As Tarefas Matemáticas e os Processos de Avaliação, Ensino e Aprendizagem

Transcrição

1 As Tarefas Matemáticas e os Processos de Avaliação, Ensino e Aprendizagem António Borralho (amab@uevora.pt) Centro de Investigação em Educação e Psicologia Universidade de Évora Portugal

2 Últimos 40 anos Ritmo reformista a nível curricular Alterações curriculares em todos os países Expansão dos regimes democráticos Facilidade de mobilidade de pessoas e mercadorias Tecnologias de informação e comunicação Sociedades mais: -Multiculturais - competitivas - exigente a todos os níveis - abertas do ponto de vista económico Sociedades também: - mais instáveis - mais inseguras - menos previsíveis

3 Implicação Ritmo reformista a nível curricular Diversificação e flexibilização de percursos formativos Educação ao longo da vida Alargamento da escolaridade obrigatória Ideia central: sistemas educativos preparem jovens capazes de lidar com situações complexas, de resolverem problemas em contextos diversificados (nacional e internacional), de trabalharem em grupos cada vez mais multiculturais, de comunicarem facilmente na sua língua (e pelo menos noutra estrangeira), de saberem TIC, de selecionarem informação, de serem tolerantes para com as diferenças, de serem cidadãos críticos e participativos na vida democrática das sociedades Os currículos de hoje lançam desafios que excedem a memorização de conhecimentos e de procedimentos rotineiros

4 Implicação Ritmo reformista a nível curricular Fins dos anos 80: Alguns países começaram a desencadear movimentos, mais ou menos institucionais, tendentes a alinhar a avaliação com as novas exigências curriculares

5 Exercício Problema Investigação Simplifica: a) b) c) (21 13) (15 10) 2 3 Tipos de Tarefas Qual o mais pequeno número inteiro que, dividido por 5, 6 e 7 dá sempre resto 3? 1. Escreve a tabuada dos 9, desde 1 até 12. Observa os algarismos das diversas colunas. Encontras alguma regularidade? 2. Vê se encontras regularidades nas tabuadas de outros números.

6 Tipos de Tarefas Exercício Problema Investigação Simplifica: a) b) c) (21 13) (15 10) 2 3 Qual o mais pequeno número inteiro que, dividido por 5, 6 e 7 dá sempre resto 3? 1. Escreve a tabuada dos 9, desde 1 até 12. Observa os algarismos das diversas colunas. Encontras alguma regularidade? 2. Vê se encontras regularidades nas tabuadas de outros números.

7 Tipos de Tarefas Nível cognitivo reduzido Exercício Exploração Fechado Problema Jogos Aberto Investigação Nível cognitivo elevado Projeto

8 1. Escreve em coluna os 20 primeiros múltiplos de Repara nos algarismos das unidades e das dezenas. Encontras algumas regularidades? 3. Investiga agora o que acontece com os múltiplos de 4 e Investiga para outros múltiplos.

9 A Tatiana levantando o braço respondeu prontamente: o algarismo das unidades é sempre 0 ou 5, o que foi aceite pelos colegas, ecoando pela sala: é sempre 0; 5, 0; 5... Professora: Mais? Octávio com um ar feliz: O algarismo das dezenas repete-se: 0-0, 1-1, 2-2; Carlos, com uma certa agitação, descobri mais uma coisa... posso ir ao quadro explicar? (...) Já no quadro, explicou: O 0 com o 5 dá 5, o 0 com o 0 dá 0, o 1 com o 5 dá 6, o 1 com o 0 dá 1, o 2 com o 5 dá 7, o 2 com o 0 dá 2, o 3 com o 5 dá 8, estão a perceber? Há uma sequência. Dá 5, salta um, dá 6, salta um, dá 7... ou dá 0, salta um, dá 1, salta um, dá 2...

10 Neste tipo de trabalho, é importante o modo como o professor responde às dúvidas dos alunos, dando-lhes atenção e encorajamento sem lhes dar diretamente a resposta, e o modo como formula as questões, envolvendo toda a turma e pondo os alunos a argumentar uns com os outros. Em tópicos curriculares, onde aparentemente não se pode realizar senão exercícios repetitivos, é possível fazer muito trabalho exploratório e investigativo.

11 Supõe que queres comunicar, a um professor de um país distante, ou mesmo, quem sabe, a um extraterrestre, como são os professores de Belém... Etapas (i) Preparação das questões de investigação; (ii) Recolha de dados; (iii) Tratamento dos dados; (iv) Elaboração de relatórios sobre os resultados.

