1 Introdução ao MatLab

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1 1 Introdução ao MatLab O que é o MatLab? O MatLab é um sistema para cálculo científico que proporciona um ambiente de fácil utilização com uma notação intuitiva mas poderosa. Permite a realização de algoritmos numéricos sobre matrizes com o mínimo de programação. Além disso, no ambiente MatLab é possível a criação e manipulação de matrizes sem a necessidade de dimensionamento prévio e a manipulação das variáveis pode ser realizada de forma interactiva. O termo MatLab" tem origem na conjugação dos termos MATrix" e LABoratory". Figura 1 - Exemplos de aplicações do MatLab: gráfico 2D, processamento de imagens e gráficos 3D Para iniciar o programa MatLab seleccionar as seguintes opções de menu: Start fi Programs fi MatLab 7. 78

2 Execute o programa. O desktop apresentado na Figura 2 deverá aparecer no ecrã. Figura 2 Imagem do desktop por defeito do MatLab. A aparência exacta do desktop pode diferir ligeira mente em diferentes tipos de computador. A interface apresenta na barra de comandos superior diversas opções, incluindo help, no qual se pode observar os diferentes comandos da linguagem, como será visto mais adiante. Os comandos são executados no MatLab pela linha de comando, através da prompt " >>" e, após a confirmação através da tecla <Enter>. O comando HELP Para esclarecer a maior parte das dúvidas acerca da utilização de uma dada função do Matlab o comando help é de grande utilidade. Se se pretender, por exemplo, informação sobre a função sin, basta fazer >> help sin obtendo-se a seguinte descrição SIN Sine. SIN(X) is the sine of the elements of X. O Matlab possui todas as funções organizadas em grupos e a própria estrutura de directórios onde o Matlab é armazenado em disco reflecte esse facto. Por exemplo, todas as funções de álgebra linear estão armazenadas no directório matfun. Para obter uma lista completa deste tipo de funções basta fazer >>help matfun 79

3 Como não é fácil decorar os nomes de todas as categorias de funções, existe uma janela de ajuda mais organizada, bastando para tal escrever o comando >>helpwin O comando LOOKFOR Quando se pretende encontrar uma função para resolver um problema, mas desconhecese se existirá alguma adequada no Matlab, o comando lookfor permite pesquisar as primeiras linhas do help" de todas funções da instalação do Matlab. Esta pesquisa é adequada para resolver a maior parte das situações uma vez que a primeira linha do help" de uma função contém sempre uma descrição sumária da sua funcionalidade. O seguinte exemplo procura pela palavra inverse". >>lookfor inverse Se se pretender que a função lookfor pesquise todas as linhas do help", pode-se utilizar a opção -all, tal como o seguinte exemplo ilustra. >>lookfor -all inverse O sistema Matlab O sistema Matlab é constituído pelas seguintes partes: A linguagem: Permite a manipulação e criação de matrizes de forma rápida e intuitiva. Diferentes soluções para um problema podem ser testadas numa fracção do tempo que levaria com outras linguagens (C ou Fortran por ex.). Possui um conjunto muito vasto de funções que permitem resolver problemas complexos de forma eficiente. O ambiente de trabalho: O Matlab proporciona um ambiente de trabalho que permite a gestão e visualização das variáveis, ler e gravar variáveis em disco e gerar programas em linguagem Matlab, possibilitando assim a automatização de cálculos complexos. Gráficos: As funções de criação, visualização e manipulação de gráficos são muito fáceis de usar e permitem a criação de gráficos 2D e 3D. O ajuste de escala é automático e o utilizador pode começar a utilizar as funções de geração de gráficos pouco tempo depois do primeiro contacto com o ambiente do Matlab. "Toolboxes": O Matlab disponibiliza um conjunto de pacotes de funções para as mais variadas áreas de cálculo científico, sendo estes denominados toolboxes". Existem toolboxes" para estatística, processamento de sinal, processamento de imagem, controlo, cálculo simbólico, etc. 2 Arrays no MatLab Um array é uma estrutura de dados organizada em linhas e colunas e identificado por um nome unívoco. Valores individuais de um array são acedidos, incluindo o nome do array seguido de subíndices entre parêntesis que identificam a linha e a coluna do valor particular. O termo vector é geralmente usado para descrever um array com uma 8

