State-of-Art sobre o Controlo da Fendilhação devido a Deformações Impostas

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1 State-of-Art sobre o Controlo da Fendilhação devido a Deformações Impostas Rodolfo Micaelo Tavares Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Professor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Orientador: Professor José Manuel Matos Noronha da Camara Vogais: Professor João Sérgio Nobre Duarte Cruz Maio de 2010

2 Resumo A ocorrência de deformações impostas nas estruturas, tais como a variação de temperatura, retracção do betão e assentamentos diferenciais de apoio, são responsáveis pela menor qualidade de comportamento das mesmas, sendo que, ao existir restrição ao livre desenvolvimento destas deformações, tal implicará o aparecimento de tensões axiais que, por sua vez, ao atingirem os valores de tensão resistente do betão induzem o aparecimento de fendas. Uma das formas de controlar a abertura destas fendas é por meio da adopção de quantidades de armadura maiores ou iguais à mínima consoante o grau de exigência pretendido. A presente dissertação pretende documentar o que tem sido feito ao longo dos últimos 40 anos em relação ao tema da mesma, ou seja, sobre o controlo da fendilhação devido às deformações impostas e com esse fim realizou-se uma razoável pesquisa bibliográfica, baseado nos estudos efectuados no Instituto Superior Técnico. Neste documento apresenta-se e analisa-se os resultados obtidos por diversas investigações nesta área de uma forma que possa contribuir para o esclarecimento dos efeitos das deformações impostas nas estruturas de betão armado, sendo que estas acções devem ser consideradas fundamentalmente na verificação das condições de serviço da estrutura (Estados Limites de Utilização), salientandose que se devem considerar no dimensionamento à rotura somente no caso de eventuais esforços de segunda ordem e na verificação da ductilidade disponível. Também se apresentam as mais recentes disposições regulamentares para ter em consideração estes efeitos, alguns critérios propostos para o dimensionamento estrutural e situações de actuação das deformações impostas em estruturas. Palavras-chave: deformação imposta, comportamento em serviço, armadura mínima, abertura de fenda i

3 Abstract Imposed deformation in structures such as temperature variation, concrete shrinkage and differential settlement of supports are responsible for its lower performance. Therefore, if there are restrictions to the free development of such deformation, tension is generated in the concrete and when it reaches the tension resistance of concrete, it generates cracks. One way to control these crack widths is the adoption of minimal quantities of reinforcement. This work aims to summarize much of what has been done over the past forty years on the topic of cracking control due to imposed deformations; for this purpose a reasonable bibliographical research has been performed, based on the studies that took place at I.S.T. This document presents and analyzes the results obtained by many researches in this field intending to help to clarify the effects due to imposed deformations in the reinforced concrete structures. These actions must be thoroughly considered in regards of the structure service s condition (Serviceability Limit States). Design for Ultimate Limit States must be considered only in case of eventual second order effects and for the analysis of available ductility verification. It also illustrates the most recent codes indications in such cases and some proposed criteria for structural design for the situations in which structure's imposed deformation are important. Keywords: imposed deformation, serviceability behavior, minimal reinforcement, crack width ii

4 Agradecimentos Agradeço ao Professor José Camara pela possibilidade de desenvolver uma dissertação sob a sua orientação e pela colaboração demonstrada, sobretudo, no desenvolvimento dos exemplos práticos. Agradeço a ajuda valiosa prestada pelo colega de curso, Pedro Arruda, e pelo colega de trabalho, Pedro Sousa, na modelação do tanque. Agradeço à Cláudia Pona pela ajuda na concepção e revisão de texto e pelo auxílio que prestou ao longo de toda a tese. Agradeço ao meu irmão, Ruben Tavares, que como Designer Gráfico deu o seu contributo no tratamento de imagem e na concepção de algumas figuras apresentadas nesta dissertação. Agradeço aos meus pais, Rui Tavares e Maria João Tavares, pelo apoio prestado em todo o meu percurso escolar e, em particular, nesta fase, sendo exemplos em dedicação e amor dado aos filhos. iii

5 Índice I. Enquadramento Geral Introdução Tipos de deformação imposta Retracção Variação de temperatura Assentamentos diferenciais de apoio Consideração das deformações impostas na verificação de segurança Motivos da necessidade do controlo da fendilhação Objectivo e estrutura do documento... 8 II. Efeito de acções isoladas Resposta estrutural de um tirante Deformação imposta axial Conceito da armadura mínima para o efeito axial Comportamento à flexão Deformação imposta com efeito de flexão Conceito da armadura mínima para o efeito de flexão Distinção do tipo de deformação imposta axial: interna e externa Deformação imposta externa Deformação imposta interna retracção do betão Cálculo da armadura mínima de acordo com o EC2 [16] Controlo da abertura das fendas segundo o EC2 [16] Deformação imposta em paredes laterais efeito axial Eurocódigo 2 parte 3 [17] Comportamento de paredes laterais III. Análise de sobreposição de cargas com deformações impostas Considerações Iniciais iv

6 3.2. Deformação imposta com efeito de flexão, com sobreposição de cargas verticais Deformação imposta axial, com sobreposição de cargas verticais Sobreposição de efeitos Deformação Imposta Externa Sobreposição de efeitos Deformação Imposta Interna IV. Critérios de dimensionamento propostos Deformação imposta isolada Deformação imposta em paredes laterais Sobreposição de cargas com deformações impostas V. Situações de deformações impostas nas estruturas Casos práticos de deformações impostas nas estruturas Exemplos de Aplicação Muro sujeito à restrição das deformações impostas Tanque sobreposição de cargas (acção da água) a deformação imposta axial VI. Conclusões Bibliografia Anexo A v

7 Índice de figuras Figura I. 1 Evolução da extensão de retracção (total, de secagem e endógena) [32]... 4 Figura I. 2 Diagrama representativo do efeito da temperatura numa secção [18]... 5 Figura I. 3 Resposta estrutural a) parcela uniforme e b) parcela diferencial... 5 Figura I. 4 Percepção humana comum do fenómeno da fendilhação em função da distância, l, do observador [23]... 8 Figura II. 1 Comportamento de um tirante de betão armado, solicitado por um esforço axial de tracção crescente [19] Figura II. 2 Comportamento global da abertura de fenda num elemento estrutural [25] Figura II. 3 Comportamento do tirante de betão armado solicitado por uma deformação imposta axial crescente [25] Figura II. 4 Evolução dos esforços e abertura de fendas num tirante sujeito a uma deformação imposta: a) sem armadura mínima; b) com armadura superior à mínima. [32] Figura II. 5 Relação Momento-Curvatura para as várias fases da estrutura no caso de flexão simples Figura II. 6 Deformação imposta de flexão actuando isoladamente Figura II. 7 Exemplos de deformação imposta com de flexão a) variação diferencial de temperatura, b) assentamento de apoio Figura II. 8 Diagramas de tensões na secção imediatamente antes e após fendilhar Figura II. 9 Comparação de resultados entre deformação imposta externa (a) e a retracção do betão (b) [11] Figura II. 10 Distribuição de tensões numa secção sujeita ao efeito da retracção num elemento estrutural inserido numa estrutura hiperstática [25] Figura II. 11 Modelo base utilizado no estudo [25] Figura II. 12 Resposta não linear para a acção isolado de uma deformação imposta externa [26] Figura II. 13 Estado do elemento estrutural e respectivas tensões, para extensões próximas de 0,3 e 0,5, para o caso 4 [11] Figura II. 14 Tensões na armadura (σ s ) e respectiva abertura de fenda (w) em função da extensão média, caso 4 [26] Figura II. 15 Resposta não linear para a acção isolado de uma deformação imposta interna [26] Figura II. 16 Estado do elemento estrutural e suas tensões, para extensões próximas de 0,3 e 0,5, para o caso 4 [11] vi

8 Figura II. 17 Tensões na armadura (σ s ) e respectiva abertura de fenda (w) em função da extensão média para o caso 4 [26] Figura II. 18 Variação de k em função da espessura, h [16] Figura II. 19 Estimativa do parâmetro k c, em função da tensão média no elemento [25] Figura II. 20 Equilíbrio de tensões ao longo do elemento, na fase de formação de fendas [25] Figura II. 21 Transmissão de tensões ao longo do comprimento l 0 [25] Figura II. 22 Secções efectivas de betão traccionado [16] Figura II. 23 a) geometria geral da parede; b) distribuição de tensões antes de formar a 1ªfenda; c) Resultante das tensões longitudinais antes de formar a 1ª fenda [32] Figura II. 24 Comparação de distribuição de tensão no centro das paredes com as dum tirante em função da razão l/b [19] Figura II. 25 Características imediatamente antes da formação da 2ª fenda: a) Parede, b) Distribuição de tensões, c) Resultantes de tensões, para um comportamento não linear [19].. 36 Figura II. 26 Características geométricas da parede utilizada nas análises de Luís [26] e Teixeira [32] Figura II. 27 Valores recomendados para a abertura w k Figura II. 28 Diâmetro máximo dos varões para o controlo da fendilhação, função da tensão nas armaduras [17] Figura II. 29 Espaçamento máximo dos varões para o controlo da fendilhação, função das tensões nas armaduras [17] Figura II. 30 Variação das resultantes de tensões ao longo da parede para o caso 1 [26] Figura II. 31 Evolução da tensão média e abertura de fendas ao longo da parede para o caso 1, para deformação imposta externa e interna respectivamente [26] Figura II. 32 Variação da força ao longo da parede, para o caso 1 (armadura mínima) [32].. 44 Figura II. 33 Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação da 1ª fenda, para o caso 1 [32] Figura II. 34 Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da 3ª fenda, no caso 1 [32] Figura II. 35 Deformada ao longo do comprimento da parede, para a situação imediatamente antes da formação das 4ª e 5ª fendas [32] Figura II. 36 Fendilhação que ocorre num muro sem juntas Figura II. 37 Variação da tensão (azul) e valor médio (cinzento), na secção central da parede aquando da formação das fendas seguintes para: a) caso 1; b) caso 2; c) caso3 [32] vii

9 Figura III. 1 Sobreposição do efeito de flexão de uma deformação imposta (por exemplo, assentamento diferencial de apoio ou variação linear de temperatura) com a flexão simples devido às cargas verticais Figura III. 2 Diferentes incrementos de momento devido à mesma deformação imposta dependente da rigidez estrutural [11] Figura III. 3 Comportamento estrutural num caso usual de sobreposição dos efeitos de deformações impostas aos das cargas [13] Figura III. 4 Relação entre as rigidezes dos Estados I e II em flexão simples para diferentes percentagens de armadura [13] Figura III. 5 Importância entre a diferença de valores M cr e M y [13] Figura III. 6 Sobreposição de uma deformação imposta axial com cargas verticais Figura III. 7 Comportamento à flexão simples e composta com esforço axial constante [14]. 54 Figura III. 8 Deformação imposta externa e interna, sem e com sobreposição de efeitos [11] Figura III. 9 Resultados da análise não linear em termos de N-ε m para deformação imposta externa [11] Figura III. 10 Distribuição das tensões nas armaduras, caso 4, para sobreposição de efeitos deformação imposta externa [25] Figura III. 11 Variação de tensões nas armaduras e respectivas aberturas de fendas em função da extensão média deformação imposta externa [11] Figura III. 12 Resultados da análise não linear em termos de N-ε m para deformação imposta interna [11] Figura III. 13 Distribuição das tensões nas armaduras, caso 4, para sobreposição de efeitos deformação imposta interna [25] Figura III. 14 Variação de tensões nas armaduras e respectivas aberturas de fendas em função da extensão média deformação imposta interna [11] Figura IV. 1 Comparação de esforços elásticos com os esforços resultantes de uma deformação imposta Figura IV. 2 Exemplo da resposta de uma viga bi-encastrada a uma variação linear de temperatura para uma análise linear (a) e não linear (b) [13] Figura V. 1 Efeito das deformações impostas nas estruturas de edifício em pórtico e em pontes [13] Figura V. 2 Fendilhação junto à abertura do elemento traccionado (N cra e N crb esforço axial de fendilhação na zona A e B, respectivamente) viii

10 Figura V. 3 Situação de colocação de armadura mínima de tracção na consola de um edifício [13] Figura V. 4 Situação de colocação de armadura mínima de tracção numa laje suportada na parte inferior e dimensionada para as cargas em x [13] Figura V. 5 Situação de colocação de armadura mínima na laje devido aos elementos rígidos [13] Figura V. 6 Situação comum na qual o piso enterrado se encontra submetido à sobreposição do efeito das cargas verticais com deformação imposta axial [25] Figura V. 7 Fendilhação que ocorre num muro sem juntas Figura V. 8 Distância máxima entre juntas de dilatação segundo EC2-parte3 [17] Figura V. 9 Pormenor de uma junta Waterstop [36] Figura V. 10 Dimensões da parede do muro Figura V. 11 Dimensões do tanque Figura V. 12 Representação, em planta, da sobreposição de efeitos no tanque: a) acção da água nas paredes; b)n, esforço normal devido às deformações impostas e à acção da água e M cp, momentos devido à acção da água Figura V. 13 Modelação do tanque em SAP Figura V. 14 Distribuição do esforço axial resultante, devido à deformação imposta, na parede de 15m de comprimento Figura V. 15 Variação do esforço axial, devido à deformação imposta, na zona central da parede de 15m de comprimento Figura V. 16 Zonas a analisar Figura V. 17 Pormenor da secção na zona A a dimensionar Figura V. 18 Pormenor da secção na zona B a dimensionar Figura V. 19 Pormenor da secção na zona A a verificar o comportamento em serviço Figura V. 20 Pormenor da secção na zona B a verificar o comportamento em serviço ix

11 Índice de Tabelas Tabela I. 1 Tabela abreviada de causas e período de aparecimento de fendas... 2 Tabela II. 1 Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise [25] Tabela II. 2 Quadro 7.2N e 7.3N do EC2 [16] limitação da tensão no aço, para efeitos de controlo de abertura máxima de fenda, admitindo a situação de flexão (diâmetros equivalentes) Tabela II. 3 Classificação da exigência de estanquidade [17] Tabela II. 4 Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise não linear de Luís [26] Tabela II. 5 Valores do esforço axial estabilizado (N) para os 3 casos analisados [26] Tabela II. 6 Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise linear de Teixeira [32] para uma parede encastrada na base e com espessura de 0,30m Tabela IV. 1 Valores aproximados de ξ para avaliação dos momentos devido às deformações impostas [11] (realçam-se os valores médios para acções de curto e longo prazo) Tabela IV. 2 Coeficientes de redução de esforço axial de fendilhação para uma deformação imposta axial [11] salientam-se os valores médios de referência Tabela V. 1 Características dos materiais a adoptar na parede do muro Tabela V. 2 Armaduras mínimas para dois tipos de espessura da parede do muro Tabela V. 3 Abertura média e característica de fendas para as armaduras mínimas adoptadas Tabela V. 4 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,3mm e N cr Tabela V. 5 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,3mm e 0,7N cr Tabela V. 6 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,175mm e N cr Tabela V. 7 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,175mm e 0,7N cr Tabela V. 8 Resultados do controlo directo da fendilhação Tabela V. 9 Abertura média e característica de fendas para as armaduras condicionantes.. 87 Tabela V. 10 Disposição de armaduras condicionantes para obtenção de abertura de fendas menores x

12 Simbologia A s,min Área de armadura mínima A c,ef Área efectiva do betão c Recobrimento da armadura E c Módulo de elasticidade do betão E s Módulo de elasticidade do aço E c,ajust Módulo de elasticidade ajustado ε imp Deformação imposta ε ΔT Deformação devido à variação da temperatura ε cs Deformação devido à retracção total ε cd Deformação devido à retracção por secagem ε ca Deformação devido à retracção endógena ε s,yk Deformação característica de cedência do aço f ctm Tensão de tracção média do betão f s,yk Tensão característica de cedência do aço τ b Tensão de aderência aço betão τ bm Tensão de aderência média aço betão ρ ef Percentagem de armadura na área efectiva N di Esforço axial devido à deformação imposta N cr Esforço axial de fendilhação M di Momento devido à deformação imposta M y Momento de cedência M serv Momento devido às cargas aplicadas em serviço w m w max - Abertura média de fendas - Abertura máxima de fendas xi

13 I. Enquadramento Geral 1.1. Introdução O presente trabalho constitui a dissertação de mestrado realizada no âmbito do Perfil de Estruturas do Curso de Mestrado Integrado em Engenharia Civil e intitula-se State-of-art sobre o controlo da fendilhação devido a deformações impostas. Como o título alude, o desenvolvimento da tese terá sempre subjacente o conceito de deformação imposta, pelo que importa referir, desde logo, em que consiste este fenómeno, o que o provoca e quais as suas consequências. As deformações impostas às estruturas de betão podem ser de várias origens como da própria retracção do betão, de uma variação de temperatura ou de assentamentos diferenciais. Estas acções não podem provocar o colapso da estrutura (a não ser que gerem eventuais efeitos de segunda ordem) mas são muitas vezes responsáveis pelo deficiente comportamento em serviço. Ao serem restringidas pelas condições de apoio ou de ligação a outros elementos estruturais, as deformações impostas induzem o surgimento de tensões axiais ou de flexão e estas, por sua vez, ao atingirem os valores de tensão resistente de tracção do betão, f ctm, resultam no aparecimento de fendas. A fendilhação é um fenómeno quase inevitável no betão estrutural, devido à baixa resistência do betão à tracção, porém pode e deve ser controlada. De facto, constata-se que a fendilhação nas estruturas de betão estrutural, com níveis de abertura de fendas claramente inaceitáveis deve-se, em geral, aos efeitos das deformações impostas. É, portanto, de todo o interesse compreender como se pode limitar o nível de fissuração provocada pelas deformações impostas, como forma de mitigação dos seus potenciais efeitos, a saber, a corrosão das armaduras e a degradação do aspecto da estrutura. A fendilhação deve ser limitada a um nível que não afecte a funcionalidade da estrutura, nem torne o seu aspecto inaceitável. No passado, estas acções foram muitas vezes menos bem consideradas, mas a partir dos anos 70/80 começou a ficar claro que uma parte considerável de danos, deficiências e mau desempenho em serviço resultava não da actuação das cargas, mas do efeito das deformações impostas. Assim, nos últimos anos, efectuaram-se diversos trabalhos de investigação com o objectivo de clarificar o comportamento em serviço destas estruturas. Também, no Instituto Superior Técnico, foram desenvolvidos alguns trabalhos sobre os efeitos das deformações impostas. Assim, pretende-se com este documento resumir e analisar a investigação efectuada e as disposições de dimensionamento associadas para o controlo dos efeitos das deformações impostas nas estruturas de betão armado. Primeiramente, é necessário entender os fenómenos físicos que envolvem os três tipos de deformação imposta acima referidos, os quais são explanados nos próximos parágrafos. 1

