EVELYN GABBAY ALVES. Diagramas de interação para o dimensionamento de pilares esbeltos e seções de concreto de alta resistência.

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1 EVELYN GBBY LVES Diagramas de interação para o dimensionamento de pilares esbeltos e seções de concreto de alta resistência DISSERTÇÃO DE MESTRDO Departamento de Engenharia Civil PONTIFÍCI UNIVERSIDDE CTÓLIC DO RIO DE JNEIRO Rio de Janeiro, bril de 000

2 EVELYN GBBY LVES Diagramas de interação para o dimensionamento de pilares esbeltos e seções de concreto de alta resistência Dissertação apresentada ao Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil - Estruturas Orientadores: Giuseppe Barbosa Guimarães Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro Rio de Janeiro, bril de 000

3 I "O tamanho do sucesso de um trabalho é diretamente proporcional ao seu compromisso com a excelência, independentemente do assunto escolhido, mas este trabalho só tem valor, quando compartilhado com outras pessoas e acima de tudo, quando sentimos nosso íntimo dizer: Valeu a pena!" Presidente do Conselho dos Jovens Empresários Belém - P

4 II Dedico esta dissertação ao meu noivo Márcio, meus pais Marcos e legria, meus irmãos Bruno e ndre

5 III gradecimentos Deus, nosso criador e a quem devemos tudo os professores Giuseppe Guimarães e Paulo Gonçalves, pela amizade e excelente orientação os professores e funcionários da Pontifícia Universidade Católica, em especial à na Roxo, pelo carinho demonstrado durante o curso os professores da UFPa: ntônio Malaquias, José Perilo, ndré Montenegro e principalmente ao professor Ronaldson Carneiro pelo incetivo dado à realização da pós-graduação os meus pais e avós, exemplos de vida, e a toda minha família, pelo apoio, compreensão e carinho o meu noivo Márcio, pelo amor, ajuda e paciência mesmo nos momentos difíceis em que estivemos longe os amigos níbal, Janaina, Vítor, Giorgiana, Suzana, Nelly, Sidiclei e Cláudia Campos, pela amizade e convívio e principalmente aos amigos Marcelo, Salete e ellington que sempre com palavras de otimismo e carinho, me incentivaram e me apoiaram durante todo curso todos aqueles que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho o CNPQ pelo apoio financeiro

6 IV Resumo utilização do concreto de alta resistência já é uma realidade e muitos países estão adaptando suas normas para levar em conta as propriedades deste material No dimensionamento de pilares esbeltos e seções com concreto de alta resistência é importante observar a relação tensão-deformação adotada no cálculo, pois enquanto para o concreto convencional a deformação máxima, ε cu, é 0,0035, para o de alta resistência esta deformação depende do valor da resistência do concreto, diminuindo com o aumento do f ck Para um concreto com f ck = 80 MPa, por exemplo, ε cu é em torno de 0,00 de acordo com as relações tensão deformação propostas pelo MC90-CEB relação tensão-deformação com ε cu dependente de f ck irá alterar os diagramas de interação adimensionais para o dimensionamento de pilares esbeltos e concreto de alta resistência São construídos neste trabalho diagramas de interação força normal - momento fletor - curvatura (ν,µ,φ) e força normal - momento fletor - índice de esbeltez (ν,µ,λ) para o dimensionamento de pilares esbeltos e diagramas de interação (ν d,µ d ) e (ν d,µ dx,µ dy ) para o dimensionamento de seções submetidas a flexão composta reta e oblíqua dotou-se a relação tensão-deformação proposta pelo MC90-CEB e valores de f ck de 50 a 80 MPa Os diagramas para pilares esbeltos foram construídos com auxílio do programa PCFRME (KRÜGER, 1989) e os diagramas para o dimensionamento de seções foram construídos com um programa desenvolvido neste trabalho través dos resultados, observa-se que, como ε cu depende de f ck, todos os diagramas de interação sofreram diferenças, podendo ser dito ainda que o uso dos diagramas já existentes, construídos com ε cu constante e igual a 0,0035, pode conduzir a erros contra a segurança estrutural

7 V bstract The use of high strength concrete is already a reality and many countries are adapting their design codes to take into account the properties of this material For the design of slender columns and sections subjected to combined axial force and bending, the most important property is the stress-strain relationship While for normal concrete the strain at ultimate, ε cu, can be considered constant and equal to 0,0035, for high strength concrete ε cu depends on the concrete strength, decreasing as the strength increases For a concrete with f ck of 80 MPa, for instance, ε cu is around 0,00 according to the CEB Model Code (1990) Stress-strain relationship with ε cu dependent of f ck will affect the nondimensional interaction diagrams for the design of slender columns and sections of high strength concretes Nondimensional interaction diagrams moment-axial load-curvature (µ,ν,φ) and diagrams moment-axial load-slenderness ratio (µ,ν,λ), for the design of slender columns, and nondimensional interaction diagrams (µ d,ν d ) and (ν d,µ dx,µ dy ), for compression plus axial and biaxial bending of sections, are constructed in this work The diagrams were constructed for concretes with strength between 50 MPa and 80 MPa, adopting suitable stress-strain relationships recommended by the CEB Model Code 1990 The diagrams for slender columns were constructed with the aid of an existing computational program developed in an earlier thesis, while the diagrams for the design of sections were constructed with a new program, specially developed in this work The results have shown that all these diagrams are affected, even when presented in a nondimensional form, when stress-strain diagrams with ε cu dependent of f ck are adopted The use of traditional nondimensional interaction diagrams, constructed with ε cu constant and equal to 0,0035, may lead to errors against structural safety

8 VI Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas Lista de Símbolos X XV XVI Capítulo I Introdução 1 Capítulo II nálise de pilares com concreto de alta resistência utilizando o programa PCFRME 3 1- Introdução 3 Descrição do Modelo Computacional Leis Constitutivas do Material 6 a Concreto 6 b ço 10 - Elemento Finito Utilizado Método de Resolução Curvas Momento Fletor Força Normal Curvatura Introdução 13 3 nálise das curvas obtidas pelo modelo Influência da resistência do concreto Curvas Momento Fletor Força Normal Índice de Esbeltez 41 Introdução 4 nálise das curvas obtidas pelo modelo 3

