Sistemas de Comunicação Digital

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELETRÓNICA E TELECOMUNICAÇÕES E DE COMPUTADORES GRUPO DISCIPLINAR DE TELECOMUNICAÇÕES Sistemas de Comunicação Digital CARLOS EDUARDO DE MENESES RIBEIRO Novembro de 05

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3 Índice INTRODUÇÃO... PRIMEIRA PARTE CODIFICADORES DE SINAL POR MODULAÇÃO DE PULSOS INTRODUÇÃO AOS CODIFICADORES DE SINAL MÉTODOS DE CODIFICAÇÃO DE SINAL ATRIBUTOS DOS CODIFICADORES DE SINAL CONVERSÃO ANALÓGICO-DIGITAL AMOSTRAGEM QUANTIFICAÇÃO CODIFICAÇÃO RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO UNIFORME COMPROMISSOS ENTRE ATRIBUTOS QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME RELAÇÃO SINAL-RUÍDO EM QUANTIFICAÇÃO NÃO UNIFORME PCM COMPANDING QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA COMPARAÇÃO ENTRE QUANTIFICADORES CODIFICAÇÃO PREDITIVA MODULAÇÃO POR CÓDIGO DE PULSO DIFERENCIAL ADAPTAÇÃO DO PREDITOR ADAPTAÇÃO DO QUANTIFICADOR MODULAÇÃO POR CÓDIGO DE PULSO DIFERENCIAL ADAPTATIVA MODULAÇÃO DELTA MODULAÇÃO DELTA ADAPTATIVA PROPAGAÇÃO DOS ERROS NO CANAL DE TRANSMISSÃO DISCUSSÃO SOBRE CODIFICADORES DE SINAL SEGUNDA PARTE COMUNICAÇÃO DE DADOS 7 INTRODUÇÃO À COMUNICAÇÃO DE DADOS LIMITAÇÕES DOS SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO MODELO DE REFERÊNCIA OSI CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE LINHA FORMATOS DOS CÓDIGOS DE LINHA LARGURA DE BANDA SINCRONISMO DE SÍMBOLO... 95

4 9 CANAL DE COMUNICAÇÃO CANAL AWGN DE BANDA LIMITADA RELAÇÃO SINAL-RUÍDO E RELAÇÃO EB/NO CANAL SEM DISTORÇÃO ATENUAÇÃO ATRASO MEIOS DE TRANSMISSÃO PADRÃO DE OLHO RECETOR ÓTIMO DESCODIFICADOR DE MÁXIMO A POSTERIORI DESCODIFICADOR DE MÁXIMA VEROSIMILHANÇA PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT FILTRO ADAPTADO FILTRO ADAPTADO NORMADO CÓDIGO PNRZ BER EM CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS REGENERAÇÃO DO SINAL COMPARAÇÃO DA BER ENTRE CÓDIGOS DE LINHA BINÁRIOS... 3 TRANSMISSÃO M-ÁRIA EM BANDA DE BASE MODULAÇÃO POR AMPLITUDE DE PULSOS DIGITAL ENERGIA MÉDIA POR SÍMBOLO LARGURA DE BANDA PROBABILIDADE DE ERRO DE SÍMBOLO PROBABILIDADE DE ERRO DE BIT CÓDIGO BQ COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO CAPACIDADE DE CANAL... 4 DISCUSSÃO SOBRE CÓDIGOS DE LINHA CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS ATRIBUTOS DOS CÓDIGOS DE CONTROLO DE ERROS PROBABILIDADE DE ERRO DE BLOCO CÓDIGO DE PARIDADE CÓDIGO DE REPETIÇÃO CARATER DE VERIFICAÇÃO DE BLOCO INTERLEAVING DESCODIFICAÇÃO POR MÁXIMA VEROSIMILHANÇA DISTÂNCIA DE HAMMING E CAPACIDADE DE DETEÇÃO E CORREÇÃO LIMITE DE HAMMING CÓDIGOS LINEARES CÓDIGO DE HAMMING CÓDIGOS CÍCLICOS IP CHECKSUM DISCUSSÃO SOBRE CONTROLO DE ERROS... 73

5 APÊNDICES APÊNDICE ESTIMAÇÃO ESTATÍSTICA DA POTÊNCIA DE UM SINAL APÊNDICE DECIBÉIS APÊNDICE 3 ALGORITMO DE QUANTIFICAÇÃO ÓTIMA... 8 APÊNDICE 4 PARECENÇA ENTRE SINAIS E VETORES APÊNDICE 5 FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO APÊNDICE 6 SINUSOIDE COM PREDITOR UNITÁRIO APÊNDICE 7 FUNÇÕES DENSIDADE ESPETRAL DE POTÊNCIA EM CÓDIGOS DE LINHA APÊNDICE 8 FUNÇÃO COMPLEMENTAR DE ERRO APÊNDICE 9 BER COM CRITÉRIO MAP APÊNDICE 0 LARGURA DE BANDA EQUIVALENTE DO RUÍDO... 9 APÊNDICE BER EM SISTEMAS DISCRETOS APÊNDICE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL PRINCIPAIS EQUAÇÕES MODULAÇÃO DE PULSOS TRANSMISSÃO BINÁRIA TRANSMISSÃO M-ÁRIA CODIFICAÇÃO PARA CONTROLO DE ERROS PERGUNTAS TEÓRICAS... EXERCÍCIOS RESOLVIDOS... 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS... 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS EM MATLAB MODULAÇÃO DE PULSO TRANSMISSÃO NUM CANAL AWGN... 7 CODIFICAÇÃO DE CONTROLO DE ERROS PROJETO DE COMUNICAÇÃO DIGITAL DE SINAIS GLOSSÁRIO BIBLIOGRAFIA... 8

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7 Introdução Introdução Por telecomunicações entende-se transmissão à distância de informação utilizando sinais eletromagnéticos, através de fios elétricos, sistemas óticos ou ligações rádio. Hoje em dia, pelo menos recorrendo a satélites, há ligação de telecomunicações de qualquer ponto do mundo para qualquer outro ponto do mundo, naquilo que nos habituamos designar de aldeia global. As telecomunicações fazem parte do nosso dia-a-dia, aproximando pessoas e empresas e contribuindo decisivamente para o bem-estar das populações e para o desenvolvimento da economia. Cada vez mais temos o telefone à mão e o acesso à Internet em múltiplos dispositivos. Com estes conseguimos falar e trocar mensagens com pessoas em qualquer ponto do mundo, temos acesso às redes sociais, ao correio eletrónico e a toda a informação disponibilizada na world wide web. A Internet modificou os serviços tradicionais de telecomunicações, disponibilizando rádio e televisão. Nos estúdios de rádio podem existir câmaras, confundindo-se com a televisão. Esta é hoje visualizada em alta definição não só em direto mas também pré-gravada ou através de disponibilização de vídeos. Acresce que as telecomunicações não envolvem apenas a comunicação humana, mas também a comunicação entre computadores para atualização e sincronização de informação, a navegação por satélite ou a interligação de componentes de controlo de um avião ou um automóvel. Um sinal elétrico diz-se analógico quando tem uma variação análoga à variação da grandeza física que se quer representar, tendo geralmente uma variação contínua ao longo do tempo. São exemplo os sinal de fala ou áudio captado por um microfone ou imagens e vídeo em que o sinal é proporcional à intensidade da cor. Na comunicação analógica estes sinais são transmitidos diretamente (banda de base) ou é transmitido um sinal sinusoidal, denominada portadora, cuja amplitude, frequência ou fase é alterada pela variação direta do sinal analógico a transmitir. Um sinal digital é composto por um conjunto de símbolos. Num sistema digital binário, por exemplo, existem dois símbolos, vulgarmente designados por símbolos lógicos e 0. Para transmitir sinais analógicos em sistemas digitais, os sinais

8 Introdução Carlos Meneses analógicos têm que ser previamente convertidos em símbolos. Estes símbolos são transmitidos representando-os através de um número finito de formas de onda. Em 837, Samuel Morse, pintor Americano, inventa o telégrafo, dando início às telecomunicações. As mensagens eram transmitidas através do código Morse. Este é um sistema digital, com dois símbolos correspondentes à presença do sinal (também designado por mark, uma vez que para descodificar a mensagem no recetor, se traçava uma marca num papel) ou à interrupção (também designada por space, uma vez que se deixava um espaço em branco entre marcas). Por semelhança com este código, o nível lógico é por vezes designado de mark, e o nível lógico 0 por space. A presença do sinal pode ser de curta duração (ponto) ou de longa duração (traço) e as interrupções de duração diferente correspondem a letras, palavras ou frases. Até aos nossos dias muitos outros acontecimentos marcaram a evolução das telecomunicações, sendo a seguir apresentados por ordem cronológica alguns dos mais relevantes: 850 Pela primeira vez instalado um cabo submarino no Canal da Mancha, entre o sul de Inglaterra e o norte de França, para transmissão de sinais telegráficos. O primeiro lançamento de um cabo submarino intercontinental com sucesso deu-se em 856, entre os EUA e a Inglaterra, embora a um débito de apenas palavras por minuto; 860 António Meucci, Italiano, inventou o telefone por volta de 860. No entanto durante muitos anos o inventor do telefone foi considerado Alexander Graham Bell, Escocês, que o patenteou em 876. Por coincidência, Elisha Gray, Americano, tentou patentear um sistema idêntico poucas horas depois de Bell; 864 James Clerck Maxwell, Britânico, formulou a teoria eletromagnética e previu a existência de ondas de rádio. A existência destas ondas ficou experimentalmente provada em 887, pelo Alemão Heinrich Rudolf Hertz; 893 Roberto Landell de Moura, Padre Brasileiro, efetuou, supostamente, a primeira transmissão de fala via rádio, em Portalegre, Brasil. Só no entanto em 90, na Argentina e EUA, começaram as transmissões para entretenimento; 896 Guglielmo Marconi, Italiano, patenteou a telegrafia sem fios (TSF), que transmitia sinais telegráficos via rádio;

9 Introdução John Ambrose Fleming, Britânico, inventou o díodo e deu origem ao desenvolvimento da eletrónica moderna; 93 Vladimir Zworykin, Russo e Americano, registou a patente do tubo de raios catódicos, dando origem a que em 97 Philo Taylor Farnsworth, Americano, demonstrasse um sistema completo de televisão; 98 John B. Johnson, Americano, demonstrou pela primeira vez a existência de ruído térmico, uma das principais causas da degradação de qualidade nas comunicações; 98 Harry Nyquist, Americano, publicou o teorema da amostragem no artigo Certain Topics in Telegraph Transmission Theory e explicou o ruído térmico; 945 Arthur Clarke, Britânico, apresentou o conceito de satélite geoestacionário, no seu artigo Can Rocket Stations Give Worldwide Radio Coverage?, publicado na revista Wireless World; 946 J. Presper Eckert Jr., John W. Mauchly, Americanos, da Universidade de Pensilvânia, EUA, criaram o ENIAC, primeiro computador eletrónico digital; 948 Claude Shannon, Americano, apresentou o seu artigo intitulado A Mathematical Theory of Communication, que lançou as bases da teoria da comunicação, ainda hoje atual; 950 Richard W. Hamming, Americano, publicou Error detecting and error correcting codes, base da codificação para controlo de erros; 956 A empresa Ericsson desenvolveu o primeiro telefone móvel para automóvel, que pesava 40 kg. Utilizava um conjunto de antenas interligadas (células) e escolhia automaticamente a frequência da portadora; 957 A URSS lançou o Sputnik I, o primeiro satélite artificial da Terra. Tinha uma forma esférica de 50 cm e pesava 83,6 kg. Transmitia um sinal rádio do tipo bipe nas frequências 0 MHz e 40 MHz, capaz de ser recebido na terra por qualquer recetor. Funcionou dias, até que as baterias se esgotaram. Orbitou a terra durante 3 meses;

10 4 Introdução Carlos Meneses 969 Foi criada a primeira rede de computadores, designada de ARPANET (Advanced Research Project Agency), com transmissão de pacotes entre computadores. Ligava a Universidade da Califórnia Los Angeles, SRI Stanford Research Institute, Universidade da Califórnia Santa Bárbara e a Universidade de Utah. Considerado o primeiro troço da Internet; 973 A empresa Motorola apresentou o primeiro telefone móvel pessoal, o Motorola Dynatac 8000X. Com 5 cm de comprimento e 7 cm de largura, pesava cerca de kg. A primeira ligação foi realizada por Martin Cooper, diretor de sistemas de operações da empresa. Só contudo em 979 o telefone móvel entrou em funcionamento generalizado na Suécia e no Japão; 979 Foi normalizado o modelo OSI (Open system interconnection), referência na interligação nas redes de computadores; 989 Tim Berners-Lee, Britânico, inventa a World Wide Web (WWW) para gestão, troca e interface de informações entre os seus colegas do CERN (Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear). Foi disponibilizada ao público em 99 e é utilizada na Internet, tendo sido a partir daí que esta se popularizou. Em Portugal, o serviço de telégrafo iniciou-se em 855, com uma ligação entre o Terreiro do Paço, Palácio de S. Bento, Palácio das Necessidades e o Palácio de Sintra, aonde normalmente o Rei se encontrava. Outras datas importantes na evolução das telecomunicações em Portugal são: 855 Foi lançado o primeiro cabo submarino entre Lisboa e os Açores; 857 O serviço de telégrafo chegou ao grande público; 90 Foram inauguradas as primeiras estações de telegrafia sem fios; 877 Começaram as primeiras experiências de instalação do telefone entre Lisboa e Carcavelos, que deram origem em 88 à exploração do serviço telefónico em Lisboa e Porto; 94 Foi efetuada a primeira transmissão rádio com áudio em Portugal, por Fernando Medeiros, tendo sido ouvida a 00 metros de distância por um operador de

