Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias Utilizando a Teoria de Identicação de Sistemas. Leugim Corteze Romio

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1 Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias Utilizando a Teoria de Identicação de Sistemas Leugim Corteze Romio Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - Unijuí - como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática. Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientador(a) Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Co-Orientador Ijuí, RS, Brasil c Leugim Corteze Romio, Março, 2013

2 Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias Utilizando a Teoria de Identicação de Sistemas Leugim Corteze Romio Dissertação de Mestrado apresentada em Março, 2013 Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientador(a) Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Co-Orientador Manuel Martín Pérez Reimbold, Dsc. Componente da Banca Pedro Augusto Pereira Borges, Dsc. Componente da Banca Ijuí, RS, Brasil, Março, 2013 ii

3 ... "Hoje me sinto mais forte," "Mais feliz, quem sabe" "Só levo a certeza" "De que muito pouco sei," "Ou nada sei"... Almir Sater - Tocando em Frente. iii

4 Agradecimentos A Deus, ser Supremo, ao qual devo a vida. A minha esposa Arlita, pela compreensão nos momentos de anseio e ausência, e pelas palavras de incentivo. Aos demais familiares, pelo incentivo e carinho. Aos amigos, que de alguma maneira me ajudaram a passar pelos momentos difíceis, com conversas e descontração. Aos meus professores orientadores, Airam e Paulo, pelos valiosos ensinamentos e conselhos, pela paciência e dedicação que sempre dedicaram a mim. Vocês são para mim, mais que professores, mais que orientadores, são amigos os quais sempre levarei no coração. Aos demais professores do Mestrado, pelos ensinamentos e amizade. Aos colegas de turma, pela amizade e companheirismo em todos os momentos. À Sra. Geni, pela atenção e disposição que sempre me atendeu. À UNIJUÍ, pela estrutura física oferecida. À CAPES, pelo apoio nanceiro recebido, o qual possibilitou a realização desta pesquisa. iv

5 Resumo Nas últimas décadas, a utilização de dispositivos móveis tem aumentado signicativamente devido a sua principal característica, a mobilidade, que é obtida com o auxílio de uma fonte de energia denominada bateria. No projeto de dispositivos portáteis, o tempo de vida das baterias é considerado uma das características mais importantes, pois informa a quantidade de tempo que o dispositivo permanecerá operacional sem a necessidade de ligá-lo a uma fonte de alimentação externa. Neste contexto, é importante possuir algum método capaz de predizer o tempo de vida das baterias e, consequentemente, do sistema alimentado por elas. Neste trabalho é apresentado o desenvolvimento de um modelo matemático que realiza a predição do tempo de vida de baterias, utilizadas em dispositivos móveis, através da teoria de Identicação de Sistemas. Para a realização da modelagem foram utilizados dados experimentais coletados de uma plataforma de testes considerando uma bateria de Lithium-Ion, modelo BL-5F, presente em telefones celulares Nokia modelo N95. Os modelos foram implementandos computacionalmente no software Matlab com o auxílio da caixa de ferramentas denominada Ident. O modelo identicado pertence a estrutura de modelos paramétricos lineares e é do tipo Auto-Regressivo com entradas externas (ARX) em tempo discreto. Em um segundo momento este modelo ARX em tempo discreto é convertido para tempo contínuo utilizando o discretizador Tustin. Por m, os modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo são comparados com o modelo de Rakhmatov e Vrudhula, que é o modelo analítico de alta acurácia encontrado na literatura para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. A partir dos resultados das simulações constatou-se que o modelo ARX, em tempo discreto, é o mais acurado, quando comparado com o modelo de Rakhmatov-Vrudhula, apresentando um erro médio de 3, 39%... Palavras-Chave: Baterias, Identicação de Sistemas, Modelagem Matemática. v

6 Abstract In recent decades, the utilization of mobile devices has increased signicantly due to its main feature, mobility, which is obtained with the aid of an energy source that is denominated battery. In the design of mobile devices the batteries lifetime is considered one of the most important features, because it provides the amount of time that the device remains operational without the need to connect it to an external power supply. In this context, it is important to have some method to predict the batteries lifetime and thus the system is powered by them. This work presents the development in order to obtain a mathematical model to predict of the batteries lifetime used in mobile devices by using the theory of Identication Systems. The mathematical modeling is performed to using the experimental data collected from a test platform considering a Lithion-Ion battery, trade mark Nokia, model BL-5F, that is used in cell phones N95. The implementation of the models was performed in software Matlab with the help of the toolbox denominated Ident. The model obtained belongs to structure of the linear parametric models, it is an Auto- Regressive with external inputs (ARX) model in discrete time. In the second moment this model ARX in discrete time is converted to continuous time using the discretizador Tustin. Finally, the ARX model in discrete time and in continuous time are compared with the model Rakhmatov Vrudhula that is the analytical model most accurate of the literature to predict the batteries lifetime used on mobile devices. Simulation results shows that the ARX model in discrete time is more accurated with average error equal to 3, 39%... Keywords: Batteries, System Identication, Mathematical Modeling. vi

7 Lista de Símbolos α - Parâmetro que representa a capacidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov- Vrudhula. β - Parâmetro que representa a não-linearidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula. ρ(t) - Fração de decaimento da concentração de espécies elétroativas. θ - Vetor que contém os parâmetros do modelo. φ(t) - Vetor que contém os dados experimentais. A(q), B(q), C(q), D(q) e F (q) - Polinômios arbitrários. A - Área da superfície do eletrodo. a - Parâmetro relacionado ao tipo de bateria da Lei de Peukert. a 0 - Probabilidade de recuperação de uma unidade de carga. a 1 - Probabilidade de uma unidade de carga ser consumida. a 1,..., a n - Parâmetros. b - Parâmetro relacionado ao tipo de bateria da Lei de Peukert. b 1,..., b n - Parâmetros. C - Capacidade da bateria. vii

8 c - Fração da capacidade da bateria. C - Capacidade da bateria no início da operação do modelo analítico linear. C(x, t) - Função concentração de espécies eletroativas do modelo analítico de Rakhmatov- Vrudhula. D - Constante de difusão. e(k) - Erro do modelo. E(s) - Função de Transferência de e(t) no domínio de Laplace. E(z) - Função de Transferência de e(t) no domímio Z. F - Constante de Faraday. f - Função do número de unidades de carga que foram consumidas. G - Ganho obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante. H(q) - Função de Transferência do sistema. h 1 - Altura da fonte de carga disponível do modelo analítico Cinético. h 2 - Altura da fonte de carga limitada do modelo analítico Cinético. I - Corrente constante de descarga. I k - Corrente, onde k = 0,..., n, e k N. I k 1 - Corrente, onde k = 0,..., n, e k N. i - Nível da discretização da fonte de carga disponível. i(t) - Corrente de descarga. viii

9 j - Nível da discretização da fonte de carga limitada. J(x, t) - Fluxo de espécies eletroativas. k - Parâmetro relacionado ao tipo de bateria do modelo analítico Cinético. L - Tempo de vida da bateria. M - Número de unidades de carga. m - Número médio de pacotes transmitidos. N - Número de unidades de carga disponíveis. N Estados da Cadeia de Markov. p j (f) - Probabilidade de recuperação de unidades de carga. p nr - Probabilidade de não ocorrer a recuperação. p r - Probabilidade de recuperação de Q unidades de carga. Q - Quantidade de unidades de carga. q - Unidade de carga consumida (modelos estocásticos). q - Operador de atraso (Identicação de Sistemas). q i - Probabilidade de i unidades de carga serem solicitadas. q n - Operador de atraso, tal que y(k)q 1 = y(k 1), onde n = 1, 2, 3,... RX - Operação de recepção de um nó sensor. r j (f) - Probabilidade de permanecer no mesmo estado. ix

10 T - Número de unidades de carga. t - Duração da corrente inativa. T s - Intervalo de amostragem. T X - Operação de transmissão de um nó sensor. t d - Tempo de duração da corrente de descarga do modelo analítico linear. t k - Tempo, onde k = 0,..., n, e k N. U(t) - Função degrau. u(t) - Dados experimentais de entrada. v - Número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica. v(k) - Ruído branco. V N - Função que relaciona os dados experimentais e os parâmetros do modelo. w - Comprimento do eletrólito da bateria. y(t) - Dados experimentais de saída. y 1 - Quantidade de carga da fonte disponível. y 2 - Quantidade de carga da fonte limitada. y 1,0 - Quantidade de carga disponível em t = 0. y 2,0 - Quantidade de carga limitada em t = 0. Z N 1 t N. - Conjunto das entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo, onde x

11 Lista de Tabelas 5.1 Dados utilizados para estimação dos parâmetros das estruturas de modelos Dados utilizados para validação dos modelos Resultados dos modelos Validação dos modelos contínuos Parâmetros do modelo RV Validação do modelo RV Análise comparativa entre os modelos ARX e o modelo RV

12 Lista de Figuras 2.1 Esquema de uma célula eletroquímica [1] Efeito de recuperação [1] Diferentes estados de operação da bateria [2, 3] Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de bateria [3, 4] Esquema básico funcional para todos os tipos de células modeladas [1, 3] Modelo de bateria básico, utilizando uma cadeia de Markov por Chiaserini e Rao, [1, 3] Modelo cinético com distribuição em duas fontes, [5] Representação de uma carga variável através de uma função escada Representação de um sistema Diagrama de blocos do modelo ARX [6] Diagrama de blocos do modelo ARMAX [6] Diagrama de blocos do modelo ES [6] Diagrama esquemático do modelo BJ [6] Diagrama de blocos de um sistema discretizado [7] Diagrama de blocos de um sistema analógico [7] Sinal e(t), [7] Sinal e(t), aproximação por um segmento de reta, [7] Plataforma de testes Interface de gerenciamento da plataforma de testes Caixa de ferramentas Ident Curvas dos modelos identicados D.1 Ambiente de Trabalho do toolbox ident D.2 List-box contendo informações para importação de dados D.3 Ferramentas para importação de dados D.4 Ícones de representação dos dados importados

13 Lista de Figuras 2 D.5 Gráco gerado pela seleção da opção Time Plot D.6 Análise espectral dos dados importados D.7 Grácos gerados pela seleção de Frequence Domain D.8 Opções para manipulação dos dados importados D.9 Área de seleção do conjunto de dados utilizado para estimação D.10 List-box de estimação dos dados D.11 Lixeira D.12 Ícones criados após estimação D.13 Visualização de saída do modelo estimado D.14 Modelo Residual D.15 Resposta Transiente D.16 Resposta em Frequência dos modelos estimados D.17 Zeros e pólos dos modelos estimados D.18 Espectro Residual

14 Sumário 1 Apresentação da Dissertação Introdução Motivação Objetivos Objetivo Geral Objetivos Especícos Contribuições Estrutura do Documento Revisão Bibliográca Introdução Baterias Propriedades e Características Não-Lineares Tipos de Baterias Níquel-Cádmio (Ni-Cd) Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) Lithium-Ion (Li-Ion) Alcalina Recarregável Lithium-Ion Polímero Modelos de Baterias Modelos Eletroquímicos Modelos de Circuitos Elétricos Modelos Estocásticos Modelos Analíticos O Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula Introdução Equações do Modelo RV

15 Sumário 4 4 Identicação de Sistemas Introdução Conceitos Gerais Modelos Paramétricos Lineares Modelo ARX Modelo ARMAX Modelo Erro de Saída Modelo Box-Jenkins Etapas da Modelagem Matemática via Identicação de Sistemas Estimador de Mínimos Quadrados Discretizadores Discretizador Zero Order Hold Discretizador de Tustin Modelagem Matemática Introdução Obtenção dos Dados Experimentais Escolha da Estrutura de Modelos Estimação dos Parâmetros Caixa de Ferramenta Ident Modelo ARX Modelo ARMAX Modelo ES Modelo Box-Jenkins Validação dos Modelos Identicação da Melhor Estrutura Conversão do Discreto para o Contínuo do modelo ARX Conversão por ZOH Conversão por Tustin Análise Comparativa dos Modelos em Tempo Contínuo Análise Comparativa entre os Modelos ARX e o Modelo RV Introdução Validação do Modelo RV Análise Comparativa entre os Modelos Conclusões e Trabalhos Futuros 64 Referências Bibliogracas 67

16 Sumário 5 A Publicações Relacionadas a Dissertação 70 A.1 Artigos Publicados em Congressos A.2 Artigos Publicados em Periódico Nacional B Implementação em MatLab - Modelo ARX Discreto 71 C Conversão: Domínio (z) para Domínio de Laplace (s) 73 C.1 Conversão por ZOH C.2 Conversão por Tustin C.2.1 Função de Transferência da Relação Entrada/Saída C.2.2 Função de Transferência do Erro D Utilização do toolbox Ident 76

17 Capítulo 1 Apresentação da Dissertação 1.1 Introdução Nas últimas décadas, a tecnologia da informação e comunicação tem contribuído positivamente para o desenvolvimento da sociedade, em especial, devido ao crescimento de aparelhos portáteis, tais como, celulares, smartphones, tablets, entre outros. Uma das principais vantagens destes dispositivos é sua mobilidade, a qual pode ser obtida com o auxílio de uma fonte de energia, denominada bateria, que permite manter o aparelho operacional. Por outro lado, observa-se que as baterias sofrem restrições em relação ao seu tamanho e peso, consequentemente limitando a quantidade de energia disponível ao sistema. No projeto de dispositivos móveis o tempo de vida da bateria 1 é considerado uma das características mais importantes, pois informa o tempo que o dispositivo poderá ser utilizado sem a necessidade de ligá-lo a uma fonte externa. Destaca-se então a necessidade, por parte do fabricante, em desenvolver baterias que satisfaçam a limitação de peso e tamanho, bem como de maximizar o tempo de vida da bateria permitindo ao usuário do dispositivo portátil realizar suas atividades pelo maior tempo possível [8]. Sendo assim, é de vital importância possuir algum método capaz de predizer o tempo de vida da bateria e, por conseguinte, o comportamento do sistema, mantido por esta bateria, como um todo. Existem diferentes maneiras de realizar a predição do tempo de vida de baterias, uma delas é a experimentação física. No entanto, dependendo das características da aplicação, esta opção pode se tornar inviável do ponto de vista econômico. Outra forma, é utilizando modelos matemáticos que representem a descarga de energia do sistema. Diferentes modelos matemáticos de baterias foram desenvolvidos nos últimos anos, dentre 1 Tempo que a bateria demora para atingir um determinado nível de capacidade de carga (nível de cuto). Este parâmetro será melhor apresentado no Capítulo 2, Seção

18 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 eles podem ser citados: os analíticos [1, 5, 9], os estocásticos [1, 10], os elétricos [1, 8] e os eletroquímicos [1, 11], cada um com suas características e níveis de complexidade. Considerando a literatura técnica, foi encontrado que os modelos analíticos possuem um conjunto reduzido de equações e são considerados mais fáceis de implementar que os modelos estocásticos, elétricos e eletroquímicos [1], pois necessitam de um número menor de parâmetros. Em Oliveira [12] foi realizada uma análise comparativa entre três modelos analíticos da literatura, o modelo linear [1,5], a Lei de Peukert [1] e o modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula [1,9], a partir de agora denido como modelo RV, considerando pers de descarga constantes e variáveis no tempo, obtidos a partir de uma plataforma de testes [13] desenvolvida especialmente para a validação dos modelos. Nesta análise comparativa todos os modelos foram implementados na ferramenta computacional Matlab considerando os parâmetros de uma bateria de lithium-íon, modelo BL-5F, utilizada no telefone celular Nokia N95. Onde foi vericado que o modelo RV apresentou os resultados mais acurados, com erro médio de 5, 71% para cargas constantes, e erro médio de 6, 53% para cargas variáveis. O modelo RV é um modelo matemático físico que representa a descarga de uma bateria, sendo formado por um conjunto de Equações Diferencias Parciais (EDPs), com condições de fronteira de segunda espécie, e dois parâmetros empíricos que precisam ser estimados a partir de dados reais, o α, que representa a capacidade da bateria, e o β, que representa a não-linearidade da bateria, conforme descrito em Oliveira [12]. Na literatura técnica são encontradas duas abordagens para a modelagem matemática de sistemas dinâmicos: (i) a modelagem fundamentada pela física do processo; e (ii) a modelagem via Identicação de Sistemas. Na modelagem física quanto maior é a proximidade do modelo com a realidade, mais complexo será o modelo, isto signica um maior número de parâmetros e consequentemente uma maior diculdade, tanto na obtenção de dados a partir do modelo, quanto na interpretação destes dados. Uma alternativa para minimizar este problema é utilizar a teoria de Identicação de Sistemas que permite construir modelos matemáticos, mais simples, de sistemas dinâmicos a partir de dados obtidos de um sistema real, ou de uma planta experimental. Neste contexto, o objetivo principal deste trabalho é a obtenção de um modelo matemático acurado, com equações e implementação mais simples que o modelo RV [12]. Para tanto, será realizada a aplicação de estruturas de modelos matemáticos presentes na teoria de Identicação de Sistemas, uma vez que, além de ser uma forma prática de obtenção de modelos matemáticos a partir de dados experimentais, não foram encontrados na literatura técnica a formulação de modelos matemáticos de baterias, para predição do seu tempo de vida, utilizando tal teoria [6]. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 1.2 é apresentada a

