AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDO OS EFEITOS DA VOLATILIDADE DA VOLATILIDADE. Maurel Alexis Weichert

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1 AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDO OS EFEITOS DA VOLATILIDADE DA VOLATILIDADE Maurel Alexis Weichert UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto Coppead de Administração Mestrado em Administração Orientador: Eduardo Facó Lemgruber Ph. D. em Finanças Rio de Janeiro 2002

2 ii AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRA CONSIDERANDO OS EFEITOS DA VOLATILIDADE DA VOLATILIDADE Maurel Alexis Weichert Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto Coppead de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPEAD/UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) em Administração. Aprovada por: Prof. Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D. Orientador Prof. Eduardo Saliby, Ph.D. Dr. Octávio Manuel Bessada Lion, D.Sc. Rio de Janeiro 2002

3 iii FICHA CATALOGRÁFICA Weichert, Maurel Alexis Avaliação de opções com barreira considerando os efeitos da volatilidade da volatilidade/ Maurel Alexis Weichert. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, xii, 135 p. ; il Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPEAD, Finanças - Tese. 2. Opções Tese. 3. Opções com Barreira Tese. I. Título. II. Tese (Mestr. UFRJ/COPPEAD)

4 iv À Fernanda, pelo incentivo, amor e compreensão, e aos meus pais, que, com muita dedicação e carinho, propiciaram a minha educação.

5 v AGRADECIMENTOS Agradeço inicialmente ao Prof. Eduardo Facó Lemgruber, orientador deste trabalho, por todo o apoio e pela confiança, não somente no desenvolvimento de minha pesquisa mas também no decorrer de todo o curso. Agradeço também ao Prof. Eduardo Saliby pelo interesse e pela colaboração no desenvolvimento da pesquisa, assim como pela participação na banca. Não poderia também deixar de agradecer a todos os funcionários do Coppead, em especial aos da Secretaria Acadêmica e da Biblioteca, por toda dedicação, apoio e amizade. Por último, devo ainda agradecer ao Banco Central do Brasil por ter me propiciado esta oportunidade, através de minha participação em seu Programa de Pós-Graduação. Entre muitos do Banco Central, gostaria de agradecer especialmente ao Dr. Octávio Manuel Bessada Lion, pela participação em minha banca, ao Dr. Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo, por toda sua colaboração, e aos amigos Marcelo Davi Xavier da Silveira Datz e Joana Cristina Rodrigues, pelo incentivo.

6 vi RESUMO WEICHERT, Maurel Alexis. Avaliação de opções com barreira considerando os efeitos da volatilidade da volatilidade. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, Dissertação (Mestrado em Administração). A importância do estudo das opções com barreira aumenta à medida que o mercado passa a empregar com maior freqüência estes derivativos. Paralelamente, o reconhecimento de que a volatilidade da volatilidade (vol-vol) exerce forte influência nos preços das opções nos leva a pensar em modelos de avaliação de opções com barreira que sejam capazes de captar os seus efeitos. Assim sendo, este estudo se propõe a analisar o emprego de uma fórmula analítica para as opções com barreira, capaz de considerar a possibilidade de dois níveis distintos para a volatilidade. A análise é efetuada através da realização de uma estratégia de negociação de arbitragem, onde o preço fornecido por esta fórmula é contrastado diariamente com uma avaliação alternativa obtida através de um modelo de simulação de Monte Carlo. Modelo este que considera a volatilidade como uma função contínua do preço do ativo. A realização da estratégia para três casos específicos nos mostra ser possível a obtenção de lucros, sugerindo assim que a fórmula analítica não é capaz de captar satisfatoriamente os efeitos da vol-vol.

7 vii ABSTRACT WEICHERT, Maurel Alexis. Avaliação de opções com barreira considerando os efeitos da volatilidade da volatilidade. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, Dissertação (Mestrado em Administração). Considering that the volatility of the volatility (vol-vol) has strong influence on the prices of the options, this research intends to analyze the use of a specific analytical formula for barrier options, capable of considering two different levels for volatility. The analysis is performed employing an arbitrage strategy where two valuations for the same barrier option are contrasted. The price supplied by the formula is compared daily with an alternative valuation obtained by a Monte Carlo simulation model that considers the volatility as a continuous function of the underlying asset price. The strategy is applied in three different cases and shows that it is possible to make profits, suggesting that the formula is not able to consider satisfactorily the effects from vol-vol.

8 viii LISTA DE FIGURAS Figura 1 Alternativas de Modelos de Movimentos de Preços p.15 Figura 2 Smile da Volatilidade da Ação Preferencial da Telemar (TNLP4), obtido em 02/10/01 a partir das Volatilidades Implícitas das Opções com Vencimento em 15/10/01 p.26 Figura 3 Árvore Binomial Estendida p.57 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Figura 9 Figura 10 Figura 11 Comportamento da Ação Preferencial da Telemar (TNLP4) durante o Período de 30/07/01 a 31/01/02 p.84 Convergência dos Valores Simulados para o Resultado da Fórmula de R&R p.91 Comparação entre Modelos de Simulação e a Fórmula de Heynen & Kat p.94 Volatilidades Implícitas nos Preços das Opções Comuns sobre TNLP4, obtidas diariamente, no Período de 30/07/01 a 31/01/02, para X = 31.55, 36, 39 e 42 p.96 Coeficientes Alfa, Beta e Gama da Função de Volatilidade σ = Alfa*S 2 + Beta*S + Gama, obtidos diariamente, no Período de 30/07/01 a 31/01/02, a partir dos Smiles das Volatilidades Implícitas nos Preços das Opções Comuns sobre TNLP4 p.97 Preços das Opções com Barreira Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento em 31/01/02, avaliadas diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo e pela fórmula de H&K p.98 Diferenças de Preços das Opções com Barreira (MC-H&K) Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento em 31/01/02, avaliadas diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo e pela fórmula de H&K p.100 Delta das Opções com Barreira Opções de compra, do tipo up-and-out, K = 31.55, sem rebate, vencimento em 31/01/02. Delta calculado diariamente, no período de 30/07/01 a 31/01/02, por um modelo de simulação de Monte Carlo p.101 LISTA DE QUADROS E TABELAS

