AVALIAÇÃO DE HEURÍSTICAS PARA O P Cmax ATRAVÉS DO AMBIENTE DE METACOMPUTAÇÃO CORE

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1 AVALIAÇÃO DE HEURÍSICAS PARA O P Cmax ARAVÉS DO AMBIENE DE MEACOMPUAÇÃO CORE Felipe Martins Müller Alex Marin Haroldo Gambini Santos Viviane Cátia Köhler Universidade Federal de Santa Maria-Campus Universitário-Bairro Camobi CEP -00 Santa Maria-RS Brasil {felipe, marin, haroldo, viviane}@inf.ufsm.br Abstract: he aim of this paper is to compare the performance of constructive and improvement heuristics combined in different ways. Each combination was tested in identical parallel machine scheduling problems, which consists in scheduling n jobs on m identical parallel machines in order to minimize the maximum completion time (makespan). he applied heuristics are available at the Combinatorial Optimization Resource Management Environment (CORE) that provides tools to run and evaluate the quality of the solutions as well the execution time. Keywords: framework,machine scheduling, parallel machine. Introdução: Este artigo trata de uma classe de problemas de sequenciamento (scheduling) conhecida como P C max, segundo classificação de Lawler et al.(). Inicialmente será realizada uma descrição do problema em questão de maneira a permitir um melhor entendimento do trabalho proposto. O problema de sequenciamento consiste em alocar n tarefas independentes, J,..., Jn a m máquinas paralelas idênticas M,..., M m, de uma forma não-preemptiva. Supondo n m e que cada tarefa J j tem um tempo de execução inteiro e positivo pj, o objetivo do problema é minimizar o tempo de finalização máximo das tarefas (makespan) definido como: C = max{ C }, onde Ci é o tempo de execução de todas as tarefas alocadas a max i=,..., m i máquina M i. Os algoritmos para a solução dos problemas de sequenciamento apresentados nesse trabalho são classificados em heurísticas construtivas e heurísticas de melhoramento. As heurísticas construtivas, geralmente são rápidas e possuem um tempo finito de execução. As heurísticas de melhoramento, partem de uma solução inicial qualquer, e através de movimentos de vizinhança, como troca de tarefas entre os processadores, tentam reduzir o tempo máximo de finalização do processador mais carregado, até o momento em que não existem mais movimentos de melhora. Os métodos heurísticos utilizados neste artigo encontram-se disponíveis no Ambiente de Gerenciamento de Recursos de Otimização Combinatória CORE, desenvolvido por Santos (00), o qual consiste em uma arquitetura baseada na estrutura ENEGEP 00 ABEPRO

2 da Internet, que suporta a execução remota e distribuída de diferentes métodos de resolução para problemas de otimização combinatória. Através do ambiente CORE, é possível a construção de planos de otimização, incluindo a criação de heurísticas híbridas. A execução controlada de diferentes planos de otimização sobre instâncias de teste produz dados que podem ser usados para a avaliação da qualidade de solução e velocidade de execução dos métodos selecionados. Heurísticas Uma heurística construtiva trivial para o P Cmax foi desenvolvida por Graham (), denominada LP (Longest Processing ime). Este algoritmo propõe um sequenciamento através da alocação das tarefas aos processadores obedecendo uma ordem não crescente dos tempos de. Considera-se, inicialmente, a alocação da tarefa de maior tempo de, alocando subsequentemente o restante das tarefas, selecionando, a cada iteração, o processador menos carregado até que todas elas sejam alocadas. O algoritmo Multifit proposto por Coffman et al. () para o problema P Cmax, transforma o problema de sequenciamento de tarefas em um problema