F,contidos no mesmo semi espaço, que distam igualmente do plano horizontal. 70

72 Ainda em relação ao item c, acreditamos que com a movimentação dos pontos da reta, os professores desenvolvessem a apreensão operatória por meio da modificação posicional das retas e a percepção de que a movimentação da reta é obtida com a movimentação dos pontos utilizados para sua criação. No item d os professores deveriam construir, utilizando a ferramenta plano, um plano. Assim como com a reta r os professores poderiam criar o plano em três situações diferentes. Ele poderia ser coincidente, paralelo ou secante ao plano horizontal como alguns exemplos apresentados na figura 12. a) b) Figura 12: Posições relativas entre planos Na figura 12 a) criou-se um plano ABD secante ao plano horizontal, pois os pontos A e B pertenciam ao plano horizontal e o ponto D pertencia ao espaço. Já na figura 12 b) criou-se um plano paralelo ao plano horizontal já que os pontos EFG, que determinaram o plano estavam no mesmo semi-espaço e a mesma distância do plano horizontal. Para o item d determinamos a movimentação do plano, com a intenção de favorecer aos professores o desenvolvimento da apreensão operatória por meio da modificação posicional dos planos e a percepção de que a movimentação o plano é obtida com a movimentação dos pontos utilizados para sua criação. Nesse momento, uma intervenção direta do pesquisador se faria necessária, destacando a localização dos pontos e suas possíveis movimentações, garantindo dessa forma o momento de institucionalização 71

73 proposto por Brousseau (1986) e que tais conhecimentos fossem incorporados ao repertório cognitivo desses professores e fossem utilizados para resolver novas situações-problemas. Análise a posteriori Inicialmente, por meio de um data show, o pesquisador apresentou o Software Cabrí 3D e suas caixas de ferramentas, como apresentado no quadro 11 p. 51, para que os professores localizassem cada ferramenta mencionada nas atividades. Houve grande envolvimento dos professores na resolução desta atividade; primeiro, procuraram ler, realizar as simulações com o Cabrí 3D e discutir com seus colegas o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha de atividade. Seguindo as orientações apresentadas no roteiro, os professores abriram a opção ajuda de ferramentas do Cabrí 3D para utilizá-la como auxílio nas construções realizadas nas atividades. Durante a realização do item a, as duplas A e B mostraram algumas dificuldades para acompanhar o roteiro, pois começaram a realizar as construções apresentadas no roteiro como se fossem as da própria atividade. O pesquisador fez uma intervenção esclarecendo que o roteiro era uma ferramenta de ajuda para a utilização das ferramentas. Certificou-se de que as duplas haviam compreendido e sugeriu que continuassem a desenvolver a atividade. Os componentes da dupla B determinaram quatro pontos no plano horizontal, três dentro do retângulo cinza e um fora. Num primeiro momento, ficaram satisfeitos com sua determinação acreditando estar correta, porém não nomearam os pontos, construíram um ponto a mais no plano horizontal e não construíram os pontos no espaço. O professor Marcos, como anotado pela observadora da dupla B, percebendo o equívoco afirmou: A nossa atividade não está de acordo com a ficha. 72

74 Os professores da dupla B analisaram suas realizações, perceberam o equívoco e em seguida reiniciaram a atividade, consultando mais atenciosamente o roteiro, determinando desta vez três pontos no plano horizontal, os pontos A e B no retângulo cinza e o ponto C fora. E finalizaram corretamente este item a, determinando os pontos D e E no espaço como podemos observar na figura 1. Figura 13: Construção realizada pela dupla B, atividade 1 do grupo1. Apresentamos a seguir a fala dos professores da dupla B, anotado pela observadora Regina, que nos possibilita afirmar que eles desenvolveram a apreensão operatória por meio da modificação posicional como indicada na análise a priori Marcos: Os pontos A, B e C não sobem nem desce, mesmo usando a tecla shift. Ricardo: Movimente os pontos D e E para vermos se eles sobem e descem. Marcos: Os pontos D e E sobem e descem com a tecla shift. Os componentes das duplas A e C estavam preocupados em seguir a ficha da atividade e fizeram atentamente, realizando os passos para criação dos pontos. Determinaram os três pontos no plano horizontal e nomearam A, B e C como proposto na atividade, porém apresentaram dificuldades em determinar os pontos no espaço, pois não utilizavam da tecla shift. Em suas primeiras tentativas os pontos eram criados no plano horizontal. O pesquisador observando o equívoco desses professores perguntou-os: Os pontos D e E estão no espaço?. 73

75 Os professores movimentaram os pontos sobre o plano horizontal e responderam: Sim. Eles sobem e descem O pesquisador percebendo que mesmo com a movimentação dos pontos D e E os professores não perceberam que estes estavam no plano horizontal, sugeriu: realizem o item b desta atividade. As duplas A e C quando deslocaram o plano horizontal em relação a um referencial, isto é, quando mudou seu ângulo de visão, verificaram por meio da manipulação direta, que o desenvolvimento realizado por eles não estava de acordo com o solicitado. A realização do item b possibilitou, por meio da mudança de posição do ângulo de visão, a esses professores perceberem que os pontos D e E estavam no plano horizontal. Então, eles retornaram à leitura do roteiro e realizaram o item a corretamente. A conversa, anotada pela observadora Marcia, apresentada a seguir nos faz inferir que eles perceberam o equívoco. Marcio: Agora sim os pontos D e E sobem e descem. Fabio: Antes os pontos se movimentavam horizontalmente e nos achávamos que eles se movimentavam verticalmente. Em relação ao item b, ao analisar as anotações dos observadores e as realizações das duplas no Cabri 3D podemos afirmar que as duplas realizaram, a apreensão operatória por meio da modificação posicional como indicado na analise a priori. A realização do item c procedeu da seguinte maneira por cada dupla: Em relação à construção da reta r, nenhuma dupla encontrou dificuldades em realizá-la, porém em relação a sua movimentação a dupla B não conseguia realizá-la, pois eles arrastavam a reta r, mas não conseguiam mudar sua direção. 74

76 Então, solicitaram a ajuda do pesquisador, como podemos observar na conversa anotada pela observadora Regina: Pesquisador: como a reta foi definida? Que elementos foram necessários para criar a reta r?. Marcos: os pontos D e E. Pesquisador: Qual a relação entre a reta r e os pontos que a determinaram?. Os professores discutiram sobre essa relação e movimentaram os pontos D e E. Perceberam que para transformar a direção da reta era necessário arrastar os pontos que a criaram. As duplas A e C conseguiram movimentar a reta r sem dificuldades e assim como a dupla B, acreditamos que realizaram a apreensão operatória, por meio da mudança de posição dos pontos da reta, e o seguinte comentário, anotado pela observadora Marcia, reforça nossa crença nesse sentido. Marcio: Ao movimentar os pontos a reta r também muda. No item d, todas as duplas construíram no Cabri 3D um plano auxiliado pelas sugestões apresentadas no roteiro da atividade. Como exemplo apresentamos a realização da dupla A apresentada na figura 14. Nela observamos um plano secante ao plano horizontal, pois o plano criado pela dupla foi determinado a partir dos pontos C, criado no plano horizontal e os pontos D e E, criados no espaço. Figura 14: Construção realizada pela dupla A, atividade 1 do grupo1. 75

77 A dupla C criou um plano coincidente com o plano horizontal, pois criou o plano passando pelos pontos A, B e C, porém não perceberam o equívoco. O pesquisador auxiliou-os neste momento, como nos mostra o diálogo anotado pela observadora Márcia. Pesquisador: Por que o retângulo cinza ficou azul? Fabio: Um novo plano foi determinado sobre o plano cinza. Pesquisador: Como determinar um plano que não coincida com o plano cinza? Joana: Utilizando pontos que não estejam no plano horizontal?. Pesquisador: Faça essa simulação no Cabri 3D. item. A dupla C realizou a simulação corretamente e concluiu com êxito este Ao solucionar o item d dessa tarefa, percebemos que todas as duplas observaram as alterações ocorridas na representação gráfica do plano. Quando os pontos são movimentados, o plano também é movimentado como propusemos na análise à priori. Acreditamos que os professores desenvolveram a apreensão operatória por meio da modificação posicional. O pesquisador realizou a institucionalização como mostra a figura 15, por meio do slide do Power point, Nele encontramos as possibilidades de movimentações dos elementos geométricos: ponto, reta e plano. Figura 15: Institucionalização da atividade 1 do grupo 1. 76

78 Atividade 2: polígonos equivalentes. a) Crie um triângulo ABC e um ponto T fora da região triangular ambos sobre o plano horizontal. b) Crie um triângulo DEF imagem do triângulo ABC por simetria central em relação ao ponto T. Movimente os pontos A, B, C e T. c) Crie a reta p que passe pelos pontos D e F. d) Crie uma reta q perpendicular à reta p que passe pelo ponto E. Movimente o ponto B. e) Determine o ponto de intersecção G entre as retas p e q. f) Determine o ponto médio M entre os pontos G e E. g) Crie uma reta r paralela a reta p passando pelo ponto M. h) Crie uma reta s paralela a reta q que passe pelo ponto D e outra reta t paralela à reta q passando pelo ponto F. i) Determine o ponto de intersecção H entre as retas r e s e determine o ponto de intersecção I entre as retas r e t. j) Crie um retângulo DFIH e modifique sua cor. Movimente os pontos do triângulo ABC. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.fam.3. Análise A Priori Na atividade 2 além de oferecer aos professores a exploração de algumas ferramentas do Cabrí 3D, como triângulo, simetria, perpendicular, paralelas e polígonos, intencionamos também oferecer, por meio de construções realizadas no Cabrí 3D, a transformação de um triângulo em um retângulo equivalente. Para vivenciar as situações de ação, formulação e validação proposta por Brousseau (1986), os professores deveriam seguir o roteiro com as orientações para o desenvolvimento desta atividade que seria realizada no Cabri 3D, por meio das simulações sugeridas. Apresentamos o quadro 13 onde se encontram as observações de cada construção e as figuras obtidas. 77

79 Quadro 13: Quadro das construções do retângulo equivalente ao triângulo. Observações a) Criamos um triângulo ABC e um ponto T externo ao triângulo ABC, ambos no plano horizontal. Em seguida o triângulo DEF imagem do triângulo ABC segundo a simetria central em relação ao ponto T. Essa simetria permite afirmar que os triângulos ABC e DEF são congruentes. Figura b) A reta p foi criada passando pelos pontos D e F, prolongando o lado. A reta q foi criada perpendicular à reta p passando pelo ponto E, possibilitando que sobre ela seja determinada a altura do triângulo DEF em relação ao lado e) e f) Determinamos o ponto G pela intersecção entre as retas p e q. Este será uma das extremidades da altura em relação à base do triângulo ABC e o ponto M, médio entre os pontos E e G, será o ponto médio da altura. g) criamos a reta r paralela a reta p, passando pelo ponto M, e as retas s, passando pelo ponto D e t, passando pelo ponto F paralelas à reta q, logo são perpendiculares às retas r e p. h) e i) Determinamos o ponto H, ponto de intersecção entre as retas r e s, e o ponto I, ponto de intersecção entre as retas r e t, obtendo os vértices do retângulo DFIH. j) Criamos o retângulo DFIH equivalente ao triângulo DEF, pois o triângulo DHX (X é intersecção entre e ) é congruente ao triângulo EMX. E o triângulo FIY é congruente ao triângulo EMY (Y é intersecção entre e ). Nosso objetivo no item a era que os professores explorassem as ferramentas triângulo para criar um triângulo ABC e utilizassem a ferramenta ponto para construir o ponto T. Optamos por construir o ponto T fora do triângulo ABC para não limitar a movimentação de ambos (triângulo ABC e o ponto T). 78

80 Esperávamos que os professores construíssem diferentes tipos de triângulos, como o equilátero, retângulo, isósceles, diversificando as comparações e potencializando a discussão realizada pelos professores. Em relação ao item b, pretendíamos que os professores explorassem a ferramenta simetria central e construíssem um triângulo DEF imagem do triângulo ABC por simetria central em relação ao ponto T. Esperávamos possibilitar aos professores o desenvolvimento da apreensão operatória por meio da modificação ótica, isto é, que eles percebessem que os triângulos ABC e DEF seriam congruentes e qualquer transformação provocada no triângulo ABC acarretaria numa transformação equivalente em sua imagem triângulo DEF. No item c os professores deveriam construir uma reta p que seria o prolongamento da base do triângulo DEF. No item d, nossa intenção era de que os professores explorassem a ferramenta perpendicular e construíssem uma reta q perpendicular a reta p, passando pelo ponto E. Com a sugestão da movimentação do ponto B neste item, nossa intenção era de que os professores desenvolvessem a apreensão operatória por meio da modificação posicional, percebendo que ao movimentar o ponto B, a reta q permanecia perpendicular a reta p. No item e os professores deveriam determinar, utilizando a ferramenta ponto de intersecção, o ponto de intersecção G entre as retas q e p. Esperávamos que os professores realizassem a apreensão perceptiva e percebessem que o segmento é a altura do triângulo DEF em relação à base. Neste item f os professores deveriam determinar, utilizando a ferramenta ponto médio, um ponto médio M entre os pontos E e G. Acreditávamos que os professores perceberiam que o ponto M dividia a altura do triângulo DEF em dois segmentos congruentes. 79

81 Julgávamos que no item g os professores não encontrassem dificuldades para explorar a ferramenta paralela e construir uma reta paralela à base, passando pelo ponto M. No item h nossa intenção era de que os professores construíssem, uma reta paralela à reta q, passando pelo ponto D e outra passando pelo ponto F. As retas seriam nomeadas respectivamente de s e t. Esperávamos que os professores realizassem a apreensão perceptiva e percebessem que as retas s e t eram perpendiculares às retas p e r, logo elas eram paralelas entre si. Optamos por construir retas paralelas passando pelos pontos D e F para obtermos, com a intersecção das retas p, q, s e t os vértices de um retângulo equivalente ao triângulo DEF. No item i os professores deveriam determinar os pontos de interseção entre as retas r e s e nomeá-lo de H, e entre as retas r e t e nomeá-lo de I. No item j considerávamos que os professores construiriam sem dificuldades, utilizando a ferramenta polígono, um retângulo DFIH. Modificariam a cor do retângulo DFIH e percebessem, por meio da movimentação dos vértices do triângulo ABC, que o retângulo DFIH era equivalente ao triângulo ABC. Intencionamos com o desenvolvimento desta atividade que os professores se apropriassem da apreensão sequencial, isto é, que eles percebessem por meio da sequência de construções, utilizando o Cabri 3D, as propriedades envolvidas na construção como: simetria, perpendicularidade, paralelismo, entre outras envolvidas na atividade para justificar a equivalência entre o triângulo ABC e o retângulo DFHI. Esperávamos que os professores realizassem a apreensão operatória por meio da modificação mereológica, isto é, separando em partes as figuras obtidas na construção realizada nesta atividade fracionando-a e reagrupando-a para justificar a equivalência entre triângulo ABC e o retângulo DFHI. Ao vivenciar a institucionalização, o pesquisador disponibilizaria por meio de um slide do PowerPoint as observações inerentes às construções dos professores e às propriedades que validam a congruência entre o triângulo ABC e o retângulo DFHI. 80

82 Análise a Posteriori As equipes mantiveram-se envolvidas na resolução desta atividade. Assim, primeiro, procuraram ler, realizar as simulações com o Cabrí 3D e discutir com sua equipe o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha de atividade. As duplas A e B resolveram o item a sem dificuldades, já a dupla C marcaram três pontos no plano horizontal e ligaram com segmentos, porém em seguida perceberam o equívoco, apagaram os pontos e os segmentos e construíram corretamente, seguindo as orientações do roteiro para esta atividade, o triângulo ABC e o ponto T. Em relação ao item b as três duplas também resolveram corretamente, porém as duplas A e C apresentaram dificuldades, não conseguindo, a princípio, nomear os vértices do triângulo DEF, por não terem determinado os pontos sobre os vértices. O pesquisador explicou sobre a necessidade de criar os pontos, pois o 2º triângulo é imagem do primeiro. As duplas A e C retomaram a leitura do roteiro, perceberam o equívoco, determinaram os pontos sobre os vértices e nomearam corretamente do triângulo DEF. Como podemos observar o desenvolvimento realizado pela dupla A apresentado na figura 16. Nela encontramos o ponto F simétrico ao ponto A, o ponto D simétrico ao ponto b e o ponto E simétrico ao ponto C todos em relação ao ponto T. Figura 16: Triângulos simétricos em relação ao ponto T. O grupo B conseguiu realizar, em sua primeira tentativa, o proposto neste item sem dificuldades. 81