9 ix Quadro 1 Tipos de Opções com Barreira p.12 Quadro 2 Síntese dos Dados considerados no Experimento p.84 Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 Tabela 4 Tabela 5 Convergência dos Valores Simulados para o Resultado da Fórmula de R&R p.91 Comparação entre Modelos de Simulação e a Fórmula de Heynen & Kat p.93 Resultados das Estratégias de Negociação de Arbitragem Estratégias realizadas no período de agosto de 2001 a janeiro de 2002, com a negociação diária de opções de compra do tipo up-and-out, com K = 31.55, sem rebate e vencimento em 31/01/02 p.102 Quantidade de Encerramentos Parciais da Carteira em cada Estratégia Estratégias realizadas no período de agosto de 2001 a janeiro de 2002, com a negociação diária de opções de compra do tipo up-and-out, com K = 31.55, sem rebate e vencimento em 31/01/02 p.103 Resultados das Estratégias de Negociação de Arbitragem Estratégias realizadas no período de 07/11/01 a 31/01/02, com a negociação diária de opções de compra do tipo up-and-out, com K = 31.55, sem rebate e vencimento em 31/01/02 p.105

10 x LISTA DE ANEXOS Anexo 1 Anexo 2 Anexo 3 Anexo 4 Anexo 5 Algoritmo para Cálculo de Opções com Barreira Simples a partir do Modelo desenvolvido por Reiner e Rubinstein (1991) p.118 Algoritmo para Cálculo de Opções com Barreira com Dois Ativos Outside Barrier Options - a partir do Modelo desenvolvido por Heynen e Kat (1994) p.120 Estratégia de Negociação para Opção com Barreira igual a 36 p.121 Estratégia de Negociação para Opção com Barreira igual a 39 p.125 Estratégia de Negociação para Opção com Barreira igual a 42 p.129 Anexo 6 Estratégia Parcial para Opção com Barreira igual a 36 p.133 Anexo 7 Estratégia Parcial para Opção com Barreira igual a 39 p.134 Anexo 8 Estratégia Parcial para Opção com Barreira igual a 42 p.135

11 xi SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA OBJETIVOS Objetivo Principal Desenvolvimento de um Modelo de Avaliação Questão a Ser Respondida pela Pesquisa MOTIVAÇÃO DO ESTUDO RELEVÂNCIA DO ESTUDO DELIMITAÇÃO DO ESTUDO ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO REFERENCIAL TEÓRICO AS OPÇÕES EXÓTICAS AS OPÇÕES COM BARREIRA Como Funcionam as Opções com Barreira Os Tipos de Opções com Barreira As Opções com Barreira com Dois Ativos O COMPORTAMENTO DOS PREÇOS DOS ATIVOS O Processo Contínuo O Processo com Saltos A Volatilidade A Volatilidade da Volatilidade (Vol-Vol) A AVALIAÇÃO DE OPÇÕES COM BARREIRAS Fórmulas Analíticas Métodos Numéricos Avaliação com uso de Simulação O HEDGE DE OPÇÕES COM BARREIRA As Gregas A Realização do Hedge A ESTRATÉGIA DE CARTEIRA DELTA-NEUTRA...64

12 xii 3. METODOLOGIA DESCRIÇÃO GERAL DO EXPERIMENTO Etapas do Experimento Hipóteses Adotadas CONSTRUÇÃO DE MODELOS DE SIMULAÇÃO A Simulação de Monte Carlo Definição dos Parâmetros Básicos da Simulação COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SIMULAÇÃO E A FÓRMULA DE HEYNEN & KAT Características da Opção e Ativo-Objeto Modelo com 2 Níveis Distintos de Volatilidade Modelo para 2 Ativos com Correlação Perfeita Modelo com Função Quadrática para a Volatilidade As Limitações dos Modelos EMPREGO DE UMA ESTRATÉGIA DE NEGOCIAÇÃO Escolha do Modelo de Simulação Seleção dos Dados Definição da Função de Volatilidade A Estratégia de Negociação RESULTADOS CONVERGÊNCIA DA SIMULAÇÃO COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS DE SIMULAÇÃO E A FÓRMULA DE HEYNEN & KAT RESULTADOS DAS ESTRATÉGIAS DE NEGOCIAÇÃO CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS...118

13 1. INTRODUÇÃO 1.1. A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O emprego de opções com barreira no mercado financeiro vem se difundindo progressivamente, tanto em nível internacional quanto no mercado brasileiro. Com isto, ganha importância o estudo de tais opções, principalmente no que se refere à avaliação e à realização de hedge destes instrumentos. Merton (1973) foi o primeiro a desenvolver um modelo de avaliação para as opções com barreira, ainda que restrito para opções de compra do tipo downand-out. Desde então, diversas pesquisas buscaram novas formas e modelos de avaliação, entretanto, grande parte baseada nas mesmas premissas adotadas pelo modelo desenvolvido por Black e Scholes (1973) para opções comuns, isto é, sem barreiras. Entre as premissas do modelo de Black-Scholes (B-S), destaca-se a restrição imposta para a volatilidade, considerada constante durante toda a vigência da opção. Evidências empíricas demonstram que a condição de homocedasticidade não se verifica na prática. Diversos fatores, sejam estes macroeconômicos, de condições de mercado, ou até mesmo comportamentais, podem influir no preço e também na volatilidade de um determinado ativo. No caso específico de ativos que são objetos de lançamento de opções, nota-se que a volatilidade do retorno do ativo é influenciada até mesmo pelo correr do tempo de vigência da opção, existindo assim uma forte influência do fator tempo no preço da opção em questão. Outro fator que contribui para a variação da volatilidade no caso das opções é o próprio nível de preço em que se encontra o ativo-objeto: nota-se variações de preço bem distintas do ativo se este apresenta preço baixo ou se apresenta patamares elevados. Estas constatações conduzem à pesquisa de novos modelos de avaliação de opções com barreira onde a premissa de homocedasticidade seja então relaxada.

