Douglas Joziel Bitencourt Freitas

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1 Estudo e Aplicação de Modelos Analíticos na Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em Dispositivos Móveis: Proposição de Extensões aos Modelos Tradicionais Douglas Joziel Bitencourt Freitas Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática. Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora Ijuí, RS, Brasil c Douglas Joziel Bitencourt Freitas, Setembro, 2015

2 Estudo e Aplicação de Modelos Analíticos na Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em Dispositivos Móveis: Proposição de Extensões aos Modelos Tradicionais Douglas Joziel Bitencourt Freitas Dissertação de Mestrado apresentada em Setembro, 2015 Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora Cristiano Roberto Cervi, Dsc. Componente da Banca Manuel Martín Pérez Reimbold, Dsc. Componente da Banca Ijuí, RS, Brasil, Setembro, 2015 ii

3 Tenho a impressão de ter sido uma criança brincando à beira-mar, divertindo-me em descobrir uma pedrinha mais lisa ou uma concha mais bonita que as outras, enquanto o imenso oceano da verdade continua misterioso diante de meus olhos. (Sir Isaac Newton, ) iii

4 Agradecimentos Ao Grande Arquiteto do Universo, pelo dom da vida, pelo livre-arbítrio, pela capacidade de duvidar. Pois dele, por Ele e para Ele são todas as coisas (Rm 11.36). Aos meus pais, Emanuel e Beatriz, pela liberdade de aprender com as lições da vida, pelas longas conversas e por jamais desistir de mim, acreditando e incentivando a busca dos meus objetivos. À minha namorada Rúlika, por ser o abraço amoroso, porto seguro para as intempéries da vida. Sou grato pelo incansável incentivo, paciência e cumplicidade. Aos professores Paulo e Airam, pela orientação, ensinamento, confiança e dedicação nesta caminhada, sendo bons exemplos no exercício da profissão, tanto na docência, quanto na pesquisa. Aos demais professores que contribuíram na construção do meu conhecimento acadêmico, dando-me ensinamentos que levarei por toda a minha existência. À Unijuí e ao GAIC, pela estrutura e laboratórios. À CAPES pelo aporte financeiro que recebi, tornando possível a realização deste sonho, tão significativo para mim. iv

5 Resumo Os dispositivos móveis agregam mobilidade, comodidade e facilidade de uso, contudo, têm o tempo de funcionamento limitado pela duração da fonte de energia, ou seja, pelo tempo de vida da bateria. As baterias recarregáveis, utilizadas em dispositivos móveis, têm capacidade finita para armazenamento de energia, necessitando a cada período de uso uma recarga. Diante disso, investigar o comportamento dinâmico do processo de descarga de uma bateria, visando predizer o seu tempo de vida e, por consequência o tempo de funcionamento do dispositivo móvel, tem fundamental importância. Um dos métodos para realizar a predição é a utilização de modelos matemáticos. Estes descrevem o comportamento dinâmico da descarga de uma bateria a partir de suas características físicas reais ou de um conjunto reduzido de dados obtidos em ensaios. Neste contexto, o presente trabalho realiza a modelagem matemática para predição do tempo de vida de baterias de Lítio-Íon Polímero (Li-Po) a partir da aplicação de modelos analíticos tradicionais. São analisados e validados os principais modelos desta classe a partir de ensaios reais. Além disso, uma extensão à Lei de Peukert é desenvolvida, com ganho significativo de acurácia, bem como propostas novas metodologias de resolução aos modelos cinético de Manwell e McGowan, e ao modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula, melhorando sensivelmente seus desempenhos, no que se refere a predição do tempo de vida de baterias do tipo Li-Po. Palavras-chave: extensão à Lei de Peukert, bateria, tempo de vida, modelos analíticos tradicionais. v

6 Abstract Mobile devices add mobility, convenience and ease of use, however, have the limited operating time for the duration of the power source, namely, for the lifetime of the battery. Rechargeable batteries, used in mobile devices have finite capacity for energy storage, requiring every usage a recharge. Given this, investigate the dynamic behaviour of the process of discharge of a battery, in order to predict your time of life and the operating time of the mobile device, has fundamental importance. One of the methods to perform the prediction is the use of mathematical models. These describe the dynamic behavior of the discharge of a battery from your real physical characteristics or a reduced set of data obtained in tests. In this context, the present study performs mathematical modeling to predict the lifetime of batteries of Lithium-Ion Polymer (Li-Po) from the application of traditional analytical models. Are reviewed and validated the main models of this class from real tests. In addition, an extension to the Peukert Law is developed, with significant gain in accuracy, as well as proposed new methodologies for a resolution to the kinetic models of Manwell and McGowan, and the diffusion model of Rakhmatov and Vrudhula, significantly improving their performance with respect to lifetime prediction of type Li-Po batteries. Keywords: extension to the Peukert Law, battery, lifetime, traditional analytic models. vi

7 Lista de Abreviaturas A Ampère Ah Ampère-hora AR Modelo AutoRregressivo ARX Modelo AutoRregressivo com entradas externas ARMAX Modelo AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas externas BJ Box Jenkins DCEEng Departamento de Ciências Exatas e Engenharias EDO Equação Diferencial Ordinária EDPs Equações Diferenciais Parciais ES Erro de Saída GAIC Grupo de Automação Industrial e Controle h hora KiBaM Modelo Cinético de Bateria (Kinetic Battery Model) Li-Ion Lítio Íon Li-Po Lítio Íon Polímero vii

8 LSI Laboratório de Sensores Inteligentes MQ Mínimos Quadrados NR Newton-Raphson NiCd Níquel Cádmio NiMH Níquel Metal Hidreto PI Proporcional Integral RV Rakhmatov e Vrudhula Unijuí Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul V Volt viii

9 Lista de Símbolos α parâmetro que representa a capacidade da bateria no Modelo RV β parâmetro que representa a não linearidade da bateria no Modelo RV ω comprimento do eletrólito da bateria do Modelo RV A área da superfície do eletrodo a parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria b parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria C capacidade da bateria C capacidade inicial da bateria para o Modelo RV C(x, t) função concentração de espécies eletroativas do Modelo RV C 1 parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da extensão à Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria C 2 parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da extensão à Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria c fração da capacidade total disponível da bateria do Modelo KiBaM D constante de difusão ix

10 F constante de Faraday h 1 altura da fonte de carga disponível do Modelo Analítico Cinético h 2 altura da fonte de carga limitada do Modelo Analítico Cinético I corrente constante de descarga I est corrente de estimação I val corrente de validação I k corrente, onde k = 0,..., n e k N i(t) corrente de descarga J(x, t) fluxo de espécies eletroativas k razão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Modelo KiBaM k constante relacionada com a taxa de vazão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Modelo KiBaM L tempo de vida da bateria L est tempo de vida de estimação L val tempo de vida de validação L sim tempo de vida simulado t k tempo, onde k = 0,..., n e k N v número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica y 0 quantidade total de carga do Modelo KiBaM x

11 y 1 quantidade de carga da fonte disponível do Modelo KiBaM y 1 (0) quantidade de carga disponível em t = 0 do Modelo KiBaM y 2 quantidade de carga da fonte limitada do Modelo KiBaM y 2 (0) quantidade de carga limitada em t = 0 do Modelo KiBaM xi

12 Lista de Tabelas 4.1 Dados utilizados para estimação dos parâmetros dos modelos Dados utilizados para validação dos modelos Ciclo do perfil de descarga variável Resultados experimentais para descargas variáveis Resultado das simulações dos modelos: Peukert Resultado das simulações dos modelos: KiBaM Resultado das simulações dos modelos: RV Resultado comparativo das simulações dos modelos

13 Lista de Figuras 2.1 Esquema de uma célula eletroquímica básica [29] Ilustração do efeito de recuperação [47] Esquema básico funcional dos tipos de modelos elétricos [24] Representação de um sistema [46] Esquema do modelo híbrido proposto por Kim [27] Ilustração do modelo KiBaM [31] Concentração inicial de espécies no eletrodo [47] Plataforma de testes [17] Corrente (A) vs. Tempo de vida (h) Corrente (A) vs. Capacidade (Ah) Tempo de vida (A) vs. Capacidade (Ah) Simulação da Lei de Peukert Simulação da extensão à Lei de Peukert Simulação do modelo KiBaM Simulação do modelo KiBaM via Variação de Parâmetros Simulação do modelo RV Simulação do modelo RV via método de Fourier Gráfico dos modelos comparados

14 Sumário 1 Apresentação da Dissertação Introdução Motivação Objetivos da Dissertação Objetivo Geral Objetivos Específicos Contribuições Estrutura do Documento Revisão Bibliográfica Introdução Baterias Características das Baterias Nível de Cutoff Capacidade da Bateria Efeitos Não Lineares Efeito de Recuperação Efeito da Taxa de Capacidade Tipos de Baterias Baterias de Níquel-Cádmio Baterias de Chumbo-Ácido Baterias de Níquel Metal-Hidreto Baterias de Lítio-Íon Baterias Alcalinas Recarregáveis Baterias de Lítio-Íon Polímero Modelos de Baterias Modelos Eletroquímicos Modelos Elétricos Modelos Estocásticos

15 Sumário Modelos Analíticos Modelos via Identificação de Sistemas Modelos Híbridos Resumo do Capítulo Modelagem Matemática Introdução Modelos Matemáticos Lei de Peukert Modelo KiBaM Modelo RV Extensões aos Modelos Analíticos Tradicionais Extensão à Lei de Peukert Modelo KiBaM via Método de Variação de Parâmetros Modelo RV via Método de Fourier Resumo do Capítulo Estimação dos Parâmetros dos Modelos Introdução Descrição da Plataforma de Testes Obtenção dos Dados na Plataforma de Testes Metodologia para a Coleta de Dados Apresentação dos Dados Metodologia para a Estimação dos Parâmetros Método dos Mínimos Quadrados Estimação dos Parâmetros dos Modelos Matemáticos Resumo do Capítulo Resultados das Simulações e Análises Introdução Metodologia Adotada para a Validação dos Modelos Validação dos Modelos Baseados na Lei de Peukert Descargas em Correntes Contínuas Descargas em Correntes Variáveis Validação dos Modelos Baseados no Modelo KiBaM Validação dos Modelos Baseados no Modelo RV Análise Comparativa Entre os Modelos Resumo do Capítulo