11 Introdução 5 telegrafia sem fios. Desde aí foram efetuados várias emissões esporádicas, mas só em 95 a estação PAA Rádio Portugal (futura CTAA) iniciou emissões regulares; 956 Deu-se a primeira emissão de televisão, ainda experimental e a preto e banco. A primeira emissão da televisão a cores deu-se em 976; 985 Foi estabelecida, por docentes da Universidade do Minho, a primeira ligação Internet em Portugal com a Universidade de Manchester; 994 O primeiro operador de Internet no país começou a operar, através de modems de 8,8 kbit/s, utilizando linhas telefónicas tradicionais. Vivemos cada vez mais num mundo digital, estando as transmissões analógicas a ser gradualmente substituídas por tecnologias digitais com algumas vantagens, tais como: Qualidade Os sistemas de transmissão digital são menos sensíveis ao ruído no canal de transmissão que os analógicos. Para canais de maior dimensão os sinais digitais podem ser regenerados em pontos intermédios, virtualmente sem erros; Serviços O desenvolvimento das tecnologias digitais tem vindo a criar novos tipos de serviços, utilizando nomeadamente plataformas como a Internet e o telefone móvel. Tendo a primeira começado por transmitir apenas texto e a segunda apenas sinais de fala, estas estão a fundir-se e a partilhar também áudio e televisão, naquilo a que se designa de convergência das telecomunicações; Eficiência espectral Utilizando métodos de codificação de fonte eficazes e codificações M-ária, que conseguem transmitir maior número de bits em relação à largura de banda ocupada que as binárias, a utilização de transmissão digital pode ocupar menor largura de banda que a transmissão analógica; Segurança Os sinais digitais são mais fáceis de encriptar e portanto de realizar transmissões privadas e seguras; Acesso O acesso, armazenamento e cópia no formato digital é mais simples e acessível que os mesmos processos em formato analógico.

12 6 Introdução Carlos Meneses Dada a cada vez maior importância da comunicação digital, uma introdução a este tema deve corresponder ao primeiro contacto dos estudantes da área com as telecomunicações. Este texto foi escrito com este propósito, abordando a transmissão digital entre dois pontos, através de um canal de comunicação. Na figura. são apresentados os blocos constituintes deste sistema, podendo a comunicação digital ser considerada como a arte da codificação: () codificação de sinais que representa em formato digital o sinal analógico; () codificação de linha que representa em formas de onda a sequência digital; (3) e a codificação de controlo de erros que codifica a sequência a transmitir de modo a que no recetor se possa detetar ou corrigir erros devido aos efeitos do canal de transmissão. Figura. Sistema de comunicação digital entre dois pontos. Os blocos em cima correspondem aos blocos constituintes do transmissor e em baixo do recetor, separados pelo canal de comunicação. Na figura. são também apresentadas as principais medidas de qualidade: relação sinal ruído (SNR Signal-to-noise ratio); e probabilidade de erro (BER bit error rate). A primeira mede a qualidade de um sinal analógico afetado por ruído e a segunda a qualidade de uma transmissão digital na presença de erros de bit. Uma das principais dificuldades encontradas em projeto de telecomunicações é a otimização do sistema de modo a que este tenha a melhor qualidade tendo em conta os

13 Introdução 7 recursos disponíveis, nomeadamente dois dos mais importantes: a energia disponível no transmissor; e a largura de banda disponível no canal de comunicação. O texto apresenta os conceitos e discute os compromissos entre os recursos disponíveis e está dividido em duas partes distintas: A primeira parte apresenta uma introdução à codificação de sinais (codificação de fonte) através da modulação de pulsos; a segunda parte apresenta uma introdução à transmissão de dados. Estas duas partes podem ser encaradas de um modo independente, mas complementam-se numa introdução à comunicação digital. A primeira parte, sobre codificação de sinais por modulação de pulsos, compreende as secções a 6 e é organizada do modo seguinte: A secção introduz os métodos e atributos dos codificadores de sinal; A secção 3 apresenta a conversão analógico-digital e codificação amostra a amostra (PCM Pulse code modulation) com quantificação uniforme, estabelecendo-se um sistema mínimo de codificação de sinais; A secção 4 descreve a quantificação PCM não uniforme que tira partido da distribuição de amplitudes do sinal; A secção 5 apresenta os conceitos básicos da codificação preditiva, que tira partido da correlação entre amostras consecutivas. De modo a que o codificador se ajuste às caraterísticas do sinal de entrada, descrevem-se ainda métodos de predição e quantificação adaptada; A secção 6 sintetiza as principais conclusões sobre os codificadores de sinais apresentados, comparando-os numa perspetiva de compromisso em relação aos seus atributos. A segunda parte, sobre transmissão de dados, compreende as secções 7 a 3 e é organizada do modo seguinte: A secção 7 introduz a transmissão de dado e enquadra os diversos blocos no modelo de referência OSI (Open system interconnection). A secção 8 começa por descrever os atributos dos códigos de linha, que correspondem aos sinais a serem transmitidos em banda de base, ou seja, em canais do tipo passa-baixo e apresenta os principais códigos de linha binários. Aborda seguidamente a solução do problema da interferência intersimbólica que advém da limitação da largura de banda do canal de comunicação, ao mesmo tempo que define a largura de banda ocupada. Termina apresentando questões de sincronismo de símbolo, essencial numa transmissão digital; A secção 9 apresenta o modelo AWGN (Additive white Gaussian noise) para descrever o canal de comunicação e suas limitações: largura de banda, ruído, atenuação

14 8 Introdução Carlos Meneses e distorção na banda; A secção 0 é dedicada a outra das limitações do canal de comunicação, a introdução de ruído aditivo, gaussiano e branco. É apresentado o recetor ótimo e estimada a probabilidade de erro de bit, para todos os códigos de linha mencionados na secção 8; A secção introduz o conceito de transmissão M-ária, crucial para melhorar a eficiência espetral. É abordada a Lei de Hartley-Shannon sobre capacidade de canal em canais com ruído aditivo branco e gaussiano, correspondendo ao débito binário máximo possível de transmitir, virtualmente sem erros, para determinada relação sinal-ruído e largura de banda do canal; A secção sintetiza as principais conclusões e compara os diversos códigos apresentados nas secções 8 a, discutindo os compromissos envolvidos nos seus atributos. A secção 3 dedica-se à codificação para controlo de erros. Havendo erros na comunicação entre o transmissor e o recetor é possível introduzir informação redundante de modo a os detetar ou mesmo corrigir. As secções 7 a 0 devem ser vistas de modo sequencial e constituem um todo coerente, obrigatório numa introdução mínima sobre comunicação de dados. Note-se contudo que a secção introduz o conceito de M-ária, base da eficiência espetral e a secção apresenta uma discussão sobre todos estes códigos. A secção 3 pode ser excluída ou ser abordada logo a seguir à secção 0. Num contexto por exemplo de redes de computadores pode mesmo ser abordada independentemente do resto do texto, bastando para tal assumir que numa transmissão existem erros de bit devido às limitações do canal de comunicação. Seguidamente apresentam-se vários apêndices que correspondem a temas de dois níveis: () temas que devem ser conhecidos, como conceitos de estatística e probabilidades e de sinais e sistemas, mas que devido à sua importância para a compreensão deste texto aqui se recordam; () e temas aprofundando alguns assuntos, que não são essenciais para a compreensão deste texto mas que podem ser do interesse dos estudantes. Após uma compilação das principais equações deduzidas ao longo do texto, para que os estudantes possam consolidar os seus conhecimentos são ainda propostas

15 Introdução 9 atividades com âmbitos distintos: perguntas teóricas; exercícios resolvidos; exercícios propostos com soluções; e exercícios a resolver recorrendo ao ambiente de programação MATLAB (ou qualquer outro). Está indicado em cada exercício a secção até à qual são necessários conhecimentos para o resolver. Juntamente com a escrita deste texto foi desenvolvido em MATLAB um simulador intitulado ICDigital (Introdução à comunicação digital), que simula a generalidade dos sistemas apresentados e que pode contribuir para melhor expor e consolidar os conceitos apresentados, sendo possível verificar experimentalmente os valores obtidos pelas equações deduzidas teoricamente. Para compreensão do texto os leitores devem ter conhecimentos a nível introdutório sobre estatística e probabilidades, sinais, análise de Fourier e sobre sistemas analógicos. Também devem saber programar, pelo menos a nível introdutório, em ambiente MATLAB. Corresponde a uma unidade curricular em que a exposição teórica deve ser lecionada em cerca de 45 horas. Exercícios escolhidos (por exemplo os exercícios resolvidos) devem ser objeto também de explanação, com um tempo mínimo de 0 horas, sendo o ideal cerca de 5 horas. Os exercícios parciais para resolver em MATLAB devem ser lecionados através de aulas práticas presenciais de horas (3 horas por cada exercício) a 8 horas (4,5 horas por exercício). O projeto pode substituir os exercícios parciais com o mesmo tempo presencial ou ser lecionado em complemento com mais 3 a 6 horas presenciais.

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17 Primeira Parte CODIFICADORES DE SINAL POR MODULAÇÃO DE PULSOS (Introdução à codificação de sinais) Em muitos sistemas de transmissão de dados, os sinais analógicos são primeiro convertidos para a forma digital pelo transmissor, transmitidos na forma digital e finalmente reconstruídos no recetor em sinais analógicos. O sinal resultante segue, normalmente, o sinal de entrada mas não é exatamente o mesmo, uma vez que o quantificador, no transmissor, produz os mesmos dígitos (código) para todos os valores que caem num mesmo intervalo, de um número finito de intervalos. O recetor deve fornecer, a cada combinação de dígitos, o mesmo valor correspondente ao valor do sinal reconstruído, para todas os valores do sinal de entrada que caiam dentro de um mesmo intervalo de quantificação. A diferença entre o sinal de entrada e de saída, assumindo que não existe erro na transmissão dos dígitos, é o ruído de quantificação. Uma vez que o débito de qualquer sistema de transmissão digital é finito, deve-se utilizar um quantificador que mapeia a entrada num número finito de intervalos. Joel Max Quantizing for Minimum Distortion, 960

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19 Introdução aos codificadores de sinal 3 Introdução aos codificadores de sinal Num sistema de comunicação digital, quando o sinal a transmitir é analógico, variando continuamente com o tempo, é necessário primeiro convertê-lo para formato digital, ou seja, representa-lo (codificá-lo) digitalmente com um número finito de bits.. Métodos de codificação de sinal Existem diversos métodos de codificação de sinais: codificação de forma de onda; codificação paramétrica; e codificação híbrida. Serão apenas discutidos os métodos de codificação de forma de onda utilizando modulação de pulso, de débito binário mais elevado. É também dado especial realce à codificação de sinais de fala, dando origem a aplicações que se encontram bastante difundidas. Embora com estas limitações os conceitos apresentados são no entanto essenciais para uma compreensão posterior dos outros métodos de codificação e para a codificação de outro tipo de sinais, tais como áudio, imagens e vídeo.. Atributos dos codificadores de sinal Nos critérios de escolha de um codificador para determinada aplicação, existem alguns atributos que são decisivos, enquanto outros ou não têm influência ou algum compromisso pode ser levado em consideração. Os atributos mais relevantes dos codificadores são o débito binário, a qualidade, a complexidade dos algoritmos e a quantidade de memória necessária, a sensibilidade a erros de canal e o atraso introduzido. Seguidamente descrevem-se cada um destes atributos e abordam-se os principais compromissos envolvidos... Débito binário Ao transmitir sinais, o débito binário de codificação da fonte, medido em número de bits de codificação por segundo, é um fator importante na definição da largura de banda requerida para o canal de transmissão. A codificação digital é também utilizada no armazenamento para utilização posterior. Neste contexto o débito binário determina o espaço requerido na unidade de armazenamento. Para determinada

20 4 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses quantidade de memória disponível, quanto menor for o débito binário maior duração do sinal pode ser armazenada. A primeira motivação da codificação de sinais é pois a redução do débito binário com vista a uma transmissão ou a um armazenamento mais eficientes. Para que este sinal tenha uma alta qualidade e possa ser considerado como uma referência, é tipicamente representado com uma resolução de pelo menos 6 bits de codificação por amostra. É este sinal, já na sua forma digital, que é processado de modo a gerar um conjunto de bits com um débito binário mais reduzido, para ser transmitido ou armazenado. No recetor, este conjunto de bits constrói uma aproximação do sinal original ainda na forma digital e converte-o posteriormente num sinal analógico... Qualidade A conversão de um sinal de analógico para digital envolve a conversão de um valor contínuo num valor aproximado de entre um número finito de valores. A esta conversão dá-se o nome de quantificação. A quantificação provoca sempre distorção, denominado de ruído de quantificação. Uma das medidas de qualidade mais utilizadas para medir esta distorção é a relação entre a potência do sinal original e a potência do ruído de quantificação (SNRq), sendo normalmente expressa em decibéis (db). O problema básico da quantificação/codificação é o de obter um mínimo de distorção para determinado débito binário, ou manter a distorção aceitável ao menor débito binário possível. Para além da quantificação, a largura de banda dos sinais de entrada marca desde logo a qualidade. Por exemplo os sinais de fala têm uma banda perceptualmente importante até cerca dos Hz, embora na denominada banda telefónica esta seja limitada entre os 300 e os Hz. Está também normalizada a banda dos 50 aos Hz, sendo o sinal amostrado a amostras por segundo, que denominaremos por banda larga. Esta banda é utilizada em aplicações multimédia, em teleconferência e no videotelefone. Termo usado em mecânica quântica para designar o facto de muitos dos parâmetros que descrevem um s istema só poderem ter um conjunto discreto de valores permitidos.