14 2 O desenvolvimento de um modelo analítico específico para opções com barreira com dois ativos diferentes (Heynen e Kat, 1994) vem permitindo a avaliação de opções com um único ativo, porém com dois níveis distintos para a volatilidade. Desta forma, tem-se um modelo de avaliação onde é possível relaxar a premissa da homocedasticidade. Contudo, tal modelo parece demasiadamente simplista para captar a variação da volatilidade do preço, chamada de volatilidade da volatilidade (vol-vol), o que pode estar gerando um significativo viés na determinação do preço justo da opção OBJETIVOS Objetivo Principal Esta pesquisa tem por objetivo estudar a avaliação de opções com barreira quando considerada a variação da volatilidade do ativo-objeto ao longo da vigência da opção, a partir de uma análise do emprego da fórmula analítica desenvolvida por Heynen e Kat (1994), doravante referenciada como Heynen & Kat ou simplesmente H&K. Esta fórmula, originariamente destinada para opções com barreira com dois ativos diferentes, tem sido utilizada para a avaliação de opções com barreira com um único ativo, porém considerando dois níveis distintos de volatilidade. Contudo, com o intuito de verificar se este uso específico da fórmula é capaz de captar satisfatoriamente os efeitos da volvol, é realizada uma estratégia de negociação de arbitragem buscando verificar a possibilidade de obtenção de lucros com a negociação sistemática de uma opção com barreira e a realização simultânea de delta hedging, de forma que o investidor se mantenha livre de risco de mercado durante toda a realização da estratégia. As operações de arbitragem são realizadas a partir da comparação diária do preço de uma determinada opção com barreira obtido através de um modelo de simulação de Monte Carlo, que considera a volatilidade como sendo uma função contínua do preço do ativo, doravante denominado MC, e o valor fornecido por H&K.

15 Desenvolvimento de um Modelo de Avaliação Para se chegar ao objetivo principal do estudo, a metodologia adota o emprego de um modelo alternativo ao utilizado pelo mercado, contrastando os preços fornecidos por cada um dos modelos em uma determinada estratégia de negociação. Destarte, tem-se como objetivo secundário o desenvolvimento deste modelo de avaliação e de cálculo do delta de opções com barreira que leve em consideração a mudança de volatilidade do ativo-objeto em função do valor à vista do próprio ativo-objeto Questão a Ser Respondida pela Pesquisa Assim sendo, o experimento desenvolvido visa responder a seguinte pergunta: É possível a obtenção de lucros com a compra e venda sistemática de opções com barreira através de uma estratégia de negociação de arbitragem do tipo delta-neutro, a partir da utilização de um modelo alternativo para a avaliação das opções, que seja capaz de melhor captar os efeitos da vol-vol? A constatação de que é possível obter lucros com a realização da estratégia se apresenta como um indicador de que H&K não é capaz de considerar adequadamente a vol-vol e, por conseqüência, não fornece o que seria o preço justo da opção com barreira. A possível constatação de que H&K não é capaz de valorar adequadamente tais instrumentos financeiros pode alertar os participantes deste mercado quanto a necessidade de estudo e pesquisa de modelos que melhor reflitam o preço justo da opção MOTIVAÇÃO DO ESTUDO A negociação de opções de ações com barreira teve início no ano de 1967, no mercado norte-americano, sendo a princípio somente negociadas no mercado de balcão (over-the-counter), individualmente ou como parte de uma operação estruturada. Desde então vem ganhando importância no mercado financeiro, sendo hoje o tipo mais utilizado da classe das denominadas opções exóticas. A Chicago Board Options Exchange (CBOE) e a American Stock

16 4 Exchange oferecem ao mercado a negociação de opções de índices de ações com barreira do tipo up-and-out call e down-and-out put. 1 No mercado de balcão norte-americano tem sido bastante comum a negociação de opções com barreira de commodities, taxas de juros e moedas, sendo estas últimas as mais comuns. No Brasil a utilização de opções com barreira é bem mais recente e restrita, porém tal quadro vem se alterando a partir da integração e internacionalização do mercado financeiro nacional. Algumas instituições financeiras internacionais instaladas no Brasil já incluem as opções com barreira no rol de seus produtos financeiros. O público-alvo é composto por empresas e investidores institucionais que buscam um instrumento de hedge específico e a custos mais baixos. A Bolsa de Mercadorias e Futuros BM&F oferece contratos já especificados para negociação de Opções de Compra Flexíveis de Índice Ibovespa e de Taxa de Câmbio de Reais por Dólar no mercado de balcão 2. Pelas suas características, tais instrumentos podem ser classificados na categoria das opções com barreira. As opções flexíveis de dólar se configuram pela determinação de um valor máximo para a taxa de câmbio para efeito de exercício da opção, o que caracteriza uma barreira do tipo up, porém a opção não deixa de existir quando o valor à vista da taxa de câmbio alcança a barreira. Tal mecanismo torna esta opção similar a uma opção do tipo up-andout com rebate igual ao valor da barreira menos o preço de exercício (R = H - K). Contudo, a verificação da barreira só ocorre no momento do exercício, ou seja, ainda que o valor à vista da taxa de câmbio tenha superado a barreira durante a vigência da opção, o titular poderá receber no exercício um valor inferior ao rebate, caso neste momento o valor da taxa esteja inferior ao valor da barreira. As opções flexíveis de Ibovespa, por sua vez, podem ser do tipo in 1 A CBOE introduziu a negociação de up-and-out calls e down-and-out puts sobre os índices S&P500 e S&P100 em Novembro de (Kat e Verdonk, 1995) 2 As especificações destes contratos podem ser obtidas no site da BM&F

17 5 ou out, up ou down, ou até mesmo uma combinação de in com out, sendo que neste caso a barreira do tipo out somente será válida se a barreira in já tiver sido acionada. Podem ser também semelhantes às opções flexíveis de dólar, no sentido de que haja apenas um limite de preço para exercício da opção, caracterizando uma barreira do tipo up com rebate igual ao valor da barreira menos o preço de exercício. O monitoramento das barreiras pode ser contínuo ou discreto. No primeiro caso, adota-se o Ibovespa máximo do dia para verificação do alcance da barreira, enquanto que no segundo caso é possível utilizar o Ibovespa médio ou o valor de fechamento do dia. Como pode ser constatado, a BM&F permite uma série de variações de tipos de barreiras, cabendo às partes a definição exata do instrumento que desejam: a escolha de prazos, preços de exercícios e barreiras, assim como as condições de exercício, se serão opções européias ou americanas. Dito isto, a partir deste crescimento do emprego das opções com barreira, podemos apresentar a motivação para a realização da presente pesquisa através dos seguintes fatores: i) A importância das opções exóticas como produtos individualizados para empresas e investidores que buscam instrumentos de hedge no mercado de derivativos; ii) O aumento progressivo do uso de opções com barreira no Brasil, o que vem a criar uma demanda por modelos de avaliação; iii) A escassez de literatura específica sobre a questão da avaliação de opções com barreira quando não pressuposta a volatilidade do ativoobjeto constante; iv) A dificuldade inerente a opções deste gênero para realização do seguro dinâmico de portfólio, haja vista o fato da opção tornar-se imediatamente nula (ou efetiva) no momento em que o ativo-objeto romper a barreira, gerando um desequilíbrio em uma carteira anteriormente delta-neutra.