19 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 motivação. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos geral e especícos. Na Seção 1.4 são apresentadas as contribuições. Na Seção 1.5 é apresentada a organização estrutural deste trabalho. 1.2 Motivação O número de dispositivos portáteis presentes no cotidiano das pessoas tem aumentado progressivamente nas últimas décadas, isto ocorre, principalmente, devido a sua mobilidade, uma vez que estes dispositivos permitem realizar diferentes atividades em qualquer local do planeta, dentre elas, comunicação entre pessoas, atividades prossionais, diversão/lazer, entre outras. Por este motivo os dispositivos portáteis têm sido considerados indispensáveis na sociedade atual. Neste contexto, este trabalho motiva-se, principalmente, pela busca em colaborar para o aprimoramento dos aparelhos, a partir do desenvolvimento de um modelo que consiga, de forma simples e rápida, apresentar o tempo operacional do dispositivo. A utilização e a mobilidade dos aparelhos móveis estão condicionadas a necessidade de uma fonte, denominada bateria, que permite mantê-los operacionais. Condicionadas, mais especicamente, ao tempo de vida desta bateria, ou seja, o tempo que ela permite manter o equipamento funcional sem a necessidade de recarga. Sendo assim, torna-se importante possuir algum método que permita prever o tempo de vida da bateria, para saber o período que o aparelho poderá ser utilizado. Uma das maneiras de prever este tempo é através da utilização de modelos matemáticos. Para isto, a modelagem matemática para predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis é desenvolvida neste trabalho via teoria de Identicação de Sistemas. Posteriormente, o modelo identicado será comparado com o modelo de difusão de Rakhmatov-Vrudhula considerado um dos modelos analíticos mais acurado presente na literatura técnica. 1.3 Objetivos Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para facilitar a compreensão os objetivos foram divididos em objetivo geral e objetivos especícos, os quais serão destacados a seguir Objetivo Geral Este trabalho tem como objetivo geral realizar a modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias utilizando estruturas de modelos encontradas na teoria de

20 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 Identicação de Sistemas considerando dados reais obtidos a partir de uma plataforma de testes, especialmente construída para esta nalidade Objetivos Especícos Para atingir o objetivo geral, os seguintes objetivos especícos foram determinados: Realizar a revisão bibliográca do estado da arte das propriedades e principais características das baterias, bem como dos diferentes modelos matemáticos encontrados na literatura técnica que descrevem a descarga de energia das baterais e, consequentemente do sistema por elas alimentado; Estudar as estruturas de modelos presentes na teoria de Identicação de Sistemas; Escolher as estruturas de modelos para a modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis; Obter dados experimentais do sistema a ser modelado a partir de uma plataforma de testes; Implementar, utilizando a ferramenta computacional MatLab, as estruturas de modelos denidas considerando dados coletados da plataforma de testes; Realizar a validação dos modelos encontrados; Identicar o modelo que descreve, de forma mais acurada, os dados reais obtidos a partir da plataforma de testes; Realizar a conversão do modelo identicado em tempo discreto para tempo contínuo considerando os discretizadores Zero Order Hold (ZOH) e Tustin; Comparar os modelos identicados em tempo discreto e em tempo contínuo com o modelo RV. 1.4 Contribuições Neste trabalho são introduzidas as contribuições para a realização da predição do tempo de vida de dispositivos móveis que são alimentados por baterias. Estas contribuições são apresentadas a seguir: Utilização de uma plataforma de testes, especialmente desenvolvida para simular o processo de descarga de uma bateria real, informando o tempo necessário para

21 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 10 que a bateria atinja seu nível de cuto, ou seja, a quantidade mínima de energia necessária para manter um dispositivo operacional; Utilização da teoria de Identicação de Sistemas para a realização da modelagem matemática para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis; Determinação do modelo ARX em tempo discreto e em tempo contínuo para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis; Análise comparativa do modelo ARX em tempo discreto e em tempo contínuo, com o modelo RV. 1.5 Estrutura do Documento Este trabalho está organizado com a seguinte estrutura: No Capítulo 2 é apresentada a revisão bibliográca deste trabalho. São abordadas as principais propriedades e características de uma bateria, os tipos de baterias mais utilizadas atualmente, assim como alguns modelos de descarga de baterias encontrados na literatura, visando uma melhor compreensão do contexto de baterias no qual este trabalho está inserido. No Capítulo 3 é apresentado o modelo RV, uma vez que este modelo, por ser considerado o modelo analítico mais acurado da literatura para predição do tempo de vida de baterias, será utilizado para comparação com os modelos matemáticos propostos via teoria de Identicação de Sistemas. No Capítulo 4 são apresentados os conceitos fundamentais da teoria de Identicação de Sistemas, que é principal referência para a construção dos modelos desenvolvidos neste trabalho. Também são apresentados neste capítulo o estimador dos Mínimos Quadrados (MQ), utilizado para estimação dos modelos identicados, bem como para estimação dos parâmetros do modelo RV; os discretizadores ZOH e Tustin, necessários para conversão do modelo identicado em tempo discreto para o tempo contínuo. No Capítulo 5 é apresentado o desenvolvimento para a construção de um modelo matemático através da teoria de Identicação de Sistemas para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. No Capítulo 6 realiza-se a comparação entre os modelos desenvolvidos neste trabalho, ou seja, os modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo com o modelo RV e a análise dos resultados. Por m, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões deste trabalho e as possibilidades de trabalhos futuros.

22 Capítulo 2 Revisão Bibliográca 2.1 Introdução Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográca do estado da arte sobre baterias utilizadas em dispositivos móveis. Inicialmente são descritas algumas propriedades e características não-lineares da bateria. Em seguida são elencados os principais tipos de baterias usados atualmente. E, por m, são descritos os principais modelos matemáticos da literatura técnica utilizados para a predição do tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis. Este capítulo está organizado conforme segue. Na Seção 2.2 são descritas as principais propriedades e características das baterias. Na Seção 2.3 são apresentados os principais tipos de baterias existentes na atualidade. Na Seção 2.4 são descritos os principais modelos de baterias encontrados na literatura técnica. 2.2 Baterias Nesta seção serão apresentadas informações referentes a bateria, suas propriedades bem como, as principais características não-lineares presentes durante um processo de descarga. Uma bateria é formada de uma ou mais células eletroquímicas conectadas em série, paralelo ou uma combinação de ambas [1]. Nestas células a energia química armazenada é convertida em energia elétrica a partir de uma reação eletroquímica. Na Figura 2.1 é apresentado o esquema de uma célula eletroquímica, a qual é formada por dois eletrodos 1 (denominados de ânodo e cátodo) e um eletrólito 2, que separa os dois eletrodos. 1 Condutor metálico por onde uma corrente elétrica entra ou sai de um sistema [2]. 2 Condutor de eletricidade (sólido ou líquido), no qual o transporte de carga se realiza por meio de íons [2]. 11

23 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 12 Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica [1]. Durante um processo de descarga, uma reação de oxidação ocorre no ânodo, nesta reação um redutor doa m elétrons os quais são liberados no circuito. Por outro lado, no cátodo, ocorre uma reação de redução, sendo aceitos m elétrons por um oxidante. { R1 O 1 + me, no ânodo O 2 + me R 2. no cátodo (2.1) As reações eletroquímicas ocorridas na bateria produzem duas importantes grandezas que descrevem a quantidade de energia armazenada na mesma: a Voltagem (expressa em volts "V") e a Capacidade (expressa em Àmpere-Hora "Ah"). Considerando uma bateria ideal, a voltagem é constante durante a descarga e, uma queda repentina a zero ocorre quando ela ca descarregada. Neste caso, a capacidade ideal é constante para todo o processo de descarga e toda a energia armazenada é utilizada. Por outro lado, em um caso real, existem alguns efeitos presentes no processo de descarga (por exemplo, Efeito de Recuperação (Figura 2.2)) que devem ser considerados. Estes efeitos serão apresentados com mais detalhes a seguir, juntamente com algumas propriedades importantes relacionadas as baterias Propriedades e Características Não-Lineares Nesta seção, inicialmente, são descritas duas importantes propriedades das baterias: o nível de cuto e o tempo de vida. Logo após são descritas suas principais características não-lineares: o efeito de recuperação e o efeito de taxa de capacidade. Nível de Cuto O nível de cuto é um importante parâmetro para calcular o tempo de vida da bateria. Ele pode ser denido como o valor limite inferior de carga (capacidade) em que a bateria

24 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 13 Figura 2.2: Efeito de recuperação [1]. consegue fornecer uma tensão suciente para o dispositivo manter-se operacional [3]. A partir do momento que este valor é atingido, a bateria não consegue mais realizar reações eletroquímicas, consequentemente não fornece mais energia ao sistema. Vale ressaltar que, quando a bateria atinge o nível de cuto, ela não está completamente descarregada, mas sem possibilidade de efetuar reações eletroquímicas e, consequentemente impossibilitada de oferecer energia ao sistema. Tempo de Vida O tempo de vida da bateria, é denido como o tempo que a bateria demora para atingir o nível de cuto, ou seja, o tempo que ela leva para atingir a quantidade mínima de energia necessária para manter o dispositivo operacional. Frequentemente o termo é confundido com a vida útil da bateria. Entretanto a vida útil está relacionada ao número de ciclos de carga/descarga que a bateria consegue realizar, retendo mais de 80% da capacidade original. Efeito de Recuperação O Efeito de Recuperação ocorre durante períodos de relaxação da bateria, em momentos onde há pouca ou nenhuma energia sendo drenada. Nestes períodos, há uma reorganização dos elétrons no eletrólito de maneira uniforme, fazendo com que ocorra um aumento da capacidade efetiva da bateria, pois uma maior quantidade de carga torna-se disponível antes do sistema alcançar o nível de cuto. Na Figura 2.3 são ilustradas as operações de uma bateria (de forma simplicada), onde, entre outros, pode-se observar o Efeito de Recuperação. Na Figura 2.3 (A) é ilustrada a bateria completamente carregada, observa-se que a concentração de espécies eletroativas é constante durante todo o comprimento do eletrólito

25 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 14 Figura 2.3: Diferentes estados de operação da bateria [2, 3]. (w). Durante uma descarga, as reações eletroquímicas reduzem as espécies eletroativas próximas ao eletrodo (Figura 2.3 (B)). No instante em que ocorre uma redução signicativa na corrente de descarga, a bateria passa por um momento de relaxação, possibilitando a reorganização dos elétrons uniformemente, reequilibrando o sistema (Figura 2.3 (C)) e aumentando a concentração de espécies eletroativas nas proximidades do eletrodo até o gradiente de concentração car nulo, assim a capacidade efetiva da bateria também é aumentada (Figura 2.3 (D)). Observa-se, no entanto, que esta quantidade de espécies eletroativas será menor que a concentração inicial. Por m, quando a bateria atinge um limite inferior ao de carga (nível de cuto), as reações eletroquímicas cessam, e a bateria é considerada descarregada (Figura 2.3 (E)). Efeito de Taxa de Capacidade O efeito de Taxa de Capacidade [13] depende da capacidade atual da bateria e da intensidade da corrente de descarga. Logo, em altas correntes de descarga, a capacidade efetiva é baixa, pois não há tempo para que ocorra a reorganização das espécies eletroativas no eletrólito (efeito de recuperação), assim menos carga é utilizada pelo sistema. Do

26 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 15 contrário, com cargas alternadas, a capacidade efetiva é aumentada, pois quando ocorre uma variação de alta para baixa carga, ou mesmo um período sem uxo de corrente, os elétrons se reorganizam no eletrólito, elevando a quantidade de carga na superfície do eletrodo (efeito de recuperação), assim, aumentando a capacidade efetiva da bateria. 2.3 Tipos de Baterias Nesta seção serão descritas as principais tecnologias de baterias desenvolvidas nas últimas décadas para atender a demanda de dispositivos portáteis Níquel-Cádmio (Ni-Cd) Esta tecnologia tem sido utilizada com muito sucesso, por várias décadas, no desenvolvimento de baterias recarregáveis para dispositivos portáteis. Uma das vantagens é o baixo custo, além das altas taxas de descarga. Apesar disto, esta tecnologia vem perdendo espaço, nos últimos anos, principalmente, devido a baixa densidade de energia e também a toxicidade [3, 4] Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) Estas baterias têm sido comumente utilizadas nos últimos anos para alimentação de notebooks, possuindo aproximadamente duas vezes a densidade de energia de uma bateria de Ni-Cd. Por outro lado, observa-se que possuem um ciclo de vida curto, são mais caras, e menos ecientes para altas taxas de descarga [3, 4] Lithium-Ion (Li-Ion) As baterias de Li-Ion vêm se destacando mais rapidamente nos últimos anos, pois possuem densidade de energia signicativamente superior e seu ciclo de vida é de aproximadamente duas vezes a de uma bateria de Ni-MH. Estas baterias são mais sensíveis as características da corrente de descarga e, também, mais caras que as de Ni-MH. Atualmente, são utilizadas em notebooks, PDAs 3 e celulares, devido ao seu tempo de vida [3, 4]. 3 PDA: Do inglês Personal Digital Assistente, dispositivos portáteis que podem ser segurados na mão, para processamento e armazenamento de informações.

27 Capítulo 2. Revisão Bibliográca Alcalina Recarregável As baterias alcalinas têm sido utilizadas por muitos anos. Esta tecnologia foi desenvolvida para ser uma alternativa de baixo custo onde a densidade de energia e o ciclo de vida são comprometidos. A densidade de energia inicial de uma bateria alcalina recarregável é superior a de uma Ni-Cd, entretanto, após 10 ciclos, há uma redução de 50% nesta densidade, e após 50 ciclos, observa-se uma redução de 75% [3, 4] Lithium-Ion Polímero Esta tecnologia emergente, permite desenvolver baterias ultra-nas (espessura inferior a 1 mm). Espera-se com esta tecnologia atender a próxima geração de computadores e dispositivos portáteis, através de melhorias na densidade de energia em relação as baterias de Li-Ion, bem como na segurança. Por outro lado, sua fabricação é cara, e ela possui problemas no gerenciamento térmico interno [3, 4]. Na Figura 2.4, é apresentado um gráco com a densidade de energia e o ano de implantação comercial das principais tecnologias de baterias. Figura 2.4: Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de bateria [3, 4]. A seguir serão descritos os principais modelos matemáticos de baterias existentes na literatura para a predição do seu tempo de vida. 2.4 Modelos de Baterias Ao longo do tempo, diferentes modelos foram desenvolvidos para a predição do tempo de vida de baterias. Nesta seção é apresentada uma revisão bibliográca do estado da arte dos principais modelos matemáticos, presentes na literatura.