21 Introdução aos codificadores de sinal 5 A relação sinal-ruído é um método objetivo de avaliação da qualidade, mas nem sempre o melhor. Uma das alternativas à avaliação da qualidade é a avaliação subjetiva ou percetual, por média da opinião (MOS Mean Opinion Score), recomendação P.800 do ITU-T (International Telecommunication Union - Telecommunication Standardisation Sector). Nesta, ouvintes são confrontados com frases processadas através do codificador em teste, sendo-lhes pedido que classifiquem a sua qualidade através de uma escala de 5 pontos ( a 5), a que corresponde uma qualidade desde a má à excelente (má, fraca, razoável, boa, excelente). Do valor médio das respostas obtém-se a classificação final em termos percetuais...3 Complexidade e memória necessária Quanto maior complexidade apresentar o algoritmo de codificação e maior quantidade de memória for necessária, mais os sistemas serão dispendiosos, volumosos e com maior consumo de energia. O primeiro codificador a ser normalizado, a recomendação G.7 do ITU-T a 64 kbit/s, que data de 97, era então implementado diretamente no conversor analógico-digital, devido à sua baixa complexidade e à ausência de necessidade de memória. Com a vulgarização dos processadores digitais de sinal (DSP Digital signal processor) e o aumento da complexidade dos codificadores, os sinais passaram a ser quantificados uniformemente, tipicamente com 6 bits por amostra, e só depois codificados a débitos binários mais baixos. A complexidade é normalmente aferida através do número de MIPS (milhões de instruções por segundo) ou MFLOPS (milhões de instruções em vírgula flutuante por segundo) necessários para processar os algoritmos de codificação, enquanto a memória necessária é medida em número de bytes...4 Sensibilidade a erros de canal Na transmissão do sinal codificado este fica sujeito a erros introduzidos pelo canal, que podem ser de dois tipos: erros aleatórios independentes, causados pelo ruído estacionário; e erros em rajada, limitados temporalmente, causados por interferências eletromagnéticas nas imediações do canal. Estes erros afetam a qualidade do sinal, degradando a relação sinal-ruído. O impacto na qualidade depende contudo do tipo de

22 6 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses codificador, sendo o impacto maior em codificadores que tiram partido da redundância do sinal para diminuir o débito binário, tentando não perder muito em qualidade...5 Atraso O atraso em codificação de sinais é definido como o tempo máximo que medeia entre o instante em que uma amostra é apresentada no transmissor e aquele em que a amostra correspondente é gerada pelo recetor. Este tempo é medido estando o recetor ligado diretamente ao transmissor, retirando portanto a contribuição dos equipamentos de transmissão e receção e o tempo de propagação do sinal, mas não o tempo de transmissão de cada bit. Embora o atraso não seja importante em aplicações de armazenamento, na conversação bidirecional, como por exemplo na comunicação telefónica, o atraso pode tornar-se maçador e mesmo afetar a naturalidade da conversação. Limites para este atraso poderão ir, nos casos mais permissivos, até cerca de 400 ms. Restrições mais severas são aplicadas quando as redes de comunicações não incluem canceladores de eco, pois o atraso é notado pelo próprio orador.

23 Conversão Analógico-Digital 7 3 Conversão Analógico-Digital De modo a transmitir um sinal digitalmente é necessário convertê-lo numa sequência binária. Na sua forma mais simples este processo corresponde à conversão analógico-digital, ou seja, converter um sinal analógico, de variação contínua no domínio do tempo (representando por exemplo variações de pressão produzidas por um som quando captado através de um microfone) num conjunto finito de bits. A dificuldade encontrada prende-se com o carácter contínuo e portanto com infinitas possibilidades do sinal, quer ao longo do tempo quer em amplitude. Para resolver estes problemas a conversão analógico-digital envolve três etapas que serão objeto de análise no resto desta secção: A amostragem, que tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo e não envolve perda de informação desde que alguns pressupostos não sejam quebrados (teorema da amostragem de Nyquist -Shannon 3 ); A quantificação, que torna as amostras do sinal discretas na amplitude, transformando uma variável contínua num número finito de valores; A codificação, que atribui a cada amplitude discreta de cada pulso um código, composto por um conjunto de bits. A esta codificação amostra-a-amostra dá-se o nome de modulação por código de pulso (PCM Pulse code modulation). 3. Amostragem A amostragem tem como objetivo tornar o sinal discreto no domínio do tempo. Pode ser descrita como a observação do valor do sinal analógico de entrada, m(t) (m message), a intervalos regulares. O sinal amostrado, m (t), é obtido (figura 3.) pelo produto entre o sinal de entrada e um trem de impulsos de dirac com período T s (sampling period). Dado que a amostragem corresponde a uma multiplicação no domínio do tempo, o espetro do sinal amostrado corresponde à convolução do espetro do sinal m(t), que se assume de banda limitada W, pela Transformada de Fourier do Harry Nyquist, Sueco-Americano, trabalhou na AT&T e nos Laboratórios Bell. 3 Claude Shannon, Americano, trabalhou nos Laboratórios Bell e foi professor no MIT.

24 8 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses trem de impulsos de dirac, também um trem de impulsos de dirac com período e área f s =/T s. Figura 3. Interpretação da amostragem no domínio do tempo. Em a) representa-se um exemplo de um sinal m(t) a amostrar. Em b) representa-se um trem de impulsos de dirac de área unitária e período Ts, que multiplicado pelo sinal de entrada produz o sinal amostrado representado em c). A convolução é linear, o que implica que a convolução com um trem de impulsos de dirac corresponde à soma das convoluções com cada um dos impulsos de dirac. Convolver um sinal com um impulso de dirac corresponde a colocar esse sinal na posição do impulso de dirac e afetá-lo em amplitude pela respetiva área. Para reconstruir o sinal amostrado é necessário filtrá-lo passa-baixo (filtro reconstrutor) com frequência de corte f s /, e com ganho T s para manter a amplitude original do sinal. De modo a evitar a sobreposição espetral e a correspondente distorção a que se dá o nome de aliasing, a frequência de amostragem tem que ser igual ou superior a duas vezes o valor W da frequência máxima do sinal (teorema da amostragem ou teorema de Nyquist-Shannon): f s W. (3.)

25 Conversão Analógico-Digital 9 Figura 3. Interpretação da amostragem no domínio da frequência. a) Espetro de um sinal m(t), com banda limitada W. b) Espetro do trem de impulsos de dirac (figura 3. b) que é também um trem de impulsos de dirac. O espetro do sinal amostrado corresponde à convolução dos espetros em a) e b) e é apresentado para dois casos, em c) e d). A reconstrução do sinal é possível sem distorção para o exemplo em c) por filtragem passa-baixo com frequência de corte f s /, pois W<f s /. Em d) não é possível recuperar o sinal sem erro uma vez que as repetições espetrais se sobrepõem (aliasing), pois W>f s /. Teorema da Amostragem de Nyquist-Shannon É possível amostrar e reconstruir, sem erro, um sinal com banda limitada W, desde que a frequência de amostragem f s seja superior ao ritmo de Nyquist W. A reconstrução sem distorção do sinal amostrado é obtida por filtragem passa-baixo à frequência de Nyquist f s /. Se f s for inferior a W o sinal reconstruído sofrerá uma distorção por sobreposição dos espetros, a que se dá o nome de aliasing.

26 0 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Quando não há certeza de se evitar o aliasing, antes da amostragem o sinal deve ser previamente limitado à frequência f s /, com um filtro passa-baixo (filtro anti-aliasing). Na figura 3.3 é apresentado o diagrama de blocos de toda a cadeia amostragem-reconstrução. Figura 3.3 Cadeia amostragem-reconstrução. Filtro anti-aliasing amostragem filtro reconstrutor. O filtro anti-aliasing corta as frequências acima de fs/. O filtro reconstrutor faz interpolação do tipo sinc para converter o sinal em analógico. O filtro anti-aliasing e reconstrutor são idênticos mas têm papel diferente na cadeia amostragem-reconstrução. À frequência mínima de amostragem, W, denomina-se ritmo de Nyquist. À metade da frequência de amostragem, f s /, denomina-se frequência de Nyquist. Uma vez que o filtro reconstrutor é linear, a reconstrução pode ser interpretada como a sobreposição de funções sinc (figura 3.4) devidas à resposta em frequência do filtro, pesadas pelo valor da amostra correspondente e deslocadas para a respetiva posição no tempo. Para sinais de fala com qualidade telefónica está normalizada (POTS - plain old telephone servisse; GSM Group special mobile) uma frequência de amostragem de 8 khz e uma filtragem passa-banda da entre os 300 Hz e os Hz, denominada banda telefónica. A frequência de amostragem superior à mínima exigida pelo teorema da Nyquist-Shannon é justificada pela necessidade de uma banda de guarda, devida à caraterística não ideal dos filtros realizáveis.

27 Conversão Analógico-Digital Figura 3.4 Interpretação da reconstrução do sinal no domínio do tempo. O sinal é reconstruído por sobreposição de funções sinc (resposta impulsiva do filtro de reconstrução), pesadas pelos valores da amostra correspondente e deslocadas para a sua posição. As funções tomam o valor zero no instante de todas as outras amostras. Como os sinais resultantes da amostragem tem valores não nulos apenas em múltiplos do período de amostragem T s, estes podem ser representados com vantagens na sua versão discreta (utilizada em processamento digital de sinais) m[n], em que a variável independente n toma apenas valores inteiros. A amostra m[n] é interpretada como a amostra n correspondente ao tempo nts. Note-se que poderá haver sinais discretos cuja origem não é um sinal amostrado, interpretando-se neste apenas como a amostra n. 3. Quantificação Quantificação de um sinal é o processo que converte um sinal amostrado (discreto no tempo), num sinal com valores também discretos em amplitude. Considerando a gama dos sinais a quantificar entre o intervalo V e V, (figura 3.5) dividida em L intervalos de quantificação iguais e de dimensão q, a quantificação dá-se pela aproximação do valor de uma amostra que pertença a determinado intervalo pelo seu representante, denominado valor de quantificação v j do intervalo.

28 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Figura 3.5 Quantificação de sinais. Cada amostra do sinal amostrado m[n] é quantificada em um de L intervalos, por aproximação a um seu representante, denominado valor de quantificação. De modo a ser escolhido o valor mais próximo do valor do sinal de entrada (menor ruído de quantificação), os valores de decisão t j que definem os intervalos de quantificação devem estar equidistantes dos valores de quantificação v j : t j = v j+v j. (3.) Devido à aproximação que se dá na quantificação, esta, ao invés da amostragem quando dentro dos limites impostos pelo teorema da amostragem, introduz sempre distorção. A quantificação é um processo irreversível, pois é impossível determinar, dentro do intervalo de quantificação, qual o valor de entrada m[n] que produziu o valor quantificado m q [n]. A esta distorção dá-se o nome de ruído de quantificação, definido como a diferença entre o valor da amostra de entrada e o valor de quantificação: q[n] = m[n] m q [n]. (3.3)

29 Conversão Analógico-Digital 3 Quando os intervalos de quantificação são todos iguais, os quantificadores denominam-se de uniformes. A dimensão de cada intervalo de quantificação vem, neste caso: q = V L, (3.4) e o valor máximo do ruído de quantificação corresponde a metade do valor do intervalo de quantificação q. Existem dois tipos de quantificadores uniformes: midrise e midtread. Os quantificadores midrise, apresentado um exemplo para 4 intervalos na figura 3.6, incluem o valor zero como valor de decisão. Nas zonas de ausência de sinal, devido a pequenas variações causadas por ruído, este quantificador flutuará entre os dois valores de quantificação em torno de 0 volts. Figura 3.6 Quantificador uniforme midrise (4 intervalos). O zero corresponde a um valor de decisão, sendo o quantificador simétrico. Note-se que não existe um valor de quantificação coincidente com os extremos de quantificação, V e V, requisito vantajoso nalguns tipos de codificadores, nomeadamente os codificadores DPCM (Differential pulse code modulation) apresentados na secção 4. Para que isto aconteça os intervalos de quantificação correspondem a: q = V L. (3.5) Os quantificadores midtread, apresentado um exemplo para 4 intervalos na figura 3.7, ao incluírem o 0 como valor de quantificação não sofrem da flutuação nas

