Instrumentação e Medidas. Módulos Funcionais para Instrumentação

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1 Instrumentação e Medidas para Instrumentação 1

2 para Instrumentação 2

3 para Instrumentação Aquisição 3

4 Aquisição Obtenção dos valores de uma ou mais grandezas físicas para processamento ou representação digital em determinados instantes Selector de Vias Amplificador de Ganho Programável Retentor de Amostras Sample & Hold Conversor AD Unidade de Controlo Armazenamento Tx / Rx 4

5 Aquisição Exemplos genéricos: Placas de para PCs Interfaces: USB, PCI, Firewire Fabricantes: National Instruments, Keithley, Acquitek Osciloscópios digitais Interfaces: USB, GPIB, Ethernet, Compact Flash Fabricantes: Agilent, Tektronix, Hitachi, Yokogawa Existem ainda instrumentos específicos para algumas situações que são, na sua essência, sistemas de 5

6 Aquisição Parâmetros mais relevantes: Ritmo máximo da amostragem Largura de banda Alcances Nº de bits de resolução Impedância de entrada Nº de canais de entrada Canais diferenciais / referenciados à massa Interface de saída Capacidade de transmissão / armazenamento Saídas analógicas Entradas/saídas digitais 6

7 Aquisição Selector de Vias Amplificador de Ganho Programável Retentor de Amostras Sample & Hold Conversor AD Unidade de Controlo Armazenamento Tx / Rx 7

8 Selector de Vias Multiplexer V 1 V 2 V 3 V 4 V 0 CONTROL Implementação com MOSFET À saída pode conter um AMPOP em montagem seguidora como buffer 8

9 Amplificador de ganho programável PGA programmable gain amplifier Expande o alcance do conversor AD Recebe informação da unidade de controlo para modificar o ganho para cada canal Por exemplo, os PGA202 e PGA203 da Burr-Brown: PGA202, G = 1; 10; 100; 1000 PGA203, G = 1; 2; 4; 8 9

10 Retentor de Amostras S/H sample & hold Circuito elementar Hold V i V 0 Sample V i V 0 10

11 Retentor de Amostras S/H sample & hold Circuito sem ganho, não inversor V i Hold Sample V 0 11

12 NI-PCI 6013 Custo aproximado 400 Placa PCI National Intruments, 6013, 16-bit (f s ) MAX = 200 ks/s Alcances: 10 V; 5 V; 0,5 V; 50 mv 8 canais diferenciais ou 16 canais referenciados 8 linhas digitais I/O 12

13 NI-PCI

14 G / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Largura de Banda (f s ) MAX = 200 ks/s LB = 400 khz f / khz 14

15 Resolução Alcance 10 V 5 V 500 mv 50 mv 1 LSB 305,2 mv 152,6 mv 15,3 mv 1,53 mv 1LSB Alcance Máximo-Alcance Mínimo n

16 Resolução Mas será que se consegue sempre uma resolução de 1,53 mv na escala mais baixa? Esta questão é equivalente a saber qual o número de bits efectivos da placa Como se testa uma placa de? Qual o componente mais crucial do canal de? O amplificador? O AD? Como o AD é o último componente, usam-se técnicas de teste de ADs Os resultados referem-se a todo o canal de 16

17 Amostragem 17

18 Amostragem Transforma um sinal contínuo no tempo e na amplitude, num sinal discreto no tempo e na amplitude A discretização no tempo decorre do tempo de conversão do AD e do funcionamento do sample & hold A discretização na amplitude é uma consequência do AD 18

19 Amostragem Discretização no tempo s t sk k sk s tk s kt s f S Discretização na amplitude s s k s s k e k k k k t fs 0,1,... tempo de amostragem freq. de amostragem e k representa erro de quantificação do AD 19