83 Ao solucionar o item b, os professores observaram as alterações ocorridas na representação figural dinâmica, quando os pontos foram alterados, isto é, perceberam as modificações sofridas pela imagem DEF do triângulo ABC em relação à movimentação dos pontos A, B, C e T, assim como apresentamos em nossa análise a priori. Os comentários dos professores, anotados pela observadora Marcia, nos dá subsídios para acreditar nisso. Marcio: Se é simetria, o outro tem que movimentar Carlos: Se tivesse um eixo a distância dos pontos seria a mesma Marcio: O 2 triângulo se movimentou porque foi criado a partir do ponto T e do 1º triângulo. As duplas A e B ao resolverem os itens c, d e e sem dificuldades, construíram a reta p, a reta q e o ponto G intersecção entre essas duas retas ficou sobre o segmento DF, determinando que a altura em relação ao lado do triângulo DEF fosse interna ao mesmo. Já na construção realizada pela dupla C o ponto G ficou externo ao segmento determinando a altura externa ao triângulo DEF, e isso trouxe uma possibilidade diferente para o grupo. Em relação ao item d as duplas A e C criaram a reta r com facilidade, já a dupla B precisou da intervenção do pesquisador, pois a reta q estava perpendicular ao plano. O pesquisador orientou-os a observar com mais atenção as sugestões do roteiro antes de realizar a criação da reta. A dupla retornou à atividade e observando atentamente o roteiro criaram a reta q corretamente, concluindo o item com satisfação. As três duplas, após a movimentação do ponto B, perceberam que a reta q permanecia perpendicular à reta p, situação que nos fez considerar que os professores desenvolveram a apreensão operatória como mencionado na análise a priori. 82

84 As duplas A, B e C realizaram os itens f, g, h, i e j sem dificuldades, finalizando a atividade como proposto pela ficha. No entanto, após colorir o retângulo, os professores observaram que alguns pedaços do polígono eram de uma cor e outros eram da cor do triângulo DEF. Então, após a modificação do ângulo de visão, o grupo percebeu que era uma característica do software para aquele ângulo de visão e que se modificasse o ângulo de visão, o polígono DFIH poderia ficar completamente com uma única cor. Como podemos perceber na construção realizada pela dupla A, na figura 17. Nela encontramos o retângulo DFIH na cor rosa sobrepondo parte do triângulo EDF, que está na cor verde. Figura 17: Construção realizada pela dupla A, atividade 2 do grupo 1. Podemos assinalar que, por parte das duplas A e B houve evidências da apreensão perceptiva da figura segundo Duval (1995), porque mobilizaram a noção, equivalência entre triângulos, isto é, triângulos com bases e alturas congruentes são equivalentes e a apreensão sequencial, porque na interação com o Cabri 3D seguiram uma ordem de construção para realizar a atividade, isto é, criar um retângulo equivalente a um triângulo, como percebemos na construção realizada pela dupla B apresentada na figura 18. Nela podemos observar que a dupla incluiu os pontos X, intersecção entre os segmentos e e Y intersecção entre os segmentos e, para apresentar suas validações. 83

85 Figura 18: Construção realizada pela dupla B, atividade 2 do grupo 1. A equivalência foi comprovada pela conversa dos professores da dupla A anotada pela observadora. A dupla afirmou que os triângulos HXD é congruente ao triângulo MXE, a mesma relação acontecendo com os triângulos IYF e MYE. Marcio: O trapézio, apontando para o trapézio DFYX, do retângulo amarelo sobrepõe o triângulo DFE. Carlos: Então, esses pedaços são iguais. Marcio: Sim, e os triângulos DHX e EXM, apontando para os triângulos, assim como MYE e IYF também apontando para os triângulos. Carlos Por quê?. Cleuber Pelo caso de semelhança ALA. Em relação à dupla B apresentamos a figura 18, que mostra como a dupla realizou as construções e como evidenciaram a equivalência entre o triângulo e o retângulo. Podemos observar a evidência pelo comentário anotado pela observadora da dupla. A área do triângulo DEF é base DF pela altura GE dividido por dois e a área do retângulo é base DF pela altura GM e como GM é a metade de GE as áreas são iguais. Na atividade, os professores tiveram uma modificação posicional da figura, posto que após movimentarem o triângulo perceberam que ao aumentar ou diminuir a distância do triângulo ao ponto T, por conseguinte, a posição do 84

86 triângulo imagem em relação ao ponto T também mudaria. Além disso, a apreensão perceptiva, de acordo com Duval (1995), foi manifestada nas ações desenvolvidas pela maioria dos professores, pois eles identificaram a forma do objeto matemático (retângulo). Percebemos ainda a utilização do recurso atributos para modificar a cor do retângulo DFIH. Ao verificar as construções no Cabri 3D e as anotações realizadas pelos observadores, percebemos que a atividade cumpriu parcialmente com os objetivos propostos, pois os professores compreenderam que qualquer transformação provocada no triângulo original acarretaria numa transformação no triângulo simétrico, porém a equivalência entre as áreas do triângulo e do retângulo não foi percebida pela dupla C. Encontramos na figura 19 o retângulo DFIH simétrico ao triângulo ABC, de forma que entendemos que a dupla realizou a atividade corretamente. Figura 19: Construção realizada pela dupla C, atividade 2 do grupo 1. Para os professores da dupla A e B, acreditamos que sua interação com o ambiente proporcionou-lhes um avanço em suas concepções a respeito dos polígonos equivalentes, e o fato de utilizarem os recursos disponíveis ter sido um fator que contribuiu para que sua percepção sobre a equivalência. Já em relação aos professores da dupla C, após observar suas ações podemos afirmar que os esquemas utilizados por eles limitaram-se à questão visual, ou seja, à percepção visual, pois as estratégias usadas na construção foram corretas, porém eles não utilizaram os passos da construção para justificar 85

87 a equivalência. Nesse caso podemos afirmar que a visualização ocorreu parcialmente. Após a resolução da atividade por todas as duplas, o pesquisador discutiu algumas soluções, solicializando as resoluções desenvolvidas pelas equipes que explicitavam verbalmente suas observações. Figura 20: Institucionalização da atividade 2 do grupo 1. Atividade 3: pentágono e triângulo equivalentes. a) Crie um pentágono convexo ABCDE. b) Crie a reta r que contenha os pontos A e B. c) Crie os segmentos e. d) Crie uma reta paralela ao segmento passando pelo ponto C e nomeando-a de s. Depois crie uma reta paralela ao segmento passando pelo ponto E nomeando-a de t. Movimente o ponto D. e) Marque o ponto de intersecção entre as retas r e s e nomeie de F e o ponto de intersecção entre as retas r e t e nomeie de G. f) Crie o triângulo DFG e mude a cor da sua superfície. Movimente o ponto D. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla expl.2. 86

88 Análise a Priori Na atividade 3, além de oferecer aos professores a reexploração de algumas ferramentas do Cabri 3D, como polígono, paralelas, reta. intencionamos também oferecer aos professores a transformação, por meio das construções no Cabri 3D, de um pentágono em um triângulo equivalente. Apresentamos o quadro 14 uma possível solução para essa atividade. Quadro 14: Quadro das construções do pentágono equivalente ao triângulo. Processos Figura a) Criamos um pentágono ABCDE, a reta r passando pelos pontos A e B. A reta r é o prolongamento do lado do pentágono ABCDE. b) Os segmentos e decompõem o pentágono em três triângulos ABD, BCD e ADE. c) A reta s, paralela ao segmento passando pelo ponto E, possibilita que o triângulo criado a partir dos pontos A e D e com o terceiro vértice sobre a reta s tenha mesma altura em relação ao lado, que o triângulo ADE. Assim como a reta t, paralela ao segmento passando pelo ponto C, possibilita que o triângulo criado a partir dos pontos B e D e com o terceiro vértice sobre a reta t tenha mesma altura em relação ao lado, que o triângulo BDC. d) Os pontos F e G são vértices do triângulo DFG equivalente ao pentágono ABCDE, pois os triângulos ADE e ADF são equivalentes, assim como os triângulos BDC e BDG. 87

89 No item a os professores deveriam explorar a ferramenta polígono e criar um pentágono convexo ABCDE. Restringimo-nos aos polígonos convexos para trabalharmos com as propriedades mais conhecidas pelos professores e não perdermos o foco da atividade. Em relação ao item b, pretendíamos que os professores explorassem a ferramenta reta e construíssem uma reta r passando pelos pontos A e B. Esta reta seria o prolongamento do segmento. Para o item c, nossa intenção era de que os professores explorassem a ferramenta segmento e construíssem os segmentos e. Acreditávamos que os professores se apropriariam da apreensão operatória por meio da modificação mereológica e percebessem que os segmentos e. (diagonais do pentágono com uma das extremidades no vértice D) dividiam o pentágono em três triângulos. Para o item d, nosso objetivo era que os professores criassem,utilizando a ferramenta paralela, a reta s, paralela ao segmento passando pelo ponto E, e a reta t paralela ao segmento passando pelo ponto C. Acreditávamos que por meio da criação das retas paralelas os professores perceberiam que as alturas dos triângulos eram iguais e isso nos possibilitaria a acreditar que os professores haviam se apropriado da apreensão discursiva. Intencionamos com a movimentação do ponto B, que os professores desenvolvessem a apreensão operatória por meio da modificação posicional do triângulo e a percepção de que mesmo com a movimentação do ponto B, a reta q continuaria perpendicular a reta p. No item e os professores deveriam determinar, utilizando a ferramenta ponto(s) de intersecção, o ponto F, intersecção entre as retas s e r, e o ponto G intersecção entre as retas r e t. No item f nossa intenção era de que os professores criassem um triângulo DFG e utilizassem o recurso atributo para alterar a cor da superfície desse triângulo para que o mesmo ficasse em destaque como podemos observar na figura

90 Com relação a movimentação proposta neste item, acreditávamos que os professores percebessem que mesmo com a movimentação do ponto D, as retas s e t continuavam paralelas respectivamente aos segmentos e, consequentemente o pentágono ABCDE continuava equivalente ao triângulo DFG. Ao realizar este item corretamente esperávamos que os professores realizaram um tratamento como proposto por Duval (1999) do triângulo DEF, possibilitando a apreensão perceptiva da figura triângulo. Figura 21: Pentágono e triângulo equivalentes Acreditamos possibilitar aos professores a apropriação da apreensão sequencial com o desenvolvimento desta atividade, isto é, cada passo tem papel fundamental na justificativa da equivalência entre o triângulo DFG e o pentágono ABCDE. Análise a Posteriori As equipes mantiveram-se envolvidas na resolução desta atividade. Assim, primeiro procuraram ler, realizar as simulações com o Cabrí 3D e discutir com sua equipe o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha de atividade. Nesta atividade, a maioria das duplas sugeriu a mesma sequência de ações da análise a priori e realizou a construção determinada nos itens a e b satisfatoriamente nos fazendo acreditar na realização da apreensão seqüencial, como indicamos na análise a priori. 89

91 No item d todas as duplas realizaram a construção sem dificuldades e por meio da mobilização perceberam que a distância entre a reta t e o segmento era sempre a mesma, assim como a distância entre a reta s e o segmento. Fato observado pela anotação da observadora Marcia. Marcio: Se a reta s é paralela ao segmento eles é sempre a mesma. então a distância entre Todas as duplas realizaram os itens e e f sem dificuldades. A figura 22 mostra a resolução da dupla A para esta atividade. Pela figura apresentada entendemos que os professores criaram inicialmente o pentágono ABCDE, depois construíram o triângulo DFG por meio das realizações propostas na atividade. Figura 22: Construção realizada pela dupla A, atividade 3 do grupo1. A dupla A não conseguiu inicialmente justificar por que o triângulo DFG era equivalente ao pentágono ABCDE. Pediu ajuda ao pesquisador e este afirmou que os passos realizados na construção do triângulo dava uma boa indicação para esta equivalência. Os professores perceberam que o triângulo ABD era comum às duas figuras, porém só conseguiram justificar a equivalência entre os triângulos ADG e ADE e entre os triângulos BDF e BCD com a sobreposição dos triângulos mencionados por meio da movimentação das figuras. A dupla B realizou sua construção como mostra a figura 23. Nela encontramos o pentágono ABCDE e o triângulo DFG que acreditamos ter sido 90

92 construído a partir da realização dos itens desta atividade. Observamos ainda uma reta perpendicular à reta s. Acreditamos que esta reta foi criada para comprovar que as alturas dos triângulos BDF e BCD eram iguais. Figura 23: Construção realizada pela dupla B, atividade 3 do grupo 1. Contudo a dupla inicialmente não conseguiu justificar por que o triângulo DFG era equivalente ao pentágono ABCDE, pedindo ajuda ao pesquisador, que afirmou que os passos realizados na construção do triângulo dava uma boa indicação desta equivalência. Os professores se colocaram a pensar e perceberam que o triângulo ABD era comum às duas figuras. Traçaram uma reta perpendicular ao lado BD do triângulo BDF para justificar que a altura é a mesma para os dois triângulos BDF e BDC. Em seguida, afirmaram que o mesmo acontecia com os triângulos ADG e ADE, justificando assim a equivalência entre os triângulos ADG e ADE e entre os triângulos BDF e BCD com a sobreposição dos triângulos mencionados por meio da movimentação das figuras. A dupla C construiu um pentágono regular, representado na figura 24, sem dificuldades. Nela encontramos o pentágono regular ABCDE e o triângulo DFG. Acreditamos que o triângulo DFG tenha sido construído de acordo com as orientações da atividade. 91

93 Figura 24: Construção realizada pela dupla C, atividade 3 do grupo 1. Conseguiram perceber que o triângulo ADB era comum aos dois polígonos, mas não conseguiram justificar a equivalência entre os outros triângulos. Ao modificar a cor do triângulo, as duplas perceberam que acontecia uma mistura de cores então com a movimentação do ponto D observaram que era uma característica do software. Ao verificar o protocolo, percebemos que a tarefa cumpriu parcialmente com os objetivos propostos, pois os professores compreenderam que qualquer transformação provocada no triângulo original acarretaria numa transformação no triângulo simétrico, porém a equivalência às áreas do triângulo e do retângulo não foi percebida pela dupla C. Após a resolução da atividade, o pesquisador discutiu algumas soluções, solicializando as resoluções desenvolvidas pelas equipes que explicitavam verbalmente as respostas formuladas, procurando justificar seus procedimentos e, até mesmo, contestar as estratégias das outras equipes e por fim realizou a institucionalização, revelando as informações apresentadas no quadro 14, p. 82. Atividade 4: paralelepípedos. a) Crie um paralelepípedo sobre o plano horizontal. b) Modifique o estilo de superfície do paralelepípedo para vazio para observar a estrutura do paralelepípedo. c) Crie um plano α paralelo ao plano horizontal e secante 7 ao paralelepípedo. d) Crie o polígono da secção reta 8. e) Modifique o estilo de superfície do retângulo, utilizado para representar o plano α, para vazio e do polígono para hachuras finas. Movimente o plano α. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.expl.3. 92