9 VII 43 Influência da resistência do concreto 31 Capítulo III nálise de tensões e deformações numa seção qualquer de concreto armado no estado limite último Introdução Geometria da seção transversal de concreto armado Esforços solicitantes de cálculo Deformada da seção no estado limite 36 a - Inclinação α da linha neutra 36 b - Deformações nas fibras extremas superior e inferior Relação tensão-deformação do concreto Relação tensão-deformação do aço 41 a - ço classe 41 b - ço classe B Esforços resistentes da seção no estado limite último Introdução 4 37 Obtenção dos esforços seccionais resistentes Integração numérica das tensões do concreto 44 Capítulo IV Diagramas de interação para o dimensionamento de seções submetidas a flexão composta reta e oblíqua com concreto de alta resistência Introdução 50 4 Diagramas de interação para flexão composta reta 50

10 VIII 41- Introdução 50 4 Dados utilizados na obtenção dos diagramas para flexão composta reta e apresentação das curvas Influência da resistência do concreto e comparação entre as curvas 55 a - Influência da forma do diagrama tensão-deformação 55 b - Comparação entre os diagramas adimensionais para concretos com diferentes resistências Diagramas de interação para flexão composta oblíqua Introdução Dados utilizados para a obtenção dos diagramas para flexão composta oblíqua e apresentação das curvas Comparação entre as curvas e influência da resistência do concreto 70 Capítulo V - Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros 74 Referências Bibliográficas 76 nexo 1 - Curvas Momento Fletor Força Normal Curvatura com uxílio do Programa PCFRME 79 nexo - Curvas Momento Fletor Força Normal Índice de Esbeltez com uxílio do Programa PCFRME 85 nexo 3 Diagramas de interação para seções submetidas a flexão composta reta com concreto de alta resistência 90 nexo 4 - Diagramas de interação para seções submetidas a flexão composta oblíqua com concreto de alta resistência 10

11 IX nexo 5 - Diagramas de interação para seções submetidas a flexão composta oblíqua com concreto de alta resistência Introdução 110 nálise geométrica não-linear Estado deformado de uma seção genérica Variação da energia potencial total 11 3 nálise física não-linear Obtenção dos esforços seccionais resistentes Determinação das derivadas parciais dos esforços resistentes em relação ao parâmetro de deformação 114

12 X Lista de Figuras Capítulo II Figura 1 Diferenças entre as relações tensão deformação propostas pelo CEB-90 e NBR-6118 para diferentes resistências do concreto 4 Figura Seção transversal analisada por SMIDERLE (1998) 4 Figura 3 Exemplos de resultados obtidos por SMIDERLE (1998) 5 Figura 4 Seção transversal utilizada para determinação das curvas 6 Figura 5 Curva tensão-deformação para compressão segundo CEB(1990) 7 Figura 6 Curva tensão - deformação para tração segundo CEB (1990) 7 Figura 7 Diagrama tensão - deformação para o aço classe 10 Figura 8 Diagrama tensão - deformação para o aço classe B 10 Figura 9 Sistemas de coordenadas: (a) natural e (b) auxiliar respectivamente 11 Figura 10 lgoritmo para análise da estrutura numa etapa do carregamento utilizado pelo modelo computacional 1 Figura 11 Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ-ν-φ 13 Figura 1 Diagrama µ-ν-φ para ν=0, e f ck =30MPa 14 Figura 13 Exemplo de gráfico µ x ε para ν=0, e f ck =30MPa 15 Figura 14 Figura 15 Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0, e concreto com resistências de 30, 60 e 90MPa 18 Região de fissuração das curvas µ-ν-φ para ν=0, e concreto com resistências de 30, 60 e 90MPa 19

13 XI Figura 16 Figura 17 Figura 18 Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0,4 e concreto com resistências de 30, 60 e 90MPa 0 Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0,6 e concreto com resistências de 30, 60 e 90MPa 0 Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0,8 e concreto com resistências de 30, 60 e 90MPa 1 Figura 19 Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ-ν-λ Figura 0 Forma do diagrama de momentos de primeira ordem empregado na obtenção das curvas µ-ν-λ 3 Figura 1 Diagrama µ-ν-λ para l e /h=40 e f ck =30MPa 6 Figura Figura 3 Curva momento aplicado x deformações na seção intermediária correspondente ao ponto da Figura 1 8 Curva momento aplicado x deformações na seção intermediária correspondente ao ponto B da Figura 1 9 Figura 4 Curvas µ ν λ para l e /h=5 e f ck =30MPa 30 Figura 5 Curvas µ ν λ para l e /h=10 e f ck =30MPa 31 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Comparação das curvas µ ν λ para l e /h=40 e f ck =30, 60 e 90MPa 3 Curvas µ ν λ Influência da resistência do concreto para l e /h=5 34 Curvas µ ν λ Influência da resistência do concreto para l e /h=10 34

14 XII Capítulo III Figura 31 Definição da seção 35 Figura 3 Esforços solicitantes de cálculo 36 Figura 33 Inclinação α da linha neutra 37 Figura 34 Representação dos domínios de deformação correspondentes ao estado limite último de uma seção de acordo com o MC90-CEB 37 Figura 35 Esquema da deformada da seção 39 Figura 36 Diagrama tensão-deformação do concreto 39 Figura 37 Definição das regiões 0, I e II da seção 43 Figura 38 Domínio plano R com contorno C 44 Figura 39 Definição da deformação em dois vértices consecutivos 45 Figura 310 Figura 311 Esquematização da integração dos esforços resistentes para o concreto 47 Definição da equação da reta que passa por dois vértices consecutivos 48 Capitulo IV Figura 41 Figura 4 Figura 43 Primeiro caso de distribuição de armadura analisado para seções submetidas a flexão composta reta 51 Segundo caso de distribuição de armadura analisado para seções submetidas a flexão composta reta 5 Exemplo de curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura, f ck =65MPa e d /h=0,05 53

