BALANCEAMENTO DE LINHAS - SOFTWARE INTEGRADO E ESTUDO COMPARATIVO DE MODELOS

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1 BALANCEAMENTO DE LINHAS - SOFTWARE INTEGRADO E ESTUDO COMPARATIVO DE MODELOS Deborah Regina Fujisawa Okuno Universida São Paulo Escola Politécnica Departamento Engenharia Produção Av. Prof. Almeida Prado, Trav., no -9, Cida Universitária São Paulo SP Brasil borah.okuno@poli.usp.br Miguel Cezar Santoro Universida São Paulo Escola Politécnica Departamento Engenharia Produção Av. Prof. Almeida Prado, Trav., no -9, Cida Universitária São Paulo SP Brasil santoro@usp.br RESUMO Este trabalho tem como objetivo senvolver um sistema que permita a solução problemas balanceamentos linhas simples utilizando molos otimizantes, heurísticas construtivas e busca. O software senvolvido utiliza a linguagem programação Visual Basic for Applications (VBA) do Excel integrada com o solver Lingo (versão ). Ele permite ao usuário criar res com características sejadas e escolher quais serão balanceadas e quais serão os molos utilizados ntre oito disponíveis. São apresentados resultados comparativos com respeito à eficiência da solução e o tempo processamento. PALAVRAS CHAVE. Balanceamento linha, Molo otimizante, Heurística construtiva e Heurística busca. Área principal: PM (Programação Matemática), EDU (Aplicações a Educação) ABSTRACT This paper presents a system to solve simple assembly line balancing problems using optimization, constructive and search heuristics mols. The software veloped is going to use the programming language Visual Basic for Applications (VBA) from Excel integrated with the solver Lingo (version ). It will allow the user to create nets with sirable characteristics and choose which ones will be balanced and which mols are going to be used among eight available. There will be presented comparative results with respect to the efficiency of the solution and the processing time. KEYWORDS. Line Balancing. Optimization mol. Constructive heuristics and Search Heuristics. Main Area: PM (Programação Matemática), EDU (Aplicações a Educação) 3

2 . Introdução A primeira linha montagem movida por meios mecânicos foi criada por Henry Ford em 93 (linha do Ford T). Porém, anos pois, as linhas montagem continuavam a ser balanceadas por meio métodos tentativa e erro, inviáveis para problemas grans (EREL; SARIN, 99). Somente em 9, Helgeson formulou a primeira análise do balanceamento linha e Salveson (9) publicou uma formulação matemática e uma sugestão solução através programação linear (GHOSH; GAGNON, 99). Uma linha montagem é uma seqüência finita operações, em que componentes são montados para formar o produto final. Essas operações são elementos trabalho, que pom ser realizadas maneira inpennte, nas trabalho situadas ao longo da linha. Cada uma das correspon a um grupo recursos produtivos, tanto homens quanto máquinas, stinado a realizar apenas as operações da sua estação em um período tempo menor ou igual ao tempo ciclo. O tempo ciclo refere-se ao intervalo tempo entre a saída duas unidas consecutivas uma linha produção, ou seja, o inverso da taxa produção. Além disso, cada operação possui um tempo processamento e relações precedência com as outras. Essas relações precedência são caracterizadas por uma operação i precente e outra j sucessora, sendo que a operação i ve ser executada antes da operação j (Figura ). i Figura : Relação precedência. Assim sendo, um problema balanceamento linha consiste na signação operações em trabalho modo a otimizar um terminado tipo eficiência (por exemplo, minimizar a folga existente nas ), além satisfazer as relações precedência entre as operações (GHOSH; GAGNON, 99). Atualmente, o balanceamento linha é consirado um problema combinatório gran porte como NP-Hard (NIST, ), conforme provado por Wee & Magazine (9). Um problema com N operações sem as relações precedência possui N! combinações possíveis. De acordo com Ignall (9), se existirem R relações precedência, haverá N!