28 Capítulo 2. Revisão Bibliográca Modelos Eletroquímicos Os modelos eletroquímicos são baseados nos processos químicos que ocorrem no interior da bateria, são considerados modelos acurados. Por outro lado, observa-se que precisam de uma descrição detalhada das características da bateria, deixando-os altamente complexos e difíceis de implementar, uma vez que dependem de um grande número de parâmetros. Um dos modelos eletroquímicos mais acurado da literatura é o desenvolvido por Doyle, Fuller e Newmann [3], composto por um sistema de seis Equações Diferenciais Parciais (EDPs), não-lineares e acopladas. Um programa que utiliza este modelo é o Fortran Dualfoil, ele está disponível gratuitamente para download na internet. Este programa calcula a mudança das propriedades da bateria ao longo do tempo para um perl denido pelo usuário. No entanto, para utilizá-lo, o usuário precisa ajustar aproximadamente 50 parâmetros referentes a bateria, sendo necessário ter um conhecimento muito detalhado da bateria que pretende-se modelar. Sendo alguns dos parâmetros solicitados, espessura dos eletrodos e do eletrólito (em metros), espessura dos coletores, temperatura inicial (em kelvin), fração do volume de eletrolitos nos eletrodos e taxa cinética constante para reações nos eletrodos. Em compensação o programa possui um alto nível de precisão, sendo frequentemente utilizado na comparação com outros modelos, em substituição a utilização de dados experimentais [1, 3] Modelos de Circuitos Elétricos Modelos de circuitos elétricos ou, simplesmente modelos elétricos, descrevem a bateria na forma de circuito utilizando a combinação de componentes elétricos (fontes, resistores, capacitores e indutores). Estes modelos consideram os efeitos não-lineares presentes na bateria (i.e., Efeito de Taxa de Capacidade e Efeito de Recuperação), sua simulação é de fácil compreensão, realizada em simuladores de circuito. Eles têm sido utilizados para analisar diferentes tipos de baterias. Em [3] é descrito um circuito PSpice desenvolvido por Hageman [1] para simular baterias de níquel-cádmio, chumbo-ácido e alcalinas. Os modelos elétricos são considerados menos acurados quando comparados aos modelos eletroquímicos, apresentando uma taxa de erro de aproximadamente 5% [1, 3, 8]. Os modelos de circuitos elétricos, possuem uma estrutura geral para representar diferentes tipos de baterias, que é composta de: Um capacitor que representa a capacidade da bateria; Uma taxa de descarga normalizadora que determina a perda da capacidade da bateria para altas correntes de descarga;

29 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 18 Um circuito que é utilizado para descarregar a capacidade da bateria; Uma tabela de pesquisa que compara a tensão versus o estado da carga; Um resistor que representa a resistência da bateria. Na Figura 2.5, são representados os circuitos básicos usados para modelar uma célula arbitrária, quando é desejado um modelo para uma célula especíca pequenas modicações precisam ser realizadas. Mesmo estes modelos sendo mais simples que os modelos eletroquímicos e, também, computacionalmente menos dispendiosos, é necessário um pouco de esforço para congurá-los, especialmente porque tais modelos requerem uma grande quantidade de dados experimentais, que descrevem o comportamento da bateria. Figura 2.5: Esquema básico funcional para todos os tipos de células modeladas [1, 3]. Em [14] é apresentado o estudo e avaliação de um modelo elétrico (modelo Battery), presente na ferramenta computacional MatLab/Simulink, que simula a descarga dos mais populares tipos de baterias recarregáveis. Este modelo foi escolhido pelo autor por ser de fácil implementação, no que se refere a extração de seus parâmetros de conguração,

30 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 19 principalmente, porque em alguns casos, a fase de testes experimentais para a estimação dos parâmetros pode ser ignorada. Além disto, o modelo considera parte dos efeitos nãolineares que ocorrem em um processo de descarga de uma bateria. Todas as simulações computacionais com o emprego do modelo elétrico Battery, foram realizadas na ferramenta computacional MatLab/Simulink a partir de um circuito implementado na forma de diagrama de blocos, considerando em um primeiro momento, os parâmetros de uma bateria de Lithium-Ion Nokia BL-5F que equipa o telefone celular Nokia N95 e, em um segundo momento, de uma bateria de Lithium-Ion Polímero PL Na pesquisa a avaliação do modelo elétrico Battery foi realizada de duas formas: a partir da comparação de seus resultados simulados com resultados simulados do modelo elétrico para Predizer Runtime e Característica V-I de uma Bateria, que é um modelo de alta acurácia encontrado na literatura; e a partir da comparação dos resultados simulados com dados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes (i.e. testbed). A partir da comparação realizada entre os resultados de simulação do modelo elétrico Battery e do modelo elétrico para predizer Runtime e características V-I de uma bateria, considerando pers de descargas idênticos, foi vericado que apesar dos parâmetros do modelo elétrico Battery terem sido obtidos diretamente do datasheet da bateria a ser simulada, ou seja, não foi necessária a realização de nenhum teste experiemental com a bateria de Lithium-Ion Polímero PL , ele apresentou resultados satisfatórios. As diferenças, entre os modelos, nos erros de tempo de vida foram de apenas 0, 139% para a descarga contínua e de 1, 283% para a descarga variável. Estes resultados satisfatórios apresentados pelo modelo elétrico Battery, sem que tenha sido necessária a realização de testes experimentais com a bateria simulada, representam uma grande vantagem do modelo na questão de otimização de tempo, que é tão desejada nos dias atuais nas mais diversas áreas de engenharia. Na avaliação do modelo elétrico Battery a partir da comparação de seus resultados simulados com dados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes (i.e. testbed), considerando tanto descargas contínuas quanto descargas variáveis, foi vericado que o modelo apresentou resultados satisfatórios na maioria das correntes nominais de descarga ou calibração, com um erro, na estimação do tempo de vida, inferior a 5%, o que é esperado para modelos elétricos. O menor erro, na estimação do tempo de vida, para o caso de descargas contínuas, foi de 2, 12% e ocorreu na corrente nominal de calibração de 650mAh, indicando que o modelo apresentou o melhor resultado a partir da corrente nominal de descarga equivalente a aproximadamente 68% da capacidade nominal da bateria de Lithium-Ion Nokia BL-5F. Para o caso de descargas variáveis, o menor erro no tempo de vida foi de 1, 79% e ocorreu nas correntes nominais de calibrações de 250mAh e 350mAh, indicando que os melhores resultados do modelo foram obtidos a partir das

31 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 20 correntes nominais de descarga equivalentes a aproximadamente 26% e 37% da capacidade nominal da bateria utilizada. Os piores resultados apresentados pelo modelo, tanto nas descargas contínuas quanto nas descargas variáveis, ocorreram na menor corrente nominal (i.e., 100mAh) de calibração do modelo, pois é justamente em correntes baixas de descarga que os efeitos não-lineares se fazem mais presentes em um processo real de descarga de uma bateria. Devido a estes efeitos mais presentes, o processo de extração de parâmetros para o modelo torna-se menos preciso, diminuindo desta forma, a acurácia do modelo Modelos Estocásticos Os modelos estocásticos descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração. A descarga e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos. Um modelo estocástico, em geral, representa a bateria por um número nito de unidades de carga, e o comportamento de descarga é modelado usando um processo estocástico transiente em tempo discreto. A medida que o processo evolui ao longo do tempo (o qual é dividido em uma sequência de intervalos iguais), o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes. Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidades de carga consumidas. Se esta média não é zero, o número de unidades drenadas é obtido de uma tabela de pesquisa que contém dados das taxas de capacidades. No entanto, se o intervalo não sofreu descarga, então a bateria recupera um certo número de unidades de carga. O número exato de unidades recuperadas é modelado utilizando uma função exponencial decrescente de densidade de probabilidade, a qual está baseada no estado de carga da bateria e nos coecientes, que dependem da bateria especíca, bem como das características de descarga. Durante o tempo de descarga, a bateria passa de um estado de carga completa, a um estado onde o nível de cuto é atingido, ou estado onde a capacidade teórica é exaurida [4]. Como exemplos dos principais modelos estocásticos, destacam-se o modelo de Chiasserini e Rao e o modelo KiBaM Modicado, os quais serão brevemente explicados a seguir. Os primeiros modelos estocásticos de baterias foram desenvolvidos por [15] utilizando cadeias de Markov, onde são descritos dois modelos pricipais de bateria para um dispositivo portátil de comunicação. No primeiro modelo, a bateria é descrita por uma cadeia de Markov no tempo discreto com N +1 estados, numerados de 0 a N (Figura 2.6). O número do estado corresponde ao número de unidades de carga disponíveis na bateria. Uma unidade de carga corresponde a quantidade de energia requerida para transmitir um pacote simples, onde N é o número de unidades de carga diretamente disponíveis com base no uso contínuo. Neste modelo simples, a cada passo de tempo uma unidade é consumida com probabilidade a 1 = q ou recuperada com probabilidade a 0 = 1 q. A bateria é considerada vazia quando a

32 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 21 difusão chega a 0 ou quando um número máximo T de unidades de carga for consumido. O número T de unidades de carga é igual a capacidade teórica da bateria (T > N). Figura 2.6: Modelo de bateria básico, utilizando uma cadeia de Markov por Chiaserini e Rao, [1, 3]. O modelo KiBaM Modicado, é uma versão ampliada do modelo de Chiasserini e Rao. Novamente, tem-se uma cadeia de Markov no tempo discreto com N + 1 estados. Porém, neste segundo modelo, mais de uma unidade de carga pode ser consumida em um passo do tempo, com um máximo de M unidades de carga (M N). Desta forma, um maior consumo de energia pode ser modelado. Outro aspecto relevante é que há uma probabilidade diferente de zero de permanecer no mesmo estado. nenhum consumo ou recuperação acontece durante um passo de tempo. O que signica que Além destes dois modelos, outros foram desenvolvidos com modicações dos apresentados anteriormente. Para melhorar o modelo, a probabilidade de recuperação foi feita dependente do estado. Quanto menos unidades de carga estão disponíveis, menor será a probabilidade de recuperar uma unidade de carga. O número fase (f) é uma função do número de unidades de carga consumidas. Quanto mais unidades de carga são consumidas, maior o número fase, diminuindo a probabilidade de recuperação. Com probabilidade q i, onde i unidades de carga são requisitadas em um intervalo de tempo. Durante períodos ociosos, a bateria pode recuperar unidades de carga com probabilidade p j (f), ou permanecer no mesmo estado com probabilidade r j (f). A recuperação é então denida por p j (f) = q 0 e (N j)gn gc(f), (2.2) onde: gn e gc(f) dependem do comportamento de recuperação da bateria. Pode-se modelar diferentes cargas congurando apropriadamente as probabilidades de transição. Entretanto, não se pode controlar a ordem com que as transições são tomadas. Portanto, é impossível para o modelo xar padrões de carga e calcular seu impacto no tempo de vida da bateria. A propriedade principal investigada por Chiasserini e Rao [1, 3] é o ganho (G) obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante. Este ganho é denido

33 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 22 como G = m N onde: m é o número médio de pacotes transmitidos, e para diferentes N variando de 3 a 50. O ganho aumenta quando a carga é reduzida, devido a maior probabilidade de recuperar. O modelo nal é utilizado para modelar uma bateria de Li-Ion, onde N é congurado para aproximadamente estados e 3 fases são utilizadas, o que resulta em uma cadeia de Markov com aproximadamente estados. O modelo é analisado por cálculos numéricos, e os resultados são comparados com o modelo eletroquímico de [16]. Em ambos os modelos, o ganho obtido de descargas pulsadas comparado a descargas constantes é calculado para diferentes correntes de descarga. Os ganhos aumentam para taxas de descarga menores e densidades de correntes altas. O último é principalmente devido ao fato que as densidades de corrente estão próximas aos limites especícos da bateria. Quando a densidade de corrente está acima deste limite, a capacidade da bateria decai rapidamente e, portanto, o ganho obtido por descargas pulsantes aumenta. Os resultados do modelo estocástico possuem um desvio médio em torno de 4%, quando comparado ao modelo eletroquímico, com um desvio médio de 1%. Estes resultados demonstram que o modelo estocástico possui boa qualidade na descrição do comportamento de bateria sobre descargas pulsantes. Além destes modelos, Chiasserini e Rao [5, 11, 16] também propuseram um modelo estocástico de bateria com base no Modelo Analítico Cinético de Manwell e McGowan [5] (KiBaM). Este modelo é utilizado para modelar baterias de Ni-MH, ao invés de baterias de chumbo-ácido, para o qual o modelo KiBaM foi originalmente proposto. Para modelar bateria de Ni-MH, o modelo sofreu algumas modicações. No termo correspondente ao uxo da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível foi adicionado um fator h 2 extra. Deixando a recuperação mais lenta quando menos carga estiver na fonte de carga limitada. Também foi adicionado a possibilidade de não ocorrer recuperação durante períodos ociosos. O comportamento da bateria é representado por uma cadeia de Markov no tempo discreto transiente. Os estados da cadeia de Markov são marcados por três parâmetros (i, j, t), onde os parâmetros i e j são os níveis discretizados da carga disponível e da carga limitada respectivamente, e t é o tempo de corrente ociosa, este é o número de passos no tempo tomado desde a última vez que a corrente foi drenada da bateria. No modelo de bateria de Ni-MH as cargas limitada e disponível são discretizadas em

34 Capítulo 2. Revisão Bibliográca e unidades de carga respectivamente. O que resulta em uma cadeia de Markov grande para ser calculada como um todo. Deste modo, nenhuma solução analítica, para o modelo pode ser denida. Para obter o tempo de vida da bateria vários processos de descarga da bateria são simulados com o modelo [1]. As simulações mostram que os modelos estocásticos são bastante acurados, especialmente o modelo KiBaM Modicado, uma vez que foi encontrado um erro máximo de 2, 65% para as simulações [1, 3] Modelos Analíticos Os modelos analíticos, assim como os estocásticos, descrevem a bateria de uma maneira abstrata, onde suas principais características são modeladas utilizando um conjunto reduzido de equações, tornando-os mais fáceis de implementar quando comparados aos modelos eletroquímicos e elétricos. Os modelos analíticos podem ser utilizados para cargas constantes ou cargas variáveis, bem como para capturar os efeitos não-lineares das baterias (i.e., Efeito de Taxa de Capacidade e Efeito de Recuperação). Além disso, são computacionalmente ecientes e podem facilmente ser congurados para diferentes tipos de baterias. Alguns modelos analíticos existentes são: o modelo Linear [1,3,5], a Lei de Peukert [1,3,9] e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula (RV) [3, 9], os quais serão descritos a seguir. Modelo Linear O modelo mais simples, para predição do tempo de vida de baterias, é o modelo linear. Nele, a bateria é tratada como um recipiente linear de corrente. Deste modo, pode-se calcular a capacidade (C) restante de uma bateria através da equação C = C It d, (2.3) onde: C é a capacidade inicial, I é a corrente de descarga constante durante a operação, e t d é o tempo de duração. Assim, a capacidade remanescente será calculada sempre que a taxa de descarga mudar [2]. Lei de Peukert A Lei de Peukert é um modelo simples de predição do tempo de vida de baterias, que descreve parte das suas propriedades não-lineares. Ou seja, ela captura apenas a relação não-linear entre o tempo de vida da bateria e a taxa de descarga, não modelando o efeito de recuperação. Pela Lei de Peukert, o tempo de vida (L) de uma bateria, pode ser aproximado por

35 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 24 L = a I, (2.4) b onde: I é a corrente de descarga, e a e b são parâmetros que precisam ser estimados a partir de dados experimentais. Idealmente a pode ser igual a capacidade da bateria, e b pode ser igual a 1. Entretando, na prática a possui um valor próximo ao da capacidade da bateria, e b é um número superior a 1. Para a maioria das baterias, b possui valores entre 1, 2 e 1, 7 [1]. Os resultados obtidos utilizando a Lei de Peukert para a predição do tempo de vida de baterias são considerados bons para cargas constantes e contínuas. No entanto, quando as cargas são variáveis, o modelo apresenta resultados menos satisfatórios [1, 3]. Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula O modelo de difusão de Rakmatov-Vrudhula, ou seja modelo RV, descreve a evolução da concentração de espécies eletroativas no eletrólito, sendo utilizado na literatura técnica para estimar o tempo de vida de uma bateria submetida a uma determinada carga [5,9]. Este modelo é descrito pelas leis de Fick através de um sistema de EDPs com condições de contorno de segunda espécie, e possui dois parâmetros que precisam ser estimados, o α, que representa a capacidade da bateria, e o β, que representa uma não-linearidade da bateria. Em [9] Rakhmatov e Vrudhula comparam o seu modelo com o programa de simulação Dualfoil, e com uma versão estendida da Lei de Peukert, na qual é possível utilizar cargas variáveis. Os resultados de simulação obtidos no simulador Dualfoil são usados como valores de referência. Para 10 pers de cargas contínuas, o modelo RV prediz o tempo de vida com um erro médio de 3%, e um erro máximo de 6% em comparação com os resultados obtidos utilizando-se do programa Dualfoil [9]. Por outro lado, a Lei de Peukert apresentou um erro médio de 14% e um erro máximo de 43%. A Lei de Peukert tem sido utilizada de forma satisfatória para cargas baixas, mas os erros aumentam signicativamente para cargas altas. Para cargas variáveis e interrompidas, o modelo RV apresenta os melhores resultados, ou seja, um erro máximo de 2, 7% e um erro médio abaixo de 1%. Neste cenário, a Lei de Peukert não apresenta bons resultados, principalmente por não considerar um efeito não-linear importante na bateria, que é o efeito de recuperação. Em [12] é realizada uma análise comparativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert e modelo RV, utilizando o método dos Mínimos Quadrados (MQ) como ferramenta para estimação dos parâmetros dos modelos. A estimação foi realizada utilizando duas metodologias, a primeira com base nos estudos de Gauss, a qual sugere que o número mínimo de dados necessários para se realizar a estimação de parâmetros, é igual ao número de parâmetros que necessitam ser estimados. As baterias utilizadas foram de

