Elaboração de Planta de Valores Genéricos a partir de krigagem ordinária. of Generic Values Plant Production by Ordinary Kriging interpolation

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1 Elaboração de Planta de Valores Genéricos a partir de krigagem ordinária Edilson Ferreira Flores 1 & Ana Paula Marques Ramos 1 Estatístico, Univ. Estadual Paulista - UNESP/ Departamento de Estatística, Rua Roberto Simonsen, 305, CEP: , Presidente Prudente-SP,efflores@fct.unesp.br Engenharia Cartográfica, Univ. Estadual Paulista - UNESP/ Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas PPGCC, marques.engcart@gmail.com Resumo - O objetivo deste trabalho consistiu na inferência de Planta de Valores Genéricos (PVG) a partir da interpolação por krigagem ordinária, considerando-se os casos de isotropia e anisotropia, e variação do tamanho do raio de busca. O ajuste da superfície ocorreu com base no Valor do Metro Linear de Testada Corrigida (VMLTC) para uma amostra de 71 observações. Outros seis atuaram como pontos de verificação do modelo. Adotou-se dois modelos, esférico e gaussiano, e três distintos raios de busca (500m, 1000m e 951m). A validação das superfícies ocorreu pela determinação da Raiz quadrada do Erro Médio Quadrático (REMQ) no VMLTC, para os pontos da amostra e de verificação. A modelagem anisotrópica, com raio de busca de 1000m, apresentou melhor resultado nos pontos amostrais (REMQ = R$154,76). Nos pontos de verificação, o melhor resultado obtido foi para isotropia e modelo gaussiano (REMQ = R$ 64,84). Conclui-se que a krigagem pode auxiliar na produção de PVG, uma representação cartográfica temática de importância para o planejamento urbano. No caso em estudo, para um mesmo raio de busca, verificou-se que as modelagens são equivalentes, sendo a isotrópica ligeiramente melhor em alguns casos. Palavras-chave: Interpolação de superfície; Representação cartográfica temática; Planejamento urbano. of Generic Values Plant Production by Ordinary Kriging interpolation Abstract This work aimed the inference of a Generic Values Plant (GVP) by Kriging interpolation to isotropy and anisotropy s cases and variation of the search radius size. Surface adjustment occurred based on the Value of Metro Tested Fixed Linear (VMLTC) for 71 observations. Others six were used as model check points. Two theoretical models were applied, Spherical and Gaussian, and three different search radius (500m, 1000m and 951m). The mathematical model validation was accomplished based on the Root Mean Square (RMSE) in the VMLTC for the 71 elements and then to the check points. The anisotropic model with search radius of 1000m showed better results for the observations (REMQ = R$154.76). The best result for the check points was R$64.84 in relation to isotropy case and Gaussian model. The interpolation through Kriging allowed the production of a GVP which describes an important thematic cartographic representation for urban planning. It was observed that using the same search radius both anisotropic and isotropic modeling are similar but the isotropic improved the results in some cases. Key words: Interpolation surface; thematic cartographic representation; Urban planning. Introdução Uma Planta de Valores Genéricos (PVG) é um documento descritivo e cartográfico importante para o Cadastro Técnico Multifinalitário (CTM), pois auxilia na política de planejamento urbano e pode garantir o desenvolvimento de uma cidade, com justiça fiscal e social (DALAQUA et al., 010). A PVG descreve uma superfície discreta das parcelas, e pode ser obtida por diferentes técnicas, como fatores de homogeneização, redes neurais, Regressão Linear Múltipla (RLM), etc. (NADAL et al., 003). Uma característica comum a essas técnicas é a associação de um único valor à parcela, o que inviabiliza a identificação de variações de valores dentro de uma mesma área (DANTAS et al., 007). Para aprimorar esse processo de avaliação, uma alternativa é o mapeamento das áreas de transição de valores, a partir da estimava de superfícies de ajuste. Para tanto, um exemplo é o interpolador geoestatístico krigagem ordinária (DANTAS et al., 007). Embora a modelagem por krigagem tem mostrado seu potencial, sobretudo, na área de Geociências (RODOLFO JUNIOR et al., 007; XAVIER et al., 010), e, recentemente, nas questões relacionadas ao CTM, como na produção de PVG (DANTAS et al., 007; MARQUES et al., 01), ainda resta a necessidade de investigação sobre a influência da variação do raio de busca, para os casos de isotropia e anisotropia no conjunto amostral. III Simpósio de Geoestatística em Ciências Agrárias 1