15 XIII Figura 44 Figura 45 Exemplo de curvas para o segundo caso de distribuição de armadura, f ck =80MPa e d /h=0,10 54 Esforços numa seção sujeita a flexão composta com grande excentricidade 55 Figura 46 Definição dos coeficientes α 1 e ξ' 56 Figura 47 Figura 48 Comparação entre as curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura, valor de d /h=0,10 e f ck 50 MPa, 65 MPa e 80MPa 59 Comparação entre as curvas para o segundo caso de distribuição de armadura, valor de d /h=0,10 e f ck 50 MPa, 65 MPa e 80MPa 60 Figura 49 Gráfico explicativo para a verificação da seção 6 Figura 410 Representação da superfície de interação 65 Figura 411 Representação plana dos diagramas de interação 65 Figura 41 Figura 413 Figura 414 Primeiro caso de distribuição de armadura analisado para seções submetidas a flexão composta oblíqua 66 Segundo caso de distribuição de armadura analisado para seções submetidas a flexão composta oblíqua 67 Dados utilizados para a obtenção das curvas das Figuras 415a e 415b 67 Figura 415a Exemplo de curvas de interação para o primeiro caso de distribuição de armadura, f ck =65MPa e d /h=0,10 68 Figura 415b Exemplo de curvas de interação para o primeiro caso de distribuição de armadura, f ck =65MPa e d /h=0,10 69 Figura 416a Comparação das curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura, valor de d /h=0,10 e f ck igual a 65 e 80MPa 70

16 XIV Figura 416b Comparação das curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura, valor de d /h=0,10 e f ck igual a 65 e 80MPa 71 Figura 417 Comparação das curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura, valor de d /h=0,10, ν d =0,4; ω=0,4 e f ck 50 MPa, 65 MPa e 80 MPa 7

17 XV Lista de Tabelas Capítulo II Tabela 1 Casos analisados na obtenção das curvas µ - ν - φ 16 Tabela Casos analisados na obtenção das curvas µ-ν-λ (70 casos) 4 Tabela 3 nálise dos pontos nas curvas para le/h=40 (Figura 6) 33 Capítulo III Tabela 31 Correspondência entre os estados limites da NB-1, os valores do parâmetro D, ε c e ε i 38 Tabela 3 Correspondência dos domínios com os valores de ε c e ε i 38 Capítulo IV Tabela 41 Tabela 4 Tabela 43 Tabela 44 Tabela 45 nálise dos pontos nas curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura (Figura 47) 61 nálise dos pontos nas curvas para o segundo caso de distribuição de armadura (Figura 48) 61 Verificação para o primeiro caso de distribuição de armadura (Figura 47) 6 Verificação para o segundo caso de distribuição de armadura (Figura 48) 63 nálise dos pontos nas curvas para o primeiro caso de distribuição de armadura (Figuras 414a e 414b) 73

18 XVI Lista de Símbolos - Letras romanas maiúsculas:, B, C Constantes da função σ s para o aço classe B c s CG Área de concreto Área de armadura Centro de gravidade da seção de concreto D 0,D 1,D Constantes da função σ c na região I E c E c1 E s G km M M 1 M M d M Rx,M Ry,N Rz M Rξ,M R,N Rζ M RξΙ,M RΙ,N RζΙ Modulo de elasticidade tangente Módulo de elasticidade secante Módulo de elasticidade longitudinal do aço Polinômio genérico de integração numérica Momento fletor Momento fletor de primeira ordem Momento fletor de segunda ordem Momento fletor de cálculo Esforços resistentes na seção de concreto nas direções x,y,z Esforços seccionais resistentes nas direções ξ,,ζ Esforços seccionais resistentes nas direções ξ,,ζ referentes a região I do concreto M RξΙΙ,M RΙΙ,N RζΙΙ Esforços seccionais resistentes nas direções ξ,,ζ referentes a região II do concreto M Sx,M Sy,N Sz Esforços solicitantes nas direções x,y,z

19 XVII N NB N d NS R c Força normal Número de barras de aço da seção transversal Força normal de cálculo Número de segmentos da seção Resultante de compressão do concreto R s Resultante correspondente a armadura s R s X,Y,Z Resultante correspondente a armadura s Sistema global de coordenadas da seção - Letras romanas minúsculas: 1/r Curvatura da seção b d d/r Largura da seção de concreto ltura útil da seção Produto da curvatura pela altura útil da seção d Distância entre o centro de gravidade da armadura mais comprimida e o bordo mais próximo da seção d /h e f cd f ck f cm f ctm Relação entre a distância entre o centro de gravidade da armadura mais comprimida e o bordo mais próximo da seção e a altura da seção Deslocamento transversal de segunda ordem do eixo do pilar Resistência de cálculo do concreto à compressão Resistência característica do concreto à compressão Valor médio da resistência à compressão Valor médio da resistência à tração

20 XVIII f yd f yk h l l e x,y,z Resistência de escoamento de cálculo do aço Resistência de escoamento característica do aço ltura da seção de concreto Comprimento do elemento de concreto Comprimento de flambagem do pilar Sistema local de coordenadas da seção - Letras gregas: α Inclinação da linha neutra α 1 χ 0 Coeficiente que permite a determinação da tensão média de compressão em relação à posição da linha neutra Curvatura da seção transversal δ 1 Relação entre d e h δ Relação entre d e d δ 1 Relação entre d e h ξ ε Diferença entre ordenadas no sistema (ξ,,ζ) dos vértices i e i+1 que define o segmento de reta j Diferença entre abscissas no sistema (ξ,,ζ) dos vértices i e i+1 que define o segmento de reta j Deformação axial total ε 0 Deformação da fibra do centro de gravidade ε 1 Deformação do aço correspondente a 0,7 da resistência de cálculo ε c Deformação da fibra extrema superior do concreto

21 XIX ε c1 Deformação para tensão máxima de compressão ε ct Deformação de tração do concreto ε ct1 Deformação de tração do concreto correspondente à tensão de tração de 0,9f cm ε ct Deformação de tração do concreto correspondente à tensão de tração de f cm ε cu Deformação limite no concreto ε i Deformação da fibra extrema inferior ε s Deformação no aço referente à armadura s ε s Deformação no aço referente à armadura s ε yd Deformação unitária de escoamento do aço ε(y) φ Deformação correspondente a uma distância y da linha neutra Produto da curvatura pela altura útil da seção γ c Coeficiente de minoração da resistência do concreto γ s Coeficiente de minoração da resistência do aço s, ι λ Ordenadas do sistema de coordenadas (ξ,,ζ) dos pontos extremos superior e inferior da seção Índice de esbeltez µ 1 Momento fletor reduzido de primeira ordem µ Momento fletor reduzido de segunda ordem µ d Momento fletor reduzido de cálculo µ dx Momento fletor reduzido de cálculo na direção x µ dy Momento fletor reduzido de cálculo na direção y