4 dimensão, e o termos matriz é geralmente usado para descrever um array com duas ou mais dimensões. Atribuição A atribuição de um valor a uma variável pode ser realizada da seguinte forma: >> x = 8 (não é necessário declarar a variável) O MatLab responderá com x = 8 Se o mesmo comando for digitado com o ";" no final da expressão >> x = 8; nada será exibido além do prompt de espera de um novo comando. Porém, ao digitar a variável "x" e pressionar o <Enter>, aparecerá o conteúdo actual de "x": x = 8 Criação de Matrizes Uma matriz, por exemplo, pode ser criada através do comando: ou >> A = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3] >> A = [ ] e o resultado, para ambos os casos, será A = Assim, o elemento a 11 = 1 é o primeiro elemento da linha 1, coluna 1 da matriz A. Quando são atribuídos valores às variáveis, estas guardam os valores até que novos valores sejam atribuídos ou o programa seja encerrado. Para limpar o conteúdo das variáveis, existe o comando "clear": >> clear; Comandos anteriormente submetidos ao MatLab podem ser recuperados e reexecutados a qualquer momento, usando-se a tecla de "seta para cima". 81

5 Índices O elemento da linha i e da coluna j de uma matriz A é designado por A(i; j). Por exemplo o elemento da linha 1 e coluna 3 da matriz A é designado por A(1; 3). Em notação Matlab, para obter o elemento A(1; 3) definida anteriormente, pode-se escrever e obtém-se >>A(1,3) ans= 3 Para alterar o valor do elemento A(1; 3) para 7 basta fazer >>A(1,3)= 7 Os índices das matrizes são números inteiros positivos pertencentes ao intervalo [1 N] em que N depende da memória disponível, e podem ser vectores declarados anteriormente. Se pretendermos por exemplo, extrair a segunda linha da matriz A podemos fazer >>v= A(2,[1 2 3]) v= ou declarando primeiro um vector para os índices das colunas >>k= [1 2 3] >>v= A(2,k) v= Utilização da ferramenta de Debug: É muito mais comum fazer erros num programa que contém funções, estruturas e ciclos, do que quando escrevemos um programa simples e sequencial. Mesmo garantindo que o programa foi elaborado seguindo todas as regras de projecto, é quase totalmente garantido que o programa conterá erros na primeira vez que for corrido. O MatLab possui uma ferramenta de debug e para explorá-la vamos utilizar um programa simples: Ficheiro script: calcula_raizes.m Este programa calcula as raizes uma equacao quadratica da forma a*x^2 + b*x + c =, sejam elas reais ou complexas. Data Programador Descricao da alteracao ==== ============= ===================== 15/4/6 Joao M. C. Sousa Codigo original 82

6 Definicao das variavais: a -- Coeficiente em x^2 b -- Coeficiente em x c -- Termo constante discriminante -- Discriminante parte_imag -- Parte imaginaria da equacao (para raizes complexas) parte_real -- Parte real da equacao (para raizes complexas) x1 -- Primeira solucao da equacao (para raizes reais) x2 -- Segunda solucao da equacao (para raizes reais) Pergunta ao utilizador os coeficientes da equacao disp('este programa calcula as raizes de uma equacao'); disp('quadratica da forma a*x^2 + b*x + c =.' ); a = input('introduza o coeficiente a: '); b = input('introduza o coeficiente b: '); c = input('introduza o coeficiente c: '); Calcula o discriminante discriminante = b^2-4 * a * c; Calcula as raizes dependendo do valor do discriminante if discriminante > ha duas raizes reais x1 = (-b + sqrt(discriminante)) / (2*a); x2 = (-b - sqrt(discriminante)) / (2*a); disp('esta equacao tem duas raizes reais:'); fprintf('x1 = f\n', x1); fprintf('x2 = f\n', x2); elseif discriminante == ha uma raiz dupla x1 = -b / (2*a); disp('esta equacao tem uma raiz dupla:'); fprintf('x1 = x2 = f\n', x1); else existem duas raizes complexas parte_real = -b / (2*a); parte_imag = sqrt(abs(discriminante)) / (2*a); disp ('Esta equacao tem raizes complexas:'); fprintf('x1 = f +i f\n', parte_real, parte_imag ); fprintf('x1 = f -i f\n', parte_real, parte_imag ); end Queremos saber o que acontece se corrermos o programa. Para isso podemos adicionar breakpoints, clicando com o botão direito do rato nas linhas em que temos interesse e escolhendo a opção Set/Clear Breakpoint. Quando utilizamos um breakpoint numa linha, aparece um ponto vermelho à sua esquerda. Uma vez criados os breakpoints desejados, pode correr-se o programa, escrevendo o nome do programa na janela de comandos. O programa correrá até encontrar o primeiro breakpoint. Aparecerá uma seta verde na linha one o programa parou a execução. Neste ponto o programador pode examinar e modificar qualquer variável do programa no workspace. Quando o 83