/R seqüências distintas, valor este ainda muito gran. Segundo Arcus (9), para um problema composto por operações que pom ser realizadas em qualquer orm (ou seja, sem relações precedência) haverá combinações. É por isso que os molos heurísticos, on não há garantia da melhor solução, são cada vez mais utilizados, substituindo os otimizantes. Deve-se stacar principalmente os heurísticos probabilísticos que reduzem significativamente a procura uma boa solução. De acordo com Ghosh & Gagnon (99), o problema balanceamento linha po ser classificado em quatro categorias: Molo Simples Determinístico, Molo Simples Estocástico, Molo Múltiplo ou Misto Determinístico e Molo Múltiplo ou Misto Estocástico. Os molos simples referem-se à produção contínua pura um único produto, enquanto que os molos múltiplos ou mistos são caracterizados pela produção mais um produto em lotes tamanho variável. Já os molos terminísticos referem-se aos problemas em que as operações possuem um tempo fixo, em oposição aos estocásticos (probabilísticos) em que o tempo das operações é variável, tornando o problema ainda mais complexo. O problema balanceamento linha é típico empresas com produção contínua. Existem vários tipos objetivos a serem otimizados para esse problema, porém, o mais comum é a minimização da folga da linha produção, ou seja, minimização da diferença entre o (número ) x (tempo ciclo) e a (soma dos tempos todas as tarefas). Isso equivale a maximizar a utilização dos recursos produtivos (homens ou máquinas), ou seja, minimizar a ociosida sses recursos, tornando a produção mais eficiente. Esse objetivo po ser atingido utilizando-se o menor número possível para um dado tempo ciclo. j 3

3 Segundo Erel & Sarin (99), a função objetivo para a minimização da folga total po ser expressa por Min z = E Tc O t i i=, em que E é a quantida, Tc o tempo ciclo, O é a quantida operações e t i o tempo execução cada operação. Para o Molo Simples Determinístico, como a somatória do tempo das operações é uma constante (já que o tempo cada operação é constante e finido), tem-se que o problema po ser reduzido a três tipos: Dado o tempo ciclo, busca-se minimizar o número postos ou trabalho ( Min z = E ); Dado o número, ve-se balancear a linha maneira a minimizar o tempo ciclo ( Min z = Tc ); Outro tipo problema seria achar, por iteração, uma combinação do tempo ciclo e do número que minimize o tempo folga ( Min z = E Tc ). Além disso, para que o problema possa ser resolvido, algumas restrições vem ser atendidas. Restrições típicas adotadas para o Molo Simples Determinístico pom ser encontradas em Baybars (9). Neste trabalho, o problema balanceamento a ser resolvido será o Molo Simples Determinístico (conforme a classificação Ghosh & Gagnon). Além disso, o objetivo será a minimização do número trabalho. Molagem Matemática O problema consiste em dado o tempo ciclo, a quantida operações, suas durações em tempo e suas relações precedência, terminar o balanceamento que minimiza o número trabalho, e por conseqüência as folgas nas. Os parâmetros do problema são: o, o,..., oo : conjunto operações; t o ) : tempo execução das operações o, o =,...,O; ( o e, e,..., ee : conjunto ; Tc: tempo ciclo, ve ser maior ou igual que o maior t ( o o ), o =,...,O. A variável cisão para o problema em questão é: se a operação oo for signada para a estação ee, e =,...,E x oe = caso contrário Assim, a formulação do problema é apresentada a seguir: folga E x e= s. a.: x sk O x o= xoe R = e = Tc - =, o =,..., O e= t( o {,} ( p, s) o= Função objetivo : Min folga () oe oe k x pe o O E e= x oe ) Tc t( o o, k =,...,E e e ), e =,...,E ( p, s), e =,..., E R { / o elemento O prece imediatame nte o elemento O } p s () (3) () () () (7) 3