30 4 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses zonas de silêncio, caraterística dos quantificadores midrise. Como é regra usar quantificadores com um número par de valores de quantificação, a sua função entrada-saída torna-se não simétrica pela inclusão num dos extremos de mais um valor de quantificação. Figura 3.7 Quantificador uniforme midtread (4 intervalos). O zero corresponde a um valor de quantificação, tornando o quantificador não simétrico, mas não sofrendo de flutuações nas zonas de silêncio. 3.3 Codificação A codificação é a representação binária da sequência de valores de um sinal, após amostragem e quantificação. Exprime-se pois cada um dos L valores de quantificação possíveis através de um código. A esta codificação amostra-a-amostra denomina-se modulação por código de pulso (PCM). Na figura 3.8 é apresentado um código sequencial do valor de quantificação mais pequeno para o mais alto. É ainda apresentada a sequência binária da sucessão de amostras, sendo necessários 3 bits por amostra (L=8 níveis diferentes). Utilizando um número L de valores de quantificação coincidente com uma potência de, de modo a otimizar o número R de bits de codificação por amostra, pode-se reescrever a equação 3.4, sendo o intervalo de quantificação dado por: q = V L = V R. (3.6) O débito binário ou número de bits de codificação de cada segundo do sinal, R b, para uma frequência de amostragem f s vem: R b = R f s. (3.7)

31 Conversão Analógico-Digital Figura 3.8 Amostragem e quantificação de sinais. O sinal analógico m(t) é amostrado dando origem ao sinal m (t). Cada amostra é quantificada, reconhecendo-se L=8 valores de quantificação. Cada valor de quantificação é codificado com um código binário sequencial de 3 bits. 3.4 Relação sinal-ruído em quantificação uniforme Uma das medidas mais usadas para aferir a qualidade de codificadores é a relação entre a potência do sinal a quantificar e a potência do ruído introduzido pela quantificação. Para uma sequência suficientemente longa de amostras, os valores do ruído devido à quantificação podem ser considerados igualmente distribuídos no intervalo de quantificação (distribuição uniforme), como ilustrado na figura 3.9. Esta aproximação é válida quando se utiliza um número suficiente de valores de quantificação, digamos para L3 (para melhor visualização a figura 3.9 apresenta apenas 4 valores de quantificação). A função densidade de probabilidade do ruído é, nestas condições, praticamente uniforme à volta de cada valor de quantificação, sendo o valor máximo do ruído de q uma vez que o valor de quantificação está a meio do respetivo intervalo. O sinal

32 6 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses de ruído de quantificação tem média nula e a sua potência (normalizada 4 ) pode ser estimada 5 como a sua variância (Apêndice ) σ q : q = V 3 σ q = q f(q)dq = q dq = q q q R. (3.8) A potência do ruído de quantificação aumenta com o aumento do intervalo de quantificação, ou seja com o aumento da gama de quantificação V, ou da diminuição do número de intervalos L, que corresponde ao aumento do número de bits por amostra, R. Em zonas de silêncio os quantificadores midrise têm ruído igual a q, o que para poucos bits de codificação pode ser audível e a potência do ruído é de facto superior à dada pela equação 3.8. A equação 3.8 dá um valores aproximado para quantificação midtread, podendo a potência do ruído ser inferior se o sinal contiver zonas de silêncio de grande duração. Figura 3.9 Função densidade de probabilidade do ruído de quantificação. Para um número razoável de intervalos de quantificação a função densidade de probabilidade do ruído de quantificação aproxima-se de uma distribuição uniforme. 4 Assumindo um sinal de tensão ou corrente sobre uma carga de Ω. 5 Assumindo quantificação midrise, sendo os cálculos aproximados para quantificação midtread.

33 Conversão Analógico-Digital 7 A relação entre a potência (normalizada) P do sinal e a potência (normalizada) q do ruído é estimada através de: ou em decibéis (Apêndice ): SNR = P σ = 3 R P q V, (3.9) SNR db = 6,0R + 0log 0 ( 3P ). (3.0) A diminuição da amplitude para metade equivale a diminuir para metade o intervalo de quantificação, a uma diminuição da potência do ruído para um quarto, a quadruplicar a relação sinal-ruído, ou ao aumento de 6,0 db da SNR. Contudo, a amplitude do sinal, m max, não deve ser superior ao valor máximo de quantificação, V. Caso contrário produz-se ruído por saturação de amplitude, deixando as equações 3.8 a 3.0 de ser válidas. Deste modo, a tensão máxima de quantificação terá que respeitar a inequação: V V m max. (3.) Assumindo o caso ideal, ou seja, que a tensão máxima de quantificação, V, corresponde à amplitude m max do sinal de entrada, evitando assim a saturação de amplitude mas minimizando o ruído de quantificação, a equação 3.0 pode ser reescrita como, SNR db = 6,0R + 0log 0 ( 3P m ) = 6,0R + 0log 0 (3P n ). (3.) max A SNRq passa a ser função da potência normalizada pelo quadrado da amplitude, sendo dada por, P n = P. (3.3) m max

34 8 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 3.5 Compromissos entre atributos Através da equação 3.0, pode-se verificar que a qualidade depende de dois fatores: da relação entre a potência do sinal de entrada e o quadrado do valor máximo de quantificação; e do número de bits de codificação por amostra. Note-se ainda que a qualidade não depende da frequência de amostragem, que deve por isso ser o ritmo de Nyquist uma vez que minimiza o débito binário. Na tabela 3. apresentam-se os valores da SNRq para codificação a 8 bits por amostra e diversas potências normalizadas do sinal de entrada. Se para 3 db de potência normalizada (sinal sinusoidal (0log 0 (/)) o valor da SNRq de 50 db é bastante bom, o valor de apenas 7,9 db para uma potência normalizada de 45 db é inaceitável. Muitos sinais, por exemplo sinais de fala, exibem esta gama de variações. A grande dependência da qualidade em relação à potência do sinal de entrada é de facto uma das principais desvantagens deste método. Por cada bit de codificação por amostra a SNRq varia de 6,0 db. Na figura 3.0 é apresentado o gráfico da SNRq em função da potência normalizada do sinal de entrada, para diversos valores de número de bits por amostra. Figura 3.0 Relação sinal-ruído em PCM uniforme. Comparação para 7, 8, e 9 bits de codificação por amostra e para diversos valores de potência normalizada (em Decibéis) do sinal de entrada.

35 Conversão Analógico-Digital 9 No exemplo da tabela 3., para garantir um valor mínimo da SNRq de aproximadamente 3 db para um sinal de entrada com 45 db de potência normalizada seria necessário aumentar 4 db na SNRq, ou seja utilizar mais 4 bits de codificação por amostra, resultando num aumento eventualmente demasiado elevado do débito binário (de 64 kbit/s para 96 kbit/s assumindo sinais de fala de banda telefónica), evidenciando um compromisso entre o débito binário e a qualidade. P n db Entrada SNRq db 45 7,9 35 7,9 5 7,9 5 37,9 4,77 Triangular ou distribuição uniforme 48, 3 Sinusoidal 49,9 0 Quadrada 5,9 Tabela 3. Valores da SNRq de quantificação, função da potência normalizada do sinal. Comparação para 8 bits de codificação por amostra e para diversos valores de potência normalizada do sinal de entrada. Para além de aumentar o débito binário, a melhoria da qualidade através do aumento do número de bits por amostra tem dois limites: A complexidade dos conversores, que duplicam o número de intervalos de quantificação por cada bit de codificação. Por exemplo para 6 bits de codificação por amostra originam-se 6 =65536 intervalos de quantificação; O intervalo muito pequeno a descriminar. Por exemplo para 6 bits de codificação por amostra e uma tensão máxima de quantificação de V, o intervalo de quantificação vale q = -5 = 30 V, que se pode confundir com o ruído térmico nos sistemas eletrónicos. Para valores mais pequenos que estes, os sistemas tornam-se demasiado caros ou mesmo impossíveis de realizar, sendo necessário utilizar outro tipo de paradigma, como por exemplo a modulação delta-sigma () que sai fora do contexto deste tema.

36 30 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Esta secção descreveu o primeiro passo na comunicação digital, com a conversão de sinais analógicos para uma sequência de bits utilizando modulação por código de pulso, com quantificação uniforme. Este sistema afigura-se o mais simples capaz de representar um sinal analógico digitalmente. Nas próximas secções serão apresentados métodos para diminuir o débito binário, tirando partido das caraterísticas do sinal, tendo sempre em consideração o compromisso com os outros atributos dos codificadores de sinais, particularmente a qualidade.

37 Quantificação não uniforme 3 4 Quantificação não uniforme Na secção anterior discutiu-se a utilização da modulação por código de pulso com quantificação uniforme e a estimativa da respetiva relação sinal-ruído de quantificação, concluindo-se da dificuldade de manter uma elevada SNRq nomeadamente para potências baixas do sinal de entrada, mas não à custa do aumento do débito binário e à diminuição excessiva da dimensão do intervalo de quantificação. Outra caraterística importante a ter em conta é a necessidade da SNRq ser independente da tensão máxima de quantificação e das caraterísticas do sinal de entrada, nomeadamente da sua potência. Estas caraterísticas podem ser observadas com a utilização de quantificação não uniforme, ou seja, com um quantificador em que os intervalos de quantificação não são todos iguais. O histograma de um sinal de fala não é uniforme, tendendo a ter maior número de ocorrências para valores menores. Esta constatação levou à utilização de intervalos de quantificação menores nas zonas de maior ocorrência, como mostrado na figura 4., à custa do aumento do intervalo de quantificação nas zonas de menor ocorrência. O ruído de quantificação torna-se mais pequeno na maioria das amostras, à custa de, em algumas amostras menos prováveis, o ruído de quantificação aumentar. Sendo a potência um valor médio quadrático, este procedimento faz diminuir a potência do ruído de quantificação e, consequentemente faz aumentar a SNR. Figura 4. Exemplo de um quantificador não uniforme. São melhor quantificados os valores menores (em módulo) do que os valores maiores. Para que este quantificador seja eficaz devem ser as amplitudes mais baixas as mais prováveis.

38 3 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Se o sinal de entrada apresentar uma função densidade de probabilidade das amplitudes em que os valores mais altos forem os que tiverem maior ocorrência, então devem ser estes a ser quantificados com intervalos menores, à custa do aumento dos intervalos para valores mais pequenos. Na utilização destes quantificadores pressupõem-se conhecida pelo menos uma estimativa da função densidade de probabilidade das amplitudes do sinal de entrada, sob pena de se obter desempenhos inferiores do que utilizando quantificadores uniformes. Alternativamente à utilização de um quantificador não uniforme pode-se aplicar ao sinal analógico de entrada uma não linearidade g(m), como a mostrada na figura 4., seguido de um quantificador uniforme. Figura 4. Exemplo de não linearidade utilizada em quantificação não uniforme. A não linearidade seguida de quantificação uniforme é equivalente à quantificação não uniforme. A figura 4.3 apresenta o esquema de blocos equivalente à cadeia de quantificação não uniforme, implementada através da aplicação da não linearidade ao sinal de entrada, seguida da quantificação uniforme. O tipo de não uniformidade é dependente desta não linearidade. Comparando as distribuições de amplitudes antes e após a não linearidade, pode-se verificar que o efeito da não linearidade é tornar a distribuição mais uniforme e mais adequada a um quantificador uniforme.

39 Quantificação não uniforme 33 No recetor, após descodificação, aplica-se a caraterística inversa para regenerar o sinal. A diferença entre o sinal original e o sinal descodificado é causada pela quantificação. Figura 4.3 Implementação alternativa da codificação PCM não uniforme. No transmissor o sinal é aplicado a uma não linearidade seguida de quantificação uniforme. A não linearidade torna a distribuição mais uniforme (exemplo para um sinal de fala) e portanto mais adequada a um quantificador uniforme. No recetor utiliza-se um descodificador uniforme seguido função inversa da não linearidade, de modo a regenerar o sinal original. A diferença entre o sinal original e o sinal descodificado é causada pela quantificação.