14 1.2. Tipos de deformação imposta A resposta das estruturas de betão sujeitas às deformações impostas reflecte-se sobretudo na abertura de fendas, podendo, quando atingem um certo nível, comprometer tanto o bom funcionamento em serviço como a durabilidade da estrutura. É, assim, importante conhecer os mecanismos associados às deformações impostas e de que modo estas se traduzem na resposta estrutural. Uma forma de controlar o comportamento das estruturas de betão em serviço é, antes de mais, pela garantia da não cedência do aço, o que corresponde nalgumas situações à aplicação do conceito da armadura mínima, e, num nível seguinte, pela fixação de valores máximos admissíveis para a abertura de fendas. As deformações impostas são causadas por fenómenos que se resumem na Tabela I. 1, onde se indicam também os períodos do seu desenvolvimento sendo que a medida a adoptar para controlar os seus efeitos é a utilização de uma quantidade de armadura que limite a abertura das fendas. Causas Retracção endógena ou autogénea Retracção de secagem Assentamento diferencial do apoio Variação de temperatura Período de desenvolvimento Alguns dias após a betonagem Alguns meses ou anos após a betonagem Durante a utilização Durante a utilização Tabela I. 1 Tabela abreviada de causas e período de aparecimento de fendas É relevante referir, que considerando a actuação simultânea de uma retracção e uma variação de temperatura num elemento estrutural conclui-se que a deformação é bastante superior à correspondente ao inicio da fendilhação (para uma acção rápida): ε imp = ε ΔT + ε cs max 0, ε ctm = f ctm E c,m 0, (I.1) Assim, o aparecimento de fissuras em resultado da acção das deformações impostas em estruturas de betão é frequente e difícil de evitar, a menos que o elemento estrutural se possa deformar livremente. De seguida, descreve-se sucintamente os fenómenos que correspondem às deformações impostas. 2

15 Retracção A retracção do betão é uma propriedade reológica do material e que consiste numa diminuição gradual do volume do betão ao longo do processo de endurecimento, na ausência de cargas aplicadas. Em geral são referidos cinco tipos de retracção (plástica, química, de carbonatação, térmica e hídrica) que ocorrem por processos físico-químicos diferentes e em distintas fases do endurecimento do betão, sendo que os dois mais relevantes, para o trabalho em causa, são analisados seguidamente, de acordo com [7, 13, 20, 22, 24, 32]. A retracção térmica ocorre nas horas seguintes à betonagem. As reacções químicas de hidratação do cimento são exotérmicas e ao libertarem calor fazem aumentar a temperatura do betão. Estas reacções exotérmicas são mais ou menos intensas em função do tipo e dosagem de cimento. Durante o processo de endurecimento do betão, as reacções de hidratação do cimento vão diminuindo de velocidade. Ao atingir o pico de temperatura, ao fim de 20 a 40 horas depois da betonagem, o calor perdido pela superfície livre e cofragens é superior ao libertado pelas reacções de hidratação, originando portanto o arrefecimento do betão e a consequente retracção do mesmo. O nível de fendilhação causado por este tipo de retracção pode agravar-se no caso de uma descofragem prematura, a qual se traduz numa perda precoce de isolamento térmico, isto é, sem que o betão tenha adquirido um nível de resistência desejável. A retracção propriamente dita, ou seja, a hídrica, é a parcela que mais contribui para a retracção global dos elementos de betão. Este tipo de retracção ocorre devido à perda de água do interior do betão, segundo dois processos distintos: o processo endógeno e a secagem. O Eurocódigo 2 [16], considera a retracção total como sendo a soma destes dois processos (ver expressão I.2). ε cs = ε cd + ε ca (I.2) A retracção hídrica dá-se depois do processo de endurecimento e é claramente mais significativo que as restantes parcelas de retracção verificadas nessa fase como a química ou de carbonatação. Na retracção endógena, também denominada de retracção de auto-dissecação ou de hidratação, não há trocas de humidade com o exterior, sendo muito pouco influenciada pelas condições ambientais, ao contrário da retracção de secagem. À medida que as reacções químicas de hidratação ocorrem, a água presente no interior dos poros do betão é consumida, causando perda de pressão por um mecanismo que envolve a formação de um menisco capilar na interface líquido/vapor. Esta diminuição de pressão nos poros origina a retracção do betão. A perda de água vai-se efectuando dos poros maiores para os menores, sendo a retracção endógena mais importante nas primeiras idades do betão verificando-se cerca de 80% deste processo até aos 28 dias. Nos betões com uma baixa razão água/cimento, onde os fenómenos 3

16 de hidratação consomem toda a água dos poros maiores, a retracção endógena é mais significativa. Entre os dois processos de retracção hídrica supracitados, o da retracção de secagem, ou de dissecação, é aquele que apresenta um efeito mais expressivo sobre a totalidade da retracção do betão, para betões correntes (C25/30 ou C30/37), como se pode constatar na figura seguinte Figura I. 1 Evolução da extensão de retracção (total, de secagem e endógena) [32] Em termos simples, este processo de secagem consiste na migração da humidade presente no interior do betão para as faces expostas do elemento devido a um gradiente hídrico entre o interior do betão e o ambiente exterior. A perda de água do betão origina a redução da pressão no interior dos poros causando, assim, a retracção. Este processo é muito lento, prolongandose ao longo de vários anos até que o betão esteja totalmente seco. A retracção de secagem aumenta com a relação água/cimento Variação de temperatura A exposição ao meio ambiente provoca nas estruturas variações de temperatura que decorrem de forma cíclica ao longo da vida útil das mesmas. As variações de temperatura devem-se sobretudo à exposição directa das estruturas aos raios solares. Assim, as condições climatéricas locais, a orientação da estrutura, a sua massa e o tipo de revestimento são factores que condicionam as variações térmicas dos elementos estruturais. A variação de temperatura numa secção de um elemento em betão pode ser dividida em três parcelas: a componente de variação uniforme, as componentes de variação diferencial linear e uma componente de variação não linear, a qual gera um sistema de tensões autoequilibradas como se pode observar na Figura I. 2. 4

17 Figura I. 2 Diagrama representativo do efeito da temperatura numa secção [18] Ao actuar numa estrutura isostática, a variação da temperatura provoca extensões axiais associadas à parcela de variação uniforme e curvaturas associadas à parcela de variação diferencial linear (ver Figura I. 3). Refira-se que a parcela de deformação não linear poderá provocar alguma fendilhação local na secção nas zonas mais traccionadas. Por sua vez se as parcelas de deformações uniformes e de curvatura estiverem restringidas, como acontece em estruturas hiperestáticas, geram-se esforços axiais e de flexão hiperstáticos. Estes efeitos são os mais importantes relativamente à possibilidade de gerarem fissuras nas estruturas capazes de afectar o seu funcionamento em serviço e a sua durabilidade. Figura I. 3 Resposta estrutural a) parcela uniforme e b) parcela diferencial Assentamentos diferenciais de apoio Os assentamentos de apoio podem ser um dos motivos de degradação das construções, em particular nos danos causados em elementos não estruturais. Estes assentamentos estão relacionados com o comportamento do solo e a sua interacção com a estrutura que suporta. Os solos, quando carregados, têm assentamentos quer instantâneos, quer ao longo do tempo, como as deformações devidas à consolidação do solo. Também alterações no solo 5

18 confinante como escavações ou aterros e variações no nível freático podem causar assentamentos das fundações da estrutura. Caso estas deformações não se desenvolvam uniformemente em toda a estrutura ocorrem assentamentos diferenciais entre apoios que geram tensões e/ou esforços que afectam o comportamento em serviço da estrutura, em geral, sob a forma de flexão. Refira-se que, em termos da segurança à rotura o importante é a ductilidade estrutural uma vez que aqueles esforços tendem a desaparecer com a perda de rigidez. Os assentamentos de apoio estão associados à menor capacidade de suporte do solo de fundação, deficiente dimensionamento e/ou execução das fundações e eventuais variações dos níveis freáticos Consideração das deformações impostas na verificação de segurança As acções sobre uma estrutura de betão armado são denominadas de acções directas ou indirectas. As acções directas são cargas verticais ou horizontais (vento) que geram reacções e esforços, essenciais ao equilíbrio das estruturas. As acções indirectas são as deformações impostas, as quais somente no caso de estruturas hiperestáticas geram reacções exteriores auto-equilibradas que dependem da rigidez, da geometria, dos materiais e do seu estado de fendilhação. Se no caso das acções directas é requerida sempre uma dada capacidade resistente, nas acções indirectas há que exigir sobretudo uma certa capacidade de deformação. De facto, para este tipo de acções verifica-se uma diminuição de esforços relativamente aos valores elásticos, que dependem do estado da rigidez da estrutura. Assim, o Eurocódigo 2 [16] refere explicitamente que as deformações impostas devem, no essencial, ser consideradas na verificação dos estados limites de utilização, desde que haja suficiente ductilidade, ou seja, capacidade de deformação plástica da estrutura. Só os eventuais efeitos de segunda ordem não podem ser desprezados na segurança à rotura. Deste modo, o que está em causa, no essencial, não é a capacidade resistente dos elementos estruturais, ou seja, a verificação da segurança do Estado Limite Último, mas sim o seu comportamento em serviço. Estas acções não condicionam o comportamento estrutural por falta de capacidade resistente, sendo a ductilidade a importante característica a estar presente na resposta para esta vertente da verificação de segurança. De facto, próximo da rotura, verifica-se que o comportamento das estruturas com ductilidade se assemelha ao de um mecanismo e, portanto, as deformações impostas não geram esforços internos, antes provocam deformações e/ou rotações nalguns elementos estruturais que exigem capacidade de deformação plástica, ou seja, ductilidade. Segundo Camara [13], um comportamento dúctil das estruturas é conseguido por meio da escolha de um aço com características de ductilidade adequadas, da concepção das secções 6

19 tal que o parâmetro x/d seja limitado na rotura, e, se se tratar da flexão composta, tal que o nível de esforço axial reduzido não seja elevado. Finalmente, a adopção de estribos, não muito espaçados e bem amarrados, que garantam o confinamento do betão comprimido é a forma de melhorar a ductilidade disponível e, por conseguinte, também aumentar a capacidade de deformação plástica das zonas da estrutura em causa. Só faz sentido considerar os esforços provocados pelas deformações impostas na verificação aos Estados Limites Últimos de resistência para os efeitos provocados pela variação da geometria da estrutura, deslocando os eixos da mesma e originando, se existirem esforços axiais, momentos de 2ª ordem tal é uma questão de equilíbrio e não mais só de compatibilidade. Em resumo, a consideração das deformações impostas é fundamental na verificação das condições de serviço da estrutura, sendo a sua consideração no dimensionamento à rotura limitada aos eventuais esforços de segunda ordem e à verificação da ductilidade disponível. No essencial, os efeitos das deformações impostas devem ser considerados na verificação das condições de serviço, como uma acção de carácter permanente ou variável consoante o caso, actuando isoladamente ou em combinação com acções directas, de forma a verificar se a resposta assegura os níveis de qualidade exigidos Motivos da necessidade do controlo da fendilhação A necessidade de efectuar o controlo da fendilhação deve-se sobretudo a três motivos ou exigências: durabilidade, estética e funcionais. As exigências de durabilidade da estrutura devem-se à importância da protecção das armaduras contra a corrosão, sendo que a abertura de fenda, dependendo da sua dimensão, expõe as armaduras aos agentes ambientais, podendo prejudicar essa protecção, como já foi referido anteriormente. Schiessel [30] verificou, no entanto, que, apesar de existirem melhores condições para se iniciar o processo de corrosão, no caso de aberturas de fendas inferiores a cerca de 0,3mm a 0,4mm, tal não se verifica ao longo tempo, de tal forma que, após um certo período, o estado de corrosão é praticamente independente da existência da fenda e da sua abertura, se limitada aos valores referidos. O Eurocódigo 2 [16] define o valor da abertura característica de fenda a 0,30mm para as classes de exposição ambiental mais desfavoráveis e para a combinação de acções quase-permanente, sendo que para um ambiente sem agressividade se limita, por razões estéticas, essa abertura a 0,4mm. No que concerne a exigências estéticas, a quantificação da abertura de fendas para valores aceitáveis é subjectivo, dependendo de inúmeros factores, que não estruturais, entre os quais a sensibilidade do observador e a distância entre este e o elemento estrutural. Jaccoud [23] 7

20 refere uma ordem de grandeza da abertura de fenda visível em função da distância do observador à mesma, como se pode observar na figura seguinte. Figura I. 4 Percepção humana comum do fenómeno da fendilhação em função da distância, l, do observador [23] Em termos de exigências funcionais o controlo da abertura de fendas é particularmente relevante em reservatórios e depósitos, nos quais existe a necessidade de garantia de um certo nível de estanquidade. Nestes casos, é necessário um critério de limitação de abertura de fendas mais restrito, em particular, para as fendas de tracção, que atravessam todo o elemento, com o fim de garantir que não ocorrem fugas, ou, então, que estas estão limitadas. O EC2-parte 3 [17] apresenta recomendações nesse sentido e que são apresentadas no subcapítulo deste documento. De referir que o controlo de abertura de fendas é efectuado, geralmente, de uma forma indirecta com base no controlo das tensões instaladas nas armaduras e na distribuição e pormenorização das armaduras Objectivo e estrutura do documento Este trabalho tem como objectivo principal dar uma contribuição para fazer um ponto de situação sobre alguma investigação realizada e as disposições de dimensionamento para o controlo dos efeitos das deformações impostas nas estruturas de betão estrutural. Há, de facto, a necessidade de se sistematizar a informação relativa à forma de encarar essas acções tanto na concepção como no dimensionamento e pormenorização das estruturas de betão. Neste primeiro capítulo caracterizaram-se de forma genérica as deformações impostas e foram apresentados os princípios segundo os quais se deve orientar a consideração destas acções na verificação da segurança, sendo ainda realçadas as razões para a necessidade de controlo da fendilhação no betão estrutural. 8

21 No capítulo II analisa-se o comportamento do betão estrutural quando solicitado por deformações impostas axiais ou com efeito de flexão, distinguindo-se também as deformações impostas externas das internas. Apresenta-se, ainda, a formulação proposta pelo EC2 [16] para a definição da armadura mínima e uma análise da actuação das deformações impostas em situações de condições de fronteira diferentes, como no caso de muros de suporte ou paredes laterais de tanques. No capítulo III estudam-se as situações de sobreposição dos efeitos de flexão gerados por cargas aplicadas, com efeitos de flexão ou axiais provocados pelas deformações impostas. No capítulo IV apresentam-se algumas recomendações propostas para o dimensionamento das estruturas de betão armado às deformações impostas. No capítulo V descrevem-se algumas situações em que as deformações impostas actuam nas estruturas, destacando-se a sua relevância e apresentando-se dois casos de estudo: parede de um muro de suporte sujeito à restrição das deformações impostas e um tanque, no qual ocorre sobreposição de efeitos. No capítulo VI apresentam-se as considerações finais deste trabalho. 9

22 II. Efeito de acções isoladas Para compreender o comportamento de um elemento de betão armado é importante analisar a resposta de um tirante, no sentido que é o elemento mais simples e que permite melhor identificar as diferenças entre o tipo de resposta a acções de carga e deformações impostas. Nesse sentido apresenta-se neste capítulo as características principais de comportamento para acções actuando isoladamente Resposta estrutural de um tirante O elemento estrutural mais simples é, como referido, o de um tirante. Nesse sentido começa-se por descrever a sua resposta quando solicitado por uma força de tracção, para posteriormente se compreender o comportamento do mesmo quando solicitado por uma deformação imposta axial. Essa descrição foi efectuada com recurso a referências bibliográficas [12, 22, 24, 32]. Para uma acção crescente, neste caso decorrente da aplicação de uma força de tracção pura (N), o tirante de betão armado evolui em três fases até atingir a rotura, como se pode verificar na Figura II. 1, que são as seguintes: inicialmente verifica-se um estado não fendilhado e posteriormente uma situação de fendilhação, que, por sua vez, se subdivide em duas etapas a primeira correspondendo à formação de fendas e a segunda à fendilhação estabilizada e, por fim, o estado de rotura que se inicia com a cedência do aço. De seguida, apresenta-se uma breve descrição esquemática dos estados acima referidos, envolvidos no mecanismo de fendilhação. Figura II. 1 Comportamento de um tirante de betão armado, solicitado por um esforço axial de tracção crescente [19] 10

23 No estado não fendilhado o tirante exibe um comportamento elástico-linear, Estado I, no qual as tensões de tracção são inferiores às da resistência do betão, f ctm, sendo de salientar o peso pouco significativo do aço. Quando a solicitação no tirante ultrapassa a resistência disponível nalguma zona verifica-se o aparecimento da primeira fenda, iniciando-se o estado fendilhado. No estado fendilhado, ocorre inicialmente uma fase de formação de fendas correspondendo a uma diminuição importante da rigidez do elemento. Para ocorrer a formação de várias fendas é necessário que a quantidade de armadura seja suficiente para evitar a plastificação, como se verá adiante. Na formação de cada nova fenda há um aumento da deformação sob a força N constante e a rigidez, num dado comprimento próximo desta, passa a ser a correspondente ao aço, como esquematizado na Figura II. 2. Assim que a tensão no tirante seja superior a N r,n (Figura II. 1), deixa de ocorrer a formação de novas fendas, verificando-se o aumento da abertura das fendas e, consequentemente, o elemento volta a exibir um comportamento quase linear, a esta situação denomina-se de fendilhação estabilizada. Figura II. 2 Comportamento global da abertura de fenda num elemento estrutural [25] Refira-se que em todo o estado fendilhado a estimativa da deformação média pode ser obtida como um valor intermédio entre os estados I e II tal que: ε sm = 1 ζ ε s1 + ζε s2 (II.1) tipo: Em que ζ é um coeficiente de repartição sempre inferior a 1 e dado por uma expressão do ζ = 1 β N cr N 2 (II.2) 11