22 XX ν d Força normal reduzida de cálculo σ c Tensão de compressão no concreto σ ct Tensão de tração no concreto σ s Tensão nas barras de aço com área s σ s Tensão nas barras de aço com área s σ(y) ω Tensão correspondente a uma distância y da linha neutra Taxa mecânica de armadura correspondente à área s ω Taxa mecânica de armadura correspondente à área s ρ i Percentagem da armadura total correspondente à i-ésima barra ξ 01, 01 ξ 1, 1 ξ,,ζ ξ Coordenadas no sistema (ξ,,ζ) do ponto que define transição entre as regiões 0 e I Coordenadas no sistema (ξ,,ζ) do ponto que define transição entre as regiões I e II Sistema local de coordenadas que passa pelo centro de gravidade da seção Posição da linha neutra ξ Coeficiente que define o ponto de aplicação da resultante R c

23 1 Capítulo I Introdução O concreto de alta resistência é um material que, apesar de ser considerado recente, já faz parte de nossa realidade, devido à sua grande viabilidade técnicoeconômica Em geral, são considerados concretos de alta resistência aqueles que apresentam resistências acima das usuais em um determinado local e época O concreto de alta resistência é produzido de maneira prática e econômica, utilizando-se cimento, areia e brita comuns, mas cuidadosamente selecionados, com uma relação água/cimento bastante reduzida, o que requer o uso de superplastificantes e um cuidadoso controle de qualidade no processo de produção São muitas as vantagens do concreto de alta resistência, como, por exemplo: aumento da durabilidade das estruturas, altas resistências iniciais, maior trabalhabilidade, resistência a ataques químicos, aderência a superfícies com concreto antigo (utilizado em reforço e recuperação de estruturas), rapidez na desforma, diminuição do volume de concreto, resistência à abrasão (utilizado em pisos de alta resistência), estruturas com menores dimensões (ex pilares, aumentando o espaço útil dos pavimentos e vagas nas garagens) É por isso que a maioria dos países desenvolvidos tentam adaptar suas normas para este novo material, como é o caso do Código Modelo do CEB No Brasil, o número de pesquisas realizadas ainda é relativamente baixo quando comparado ao de outros países, sendo a maior parte destas desenvolvidas a partir de 1990 versão atual da NB-1 ainda não contempla concretos de alta resistência e por isso os projetistas têm que recorrer a normas estrangeiras para o dimensionamento das estruturas O objetivo principal deste trabalho é o de construir diagramas de interação para o dimensionamento de pilares esbeltos sujeitos a flexão composta reta e diagramas de interação para o dimensionamento de seções sujeitas a flexão composta reta e oblíqua considerando concretos de alta resistência São feitas, ainda, comparações entre os resultados obtidos para concretos de alta resistência e concretos convencionais O trabalho está dividido em duas partes:

24 primeira, apresentada no segundo capítulo, trata da continuação de uma pesquisa realizada por SMIDERLE (1998) sobre a construção de diagramas de interação para o dimensionamento de pilares de concreto de alta resistência submetidos à flexão composta reta, com o auxílio do modelo computacional PCFRME (KRÜGER, 1989 e modificado por CMPOS, 1993) Neste capítulo, é feita uma breve descrição do modelo computacional adotado e são apresentadas as Curvas Momento Fletor Força Normal Curvatura e Momento Fletor Força Normal Índice de Esbeltez para o dimensionamento de pilares esbeltos Na segunda parte é desenvolvido um programa para seções submetidas a flexão composta reta e oblíqua com concreto de alta resistência, baseados na relação tensãodeformação proposta pelo CEB-90, como pode ser visto no terceiro capítulo Neste capítulo é apresentada a formulação com os conceitos básicos sobre a configuração deformada de uma seção qualquer de concreto armado no estado limite último, de acordo com o CEB-90, e a obtenção dos esforços resistentes Já o quarto capítulo apresenta os diagramas de interação construídos para o dimensionamento de seções submetidas a flexão composta reta e oblíqua No capítulo cinco são apresentadas as conclusões e as sugestões para trabalhos futuros e, nos anexos, um resumo do modelo computacional para a análise de pilares esbeltos e todas as curvas obtidas neste trabalho

25 3 Capítulo II nálise de pilares com concreto de alta resistência utilizando o programa PCFRME 1 Introdução O concreto armado é um material não-linear, já que seus componentes aço e concreto são não-lineares, ou seja, não existe linearidade entre suas tensões e deformações, o que denomina-se não-linearidade física No caso de pilares, também deve-se levar em conta a não linearidade geométrica, ocasionada pelos deslocamentos transversais ao seu eixo O dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado sujeitos à flexão composta deve ser feito por meio de um processo de aproximações sucessivas, onde, em cada iteração, procura-se igualar os esforços solicitantes aos resistentes Porém, com o intuito de facilitar os cálculos, já que estes são muito complexos, encontram-se disponíveis na literatura as curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura e Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez, baseadas no diagrama parábola-retângulo da NBR-6118 com a deformação máxima do concreto, ε cu, fixada em 3,5 Para concretos de alta resistência, entretanto, ε cu é menor do que 3,5 e esses diagramas podem perder a validade Uma comparação entre as relações tensão-deformação propostas pelo MC90- CEB e pela NBR (1978) para diferentes valores de resistências do concreto é feita na Figura 1 Observa-se que, para o concreto de 0MPa, quase não existem diferenças entre as curvas, mas, para o de 80MPa, as diferenças aparecem em todo o trecho da curva, principalmente no final, onde os valores das deformações últimas são bastante diferentes, já que no caso do diagrama proposto pelo MC90-CEB, esta depende do valor de f ck