16 Sumário 4 6 Conclusões e Trabalhos Futuros 61 Referências Bibliográficas 65 A M-file: Lei de Peukert 70 B M-file: Extensão à Lei de Peukert 73 C M-file: Modelo KiBaM Original 76 D M-file: Modelo KiBaM via Variação de Parâmetros 79 E M-file: Modelo RV Original 82 F M-file: Modelo RV via Método de Fourier 85 G Publicações Relacionadas a Dissertação 88 G.1 Artigos Aceitos em Eventos G.2 Artigos em Processo de Submissão

17 Capítulo 1 Apresentação da Dissertação 1.1 Introdução A evolução tecnológica das últimas décadas provocou mudanças tanto nos ambientes e atividades do cotidiano quanto na forma que as pessoas se relacionam com o mundo. Essa reconfiguração da realidade consolidou o uso das tecnologias da informação e comunicação como instrumentos indispensáveis às comunicações pessoais, de trabalho, de estudo e, até mesmo, de lazer [41]. Estar conectado com acesso imediato à informação e comunicação, em qualquer tempo e lugar, se torna cada vez mais necessário e, vem concorrendo para popularização dos dispositivos móveis celulares, smartphones, tablets, notebook, entre outros com acesso às redes de voz e dados. Os dispositivos móveis agregam mobilidade, comodidade e facilidade de uso, contudo, têm o tempo de funcionamento limitado pela duração da fonte de energia, ou seja, pelo tempo de vida da bateria. As baterias recarregáveis, utilizadas em dispositivos móveis, têm capacidade finita para armazenamento de energia, necessitando a cada período de uso uma recarga [44]. Deste modo, é importante dispor de métodos para predizer o tempo de vida das baterias e, consequentemente, o tempo de funcionamento de dispositivos que utilizam baterias como fonte de energia. Na literatura técnica, uma das formas sugeridas para predizer o tempo de vida de uma bateria é através de experimentos físicos. Entretanto, em alguns casos esta alternativa é inviável, em razão do alto custo de planejamento, implementação e gestão, ou ainda da complexidade do sistema analisado. Outro modo, para realizar a predição é utilizando modelos matemáticos. Estes descrevem o comportamento dinâmico da descarga de uma bateria a partir de suas características físicas reais, ou de um conjunto reduzido de dados obtidos em ensaios. Nos últimos anos, vários modelos matemáticos que descrevem a descarga de baterias por conseguinte, seu tempo de vida vêm sendo desenvolvidos e aprimorados, dentre os quais merecem destaque os modelos eletroquímico [11,20,24], elétricos [21,24], estocásticos 5

18 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 [9,24], analíticos [24,43,45], via Identificação de Sistemas [30,46] e, mais recentemente, os modelos híbridos [13, 17, 27]. Inserido nesse contexto, o Grupo de Automação Industrial e Controle GAIC, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUÍ, tem realizado estudos e aplicações dos principais modelos matemáticos encontrados na literatura técnica, para predizer o tempo de vida de baterias utilizadas na alimentação de dispositivos móveis. As pesquisas realizadas pelo GAIC pretendem verificar qual é o modelo matemático mais adequado para simular e predizer o comportamento dinâmico de descarga da bateria, sob diferentes especificações [18]. A partir de dados obtidos com a plataforma de testes (i.e., testbed), desenvolvida pelo GAIC, para ensaios experimentais das descargas de baterias, Schneider [49] realizou a análise e aplicação dos três principais modelos analíticos modelo Linear, Lei de Peukert e o modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula (RV), este último considerado de alta acurácia pela literatura técnica, sendo que os resultados das simulações computacionais dos modelos foram comparados aos dados reais adquiridos a partir do testbed. Em outro estudo, Oliveira [38] apresentou uma comparação de metodologias baseadas no método dos Mínimos Quadrados, para estimação dos parâmetros necessários aos modelos matemáticos analíticos, simulando e validando esses modelos tanto para correntes constantes, quanto variáveis. Mais tarde, uma metodologia baseada no método da procura em rede melhorado foi proposta por Silva [50], neste caso, exclusiva para estimação dos parâmetros do modelo RV. Estudos realizados por Porciuncula [42] e Brondani [5] avaliaram os modelos elétricos, comparando os resultados das simulações do modelo Battery, tanto com o modelo para Predizer Runtime e Características V-I (i.e., tensão e corrente), este considerado pela literatura técnica, de alta acurácia, quanto com dados experimentais obtidos através do testbed. Já nos trabalhos de Romio [46] e de Machado [30], a predição do tempo de vida de baterias foi realizada utilizando modelos autorregressivos, via teoria de Identificação de Sistemas, comparando os resultados das simulações com o modelo RV e com dados experimentais. Mais recente, Duarte [13] e Fransozi [17] apresentaram estudos, simulações e análises de modelos híbridos, oriundos da união do modelo KiBaM e do modelo RV, para predizer o tempo de vida de baterias, com o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características de V-I. Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias de Li-Po, a partir de modelos analíticos tradicionais. Para isto, inicialmente, são estudados e aplicados três modelos analíticos capazes de capturar características e efeitos não lineares da bateria para diferentes perfis de correntes de descarga. Além disso, no intuito de melhor a acurácia dos modelos, ao primeiro modelo a Lei de Peukert é proposta uma extensão utilizando o conceito de comparação e minimização

19 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 funcional por derivadas. Ao segundo modelo modelo cinético de Manwell-McGowan, uma nova metodologia de solução via método de Variação de parâmetros é sugerida neste trabalho. E, por fim, ao terceiro modelo modelo RV, é sugerida uma solução utilizando o método de Fourier (i.e., Separação de Variáveis). As simulações dos modelos são implementadas com o auxílio do software de computação algébrica e numérica MatLab 1 e, seus resultados são comparados e analisados em contraste aos dados experimentais de uma plataforma de testes, utilizando baterias de Li-Po, modelo PL C. 1.2 Motivação O número e a variedade de dispositivos móveis têm aumentado significativamente nos últimos anos, devido a mobilidade e a praticidade proporcionada pelos mesmos [17]. Segundo informações divulgadas pela União Internacional de Telecomunicações [23], em relatório anual, no final de 2014 o número de celulares atingiu a marca histórica de aproximadamente 7 bilhões de dispositivos o que equivale ao número de habitantes do planeta. O mesmo relatório aponta ainda que o número de usuários de internet móvel tem aumentado significativamente, atingindo cerca de 2,3 bilhões de usuário, 32% da população mundial. Esses dados indicam que o mercado de dispositivos móveis está em expansão, bem como há necessidade do desenvolvimento de tecnologias que melhor se adequem a demanda dos usuários por mobilidade. Assim, uma das exigências no desenvolvimento de dispositivos móveis é a maximização do tempo de autonomia para o funcionamento sem necessidade de conexão com fonte de energia fixa, ou seja, sem recarregar a bateria. Diante disso, investigar o comportamento dinâmico da descarga de baterias, visando predizer o seu tempo de vida e, por consequência, o tempo de funcionamento do dispositivo móvel tem fundamental importância. Portanto, o presente trabalho tem por motivação agregar ao conhecimento científico, a priori estabelecido, os resultados alcançados através de modelos matemáticos de fácil compreensão e implementação computacional, contribuindo assim com projetistas de baterias, dispositivos móveis e softwares de gestão energética, no desenvolvimento e melhoramento de recursos tecnológicos que ampliem a eficiência energética das baterias. A literatura técnica, a partir da modelagem física do processo de descarga, apresenta diferentes tipos de modelos matemáticos que realizam a predição do tempo de vida de uma bateria, neste contexto, esta pesquisa visa o estudo, aplicação e proposição de melhorias aos modelos analíticos tradicionais, para predizer o tempo de vida de uma bateria, avaliando com base 1 O MatLab (i.e., MATrix LABoratory) é um software de alta performance voltado para cálculo numérico, desenvolvido e distribuído comercialmente pela MathWorks: products/matlab/.

20 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 em dados experimentais a acurácia dos modelos em questão. 1.3 Objetivos da Dissertação Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para facilitar a compreensão, optou-se em separá-los em Objetivo Geral e Objetivos Específicos, os quais são detalhados na sequência Objetivo Geral Este trabalho tem como objetivo geral o estudo e aplicação de um conjunto de modelos analíticos tradicionais, capazes de descrever a descarga de baterias que alimentam dispositivos móveis, visando a proposição de simplificações e novas extensões que possam melhorar o desempenho destes modelos no que se refere a predição do tempo de vida de baterias de Lítio-Íon Polímero (Li-Po) Objetivos Específicos Visando atingir o objetivo geral deste trabalho, elencam-se os seguintes objetivos específicos a seguir: Realizar uma revisão bibliográfica das características das baterias e dos modelos matemáticos que descrevem o processo de descarga e, por consequência, predizem o tempo de vida, dando ênfase aos modelos analíticos; Escolher, dentre os modelos analíticos estudados, um conjunto de modelos, propondo extensões, novas metodologias de resolução e adequações matemáticas para o uso destes na predição do tempo de vida de baterias; Obter a partir de ensaios em laboratório conjuntos de dados para estimação de parâmetros e validação dos modelos selecionados anteriormente; Implementar os modelos selecionados e propostos através do software de computação numérica e algébrica MatLab; Realizar a validação dos modelos, comparando os resultados simulados com os dados obtidos experimentalmente; e, Comparar e concluir, a partir dos resultados obtidos por validação e análise de erro médio, qual o modelo analítico deste estudo que melhor realiza a predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis.