40 34 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Note-se que, numa realização prática, a utilização direta do quantificador não uniforme é menos complexa em relação à implementação do esquema apresentado na figura 4.3. Quer os valores de decisão, necessários no transmissor, quer os valores de quantificação, necessário no recetor, são obtidos por aplicação da função inversa da não linearidade, dos respetivos valores do quantificador uniforme. 4. Relação sinal-ruído em quantificação não uniforme Para se analisar o efeito da não linearidade g(m) e calcular a relação sinal ruído de quantificação, verifique-se pela figura 4. que a relação entre a entrada e a saída da não linearidade é dada aproximadamente por: V g j, (4.) Lg( v ) j em que g (v j ) é o valor da derivada da não linearidade à volta do j-ésimo valor de quantificação v j. Se o sinal de entrada for aleatório mas com função densidade de probabilidade f(m) conhecida, a potência do ruído de quantificação para o j-ésimo intervalo é dada pela variância centrada no valor de quantificação v j: t j N ( m v ) f ( m) dm, (4.) j t j sendo t j a t j+ o intervalo de quantificação correspondente ao valor v j. Assumindo um número elevado de valores, f(m) é aproximadamente constante no intervalo de quantificação, ou seja todos os valores do sinal m no j-ésimo intervalo de quantificação têm aproximadamente a mesma probabilidade que f(v j ). Igualmente, se os intervalos de quantificação adjacentes não tiverem dimensões muito diferentes, o valor de quantificação encontra-se aproximadamente a meio do intervalo e o ruído está limitado ao intervalo [ j /; j /]Nestas condições, a equação 4. pode ser reescrita como: j N j f ( v j ) t j t j ( m v j ) dm f ( v j ) j / m dm / j f ( v j m ) 3 3 j / / j f ( v j 3 j ). (4.3)

41 Quantificação não uniforme 35 Incluindo nesta equação a aproximação dada pela equação 4. vem: N g( V ) 3L f ( v j j g( v j ) ) j. (4.4) A potência total do ruído é a soma do ruído em cada j-ésimo intervalo de quantificação, que se aproxima de uma função contínua desde que seja utilizado um número elevado de valores de quantificação, pelo que: L L max g( V ) f ( v j ) g( V ) f ( m) q N j j dm L g v L, (4.5) 3 ( ) 3 g( m) j e a relação sinal-ruído de quantificação (não em decibéis) vem: j j m m max SNR q P q g( V ) m 3L P. (4.6) max i f ( m) dm g( m) mmax Para calcular a SNRq é necessário ser conhecida a derivada da não linearidade e a função densidade de probabilidade do sinal de entrada. Se g(m)=m, a quantificação transforma-se na quantificação uniforme. A derivada da função vale e a equação 4.6 reduz-se à equação 3.9. Esta conclusão é válida mesmo para uma amplificação do sinal de entrada, g(m)=km, pois valendo a derivada K=g(V)/V e assumindo V=m max, tem-se para o denominador da equação 4.6: g m m mmax mmax mmax f K ( V ) dm mmax f mdm mmax f mdm m max g K m m m max max max. (4.7) Conclui-se que um fator de escala (amplificação) aplicado ao sinal de entrada, ao alterar simultaneamente a potência do sinal e a dimensão dos intervalos de quantificação, não altera a relação sinal-ruído de quantificação.

42 36 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 4. PCM companding Se a não linearidade for do tipo logarítmica, i.e., g(m)=ln( m ), cuja derivada é / m e sabendo que o integral de m f(m)dm (momento esperado de segunda ordem), calculado no intervalo entre m max e m max, é igual à potência, o valor da SNRq deixa de ser dependente da potência do sinal de entrada para ser dependente apenas do número de intervalos de quantificação: SNR q g( V ) 3 m L P max 0 m f ( m) dm 3L g( m max ). (4.8) A função logarítmica não pode no entanto ser realizada, pois converte o intervalo entre 0 e no intervalo entre e 0. Estão no entanto normalizadas pelo ITU-T duas funções pseudo-logarítmicas, que convertem o intervalo entre 0 e no mesmo intervalo, tendo a função uma caraterística impar: A Lei-A utilizada na Europa e a Lei- utilizada nos EUA e Japão, descritas na recomendação ITU-T G.7, que data de 97. Ambas utilizam 8 bits de codificação por amostra e, como normalizado para sinais de fala em qualidade telefónica, uma frequência de amostragem de 8 khz, resultando num débito binário de 64 kbit/s. Se os valores de entrada estiverem normalizados em relação à amplitude do sinal de entrada, ou seja V =, a Lei-A é descrita por: ln Am gm ln( A) A gm m ln( A) m A, (4.9) 0 m A cujo gráfico é apresentado na figura 4.4. O parâmetro A governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado na recomendação G.7 de 87,56 (embora de facto na norma os valores de quantificação e decisão provenham de uma aproximação da equação 4.9). Para valores pequenos (m<a) a Lei-A tem um comportamento linear (g(m)=6m, para A=87,56), enquanto para valores médios e altos tem um comportamento quase

43 Quantificação não uniforme 37 logarítmico. Esta não linearidade corresponde a comprimir o sinal de entrada. No recetor, após descodificação, tem que se incluir a não linearidade inversa (figura 4.3) a que corresponderá uma expansão. A esta técnica dá-se o nome de companding (compressing-expanding). Como se verá adiante, a utilização do companding produz uma relação sinal ruído de quantificação quase constante para uma larga gama de potências do sinal de entrada, não tendo a dependência com esta grandeza do PCM uniforme, muito bom para potências elevadas, mas insuficiente para médias e baixas potências. =87,56 =0 Uniforme = Figura 4.4 Não linearidade da Lei-A. São ilustradas as funções não lineares Lei-A, que dão origem a uma quantificação não uniforme. O valor normalizado pela recomendação ITU-T G.7 é A=87,56. Só são apresentados valores positivos, tendo as curvas caraterísticas ímpares. Para o desenvolvimento da equação 4.6, a derivada da equação 4.9 correspondente à Lei-A é dada por, g m g m ( ln( A)) m A ln( A) m A. (4.0) 0 m A Para potências médias e altas, ou seja, quando a potência normalizada do sinal de entrada for razoavelmente superior a /A, o termo superior da equação 4.9 é o termo

44 38 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses dominante, pelo que se pode desprezar o efeito da zona linear. Nestas circunstâncias a SNRq vem, usando o valor normalizado para A de 87,56 e utilizando a equação 4.6: ou, em decibéis: SNR q 3L P ln( A) m f m 3L ln( A) m dm 0,L, (4.) SNR db 6,0R 0. (4.) A SNRq só depende do número de bits de codificação por amostra, deixando de depender da potência do sinal de entrada. Para o codificador normalizado G.7, de 8 bits/amostra (64 kbit/s), o valor máximo da SNRq é de 38,6 db e mantém-se praticamente constante para uma variação apreciável de potência do sinal de entrada ( 40 db). É esta caraterística quase constante do companding que o faz ter um desempenho médio superior ao PCM uniforme. Contudo, para sinais de baixa potência, ou seja quando a potência normalizada do sinal de entrada é inferior a /A, o termo dominante é o inferior da equação 4.9, com um comportamento linear, pelo que a SNRq é dada pela equação 3.0. Para a Lei-: ln m g m 0 m. (4.3) ln( ) O parâmetro governa o grau de compressão, sendo o valor normalizado de 55. Para valores pequenos esta Lei tem também um comportamento linear (figura 4.5), dado que ln(+ m ) m e para valores elevados um comportamento logarítmico, dado que para m >>, então ln(+ m ) ln( m ). A derivada desta função vale: g m. (4.4) ln( ) m

45 SNR q [db] Quantificação não uniforme 39 A SNRq vem, com o valor normalizado =55, aplicando a equação 4.6 e após alguma manipulação algébrica: SNR q 3L ln 0,L. (4.5) Para baixas potências esta aproximação não é válida, correspondendo como na Lei-A à entrada na zona linear, fazendo diminuir a SNRq. Das equações 4. e 4.5 verifica-se que os desempenhos das duas Leis são idênticos. 50,0 40,0 30,0 Companding Lei- 0,0 0,0 Uniforme 0, uniforme -7, -,,9 7,9,9 7,9,9 7,9 3,9 37,9 4,9 47,9 5,9 Lei-u 4,6 8,5 3,7 34, 35,7 36,7 37,3 37,6 37,8 37,9 38,0 38,0 38,0 P/V [db] Figura 4.5 Relação sinal ruído em PCM companding Lei-(55). Comparação com PCM com quantificação uniforme, função da potência do sinal de entrada normalizada pelo quadrado do valor máximo de quantificação, para 8 bit por amostra. Notese a caraterística quase constante do companding e o seu melhor desempenho em relação ao PCM uniforme para potências normalizadas abaixo dos 4,77 db. A caraterística quase constante da SNRq em companding pode ser explicada do modo seguinte: para sinais de baixa potência a probabilidade de amplitudes baixas é maior, sendo melhor quantificadas e baixando a potência do ruído. Para sinais de potência elevada, a probabilidade de amplitudes elevadas é maior, mas também são pior quantificadas. Em ambos os casos a relação entre a potência do sinal e do ruído de quantificação é quase constante.

46 40 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 4.3 Quantificação Ótima Quando, no sinal a quantificar, existe maior probabilidade de ocorrência de alguns dos valores do que de outros, deve-se diminuir a dimensão dos intervalos de quantificação nas zonas mais prováveis, à custa do aumento da dimensão dos intervalos nas zonas menos prováveis. Por exemplo, os sinais de fala têm uma função densidade de probabilidade das amplitudes com maiores ocorrências para os valores mais pequenos, pelo que o PCM companding é uma melhor alternativa em relação ao PCM uniforme. No entanto a principal vantagem do PCM companding é a de tornar a SNRq praticamente independente da potência do sinal de entrada. Para sinais de potência razoável a utilização de PCM companding resulta numa diminuição da SNRq em relação ao PCM uniforme, pelo que deve ser utilizado outro tipo de não linearidade. Das equações 4. e 4.5, a potência do ruído de quantificação vem: L L t j q N j m v j f ( m) dm. (4.6) j j t j Os valores ótimos de decisão t j e de quantificação v j são estimados por minimização da potência do ruído de quantificação q, ou seja, tomando as derivadas parciais de N j em ordem a t j e a v j. Contudo a resolução deste conjunto de equações não é fácil. Descreve-se a seguir um algoritmo iterativo conhecido por Lloyd-Max (Apêndice 3) ilustrado na figura 4.6, para estimação dos valores ótimos de quantificação e decisão, que tem como entrada o histograma do sinal a quantificar, estimando a respetiva função densidade de probabilidade. O quantificador resultante só terá o mesmo desempenho quando for utilizado com sinais com a mesma função densidade de probabilidade dos sinais que geraram o histograma de entrada do algoritmo, denominado de corpus 6 de treino. É pois necessário ser muito criterioso na escolha deste corpus, devendo incluir diversos oradores do género masculino e feminino, dizendo frases balanceadas foneticamente, ou seja, cujas ocorrências dos fonemas que as compõem sejam aproximadas da respetiva ocorrência na linguagem falada. 6 Corpus de sinais de fala: conjunto de sinais de fala. Termo utilizado em investigação.

47 Quantificação não uniforme a) b) c) d) e) Figura 4.6 Exemplo do algoritmo Lloyd-Max para sinal de fala. Em a) É ilustrado o quantificador uniforme utilizado para inicializar o algoritmo. Em b) são representados os novos valores de quantificação, obtidos pela média dos valores de cada intervalo de quantificação, pesados pelos respetivos valores do histograma. Em c) e d) é ilustrada a segunda iteração, partindo dos valores obtidos na iteração anterior. Em e) são apresentados os O - Valores de quantificação uniforme (SNR= 0, db) e os - Valores ótimos (SNR= 7,5 db), obtidos após 9 iterações.

48 4 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Como inicialização do algoritmo, assume-se qualquer quantificador com L valores de quantificação. No exemplo ilustrado na figura 4.6-a) assume-se um quantificador uniforme com L=4, marcando sobre o histograma do sinal de entrada com um os valores de decisão e com um os valores de quantificação. Como iteração, calculam-se os valores médios pesados pelo respetivo histograma, como mostrado na figura 4.6-b) marcado a x. Seguidamente substituem-se os valores de quantificação por estes, e calculam-se os respetivos valores de decisão através da equação 3., como na figura 4.6-c). Os valores de quantificação deslocam-se para as zonas de maior probabilidade, diminuindo aí o ruído de quantificação, à custa do aumento nas zonas de menor probabilidade. O procedimento anterior repete-se com estes novos valores (figura 4.6-d), até não haver diferença entre duas iterações ou esta ser menor que determinado critério de estabilidade. Na figura 4.6-e) são mostrados os valores de quantificação iniciais (uniforme) e finais (ótimos). A potência do ruído baixou 5,9 vezes, ou seja, foi produzido um aumento da SNRq de 7,7 db. Estes valores são obtidos após 9 iterações e o aumento da SNRq após a primeira iteração é de,9 db. Este algoritmo funciona para quantificar amostras de um sinal de fala ou qualquer outro parâmetro, e.g., áudio, pontos de uma imagem ou letras de um texto. Para um sinal sinusoidal, com uma função densidade de probabilidade que tenha maiores ocorrências para amplitudes elevadas como mostra a figura 4.7, os valores de quantificação tendem a deslocar-se para estas amplitudes Figura 4.7 Algoritmo Lloyd-Max aplicado a uma sinusoide. O - Valores de quantificação uniforme (SNRq=,8 db) - Valores de quantificação ótimos. (SNRq=3,8 db), obtidos após 6 iterações.

49 Quantificação não uniforme Comparação entre quantificadores Os codificadores PCM (codificação por modelação de pulsos) diferenciam-se pelo tipo de quantificador. Seguidamente são apresentadas as principais diferenças e compromissos: Quantificador uniforme A relação sinal-ruído é dependente da potência do sinal de entrada e da tensão máxima de quantificação, sendo esta a sua principal desvantagem. Poderá ser uma boa opção quando não é conhecida a distribuição do sinal de entrada. Utilizado por exemplo em CD (compact disk) de áudio; Quantificador companding A relação sinal-ruído é (praticamente) independente do sinal de entrada. Também é independente da tensão máxima de quantificação. A relação sinal-ruído tem uma diminuição de apenas,5 db (figura 4.5), para uma variação da potência do sinal até aos 40 db. Acima dos 4,77 db, valor impossível de atingir pelos sinais de fala, o PCM uniforme tem um melhor desempenho. Por exemplo para sinusoides, cuja potência normalizada é de 3 db (tabela 3.) e apresenta uma função de probabilidade com maiores ocorrências para valores maiores, a relação sinal-ruído correspondente para 8 bits/amostra em PCM uniforme é de 50 db, contrariamente aos 38 db obtidos pelo PCM companding. Um outro fator importante obtido pelo PCM companding, particularmente quando aplicado a sinais de fala, é o aumento da qualidade percetiva em relação ao PCM uniforme. O aparelho auditivo, através de um processo de mascaramento auditivo, é menos sensível ao ruído em zonas de maior potência. Também por este facto se quantifica melhor os valores menores em detrimento de valores maiores. Conclui-se do melhor desempenho objetivo (aumento da SNR q ) e subjetivo (melhoria da qualidade percetiva) para sinais de fala do PCM companding em relação ao PCM uniforme, sendo utilizado em codificação na transmissão telefónica em rede fixa; Quantificador ótimo Tira partido do conhecimento sobre a função densidade de probabilidade das amplitudes dos sinais a quantificar. Os valores de

50 44 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses quantificação e decisão são adaptados (treinados) de modo a maximizar a relação sinal-ruído. Como principal desvantagem, caso o sinal de entrada não mantiver a mesma função densidade de probabilidade dos sinais que serviram para o treino dos quantificadores, a SNRq pode descer para valores intoleráveis.