de empacotamento (bin packing problem). Para isso, considera-se que cada processador corresponde a uma caixa, no caso de processadores idênticos, a caixa mais carregada corresponde ao processador mais carregado. As tarefas a serem processadas correspondem aos itens a serem armazenados. O algoritmo de empacotamento utilizado para o Multifit é o FFD (First Fit Decreasing) que faz uma pré-ordenação dos itens a serem alocados em ordem não crescente de seu tamanho. No momento da alocação, o item é designado à primeira caixa, na qual é passível de alocação (não excedendo a capacidade da mesma) ou, então, uma nova caixa é criada. Na implementação do algoritmo Multifit necessita-se de um limitante superior e um inferior para o tamanho das caixas utilizadas no algoritmo FFD. Definidos esse parâmetros, faz-se um processo iterativo, atualizando os limitantes inferiores e superiores da solução, considerando as seguintes situações: no caso de falta de espaço para a alocação das tarefas, aumenta-se o tamanho das caixas, caso contrário, diminui-se o tamanho dessas. Na implementação desenvolvida nesse trabalho, utilizou-se como critério de parada a igualdade entre os limitantes. O algoritmo 3-Fases, desenvolvido por Müller (3), foi dividido em duas partes, de modo que a Fase será considerada como uma heurística construtiva e as fases restantes como uma heurística de melhoramento. Na Fase o algoritmo faz uma alocação inicial das tarefas, não utilizando para isso qualquer tipo de ordenação. O critério de distribuição das tarefas nos processadores utiliza o conceito de intervalos, possibilitando uma divisão equilibrada das tarefas nos processadores. A divisão da heurística de 3-Fases em dois métodos independentes possibilita experiências de combinação com outros métodos. Na Fase, onde a divisão de carga é melhorada, move-se, sucessivamente, uma tarefa da máquina mais carregada para a menos carregada utilizando, para restrições nas buscas, uma indicação para o intervalo mais promissor. Finalmente, na Fase 3, tenta-se um ajuste mais fino da solução, através da troca simultânea de duas tarefas pertencentes a máquinas diferentes. O algoritmo 0/-Interchange apresentado por Finn e Horowitz () inicia alocando n tarefas as m máquinas em uma ordem aleatória. A fase de melhoramento, inserida no ambiente CORE, faz uma ordenação das máquinas de modo que C C... Cm. Seja d=c -Cm a diferença entre os tempos de finalização da máquina mais carregada e da menos carregada. Se existir uma tarefa na máquina M, cujo tempo de pj é menor que d, então esta tarefa é retirada de M e realocada em Mm. O ENEGEP 00 ABEPRO

3 algoritmo continua com uma nova ordenação das máquinas de acordo com suas novas cargas, recalcula d e busca por uma tarefa na nova máquina M cujo tempo de seja menor que d e realiza a troca. O algoritmo continua até que nenhuma tarefa em M satisfaça a condição pj < d. A heurística Improved 0/-Interchange é uma melhoria implementada por Langston () nos procedimentos do algoritmo 0/-Interchange que evita uma alocações iniciais problemáticas, com muitas tarefas grandes alocadas a um único processador, baseou-se na distribuição das m maiores tarefas, uma a cada processador, distribuindo as demais, após ordenadas por seu valor, ao processador menos carregado. O desempenho deste algoritmo é melhor que o 0/-Interchange. 