2 Nesse sentido, o objetivo deste trabalho é aplicar o interpolador krigagem ordinária na elaboração de PVG, para os casos de isotropia e anisotropia, e a variação do tamanho do raio de busca. Além disso, pretende-se identificar, por meio da estimativa da REMQ (Raiz do Erro Médio Quadrático) nos pontos amostrais e de verificação, a contribuição da propriedade anisotrópica na determinação do VMLTC (Valor do Metro Linear de Testada Corrigida) em relação à modelagem isotrópica. Materiais e Método Para o desenvolvimento deste trabalho utilizou-se os seguintes materiais: (1) base cartográfica digital, na escala 1/1.000, da Prefeitura Municipal de Álvares Machado/SP, cidade de estudo; () conjunto de 77 pontos referente ao VMLTC do lote, cedido por Dalaqua et al. (010); e (3) softwares Variowin. (PrevarD, VarioD with PCF e Model) e GS+ para a interpolação da superfície. Inicialmente fez-se uma revisão sobre o princípio da kigagem e, na sequência, aplicou-se o interpolador pelas seguintes etapas: (1) combinação dos pares de pontos; () produção e análise dos semivariogramas; (3) ajuste do modelo e (4) interpolação da superfície. O princípio da krigagem consiste que um ponto é mais semelhante aos pontos vizinhos comparado aos mais distantes (ISAAKS; SRIVASTAVA, 1989). Neste caso, é importante estimar até onde esta correlação importa, para que ponderações adequadas sejam aplicadas (CAMARGO et al., 004). A estimativa das ponderações é baseada n a relação de distância entre o ponto amostral e o de interesse, na continuidade espacial e no arranjo geométrico do conjunto. Para tanto, realiza-se uma análise espacial sobre o semivariograma experimental e se considera as direções na interpolação isotropia ou anisotropia (CAMARGO et al., 004). O semivariograma descreve quantitativamente a variação do fenômeno e evidencia a sua estrutura espacial (LANDIM, 004), além de auxiliar na definição de parâmetros para a estimativa de valores não amostrados (ISAAKS; SRIVASTAVA, 1989) (Equação 1). 1 N( h) N ( h) ( h) i1 Z( x ) Z( x i i h) (1) em que N(h) é o número de pares de pontos do atributo Z, separados por uma distância h (distância de lag). A representação gráfica entre (h) e h é o semivariograma experimental. A partir do semivariograma pode-se ajustar um ou mais modelos teóricos (ex.: gaussiano, esférico), pelos parâmetros: alcance (a), patamar (C), efeito pepita (C 0 ) e contribuição (C 1 ). O alcance é a distância na qual as amostras se tornam independentes. O efeito pepita é o valor da função na origem (ou descontinuidade do semivariograma). O patamar é o ponto de estabilidade do semivariograma, isto é, onde as amostras se tornam independentes. A contribuição é a diferença entre o patamar e o efeito pepita (ISAAKS; SRIVASTAVA, 1989). Ao selecionar um ou mais modelos teóricos, ajusta-se o(s) modelo(s) às semivariâncias e faz-se a interpolação da superfície. Nesse sentido, para a elaboração da PVG considerou-se 71 pontos e outros seis pontos foram adotados como pontos de verificação, portanto, não participaram do ajuste do(s) modelo(s). Tais pontos foram distribuídos de forma homogênea na área de estudo (ver MARQUES et al., 01). A primeira etapa da modelagem consistiu na combinação dos pares de pontos, realizada no software PrevarD, e obteve-se um total de 485 pares de pontos. Para identificar a variabilidade acentuada do fenômeno em determinada direção (caso de anisotropia) ou variabilidade espacial constante independentemente da direção (caso de isotropia) (BETTINI, 007), fez-se o semivariograma omnidirecional e os direções de 0º, 45º, 90º e 135º, com tolerância angular de,5º (Figura 1). A direção de 45º, por exemplo, com essa tolerância angular, implica que qualquer par de observações compreendido entre,5º e 67,5º será incluído no cálculo do semivariograma para o lag definido. A análise visual nos semivariogramas direcionais (Figura 1b), sobrepostos ao semivariograma omnidirecional (Figura 1a), aponta que os gráficos possuem comportamento similar, o que possibilita trabalhar com o caso de isotropia e anisotropia no conjunto. Em caso de continuidade espacial acentuada para uma direção, tem-se anisotropia nos dados (LANDIM, 003). III Simpósio de Geoestatística em Ciências Agrárias