94 Análise a Priori Com o item a objetivamos a exploração, pelos professores, da ferramenta paralelepípedo XYZ para a construção de um paralelepípedo. A escolha do paralelepípedo se deu por entendermos ser este o prisma mais simples e o mais utilizado pelos livros didáticos para a apresentação das fórmulas de volume dos prismas. Acreditávamos que os professores realizariam a apreensão perceptiva e perceberiam que o prisma era reto e suas faces eram retangulares. No item b esperávamos que os professores não encontrassem dificuldades para alterar o estilo de superfície do paralelepípedo para vazio. Essa mudança possibilita a manipulação e criação de objetos dentro do paralelepípedo, coisa que não é possível se a superfície do mesmo não estivesse no estilo de superfície vazio. No item c os professores deveriam criar, utilizando a ferramenta paralela, um plano paralelo ao plano horizontal e secante ao paralelepípedo. Esperávamos que os professores se apropriassem da apreensão perceptiva e percebessem que o plano paralelo ao plano horizontal e secante ao paralelepípedo determinava um polígono perpendicular às arestas do paralelepípedo, que chamaremos de secção reta. Figura 25: Secção reta do paralelepípedo. Apresentamos na figura 25 uma possível construção que poderia ser realizada pelos professores. Nela podemos observar que o plano α, paralelo ao plano horizontal, é secante ao paralelepípedo, isto é, ele intersecciona-se com o paralelepípedo, determinando um retângulo. 93

95 No item d considerávamos que os professores criassem, utilizando a ferramenta polígonos, um polígono. Para criar o polígono seria necessário determinar os pontos de intersecção entre as arestas do prisma e do plano α. A construção do polígono facilitaria a representação da figura geométrica, resultado da intersecção entre o plano α e o paralelepípedo. Esperávamos que os professores percebessem que o polígono da secção reta era um retângulo congruente ao retângulo da base do paralelepípedo levando-nos a acreditar que eles realizaram a apreensão perceptiva em relação a figura. No item e pretendíamos que os professores modificassem o estilo de superfície do polígono para hachuras finas e percebessem que, por meio da apreensão operatória, a mudança de posição do plano α em relação à altura do paralelepípedo, mesmo com a movimentação do plano α o polígono da secção continuava sendo um retângulo e suas dimensões não se alteravam. Ao vivenciar a institucionalização, o pesquisador disponibilizaria por meio de um slide do PowerPoint as observações inerentes às construções dos professores e às propriedades que validam a congruência entre o polígono da secção e a base do paralelepípedo. Análise a Posteriori Durante as atividades os professores se mostraram bastante envolvidos com a atividade, lendo os itens que compõem as atividades, depois discutindo com seus parceiros e às vezes com o restante da turma, buscando a resposta mais adequada a cada item. Nessa atividade, a maioria dos professores trabalhou, seguindo a mesma sequência da análise a priori sem apresentar dificuldades. Além disso, vários professores mudaram o ângulo de visão para observar sua construção em diferentes ângulos de visão. As ações realizadas pelos professores nos fizeram pressupor que utilizaram como nas atividades anteriores, a ferramenta atributos do Cabri 3D. 94

96 No desenvolvimento do item a a dupla A conseguiu criar o paralelepípedo em sua primeira tentativa, já as duplas B e C não conseguiam. Os dois pontos da diagonal eram determinados no plano horizontal então era criado um retângulo e não um paralelepípedo. Porém depois de analisarem novamente a sugestão do roteiro conseguiram criar o paralelepípedo. No desenvolvimento do item b todas as duplas apresentaram a mesma dúvida, como exemplificamos pela anotação da observadora Márcia. Marcio: O que é secante? O pesquisador esclareceu: Neste caso é o plano que intersecciona o paralelepípedo. A dupla A conseguiu concluir a atividade sem maiores problemas, já as duplas B e C encontraram dificuldades para determinar as secções, pois não criaram os pontos de intersecção entre as arestas do paralelepípedo e o plano α. O pesquisador explicou que: Para construir a secção reta, isto é o polígono de intersecção entre o plano α e o paralelepípedo, era necessário criar antes os pontos de intersecção entre as arestas do paralelepípedo e do plano α. A duplas C construiu o paralelepípedo no semiespaço inferior, apresentando uma possibilidade diferente de criação. Todas as duplas realizaram o item e sem dificuldades. Por parte dos professores, podemos assinalar que houve evidência da apreensão operacional, pois por meio da mudança da posição do plano α, eles perceberam que o polígono da secção reta, não teve sua forma alterada, fato comprovado pela anotação da observadora Regina. O retângulo sobe e desce, mas não muda a sua forma. 95

97 Atividade 5: prismas e pirâmides. a) Crie um quadrilátero e um hexágono, ambos convexos, sem ponto em comum no plano horizontal. b) Crie uma reta perpendicular r ao plano horizontal fora dos polígonos já construídos. c) Crie um vetor sobre a reta r, com origem no plano horizontal. Movimente o ponto extremidade do vetor. d) Construa um prisma definido pelo polígono (base) e pelo vetor. e) Crie um plano α paralelo ao plano horizontal que interseccione o vetor em sua extremidade. f) Construa uma pirâmide com base no outro polígono e com vértice no plano α. g) Utilize o recurso esconder e esconda o plano α, movimente a extremidade do vetor, para observar a modificação sofrida pelos prismas. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.expl.5. No item a objetivamos que os professores criassem dois polígonos convexos, um quadrilátero e um hexágono, limitando nosso trabalho a esses polígonos convexos para focar nas propriedades desses polígonos, aprofundando o estudo sobre eles. No item b nossa intenção era de que os professores criassem, utilizando a ferramenta perpendicular, uma reta perpendicular ao plano horizontal, que seria a reta suporte do vetor. Optamos por determinar a reta perpendicular fora dos polígonos para não limitarmos o movimento da mesma. Neste item c os professores deveriam criar, utilizando a ferramenta vetor, um vetor sobre a reta perpendicular. Era possível que os professores criassem o vetor no semiespaço inferior, porém isso não seria um empecilho para a resolução da atividade. Com a movimentação proposta neste item c esperávamos que os professores percebessem, por meio da apreensão operatória (modificação posicional) que o vetor criado sobre a reta perpendicular ao plano horizontal era também perpendicular ao mesmo, por isso sua movimentação acontecerá somente na vertical. 96

98 Neste item d os professores deveriam seguir o roteiro com orientação para o desenvolvimento deste item e utilizando a ferramenta prisma, construir um prisma perpendicular ao plano. Acreditávamos que com a utilização do roteiro os professores não encontrariam dificuldades para realizar a construção dos prismas. Esperávamos que os professores percebessem que o prisma construído a partir do vetor era denominado reto, pois suas arestas laterais eram perpendiculares ao plano horizontal. No item e objetivamos que os professores explorem a ferramenta paralelo e criem um plano paralelo ao plano horizontal, contendo o ponto de extremidade do vetor. A exigência do plano secante ser paralelo à base determina a altura da pirâmide congruente à altura do prisma. Figura 26: Prisma e pirâmide com mesma altura Apresentamos na figura 26 uma possível construção para essa atividade. Nela podemos observar o plano α, paralelo ao plano horizontal, passando pelo ponto V, extremidade do vetor. A pirâmide ABCDEFG tem seu vértice G no plano α e sua base ABCDEF no plano horizontal. A pirâmide possui altura congruente à altura do paralelepípedo HIJKLMNOP, pois sua base está no mesmo plano da base do paralelepípedo e seu vértice G está no mesmo plano da base superior do paralelepípedo. Esperávamos que os professores percebessem essa relação possibilitando-nos a entender que eles se apropriaram da apreensão seqüencial, percebendo que a altura da pirâmide é a mesma do prisma pois seu vértice está sobre o plano. 97

99 Solicitamos no item g que os professores escondessem o plano para visualizar melhor a modificação sofrida pelos sólidos por meio da movimentação solicitada. Acreditávamos que os professores se apropriasse da apreensão operatória, por meio da modificação posicional, isto é, movimentando o ponto V, a altura do prisma e da pirâmide movimenta-se proporcionalmente. Ao vivenciar a institucionalização, o pesquisador disponibilizaria por meio de um slide do PowerPoint as observações inerentes às construções dos professores e às propriedades que validam a congruência entre as alturas da pirâmide ABCDEFG e do paralelepípedo HIJKLMNOP. Análise a Posteriori Durante as atividades os professores se mostraram bastante envolvidos com a atividade, lendo os itens que compõem as atividades, depois discutindo com seus parceiros e às vezes com o restante da turma, buscando a resposta mais adequada a cada item. Para desenvolver o item a todas as duplas realizaram a leitura do item pausadamente e retornando ao início quando necessário para melhor entendimento da atividade. As duplas A e B criaram um quadrilátero e um hexágono, ambos convexos não regulares. Já a dupla C com a utilização da ferramenta quadrado construiu um quadrado e com a ferramenta hexágono regular como podemos observar na figura 27. Figura 27: Construção apresentada pela dupla C, atividade 5 do grupo 1 As três duplas realizaram o item b com êxito, não tiveram problemas na criação da reta perpendicular. Em geral, suas criações foram feitas como 98

100 havíamos previsto já que os professores utilizaram a ferramenta perpendicular para criar a reta perpendicular ao plano horizontal. O item c, a dupla B realizou sem dificuldades, já as duplas A e C não conseguiram construir o vetor por não determinar o ponto sobre a reta no espaço. Eles estavam criando o vetor no plano horizontal. Então o pesquisador orientouos que o vetor deveria estar contido na reta r e isto implicaria na extremidade do vetor estar sobre a reta r, como podemos observar na figura 28 que apresenta a criação realizada pela dupla C. Figura 28: Solução realizada pela dupla C, atividade 5 do grupo 1. Podemos observar na anotação da observadora da dupla A, a preocupação com a nomenclatura utilizada. Marcio: Como é para colocar a palavra vetor? Pesquisador: Utiliza a letra minúscula do nosso alfabeto v. No item d as duplas A e B conseguiram realizar o proposto com ajuda do roteiro sem dificuldades, já a dupla C, a princípio, não conseguiu, pois não estava utilizando o vetor, então retomou a leitura do roteiro e na segunda tentativa conseguiu finalizar corretamente o proposto no item. Todas as duplas realizaram corretamente o proposto no item e sem dificuldades. Destacamos o comentário do professor Carlos, na resolução do item e, anotado pela observadora da dupla A. Carlos: Como a imagem é infinita, eu movimento as figuras para cima e para baixo ao movimentar o vetor. 99

101 As duplas A e B realizaram o item f sem dificuldade, já a dupla C construiu inicialmente um triângulo no plano horizontal, pois determinou o vértice da pirâmide no plano horizontal. Pediu ajuda ao pesquisador e o mesmo orientoua para que verificasse as sugestões propostas pelo roteiro. Os professores consultaram o roteiro e perceberam que o vértice da pirâmide deveria estar no plano α. Em seguida, a dupla realizou o proposto no item e conseguindo criar a pirâmide. As duplas realizaram o item g sem dificuldades e podemos perceber ainda o interesse de qual o motivo de cada realização com a atividade como no diálogo anotado pelo observador da dupla B: Carlos: Quando não esconde o plano isso interfere na movimentação?. Pesquisador: Faça a movimentação proposta sem esconder o plano e depois faça-a escondendo o plano. Carlos: Acho que não interfere na figura. Pesquisador: E na visualização? Carlos: É melhor escondendo o plano. Na resolução da atividade 5, apresentada pela dupla A observar o interesse da dupla nos recursos de cor, estilo de superfície, pois utilizou esses recursos para a modificação da pirâmide e do prisma de base hexagonal como mostra a figura 26. Nela podemos ver a representação da superfície da pirâmide na cor amarela e a representação da superfície do prisma na cor Pink. Além de estarem no estilo de superfície hachurado. Na figura ainda encontramos a reta r perpendicular ao plano horizontal e sobre ela o vetor. Já a representação do plano α, paralelo ao plano horizontal, está no estilo de superfície vazio. Observamos ainda, na figura 29, o interesse pela dupla A nos recursos de cor, tamanho da superfície, espessura, pois utilizou esses recursos para a modificação da figura como podemos observar na figura construída pela dupla. 100

102 Figura 29: Construção realizada pela dupla A, atividade 5 do grupo 1. Nesta atividade, as ações dos professores fizeram com que observássemos o uso, de procedimentos similares aos pressupostos na análise a priori, o que nos dá indícios da apropriação das ferramentas do software, posto que nesses primeiros contatos com o cabri 3D, eles conseguiram interagir bem com o software, além de mobilizar alguns conhecimentos de Geometria Plana. Por parte dos professores, podemos assinalar que houve evidência da apreensão perceptiva das figuras espaciais prismas e pirâmides, segundo Duval (1995); da apreensão sequencial, porque na interação com o Cabri 3D seguiram uma ordem de construção para realizar a atividade, isto é, criar um prisma, uma pirâmide no plano base ativando as ferramentas prisma, pirâmide, além de outras já utilizadas nas atividades anteriores. Os professores movimentaram a extremidade do vetor e perceberam que a modificação do vetor modificava a altura do prisma e da pirâmide proporcionalmente, O fato pode indicar que eles tiveram uma apreensão operatória (posicional) da figura, porque observaram que esta se deslocou, segundo um referencial. Considerações das cinco Primeiras Atividades Como as atividades visam a exploração e manipulação do Cabri 3D, ou seja, a interação com o software, para sua análise, observamos nas ações dos professores que se apropriaram de ferramentas e recursos do Cabrí 3D. 101

103 De acordo com as ações realizadas pelos professores, pensamos que a maioria utilizou procedimentos similares ou até provavelmente os mesmos procedimentos da análise a priori: criação de uma figura e manipulação direta, visto que as atividades exploratórias e de manipulação direta estavam orientadas de tal maneira que a utilização de outros procedimentos seria difícil Grupo 2: Atividades de desenvolvimento da aprendizagem sobre volume de sólidos. Objetivamos com as atividades deste grupo que os professores levantem conjecturas sobre as relações existentes entre as figuras geométricas espaciais e desenvolvam justificativas sobre os volumes de prismas, de pirâmides com o auxílio do Cabrí 3D. As conjecturas serão levantadas por meio da construção, manipulação e observação das figuras geométricas em suas explorações empíricas. Procuraremos observar como os professores constrõem as figuras, quais relações eles percebem com as simulações, quais procedimentos eles utilizam na tentativa de justificar suas conjecturas. Acreditamos que os professores mobilizariam os conhecimentos sobre a utilização do Cabri 3D que foram desenvolvidos no grupo de atividades de exploração do software, porém se houvesse necessidade os professores poderiam retomar o uso do roteiro. Nesta primeira atividade, oferecemos aos professores instrumentos para que eles conjecturassem sobre o volume do paralelepípedo e que desenvolvessem suas justificativas para a expressão encontrada para representar o volume do sólido em questão. Os professores receberão os procedimentos para a realização da atividade em língua natural, as construções das figuras espaciais serão realizadas no registro figural dinâmico por meio do Cabrí 3D e as justificativas provavelmente serão realizadas nos registros em linguagem natural ou simbólica. 102

104 Atividade 1: Descobrindo uma Relação a) Crie um paralelepípedo sobre o plano horizontal, Modifique seu estilo de superfície para vazio e nomeie seus vértices de ABCDEFGH. b) Crie o polígono ABCD base do paralelepípedo ABCDEFGH. Que tipo de polígono é formado por sua base? Justifique (é permitido o uso das ferramentas paralelas e perpendiculares para auxiliar em suas justificativas) c) Crie, no plano horizontal, uma reta perpendicular a um dos lados do polígono ABCD, interseccionando-o. Nomeie a reta obtida de r e o ponto de intersecção entre a reta r e o lado do polígono ABCD de J. d) Determine o ponto de intersecção entre a reta r e o outro lado do polígono ABCD e nomeio de K. Crie o segmento. e) Selecione a ferramenta rastro e crie o rastro do segmento, preenchendo completamente o polígono ABCD. f) Que tipo de polígono é formado pelo rastro? Qual é a expressão que representa a área desse polígono? Justifique. g) Construa o polígono determinado por uma secção reta ao paralelepípedo e nomeie seus vértices de LMNO. Que tipo de polígono é formado pela secção reta? Qual é a expressão que representa a área desse polígono? Justifique. h) Com a movimentação da secção reta, a área do polígono LMNO se altera? Qual é a relação entre o polígono da base ABCD do paralelepípedo ABCDEFGH e o polígono LMNO da secção? Justifique. i) Com a movimentação da secção reta é possível obter o volume do paralelepípedo ABCDEFGH? Qual é a expressão que representa esse volume? Justifique. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.rec.1. Análise a Priori Para a determinação da situação de ação, formulação e validação, os professores deveriam mobilizar os conhecimentos das atividades anteriores para interagir com o ambiente, construindo e manipulando o paralelepípedo, o retângulo formado por sua base e a secção transversal de acordo com as sugestões apresentadas em cada item. 103

