INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA PARA O ESTUDO DOS NÚMEROS FIGURADOS ESPACIAIS (2010) 1

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1 INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA PARA O ESTUDO DOS NÚMEROS FIGURADOS ESPACIAIS (200) REFATTI, Liliane R. 2 ; SARAIVA, Lucilene O. 2 ; BISOGNIN, Vanilde 3 Trabalho de Pesquisa _UNIFRA 2 Alunas do Curso de Mestrado Profissionalizante de Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil 3 Professora do Curso de Mestrado Profissionalizante de Ensino de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA), Santa Maria, RS, Brasil lilianerefatti@hotmail.com; luc.saraiva@hotmail.com; vanilde@unifra.br RESUMO Neste trabalho descrevem-se resultados parciais de uma pesquisa com foco na metodologia de investigação matemática. A preocupação central do trabalho está relacionada com a exploração de conceitos de sucessões numéricas por meio de atividades investigativas. Este tipo de atividade envolve os alunos em um trabalho dinâmico em que os mesmos tem oportunidade de formular questões, fazer conjecturas e de compartilhar com os colegas os resultados do trabalho. No desenvolvimento do trabalho o papel do professor é apenas o de mediador e, assim, os alunos passam a ser responsáveis pela construção do conhecimento. A pesquisa está sendo desenvolvida com um grupo de estudantes do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática e os resultados obtidos estão relacionados com atividades envolvendo números figurados no espaço com conceitos de sucessões neméricas. Palavras-chave: Investigação Matemática; Numéricas. Números Figurados Espaciais; Sucessões. INTRODUÇÃO Diferentes resultados de pesquisas encontradas na literatura, como em Cury (2007), apontam dificuldades dos alunos de diferentes níveis de ensino, quanto à aprendizagem de conteúdos de matemática. Isto pode estar relacionado, entre outros motivos, com o tipo de prática de sala de aula. O fracasso na sala de aula de Matemática é também uma preocupação de Rodriguez (993, p.83) quando afirma: (...) a causa deste fracasso tem sido atribuída aos alunos, o que levou os professores a procurarem diversas estratégias e alternativas metodológicas que motivassem e facilitassem a compreensão dos

2 conteúdos. No entanto, esta procura tem provocado a conscientização da influência de uma base teórica para fundamentar a prática, pois ainda observamos professores de matemática com posturas e rigores científicos, supervalorizando a memorização de conceitos e, principalmente, o domínio de classe. O desempenho dos alunos em Matemática tem muito a ver com o trabalho que é proposto na sala de aula. Muitas vezes, os alunos afirmam não gostarem da Matemática pelo fato de não saberem como os conceitos surgiram ou para que eles servem. Por isso é que se faz necessário que se trabalhe os conceitos e conhecimentos matemáticos, ligandoos à realidade dos alunos. O trabalho na sala e aula deve ser dinâmico e levar em consideração os aspectos do cotidiano dos alunos, envolvendo-os no trabalho de tal forma que eles se tornam coresponsáveis pela construção do conhecimento, juntamente com o professor. Também, é preciso diversificar metodologias, de acordo com os tópicos a serem trabalhados. A investigação matemática é uma metodologia importante que pode e deve ser utilizada pelos professores no trabalho de sala de aula pois permite que o aluno indague, questione, faça conjecturas e compartilhe com os colegas e professor dos resultados obtidos. O objetivo da pesquisa é construir os conceitos relacionados com sucessões numéricas, envolvendo números figurados espaciais, com a finalidade de fornecer subsídios aos professores de matemática quanto à metodologia de investigação matemática. 2. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA De acordo com Ponte et al. (2009), investigar é procurar conhecer o que não se sabe. Para os matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou não, procurando identificar as respectivas propriedades. Para se trabalhar com esta metodologia, não são necessários problemas ou questões difíceis, mas sim questões mais abertas e interessantes para os alunos, provocando-os a procurar sua solução. Durante o processo de investigação o professor possui um papel fundamental e para o bom desenvolvimento das atividades, este deve desafiar, avaliar o progresso e apoiar o trabalho dos seus alunos. Sendo assim, Integrar e implementar investigações matemática no currículo da disciplina requer por parte do professor, a criação e a adaptação de 2