21 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação Contribuições Nesta dissertação são introduzidas contribuições para a realização da predição do tempo de vida de dispositivos móveis que são alimentados por baterias. Estas contribuições são listadas a seguir: 1. Estudo, proposição e validação em perfis de correntes contínuas e pulsadas de um modelo desenvolvido a partir da extensão à Lei de Peukert; 2. Aplicação e validação do modelo KiBaM para predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, 3. Definição de uma metodologia alternativa para resolução das equações dos modelos KiBaM e RV, utilizando os métodos de Variação de Parâmetros e de Fourier, respectivamente; e, 4. Validação e análise comparativa entre os modelos originais e propostos, e os dados experimentais obtidos de uma plataforma de testes. 1.5 Estrutura do Documento O presente trabalho organiza-se conforme a estrutura apresentada a seguir. No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica sobre o estado da arte de baterias utilizadas em dispositivos móveis. São abordadas as principais características e propriedades de uma bateria, os tipos de baterias, assim como, alguns modelos matemáticos que simulam o processo de descarga das mesmas encontrados na literatura, com o intuito de obter informações sobre o contexto em que este trabalho está inserido. No Capítulo 3 são descritos, inicialmente, os modelos analíticos tradicionais utilizados nesta dissertação, a Lei de Peukert, o modelo KiBaM e o modelo RV. Realiza-se ainda, a apresentação da extensão proposta à Lei de Peukert, validada neste trabalho de pesquisa, assim como suas características e conjunto de equações. Também, são apresentadas duas novas metodologias: uma para a solução do modelo KiBaM, utilizando o método de Variação de Parâmetros; outra para a solução do modelo RV, utilizando o método de Fourier. No Capítulo 4 é apresentada a plataforma de testes, bem como, uma metodologia adotada para a coleta dos dados experimentais obtidos durante o descarregamento das baterias. A partir da obtenção dos dados é definida uma metodologia para a estimação dos parâmetros presentes nos modelos analíticos estudados e estendidos, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, tipo não linear.

22 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 10 No Capítulo 5 é realizada a validação dos modelos originais e de suas extensões, a partir da comparação dos mesmos com os resultados experimentais obtidos na plataforma de testes. Neste contexto, cada modelo é comparado com a sua extensão e/ou proposição de metodologia e, ao final deste capítulo, é apresentada esta análise comparativa entre todos os modelos. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste estudo e as possibilidades de trabalhos futuros.

23 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 2.1 Introdução Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica do estado da arte de baterias. Primeiramente, são abordados alguns conceitos básicos, propriedades e características. Em seguida, são descritos os principais tipos de baterias. Por fim, são detalhados os principais modelos matemáticos da literatura técnica para a predição do tempo de vida de baterias. Destaca-se que as baterias referenciadas nesse trabalho são, somente, do tipo Li-Po utilizadas em dispositivos móveis. Este capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.2 são descritos elementos estruturais e constituintes das baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas as principais propriedades e características das baterias. Na Seção 2.4 são descritos os efeitos não lineares mais relevantes, presentes em um processo de descarga. Na Seção 2.5 são apresentados alguns tipos de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Na Seção 2.6 são expostos os principais modelos de baterias referenciados na literatura técnica. Na Seção 2.7 é apresentado um resumo do capítulo. 2.2 Baterias Da primitiva pilha voltaica, inventada por Alessandro Volta ( ), às modernas baterias de metal líquido de alta capacidade [26], em desenvolvimento no Instituto de Tecnologia de Massachussetts MIT, as baterias eletroquímicas consagraram-se como a tecnologia de armazenamento portátil de energia mais antiga ainda amplamente utilizada, fomentando nas últimas décadas o avanço do mercado econômico e industrial na produção de dispositivos eletrônicos cada vez mais miniaturizados. Por definição, as baterias são dispositivos que convertem a energia química, armazenada em seus materiais constituintes, em energia elétrica por meio de uma reação de oxirredução eletroquímica. Nas baterias 11

24 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 12 recarregáveis, a reversão desta reação (i.e., a recarga da bateria) é realizada através da conexão a uma fonte de energia. Em geral, uma bateria é composta por uma ou mais células eletroquímicas, ligadas em série ou em paralelo, ou ainda uma combinação de ambos, variando de acordo com a capacidade e a tensão elétrica de saída desejadas [6, 29]. Uma célula eletroquímica (cf. Figura 2.1) é composta por três elementos principais: ânodo, cátodo e eletrólito. Durante o processo de descarga, o ânodo ou eletrodo negativo cede elétrons ao sistema externo, sendo reduzido pela reação eletroquímica. Em contrapartida, o cátodo ou eletrodo positivo recebe elétrons do circuito externo, e é oxidado pela reação eletroquímica. Além disso, durante a reação eletroquímica, o eletrólito ou condutor iônico fornece através de íons o meio de transferência de carga entre ânodo e cátodo dentro da célula [29]. Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica básica [29]. As reações eletroquímicas que ocorrem no interior de uma bateria produzem duas importantes propriedades: a tensão elétrica, medida em volts (V ); e, a capacidade, geralmente, medida em ampère-hora (Ah). O produto dessas duas grandezas fornece a quantidade de energia armazenada na bateria [24, 49]. Em uma bateria ideal a tensão elétrica é constante durante todo o tempo de descarga, tornando-se nula apenas quando a bateria estiver completamente descarregada. Em tese, por exemplo, um bateria com capacidade de 50 Ah é desenvolvida para fornecer ao sistema 5 A por 10 h, ou 50 A por 1 h. Contudo, em um operação de descarga real a tensão elétrica é reduzida gradualmente, a capacidade é menor para altas correntes e a corrente de descarga nem sempre é constante no tempo. Assim, temos que as operações de descarga têm efeitos não lineares que, em maior ou menor grau, dependendo do tipo da bateria, influenciam no tempo de vida e na sua capacidade.

25 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica Características das Baterias A diferenciação entre os tipos de baterias ocorre, principalmente, pelo material que as compõem e, pela demanda que as mesmas necessitam atender. De modo geral, as baterias possuem determinadas características que influenciam, em maior ou menor grau, no comportamento durante o processo de descarga. Nesta seção são descritas algumas características principais referentes as baterias, assim como alguns conceitos necessários para o entendimento do seu funcionamento Nível de Cutoff O nível de cutoff é uma importante característica de uma bateria sendo definido pelo limite mínimo de tensão elétrica que a bateria consegue disponibilizar para que o sistema continue em operação [43]. Durante o processo de descarga, ao atingir esse limite inferior, as reações eletroquímicas cessam no interior da bateria, sendo que esta, por sua vez, deixa de fornecer energia [49]. É importante ressaltar que neste momento a bateria não está completamente descarregada, mas apenas com capacidade indisponível para alimentar o sistema [47]. Deste modo, o tempo de vida da bateria está diretamente associado ao nível de cutoff, pois é o indicador que expressa, geralmente, em horas (h), o intervalo de tempo decorrido em uma operação de descarga para que a bateria atinja o nível mínimo de energia Capacidade da Bateria A capacidade de uma bateria é a quantidade de carga elétrica armazenada [27], e pode ser especificada de três formas distintas: a capacidade teórica, que representa a capacidade total de energia que pode ser extraída da bateria, na prática; a capacidade padrão, que representa a quantidade de energia que pode ser extraída sob condições especificadas pelo fabricante; e, a capacidade atual, que representa a quantidade de energia extraída quando uma determinada corrente é utilizada para descarregá-la. Cabe ressaltar que a capacidade atual pode exceder a capacidade padrão, mas jamais a capacidade teórica [28]. 2.4 Efeitos Não Lineares No processo de modelagem matemática dois fenômenos fundamentais precisam ser levados em conta, pois, afetam a vida e a quantidade de energia que pode ser entregue pela bateria: o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação. O ideal seria que a capacidade permanecesse constante durante este processo e toda energia armazenada

26 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 14 fosse utilizada. Entretanto, durante um processo de descarga real, a tensão vai reduzindo aos poucos e a capacidade efetiva é diminuta para correntes mais altas. A seguir, são descritos estes dois efeitos presentes durante um processo de descarga de uma bateria Efeito de Recuperação Durante os períodos em que a corrente de descarga é reduzida significativamente, ocorre a relaxação da bateria, com isso, há uma reorganização dos elétrons ainda disponíveis [25,28]. Assim, o efeito de recuperação amplia a capacidade da bateria em fornecer ao sistema um pouco mais de energia, antes de atingir o nível de cutoff. Este efeito é muito mais fácil de se perceber quando a corrente de descarga é intermitente (i.e., variável) no tempo [12]. Figura 2.2: Ilustração do efeito de recuperação [47]. Em uma bateria completamente carregada a concentração inicial de espécies eletroativas é constante para todo o comprimento do eletrólito (cf. Figura 2.2 (A)). Ao iniciar o processo de descarga (cf. Figura 2.2 (B)), as reações eletroquímicas reduzem as espécies eletroativas próxima ao eletrodo. Entretanto, no momento em que ocorre uma reduação significativa na corrente de descarga, os elétrons restantes se reorganizam de modo uniforme, reequilibrando o sistema (cf. Figura 2.2 (C)), aumentando a concentração de espécies eletroativas no eletrodo (cf. Figura 2.2 (D)). Assim, a capacidade da bateria em fornecer energia ao sistema é ampliada caracterizando o efeito de recuperação. Contudo, é importante ressaltar que a quantidade de espécies eletroativas será sempre menor que a concentração inicial [46]. O efeito de recuperação pode se repetir durante o processo de