26 4 Figura 1: Diferenças entre as relações tensão deformação propostas pelo CEB-90 e NBR-6118 para diferentes resistências do concreto Com base nesta diferença, SMIDERLE (1998) realizou um estudo sobre o comportamento de pilares de concreto armado com o auxílio do modelo computacional PCFRME (KRÜGER, 1989 e modificado por CMPOS, 1993), o qual leva em consideração a relação tensão-deformação proposta pelo MC90-CEB e as nãolinearidades físicas e geométricas Em seu trabalho foram construídas curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura e Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez para o dimensionamento de pilares à flexão composta reta com dois valores distintos de resistência (normal e alta) para um dado tipo de distribuição de armadura, conforme a seção transversal mostrada na figura abaixo d b h Figura : Seção transversal analisada por SMIDERLE (1998)

27 5 Os dados utilizados na obtenção destas curvas foram: d /h = 0,05 Resistências do concreto: f ck = 0 MPa e 80 MPa ço: C-50 s = c = bh Na Figura 3 são apresentados alguns resultados obtidos por SMIDERLE (1998): Figura 3: Exemplos de resultados obtidos por SMIDERLE (1998) Verifica-se que para o diagrama da esquerda (µ ν φ), as diferenças entre as curvas do concreto comum e o de alta resistência, diminuem com o aumento do momento atuante Já para o diagrama da direita (µ ν λ), notam-se que as diferenças são maiores nos trechos descendentes das curvas, que é justamente a região onde o pilar perde a estabilidade, o que será melhor explicado no decorrer deste capítulo Dando prosseguimento a este trabalho, foram construídas curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura e Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez para outro tipo de distribuição de armaduras conforme a Figura 4, sendo analisados pilares com três resistências diferentes à flexão composta reta

28 6 d b h Figura 4: Seção transversal utilizada para determinação das curvas Os dados utilizados na obtenção destas novas curvas foram: d /h = 0,10 Resistências do concreto: f ck = 30 MPa, 60 MPa e 90 MPa ço: C-50 s = 4 c = bh M=M 1 +M f yd = f yk / γ s e f cd = f ck / γ c Onde : ν d Nd = b h f cd M µ = d b h f d cd s f w = c f yd cd O estudo foi realizado com o auxílio do modelo computacional descrito a seguir: Descrição do Modelo Computacional Será mostrado neste item, um resumo da formulação e hipóteses utilizadas por KRÜGER (1989) e modificada por CMPOS (1993) de acordo com o apresentado na dissertação de LIM JR (1996) 1 - Leis Constitutivas do Material a - Concreto O modelo utiliza para representação do comportamento do concreto à compressão e à tração a formulação apresentada pelo CEB (1990) s curvas típicas são apresentadas nas Figuras 5 e 6, onde: f cm E c - Valor genérico da resistência à compressão; - Modulo de elasticidade tangente;

29 7 E c1 - Módulo de elasticidade secante; ε c1 - Deformação para tensão máxima de compressão que é igual a 0,00; ε cu - Deformação correspondente a 0,5f cm; f ctm - Valor genérico da resistência à tração; σ ct ε ct - Tensão de tração; - Deformação de tração; ε ct1 - Deformação de tração correspondente à tensão de tração de 0,9f cm ; ε ct - 0,00015 Figura 5: Curva tensão - deformação para compressão segundo CEB (1990) Figura 6: Curva tensão - deformação para tração segundo CEB (1990)

30 8 O CEB (1990) define f cm,para especificações de projeto, como: 8 f f ck cm + = (em MPa) (equação 1) equação que determina a curva genérica da Figura 5, é dada por: cm c1 c c1 c c1 c c1 c c1 c c f E E 1 E E + = ε ε ε ε ε ε σ (equação ) para ε c ε cu E, para valores maiores que ε cu, a equação da curva é: cm -1 c1 c c1 c c1 c c1 c c1 c c f = ε ε ξ ε ε ε ε ε ε ξ ε ε σ (equação 3) onde: + + = c1 c c1 cu c1 c c1 cu c1 c c1 cu 1 E E E E E E 4 ε ε ε ε ε ε ξ (equação 4) e a deformação ε cu : 1 1 E E E E 1 1 c1 c c1 c c1 cu = ε ε (equação 5) O módulo de elasticidade tangente para o concreto de peso normal pode ser estimado utilizando-se sua resistência característica, conforme a equação abaixo: ( ) 3 1/ cm0 cm e c /f f E α = (MPa) (equação 6)

31 9 onde: f cm0 = 10 MPa α e =,5 x 10 4 MPa Já o módulo de elasticidade secante fica definido como: fcm Ec1 = (equação 7) 0,00 O comportamento à tração do concreto, representado pela Figura 6, é definido pelo CEB (1990) como: σ ct = Ect εct (equação 8) para valores de σ 09f ctm, e: 0,1f ct (equação 9) 0,9f Ec ctm σ = fctm - 0, εct ctm para 09f ctm < σ f ctm Para as equações acima, o valor de f ctm é definido como: f f / 3 ck ctm =α fct, m (equação 10) ck0 f onde: α fct,m =1,40 MPa e f ck0 = 10MPa Finalmente, o valor de ε ct1 é igual a: 0,9fctm ε ct1 = (equação 11) Ec

32 10 b - ço São considerados dois tipos de armadura: classe e classe B, cujos diagramas tensão-deformação são os propostos pela NBR-6118 (Figuras 7 e 8) Figura 7 : Diagrama tensão - deformação para o aço classe Figura 8 : Diagrama tensão - deformação para o aço classe B

33 11 - Elemento Finito Utilizado O programa utiliza um elemento finito de viga descrito inicialmente em um sistema natural de coordenadas (Figura 9-a) Em seguida, este é transformado para um sistema auxiliar, onde as coordenadas de deslocamentos são dispostas segundo as coordenadas globais do pórtico e permitem a descrição de deslocamentos de corpo rígido (Figura 9-b) Logo após, é feita a transformação para o sistema global de coordenadas e, a partir daí, segue o método da rigidez direta (a) (b) Figura 9 : Sistemas de coordenadas: (a) natural e (b) auxiliar respectivamente 3 - Método de Resolução Para cada etapa do processo incremental precisa-se resolver o sistema não-linear de equações Esta resolução é feita pelo Método de Newton-Raphson por meio de várias estratégias à escolha do usuário, a saber: Método de controle do trabalho das forças externas; Método das normas dos deslocamentos; Método de controle dos deslocamentos; e o Controle de carga Para a análise da estrutura numa determinada etapa do carregamento é processado o algoritmo apresentado na Figura 10, independentemente do método utilizado para a resolução do sistema não-linear de equações