4 A função objetivo () representa a soma das folgas das trabalho. A folga cada estação é calculada pela restrição (). Essa soma ve ser minimizada, modo a obter o menor número possíveis para a re. O conjunto restrições acima representa as seguintes condições: () Folga e representa a folga na estação e, e po ser calculada pela diferença entre o tempo ciclo e a soma do tempo das operações nessa estação. A partir da folga cada estação, po-se calcular a folga total, a qual será minimizada pela função objetivo. Essa folga total também po ser calculada por: Folga Total = E Tc - E O e= o= x t( oe o o ) (3) Cada operação ve ser realizada em uma única estação, pois caso contrário, haveria a duplicação operações. Além disso, todas as operações vem ser executadas. () Entre as operações, existem relações precedência, ou seja, uma operação ve ser realizada antes da outra. Como o agrupamento das operações nas ve seguir essas relações precedência, uma operação O p que prece outra O s ve ser executada em uma estação anterior ou igual à em que será alocada a operação O s sucessora. () O tempo ciclo é o tempo máximo das. Deste modo, nenhuma estação ou operação possui um tempo maior do que o tempo ciclo. A partir ssa restrição é possível obter um número mínimo trabalho, conforme é apresentado a seguir. O t( oo ) o= E = min Tc Assim, o número mínimo é tal que multiplicado pelo tempo ciclo, resulta em um valor maior ou igual à soma do tempo todas as operações. () A variável cisão x oe é do tipo binária, assumindo o valor quando a operação o o é realizada na estação e e, e caso contrário. (7) As operações vem ser numeradas em orm crescente obecendo às relações precedência, tal forma que se O p prece O s, então p < s. 3 Métodos Resolução Segundo Ghosh & Gagnon (99), a primeira abordagem para a resolução dos Molos Simples Determinísticos foi proposta por Salveson (9), por meio da programação linear. Entretanto, essa formulação levava muitas vezes a infactibilida, vido à possibilida divisão das operações na solução ótima. Este problema foi removido pela formulação Bowman (9), que utilizou programação inteira, representando a alocação das tarefas em por meio variáveis binárias ( ou ). A partir então muitos pesquisadores senvolveram aprimoramentos na formulação ótima ste tipo problema, utilizando por muitas vezes o método Branch and Bound, em que o problema inicial é subdividido em vários problemas programação linear até encontrar a melhor solução inteira. Entretanto, ve-se stacar que houve um maior progresso nas abordagens heurísticas para a resolução do problema, as quais fornecem uma solução que po ou não ser a ótima. Isso ocorreu vido à inexistência um método simultaneamente muito rápido e ótimo capaz resolver o problema (NP-hard), bem como vido à necessida resolver problemas grans, semelhantes aos reais, exigindo muita eficiência computacional (GHOSH, GAGNON, 99). Além disso, segundo Kim & Park (99), como o tempo das operações são estimativas que não consiram a variabilida entre trabalhadores e lotes, obter uma solução razoavelmente boa ao invés da ótima po ser aceitável para os engenheiros. Existem duas classes principais molos heurísticos, os construtivos e os busca. Os Heurísticos Construtivos utilizam regras pré-estabelecidas para a formação e pom 33

5 ser subdivididos, por sua vez em construtivos terminísticos e probabilisticos. Já os Heurísticos Busca realizam pela vizinhança soluções, procurando-se obter uma solução melhor. Neste trabalho serão utilizadas três abordagens para a resolução dos problemas: a otimizante, a heurística construtiva e a heurística busca. 