3 tarefas que proporcionem ao aluno o desenvolvimento de capacidades/aptidões de valores/atitudes, bem como a aquisição de técnicas e conhecimentos imprescindíveis a sua formação. Essa tarefa não é fácil para o professor, pois, requer o reequacionamento das suas próprias concepções sobre o assunto que ensina e sobre o próprio currículo (PEREIRA, 2004, p.2). Ensinar por meio da investigação matemática é uma das tendências atuais em Educação Matemática. De acordo com esta metodologia, no desenvolvimento do trabalho na sala de aula, o aluno é chamado a ser partícipe do trabalho tornando-se também responsável pelas atividades. De acordo com Ponte (2009), O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito de atividade genuína, constituído por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentos com os seus colegas e o professor. (PONTE, 2009, p.23). Esta metodologia relaciona-se com a resolução de problemas, por ser uma questão para a qual o aluno precisa estabelecer estratégias para sua resolução. A investigação tal como sucede na resolução de problemas de um modo geral, implica processos complexos de pensamento e requer a criatividade dos alunos (PEREIRA, 2004, p. 2). Porém, os objetivos destas se diferenciam, como citado por Fonseca, Brunheira e Ponte (999): na resolução de problemas, o objetivo é encontrar um caminho para atingir um ponto não imediatamente acessível, portanto, é um processo convergente. Numa investigação matemática, o objetivo é explorar todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É um processo divergente. A realização de uma atividade envolvendo investigação matemática acontece geralmente seguindo algumas fases, como: exploração de questões a serem estudadas por parte do professor; apresentação do tema aos alunos e formulação de questões; validação e conclusão do trabalho. (PONTE, 2009). Na fase de exploração da situação e formulação das questões os alunos precisam de um pouco mais de tempo para que se familiarizem com o novo jeito de estudar. Às vezes, 3

4 devido ao fato dos alunos não saberem qual o destino certo da atividade, surgem questões que podem levar a impasses desnecessários. Neste caso é muito importante a intervenção do professor. Ao formularem e testarem as conjecturas os alunos tendem a elaborar testes para um número limitado de casos. O professor precisa estar atento a todo o processo para garantir que os alunos evoluam em suas investigações e estar sempre propondo questões que estimule o olhar dos alunos para novas direções (PONTE, 2009). Quando os alunos justificam suas conjecturas tendem a chamá-las de conclusões. Porém, é fundamental que o professor leve os alunos a compreender o caráter provisório das conjecturas. É nessa fase que ocorre a discussão da investigação, esta é fundamental para que os alunos entendam melhor o que significa investigar, mas também desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre seu trabalho e poder de argumentação (PONTE, 2009). 3. SUCESSÕES NUMÉRICAS E OS NÚMEROS FIGURADOS ESPACIAIS De acordo com os Pitagóricos os números eram distribuídos em número lineares, planos e sólidos. Os lineares eram representados por pontos alinhados, os planos por pontos formando figuras planas como o triângulo, números triangulares, o quadrado, números quadrados, o pentágono, números pentagonais, e os demais polígonos, números poligonais, e os sólidos estavam representados por figuras sólidas os poliédros como o tetraedro, números tetraédricos, a pirâmide, números piramidais variando-se a base e os paralelepípedos com forma de poliédro regular, números poliédricos. 3. Números Figurados Cúbicos Considere que a primeira figura tenha um elemento. e a segunda figura contenha oito elementos. a a2 8 a) Quantos elementos terá a terceira figura? E a quarta figura? b) Qual será o décimo termo? c) Organize uma tabela com os termos da sequência construída. 4