105 No item a nosso objetivo era que os professores construíssem um paralelepípedo sobre o plano horizontal para que com o desenvolvimento dos itens seguintes pudessem conjecturar sobre seu volume. Pedimos aos professores que mudassem o estilo de superfície do paralelepípedo para vazio, como mostra a figura 30. Nela podemos observar as arestas e vértices que formam a estrutura do paralelepípedo. Figura 30: Estrutura do paralelepípedo. No item b os professores deveriam criar, utilizando a ferramenta polígono, um retângulo ABCD. Com a questão apresentada neste item, nossa intenção era de que os professores refletissem sobre o polígono formado pela base do paralelepípedo. Esperamos que os professores apresentem suas justificativas em língua natural ou simbólica na ficha da atividade e que respondam que o polígono da base do paralelepípedo seria um retângulo, conclusão obtida pela apreensão perceptiva. Acreditamos que os professores, numa tentativa de justificar o tipo de polígono formado pela base do paralelepípedo, construam uma reta perpendicular a um dos lados do retângulo da base passando por um ponto do lado oposto do mesmo retângulo, fazendo uso da apreensão discursiva para justificar que o polígono é um retângulo. No item c, os professores deveriam construir uma reta r perpendicular a um dos lados do polígono ABCD e determinar a intersecção J entre o lado e a reta perpendicular a ele. 104

106 Para o item d, acreditávamos que as duplas não encontrassem dificuldades para determinar a intersecção entre a reta r e o outro lado do polígono ABCD e para criar o segmento. Esperávamos que ocorresse por parte dos professores a apreensão perceptiva e que eles percebessem que o segmento seria paralelo ao lado do retângulo não interseccionado pela reta r. Esperávamos em relação ao item e, que as duplas não encontrassem dificuldades para seguir as orientações disponibilizadas no roteiro e criassem o rastro do segmento. Esperávamos que com a movimentação do segmento JK os professores se apropriassem da apreensão operatória modificação ótica e percebessem que poderiam obter a área do retângulo ABCD pela translação do segmento em relação ao segmento. Com relação ao questionamento feito no item f, acreditávamos que os professores responderiam com facilidade, após a observação do comportamento do rastro do segmento, qual era o tipo de polígono e apresentassem a expressão utilizada para representar a área desse polígono. Esperávamos que os professores justificassem, apresentando suas conclusões no registro em língua natural ou simbólica, que o polígono formado era um retângulo e sua área poderia ser representada pelo produto da sua base e de sua altura, isto é, pela expressão, considerando b, a base e h a altura do retângulo. Acreditávamos também que os professores realizassem a apreensão sequencial e percebessem que a ordem das construções interferiu na percepção da área do retângulo. No item g considerávamos que os professores criariam sem dificuldades um polígono obtido pela intersecção entre uma secção reta e o paralelepípedo e nomearia de LMNO. Esperávamos que os professores recorressem aos conhecimentos adquiridos na atividade 4 de exploração do software, pois para a construção da secção seria necessário que os professores construíssem primeiro o plano paralelo ao plano horizontal e secante ao paralelepípedo para depois construírem o polígono. 105

107 Os professores desenvolveriam corretamente a construção se realizassem uma construção similar à da figura 31, em que se pode observar o plano paralelo ao plano horizontal e secante ao paralelepípedo ABCDEFG. Encontramos ainda o polígono IJKL, intersecção do plano α e o paralelepípedo ABCDEFGH, formado sobre este plano. Figura 31: Secção de um paralelepípedo Com a questão apresentada no item g intencionamos que os professores conjecturem sobre que tipo de polígono é formado pela intersecção entre o paralelepípedo e o plano α e como obter a sua área. Acreditamos que os professores realizem a apreensão perceptiva e respondam, no registro de representação da língua natural ou simbólica, que o polígono era um retângulo e sua área poderia ser representada pela expressão, considerando um dos lados do retângulo como base (b), e o lado consecutivo a ele como a altura (h) desse retângulo. Contudo, seria possível que eles movimentassem o plano α e realizassem essa percepção por meio da mudança de posição do polígono. Nossa previsão de resposta para o item h era que, após a movimentação da secção reta, os professores se apropriariam da apreensão operatória modificação posicional e perceberiam, justificando por meio do registro de representação da língua natural ou simbólica, que ao movimentar a secção reta, a área do polígono não se altera e que esta é igual à área do polígono da base. Acreditávamos ainda que eles percebessem que os polígonos ABCD e LMNO são congruentes, assim como já constatado na atividade 4 de exploração do software. 106

108 No item i, nossa intenção era que os professores conjecturassem, após a movimentação do plano α, sobre o volume do paralelepípedo ABCDEFGH e sua justificativa. Esperávamos que os professores se apropriassem da percepção operatória modificação posicional e responderiam, no registro em língua natural ou simbólica, que o volume do paralelepípedo poderia ser obtido pelo produto da área da base do paralelepípedo e pela sua altura, considerando B a área da base e H a altura do paralelepípedo. Esperamos que os professores observem que as representações feitas por eles são distintas umas das outras. Porém, as propriedades geométricas são as mesmas para todas elas. Ao vivenciar a institucionalização, o professor disponibilizaria as observações dessa atividade, ou seja, as relações entre a área do polígono da base do paralelepípedo, a área do polígono da seção transversal do paralelepípedo e o volume do paralelepípedo. Análise a Posteriori Durante a resolução desta atividade, houve grande envolvimento dos professores. Primeiro, procuraram ler e discutir as questões com seu parceiro ou integrantes da equipe para, em seguida, registrar na ficha da atividade suas decisões, mobilizando seus conhecimentos. Ao analisar as respostas da atividade 1, percebemos que as duplas A, B e C não conseguiram criar o paralelepípedo ABCDEFGH em sua primeira tentativa. Eles não estavam determinando a outra extremidade da diagonal no espaço, criando desta maneira um retângulo no plano horizontal. O pesquisador sugeriu que retomassem a leitura do roteiro para realizar a atividade. As duplas A e B conseguiram realizá-la com o auxílio do roteiro, já a dupla C teve o auxílio do pesquisador que mediou o processo por meio do data show. O pesquisador esclareceu a todos que para nomear os vértices do paralelepípedo era necessário primeiro construir os pontos sobre os mesmos. A 107

109 partir disso, as duplas criaram e nomearam os vértices do paralelepípedo sem dificuldades. Todas as duplas criaram o polígono ABCD e criaram também uma reta perpendicular a um dos lados do polígono para validar suas conjecturas sobre o tipo de polígono da base do paralelepípedo ABCDEFGH. Todas as duplas responderam corretamente ao item b, apresentando como resposta no registro de representação da língua natural que o polígono formado pela base do paralelepípedo era um retângulo e, além disso, todas as duplas modificaram o estilo de superfície do paralelepípedo para vazio. Ao analisar as respostas, notamos que a dupla A, antes de apresentar sua conclusão, discutiu o assunto, como mostra o diálogo anotada pela observadora da dupla. Marcio: O polígono formado pela base do paralelepípedo é reto. Carlos: Não é um polígono convexo? Está escrito na tela. Marcio: É um retângulo, mas como justificar? Carlos: Os ângulos não mandam nesse caso? Marcio: Não sei. Pesquisador: Qual é a característica de um retângulo? Marcio: Ter ângulos retos. Pesquisador: Utilize as retas perpendiculares e paralelas para justificar. Marcio: Vamos criar uma reta perpendicular ao segmento pelo ponto D., passando As duplas A e C, utilizando o registro de representação da língua natural, justificaram que a aresta é perpendicular à aresta e a aresta perpendicular à aresta, como podemos observar no protocolo

110 Protocolo 1: Respostas da atividade 1, item b (dupla A) Ao analisar as respostas, notamos que a dupla B, antes de apresentar sua conclusão, discutiu o assunto, como mostra o diálogo anotada pela observadora. Marcos: Que polígono é esse?. Ricardo: Um retângulo. Marcos: Porque tem 4 lados?. Ricardo: Também, e porque seus ângulos são retos. Marcos: Como você sabe? Ricardo: Nós usamos as perpendiculares. A dupla B validou suas conjecturas no registro da língua natural e simbólica como podemos observar no protocolo 2, em que a dupla B apresenta como solução, no registro de representação da língua natural e simbólica, que o polígono ABCD é um retângulo, pois possui lados opostos paralelos e os ângulos são retos. A dupla B criou uma reta perpendicular à aresta sem dificuldades e apresentou sua justificativa como mostra o Protocolo 1, utilizando o registro de representação da língua natural para responder que é um retângulo, que seus ângulos,,, e medem 90, justificando que ao traçar uma reta perpendicular ao lado passando pelo vértice D, a reta perpendicular sobrepõe o segmento, então o ângulo é um ângulo reto, isto é, um ângulo de

111 Protocolo 2: Respostas da atividade 1, item b (dupla B) As criações realizadas no Cabri 3D, as respostas apresentadas pelos professores na ficha e as anotações dos observadores nos possibilitam afirmar que houve, por parte dos professores, a apreensão discursiva como pressupomos na análise a priori. Em relação ao item c, todas as duplas realizaram corretamente, porém a dupla C criou a reta perpendicular ao plano horizontal, mas logo em seguida percebeu o equívoco, retornaram à resolução do item com o auxílio do roteiro e finalizaram a proposta do item. O item d, todas as duplas realizaram sem dificuldades. As duplas criaram o rastro corretamente, proposto no item e, porém a dupla C só conseguiu fazê-lo na segunda tentativa, pois não movimentaram a reta r. Ao item f, percebemos que todas as duplas responderam corretamente, no registro de representação da língua natural, que o polígono formado pelo rastro era um retângulo. As duplas A e C apresentaram a expressão que representa a área do polígono no registro de representação da língua natural e simbólica. Percebemos, por meio das anotações das duplas, que sua validação foi obtida após discussão sobre o assunto. 110

112 Fabio: A área é base x altura. Joana: Qual a função do rastro? Fabio: Mostrar a área da figura. Joana: Você percebe quantos segmentos você precisou para preencher a área?. Fabio: A quantidade de pontos que compõem o comprimento do retângulo. Já a dupla C apresentou a seguinte discussão. Marcio: A área do retângulo é aresta x aresta. Carlos: Como você sabe?. Marcio: Você definiu um segmento e repetiu o restante Carlos: Não entendi. Marcio: Sobrepor aresta em todo lado. As duplas A e C justificaram, no registro de representação da língua natural, que o segmento sobrepôs a aresta em todo comprimento representado por, como podemos observar no protocolo 3. Protocolo 3: Respostas da atividade 1, item f (dupla A) A dupla B apresentou a expressão que representa a área do polígono no registro da língua natural e simbólica. Percebemos, por meio das anotações da dupla, que sua validação foi obtida após discussão sobre o assunto. 111

113 Marcos: Um retângulo. Ricardo: Esse segmento ( ) x ( ). Marcos: Mas não vamos usar o rastro para justificar?. Ricardo: Com o rastro eu vou preenchendo. Marcos: O segmento ( ) preenche através do rastro. Ricardo: O rastro do segmento ( retângulo ABCD. ) possibilita o preenchimento do A partir dessa discussão, percebemos que a dupla B ao trabalhar com a ferramenta rastro percebe que está preenchendo a base com linhas e pontos, como podemos observar no protocolo 4. Protocolo 4: Respostas da atividade 1, item f (dupla B) Em relação ao item g, antes de iniciar a atividade, o pesquisador solicitou que apagassem o rastro para não atrapalhar o desenvolvimento da atividade. Os professores fizeram a leitura e releitura da proposta no item g e buscaram informações no roteiro para a construção do polígono. As duplas A e B resolveram a construção sem dificuldades utilizando dos conhecimentos adquiridos na atividade 4 de exploração do software. Já a dupla C só construiu o polígono solicitado com o auxílio do pesquisador, como podemos perceber na sugestão do pesquisador à dupla. Pesquisador: Utilize a atividade 4 de exploração do software como auxílio. 112

114 Os professores da dupla abriram o arquivo fabjoa.exp.3, por meio da ferramenta revisar construção, observaram como haviam realizado a atividade e concluíram a construção proposta no item g corretamente. No item g todas as duplas responderam que o polígono formado pela secção reta é um retângulo. Podemos perceber pelas anotações da observadora das duplas A e C, que eles discutiram o assunto antes de validar suas conjecturas. Discussão da dupla C. Fabio: A área do retângulo é a mesma. Joana: Mas não é metade? Fabio: Não porque o que determina é a área de baixo. Após movimentar a secção, o professor Fabio justificou: a área é igual, sobrepondo o segundo polígono. Fabio: A expressão é Área = Aresta LO x ON. Joana: Por quê?. Fabio: A aresta sobrepôs toda a aresta. Em relação à dupla C, a observadora anotou a seguinte discussão: Carlos: LMNO é um retângulo e para justificar basta criar uma reta perpendicular ao segmento passando por O. Marcio: Não precisa, pois o polígono LMNO é resultado da intersecção entre o paralelepípedo ABCDEFGH e o plano α. As duplas A e C apresentaram no registro de representação da língua natural e simbólica a seguinte expressão Área = LO x ON, justificando que a aresta sobrepôs toda a aresta. 113

115 Protocolo 5: Respostas da atividade 1, item g (dupla A) A dupla B, ao conjecturar sobre o item, realizou a seguinte discussão, como anotado pela observadora. Marcos: É um retângulo também, mas qual é a expressão? Ricardo: Eu acho que é a mesma coisa do exercício anterior. Marcos: Para achar a área é ( ) x ( ). Ricardo: Pra mim a área do retângulo ABCD é igual a LMNO. Em seguida, apresentou no registro de representação simbólica a seguinte expressão: ou, como mostra o protocolo 6. Protocolo 6: Respostas da atividade 1, item g (dupla B) 114

116 Em relação ao item h, as duplas responderam corretamente que, com a movimentação da secção reta, a área do polígono LMNO não se alterava e em relação aos polígonos da base ABCD do paralelepípedo e o polígono LMNO da secção, as duplas A e C afirmaram que as áreas são iguais e o grupo B afirmou que a relação é de congruência. Os professores, antes de apresentar suas validações corretas, discutiram sobre o assunto, como podemos observar nas anotações da observadora da dupla A. Marcio: Eles são paralelos. Então, o pesquisador esclareceu que é em relação à área. Marcio: As áreas são iguais. Carlos: Mas como justificar?. Marcio: O comprimento da aresta é igual o comprimento da aresta e o comprimento da aresta é igual ao comprimento. Protocolo 7: Respostas da atividade 1, item h (dupla A) Podemos afirmar, a partir das respostas apresentadas pela dupla A, como observado no protocolo 7, que houve por parte desses professores a apreensão operatória da modificação posicional. A figura 32 nos mostra a construção realizada pela dupla A após a construção. Nela podemos ver que a dupla utilizou 115

117 a ferramenta atributos e modificou a cor do retângulo da secção. Entendemos que a justificativa da dupla foi obtida pela movimentação proposta, pois acreditamos que a dupla movimentou a secção e comparou os lados e. Figura 32: Construção realizada pela dupla A, atividade 1 do grupo 2. Os professores da dupla B apresentaram a seguinte discussão: Marcos: Eles se sobrepõem O professor Ricardo completou com: Sem sobrar nem faltar. Ricardo: A base do polígono é um retângulo? Não tem que considerar a aresta AD?. Marcos: As bases superior e inferior são paralelas. Ricardo: Os polígonos foram criados a partir da base do paralelepípedo. Marcos: A aresta é perpendicular a aresta e aresta perpendicular Ricardo: É um retângulo. Porque é formado a partir dos vértices da base inferior ao paralelepípedo. 116