3. Molos Otimizantes Os Molos Otimizantes são aqueles que encontram a solução ótima para o problema, s que ela exista. O problema otimização consirado é do tipo combinatorial e faz parte da classe problemas NP-Hard (GHOSH e GAGNON, 99), tornando-se impraticável para problemas gran porte. Neste trabalho utilizou-se programação linear mista com o software Lingo para resolver os molos otimizantes. O Molo Otimizante Simples senvolvido segue a formulação proposta no item. É o molo clássico para otimização do balanceamento uma linha produção. O software senvolvido contém também o Molo Otimizante Ponrado que atribui pesos às em orm crescente, forçando o preenchimento das iniciais. A seguir são apresentadas as diferenças formulação em relação ao otimizante simples: Função objetivo : Min E e+ E e= folga e peso e s. a.: pesoe =, e =,...,E () Como po ser observado, a nova função objetivo () é viesada pelo peso cada estação, modo que as primeiras são preferencialmente preenchidas. Assim, a restrição do peso (), fine o peso cada estação exponencialmente, a partir da quantida. Esse molo está disponível no software, porém, não foi utilizado no presente trabalho. 3. Molos Heurísticos Construtivos Os molos Heurísticos Construtivos utilizam regras pré-estabelecidas para a formação e pom ser subdivididos, por sua vez em construtivos terminísticos e probabilisticos em função possuírem regras terminísticas ou probabilísticas para a formação. Os Heurísticos Determinísticos utilizados nesse trabalho basearam-se na terminação seqüências factíveis operações (ou seja, obecem às precedências) através da aplicação regras terminísticas. No software senvolvido, as regras são a escolha da tarefa com o maior tempo operação ntre as candidatas a entrarem na seqüência em formação ou a escolha da tarefa com a maior soma tempos da operação e suas sucessoras imediatas na re a ser balanceada. Cada molo gera uma única seqüência factível a partir da qual formam-se as trabalho seqüencialmente, limitadas pelo tempo do ciclo. Os Heurísticos Probabilísticos utilizados nesse trabalho basearam-se no Método COMSOAL (Computer Method of Sequencing Operations for Assembly Lines), senvolvido por Arcus (9). A idéia básica do método é gerar balanceamentos viáveis (conjuntos ) alocando seqüencialmente operações às através sorteio. No software senvolvido o sorteio ou é equiprovável ou é viesado através do tempo operação das tarefas candidatas a entrarem na estação em formação ou através da soma tempos da operação e suas sucessoras imediatas na re a ser balanceada. Cada iteração resulta num balanceamento viável que po ser diferente dos anteriormente gerados, uma vez que o procedimento é aleatório. Durante as, é guardada a melhor solução encontrada. O procedimento cessa quando um ou mais critérios parada são atingidos, sendo comum os seguintes critérios: Tempo máximo processamento especificado; máximo especificado; Obtenção solução que aten a limitante mínimo teórico; máximo sem melhoria significativa; Atendimento limitante solução especificado. Neste trabalho foram utilizados os três primeiros critérios. () 3

6 3.3 Molo Heurístico Busca Neste trabalho utilizou-se o molo busca conhecido como Simulated Annealing. É um molo heurístico busca que tem se mostrado aquado para resolução problemas combinatórios NP completos (NP-Hard). É classificado como molo busca estendido porque através le é possível fugir ótimos locais, diferentemente do que acontece com os molos busca direta. É fácil implementação computacional. O simulated annealing teve origem com o trabalho simulação da solidificação substâncias funntes ( phisical annealing ) por Metropolis (93), sendo associado aos problemas otimização por Kirkpatrick em 93. Os parâmetros consirados foram os seguintes: Temperatura Inicial: ; Taxa resfriamento:,; Nº temperaturas diferentes: ; Iterações por temperatura: ; Critério parada: número ou obtenção solução que aten a limitante mínimo teórico. A escolha da solução vizinha é feita por sorteio duas adjacentes, seguida da escolha uma tarefa viável troca numa das e das tarefas viáveis serem trocadas na outra estação. Por