BC-0005 Bases Computacionais da Ciência Aula 08 Modelagem e simulação por computador

Transcrição

1 BC-000 Bases Computacionais da Ciência Aula 08 Modelagem e simulação por computador Prof. Rodrigo Hausen (dos slides do prof. Jesús P. Mena-Chalco)

2 Motivação Modelagem e Simulação Computacional: cada vez mais sendo utilizadas

3 Motivação Modelagem e Simulação Computacional: cada vez mais sendo utilizadas Possibilidade de estudar sistemas reais de maneira aproximada, com base em modelos matemáticos que os representem

4 Motivação Modelagem e Simulação Computacional: cada vez mais sendo utilizadas Possibilidade de estudar sistemas reais de maneira aproximada, com base em modelos matemáticos que os representem Sistema: Conjunto de elementos interconectados que interagem entre si.

5 Motivação Modelagem e Simulação Computacional: cada vez mais sendo utilizadas Possibilidade de estudar sistemas reais de maneira aproximada, com base em modelos matemáticos que os representem Tais modelos são implementados em simulações computacionais, que são executadas visando obter um melhor entendimento do sistema real.

6 Sistema Há três formas de se estudar um sistema: () Experimentos com o Sistema Real. () Experimentos com Modelos Físicos. () Experimentos com Modelos Matemáticos. 6

7 () Experimentos com sistema real Feitos quando é possível trabalhar diretamente com o sistema real: Atuando em seus elementos e/ou Alterando sua configuração para fazê-lo operar sob estas novas condições propostas Exemplo: experimento real de teste de colisão realizado em um veículo da VW Fonte: youtu.be/gix7ymymhto 7

8 () Experimentos com sistema real Algumas desvantagens: Custo Tempo para preparar e executar o experimento Pode envolver risco Ex.: análise de situações de incêndio Pode ser impossível de se tratar diretamente. Ex: análise de buracos negros 8

9 Experimentos com modelos Em muitas situações é necessário construir um modelo para o sistema. Modelo: uma representação parcial de um objeto, sistema ou ideia. Após termos um modelo, realizamos experimentos para estudar o comportamento do sistema. O resultado dos experimentos é uma aproximação do comportamento do sistema real. 9

10 () Experimentos com modelos físicos Modelos físicos consideram: experimentos com objetos reais os objetos atuam como representações parciais do sistema que se deseja estudar Exemplos: maquetes, aeromodelos, Fontes: 0

11 () Experimentos com modelos matemáticos Modelo matemático: descrição de um sistema usando linguagem matemática (funções, equações, etc.) no lugar de dispositivos físicos. Procura representar as principais características e comportamentos do sistema alvo que se deseja analisar. Como interpretar um modelo matemático? soluções analíticas, por álgebra, aritmética, trigonometria, técnicas de resolução de equações e inequações, etc. Fornecerá expressões matemáticas que descrevem exatamente o comportamento do modelo. soluções numéricas, que fornecem dados numéricos que descrevem aproximadamente o comportamento do modelo.

12 () Experimentos com modelos matemáticos Ex.: um projétil é lançado de um ponto (x₀, y₀) na Terra, com velocidade inicial v₀ e com ângulo com a horizontal de θ. Desprezendo-se resistência do ar e vento, e considerando o movimento apenas em dimensões, a sua posição no instante t é (x, y) onde: x x₀ = (v₀ cos θ) t y y₀ = (v₀ sen θ) t ½ g t² g é a aceleração da gravidade no local, aproximadamente 9,8 m/s² na maior parte da superfície terrestre. Solução analítica: dados os valores iniciais, temos uma fórmula que nos dá a posição exata (x, y) em qualquer instante t.

13 () Experimentos com modelos matemáticos Ex.: modelagem e simulação computacional de um teste de colisão. Solução numérica: dada a configuração inicial, a cada instante temos aproximações numéricas para as propriedades de cada partícula simulada do carro: posição, velocidade, aceleração, etc. Essas aproximações são usadas para mostrar graficamente o estado da simulação a cada instante de tempo simulado.