24 Em que β é um coeficiente que se obtêm do produto de β 1 que define a influência do tipo de varões e propriedades de aderência da armadura com β 2 que define a influência da duração da aplicação e o carácter de repetição da mesma. Seguidamente, na sequência do carregamento a armadura atinge o valor limite de elasticidade, ou seja, a cedência Deformação imposta axial No caso de uma deformação imposta, observa-se que, após a formação da cada nova fenda, ocorre uma redução brusca do esforço N sob uma deformação, L, mantida constante, como se poderá observar na Figura II. 3. Essa é a principal diferença de comportamento, pois enquanto que no caso da força aplicada, após a abertura de uma fenda, a extensão aumenta para o mesmo nível de força aplicada, na resposta a uma deformação imposta acontece o oposto, ou seja, após a abertura de fenda a deformação mantém-se e a força diminui. Este aspecto deve-se à diferença do tipo de acção em causa, pois quando se trata de uma força aplicada é necessário que essa força seja equilibrada, logo, quando a rigidez de uma secção diminui (com a abertura de uma nova fenda) ocorre obrigatoriamente um aumento de deformação, quando a força no elemento é devido a uma deformação imposta, ela é tanto maior quanto maior for a rigidez, assim, ao se abrir uma nova fenda, a perda de rigidez origina uma diminuição da força instalada no elemento (Figura II. 3). Figura II. 3 Comportamento do tirante de betão armado solicitado por uma deformação imposta axial crescente [25] No que concerne às etapas do mecanismo de fendilhação, verifica-se que são as mesmas que se observaram no caso da acção de uma carga. Como se salientou, após a formação de cada nova fenda ocorre um decréscimo de esforço e, à medida que a deformação imposta 12

25 aumenta, o processo repete-se até que ocorra a sua estabilização, para um valor de extensão de aproximadamente 1,0 a 1,5. A partir dessa extensão, a deformação imposta desenvolvese com rigidez próxima de Estado II até que a cedência seja alcançada. Como referido no capítulo anterior, na prática, a deformação imposta axial normalmente não ultrapassa valores da ordem de 0,5 a 0,7, logo, os elementos estruturais encontram-se usualmente na fase de formação de fendas. Mas para ocorrer o processo de formação de fendas é necessário que a quantidade de armadura seja suficiente para evitar a plastificação, ou seja, é fundamental verificar o critério de não plastificação da armadura. Com este critério pretende-se garantir que os esforços de cedência da secção são superiores aos de fendilhação assegurando-se um comportamento dúctil, para o caso da acção de uma carga e evitando-se a não formação de uma fenda isolada, para o caso de uma deformação imposta. Na Figura II. 4 pode observar-se a diferença de comportamento de dois tirantes, submetidos a uma deformação imposta, um com resistência da armadura inferior à força de fendilhação do tirante e outro com resistência superior. Figura II. 4 Evolução dos esforços e abertura de fendas num tirante sujeito a uma deformação imposta: a) sem armadura mínima; b) com armadura superior à mínima. [32] No primeiro, a armadura plastifica na secção onde se formou a primeira fenda e o alongamento imposto irá se concentrar nessa abertura. De facto, depois da formação da primeira fenda e da queda do esforço associado, na continuação da imposição da deformação vai dar-se a plastificação da armadura junto à referida fenda e não é possível atingir mais o nível de tensão no betão que daria origem a novas fendas. No segundo exemplo, verifica-se que ocorre todo o processo de formação de fendas, pois após a formação da primeira fenda e com a continuação da imposição da deformação não ocorre a plastificação da armadura formando-se novas fendas. 13

26 Conceito da armadura mínima para o efeito axial Como referido, para que ocorra o processo de formação de fendas é necessário evitar a plastificação da armadura o que, para o caso de uma deformação imposta, se resume em prever uma certa quantidade de armadura, a armadura mínima. Neste caso, depois da formação da primeira fenda é fundamental haver condições para que se possa atingir de novo a tensão resistente de tracção do betão, f ctm, permitindo-se assim a formação de outras fendas, como explicado anteriormente. O critério de não plastificação da armadura (σ s f yk ), define essa quantidade mínima de armadura. Sendo o esforço constante no tirante há que assegurar que a resistência em Estado I é inferior à do Estado II, ou seja: N r,i < N r,ii A c f ct < A s f sy (II.3) Ou em termos de definição de uma armadura mínima: A s,min = A c f ctm f yk ρ = A s A c ρ min = f ct f y (II.4) Para que, no caso de uma deformação imposta maior, se possa garantir a ocorrência de todo o processo de formação das fendas, a expressão anterior deveria ser multiplicada por um coeficiente da ordem de 1,3, que equivale ao aumento do esforço de fendilhação entre a formação da primeira e última fenda (ver Figura II. 4). De qualquer maneira, o facto desta armadura mínima garantir a ocorrência do processo de formação de fendas, tal não significa que se obtém um comportamento aceitável em serviço, pois não se assegura que a abertura de fendas acontecerá numa gama de valores admissíveis, porque, conforme Luís [25] refere, uma armadura dimensionada para valores mínimos poderá originar abertura de fendas da ordem de 0,4 a 0,5mm, ou seja, valores máximos, ou característicos, consideráveis Comportamento à flexão Após a análise da resposta estrutural do elemento de betão armado sujeito ao efeito axial, examina-se de seguida o comportamento de uma viga sujeita ao efeito de flexão. Quando um elemento de betão estrutural se encontra sujeito a um efeito de flexão simples ocorre a rotação das secções em torno do alinhamento definido pelo eixo do centro geométrico, com curvatura constante ao longo do elemento. A rotação, na fase elástica, é uniforme ao longo do elemento e directamente proporcional ao valor do momento flector. Tal deixa de se 14

27 verificar quando se inicia o processo de formação de fendas, pois a distribuição de curvaturas passa a ser variável. Assim, no caso da flexão pode observar-se pela Figura II. 5 que existe uma resposta estrutural semelhante ao verificado para o caso da tracção, mas para as variáveis correspondentes, em que se define a curvatura média no elemento como deformação associada ao momento. Figura II. 5 Relação Momento-Curvatura para as várias fases da estrutura no caso de flexão simples Observa-se que o comportamento é elástico linear até se atingir o momento de fissuração, M cr, e que, na abertura de cada fenda, ocorre uma modificação de estado de tensão na zona das fendas, com a ascensão da linha neutra para a posição correspondente ao estado fendilhado (Estado II) e com o aumento da curvatura como se constata na figura. Na flexão o espaçamento de fendas é menor do que o verificado em tracção pura, pois a concentração das tracções ocorre numa zona mais localizada da secção sendo mais eficiente a transmissão das tensões do aço ao betão, como se analisará no subcapítulo Após a fendilhação, o comportamento médio de um elemento submetido à flexão encontrase limitado entre os Estados I e II. A fendilhação induz uma perda de rigidez por flexão associada a um aumento de curvatura, sendo que o comportamento do Estado I corresponde ao seu limite inferior e o Estado II ao seu limite superior, de uma forma em tudo equivalente ao que se verifica para o comportamento à tracção. A curvatura média do elemento pode assim ser estimada pela expressão II.5 proposta por Jacoud e Favre [19]. 15

28 1 = M = ε sm ε cm r m EI m d 1 ζ 1 r I + ζ 1 r II (II.5) tipo: Em que ζ é um coeficiente de repartição sempre inferior a 1 e dado por uma expressão do ζ = 1 β M cr M 2 (II.6) Em que β tem o mesmo significado referido para a tracção. Verifica-se que as perdas de rigidez por fendilhação são menores no caso da flexão, por comparação com a situação de tracção, pois esta só se verifica na zona traccionada e a curvatura é uma média das deformações das zonas comprimidas e traccionadas Deformação imposta com efeito de flexão No que diz respeito a uma deformação imposta de flexão num elemento de betão estrutural pode observar-se pela Figura II. 6 que existe uma resposta estrutural semelhante ao observado para o caso da deformação imposta axial de um tirante. Figura II. 6 Deformação imposta de flexão actuando isoladamente Verifica-se que as etapas do mecanismo de fendilhação são as mesmas que se observam na flexão simples e que, após a formação de cada nova fenda, ocorre um decréscimo do esforço. 16

29 Como se pode observar nos exemplos da Figura II. 7, uma deformação imposta com efeito de flexão pode ocorrer quando se dá uma variação diferencial de temperatura ou um assentamento diferencial de apoio que podem provocar fendas se os esforços gerados atingirem os de fendilhação. Figura II. 7 Exemplos de deformação imposta com de flexão a) variação diferencial de temperatura, b) assentamento de apoio Um aspecto que diferencia em parte a resposta por flexão ou tracção quando submetidos a uma deformação imposta é que, se no caso a) da figura anterior em que o diagrama de esforços da deformação imposta é constante, como no caso usual da tracção, na situação b) da mesma figura, bem mais corrente na prática, verifica-se que o diagrama de momentos tem uma variação linear fazendo com que os efeitos da deformação imposta se concentrem numa zona mais limitada (neste caso junto ao apoio). Nestes casos, o efeito da deformação imposta mesmo actuando isoladamente pode fazer com que se chegue a atingir a fase de fendilhação estabilizada naquela zona. Assim, nas situações de flexão, normalmente, os efeitos das acções indirectas, concentram-se em determinadas zonas da estrutura, ao contrário da resposta estrutural para situações de tracção, onde há claramente tendência para a uniformidade dos efeitos das acções ao longo do elemento Conceito da armadura mínima para o efeito de flexão Anteriormente descreveu-se o conceito da armadura mínima para a deformação imposta axial. Para o efeito de flexão, o raciocínio é análogo, pois por meio do critério de não plastificação, obtêm-se a armadura mínima para o caso de se tratar de uma deformação imposta de flexão: F t N yk 1 2 A ct f ct A s f yk (II.7) 17

30 A s,min = 1 2 A ct f ct f y (II.8) Onde F t, é a força de tracção no betão e A ct = b, é a área de betão na zona traccionada. 2 A Figura II. 8 apresenta o diagrama de tensões numa secção de betão armado, de um elemento sujeito à flexão, imediatamente antes e após fendilhar. Figura II. 8 Diagramas de tensões na secção imediatamente antes e após fendilhar Assim, em rigor, a armadura mínima de flexão, referida à área total da secção, é obtida da seguinte forma: M cr = F T 2 3 = A c f ct 2 3 = A s,min f syk z (II.9) Tomando-se arbitrariamente z = 0,9d = 0,9 0,9, temos que: 1 6 A cf ct = 0,81A s,min f syk (II.10) Ou em termos de definição de armadura mínima de flexão: A s,min 1 5 A c f ctm ρ f min = 1 f ct yk 5 f y (II.11) Logo, verifica-se que a percentagem de armadura mínima para o caso da flexão pura equivale a cerca de 20% da correspondente à tracção simples, mas a colocar somente na face mais traccionada da secção. Um aspecto a salientar consiste no facto da resistência do betão quando solicitado à tracção simples ser inferior ao considerado à flexão pura. Esta característica deve-se ao facto de que na flexão, devido à curvatura da peça, as fibras mais distantes do centro de gravidade, sujeitas a tensões superiores, são restringidas pelas fibras mais próximas do centro de gravidade. A secção do Eurocódigo2 [16] apresenta uma expressão para calcular a resistência do 18

31 betão à tracção no caso da flexão relacionando-a com a resistência à tracção axial que é a seguinte: f ctm,fl = máx 1,6 /1000 f ctm ; f ctm (II.12) Em que h é a altura do elemento em milímetros. Por esta expressão verifica-se que a resistência do betão à flexão é superior à considerada à tracção Distinção do tipo de deformação imposta axial: interna e externa Uma deformação imposta externa, como é o caso da variação de temperatura, é aplicada a toda a secção, aço e betão, ao passo que a deformação imposta interna, como é o caso da retracção, é aplicada somente num dos materiais da peça, o betão. As características de resposta estrutural têm algumas afinidades, mas existem diferenças mais ou menos relevantes que interessa explicitar. Essas diferenças foram recentemente expostas por Alvarez [1], Marti [27] e Luís [25] e são resumidas na Figura II. 9. Figura II. 9 Comparação de resultados entre deformação imposta externa (a) e a retracção do betão (b) [11] Para uma situação de deformação imposta global cada nova fenda forma-se para um valor de esforço axial próximo de N cr, enquanto no caso da retracção do betão o esforço axial resultante para formar cada nova fenda tem tendência a ser inferior a N cr e menor do que o valor da anterior fenda. Tal facto é justificado pelo efeito restritivo da acção da armadura relativamente ao livre encurtamento do betão, gerando tensões auto-equilibradas na secção, com tracção no betão e compressão no aço, conforme se pode observar na Figura II. 10. Estas tensões no betão, que aumentam à medida que se processa o fenómeno da retracção, é tal que diminui a reserva para que se atinja de novo a tensão de resistência do betão e, 19

32 consequentemente, o valor de esforço axial na abertura de cada nova fenda. O campo autoequilibrado de tensões que se vai gerando no elemento faz diminuir a máxima tensão na armadura à medida que a situação se vai processando e formando-se as fendas. Figura II. 10 Distribuição de tensões numa secção sujeita ao efeito da retracção num elemento estrutural inserido numa estrutura hiperstática [25] O desenvolvimento das tensões auto-equilibradas, com o aumento da deformação imposta ocorre segundo uma relação proporcional à rigidez da armadura, resultando com que os picos de tensão nas armaduras para o caso da deformação imposta interna sejam inferiores às do caso da acção externa (ver Figura II. 9 b). De salientar que a diminuição da tensão na armadura não corresponde necessariamente a uma redução da abertura de fenda para a mesma deformação imposta, pois, simultaneamente, o encurtamento do betão relativamente à armadura também contribui para o aumento da abertura de fenda, como se discutirá mais adiante. Luís [25], com o auxilio de um programa de cálculo de análise não linear, ATENA, examinou o efeito das acções indirectas, deformações impostas interna e externa, quando actuadas isoladamente. O estudo foi baseado na situação apresentada na Figura II. 11, no qual o elemento de betão armado apresenta uma armadura disposta de forma simétrica relativamente ao seu eixo de desenvolvimento e que se encontra fixo em ambas as extremidades. 20

33 Figura II. 11 Modelo base utilizado no estudo [25] Luís [25] analisou as características de comportamento estrutural desse elemento para 5 diferentes casos de disposição de armadura conforme se pode observar na Tabela II. 1. O caso 1 corresponde à armadura mínima de tracção para um critério mínimo de não plastificação da armadura. Casos de análise A s,adoptado Percentagem de Armadura (%) C25/30: 1 8Ø10 (6,28 cm 2 ) 0,52 E c =30,5 GPa 2 7Ø12 (7,92 cm 2 ) 0,66 f ct = 2,5 MPa 3 9Ø12 (10,18 cm 2 ) 0,85 A500: 4 11Ø12 (12,44 cm 2 ) 1,04 E s =200 GPa 5 10Ø16 (20,11 cm 2 ) 1,68 f yk =500 MPa Tabela II. 1 Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise [25] Seguidamente, apresentam-se os resultados e as conclusões das análises efectuadas para a acção isolada da deformação imposta, quer externa, quer interna Deformação imposta externa Apresentam-se na Figura II. 12 os resultados obtidos para a resposta a uma deformação imposta exterior, como é o caso da variação de temperatura, actuando isoladamente para quatro dos casos enunciados anteriormente. 21

34 Figura II. 12 Resposta não linear para a acção isolado de uma deformação imposta externa [26] As diferentes fases do processo da aplicação da deformação imposta são observadas no gráfico anterior: a fase elástica, a de formação de fendas, fendilhação estabilizada e formação do patamar de cedência. Em todos os casos ocorre um comportamento inicial elástico que se prolonga até à abertura da primeira fenda; nessa fase praticamente só o betão é responsável pela resposta do elemento. Verifica-se que, em todas elas a quantidade de armadura é superior à necessária para evitar a plastificação, tendo-se formado sempre várias fendas. Depois de se formar a primeira fenda observa-se que quanto maior for a percentagem de armadura menores são as perdas de esforço axial na formação de cada fenda. É expectável esse tipo de comportamento, visto que uma maior percentagem de armadura equivale a uma maior rigidez na zona fendilhada e, por conseguinte, do tirante no seu conjunto. Também quanto maior é a quantidade de armadura mais fendas se formam para um determinado intervalo de deformação e verifica-se que, comparativamente com percentagens de armadura inferiores, o final do processo de formação de fendas ocorre para valores de extensão inferiores. De facto verifica-se que a inclinação do estado II é maior para quantidades de armaduras superiores, limitando a fase de formação de fendas a extensões menores. Durante a fase de fendilhação estabilizada observa-se que o nível de tracção cresce paralelamente à rigidez do estado II até a armadura atingir a cedência. Verifica-se também que nesta fase a contribuição do betão entre fendas (distância entre a resposta estrutural e a rigidez no estado II) é muito idêntica para os casos enunciados e que quanto maior a percentagem de armadura maiores são os esforços axiais nesta fase. 22

35 Na Figura II. 13 estão representadas as tensões na armadura em todo o comprimento do elemento, para valores de extensão próximos de 0,3 e 0,5, os quais correspondem a máximos de tensão, para o caso 4 (ρ=1,04%). Figura II. 13 Estado do elemento estrutural e respectivas tensões, para extensões próximas de 0,3 e 0,5, para o caso 4 [11] Nas secções fendilhadas os valores da tensão na armadura são muito semelhantes entre si, sendo estaticamente equivalentes ao esforço axial global. Depois de se formar uma nova fenda, a tensão em todos os picos sofre um igual decréscimo, equivalente às quebras de esforço axial global, mas após a abertura da fenda e continuando a aumentar a extensão, estes pontos atingem novamente um valor de tensão idêntica à verificada na fenda anterior. O nível de tensões nas armaduras, entre fendas consecutivas, aumenta à medida que a distância entre fendas diminui. Na Figura II. 14 apresenta-se a evolução das tensões nas armaduras e das aberturas de fendas observadas nalgumas secções. Observa-se que o aumento da tensão na armadura antes de se formar a primeira fenda ocorre segundo a relação E s ε imp e após a formação da fenda verifica-se um salto de tensão na armadura devido ao facto de deixar de haver participação do betão, Estado II. No entanto, devido à diminuição do esforço axial, aquando da abertura de uma fenda, a armadura só atinge o valor máximo mesmo antes da formação da fenda subsequente. 23

36 Figura II. 14 Tensões na armadura (σ s ) e respectiva abertura de fenda (w) em função da extensão média, caso 4 [26] Deformação imposta interna retracção do betão Apresentam-se na Figura II. 15 os resultados obtidos para a resposta a uma deformação imposta interna, actuando isoladamente para quatro dos casos enunciados anteriormente. Tais resultados foram obtidos por Luís [25], com o auxílio do programa ATENA, simulando a acção de uma deformação imposta somente ao nível do betão. Figura II. 15 Resposta não linear para a acção isolado de uma deformação imposta interna [26] 24