27 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 15 descarga até que o nível de cutoff (cf. Figura 2.2 (D)) seja atingido Efeito da Taxa de Capacidade O efeito da taxa de capacidade depende da capacidade atual da bateria e da intensidade da corrente de descarga aplicada. Em correntes mais altas a capacidade efetiva da bateria é reduzida, visto que não há tempo suficiente para que ocorra a reorganização das espécies eletroativas no eletrólito. Deste modo, mais energia permanece sem ser utilizada pelo sistema, reduzindo a capacidade e o tempo de vida da bateria. Para correntes intermitentes (i.e., variáveis) no tempo, a capacidade efetiva da bateria é ampliada, pois na alternância entre corrente altas e baixas, ou até mesmo em períodos sem correntes, ocorre o efeito de recuperação, tornando disponível uma maior quantidade de elétrons na superfície do eletrodo. Assim, quanto maior a quantidade de elétrons presentes no eletrólito no momento da redução significativa da corrente, proporcionalmente, maior será a quantidade de energia possível de recuperação [17, 49]. 2.5 Tipos de Baterias Ao longo das últimas décadas, diferentes tipos de baterias têm sido desenvolvidos e comercializados para atender demandas de energia em aplicações específicas. Diante disso, fabricantes buscam cada vez mais se adequarem às exigências do mercado, em particular àquelas dos usuários de dispositivos móveis. Para as baterias utilizadas em dispositivos móveis a ênfase tem sido, em primeiro plano, o tamanho reduzido e a alta densidade de energia; e, em segundo, o tempo de vida. Contudo, as baterias possuem outros aspectos como, por exemplo, requisitos de manutenção, quantidade de ciclos e custo operacionais [6, 29]. Nesta seção, são relacionados os principais tipos de baterias, bem como suas características relevantes Baterias de Níquel-Cádmio As baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd), fabricadas a partir de 1950, são consideradas um dos tipos mais antigos de acumuladores de energia. Projetadas para suportar correntes de carga moderada, apresentam bom rendimento sob condições rigorosas de trabalho, sendo empregadas para alimentar uma ampla gama de dispositivos portáveis. Como vantagens, as baterias de níquel e cádmio, apresentam bom desempenho em baixas temperaturas, elevado número de ciclo de carga e descarga, baixo custo por ciclo e, disponibilidade em variados tamanhos e formas. Em contraponto, esse tipo de bateria apresenta limitações, tais como, a baixa densidade de energia, o efeito de memória e, a

28 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 16 elevada taxa de autodescarga. Além disso, as baterias de níquel e cádmio utilizam elementos químicos tóxicos em sua composição, fato que concorre para a perda de espaço no mercado em diversos países [6, 28, 49] Baterias de Chumbo-Ácido Produzidas desde a década de 70, as baterias de Chumbo-Ácido são compostas, em geral, por eletrodos de chumbo e dióxido de chumbo, imersos em um eletrólito líquido com uma concentração de ácido sulfúrico. Por possuir baixa taxa de autodescarga e suportar com facilidade picos de corrente, são amplamente utilizadas em veículos automotores para dar arranque aos motores à combustão. Em geral, apresentam baixo custo e complexidade de fabricação, sendo uma tecnologia bem madura, confiável e compreendida. No entanto, possuem baixa densidade de energia, número limitado de ciclos para carga e descarga e, algumas restrições ambientais e de segurança quanto a eventuais riscos de acidentes com vazamentos, em especial, nos casos de eletrólito com ácido sulfúrico [6, 13] Baterias de Níquel Metal-Hidreto Embora amplamente utilizadas como fonte de energia para notebooks, as baterias de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) inicialmente foram desenvolvidas nos anos 90, para exploração espacial e aplicações em satélites de comunicação, em substituição as pesadas baterias de Ni-Cd. Com o desenvolvimento de novas ligas de hidreto metálico, a partir da combinação de diferentes elementos menos poluentes, esse tipo de bateria obteve maior estabilidade e alcançou uma taxa de densidade de energia até 40% maior, quando comparada as baterias de Ni-Cd. Outro fator interessante é que este modelo de bateria está menos propenso ao efeito memória nos ciclos de carga e descarga. Entretanto, as baterias de hidreto metálico de níquel possuem desvantagens, tais como, vida útil de uso contínuo limitada, eficiência reduzida para média e altas correntes de descarga, elevada taxa de autodescarga e, um custo de mercado elevado estes fatores concorrem para a sua substituição por outras tecnologias de baterias [6, 29] Baterias de Lítio-Íon O lítio (Li) é o mais leve de todos os metais, possuindo também o maior potencial eletroquímico. As baterias de Lítio-Íon (Li-Ion), comercializadas a partir de 1990, utilizam ânodos de lítio e são capazes de oferecer grande capacidade de energia, resultando em uma ótima densidade energética até duas vezes superior as baterias de Ni-Cd. Além disso, as baterias de Li-Ion possuem longo tempo de vida e ausência do efeito memória nos ciclos de carga e descarga, com isso, são utilizadas em larga escala como fonte de energia mais

29 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 17 popular para notebooks, tablets, smartphones e celulares. Entretanto, este tipo de bateria possui algumas limitações que devem ser consideradas, a saber, por exemplo, o custo mais elevado de produção do que as outras tecnologias de bateria e cuidados nos processos de carga e descarga, para evitar acidentes em virtude dos riscos de explosão [6, 28, 30, 49] Baterias Alcalinas Recarregáveis As baterias alcalinas recarregáveis vêm sendo utilizadas desde a metade da década de 90, como fonte de energia móvel. Este tipo de bateria surgiu como uma alternativa recarregável de baixo custo esta é a sua principal vantagem, contudo, isso acabou por comprometer o seu desempenho. Embora, inicialmente, possua densidade de energia maior que as baterias de Ni-Cd, após 10 ciclos a densidade é drasticamente reduzida pela metade e, depois de 50 ciclos restará apenas 25% da densidade energética inicial. A redução da densidade de energia concorre para uma consequente diminuição na vida útil da bateria, gerando um problema ambiental em relação ao descarte, visto que alguns modelos utilizam elementos tóxicos na sua composição. Além disso, as baterias alcalinas recarregáveis são limitadas, tendo utilidade apenas para aplicações domésticas mais simples, tais como, rádios portáteis, lanternas e brinquedos [6, 30] Baterias de Lítio-Íon Polímero As baterias de Lítio-Íon Polímero (Li-Po) são uma tecnologia emergente para fabricação de baterias e, acredita-se que sejam estas as baterias que atenderão as demandas por energia da nova geração de dispositivos móveis [34]. Dentre as suas principais vantagens é possível listar a sua espessura ultra fina, a possibilidade de diferentes tamanhos e formas, o peso reduzido quando comparadas com outras tecnologias de baterias e, a resistência a sobrecarga. Em contraponto, as suas limitações ainda esbarram na densidade de energia relativamente menor do que as baterias de Li-Ion, o alto custo de produção e problemas para gestão interna de temperatura [6, 29, 49]. Contudo, alinhado com as tendências tecnológicas, é importante destacar que este trabalho utiliza, nos experimentos realizados na plataforma de testes para coleta de dados, um conjunto de baterias de Li-Po, que serão detalhadas no Capítulo Modelos de Baterias A literatura técnica apresenta diferentes modelos matemáticos que descrevem a descarga de baterias por conseguinte, seu tempo de vida. Nos últimos anos, muitos desses modelos vêm sendo desenvolvidos e aprimorados, servindo de embasamento teórico para

30 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18 diversos trabalhos de pesquisa desenvolvidos para o estudo, análise e predição do tempo de vida de baterias [5,13,17,30,38,42,46,49,50]. Além de representar os aspectos essenciais de uma bateria, os modelos de bateria podem auxiliar em projetos, simulações de circuitos e estimação do desempenho energético. Esta seção, apresenta de modo abrangente os principais modelos matemáticos de baterias Modelos Eletroquímicos Os modelos eletroquímicos têm por base os processos químicos que ocorrem no interior da bateria durante a descarga. Tais modelos possuem alta acurácia para predizer o tempo de vida de baterias, sendo inclusive referência para testes na literatura técnica. Entretanto, a descrição minuciosa dos processos faz com que estes modelos apresentem grande complexidade e dificuldade de configuração [24,49]. Doyle, Fuller e Newmann [11] desenvolveram um modelo eletroquímico de alta acurácia, para baterias de Li-Ion e Li-Po, composto por um sistema de seis Equações Diferenciais Parciais (EDPs) não lineares. A resolução desse sistema de EDPs fornece informações sobre a bateria modelada em função do tempo tensão e corrente elétrica, concentração de sal, taxa de reação e densidade do eletrólito. A implementação computacional deste modelo deu origem a um programa denominado Fortran Dualfoil, disponível para download de uso gratuito na Internet. Em virtude do seu alto nível de acurácia, é frequentemente utilizado em comparação com outros modelos, substituindo assim os dados experimentais [12]. O programa registra as variações de todas as propriedades da bateria ao longo do tempo, dado um perfil de descarga definido pelo usuário, indicando ao final do processo o tempo de vida. Para o correto uso, o usuário deve configurar mais de 50 parâmetros que dizem respeito à bateria em estudo espessura dos eletrodos, concentração de sal inicial no eletrólito, capacidade global de calor, sendo assim, necessário amplo conhecimento da bateria que se pretende modelar [24, 49] Modelos Elétricos Os modelos elétricos, também chamados de modelos de circuitos elétricos, são modelos de baterias que podem incluir tanto descargas com corrente contínuas, quanto com correntes variantes no tempo; sendo que são, em geral, ou baseados em Thevenin, ou baseados em Impedância, ou em Runtime. Dentre os modelos elétricos encontrados na literatura técnica, destacam-se: o modelo para Predizer Runtime e Características V-I, e o modelo Battery [5, 42]. Em geral, estes modelos são capazes de representar as características não lineares como, por exemplo, o efeito de recuperação e os efeitos térmicos da bateria; contudo, alguns destes modelos não consideram o efeito da taxa de capacidade.

31 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19 A acurácia dos modelos elétricos para predizer o tempo de vida de baterias, está em uma faixa entre a acurácia dos modelos analíticos e eletroquímicos (i.e., entre 1% e 5%) [7]. Em geral, as simulações dos modelos elétricos são de fácil compreensão e implementação, sendo que a maioria delas são baseadas no software de simulação de circuitos analógicos SPICE (i.e, Programa de Simulação com Ênfase em Circuitos Integrados) [51]. Um dos primeiros modelos elétricos desenvolvidos foi proposto por Hagemann [21], que utilizou um circuito simples PSpice, considerando apenas três tipos de baterias: níquel e cádmio, ácido e chumbo e, alcalinas recarregáveis. A essência dos modelos elétricos para os diferentes tipos de baterias é a mesma (cf. Figura 2.3): um capacitor representa a capacidade da bateria, uma taxa de descarga normalizadora determina a perda de capacidade em altas correntes de descarga, um circuito representa o consumo da capacidade da bateira, uma tabela de pesquisa representa a tensão versus o estado de carga, e um resistor representa a resistência interna da bateria [5, 38, 42]. Figura 2.3: Esquema básico funcional dos tipos de modelos elétricos [24] Modelos Estocásticos Os modelos estocásticos descrevem a bateria de modo mais abstrato que os modelos eletroquímicos e elétricos, representando sob a forma de processos estocásticos tanto as operações de descarga, quanto o efeito de recuperação [24, 39]. Os pesquisadores Chiasserini e Rao [8, 9, 25] foram pioneiros no desenvolvimento de um modelo estocástico, modelando a partir de cadeias de Markov as operações de descarga de uma bateria. Neste modelo, a bateria é representada por um número finito de unidades de carga e o comportamento de descarga da bateria é modelado utilizando tempo discreto no processo transitório estocástico. Em cada etapa de consumo de energia é efetuado um cálculo probabilístico, que objetiva verificar a recuperação da bateria em função da mudança ou continuidade da corrente.