3 (a) (b) Figura 1. Em (a) semivariograma omnidirecional e, em (b) direcionais (0º, 45º, 90º e 135º). Para avaliar a dependência espacial fez-se a produção do mapa variográfico (Figura ). Este gráfico de pixels mostra o comportamento da variável de interesse (VMLTC) pela relação da distância (h) entre os pontos e o valor da média da semivariância dos pares. No centro do mapa tem-se distância nula e a direção da variabilidade é descrita pelas cores. Os matizes em vermelhos representa o eixo de maior variabilidade (anisotropia) e a 90º desta direção tem-se o eixo de menor variabilidade (matizes em azul) (LANDIM et al., 00). No caso em estudo, embora a maior parte dos pixels indique variabilidade constante em todas as direções (isotropia), nota-se que para a direção de 100º há uma pequena porção de pixels com maior variabilidade, o que corrobora o observado nos semivariogramas da Figura 1 e permite aplicar a modelagem anisotrópica. Os semivariogramas direcionais e o mapa variográfico foram gerados no software Variowin com os seguintes parâmetros: lag = 300m, número de lag = 7 e tolerância de lag = 80m. Figura. Mapa variográfico A etapa de ajuste do modelo teórico foi desenvolvida no software Model de maneira experimental e interativa, pela manipulação de seus parâmetros (ISAAKS; SRIVASTAVA, 1989). Em ambos os casos, isotropia e anisotropia, adotou-se o modelo esférico, pois este se ajustou melhor aos pares de pontos. Os raios de busca usados foram 951m (valor padrão do software GS+) e 1000m, com base nas análises dos semivariogramas. Com a finalidade de comparar os resultados de Marques et al. (01), que adotaram modelagem isotrópica, raio de busca de 500m e grade de interpolação (tamanho do pixel) de 1x1m, optou-se gerar uma III Simpósio de Geoestatística em Ciências Agrárias 3

4 superfície com os mesmos parâmetros, alterando somente a grade para 15x15m. Isso porque o intuito foi de facilitar o processo computacional e identificar se há grande suavização da superfície. A variação do raio de busca quanto o tipo de modelagem resultou em um total de cinco experimentos. Os parâmetros dos modelos estão na Tabela 1, e as superfícies geradas por isotropia (Experimento 4) e anisotropia (Experimento ) para o mesmo raio de busca (1000m), encontram-se nas Figuras 3 e 4, respectivamente. Tabela 1. Parâmetros utilizados na modelagem isotrópica e anisotrópica Experimento Direção Modelo Alcance (m) Efeito Pepita Contribuição Patamar 1 Anisotropia Menor: º e 135º Maior: 900 Esférico 3 13m Isotropia 5 Gaussiano 9m Figura 3. Superfície gerada no experimento 4. Figura 4. Superfície gerada no experimento. Resultados e Discussão Para análise dos resultados determinou-se a Raiz quadrada do Erro Médio Quadrático REMQ (Equação ), nos pontos amostrais (71 pontos) e nos seis pontos de verificação (Tabela ). Na expressão () a variável n refere-se ao número de pontos. III Simpósio de Geoestatística em Ciências Agrárias 4

5 REMQ 1 n 1 n i1 (VMLTC estimado - VMLTC real ) () Na comparação entre a modelagem anisotrópica e isotrópica, fixado o raio de busca (Experimento 1 x 3, e x 4), verificou-se que, em média, a isotropia melhora as estimativas do VLMTC, pois reduz a REMQ tanto nos pontos amostrais quanto de verificação. Todavia, a modelagem anisotrópica para raio de 1000m (Experimento ) estima os menores valores para a REMQ (R$154,76) nos pontos amostrais. Nos pontos de verificação isso ocorre para o caso de isotropia (REMQ = R$ 64,84). Tabela. Comparação da modelagem isotrópica e anisotrópica com variação do raio de busca. Experimento Raio de busca Modelagem e modelo teórico Tamanho do pixel 71 pontos amostrais REMQ (R$) 06 pontos de verificação 1 951m Anisotrópica e 7,31 310, m esférico 154,76 311, m Isotrópica e 15x15m 0,4 81, m esférico 11,65 83,45 5 Isotrópica e 340,13 64,84 500m Marques et al. (01) gaussiano 1x1m 77,43 110,00 Quanto à comparação da variação no raio de busca, observou-se que a redução do raio de 951m para 1000m provoca uma melhora em 76% no caso de anisotropia (Experimento 1 x ), e somente de 4% para isotropia (Experimento 3 x 4), para REMQ calculada sobre os pontos amostrais. Análise semelhante nos pontos de verificação mostra que a variação do raio praticamente não altera os resultados em ambas as modelagens, anisotrópica (<1%) e isotrópica (0,6%). Na comparação da generalização da grade de interpolação de 1x1m (MARQUES et al., 01), para 15x15m (Experimento 5), identifica-se que uma degradação de % com o aumento do tamanho do pixel, e que essa diferença é mais expressiva na REMQ dos pontos de