7 programador estiver satisfeito pode continuar a correr o programa linha a linha pressionando a tecla F1 ou pode correr o programa até ao próximo breakpoint pressionado a tecla F5. É sempre possível observar os valores de qualquer variável em qualquer ponto do programa. 4 Problemas de programação 1. A maioria dos microfones desenhados para serem utilizados em palco é microfones direccionais, que são construídos especificamente para realçar o sinal recebido do cantor que está á frente do microfone e para o ruído provocado pela audiência por trás do microfone. O ganho deste tipo de microfones varia em função do ângulo de acordo com a seguinte equação: Ganho = 2 g(1+ cos( θ)) Onde g é a constante associada a cada microfone, e θ é o ângulo formado pelo eixo do microfone com a origem do som. Assuma que g é igual a.5 para um dado microfone, e faça um gráfico do ganho do microfone como função da direcção do som. Ficheiro Script: microfone.m Este programa faz o grafico padrao do ganho de um microfone cardioide Data Programador Descricao da alteracao ==== ========== ===================== 4/5/6 Susana Vieira Original code Definicao das variaveis:: g -- constante de ganho do microfone ganho -- Ganho como função do angulo theta -- Angulo do eixo do microfone (radians) Calcula o ganho versus o angulo g =.5; theta = :pi/2:2*pi; ganho = 2*g*(1+cos(theta)); Desenha o ganho polar (theta,ganho,'r-'); title ('\bfganho versus anglo \theta'); 84

8 2. Num gás ideal todas as colisões entre moléculas são perfeitamente elásticas. É possível pensar nas moléculas de um gás ideal como sendo bolas de snooker de rigidez perfeita, que colidem e separam-se sem perder energia cinética. Os gases ideais podem ser caracterizados por três grandezas: pressão absoluta (P), volume (V) e temperatura absoluta (T). A relação entre estas grandezas para um gás ideal, é conhecida como a Lei dos Gases Ideais: PV = nrt Onde P é a pressão dos gases em kilopascais (kpa), V é o volume do gás em litros (L), n é o número de moléculas do gás em unidades de moles (mol), R é a constante universal dos gases ideais (8.314 L.kPa/mol.K) e T é a temperatura absoluta em Kelvin (K). (Nota: 1 mol = 6.2 E 23 moléculas) Assuma que uma amostra de um gás ideal contém 1 mole de moléculas à temperatura de 273 K. a) Como varia o volume do gás conforme a sua pressão varia entre 1 e 1 kpa? Faça o gráfico da pressão versus o volume para este gás para as condições descritas. Use uma linha vermelha com espessura de 2 pixels. b) Suponha que a temperatura do gás aumenta para 373 K. Como é que o volume deste gás varia agora com a pressão? Faça o gráfico da pressão versus o volume deste gás, na mesma figura utilizada anteriormente. Use uma linha de traço interrompido azul, com espessura de 2 pixels. Inclua um título no gráfico e uma legenda para cada um dos eixos, x e y, assim como uma legenda para cada uma das linhas utilizadas. Ficheiro Script: gas_ideal.m Este programa faz o grafico da pressao versus o volume de um gas ideal Data Programador Descricao da alteracao ==== ========== ===================== 4/5/6 Susana Vieira Codigo Original Definicao das variaveis: n -- Numero de atomos (mol) P -- Pressao (kpa) R -- Contante dos gases ideais (L kpa/mol K) T -- Temperatura (K) V -- volume (L) Inicializar nrt n = 1; R = 8.314; T = 273; Moles de atomos Contante dos gases ideais Temperatura (K) Cria o array de pressoes de entrada. 85