5 d) Esboce o gráfico que representa a sequência obtida. e) Explique como encontrar o termo de ordem n da sequência. 3.2 Números Tetraédricos Considerando que a primeira figura tenha um elemento. a E a segunda figura contenha quatro elementos. a2 4 a) A terceira figura quantos elementos terá? b) Você consegue encontrar alguma regularidade entre os termos? c) Tente descobrir um termo geral que possa ser usado para encontrar qualquer termo da sequência. Explique. 3.3 Números Piramidais de Base Quadrangular Considerando que a primeira figura tenha um elemento a e que a segunda figura contenha cinco elementos. quarta figura? a2 5 a) Continuando-se com este processo quantos elementos terá a terceira figura? E a b) Você consegue encontrar alguma regularidade entre os termos? c) Construa a sequência até o décimo primeiro termo. d) Tente descobrir um termo geral que possa ser usado para encontrar qualquer termo da sequência. Explique. 3.4 Encontrando Regularidades a) Para os números tetraédricos tem-se a ; a2 4 ; a 0 ; a 20 sucessivamente. Os termos podem ser assim escritos: a = ()( )( 2) 3 4 e assim a2 4 = (2)(2 )(2 2) a 4 20 = (4)(4 )(4 2) 5

6 De que modo poderiamos escrever o termo geral da sequência formada pelos números figurados tetraédricos, seguindo este processo? Encontre o termo geral. b) É possivel encontrar uma expressão semelhante para os números piramidais com bases quadrangulares? c) Observe que para os números tetraédricos temos que a n n n 2 Esta fórmula pode ser escrita como n a n n n. (3) n. Tente escrever uma expressão semelhante para os números tetraédricos piramidais com base quadrada. d) O que você pode concluir da análise dos resultados da letra c? 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho foram apresentadas atividades elaboradas por meio de investigação matemática, para explorar e construir conceitos matemáticos relacionados aos números figurados no espaço, bem como relacionar o conteúdo de sucessões numéricas com os números poliédricos. Os resultados obtidos seguiram as etapas definidas por Ponte et. al. (2009) e estão de acordo com aqueles das experiências descritas pelos autores. Por outro lado, os resultados evidenciaram que existem dificuldades no trato de atividades com a investigação matemática e estas estão relacionadas com a formalização e na comunicação das idéias matemáticas, destacando-se a pouca habilidade em expressar idéias matemáticas de modo escrito, através de gráficos, tabelas e do uso correto da linguagem matemática. Com as atividades investigativas propostas espera-se fornecer subsidios para os professores utilizarem em seus trabalhos de sala de aula. Vale destacar que atividades investigativas possibilitam encontrar diferentes respostas, com difrentes estratégias, e isto contribui para a criação de um ambiente de sala de aula que seja motivador propiciando a aprendizagem dos conteúdos de forma que tenha significado aos alunos. REFERÊNCIAS BARON, Margaret E. Curso da história da matemática: origens e desenvolvimento do cálculo. Editora Universidade de Brasilia. Brasilia Distrito Federal. 985.

7 CURY, H. N.. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos.. ed. Belo Horizonte: Autêntica, v.. 2 p. FONSECA, H., BRUNHEIRA, L., & PONTE, J. P. As actividades de investigação, o professor e a aula de Matemática. Actas do ProfMat 99. Lisboa: APM, 999. Disponivel em: < Acesso em de maio de 200. PEREIRA, M. C. N. As investigações matemáticas no ensino-aprendizagem das sucessões: Uma experiência com alunos do ano de escolaridade Dissertação (Mestrado em ensino da Matemática) - Universidade da Beira Interior. Lisboa PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, RODRIGUEZ, R. C. M. C. (Re)Construindo a matemática. In:. Fazer pedagógicoconstruções e perspectivas. Série Interinstitucional Universidade - Educação Básica. Ijuí-SC, 994. p