37 Da análise do gráfico verifica-se novamente um comportamento elástico na fase inicial, embora a fendilhação ocorra para um esforço um pouco inferior. O fim da fase de formação de fendas ocorre para valores de extensão idênticos aos verificados para a deformação imposta externa, mas com um nível de esforço axial inferior. Observa-se que durante o processo de fendilhação o esforço axial tende a reduzir progressivamente, notando-se que cada nova fenda forma-se para um esforço axial inferior ao verificado na abertura da fenda anterior. À semelhança do ponto anterior, na Figura II. 16 apresentam-se as tensões instaladas na armadura, ao longo de todo o comprimento do elemento, para os mesmos valores de extensão próximos de 0,3 e 0,5, no caso 4 (ρ=1,04%). Figura II. 16 Estado do elemento estrutural e suas tensões, para extensões próximas de 0,3 e 0,5, para o caso 4 [11] Com o aumento continuado da extensão interna imposta, os máximos de tensão nas armaduras acontecem para valores inferiores aos verificados na abertura da fenda anterior. Assim, neste tipo de acção isolada, durante o processo de formação de fendas a tensão na armadura nunca irá atingir novamente o valor de início de fendilhação, σ sr, e, analogamente, o tirante também não atingirá mais o esforço axial de fendilhação, N cr. Observa-se ainda que na zona entre fendas, a armadura encontra-se comprimida e que, à medida que a extensão no elemento cresce, a compressão nas armaduras aumenta. Na Figura II. 17 apresenta-se a evolução das tensões nas armaduras e das aberturas de fendas. 25

38 Figura II. 17 Tensões na armadura (σ s ) e respectiva abertura de fenda (w) em função da extensão média para o caso 4 [26] Constata-se que o nível de tensão nas armaduras decresce e verifica-se que isso ocorre até a um patamar de tensão constante, garantindo que caso não se verifique a cedência das armaduras após a formação das primeiras fendas, esta não ocorrerá nem durante, nem após o processo de formação de fendas. Verifica-se que esta diminuição se desenvolve segundo uma relação de aproximadamente o inverso do módulo de elasticidade do aço (1/E s ), em tudo idêntico ao que se verifica para o esforço axial global. Esse facto verifica-se igualmente com a armadura em zona não fendilhada, que se vai comprimindo com o mesmo andamento, até se formar uma fenda. Pode-se verificar assim que existem aspectos de comportamento para uma deformação imposta interna ou externa que são idênticos, como a necessidade de uma armadura mínima para garantir o processo de formação de fendas e, especialmente, que a ordem de grandeza das aberturas de fendas em ambos os casos é semelhante apesar do nível de tensões nas armaduras diminuir no caso da acção de retracção do betão. Este aspecto é muito importante porque mostra que em termos de controlo da abertura de fendas a diferença entre o facto da deformação imposta ser externa ou interna é pouco relevante. 26

39 2.4. Cálculo da armadura mínima de acordo com o EC2 [16] O Eurocódigo2 [16] apresenta uma formulação que possibilita calcular a área mínima de armadura necessária para o controlo da fendilhação num elemento sujeito a tensões de tracção devidas ao impedimento das deformações impostas. Essa formulação, para o cálculo da armadura mínima, considera quer o caso de deformação imposta axial, quer o caso de deformação imposta de flexão, de forma a garantir que a estrutura não apresente aberturas de fendas não controladas. Nesse documento na parte 1, na secção 7.3.2, a expressão para esse cálculo é a seguinte: A s,min = k c k A ct f ct,ef ς s (II.13) em que, A s,min é a área mínima de armaduras para o betão armado na zona traccionada; A ct é a área de betão traccionado, antes da abertura da primeira fenda; ς s é o valor da tensão máxima admissível na armadura logo após a formação da fenda. Poderá tomar no máximo o valor da tensão de cedência, f yk. No entanto, quando se pretende fazer um controlo de abertura de fendas sem cálculo directo (será abordado no subcapítulo 2.4.1), segundo a secção (2), este valor tem que respeitar o disposto na Tabela II. 2, sendo que, quando a fendilhação é provocada predominantemente por deformações impostas somente a condição de limitação do diâmetro máximo dos varões é válida; Tensão no aço [MPa] Diâmetros máximos dos varões (mm) Espaçamentos máximos dos varões (mm) w k=0,40 mm w k=0,30 mm w k=0,20 mm w k=0,40 mm w k=0,30 mm w k=0,20 mm Tabela II. 2 Quadro 7.2N e 7.3N do EC2 [16] limitação da tensão no aço, para efeitos de controlo de abertura máxima de fenda, admitindo a situação de flexão (diâmetros equivalentes) f ct é o valor médio da tensão de resistência à tracção do betão, à data que se prêve que possam formar as primeiras fendas. Normalmente assume-se f ct,ef = f ctm ; k considera o efeito da distribuição não uniforme das tensões auto-equilibradas, que por gerarem tracções, implicam uma diminuição da resistência efectiva à tracção, f ct,ef. Este 27

40 valor varia com a espessura ou altura do elemento, conforme apresentado na Figura II. 18. Figura II. 18 Variação de k em função da espessura, h [16] k c considera a distribuição de tensões na secção imediatamente antes da abertura da primeira fenda, englobando não só a tracção (para tracção simples k c =1,0), mas também a flexão simples e composta. Para o caso de secções rectangulares no caso da flexão simples k c =0,4, no caso da flexão composta (em particular para o caso da secção préesforçada) k c é definido pela expressão II.14; k c = 0,4 1 ς c k 1 f ct 1 (II.14) Na qual, ς c é a tensão média do betão existente na parte da secção considerada, tal que: ς c = N Ed b (II.15) NEd é o esforço normal no estado limite de utilização, actuando na parte da secção considerada (positivo para um esforço de compressão). NEd deve ser determinado considerando os valores característicos do pré-esforço e dos esforços normais para a combinação de acções apropriada. é a espessura ou altura da secção; para h menor que 1m corresponde a h*=h, e para h maior ou igual a 1m corresponde a h*=1; k 1 é o coeficiente que considera os efeitos dos esforços normais na distribuição de tensões: k 1 =1.5, se NEd for um esforço de compressão; 28

41 k 1 = 2, se NEd for um esforço de tracção. 3 Na Figura II. 19 apresenta-se um gráfico que ilustra a aplicação da expressão II.14 para três secções tipo em função da tensão média. Figura II. 19 Estimativa do parâmetro k c, em função da tensão média no elemento [25] Observa-se que os valores de k c mantêm-se para diferentes tipos de geometria exceptuando para o caso em que a altura do elemento (h) toma valores importantes. Verificase que para tracções médias superiores ao esforço axial de fendilhação, o valor de kc é unitário e que, no caso de compressões, a redução é ainda considerável. Estas disposições regulamentares destacam a relevância que as deformações impostas devem ter no dimensionamento e pormenorização das armaduras para garantir um adequado controlo da abertura de fendas ficando claro que para evitar abertura de fendas não controladas no betão armado há que garantir a não plastificação das armaduras. Fica também claro que para o limite de abertura de fendas a valores de w k =0,3mm as exigências de quantidades de armaduras são bem superiores à mínima, pois devem ser calculadas para tensões da ordem de 300MPa de acordo com o quadro da Tabela II. 2. Salienta-se ainda que este quadro foi desenvolvido para a flexão e que para a tracção a situação é mais desfavorável Controlo da abertura das fendas segundo o EC2 [16] Como já mencionado, as limitações para a abertura de fendas visam assegurar que a estrutura possa cumprir adequadamente as funções para as quais foi projectada e ainda que tenha uma durabilidade adequada. A armadura mínima é essencial para se formarem várias fendas, mas pode não ser suficiente para o controlo da abertura de fendas. A quantificação da abertura de fenda é 29

42 complicada, em vista, da complexidade em modelar o comportamento na zona das fendas. Na Figura II. 20 apresenta-se o diagrama tipo de tensões num elemento sujeito à tracção na fase de formação de fendas. Figura II. 20 Equilíbrio de tensões ao longo do elemento, na fase de formação de fendas [25] Observa-se que a distribuição de tensões no elemento variam entre o estado I e o estado II, sendo que, nas zonas fissuradas encontra-se em estado II e as secções que se apresentam a uma distância maior ou igual que l 0 da fenda encontram-se em estado I. No comprimento l 0, constata-se que a distribuição de tensões nos materiais varia rapidamente entre o estado I e II. Esta transição ocorre por mobilização da ligação entre o aço e o betão, gerando-se tensões de aderência entre os dois materiais que diminuem desde a zona da fenda até se efectuar a transferência de tensões da armadura para o betão, ao longo desse comprimento. Assim, a distância l 0 denomina-se de comprimento de transferência de tensões. Como a abertura de fenda é uma característica do comportamento estrutural que tem uma grande variabilidade, só é possível, efectuar uma estimativa da abertura de fenda, sendo o seu valor característico, segundo o Eurocódigo 2 [16], dado pela expressão: w k = S r,max (ε sm ε cm ) (II.16) Logo, esta estimativa da abertura de fendas consiste na multiplicação de dois parâmetros, o espaçamento entre fendas e a extensão média relativa entre o aço e o betão entre fendas. O espaçamento entre fendas é um parâmetro que depende da transmissão de tensão entre o aço e o betão, logo, depende de l 0. O comprimento, l 0, necessário para que ocorra a transferência de tensões de modo a se poderem formar novas fendas é dado por: 30

43 N r = l 0 0 τ b π dx A c,ef f ct = τ bm π l 0 (II.17) N r corresponde à resultante das tensões de tracção no betão na zona envolvente ao aço, como se pode observar na figura seguinte. Figura II. 21 Transmissão de tensões ao longo do comprimento l 0 [25] Logo, o comprimento médio de transferência de tensões aço/betão é obtido da seguinte expressão: l 0 = Ac,ef π 2 4 f ct τ bm 4 = 1 4 k ρ ef (II.18) Na qual, k, é um coeficiente que representa as características médias de aderência (k = f ct /τ bm ). Como se constata da observação da Figura II. 20 é de prever que sempre que uma nova fenda se forme, esta aconteça nas zonas em estado I, ou seja, para além do comprimento l 0. Logo, l 0, corresponde à menor distância possível entre fendas, sendo que o EC2 [16] apresenta uma fórmula para essa distância semelhante à de l 0, que é a seguinte: S min = 0,25k 1 k 2 ρ ef (II.19) Mas, o mesmo regulamento, avalia a abertura característica de fendas com base numa expressão de espaçamento máximo entre fendas: S r,max = 1,7 (2c + 0,25k 1 k 2 ) = 3,40c + 0,425k ρ 1 k 2 ef ρ ef (II.20) 31

44 Onde, c representa o recobrimento das armaduras; k 1 é o coeficiente que contabiliza as propriedades de aderência das armaduras, cujo valor é 0,8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos) e 1,6 para varões lisos; k 2 é o coeficiente que tem em consideração a forma de distribuição de extensões na secção, e que toma o valor de 0,5 para flexão, 1,0 para tracção simples e para a flexão com tracção, ε 1+ε 2, onde ε 2ε 1 e ε 2 representam a maior e menor extensão das fibras extremas da área 1 traccionada; é o diâmetro dos varões, sendo que, no caso de serem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente eq = n i i 2 n i i, em que n i é o número de varões de diâmetro i ρ ef = A s A c,ef, na qual a área efectiva, que representa a zona de betão mobilizada por aderência, é calculada pela seguinte expressão: A c,ef = b c,ef (II.21) Na qual, c,ef = min 2,5 d ; x 3 ; 2 (II.22) Sendo que x é a altura da zona comprimida, para o caso da flexão e d é a distância do centro da armadura de um lado da secção à superfície do betão do outro lado. O EC2 [16] apresenta alguns casos típicos para obtenção de h c,ef, conforme se apresenta na figura seguinte. 32

45 Figura II. 22 Secções efectivas de betão traccionado [16] A expressão do espaçamento máximo entre fendas (expressão II.20) é equivalente à do espaçamento mínimo (expressão II.19) multiplicada por 1,7 e na qual 2c é um termo corrector que leva em conta o facto da abertura de fendas na face do betão ter tendência a ser maior à do nível da armadura (ver Figura II. 21). Também se verifica que, quanto menor o diâmetro dos varões e maior a quantidade de armadura, na área efectiva, menor a distância entre fendas. No que concerne à extensão média relativa entre o aço e o betão entre fendas, o mesmo regulamento apresenta a seguinte expressão para a sua avaliação: ε sm ε cm = ς s f ct,eff (1+α e ρ ef ) k E t 0,6 ς s s E s ρ ef E s (II.23) Onde, α e = E s E cm, é o coeficiente de homogeneização; k t é um factor que tem em conta a duração das cargas. Tomando o valor de 0,6 para acções de curta duração e 0,4 para acções de longa duração. Pela expressão de cálculo da abertura de fendas, II.16, e pelas expressões de espaçamento máximo entre fendas, II.20, e de extensão média relativa entre o aço e o betão entre fendas, II.23, pode-se concluir que a abertura de fendas depende essencialmente da tensão na armadura, σ s, do diâmetro dos varões, Ø e da percentagem da armadura, na área efectiva, ρ ef. Fisicamente, tal é expectável, pelo facto de que, após a formação da fenda, a resposta nessa zona será afectada essencialmente pela extensão (ou tensão) na armadura, a distância entre 33

46 fendas dependerá do diâmetro do varão porque tal determina a superfície de contacto entre o betão e o aço e consequentemente a transmissão de tensões entre os dois materiais e a quantidade de armadura na zona de betão mobilizada por aderência facilita a transmissão de tensões. Verifica-se que uma forma simples de efectuar o controlo da abertura de fendas, sem cálculo directo, consiste em controlar dois dos parâmetros atrás referidos (σ s e Ø). Como já foi referido, no caso das deformações impostas esse controlo é feito assegurando que os diâmetros dos varões e as tensões nas armaduras não ultrapassem os valores da Tabela II. 2, obtendo-se assim a quantidade de armadura condicionada por esses parâmetros. De salientar, que os valores de diâmetro máximo apresentados na Tabela II. 2 devem ser corrigidos, com o objectivo de respeitar as seguintes situações: Para elementos solicitados por flexão, ou flexão composta: s = s f ct,eff 2,9 k c cr 2 d (II.24) E para elementos solicitados à tracção simples: s = s f ct,eff 2,9 cr 8 d (II.25) Nestas expressões, s é o diâmetro a adoptar, s o diâmetro lido na Tabela II. 2 e h cr a espessura da zona de tracção imediatamente antes da fendilhação, considerando os valores característicos de pré-esforço e esforços axiais sob a combinação quase-permanente de acções. De facto, a verificação do estado limite de abertura de fendas deve, em geral, ser realizada de forma directa avaliando explicitamente a abertura pela expressão II Deformação imposta em paredes laterais efeito axial Outros casos em que as deformações impostas geram um efeito axial são os muros de suporte e paredes laterais de caves de edifícios. As fundações, em geral mais espessas, restringem o livre encurtamento das paredes sob o efeito das deformações impostas, resultando no aparecimento tracções nas paredes. Estas tensões têm uma pequena variação em altura, tendendo para uma distribuição quase uniforme na zona central, como se pode observar na Figura II

47 Figura II. 23 a) geometria geral da parede; b) distribuição de tensões antes de formar a 1ªfenda; c) Resultante das tensões longitudinais antes de formar a 1ª fenda [32] Assim, constata-se que, o comportamento elástico da parede sujeita a deformação imposta é semelhante ao de um tirante restringido nas extremidades. Esta semelhança fica melhor quantificada na Figura II. 24, na qual se observa que a uniformização das tensões, na zona central da parede lateral, é tanto mais significativa quanto maior for o seu comprimento em relação à altura. Figura II. 24 Comparação de distribuição de tensão no centro das paredes com as dum tirante em função da razão l/b [19] Devido a estas características elásticas do comportamento das paredes laterais, a área de armadura mínima necessária é usualmente avaliada pelo mesmo procedimento que é aplicado para um tirante restringido nas extremidades. Assim, essa área de armadura mínima é dada 35

48 pela expressão II.13, em que k = k(), sendo h a espessura das paredes laterais e k c = 1,0 para tracção pura. Logo, a área de armadura mínima em paredes laterais é definida pela seguinte expressão: A s,min = k c k A ct f ct,ef ς s = 1,0 k f ct,ef f yk cm 2 m (II.26) Segundo Luís [26], depois da formação da primeira fenda transversal e consequente perda de rigidez longitudinal, a resultante de tensões transversais na parede aquando da formação de uma segunda fenda deixa de apresentar um valor aproximadamente constante ao longo desse elemento (ver Figura II. 25). O mesmo autor verificou também que, à medida que a deformação imposta evoluía, novas fendas eram formadas e que nas secções previamente fendilhadas o nível de esforço axial não voltava mais a tomar o valor correspondente ao de fendilhação, mas apenas cerca de metade desse valor. Figura II. 25 Características imediatamente antes da formação da 2ª fenda: a) Parede, b) Distribuição de tensões, c) Resultantes de tensões, para um comportamento não linear [19] Recentemente, Luís [26], através de uma análise não linear, e Teixeira [32], através de análises lineares e um processo iterativo, estudaram a acção das deformações impostas em paredes laterais. Em ambos os casos simulou-se uma parede com as seguintes características geométricas (ver Figura II. 26): 30 metros de comprimento, 3 metros de altura e 0,3 metros de espessura. A fundação da parede foi modelada com restrição total, pois o processo de retracção da laje de fundo, no momento da betonagem da parede, encontra-se numa etapa mais avançada e dá-se mais lentamente, devido à sua maior espessura e condições de exposição ambiental mais desfavorável à evolução da retracção. 36

49 Figura II. 26 Características geométricas da parede utilizada nas análises de Luís [26] e Teixeira [32] Seguidamente, expõem-se os mais recentes critérios regulamentares do EC2 [17] para este tipo de estrutura, para posteriormente se apresentar os resultados e as implicações das conclusões de Luís [26] e Teixeira [32] sobre as características da resposta estrutural às deformações impostas em paredes laterais Eurocódigo 2 parte 3 [17] Para o caso de reservatórios, o controlo da abertura de fendas apresentado pelo EC2 parte 1 [16] é insuficiente para as exigências de estanquidade próprias à funcionalidade destas obras, sendo necessário seguir as recomendações do EC2 parte 3 [17], que cobrem aqueles aspectos. O EC2 parte 3 [17] procede à classificação de reservatórios em função do grau de exigência requerido em relação às fugas de água. Tal classificação encontra-se no quadro do regulamento referido e apresenta-se na Tabela II. 3. Classe de estanquidade Requisitos em matéria de fugas 0 Aceitável um certo nível de fuga, ou fuga de líquidos sem consequências. 1 Fugas limitadas a uma pequena quantidade. São aceitáveis algumas manchas superficiais ou manchas de humidade. 2 Fugas mínimas. Aspecto não afectado por manchas. 3 Nenhuma fuga é permitida. Tabela II. 3 Classificação da exigência de estanquidade [17] 37