3 O PROJEO CORE O projeto CORE (Combinatorial Optimization Resource Management Environment) consiste em um ambiente acessível pela Internet que suporta a execução remota distribuída de diferentes métodos de resolução para problemas de otimização combinatória. O ambiente oferece um conjunto de métodos heurísticos e metaheurísticos, que podem ser dinamicamente combinados para a obtenção de melhores resultados na solução de problemas de grande interesse científico e industrial. Figura Criação de um plano de otimização no ambiente CORE Figura Visualização dos resultados de execução Utilizando-se interfaces gráficas intuitivas, é possível a criação de planos de otimização (Figura ), que consistem em estratégias para a solução de problemas (seleção de métodos e configuração de seus respectivos parâmetros) que serão executados sobre instâncias de teste ou instâncias enviadas pelo usuário. Os planos de otimização são resolvidos utilizando-se recursos computacionais distribuídos e heterogêneos, de maneira transparente para o requisitor do serviço. Uma vez enviado um plano de otimização para a execução em um servidor remoto, o usuário pode acompanhar, em tempo real, o processo de resolução do plano (Figura ) ou solicitar o envio de um com os resultados. A inserção novos de métodos de otimização no ambiente requer a observância de um conjunto de padrões de projetos (frameworks). A utilização destes padrões favorece a reutilização de código no desenvolvimento de novos métodos e garante compatibilidade com os métodos disponíveis. Este modelo de desenvolvimento permite que equipes independentes de desenvolvimento trabalhem em métodos de resolução cooperantes. ENEGEP 00 ABEPRO 3

4 Para facilitar extensão dos recursos, utilizou-se o paradigma de orientação a objetos no projeto e implementação do ambiente de execução e dos métodos de otimização. A linguagem de programação escolhida foi Java, por ser independente de plataforma e suportar completamente a orientação a objetos. Como tecnologia para objetos distribuídos utilizou-se RMI (Remote Method Invocation) (Farley, ). Mais informações sobre o projeto CORE podem ser encontradas em (Müller et al. 00), ou na página do projeto ( 4 Resultados Computacionais Realizou-se combinações heurísticas utilizando os métodos contidos no CORE para o problema P Cmax. Os testes foram executados utilizando m=, 0, e n=0, 0, 00, 00 e 000 e tempos de nos intervalos [,00], [,000], [,0000]. Para cada combinação dos valores acima foram gerados 0 problemas de acordo com as distribuições uniforme, exponencial e normal, totalizando 0 instâncias. Os resultados obtidos são sumarizados em grupos de 0 instâncias, a não ser quando o número de problemas resolvidos na otimalidade tenha sido menor que 0, nesse caso, o número vem indicado entre parênteses, com as médias tomadas em relação a ele. Das 0 instâncias testadas, o algoritmo exato encontrou 40 soluções (utilizando um limite de tempo de 000 segundos para cada instância). As variáveis utilizadas nas tabelas,, 3 e 4 são definidas da seguinte forma: m = número de processadores; n = número de tarefas; ' ' ' opt : 00 ; opt : 00 ;... ; opt : 00 x opt x opt x onde : opt: valor ótimo global; : makespan para i=,...; onde temos as seguintes combinações de algoritmos: ' i i= LP com Improved 0/ Interchange; i= LP com 0/ Interchange; i= 3 LP com 3-Fases; i= 4 Multifit com Improved 0/ Interchange; i= Multifit com 0/ Interchange; i= Multifit com 3-Fases; i= ª fase do algoritmo 3-Fases com Improved 0/ Interchange; i= ª fase do algoritmo 3-Fases com 0/ Interchange; i= ª fase do algoritmo 3-Fases com 3-Fases. t ' i : média dos tempos de CPU, em milisegundos, gastos pela heurística, considerando um conjunto de dez instâncias teste. Seguem-se 4 tabelas referentes a execução de planos de otimização com variações dos parâmetros acima relacionados. Os testes foram realizados em um computador com processador Pentium IV GHz com 34 MB de memória RAM, rodando sistema operacional Linux com kernel.4.3. Utilizou-se como ambiente de execução Java o Sun JDK opt ENEGEP 00 ABEPRO 4