9 P = 1:.1:1; Calcula os volumes V = (n * R * T)./ P; Cria o primeiro grafico figure(1); loglog( P, V, 'r-', 'LineWidth', 2 ); title('\bfvolume vs Pressao num Gas Ideal'); xlabel('\bfpressao (kpa)'); ylabel('\bfvolume (L)'); grid on; hold on; Aumenta a temperatura T = 373; Temperatura (K) Calcula os volumes V = (n * R * T)./ P; Adiciona uma segunda linha ao grafico figure(1); loglog( P, V, 'b--', 'LineWidth', 2 ); hold off; Adiciona uma Legenda legend('t = 273 K','T = 373 K'); 3. A velocidade de om objecto em queda na presença de um campo gravitacional é dada pela seguinte equação: vt () = at+ v Onde vt () é a velocidade em qualquer instante t, a é a aceleração devido à gravidade e v é a velocidade no instante t=. Se tentarmos em laboratório medir a velocidade versus tempo de um dado objecto em queda, deveríamos obter uma linha recta, mas isso nunca acontece porque na realidade nunca conseguimos obter medições perfeitas. Existe sempre algum ruído nas medições e assim podemos obter uma boa aproximação mas os resultados serão sempre de alguma maneira distorcidos. Em muitos outros casos na ciência e na engenharia, enfrentamos situações idênticas em que sabemos que os resultados deveriam seguir uma linha recta mas apenas temos valores aproximados. Um método muito utilizado para encontrar os coeficientes de regressão, m e b, de uma recta y = mx+ b é o método dos mínimos quadrados (LS - least squares). Este método encontra a recta para a qual a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de y observados e os valores de y previstos, é a menor possível. O declive da recta é dado por: 86

10 m = ( xy) ( ) 2 ( x ) ( ) x y x x E a intersecção da recta com o eixo dos yy é dado por: b = y mx Onde: x é a soma dos valores em x. 2 x é a soma dos quadrados de dos valores de x. xy é a soma dos produtos dos valores correspondentes de x e y. x é a média dos valores de x. y é a média dos valores de y. Escreva um programa que calcule o declive m e a intrcepção b do método dos mínimos quadrados, para um dado conjunto de pontos (x,y) corrompidos com ruído. Os pontos devem ser lidos do teclado e tanto os pontos inseridos como a recta de aproximação devolvida pelo método dos mínimos quadrados, devem ser representados graficamente. Ficheiro Script: lsqfit.m Este programa calcula uma regressão linear de um conjunto de dados de entrada pelo método dos minimos quadradose representa gráficamente a recta resultante. O conjunto de dados de entrada é inserido pelo utilizador. Data Programador Descricao da alteracao ==== ========== ===================== 5/5/6 Susana Vieira Codigoo original Definicao das variaveis: ii -- indice do ciclo n_pontos -- Number in input [x y] points declive -- Declive da recta sum_x -- Soma de todos os valores x de entrada sum_x2 -- Soma de todos os valores quadrados de x sum_xy -- Soma de todos os valores de entrada x*y sum_y -- Soma de todos os valores y de entrada temp -- Variavel que le os valores de entrada x -- Vector dos valores de x x_bar -- Média dos valores de x y -- Vector dos valores de y y_bar -- Média dos valores de y b -- Intercepção da recta com o eixo dos yy disp('este programa efectua a regressão linear pelo método '); disp('dos minimos quadrados de um conjunto de pontos.'); n_pontos=input('introduza o número de pontos [x y] de entrada: '); Leitura dos pontos de entrada for ii = 1:n_pontos 87

11 temp = input('introduza o par [x y]: '); x(ii) = temp(1); y(ii) = temp(2); end calculo das estatisticas sum_x = ; sum_y = ; sum_x2 = ; sum_xy = ; for ii = 1:n_pontos sum_x = sum_x + x(ii); sum_y = sum_y + y(ii); sum_x2 = sum_x2 + x(ii)^2; sum_xy = sum_xy + x(ii) * y(ii); end Calculo do declive da recta e do termo de intercepção. x_bar = sum_x / n_pontos; y_bar = sum_y / n_pontos; declive = (sum_xy - sum_x * y_bar) / ( sum_x2 - sum_x * x_bar); b = y_bar - declive * x_bar; Mostra os resultados ao utilizador. disp('coeficiente de regressão para a recta dos minimos quadrados:'); fprintf(' Declive (m) = 8.3f\n', declive); fprintf(' Intercepção (b) = 8.3f\n', b); fprintf(' Número de pontos = 8d\n', n_pontos); Representação gráfica dos pontos como pontos azuis plot(x,y,'bo'); hold on; Determinação da recta de regressão xmin = min(x); xmax = max(x); ymin = declive * xmin + b; ymax = declive * xmax + b; Representação gráfica da recta com uma linha continua e vermelha plot([xmin xmax],[ymin ymax],'r-','linewidth',2); hold off; Adiciona um titulo e uma legenda ao gráfico title ('\bfrecta Minimos Quadrados'); xlabel('\bf\itx'); ylabel('\bf\ity'); legend('dados de entrada','recta de regressão'); grid on 88