118 Protocolo 8: Respostas da atividade 1, item h (dupla B) A dupla B justificou: Ao coincidir o ponto M com o ponto B, os retângulos LMNO e ABCD se sobrepõem sem faltar nem sobrar partes. A figura 33 mostra qual foi a representação obtida pela dupla após a construção, nela podemos perceber que a dupla utilizou alguns recursos como cores e mudança de estilo de superfície. Figura 33: Construção realizada pela dupla B, atividade 1 do grupo 2. Podemos afirmar a partir das respostas apresentadas pela dupla B, como observado no protocolo 8, que houve por parte desses professores, a apreensão operatória da modificação posicional. Em relação ao item i, depois de realizadas as movimentações, todas as duplas afirmaram que seria possível obter o volume do paralelepípedo ABCDEFG. 117

119 A dupla A apresentou no registro de representação da língua natural e simbólica que o volume é dado pelo produto dos comprimentos dos segmentos, e e ainda, como podemos observar no protocolo 9. Protocolo 9: Respostas da atividade 1, item i (dupla A) Já as duplas B e C apresentaram no registro de representação da língua natural, com a expressão área da base x altura ou e justificou que utilizou a mesma idéia de rastro do item e, preenchendo o paralelepípedo ABCDEFGH com a movimentação do retângulo LMNO, simulando a translação do retângulo em relação a altura do paralelepípedo, como apresentado no protocolo 10. Protocolo 10: Respostas da atividade 1, item i (dupla B) 118

120 Podemos afirmar a partir das respostas apresentadas pela dupla B, como observado no protocolo 10, que houve por parte desses professores, a apreensão operatória da modificação posicional. Nas ações dos professores, observamos que eles usaram as ferramentas já trabalhadas nas atividades anteriores e que nenhum deles utilizou a caixa de ferramentas medida, tanto para medir o comprimento da aresta quanto para medir a área ou o volume, o que nos fez pensar que a abordagem privilegiando o quadro da medida não esteve presente no desenvolvimento da atividade. A atividade permitiu aos professores transferirem sua noção de translação do plano para o espaço, porque não apresentaram dificuldades na construção, o que mostra que estavam capacitados a explorarem as ferramentas do software sem dificuldades, além de levá-los a desenvolver a apreensão perceptiva, pois reconheceram de forma direta os objetos matemáticos: retângulos, planos paralelos, etc. Também podemos afirmar que o mesmo aconteceu com a apreensão operatória (modificação posicional) definida por Duval (1995), pois por exemplo, observaram a mudança de posição do retângulo ao movimentar o plano α. Assinalamos a vantagem que o Cabri 3D (dinamismo) apresenta, para que os professores criem conjecturas sobre as propriedades dessa transformação. Podemos assinalar que, por parte das três duplas, houve evidências da apreensão perceptiva da figura de acordo com Duval (1995), porque mobilizaram a noção, por exemplo, de área do retângulo e volume do paralelepípedo; a apreensão sequencial, pois na interação com o Cabri 3D seguiram uma ordem de construção para realizar a atividade, isto é, criaram um paralelepípedo, uma secção reta e as figuras espaciais de acordo com o apresentado na análise a priori. A institucionalização dessa atividade foi feita por meio de uma apresentação, figura 34, do pesquisador no data show. Nela encontramos as expressões que representam a área de um retângulo e o volume de um paralelepípedo. 119

121 Figura 34: Institucionalização da atividade 1 do grupo 2. Na atividade 2, pretendemos que os professores construam a figura geométrica do problema que aborda a relação entre sólidos com bases equivalentes e alturas congruentes (Princípio de Cavalieri). Atividade 2: Sólidos equivalentes. a) Crie um polígono convexo e um retângulo, equivalentes, no plano horizontal. b) Crie uma reta r perpendicular ao plano horizontal fora dos polígonos já construídos. c) Sobre a reta r crie um vetor com origem no plano horizontal. d) Construa dois prismas definidos pelos polígonos (bases) e pelo vetor. Que tipo de prismas foram obtidos? e) Construa os polígonos obtidos pelas secções retas dos prismas. Que tipo de polígonos foram obtidos? f) Modifique o estilo de superfície dos prismas e do plano das secções retas para vazio. g) Movimente as secções, observe e responda: Qual é a relação entre os polígonos das bases dos prismas e os polígonos das secções retas? Justifique. h) Qual é a relação entre os volumes dos prismas?justifique Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla. Ativ3. 120

122 Análise a Priori Para iniciar o desenvolvimento da situação de ação, formulação e validação, os professores deveriam mobilizar os conhecimentos adquiridos anteriormente para interagir com o Cabrí 3D, construindo os prismas, suas secções, nomeando seus vértices, modificando seus estilos de superfícies e verificando as figuras geométricas construídas. Nossas expectativas eram que os professores construíssem os prismas sem dificuldades, pois neste momento, uma construção similar já foi desenvolvida na atividade 5 do 1º grupo. Salientamos ainda que as dúvidas que surgissem seriam sanadas com as sugestões apresentadas no roteiro. Apresentamos a seguir o que acreditamos que os professores realizariam em cada item. No item a, nosso objetivo era que os professores construíssem um retângulo equivalente a um polígono convexo. Esperávamos que os professores mobilizassem os conhecimentos adquiridos nas atividades de exploração do software 2 e 3, e construíssem um triângulo ou um pentágono equivalente ao retângulo, como mostra a figura 28, porém se outras construções fossem apresentadas seriam aceitas, desde que satisfizessem a determinação do item a. Apresentamos a figura 35 como uma construção correta que poderia ser realizada pelos professores. Figura 35: Triângulo e retângulo equivalentes. 121

123 Nela podemos observar um ângulo de visão que não favorece a percepção de que o triângulo ABC seja equivalente ao retângulo DFHI, porém como foram construídos a partir dos procedimentos apresentados na atividade 3 de exploração do software, eles são equivalentes. Esperávamos que os professores se apropriassem da apreensão sequencial e construíssem com facilidade os polígonos equivalentes. No item b, os professores deveriam construir uma reta perpendicular ao plano horizontal, que seria a reta suporte do vetor. Optamos por determinar a reta perpendicular fora dos polígonos para não limitarmos o movimento da mesma. Para o item c, pretendíamos que os professores construíssem um vetor sobre a reta perpendicular. Este também seria perpendicular ao plano horizontal, por isso a movimentação de sua extremidade aconteceria verticalmente. Esperávamos que os professores, por meio da apreensão perceptiva, percebessem que o vetor era perpendicular ao plano horizontal, pois foi criado sobre a reta perpendicular. No item d, acreditávamos que os professores não encontrariam dificuldades para construir dois prismas perpendiculares ao plano horizontal, porém se necessário fosse, eles poderiam recorrer à utilização do roteiro. Os professores, realizando uma construção similar à da figura 36, realizariam corretamente a proposta do item. Figura 36: Prisma e paralelepípedo equivalentes. 122

124 Nela podemos observar o prisma de base triangular, construído a partir do vetor e do triângulo ABC, e o paralelepípedo que também foi construído a partir do vetor, porém sua base é o retângulo DFHI. Nossa intenção com a questão apresentada neste item d era de que os professores conjecturassem sobre os tipos de prismas obtidos com essas construções. Acreditávamos que os professores se apropriariam da apreensão sequencial e perceberiam que os prismas construídos, a partir do vetor perpendicular ao plano horizontal, eram denominados retos, pois suas arestas laterais são perpendiculares ao plano horizontal. Esperávamos que os professores respondessem à questão apresentada neste item, utilizando o registro de representação da língua natural, que foram obtidos dois prismas retos, um de base triangular e o outro de base retangular. Acreditávamos que os professores chegariam a essa conclusão por meio da apreensão discursiva, isto é, pela sequência de realizações propostas. No item e, pretendíamos que os professores criassem os polígonos determinados pelas secções retas e, com a questão apresentada, intencionávamos que os professores conjecturassem sobre as áreas obtidas pelas secções. Acreditávamos que os professores respondessem, no registro de representação da língua natural, que os polígonos obtidos eram um retângulo e um polígono congruente à base do mesmo prisma. Apresentamos a figura 37 como uma construção correta, que poderia ser realizada pelos professores. Figura 37: Secções do prisma e do paralelepípedo 123

125 Nela encontramos como secção do prisma de base triangular, um triângulo congruente ao triângulo da base do prisma e como secções do paralelepípedo, encontrariam um retângulo congruente ao retângulo da base do paralelepípedo. Acreditávamos que os professores realizariam a apreensão perceptiva e perceberiam o que já foi mencionado anteriormente. No item f nossa intenção era de que os professores mudassem o estilo de superfície do prisma e do plano secante, para vazio. Para o item g, pretendíamos que os professores observassem, pela movimentação da secção, e conjecturassem sobre a relação entre os polígonos das bases e os polígonos das secções retas. Acreditávamos que ao movimentar o polígono da secção transversal, os professores perceberiam que a movimentação aconteceria apenas verticalmente e que o polígono não se alterava, o que se alterava era a sua distância em relação ao plano horizontal. Esperávamos que ocorresse pelos professores a apreensão operatória por meio da modificação posicional e que eles respondessem que as medidas das áreas dos polígonos das secções eram iguais, pois os prismas eram retos e o plano paralelo à base. Como as bases eram equivalentes, as secções também seriam, logo as áreas eram iguais. Pedimos aos professores para que justificassem, enriquecendo assim nossa discussão sobre o assunto e para analisar se ocorreu por parte deles a apreensão discursiva. Acreditávamos que os professores apresentariam suas conclusões no registro de representação da língua natural ou simbólica Objetivamos no item h que os professores conjecturassem sobre a relação entre o volume do paralelepípedo e o volume do prisma reto. Acreditávamos que com as construções sugeridas e com as questões apresentadas, os professores perceberiam o princípio de Cavalieri e responderiam, utilizando o registro de representação da linguagem natural ou simbólica, que dois prismas com bases equivalentes e alturas congruentes possuem volumes iguais, nos fazendo-nos acreditar que eles se apropriaram da apreensão discursiva. 124

126 Depois de apresentadas todas as observações sugeridas nos itens o professor pesquisador apresentaria uma síntese dessas observações, vivenciando assim a fase de institucionalização da atividade. Análise a Posteriori As duplas mantiveram-se envolvidas com a atividade, a qual primeiro leram e discutiram as questões com seu parceiro, realizaram as simulações no Cabri 3D para, em seguida, registrar na ficha suas decisões, mobilizando seus conhecimentos para responder ao solicitado. As análises das construções realizadas no Cabri 3D, das anotações apresentadas pelos observadores e as respostas apresentadas pelas duplas na ficha nos permitem considerar que os professores realizaram os itens a, b, c e d sem dificuldades, pois não apresentaram dificuldades em suas realizações, talvez pelo fato de empregarem esquemas similares aos previstos na análise a priori. As duplas A e C realizaram as construções similares às de um triângulo e um retângulo equivalentes, conforme realizado na atividade 2 de exploração do software, como podemos observar na construção realizada pela dupla B, apresentada na figura 38. Figura 38: Construção realizada pela dupla A, atividade 2 do grupo 2. A dupla B construiu um pentágono e um retângulo, como podemos observar na figura 39, fundamentando pelas realizações da atividade 2 e 3 na atividade de exploração do software. 125

127 Figura 39: Construção realizada pela dupla B, atividade 2 do grupo 2. Em relação ao item d, podemos observar no protocolo 11 que houve por parte dos professores das duplas A e C apreensão sequencial ao responderem que os prismas obtidos eram paralelepípedos. Após discussões, reelaboraram suas respostas afirmando que eram prismas retangulares, referindo-se à nomenclatura reto, apresentando como justificativa que foram construídos mediante ao vetor perpendicular ao plano horizontal, como mostra o protocolo 11. Entendemos que a dupla associou a característica dos prismas de serem retos pela perpendicular que determinou a criação dos prismas. Protocolo 11: Respostas da atividade 2, item d (dupla A) Já o grupo B apresentou, como mostra o protocolo 12, no registro de representação da língua natural, que foram obtidos prismas retos, justificando que sua altura foi determinada por um vetor criado sobre uma reta perpendicular ao plano. 126

128 Protocolo 12: Respostas da atividade 2, item d (dupla B) Podemos afirmar, depois da análise dos protocolos, que houve por parte desses professores apreensão sequencial, pois eles perceberam que o prisma era reto por conta da sequência de criações realizadas na atividade. Em relação ao item e, as duplas realizaram as construções corretamente, porém a dupla A, em sua primeira tentativa, não conseguiu criar os polígonos das secções, pois não haviam marcado os pontos de intersecção entre o plano α e os prismas. O professor Márcio da dupla A ajudou-os afirmando: É preciso criar os pontos de intersecção. Os professores da dupla lembraram-se desta necessidade e criaram corretamente os polígonos das secções. As duplas A e C afirmaram que os polígonos obtidos foram um triângulo e um retângulo. Como podemos observar no protocolo 13, houve por parte dos professores, apreensão perceptiva das figuras retângulo e triângulo. Protocolo 13: Respostas da atividade 2, item e (dupla A) Já a dupla B afirmou que os polígonos obtidos foram um pentágono e um retângulo. Como podemos observar no protocolo 14 houve por parte dos professores, apreensão perceptiva das figuras retângulo e triângulo. 127

129 Protocolo 14: Resposta da atividade 2, item e (dupla B). No item f, todas as duplas utilizaram a ferramenta atributos sem dificuldades e modificaram o estilo de superfície dos prismas e do plano secante para vazio. Em relação ao item g, após movimentarem o plano α, os professores discutiram sobre a relação mencionada, como podemos observar nas anotações realizadas pela observadora da dupla A. Marcio: Tem a mesma área, portanto são semelhantes. Carlos: Ah! Não ele quer saber a relação. Marcio: São iguais, pois foram construídos a partir de uma secção reta. Em relação ao item g, os grupos A e C responderam que os polígonos tem a mesma área, portanto são semelhantes, mesmo perímetro e mesma área. Protocolo 15: Respostas da atividade 2, item g (dupla A) 128

130 A dupla B, antes de apresentar sua validação na ficha, desenvolveu a seguinte discussão, anotada pela observadora, sobre a relação mencionada no item. Ricardo: Qual é a relação?. Marcos: É a mesma área Ricardo: O triângulo é equivalente ao retângulo, o triângulo da base é congruente ao triângulo da secção, então é uma relação de congruência. Marcos: As figuras têm a mesma área, só não são iguais. O grupo B afirmou que o pentágono da secção reta é congruente ao pentágono da base ABCDE e o retângulo da secção reta é congruente ao retângulo da base FGIH e apresentou que a relação entre os pentágonos e os retângulos é de equivalência. Podemos observar que a dupla B percebeu a relação de equivalência entre os polígonos depois de um diálogo, como anotado pela observadora. Pesquisador: Para ser equivalente precisa ter o quê?. Marcos: A mesma área. Pesquisador: Como verifica a área? Ricardo: Base x altura. Marcos: São equivalentes porque tem a mesma base e altura. Protocolo 16: Respostas da atividade 2, item g (dupla B) 129

131 Em seguida, os professores mudaram o ângulo de visão para verificar as arestas e justificar que os pentágonos eram equivalentes. Depois de realizadas essas transformações, a dupla apresentou suas respostas no registro de representação da língua natural, como podemos visualizar no protocolo 16. Podemos afirmar que a apreensão perceptiva foi realizada pelos professores, pois todos disseram que os polígonos eram iguais. Em relação ao item h, todas as duplas responderam corretamente que os volumes eram iguais, contudo apresentaram justificativas diferentes. As duplas A e C justificaram que as áreas das bases e a altura eram iguais. Marcos: Eles são iguais Ricardo: Porque eles são originários da base do paralelepípedo. Marcos: O volume dos dois é igual. Pesquisador: Como vocês justificam isso? Marcos: Pela maneira como foi criado Protocolo 17: Respostas da atividade 2, item h (dupla A) A dupla B apresentou como respostas que os prismas possuem volumes iguais devido à equivalência entre as áreas das bases dos prismas. 130