5 m n ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4,0 3, 0,3 0 0,34 0,34 0,030 0,04 0,04 0,0 0,, 0,0 00 0,0 0,0 0,000 0,030 0,030 0,0 0,4 0,3 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,04 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,034 0, ,403,403 0,330 0,33 0,33 0,33 3,43,433 0,4 00 0, 0, 0,00 0, 0, 0, 0,0, 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,03 0,04 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,00 0,0 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,4 0,000 00,, 0,3 0,000 0,000 0,000,,03 0, ,0 0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,30 0, 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,04 0,3 0,000 abela Resultados distribuição exponencial Intervalo[,00] m n t t t 3 t 4 t t t t t 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,000 0,00 0,00 0 0,400 0,300,00 0,000 0,000 0,00,00 0,000 0, ,400 0,00 0,300 0,000 0,000 0,000,00 0,00 0,400 00,00,00,00 0,00 0,00 0,00,00 0,00 0, ,300,00 3,00 0,000 0,000 0,400 3,00 3,00, ,400 0,00 0,300 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 0,000 0,000 0,300 4,00 0,400 0,400 00,00,00,00 0,000 0,000 0,00,00,400 0, ,400 3,400 3,00 0,000 0,000 0,00,00,400, ,300 0,00 0,400 0,000 0,000 0,00,400 0,300 0, ,00 0,400,00 0,000 0,000 0,00 3,00 0,00 0, ,00 3,00 4,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00, ,300 4,00,000 0,00 0,00 3,300 3,300 3,400 3,300 abela - Resultados distribuição Exponencial Intervalo[,00] ENEGEP 00 ABEPRO

6 m n , 0, 0,000 0,000 0,000 0,000,4,43 0, 0 0,0 () 0,03() 0,03() 0,4 () 0,4 () 0, () 0,4 (),4 () 0,0 () 00 0,04 () 0,04 () 0,00 () 0,0 () 0,0 () 0,0 () 0,4 () 0,3 () 0,00 () 00 0,00 0,00 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0, ,00 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,003 0,033 0, (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 00 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 00 3,3 () 0,04() 0,00(), () 0,003 () 0,003 (),34 () 0,3 () 0,00 () 000 0,003 0,003 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,3 0, ,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 00 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 000 0,0 () 0,03 () 0,00() 0,003 () 0,003 () 0,003 () 0,0 () 0,0() 0,00 () abela 3- Resultados distribuição exponencial Intervalo[,0000] m n t t t 3 t 4 t t t t t 0 0,300 0,00 0,300 0,00 0,000 0,00 0,400 0,00 0,00 0 0,00 0,000 0,000 0,00 0,000 0,000,00 0,000 0, ,00 0,00 0,000 0,300 0,000 0,000 4,00 0,000 0,00 00,00,400 0,000 0,400 0,000 0,300 4,00,00, ,00 3,00 4,400 0,400 0,00 0,300 33,00 4,00, ,300 0,00 0,00 0,000 0,000 0,300,00 0,00, ,00 0,400 0,00 0,00 0,000 0,400 4,00 0,00 0,00 00,00,00, 0,00 0,00 0,43,00,00, ,00 3,00 4,00 0,00 0,00 0,300,00,00,00 0 0,00 0,000 0,300 0,000 0,000 0,000,00 0,000 0, ,00 0,00,300 0,00 0,000 0,300,00 0,300,300 00,300,00 4,00 0,00 0,00 0,300,000,000, ,00 3,400, 0,400 0,00,000 34,00,00,333 abela 4- Resultados distribuição exponencial Intervalo[,0000] Os resultados acima indicam que as combinações da ª fase do algoritmo 3 fases combinado com Improved 0/ Interchange e 0/ Interchange apresentam qualidade de solução inferior e um tempo de execução total maior no das tarefas, comparando-se com outras combinações avaliadas. Este comportamento também é verificado para a distribuição Uniforme e Normal nos intervalos [,000] e [,0000]. ENEGEP 00 ABEPRO