50 Assim, são escolhidos valores limites adequados para a fendilhação em função da classificação do elemento estrutural. Na falta de requisitos mais específicos, a regulamentação [17], propõe que se sigam as seguintes indicações: Para a Classe 0 poderão ser adoptadas as disposições de do EC2 parte 1 [16]; Para a Classe 1 deve ser limitada a w k1 a largura de quaisquer fendas que se preveja atravessarem a espessura total da secção ou então deve ser limitada ao estipulado em [16], com um valor da altura da área comprimida de pelo menos X min (fissuras não transversais, sendo recomendado o valor de 50mm), calculada para a combinação mais desfavorável e considerando a resistência de tracção do betão como nula; Para a Classe 2 há que evitar fendas que possam vir a atravessar a espessura total da secção, a não ser que venham a ser adoptadas medidas adequadas (por exemplo, revestimentos ou perfis de estanquidade); Para a Classe 3 são necessárias medidas especiais, tais como, revestimentos ou préesforços, com o objectivo de garantir a estanquidade à água. O valor de w k1 a respeitar é apresentado no anexo nacional de cada país. Os valores recomendados para as estruturas de retenção de água são definidos como uma função da relação entre a pressão hidrostática, h D e a espessura da parede da estrutura de contenção, h, (ver Figura II. 27) tais que: para h D /h 5, w k1 =0,2 mm, enquanto para h D /h 35, w k1 =0,05 mm. Para valores intermédios de h D /h, poderá efectuar-se uma interpolação linear entre 0,2 e 0,05. A limitação da largura de fendas a estes valores deverá resultar numa auto-selagem eficaz das fendas num período de tempo relativamente curto. Figura II. 27 Valores recomendados para a abertura w k1 As figuras 7.103N [17] e 7.104N [17], apresentadas nas Figura II. 28 e Figura II. 29, respectivamente, fornecem os valores máximos dos diâmetros e dos espaçamentos dos varões para diversas larguras de cálculo das fendas, no caso de secções totalmente traccionadas. 38

51 Figura II. 28 Diâmetro máximo dos varões para o controlo da fendilhação, função da tensão nas armaduras [17] Figura II. 29 Espaçamento máximo dos varões para o controlo da fendilhação, função das tensões nas armaduras [17] Os máximos diâmetros das armaduras dadas pelo gráfico da Figura II. 28 devem ser modificados através da expressão seguinte: s = s f ct,eff 2,9 10 d (II.27) Onde, s é o diâmetro máximo do aço já modificado; s é o diâmetro máximo do aço obtido a partir da Figura II. 28; h é a espessura total da parede; 39

52 d é a distância do centro de gravidade da camada exterior das armaduras à face oposta do betão. Desta expressão é importante salientar que, sendo em geral h-d da ordem de 4 a 5 cm, para espessuras da ordem de 0,40m a 0,50m os valores dos diâmetros de referencia do quadro não necessitam de adaptação mas que, para menores espessuras, as exigências são significativamente maiores. Das Figura II. 28 e Figura II. 29 constata-se que o grau de exigência em relação à tensão admissível nas armaduras é elevado para valores de abertura característica de fendas da ordem de 0,05mm a 0,1mm. Refira-se, ainda, que se tem valores da mesma ordem de grandeza para os limites de tensões na armadura, para aberturas características de 0,2mm e 0,3mm, entre os apresentados no EC2 parte 1 [16], para o controlo indirecto da abertura de fendas (ver Tabela II. 2) e os apresentados no EC2 parte 3 [17] (ver Figura II. 28). No entanto, deve-se salientar que os valores do Quadro da parte 1 do EC2 foram avaliados para situações de flexão (k 2 =0,5) e têm uma expressão de correcção para a tracção (expressão II.25) com um 8 no denominador, em vez do 10, da relação na expressão II.27. Parece-nos que, no caso de se querer adoptar o controlo indirecto de fendilhação por efeitos de tracção, estes últimos gráficos deviam ser preferencialmente os utilizados porque foram directamente preparados para a tracção (k 2 =1,0) Comportamento de paredes laterais Os dois estudos [26, 32] efectuados sobre o comportamento de paredes laterais apontam para conclusões no mesmo sentido no que diz respeito à variação das tensões em altura da parede e à evolução da tensão média nas armaduras. Nos próximos parágrafos esses resultados serão analisados e, posteriormente, apresentar-se-ão os resultados decorrentes da análise da tensão na zona central da parede, desenvolvida por Teixeira [32]. Luís [26] estudou a resposta das paredes laterais à acção das deformações impostas efectuando uma análise não linear, com o ATENA. Simulou no modelo analítico três situações de distribuição da armadura, indicadas na Tabela II. 4, sendo que o caso 1 corresponde à armadura mínima regulamentar, definida pela expressão II.26, e as restantes situações correspondem a quantidades inferiores (caso 2) e superiores (caso3) a essa. 40

53 Casos de análise A s,adoptado Percentagem de Armadura (%) Betão: E c =30,5 GPa f ct = 2,35 MPa 1 Ø12//0,15 (2x7,54 cm 2 /m) 0,50 A500: 2 Ø10//0,15 (2x5,14 cm 2 /m) 0,35 E s =200 GPa 3 Ø16//0,15 (2x13,41 cm 2 /m) 0,89 f yk =500 MPa Tabela II. 4 Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise não linear de Luís [26] Na Figura II. 30 apresenta-se, para o caso 1, a variação da resultante das tensões longitudinais ao longo da parede à medida que a deformação imposta aumenta e o processo de fendilhação evolui, notando-se a simetria do sistema. Cada linha corresponde à distribuição do esforço axial, sendo de referir que os casos intitulados 1ª fenda (linha roxa) e 2ª fenda (linha verde) correspondem às situações imediatamente antes da formação de uma nova fenda. Figura II. 30 Variação das resultantes de tensões ao longo da parede para o caso 1 [26] Pela observação da figura verifica-se que a formação das fendas ocorre das extremidades para o centro da parede, devido a picos de tensões de tracção na proximidade da zona de ligação parede/fundação. Pode notar-se que, à medida que se formam as fendas, o esforço axial não se mantém constante ao longo da parede, o que constitui um comportamento distinto do verificado no tirante sujeito a uma deformação imposta axial. Neste último caso o esforço axial, por equilíbrio, é necessariamente o mesmo em todas as secções, ao passo que na situação das paredes laterais tal não acontece, porque a distribuição das tensões tangenciais e normais em altura, ao longo dessas paredes, devido à ligação inferior parede/fundação, distingue-se da que ocorre no tirante. 41

54 Analisando a Figura II. 30 constata-se, como já foi mencionado, que, com o crescimento da deformação imposta, na zona das fendas anteriormente formadas, o nível de esforço axial nunca retoma o valor correspondente ao de fendilhação, N cr, tomando antes valores máximos da ordem de grandeza de metade N cr, como indicado na Tabela II. 5. É de salientar que para deformações impostas elevadas o esforço axial resultante, dependente da quantidade de armadura, converge para um valor quase uniforme ao longo da parede, sendo que no caso 1 esse valor corresponde a 1000 kn. Casos de Análise ρ (%) Deformação imposta externa Deformação imposta interna N (kn) N/N cr N (kn) N/N cr 1 0, , ,40 2 0, , ,34 3 0, , ,48 Tabela II. 5 Valores do esforço axial estabilizado (N) para os 3 casos analisados [26] Verifica-se também que, quanto menor a quantidade de armadura, maior é o abaixamento dos esforços globais nas zonas previamente fendilhadas, o que é expectável pois há uma maior diminuição da rigidez. Também se conclui que o valor da deformação imposta, para formar o mesmo número de fendas, é maior para quantidades de armadura menores, e isto porque a diminuição da tensão e da rigidez, aquando da formação de uma nova fenda, são maiores. É interessante notar também que o esforço axial estabilizado no caso de a acção ser uma deformação imposta interna é inferior ao que se verifica no caso de essa ser externa; tal é explicado pela existência das tensões auto-equilibradas, exactamente pela mesma razão constatada no subcapítulo 2.3. Na Figura II. 31 apresenta-se os resultados obtidos por Luís [26] em relação à evolução da tensão nas armaduras (corresponde à média das tensões ao longo da altura da parede) e a abertura de fendas nas secções previamente fendilhadas. 42

55 Figura II. 31 Evolução da tensão média e abertura de fendas ao longo da parede para o caso 1, para deformação imposta externa e interna respectivamente [26] Os resultados apresentados revelam que antes da formação da primeira fenda ocorre uma pequena variação de tensão na armadura, a qual se deve ao comportamento elástico da secção. Quando se forma a primeira fenda observa-se um aumento significativo da tensão, apesar da queda do esforço axial global, conforme também ocorre no caso do tirante. Há também uma diminuição ligeira da tensão no aço quando se forma uma nova fenda, de uma forma semelhante ao caso do tirante. Na Figura II. 31 também se verifica que os níveis de abertura de fendas são da ordem de 0,20mm e que esses valores são semelhantes para ambos os casos de deformação imposta. É de notar que os níveis de tensão nas armaduras para os dois tipos de deformação imposta (externa e interna) são inferiores aos que se verificam no tirante e à tensão de cedência, mesmo para a situação em que se adopta uma quantidade de armadura inferior à mínima (caso 2), aspecto realçado por Luís [26]. Estas características de comportamento devem ter repercussões no dimensionamento das armaduras, para assegurar a satisfação das exigências funcionais para este tipo de estrutura. Nesse sentido, e com o fim de compreender melhor estas características de comportamento, Teixeira [32], efectuou um estudo, para uma parede com o mesmo tipo de geometria mas recorrendo a uma análise linear, com o SAP2000 para a variação diferencial de temperatura entre a parede e a base, e, procedeu à modelação da perda de rigidez da zona onde as fendas se vão formando de uma forma simplificada. Para tal, fez actuar uma diminuição de temperatura na parede até se atingir numa dada secção uma resultante de tensões axiais correspondentes ao inicio da fendilhação, tendo constatado que seria na secção do meio parede. Após atingir o valor de N cr, Teixeira [32] teve em conta indirectamente a não linearidade do comportamento do elemento no modelo, simulando a perda de rigidez nessa 43

56 zona. A avaliação da perda de rigidez baseou-se num modelo simplificado da abertura de fendas, referido por Favre [19], onde se admite que na zona da fenda, e num comprimento de 0,35l 0 para cada lado, a rigidez do elemento só depende das armaduras, rigidez em Estado II. Na Tabela II. 6 apresentam-se as quantidades de armadura consideradas para cada caso de parede estudada, sendo que a armadura no caso 1 corresponde à mínima regulamentar. Casos de análise A s,adoptado ρ ef (%) Betão: E c =30,5 GPa f ctm = 2,6 MPa 1 Ø10//0,10 (2x7,85 cm 2 /m) 0,785 A500: 2 Ø10//0,15 (2x5,24 cm 2 /m) 0,524 E s =200 GPa 3 Ø12//0,10 (2x11,31 cm 2 /m) 1,131 f yk =500 MPa Tabela II. 6 Percentagens de armadura e tipos de materiais utilizados na análise linear de Teixeira [32] para uma parede encastrada na base e com espessura de 0,30m Na Figura II. 32 apresenta-se, para o caso 1, a variação da resultante de tensões na secção transversal ao longo da parede com uma deformação imposta equivalente a um abaixamento de temperatura. Figura II. 32 Variação da força ao longo da parede, para o caso 1 (armadura mínima) [32] Reconhece-se que os resultados obtidos da análise linear, com introdução, após a formação de cada fenda, de uma redução de rigidez, são qualitativamente e mesmo quantitativamente semelhantes aos da análise não linear. Um exemplo disso é o facto de se ter chegado a valores de esforço axial máximo gerado nas secções anteriormente fendilhadas bastante próximos. Teixeira [32] também conclui que quanto menor a quantidade de armadura, maior o 44

57 abaixamento dos esforços globais nas zonas previamente fendilhadas, pois há uma diminuição mais expressiva da rigidez e, simultaneamente, o valor da deformação imposta para formar os mesmos números de fendas é maior (a diminuição da tensão e de rigidez aquando da formação de uma nova fenda, são maiores). Aquele autor verificou ainda, que quanto maior a quantidade de armadura, mais fendas se formam. Da análise das tensões médias nas armaduras Teixeira [32] atestou o mesmo que Luís [26], ou seja, que mesmo para uma armadura inferior à mínima, a tensão média máxima, antes da formação da fenda seguinte, é bastante inferior à tensão característica de cedência. No entanto, o facto de se considerar, nesta avaliação, valores médios ao longo da altura da parede implica que se está a desconsiderar a existência de tensões superiores nalgumas zonas da parede. Para a avaliação da abertura máxima de fendas dever-se-ia, portanto, tomar, eventualmente, valores de tensão superiores. Teixeira [32] analisou a distribuição de tensões ao longo da altura da parede na secção central da mesma, para o estados I e II e para o caso 1 de quantidade de armadura. Na Figura II. 33 apresenta-se a variação de tensões no betão na zona central no Estado I (não fendilhado) e a razão entre a tensão no topo e na base, σ c, com a tensão uniforme, σ 0, imediatamente antes da formação da 1ª fenda. Figura II. 33 Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da formação da 1ª fenda, para o caso 1 [32] Na zona de ligação entre a parede e a laje de fundo há restrição total da deformação imposta, logo a tensão é maior nessa zona, mas a variação ao longo da altura é quase nula (da ordem de 1,3%). O valor obtido para a razão das tensões no topo e base da parede é concordante com o que tem sido referido por outros autores, em particular por Favre [19] (ver Figura II. 24). 45

58 Na Figura II. 34 apresenta-se a distribuição de tensão nas armaduras na 1ª fenda para a situação imediatamente antes da formação da 2ª e 3ª fenda. É de referir que nesta análise linear por etapas a primeira fenda aparece na zona central da parede, ao contrário do que aconteceu na análise não linear, na qual as fendas se formaram da extremidade para o centro. Como já se aferiu, tal diferença não afecta as conclusões relativamente às características gerais de comportamento aqui discutidas. Figura II. 34 Distribuição de tensão, na secção central da parede imediatamente antes da 3ª fenda, no caso 1 [32] Como se pode constatar, ao contrário do que se verifica no modelo não fendilhado, na secção central a distribuição de tensões nas armaduras não é uniforme, mas antes aumenta ao longo da altura da parede. Este comportamento deve-se à restrição na base da parede, que faz com que as aberturas tendam a ser maiores no topo (ver Figura II. 35). Assim, o modelo utilizado por Teixeira [32], com impedimento total da deformação na base faz com que a deformação imposta na base seja absorvida, no essencial, em tensões no betão e, na zona superior, estando o efeito de restrição mais afastado, a deformação e tensões concentram-se nas zonas menos rígidas e anteriormente fendilhadas. Assim, é natural que, devido às tensões no betão, se verifiquem fendas com menos altura junto à base (ver Figura II. 36), situação que corresponde ao encontrado na prática. Figura II. 35 Deformada ao longo do comprimento da parede, para a situação imediatamente antes da formação das 4ª e 5ª fendas [32] 46

59 Figura II. 36 Fendilhação que ocorre num muro sem juntas Na Figura II. 37 encontram-se os gráficos da variação da tensão na secção central da parede, juntamente com o seu valor médio, para os 3 casos de distribuição de armadura obtidas com o modelo de Teixeira [32]. Verifica-se em todos os casos, pelos motivos mencionados anteriormente, uma considerável variação de tensão em altura, que diminui, no entanto, com o aumento da quantidade de armadura. Figura II. 37 Variação da tensão (azul) e valor médio (cinzento), na secção central da parede aquando da formação das fendas seguintes para: a) caso 1; b) caso 2; c) caso3 [32] Observa-se, também, que, de qualquer forma, a tensão máxima na secção central é de cerca de 385 MPa para o caso 1 (armadura mínima) e de cerca de 445 MPa para o caso 2, com armadura inferior à mínima. Estes valores são inferiores à tensão característica de 47

60 cedência mas não são aceitáveis em termos de exigência em serviço, pois os valores das aberturas de fendas expectáveis, com tensões desta ordem de grandeza, podem tomar valores não admissíveis em termos de durabilidade e/ou aspecto, segundo o EC2 [16]. Como se pode constatar na Tabela II. 2, o valor limite de tensão no aço, para os diâmetros adoptados (10mm) e abertura de fenda característica, w k, inferior a 0,40 mm, é de 360 MPa, ou seja, inferior às tensões máximas geradas nos casos 1 e 2. Para valores mais exigentes de abertura de fendas, com o fim de assegurar boas características em termos de estanquidade, Teixeira [32] concluiu que eram necessárias quantidades de armaduras superiores às do caso 3. Apesar desta constatação, o mesmo autor admitiu que o facto de se poder ter formação de fendas com esforços axiais inferiores aos da fórmula da armadura mínima para deformações impostas, permite assegurar, determinados níveis de exigências, com menores quantidades de armadura. Em ambos os estudos concluiu-se que com a formação de fendas transversais, e consequente perda de rigidez, as tensões nas armaduras tomam valores inferiores àqueles que teriam se de facto se tratasse de uma situação típica de tirante, na qual se baseia a expressão base de estimativa da armadura mínima ou de avaliação do nível de tensão para o caso da deformação imposta. Verificou-se, de facto, que o nível de tensões nas armaduras, nas secções previamente fendilhadas é inferior à tensão de cedência do aço, mesmo para o caso em que se adopta uma quantidade de armadura inferior à mínima definida para o caso do tirante. 48

61 III. Análise de sobreposição de cargas com deformações impostas Neste capítulo procede-se à descrição do comportamento de um elemento de betão estrutural sujeito à acção de deformações impostas quando sobrepostas a situações de flexão devido a cargas verticais. Refira-se que estas são notoriamente situações correntes em que os efeitos das deformações impostas se sobrepõem aos efeitos das acções verticais, em particular das cargas com carácter de permanência Considerações Iniciais A análise dos efeitos das acções quer sejam directas ou indirectas, não deve ser realizada de forma separada, mas sobrepondo esses dois tipos de efeitos, pois, como se irá verificar, também neste capítulo, o nível das tensões induzidas pelas deformações impostas dependem da rigidez e, como os esforços introduzidos pelas acções directas provocam a fendilhação do elemento de betão estrutural, os esforços provocados pelas deformações impostas diminuem numa situação de sobreposição de efeitos. Na situação de sobreposição a questão que se coloca é saber se a quantidade de armadura necessária para verificar a segurança à rotura, considerando só as cargas, é suficiente para garantir boas características de comportamento em serviço. Se a adopção de uma armadura mínima tem condições para responder eficientemente, quer à pormenorização dos elementos das secções submetidas à deformação imposta axial, quer ao dimensionamento da armadura em elementos pouco ou nada solicitados por cargas, tal critério deixa de fazer sentido para as situações de sobreposição de efeitos. Na regulamentação mais recente verifica-se que a definição da armadura mínima para as deformações impostas depende exclusivamente do nível máximo de esforço axial que se desenvolve para aquelas acções, não se discutindo directamente a situação de sobreposição de efeitos. As situações, que serão apresentadas nos próximos subcapítulos, são correspondentes a situações de sobreposição de deformações impostas, com componentes essencialmente de flexão simples e/ou composta, aos efeitos semelhantes de cargas. 49