fim, realiza-se o sorteio da troca. O pseudocódigo do programa encontra-se a seguir: Pseudo código (minimização) Selecione um estado inicial I S; Selecione uma temperatura inicial To; t= (contador mudança temperatura); Repeat n= (contador na temperatura) Repeat Gere estado j vizinho i; Calcule d = f(j)-f(i) If d < (melhorou) then i:=j else (piorou) -d /T if random(,)<e then i:=j n:=n+ until n=n(t); t:=t+; T:=T(t); until critério parada = TRUE. Programa Balanceamento Em relação ao trabalho Santoro (3), o presente trabalho introduz uma heurística busca, substitui o software otimização pelo Lingo, o qual po ser consirado muito mais aquado a este tipo molagem, e integra planilha (Excel), linguagem programação (VBA) e solver (Lingo). Além disso, possui funcionalidas como um procedimento simples para geração arquivos res para balanceamento. O programa senvolvido envolve três componentes totalmente integrados no trabalho: O software MICROSOFT Excel; A linguagem programação VBA (Visual Basic for Applications); O solver programação mista linear e inteira do software Lingo (versão ). O programa promove a integração entre os softwares Lingo e Excel por meio da linguagem programação VBA. Essa integração po ser representada pela Figura. As rotinas foram escritas em VBA e as entradas e saídas são colocadas em planilhas Excel. Além disso, o Script do Lingo fica numa planilha Excel e o Lingo é chamado internamente pelas 3

7 rotinas escritas em VBA. Dessa forma o usuário cadastra os parâmetros e dados do problema no Excel, tecla botões na mesma planilha para executar as rotinas que, por sua vez, colocam os resultados em outras planilhas do mesmo arquivo Excel. VBA Gerador res VBA Balanceamento VBA Lingo VBA Resultados Parâmetros Gerador res Res Dados preparados para o Lingo Resultados dos Molos e Resultados finais TCiclo Molos Figura : Integração entre o Lingo e o Excel. O software permite gerar instâncias re para o experimento a partir parâmetros geração fornecidos e essas instâncias pom ser balanceadas utilizando-se diferentes tempos ciclo e os até métodos balanceamento conforme mostrado na Tabela I. Tabela I: : Molos Balanceamento Disponíveis. Código do Molo Descrição Molo Otimizante Simples Molo Otimizante Ponrado 3 Molo Heurístico Determinístico viesado pelo tempo Molo Heurístico Determinístico viesado pela soma dos tempos Molo Heurístico Probabilístico Equiprovável Molo Heurístico Probabilístico viesado pelo tempo 7 Molo Heurístico Probabilístico viesado pela soma dos tempos Simulated Annealing A seguir são apresentadas algumas finições necessárias para o entendimento da geração instâncias do procedimento experimental: n(n ) Precedências Máximo : máximo ligações (teórico) =, on n correspon à quantida total operações. Precedências da Re Densida da Re =. Precedências Máximo Os critérios parada utilizados foram: Otimizantes: ilimitado. Heurísticos construtivos probabilísticos : máximo e tempo máximo segundos. Com o objetivo verific ar a eficiência dos molos balanceamento linhas, inicialmente foram utilizados cinco molos, o molo (Molo Otimizante Simples), o molo (Molo Heurístico Probabilístico Equiprovável), o molo (Molo Heurístico Probabilístico viesado pe lo tempo), o molo 7 (Molo Heurístico Probabilístico viesado pela soma dos tempos) e o molo (Simulated Annealing). Foram geradas res e instâncias conforme Tabela II. 3