32 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20 O processo de descarga é transiente ao longo do tempo, sendo que o estado da bateria é controlado pela quantidade de unidades de carga restantes, que por sua vez determinam ao atingir o nível de cutoff, o tempo de vida (i.e., duração) da bateria [30, 42]. Em estudos realizados, os resultados apresentados pelo modelo estocástico de Chiasserini e Rao, têm um desvio máximo de 4%, com erro médio de 1% se comparado com o modelo eletroquímico [25]. Estes resultados indicam que o modelo estocástico fornece uma boa descrição do comportamento da bateria, especialmente para descargas variáveis. Contudo, este modelo possuiu uma limitação ao considerar somente o efeito de recuperação da bateria [42] Modelos Analíticos Diferentes modelos de baterias têm sido propostos, onde expressões analíticas são formuladas para calcular, em especial, o tempo de vida da bateria, utilizando como parâmetros as informações obtidas a partir de, por exemplo, valores da corrente de descarga, características do ambiente operacional e propriedades físicas da bateria. Dentre estes modelos, os analíticos descrevem a bateria de uma forma abstrata, assim como os modelos estocásticos, modelando as principais propriedades da bateria com um conjunto reduzido de equações [24, 25, 49]. Em geral, os modelos analíticos podem descrever descargas tanto de correntes contínuas quanto variantes, no domínio do tempo, capturando os efeitos de recuperação e taxa de capacidade. Tais modelos são computacionalmente eficientes e flexíveis, requerendo avaliação de expressões analíticas, que podem ser configuradas para diferentes tipos de baterias [24, 25, 28]. Um dos modelos analíticos mais simples encontrado na literatura técnica, para predição do tempo de vida de baterias, é o modelo Linear [24,25,47], que considera a bateria como um recipiente linear de corrente, não considerando os efeitos não lineares que ocorrem durante uma descarga. Outro modelo, da mesma categoria, é baseado na Lei de Paukert [24, 32, 43], que consegue capturar a relação funcional não linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, contudo, não considera o efeito de recuperação. Percebe-se então, que estes dois modelos citados não levam em consideração o efeito de recuperação que ocorre durante o processo de descarga, e influencia diretamente o tempo de vida da bateria. Entretanto, há outros modelos analíticos que capturam essas não linearidades. Um deles é o modelo KiBaM [25,31], do original em inglês Kinetic Battery Model, que utiliza o processo cinético químico em seu fundamento, ou seja, estuda a velocidade das reações químicas do processo e os fatores que as influenciam. O KiBaM é um modelo de fácil compreensão e implementação computacional, sendo que inicialmente foi desenvolvido para modelar as grandes baterias de ácido e chumbo, que possuem perfis de descargas

33 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 21 mais lineares. Além disso, é importante destacar que este modelo captura duas não linearidades de um processo de descarga, os efeitos de recuperação e taxa de capacidade [49]. Outro modelo analítico é o modelo RV [43 45], considerado de alta acurácia, pela literatura técnica. Baseado na difusão de íons, o modelo descreve a evolução unidimensional da concentração de espécimes eletroativas no eletrólito. A descrição analítica é feita pelas Leis de Fick [10], que expressa em um sistema de EDPs a difusão de íons, a fim de predizer o tempo de vida de uma bateria a partir de uma operação de descarga. Rakhmatov e Vrudhula [43] compararam o seu modelo com o programa de simulação Dualfoil, obtendo para correntes contínuas de descarga um erro médio de 3%, e para correntes variáveis um erro médio muito próximo de 1%. Um estudo realizado por Schneider [49], utilizando baterias de Li-Ion, modelo BL-5F, comparou o modelo RV com dados de um processo real de descarga, e obteve um erro médio de aproximadamente 1%, para descargas de corrente contínua. Oliveira [38], também utilizando dados experimentais de baterias de Li-Ion, modelo BL-5F, obteve para o modelo RV um erro médio de 5,71%, para correntes contínuas, e 6,53% para correntes variáveis. No Capítulo 3, os modelos analíticos utilizados neste trabalho serão abordados com maior detalhamento, em especial, no que se refere às equações que os descrevem Modelos via Identificação de Sistemas A Identificação de Sistemas é uma técnica de modelagem matemática utilizada na obtenção de modelos para sistemas dinâmicos. Através de tais modelos busca-se representar determinadas características relacionadas à causa (i.e., entrada u(t)) e ao efeito (i.e., saída y(t)) de um sistema qualquer (cf. Figura 2.4), sem envolver, necessariamente, todas as leis físicas presentes no processo [1]. Na modelagem matemática via teoria de Identificação de Sistemas, existem duas maneiras para a construção de modelos matemáticos: modelagem caixa-preta e modelagem caixa-cinza. Na modelagem caixa-preta, não se tem um conhecimento prévio do sistema a ser modelado, neste caso, utiliza-se na identificação apenas os dados de entrada e saída do processo, sendo que a estrutura matemática obtida não possui relação com as leis físicas que regem o processo. A modelagem caixacinza diferencia-se da primeira, pois, neste caso, além de utilizar os dados de entrada e saída, existe também algum conhecimento prévio do sistema a ser modelado; com isso, este tipo de modelagem fica posicionada entre a modelagem pela física do processo (i.e., caixa-branca) e a modelagem caixa-preta [1, 30, 46]. Em estudos desenvolvidos [30,46], utilizou-se a Identificação de Sistemas na modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias, a partir de estruturas de modelos paramétricos lineares, tais como, AutoRregressivo (AR), AutoRregressivo com entradas

34 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 22 Figura 2.4: Representação de um sistema [46]. externas (ARX), AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas externas (ARMAX), Erro de Saída (ES), e Box Jenkins (BJ). Com base em dados de um processo real de descarga, obtidos de uma plataforma de teste (i.e., testbed) para baterias de Li-Ion, os modelos foram implementados no software de computação numérica e algébrica MatLab, que possui uma biblioteca de applets, com um conjunto de ferramentas destinadas, exclusivamente, à Identificação de Sistemas (i.e., Ident Toolbox) [13,33]. Segundo Romio [46], em seu estudo, análise e simulação, os modelos ARX, ARMAX, ES e BJ foram validados para predição do tempo de vida de baterias, sendo que o modelo ARX, em domínio de tempo discreto, obteve a melhor acurácia com um erro médio de 3,39%. Em Machado [30], de mesmo modo, todos os modelos anteriores também foram validados, incluindo o modelo AR este, em domínio de tempo discreto, apresentou um erro médio de 0,72%. Nos ensaios desses trabalhos foram utilizadas baterias do tipo Li-Ion, modelo BL-5F, empregadas como fonte de energia em uma grande gama de aparelhos celulares da empresa Nokia Modelos Híbridos Os modelos híbridos são apresentados como uma nova categoria de modelos matemáticos para predição do tempo de baterias, podendo reunir as vantagens de mais de um tipo de modelo. No estudo dos modelos híbridos, Kim [27] propôs um modelo a partir da conexão de um modelo analítico, denominado Kinetic Battery Model (KiBaM), e um modelo elétrico, denominado modelo para Predizer Runtime e Características V-I (cf. Figura 2.5). Desta hibridização de modelos, destacam-se as qualidades particulares: (i) o modelo elétrico é capaz de capturar as características dinâmicas da bateria e a resposta de tensão com boa precisão; e, (ii) o modelo analítico tem a capacidade de capturar os efeitos não lineares da bateria efeito de recuperação e efeito da taxa de capacidade [13, 30]. Alguns estudos recentes, propostos por Duarte [13] e Fransozi [17], apontam que a precisão desta categoria de modelos, em relação a predição do tempo de vida de baterias, apresenta erro médio menor que 5%. 2.7 Resumo do Capítulo Neste capítulo inicialmente é apresentada uma revisão bibliográfica referente a baterias utilizadas em dispositivos móveis, suas propriedades e principais características não

35 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 23 Figura 2.5: Esquema do modelo híbrido proposto por Kim [27]. lineares, tais como o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade, presentes no processo de descarga. Em seguida, são abordados os principais modelos matemáticos de baterias, referenciados na literatura técnica, tais como, os modelos eletroquímicos [11, 20, 24], elétricos [21, 24], estocásticos [9, 24], analíticos [24, 43, 45], via Identificação de Sistemas [30, 46] e, híbridos [13, 17, 27], com suas peculiaridades e especificidades. No próximo capítulo são descritos a Lei de Peukert, o modelo KiBaM e, o Modelo RV, em função de comporem o conjunto de modelos analíticos aplicados nesta dissertação. Posteriormente, são apresentadas as proposições deste trabalho, com as equações, desdobramentos algébricos, extensões e proposições metodológicas aos modelos estudos, que são também utilizados para a predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, usadas em dispositivos móveis.