14 Modelos numéricos e simulação Conjectura de Collatz

15 Conjectura de Collatz Lothar Collatz imaginou o seguinte processo em 97: ) Tome um inteiro positivo n ) Se n for, pare ) Se n for par, divida-o por. Caso contrário, tome n+. ) Escreva esse novo número e considere-o agora como n ) Volte ao passo Ex.: a sequência de Collatz para n= é, 0,, 6, 8,,, Conjectura de Collatz: para qualquer inteiro positivo n, a sequência de Collatz sempre termina em. Até hoje, ninguém sabe se a conjectura é verdadeira ou falsa. Só temos evidência experimental por simulação. Infelizmente, isto não nos dá certeza absoluta! Mas, se existir contraexemplo, as simulações poderiam achá-lo.

16 Conjectura de Collatz No Scilab: function seq = collatz(n) seq() = n i = // i = contador do número de iterações while n ~= if modulo(n, ) == 0 then n = n/ else n = *n+ end i = i + seq(i) = n end endfunction 6

17 Conjectura de Collatz No Scilab: -->collatz() ans =

18 Conjectura de Collatz Quantos elementos há na sequência de Collatz para n=97? -->collatz(97) ans = >size(collatz(97),) ans = 9. 8

19 Para casa: Atividade Faça um programa em Scilab que: demonstre que a conjectura de Collatz vale para n até milhão (0⁶). determine quantos elementos há na maior sequência de Collatz para n entre e 0⁶ e qual é o n cuja sequência é a maior. (teste: para n entre e 00, n=97 tem a maior sequência) Dependendo do computador utilizado, seu programa deve levar algumas horas para terminar a execução. Antes de tentar ir até milhão, tente ir até 0², 0³, 0⁴, 0⁵, 0⁵, etc. Pode ser que você não consiga ir até milhão. Vá até onde conseguir (desde que não seja um valor muito baixo) Entregue o programa e um mini-relatório no Tidia. 9

20 Modelos numéricos e simulação Estimando o valor de π

21 Estimando o valor de π Sabemos que o valor de Pi = Podemos usar a simulação de um modelo estatístico para estimar este valor. Esta estratégia é chamada método de Monte Carlo. O modelo usa propriedades dos números aleatórios para calcular algumas áreas de interesse. Em uma distribuição uniforme de números aleatórios, nenhum número tem maior chance de aparecer do que outro.

22 Estimando o valor de π Quadrado com circunferência inscrita Acirc =π r r Aquad=ℓ r =( r )= r ℓ = r Acirc π r = Aquad r Acirc π= Aquad

23 Estimando o valor de π O método de Monte Carlo é utilizado para estimar a relação entre as áreas da circunferência e do quadrado. Para tornar os cálculos mais simples, assume-se que o quadrado tenha um lado de tamanho ℓ =. Assim, o raio da circunferência é r = ½, logo r² = ¼

24 Estimando o valor de π Utilizando um computador sorteamos alguns pares de números aleatórios no intervalo [0, ]. Cada par de números representará as coordenadas x e y de um ponto que pertence à área do quadrado. Podemos estimar as áreas do quadrado contando quantos pontos caem sobre cada uma das figuras.