132 Protocolo 18: Respostas da atividade 2, item h (dupla B) Entendemos que eles se apropriaram do Princípio de Cavalieri, pois em suas discussões apresentaram que entendiam o volume de cada prisma como a sobreposição de polígonos congruentes, como podemos observar no comentário do professor Fábio: podemos conseguir o volume do prisma sobrepondo sua base. O professor Marcio completa: se o Cabri possibilitasse o rastro do polígono igual fez com o segmento, durante a movimentação do plano α, nós preencheríamos o volume dos prismas. Nesse sentido, a apropriação das noções Matemáticas envolvidas na translação, bem como as ferramentas do Cabri 3D escolhidas para a atividade, fazem com que consideremos que os instrumentos para cada um deles estão sendo construídos no uso. Por parte dos professores, podemos assinalar que houve evidência da apreensão perceptiva do conceito de volume, segundo Duval (1995); da apreensão sequencial, porque na interação com o Cabri 3D seguiram uma ordem de construção para realizar a atividade, isto é, criar um polígono equivalente a um paralelepípedo, as secções retas e entender o volume dos prismas como a translação do polígono da base do prisma em relação à altura. Percebemos que durante a atividade, foram assinaladas várias vantagens que nos possibilitam verificar que o Cabri 3D (dinamismo) apresenta, para que os professores criem conjecturas sobre as propriedades dessa transformação, como podemos observar na anotação da observadora da dupla A. Entendo o volume de cada prisma como se fosse um monte de polígonos congruentes à cada base sobreposta. 131

133 O fato pode indicar que eles tiveram uma apreensão operatória (posicional) da figura, porque observaram que esta se deslocou, segundo um referencial. A institucionalização dessa atividade foi feita por meio de uma apresentação do pesquisador no data show, mostrando aos professores a relação direta existente entre elementos da figura (polígonos, prismas) e sua representação algébrica. Na figura 40 encontramos a institucionalização realizada pelo pesquisador sobre o Princípio de Cavalieri. Figura 40: Institucionalização da atividade 2 do grupo 2. Na atividade 3, pretendemos que os professores conjecturem, por meio da movimentação dos pontos U, S e T, sobre a trissecção do prisma. Atividade 3: Trissecção do prisma. a) Abra o arquivo DESCOBRINDO.2 b) Qual é o tipo do prisma ABCDEF? E do polígono ABC? c) Movimente o ponto U arrastando a pirâmide OPQR para dentro do prisma ABCDEF. Compare e responda: A pirâmide OPQR possui base e altura congruentes ao prisma ABCDEF?Justifique. d) Movimente o ponto S, arrastando a pirâmide GHIJ para dentro do prisma ABCDEF. Essa pirâmide possui base e altura congruentes ao prisma ABCDEF?Justifique. e) Que relação existe entre os volumes das pirâmides OPQR e GHIJ? Justifique. f) Movimente o ponto T, arrastando a pirâmide KLMN para dentro do prisma ABCDEF. A pirâmide KLMN possui base e altura congruentes às pirâmides OPQR e GHIJ? 132

134 g) Que relação existe entre os volumes das três pirâmides? Justifique h) Que relação existe entre os volumes das pirâmides OPQR, KLMN, GHIJ e o volume do prisma ABCDEF? Justifique. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.ativ4. Análise a Priori Para a determinação da situação de ação, formulação e validação, os professores deveriam mobilizar os conhecimentos das atividades anteriores para interagir com o ambiente, construindo e manipulando o paralelepípedo, o retângulo e a secção transversal de acordo com as sugestões apresentadas em cada item. O documento apresentou como mostra a figura 32, construídos um prisma reto de base triangular ABCDEF, três pirâmides GHIJ, KLMN e OPQR e três pontos S, T e U. Os pontos S, T e U determinavam a movimentação das pirâmides GHIJ, KLMN e OPQR, respectivamente, sem modificar suas formas. Após abrir o arquivo DESCOBRINDO.2 no Cabri 3D, as duplas deveriam seguir as orientações da atividade para conjecturar sobre a trissecção do prisma. No item a, nossa intenção foi de apresentar as figuras já construídas para a utilização dos professores, com o intuito de direcionar nosso trabalho no levantamento, pelos professores, das conjecturas relacionadas à trissecção do prisma de base triangular. Figura 41: Pirâmides equivalentes 133

135 No item b, acreditávamos que os professores perceberiam e responderiam corretamente na ficha de atividades, no registro de representação em língua natural ou simbólica, que o prisma era reto triangular e que o polígono de sua base era um triângulo retangular. Para o item c, nossas expectativas eram que os professores, após a movimentação do ponto U, conjecturassem sobre a relação entre a pirâmide OPQR e o prisma ABCDEF, mais especificamente sobre suas bases e alturas. Acreditávamos que os professores, após o encaixe das figuras, percebessem e respondessem, no registro de representação da língua natural ou simbólica, que o prisma ABCDEF e a pirâmide OPQR possuíam bases equivalentes e alturas congruentes, fazendo-nos acreditar que houve a apreensão perceptiva. No item d, nossas expectativas eram que os professores, após movimentar o ponto S, conjecturassem sobre a relação entre a pirâmide GHIJ e o prisma ABCDEF, mais especificamente sobre suas bases e alturas. Acreditávamos que os professores após o encaixe das figuras percebessem e respondessem, no registro de representação em língua natural ou simbólica, que o prisma ABCDEF e a pirâmide GHIJ possuíam bases equivalentes e alturas congruentes, fazendo-nos acreditar que houve a apreensão perceptiva. Julgávamos que no item e, os professores não encontrariam dificuldades para perceber a relação entre os volumes das pirâmides OPQR e GHIJ. Acreditamos que os professores mobilizariam os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores de maneira satisfatória para responder a questão apresentada e com a apreensão operatória modificação posicional respondessem que as pirâmides OPQR e GHIJ possuem volumes equivalentes, pois têm as bases (OPQ e HIJ) congruentes e a mesma altura (a do prisma) GH = RQ = AD = EB = RQ, possibilitando-nos acreditar que suas respostas foram motivadas pela apreensão discursiva. No item f, nosso objetivo era que os professores, após a movimentação do ponto T, conjecturassem sobre a relação entre a pirâmide KLMN e as pirâmides OPQR e GHIJ, mais especificamente sobre suas bases e alturas. Acreditávamos que os professores, após o encaixe das figuras, percebessem e respondessem, no registro de representação da língua natural ou simbólica, que 134

136 as pirâmides GHIJ e KLMN têm volumes equivalentes, pois têm as bases (GHI e OPR) congruentes (note que JG e RQ correspondem a mesma diagonal do paralelogramo ACFD e mesma altura JH = FD = AC = PO, fazendo-nos acreditar que suas respostas foram motivadas pela apreensão discursiva. No item g acreditávamos que os professores conjecturariam sobre o volume da três pirâmides e mobilizariam os conhecimentos adquiridos nos itens anteriores de maneira satisfatória, para responder a questão apresentada e com a apreensão operatória modificação posicional respondessem que as três pirâmides possuem volumes iguais. Com a conjectura formulada, esperamos que os professores buscassem uma justificativa para validá-la, indo além da convicção, ou seja, não ficassem só convencidos pelas figuras apresentadas na tela. No item h, objetivamos levar os professores a conjecturar e justificar o teorema que diz: Todo prisma triangular é a soma de três pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si (de volumes iguais). Apresentamos na figura 42, uma possível solução correta que os professores poderiam realizar. Nela podemos observar que a composição das três pirâmides apresentadas anteriormente resulta do prisma reto triangular. Figura 42: Prisma e pirâmides Esperamos que os professores consigam apresentar uma justificativa plausível, levando-nos leva a acreditar que para eles houve apreensão operatória modificação posicional e modificação mereológica. 135

137 As justificativas dadas pelos professores seriam colocadas na lousa e nesse momento o professor pesquisador atuaria para explicar possíveis incompreensões nas fases anteriores coordenando e institucionalizando a justificativa da expressão com o grupo. Análise a Posteriori Observamos um grande envolvimento das equipes na resolução da atividade; primeiro, procuraram ler, realizar as simulações com o Cabri 3D e discutir o que observaram para, em seguida, responder ao solicitado na ficha da atividade. Os professores seguiram a proposta do item a sem dificuldades e passaram a leitura do próximo item. No item b as três duplas manipularam as figuras, movimentando os pontos do prisma e modificando o ângulo de visão. Percebemos que a mudança do ângulo de visão auxiliou a dupla B a responder essa atividade, conforme o comentário anotado pela observadora. Ricardo: Olhando de cima forma um triângulo. Vê somente um triângulo. A dupla B apresenta a resposta no registro de representação da língua natural, como mostra o protocolo 19, que o prisma ABCDEF é um prisma reto e o polígono ABC é um triângulo. Entendemos que essa resposta foi obtida pela mudança do ângulo de visão da figura possibilitada pelo Cabri 3D. Protocolo19: Respostas da atividade 3, item b (dupla B) 136

138 Em relação ao item b, as duplas A e C responderam, no registro de representação da língua natural, que o tipo do prisma ABCDEF é um prisma reto e o polígono ABC é um triângulo, como podemos observar no protocolo 20. Protocolo 20: Respostas da atividade 3, item b (dupla C) Observamos que nenhuma dupla utilizou as retas perpendiculares para justificar que o prisma era reto e que o triângulo era retângulo, justificando apenas pelo aspecto visual da figura. Em relação ao item c, as duplas não conheciam o significado da palavra congruente, como podemos observar no comentário anotado pela observadora da dupla B. Marcos: O que é uma coisa congruente? O pesquisador apresentou a seguinte definição para congruência: É a propriedade atribuída a duas figuras geometricamente iguais. Após a apresentação da definição, os professores arrastaram o ponto U, conjecturaram e responderam corretamente que sim. Em relação ao item c, a dupla B justificou, no registro da língua natural, que a base da pirâmide POR é igual a base do prisma ABC e a altura da pirâmide é igual a altura do prisma, como podemos observar no protocolo

139 Protocolo 21: Respostas da atividade 3, item c (dupla B) Já as duplas A e C justificaram, no registro de representação da língua natural, que as arestas das bases são iguais e suas alturas se coincidem, como podemos observar no protocolo 22. Acreditamos que as duplas apresentaram essas respostas por meio da modificação posicional da figura. Protocolo 22: Respostas da atividade 3, item c (dupla A) Podemos afirmar, pelas respostas apresentadas nos protocolos 21 e 22, que houve por parte dos professores apreensão perceptiva. Em relação ao item d todas as duplas apresentaram a resposta correta sim, assim como no item anterior justificaram de maneira similar. A dupla B, antes de apresentar sua validação, desenvolveu uma rica discussão sobre o assunto, como podemos observar no trecho apresentado a seguir: Marcos: A altura é a mesma ao encaixar a base, está congruente, a altura também está congruente. 138

140 Marcio: Eu não concordo que a base é a mesma, mas a base de baixo é igual a de cima. Já as duplas A e C também justificaram corretamente como podemos observar no comentário do professor Marcio anotado pela observadora da dupla. Marcio: Agora utilizou a base superior. Em relação ao item d, as três duplas responderam que sim, apresentando suas justificativas. As duplas A e C apresentaram, no registro de representação da língua natural, justificativas similares e como respostas que as arestas das bases são iguais, porém não mencionaram a relação entre as alturas das pirâmides. Protocolo 23: Respostas da atividade 3, item d (dupla A) A dupla B justificou, no registro de representação da língua natural, que a base do prisma ABC é igual à base da pirâmide HIJ e sua altura altura do prisma. é igual a Protocolo 24: Respostas da atividade 3, item d (dupla B) 139

141 Podemos afirmar, pelas respostas apresentadas nos protocolos 23 e 24, que houve por parte dos professores, apreensão perceptiva. As duplas não sentiram dificuldades para responder ao item e que as pirâmides possuem volumes iguais. O professor Carlos apresentou uma dificuldade na percepção de que se tratavam de volumes iguais, como podemos observar pela seguinte afirmação. Carlos: Se não pode quantificar a gente não pode afirmar isso. Nesse momento, o pesquisador esclareceu que quantificar tem o significado de comparar e não medir como o professor estava entendendo. Em seguida, o professor Márcio contrapondo ao que havia dito o professor Carlos, fez a seguinte afirmação: A base da primeira pirâmide coincide com a base inferior do prisma e a base da 2ª pirâmide coincide com a base superior do prisma. O pesquisador fez a seguinte intervenção às duas duplas: Pesquisador: E as relações entre as alturas? Os professores responderam prontamente: As alturas também são congruentes. Todas as duplas responderam corretamente ao item e, no registro de representação da língua natural. As duplas A e C, que os volumes entre as pirâmides OPQR e GHIJ eram iguais, já a dupla B, que a relação era de equivalência. Contudo, as três duplas justificaram que a base da pirâmide coincidiu com a base inferior do prisma e a base da 2ª pirâmide coincidiu com a base superior do prisma como podemos observar no protocolo

142 Protocolo 25: Respostas da atividade 3, item e (dupla A) Protocolo 26: Respostas da atividade 3, item e (dupla B) As respostas apresentadas no protocolo, permite-nos inferir que, em relação aos professores, houve a apreensão operatória, por meio da mudança da posição das pirâmides, como havíamos previsto na nossa análise a priori. Todas as duplas responderam corretamente o item f, no registro de representação da língua natural que sim, a pirâmide KLMN possui base e altura congruentes às pirâmides OPQR e GHIJ, como mostra o protocolo 27. Protocolo 27: Respostas da atividade 3, item e (dupla C) 141

143 Entendemos que neste item, as respostas dos professores foram motivadas pela apreensão operatória, por meio da modificação da posição da pirâmide KLMN e do ponto T. Em relação ao item g, todas as duplas responderam utilizando-se do registro de representação da língua natural. As três duplas responderam, como podemos observar nos protocolos 28, que os volumes das três pirâmides são iguais, justificando que as alturas e as bases são iguais. Já o grupo B afirmou que a relação é de equivalência por que elas têm bases e alturas iguais Protocolo 28: Respostas da atividade 3, item g (dupla C) Em relação ao item h, as três duplas responderam corretamente como havíamos previstos na análise a priori, que o prisma triangular é a soma das três pirâmides triangulares (tetraedros) equivalentes entre si como podemos observar no protocolo 29. Protocolo 29: Respostas da atividade 3, item h (dupla B) A dupla A, antes de apresentar a resposta da questão, perguntou ao pesquisador como poderiam dizer que o prisma foi dividido em três pirâmides. 142

144 O pesquisador respondeu: Neste caso podemos falar que o prisma foi trisseccionado. Em seguida, a dupla apresentou sua resposta como podemos ver no protocolo 30, com uma confusão na escrita, porém entendemos que eles perceberam sem dificuldades o ocorrido com o prisma. Protocolo 30: Respostas da atividade 3, item e (dupla A) A atividade permitiu aos professores transferirem sua noção de base do plano para o espaço, porque não apresentaram dificuldades na percepção das bases das pirâmides, além de levá-los a desenvolver a apreensão perceptiva, pois reconheceram, de forma direta, os objetos matemáticos: base e altura da pirâmide. Os professores movimentaram os pontos do prisma e perceberam que a medida que o prisma se transformava, a figura imagem modificava-se, tal fato pode indicar que eles tiveram uma apreensão operatória (posicional) da figura, porque observaram que esta se deslocou, segundo um referencial. A institucionalização dessa atividade foi feita por meio de uma apresentação do pesquisador no data show, apresentando aos professores por meio de uma simulação, a relação direta existente entre elementos das pirâmides e do prisma e sua representação simbólica, como podemos ver na figura 143

145 Figura 43: Institucionalização da atividade 3 do grupo 2. Nosso objetivo na atividade que segue é oferecer aos professores instrumentos para que eles conjecturem sobre: As relações existentes numa pirâmide quando a mesma é secionada por um plano paralelo a sua base. As relações existentes entre duas pirâmides com bases equivalentes e alturas congruentes e as propriedades que estão envolvidas nas justificativas dessas relações. Atividade 4: relação entre as seções e as alturas das pirâmides. a) Crie um triângulo ABC e trace uma reta perpendicular r ao plano horizontal interseccionando o triângulo num ponto J. b) Marque um ponto V sobre a reta r no espaço e construa a pirâmide ABCV. c) Modifique o estilo de superfície da pirâmide ABCV para vazio e construa o polígono da secção reta da pirâmide ABCV e nomeie seus vértices de DEF. d) Modifique o estilo de superfície do plano paralelo para vazio e do triângulo DEF para hachuras finas. Marque o ponto K intersecção entre o triângulo DEF e a reta r. e) Movimente a secção reta e responda. As razões entre os elementos homólogos 9 das pirâmides são iguais?justifique f) Os triângulos ABC e DEF são semelhantes?é possível escrever a razão entre as áreas desses triângulos? Justifique. g) Com a ferramenta simetria central crie em relação ao ponto A, um ponto simétrico ao ponto B e nomeie de G. h) Crie o triângulo ACG e depois crie a pirâmide ACGV. 144