36 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 25 Li-Ion modelo BL-5F. A escolha desta metodologia ocorreu porque os autores desejavam reduzir a quantidade de pers necessários a estimação de parâmetros dos modelos. Na segunda, o autor utilizou a metodologia clássica usada em Rakhmatov e Vrudhula [9], a m de comparar a acurária da metodologia sugerida por Gauss em relação a utilizada por Rakhmatov e Vrudhula. Nesta pesquisa foi vericado que o modelo RV apresentou os melhores resultados, tendo como erro médio para o uso de cargas constantes e variáveis, os valores 5, 71% e 6, 53% respectivamente. Na comparação geral entre os modelos, a diferença entre ambos foi relativamente pequena, aproximadamente 0, 19% com signicativa vantagem para a metodologia de estimação de parâmetros de Gauss. O trabalho também demonstrou que, para estimação utilizando a metodologia de Gauss, é importante utilizar um perl de descarga baixo e outro alto. Devido ao fato de o modelo RV apresentar os melhores resultados nas pesquisas, o Capítulo 3 é dedicado a apresentação das equações do modelo RV mais detalhadamente, uma vez que este modelo matemático será utilizado para comparação dos resultados dos modelos desenvolvidos neste trabalho. Modelo Cinético Outro modelo analítico que pode ser utilizado para calcular o tempo de vida de baterias é o modelo cinético (KiBaM - Kinetic Battery Model) de Manwell e McGowan [1,5]. Nele a carga da bateria é distribuída sobre duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada. Na Figura 2.7 é ilustrada uma representação do Modelo Cinético. Figura 2.7: Modelo cinético com distribuição em duas fontes, [5]. Observa-se que uma fração c da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1 c na fonte de carga limitada. A fonte de carga disponível fornece

37 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 26 elétrons diretamente a corrente (i(t)), enquanto a fonte de carga limitada disponibiliza elétrons somente a fonte de carga disponível. O parâmetro k é a razão de uxo de carga entre as fontes. As alturas das duas fontes são dadas por h 1 = y 1 c, h 2 = y 2 1 c. (2.5) A variação de carga em ambas fontes é dada pelo sistema de equações diferenciais com condições iniciais { dy1 dt = i(t) + k(h 2 h 1 ), dy 2 dt = k(h 2 h 1 ). (2.6) y 1 (0) = c.c, y 2 (0) = (1 c).c (2.7) onde: C é a capacidade total da bateria. A bateria é considerada vazia quando não há mais carga na fonte de carga disponível. Quando uma corrente de descarga é aplicada à bateria, a carga disponível é reduzida e a diferença de altura entre as fontes aumenta. Quando a corrente é removida, um uxo de carga da fonte de carga limitada, para a fonte de carga disponível ocorre até que h 1 e h 2 quem novamente iguais. Assim, durante períodos de inatividade, uma maior quantidade de carga torna-se disponível e a bateria alcança um tempo de vida maior do que quando uma corrente de descarga é aplicada continuamente. Desta maneira, o efeito de recuperação é levado em conta no modelo. Também, a taxa de capacidade efetiva é considerada, pois para correntes de descarga altas, a carga disponível será drenada mais rápido, e haverá menos tempo para a carga limitada uir em direção a carga disponível. Com isso, mais carga cará na fonte de carga limitada, sem ser utilizada, e a capacidade efetiva da bateria será reduzida. O modelo KiBaM pode ser resolvido com Transformadas de Laplace, para o caso de correntes de descarga constantes (i(t) = I). No próximo capítulo é apresentada uma descrição detalhada do modelo RV, uma vez que o objetivo principal deste trabalho é desenvolver a modelagem matemática para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis através da teoria

38 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 27 de Identicação de Sistemas e, posteriormente comparar os resultados com o modelo RV. A escolha pelo modelo RV é devido ao fato de, na literatura técnica, ele ser considerado um dos modelos analíticos mais acurado.

39 Capítulo 3 O Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula 3.1 Introdução Neste capítulo são apresentadas as equações do modelo RV, que é um dos modelos analíticos de melhor acurácia encontrado na literatura técnica para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis [2, 9, 12]. O objetivo principal deste trabalho é a modelagem matemática do tempo de vida de baterias através da teoria de Identicação de Sistema. Para vericação da acurácia do modelo identicado, o mesmo será comparado com o modelo RV. 3.2 Equações do Modelo RV Em Rakhmatov e Vrudhula [5, 9] foi desenvolvido um modelo matemático físico que descreve a evolução da concentração de espécies eletroativas no eletrólito e tem a função de realizar a predição do tempo de vida de uma bateria submetida a uma determinada carga. Neste modelo, a concentração de espécies eletroativas no tempo t e na distância x [0, w] é denotada por C(x, t). A evolução da concentração é descrita pela lei de Fick dada por e pela equação de difusão J(x, t) = D C(x, t), (3.1) x C(x, t) t = D C(x, t), (3.2) x 28

40 Capítulo 3. O Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula 29 onde: J(x, t) é o uxo de espécies eletroativas em função do tempo t e em função de uma distância x do eletrodo, e D é a constante de difusão. Quando a bateria está completamente carregada a concentração inicial de espécies eletroativas é constante em todo o comprimento w do eletrólito, logo tem-se a seguinte condição inicial C(x, 0) = C. (3.3) A bateria é considerada descarregada quando C(0, t) atinge um valor inferior ao nível de cuto. De acordo com a Lei de Faraday o uxo de espécies na superfície do eletrodo (x = 0) é proporcional à corrente i(t) (i.e., carga externa aplicada), e o uxo na outra extremidade da região de difusão (x = w) é zero. Com essas considerações, obtém-se as seguintes condições de fronteira D C(x,t) x x=0 = i(t), vf A D C(x,t) x x=w = 0, (3.4) onde: A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday, e v é o número de elétrons envolvido na reação eletroquímica na superfície do eletrodo. É possível obter uma solução analítica para o conjunto de EDPs apresentado na equação (3.1) utilizando a condição inicial e as condições de contorno, e aplicando as denições de transformadas de Laplace e da transformada de Laplace Inversa, sendo encontrado, C(0, t) = C 1 vf A πd t 0 i(τ) t τ n= dividindo a equação (3.5) pela condição inicial C e considerando ρ(t) = 1 e w2 n 2 D(t τ) dτ, (3.5) C(0, t) C, (3.6) a fração de decaimento da concentração de espécies eletroativas na fronteira x = 0, a equação (3.5) torna-se Considerando ρ(t) = 1 vf A πdc t 0 i(τ) t τ [1 + 2 n=1 e w2 n 2 D(t τ) ]dt. (3.7) β = w D, o parâmetro que está relacionado ao comportamento não-linear da bateria,

41 Capítulo 3. O Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula 30 α = vf A πdc ρ(l), o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria, e t = L o tempo de vida da bateria, a partir da equação (3.7) obtém-se a expressão geral α = L 0 i(τ) L τ dt + 2 n=1 L 0 i(τ) L τ e β2 n 2 (L τ) dt, (3.8) que relaciona o tempo de vida L da bateria, para um perl de carga i(t), onde os parâmetros α e β necessitam ser estimados. A partir do modelo RV é possível calcular o tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel, usando cargas constantes ou cargas variáveis. Considerando uma corrente de carga constante i(τ) = I na equação (3.8), então após a resolução das integrais, obtém-se a seguinte equação α = 2I ( L n=1 e β 2 n 2 β 2 n 2 πe L L π πl β 2 n 2 ). (3.9) que relaciona o tempo de vida L da bateria, para um perl de carga constante. A seguir considera-se uma taxa de descarga variante no tempo, aproximada por uma carga constante por partes, conforme Figura 3.1, também chamada de função escada de n degraus [3, 12], dada por i(t) = n I k 1 [U(t t k 1 ) U(t t k )], (3.10) k=1 onde: I k é a carga constante e U(t) é uma função degrau dada por U(t) = { 1 se t 0, 0 se t < 0. (3.11) Substituindo a equação (3.10) na equação (3.8), obtém-se α = n k=1 tk I k 1 [ t k 1 dτ L τ + 2 n=1 tk t k 1 e β2 n 2 L τ dτ]. (3.12) L τ Por m, resolvendo as integrais da equação (3.12) encontra-se a relação entre o tempo de vida L de uma bateria para um perl de carga variável dada por α = n 2I k 1 A(L, t k, t k 1, β), k=1

42 Capítulo 3. O Modelo de Difusão de Rakhmatov e Vrudhula 31 Figura 3.1: Representação de uma carga variável através de uma função escada. onde a(l, t k, t k 1, β) = L t k 1 [ m=1 L tk [1 + 2 (e β 2 m 2 10 m=1 L t k 1 πe β (e β 2 m 2 L t k π 1 + π m 2 L t k π L t k 1 β 2 m 2 πe β 2 m 2 L t k )] 1 + π L t k β 2 m 2 )]. (3.13) No próximo capítulo são descritos os conceitos básicos da teoria de Identicação de Sistemas utilizados neste trabalho para modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis.

43 Capítulo 4 Identicação de Sistemas 4.1 Introdução Neste capítulo são apresentados os conceitos necessários para o entendimento da modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias utilizando a teoria de Identicação de Sistemas. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 4.2 são apresentados os conceitos gerais da teoria de Identicação de Sistemas. Na Seção 4.3 são apresentados as estruturas de modelos paramétricos linear, que são as estruturas escolhidas para a realização da modelagem matemática desenvolvida neste trabalho. Na Seção 4.4 são apresentadas as etapas da modelagem matemática via teoria de Identi- cação de Sistemas. Na Seção 4.5 é apresentado o método de estimação de parâmetros dos Mínimos Quadrados (MQ) utilizado neste trabalho para a estimação de parâmetros dos modelos desenvolvidos via teoria de Identicação de Sistemas, bem como na estimação dos parâmetros α e β do modelo RV. Na Seção 4.6 são apresentados discretizadores que viabilizam a transformação de sistemas em tempo discreto para tempo contínuo e vice-versa. 4.2 Conceitos Gerais Na literatura técnica são encontradas duas abordagens para a modelagem matemática de sistemas dinâmicos: (i) a modelagem fundamentada pela física do processo; e (ii) a modelagem matemática via teoria de Identicação de Sistemas. A modelagem fundamentada na física do processo, também conhecida como modelagem caixa-branca, fenomenológica ou conceitual exige o conhecimento dos fenômenos físicos e químicos envolvidos, pois ocorre através das leis e princípios que representam estes fenômenos. A utilização desta abordagem permite derivar modelos que descrevem a dinâmica interna do sistema, além da relação entrada-saída. Desta forma os parâmetros 32

44 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 33 do modelo detém um sentido físico, residindo nesta característica, uma das vantagens deste tipo de modelagem. A principal desvantagem está no fato de que muitas vezes o sistema a ser modelado é grande e complexo, e consequentemente as equações físicas envolvidas também são complexas ou até mesmo desconhecidas, tornando o tempo de análise demasiadamente longo e a implementação computacional um tanto complicada [6]. Uma maneira de minimizar este problema é utilizar a abordagem encontrada na Teoria de Identicação de Sistemas, na qual é permitido construir modelos matemáticos de sistemas dinâmicos a partir de dados obtidos de um sistema real, ou de uma planta experimental. Estes modelos têm a função de representar uma determinada característica observada (i.e., dados) relevante do sistema em estudo. Basicamente, tais dados são sinais externos que podem ser manipulados por um observador, denominados entradas u(t), e saídas y(t), conforme ilustrado na Figura 4.1. Figura 4.1: Representação de um sistema. Na Identicação de Sistemas há duas formas para a construção de modelos matemáticos: (ii-a) modelagem caixa-preta, na qual não se tem conhecimento prévio do sistema a ser modelado, neste caso apenas os dados de entrada e saída do processo são usados durante a identicação. Observa-se que não existe nenhuma relação entre a estrutura matemática usada com a física do processo, uma vantagem desta técnica reside na facilidade de obtenção do modelo e na possibilidade de escolher estruturas adequadas para o objetivo da modelagem, também é conhecida como modelagem empírica; (ii-b) modelagem caixa-cinza, na qual se tem algum conhecimento prévio do sistema a ser modelado, o tipo de informação auxiliar e a forma com que se utiliza esta informação depende do modelo que se está trabalhando, esta informação não se encontra no conjunto de dados utilizados durante a identicação, ou seja, esta categoria de modelos pode ser colocada entre a modelagem pela física ou natureza do processo e a identicação caixa-preta [6]. Neste contexto, a Identicação de Sistemas consiste, de um modo geral, no emprego de técnicas para obtenção de modelos do tipo caixa-preta ou caixa-cinza sem a necessidade de se ter uma relação entre o modelo elaborado e as características físicas do objeto que se está modelando. Em outras palavras, constrói-se um modelo sem relacioná-lo com as leis físicas envolvidas no processo, apenas utiliza-se dados observados do sistema, e algum conhecimento prévio desejado [6]. Segundo Ljung [17] dentro da modelagem matemática presente na teoria da Identi-

45 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 34 cação de Sistemas os modelos desenvolvidos podem ser divididos em três grupos: (i) modelos paramétricos (i.e., modelo Auto-Regressivo com entradas externas (ARX), modelo Auto- Regressivo com MédiA móvel e entradas externas (ARMAX), modelo de Erro na Saída (ES), e o modelo Box Jenkins (BJ)); (ii) modelos não-paramétricos (i.e., modelos de Processos, modelos de Correlação, modelos Não-Lineares ); (iii) modelos no domínio da frequência. Neste trabalho a predição do tempo de vida de baterias será modelada utilizando os modelos paramétricos lineares, visto que estas são as estruturas de modelos mais simples presentes na teoria de Identicação de Sistemas, visto que não foram encontrados na literatura técnica a formulação de modelos matemáticos de baterias, para predição do seu tempo de vida, utilizando tal teoria. A seguir serão apresentadas as estruturas dos modelos paramétricos lineares. 4.3 Modelos Paramétricos Lineares São considerados modelos paramétricos lineares aqueles que possuem parâmetros, ou seja, coecientes que os caracterizam e precisam ser estimados [6]. Estes modelos também seguem o Princípio da Superposição, que é denido da seguinte forma: Considerando um sistema excitado por uma entrada u 1 (t) que produz uma saída y 1 (t) e quando excitado por uma entrada u 2 (t) produz uma saída y 2 (t), para que o sistema obedeça o princípio da superposição, se este for excitado por uma entrada a.u 1 (t) + b.u 2 (t), sua saída será a.y 1 (t) + b.y 2 (t), sendo a e b constantes reais. Uma das principais representações para estes modelos são as Funções de Transferência, as quais descrevem como uma entrada é dinamicamente "transferida"para a saída. Dentre os principais modelos paramétricos lineares destacam-se o modelo ARX, o modelo ARMAX, o modelo ES, e o modelo BJ. Este modelos originam-se de uma estrutura geral dada por A(q)y(k) = B(q) C(q) u(k) + v(k), (4.1) F (q) D(q) onde: q 1 é o operador de atraso, de forma que y(k)q 1 = y(k 1) [6,17] 1, v(k) é o ruído branco e A(q), B(q), C(q), D(q) e F (q) são os polinômios denidos a seguir 1 O argumento q (normalmente apresentado como q n ) é geralmente utilizado em substituição a z, uma vez que o termo z é reservado para a função de transferência da transformada Z [17].

46 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 35 A(q) = 1 + a 1 q a ny q n y ; B(q) = b 1 q b nu q nu ; C(q) = 1 + c 1 q c nd q n d ; D(q) = 1 + d 1 q d ne q n e ; F (q) = 1 + f 1 q f nf q n f, (4.2) onde: a 1...a ny, b 1...b nu, c 1...a nd, d 1...d ne e f 1...f nf são parâmetros que precisam ser estimados, e n y, n u, n d, n e, n f são as ordens dos polinômios. A partir do modelo geral (equação (4.1)) são obtidos os modelos paramétricos lineares os quais serão utilizados neste trabalho para a modelagem matemática do tempo de vida de baterias de dispositivos móveis Modelo ARX O modelo ARX é considerado o modelo mais simples que permite relacionar a entrada de um sistema com sua saída. Este é obtido a partir da equação (4.1) tomando-se C(q) = D(q) = F (q) = 1 e A(q) e B(q) polinômios arbitrários, resultando em: A(q)y(k) = B(q)u(k) + v(k). (4.3) Como o ruído v(k) aparece diretamente na equação, o modelo ARX é normalmente classicado como pertencendo à classe de modelos de erro na equação. Multiplicando a equação (4.3) por 1 A(q) a mesma pode ser reescrita da seguinte forma y(k) = B(q) A(q) u(k) + 1 v(k), (4.4) A(q) de modo que, na equação (4.4), sejam evidenciadas as funções de transferência do sistema e do ruído H(q) = B(q) A(q), (4.5) E(q) = 1 A(q). (4.6) Verica-se que neste modelo o ruído adicionado à saída, não é branco, ou seja, e(k) = E(q)v(k). (4.7)

47 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 36 No entanto, por critério de simplicação, o ruído pode ser modelado como ruído branco 2 ltrado por um ltro auto-regressivo. Na Figura 4.2 são apresentadas duas maneiras de representação na forma de diagrama de blocos do modelo ARX. Figura 4.2: Diagrama de blocos do modelo ARX [6] Modelo ARMAX O modelo ARMAX pode ser obtido da equação (4.1) tomando-se D(q) = F (q) = 1 e A(q), B(q) e C(q) polinômios arbitrários, resultando em Multiplicando a equação 4.8 por 1 A(q) A(q)y(k) = B(q)u(k) + C(q)v(k). (4.8) a mesma pode ser reescrita da seguinte forma com função de transferência e ruído (não branco) y(k) = B(q) C(q) u(k) + v(k), (4.9) A(q) A(q) H(q) = B(q) A(q), (4.10) E(q) = C(q) A(q). (4.11) 2 Ruído Branco: Sinal aleatório cujo espectro tem potência em todas as frequências.