25 Estimando o valor de π Dado um ponto A = (x, y) com coordenadas oriundas de um sorteio aleatório... podemos saber se o ponto está dentro ou fora da circunferência de raio r e centro (xc, yc) se vale a desigualdade: (x xc)² + (y yc)² r²

26 Estimando o valor de π Dado um ponto A = (x, y) com coordenadas oriundas de um sorteio aleatório... podemos saber se o ponto está dentro ou fora da circunferência de raio r e centro (xc, yc) se vale a desigualdade: (x xc)² + (y yc)² r² Ex.: sorteamos as coordenadas x = 0.8 e y =

27 Estimando o valor de π Dado um ponto A = (x, y) com coordenadas oriundas de um sorteio aleatório... podemos saber se o ponto está dentro ou fora da circunferência de raio r e centro (xc, yc) se vale a desigualdade: (x xc)² + (y yc)² r² Ex.: sorteamos as coordenadas x = 0.8 e y = 0.7. Este ponto (x, y) está dentro da circunferência com raio r = ½ e centro (xc, yc) = (0., 0.) pois (0.8 0.)² = 0.09 (0.7 0.)² =

28 Estimando o valor de π Dado um ponto A = (x, y) com coordenadas oriundas de um sorteio aleatório... podemos saber se o ponto está dentro ou fora da circunferência de raio r e centro (xc, yc) se vale a desigualdade: (x xc)² + (y yc)² r² Ex.: sorteamos as coordenadas x = 0.8 e y = 0.7. Este ponto (x, y) está dentro da circunferência com raio r = ½ e centro (xc, yc) = (0., 0.) pois (0.8 0.)² = 0.09 (0.7 0.)² = 0.06 (x xc)² + (y yc)² = 0.0 8

29 Estimando o valor de π Dado um ponto A = (x, y) com coordenadas oriundas de um sorteio aleatório... podemos saber se o ponto está dentro ou fora da circunferência de raio r e centro (xc, yc) se vale a desigualdade: (x xc)² + (y yc)² r² Ex.: sorteamos as coordenadas x = 0.8 e y = 0.7. Este ponto (x, y) está dentro da circunferência com raio r = ½ e centro (xc, yc) = (0., 0.) pois (0.8 0.)² = 0.09 (0.7 0.)² = 0.06 (x xc)² + (y yc)² = 0.0 ¼ = r² 9

30 Estimando o valor de π Estratégia: Sortear muitos pontos aleatórios, de forma a gerar uma amostra considerável de pontos dispersos uniformemente no quadrado. Determinar se cada ponto encontra-se dentro ou fora da circunferência. Sendo os pontos dispersos uniformemente, a razão entre pontos dentro da circunferência e dentro do quadrado é próxima da razão entre as áreas. Ou seja: Acirc núm pontos na circunferência π = Aquad núm pontos no quadrado 0

31 Estimando o valor de Pi No Scilab: function estimativa = estima_pi(npontos) ncirc = 0 // núm. pontos na circunferência for i = :npontos x = rand() y = rand() if (x-0.)^ + (y-0.)^ <= / ncirc = ncirc + end end estimativa = *ncirc/npontos endfunction

32 Modelos numéricos e simulação Jogo da Vida (Game of life) Jogo de simulação Jogo que recria processo do mundo-real

33 Jogo da vida O Jogo da Vida foi desenvolvido pelo matemático John Conway, em 970 Conway explorava a ideia do construtor universal, de forma que uma máquina hipotética pudesse construir cópias de si mesma O Jogo da Vida é um autômato celular que se desenvolve em um espaço de duas dimensões, dividido em células quadrangulares É governado por regras simples que definem nascimentos, mortes e sobrevivências de células

34 Jogo da vida Cada uma das células do universo bidimensional pode estar em dois estados possíveis: - viva (cor branca) - morta (cor preta) Se uma célula sobrevive, morre ou nasce será determinado pelo número de vizinhos vivos ao redor de uma célula

35 auto-organização Jogo da vida

36 Jogo da vida de Conway Cada célula pode ter oito células vizinhas As regras envolvem três tópicos: Sobrevivência: Se a quantidade de vizinhos vivos é igual a dois (0) ou três (0) Nascimento: Se a célula está morta, mas tem três (0) vizinhos vivos, então ela nasce na próxima fase Morte: Se a quantidade de vizinhos vivos é menor que dois (solidão) ou maior que três (superpopulação) As regras não são arbitrárias: evitam comportamento caótico, crescimento infinito ou rápida estabilidade