62 3.2. Deformação imposta com efeito de flexão, com sobreposição de cargas verticais No caso em que os efeitos de flexão das deformações impostas se sobrepõem aos efeitos das cargas (ver Figura III. 1), é indispensável saber se as armaduras calculadas para a situação última de rotura, tendo em conta apenas as cargas, são suficientes para garantirem um comportamento aceitável em serviço, considerando agora também as acções indirectas, conforme apresentado no subcapítulo 1.3. Figura III. 1 Sobreposição do efeito de flexão de uma deformação imposta (por exemplo, assentamento diferencial de apoio ou variação linear de temperatura) com a flexão simples devido às cargas verticais Nesta circunstância, os esforços desenvolvidos por acção da deformação imposta na estrutura vão depender do nível de esforços a que a mesma está previamente sujeita devido às cargas, conforme se pode observar na Figura III. 2. Essa figura ilustra o diagrama Momento- Curvatura na secção do apoio para o caso da sobreposição do efeito de uma deformação imposta com o de uma carga uniformemente distribuída (ver Figura III. 1). Figura III. 2 Diferentes incrementos de momento devido à mesma deformação imposta dependente da rigidez estrutural [11] 50

63 Nesta situação de sobreposição, os esforços desenvolvidos variam consoante o valor da rigidez da estrutura seja maior ou menor e o facto de já ter sido iniciada ou não a fase fendilhada. O efeito das deformações impostas manifesta-se por um acréscimo de curvatura e por um possível aumento dos momentos flectores, estando estes dependentes do estado e do nível de esforço em que o elemento se encontra. Se estiver em estado não fendilhado, o incremento de esforços devido às acções indirectas, correspondem aos valores de cálculo elástico, quanto muito tendo em conta o efeito da fluência, se a acção se desenvolver ao longo do tempo. No entanto, se houver zonas em estado fendilhado, os incrementos de esforços não poderão ser avaliados de forma elástica, pois esta não contempla a menor rigidez da peça naquela situação, que faz com que os incrementos globais de esforços sejam inferiores. Este aspecto diferencia a actuação das deformações impostas do efeito das cargas, pois para estas o comportamento não linear interfere na distribuição de esforços entre secções da estrutura, mas não numa redução global de esforços [12]. Na Figura III. 3 ilustra-se uma situação comum de sobreposição do efeito de uma deformação imposta de flexão com o de cargas, em que se questiona a avaliação do incremento de momento devido a uma variação de temperatura diferencial. Figura III. 3 Comportamento estrutural num caso usual de sobreposição dos efeitos de deformações impostas aos das cargas [13] 51

64 Da observação da figura ressalta que, na situação de sobreposição a rigidez, para a acção da deformação imposta, é diferente ao longo da viga. Na zona do apoio corresponde à rigidez fendilhada, na zona de vão à rigidez de descarga e no restante à elástica. Assim, o incremento de esforços devido à acção da deformação imposta não é independente do valor da carga actuante pois é afectada pelo nível de esforços e sua distribuição devidas às cargas. O valor do incremento de esforços depende das rigidezes incrementais das diferentes zonas, da extensão das zonas fendilhadas, das percentagens de armadura e do sentido de variação dos esforços (ver Figura III. 3), conforme Camara [13] pôde constatar. A questão principal que se coloca é a avaliação simplificada dos efeitos da deformação imposta que deve ter em conta o facto da estrutura se encontrar fendilhada e, portanto, deve ser considerada a diminuição de rigidez e dos esforços gerados relativamente aos elásticos, conforme explanado no subcapítulo 1.3. Apresenta-se na Figura III. 4 a relação entre as rigidezes à flexão dos Estados I e II para diferentes quantidades de armadura de uma secção de betão armado. Figura III. 4 Relação entre as rigidezes dos Estados I e II em flexão simples para diferentes percentagens de armadura [13] Observando a figura e analisando a relação de rigidezes dos Estados I e II à flexão para diferentes percentagens de armadura, fica claro que o incremento de esforços, devido à deformação imposta, se obtido por cálculo elástico, ou seja, em Estado I, pode ser consideravelmente reduzido para ter em conta a existência de fendilhação em determinadas zonas. Refira-se que para uma percentagem de armadura de 1% (valor significativo), para acções de curto prazo a relação de rigidezes à flexão dos Estados II e I é de aproximadamente 1/3. 52

65 É interessante também realçar a diferença das consequências da resposta de um elemento de betão estrutural às deformações impostas, quando dimensionado às cargas com percentagens de armadura diferentes. Como se pode observar pela Figura III. 5, para uma maior diferença entre o momento devido às cargas aplicadas em serviço e o momento de cedência, maior será a capacidade do elemento para suportar eventuais acréscimos de momento flector devido a eventuais deformações impostas, sem que este atinja a cedência. Figura III. 5 Importância entre a diferença de valores M cr e M y [13] Assim, se no dimensionamento às cargas houve necessidade de adoptar uma percentagem grande de armaduras a reserva de momento flector em serviço para além do momento das cargas, ΔM, para se atingir a plastificação é maior, logo é maior a capacidade dessa secção para absorver eventuais efeitos das deformações impostas, sem atingir a cedência. Portanto, verifica-se que mesmo considerando a redução do momento elástico devido à deformação imposta em relação ao valor elástico, o efeito negativo desta acção tem tendência a ser mais prejudicial nas zonas em que o momento flector devido às cargas é menor, onde as quantidades de armadura são menores e a reserva em relação à não cedência é inferior. Por exemplo, na situação da Figura III. 1 (viga contínua), se a deformação imposta pudesse actuar com efeitos negativos, como na figura, ou positivos, a zona onde o efeito da acção indirecta poderia ser mais desfavorável seria a do vão, onde as armaduras, dimensionadas para o estado limite último, seriam inferiores às do apoio (M inf << M sup na figura referida). De facto, nas zonas dos apoios a reserva de momento entre a cedência do aço e a tensão instalada devido às cargas verticais é, em geral, superior. As indicações para ter, na fase de dimensionamento, como orientação, na análise destas situações, são apresentadas no subcapítulo

66 3.3. Deformação imposta axial, com sobreposição de cargas verticais Numa estrutura de betão armado quando existe restrição à deformação livre nos pisos dos edifícios a situação mais comum é a de ocorrer a sobreposição do efeito da flexão provocada por cargas verticais com deformações impostas axiais, conforme a Figura III. 6 exemplifica. De salientar, que os efeitos dessas acções indirectas são as mais desfavoráveis no que concerne ao comportamento em serviço do betão estrutural. Figura III. 6 Sobreposição de uma deformação imposta axial com cargas verticais O comportamento de um elemento de betão estrutural sujeito à flexão com sobreposição de um esforço normal (flexão composta) apresenta diferenças em termos de comportamento global consoante o esforço normal seja de compressão ou de tracção, como se pode observar na Figura III. 7, que representa duas relações Momento-Curvatura com esforços axiais de compressão e tracção moderados. Para um esforço normal de tracção crescente proveniente das acções indirectas o momento flector de fendilhação diminui, assim como, a rigidez do elemento e o momento de cedência, aumentando, para o mesmo momento flector, a curvatura da peça. Figura III. 7 Comportamento à flexão simples e composta com esforço axial constante [14] 54

67 Assim, se, por um lado, o esforço axial de tracção afecta as características da relação M- 1/R m, por outro lado, a presença de flexão, modifica alguns aspectos de comportamento N-ɛ m, em particular, para a situação que nos interessa neste contexto de acção de um efeito axial devido a uma deformação imposta. Na Figura III. 8 apresenta-se uma comparação entre o comportamento de um elemento de betão armado à tracção (sem e com flexão sobreposta), solicitado por uma deformação imposta crescente, de origem externa e interna. Figura III. 8 Deformação imposta externa e interna, sem e com sobreposição de efeitos [11] Pode observar-se que, a sobreposição do efeito da deformação imposta à flexão devido às cargas verticais, faz diminuir os esforços axiais que se desenvolvem, quer a deformação seja interna ou externa ao betão. Esta diminuição do valor do esforço axial é mais significativa para níveis mais baixos da deformação imposta. Verifica-se que, numa análise de situações de sobreposição de efeitos de flexão com deformação imposta axial, devido à não-linearidade do betão estrutural, o comportamento do elemento solicitado é interdependente e não deve ser considerado como a soma de cada efeito analisado individualmente. As indicações para ter, na fase de dimensionamento, como orientação, na análise destas situações, são apresentadas no subcapítulo

68 Apresenta-se seguidamente a extensão do estudo da análise não linear apresentado no subcapítulo 2.3 às situações de sobreposição de efeitos axiais de uma deformação imposta a uma estrutura já carregada por acções verticais Sobreposição de efeitos Deformação Imposta Externa Luís [25] com o mesmo modelo e nos mesmos casos mencionados no subcapítulo 2.3 procedeu à análise não linear da resposta estrutural para cargas verticais em sobreposição com acções indirectas axiais. Os níveis de carga correspondentes às combinações quase permanentes, que supostamente actuariam na estrutura, foram avaliados a partir da armadura ordinária adoptada, obtendo-se para o caso 4 (ρ=1,04%) uma carga vertical distribuída de 11,98 kn/m. Para analisar a resposta à deformação imposta, para um nível mais baixo de carga, definiu um segundo nível correspondente a metade das cargas quase permanentes. De referir que a sequência de aplicação das acções foi a seguinte: Colocação do carregamento vertical, mobilizando o comportamento por flexão Actuação da deformação imposta até extensões que provocassem a cedência das armaduras. De seguida, apresenta-se os resultados obtidos na análise não linear no caso 4 com sobreposição de efeitos para a deformação imposta externa e, no subcapítulo seguinte, para a deformação imposta interna. Na Figura III. 9 apresentam-se os resultados obtidos para a sobreposição de cargas verticais com deformação imposta externa do caso 4, em termos da relação N-ε m. Figura III. 9 Resultados da análise não linear em termos de N-ε m para deformação imposta externa [11] 56

69 Como se pode observar, no caso da sobreposição de efeitos, o elemento fendilha para extensões menores do que para a situação de deformação imposta isolada e para níveis de esforço axial global inferiores, sendo antecipada a perda de rigidez axial devido às fendas por flexão. O elemento também fendilha para extensões tanto menores quanto maior o momento flector devido às cargas. De notar que, na fendilhação estabilizada, para valores, de deformação imposta, na ordem dos 1,0 a 1,5 o comportamento parece convergir, ou seja, a diferença de esforço axial é maior após a formação das primeiras fendas, mas para valores de extensão iguais ou superiores à fase de fendilhação estabilizada essa diferença desvanece-se. É interessante verificar que para valores usuais de deformação imposta o esforço axial máximo resultante é menor para maiores valores de carga vertical distribuída. Na Figura III. 10 apresenta-se a distribuição de tensões nas armaduras superiores e inferiores para extensões impostas de 0,30 e 0,50 para o caso 4 de distribuição de armadura e na situação de actuação da totalidade da carga quase permanente. Figura III. 10 Distribuição das tensões nas armaduras, caso 4, para sobreposição de efeitos deformação imposta externa [25] Observa-se que a fendilhação se concentra nas secções de maior momento flector, na face traccionada por este. Nota-se que, se para uma deformação imposta isolada a tensão máxima é a mesma para ambos os níveis de extensão imposta (ver Figura II. 13), para a situação de sobreposição de efeitos (apresentada na Figura III. 10) a máxima tensão depende do valor da 57

70 deformação imposta, bem como, da distribuição do esforço de flexão devido às cargas verticais. As tensões máximas sobre os apoios são maiores na situação de sobreposição devido ao efeito de flexão/tracção. Ainda referente ao caso da sobreposição de efeitos, na zona de momentos nulos não há fissuração devido ao facto do esforço axial ser inferior ao esforço de fendilhação, N cr, pois o momento flector é baixo e há a mesma redução do esforço de tracção. Conforme se constata, pela comparação da Figura III. 10 com a Figura II. 13 (capítulo II) e como seria de esperar, o espaçamento entre fendas na situação da sobreposição de efeitos é inferior ao verificado para a situação da deformação imposta isolada, devido à distribuição de tensões em regiões submetidas à flexão composta. Na Figura III. 11 apresenta-se a variação do nível de tensões e abertura de fendas, em algumas secções fissuradas, na face inferior e superior do elemento. Figura III. 11 Variação de tensões nas armaduras e respectivas aberturas de fendas em função da extensão média deformação imposta externa [11] Observa-se que os valores de tensão e de abertura de fendas têm uma ligeira tendência para aumentar devido à semelhante evolução da força axial. Na face superior, junto ao apoio, devido à distribuição do momento flector verifica-se que as secções fendilham para valores de extensão diferentes. Verifica-se que quanto mais próximas as secções estiverem do apoio, menores serão as extensões para as quais essas fendilham, tratando-se de zonas em que o momento é superior. 58

71 Luís [25] concluiu que para valores de extensão imposta na ordem de 0,3 a 0,5 os valores de tensão e abertura de fendas registados são aceitáveis para critérios comuns de dimensionamento em serviço. Por comparação dos 5 casos, Luís [25] constatou que se formam um maior número de fendas, quer no apoio, quer no vão, para quantidades de armadura maiores. No caso 1, da armadura mínima de tracção, registou-se um comportamento estrutural menos conveniente, tendo-se formado somente duas fendas e próximo do apoio Sobreposição de efeitos Deformação Imposta Interna Na Figura III. 12 apresentam-se os resultados obtidos para a sobreposição de cargas verticais com a deformação imposta interna do caso 4, em termos de relação N-ε m Figura III. 12 Resultados da análise não linear em termos de N-ε m para deformação imposta interna [11] No caso de sobreposição, o máximo esforço axial resultante é evidentemente inferior ao valor de referência de N cr, e à medida que a deformação imposta aumenta, o seu valor tende a decrescer. É um comportamento diferente do verificado no caso da deformação imposta ser externa, analisado na secção anterior, pois na situação da deformação imposta interna, como já referido no subcapítulo 2.3, geram-se tensões auto-equilibradas, as quais, por sua vez, originam tensões de tracção no betão, diminuindo a capacidade resistente do betão à tracção e formando-se as fendas para esforços axiais menores. Um dos aspectos em comum com a situação de deformação imposta externa é o facto de que para extensões maiores, o comportamento, na fase final de formação de fendas, convergir, 59

72 ou seja, o nível de esforço axial tender para valores semelhantes apesar de diferentes níveis de carga. Apresenta-se na Figura III. 13 a distribuição de tensões nas armaduras superiores e inferiores para extensões impostas de 0,30 e 0,50 no caso 4 e na situação de actuação da totalidade de carga quase permanente. Figura III. 13 Distribuição das tensões nas armaduras, caso 4, para sobreposição de efeitos deformação imposta interna [25] Verifica-se que os picos de tensão obtidos são ligeiramente menores em comparação com os resultados obtidos para a sobreposição com a deformação imposta externa. Tal como se verificou para a deformação imposta externa, as zonas de momento nulo não apresentam fendas e os espaçamentos de fendas são semelhantes em ambas situações. Na Figura III. 14 apresentam-se a variação do nível de tensões e abertura de fendas, em algumas secções fissuradas, na face inferior e superior do elemento. 60

73 Figura III. 14 Variação de tensões nas armaduras e respectivas aberturas de fendas em função da extensão média deformação imposta interna [11] Verifica-se o mesmo tipo de comportamento enunciado para a acção isolada da deformação imposta interna, sendo observável a transição de tensões de compressão para tensões de tracção no momento da formação de fendas. Embora os níveis de tensão sejam menores do que no caso da sobreposição com a deformação imposta externa, as aberturas de fendas são da mesma ordem de grandeza. 61

74 IV. Critérios de dimensionamento propostos Com base na bibliografia analisada, em particular nos trabalhados apresentados nos capítulos anteriores, é possível resumir algumas orientações para critérios de dimensionamento no caso da actuação isolada da deformação imposta e para situações de sobreposição de cargas com deformações impostas. No presente capítulo proceder-se-á à descrição de alguns dos critérios propostos, a considerar no dimensionamento estrutural, no âmbito da verificação do comportamento em serviço, para as situações de actuação de deformações impostas isoladamente ou em conjunto com acções directas Deformação imposta isolada Para situações de deformação imposta axial actuando isoladamente, conforme se pôde constatar nos subcapítulos 2.1 e 2.3, em geral, pode-se considerar que o esforço axial gerado será sempre inferior ou igual ao esforço de fendilhação, ou seja: N di N cr (IV.1) Para uma melhor explicação sobre este aspecto, analisemos a título de exemplo a actuação de uma extensão imposta com valor de 0,3. Conforme se observa na figura abaixo, se o esforço normal provocado pela deformação fosse obtido por um cálculo elástico, N el, resultaria um valor bastante acima do que realmente se verifica para aquela extensão. Figura IV. 1 Comparação de esforços elásticos com os esforços resultantes de uma deformação imposta 62