12 4. Considerando o atrito do ar desprezável e ignorando a curvatura terrestre, uma bola que é lançada ao ar de qualquer ponto na superfície terrestre descreverá uma trajectória parabólica. A altura da bola a cada instante t, posterior ao lançamento, é dada pela seguinte equação: 1 yt () = y + vy t+ gt 2 Onde y é a altura inicial do objecto acima da superfície, vy é a velocidade vertical inicial do objecto e g é a aceleração devida à acção da gravidade. A distância horizontal (alcance) percorrida pela bola em função do tempo após o seu lançamento é dada pela seguinte equação: xt x v t () = + x 2 Onde x é a posição horizontal inicial da bola na superfície e v x é a velocidade horizontal inicial da bola. Se a bola for lançada com uma dada velocidade inicial v com um ângulo de θ graus em relação á superfície terrestre, então as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial são dadas por: v v x y = v = v cos sin ( θ ) ( θ ) Assuma que a bola é lançada inicialmente da posição (x,y ) = (,) com uma velocidade inicial v de 2 m/s com um ângulo inicial de θ graus. Escreva um programa que trace a trajectória da bola e que determine a distância horizontal percorrida antes de voltar a tocar no chão. O programa deve representar graficamente as trajectórias da bola para ângulos de 5 a 85 em passos de 1 e deve determinar a distância horizontal percorrida para todos os ângulos de a 9 em passo de 1. Finalmente deve determinar o ângulo que maximiza o alcance da bola e traçar a respectiva trajectória numa cor diferente e com uma linha mais fina. Ficheiro Script: bola.m Este programa calcula a distancia percorrida por uma bola lançada com um angulo especifico "theta" a uma velocidade inicial "v" de um ponto na superficie terrestre, desprezando o atrito do are a curvatura terrestre. Calcula també o angulo que permite maximizar o alcance e representa graficamente as trajectorias seleccionadas. Data Programador Descricao da alteracao ==== ========== ===================== 5/5/6 Susana Vieira Codigo original Definicao das variaveis: conv -- Factor de conversão de graus para radianos 89

13 gravidade -- Aceleração devido a gravidade (m/s^2) ii, jj -- Indice do ciclo indice -- Localização do alcance maximo no array angulo_max -- Angulo correspondente ao alcance máximo(deg) alcance_max -- Alcance maximo (m) alcance -- Alcance para um determinado angulo (m) tempo -- Tempo (s) theta -- Angulo inicial (deg) tempo_traj -- Tempo total da trajectoria (s) vo -- Velocidade inicial (m/s) vxo -- Componente horizontal da velocidade inicial (m/s) vyo -- Componente vertical da velocidade inicial (m/s) x -- Posição horizontal da bola (m) y -- Posição vertical da bola (m) Constantes conv = pi / 18; g = -9.81; vo = 2; Factor de conversão de graus para radianos Aceleração devido a gravidade (m/s^2) Velocidade inicial (m/s) Criação de um array de alcances alcance = zeros(1,91); Calcula alcances maximos (vectorizado) theta = :9; vxo = vo * cos(theta*conv); vyo = vo * sin(theta*conv); tempo_max = -2 * vyo / g; alcance = vxo.* tempo_max; Escreve a tabela de alcances fprintf ('Alcance versus angulo theta:\n'); for ii = 1:91 theta = ii - 1; fprintf(' 2d 8.4f\n',theta, alcance(ii)); end Calcula o alcance e angulo maximos [alcance_max indice] = max(alcance); angulo_max = indice - 1; fprintf ('\no alcance maximo é 8.4f a 2d graus.\n',... alcance_max, angulo_max); Representação grafica das trajectorias for ii = 5:1:85 Calcula as velocidades e o tempo maximo para este angulo theta = ii; vxo = vo * cos(theta*conv); vyo = vo * sin(theta*conv); tempo_traj = -2 * vyo / g; Calcula as posições (x,y) (vectorizado) tempo = :.5:1.* tempo_max; x = vxo * tempo; y = vyo * tempo +.5 * g * tempo.^2; 9

14 plot(x,y,'b'); if ii == 5 hold on; end end Adiciona titulo e legendas nos eixos title ('\bftrajectória da bola vs Angulo inicial \theta'); xlabel ('\bf\itx \rm\bf(metros)'); ylabel ('\bf\ity \rm\bf(metros)'); axis ([ 45 25]); grid on; Representa graficamente a trajectoria correspondente ao alcance maximo vxo = vo * cos(angulo_max*conv); vyo = vo * sin(angulo_max*conv); tempo_traj = -2 * vyo / g; Calcula as posições (x,y) (vectorizado) tempo = :.5:1 * tempo_max; x = vxo * tempo; y = vyo * tempo +.5 * g * tempo.^2; plot(x,y,'r','linewidth',3.); hold off 91