51 Codificação preditiva 45 5 Codificação preditiva Nas secções anteriores estudou-se o efeito da quantificação individual das amostras do sinal de entrada. Para sinais de fala, esta é possível com qualidade codificando acima dos 8 bits por amostra (64 kbit/s para sinais de fala amostrados a 8 khz). Abaixo deste débito é necessário tirar partido das redundâncias do sinal, nomeadamente a grande semelhança entre amostras adjacentes existente nos sinais de baixa frequência (quando comparado com a frequência de amostragem). Como exemplo, a figura 5. apresenta um gráfico das amostras de um sinal de fala função da respetiva amostra anterior. Estas exibem uma grande parecença, ou seja, apresentam-se à volta de uma reta de declive unitário. A codificação preditiva tira partido desta parecença para estimar (predizer) a próxima amostra do sinal, sendo objeto de estudo no resto desta secção. Fora do contexto deste texto, existem codificadores de sinais de fala que tiram partido não só da parecença entre amostras mas a parecença entre as últimas amostras (e.g. codificador do GSM tira partido da parecença das últimas 0 amostras) m[n] m[n-] Figura 5. Semelhança entre amostras adjacentes em sinais de baixa frequência. Amostras de um sinal de fala função das respetivas amostras anteriores. A semelhança pode ser verificada pois esta função apresenta-se à volta de uma reta de declive unitário.

52 46 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 5. Modulação por código de pulso diferencial Tirando partido da semelhança entre amostras consecutivas, caraterística dos sinais de baixa frequência (quando comparado com a frequência de amostragem), consegue-se representar uma amostra à custa da amostra anterior, sendo transmitida em PCM, entre o transmissor e o recetor, apenas a diferença entre amostras consecutivas. Dada a necessidade de coerência entre os sinais nestes dois sistemas, a diferença não é realizada sobre o sinal original mas, como mostra a figura 5., sobre o sinal de saída quantificado, o único existente no recetor. Para produzir o sinal quantificado existe no transmissor uma réplica do recetor. Este tipo de representação do sinal toma o nome de modulação por código de pulso diferencial (DPCM Differential pulse code modulation). a) Transmissor DPCM b) Recetor DPCM Figura 5. Modulação por código de pulso diferencial. a) Esquema de blocos de um transmissor por modulação por código de pulso diferencial. b) Respetivo recetor, correspondendo a parte do transmissor.

53 Codificação preditiva 47 O valor da amostra anterior pode ser interpretado como uma predição (m p [n]) do valor da amostra atual, e a sua diferença interpretada como o resíduo ou erro de predição. É assim quantificada e codificada a diferença entre a amostra que se quer sintetizar e a amostra de saída anterior, eventualmente multiplicada por um coeficiente de predição, a. O erro de predição deve ter uma menor variância (potência) que o sinal original, sendo suscetível de uma melhor quantificação. 5.. Relação sinal-ruído em DPCM Da análise do esquema de blocos da figura 5. conclui-se que o ruído de quantificação causado por este tipo de codificação é dado por: q n mn m n m n en q m n e n en e n, (5.) p p q q em que e[n] corresponde ao erro de predição, ou seja, à diferença entre a amostra atual e a sua predição m p n. O ruído na codificação preditiva resulta unicamente da quantificação, correspondendo ao ruído de quantificação em PCM do erro de predição, dependendo dos valores dos intervalos de quantificação. Caso a quantificação seja uniforme depende apenas do valor máximo de quantificação, que denominaremos de q V, e do número de intervalos de quantificação L. Através da equação 3.6, substituindo V (ou mmax por V, obtêm-se: V R q. (5.) A SNRq (em linear) do codificador DPCM, correspondente à relação entre a potência do sinal de entrada e deste ruído, vem: SNR q P P, (5.3) q q ou em decibéis, pela equação 3.0 com a mesma alteração de V por V,

54 48 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 3P SNR db 6,0R 0log 0, (5.4) V 3P m max SNR db 6,0R 0log 0, (5.5) mmax V 3P m max SNR db 6,0R 0log 0 0log 0. (5.6) mmax V O aumento da SNRq em relação à codificação PCM é dado por, m 0log 0 log V max m max 0 0. (5.7) V Para que a relação sinal-ruído aumente em relação aos codificadores PCM, assumindo o mesmo número de bits de codificação, o valor máximo de quantificação, V, deve ser menor que a amplitude do sinal de entrada, ou seja, resultar do preditor e do esquema diferencial uma diminuição de amplitude do sinal (erro de predição) a ser efetivamente quantificado. Se não houver diminuição de V não existe qualquer vantagem em utilizar codificação DPCM. Pelo contrário só há desvantagens, uma vez que a codificação DPCM é mais complexa (mais cara) e como veremos adiante mais sensível a erros no canal de transmissão que a codificação PCM. 5.. Tipos de distorção Conforme a equação 5.7, o valor máximo de quantificação é um parâmetro que atua diretamente no desempenho do quantificador. Se este for demasiado elevado o desempenho diminui, pois aumenta o intervalo de quantificação,, e a potência do q ruído de quantificação. Se for demasiado pequeno o erro de predição pode excedê-lo, provocando saturação de declive (figura 5.3), o que acontece (a=, preditor de ª ordem unitário) quando a variação do sinal de entrada no intervalo entre amostras for superior ao valor máximo de quantificação V, sendo evitada na condição, denominando como a derivada máxima do sinal de entrada, ' mt Ts m maxt s ' m max V m t. (5.8) max

55 Codificação preditiva 49 Em zonas de muito pequeno declive um quantificador midrise oscila em torno do sinal de entrada com salto evitar o ruído granular deve ser minimizado, provocando ruído denominado de ruído granular. Para q, o que pode provocar ruído de saturação q de declive. Caso seja utilizado um quantificador midtread, o ruído granular é evitado, devido ao 0 como nível de quantificação. Figura 5.3 Distorção de declive em codificação DPCM. Em codificação DPCM não existe saturação de amplitude mas pode existir saturação de declive (slope overload) e ruído granular. Exemplo para preditor unitário. A saturação de declive é percetivamente incomodativa, pelo que deve evitada utilizando a inequação 5.8. Para garantir no mínimo o valor exato de V, deve-se utilizar a equação 3.5 e não a equação 3.4. Por outro lado o ruído granular ocorre essencialmente a metade da frequência de amostragem, sendo facilmente atenuado pelo filtro reconstrutor. Uma forma de diminuir todos os tipos de ruído na codificação DPCM é aumentando a frequência de amostragem (equação 5.8), embora à custa do aumento no débito binário (equação 3.7). O valor de V para evitar saturação de declive diminui, diminuindo e consequentemente diminuindo o ruído de quantificação (equação 5.6) e q o ruído granular. Contudo, é preferível diminuir aumentando o número de bits de q codificação por amostra, pois a mesma qualidade é obtida com menor débito binário. De facto apenas com bit a mais por amostra V vai diminui para metade, sendo preciso duplicar da frequência de amostragem para obter o mesmo efeito.

56 50 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses A codificação DPCM não sofre de saturação de amplitude, como em codificação PCM. De facto é possível alcançar qualquer amplitude transmitindo consecutivamente o código correspondente à tensão máxima de quantificação V (ou mínima V ) Ganho de predição e estimação do valor máximo de quantificação Uma das principais dificuldades em DPCM é a estimação do valor máximo de quantificação do erro de predição V, de modo a evitar a saturação de declive mas minimizando o ruído. Um método aproximado para estimar V consiste em assumir que a relação entre as potências de pico de m[n] e e[n] é igual à relação das respetivas potências, refletindo-se esta na gama dos quantificadores, ou seja: G p P m m, (5.9) P e V e max max max em que P e representa a potência do sinal de erro de predição, pelo que G p, denominado ganho de predição, dá informação da redução de variância do sinal de entrada em relação ao erro de predição. O valor máximo de quantificação que evita a saturação de declive vem, aproximadamente: mmax V. (5.0) G p Resulta do esquema diferencial um aumento da SNRq introduzido pelo ganho de predição (equações 5.6 e 5.9), SNR db 3P GpdB 6,0R 0log 0 GpdB SNRPCMdBmn m. (5.) max Esta equação só é válida na condição de ser utilizada a equação 5.0, sendo também válida a equação 5.4 em que se obterá o mesmo valor de SNR. Note-se que a equação 5.4 é sempre válida desde que não haja saturação de declive. O aumento do ganho de predição, para determinado sinal de entrada, corresponde à diminuição da potência do erro de predição e consequentemente do seu

57 Codificação preditiva 5 valor máximo. Se, contudo, não for diminuído em conformidade o valor máximo de quantificação V, por exemplo utilizando a equação 5.0, não existe aumento da SNR. Para se calcular o ganho de predição repare-se que, desde que a quantificação se faça com um número razoável de bits, a potência do ruído pode-se desprezar face à potência do sinal, ou seja 7 : P mq P P. (5.) q Nestas circunstâncias a potência do erro de predição vem: P e lim N N lim N N P a P N nn N e n lim mn amqn m n a lim mq n a lim mnm qn N N N n N nn N nn ar P a ar N N N nn N N,(5.3) sendo R[k] o produto interno (Apêndice 4) entre o sinal e ele próprio atrasado de k amostras, denominado de função de autocorrelação (Apêndice 5) do sinal de entrada, aproximadamente igual à correlação cruzada entre o sinal de entrada e o sinal quantificado. r[k] corresponde à função de autocorrelação normalizada pela potência P=R[0]. O ganho de predição (não em decibéis) vem: P Gp. (5.4) P a ar e Esta equação vem, para o caso particular do coeficiente de predição ser igual a (a=, preditor de ª ordem unitário), em decibéis: P Gp db 0log 0 0log 0. (5.5) Pe r A aproximação da equação 5.0 apenas é exata para sinais sinusoidais (Apêndice 6). Para sinais de fala, esta equação subestima o valor de V, dando origem a 7 A potência do sinal soma só é igual à soma das potências desde que os sinais sejam ortogonais. Para um número suficiente de bits, pode-se considerar que o ruído de quantificação é ortogonal ao sinal de entrada.

58 5 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses alguma saturação de declive que pode ser percetivamente relevante. Contudo, como a saturação não é frequente, a SNRq na verdade aumenta em relação à utilização do valor máximo do erro de predição, pois é utilizado um intervalo de quantificação menor com a consequente diminuição da potência do ruído de quantificação. Na figura 5.4 é ilustrada a redução da gama dinâmica do erro de predição em relação ao sinal de entrada, correspondendo a um ganho de predição maior que a unidade. x 0 4 Sinal de fala Amplitude x t [ms] Resíduo de predição - preditor de primeira ordem unitário Amplitude t [ms] Figura 5.4 Exemplo do desempenho de um preditor de ª ordem unitário. Em cima representa-se,5 ms de um sinal de fala. Em baixo o respetivo erro de predição. Estes dois sinais são apresentados na mesma escala, sendo visível a redução na gama dinâmica. O codificador DPCM com preditor unitário não terá nenhuma vantagem em relação ao codificador PCM quando o ganho de predição for igual a 0 db, ou seja r[]=0,5 (equação 5.5), sendo vantajoso apenas para correlações superiores a 0,5. Para um valor de r[] de 0,8 o ganho de predição é de 4 db, chegando aos db para um valor de 0,97. O codificador DPCM tem então no máximo um ganho de bits de codificação por amostra em relação ao codificador PCM.

59 Codificação preditiva Adaptação do preditor Supondo o esquema de blocos da figura 5. que contêm um preditor linear de primeira ordem, o sinal predito 8 é dado por: n amn m p. (5.6) O coeficiente de predição ótimo, a, ou seja aquele que minimiza a potência do erro de predição, corresponde a: Pe a N a N m n a m n a mn mn n n n n m N N n mn mn n a N 0, (5.7) pelo que o valor ótimo do coeficiente de predição é dado (Apêndice 4, produto interno normalizado) por: a n mn m n n m n R R 0 r. (5.8) O coeficiente de predição é ótimo apenas para sinais com a mesma autocorrelação (de ª ordem), pelo que o preditor está adaptado ao sinal de entrada. Das equações 5.4 e 5.8 o ganho de predição vem: Gp db 0 log 0. (5.9) r Como mostra a figura 5.5, o ganho de predição com preditor adaptado é sempre maior ou igual a 0 db, independentemente do valor da autocorrelação, o que não acontece com preditor unitário de primeira ordem, em que o ganho de predição pode ser negativo. 8 Assume-se a situação ideal da predição baseada na amostra anterior e não na amostra quantificada. No caso genérico da predição com a amostra atrasada de k, substitui-se por k (equações 5.3 a 5.9).