48 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 37 Na Figura 4.3 são apresentadas duas maneiras de representação em forma de diagrama de blocos do modelo ARMAX. Figura 4.3: Diagrama de blocos do modelo ARMAX [6]. A principal diferença entre o modelo ARX e o model ARMAX é que neste último o erro na equação é modelado como um processo de média móvel, e o ruído adicionado à saída v(k), pode ser modelado como ruído branco ltrado por um ltro ARMA 3. Além disso, semelhante ao modelo ARX, o modelo ARMAX pertence à classe de modelos de erro na equação Modelo Erro de Saída O modelo ES 4 pode ser obtido da equação (4.1) tomando A(q) = C(q) = D(q) = 1 e B(q) e F (q) polinômios arbitrários, resultando em com função de transferência y(k) = B(q) u(k) + v(k), (4.12) F (q) 3 Filtro de Média Móvel, do inglês Auto Regressive Moving Average. 4 A principal característica de modelos da ES reside no fato de que o polinômio A(q) assume o valor 1 (A(q) = 1) [6].

49 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 38 e ruído branco H(q) = B(q) F (q), (4.13) E(q) = 1. (4.14) Na Figura 4.4 é apresentada uma representação em forma de diagrama de blocos do modelo ES. Figura 4.4: Diagrama de blocos do modelo ES [6] Modelo Box-Jenkins Este modelo pode ser obtido do modelo geral (equação (4.1)) tomando-se A(q) = 1 e os demais polinômios arbitrários, resultando em A função de transferência do sistema é dada por y(k) = B(q) C(q) u(k) + v(k). (4.15) F (q) D(q) e o ruído H(q) = B(q) F (q), não tem parâmetros comuns. E(q) = C(q) D(q), Na Figura 4.5 é apresentada uma representação em forma de diagrama de blocos do modelo BJ. O Modelo BJ, por possuir A(q) = 1, também é do tipo modelo com erro na saída. A

50 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 39 Figura 4.5: Diagrama esquemático do modelo BJ [6]. característica presente neste modelo que o difere do modelo ES, está no fato de que o erro é descrito por um ltro ARMA, assim como o modelo ARMAX. A seguir são apresentadas as etapas a serem seguidas para a realização da modelagem matemática através da teoria de Identicação de Sistemas. 4.4 Etapas da Modelagem Matemática via Identicação de Sistemas O processo de modelagem matemática via Identicação de Sistemas segue cinco etapas fundamentais [6, 17], as quais são apresentadas a seguir. 1- Coleta de dados a partir de um processo real, ou de uma planta experimental do processo que se deseja modelar. Neste trabalho foi utilizada uma plataforma de testes construída especialmente para validação de modelos matemáticos que estimem o tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. 2- Escolha de um conjunto de candidatos a modelos. Neste trabalho serão utilizados os modelos paramétricos lineares descritos na Seção Estimação dos parâmetros das estruturas de modelos. Neste trabalho foi utilizado o método de estimação dos Mínimos Quadrados (MQ) em batelada. 4- Validação dos modelos presentes no conjunto de candidatos a modelos, ou seja, estando com uma família de modelos, é necessário vericar se elas incorporam ou não as características de interesse do sistema original. 5- Identicação da estrutura de modelo, presente no grupo de candidatos a modelos, que apresenta os melhores resultados na validação, para predizer o tempo de vida de baterias de dispositivos móveis.

51 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 40 Na próxima seção é apresentado o método de estimação de MQ, recurso matemático utilizado, neste trabalho, para estimação de parâmetros. 4.5 Estimador de Mínimos Quadrados A estimação de parâmetros consiste em uma importante etapa na modelagem matemática de sistemas dinâmicos, uma vez que, é através da estimação que obtém-se os coecientes do modelo. O uso de um estimador inadequado ao processo pode resultar em dados pouco satisfatórios. O estimador de MQ é um dos recursos estatísticos mais usados em ciências experimentais [18], além disso, dentre os diferentes métodos para estimação de parâmetros, ele é considerado um dos mais populares, sendo utilizado nas mais diversas áreas de ciência e tecnologia. Neste trabalho o método de estimação de MQ será utilizado para estimação dos parâmetros dos modelos paramétricos lineares, bem como para estimação dos parâmetros α e β do modelo RV. Seus princípios básicos são encontrados nos trabalhos de Gauss sobre astronomia. Esta técnica de estimação tem como objetivo encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (estas diferenças são chamadas de resíduos). Com isso, o grau de ajuste do modelo em relação aos dados observados é maximizado. Considerando um sistema com entrada u(t) e saída y(t) uma maneira de descrever as relações básicas existentes entre a entrada e a saída é utilizar a equação a diferenças linear [17] dada por y(t) + a 1 y(t 1) a n y(t n) = b 1 u(t 1) b m u(t m). (4.16) O sistema é representado em tempo discreto, devido ao fato de os dados observados serem coletados por amostragem. Na equação (4.16) assume-se que o intervalo de amostragem é igual a uma unidade de tempo. Outra representação para a equação (4.16) é observá-la como uma forma de determinar o valor da próxima saída dada a partir das observações anteriores, ou seja, y(t) = a 1 y(t 1)... a n y(t n) + b 1 u(t 1) b m u(t m). (4.17) Pode-se ainda introduzir os vetores θ e φ(t), a m de oferecer uma notação mais compacta, dados por

52 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 41 θ = φ(t) = [ [ a 1... a n b 1... b m ] T, y(t 1)... y(t n) u(t 1)... u(t m) ] T, onde a equação (4.17) transforma-se em y(t) = φ T (t)θ. Observe que o cálculo de y(t), a partir de dados anteriores, depende dos parâmetros em θ que precisam ser estimados, denota-se este valor calculado para y(t) de ŷ e escreve-se ŷ(t θ) = φ T θ. (4.18) Suponha que, para um dado sistema não são conhecidos os valores dos parâmetros em θ, mas que há um conjunto de dados com entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo 1 t N denominado por Z N = {u(1), y(1),...u(n), y(n)}. Uma opção é isolar θ na equação (4.18) de modo a ajustar os valores calculados de ŷ(t θ) com as medidas de saídas através do método MQ, de modo que a diferença entre os valores obtidos pelo modelo e os dados experimentais seja mínima, ou seja onde min θ V N (θ, Z N ) V N (θ, Z N ) = 1 N N (y(t) ŷ(t θ)) 2 = 1 N t=1 N (y(t) φ T (t)θ) 2. (4.19) t=1 O valor de θ que minimiza a equação (4.19) com representação ˆθ N é dado por ˆθ N = argmin θ V N (θ, Z N ), onde argmin fornece o valor de θ que minimiza V N. Uma vez que V N é quadrado em θ pode-se encontrar o valor mínimo da função apresentada na equação (4.19) calculando a sua derivada e igualando a mesma a zero d dθ V N(θ, Z N ) = 2 N N φ(t)(y(t) φ T (t)θ) = 0, t=1

53 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 42 obtendo-se ou ainda, isolando θ tem-se N φ(t)y(t) = t=1 N φ(t)φ T (t)θ, t=1 N ˆθ N = [ φ(t)φ T (t)] 1 N t=1 t=1 φ(t)y(t). (4.20) A equação (4.20) apresenta o método para estimação de parâmetros MQ, onde φ(t) é o vetor que contém os dados experimentais (entradas e saídas), y(t) contém a última saída (i.e., saída atual) dos dados experimentais, e ˆθ N é o vetor que contém os parâmetros do modelo que se deseja estimar. Na próxima seção são apresentados os discretizadores Zero Order Hold (ZOH) e Tustin os quais permitem a transformação de sistemas contínuos para discretos ou vice-versa. 4.6 Discretizadores Nesta seção são apresentados os discretizadores ZOH e Tustin, que são ferramentas matemáticas utilizadas neste trabalho para conversão de modelos obtidos em tempo discreto para tempo contínuo. Muitas vezes quando se trabalha com sistemas discretos, torna-se importante e, em alguns casos necessário, transformá-los em sistemas contínuos. Existem diferentes discretizadores, sendo alguns dos mais utilizados apresentados a seguir [7] Discretizador Zero Order Hold Em sistemas contínuos é necessário representar a relação existente entre os sinais de entrada e saída. O que pode ser realizado pela função de transferência contínua, que nada mais é do que a relação entre as transformadas de Laplace dos sinais de entrada e dos sinais de saída. Em sistemas discretos esta relação também existe, sendo representada pela função de transferência discreta. Assim como no sistema contínuo, esta função será a relação entre as transformadas Z dos sinais de entrada e dos sinais de saída [7]. Considerando uma representação típica de um sistema dinâmico discreto, o sinal de controle e (t) é transformado em um sinal contínuo por meio de um conversor Digital/Analógico (D/A), representado na Figura 4.6 pelo discretizador ZOH. Nesta situação a função de transferência discreta é dada por Z(y(t)), e deverá levar em consideração que Z(e(t)) os sinais que chegam a função passam pelo discretizador que os afeta. Com isso, a função de transferência do ZOH(s) é denida por 1 e s.t s s.

54 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 43 O discretizador ZOH transforma os impulsos discretos existentes em sua entrada em um sinal contínuo por partes u(t). Considerando uma entrada como sendo um degrau unitário e(t), pode-se observar que e (t) é uma série de impulsos com intervalo T e valor unitário. Com isso, a saída do discretizador ZOH apresentará um sinal unitário ( u(t)) cuja transformada de Laplace é 1 G(s). Pode-se assim, armar que Y (s) =. s s Figura 4.6: Diagrama de blocos de um sistema discretizado [7]. Admitindo que Y (s) tem como transformada Z do sinal y(t) a função Y (z) e sabendo que a transformada Z de uma série de impulsos unitários e (t) é E(z) = dene-se H(z) = Y (z) 1 1 z 1, ou H(z) = (1 z 1 )Y (z). z z 1 = 1 1 z 1, Este método é considerado exato, quando se tem como sinal de entrada um impulso unitário Discretizador de Tustin Assim como o discretizador ZOH, o modelo de Tustin, é amplamente utilizado, produzindo resultados satisfatórios. Conhecido também por transformação de Tustin ou transformação bilinear, tem por base a integração representada pelo fator 1 [7]. Este método s é amplamente utilizado devido a sua propriedade de transformar uma função contínua estável em uma função discreta estável ou vice-versa. Para alcançar esta transformação, considera-se o diagrama de blocos apresentado na Figura 4.7. Figura 4.7: Diagrama de blocos de um sistema analógico [7].

55 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 44 Admitindo que R(s), E(s), U(s) e Y (s) são as transformadas de Laplace dos sinais r(t), e(t), u(t) e y(t) respectivamente. Chama-se G(s) à função de transferência do controlador, H(s) à função de transferência da planta e, fazendo-se G(s) = 1 U(s), tem-se = 1. s E(s) s Figura 4.8: Sinal e(t), [7]. Considerando que 1 s representa uma integração no tempo, pode-se vericar que u(nh) = nh h e(t)dt + nh 0 nh h e(t)dt, o que corresponde dizer que o valor de u(t) para t = nh é igual a área da função e(t) até o instante t = (nh h) adicionada da área entre os instantes t = (nh h) e t = nh: u(nh) = u(nh h) + (área entre nh h). Fazendo-se uma aproximação do sinal e(t) entre os pontos t = (nh h) e t = nh por um segmento de reta, conforme representado na Figura 4.9. Figura 4.9: Sinal e(t), aproximação por um segmento de reta, [7]. Calculando novamente o valor de u(nh), considerando esta nova área entre os instantes, verica-se que o valor do novo sinal e(t) é dado por

56 Capítulo 4. Identicação de Sistemas 45 onde h corresponde ao intervalo de amostragem Z{f(t kh)} = z k F (z), com k inteiro (4.21) U(z) = z 1 U(z) + h 2 (z 1 E(z) + E(z)) o que resulta na seguinte equação Com isso, verica-se que a relação U(z) U(z)(1 z 1 ) = h 2 (z 1 + 1)E(z) U(z) E(z) = h z z = 1. (4.22) z 1 h 1+z 1 E(z) é obtida fazendo-se a substituição na função G(s) = 1 de s por 2 1 z 1. Em seguida, fazendo-se a substituição de h por T para s h 1+z 1 representação do intervalo de amostragem tem-se que o método de Tustin equivale a substituir, em uma função G(s) qualquer, s por 2 T s 2 T 1 z 1 1+z 1, ou ainda z 1 z + 1. (4.23) Em geral, a utilização deste método implica em realizar um número maior de cálculos se comparado ao discretizador ZOH. Os discretizadores apresentados nesta seção serão utilizados no capítulo seguinte para conversão do modelo identicado, que melhor estima o tempo de vida de baterias de dispositivos móveis, do tempo discreto para o contínuo. O próximo capítulo descreve a modelagem matemática do trabalho, ou seja, as etapas de obtenção de dados, estimação dos parâmetros, validação, escolha da melhor estrutura e conversão para o tempo contínuo.

57 Capítulo 5 Modelagem Matemática 5.1 Introdução Um modelo de um sistema é uma descrição das propriedades deste sistema para um determinado propósito. O modelo não precisa necessariamente ser uma verdade absoluta do sistema ao qual está representando, mas é fundamental que seja acurado o bastante após a realização da modelagem. Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento para a obtenção de um modelo matemático para predição do tempo de vida de baterias utilizando a teoria de Identicação de Sistemas. Primeiramente é obtido um modelo matemático em tempo discreto seguindo as etapas apresentadas no Capítulo 4 na Seção 4.4. Em um segundo momento, é realizada a conversão deste modelo para tempo contínuo. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 5.2 é descrito como são obtidos os dados experimentais usados no desenvolvimento dos modelos. Na Seção 5.3 é apresentada a justicativa para a escolha da estrutura dos modelos utilizados neste trabalho, ou seja, os modelos paramétricos lineares. Na Seção 5.4 é abordado o procedimento de estimação de parâmetros dos modelos. Na Seção 5.5 é apresentada a validação dos modelos. Na Seção 5.6 é identicada a estrutura de modelo em tempo discreto, com melhor acurária, que descreve o tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis. Na Seção 5.7 é apresentado o processo de conversão do modelo obtido em tempo discreto para tempo contínuo considerando os discretizadores Zero Order Hold (ZOH) e Tustin. Na Seção 5.8 é realizada uma análise comparativa entre os modelos obtidos usando os discretizadores ZOH e Tustin, e então é escolhido o modelo que possui a melhor acurácia em tempo contínuo. 46

58 Capítulo 5. Modelagem Matemática Obtenção dos Dados Experimentais Uma das principais vantagens da teoria de Identi cação de Sistemas, é a possibilidade de se buscar identi car um modelo sem, necessariamente, conhecer os fenômenos físicos/químicos envolvidos no processo que se está modelando. Nestes casos, utiliza-se, basicamente, um conjunto de dados obtidos de um experimento real, ou de uma plataforma experimental. Neste contexto, inicialmente, é necessário obter os dados experimentais, para isso, utilizou-se uma plataforma de testes [13], a qual, com base em um determinado per l de descarga aplicado, determina o tempo de vida que a bateria possui para manter o sistema operacional. Esta plataforma foi desenvolvida no laboratório do Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC) da UNIJUÍ. Na Figura 5.1 é apresentada uma foto do ambiente de testes. Figura 5.1: Plataforma de testes. Este ambiente consta de um sistema de descargas controladas, onde é possível determinar o per l de descarga a ser aplicado a uma determinada bateria, o qual está ligado a um microcomputador, com uma ferramenta de gerenciamento da plataforma, que permite administrar as descargas, bem como armazenar as diferentes informações referentes ao processo de descarga ocorrido. Os per s de descarga foram calculados com um intervalo de a m de compreender os diferentes níveis de descarga. nível de cuto o valor de 3, 1V olts, 100mA entre um e outro Também foi determinado como ou seja, a plataforma de testes calcula o tempo de descarga até que a bateria atinga este valor. Todas as descargas foram realizadas para

59 Capítulo 5. Modelagem Matemática 48 pers constantes, não havendo variação da quantidade de energia drenada durante um processo completo de descarga. Figura 5.2: Interface de gerenciamento da plataforma de testes. A interface de gerenciamento da plataforma 5.2 é bastante simples, permitindo uma rápida conguração para realização das descargas. A plataforma permite que sejam realizadas até quatro descargas simultâneas, armazenando as informações para cada descarga em arquivos separados, facilitando a consulta aos dados. A metodologia adotada para a coleta de dados a partir da plataforma é descrita a seguir. Partiu-se da bateria completamente carregada (i.e., com uma voltagem de 4, 2 volts), os experimentos foram divididos em dois momentos, o primeiro com 9 pers de descargas constantes, as quais são apresentados na Tabela 5.1, e o segundo com 6 pers de descargas constantes, apresentados na Tabela 5.2. Para cada perl de descarga os ensaios experimentais foram repetidos dez vezes objetivando a obtenção de uma amostragem estatística satisfatória para o tempo de vida da bateria. Nas tabelas deste capítulo que apresentam os resultados experimentais, T V ei é o tempo de vida experimental, i é o número do experimento, e T V em é o tempo de vida experimental médio, sendo apresentados em minutos. Então, a partir destes ensaios, foi possível calcular as médias do tempo de vida para cada perl de descarga. Uma vez que, na Identicação de Sistemas, faz-se necessário o uso de dois conjuntos de dados distintos, sendo um utilizado na estimação de parâmetros e outro na validação dos modelos obtidos.