36 Capítulo 3 Modelagem Matemática 3.1 Introdução A modelagem matemática consiste na representação matemática de um sistema, utilizando como base o levantamento e interpretação de dados e observações de um sistema real, ou de um sistema experimental. A utilização de modelos possibilitam tomadas de decisões, explicações e interpretações dos fenômenos estudados, fornecendo a previsão de situações futuras ou passadas. Neste capítulo são apresentados três modelos analíticos: a Lei de Peukert [40]; o modelo KiBaM [31]; e, o modelo RV [43,45]. Buscando o entendimento dos modelos em sua totalidade, inicialmente, são descritos os modelos originais, em seguida, são apresentadas as equações e o desdobramento algébrico das extensões, proposições e metodologias alternativas aos modelos estudados. Este capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2 são detalhados os modelos utilizados como base neste trabalho. Na Seção 3.3 é realizada a descrição das extensões e proposições aos modelos exarados na Seção 3.2, utilizados nesta dissertação. Na Seção 3.4 é apresentado um resumo do capítulo. 3.2 Modelos Matemáticos Nesta seção são descritos três modelos analíticos tradicionais: a Lei de Peukert, o modelo KiBaM e, o modelo RV. Tais modelos compõem o conjunto de modelos analíticos aplicados nesta dissertação para a predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, usadas em dispositivos móveis. 24

37 Capítulo 3. Modelagem Matemática Lei de Peukert De aspecto empírico, a Lei de Peukert, proposta pelo engenheiro alemão Wilhelm Peukert em 1897, descreve a relação que existe entre a vida útil e a taxa de descarga da bateria, considerando apenas o efeito da taxa de capacidade [40]; contudo, não considera, um importante efeito não linear, presente na descarga, que é o efeito de recuperação [49]. De acordo com a Lei de Peukert, o tempo de vida (L > 0) de uma bateria pode ser aproximado pela expressão L = a I, (3.1) b onde: I > 0 é a corrente de descarga e, a e b são parâmetros que dependem do tipo de bateria utilizado e, são estimados a partir de dados experimentais. Em uma bateria ideal, a teria que ser igual a capacidade da bateria e, b seria igual a 1. Na prática, a tem um valor próximo da capacidade da bateria, e b é um número superior a 1 [49]. O modelo descrito pela equação (3.1) é utilizado na predição do tempo de vida de baterias, submetidas ao processo de descargas com correntes constantes. Porém, conforme Rakhmatov e Vrudhula [43, 45], uma generalização da Lei de Peukert para correntes variáveis pode ser obtida, substituindo a corrente de descarga I pela média ponderada das correntes ao longo do tempo (t 0 t k t n ), como segue L = a [ n k=1 I k 1(t k t k 1 ) ] b, (3.2) onde: I k é o valor da corrente de descarga e, a e b são os parâmetros estimados para o modelo da equação (3.1). Neste caso, para n = 1 a equação (3.2) se reduz a equação (3.1), que é o modelo original da Lei de Peukert [43, 45]. L Modelo KiBaM O modelo KiBaM (i.e., Kinetic Battery Model), foi desenvolvido com a finalidade de modelar os processos químicos de baterias de chumbo-ácido, utilizando a cinética. Este modelo considera a carga da bateria distribuída em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada (cf. Figura 3.1). Observa-se que uma fração c da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1 c na fonte de carga limitada. A fonte de carga disponível fornece elétrons diretamente a corrente i(t), enquanto a fonte de carga limitada disponibiliza elétrons somente a fonte de carga disponível. O parâmetro k é a razão de fluxo de carga entre as fontes [17, 31]. Neste modelo, a carga disponível da bateria diminui quando é aplicada uma corrente de descarga, isto é, são liberados elétrons para o sistema, e com isso a diferença das

38 Capítulo 3. Modelagem Matemática 26 Figura 3.1: Ilustração do modelo KiBaM [31]. altura h 1 (t) e h 2 (t) aumenta. Porém, quando a corrente de descarga é nula, a carga da fonte limitada flui para a fonte de carga disponível até que as alturas h 1 (t) e h 2 (t) sejam novamente iguais, fazendo com que o sistema tenha mais carga disponível. Este processo é conhecido por efeito de recuperação. O efeito da taxa de capacidade também é considerado neste modelo, pois, a partir de uma corrente de descarga alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, refletindo em um tempo menor para a carga da fonte limitada fluir para a disponível, sendo reduzida assim a capacidade da bateria [24, 25]. Neste sistema a bateria é considerada descarregada quando y 1 = 0. A variação de carga em ambas as fontes é dada pelo sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), dado por dy 1 dt = i(t) + k(h 2(t) h 1 (t)) dy 2 dt = k(h 2(t) h 1 (t)), (3.3) (3.4) onde: i(t) é a corrente de descarga. Por conseguinte, tem-se que as alturas das duas fontes são representadas pelas equações e h 1 (t) = y 1(t) c (3.5) h 2 (t) = y 2(t) 1 c, (3.6) onde: h 1 e h 2 são, respectivamente, a altura da fonte de carga disponível e limitada, y 1 (t) e y 2 (t) são as quantidades de carga em cada fonte. E, por simplificação algébrica, uma taxa constante k é definida como

39 Capítulo 3. Modelagem Matemática 27 k = k c(1 c) (3.7) Conforme sugerem Manwell e McGowan [31], para resolução do modelo KiBaM, a partir de correntes de descargas constantes (i.e., i(t) = I), inicialmente, substitui-se as equações (3.5), (3.6) e (3.7) nas equações (3.3) e (3.4), obtendo-se o seguinte sistema de EDOs: dy 1 dt = I k (1 c)y 1 + k cy 2 dy 2 dt = k (1 c)y 1 k cy 2. (3.8) (3.9) Aplicando-se, então, o método da Transformada de Laplace e suas definições [52], nas equações (3.8) e (3.9), obtendo-se após manipulações matemáticas e onde: y 1 (t) = y 1 (0)e k t + (y 0k c I)(1 e k t ) k Ic(k t 1 + e k t ) k (3.10) y 2 (t) = y 2 (0)e k t + y 0 (1 c)(1 e k t ) I(1 c)[k t 1 + e k t ] k, (3.11) y 1 (0) = cc (3.12) e y 2 (0) = (1 c)c (3.13) são, respectivamente, a quantidade de carga disponível e limitada em t = 0 (i.e., condições iniciais) e, y 0 = C é a capacidade total inicial da bateria [17] Modelo RV O modelo RV descreve o processo de difusão de espécies eletroativas com base nas Leis de Fick [10]. Para isso, considera-se a evolução e a concentração dos materiais ativos na bateria durante o processo de descarga, modelando-a como um processo de difusão unidimensional em uma região finita [5]. Matematicamente, o modelo é expresso por meio de duas EDPs, dadas por C(x, t) J(x, t) = D x (3.14)

40 Capítulo 3. Modelagem Matemática 28 e C(x, t) t = D 2 C(x, t) x 2, (3.15) onde: J(x, t) é o fluxo das espécies eletroativas em função da distância x [0, w] do eletrodo e do tempo t [0, L], D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies. Figura 3.2: Concentração inicial de espécies no eletrodo [47]. Para uma bateria completamente carregada (cf. Figura 3.2), a concentração de espécies é constante através do comprimento do eletrólito, disso decorre a condição inicial onde: C é a concentração inicial de espécies. C(x, 0) = C, (3.16) Conforme a Lei de Faraday [14], o fluxo em uma extremidade do eletrodo é proporcional à corrente de descarga, e na outra é nulo. Assim, para descarga de uma corrente i(t) e tempo 0 < t <, temos como condições de fronteira e C(x, t) x C(x, t) x = x=0 i(t) vf AD (3.17) = 0, (3.18) x=w onde: A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday 1 e v é o número de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo. Aplicando-se o método da Transformada de Laplace e suas definições [52] e, utilizando a condição inicial e as condições de contorno, tem-se uma solução analítica para o sistema de EDPs [43, 45], dada por 1 A constante de Faraday é uma constante física fundamental que representa a carga molar elementar. Atualmente, o Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST) recomenda para a constante de Faraday o valor de 96485,33289 C mol 1 [14, 35].

41 Capítulo 3. Modelagem Matemática 29 C(0, t) = C 1 vf A πd t 0 i(τ) t τ n= Dividindo esta equação pela condição inicial C e considerando ρ(t) = 1 e w2 n 2 D(t τ) dτ. (3.19) C(0, t) C, (3.20) a fração de decaimento da concentração de espécies eletroativas na fronteira x = 0, a equação (3.19) torna-se Considerando ρ(t) = 1 vf A πdc t 0 β = i(τ) t τ [1 + 2 n=1 e w2 n 2 D(t τ) ]dτ. (3.21) w D (3.22) o parâmetro que está relacionado ao comportamento não linear da bateria e, α = vf A πdc ρ(l) (3.23) o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria, sendo t = L o tempo de vida da bateria, a partir da equação (3.21) obtém-se a expressão geral que relaciona o tempo de vida L da bateria, dada por α = L 0 i(τ) L τ dτ + 2 n=1 L e, para i(t) = I, conforme Rakhmatov e Vrudhula [43], tem-se que α = 2I L m=1 e β2 m 2 L 0 i(τ) L τ e β2 n 2 (L τ) dτ. (3.24) π 1 + πe β2 m 2 L 1 + π L β 2 m 2 onde: α e β são parâmetros estimados, a partir de dados experimentais. (3.25) 3.3 Extensões aos Modelos Analíticos Tradicionais Nesta seção são apresentadas extensões propostas, neste trabalho, aos modelos analíticos tradicionais, já descritos na Seção 3.2. Em um primeiro momento, é descrita a proposição de melhoria ao modelo baseado na Lei de Peukert, através da minimização funcional por comparação de derivadas. Em seguida, são descritas metodologias alternativas de resolução analítica: uma ao modelo KiBaM, utilizando o método de Variação de