12 Como é um professor típico de Belém? A realização desta tarefa, pode constituir uma experiência de aprendizagem significativa, de carácter experimental, onde podem ser trabalhados de forma integrada conteúdos matemáticos de dois domínios: Estatística e Números e Cálculo. Os números decimais, obtidos através da medição de grandezas associadas ao corpo, deixam de ser entidades abstratas e ganham significado (sentido de número). A manipulação destes números em contexto significativo, envolvendo comparação, ordenação, agrupamento e operação, contribuiu para que os alunos melhorem a sua compreensão global dos números.

13 Como é um professor típico de Belém? O contacto com diferentes tipos de variáveis e com diversos modos de recolher, organizar e representar informação relevante e significativa promove um entendimento e compreensão da linguagem e dos conceitos e métodos estatísticos que ultrapassam a sua memorização. Uma investigação formulada a partir da realidade pode ser o ponto de partida tanto para o desenvolvimento de competências de investigação como para a aprendizagem de novos conceitos matemáticos.

14 Tarefas Multiplicidade de propósitos A construção de conceitos A compreensão dos procedimentos matemáticos O domínio da linguagem matemática e das representações relevantes O estabelecimento de conexões dentro da Matemática e entre esta e outros domínios

15 Tarefas Multiplicidade de propósitos A construção de conceitos A compreensão dos procedimentos matemáticos O domínio da linguagem matemática e das representações relevantes O estabelecimento de conexões dentro da Matemática e entre esta e outros domínios

16 Tarefas Diversificação de tarefas e experiências de aprendizagem Exercícios Problemas Investigações Projectos Jogos Tarefas em que os alunos têm de formular estratégias próprias e mobilizar conhecimentos e capacidades anteriormente desenvolvidas

17 Tarefas Diversificação de tarefas e experiências de aprendizagem Exercícios Problemas Investigações Projectos Jogos O trabalho nestas tarefas deve constituir o ponto de partida para o desenvolvimento e formalização de novos conceitos e representações

18 Nível cognitivo da tarefa Stein & Smith, 1998

19 Nível cognitivo da tarefa Qual a percentagem? Desafio cognitivo elevado

20 Nível cognitivo da tarefa Qual a fracção? Desafio cognitivo reduzido 6/40 = 0,15 => 15%

21 Nível cognitivo da tarefa Tarefas como aparecem nos materiais curriculares Tarefas apresentadas pelo professor Tarefas realizadas pelos alunos Nível cognitivo -Mantém-se? -Altera-se substancialmente? Aprendizagem do aluno

22 Tarefas: Selecção e momentos Selecção: Aspetos a ter em conta Propósito - que objetivos de aprendizagem visam levar os alunos a atingir, - como se articulam com os conhecimentos dos alunos e os ajudam a progredir, - que conexões permitem estabelecer com diversos conceitos e situações. Modo como - são apresentadas aos alunos, - como estes as trabalham, - como servem de base a uma discussão e institucionalização de novo conhecimento. Diversidade - na complexidade / nível cognitivo, - na abertura, - no contexto (matemático/não matemático), - no tempo de realização, - nas representações e materiais a utilizar. Sequência - cadeias de tarefas inter-relacionadas proporcionando um percurso de aprendizagem.

23 Aprendizagem-Avaliação-Ensino Apresentação da tarefa Trabalho dos alunos na tarefa Discussão Síntese final Desafiar os alunos, criar expectativa Interpretação da tarefa, envolvimento e apropriação Individualmente, aos pares, em grupos Apoiando os alunos nas suas dificuldades, mas sem resolver a tarefa por eles Percorrer o trabalho feito de forma criteriosa, apostando em selecção adequada Utilizar um questionamento diversificado, promovendo uma participação equilibrada Estimular situações de argumentação (justificação com argumentos matemáticos) Solicitando a participação dos alunos Salientar os conceitos/ideias/procedimentos aprendidos e estabelecer conexões

24 Mudança curricular em Matemática Ensino direto Tarefas - Tarefa padrão: Exercício - As situações são artificiais - Para cada problema existe uma estratégia e uma resposta certa Papéis - Os alunos recebem explicações - O professor mostra exemplos para eles aprenderem a fazer as coisas - O professor e o manual são as referências na sala de aula Comunicação - O professor coloca questões e fornece feedback imediato - Os alunos põem dúvidas Ensino-aprendizagem exploratório Tarefas - Variedade: Explorações, Investigações, Problemas, Projectos, Exercícios - As situações são realísticas - Existem várias estratégias para lidar com um problema Papéis - Os alunos recebem tarefas e têm de descobrir estratégias para as resolver - O professor pede ao aluno para explicar e justificar o seu raciocínio - O aluno é também uma referência Comunicação - Os alunos são encorajados a discutir com os colegas (em grupos ou pares) - No fim de um trabalho, fazem-se discussões com toda a turma - Os significados são negociados na sala de aula

