Primeira lei de Kepler: um texto para professores de Física do Ensino médio

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1 Primeira lei de Kepler: um texto para professores de Física do Ensino médio Kepler s first law: a text for high school physics teachers. Ricardo F.F. Cunha 1a*, A. C. Tort 2b. 1 Colégio Pedro II, Rio de Janeiro, Brasil 2 Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil a) ricardocunha@if.ufrj.br; b) tort@if.ufrj.br Resumo: As leis de Kepler são a base para o estudo de gravitação que, além de ser um assunto fascinante, é fundamental para que os alunos tenham uma compreensão da dinâmica do Sistema Solar e de uma boa parte do universo observável. No nível do ensino médio, de modo geral, as leis de Kepler são simplesmente enunciadas, fazendo com que o papel dos alunos seja apenas de aceitação. Nesse trabalho apresentamos aos professores uma demonstração matemática da 1ª lei de Kepler e, posteriormente, um exemplo de abordagem do tema em sala de aula usando o programa computacional Modellus. Abstract: Kepler's laws are at the foundation of universal gravitation which, in addition to being a fascinating subject, is a must when it comes to students understanding of the dynamics of the Solar System and of a good part of the observable universe. At the high school level, Kepler's laws are simply stated, so the students just accept it or pretend to accept it. In this work, we present to the teachers a mathematical demonstration of Kepler's first law and, late on an example of how to approach the theme in the classroom using the Modellus software. Palavras-chaves: Ensino de física, gravitação newtoniana. Keywords: Physics teaching, Newtonian gravitation. Introdução O conhecimento sobre os movimentos do sistema planetário, cometas, naves e satélites está previsto no tema 6 do PCN+[1]. Assim, a indagação como ensinar as leis de Kepler deve estar presente na mente do professor durante seu planejamento de atividade docente. Deste modo, em se tratando especificamente da 1ª lei, acreditamos que simplesmente

2 enunciá-la aos alunos não tem a mesma capacidade de propiciar uma aprendizagem significativa quando comparada a que se os alunos têm ao descobrir como são as órbitas dos planetas ao redor do Sol por si mesmos, com o mínimo de interferência possível do professor. Ao invés de fornecer as respostas, o docente pode fornecer a ferramenta necessária para que seus alunos cheguem a conclusões que virão a serem debatidas em sala. A citação de um aspecto por parte do professor é completamente diferente da situação em que os alunos promovem um debate sobre determinado assunto [2]. Este trabalho está dividido em duas partes. Na primeira parte, argumentos de cálculo que possibilitam a solução do problema de Kepler a cerca dos movimentos planetários, nos restringindo aqui à sua primeira lei, são apresentados. Na segunda parte um exemplo de como o professor pode trabalhar esse assunto em sala de aula é discutido. A partir do conhecimento da lei da gravitação universal de Newton, os alunos colocarão as equações de movimento no Modellus e poderão criar e visualizar as trajetórias dos planetas ao redor do Sol. O movimento planetário A solução do problema de Kepler representa um dos grandes triunfos das leis do movimento e da gravitação newtoniana. No que segue, nossas referências principais são [3,4]. Como a força gravitacional é um tipo de força central, a energia mecânica E e o momento angular L são constantes durante todo o movimento. Fazendo uso das coordenadas polares, podemos escrever a energia mecânica como: Por outro lado, a energia pode ser escrita em função do módulo do momento angular L, uma vez que. Sendo assim: ( ) conveniência, Substituindo o potencial gravitacional na equação acima e definindo, por, obteremos: ( )

3 Definindo u=1/r e completando quadrado, podemos reescrever a equação anterior sob a seguinte forma: Definindo ( ) ( ) ( ) ( ) chegamos à equação abaixo: cuja solução é: ( ) ou ainda, retornando às definições anteriores, teremos que: ( ) onde ( ) é a excentricidade da órbita. Assim, a equação da trajetória de um planeta ao redor do Sol fixo pode ser escrita como: [ ] Por conveniência, podemos escolher, logo: A equação anterior descreve mais do que a órbita de um planeta em torno do Sol, descreve uma classe de curvas que recebe o nome de cônicas. As cônicas são caracterizadas