34 1 Cálculo das cargas nodais aplicadas a cada incremento Cálculo das características geométricas iniciais para o estado indeslocado e indeformado para o elemento Os acréscimos de deslocamentos globais oriundos da resolução dos sistemas de equações não-lineares são transformados em acréscimos de deslocamentos de cada barra tualiza as características geométricas e a matriz [T] Cálculo da matriz de rigidez tangente e o vetor dos deslocamentos nodais equivalentes às tensões para o sistema global Não Modifica a matriz de rigidez global para as condições de contorno Não Verifica a i-ésima iteração do critério de convergência Sim Resolve o sistema de equações para um novo acréscimo de deslocamentos globais, com atualização dos mesmos Forma uma nova matriz e um novo vetor de forças nodais Sim O processo iterativo é encerrado para o incremento em questão Verifica se o incremento de carga atingiu o máximo indicado nos dados de entrada O processo incremental é encerrado e os resultados da estrutura podem ser encontrados nos arquivos de saída Figura 10: lgoritmo para análise da estrutura numa etapa do carregamento utilizado pelo modelo computacional

35 Curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura 31 - Introdução São apresentadas a seguir curvas momento fletor - força normal - curvatura, obtidas pelo modelo computacional para concretos com resistências características de 30, 60 e 90 MPa s curvas foram obtidas seguindo-se os procedimentos apresentados na dissertação de SMIDERLE (1998) O modelo utilizado considera pilares bi-rotulados, discretizados em seis elementos, com a seção transversal indicada na Figura 11, submetidos a uma força normal de compressão constante (correspondente a um determinado valor de ν) e a um par de momentos fletores aplicados nos extremos, que vão sendo incrementados pelo programa, e são responsáveis pelos momentos de primeira ordem, como se pode verificar na figura abaixo d b h N= cte M 1 Elem 6 Valores Incrementados C C le Elem 5 Elem 4 Elem 3 Elem M 1 Elem 1 Figura 11: Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ-ν-φ 3 nálise das curvas obtidas pelo modelo Todos os diagramas foram feitos para concretos com resistências de 30, 60 e 90 MPa sempre considerando o aço C-50

36 14 ssim, fixado o valor de ν (da força normal N), as curvas foram obtidas para as diversas taxas mecânicas de armadura (ω) sempre para a seção intermediária C-C Figura 1 mostra as curvas correspondentes a ν=0, para uma seção de um pilar de concreto com resistência f ck =30 MPa O eixo das ordenadas representa os momentos fletores reduzidos totais, correspondentes à soma dos momentos de primeira ordem (esforços M 1, aplicados nas extremidades do pilar) com as solicitações de segunda ordem (Ne ) e as abscissas representam os valores da curvatura da seção (1/r) multiplicados por 1000 e por sua altura útil (d) N ssim, ν =, b h fcd M s f µ = e ω = b h fcd c f yd cd sendo M = M 1 + M onde: M 1 - momento de primeira ordem (aplicado); M -momento de segunda ordem (N e ) µ 040 C B w= w=08 w=06 00 w= w=0 w= Figura 1: Diagrama µ-ν-φ para ν=0, e f ck =30 MPa (d/r) x 1000

37 15 Observando as curvas para as diversas taxas mecânicas de armadura (ω), podem-se notar alguns pontos em que ocorrem mudanças nas suas trajetórias (, B e C assinalados na curva correspondente a ω= 1,0) No ponto, ocorre a físsuração no concreto Há então uma perda de rigidez da coluna com uma mudança na inclinação da curva em um trecho também aproximadamente linear até o ponto B, onde ocorre o escoamento da armadura tracionada (atingida no ponto B a deformação ε=ε yd =,07 ) O ponto C corresponde ao escoamento da armadura comprimida, com a curva tendendo a ficar na horizontal, atingindo-se então o esgotamento da capacidade de carga nalisando a Figura 13, pode-se verificar os comentários acima Nela é mostrada a evolução das deformações do concreto e das armaduras na seção intermediária do pilar com o acréscimo do momento M, para a curva correspondente a ω=1,0 ssim, acompanhando as deformações, pode-se observar os pontos onde ocorrem a fissuração do concreto (ε=0,15 ) e o início do escoamento das armaduras (ε=,07 ) d /h=0,10 - f ck = 30 MPa - ço C ν =0, - ω=1,0 µ Escoamento da rmadura Comprimida Escoamento da rmadura Tracionada Deformação nas armaduras Deformação no concreto Fissuração no Concreto ε = -07 ε = 015 ε = ε Compressão Tração Figura 13: Exemplo de gráfico µ x ε para ν=0, e f ck =30 MPa Na Tabela 1 são apresentados todos os casos analisados neste trabalho para a obtenção das curvas µ -ν - φ

38 16 s curvas obtidas para os outros valores de ν apresentam comportamento semelhante ao das curvas de ν=0,, diferindo, entretanto, na localização dos pontos de início de escoamento das armaduras tracionada e comprimida (pontos B e C da Figura 1) partir destes resultados observa-se que, com o aumento da força normal, os pontos B e C tendem a trocar de posição, ou seja, a armadura comprimida passa a escoar antes da tracionada Tabela 1: Casos analisados na obtenção das curvas µ - ν - φ ν fck ω aço d'/h , C-50 0, , C-50 0,

39 17 ν fck w aço d'/h , C-50 0, , C-50 0, Influência da resistência do concreto Na Figura 14 apresentam-se as curvas µ - ν - φ para concretos com f ck de 30 MPa, 60 MPa e 90 MPa plotadas no mesmo gráfico a fim de analisar a influência da resistência do concreto