42 Capítulo 3. Modelagem Matemática 30 Parâmetros, e outra ao modelo RV, utilizando o método de Fourier (i.e., Separação de Variáveis) Extensão à Lei de Peukert O modelo original da Lei de Peukert (cf. Seção 3.2.1), se comparado a outros modelos analíticos mais complexos e.g., o Modelo RV apresenta um erro médio de, aproximadamente, 2% para descargas com correntes constantes e, 8% para descargas com correntes variáveis [43]. Entretanto, utilizando a minimização funcional por comparação das derivadas de 1 a e 2 a ordem da equação (3.1), em relação ao tempo, é possível estabelecer uma relação funcional f : I L, de tal modo que o erro médio seja reduzido. Da equação (3.1), evidenciando I à esquerda, I = ( a L)1 b. (3.26) Calculando a derivada de 1 a ordem da equação (3.26), em função do tempo (L), di dl = ( a L)1 b e, substituindo a equação (3.26) na equação (3.27), obtém-se bl (3.27) L di dl I b = 0. (3.28) De modo análogo, calculando a derivada de 2 a ordem da equação (3.26), em função do tempo (L), d 2 I dl 2 = e, substituindo a equação (3.26) na equação (3.29), obtém-se ( a L)1 b (b + 1) b 2 L 2 (3.29) L 2 d2 I I(b + 1) = 0. (3.30) dl2 b 2 Na sequência, comparando as equações (3.28) e (3.30), vem L 2 d2 I dl + L di 2 dl I = 0, (3.31) b2 que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), 2 a ordem, de Euler-Cauchy [15]. Como L > 0, obtém-se a solução fazendo I = L r di dl = rlr 1 d2 I dl 2 = r(r 1)Lr 2 (3.32)

43 Capítulo 3. Modelagem Matemática 31 e, substituindo a equação (3.32) na equação (3.31), obtém-se que é a equação característica da EDO (3.31), cuja solução é r 2 1 = 0, (3.33) b2 Assim, a solução geral da EDO (3.31) é dada por r = ± 1 b. (3.34) I = C 1 L 1 b + C2 L 1 b, (3.35) sendo que partindo da equação (3.35), isolando à esquerda L e, convenientemente, adotandose o sinal negativo para o termo sob a raiz quadrada, obtém-se a relação funcional, proposta neste trabalho, do modelo estendido a partir da Lei de Peukert ( ) b I I2 4C 1 C 2 L =, (3.36) 2C 1 onde: C 1, C 2 e b são parâmetros a determinar, a partir de um conjunto de dados experimentais. Para a generalização da Lei de Peukert cf. equação (3.2) foi realizada a substituição equivalente, ao longo do tempo (t 0 t k t n ), tal que [ n k=1 I I ] k 1(t k t k 1 ), (3.37) L adapta o modelo da equação (3.1) para descargas variáveis. De modo análogo, faz-se a substituição da equação (3.37) na equação (3.36); sendo assim, o modelo estendido da Lei de Peukert, para correntes variáveis, é descrito por L = [ n k=1 I k 1(t k t k 1 ) L ] [ n 2C 1 k=1 I k 1(t k t k 1 ) L ] 2 4C1 C 2 b, (3.38) onde: I k é o valor da corrente de descarga; e, C 1, C 2 e b são os mesmo parâmetros estimados para o modelo da equação (3.36). Além disso, para n = 1 a equação (3.38) se reduz a equação (3.36), que é o modelo estendido da Lei de Peukert proposto Modelo KiBaM via Método de Variação de Parâmetros Apresentada na Seção 3.2.2, a resolução original do modelo KiBaM é realizada utilizando as propriedades da Transformada de Laplace [13,17,31]. Entretanto, neste trabalho,

44 Capítulo 3. Modelagem Matemática 32 com o intuito de propor uma metodologia de solução alternativa, busca-se a resolução das equações do modelo, utilizando o método de Variação de Parâmetros [3]. A solução geral do sistema de EDOs do modelo KiBaM cf. equações (3.3) e (3.4), pelo método de Variação de Parâmetros, é inicialmente construída utilizando uma substituição de variáveis, a partir das equações (3.5) e (3.6), da seguinte forma: e h 1 (t) = y 1 c y 1 = ch 1 (t) dy 1 dt = cdh 1(t) dt (3.39) h 2 (t) = y 2 1 c y 2 = (1 c) h 2 (t) dy 2 dt = (1 c) dh 2(t). (3.40) dt Substituindo as equações (3.39) e (3.40), nas equações (3.3) e (3.4), obtém-se e dh 1 (t) dt = Ah 1 (t) + Ah 2 (t) 1 i(t) (3.41) c dh 2 (t) dt = Bh 1 (t) Bh 2 (t), (3.42) onde: A = k e B = k. c (1 c) Da equação (3.42), isolando h 1 (t) à esquerda e derivando uma vez em relação a t, tem-se que e h 1 (t) = 1 B dh 2 (t) dt + h 2 (t) (3.43) dh 1 (t) dt = 1 B d 2 h 2 (t) dt 2 + dh 2(t). (3.44) dt Substituindo as equações (3.43) e (3.44), na equação (3.41), obtém-se d 2 h 2 (t) dt 2 + (A + B) dh 2(t) dt A EDO descrita pela equação (3.45) tem como solução geral = (A + B)i(t). (3.45) h 2 (t) = φ (t) + δ (t) (3.46) onde φ (t) é a solução da equação homogênea, e δ(t) é a solução particular. Da equação (3.45), tem-se a EDO homogênea associada

45 Capítulo 3. Modelagem Matemática 33 d 2 h 2 (t) dt 2 cuja a equação característica é expressa por + (A + B) dh 2(t) dt = 0, (3.47) r 2 + (A + B) r = 0, (3.48) com raízes reais tais que r 1 = 0 e r 2 = (A + B). Logo, a solução homogênea φ(t) da EDO (3.45) é dada por φ (t) = C 1 + C 2 e (A+B)t, (3.49) onde: C1 e C2 são constantes reais arbitrárias a determinar. Para obter-se a solução particular da EDO (3.45), inicialmente, calcula-se o Wronskiano 2, a partir das soluções (e das derivadas das soluções) que compõem φ(t): W = det ( 1 e (A+B)t 0 (A + B)e (A+B)t ) W = (A + B)e (A+B)t. (3.50) Logo, (A + B) i (t) e (A+B)t u 1 = dt (A + B) e (A+B)t u 1 = i(t)dt (3.51) e u 2 = u 2 = (A + B) i (t) dt (A + B) e (A+B)t i (t) e (A+B)t dt. (3.52) Assim, a solução particular da EDO (3.45) é dada por 2 O Wronskiano é utilizado para determinar se um conjunto de funções diferenciáveis são linearmente dependentes ou independentes, em um dado intervalo. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em algum ponto do intervalo, as funções são linearmente independentes. Este conceito é muito útil em diversas situações - e.g., na verificação se duas funções que são soluções de uma EDO de segunda ordem são linearmente dependentes ou independentes.

46 Capítulo 3. Modelagem Matemática 34 δ (t) = u 1 + e (A+B)t u 2 δ (t) = i (t)dt + e (A+B)t i (t) e (A+B)t dt. (3.53) Substituindo as equações (3.49) e (3.53), na equação (3.46), obtemos a solução geral para h 2 (t): h 2 (t) = C 1 + C 2 e (A+B)t i (t)dt + e (A+B)t i (t) e (A+B)t dt. (3.54) Derivando a equação (3.54), em relação a t, obtém-se dh 2 (t) dt = C 2 (A + B) e (A+B)t (A + B) e (A+B)t i (t) e (A+B)t dt. (3.55) Substituindo as equações (3.54) e (3.55), na equação (3.43) obtemos a solução geral para h 1 (t), dada por h 1 (t) = C 1 i (t)dt A B ( i (t) e (A+B)t dt + C 2 ) e (A+B)t. (3.56) Para y 1, tem-se, substituindo a equação (3.56) na equação (3.39) y 1 = cc 1 c ( i (t)dt (1 c) e, para y 2, tem-se, substituindo a equação (3.54) na equação (3.40) i (t) e (A+B)t dt + C 2 ) e (A+B)t, (3.57) ( y 2 = (1 c) C 1 + C 2 e (A+B)t i (t)dt + e (A+B)t ) i (t) e (A+B)t dt, (3.58) Como descrito na Seção 3.2.2, sabe-se que para o modelo KiBaM a bateria é considerada descarregada quando y 1 = 0 [31]. Portanto, da equação (3.57), para i(t) = I (i.e., corrente de descarga constante) e, fazendo A + B = S, vem a expressão ( ) I y 1 = cc 1 cit (1 c) S est + C 2 e St, (3.59) onde: C1, C2, c e S são parâmetros a serem estimados, a partir de dados experimentais; e, dada uma corrente constante I, busca-se o menor valor de t > 0 (i.e., tempo de vida) para que y 1 = 0.

47 Capítulo 3. Modelagem Matemática Modelo RV via Método de Fourier Como descrita na Seção 3.2.3, a solução do conjunto de equações (3.14) a (3.18) do modelo RV são obtidas aplicando a Transformada de Laplace [17, 24, 38, 43, 49]. Contudo, no intuito de determinar todos os parâmetros iniciais presentes nas equações deste modelo, busca-se encontrar neste trabalho uma solução que, por hipótese, possa ser escrita como C(x, t) = H(x, t) + V (x, t), (3.60) onde: H(x, t) é uma solução particular do sistema, obtida por Tentativa Criteriosa, e V (x, t) é a solução homogênea, obtida analiticamente pelo método de Fourier (i.e., Separação de Variáveis) [3, 19, 22]. Considerando, pelo método de Tentativa Criteriosa [3, 4], que a função H(x, t) seja descrita pela expressão dada por H (x, t) = ax 2 + bx + ct, (3.61) obtém-se, a partir da condição de fronteira (3.17), que H(x, t) x = x=0 C(x, t) x e, da condição de fronteira (3.18), que H(x, t) x = x=w C(x, t) x 2a (0) + b = x=0 i(t) vf AD b = i(t) vf AD 2a (w) + b = 0 a = i(t) 2wvF AD x=w (3.62) (3.63) e, da equação (3.15), que H (x, t) t = D 2 H (x, t) x 2 c = 2Da c = i(t) wvf A. (3.64) Substituindo (3.61) em (3.15), (3.16), (3.17) e (3.18), com desdobramento algébrico elementar, obtém-se facilmente EDP do problema homogêneo dada por e, a condição inicial V (x, t) t = D 2 V (x, t) x 2 (3.65) e, ainda, as condições de fronteira homogêneas V (x, 0) = C H(x, 0) (3.66)