25 Mudança curricular em Matemática Ensino direto Tarefas - Tarefa padrão: Exercício - As situações são artificiais - Para cada problema existe uma estratégia e uma resposta certa Papéis - Os alunos recebem explicações - O professor mostra exemplos para eles aprenderem a fazer as coisas - O professor e o manual são as referências na sala de aula Comunicação - O professor coloca questões e fornece feedback imediato - Os alunos põem dúvidas Ensino-aprendizagem exploratório Tarefas - Variedade: Explorações, Investigações, Problemas, Projectos, Exercícios - As situações são realísticas - Existem várias estratégias para lidar com um problema Papéis - Os alunos recebem tarefas e têm de descobrir estratégias para as resolver - O professor pede ao aluno para explicar e justificar o seu raciocínio - O aluno é também uma referência Comunicação - Os alunos são encorajados a discutir com os colegas (em grupos ou pares) - No fim de um trabalho, fazem-se discussões com toda a turma - Os significados são negociados na sala de aula

26 Comunicação matemática Linguagens - Oral - Escrita, em linguagem natural, em combinação com a linguagem matemática usando diversas formas de representação - Corporal/gestual Modos de participação - Produção de comunicação - Interpretação da comunicação produzida por outros - Participação activa/dinâmica numa discussão coletiva ou em atividades de trabalho em grupo, por exemplo. Representações - Imagens pictóricas - Linguagem simbólica (aritmética, algébrica) - Materiais - Figuras geométricas - Gráficos - Tabelas - Esquemas e diagramas

27 Comunicação matemática Problema dos telefonemas Quatro amigos jogaram no Euromilhões e ganharam. Telefonam uns aos outros para comentar e dar os parabéns Quantas chamadas telefónicas fizeram no total? E se fossem cinco amigos? E se fossem seis?

28 Comunicação matemática (Pinto, 2008)

29 (Canavarro, 2009)

30 Raciocínio matemático Raciocinar: 1. fazer uso da razão para depreender, julgar ou compreender; 2. encadear pensamentos de forma lógica; 3. apresentar razões; 4. ponderar; reflectir; pensar (Do lat. ratiocinári) (Dic. Porto Ed.) Raciocínio matemático: envolve a explicação e justificação de ideias, a formulação e o teste de conjecturas e, numa fase mais avançada, a demonstração. Envolve compreender o que é um caso particular, uma generalização, um contra-exemplo, e a construção de cadeias argumentativas.

31 Raciocínio matemático Na resolução de problemas/exercícios (i) formulação de uma estratégia de resolução de um problema, (ii) realização de um passo, transformação ou cálculo e sua justificação. Na realização de explorações/ investigações (i) formulação de uma conjectura (sobre um objecto específico ou genérico) ou de uma estratégia de teste de uma conjectura. (ii) teste ou justificação de uma conjectura estabelecimento de relações entre objetos matemáticos ou não matemáticos Na demonstração (i) formulação de uma estratégia geral de demonstração, (ii) construção de uma cadeia argumentativa (formulação de passos justificados que levam à conclusão).

32 Argumentação matemática Argumentação: liga o raciocínio e comunicação Conceitos Argumentar é defender uma ideia, apresentando razões que a justifiquem, numa troca discursiva entre pessoas com o objectivo de convencer os outros. convencer-se a si próprio, a um amigo e a um inimigo! Demonstrar é uma forma particular de argumentar, usada em Matemática. Recursos essenciais para argumentação matemática Definições Proposições já anteriormente aceites

33 Argumentação matemática Em cada saco, há uma grande quantidade de berlindes numerados. Como tirar 10 berlindes de modo a que a soma dos números seja 37? (Boavida et al., 2007)

34 Argumentação matemática

35 Argumentação matemática Resolução do Tomás e da Matilde Tomás e Matilde

36 Argumentação matemática Estrutura de um argumento simples

37 Resolução de problemas Como ponto de partida para o desenvolvimento de novos conceitos e processos 1. Compreender o problema e formular um plano 3. Reflectir e analisar o trabalho feito 2. Realizar o plano Mobilizando conhecimentos e representações já conhecidas, e tirando partido da tecnologia Em contextos não matemáticos (sobretudo do quotidiano) e matemáticos Levando os alunos a formular problemas e a realizar investigações