40 18 Verifica-se que as diferenças entre as curvas tendem a diminuir com o aumento do momento atuante té a fissuração do concreto, as diferenças são grandes (Figura 15) partir deste ponto até o início do escoamento da armadura tracionada, as curvas das três resistências tendem a se aproximar um pouco, chegando a ficar coincidentes durante o escoamento da armadura tracionada até a armadura comprimida começar a escoar Neste ponto, próximo do estado limite último, as curvas voltam a se separar, ficando a de concreto com menor resistência ligeiramente acima daquelas construídas com concreto de alta resistência µ ν = 0, f ck =30MPa f ck =60MPa f ck =90MPa 040 w= w=08 w=06 00 w= w=0 w= (d/r) x Figura 14: Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0, e concreto com resistências de 30, 60 e 90 MPa

41 19 Figura 15: Região de fissuração das curvas µ-ν-φ para ν=0, e concreto com resistências de 30, 60 e 90 MPa Da mesma forma como foi feito para ν=0,, são apresentadas as curvas µ - ν - φ comparando-se as três resistências para ν=0,4, ν=0,6 e ν=0,8 respectivamente (Figuras 16, 17 e 18) Nota-se que há uma tendência de aumento das diferenças entre as curvas no estado limite último, com o crescimento da força normal ν, mas, de um modo geral, o comportamento destas curvas é semelhante ao apresentado na Figura 14 Vale ser dito também que as primeiras curvas µ - ν - φ (para ν=0,, ν=0,4 e parte de ν=0,6) foram obtidas com pilares esbeltos (λ 138) Mas, com o aumento da solicitação, o pilar muitas vezes passava a entrar em colapso por instabilidade, sem que a seção analisada tivesse sua capacidade de carga esgotada (o pilar flambava sem que as armaduras escoassem ou que o concreto esmagasse) inviabilizando a obtenção das curvas ssim, as demais curvas foram obtidas para as seções intermediárias de pilares curtos (λ 35)

42 0 040 µ ν=0,4 w=10 f ck =30MPa f ck =60MPa f ck =90MPa 030 w=08 w=06 00 w=04 w=0 010 w= (d/r) x 1000 Figura 16: Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0,4 e concreto com resistências de 30, 60 e 90 MPa 040 µ ν=0,6 w=10 f ck =30MPa f ck =60MPa f ck =90MPa 030 w=08 00 w=04 w= w=0 w= (d/r) x 1000 Figura 17: Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0,6 e concreto com resistências de 30, 60 e 90 MPa

43 1 040 µ ν=0,8 f ck =30MPa f ck =60MPa f ck =90MPa 030 w=10 w=08 00 w= w=04 w=0 000 w=00 (d/r) x Figura 18: Comparação das curvas µ-ν-φ para ν=0,8 e concreto com resistências de 30, 60 e 90 MPa

44 4 - Curvas Momento Fletor - Força Normal Índice de Esbeltez 41 - Introdução Neste item, são apresentadas as curvas momento fletor - força normal - índice de esbeltez, obtidas pelo modelo computacional para concretos com resistências de 30, 60 e 90 MPa De modo semelhante às curvas anteriores, estes diagramas foram obtidos baseados na dissertação de SMIDERLE (1998) e o modelo utilizado foi análogo ao das curvas µ-ν-φ, com seção transversal indicada na Figura 19 O pilar está submetido a uma força normal e a um par de momentos fletores aplicados nas extremidades, que vão sendo incrementados pelo programa de modo a se obterem pares de esforços (N e M 1 ) que levem o pilar ao colapso, seja por instabilidade ou pelo esgotamento da capacidade resistente de sua seção crítica (seção intermediária C-C indicada na figura abaixo, onde ocorre a excentricidade de segunda ordem máxima) d b N h M 1 Elem 6 Valores Incrementados C C l e Elem 5 Elem 4 Elem 3 Elem Ponto de integração deslocado para a extremidade do elem4 M 1 Elem 1 Figura 19: Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ-ν-λ Os pilares estão discretizados em seis elementos iguais, tendo o ponto de Gauss do elemento 4 se deslocado para a sua extremidade esquerda a fim de se poderem obter as tensões e deformações exatamente na seção intermediária do pilar

45 3 Deve-se ressaltar que as curvas foram obtidas com momentos de primeira ordem constantes ao longo do pilar conforme é mostrado na Figura 0 N M 1 M 1 M 1 M 1 Figura 0: Forma do diagrama de momentos de primeira ordem empregado na obtenção das curvas µ-ν-λ 4 nálise das curvas obtidas pelo modelo Todos os diagramas foram feitos para concretos com resistências de 30, 60 e 90 MPa, sempre considerando o aço C-50 ssim, escolhida uma determinada esbeltez, a resistência do concreto e a taxa mecânica de armadura (ω), cada par de esforços (ν e µ 1 ) que conduzia o pilar à ruína representava um ponto na curva µ -ν - λ Os pontos foram obtidos para dois pilares esbeltos (l e /h=40 e l e /h=5) e um pilar curto (l e /h=10), da seguinte maneira: fixavam-se os valores da força normal N (escolhidos em ordem crescente, a partir de zero, de modo a varrer todo o eixo das abscissas) e se fazia incrementar somente M 1 até que atingisse o valor que conduzisse o pilar à ruína Em seguida calculavam-se os esforços reduzidos na forma adimensional ν e µ 1 gerando as curvas Na Tabela, são mostrados todos os casos analisados para a obtenção destas curvas

46 4 Tabela : Casos analisados na obtenção das curvas µ-ν-λ (70 casos) l e /h f ck ω ν aço d'/h C-50 0,10 C-50 0,10

47 5 l e /h f ck ω ν aço d'/h C-50 0,10

48 6 Na figura abaixo é apresentado um gráfico contendo as curvas µ -ν - λ para um concreto com resistência convencional (f ck =30MPa) e esbeltez l e /h=40 (λ 138) para as diversas taxas mecânicas de armadura µ w=10 l e /h=40 f ck =30MPa - d'/h =0,10 - ço C w=08 w=06 00 w=04 Pontos de Mudança na Trajetória 010 w=0 B w= ν Figura 1: Diagrama µ-ν-λ para l e /h=40 e f ck =30 MPa Figura 1 mostra que, para todas as curvas (exceto a de ω=0), há uma mudança mais brusca nos seus traçados exatamente na região assinalada na figura fim de facilitar a análise do comportamento das curvas, foram tomados arbitrariamente os pontos e B O ponto B é justamente onde acontece esta mudança de trajetória e o ponto é relativo a ν=0,15 Como já foi dito, cada ponto de qualquer uma das curvas representa um par de esforços (ν e µ 1 ) que leva o pilar à ruína, seja por esgotamento da capacidade de carga de sua seção crítica (por esmagamento do concreto ou escoamento das armaduras) ou