4 pelo valor da excentricidade e se dividem em quadro famílias distintas: elipses, círculos, parábolas e hipérboles. Para comprovar isto convém passar para coordenadas cartesianas. Figura 1 - Sistema de coordenadas cartesianas com origem em um dos focos da elipse. Observando a figura acima, teremos que e Portanto a equação da órbita pode ser reescrita como: onde. A partir dessa equação das cônicas em coordenadas cartesianas podemos saber a órbita. Conforme vimos, a excentricidade é definida tem termos da energia mecânica do sistema. Para níveis de energia negativos, E < 0, temos que a excentricidade está compreendida entre o intervalo Para E = 0,, trajetória parabólica e, para energia mecânica positiva, E > 0, a trajetória será hiperbólica, conforme mostra a tabela a seguir:

5 Tabela 1 - características de cada cônica Órbita excentricidade equação energia Circular Elíptica Parabólica ( ) Hiperbólica Trabalhando a 1ª lei de Kepler em sala de aula A partir desse ponto apresentaremos alguns passos sequenciais para a utilização do Modellus no ensino de gravitação, fazendo com que os alunos possam perceber como se comporta um planeta sob influência apenas do Sol, chegando as suas próprias conclusões, ao invés de o professor simplesmente enunciar a 1ª lei de Kepler [6]. Desenhar um plano cartesiano com o Sol na origem, para facilitar, e um planeta em um ponto arbitrário (x,y). Represente a força gravitacional F, assim como suas decomposições :

6 Figura 2 Centro de força do sistema planeta-sol localizado no Sol, fixo, na origem. Próximo passo é desenvolver com os alunos a expressão das componentes: ou ainda, fazendo uso da expressão matemática da lei da gravitação universal de Newton: Agora vamos ao programa. Ao abri-lo aparecerá uma aba escrito modelo matemático. É nesse espaço que devemos colocar as equações que regem o nosso sistema, conforme mostra a figura abaixo: Figura 3 Modelo matemático. Por simplicidade e limitações do programa, pode-se fazer GM numericamente igual a 1, uma vez que estamos preocupados com a parte qualitativa do problema.

7 Após escrever as equações, peça aos alunos para apertarem o botão interpretar. Para finalizar a atividade, basta escolher as condições iniciais e apertar o play: Figura 4 Exemplo de condições iniciais. Outras infinitas garantem uma órbita elíptica, porém dependendo da escolha, a energia do sistema pode não ser negativa e, assim, a órbita não será limitada. O resultado é a órbita apresentada na figura a seguir: Figura 5 Órbita de uma partícula sujeita exclusivamente a uma força do tipo em determinados níveis de energia. Note que o centro de força não se encontra no centro geométrico da elipse. A partir desse resultado os alunos poderão compreender com maior facilidade a 1ª lei de Kepler.

8 Considerações Finais Com essa atividade os alunos poderão ver que a trajetória de um planeta ao redor do Sol é elíptica para determinadas condições iniciais. Dessa forma, a 1ª lei de Kepler não será algo que os alunos terão que aceitar, possibilitando uma melhor aprendizagem do assunto. Esperamos que esse tema seja de interesse de vários professores e que possam usar esse trabalho não só como referência teórica, mas também que possam reproduzir as atividades aqui propostas, fomentando a aprendizagem em Física. Referências [1] BRASIL. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+). Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, [2] Paiva, Josias Rogério. Múltiplas Representações na Construção do Conhecimentos Científico Escolar. São Paulo: USP, p. Tese (doutorado) Programa de Pós - Graduação Interunidades, na modalidade Ensino de Física, Instituto de Física, Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, [3] J. B. Marion; S. T. Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems. 5th edition. Belmont: Brooks/Cole, [4] Uzêda, Diego Dias. Tópicos em Física Clássica. Rio de Janeiro: UFRJ, p. Dissertação (mestrado) Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física, Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, [5] F. F. Cunha, Ricardo. A gravitação e a precessão de Mercúrio: um texto para professores do Ensino Médio. Rio de Janeiro: UFRJ, p. Dissertação (mestrado) Programa de Pós- Graduação em Ensino de Física, Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2017.