18 RELEVÂNCIA DO ESTUDO Os fatores acima, principalmente o abordado no item (ii), demonstram a importância e a relevância do estudo para os profissionais que direta ou indiretamente participam do mercado financeiro. A importância de se aprimorar os modelos de avaliação de opções com barreira se refere tanto aos lançadores (vendedores) das opções, em geral grandes instituições financeiras, quanto aos titulares (compradores), investidores individuais ou institucionais que buscam produtos que atendam suas necessidades específicas de proteção. Neste último caso, as opções com barreira se apresentam como alternativa de excelente combinação entre flexibilidade e custo. Uma melhor avaliação e uma maior compreensão do comportamento de tais opções contribuirá para o desenvolvimento deste mercado. Em termos do que ora se propõe neste estudo, a possibilidade de constatação de que a fórmula de H&K, supostamente empregada pelo mercado, não é adequada para a valoração de tais instrumentos financeiros pode alertar os participantes deste mercado quanto à necessidade de estudo e pesquisa de modelos mais acurados ou, no mínimo, de empregarem os atuais modelos conscientes de que estes não necessariamente refletem o preço justo da opção. Ilustrando a importância do presente estudo podemos ainda citar Derman (2001) quando diz que:... tesourarias de bancos de investimento geralmente possuem substanciais posições em derivativos de longo prazo ou exóticos, que são marcados a mercado apenas através de modelos matemáticos. A obtenção do valor justo destes derivativos é tarefa que vem ganhando importância e envolve mais que matemática e um modelo. Requer software, conhecimento e bom senso... (tradução nossa) 1.5. DELIMITAÇÃO DO ESTUDO A primeira e principal delimitação deste estudo é que ele não se propõe a desenvolver um modelo que possa ser considerado eficiente na valoração das

19 7 opções com barreira. O desenvolvimento de um modelo alternativo, capaz de melhor considerar os efeitos da vol-vol, objetiva apenas comparar suas avaliações com os valores fornecidos pela fórmula de H&K, testando se esta é capaz de refletir adequadamente a variação da volatilidade ao longo da vigência de uma opção. Em outras palavras, os preços obtidos através do modelo alternativo não são necessariamente os preços justos para as opções em análise. Além desta delimitação, é possível destacar algumas outras: i) O estudo foi todo efetuado para opções com barreira sobre ações, não contemplando opções sobre outros ativos financeiros; ii) As opções utilizadas na análise foram do tipo up-and-out call, não tendo sido realizado qualquer estudo ou cálculo para opções do tipo down, ou do tipo in, ou mesmo para opções de venda; iii) Também não foi considerada a possibilidade da opção possuir uma barreira que não fosse constante no tempo (barreiras variáveis) ou mesmo uma barreira descontínua (parcial); As delimitações (i) e (ii) não são deveras limitações dos resultados, haja vista que a metodologia aqui empregada pode ser repetida para outros tipos de opções com barreira simples, assim como para outros ativos financeiros, sem que seja esperada a obtenção de resultados diferentes dos aqui encontrados ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO Introduzido o assunto deste estudo, aí incluído a formulação do problema, os objetivos, a motivação, a relevância dentro da área de finanças, em particular, no que diz respeito à avaliação de derivativos, assim como definidos os limites de abrangência da pesquisa, cabe agora apresentar a organização da presente dissertação. O Capitulo 2 discorre sobre a teoria relacionada ao assunto em estudo, sempre fazendo referência às principais contribuições existentes na literatura. A Seção 2.1 trata em poucas palavras do surgimento das opções exóticas. A Seção 2.2 apresenta a definição, a descrição dos tipos e do funcionamento das

20 8 opções, fornecendo ainda um destaque para as opções com barreira com dois ativos. A Seção 2.3 discorre sobre o comportamento dos preços dos ativos, abordando os processos contínuos e com saltos, assim como discutindo a questão da volatilidade e sua variação, a volatilidade da volatilidade (vol-vol). A Seção 2.4, por sua vez, tem seu enfoque nos métodos existentes para avaliação de opções com barreira. A Seção 2.5 trata especificamente do hedge de opções com barreira e, por último, a Seção 2.6 apresenta a teoria relativa à realização de estratégias de negociação do tipo delta-neutro. O Capítulo 3 da dissertação apresenta a metodologia adotada para realização do experimento aqui proposto. Inicialmente, fornece uma descrição geral do experimento, incluindo aí a formalização das hipóteses consideradas no estudo. A metodologia adotada para a elaboração dos modelos alternativos de avaliação, empregados na pesquisa, é apresentada na Seção 3.2. Em seguida, na Seção 3.3, é abordada a metodologia utilizada para comparar os modelos desenvolvidos com a fórmula de H&K. Por último, na Seção 3.4, é descrito o procedimento para se realizar as estratégias de negociação. Neste capítulo encontra-se ainda a descrição dos dados empregados no experimento e é também exposto como a vol-vol foi considerada nos modelos desenvolvidos. O Capítulo 4 apresenta os resultados obtidos em todas as etapas do experimento, passando pela análise de convergência de um modelo de simulação preliminar, pela comparação entre resultados obtidos pelos modelos de simulação e os da fórmula de H&K, e terminando com os resultados obtidos com a realização das estratégias de negociação. Por último, o Capítulo 5 apresenta as conclusões, incluindo também as indicações de pesquisas futuras.