60 54 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Gp (db) ,5 0 0,5 Figura 5.5 Ganho de predição função da autocorrelação normalizada de primeira ordem para preditores de ª ordem unitário e adaptado. Os preditores unitários têm ganho negativo abaixo de r[]=0,5. Os preditores adaptados têm sempre ganho positivo, a menos quando a correlação é 0 em que o ganho é 0. O mesmo resultado é obtido por projeção do sinal de entrada sobre a sua versão deslocada de uma amostra, como ilustrado na figura 5.6, assumindo a melhor representação do primeiro sobre este último. De facto, a autocorrelação R[k] não é mais do que o produto interno entre um sinal e a sua versão deslocada de k amostras, correspondendo r[k] à respetiva projeção. À esquerda da figura exemplifica-se a predição com coeficiente unitário, para 3 situações distintas. A predição coincide com a amostra (quantificada) anterior, sendo o erro de predição a diferença entre este e o sinal de entrada. O ganho de predição é de 0 db quando a projeção do sinal de entrada sobre a predição é 0,5 (equação 5.5). O ganho de predição só é positivo à direita deste ponto. Para o preditor unitário, G p =0 db quando a amostra faz um ângulo de /3 em relação à predição. Para uma sinusoide como sinal de entrada em que r[]=cos(f/f s ) (Equação A.5.6), então f/f s =/3. Para um sinal genérico pode-se definir a frequência, ' f max, que produz a derivada máxima, pelo que G p é positivo desde que: ' ' f max f s f max f 3 6. (5.0) s Para sinais de fala esta situação é quase sempre verdade quando este é amostrado, como em qualidade telefónica, a 8 khz ( -0 ' f max <,333 khz).

61 Codificação preditiva 55 Figura 5.6 Interpretação vetorial da predição. À esquerda, predição com coeficiente unitário. À direita, predição adaptada. À direita da figura exemplifica-se a predição adaptada, para 4 situações distintas. A predição corresponde à projeção sobre a amostra anterior, minimizando a energia (norma do vetor) do erro de predição, que lhe é ortogonal. O ganho de predição é sempre positivo (equação 5.9, com exceção da situação em que o sinal de entrada e a sua projeção são ortogonais (a=r[]=0), em que o erro de predição coincide com o sinal de entrada e o codificador transforma-se num codificador PCM. Note-se que a adaptação do preditor já não tem como objetivo tirar partido da semelhança entre amostras, como no preditor unitário, mas sim tirar partido da correlação entre amostras. Por exemplo se as amostras foram simétricas (muito diferentes) a correlação normalizada é mas, pela equação 5.9, o ganho de predição é db, o mesmo que se as amostras consecutivas forem todas iguais, a que corresponde uma correlação normalizada de. Os codificadores de fala normalizados utilizam predição de ordem mais elevada, tipicamente com as 0 últimas amostras, de modo a melhorar o ganho de predição. Os coeficientes são calculados no transmissor e enviados a intervalos regulares. No codificador utilizado em GSM, por exemplo, a cada intervalo de 0 ms são calculados e enviados 0 coeficientes de predição.

62 56 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 5.3 Adaptação do quantificador A utilização de um quantificador de valores fixos leva, como ilustrado na figura 5.7, a que quando a variância do sinal à sua entrada é grande se possa exceder o valor máximo de quantificação e, por outro lado, para variâncias baixas, o ruído de quantificação seja elevado. Figura 5.7 Adaptação ao valor ótimo de quantificação. São apresentados os valores ótimos do valor máximo de quantificação em função do tempo, dependentes da potência e da autocorrelação do sinal, para um preditor de ª ordem unitário. A potência do sinal de entrada do quantificador é dependente da potência localizada e da autocorrelação do sinal de entrada e portanto do tempo. Para sinais quase estacionárias (em que a potência e a autocorrelação variam lentamente, nomeadamente para sinais de fala) é possível adaptar localmente a gama do quantificador, tirando partido das zonas dando origem a codificador DPCM com quantificador adaptativo 9. Os parâmetros de adaptação podem ser obtidos do sinal original, sendo esta informação enviada para o recetor como informação lateral (AQF Adaptive quantization with forward estimation), o que aumenta o débito binário mas oferece um aumento da qualidade. Pela equação 5.9 e conhecido o ganho de predição pela equação 5.4, pode-se estimar o valor máximo de quantificação do erro de predição. 9 Adaptativo - Que se modifica para se adaptar às condições locais do sinal. Não confundir com adaptado, que realiza a adaptação apenas uma vez e se mantêm fixo.

63 Codificação preditiva 57 Outro método de adaptação, que evita o aumento do débito binário corresponde a obter os parâmetros de adaptação através do índice de quantificação, representado pelos bits do código, existentes no próprio recetor (AQB Adaptive quantization with backward estimation). Um exemplo bastante simples deste método, proposto por Jayant 0, é baseado no raciocínio seguinte: se o valor de quantificação numa amostra for próximo (em módulo) do valor máximo de quantificação V, há risco de distorção de saturação de declive e, portanto, este último deve ser aumentado para quantificar a amostra seguinte; se, por outro lado, o valor de quantificação for pequeno em relação ao valor máximo de quantificação, este último pode ser diminuído de modo a diminuir o intervalo de quantificação e consequentemente o ruído de quantificação. O valor de V no instante n depende então do seu valor anterior e do índice de quantificação na amostra anterior n, seguindo a regra: Os valores de M in n V n M in V. (5.), apresentados na tabela 5., correspondem aos fatores multiplicativo do índice i do quantificador na amostra anterior. Numa zona de silêncio V tende para zero, pelo que se deve limitar este valor a um valor mínimo aceitável. R M(0) M() M() M(3) M(4) M(5) M(6) M(7) M(8) M(9) M(0) M() M() M(3) M(4) M(5),6 0,9 0,9,6 3,7,5 0,9 0,9 0,9 0,9,5,7 4,4,0,6, 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9,,6,0,4 Tabela 5. Fatores multiplicativos de adaptação de quantificadores. M(0) corresponde ao valor mais pequeno de quantificação, correspondendo o aumento do índice a um aumento do valor de quantificação. Com o coeficiente de predição igual a zero o codificador transforma-se num codificador PCM adaptativo. 0 Nikil Jayant, Indiano. Professor no Georgia Institute of Technology, Atlanta.

64 58 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 5.4 Modulação por código de pulso diferencial adaptativa Uma versão do codificador DPCM, com adaptação do preditor e do quantificador foi adotada como recomendação G.76 (990, unificação das Rec. G.7 (984) e G.73 (988)) pelo ITU-T, para codificação de sinais de fala com débitos binários de 6, 4, 3 e 40 kbit/s (, 3, 4 e 5 bits por amostra). São utilizados 3 kbit/s para duplicar o número de conversações em relação à recomendação G.7 em canais telefónicos e na norma DECT de sistemas telefónicas de curto alcance. Este codificador é denominado de ADPCM (Adaptive differential pulse code modulation). a) Transmissor ADPCM b) Recetor ADPCM Figura 5.8 Modulação por código de pulso diferencial adaptativo. Esquema de blocos do codificador ADPCM, com adaptação amostra a amostra dos níveis de quantificação, baseado no índice de quantificação.

65 Codificação preditiva Modulação Delta A modulação Delta (DM - Delta modulation) é um caso particular da modulação DPCM utilizando um codificador midrise de bit por amostra. O esquema de blocos é apresentado na figura 5.9. O bit de codificação apenas dá informação do sentido do sinal diferença (se positivo ou se negativo), sendo o sinal de saída incrementado ou decrementado de um passo de quantificação. Figura 5.9 Modulação Delta (DM). O recetor é igual ao do DPCM (Figura 5. b)), mas com descodificador de bit. Este tipo de codificação teve a sua época quando a tecnologia digital ainda era de custo elevado, pois como apresentado na figura 5.0, pode ser implementado com pequena complexidade tendo como entrada o sinal analógico e utilizando componentes analógicos (comparadores, integradores, S&H). Hoje é a base da codificação delta-sigma (, codificadores de alta qualidade, que não são aqui objeto de estudo. Modulador DM Desmodulador DM Figura 5.0 Implementação analógica da modulação Delta. O valor de é dado por ATs/RC.

66 60 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses 5.5. Tipos de distorção Como em DPCM, existem dois tipos de distorções introduzidas em DM, ilustradas na figura 5.: a saturação de declive típico das zonas de variação rápida do sinal de entrada; e o ruído granular típico das zonas de silêncio ou de pequena variação do sinal de entrada, quando comparado com o passo de quantificação. Figura 5. Tipos de distorção na Modulação Delta. Há dois tipos de distorção na modulação delta: a distorção de saturação de declive, típico das zonas de variação brusca do sinal em que o passo do quantificador é insuficiente; o ruído granular, típico das zonas de pequena variação do sinal de entrada em que o passo do quantificador é demasiado grande. Existe um compromisso entre estes dois tipos de ruído: aumentando o passo de quantificação para se evitar a saturação de declive aumenta-se o ruído granular e vice-versa. Em DPCM o ruído granular pode ser evitado com recurso a um codificador midtread, o que não é possível em DM, por é utilizado bit de codificação por amostra. Como em DPCM, equação 5.8, de modo a evitar o ruído de saturação de declive o valor de tem que no mínimo ser igual à variação máxima do sinal no intervalo entre duas amostras. No entanto, para garantir que existe um valor de quantificação exatamente no valor máximo de quantificação, V, o que equivale, no cálculo do intervalo de quantificação, a utilizar a equação 3.5 em vez da 3.4. ' mt Ts m maxt s V m t. (5.) max

67 Codificação preditiva Relação sinal-ruído em DM O intervalo de quantificação corresponde à diferença entre os dois níveis de quantificação, ou seja, de a. O intervalo de quantificação vem então, V, (5.3) q e a potência do ruído de quantificação vem, pela equação 3.8, q q. (5.4) 3 Note-se que, devido à utilização da equação 3.5 para o cálculo do intervalo de quantificação utilizando apenas bit por amostra, este torna-se vezes maior do que utilizando a equação 3.4, produzindo uma potência do ruído de quantificação 4 vezes maior, ou seja, uma diminuição de 6,0 db na relação sinal-ruído quando comparada com equação correspondente para DPCM. A relação sinal-ruído de quantificação vem, 3P SNR db 0log0 (5.5) Introduzindo o ganho de predição dado pela equação 5.9, SNR db 3P max 0log 0log0 0log m 0 mmax P G 4, 77 0 n pdb. (5.6) O passo de quantificação pode ser calculado de 5, caso se conheça a máxima derivada do sinal, e continuam a ser válidas as equação 5.5 para o cálculo do ganho de predição com preditor unitário e a equação 5.0 para o passo de quantificação, mmax G p (5.7) r Sendo DM codificado com bit por amostra, o débito binário vem, Rb f s (5.8)

68 6 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Ganho de filtragem Ao contrário da codificação DPCM em que é possível e mais eficiente melhorar a qualidade aumentando o número de bits por amostra, em DM só é possível aumentar a qualidade aumentando a frequência de amostragem, tornando as amostras mais próximas e portanto diminuindo (equação 5.) e aumentando o ganho de predição (equação 5.7). Pode-se então diminuir o passo de quantificação embora à custa do aumento do débito binário. O ruído de quantificação exibe, para sinais de entrada aleatórios, uma função densidade espetral plana (ruído branco) entre fs/ e fs/. Por este facto, como mostrado na figura 5., a potência do ruído pode ser diminuída por filtragem passa-baixo à frequência máxima do sinal de entrada, aumentando ainda mais a relação sinal-ruído. Figura 5. Função densidade espetral de potência do ruído de quantificação. É possível retirar o ruído de quantificação em DM fora da banda do sinal de entrada, por filtragem passa-baixo. O ganho de filtragem é a relação entre a área da função densidade espetral de potência do ruído antes e depois da filtragem: G f f s OSR, (5.9) W em que OSR (over-sampling ratio) é uma medida da sobre-amostragem e corresponde ao número de vezes que a frequência de amostragem excede o ritmo de Nyquist. A duplicação da frequência ( oitava) leva a um ganho de 3 db (0log0()). Introduzindo o ganho de filtragem na equação 5.6 obtêm-se, 3P SNR db 0log0OSR 0log0. (5.30)

69 Codificação preditiva Modulação Delta adaptativa Os codificadores por modulação delta não são competitivos em relação ao PCM ou ao DPCM devido ao forte compromisso entre o ruído granular e de saturação de declive. É no entanto possível aumentar a qualidade adaptando o passo de quantificação, dando origem à modulação delta adaptada (ADM Adaptive delta modulation). O ruído de saturação de declive na modulação delta pode ser detetado através de uma sequência de bits de saída com o mesmo nível lógico. Por outro lado, uma sequência alternada de níveis lógicos indicia um sinal com frequência muito baixa e portanto a predominância de ruído granular. A deteção de ambos os tipos de ruído pode ser aproveitada para adaptar o valor do passo de quantificação. Um método simples, mas eficaz, de adaptação amostra-a-amostra, seguindo o princípio acima referido, devendo este ser aumentado quando se deteta ruído de saturação de declive e diminuído quando se deteta ruído granular. tem a regra seguinte: n n n bn b 0, (5.3) em que b[n] é o valor do nível lógico de saída do quantificador no instante n, neste caso tomando os valores ± e gere o grau de adaptação. Por exemplo com =0,5 o passo da amostra anterior é multiplicado por,5 caso se suspeite de saturação de declive e dividido por 0,5 caso se suspeite de ruído granular. Este método é exemplificado na figura 5.3. O princípio de adaptação ilustrado é utilizado em métodos mais complexos mas também mais eficazes, para implementar codificadores de sinais de fala, tais como o CVSD (Continuous variable slope delta), com débitos binários entre os 6 kbit/s e os 8 kbit/s. Para além da adaptação o aumento da qualidade é conseguido através do aumento da frequência de amostragem e consequente aumento da correlação entre amostras.