verificação. Os resultados, contudo, apontam que novos testes são necessários para um raio intermediário (ex.: 8x8m), o que possivelmente contribuiria para o processamento computacional e não comprometeria as estimativas de interesse. Cabe ressaltar que o aumento da REMQ nos pontos de verificação é esperado, porque esses elementos não participam da interpolação. Porém, devido o VMLTC concentra-se entre R$300,00 e R$ 3000,00 e em virtude da REMQ nesses pontos ter sido inferior ou próxima ao menor valor da amostra, pode-se afirmar que os modelos ajustados são consistentes. Uma possível razão para o aumento da REMQ nos pontos de verificação é que se trata de um conjunto reduzido e, portanto, sensível às variações. Conclusão No caso em estudo, observou-se que as modelagens são equivalentes para um mesmo raio de busca, porém houve uma melhora nos resultados para o raio 1000m e modelagem anisotrópica. A generalização do tamanho da grade de interpolação se mostrou uma alternativa viável, no entanto, requer novos testes para valores variando entre os adotados neste trabalho e os de Marques et al. (01). A análise das estimativas pela RMEQ permitiu avaliar a representatividade do modelo, e evidenciar a capacidade do modelo em estimar valores para o VMLTC em locais aleatórios da área urbana. Com isso, a Planta de Valores Genéricos obtida pela krigagem, pode ser usada para apontar o quanto um imóvel está sendo sub ou supervalorizado na cidade. Conclui-se que a krigagem é uma abordagem interessante para a produção de PVG, porque permite analisar áreas de transição de valores, dentro de uma mesma parcela (ex.: lote). Todavia, recomenda-se a realização de novos testes, para um maior número de amostras e pontos de verificação. Sugere-se, também, a análise de agrupamento antes da aplicação da krigagem e o fatiamento da superfície por inferência fuzzy, ou método de classificação de dados quantitativos, como otimização de Jenks (MARQUES et al., 01). Isso porque a carta temática isarítmica, pode-se facilitar a interpretação das áreas mais e menos valorizadas na área de estudo, e a compreensão das razões pelas quais isso ocorre. III Simpósio de Geoestatística em Ciências Agrárias 5

6 Referências BETTINI, C. Conceitos básicos de geoestatística. In: MEIRELLES, M.S.P.; CÂMARA, G.; ALMEIDA, C.M. (Ed.) Geomática: modelos e aplicações ambientais. Embrapa, 007. CAMARGO, E.C.G.; FUCKS, S.D.; CÂMARA, G. Análise espacial de superfícies. Brasília: Embrapa, 004. DALAQUA, R.R.; AMORIM, A.; FLORES, E. Utilização de métodos combinados de avaliação imobiliária para a elaboração da planta de valores genéricos. Boletim de Ciências Geodésicas. v. 16, n., p.3-5, 010. DANTAS, R.A.; PORTUGAL, J.L.; PRADO, J.F. Aplicação de cidades por inferência espacial: um estudo de caso para a cidade de Aracaju. In: XXII Congresso Panamericano de avaliações IBAPE e XIII COBREAP - Congresso Brasileiro de Engenharia de Avaliações e Perícias, 007, Fortaleza. Anais... Fortaleza/CE, 007. ISAAKS, E.H.; SRIVASTAVA, R.M. An introduction to applied geostatistics. New York: Oxford University Press, LANDIM, P.M.B. Introdução à análise variográfica com o variowin: lab. geomatemática. Rio Claro: DGA, IGCE, UNESP, p. Texto didático. Disponível em: < / Acesso em: 15 dez. 01. LANDIM, P.M.B. Análise estatística de dados geológicos.. ed. São Paulo: Unesp, 003. LANDIM, P.M.B.; STURARO, J.R.; MONTEIRO, R.C. Krigagem ordinária para situações com tendência regionalizada. Rio Claro: DGA, IGCE, UNESP, 00. Texto didático 06. Disponível em: < Acesso em: 15 dez. 01. MARQUES, A.P.S.; et al. Aplicação do interpolador krigagem ordinária para a elaboração de planta de valores genéricos. Revista Brasileira de Cartografia. v., n. 64, p , 01. NADAL, C.A.; JULIANO, K.A.; RATTON, E. Testes estatísticos utilizados para a Validação de regressões múltiplas aplicadas Na avaliação de imóveis urbanos. Boletim de Ciências Geodésicas. v. 9, n, p.43-6, 003. RODOLFO JUNIOR, M.C.; SOBREIRA, F.G.; BORTOLOTI, F.D. Modelagem geoestatística a partir de parâmetros de qualidade da água (IGA-NSF) para a sub-bacia hidrográfica do rio castelo (ES) usando Sistema de Informações Geográficas. Revista Brasileira de Cartografia. v. 3, n. 59, p.41-53, 007. XAVIER, A.C.; CECÍLIO, R.A.; LIMA, S.S. Módulos em MATILAB para interpolação espacial pelo método de krigagem ordinária e do inverso da distância. Revista Brasileira de Cartografia, v. 1, n. 6, p.67-76, 010. III Simpósio de Geoestatística em Ciências Agrárias 6