20 Teorema da Amostragem Formulado por Nyquist em 1928 Demonstrado por Shannon em 1949 Nyquist Sampling Theorem Shannon Sampling Theorem Se um sinal de banda limitada for amostrado a pelo menos 2 a sua frequência máxima, então pode ser recuperado Caso contrário ocorre aliasing 20

21 Teorema da Amostragem Define-se f max f s f N =2f max frequência máxima do sinal a amostrar frequência de amostragem frequência de Nyquist Se f s f N = 2f max Se f s < f N = 2f max não existe aliasing existe aliasing 21

22 Aliasing 22

23 Aliasing 23

24 1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 1 khz 0-0,5 200 f / Hz -1-1, t / ms 1,3cos t / 4 u t 24

25 1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 1 khz 0-0, f / Hz -1, fs 2000 S/s t / ms fs / f 10 nº de pontos por periodo 25

26 1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 150 Hz 0-0, f / Hz -1, fs 300 S/s t / ms fs / f 1,5 nº de pontos por periodo 26

27 1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 150 Hz 0-0, f / Hz -1, fs 300 S/s t / ms fs / f 1,5 nº de pontos por periodo 27

28 Amostragem O aliasing, transforma a frequência de entrada real, numa frequência aparente O espectro do sinal é reduzido ao intervalo de frequências de 0 a f s /2 Pode existir sobreposição! O espectro de entrada na banda f s /2 a f s aparece espelhado para 0 a f s /2 f s /2 f / Hz E para frequências ainda superiores? 28

29 Amostragem Frequência Aparente f s /2 f apar. f 1 f 1 f s /2 f 2 f s 3f s /2 f 3 2f s Frequência Real f f f 3 2 S 29

30 1,5 Amostragem u(t) /V 1 0,5 f s /2 150 Hz 0-0, f / Hz -1, freal fs 200Hz 300 S/s faparente t / ms 100Hz 30

31 Amostragem Para evitar o aliasing, alguns sistemas de incluem um filtro passa baixo na entrada para eliminar frequências acima de f s /2 31

32 Amostragem Na ausência de aliasing, como se faz a reconstrução do sinal a partir das amostras? s t N 1 k 0 s k sin fst n f t n S 32

33 Amostragem Através da relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal podem definir-se 3 cenários diferentes: 1. Amostragem coerente síncrona 2. Amostragem coerente assíncrona 3. Amostragem não coerente 33

34 Amostragem coerente síncrona A relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal é um inteiro: f S f Nesta situação, as amostras em cada período correspondem sempre à mesma fase do sinal 34

35 1,5 Amostragem coerente síncrona u(t) /V f S f ,5 0-0,5-1 -1, t / ms 35

36 Amostragem coerente assíncrona A relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal é um número fraccional não inteiro: f S, f Nesta situação, as amostras em cada período não correspondem sempre à mesma fase do sinal, mas ao fim de um certo número de períodos ocorre a repetição 36

37 1,5 Amostragem coerente assíncrona u(t) /V f S f ,5, ,5 0-0,5-1 -1, t / ms 37

38 Amostragem não coerente A relação entre a frequência de amostragem e a frequência do sinal é um número real, não fraccionário: f S, f Nesta situação, as amostras em cada período nunca correspondem à mesma fase do sinal Vantagem: nunca existe repetição de fase Todos os pontos correspondem a fases diferentes 38

39 1,5 Amostragem não coerente u(t) /V f S f , ,5 0-0,5-1 -1, t / ms 39

40 Algoritmos 40

41 Algoritmos Como determinar o espectro de um sinal adquirido? Como calcular o número efectivo de bits de um canal? Como calcular o valor eficaz de um sinal? Como determinar o período de sinal periódico adquirido? Como determinar o valor médio do sinal? 41

42 Espectro Transformada de Fourier ft S f s t e dt j2 () Como determinar o espectro de um sinal amostrado a intervalos de tempo fixos e com um número limitado de amostras? s k k s f S e k k 0,1,..., N 1 42