60 Capítulo 5. Modelagem Matemática 49 Tabela 5.1: Dados utilizados para estimação dos parâmetros das estruturas de modelos. Descarga(mA) T V e1 T V e2 T V e3 T V e4 T V e5 T V e6 T V e7 T V e8 T V e9 T V e10 T V em ,02 186,22 193,82 199,85 200,65 194,58 190,6 193,32 194,38 202,95 194, ,45 113,98 114,06 116,9 109,72 110,72 114,72 115,38 115,52 119,82 114, ,87 75,77 77,58 82,26 85,83 75,43 71,08 80,42 87,15 77,08 77, ,35 57,48 59,1 59,23 67,18 51,8 57,2 61,01 62,65 66,65 59, ,23 49,22 49,75 50,17 52,78 41,8 46,06 47,22 55,6 55,8 48, ,47 38,13 41,7 41,82 42,18 36,17 41,88 42,27 42,37 34,53 40, ,8 35,2 35,72 36,17 38,73 35,63 35,9 35,95 34,52 39,58 36, ,6 30,43 30,55 31,25 33,98 30,15 30,68 30,8 31,55 33,02 31, ,47 26,98 27,03 28,5 22,9 23,05 24,72 24,93 27,62 28,6 26,08 Tabela 5.2: Dados utilizados para validação dos modelos. Descarga(mA) T V e1 T V e2 T V e3 T V e4 T V e5 T V e6 T V e7 T V e8 T V e9 T V e10 T V em ,83 137,35 139,06 140,00 140,15 131,62 135,97 138,1 139,62 129,93 136, ,87 75,77 77,58 82,26 85,83 75,43 71,08 80,42 87,15 77,08 77, ,37 41,65 50,35 52,93 45,98 50,47 51,13 53,38 53,65 53,93 49, ,47 38,13 41,7 41,82 42,18 36,17 41,88 42,27 42,37 34,53 40, ,00 28,63 29,03 29,02 30,62 26,23 26,47 30,75 31,38 31,83 28, ,47 26,98 27,03 28,5 22,9 23,05 24,72 24,93 27,62 28,6 26, Escolha da Estrutura de Modelos Para o desenvolvimento deste trabalho, foram utilizadas as estruturas de modelos paramétricos lineares apresentadas no Capítulo 4 na Seção 4.3. Esta escolha deu-se pelo fato de que não foram encontrados na literatura técnica a formulação de modelos matemáticos de baterias, para predição do seu tempo de vida, utilizando tal teoria. Além disto, estas estruturas, são consideradas de fácil implementação. Por m, utilizou-se como condição a identicação de modelos de segunda ordem, uma vez que, um dos principais modelos, presente na literatura, para a predição do comportamento de baterias é o modelo RV já apresentado no Capítulo Estimação dos Parâmetros Para estimação dos parametros dos modelos, diferentes técnicas podem ser utilizadas. Uma das principais ferramentas de estimação é o estimador dos MQ, apresentado no Capítulo 4 na Seção 4.5. Esta técnica tem por objetivo encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre o valor calculado pelo modelo e os dados experimentais (estas diferenças são chamadas resíduos). Com isso, maximizando o grau de ajuste entre o modelo e os dados observados. Na estimação dos parâmetros foi utilizado o toolbox de Identicação de Sistemas denominado Ident presente na ferramenta computacional MATLAB. Este toolbox possui um conjunto de componentes pré-congurados que permitem o estudo de diferentes estruturas de modelos presentes na teoria de Identicação de Sistemas. Além disso, é possível o uso do estimador dos MQ, para estimação dos parâmetros dos modelos.

61 Capítulo 5. Modelagem Matemática Caixa de Ferramenta Ident No MatLab há um toolbox que permite o estudo e aplicação das diferentes estruturas de modelos presentes na teoria de Identicação de Sistemas, denominado Ident. Na Figura 5.3 é apresentada a interface de trabalho do toolbox Ident, em seguida é realizada uma descrição dos principais elementos para a identicação de modelos. Cabe destacar que o toolbox não resolve todo o processo de identicação, mas permite que algumas etapas sejam calculadas de forma mais rápida, por já estarem implementadas no toolbox. Figura 5.3: Caixa de ferramentas Ident. Os principais elementos do Ident são: 1 - Combobox com comandos para importação de conjuntos de dados; 2 - Conjuntos de dados importados na sessão corrente; 3 - Conjunto de dados selecionado para estimação; 4 - Combobox com comandos para estimação de parâmetros das diferentes estruturas de modelos; 5 - Combobox com comandos para importação de modelos trabalhados da área de trabalho; 6 - Conjuntos de modelos estimados; 7 - Conjunto de dados selecionado para validação dos Modelos presentes em 6. Nesta caixa de ferramentas, nem todas as opções para Identicação de Sistemas estão disponíveis, sendo necessário o uso frequente de outras ferramentas para o completo desenvolvimento dos modelos. Algumas vantagens deste toolbox : realização da estimação de

62 Capítulo 5. Modelagem Matemática 51 parâmetros dos coecientes dos modelos, validação dos modelos, e a possibilidade de importar modelos desenvolvidos no MatLab com o auxílio de outras ferramentas, e comparar os resultados. A seguir são apresentadas os modelos paramétricos lineares ARX, ARMAX, ES e BJ obtidos a partir do toolbox Ident e os dados experimentais apresentados na Tabela 5.1. Observa-se que as equações correspondentes a estes modelos paramétricos foram apresentadas no Capítulo 4 na Seção Modelo ARX No modelo discreto ARX, o polinômio A(q) determina a ordem do modelo, neste trabalho são considerados modelos de segunda ordem. Os polinômios gerais deste modelo são A(q) = 1 + a 1 q 1 + a 2 q 2 B(q) = b 1 q 1. Considerando os dados da Tabela 5.1 os parâmetros dos polinômios a 1, a 2 e b 2 são estimados no Ident através do método dos MQ, obtendo-se A(q) = 1 1, 297q 1 + 0, 36q 2 B(q) = 0, q 1, onde q n é o operador de atraso 1, considerando q = z, conforme [17] pode-se escrever a equação do modelo ARX (equação (4.3)) da seguinte forma y[n] = 0, q 1 u[n] + (5.1) 1 1, 297q 1 + 0, 36q e[n]. 1 1, 297q 1 + 0, 36q Modelo ARMAX Para a obtenção do modelo ARMAX é considerado o mesmo procedimento realizado para a obtenção do modelo ARX. Inicialmente tem-se os polinômios 1 O operador de atraso q n também chamado de backward shift operator dene o atraso em relação a função ao qual está relacionado q 1 y(t) = y(t 1) [17].

63 Capítulo 5. Modelagem Matemática 52 A(q) = 1 + a 1 q 1 + a 2 q 2 B(q) = b 1 q 1 C(q) = 1 + c 1 q 1, em seguida são estimados seus parâmetros A(q) = 1 1, 397q 1 + 0, 4261q 2 B(q) = 0, q 1 C(q) = 1 q 1, onde q n é o operador de atraso, considerando q = z, conforme [17] pode-se escrever a equação do modelo ARMAX (equação (4.9)) da seguinte forma y[n] = 0, q 1 u[n] + (5.2) 1 1, 397q 1 + 0, 4261q 2 1 q 1 + v[n]. 1 1, 397q 1 + 0, 4261q Modelo ES Para a obtenção do modelo ES é considerado o mesmo procedimento realizado para a obtenção do modelo ARX. Inicialmente tem-se os polinômios B(q) = b 1 q 1 F (q) = 1 + f 1 q 1 + f 2 q 2, em seguida são estimados seus parâmetros B(q) = 0, q 1 F (q) = 1 1, 397q 1 + 0, 4261q 2, onde q n é o operador de atraso, considerando q = z, conforme [17] pode-se escrever a equação do modelo ES (equação (4.12)) da seguinte forma

64 Capítulo 5. Modelagem Matemática 53 y[n] = Modelo Box-Jenkins 0, q 1 u[n] + v[n]. (5.3) 1 1, 397q 1 + 0, 4261q 2 Para a obtenção do modelo BJ é considerado o mesmo procedimento realizado para a obtenção do modelo ARX. Inicialmente tem-se os polinômios B(q) = b 1 q 1 C(q) = 1 + c 1 q 1 D(q) = 1 + d 1 q 1 + d 2 q 2 F (q) = 1 f 1 q 1 + f 2 q 2, em seguida são estimados seus parâmetros B(q) = 0, q 1 C(q) = 1 0, 82q 1 D(q) = 1 + 0, 01194q 1 + 0, 6728q 2 F (q) = 1 1, 397q 1 + 0, 4261q 2, onde q n é o operador de atraso, considerando q = z, conforme [17] pode-se escrever a equação do modelo ES (equação (4.15)) da seguinte forma 0, q 1 y[n] = u[n] + (5.4) 1 1, 397q 1 + 0, 4261q 2 1 0, 82q 1 + v[n] , 01194q 1 + 0, 6728q 2 Destaca-se que todos os modelos foram escritos na representação de funções de transferência. Após a obtenção dos modelos, a próxima etapa é a validação dos mesmos. 5.5 Validação dos Modelos Após a determinação dos quatro modelos matemáticos apresentados nas equações (5.1)-(5.4) é necessário realizar a validação dos mesmos. Para isto, foi utilizado o conjunto

65 Capítulo 5. Modelagem Matemática 54 de dados apresentado na Tabela 5.2. Na Figura 5.4 são apresentadas as curvas dos resultados das simulações para a validação dos quatro modelos matemáticos ARX, ARMAX, ES, e BJ. Em seguida, na Tabela 5.3 são apresentados os resultados obtidos da plataforma experimental (T V em ), bem como os resultados calculados pela simulação dos modelos, onde T V c é o tempo de vida simulado pelo modelo. Estes dados permitem a realização de uma análise comparativa para escolha da melhor estrutura de modelo paramétrico linear para predição do tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis Plataforma OE: 94.9% BJ: 94.9% ARMAX: 95,91% ARX: 96,01% 100 Tempo (min.) Perfil de Descarga (mah) Figura 5.4: Curvas dos modelos identicados. Tabela 5.3: Resultados dos modelos Perl(mA) T V em T V c ARX T V c ARMAX T V c OE T V c BJ ,66 136,5 136,4 135,75 135, ,95 77,8 78,05 79,2 79, ,38 51,49 51,51 52,4 52, ,55 38,21 38,25 38,3 38, ,8 30,4 30,3 29,87 29, ,08 24,9 24,7 23,78 23, Identicação da Melhor Estrutura No processo de Identicação de Sistemas, após a estimação dos parâmetros de diferentes estruturas de modelos e posterior validação. Torna-se importante realizar a escolha do modelo identicado que descreve com maior acurácia a predição do tempo de vida da bateria, para diferentes pers de descarga. Com base nos dados obtidos (Figuras 5.4 e Tabela 5.4), pode-se vericar que todos os modelos apresentaram bons resultados para predição do tempo de vida de baterias, com uma variação muito pequena (algo entre 1% a 1, 5%). Considerando os quatro modelos

66 Capítulo 5. Modelagem Matemática 55 simulados, o modelo ARX apresentado na equação 5.1, apresentou o melhor resultado quando comparado com os demais modelos simulados, ou seja, com o modelo ARX foi obtida a acurácia de 96, 01%, já com os modelos ARMAX, OE e BJ a acurácia encontrada foi de 95, 91%, 94, 9% e 94, 9%, respectivamente. Neste contexto, o modelo ARX em tempo discreto é o modelo identicado para predição do tempo de vida em baterias utilizadas em dispositivos móveis através da teoria de Identicação de Sistemas. Considerando que o modelo identicado ARX está na sua forma discreta, conforme apresentado na equação 5.1, na próxima seção é apresentado o seu processo de conversão para o tempo contínuo. 5.7 Conversão do Discreto para o Contínuo do modelo ARX A conversão do modelo ARX para o tempo contínuo tem por objetivo a obtenção de um modelo de mais fácil manipulação e mais realista, visto que o mesmo permite encontrar o tempo de vida de baterias para diferentes pers de descarga. Para realizar a conversão do modelo, foram utilizados dois discretizadores, apresentados no Capítulo 4, o ZOH e o Tustin. Em ambos os casos, os resultados obtidos foram muito próximos. A metodologia adotada para a obtenção do modelo ARX em tempo contínuo é descrita a seguir. O processo de conversão consiste na substituição da variável z por um dos discretizadores mencionados acima, convertendo o modelo, representado no domínio complexo Z, para um modelo no domínio de Laplace, ou seja, faz-se a equivalência de Z no tempo discreto, com Laplace no tempo contínuo. Isto é permitido, uma vez que, a transformada Z no domínio de tempo discreto é equivalente a transformada de Laplace no domínio de tempo contínuo [17]. Após a realização desta conversão calcula-se, então, a transformada inversa de Laplace para a função de transferência obtida, e chega-se ao modelo o domínio do tempo para predição do tempo de vida de baterias de dispositivos móveis. Observa-se que no processo de conversão para o tempo contínuo algumas informações podem ser perdidas tornando o modelo, muitas vezes, menos acurado que o modelo original em tempo discreto e vice-versa, uma vez que, em geral, os modelos em tempo discreto estão normalizados. Sendo assim, é importante ressaltar que o modelo necessita de um ajuste, denominado ganho. A seguir será descrito o processo de conversão para tempo contínuo do modelo ARX utilizando o discretizador ZOH e o modelo de Tustin, bem como os resultados obtidos.