38 Resolução de problemas Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico - Criar um modelo representado por uma ou mais operações matemáticas, equações ou outras relações matemáticas - Trabalhar do fim para o princípio - Simular a situação, usar materiais - Por tentativa e erro - Descobrir uma regularidade / regra - Organizar uma sequência de passos - Desdobrar um problema complexo em questões mais simples, simplificar - Explorar conexões para obter múltiplas perspectivas - Procurar/criar um problema análogo - Explorar casos particulares - Resolver o problema admitindo que se conhece uma solução Estratégias diversificadas, possíveis e adequadas

39 A questão da avaliação Avaliar é Medir Avaliar é Verificar Avaliar é Ajuizar Avaliar é Melhorar

40 A questão da avaliação Avaliação que pode traduzir mais fielmente as realidades

41 A questão da avaliação Professores Alunos Contextos de E/A/A Currículo Tarefas

42 A questão da avaliação Duas ideias importantes A avaliação pode contribuir para melhorar muito a qualidade das aprendizagens dos alunos São os alunos com mais dificuldades que mais beneficiam da avaliação para as aprendizagens

43 A questão da avaliação Reinvenção das Práticas: Um duro e difícil empreendimento

44 A questão da avaliação

45 A questão da avaliação

46 Avaliação Reguladora Relevância dos contextos, da participação, da negociação e processos cognitivos e sociais na aula. Contextualizada. Centrada na regulação e melhoria das aprendizagens. Integrada no Ensino e na Aprendizagem. Participada e transparente.

47 Avaliação Reguladora ARTICULA Visão que destaca processos cognitivos internos aos alunos Metacognição Auto-Regulação Auto-Controlo Auto-Avaliação Visão que destaca o currículo, as tarefas e o feedback Mais destaque ao papel do professor que deve proporcionar feedback de elevada qualidade

48 Avaliação Reguladora Integração Ensino-Aprendizagem-Avaliação Ensino Feedback Avaliação Aprendizagem

49 Regular a aprendizagem Avaliar para os alunos versus avaliar os alunos (NCTM, 2000)

50 Intervenção do professor Recolher e interpretar evidência Desenvolver uma nova cultura sobre o erro Dar feedback aos alunos

51 Se multiplicares as frações representadas pelos pontos C e D nesta reta numérica, qual é o ponto que representará melhor o produto? A O B C D E F 1 O que poderá significar a resposta: - E ou F? - A?

52 Intervenção do professor Recolher e interpretar evidência Desenvolver uma nova cultura sobre o erro Dar feedback aos alunos

53 O papel do erro na regulação Função contabilística Autocorrecção do erro Fonte rica de informação

54 Prof: O que é um quadrilátero? João: Uma figura com quatro lados. Cenário 1: Não está certo. Deverias ter dito que... Cenário 2: Prof: Este é? João: Não, tem de ficar ligado Prof: E este? João: Tem de fechar-se. Prof:E este? João: Não pode cruzar-se assim. Prof: E agora? João: Sim, sim. Prof: Desenhei quatro exemplos. Tu disseste que três deles não serviam. Consegues explicar-me as diferenças?

55 Intervenção do professor Recolher e interpretar evidência Desenvolver uma nova cultura sobre o erro Dar feedback aos alunos

56 Exemplos O trabalho está demasiado longo E se em vez de... fosse... chegarias ao mesmo tipo de resultados? Experimenta para outros casos e compara os teus resultados. A linguagem que utilizas é muito confusa! Tiveste pouco atenção! Tens de estudar mais! Será que = 3 + 4?

57 Os três lados de um triângulo têm de comprimento a, b e c. Todos são números inteiros e a b c. Supõe que c = 9. Diz quantos triângulos diferentes é possível construir = 45 triângulos diferentes Aspectos positivos Consegues construir com 1, 3 e 9? E com 3, 5 e 9?

58 Considerações finais Integrar o ensino, a avaliação e a aprendizagem Diversificar os métodos, as estratégias e as tarefas de avaliação Envolver activamente os alunos nos processos de avaliação Avaliar para melhorar o ensino e a aprendizagem Distribuir feedback de forma sistemática

59 As Tarefas Matemáticas e os Processos de Avaliação, Ensino e Aprendizagem António Borralho (amab@uevora.pt) Centro de Investigação em Educação e Psicologia Universidade de Évora Portugal