21 9 2. REFERENCIAL TEÓRICO O referencial teórico desta dissertação busca inicialmente fornecer ao leitor uma visão geral do produto financeiro denominado opção com barreira, partindo da família de derivativos de qual faz parte, as opções exóticas, chegando aos modelos de avaliação existentes. Para tanto, torna-se necessário abordar a questão do comportamento dos preços e da volatilidade de preços dos ativos a que se referem as opções. Adicionalmente, inclui-se uma breve discussão a respeito da estratégia de negociação do tipo deltaneutro, visto que o presente estudo utiliza a técnica de realização do seguro dinâmico de uma carteira através do emprego desta estratégia AS OPÇÕES EXÓTICAS Não há consenso entre os autores sobre o início da utilização de opções. Muitos consideram o Século XVII como marco inicial, a partir do emprego de instrumentos deste gênero na negociação de tulipas na Holanda, alguns citam a Idade Média, com o início do comércio, enquanto outros chegam mesmo a se referir à Grécia e à China durante o período da Antiguidade. De concreto, porém, tem-se o registro do início das opções tradicionais (vanilla options) no mercado financeiro no decorrer do Século XVIII. As opções exóticas, por sua vez, são bem mais recentes, com cerca de 35 anos de existência. O termo exóticas, entretanto, é ainda mais novo, possivelmente criado por Mark Rubinstein no ano de 1990 (Ong, 1996). Na década de 60 surgiram as primeiras opções diferentes, isto é, fora dos padrões até então conhecidos, e foram inicialmente chamadas de boutique options ou designer options. As opções do tipo down-and-out estão disponíveis no mercado de balcão nos Estados Unidos desde 1967 (Cox e Rubinstein, 1985). As exóticas vieram progressivamente ganhando espaço dentro do mercado financeiro. A necessidade de controle de riscos impulsionou o mercado das opções exóticas, na medida em que propiciam diferentes tipos de

22 10 payoff capazes de atender aos mais diversos problemas da engenharia financeira. A flexibilidade é tamanha que não há limites para a criação: se há o desejo de uma nova estrutura, inventa-se uma nova exótica. Entre as exóticas já existentes destacam-se as opções cujos payoffs dependem da trajetória do ativo ao longo da vigência da opção, chamadas de path-dependent options, no qual se incluem as opções com barreira, assim como as lookbacks, asians, ladders, entre outras AS OPÇÕES COM BARREIRA Uma opção com barreira é ativada (knocked in) ou extinta (knocked out) quando um preço de um determinado ativo, índice ou taxa alcança determinado nível. A mais simples opção com barreira é aquela onde este ativo é o próprio ativo-objeto da opção. Entretanto, existem também as opções com barreira com dois ativos, que possuem o ativo determinante da barreira diferente do ativo utilizado para determinação do pagamento (payoff). A inclusão da barreira em uma opção reduz seu preço e possivelmente propicia uma distribuição de payoff que melhor se encaixe em um determinado fluxo de caixa de um hedger ou de um especulador. Como exemplo, imaginemos uma opção de compra do tipo down-and-out. A inclusão de uma barreira localizada abaixo do valor inicial do ativo (H < S 0 ), que acabe com a opção caso ultrapassada, reduz o preço de uma opção comum, oferecendo uma proteção mais barata contra uma possível subida do preço do ativo Como Funcionam as Opções com Barreira Exemplificando o funcionamento de uma opção com barreira, considerese o caso de uma opção de compra do tipo down-and-out, onde S é o preço do ativo, K o preço de exercício, e H, com H < S, o preço de barreira. Uma down- 3 Ong (1996) apresenta uma visão geral de um grande número de opções exóticas existentes.

23 11 and-out européia estará valendo max[s T - K, 0] no vencimento T, como uma opção de compra européia comum, se S esteve acima de H ao longo de toda a vida da opção. Porém, se S t < H para qualquer t < T, a opção terá alcançado a barreira e portanto expirado sem qualquer valor, independentemente do preço do ativo S no vencimento. Em muitos casos, a opção com barreira não expira sem valor quando alcança a barreira, pagando um valor fixo de rebate (R). Opções com barreira do tipo in funcionam de forma contrária. Se a barreira não for atingida durante toda a vigência da opção, o payoff no vencimento será nulo ou igual ao rebate, quando existente. Porém, se a barreira é alcançada em qualquer instante t < T, a opção é ativada, tendo no vencimento o mesmo payoff que teria uma opção européia comum equivalente. Pode-se dizer que as opções com barreira do tipo in se comportam como opções comuns a partir do momento em que a barreira é alcançada (a opção é ativada), enquanto as opções do tipo out se comportam como opções comuns até o momento em que a barreira é alcançada (a opção é extinta) Os Tipos de Opções com Barreira Em primeiro lugar, devemos considerar que as opções com barreira podem ser do tipo européia ou americana 4, embora a grande maioria seja européia, permitindo o exercício somente no vencimento. Este estudo estará sempre se referindo a opções européias, quando nada dito em contrário. Conhecido o funcionamento de uma opção com barreira, conforme apresentado no exemplo da seção anterior, pode-se relacionar oito diferentes tipos de opções com barreira, dependendo do tipo básico das opções (de compra ou de venda), da natureza da barreira (in ou out) e da localização da 4 A diferença entre opções européias e americanas está na possibilidade do exercício antecipado de uma opção americana, enquanto que a européia somente pode ser exercida em seu vencimento.