146 i) Crie a secção DFI dessa pirâmide. j) Mude o estilo de superfície da pirâmide ACGV para vazio. Os triângulos DEF e DFI são equivalentes?justifique. k) Movimente a secção novamente e responda: Os volumes das pirâmides ABCV e ABJV são equivalentes?justifique. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.ativ3. Análise a Priori Para iniciar o desenvolvimento da situação de ação, formulação e validação o professor deveria mobilizar os conhecimentos adquiridos nas atividades de exploração do software para interagir com o Cabri 3D, construindo as pirâmides, suas secções, nomeando seus vértices e modificando seus estilos de superfícies e conjecturando sobre as figuras geométricas construídas. Nossas expectativas eram que os professores construíssem as pirâmides sem dificuldades, pois nesse momento uma construção similar já foi realizada na atividade 5 do primeiro grupo de atividades. No item a, nosso objetivo era que os professores construíssem e nomeassem o triângulo ABC no plano horizontal, que seria a base da pirâmide a ser construída. Em seguida, os professores construíssem uma reta perpendicular r, que seria a reta suporte da altura da pirâmide, ao plano horizontal com um ponto de interseção J no triângulo ABC. Limitávamos a altura da pirâmide interna à mesma para simplificar as discussões, porém os conhecimentos adquiridos sobre essas pirâmides poderiam ser estendidos a todo tipo de pirâmide. Esperávamos que os professores construíssem diversos tipos de triângulos, enriquecendo nosso estudo. No item b, os professores deveriam determinar um ponto V, que seria o vértice da pirâmide, sobre a reta r e uma pirâmide ABCV com a altura. Uma possível construção correta pelos professores está apresentada na figura 44. Nela encontramos a pirâmide ABCV construída a partir do triângulo 145

147 ABC, que é a base da pirâmide, e o ponto V, que é o vértice da pirâmide localizado na reta r, perpendicular ao plano. Figura 44: Pirâmide. Acreditávamos que ocorresse por parte dos professores a apreensão sequencial e que eles perceberiam por meio da sequência de realizações, que a altura da pirâmide é. No item c, os professores deveriam construir e nomear um triângulo DEF da secção transversal da pirâmide. Acreditávamos que os professores mobilizariam os conhecimentos adquiridos na atividade 4 do primeiro grupo de atividades e construíssem a secção transversal sem dificuldades, mas se dúvidas surgissem eles poderiam recorrer ao uso do roteiro. Acreditávamos por parte dos professores que ocorreria a apreensão sequencial e que eles perceberiam que a secção seria um triângulo paralelo e semelhante ao triângulo da base. Além disso, a mudança do estilo de superfície possibilitaria aos professores, uma melhor percepção dos elementos da pirâmide ABCV. Julgávamos que no item d os professores não encontrariam dificuldades para mudar o estilo de superfície da pirâmide e do plano α para vazio e da secção para hachura finas. Essa mudança pode favorecer a visualização das figuras geométricas. Além disso, os professores criariam o ponto K intersecção entre o 146

148 triângulo DEF e a reta r, determinando, a altura da pirâmide DEFV, o segmento. Apresentamos na figura 45 uma possível construção correta que seria realizada pelos professores. Figura 45: Secção da pirâmide. Nela podemos observar o triângulo DEF, semelhante ao triângulo da base ABC, pois o plano que secciona a pirâmide ABCV é paralelo ao plano horizontal. Nossa previsão para o item e era que os professores, com a movimentação da secção reta, conjecturariam sobre a relação entre as medidas das arestas das pirâmides e as medidas de suas alturas. Esperávamos que os professores se apropriassem da apreensão operatória modificação posicional e apreensão discursiva e respondessem a questão dizendo que sim, percebendo a propriedade que diz: Quando uma pirâmide é secionada por um plano paralelo ao plano da base (plano horizontal) as arestas laterais ficam divididas na mesma razão. Acreditávamos que os professores apresentariam suas justificativas, no registro em língua natural ou simbólica. No item f acreditávamos que os professores não encontrariam dificuldades para conjecturar sobre a relação entre os triângulos ABC e DEF e 147

149 responderiam ainda que era possível escrever a razão entre as áreas desses triângulos. Para o item g, os professores deveriam criar um ponto G, simétrico ao ponto B em relação ao ponto A. Esperamos que os professores perceberiam que esse ponto possibilitaria a criação do triângulo ACG equivalente ao triângulo ABC. Intencionamos nos três itens g, h e i, que os professores construiriam uma pirâmide ACGV equivalente à pirâmide ABCV e que suas secções DEF e DFI também seriam equivalentes. Os professores iniciariam a criação do ponto G simétrico ao ponto B em relação ao ponto A, determinando assim, em relação aos triângulos ABC e ACG, bases e alturas iguais. Em seguida, construiriam o triângulo ACG e a pirâmide ACGV, determinando assim em relação às pirâmides ABCV e ACGV, alturas iguais. Acreditávamos que os professores mobilizariam os conhecimentos adquiridos nas atividades de exploração do Cabri 3D e realizarão estas construções sem dificuldades. No item j, nossos objetivos eram que os professores modificassem o estilo de superfície da pirâmide ACGV para vazio e conjecturassem sobre a equivalência entre os triângulos DEF e DFI. Acreditávamos que os professores realizariam a conversão da propriedade percebida no registro figural e apresentaria suas conclusões no registro de representação em língua natural ou simbólica. Esperávamos que, por meio das construções realizadas, os professores realizassem a apreensão sequencial, por meio da sequência de realizações, e apreensão posicional por meio das movimentações realizadas. E com essas apreensões, eles respondessem que os triângulos eram congruentes, justificando satisfatoriamente e apresentando em seguida suas justificativas. Na figura 46 apresentamos uma possível construção correta que poderia ser realizada pelos professores. 148

150 Figura 46: Pirâmides equivalentes. Nela encontramos a pirâmide ABCV equivalente à pirâmide ACGV, pois as suas respectivas bases ABC e ACG são equivalentes e a altura é comum às duas pirâmides. No item k, nossa intenção era que os professores conjecturassem sobre o teorema que diz: Duas pirâmides triangulares (tetraedros) de bases de áreas iguais (bases equivalentes) e alturas congruentes, têm volumes iguais (são equivalentes). Esperávamos que as propriedades verificadas fossem realizadas de forma empírica, por meio da manipulação das figuras, com o auxílio do Cabrí 3D e por meio da apreensão operatória modificação posicional e suas justificativas apresentadas, nas fichas recebidas, por meio da representação de registros da linguagem natural ou simbólica. Acreditamos que as interpretações dos elementos ocorridas nos outros itens desta atividade favoreçam aos professores, justificarem este item mostrando-nos que ocorreu a apreensão discursiva. Nesse momento, uma intervenção direta do professor pesquisador se fará necessária, destacando a propriedade justificada, garantindo dessa forma que tais conhecimentos sejam incorporados ao repertório cognitivo desses professores e sejam utilizados para resolver novas situações-problema. Pois, acreditamos que nem todos os professores a conheçam. 149

151 Análise a Posteriori As equipes demonstraram envolvimento na resolução desta atividade, lendo e discutindo as questões com seu parceiro ou com os componentes das outras duplas. Em seguida, registraram na ficha, suas decisões para responder ao solicitado. As duplas resolveram os itens a, b, c e d e seus raciocínios equivaleram ao procedimento que previmos em nossa análise a priori, fazendo as construções das pirâmides ABCV e DEFV corretamente. Em relação ao item e, as equipes responderam que sim, isto é, a razão entre os elementos homólogos das duas pirâmides são iguais, porém entenderam essa relação de modos diferentes, como podemos observar nos comentários a seguir: Comentário realizado pela dupla A: Sim, pois as pirâmides têm o mesmo vértice e uma pirâmide foi construída através de secção transversal da outra pirâmide. Na figura 47, podemos encontrar a construção realizada pela dupla A. Nela temos a pirâmide ABCV com base ABC no plano horizontal e vértice V, o triângulo DEF é a secção reta da pirâmide ABCV. Encontramos ainda a altura da pirâmide sobre a reta r perpendicular ao plano horizontal. Figura 47: Construção realizada pela dupla A, atividade 4 do grupo

152 Na figura 48 podemos encontrar a construção realizada pela dupla B. Percebemos que a construção da dupla B é similar à da dupla A. Nela, assim como na construção realizada pela dupla A, entendemos que os professores movimentaram a reta r fazendo coincidir os pontos A e J. Figura 48: Construção realizada pela dupla B, atividade 4 do grupo 2. Em relação aos comentários, a dupla B afirmou: a pirâmide ABCV é algumas vezes maior que a pirâmide DEFV. Esses comentários nos possibilita afirmar que, em relação a esses professores houve apreensão operatória por meio da modificação posicional do plano α. A dupla A apresentou, como podemos ver no protocolo 31, que a razão entre os elementos homólogos das pirâmides são iguais, porém suas justificativas foram embasadas apenas pela observação e modificação provocada na figura. Protocolo 31: Respostas da atividade 4, item e (dupla A) 151

153 A dupla B justificou que a razão entre os lados homólogos são iguais, como mostra o protocolo 32, porque os triângulos são semelhantes, fundamentado pelo Teorema de Tales. Protocolo 32: Respostas da atividade 4, item e (dupla B) Em relação ao item f, todas as duplas responderam corretamente, no registro de representação da língua natural que os triângulos são semelhantes, porém somente a dupla B justificou, como mostra no protocolo 33, como havíamos previsto em nossa análise a priori, utilizando o teorema de Tales para justificar a semelhança entre os triângulos. Os professores da dupla B explicaram para o pesquisador: Marcos: É uma sequência, assim como uma reta está para esta, essa está para esta (apontando para a figura). O professor estava se referindo ao Teorema de Tales. = = = = Protocolo 33: Respostas da atividade 4, item f (dupla B) 152

154 A dupla A e C justificaram que os triângulos são equivalentes do seguinte modo: Ao movimentar o plano α, fazendo coincidir com o plano horizontal, os triângulos se sobrepuseram. Porém, apresentaram em seu protocolo uma relação errada entre as áreas e as arestas das pirâmides, como podemos perceber no protocolo 34. Nele encontramos que a dupla entendeu que a razão entre os lados era a mesma entre as áreas. Protocolo 34: Respostas da atividade 4, item f (dupla A) Todas as duplas realizaram os itens g, h e i sem dificuldades, nos fazendo acreditar que mobilizaram os conhecimentos adquiridos nas atividade do grupo 1. Em relação ao item g, todas as duplas construíram o ponto G como havíamos previsto em nossa análise a priori. Na figura 49, podemos entender que a dupla A finalizou com facilidade a construção proposta na atividade. Nela encontramos a pirâmide ACGV equivalente à pirâmide ABCV, pois suas bases são equivalentes e suas alturas são congruentes. 153

155 Figura 49: Construção II realizada pela dupla A, atividade 4 do grupo 2. Na figura 50, encontramos a construção realizada pela dupla B e nela encontramos as pirâmides equivalentes ABCV e ACGV, assim como suas secções retas EDF e FDJ, respectivamente. Figura 50: Construção III realizada pela dupla B, atividade 4 do grupo 2. Nesse sentido, a apropriação das noções Matemáticas envolvidas na simetria central, bem como as ferramentas do Cabri 3D escolhidas para a atividade, fazem com que consideremos que os professores utilizaram as ferramentas exploradas nas atividades do 1 grupo sem dificuldades. Em relação ao item j, todas as duplas responderam corretamente fazendo uso do registro de representação da língua natural. A dupla A apresentou como resposta, como podemos ver no protocolo 35, que as alturas dos dois triângulos são iguais, porém não apresentaram a razão existente entre as bases obtidas pela simetria do ponto F em relação ao ponto E. 154

156 Protocolo 35: Respostas da atividade 4, item j (dupla A) A dupla B apresentou em sua ficha de atividades, no registro de representação da língua natural, que os triângulos DEF e DFI são equivalentes e justificaram, como mostra o protocolo 36, que modificou o ângulo de visão e percebeu a relação do Teorema de Tales, existente entre os triângulos em questão. Protocolo 36: Respostas da atividade 4, item j (dupla B) Em relação ao item k, todas as duplas responderam, utilizando o registro de representação da língua natural, que os volumes das pirâmides ABCV e ABJV são equivalentes. Porém, suas justificativas nos permitem inferir que eles tiveram apreensões diferentes. Entendemos que a dupla B, pela justificativa apresentada no protocolo 37, realizaram a apreensão operatória por meio da modificação posicional, movimentando o plano α e consequentemente as secções. 155

157 Protocolo 37: Respostas da atividade 4, item k (dupla B) Acreditamos que as duplas A e C tiveram apreensão sequencial por meio da sequência de realizações da atividade, possibilitando-os a perceber que as pirâmides possuíam bases equivalentes e alturas congruentes, como podemos perceber no protocolo 38. Protocolo 38: Respostas da atividade 4, item k (dupla A) Notamos que nenhum deles utilizou a caixa de ferramentas medida, tanto para medir o comprimento da aresta, quanto para medir a área ou o volume, o que nos fez pensar que este tipo de abordagem o quadro da métrica não está fortemente presente. Nesse sentido, a apropriação das noções Matemáticas envolvidas na translação, bem como as ferramentas do Cabri 3D escolhidas para a atividade, fazem com que consideremos que os instrumentos para cada um deles estão sendo construídos no uso. Nessa fase de institucionalização, apresentamos aos professores a relação existente entre elementos homólogos das pirâmides e entre os volumes delas. 156

158 157 Figura 51: Institucionalização da atividade 4 do grupo 2.