8 Tabela II: Parâmetros utilizados nos Resultados Computacionais. OPERAÇÕES DA REDE Operações Passo Passos DENSIDADE DA REDE Densida, Passo, Passos Foram geradas res (com e 3 operações) As res têm nsidas, e, Nº DE REPETIÇÕES Foram geradas repetições cada re res problemas instâncias TEMPO MÍNIMO TEMPO MÁXIMO As tarefas têm duração entre e TEMPOS DE CICLO e MÉTODOS DE RESOLUÇÃO. Resultados e Conclusões As instâncias foram analisadas sob duas perspectivas: Tempo processamento; Eficiência da solução encontrada. Inicialmente, serão apresentados os resultados para o tempo ciclo. A Tabela III apresenta um resumo dos resultados para os problemas balanceados. Molo Tabela III: Comparação entre os métodos resolução para tempo ciclo. tempo Desvio Padrão do tempo execução (seg) Tempo execução número Mod,9,,%,9,% Mod,,7,%,9,% Mod,, 7,7%,9,% Mod 7,7, 9,%,9,% Mod,3,,7%,9,% Como se po perceber, os molos,, 7 e são mais rápidos do que o molo, por serem métodos heurísticos. Mesmo assim, os molos heurísticos encontraram a solução ótima para todas as res, com exceção do molo, o qual encontrou a mais do que o molo otimizante ((,9 -,9) x = ). Os gráficos da Figura 3 mostram em talhes cada uma das instâncias resolvidas. Deve-se observar que, aparentemente, quanto maior o número operações e quanto menor a nsida da re, maior a dificulda em encontrar a solução ótima. Já para o tempo ciclo, os resultados se mostraram mais significativos. A Tabela IV apresenta um resumo dos resultados obtidos nesta nova simulação. Percebe-se que os molo heurísticos apresentam tempo processamento menor, porém geram algumas a mais. O molo mais eficiente é o (probabilístico por tempo), enquanto que menos eficiente é o molo (Simulated Annealing). É interessante observar (Figura ) que os molos heurísticos encontram gran parte das soluções, mas que eles apresentam maior dificulda nas res em que há uma maior quantida operações. Isso po 37

9 ser resultado do maior número combinações possíveis nas res com maior quantida operações. Também se observa que, neste caso, as res com maior nsida apresentaram maior dificulda, havendo situações em que nenhum dos molos heurísticos foi capaz encontrar a solução ótima. Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a 3 Res com nsida, e número operações igual a Molo Figura 3: x para tempo ciclo. Tabela IV: Comparação entre os molos resolução para tempo ciclo. tempo Desvio Padrão do tempo Tempo execução número Mod,,79,% 7,,% Mod,, 7,7% 7,7,3% Mod,37,77,% 7,,9% Mod 7,,93,% 7,,% Mod,, 9,% 7,3 3,% Percebe-se também que a quantida máxima por molo é o critério parada limitante. Sendo aumentada, é provável que os molos, e 7 porão encontrar as soluções ótimas para estas res, ou pelo menos diminuir a quantida média geradas. Para verificar a veracida ssas afirmações, realizou-se uma análise para um número máximo 3, e 9, com as mesmas res, para o tempo ciclo, já que para o tempo ciclo, os molos se mostraram extremamente eficientes. Garantiu-se que o tempo máximo execução não fosse o critério limitante. O número para o molo otimizante é, pois, conforme a Tabela IV, a quantida média por re é 7, e há res (7, x = ). Os resultados são apresentados nas Tabela V, Tabela VI e Tabela VII. Como se po observar, a melhor eficiência dos molos não ocorreu necessariamente quando houve uma maior quantida, pois em alguns casos, a eficiência foi melhor quando se realizou apenas, ao invés 3 (no caso do molo ) ou quando se realizou 3 contra (no caso do molo ). Entretanto, percebe-se uma tendência em encontrar melhores soluções quanto maior for o número. Além disso, é importante observar que a variação do tempo médio execução dos molos com o aumento do 3

10 número é significativa, porém, em termos absolutos, o tempo é insignificante. Assim, percebe-se que a quantida não representa um fator gran significância e que os molos se mostram muito eficientes para encontrar a solução ótima. Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a 3 Res com nsida, e número operações igual a Iterações Figura : x para tempo ciclo. Tabela V: Aumento na quantida máximas para molo. tempo Desvio Padrão do tempo Molo Total geradas número,, 9,%,7 7,% 3,37, 7,% 7,7 77,%,7,9,%,,% 9,9,73 7,%,3 3,% Iterações Tabela VI: Aumento na quantida máximas para molo. tempo Desvio Padrão do tempo Molo Total geradas número,37,77,7% 9, 9,% 3,, 7,% 9,7 97,%,7 7,7,7% 3,7 37,% 9,7,9,3%,,% 39