67 Capítulo 5. Modelagem Matemática Conversão por ZOH Utilizando-se o modelo ARX identicado, realizou-se a conversão com base no discretizador ZOH. Este discretizador, substitui o sinal discreto, por um sinal contínuo de amplitude equivalente, e o mantém durante o intervalo entre uma amostragem e outra. Os modelos calculados estão representados com atraso de tempo, ou seja, para realizar a conversão é necessário escrevê-los como funções de transferência representadas no domínio Z. Partindo-se do modelo A(q)y(k) = B(q)u(k) + v(k), com A(q) e B(q), polinômios arbitrários, conforme já descrito no Capítulo 4, escrevendo-se este modelo como representação em função de transferência, obtém-se onde os polinômios A(q) e B(q) são y(k) = B(q) A(q) u(k) + 1 v(k), (5.5) A(q) A(q) = 1 1, 297q 1 + 0, 36q 2 B(q) = 0, q 1. Substituindo os polinômios na equação (5.5), tem-se y(k) = 0, q 1 1 1, 297q 1 + 0, 36q u(k) + 1 v(k) , 297q 1 + 0, 36q 2 Segundo Ljung [17], o operador de atraso q pode ser substituído diretamente por z, para o cálculo da Transformada Z. Sendo assim a equação (5.6) transforma-se em y(k) = 0, z 1 1 1, 297z 1 + 0, 36z u(k) + 1 v(k). (5.6) 2 1 1, 297z 1 + 0, 36z 2 Da equação (5.6) obtém-se a função de transferência que relaciona a entrada do sistema a sua saída, apresentada na equação (5.7); e a função de transferência do erro, apresentada na equação (5.8), ou seja, B(z) A(z) = 0, z 1, (5.7) 1 1, 297z 1 + 0, 36z 2 1 A(z) = 1. (5.8) 1 1, 297z 1 + 0, 36z 2

68 Capítulo 5. Modelagem Matemática 57 Inicialmente, torna-se necessário escrever as equações (5.7) e (5.8) como funções de transferências sem o atraso, o que é realizado, neste caso, fazendo-se a multiplicação de ambas por z2 z 2, tornando-as B(z) A(z) = 0, z z 2 1, 297z + 0, 36 (5.9) 1 A(z) = 1 z 2 1, 297z + 0, 36. (5.10) Feito isto, então realiza-se a conversão dos modelos do domínio Z para o domínio de Laplace. Para o discretizador ZOH, este processo é realizado fazendo-se a substituição de z 1 e s.t s, s onde T s = 100 é o intervalo de amostragem dos dados utilizados para estimação dos parâmetros de A(q) e B(q). Após obtém-se as seguintes funções de transferência no domínio de Laplace, primeiramente a relação entrada/saída do sistema dada por e, então o erro, dado por B(s) A(s) = 0, s 0, s 2 + 0, 0104s + 0, , C(s) A(s) = s2 + 0, 02233s + 0, s 2 + 0, 0104s + 0, Realizando as operações para o cálculo da transformada inversa de Laplace das funções de transferência obtidas, chega-se ao modelo algébrico no domínio do tempo apresentado na equação (5.11) dado por y(k) = G[6195, 34935e 0, k 170, e 0, k ]. (5.11) Além estas etapas, é necessário calcular o ganho do modelo (i.e., G), o qual, geralmente é constante. Entretanto, com base nos resultados obtidos, vericou-se que o ganho não era constante, sofrendo uma pequena variação a medida que as descargas eram maiores. Foram realizadas algumas regressões, dentre elas, a linear, a exponencial e a de potência, sendo escolhida a de potência por melhor ajustar os dados, logo o modelo apresentado na equação (5.11) torna-se y(k) = [6195, 34935e 0, k 170, e 0, k ]k 0,6688, (5.12) que representa em tempo contínuo o modelo matemático que descreve do tempo de vida

69 Capítulo 5. Modelagem Matemática 58 de uma bateria em função da corrente de descarga, onde y(k) é o tempo de vida da bateria e k é o perl de descarga. A seguir será apresentado o processo de conversão do modelo ARX do domínio de tempo discreto para contínuo, utilizando-se o método de Tustin Conversão por Tustin Assim como no discretizador ZOH, o discretizador Tustin faz a substituição da variável z do domínio complexo Z para a variável s de no domínio de Laplace. Partindo-se do modelo apresentado na equação (5.6) y(k) = 0, z 1 1 1, 297z 1 + 0, 36z u(k) + 1 v(k), 2 1 1, 297z 1 + 0, 36z 2 o procedimento é semelhante ao realizado com o discretizador ZOH, neste caso z nas funções de transferência da relação entrada/saída do sistema, equação (5.9) e do erro do modelo, equação (5.10), é realizada a substituição z 1 + ( T s 2 )s 1 ( T s 2 )s, onde T s = 100 é o intervalo de amostragem dos dados utilizados na estimação dos parâmetros do modelo. Após obtém-se as funções de transferência no domínio de Laplace da relação entrada/saída do modelo dada por e do erro do modelo dada por B(s) A(s) = 0, s2 0, s 2 + 0, s + 0, , C(s) A(s) = s 2 + 0, 04s + 0, 0004 s 2 + 0, s + 0, Em seguida é necessário realizar a transformada inversa de Laplace, onde estas funções são calculadas como sendo a resposta ao impulso unitário, e assim foi obtido o modelo no tempo contínuo dado por y(k) = G[6732, e 0, k 2504, e 0, k ]. (5.13) Conforme já mencionado na seção anterior o ganho normalmente é constante, entretanto, foram analisados os valores do ganho e vericou-se que o mesmo não era constante, o qual foi calculado por uma regressão de potência e acrescido ao modelo. A regressão de potência foi escolhida após uma análise entre as regressões linear, exponencial e de

70 Capítulo 5. Modelagem Matemática 59 potência, logo o modelo apresentado na equação (5.13) torna-se y(k) = [6732, e 0, k 2504, e 0, k ]k 0,6783, (5.14) que representa em tempo contínuo o modelo matemático que descreve do tempo de vida de uma bateria em função da corrente de descarga, onde y(k) é o tempo de vida da bateria e k é o perl de descarga. Após as conversões, na próxima seção será feita uma breve análise dos modelos em tempo contínuo obtidos para escolha do que melhor representa o modelo ARX em tempo discreto para o cálculo do tempo de baterias utilizadas em dispositivos móveis 5.8 Análise Comparativa dos Modelos em Tempo Contínuo Nesta seção é realizada uma análise comparativa entre as duas expressões analíticas, apresentadas respectivamente nas equações (5.12) e vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis no tempo contínuo. (5.14), que descrevem o tempo de A comparação foi realizada considerando os dados experimentais de validação apresentados na Tabela 5.2. Então com as respectivas correntes de descargas os tempos de vida da bateria foram calculados a partir das equações obtidas, i.e., respectivamente equações (5.12) e (5.14), por m os resultados calculados a partir dos modelos foram comparados com os resultados experimentais obtidos da plataforma de testes. Na Tabela 5.4 são apresentados os resultados encontrados nesta análise comparativa, bem como o erro obtido entre os tempos de vida calculados pelo modelo, e os dados experimentais para cada corrente de descarga, e o erro médio. Tabela 5.4: Validação dos modelos contínuos. Descarga(mA) T V em T V c ARX - Tustin Erro T V c ARX - ZOH Erro ,66 137,02 0,26% 137,41 0,54% ,95 84,61 8,54% 84,01 7,77% ,38 57,55 16,55% 57,17 15,78% ,55 41,2 1,61% 41,12 5,19% ,8 30,49 5,85% 30,6 6,25% ,08 23,08 11,51% 23,31 10,61% Erro médio 7,39% Erro médio 7,69% A partir do erro médio é vericado que o modelo ARX convertido para o tempo contínuo a partir do discretizador Tustin, apresentado na equação 5.14, obteve os melhores resultados quando comparado com o modelo ARX convertido para o tempo contínuo a partir do discretizador ZOH. O primeiro modelo apresentou um erro médio de 7, 39%, enquanto o segundo modelo apresentou um erro médio de 7, 69%. Portanto, o modelo ARX obtido através da discretização de Tustin é o modelo matemático em tempo contínuo

71 Capítulo 5. Modelagem Matemática 60 escolhido para predição do tempo de vida em baterias utilizadas em dispositivos móveis através da teoria de Identicação de Sistemas. No capítulo seguinte será realizada a comparação entre os modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo obtidos neste capítulo com o modelo RV, o qual é um dos modelos analíticos de melhor acurácia da literatura que descreve o tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis.

72 Capítulo 6 Análise Comparativa entre os Modelos ARX e o Modelo RV 6.1 Introdução Neste capítulo será realizada uma análise comparativa entre os modelos desenvolvidos neste trabalho, ou seja, os modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo com o modelo RV, apresentado no Capítulo 3. Este último é considerado um dos modelos analíticos de melhor acurácia, encontrado na literatura, para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. O restante deste capítulo está organizado como segue. 6.2 Validação do Modelo RV Para realizar a simulação do modelo RV é necessário dois conjuntos de dados reais da situação problema, que neste trabalho consiste no processo de descarregamento de uma bateria. O primeiro conjunto de dados é utilizado para a estimação dos parâmetros α e β deste modelo, sendo, para isto, utilizados os dados apresentados na Tabela 5.1 do Capítulo 5; e o segundo conjunto de dados é utilizado para a validação do modelo, neste caso são usados os dados apresentados na Tabela 5.2 também presente no do Capítulo 5. RV. Na Tabela 6.1 são apresentados os dados obtidos para os parâmetros α e β do modelo Tabela 6.1: Parâmetros do modelo RV. Parametro Valor alfa (α) beta (β) -3,6448 Após os cálculos dos parâmetros α e β do modelo RV, foi utilizada a equação (3.9), apresentada no Capítulo 3, com as correntes de descargas apresentados na Tabela 5.2 para 61

73 Capítulo 6. Análise Comparativa entre os Modelos ARX e o Modelo RV 62 o cálculo do tempo de vida da bateria (i.e., T V c ), e por m estes resultados calculados foram comparados com os resultados experimentais obtidos da plataforma de testes (i.e, T V e ). Na Tabela 6.2 são apresentados os resultados obtidos a partir da validação do modelo RV. Conforme pode ser observado, o erro médio entre os dados experimentais obtidos da plataforma de testes, e os dados calculados foi de aproximadamente 5, 68%. Tabela 6.2: Validação do modelo RV. Descarga(mA) T V e T V c Erro ,66 143,00 4,43% ,95 79,89 2,49% ,38 54,67 10,71% ,53 41,00 1,16% ,8 32,56 13,05% ,08 26,67 2,26% Erro Médio 5,68% A próxima seção apresenta a análise comparativa entre os Modelos ARX em tempo discreto e ARX em tempo contínuo. 6.3 Análise Comparativa entre os Modelos Nesta seção é realizada uma análise comparativa entre os modelos desenvolvidos neste trabalho, ou seja, os modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo através da teoria de Identicação de Sistemas e o modelo RV. Os resultados obtidos são apresentados na Tabela 6.3. Tabela 6.3: Análise comparativa entre os modelos ARX e o modelo RV Descarga(mA) T V e T V c ARX - Discreto Erro T V c ARX - Continuo Erro T V c modelo RV Erro ,66 136,5 0,1% 137,02 0,26% 143,00 4,43% ,95 77,8 0,2% 84,61 8,54% 79,89 2,49% ,38 51,49 4,27% 57,55 16,55% 54,67 10,71% ,53 38,21 5,72% 41,2 1,61% 41,00 1,16% ,8 30,4 5,55% 30,49 5,85% 32,56 13,05% ,08 24,9 4,52% 23,08 11,51% 26,67 2,26% Erro Médio: 3,39% 7,39% 5,68% Conforme pode ser observado, o modelo ARX em tempo discreto apresentou um erro de aproximadamente 3, 39% enquanto o ARX em tempo contínuo apresentou um erro de 7, 39% e o modelo RV 5, 68%. Pode-se vericar, com base nos resultados obtidos, que o modelo ARX em tempo discreto descreve com melhor acurácia o tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis quando comparado com o modelo ARX em tempo contínuo, e com o modelo RV. Após os resultados das simulações era esperado um comportamento semelhante entre o modelo ARX em tempo discreto e o modelo ARX em tempo contínuo. Por outro lado, conforme foi abordado no Capítulo 5 observou-se que no processo de conversão do modelo ARX para o tempo contínuo, algumas informações do modelo ARX em tempo discreto

74 Capítulo 6. Análise Comparativa entre os Modelos ARX e o Modelo RV 63 são perdidas, prejudicando a acurácia do modelo. Acredita-se que este fato ocorre porque os modelos em tempo discreto estão normalizados, e por este motivo necessitam de um ajuste, que neste trabalho é denominado ganho, porém estas hipóteses precisam ser melhores investigadas. A seguir serão apresentadas as conclusões deste trabalho, bem como as possibilidades de trabalhos futuros.

75 Capítulo 7 Conclusões e Trabalhos Futuros Com o amplo uso de dispositivos móveis nas mais diversas áreas, seja para o lazer ou trabalho, exige-se que estes aparelhos permitam uma utilização eciente, com um equipamento de tamanho e peso signicativamente pequenos, para que sejam facilmente transportados. Em geral, uma das suas principais características é o uso de uma bateria para o fornecimento de energia. Como a bateria possui limitações relacionadas a seu peso e tamanho, torna-se importante possuir algum método que permita prever o tempo de vida da bateria e consequentemente do dispositivo que ela mantém operacional. Uma das formas de calcular o tempo de vida de baterias é por meio de experimentação física. Entretanto, dependendo da aplicação este processo pode torna-se inviável do ponto de vista econômico, bem como do ponto de vista computacional, exigindo um grande esforço para compreensão do processo físico/químico envolvido durante uma descarga, além de um tempo signicativo para a solução computacional. Outra maneira é utilizando modelos matemáticos que simulam a descarga de energia de um sistema. No decorrer dos anos diferentes modelos foram desenvolvidos, cada um com suas características e níveis de complexidade. Neste trabalho é apresentado o desenvolvimento de um modelo matemático considerando estruturas de modelos presentes na Teoria de Identicação de Sistemas para o cálculo da predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Foram estudadas as estruturas de modelos paramétricos lineares, mais especicamente, os modelos ARX, ARMAX, ES e BJ. A escolha destes modelos ocorreu devido ao fato de não existir, na literatura técnica, pesquisas relacionadas a predição do tempo de vida de baterias que utilizam esta teoria. Além disto, estes modelos são considerados simples e de fácil implementação adequando-se a maioria dos casos a estudar, sendo considerados do tipo caixa cinza/preta, uma vez que necessitam de pouco ou nenhum conhecimento prévio do processo que se está querendo modelar. Neste trabalho considerou-se algumas informações relacionadas aos modelos existentes na literatura, caracterizando a modelagem 64

76 Capítulo 7. Conclusões e Trabalhos Futuros 65 como caixa-cinza. Todos os modelos foram implementados na ferramenta computacional MatLab, a escolha por este software deve-se ao fato de ser desenvolvido especialmente para operações matemáticas e por possuir em seu conjunto de ferramentas/bibliotecas uma destinada, exclusivamente ao trabalho com Identicação de Sistemas, denominada Ident. As simulações computacionais foram realizadas considerando um conjunto de dados proveniente de uma plataforma de testes desenvolvida especicamente para esta nalidade, onde os pers de descarga referem-se a uma bateria de Li-Ion presente em telefones celulares, mais especicamente uma bateria BL-5F desenvolvida pela empresa Nokia. Uma das principais características deste trabalho é que os dados simulados foram comparados com dados reais provenientes de um ambiente de testes. O que é considerado um diferencial no trabalho, pois, em geral, as pesquisas correlatas fazem uso de simuladores (um simulador frequentemente utilizado é o DualFoil) que possuem signicativa acurácia mas, ainda assim, não podem ser comparados a dados reais. Os modelos ARX, ARMAX, ES e BJ foram validados e foi escolhido o modelo ARX em tempo discreto para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, pois este apresentou a melhor acurácia com erro médio de 3, 39%, quando comparado com os demais modelos simulados e com os dados provenientes da plataforma de testes. Objetivando a obtenção de um modelo de mais fácil manipulação e mais realista, que permite encontrar o tempo de vida de baterias para diferentes pers de descarga, foi realizada a conversão do modelo ARX em tempo discreto para tempo contínuo utilizando-se dois discretizadores o ZOH e o Tustin. Em seguida, foi realizada uma análise comparativa entre os modelos ARX em tempo contínuo, e o modelo ARX na qual foi utilizado o discretizador Tustin foi mais acurado apresentando erro médio de 7, 39%, quando comparado com os dados provenientes da plataforma de testes. Por m, foi realizada a comparação dos modelos ARX em tempo discreto e em tempo contínuo com o modelo RV, que é o modelo analítico de melhor acurácia encontrado na literatura para predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. A partir dos resultados das simulações foi encontrado que o modelo ARX em tempo contínuo apresentou um erro médio de 7, 39%, o modelo RV apresentou um erro médio de 5, 68% e o modelo ARX em tempo discreto apresentou um erro médio de 3, 39%, quando comparados com os dados obtidos da plataforma de testes. Conclui-se que o modelo ARX em tempo discreto possui os melhores resultados, sendo que o mesmo pode ser sugerido para ser utilizado na predição do tempo de vida de baterias, pois possui acurácia adequada, sendo de fácil entendimento e simulação. Por outro lado, era esperado um comportamento semelhante do modelo ARX em tempo contínuo, porém, conforme foi abordado durante o desenvolvimento deste trabalho, vericou-se que no

77 Capítulo 7. Conclusões e Trabalhos Futuros 66 processo de conversão do modelo ARX em tempo discreto, para o tempo contínuo, alguns problemas podem ter ocorrido tais como: perda de informações do modelo durante a conversão, perda de precisão pelo fato do modelo em tempo discreto ser normalizado, método utilizado para obtenção do ganho não ser adequado. Sendo assim estas hipóteses precisam ser melhor investigadas. Como trabalhos futuros sugere-se investigar a acurácia do modelo ARX em tempo contínuo, realizar a modelagem matemática utilizando a Teoria de Identicação de Sistemas para cargas variáveis, realizar a modelagem matemática considerando outros métodos de estimação de parâmetros, bem como outras estruturas de modelos presentes na Teoria de Identicação de Sistemas, como por exemplo, modelos em espaço de estados, modelos não-lineares, entre outros. E assim, cada vez mais, buscar melhores resultados e colaborar no desenvolvimento tecnológico de aparelhos portáteis. [19, 20]