49 7 por instabilidade da coluna ssim, a análise dos pontos será feita por meio de gráficos momento aplicado x deformações na seção intermediária do pilar (seção crítica), onde se poderá acompanhar o comportamento das deformações no concreto e nas armaduras à medida em que M 1 vai sendo incrementado (já que N era sempre mantido com um valor constante) Na Figura é apresentado um gráfico mostrando a evolução das deformações no concreto e nas armaduras na seção intermediária C-C, com os acréscimos do momento aplicado M 1, para o ponto (que representa o par de esforços ν=0,15 e µ 1 =0,06) São apresentadas duas curvas de deformações no concreto, uma para cada face do pilar Também para as armaduras aparecem duas curvas, representando as deformações nas duas porções de armadura dispostas de cada lado da seção companhando-se o gráfico tem-se inicialmente, para o momento aplicado igual a zero, todas as curvas de deformações juntas, partindo do mesmo ponto Trata-se, neste instante, de compressão uniforme Com o aumento do momento, as deformações do concreto nas duas faces do pilar vão se distanciando até que se tenha tração em uma delas partir daí, as fibras tracionadas do concreto resistem às tensões até o instante em que, atingida a deformação ε = 0,15, ocorre a fissuração Passa a existir, a partir deste ponto, apenas uma curva de deformações no concreto (na face comprimida da seção) e as duas curvas que representam as deformações nas armaduras comprimida e tracionada Com a fissuração do concreto, há uma perda de rigidez da seção e pode-se observar no gráfico a primeira mudança de inclinação das curvas Segue-se, então, um trecho praticamente linear, onde ocorre o escoamento da armadura tracionada Nova perda de rigidez da seção, com mais uma mudança de inclinação das curvas e o momento continua aumentando até atingir seu valor máximo exatamente no ponto onde a armadura comprimida começa a escoar seção passa então a não resistir mais a acréscimos de carga e as curvas passam a assumir um trecho descendente Conclui-se assim, que no ponto o que levou o pilar à ruína foi o esgotamento da capacidade de carga da seção intermediária C-C, que se deu por escoamento das armaduras

50 8 ω=10 d /h=0,10 - l e /h=40 f ck =30 MPa - ço C-50 Pto - ν =0,15; µ 1 =0, µ 1 Escoamento da rmadura Comprimida Deformação nas armaduras Deformação no concreto Escoamento da rmadura Tracionada Fissuração no Concreto 000 ε=-07 ε=015 ε= Compressão Tração ε Figura : Curvas momento aplicado x deformações na seção intermediária, correspondentes ao ponto da Figura 1 Já para o ponto B, as curvas µ 1 x ε apresentadas na Figura 3, mostram que as solicitações alcançam seus valores máximos sem que a seção crítica do pilar tenha esgotado sua capacidade resistente, ou seja, o momento aplicado começa a diminuir sem que as deformações indiquem escoamento das armaduras e esmagamento do concreto

51 9 Pto B - ν =0,4 ; µ 1 = 0,05 µ Instabilidade da Coluna 004 Escoamento da rmadura Comprimida Fissuração no Concreto ε = -07 ε = 015 ε Compressão Tração Figura 3: Curva momento aplicado x deformações na seção intermediária correspondente ao ponto B da Figura 1 Observa-se ainda que, após a fissuração do concreto, o pilar já não resiste mais a tantos acréscimos de carga como no caso anterior e, para um momento de 0,05, já se tem a ruína do pilar, sendo que a armadura só entra em escoamento no trecho descendente da curva Pode-se concluir então que se trata de um caso de instabilidade da coluna, pois é atingida a combinação crítica dos carregamentos capaz de gerar a instabilidade Neste caso os deslocamentos transversais do eixo do pilar vão crescendo cada vez mais rápido, sem que seja possível à seção oferecer esforços resistentes capazes de equilibrar os solicitantes

52 30 presentam-se na Figura 4 os diagramas µ -ν -λ para pilares com relação l e /h=5 e resistência característica f ck =30 MPa Estas curvas são obtidas da mesma forma que as anteriores (l e /h=40), também apresentam uma mudança de comportamento, embora não seja possível visualizar claramente os pontos correspondentes a esta mudança nas trajetórias 040 µ 1 l e /h=5 f ck =30MPa - d'/h=0,10 - ço C-50 w= w=08 00 w=06 w=04 Mudança de comportamento 010 w= w= ν Figura 4: Curvas µ ν λ para l e /h=5 e f ck =30MPa s curvas obtidas para e l/h=10 estão mostradas na Figura 5 Para este valor de l e /h, não foi observado nenhum caso de instabilidade, sendo que a ruína do pilar se dá por esgotamento da capacidade de carga da seção mais crítica do pilar, que continua sendo a intermediária

53 31 µ 1 l e /h= w=10 f ck =30MPa - d'/h=0,10 - ço C w=08 w=06 00 w=04 w=0 010 w= ν Figura 5: Curvas µ ν λ para l e /h=10 e f ck =30MPa 43 - Influência da resistência do concreto Na Figura 6 apresentam-se as curvas µ -ν - λ para l e /h=40 e concretos de 30, 60 e 90 MPa Verifica-se que as maiores diferenças entre as curvas se dão no trecho correspondente à ruína do pilar por instabilidade Excetuando-se a curva referente a ω=0, as diferenças entre as curvas para concretos de resistências convencional e elevada podem ser consideradas desprezíveis para os pontos de esgotamento da capacidade resistente da seção crítica do pilar por escoamento das armaduras partir do ponto em que as curvas entram na região de instabilidade as diferenças passam a ser bastante significativas Verifica-se também que, quanto menor a taxa de armadura, maiores as diferenças, pois quanto menor a armação do pilar, maior a