11 Iterações Tabela VII: Aumento na quantida máximas para molo 7. tempo Desvio Padrão do tempo Molo 7 Total geradas número,,93,% 3, 3,% 3,3 3,79,7% 3,7 37,%,,7,%,7 7,% 9 3,3,9,3% 7, 7,% Para analisar melhor a eficiência dos molos heurísticos (3,,,, 7 e ), realizou-se um estudo comparativo, com res mais complexas, ou seja, com maior número operações ( e operações). Neste estudo, adotou-se como critério parada a quantida máxima (). A Figura e a Tabela VIII apresentam os resultados ssa nova simulação. Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a Res com nsida, e número operações igual a Figura : x com molos heurísticos. Como se po observar, o molo mais eficiente é o molo (viesado por tempo), seguido pelo molo 7 (viesado pela soma), enquanto que os molos menos eficientes são os terminísticos (3 e ). No caso res mais complexas, percebe-se que o tempo execução médio cada uma das instâncias variou significativamente, sendo expressivamente maior no caso dos molos probabilísticos. O Simulated Annealing, mesmo realizando uma maior quantida ( x = ), apresentou não só uma eficiência intermediária, mas também um tempo execução médio menor do que os molos probabilísticos. Um motivo para isso ve ser o provável encontro diversas soluções vizinhas com a mesma folga ou pior. É importante ressaltar que o programa senvolvido está em fase aprimoramento. Há a intenção em adicionar novas heurísticas para comparação, além otimizar o código dos molos já existentes, modo a diminuir o tempo execução. Ainda preten-se estudar a

12 parametrização do Simulated Annealing, para melhorar o seu sempenho em relação aos outros molos heurísticos. Molo Tabela VIII: Resultados dos molos heurísticos para res com e operações. tempo execução (seg) Desvio Padrão do tempo execução (seg) Tempo execução Média do número Média do número Mod 3,7,37,%,7 3,%,% Mod,,9,7%,9,%,% Mod 9, 7,977 7,%,,%,,% Mod 7, 7,77 97,%,7,%,,% Mod 7, 7,7,7%,,%,3 3,% Mod,, 3,9%,,7% 9,37 937,%. Referências Bibliográficas Arcus, A. L. (9). COMSOAL: A computer method of sequencing operations for assembly lines. International Journal of Production Research,, Baybars, I. (9). A survey of exact algorithms for the simple assembly line balancing problem. Management Science, 3,. Bowman, E.H. (9). Assembly line balancing by linear programming, Operations Research, (3), Erel, E., Sarin, S. C. (99). A survey of the assembly line balancing procedures. Production Planning & Control, vol. 9, no., -3. Ghosh, S., Gagnon, R. J. (99). A comprehensive literature review and analysis of the sign, balancing and scheduling of assembly systems. Introduction Journal of Production Research, Vol. 7, No., Ignall, E. J. (9) A review of assembly line balancing. Journal of Industrial Engineering, vol., p. -. Kim, H.; Park, S. (99) A strong cutting plane algorithm for the robotic assembly line balancing problem. International Journal of Production Research, vol. 33, p Kirkpatrick, S., Gelatt, C. D., Vecchi, M. P. (93) Optimization by simulated annealing. Science,, 7-. Metropolis, N. et al, (97) Equation of state calculations by fast computing machines. Journal Chem. Phys.,, 7-9. National Institute of Standards and Technology - NP-HARD. Disponível em: < Acesso em: fev.. Rekiek, B., Dolgui, A., Delchambre, A., Bratcu, A. (). State of Art of Optimization Methods for Assembly Line Design. Annual Reviews in Control,, 3-7. Salveson, M. E. (9). The Assembly Line Balancing Problem. Journal of Industrial Engineering, vol, no 3. Santoro, M. C. (3) Planejamento, Programação e Controle da Produção. Apostila, vol., p. -3. Santoro, M. C., Fonseca, R. S. C. (). Software para Balanceamento Linhas. Anais do Encontro Nacional Engenharia Produção, Porto Alegre. ENEGEP. Wee, T. S., Magazine, M. J. (9). Assembly line balancing as generalized bin packing, Operations Research Letters,, -.