43 Espectro Usando a DFT Discrete Fourier Transform S n N 1 k 0 s k e j2 nk / N n 0,1,... N 1 O número de pontos que representa o espectro é finito (N) Amostras temporais espaçadas de: t=1/f S Na frequência, o espaçamento é: f S 1 f N Nt [Nt é o tempo total de ] 43

44 Espectro Os elementos S n do espectro não correspondem às frequências n f Metade dos coeficientes correspondem a frequências negativas N nf se n 2 fn N n N f se n 2 O sinal sinusoidal pode ser escrito na forma: cos t e j t j t e 2 44

45 Espectro Exemplo 1: N = 8, f s = 100 S/s f S f 12,5Hz Nt N 8 n f n 0 f 2f 3f 4f 3f 2f f f n /Hz 0 12, , , ,5 Componente Contínua Frequência de Nyquist (f S /2) 45

46 Espectro N = 8, f s = 100 S/s, f = 12,5 Hz 3cos 2 25t s t n f n 0 f 2f 3f 4f 3f 2f f f n /Hz 0 12, , , ,5 S n É preciso normalizar os resultados da DFT dividindo todos os coeficientes por N 46

47 Espectro N = 8, f s = 100 S/s, f = 12,5 Hz 3cos 2 25t s t n f n 0 f 2f 3f 4f 3f 2f f f n /Hz 0 12, , , ,5 S n /N 0 0 1, ,5 0 cos t e jt e 2 jt 47

48 S n /N / V INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro Exemplo 2: N = 100 f s = 1000 S/s 0,6 cos 2 100t s t f = 10 Hz 0,5 0,4 0,3 E se a frequência não for múltipla de f? 0,2 0, Frequência / Hz 48

49 S n /N / V INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro Exemplo 3: N = 100 f s = 1000 S/s f = 10 Hz 0,6 0,5 cos 2 103t s t 0,4 0,3 Espalhamento espectral 0,2 0,1 Spectral Leakage Frequência / Hz 49

50 Espectro O espalhamento espectral ocorre quando: como f f f 1 T e f 1 Nt Nt T Ou seja, quando o período de (Nt) não corresponde a um número inteiro de períodos do sinal de entrada 50

51 Espectro O espalhamento espectral surge porque o período de, não corresponde a um múltiplo do período do sinal Mas porquê? N 1 j2ft j2 nk / N n k k 0 S f s( t) e dt S s e Está aqui assumido que o período de se repete antes e depois do usado 51

52 Espectro s(t) N t N t N t t Não há espalhamento espectral s(t) N t N t N t t Há espalhamento espectral 52

53 Espectro Se: f f verifica-se que, para todas as harmónicas do sinal: n f f Ou seja, não existe espalhamento espectral para nenhuma das harmónicas! Será? E se: n f > f S /2?? 53

54 Espectro Resolução na frequência do espectro: f S f N 1 Nt Melhorar a resolução, implica reduzir f Para reduzir f, é necessário aumentar o número de pontos adquiridos, ou diminuir f S Para eliminar o espalhamento espectral, não é necessário aumentar N. Que tal diminuir N? 54

55 Janelas Temporais Como reduzir os efeitos do espalhamento espectral? Uma das técnicas consiste na aplicação de uma janela temporal ao sinal antes do cálculo do seu espectro Estas janelas temporais são funções contínuas reais cuja amplitude varia lentamente e que tendem para 0 nas extremidades eliminando assim as descontinuidades 55

56 Janelas Temporais A aplicação das janelas temporais consiste na multiplicação do sinal amostrado pelos coeficientes da janela A multiplicação no tempo corresponde à convolução na frequência dos respectivos espectros Mesmo no caso da amostragem normal sem aplicação explicita de uma janela, estamos a aplicar uma janela rectangular 56