37 Simulação Preto: viva Branca: morta Estado inicial

38 Sobrevivência: <=N<= Nascimento: N= Morte: N< ou N> Simulação Preto: viva Branca: morta Estado inicial Iteração

63 Sobrevivência: <=N<= Nascimento: N= Morte: N< ou N> Simulação Preto: viva Branca: morta Estado inicial FIM Iteração

64 Exercício 0 Preto: viva Branca: morta Sobrevivência: <=N<= Nascimento: N= Morte: N< ou N> Utilize as regras de Conway para determinar a primeira iteração da população indicada pela matriz de A Matriz A: Estado inicial Iteração?

65 Exercício 0 Preto: viva Branca: morta Sobrevivência: <=N<= Nascimento: N= Morte: N< ou N> Utilize as regras de Conway para determinar as duas primeiras iterações da população indicada pela matriz de A Matriz A: Estado inicial Iteração?

66 Exercício 0- Solução Matriz A: Estado inicial Avalição por pares: - ponto por erro Iteração

67 Exercício 0 - Solução Estado inicial Iteração Avalição por pares: - ponto por erro Iteração Padrão spaceship

68 Jogo da vida Abra no Scilab o arquivo: jogo_da_vida.sce Parâmetros da função jogo_da_vida univ: matriz n n que representa o universo numero_iteracoes: quantas iterações da simulação devem ser executadas Exemplo de simulação no Scilab --> M = matriz_aleatoria(0); --> novom = jogo_da_vida(m, 000);

69 Padrões de comportamento Durante a execução do Jogo da Vida as células organizam-se seguindo alguns padrões, formando objetos visuais Existem vários tipos de padrões identificados, dentre eles: Tipo I: estáveis Tipo II: oscilatórios Tipo III: spaceships

70 Padrão estável Os objetos do padrão Tipo I (estáveis) são aqueles que não mudam, que são estáticos Os objetos estáveis ocorrem quando nenhuma célula viva tende a morrer, e nenhuma célula tende a nascer Como exemplo tem-se os seguintes objetos: block, beehive, boat, ship, loaf Objeto Block

71 Padrão estável Objeto Ship Objeto Beehive Objeto Boat Objeto Loaf Boats Loafs

72 Padrão estável Objeto Hat Objeto Spiral Objeto Pond

73 Padrão oscilatório Os objetos oscilatórios são formas que mudam da etapa em etapa até atingir um ciclo constante O tipo mais simples é o oscilador de dois períodos, ou aqueles que se repetem após duas etapas Objeto Blinker Objeto Toad

74 Padrão spaceship Padrões que se repetem depois de uma determinada sequência e retornam a seus estado original, e se transformam no espaço Objeto Glider

75 Para casa: Atividade Faça um programa em Scilab que: demonstre que a conjectura de Collatz vale para n até milhão (0⁶). determine quantos elementos há na maior sequência de Collatz para n entre e 0⁶ e qual é o n cuja sequência é a maior. (teste: para n entre e 00, n=97 tem a maior sequência) Dependendo do computador utilizado, seu programa deve levar algumas horas para terminar a execução. Antes de tentar ir até milhão, tente ir até 0², 0³, 0⁴, 0⁵, 0⁵, etc. Pode ser que você não consiga ir até milhão. Vá até onde conseguir (desde que não seja um valor muito baixo) Entregue o programa e um mini-relatório no Tidia. 7

76 Para saber mais Capítulos 8 e 9 do livro No Scilab: ) Execute demo_gui() ) Na janela que abrir, escolha Simulação ) Escolha uma das simulações Código das simulações neste link Livro: Modeling and Simulation in Scilab/Scicos de Stephen L. Campbell, Jean-Philippe Chancelier e Ramine Nikoukhah. 76