24 12 barreira em relação ao preço inicial do ativo-objeto (up ou down). No Quadro 1 encontra-se uma descrição dos payoffs para cada um dos tipos de opções com barreira: Tipo Básico Opção de Compra (Call) Opção de Venda (Put) Natureza da Barreira In Out In Out Quadro 1 Tipos de Opções com Barreira Relação Localização entre Payoff no Vencimento da Barreira H e S o Max(S*-K;0), se S(t) H para algum t T Up H > S o R ou zero, se S(t) < H para todo t T Max(S*-K;0), se S(t) H para algum t T Down H < S o R ou zero, se S(t) > H para todo t T Max(S*-K;0), se S(t) < H para todo t T Up H > S o R ou zero, se S(t) H para algum t T Max(S*-K;0), se S(t) > H para todo t T Down H < S o R ou zero, se S(t) H para algum t T Max(K-S*;0), se S(t) H para algum t T Up H > S o R ou zero, se S(t) < H para todo t T Max(K-S*;0), se S(t) H para algum t T Down H < S o R ou zero, se S(t) > H para todo t T Max(K-S*;0), se S(t) < H para todo t T Up H > S o R ou zero, se S(t) H para algum t T Max(K-S*;0), se S(t) > H para todo t T Down H < S o R ou zero, se S(t) H para algum t T Obs.: H é a barreira; S 0 é o valor inicial do ativo-objeto; S* é o valor do ativo-objeto no vencimento; K é o preço de exercício; R é o valor do rebate; e T é a maturidade da opção. Cada tipo de opção com barreira implica na modificação do payoff da opção em relação a uma opção comum. Como exemplo, em uma opção de compra do tipo up-and-out, a barreira está localizada dentro do dinheiro (in-themoney), limitando assim o risco dos lançadores (emissores) e, naturalmente, o possível lucro dos titulares. Uma opção de compra comum apresenta risco ilimitado para seus lançadores e possibilidade de ganhos também ilimitados para seus titulares. Além destas classificações, as opções com barreira podem ainda se diferenciar pela periodicidade do monitoramento da barreira e pela definição da barreira, se são constantes no tempo ou variáveis. Seguem breves explicações sobre estas possibilidades.

25 13 Monitoramento Contínuo e Monitoramento Discreto Define-se aqui freqüência de monitoramento como sendo o intervalo de tempo entre verificações da condição imposta pela barreira, isto é, de quanto em quanto tempo se verifica se a barreira foi alcançada. O monitoramento pode ser contínuo, quando se dá durante todo o decorrer da vigência da opção, ou discreto, quando se estabelecem momentos específicos para se verificar se a barreira foi alcançada ou não. Neste segundo caso se estabelecem determinados momentos para se verificar se o preço do ativo-objeto S é maior ou menor que a barreira H, indicando se a opção continua sua existência ou é extinta (no caso das opções do tipo out). Em grande parte das vezes, o monitoramento é diário, tomando-se o preço de fechamento do pregão como referência, mas há opções com barreiras com monitoramento semanal, mensal, ou até mesmo em determinadas datas específicas. O monitoramento contínuo apresenta a priori um problema prático representado pela necessidade de se realizar a todo momento uma verificação da condição imposta pela barreira. Entretanto, se o ativo-objeto é negociado em bolsa e existem registros satisfatórios dos preços realizados no decorrer do dia, é possível solucionar a presente questão adotando, por exemplo, a regra de realização da referida verificação no fechamento do pregão utilizando o preço máximo (se for uma up) ou o mínimo (se for uma down) negociado naquele dia. Interessante observar que o emprego do monitoramento discreto reduz a probabilidade da barreira ser atingida, o que faz com que uma opção do tipo out tenha maior valor e do tipo in tenha menor valor do que suas equivalentes com monitoramento contínuo. Barreiras Constantes ou Variáveis Algumas opções podem também variar na forma de definição da barreira, enquanto umas podem possuir barreiras variáveis no tempo, como uma

26 14 barreira exponencial, outras podem estipular barreiras descontínuas ou parciais, que se caracterizam por existirem somente durante determinado período de tempo dentro da vigência total da opção. Outra variação possível é a existência de múltiplas barreiras, podendo haver combinações entre barreiras up e down, inclusive sendo uma in e outra out As Opções com Barreira com Dois Ativos Algumas opções com barreira possuem a barreira definida por um ativo diferente do ativo-objeto da opção, ou seja, enquanto o exercício e o respectivo payoff são determinados por um ativo, a barreira é determinada por outro diferente. Heynen e Kat (1994) denominam tais opções de outside barrier options, visto possuírem uma barreira externa. Como exemplo, citam a estruturação de uma call realizada em outubro de 1993 por parte do Bankers Trust International, onde havia a opção de compra de uma cesta de ações belgas desde que o franco belga não sofresse uma apreciação superior a 3,5%. Tais opções são bastante úteis para aqueles que estejam procurando proteção para dois fatores de risco distintos como, por exemplo, um exportador de uma commodity, podendo este comprar uma opção de compra de dólar com barreira estipulada pelo próprio preço da commodity O COMPORTAMENTO DOS PREÇOS DOS ATIVOS Não é possível falar de avaliação de opções sem que se aborde a questão do comportamento dos preços dos ativos sob os quais estão lançadas as opções. Até mesmo porque o primeiro passo para avaliar opções é exatamente escolher o processo estocástico que governa o movimento de preços do ativo-objeto. Sobre isto, de uma forma bastante didática, Cox e Rubinstein (1985) apresentam três alternativas para os movimentos de preço das ações: (i) o modelo de difusão pura, (ii) o modelo de saltos e (iii) o modelo de difusão com saltos. A Figura 1 ilustra as três alternativas.

27 15 Modelo de Difusão Pura Modelo de Saltos Modelo de Difusão com Saltos Figura 1 Alternativas de Modelos de Movimentos de Preços Embora Cox e Rubinstein (1985) tenham didaticamente dividido os processos de movimentos de preços em três, estaremos aqui abordando-os sob o enfoque de apenas dois processos, visto que o modelo de saltos não é na prática empregado sob a forma pura. Ao final desta seção apresenta-se ainda uma discussão específica sobre a volatilidade e a volatilidade da volatilidade (vol-vol) dos preços dos ativos, seus efeitos nos processos de movimentos de preços e consequentemente na avaliação das opções com barreira O Processo Contínuo A partir da hipótese de mercado eficiente 5 é de se esperar que os preços dos ativos se alterem aleatoriamente no decorrer do tempo, não havendo qualquer influência do comportamento histórico no preço futuro. A eficiência de mercado pressupõe que todas as informações passadas já estão refletidas no preço atual e que o mercado responde imediatamente a toda nova informação acerca do ativo. A partir destas premissas, as alterações não antecipadas no preço do ativo são modeladas por um processo de Markov, caracterizado por um processo estocástico sem memória, onde somente o valor atual da variável é relevante para a estimativa futura. O modelo mais simples adotado é 5 Ross, Westerfield e Jordan (1996), assim como Brealey e Myers (2000), apresentam uma boa descrição e discussão do conceito e das formas de eficiência de mercado fraca, semiforte ou forte.