78 Referências Bibliogracas [1] M. R. Jongerden and B. Haverkort, Battery modeling, Thecnical Report in Faculty Electrical Engineering, Janeiro [2] P. S. Sausen, Gerenciamento integrado de energia e controle de topologia em redes de sensores sem o, Doutorado, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande-PB, Julho [3] K. K. Schneider, Modelos analíticos na predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijui-RS, Março [4] K. Lahiri, A. Raghunathan, S. Dey, and D. Panigrahi, Battery-driven system design: A new frontier in low power design, Proc. Intl. Conf. on VLSI Design/ASP-DAC, pp , Janeiro [5] M. R. Jongerden and B. Haverkort, Which battery model to use? Imperial College London, pp. 7688, [6] L. A. Aguirre, Introdução à Identicação de Sistemas: Técnicas Lineares e Não- Lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 3rd ed. Belo Horizonte: UFMG, [7] P. M. Soares, Discretização de controladores contínuos, Mestrado, Universidade do Porto, Cidade de Porto-Portugal, Outubro [8] M. Chen and G. Rincón-Mora, Accurate electrical battery model capable of predicting runtime and i-v performance, IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 21, no. 2, pp , Junho [9] D. Rakhmatov and S. Vrudhula, An analytical high-level battery model for use in energy management of portable electronic systems, National Science Foundation's State/Industry/University Cooperative Research Centers (NSFS/IUCRC) Center for Low Power Electronics (CLPE), pp. 16,

79 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 68 [10] C. Chiasserini and R. Rao, A model for battery pulsed discharge with recovery eect, IEEE Wireless Communications and Networking Conference, pp , [11] M. Doyle, T. F. Fuller, and J. Newman, Modeling of galvanostatic charge and discharge of the lithium, polymer, insertion cell, Journal of the Electrochemical Society, vol. 140, no. 6, pp , [12] A. Oliveira, Análise comparativa de metodologias de estimação de parâmetros aplicada a modelos analíticos utilizados na predição do tempo de vida de uma bateria, Mestrado, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijui- RS, Março [13] H. B. Nonemacher, L. Minelli, P. S. Sausen, and A. Sausen, Desenvolvimento de um testbed para avaliação de modelos matemáticos utilizados na predição do tempo de vida das baterias, XXIV Congresso Regional de Iniciação Cientíca e Tecnológica em Engenharia - CRICTE, 2010, universidade Federal de Rio Grande-RS, Brasil. [14] P. S. S. C. M. D. Porciuncula, A. Oliveira and A. Sausen, Avaliação de modelos elétricos na estimação do tempo de vida de baterias, XIX Congresso Brasileiro de Automática (CBA), pp , Setembro [15] C. Chiasserini and R. Rao, Pulsed battery discharge in communication devices, Proceedings of the 5th International Conference on Mobile Computing and Networking, pp. 8895, [16] M. Doyle, T. F. Fuller, and J. Newman, Simulation and optimization of the dual lithium ion insertion cell, Journal of the Electrochemical Society, vol. 141, no. 1, pp. 110, [17] L. Ljung, System Identication: Theory for the User, 2nd ed. New Jersey: Prentice Hall PTR, [18] O. Helene, Método dos Mínimos Quadrados com formalismo matricial: guia do usuário, 1st ed. São Paulo: Livraria da Física, [19] H. Funato, A. Forrai, Y. yanagita, and Y. Kato, New estimation method of state of batteries based on system identication, 4. IEEE Internation Symposium on Diagnostics for Eletric Machines, Power Electronics and Drives, pp , [20] S. P. Schooling, P. E. Wellstead, L. Denny, and J. Edmonds, The use of system identication technology in the development of a battery test instrument. a techno-

80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 69 logy transfer case study, Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Control Applications, pp , Setembro 2000.

81 Apêndice A Publicações Relacionadas a Dissertação A seguir serão descritas algumas publicações realizadas durante esta pesquisa. A.1 Artigos Publicados em Congressos 1. L. C. Romio, A. T. Z. R. Sausen, P. S. Sausen, M. M. P. Reimbold, Aplicação de Identicação de Sistemas no Tempo de Vida de Baterias de Dispositivos Móveis, in Anais da V Conferência Sul em Modelagem Computacional - (MCSul). Rio Grande, RS, Brasil, September 19-21, A.2 Artigos Publicados em Periódico Nacional 1. L. C. Romio, A. T. Z. R. Sausen, P. S. Sausen, M. M. P. Reimbold, Aplicação de Identicação de Sistemas no Tempo de Vida de Baterias de Dispositivos Móveis. VETOR - Revista de Ciências Exatas e Engenharias, vol 22, 2012 (no prelo). 70

82 Apêndice B Implementação em MatLab - Modelo ARX Discreto Neste apêndice, está descrito um exemplo implementado em MatLab para estimação de baterias, utilizando o modelo ARX identicado na pesquisa. arx_tempo_discreto.m clear clc y(1) = (rand(1)/100); y(2) = (rand(1)/100); u(1) = 150; u(2) = 250; prim_entrada = u(1); cor_max_bateria = 970; intervalo = round(u(2) - u(1)); fprintf('intervalo: %d \n', intervalo); %Impressao do Intervalo Obtido if (prim_entrada > intervalo) ajuste = mod(prim_entrada,intervalo); else ajuste = prim_entrada; end fprintf('favor Informar um Valor a ser calculado (Entre %d mah e %d mah): ', prim_entrada, cor_max_bateria); calcular = input(' '); while (calcular < prim_entrada calcular > cor_max_bateria) fprintf('valor Incoerente. \n'); fprintf('favor Informar um Valor a ser calculado (Entre %d mah e %d mah): ', prim_entrada, cor_max_bateria); calcular = input(); end if ((mod(calcular,intervalo) - ajuste) = 0) posicao_ent_1 = (floor(((calcular - prim_entrada)/intervalo) + 1)); posicao_ent_2 = (ceil(((calcular - prim_entrada)/intervalo) + 1)); ent_1 = (prim_entrada + ((posicao_ent_1-1)*intervalo)); ent_2 = (prim_entrada + ((posicao_ent_2-1)*intervalo)); for i = 3:ent_2 u(i) = u(1) + (i-1)*intervalo; y(i) = 1.297*y(i-1) *y(i-2) *u(i-1) + (rand(1)/100); end sai_1 = y(posicao_ent_1); sai_2 = y(posicao_ent_2); fprintf('o valor esta entre %d (%8.2f) e %d (%8.2f). \n', ent_1, sai_1, ent_2, sai_2); A = [ent_1 1; ent_2 1]; Y_reta = [sai_1; sai_2]; T = inv(a)*y_reta; a = T(1); b = T(2); saida = ((a*calcular + b) + rand(1)/1000); fprintf('\n \n'); fprintf('perfil de Descarga: %d mah \n', calcular); fprintf('tempo Estimado de Vida: %8.2f Min. \n', saida); else 71

83 Apêndice B. Implementação em MatLab - Modelo ARX Discreto 72 posicao = round(((calcular - prim_entrada)/intervalo) + 1); for i = 3:posicao u(i) = u(1) + (i-1)*intervalo; y(i) = 1.297*y(i-1) *y(i-2) *u(i-1) + (rand(1)/100); end saida = y(posicao); fprintf('\n \n'); fprintf('perfil de Descarga: %d mah \n', calcular); fprintf('tempo Estimado de Vida: %8.2f Min. \n', saida); end Fim do Documento.

84 Apêndice C Conversão: Domínio (z) para Domínio de Laplace (s) Neste apêndice será apresentado o processo de conversão do domínio z para o domínio de Laplace (s). C.1 Conversão por ZOH O processo de conversão de discreto para contínuo utilizando o Zero-Order Hold (ZOH), foi realizado utilizando-se o software MatLab, uma vez que este, possui em seu conjunto de comandos, um que permite a conversão de discreto p/contínuo e vice-versa, utilizando este discretizador. Além de ser bastante referenciado na literatura. O comando pare realizar este processo é d2c. C.2 Conversão por Tustin A conversão por Tustin, foi realizada, inicialmente, de forma analítica. Em seguida, o resultado foi comparado com a solução computacional obtida com o auxílio do software MatLab. O desenvolvimento analítico, será descrito a seguir. Considerando os Polinômios: A(q) = 1 1, 297q 1 + 0, 36q 2 B(q) = 0, q 1 C(q) = 1 (C.1) (C.2) 73

85 Apêndice C. Conversão: Domínio (z) para Domínio de Laplace (s) 74 Escrevendo as funções de transferência da relação entrada/saída e do erro do sistema, obtem-se e B(q) A(q) = 0, q 1 1 1, 297q 1 + 0, 36q 2 (C.3) C(q) A(q) = 1 0, q 1 1 1, 297q 1 + 0, 36q 2 (C.4) C.2.1 Função de Transferência da Relação Entrada/Saída Substituindo q por z e multiplicando por z2 z 2, chega-se a B(z) A(z) = 0, z z 2 1, 297z + 0, 36 (C.5) Agora, substituindo z 1+ T s 2 s 1 T s 2 s B(s) 0, A(s) = ( ) 1+ T s 2 ( 2 s , 297 T s 2 s ( ) 1+ T s 2 s 1 T s 2 s ) T s 2 s 2 s 1 T s + 0, 36 (C.6) Onde T s representa o intervalo de amostragem, neste trabalho o intervalo de amostragem utilizado foi de 100mAh. Logo T s = 100, e a função de transferência passa a ser escrita ( 1+50s ) B(s) A(s) = 0, s ( 1+50s ) 2 ( 1, s ) (C.7) + 0, s 1 50s 0, ,04634s B(s) A(s) = 1 50s 6642,5s 2 +64s+0,063 (1 50s) 2 (C.8) B(s) A(s) = 2, 317s 2 0, s 2 + 0, s + 0, (C.9)

86 Apêndice C. Conversão: Domínio (z) para Domínio de Laplace (s) 75 A(s) = s 2 + 0, 09635s + 0, B(s) = 2, 317s 2 0, (C.10) (C.11) C.2.2 Função de Transferência do Erro Substituindo q por z e multiplicando por z2 z 2, chega-se a C(z) A(z) = z 2 z 2 1, 297z + 0, 36 (C.12) Agora, substituindo z 1+ T s 2 s 1 T s 2 s C(z) A(z) = ( 1+ T s 2 s 1 T s ( ) 1+ T s 2 2 s 1 T s 2 s 2 s ) 2 1, 297 ( 1+ ) T s 2 s 1 T s 2 s + 0, 36 (C.13) Onde T s representa o intervalo de amostragem, neste trabalho o intervalo de amostragem utilizado foi de 100mAh. Logo T s = 100, e a função de transferência passa a ser escrita C(s) A(s) = ( 1+50s 1 50s ( 1+50s ) s ) 2 1, 297 ( 1+50s 1 50s ) + 0, 36 (C.14) C(s) A(s) = s 2 + 0, 04s + 0, 0004 s 2 + 0, 09635s + 0, (C.15) Logo obtem-se A(s) = s 2 + 0, 09635s + 0, C(s) = s 2 + 0, 04s + 0, 0004 (C.16) (C.17)

87 Apêndice D Utilização do toolbox Ident Neste apêndice será apresentado, brevemente, o toolbox Ident o qual pode ser acessado a partir da janela de comandos do software MatLab digitando-se o comando ident. As ferramentas oferecidas pela caixa de ferramentas serão descritas de acordo com os elementos destacados e numerados na Figura D.1. Figura D.1: Ambiente de Trabalho do toolbox ident. 1. Caixa de Importação de Dados Import Data: Neste campo o usuário seleciona o modo/tipo de importação dos dados experimentais obtidos (Figura D.2), os dados devem, previamente, ser inseridos em dois vetores no MatLab, sendo salvos em uma arquivo ".mat"ou ".dat". Figura D.2: List-box contendo informações para importação de dados. 76

88 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident 77 Assim que selecionado o tipo de importação, a janela ilustrada pela Figura D.3 é acionada. Nesta janela alguns campos precisam ser informados. Figura D.3: Ferramentas para importação de dados. A. Campo destinado a inserção do vetor que contém os dados de entrada do sistema (Input); B. Campo destinado a inserção do vetor que contém os dados de saída do sistema (Output); C. Campo destinado a nomeação do conjunto de dados importado (Data Name); D e E. Campos destinados a inserção do valor de partida do sistema (Starting Time) e do intervalo de amostragem (Sampling Interval ); F. Botão para encerramento da nalização da importação do conjunto de dados Após realizado o processo de importação (item 1), cada conjunto de dados importado é representado por um ícone, que o usuário pode selecionar ou não para trabalho na ferramenta, conforme ilustra a Figura D.4...

89 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident 78 Figura D.4: Ícones de representação dos dados importados. 3. Time Plot: Quando selecionado gera dois grácos, possibilitando a análise dos sinais de entrada e saída em função do tempo (Figura D.5)... Figura D.5: Gráco gerado pela seleção da opção Time Plot. 4. Data Spectra: Quando selecionado gera dois grácos, possibilitando a análise espectral dos sinais de entrada e saída (Figura D.6)... Figura D.6: Análise espectral dos dados importados.

90 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident Frequence Function: Esta opção, quando selecionada, permite a análise da frequência gerada pelos sinais importados (Figura D.7)... Figura D.7: Grácos gerados pela seleção de Frequence Domain. 6. Processes: Este List-Box oferece ao usuário dez (10) ferramentas para manipulação dos dados como ltragem e remoção de ruídos (Figura D.8)... Figura D.8: Opções para manipulação dos dados importados. 7. Working Data: Campo onde é denido o conjunto de dados a serem trabalhados pelos itens (6) em diante, bastando arrastá-los do campo descrito no item (2) para seu centro (Figura D.9) Estimate: Este List-Box disponibiliza as ferramentas para a estimação dos modelos, onde o usuário pode escolher o melhor método cabível para representar o sistema. Tais

91 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident 80 Figura D.9: Área de seleção do conjunto de dados utilizado para estimação. métodos são: modelos lineares paramétricos, modelos de processo, modelos não-lineares, modelos espectrais, modelos de correlação e método denido pelo usuário. Este campo é ilustrado na Figura D Figura D.10: List-box de estimação dos dados. 9. Trash: Quando se deseja excluir determinado conjunto de dados, o usuário deve arrastar um ícone tanto do item (2) quanto no item (11) (o qual será descrito adiante) para o ícone Trash é excluído (Figura D.11)... Figura D.11: Lixeira. 10. O Ident oferece a opção de salvar seções, ou seja, caso o usuário não nalize seu trabalho e deseja salvar algum modelo estimado é possível retornar a manuseá-lo por este campo...

92 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident Quando um modelo é estimado pelo item (8) ou importado pelo item (10) é criado um ícone neste campo com as mesmas características no campo descrito no item (2), o mesmo ativa as ferramentas nos itens (12)-(18). Na Figura D.12, é ilustrado este processo com a estimação de modelos lineares paramétricos. Figura D.12: Ícones criados após estimação Model Output: Quando o usuário selecionar este campo, o sistema gera um gráco expondo os modelos gerados e selecionados no campo descrito no item (11) com a aproximação (Figura D.13) obtida pelos dados de validação importados e arrastados para o item (13), o qual será descrito a seguir... Figura D.13: Visualização de saída do modelo estimado. 13. Model Resids: Quando selecionado permite a análise residual dos modelos gerados (Figura D.14).

93 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident 82 Figura D.14: Modelo Residual Validation Data: para validar os modelos gerados deve-se ter um conjunto de dados diferentes dos importados para a obtenção dos modelos, logo o usuário deve importar novos dados pelo mesmo método descrito no item (1) e o ícone criado por este processo no campo citado no item (2) deve ser arrastado para o seu centro, selecionando assim este conjunto para a validação e comparação no item (12) Transient Resp: Resposta transitória oferece uma boa perspectiva em propriedades dinâmicas de um modelo e é obtida pela amostragem da resposta ao degrau ou resposta ao impulso... Figura D.15: Resposta Transiente. 16. Frequency Resp: Demonstra as frequências para as quais estimar a resposta.

94 Apêndice D. Utilização do toolbox Ident 83 Figura D.16: Resposta em Frequência dos modelos estimados Zeros and Poles: Os zeros e os polos são maneiras equivalentes de descrever os coecientes de um equação diferença linear como o modelo ARX. Os polos referem-se à "Saída"e os zeros se relacionam com a "entrada"desta equação. Figura D.17: Zeros e pólos dos modelos estimados Noise spectrum: mostra de maneira gráca o resíduo espectral... Este material foi retirado do projeto de iniciação cientíca desenvolvimento no Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC) - UNIJUÍ, pelo bolsista Alisson Vercelino Beerbaum, sob orientação da Professora Dr(a). Airam Teresa Zago Romcy Sausen.