57 Janela Temporal Rectangular 57

58 Janela Temporal Hann 58

59 Janela Temporal Blackman 59

60 Janela Temporal Bartlett 60

61 Janela Temporal Hamming 61

62 Janela Temporal Flat Top 62

63 Janelas Temporais Cada janela é caracterizada pela função dos coeficientes e por alguns parâmetros do seu espectro 63

64 Janelas Temporais Janela Largura - 3dB Largura - 6dB Peak side lobe level Roll-off rate (bins) (bins) (db) (db/dec) Rectangular Hann Hamming Blackman Flat top

65 (db) INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Janelas Temporais rectangular Bartlett f = 1100 Hz f s = S/s n = 8 A = 1 V N = f = 0,9983 Hz Blackman Hann (Hz) 65

66 Janelas Temporais Tipo de Sinal Janela Onda sinusoidal ou composição de ondas sinusoidais Onda sinusoidal em que a exactidão da amplitude seja importante Sinais aleatórios de banda estreita Sinais aleatórios de banda larga (ruído branco) Sinusóides sobrepostas Hanning, Blackman Flat Top Hanning, Blackman Rectangular Rectangular, Hamming Conteúdo desconhecido Hanning, Blackman 66

67 Espectro de um sinal real A DFT de um sinal real é simétrica: S k SN k S k SN k 67

68 Teorema de Parseval A energia total de um sinal pode ser determinada no domínio do tempo ou no domínio da frequência 2 2 s t dt S f df E para sinais amostrados? 1 N1 N1 2 2 s k k0 N n0 S n 68

69 Espectro de Potência Power Spectrum Two-sided power spectrum S AA f * DFT A DFT A N 2 S AA k * 2 Ak A k Ak N N

70 Espectro de Potência Two-sided power spectrum cos 2128t 3 2 cos 2256t At (S AA ) k / V RMS 2 4 4, f / Hz 70

71 Espectro de Potência Single-sided power spectrum AA k N GAA 2 SAA 1 k 1 k k 2 N AA k 2 S k 0 DC S k Nyquist Freq. 71

72 Espectro de Potência Single-sided power spectrum cos 2128t 3 2 cos 2256t At (G AA ) k / V RMS f / Hz 72

73 Cálculo da DFT Para o cálculo da DFT recorre-se, sempre que possível, à FFT Fast Fourier Transform Porquê? Para o cálculo de uma DFT com N amostras, são precisas aproximadamente N 2 operações Com a FFT só são necessárias N log 2 (N) operações se o número de amostras for uma potência de 2 (N=2 n ) (256, 512, 1024, 2048, 4096,...) 73

74 FFT Como se consegue este ganho? Demonstra-se que uma DFT de N pontos pode ser decomposta na soma de duas DTFs de N/2 pontos Uma das DTFs usa os pontos temporais pares enquanto que a outra usa os pontos impares Este processo de separação pode continuar a ser aplicado até N=1! 74

75 FFT Mas será que o número de pontos tem de ser uma potência de 2? Algoritmos mais recentes requerem somente que: N = 2 m 3 k 5 j com m, j, k = 0, 1, 2,... Por exemplo: 480, 640, 1000 e 2000 No entanto, depende da existência ou desenvolvimento de algoritmos específicos para a plataforma de SW seleccionada 75

76 Estimativa da Frequência Se não existir espalhamento espectral fdft jf em que j corresponde ao índice onde o espectro tem um máximo Resolução: f E com espalhamento espectral? Média pesada DFT interpolada 76

77 Estimativa da Frequência Média pesada f Média Pesada j3 ij3 G if j3 ij3 O índice j corresponde ao máximo e a margem de 3 é razoável para espalhamento espectral reduzido ou quando se usam janelas temporais AA G i AA i 77

78 S n /N / V INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Estimativa da Frequência Exemplo Média Pesada N = 100 f s = 1000 S/s f = 10 Hz 0,6 0,5 0,4 0,3 cos 2 103t s t 0,2 0,1 fdft fmédia Pesada 100Hz 102,13Hz Frequência / Hz 78