28 16 representado pela seguinte equação diferencial estocástica, conhecida como Movimento Geométrico Browniano, estabelecida para o retorno (ds/s) do ativo: ds = µ dt + σdz S O modelo é portanto composto por duas partes. A primeira é determinística, onde µdt é a contribuição do retorno total com µ correspondendo à taxa média de crescimento do preço do ativo ou o valor esperado para a taxa de retorno (drift). Nos modelos mais simples, µ é tomado como constante, enquanto que em modelos mais complexos pode ser uma função do tempo (t) e do próprio preço do ativo (S). A segunda contribuição ao retorno (σdz) tem característica randômica e representa as mudanças no preço em resposta a eventos externos, tais como novas informações que influenciem o preço do ativo. σ é a volatilidade e o termo dz é um processo de Wiener 6, onde dz é uma variável randômica gerada a partir de uma distribuição normal com média zero e variância dt, que pode ser representada por: dz = ε dt onde ε é uma variável randômica obtida de uma distribuição normal padronizada, ou seja, com média zero e desvio-padrão unitário. O modelo assim apresentado é um exemplo de random walk, por não ser possível prever de forma determinística a sua trajetória. Adicionalmente, a função densidade de probabilidade adotada é a da distribuição lognormal, caracterizando portanto um lognormal random walk. 6 O processo de Wiener é um caso particular do processo estocástico de Markov com drift igual a zero e variância anual unitária. Uma descrição formal do processo de Wiener pode ser encontrada em Hull (2000).

29 O Processo com Saltos Analisando a fórmula de Black-Scholes (B-S) para avaliação de opções, Merton (1976) considera crítica a hipótese adotada por este modelo para o comportamento dos preços, que vem a ser o modelo simples de difusão, com o processo estocástico contínuo no tempo. A solução encontrada por B-S somente pode ser válida se a dinâmica de alteração de preços satisfaz uma espécie de propriedade local de Markov, que, de forma simples, diz que em um curto intervalo de tempo o preço da ação pode somente sofrer pequenas alterações. Contudo, existem evidências no mercado de que os preços das ações sofrem alterações significativas em determinados momentos, usualmente em resposta a determinado anúncio de nova informação, caracterizando alterações de preços não-locais. Com isso, Merton (1976) apresenta um estudo de avaliação de opções quando a dinâmica de preços inclui a possibilidade de saltos. Merton (1976) decompõe a variação total de preços em dois tipos de alterações: (i) A vibração normal do preço, ocasionada, por exemplo, pelo desequilíbrio temporário entre oferta e demanda, por alterações nas taxas de juro da economia, ou até mesmo pelo surgimento de novas informações que causem apenas alterações marginais no preço. Este componente é modelado através do Movimento Geométrico Browniano, com variância constante ao longo do tempo, e apresenta uma trajetória contínua. (ii) Vibrações anormais do preço ocasionadas pelo surgimento de informações que causem alterações mais que marginais no nível de preço. Geralmente são informações específicas da empresa ou do setor em que atua. Este componente, por sua vez, é modelado por um processo de saltos. Enquanto no primeiro caso o componente natural do processo estocástico é baseado em um processo de Wiener, no segundo tem-se um processo de Poisson, no qual se determinam probabilidades de ocorrências de eventos (surgimentos de novas informações) durante um intervalo pequeno de tempo.

30 18 Merton (1976) apresenta então um modelo único, que representa a mistura dos dois tipos de processos, com a seguinte forma: ds S = ( α λk) dt + σdz + dq onde α é o retorno esperado instantâneo da ação; σ 2 é a variância instantânea do retorno, condicional ao não surgimento de novas informações (ou seja, o evento de Poisson não ocorre); dz é o processo padrão de Gauss-Wiener; q(t) é o processo de Poisson, sendo que dq e dz são independentes; λ é o número médio de novas informações ou número de saltos por unidade de tempo; k ε(y-1), onde (Y-1) é a variável randômica de variação percentual no preço se o evento de Poisson ocorre. Analisando a fórmula, nota-se que a parcela σdz corresponde à parte instantânea do retorno devido à vibração normal dos preços, enquanto que a parcela dq descreve a parte devida à vibração anormal. Se λ = 0 e, por conseqüência, dq 0, o processo se resume ao modelo de difusão adotado por Black-Scholes. A trajetória S(t) ocasionada pelo modelo assim descrito é contínua na maior parte do tempo com um número finito de saltos de diferentes tamanhos e amplitudes. A dinâmica do comportamento do ativo, portanto, dependerá (i) do processo básico de Gauss- Weiner, (ii) do número de saltos e (iii) da amplitude destes saltos. Merton (1976) mostra ainda que a partir deste processo misto é possível derivar uma fórmula para obtenção do preço de uma opção sobre este ativo, desde que se adote a premissa de que o risco associado com os saltos é diversificável. Cox e Ross (1976), por sua vez, introduzem uma série de alternativas para a modelagem dos movimentos dos preços, tanto através de processos de difusão quanto de processos com saltos. Fazem uma análise crítica da racionalidade dos processos puros de difusão e de saltos, e terminam por proporem alternativas mais plausíveis economicamente, que melhor

31 19 representem o mundo real. Partem de um modelo bastante genérico representado pela equação ds = µ s dt + σ s dx s onde µ s e σ s são funções que representam o comportamento econômico do ativo, tomados como dependentes de S (preço do próprio ativo) e do tempo t. O termo estocástico dx s pode ser ou um termo de difusão de Wiener (dz) ou a unidade variável do processo de Poisson (dπ). Se dx s é um termo de Poisson, então σ s é interpretado como a amplitude de um salto randômico. Portanto, desta equação geral, saem os casos particulares já conhecidos o modelo de difusão e o modelo com saltos. Desta mesma equação, na busca de modelos para avaliação de opções, Cox e Ross (1976) especificam processos de difusão alternativos do tipo ds = µ ( S, t) dt + σ ( S, t) dz onde µ(s,t) e σ 2 (S,t) são, respectivamente, a média instantânea e a variância, ambos dependentes do preço do ativo e do tempo. Em particular, é examinado o caso onde a variância é proporcional ao preço do ativo. Hull (2000), se referindo a este trabalho de Cox e Ross (1976), discute a racionalidade de um dos modelos alternativos propostos, onde o preço do ativo tem a volatilidade igual a σs -α, com 0 α 1, representado pela equação ds = µ Sdt + σs 1 α dz Desta forma, a volatilidade decresce à medida que o preço do ativo sobe, o que é considerado por Hull (2000) como bastante razoável, visto que uma queda de preço da ação deve refletir uma redução do desempenho operacional da empresa que, por sua vez, faz com que os custos fixos desta causem o efeito de aumento de volatilidade do preço. Inclusive, tal comportamento é geralmente constatado na forma do smile da volatilidade de ações.

