GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR AULA 1. Sistemas de Equações Lineares I

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR AULA 1 Sistemas de Equações Lineares I Gustavo Luigi Martin do Amaral ¹ ROCHA DE OLIVEIRA, Samuel. Geometria analítica e álgebra linear Aula 1. Sistemas de equações lineares I. Disponível em: < Acesso em: 23 fev Síntese: Em Matemática, a teoria de sistemas lineares é a base e uma parte fundamental da álgebra linear, um tema que é usado na maior parte da matemática moderna. Deve-se observar que, em primeiro lugar, a equação linear é, necessariamente, uma equação polinomial. Também na matemática aplicada, podemos encontrar vários usos de sistemas lineares. Exemplos são a física, a economia, a engenharia, a biologia, a geografia, a navegação, a aviação, a cartografia, a demografia e astronomia. UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU O curso de álgebra linear e geometria analítica. Basicamente serão vistos ao longo das semanas os seguintes temas: 1. Sistema de equações lineares 2. Solução por substituição. 3. Apresentação matricial de sistemas lineares. Os objetivos deste curso serão o de introduzir os conceitos e as propriedades dos Espaços Vetoriais e Transformações Lineares, com aplicações à solução de sistemas de equações lineares e problemas geométricos em Espaços Euclidianos. Várias incógnitas e várias equações. Fonte: Figura Kiel and Trenberth (1997)

2 As mudanças climáticas devidas a atividade humana por conta dos gases injetados na atmosfera, dentre outras variáveis são, a rigor, um exemplo da aplicação desta matéria. As diversas variáveis já mencionadas poderiam compor um sistema de equações que, ao somarmos esta àquela e subtrairmos outra variável qualquer teríamos, como resultado, um determinado cenário. Todas as informações exemplificadas acima, na figura, como descrito anteriormente a ela podem ser modeladas matematicamente através da criação de equações. Exemplo de equações lineares. Os números aqui são fictícios, mas qualquer uma destas variáveis poderia dizer respeito a um dos itens descritos na figura sobre aquecimento global. Para resolvermos este sistema, poderíamos substituir uma das variáveis, de uma das equações, em outra e assim por diante. Esta é a chamada Solução por Substituição. Solução por substituição. Vemos que neste sistema de equações fictício possuímos três (3) equações e, cada uma destas equações possui três (3) variáveis. Desta forma podemos executar uma diversidade de operações aritméticas. Ainda sim algumas questões nos saltam aos olhos: Este método sempre funcionará? Se substituíssemos de outra maneira, será que eu teria o mesmo resultado? Cada uma destas equações possui um plano geométrico. Executando o método na 3ª equação, isolando uma das variáveis e posteriormente substituindo o resultado nas duas primeiras, teríamos:

3 Executando o método, agora, na 2ª equação, isolando uma das variáveis e posteriormente substituindo o resultado na primeira, temos: E com a equação para z, temos: E finalmente com a equação para y, temos: E a interpretação geométrica seria esta: Representação matricial. Pode ser representado por uma matriz o já mostrado sistema de equações, vejamos: Entendendo melhor o sistema de matrizes e a forma como ele é definido, temos:

4 Nesta figuras temos a seguinte descrição: A é a matriz de três (3) linhas e três (3) colunas 3x3, com os fatores numéricos. v é a matriz de três (3) linhas e uma (1) coluna 3x1, com as incógnitas. b a matriz de três (3) linhas e uma (1) coluna 3x1, com os dados numéricos. Quais métodos nós podemos utilizar para resolver equações lineares em geral? Lembremos que matrizes e vetores são elementos de conjuntos construídos com propriedades algébricas, logo precisamos lembrar um caso dos números Reais onde, como no exemplo abaixo, temos: 8x = 4. Temos uma solução única que é a de x = ½ ou 0,5. No caso 0x = 0... Temos que qualquer número é solução. No caso 0x = 4... Temos que a solução é impossível, não existe. Isto valerá para as matrizes também. Sobre: Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira é bacharel em Física pela Universidade de Brasília (1983), mestre em Física Teórica pela Universidade de Brasília (1986) e Ph.D. in Physics - University Of Texas At Austin (1992). Atualmente é professor Livre Docente da Universidade Estadual de Campinas no departamento de Matemática Aplicada. Tem pesquisa em Física - Matemática, atuando principalmente nos seguintes temas: relatividade geral, gravitação, buracos negros, relatividade numérica, computação científica, astrofísica, equações diferenciais parciais e teorias de Gauge. Gustavo Luigi Martin do Amaral - Acadêmico do Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São Paulo / UNIVESP (Polo Jaú).

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