75 Por isso, visto que o início da fendilhação ocorre, para valores médios das características do betão, com uma extensão de 0,1 e, tendo em conta que a deformação imposta axial normalmente não ultrapassa o valor da ordem de 0,5 a 0,7, os elementos estruturais encontram-se usualmente na fase de formação de fendas, como já referido no subcapítulo Assim, e como em geral a deformação imposta actuando isoladamente não atinge a fendilhação estabilizada, o esforço máximo gerado por essa acção corresponde ao que é necessário para a formação de uma nova fenda e é muito inferior ao que resultaria de uma análise elástica. Esse esforço máximo é da ordem de grandeza dos esforços de fendilhação e, consequentemente, é independente do valor da acção imposta. Logo, para valores de extensão imposta da ordem de 0,1 a 1,0, o esforço axial devido à actuação isolada da deformação imposta corresponde ao esforço de fendilhação, N cr (ver expressão IV.1), que deve portanto ser adoptado na avaliação do comportamento em serviço. Já no caso da retracção do betão, deformação imposta interna (ver Figura II. 9), com o fim de garantir a não plastificação da armadura poder-se-ia utilizar um valor inferior para o esforço axial, da ordem de 0,80 a 0,90N cr. Conclui-se então que na situação de deformação imposta isolada, o tipo de critério de dimensionamento a usar consiste, desde logo, na definição de uma quantidade de armadura que garanta a não plastificação da armadura (valor mínimo) sob o efeito do esforço correspondente ao nível a que se verifica a fendilhação. No caso de se pretender ser mais exigente em relação à limitação da abertura de fendas, como é o caso em particular dos depósitos, há que para aquele nível de esforço avaliar a quantidade de armadura para assegurar uma abertura de fendas máxima que assegure as condições de funcionalidade exigidas Deformação imposta em paredes laterais Em relação às paredes de muros de suporte ou de depósitos, como se pôde observar no subcapítulo 2.5, se o objectivo é garantir o critério da não plastificação da armadura, os estudos realizados, e aqui referidos, indicam poder utilizar-se quantidades de armadura inferiores às que são obtidas pela expressão regulamentar do Eurocódigo 2 (ver expressão II.26). Luís [26] sugeriu, caso o objectivo seja o de limitar a abertura característica de fendas a um determinado valor, adoptar para esforço axial o valor resultante dos índices da Tabela II. 5, sendo que, em alternativa, e conservativamente, poder-se-á utilizar 2/3f ct,eff A ct e 1/2f ct,eff A ct, para deformações impostas externas e internas, respectivamente. O mesmo autor concluiu que para a situação de deformação imposta interna deve ser usada para o cálculo da extensão relativa média na avaliação da abertura de fendas, a seguinte expressão: 63

76 ε srm = ε sm ε cm + ε cs (IV.2) Refira-se que, o facto de se considerar o termo adicional da retracção livre do betão à deformação relativa aço/betão devido ao estado de tensão, tem sentido físico, para além de que, apesar das menores tensões no aço, nos casos de deformação imposta interna, se obtêm aberturas de fendas da mesma ordem de grandeza Sobreposição de cargas com deformações impostas Os esforços devidos às deformações impostas em condições de serviço, no caso da sobreposição de efeitos, devem ser obtidos por meio de uma percentagem dos esforços elásticos, o que pode ser descrito da seguinte forma, considerando o coeficiente de comportamento ξ, tal que: elást a) N di = ξ N di elást b) M di = ξ M di com ξ < 1,0 (IV.3) Camara [13] realçou o sentido em contabilizar este aspecto na quantificação dos efeitos das deformações impostas com efeito de flexão, dando como exemplo o caso de uma viga biencastrada submetida a uma variação diferencial de temperatura instantânea sobreposta a uma carga distribuída, conforme se representa na Figura IV. 2. Figura IV. 2 Exemplo da resposta de uma viga bi-encastrada a uma variação linear de temperatura para uma análise linear (a) e não linear (b) [13] 64

77 Como se pode observar, os esforços gerados são inferiores aos elásticos e a variação de curvaturas no elemento é do tipo representado na Figura IV. 2 b. Nas zonas fendilhadas, nas quais o aumento de esforços é do mesmo sinal do das cargas, os incrementos de curvatura dão-se para uma rigidez aproximadamente igual à rigidez do Estado II; por sua vez, nas zonas em descarga estes incrementos dão-se para a rigidez de descarga e no resto da estrutura para a rigidez de Estado I. Caso se considere a rigidez de descarga igual à do Estado I obtém-se uma distribuição de curvaturas com um andamento similar ao representado na Figura IV. 2 b. Com base neste exemplo e noutros correspondentes a análises não lineares efectuadas, Camara [11, 12, 13] expôs um método aproximado para a avaliação do momento devido a uma deformação imposta, sendo que, no caso da flexão, este resulta da aplicação da expressão anteriormente apresentada (expressão IV.3 b). Assim, com base em análises não lineares, aquele autor, definiu que ξ, denominado de coeficiente de comportamento (que constitui um coeficiente de redução do esforço elástico), poderia assumir os valores apresentados na Tabela IV. 1, dependendo da situação de fendilhação do elemento, do nível de carga vertical distribuída, da percentagem da armadura e do tempo de imposição da acção. ξ ρ flex ão φ=0 φ=2,5 r r 1,0 1,5 2,0 1,0 1,5 2,0 0,30 1,0 0,35 0,20 0,35 0,25 0,15 0,60 1,0 0,50 0,35 0,35 0,30 0,25 1,20 1,0 0,70 0,50 0,40 0,35 0,30 Tabela IV. 1 Valores aproximados de ξ para avaliação dos momentos devido às deformações impostas [11] (realçam-se os valores médios para acções de curto e longo prazo) Na qual: ρ flex ão = A s bd r = M el ást g +ψ 2q M q +M di M cr (IV.4) (IV.5) Da observação da tabela anterior, conclui-se que para deformações impostas aplicadas num período mais curto o valor do coeficiente de redução do esforço elástico, ξ, é significativamente maior, para elementos pouco fendilhados. Constata-se também que para elementos medianamente armados este coeficiente toma valores da ordem de grandeza dos 35 a 50% do valor elástico. Caso a acção indirecta seja de longo prazo o valor deste 65

78 coeficiente é ainda menor e menos dependente da fendilhação e quantidades de armadura, apresentando valores em torno dos 30%. Analisando os factores de redução conclui-se que o esforço real resultante das deformações impostas é, desde que exista alguma fendilhação, sempre inferior a 70% do obtido por meio de uma análise elástica linear. Com o decorrer do tempo os seus efeitos vão diminuindo até valores da ordem dos 20 a 30% do valor elástico. Verifica-se assim que os danos causados nas estruturas pelas deformações impostas de flexão quando sobrepostas a cargas não são tão relevantes como uma análise elástica poderia fazer, eventualmente, supor. Por fim, conforme apresentado por Camara [12, 13] e explicado no subcapítulo 3.2 e na Figura III. 5, o importante é garantir que a reserva em relação à não cedência das armaduras em situação de flexão é suficiente para acomodar o efeito da deformação imposta, ou seja, há que cumprir, no mínimo, a seguinte condição: M = M y M serv < M di (IV.6) Salienta-se, como referido anteriormente, que para uma maior diferença entre o momento devido às cargas aplicadas em serviço e o momento de cedência (casos de necessidade de percentagens de armaduras maior na verificação de segurança à rotura devido às cargas), maior será a capacidade do elemento estrutural em admitir eventuais acréscimos de momento flector devido à acção das deformações impostas, sem que se atinja a cedência ou as aberturas de fendas sejam mais importantes. Em relação às deformações impostas axiais sobrepostas a cargas, para efectuar o cálculo das tensões nas armaduras e/ou abertura de fendas, a principal variável a definir para analisar a adequabilidade do comportamento em serviço é o valor de esforço axial a combinar com o momento flector devido às cargas permanentes ou quase permanentes. Para este efeito, é primeiramente necessário obter os esforços resultantes nas secções. Luís [25], depois de ter efectuado um extenso estudo sobre esta problemática, que se encontra sintetizado no subcapítulo e 3.3.2, propôs, para a obtenção do esforço axial resultante devido à deformação imposta, as seguintes expressões: N T = ξ T N cr (IV.7) N cs = ξ cs N cr (IV.8) No entanto, há que notar que o estudo desenvolvido por Luís [25] foi restrito, não tendo considerado toda a variabilidade possível de factores que influenciam a resposta estrutural, sendo discutível estabelecer critérios gerais de dimensionamento. Apesar disso, o referido autor conseguiu clarificar alguns aspectos importantes do comportamento estrutural nas situações de sobreposição e até mesmo considerou possível fornecer indicações muito 66

79 credíveis para a avaliação do esforço axial devido às deformações impostas naquelas situações de sobreposição de efeitos. Assim, Luís [11, 24] estimou os coeficientes ξ T e ξ cs, definidos em função da percentagem de armadura e do nível de extensão imposta. Os valores propostos para esses coeficientes são apresentados na tabela seguinte: ρ (%) Deformação imposta externa Deformação imposta interna 0,20 0,30 0,50 0,20 0,30 0,50 0,50 0,40 0,55 0,65 0,40 0,45 0,50 0,80 0,50 0,60 0,70 0,40 0,40 0,45 1,00 0,55 0,60 0,80 0,35 0,35 0,40 Tabela IV. 2 Coeficientes de redução de esforço axial de fendilhação para uma deformação imposta axial [11] salientam-se os valores médios de referência Como se pode observar, o coeficiente de redução não varia muito com as diferentes percentagens de armadura e, como tal, Luís [11] propôs que os valores a considerar correspondessem a ρ=0,80%. Uma aproximação suplementar seria tomar ξ igual a 0,6 ou 0,4 (deformação imposta externa e interna, respectivamente) independentemente do valor da deformação imposta. Como já mencionado no capítulo II e apresentado pelo EC2 [16], para a verificação ao estado limite de fendilhação para deformações impostas é necessário considerar dois critérios de dimensionamento: a garantia de não plastificação da armadura e o critério de controlo directo ou indirecto da abertura de fendas. Em situações de consideração simultânea dos efeitos de uma variação de temperatura e da retracção do betão o valor de N poderia ser avaliado como um valor intermédio para ξ, que seria dado por: ξ = kξ T + 1 k ξ cs com k [0,1] (IV. 9) Em que k é um coeficiente que leva em conta a importância relativa da variação de temperatura e da retracção. Com ξ obtido pela expressão anterior, o valor do esforço axial seria, por sua vez, obtido pela seguinte expressão : N = ξ N cr (IV.10) Para a avaliação directa da abertura de fendas, com sobreposição dos efeitos das cargas e os dois tipos de deformação imposta em simultâneo, podem ser consideradas duas alternativas, apresentadas pelo mesmo autor [11]. As alternativas são descritas pelas seguintes equações: cargas w m = S r (ε + T+cs s2 + ε cs ) (IV.11) 67

80 cargas + T eq w m = S r (ε s2 ) (IV.12) Com a aplicação da expressão IV.11, o esforço axial terá de ser obtido pelas expressões IV.10 e IV.9. Quanto à expressão IV.12, esta trata-se de uma forma equivalente mais directa de obter a estimativa da abertura de fendas, na qual se considera ambas as extensões impostas exteriores ao elemento, sendo o esforço axial obtido pela expressão IV.7. Assim, T eq corresponde a uma variação de temperatura equivalente, a qual contempla também o efeito da retracção e pode ser obtida da seguinte forma: T eq = T + ξ cs α com α = (IV.12) Enveredando por esta segunda alternativa de cálculo e pelas análises apresentadas nos capítulos anteriores obtém-se uma boa estimativa da abertura de fendas. Uma vez avaliado o esforço axial combinado com os esforços das cargas verticais é então possível analisar a situação em flexão composta. Luís [25] sugeriu uma metodologia de dimensionamento estrutural para o caso da sobreposição dos efeitos de cargas e de deformações impostas axiais. A metodologia sugerida é sintetizada nos seguintes passos: 1. Dimensionamento corrente aos Estados Limites Últimos sem consideração das deformações impostas; 2. Colocação de pelo menos uma armadura mínima de tracção nas zonas onde se possa prever que o efeito de restrição às deformações impostas é importante; Definida uma distribuição de armaduras, deve-se então efectuar a análise de tensões, tendo em conta a sobreposição de efeitos. Para isso há que ter em linha de conta os seguintes aspectos: 3. Para as cargas verticais considera-se, em princípio, a combinação quase permanente de acções; 4. Para avaliar o nível de esforço axial gerado pela restrição ao livre encurtamento deve aplicar-se, em primeiro lugar, as acções indirectas, isto é, retracção e/ou variação de temperatura, no modelo estrutural, com um módulo de elasticidade ajustado à natureza da acção. Os módulos de elasticidade a adoptar são definidos, tais que: T E c,ajust = E c,28 1+χφ T, (considerando a acção como cíclica e anual, pode-se tomar como valor médio φ T 1,0); cs E c,ajust = E c,28 1+χφ cs, (considerando a acção como permanente e crescente, pode-se tomar como valor médio φ cs 2,50). 68

81 5. Selecciona-se o critério de análise para a definição do nível da redução de esforço axial a considerar. Nas zonas da estrutura onde o esforço axial avaliado anteriormente seja superior a N cr, aquele deve ser avaliado aplicando o factor de redução, ξ (ver Tabela IV. 2), ao valor de N cr. Nas zonas onde o esforço axial avaliado em 4 seja inferior a N cr, então aplicar-se-á aquele coeficiente de redução a esse esforço axial; 6. Numa análise da flexão composta há que avaliar o nível das tensões nas armaduras em secção fissurada, definindo a adequabilidade da percentagem de armadura colocada de acordo com os limites do comportamento em serviço; 7. Atendendo ao resultado do passo anterior, poderá ser conveniente modificar as quantidades de armadura definidas em 1, de forma a baixar a tensão na armadura e limitar mais a abertura de fendas nalgumas zonas. 69

82 V. Situações de deformações impostas nas estruturas Neste capítulo proceder-se-á à identificação e descrição de algumas situações em que a consideração dos efeitos das deformações impostas é relevante e também de exemplos práticos em que é necessário recorrer-se ao conceito da armadura mínima. Posteriormente, apresentam-se dois casos de estudo, em que são aplicados alguns conceitos teóricos e de dimensionamento descritos nos capítulos anteriores Casos práticos de deformações impostas nas estruturas Existem dois tipos básicos de estruturas nas quais as deformações impostas se podem desenvolver: as isostáticas e as hiperstáticas. É de salientar que, apesar de no primeiro caso, as deformações impostas ocorrerem livremente, não se desenvolvendo esforços, é possível haver fendilhação neste tipo de estruturas, nomeadamente se ocorrerem efeitos de deformações impostas diferenciais nas secções. Este fenómeno ocorre no caso da retracção térmica diferencial na secção, que pode provocar um estado de tensão auto-equilibrado com resultante de esforços nula ao nível da secção. O processo construtivo e a geometria dos elementos das estruturas também podem ocasionar situações de impedimento das deformações livres particulares. Este é o caso de muros de suporte ou depósitos. Mais adiante, analisa-se com mais detalhe os efeitos das deformações impostas neste tipo de estruturas. A grande maioria das estruturas são no seu conjunto hiperstáticas e, naturalmente, neste tipo de estrutura existem várias restrições ao desenvolvimento de deformações livres que, por sua vez, induzem o aparecimento de fendas. Por exemplo, no caso de um pórtico, um dos efeitos importantes a considerar na concepção e dimensionamento estruturais é o das deformações impostas aos pilares devido à deformação dos elementos horizontais das estruturas, conforme representadas na Figura V. 1. Figura V. 1 Efeito das deformações impostas nas estruturas de edifício em pórtico e em pontes [13] 70

83 Neste caso, os esforços provocados pelo efeito da acção indirecta, nos elementos verticais (pilares), dependem da rigidez do elemento e da distância do mesmo ao centro de rigidez da estrutura. Assim, os momentos nos pilares são tanto maiores quanto mais afastados estiverem do centro de rigidez, optando-se, por vezes, pela adopção de juntas estruturais com o objectivo de diminuir esses efeitos. * Uma das situações que frequentemente provoca o funcionamento deficiente de estruturas de betão armado e pré-esforçado corresponde ao caso em que os efeitos das deformações impostas actuam em direcções ou partes das estruturas de tal forma que não se sobrepõem aos efeitos das cargas, ou seja, a uma situação equiparavel ao de uma deformação imposta isolada. Durante muitos anos estas situações foram desconsideradas no dimensionamento, resultando em que as armaduras dispostas nessa direcção eram simplesmente construtivas ou de distribuição das principais, o que se verificou em muitos casos ser claramente insuficiente para o controlo das aberturas de fendas. Presentemente, esses efeitos estão, no essencial, clarificados, não havendo motivo para não serem contabilizados no dimensionamento e pormenorização de estruturas de betão armado. Como explicado em 4.1, a deformação imposta, actuando isoladamente, não atinge, em geral, a fendilhação estabilizada, resultando então o esforço máximo como sendo o da fendilhação. Contudo, podem existir excepções, por exemplo, junto a aberturas, em elementos tracionados (ver Figura V. 2) que levam a deformação imposta a concentrar-se na zona menos resistente, ou seja, junto à abertura, podendo ai atingir-se a estabilização da fendilhação. Neste caso, o esforço desenvolvido dependerá do valor da deformação imposta e, assim sendo, a armadura necessária para o controlo da fendilhação não é independente da acção indirecta, conforme explicado por Camara [13]. Na realidade, há que considerar para o dimensionamento da armadura junto à abertura, pelo menos o esforço axial da zona mais larga, para que as fendas se possam também formar fora das zonas mais estreitas. Figura V. 2 Fendilhação junto à abertura do elemento traccionado (N cra e N crb esforço axial de fendilhação na zona A e B, respectivamente) * Gonilha [22] estudou estas situações, no contexto da análise das necessidades de juntas estruturais em estruturas de edifícios. 71

84 Em edifícios são várias as situações em que é necessário considerar os efeitos das deformações impostas, sendo a colocação de, pelo menos, uma armadura mínima de tracção a solução conveniente. Uma dessas situações é a de uma consola que possua uma extensão considerável ao longo da fachada de um edifício (como é o caso de varandas), conforme se pode observar na Figura V. 3. Nesta deve colocar-se a armadura mínima necessária, disposta segundo a direcção y, para o controlo da fendilhação devida ao efeito restritivo que a estrutura do edifício exerce sobre a deformação livre da consola provocada pelas deformações impostas (a laje interior constitui o impedimento ao livre encurtamento da consola). Neste tipo de situações um bom comportamento em serviço pode ser garantido sem necessidade de juntas de dilatação, apesar da quantidade de armadura necessária poder ser consideravelmente maior à que seria prevista como construtiva ou de distribuição da principal. Figura V. 3 Situação de colocação de armadura mínima de tracção na consola de um edifício [13] Outra situação que carece da consideração do conceito da deformação imposta para efeitos do dimensionamento em serviço é a de uma viga com uma laje suportada na parte inferior e dimensionada para as cargas na direcção longitudinal, como representada na Figura V. 4. Conforme constatado por Camara [13], nestes casos a armadura tradicional de distribuição a colocar na laje na direcção y pode ser insuficiente para controlar a fendilhação nas zonas onde a viga está submetida a momentos positivos devida à deformação imposta axial que a viga, na sua deformação por flexão, provoca no painel da laje. Nestes casos, o controlo da fendilhação na direcção y exige uma armadura mínima de tracção. Este caso é especial pois trata-se de uma deformação imposta de uma parte da estrutura (a viga) à outra (a laje) mas devido à acção de cargas verticais. 72