79 Estimativa da Frequência DFT Interpolada IpDFT (Interpolated Discrete Fourier Transform) 1. Detecta-se o máximo de S k MAX = S j 2. Determina-se o maior vizinho de S j 3. Com estes dois pontos, e recorrendo à expressão teórica do espectro quando ocorre espalhamento, é possível determinar com exactidão o valor da frequência 79

80 Estimativa da Frequência A IpDFT funciona muito bem quando o espalhamento espectral é elevado Ou seja, quando os dois S k usados são pouco afectados pelo ruído fipdft 103Hz As fórmulas encontram-se em 80

81 Estimativa do valor médio Como determinar o valor médio de um sinal periódico? savg 1 T T Para um sinal amostrado 0 s t dt savg sk N k 0 E se N não corresponder a um número inteiro de períodos? 1 1 N 81

82 Estimativa do valor médio 2 cos 2 103t s t fs 1000 S/s 82

83 Estimativa do valor médio Método alternativo: 1. Adquirem-se N pontos a f S Exemplo: 2 cos 2 103t s t N 100, f S 1000 S/s s 2,0207 V 1,04% avg 2. Estima-se a frequência do sinal festimada 103Hz 3. Nºpts/período = f S /f estimada 4. Nºperíodos = N / Nºpts/período 5. Nºperíodos inteiros = Nºperíodos 6. Usar Nº pts / período 9,708 Nº períodos 10,3 Nº períodos inteiros 10 Navg 97 N avg = Nºperíodos inteiros Nºpontos/período s 1,9991 V 0,04% avg 83

84 Estimativa do valor eficaz Como determinar o valor eficaz de um sinal periódico? 1 T 2 s ef s t dt T Para um sinal amostrado 0 s ef 1 1 N s 2 k N k 0 E se N não corresponder a um número inteiro de períodos? Situação idêntica à do valor médio 84

85 Estimativa do valor eficaz 2 cos 2 103t s t fs 1000 S/s sef 2,1414 V 0,95% 100 s 2,1204 V 0,04% ef 97 85

86 Média Temporal A média temporal de um sinal é obtida recorrendo a diferentes aquisições Cada ponto temporal corresponde à média de diversas aquisições No entanto, tal só é possível se os pontos corresponderem à mesma fase do sinal periódico! Por exemplo, no osciloscópio digital consegue-se devido ao disparo (trigger). 86

87 Espectro médio Mesmo sem trigger é possível obter o espectro de amplitude médio Em vez de efectuar a média a todo o espectro, efectua-se a média só da amplitude de cada componente Retira-se toda a informação de fase... Ideal para reduzir efeitos aleatórios de valor médio nulo na amplitude 87

88 G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro de potência média Exemplo: 0,8 cos s t t n t n(t): ruído gaussiano N 10000, f S 10kS/s n RMS = 10 mv Frequency / Hz 88

89 G n / db G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro de potência média Exemplo: (média de 10 aquisições) 0,8 cos s t t n t n(t): ruído gaussiano N 10000, f S 10kS/s n RMS = 10 mv Frequency / Hz Frequency / Hz 89

90 G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Espectro de potência média 0,8 cos s t t n t n(t): ruído gaussiano N 10000, f S 10kS/s n RMS = 10 mv db n RMS N / 21 n0 10 Gn [ db] Frequency / Hz 90

91 Espectro de potência média Este valor é o patamar de ruído (Noise Floor) Pode ser introduzido exteriormente (como no exemplo anterior) Mas é usualmente provocado pelo canal de (em especial pelo AD) A relação entre o sinal introduzido e o ruído e distorção, é a SINAD 91