7 Intervalo Distribuição Fator F-critical F-value P-value Algoritmos,044 3,030 0,0004 Exponencial empo,044,04,43 x 0 - Algoritmos,044 3,00 0,0004 P j Є [,00] Normal empo,044,43 4,40 x 0-0 Algoritmos,044 4,404 4,0004 x P j Є [,000] P j Є [,0000] Uniforme Exponencial Normal Uniforme Exponencial Normal Uniforme 0-0 empo,044,040 4, x 0-0 Algoritmos,0330,43 0,003 empo,0330,43,333 x 0-0 Algoritmos,0400,44 0,04 empo,0400,030 4,33 x 0-0 Algoritmos,0400 3,44 0,0003 empo,0400,4440 0,030 Algoritmos,0330 0,0033 0, empo,0330,40,3 x 0-0 Algoritmos,04, 0,04 empo,04,30,034 x 0-0 Algoritmos,04,44 0,404 0 empo,04,03,3 x 0-0 abela - Resultados ANOVA O teste ANOVA (analysis of variance) fator único, apresentado na tabela foi realizado para verificar a qualidade de solução e o tempo total gasto pelo algoritmo para a resolução das instâncias. Os testes foram conduzidos separando os resultados em conjuntos, os quais são subdivididos em três intervalos, sendo que cada intervalo tem a distribuição normal, exponencial e uniforme das tarefas. A hipótese inicial do método (H 0 ) é que todos os algoritmos analisados apresentem resultados iguais em relação ao tempo de e a qualidade de solução, considerando um nível de significância de %. Como na tabela F-critical > F-value, rejeita-se a hipótese H 0, concluindo-se com nível de % que há diferença significativa entre os algoritmos. Para avaliar quais algoritmos apresentam diferença significativa foi aplicado o teste ENEGEP 00 ABEPRO

8 t, teste clássico para comparar médias, o qual evidenciou que e apresentam qualidade de solução e tempo de significativamente inferiores que seus concorrentes. Deve-se ressaltar também, que composições que utilizam a fase de melhoramento do algoritmo de 3-Fases com o algoritmo construtivo Multifit apresentam tempo de consideravelmente inferior a composições com outros métodos construtivos. Ainda, em geral, o método de melhoramento de 3-Fases apresenta qualidade de solução superior aos concorrentes. Conclusões A utilização do ambiente CORE para realização dos testes apresentados neste trabalho possibilitou uma exploração mais livre das possibilidades de combinação de heurísticas. O processo de adaptações de códigos e recompilações não foi necessário, pois todas as heurísticas já estavam desenvolvidas de acordo com o framework disponibilizado pelo projeto CORE. Dessa maneira, foi possível uma maior dedicação ao cruzamento eficiente de dados e a análise estatística. As informações apresentadas nesse trabalho podem ser utilizadas tanto para o aprimoramento das técnicas heurísticas aqui discutidas quanto para o desenvolvimento de metaheurísticas mais robustas, que incorporem os elementos positivos de cada método heurístico simples. Bibliografia Cofman Jr., E.G., Garey, M.R. & Johnson, D.S. (), An Application Of Binpacking o Multiprocessor Scheduling. Siam Journal On Computing,, - Farley, J. Java Distributed Computing. USA : O'Reilly,. Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A H.G. and Shmoys, D.B. (), Sequencing and scheduling: algoritms and complexity, Report BS-R0, Center Os Mathematics And Computer Science, Amsterdan. Martello, S., oth, P. Knapsack Problems: Agorithms and Computer Implementations, John Wiley, 0. Muller, F.M.; Santos, H.G.; Araújo, O.C.B. CORE Combinatorial Optimization Resource Management Environment. CARS & FOF 00 - th International Conference on CAD/CAM, Robotics and Factories of the Future Porto Portugal. 00. Müller, F.M., (3), Algoritmos Heurísticos e Exatos para Resolução do Problema de Sequenciamento em Processadores Paralelos, Campinas SP: UNICAMP. 4 p. ese (Doutorado em Engenharia Elétrica), Universidade Estadual de Campinas. Santos, H.G., (00), Ambiente de Utilização e Gerenciamento de Recursos de Otimização Combinatória Distribuídos, Santa Maria RS: UFSM. 0 p. ese (Mestrado em Engenharia de Produção), Universidade Federal de Santa Maria. ENEGEP 00 ABEPRO