85 Figura V. 4 Situação de colocação de armadura mínima de tracção numa laje suportada na parte inferior e dimensionada para as cargas em x [13] Na Figura V. 5 representa-se a situação de pisos elevados de edifícios que se encontram impedidos de se deformar livremente devido a elementos rígidos verticais (paredes estruturais ou núcleos de elevadores e escadas) e que, como tal, ficam submetidos a um efeito axial devido às deformações impostas da estrutura dos pisos. Esta é uma situação de sobreposição de efeitos de deformação imposta com cargas, na qual é importante dispor, pelo menos, a armadura mínima, com o fim de controlar a fendilhação, devendo-se, posteriormente, seguir o processo de dimensionamento apresentado no final do capítulo anterior. Figura V. 5 Situação de colocação de armadura mínima na laje devido aos elementos rígidos [13] Outra situação semelhante e corrente em edifícios de sobreposição de efeitos de tracção devidos à deformação imposta com efeitos de flexão provocada por cargas ocorre em pisos enterrados, conforme se representa na Figura V. 6. Este é o caso de caves de edificios e de parques de estacionamento, onde as paredes de contenção laterais, principalmente as da maior direcção em planta, limitam significativamente a deformação livre dos pisos estruturais nessa direcção, provocando efeitos de tracção significativos nos elementos horizontais. 73

86 Figura V. 6 Situação comum na qual o piso enterrado se encontra submetido à sobreposição do efeito das cargas verticais com deformação imposta axial [25] Para além da já rebatida importância de se colocar uma armadura mínima nos diferentes elementos das secções, eventualmente sujeitas a tracções, há casos, como referido neste trabalho, em que há necessidade de adopção de mais armadura para que as fendas sejam limitadas de acordo com as condições de funcionalidade exigidas. Haverá, evidentemente, formas alternativas de limitar tal fendilhação, como por exemplo a previsão de juntas de dilatação e a aplicação de pré-esforço. Contudo, há que reconhecer que, independentemente do método que se adopte, é muito difícil assegurar à partida a não fendilhação do betão estrutural, mesmo sendo pré-esforçado. No caso de muros de comprimento bastante superior à altura, como os muros de suporte, depósitos e/ou tanques, cujas paredes se encontram encastradas na fundação ou ligadas a uma fase anterior de betonagem, a fendilhação deve-se sobretudo ao efeito das deformações impostas. Na figura seguinte apresenta-se a fendilhação característica duma parede de um muro sem juntas, a qual já foi referida no capítulo II. Figura V. 7 Fendilhação que ocorre num muro sem juntas Nestes casos, a fundação é betonada em primeiro lugar e só depois a parede do muro. O facto de a fundação se encontrar envolvida por terra, a qual constitui um ambiente húmido que impede o contacto directo do betão com o ambiente seco externo, faz com que a retracção desse betão seja retardada e mesmo inferior. Por sua vez, a parede, em geral, também sofre maiores variações de temperatura exterior existindo a restrição ao encurtamento imposta pela fundação e, assim, dá-se azo ao desenvolvimento da fendilhação. 74

87 O betão da parede do muro fica sujeito a tensões de tracção horizontais, que irão provocar fendas verticais, conforme se analisou no subcapítulo 2.5. Estas fendas verticais ou transversais (denominadas na Figura V. 7 por fendas principais), conforme Luís [25] explica, além de atravessarem toda a espessura do elemento, são as que condicionam a estanquidade do mesmo. Por outro lado, fendas, essencialmente de flexão verificam-se junto a uma das faces e não necessitam do mesmo nível de preocupação em termos de funcionalidade. O risco da fendilhação que ocorre nestes casos pode também ser contrariado limitando a elevação de temperatura devida à hidratação do betão, com betonagens em etapas ou, como se analisou nesta tese, com disposições apropriadas de armadura. Outra opção, para contrariar a fendilhação, é a execução de juntas de dilatação colocadas a distâncias apropriadas, visando evitar a ocorrência de fendilhação significativa entre as mesmas. O EC2-parte 3 [17], no anexo N, propõe um espaçamento máximo de 5,0 metros ou de 1,5 vezes a altura da parede (ver Figura V. 8). Figura V. 8 Distância máxima entre juntas de dilatação segundo EC2-parte3 [17] Se a solução adoptada for o recurso a juntas e, se se tratar de uma estrutura com a finalidade de armazenar água, como tanques, é necessário prevenir as possíveis fugas de líquido. Com o fim de garantir a estanquidade em juntas de elementos de betão podem-se usar perfis de Waterstop (ver Figura V. 9), que são compostos de resinas de cloreto de polivinil de alta qualidade e plastificantes seleccionados que lhe conferem a maleabilidade necessária para assegurar a aderência eficaz aos elementos de betão, conforme explicado por Borges [8]. Figura V. 9 Pormenor de uma junta Waterstop [36] 75

88 No caso concreto dos tanques, há, em geral, situações claras de sobreposição de efeitos de uma deformação imposta axial e da acção do impulso da água nas paredes com flexão, na mesma direcção. Este caso, típico de uma situação de sobreposição de efeitos de acções directas e indirectas, será analisado no próximo subcapítulo no segundo exemplo de aplicação (subcapítulo 5.2.2) Exemplos de Aplicação Nos dois subcapítulos seguintes apresentam-se dois casos de estudo: análise da parede de um muro de suporte sujeito à restrição das deformações impostas e de um tanque em que ocorre a sobreposição dos efeitos de carga com deformações impostas axiais Muro sujeito à restrição das deformações impostas Analisa-se um muro de suporte com 5 metros de altura e com duas espessuras, sem juntas de dilatação (ver Figura V. 10). Dimensiona-se armadura longitudinal da parede à acção das deformações impostas, pois nessa direcção a armadura seria construtiva ou de distribuição, caso não se considerassem estes efeitos. A parede deve ser armada horizontalmente de tal maneira que a abertura máxima de fendas seja inferior a um determinado limite, a definir de acordo com o grau de exigência, em termos de funcionalidade. Figura V. 10 Dimensões da parede do muro 76

89 Na tabela seguinte apresenta-se as características dos materiais adoptados. Betão C25/30 Aço A500 E c = 30,5 GPa E s = 200 GPa f ctm = 2,6 MPa f yk = 500 MPa Tabela V. 1 Características dos materiais a adoptar na parede do muro As armaduras mínimas definidas pela expressão II.26 para valores de espessura da parede de 0,3m e 0,6m são as indicadas na Tabela V. 2: h (m) k A s,min (cm 2 /m) A s,min adoptar 0,30 1,00 15,60 Ø10//0,10 (15,7 cm 2 /m) 0,60 0,79 24,65 Ø16//0,15 (26,7 cm 2 /m) Tabela V. 2 Armaduras mínimas para dois tipos de espessura da parede do muro Assim, da base até meio da parede do muro, ao longo de 2,5m (ver Figura V. 10), a armadura mínima a adoptar seria de 26,7 cm 2 /m e, do meio até ao topo, 15,7 cm 2 /m. Pode ser discutível a avaliação destas quantidades de armaduras para o caso desta geometria, com duas espessuras, mas considera-se a opção aceitável, até porque não seria evidente outra alternativa. Para garantir a não plastificação da armadura, poder-se-ia adoptar quantidades de armadura inferiores às obtidas, conforme mencionado em 4.2, pois o esforço axial máximo na secção fendilhada durante o processo de formação de fendas é inferior a N cr. No entanto, devido à necessidade de controlar a abertura de fendas opta-se por avaliar estas com aquelas armaduras. Estimou-se, então, a abertura característica de fenda, que ocorre para aquelas quantidades mínimas de armadura, pela expressão II.16, com o fim de verificar se obtêm valores aceitáveis. Para o cálculo da distância máxima entre fendas utilizou-se a expressão II.20, na qual: k 1 =0,8 (varões nervurados); k 2 =1,0 (tracção simples); c=0,035m (recobrimento): Para o cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão utilizou-se a expressão II.23, com k t =0,4 (acção lenta no tempo). No cálculo da percentagem de armadura na área efectiva considerou-se: 77

90 para h=0,30m, 2,5 d = 2,5 c + 0, = = 2,5 (0, ,01 + 0,01 2) = 2,5 0,05 = 0,125m (V.1) A c,ef = = 2500cm 2 (V.2) para h=0,60m, 2,5 d = 2,5 c + 0, = = 2,5 (0, ,01 + 0,016 2) = 2,5 0,053 = 0,1325m (V.3) A c,ef = = 2650cm 2 (V.4) A estimativa da abertura de fenda foi efectuada para dois esforços axiais: N cr e N dim =0,7N cr (esforço axial máximo após fendilhação para uma deformação imposta interna conforme explicado em 4.2). No cálculo do esforço axial de fendilhação, para a espessura de 0,60m, foi considerada uma redução da resistência efectiva à tracção por meio de um factor multiplicativo de 0,79 (ver subcapítulo 2.4 e Figura II. 18). Na Tabela V. 3 apresenta-se os resultados obtidos. h (m) A s,min (cm 2 /m) ρ ef (%) S r,max (cm) 0,30 Ø10//0,10 0,63 66,0 0,60 Ø16//0,15 1,01 65,9 Esforço Axial σ s (MPa) ε sm -ε cm w m (mm) w máx (mm) N cr =780kN/m 496,8 0, ,63 1,07 N dim =546kN/m 347,8 0, ,41 0,69 N cr =1232,4kN/m 461,8 0, ,68 1,16 N dim =862,7kN/m 323,1 0, ,41 0,70 Tabela V. 3 Abertura média e característica de fendas para as armaduras mínimas adoptadas Os resultados mostram que com a quantidade mínima de armadura as estimativas da largura máxima das fendas são elevadas por comparação com diferentes exigências regulamentares. Salienta-se as limitações regulamentares da abertura máxima a valores de 0,3 e 0,4 mm. Assim, com o intuito de limitar as aberturas de fendas expectáveis, apresenta-se de seguida a avaliação das quantidades de armadura, com e sem cálculo directo, para diferentes objectivos. Com o fim de limitar a abertura característica de fendas, a 0,3mm (valor regulamentar corrente em termos de durabilidade), por controlo indirecto, pelo gráfico da Figura II. 28, obter-se-ia, depois de aplicar o coeficiente de correcção da expressão II.27 (considerando 78

91 f ctm =f ct,ef ), e admitindo, por exemplo, a tensão na armadura de 250 MPa, os seguintes valores para os diâmetros e quantidades de armadura (no cálculo de A s utilizou-se a expressão II.26 na qual se substitui f yk por σ s =250MPa): h (m) σ s (MPa) A s (cm 2 /m) s * (mm) s (mm) A s,adoptar 0,30 250,0 31, ,4 Ø16//0,20 + Ø12//0,20 0,60 250,0 49, ,9 Ø20//0,125 Tabela V. 4 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,3mm e N cr Estes resultados apontam para quantidades significativas de armaduras. No entanto, se se admitir, como no cálculo anterior, que o esforço axial de fendilhação não ultrapassa 0,7N cr os resultados seriam os seguintes: h (m) σ s (MPa) A s (cm 2 /m) s * (mm) s (mm) A s,adoptar 0,30 250,0 21, ,4 Ø12//0,10 0,60 250,0 34, ,9 Ø20//0,30 + Ø16//0,25 Tabela V. 5 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,3mm e 0,7N cr Se por motivos de estanquidade, para a classe 1 (ver Tabela II. 3), pretender-se limitar a abertura característica de fenda a w k1 (ver Figura II. 27) ter-se-ia, então: D / = 5/0,6 = 2,5/0,3 = 8,3 w k1 0,175mm (V.5) Por controlo indirecto (ver Figura II. 28) obter-se-ia, por exemplo, depois de aplicar também o coeficiente de correcção da expressão II.27 (considerando f ctm =f ct,ef ), os seguintes valores para os diâmetros e quantidades de armadura (no cálculo de A s utilizou-se a expressão II.26 na qual se substitui f yk por um nível de tensão adequado): h (m) σ s (MPa) A s (cm 2 /m) s * (mm) s (mm) A s,adoptar 0,30 180,0 43, ,4 Ø16//0,20 + Ø12//0,10 0,60 220,0 56, ,2 Ø20//0,10 Tabela V. 6 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,175mm e N cr Mais uma vez, os resultados apontam para quantidades de armaduras que se diria não fazerem quase sentido prático. Por outro lado, se se admitir que o esforço axial nas secções fendilhadas não ultrapassa 0,7N cr os resultados seriam os seguintes, bastante mais razoáveis: 79

92 h (m) σ s (MPa) A s (cm 2 /m) s * (mm) s (mm) A s,adoptar 0,30 180,0 30, ,4 Ø16//0,20 + Ø12//0,20 0,60 220,0 39, ,2 Ø16//0,10 Tabela V. 7 Diâmetros e quantidades de armadura para w k =0,175mm e 0,7N cr Se pretender limitar a abertura característica de fenda ao mesmo valor, ou seja, 0,175mm, efectuando um cálculo directo, com diâmetros médios de 16mm para h=0,30m e h=0,60m, obtêm-se os valores expressos na tabela seguinte. w k (mm) h (mm) N (kn/m) S r,máx ε sm -ε cm A s (cm 2 /m) σ s (MPa) 0,175 0,30 0,60 780,0 546,0 1232,4 862,7 0, , As (m 2 /m) 0, , As (m 2 /m) 2, As (m 2 3, /m) > 2, As (m 2 /m) 1, As (m 2 3, /m) < 1, As (m 2 /m) 4, As (m 2 3, /m) > 3, As (m 2 /m) 2, As (m 2 3, /m) > 2, As (m 2 /m) 52,6 148,3 42,7 127,8 78,3 157,5 57,7 149,5 Tabela V. 8 Resultados do controlo directo da fendilhação Verifica-se que, pelo cálculo directo, as quantidades de armadura necessárias para um dado nível de exigência são superiores às obtidas para o controlo indirecto, tendo-se constatado, neste exemplo, uma diferença com um factor da ordem de 1,4, o que justifica que este aspecto seja, no futuro, clarificado. De qualquer forma estes resultados vêm reforçar a ideia de que a garantia da estanquidade por limitação da abertura de fendas a limites apertados conduz a valores muito significativos de quantidades de armadura, mesmo tomando para o dimensionamento um esforço axial de 0,7N cr. 80

93 Tanque sobreposição de cargas (acção da água) a deformação imposta axial Para esta análise, com sobreposição dos efeitos das cargas com deformação imposta, considera-se um tanque com dimensões em planta de 10m por 15m, sendo a espessura da parede constante de 0,30m e a altura de 5,0m (ver Figura V. 11). O tanque não se encontra enterrado e no interior deverá conter água. As características dos materiais considerados são as mesmas apresentadas para o caso anterior (ver Tabela V. 1). Figura V. 11 Dimensões do tanque Nesta situação ocorre uma sobreposição de efeitos, da acção do impulso da água sobre as paredes do tanque, que gera efeitos de flexão e tracção, com o efeito axial da deformação imposta nas mesmas, conforme se ilustra, na direcção longitudinal, na figura seguinte. Figura V. 12 Representação, em planta, da sobreposição de efeitos no tanque: a) acção da água nas paredes; b)n, esforço normal devido às deformações impostas e à acção da água e M cp, momentos devido à acção da água 81

94 valor: O esforço axial associado ao início da fendilhação por efeito axial isolado tem o seguinte N cr = e f ctm = 0,3 2, = 780 kn/m (V.6) As características do betão variam com o tempo, logo, na análise da estrutura considerouse o módulo de elasticidade ajustado (E c,ajust ), como referido no subcapítulo 4.3, correspondente a E c,28 3. Optou-se por esta redução do módulo de elasticidade visto se ter considerado, como principal acção imposta, a retracção. Em rigor, o cálculo dos esforços e efeitos das acções directas poderia ser efectuado com E c,28 e os efeitos das deformações impostas com E c,ajust, mas, por uma questão de simplificação, analisa-se ambas as acções com o E c,ajust. As paredes e a laje de fundo foram modeladas no SAP2000 como elementos shells, sendo que foram consideradas apoios, só com deslocamentos impedidos, na base do tanque, como se pode observar na figura seguinte. Figura V. 13 Modelação do tanque em SAP2000 Definiu-se a deformação imposta como sendo uma variação de temperatura equivalente por meio da aplicação da expressão IV. 12, tendo-se obtido: T eq = , = 45 (V. 7) A distribuição do esforço axial resultante, na parede com 15m de comprimento, devido à deformação imposta, é apresentada na figura seguinte. 82

95 Esforço Axial (kn/m) Figura V. 14 Distribuição do esforço axial resultante, devido à deformação imposta, na parede de 15m de comprimento Para o Estado Limite de Utilização, aplicando a metodologia proposta por Luís [25] e apresentada no subcapítulo 4.3, optou-se por, nas zonas da estrutura onde o esforço axial devido à deformação imposta seja superior a N cr, aplicar-se o factor de redução, ξ=0,6 (ver Tabela IV. 2), ao valor de N cr. Nas zonas onde o esforço axial seja inferior a N cr, aplicou-se também aquele coeficiente de redução a esse esforço axial. Na Figura V. 15 apresenta-se graficamente os valores obtidos para a zona central da parede para o esforço axial elástico devido à deformação imposta, obtido do programa de cálculo automático, e o de dimensionamento (para o comportamento em serviço), ou seja, com aplicação da metodologia anterior. 1500,0 1250,0 1000,0 750,0 500,0 N do SAP2000 Ndim Ncr 250,0 0,0 distância à base (m) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Figura V. 15 Variação do esforço axial, devido à deformação imposta, na zona central da parede de 15m de comprimento 83

96 Numa análise da flexão composta há que avaliar o nível das tensões nas armaduras em secção fissurada, definindo a adequabilidade da percentagem de armadura colocada de acordo com os limites do comportamento em serviço. Assim, dividiu-se a parede em duas zonas iguais, a superior e a inferior, na zona central da referida parede, sendo que os seus pontos médios se encontram a 1,25m de distância da base (região B) e a outra a 3,75m (região A), conforme se pode observar na Figura V.16. Figura V. 16 Zonas a analisar Para cada zona avaliou-se as quantidades de armadura longitudinal para os Estados Limites Últimos, na parede com 15m de comprimento. No Anexo A apresentam-se os esforços obtidos do programa de cálculo automático utilizados para essa avaliação. Efectuou-se o dimensionamento à rotura, em cada zona para esforços médios conservativos, tendo-se tomado os valores de momento e esforço axial a uma distância de 4,0m da base na zona A e a 0,5m da base na zona B. Seguidamente, apresenta-se os cálculos de dimensionamento em ambas as zonas: Zona A: Figura V. 17 Pormenor da secção na zona A a dimensionar N sd = 1,5 41,9 = 62,9 kn m ; M sd = 1,5 33,3 = 50,0 knm m (V. 8) A s1 : F s1 = M 0,9d + N 2 = 50 0,9 0, ,9 = 240,9 kn m (V. 9) 2 84