92 SINAD SINAD SIgnal-to-Noise And Distortion ratio Para um conversor ideal de n bits testado com uma sinusóide de amplitude igual ao alcance do conversor SINAD[dB] 6,02n 1,76 A partir de um teste bem efectuado pode determinar-se o número efectivo de bits ou ENOB 92

93 ENOB ENOB Effective number of bits ENOB SINAD[dB] 1,76 6,02 93

94 G n / db INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ENOB Exemplo: Conversor de 8 bits 0,8 cos s t t n t N 10000, f S 10kS/s 0 n RMS = 1 mv Frequency / Hz 94

95 ENOB 1. Calcula-se a potência da fundamental -4,95 db 2. Elimina-se a fundamental e determina-se a potência do sinal restante -52,09 db 3. SINAD = -4, ,09 = 47,14 db 4. ENOB = (47,14-1,76)/6,02 = 7,53 No entanto, não se usou a amplitude total do AD Como corrigir? Aplicar a amplitude máxima? Saturação! SINAD = ,09 = 49,09 db ENOB = (49,09-1,76)/6,02 = 7,86 95

96 Simulação com Matlab 96

97 Simulação com Matlab Conversor Analógico-Digital Ideal function Vout=AD_simulated(Vin,n_bits,V_AD_min,V_AD_max); if Vin >= V_AD_max Vout=V_AD_max; % Saturacao maxima else if Vin <= V_AD_min Vout=V_AD_min; % Saturacao minima else LSB=(V_AD_max-V_AD_min)/(2^n_bits-1); ADC_code=round((Vin-V_AD_min)/LSB); Vout=ADC_code*LSB+V_AD_min; end end 97

98 Simulação com Matlab Teste do Conversor Analógico-Digital Ideal alcance=5; n_bits=4; vin=linspace(-alcance*1.2,alcance*1.2,2001); for i=1:length(v) vout(i)=ad_simulated(vin(i),n_bits,-alcance,alcance); end plot(vin,vout); axis([ ]); 98

99 Simulação com Matlab Amostragem de sinais N_pontos=60; f_amostragem=1500; frequencia=90; amplitude=1; k=0:1:n_pontos-1; t=k/f_amostragem; sk=amplitude*cos(2*pi*frequencia*t); %sk=amplitude*square(2*pi*frequencia*t); %sk=amplitude*sawtooth(2*pi*frequencia*t,0.5); plot(t,sk,'x-') 99

100 Simulação com Matlab Ruído Gaussiano NP=1E6; Std=10E-3; Avg=20E-3; U=randn(NP,1)*Std+Avg; Urms=sqrt(mean(U.*U)) hist(u,100) plot(u) 100

101 Simulação com Matlab FFT N_pontos=2048; f_amostragem=2048; frequencia=90; amplitude=1; k=0:1:n_pontos-1; t=k/f_amostragem; sk=amplitude*square(2*pi*frequencia*t); Sk=fft(sk); plot(abs(sk)/n_pontos) 101

102 Exemplo de Sistema de Aquisição 102

103 Medição de Impedâncias Circuito básico U ZR ZR FG Z U Z Usam-se dois ADs para amostrar estas tensões sinusoidais 103

104 Medição de Impedâncias Aplicam-se aos sinais amostrados técnicas de adaptação de sinusóides para determinar os parâmetros das tensões Obtêm-se os parâmetros da impedância recorrendo a: Z U Z ZR Z Z ZR ZR U ZR 104

105 Medição de Impedâncias Buffering, Filtering and Amplification DDS Sine Generator SDATA, SCLK, FSYNC SPORT0 SPORT1 TxD, RxD RS-232 interface PC Z R Digital Potentiometer CLK, /CS, SDI FL0, PF3, PF1 H CUR H POT PGA ADC CH1 DOUT /CS, CLK PF2 FL1, FL2 DSP External Memory Z X L POT ADC CH2 DOUT PF0 L CUR PGA 105

106 Medição de Impedâncias h e f g d e f a c b 106