159 CONSIDERAÇÕES FINAIS O estudo prévio sobre a geometria espacial, mais especificamente sobre o volume de prisma e pirâmide, mostrou-nos que os professores encontram dificuldades em ensinar o tema em questão, principalmente em relação à visualização de figuras geométricas espaciais. Na intenção de contribuir para a melhoria da compreensão dos professores em relação ao estudo do volume de prismas e pirâmides, nosso trabalho buscou ampliar os estudos já realizados. Nossa hipótese apontava que o software Cabri 3D poderia contribuir, oferecendo aos professores ferramentas necessárias ao desenvolvimento do estudo do volume de prismas e pirâmides. Nosso objetivo era elaborar uma sequência de ensino a partir dos pressupostos da Teoria das Situações Didática e da Teoria dos Registros de Representações semióticas, mediada pelo uso do software Cabri 3D, para reconstruir o conhecimento sobre o volume de prisma e pirâmide, com alguns professores da rede pública estadual e responder a seguinte questão: Como os professores reconstroem seus conhecimentos sobre o volume de prismas e pirâmides utilizando o Cabri 3D como ferramenta de aprendizagem? Separamos nossa pesquisa em duas etapas. Na primeira, aplicamos cinco atividades de exploração do software, com o objetivo de possibilitar aos professores a capacidade de utilizar as ferramentas do software. Além disso, pretendíamos que os professores, na atividade 2, construíssem um triângulo e um retângulo equivalentes. Já na atividade 3, pretendíamos que eles construíssem um pentágono e um triângulo equivalentes. 158

160 Nesta primeira etapa, a partir das construções realizadas no Cabri 3D, das respostas apresentadas nas fichas de atividades e das anotações dos observadores, entendemos que os professores realizaram as atividades com facilidade e apropriaram-se dos conhecimentos envolvidos. Percebemos que os professores utilizaram o software e se apropriaram da utilização das ferramentas do Cabri 3D em relação às atividades propostas. O conhecimento apresentado pelos professores na realização das atividades desta etapa, permitiu que os conduzíssemos a um tratamento dessas generalizações e institucionalizássemos a construção de polígonos equivalentes a um retângulo. Ao analisarmos as atividades deste primeiro grupo, notamos que a maioria dos professores reconheceu, na atividade 2, a equivalência entre o triângulo e o retângulo e, na atividade seguinte, que o pentágono era equivalente ao triângulo. Além disso, perceberam a possibilidade de construir um polígono equivalente a um retângulo pela composição das duas atividades. Na segunda etapa, aplicamos quatro atividades com o objetivo de possibilitar aos professores a reconstrução do conhecimento sobre o volume de prismas e pirâmides por meio de simulações no Cabri 3D e, partir daí compreender a representação gráfica do volume de prismas e pirâmides, determinando as expressões que representam seus volumes. Percebemos que com o desenvolvimento das atividades, os professores foram desenvolvendo a capacidade de visualização das propriedades envolvidas no estudo de figuras espaciais. Entendemos que os professores reconstruíram o conhecimento sobre o volume de prismas e pirâmides, articulando os registros de representação figural, da língua natural e simbólica, já que apresentaram nas atividades do grupo 2 respostas e construções corretas. Salientamos que ocorreu por parte dos professores a preferência, ao apresentar suas respostas na ficha da atividade, pelo uso do registro de representação da língua natural ao registro simbólico. 159

161 Ao final das realizações das atividades do segundo grupo, observamos que houve a articulação entre o registro gráfico, da língua natural e simbólico do volume de prismas e pirâmides. Os professores conseguiram compreender essa articulação. Ressaltamos que o uso do Cabri 3D apresentou grandes contribuições, como recurso dinâmico e auxiliou no processo de compreensão da análise das representações gráficas dos volumes de prismas e pirâmides. A utilização dos princípios da Teoria das Situações Didáticas favoreceu e contribuiu para o enriquecimento do estudo feito sobre os objetos em questão. Parte pela possibilidade de conjecturar e validar suas conjecturas e parte pela diversidade de informações apresentadas pelas duplas. Acreditamos que nossa pesquisa atingiu os objetivos propostos, a nossa hipótese estava de acordo com a capacidade de desenvolvimento apresentada pelos professores e a nossa questão de pesquisa foi respondida, pois os professores reconstruíram os conhecimentos sobre o volume de prismas e pirâmides, priorizando o aspecto de volume como grandeza. Além disso, destacamos a importância do referencial teórico adotado e da utilização do Cabri 3D como ferramenta de simulação. Assim, esperamos que essa pesquisa contribua na área do ensino da Matemática, que se refere ao aprofundamento do estudo do volume de prismas e pirâmides. 160

162 REFERÊNCIAS ALMOULOUD. S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR, ALMOULOUD. S. A. e MELLO, E. G. S. Iniciação à demonstração aprendendo conceitos geométricos. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, Caxambu, Anais... (CD-ROM). Caxambu: ANPED, BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Edgard Brücher, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Introdução. Brasília: MEC/SEF, BROUSSEAU, G. Introdução ao Estudo da Teoria das Situações Didáticas: Conteúdos e métodos de Ensino. São Paulo: Ática, BURATTO, Ivone C. F. Representação Semiótica no ensino da geometria: Uma alternativa metodológica na formação de professores D. M. UFSC, DANTE, L. R. Matemática V.1. São Paulo: Ática, DOLCE, O e POMPEU, J. N.; Fundamentos da Matemática Elementar, São Paulo: Atual EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp,

163 FLORES, C. Olhar, saber, representar: sobre a representação em perspectiva. São Paulo: Musa Editora, GIOVANNI, J. R. e BONJORNO, R. Matemática Completa. São Paulo: FTD, IEZZI, Gelson; Matemática: Ciência e aplicações, São Paulo: Atual JESUS, G. B. Construções geométricas: uma alternativa para desenvolver conhecimentos acerca da demonstração em uma formação continuada. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, LONGEN, A. Matemática Ensino Médio. Curitiba: Editora Positivo, PAVANELO, R. M. O abandono do ensino da geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké, n. 1, p. 7-17, PAVANELO, R. M. e ANDRADE, N. G. Formar professores para ensinar geometria: um desafio para as licenciaturas em Matemática. Educação Matemática em Revista, ano 9, N. 11 A, p , RAMOS, E. E. L. Desenvolvimento dos conteúdos de pirâmide, tronco de pirâmide e prisma para um ambiente hipermídia voltado à geometria. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, ROSALVES, M. Y. Relações entre os pólos do visto e do sabido no Cabrí 3D: Uma experiência com alunos do ensino médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SALAZAR, J. V. F. Gênese instrumental na interação com Cabri 3D: um estudo de transformações geométricas no espaço. Dissertação (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica, São Paulo,

164 SÃO PAULO. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática 2 grau, Secretaria de Estado e Educação. São Paulo, SÃO PAULO. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática/ Coord. Maria Inês Fini. Secretaria de Estado e Educação. São Paulo, SILVA, M. B. A geometria espacial no Ensino Médio a partir da atividade Webquest: Análise de uma experiência. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SILVEIRA, A.M. Proposta Metodológica para o Estudo de Prismas e Pirâmides tendo o Computador como uma Ferramenta de Apoio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) URFJ, Rio de Janeiro, SMOLE, K. C. S. e DINIZ, M. I. Matemática V. 2 São Paulo: Saraiva, STRUIK, D. J. História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, VALENTE, J. A. Por quê o computador na educação? IN: VALENTE, J. A. (Org.) Computadores e Conhecimento: Repensando a Educação. São Paulo: NIED,

165 APÊNDICE A SEQUÊNCIA DE ENSINO GRUPO 1 Atividade 1: Pontos, retas planos. a) Crie 3 pontos no plano horizontal e 2 pontos no espaço, Nomeie os pontos do plano horizontal de A,B,C e os pontos no espaço de D e E. Movimente os pontos. b) Com o botão direito do mouse, modifique o ângulo de visão. c) Crie uma reta e nomeia de r. movimente seus pontos. d) Crie um plano. Movimente seus pontos. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.fam.1. ROTEIRO Abra o Cabrí 3D. Sua área de trabalho se apresentará, conforme Figura 1. Figura

166 O retângulo cinza, chamado de plano base, é utilizado para simular o plano horizontal e os vetores de comprimento 1, que são dois a dois perpendiculares, utilizados para representar os eixos no espaço. Figura 2. Podemos considerar o vetor vermelho como sendo aquele que fornece a direção e sentido do eixo x, o vetor verde fornecendo a direção e sentido do eixo y e o vetor azul fornecendo a direção e o sentido do eixo z. Apague o ponto de intersecção entre os três vetores. Para se familiarizar com as diferentes ferramentas, recomenda-se usar as funções Ajuda de ferramentas e Mudar de vista (a partir do botão direito do mouse mantido pressionado). Figura 3. Para eliminar a última operação realizada, utilize a ferramenta refazer Figura

167 Para criar um ponto no plano horizontal, selecione a opção ponto, conforme indica a figura 5. Figura 5. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra ponto, conforme indica a figura 6. Figura 6. Então, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o plano horizontal, conforme indica a figura 7. Figura 7. Para criar um ponto no espaço, selecione a opção ponto, pressione a tecla shift e clique com o botão esquerdo do mouse no local desejado, conforme indica a figura

168 Figura 8. Para nomear um ponto, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto e digite a letra desejada. Para modificar o ângulo de visão, clique com o botão direito do mouse na área de trabalho e arraste-o rotacionando a figura. Para movimentar o ponto clique com o botão esquerdo do mouse sobre a opção manipulação, conforme a figura 9. Figura 9. Depois clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto que se deseja movimentar, arrastando-o para a posição desejada. Para construir uma reta, clique com o botão esquerdo do mouse na ferramenta reta, conforme indica a figura

169 Figura 10. Em seguida clique com o botão esquerdo do mouse sobre dois pontos por onde a reta passará, como indica as figuras 11 e 12. Figura 11. Figura

170 figura 13: Para criar um plano, selecione a ferramenta plano, conforme indica a Figura 13. Em seguida, clique em três pontos, conforme figura 14. Figura

171 Atividade 2: polígonos equivalentes. a) Crie um triângulo ABC e um ponto T fora da região triangular ambos sobre o plano horizontal. b) Crie um triângulo DEF imagem do triângulo ABC por simetria central em relação ao ponto T. Movimente os pontos A, B, C e T. c) Crie a reta p que passe pelos pontos D e F. d) Crie uma reta q perpendicular à reta p que passe pelo ponto E. Movimente o ponto B. e) Determine o ponto de intersecção G entre as retas p e q. f) Determine o ponto médio M entre os pontos G e E. g) Crie uma reta r paralela a reta p passando pelo ponto M. h) Crie uma reta s paralela a reta q que passe pelo ponto D e outra reta t paralela à reta q passando pelo ponto F. i) Determine o ponto de intersecção H entre as retas r e s e determine o ponto de intersecção I entre as retas r e t. j) Crie um retângulo DFIH e modifique sua cor. Movimente os pontos do triângulo ABC. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma : Iniciais da dupla.fam.3. figura 15. Para construir um triângulo, selecione a opção triângulo, como mostra a Figura 15. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse em três lugares, onde se deseja criar os vértices do triângulo, como mostra a figura

172 Figura 16. Para transformar uma figura por simetria, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra simetria central, como indica a figura17. Figura 17 Depois, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a figura que se deseja transformar, como mostra a figura

173 Figura 18. Depois sobre o ponto referencial sobre a qual a figura será transformada, como mostra figura 19. Figura 19. Para construir uma reta perpendicular selecione a opção perpendicular na barra de opções, como mostra a figura

174 Figura 20. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra Perpendicular e depois sobre a reta já criada no retângulo cinza, como mostra a figura 21. Para a reta ser criada no plano horizontal, mantenha a tecla Cntrl pressionada no momento da criação. Figura 21. Para construir um ponto médio entre dois pontos basta selecionar a opção perpendicular e, em seguida, clicar sobre a expressão ponto médio e clicar sobre os pontos nos quais se deseja encontrar o ponto médio. 175

175 Para construir uma reta paralela selecione a opção perpendicular. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra paralela, como mostra a figura 22. Figura 22. Em seguida, clique na reta suporte à reta que será construída e em um ponto por onde a reta paralela deverá passar, como mostra a figura 23. Figura 23. a figura 24. Para construir um polígono, selecione a opção polígono, conforme indica 176

176 Figura 24. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra polígono, conforme indica a figura 25. Figura 25. Clique com o botão esquerdo do mouse sobre o plano horizontal, determinando a quantidade de pontos do polígono desejado e clicando duas vezes no último ponto para validar o polígono, como mostra a figura 26. Figura

177 Atividade 3:pentágono e triângulo equivalentes. a) Crie um pentágono convexo ABCDE. b) Crie a reta r que contenha os pontos A e B. c) Crie os segmentos e. d) Crie uma reta paralela ao segmento passando pelo ponto C e nomeando-a de s. Depois crie uma reta paralela ao segmento passando pelo ponto E e nomeando-a de t. Movimente o ponto D. e) Marque o ponto de intersecção entre as retas r e s e nomeie de F e o ponto de intersecção entre as retas r e t e nomeie de G. f) Crie o triângulo DFG e mude a cor da sua superfície. Movimente o ponto D. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.expl.2. Atividade 4: paralelepípedos. f) Crie um paralelepípedo sobre o plano horizontal. g) Modifique o estilo de superfície do paralelepípedo para vazio para observar a estrutura do paralelepípedo. h) Crie um plano α paralelo ao plano horizontal e secante 10 ao paralelepípedo. i) Crie o polígono da secção reta 11. j) Modifique o estilo de superfície do retângulo, utilizado para representar o plano α, para vazio e do polígono para hachuras finas. Movimente o plano α. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.expl.3. Para construir um paralelepípedo, basta selecionar a opção Tetraedro na barra de ferramentas, como mostra a figura 32. Figura

178 33. E em seguida, sobre a palavra paralelepípedo xyz, como mostra a figura Figura 33. figura 34. Clique sobre o plano horizontal e, em seguida, no espaço, como mostra a Figura 34. Para criar um plano paralelo selecione a opção perpendicular na barra de ferramentas. E em seguida clicar sobre a palavra paralela, sobre o plano horizontal e por um ponto no espaço, como mostra a figura

179 Figura 35. Para criar uma reta perpendicular ao plano horizontal selecione a opção perpendicular, clique sobre o plano horizontal duas vezes, como mostra a figura 33. Figura 36. Para construir um segmento, selecione na barra de ferramentas a opção segmento, conforme indica a figura

180 Figura 27. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra segmento, conforme indica a figura 28. Figura 28. Em seguida, nos pontos que serão as extremidades do segmento, conforme indica a figura 29. Figura

181 Para mudar a cor da superfície, clique com o botão direito do mouse sobre a figura, que se deseja modificar, sua cor como mostra figura 30. Figura 30. E em seguida, clicar sobre a expressão cor de superfície e selecionar a cor escolhida, clicando sobre ela, como mostra a figura 31. Figura

182 Atividade 5: prismas e pirâmides. a) Crie um quadrilátero e um hexágono, ambos convexos, sem ponto em comum no plano horizontal. b) Crie uma reta perpendicular r ao plano horizontal fora dos polígonos já construídos. c) Crie um vetor sobre a reta r, com origem no plano horizontal. Movimente o ponto extremidade do vetor. d) Construa um prisma definido pelo polígono (base) e pelo vetor. e) Crie um plano α paralelo ao plano horizontal que intersecciona o vetor em sua extremidade. f) Construa uma pirâmide com base no outro polígono e com vértice no plano α. g) Utilize o recurso esconder e esconda o plano α, movimente a extremidade do vetor, para observar a modificação sofrida pelos prismas. Salve sua figura, nomeando o arquivo da seguinte forma: Iniciais da dupla.expl.5. Para construir um vetor, selecione a opção reta e em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a palavra vetor, como mostra a figura 37. Figura 37. Em seguida, clique com o botão esquerdo do mouse em dois pontos distintos, determinando sua origem e sua extremidade, como mostra figura

183 Figura 38. Para construir um prisma selecione a opção Tetraedro e, em seguida, clique sobre a palavra prisma, como mostra a figura 39. Figura 39. Em seguida clique no polígono que será a base do prisma e no vetor de referência, com mostram as figuras 40 e

184 Figura 40. Figura 41. Para criar uma pirâmide selecione a opção Tetraedro e clique sobre a palavra pirâmide, como mostra a figura

185 Figura 42. Em seguida clique sobre o polígono que será a base e sobre o vértice (um ponto no espaço), como mostra a figura 43. Figura 43. Para esconder uma figura geométrica clique com o botão direito do mouse sobre a figura que se deseja esconder e selecione a opção esconder, como mostra a figura

186 Figura 44. Atividade 1: Descobrindo uma Relação j) Crie um paralelepípedo sobre o plano horizontal, Modifique seu estilo de superfície para vazio e nomeie seus vértices de ABCDEFGH. k) Crie o polígono ABCD base do paralelepípedo ABCDEFGH. Que tipo de polígono é formado por sua base? Justifique (é permitido o uso das ferramentas paralelas e perpendiculares para auxiliar em suas justificativas) l) Crie, no plano horizontal, uma reta perpendicular a um dos lados do polígono ABCD, interseccionando-o. Nomeie a reta obtida de r e o ponto de intersecção entre a reta r e o lado do polígono ABCD de J. m) Determine o ponto de intersecção entre a reta r e o outro lado do polígono ABCD e nomeio de K. Crie o segmento. n) Selecione a ferramenta rastro e crie o rastro do segmento, preenchendo completamente o polígono ABCD. o) Que tipo de polígono é formado pelo rastro? Qual é a expressão que representa a área desse polígono? Justifique. p) Construa o polígono determinado por uma secção reta ao paralelepípedo e nomeie seus vértices de LMNO. Que tipo de polígono é formado pela secção reta? Qual é a expressão que representa a área desse polígono? Justifique. 187