48 Capítulo 3. Modelagem Matemática 36 V (x, t) x = x=0 V (x, t) x = 0. (3.67) x=w Admitindo-se que a função V (x, t) seja dada por e, substituindo na equação (3.65), obtém-se V (x, t) = F (x) G(t) (3.68) Ġ (t) DG (t) = F (x) F (x) O problema espacial da equação (3.69) é aqui descrito por = σ. (3.69) com condições de fronteira F (x) σf (x) = 0, (3.70) F (0) = F (w) = 0. (3.71) Para σ 0, apenas soluções triviais sem interesse da equação (3.70). σ < 0, considerando que λ = σ, a solução é dada por Contudo, para F (x) = C 1 cos(λx) + C 2 sin(λx), (3.72) cuja derivada é F (x) = C 1 λcos (λx) + C 2 λsin(λx). (3.73) Substituindo as condições de fronteira (3.71) na equação (3.73), obtém-se e F (0) = 0 C 2 λ = 0 C 2 = 0 (3.74) F (w) = 0 C 1 λsin (λw) = 0 sin(λw) = 0. (3.75) Admitindo-se C 1 0, para evitar a solução trivial, a identidade na equação (3.75) só será verificada para λ = nπ, n = {1, 2, 3, }. (3.76) w Assim, todas as autofunções do autovalor λ são expressas por

49 Capítulo 3. Modelagem Matemática 37 ( nπ ) F n (x) = cos w x, n = {1, 2, 3, }. (3.77) O problema temporal da equação (3.69) é dado por Ġ (t) σg (t) = 0. (3.78) Aplicando a integração, como solução da equação (3.78) encontra-se onde: G n (t) = K n e σdt, (3.79) Logo, σ = λ 2 = n2 π 2, n = {1, 2, 3, }. (3.80) w2 G n (t) = K n e n2 π 2 D w 2 t, n = {1, 2, 3, }. (3.81) A solução geral da EDP (3.65) é dada por V (x, t) = 1 2 K 0 + n=1 onde: K 0 e K n são coeficientes de Fourier. O coeficiente K 0 é obtido a partir da integral definida ( K n e n2 π 2 D nπ ) w 2 t cos w x, (3.82) logo, K 0 = 2 w w 0 V (x, 0)dx, (3.83) K 0 = 2 (C a3 w2 b2 ) w. (3.84) O coeficiente K n é determinado pela integral definida logo, K n = 2 w w 0 ( nπ ) V (x, 0) cos w x dx, (3.85) K n = 2C w w ( nπ cos ) 0 w x dx }{{} I 1 2a w w ( nπ x 2 cos ) 0 w x dx }{{} I 2 2b w w ( nπ ) xcos 0 w x dx. (3.86) }{{} I 3

50 Capítulo 3. Modelagem Matemática 38 Da equação (3.86), resolvendo a integral I 1 : e a integral I 2 : e a integral I 3 : w 0 w 0 ( nπ ) cos w x dx = 0; (3.87) ( nπ ) x 2 cos w x dx = 2w3 n 2 π 2 ( 1)n ; (3.88) w 0 ( nπ ) xcos w x dx = w2 n 2 π 2 (( 1)n 1). (3.89) Efetuando, então, a substituição das equações (3.87), (3.88) e (3.89) na equação geral (3.86) de K n, obtém-se K n = 4aw2 n 2 π 2 ( 1)n 2bw n 2 π 2 (( 1)n 1). (3.90) Das equações (3.61) e (3.82), substituídas na equação (3.60), para i(t) = I, tem-se que a solução do conjunto de equações (3.14) a (3.18) do modelo RV é, portanto, C (x, t) = ax 2 + bx + ct K 0 + n=1 ( K n e n2 π 2 D nπ ) w 2 t cos w x, (3.91) que descreve a concentração de espécies eletroativas, em função do comprimento x do eletrólito e do tempo t; e, por conseguinte, J (x, t) = 2Dax Db + n=1 K n Dnπ w ( e n2 π 2 D nπ ) w 2 t sin w x, (3.92) que descreve a fluxo de espécies eletroativas, também, em função do comprimento x do eletrólito e do tempo t. Desenvolvendo a equação (3.91), tem-se, para x = 0, que C (0, t) = I wvf A t + C I 3vF AD + 2Iw vf ADπ 2 n=1 1 n 2 π 2 D n 2 e w 2 t, (3.93) onde: F é a constante de Faraday, I é a corrente de descarga e, A, C, D, v e w são parâmetros do modelo RV, a serem determinados a partir de dados experimentais. 3.4 Resumo do Capítulo A predição do tempo de vida de baterias, empregando a modelagem matemática, permite descrever o processo de descarga das mesmas a partir da simulação de sistemas

51 Capítulo 3. Modelagem Matemática 39 semelhantes ao real. Ao longo dos anos, diferentes modelos de baterias são desenvolvidos. Dentre eles, encontram-se os modelos analíticos, que descrevem a bateria de uma forma abstrata, sendo computacionalmente eficientes e flexíveis, requerendo avaliação de expressões analíticas, que podem ser configuradas para diferentes tipos de baterias. Neste trabalho, optou-se pelo estudo, aplicação e proposição de extensões e metodologias para três modelos que pertencem a esta categoria. O primeiro modelo, denominado de Lei de Peukert, proposta pelo engenheiro alemão Wilhelm Peukert em 1897, descreve a relação que existe entre a vida útil e a taxa de descarga da bateria, considerando apenas o efeito da taxa de capacidade. A escolha pela Lei de Peukert justifica-se pelo fato por se tratar de um dos modelos mais simples (dentre os modelos analíticos), de fácil compreensão e implementação computacional. No entanto, neste trabalho, visando melhorar sua acurácia é proposta uma extensão utilizando o conceito de minimização funcional por comparação de derivadas. A implementação computacional do modelo original e de sua extensão é feita no MatLab, através de arquivos formato M-file (cf. Apêndice A e B), tanto para correntes constantes, quanto variáveis. O segundo modelo, denominado de modelo KiBaM, que foi desenvolvido com a finalidade de modelar os processos químicos de baterias de chumbo-ácido, utilizando a cinética, possui o diferencial de capturar os efeitos não lineares, tais como, o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade do processo de descarga. Neste trabalho, o modelo é adaptado para baterias de Li-Po e, também, recebe uma proposição de resolução alternativa pelo método de Variação de Parâmetros. Para a simulação, os modelos são implementados na ferramenta computacional MatLab, através de arquivos formato M-file (cf. Apêndice C e D), utilizando somente correntes de descarga constantes. O terceiro modelo, denominado de modelo RV, que descreve o processo de difusão de espécies eletroativas com base nas Leis de Fick, é utilizado neste trabalho por ser um modelo de alta acurácia, conforme consta na literatura técnica [24, 25, 43, 45]. Além da resolução original do modelo RV, propõe-se um solução alternativa utilizando o método de Fourier (i.e., Separação de Variáveis), no intuito de melhorar a acurácia do modelo. Para a simulação, os modelos são implementados na ferramenta computacional MatLab, através de arquivos formato M-file (cf. Apêndice E e F), utilizando somente correntes de descarga constantes. No próximo capítulo é apresentada a metodologia utilizada na estimação dos parâmetros dos modelos.

52 Capítulo 4 Estimação dos Parâmetros dos Modelos 4.1 Introdução Na descrição dos modelos analíticos apresentados no capítulo anterior, observa-se que os mesmos possuem parâmetros empíricos que precisam ser estimados. O processo de estimação de parâmetros de um modelo matemático ocorre a partir do conhecimento de um conjunto de dados experimentais e da definição de uma metodologia para a estimação dos parâmetros. Neste capítulo, primeiramente, é apresentada uma descrição da plataforma de testes na qual é realizado o descarregamento das baterias de Li-Po. Em seguida, descrevese a metodologia adotada para a coleta dos dados experimentais e apresenta-se os dados obtidos nos processos de descarga das baterias. Destaca-se que os resultados experimentais são divididos em dois conjuntos, o primeiro é utilizado para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos, e o segundo para a simulação e validação dos modelos. Por fim, é realizada estimação dos parâmetros dos modelos considerando a aplicação do método do Mínimos Quadrados (MQ). Este capítulo está dividido como segue. Na Seção 4.2 é realizada a descrição da plataforma de testes utilizada nos ensaios experimentais. Na Seção 4.3 é apresentada a metodologia adotada para a obtenção dos dados experimentais, e por fim os dados obtidos são apresentados. Na Seção 4.4 é apresentada a metodologia utilizada para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos. Na seção 4.5 é apresentado um resumo do capítulo. 4.2 Descrição da Plataforma de Testes Os ensaios experimentais são realizados em uma plataforma de testes (cf. Figura 4.1) desenvolvida pelo Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), no Laboratório de Sensores Inteligentes (LSI), localizado no Departamento de Ciências Exatas e Engenharias 40

53 Capítulo 4. Estimação dos Parâmetros dos Modelos 41 (DCEEng) da Unijuí. A plataforma, responsável pelo descarregamento das baterias de Li-Po, é constituída por três partes básicas: (i) sistema de controle (i.e., software), (ii) hardware e, (iii) baterias. A interface de gerenciamento da plataforma permite uma rápida configuração para a realização dos experimentos e possibilita realizar até quatro descargas simultâneas, armazenando as informações para cada descarga em arquivos separados, facilitando a consulta aos dados [5, 17]. Figura 4.1: Plataforma de testes [17]. O software, desenvolvido em C++, possui uma interface intuitiva para a informação dos parâmetros das baterias, sendo responsável pelo envio das configurações do tipo de descarga ao hardware, tornando possível a obtenção dos resultados gerados pelos testes. Após o preenchimento de dados (i.e., valor da corrente e tipo de descarga) na interface, o software administra o controle da descarga a qual as baterias são submetidas. Além disso, a plataforma possui recursos de proteção no caso de eventual problemas no sistema e, também, possibilita salvar as imagens dos gráficos em bitmap e os relatórios em formato texto. Destaca-se que durante um experimento, em caso de falhas na comunicação serial entre o hardware e o software, ou quando a curva de tensão da bateria simulada pela plataforma atingir o nível de cutoff configurado no software, a plataforma para de operar imediatamente [13, 30]. O hardware realiza a comunicação com o computador e a administração dos módulos