32 20 Amin (1993) também estuda o processo de difusão com saltos e sua influência na avaliação de opções. Comenta que a inclusão de saltos nos modelos de avaliação de opções pode explicar boa parte dos vieses encontrados empiricamente quando a fórmula de Black-Scholes é utilizada, sugerindo assim que a adoção do processo de difusão lognormal, sem saltos, não representa satisfatoriamente o movimento de preços dos ativos. Em seu estudo, Amim (1993) apresenta um modelo de avaliação de opções, discreto no tempo, baseado em um processo de difusão com saltos, capaz de incorporar a possibilidade de exercício antecipado de opções americanas, considerando distribuições arbitrárias de saltos ou ainda a existência de saltos sistemáticos. Ainda com relação aos estudos de processos alternativos ao modelo de difusão usualmente utilizado, Zhou (1999) busca um processo que represente melhor o comportamento do ativo no caso específico de uma opção com barreira. Visto que esta é uma opção do tipo path-dependent, ou seja, que depende da trajetória do preço do ativo-objeto ao longo de sua vida, Zhou (1999) chama a atenção de que um bom modelo de avaliação de opções com barreira deve utilizar um processo que seja capaz de descrever apropriadamente as possíveis trajetórias. A partir disto, defende o emprego de modelo que admita descontinuidades na trajetória do preço do ativo, propondo então que estes preços sigam um processo de difusão com saltos. Zhou (1999), assim como considerado por Merton (1976), considera os saltos como eventos raros que causam alterações substanciais no preço do ativo. 7 Ignorar a possibilidade de ocorrência destes saltos, ainda que raros, implica em vieses na valoração das opções. 7 Em seus exemplos, Zhou (1999) utiliza λ = 0,03 saltos/mês, o que corresponde a aproximadamente 1 salto a cada três anos.

33 21 Entre as premissas adotadas por Zhou (1999), ao desenvolver seu modelo de difusão, está a de que o comportamento dinâmico do ativo-objeto S segue um processo de difusão com saltos do tipo: ds S = ( µ λυ) dt + σdz + ( Π 1)dY onde µ, ν, λ e σ são constantes positivas; Z representa o processo estocástico do Movimento Browniano padrão; dy é um processo de Poisson com parâmetro de intensidade λ; Π > 0 é a amplitude do salto, com valor esperado igual a ν +1; sendo que dz, dy e Π são mutuamente independentes. O processo representado por esta equação caracteriza um comportamento de vibração do preço do ativo, parte devida a alterações graduais nas condições econômicas e parte ocasionada pelo surgimento de novas informações, representada pelo componente de salto presente na equação. A partir da definição do processo de difusão com saltos, Zhou (1999) apresenta então uma formulação analítica para a determinação de preços de opções com barreira. Mais que a formulação em si, é interessante destacar a descrição efetuada por Zhou (1999) para os efeitos no valor da opção devidos à existência de saltos no comportamento do ativo. Ele considera dois impactos distintos na avaliação: (i) o impacto normal no preço de uma opção comum devido ao salto de preço do ativo, e (ii) o impacto na probabilidade do preço do ativo ultrapassar a barreira no decorrer da vida da opção. O primeiro efeito foi anteriormente estudado por Merton (1976) e muitos outros, de forma que Zhou (1999) focou seu estudo no segundo efeito, procurando variar a freqüência de ocorrência dos saltos (λ) e analisar as diferenças de preços entre opções comuns e com barreira. Entre as conclusões obtidas, destaque para a influência da maturidade da opção: quando próximas do vencimento, as diferenças entre preços de opções comuns e com barreira são pequenas; a medida que a maturidade aumenta, as diferenças tornam-se significativas. Tal

34 22 resultado é bastante intuitivo, haja vista que quanto maior a maturidade, maior será a probabilidade do preço do ativo ultrapassar a barreira. Ao comparar os valores de opções com barreiras obtidos via simulação para modelos com e sem saltos, Zhou (1999) pôde ainda constatar que a probabilidade de se ultrapassar a barreira é menor nos modelos com saltos, o que se reflete em um aumento do valor da opção do tipo out (redução no valor para opções do tipo in), seja ela uma opção de compra ou de venda, down ou up. Em síntese, a existência de saltos na trajetória do ativo-objeto reduz a possibilidade da barreira ser ultrapassada em opções com vencimentos distantes, o que aumenta o valor de uma out e reduz o de uma in. Importante ressaltar, no entanto, que estes resultados são válidos tão-somente para opções sem rebate. Zhou (1999) prossegue seu estudo incorporando a existência de rebates nas opções, fazendo as seguintes considerações: valor da opção com rebate = valor da opção sem rebate + valor presente esperado do rebate e que valor presente esperado do rebate = R x e -rt x probabilidade da barreira ser tocada onde R é o valor do rebate e t é o prazo para o vencimento da opção 8. Quando o rebate R é pequeno, o valor presente esperado do rebate também será pequeno e, por conseqüência, o valor de uma opção com rebate será próximo de uma sem rebate. Como resultado, os efeitos da existência de saltos na trajetória do ativo para opções com rebates pequenos são semelhantes aos das opções sem rebates. Por outro lado, os resultados são bem diferentes nas opções com valores de rebates elevados. Para uma opção do tipo out com rebate, uma redução da probabilidade da barreira ser ultrapassada (em virtude da inclusão de saltos no comportamento do ativo) significa uma redução do 8 Considera-se aqui que o rebate R é pago no vencimento da opção e não no momento em que a barreira é alcançada (o que pode ocorrer em opções do tipo out).