70 64 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses Figura 5.3 Modulação Delta Adaptada. O passo do modulador é adaptado de modo a diminuir a distorção, segundo o raciocínio seguinte: uma sequência de bits de saída com o mesmo nível lógico indicia distorção de saturação de declive e o passo é aumentado; uma sequência de bits de saída com níveis lógicos alternados indicia ruído granular e o passo é diminuído. 5.7 Propagação dos erros no canal de transmissão Uma desvantagem da codificação preditiva, quer seja DPCM quer seja DM, em relação à codificação PCM prende-se com a propagação de erros no canal de transmissão. Em PCM, um erro no canal de transmissão afeta apenas a amostra correspondente, enquanto na codificação preditiva este erro é propagado às amostras posteriores, pois o sinal de saída é calculado através do sistema linear (filtro digital com um polo) representado por: m q n m n e n am n e n. (5.3) p q Se a <, então o erro é atenuado a cada iteração e tende para zero tão mais rapidamente quanto menor for o valor de a. Se a =, então o erro nunca é atenuado, enquanto para a > o erro é aumentado a cada iteração. Na presença de erros no canal de transmissão, para além da propagação de erros comum ao DPCM e DM, o ADPCM e ADM têm como grande desvantagem uma adaptação mal realizada no recetor, o que conduz a que os quantificadores do recetor e do transmissor sejam diferentes, levando a uma perda significativa de qualidade. q q

71 Discussão sobre codificadores de sinal 65 6 Discussão sobre codificadores de sinal Nas secções 3 a 5 descreveram-se os principais codificadores de sinal, segundo o método de codificação de forma de onda, com ênfase para a codificação de sinais de fala. Foram deduzidas as expressões da relação sinal-ruído de quantificação, medida objetiva da qualidade, para os diversos métodos de codificação apresentados, tendo sido realçado o compromisso com o débito binário produzido. Na tabela 6. apresentam-se as vantagens/desvantagens dos codificadores apresentados, em relação aos seus atributos. Débito binário (mesmo SNRq) Qualidade (mesmo Rb) PCM uniforme PCM Companding PCM quantif. ótimo DPCM preditor unitário DPCM preditor adaptado ADPCM DM ADM Complexidade Sensibilidade a erros de canal Dependência com o sinal de entrada Tabela 6. Comparação entre codificadores de sinal. Codificadores de sinal com melhor ( ) e pior ( ) desempenho em termos de atributos. Os codificadores por modelação de pulsos (PCM) são os de menor complexidade e diferenciam-se pelo tipo de quantificador: Quantificador uniforme A relação sinal-ruído de quantificação é dependente da potência do sinal de entrada e da tensão máxima de quantificação; Quantificador companding A relação sinal-ruído de quantificação é (praticamente) independente do sinal de entrada e da tensão máxima de quantificação; Quantificador ótimo Tira partido do conhecimento sobre a função densidade de probabilidade das amplitudes dos sinais a quantificar. Os valores de

72 66 Codificação de Sinais por Modulação de pulsos Carlos Meneses quantificação e decisão são adaptados (treinados) de modo a maximizar a relação sinal-ruído, necessitando para tal de um corpus de sinais de fala adequado. As codificações diferenciais (DPCM), ao predizerem o valor de uma amostra tirando partido da correlação entre amostras consecutivas, têm uma melhoria na SNRq devido à introdução do ganho de predição. No entanto, para além da maior complexidade, ao depender das amostras passadas, a modulação diferencial perde robustez na presença de erros no canal de transmissão. Os codificadores DM são um caso particular dos codificadores DPCM, utilizando apenas bit de codificação por amostra, pelo que a qualidade atingida é baixa. Tem como vantagem poder ser implementado com baixa complexidade através de hardware analógico. Para melhorar a qualidade pode-se aumentar a frequência de amostragem, aproximando as amostras e portanto diminuindo o passo de quantificação. O aumento da frequência de amostragem leva ainda a que se possa retirar o ruído de quantificação fora da banda do sinal de entrada, através de filtragem. No entanto a qualidade é a mais baixa dos codificadores apresentados. Os codificadores com predição e quantificação adaptativa, que se ajustam às caraterísticas dos sinais a codificar, melhoram a qualidade e tornam-se mais independentes do sinal de entrada. Como desvantagens, para além do aumento da complexidade, estes codificadores são ainda menos robustos na presença de erros que os codificadores preditivos sem adaptação, já que a adaptação pode ser mal efetuada levando a diferenças entre os parâmetros adaptados no transmissor e no recetor. O melhor codificador é um conceito inexistente em codificação de sinais, quer estes sejam sinais de fala, áudio, imagens, vídeos, etc.. Para determinada aplicação devem ser levados em conta os atributos mais relevantes, possivelmente à custa de um pior desempenho em relação aos outros. Por exemplo, a diminuição do débito binário só é possível correlacionando a informação entre amostras, o que leva a um aumento da complexidade e atraso e possivelmente à diminuição da qualidade.

73 Segunda Parte COMUNICAÇÃO DE DADOS (Introdução) ( ) um sistema de comunicação ( ) consiste essencialmente de cinco partes:. Uma fonte de informação que produz uma mensagem ou sequência de mensagens a serem comunicadas ao terminal recetor. ( ). Um transmissor que opera sobre a mensagem de alguma forma para produzir um sinal adequado à transmissão ao longo do canal. Na telefonia esta operação consiste simplesmente na mudança de pressão sonora numa corrente elétrica proporcional. Em telegrafia temos um processo de codificação que produz a sequência de pontos, traços e espaços sobre o canal correspondente à mensagem. Num sistema multiplexado PCM os diferentes sinais de fala devem ser amostrados, quantificados, codificados e, finalmente, intercalados adequadamente para construir o sinal. Sistemas vocoder, televisão e de frequência modulada são outros exemplos de operações complexas aplicadas à mensagem para obter o sinal. 3. O canal é meramente o meio utilizado para transmitir o sinal do transmissor ao recetor. Pode ser um par de condutores, um cabo coaxial, uma banda de frequências de rádio, um feixe de luz, etc.. 4. O recetor normalmente executa a operação inversa da que fez o transmissor, reconstruindo a mensagem a partir do sinal. 5. O destino é a pessoa (ou coisa), para quem a mensagem é proposta. Claude E. Shannon A Mathematical Theory of Communication, 948

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75 Introdução à comunicação de dados 69 7 Introdução à comunicação de dados O problema da comunicação de dados prende-se com a transmissão de informação digital entre dois equipamentos (computadores, telefones, etc.) através de um canal de comunicação. São transmitidos sinais (elétricos, eletromagnéticos, óticos) que correspondem a códigos representando a informação digital. 7. Limitações dos sistemas de comunicação No canal de comunicação, os sinais são atenuados devido à resistência elétrica, distorcidos devido à largura de banda, inseridos em ruído devido ao ruído térmico ou a interferências eletromagnéticas e não são transmitidos instantaneamente. Os efeitos do canal de comunicação levam o recetor a nem sempre conseguir discriminar a informação recebida. Havendo erros entre o transmissor e o recetor, a qualidade da transmissão é medida através da relação entre o número bits errados e a totalidade dos bits transmitidos (BER bit error rate), que é uma estimativa da probabilidade de erro de bit (também denominada relação ou taxa de erro de bit). A largura de banda do canal de comunicação é, a par da energia transmitida, um recurso extremamente importante que interessa preservar. A eficiência espetral, medida como a relação entre o débito binário (número de bits transmitidos por segundo) e a largura de banda ocupada pelo sinal transmitido, serve de medida de qualidade em relação a este atributo. A transmissão M-ária (em oposição à binária), ou seja, a transmissão de símbolos com mais de duas formas de onda possíveis, faz diminuir o débito de símbolos para o mesmo débito binário. A largura de banda é linearmente dependente do débito de símbolos, sendo esta uma forma de melhorar a eficiência espetral. Aos bits de informação poderão ser introduzidos bits de redundância, de modo a que bits errados sejam detetados ou mesmo corrigidos no recetor. Os códigos de correção necessitam de mais redundância que os códigos de deteção, aumentando o número de bits transmitidos. No entanto os códigos de deteção de erros necessitam de

76 70 Transmissão de dados Carlos Meneses mecanismos que informem o transmissor destes erros de modo a que a informação respetiva possa ser retransmitida. Não é possível encontrar um método de transmitir a informação digital com total eficácia, ou seja, com grande débito binário, grande eficiência espetral, pequena probabilidade de erro de bit, pequena energia e com pequena complexidade dos equipamentos transmissores e recetores. São discutidos nas próximas secções os compromissos entre estes atributos e terá que ser encontrado, função dos recursos disponíveis, o método que melhor se adequa a cada aplicação. Por exemplo, são diferentes as soluções para ligar dois computadores numa mesma sala distanciados de alguns metros, ou quando estes se encontram em qualquer parte de um país ou mesmo do mundo. Chega-se ainda a soluções diferentes quando os utilizadores geram pouco tráfego de baixa prioridade, como os utilizadores domésticos, ou muito tráfego de alta prioridade, como numa empresa com diversos balcões interligados. 7. Modelo de referência OSI Para interligar diversos equipamentos de diferentes fabricantes, cada um com a sua arquitetura, formato de dados, sistema operativo, etc., a ISO (International Organization for Standardization) normalizou em 979 um modelo de referência denominado de OSI (Open system interconnection). Este é um modelo abstrato baseado em 7 camadas (física, ligação, rede, transporte, sessão, apresentação e aplicação), esquematizado na figura 7.. Cada camada apenas comunica com as camadas imediatamente acima e abaixo, através de uma interface bem definida, e com a mesma camada no equipamento destino, tornando os protocolos que implementam independentes das outras camadas. 7.. Camada física A camada física define as especificações físicas (mecânicas e elétricas) dos equipamentos, i.e., define a relação entre o equipamento e o meio físico. (e.g. tipo de fichas, cabos, formas e tensões dos sinais elétricos, quantidade de bits transmitidos por

77 Introdução à comunicação de dados 7 unidade de tempo, tipo de sincronismo). Apenas tem a noção de bit ignorando as estruturas definidas pelas camadas superiores. Figura 7. Modelo de referência OSI. Modelo de 7 camadas normalizado em 979 pela ISO. 7.. Camada de ligação Como o seu nome (ligação) indica, esta camada preocupa-se essencialmente em gerir a ligação entre dois ou mais equipamentos que comuniquem diretamente entre si, recorrendo para tal à camada física. Oferece às camadas superiores uma forma de transmitir aos equipamentos de destino os dados estruturados em tramas que possuem um cabeçalho, uma zona de dados e uma cauda. O cabeçalho inclui campos de suporte aos serviços disponibilizados e a cauda é usada para suporte da deteção de erros. Presta serviços às camadas superiores (rede) e socorre-se dos serviços da camada inferior (física) para fazer chegar as tramas aos outros equipamentos. Pode prestar vários tipos de serviços como, por exemplo, fiáveis, não fiáveis, ponto-a-ponto, ponto-multiponto, com controlo de fluxo, sem controlo de fluxo. Por exemplo, um trânsito fiável de dados nas ligações físicas da rede implica o uso de um algoritmo de correção de erros através de códigos apropriados, ou a utilização de protocolos que promovem a retransmissão da

78 7 Transmissão de dados Carlos Meneses trama em falha (correção por retransmissão). Poderá igualmente ser não fiável, deixando neste caso a tarefa da correção de erros, sequenciação, etc. às camadas superiores, se assim for pretendido Camada de rede A camada de rede procede ao encaminhamento da informação pela rede, organizando-a em pacotes, gerindo o endereçamento, podendo ter em consideração fatores como a quantidade de tráfego na rede, a capacidade em termos de débito máximo possível e a prioridade segundo o tipo de serviço requerido. Ao contrário dos endereços da camada de ligação, de quem esta camada se socorre para transmitir entre equipamentos vizinhos os seus dados estruturados em pacotes, a noção de endereço nesta camada está associado ao conceito de morada e de encaminhamento. Implica encaminhamento ao longo de redes mais ou menos complexas até atingir o destino (morada) que pode ser remoto. Dependendo do protocolo usado e dos objetivos pretendidos esta camada pode ou não realizar serviços como, por exemplo, a segmentação de dados e a correção de erros. A implementação desta camada é realizada normalmente pelo protocolo IP (Internet protocol) Camada de transporte A camada de transporte é uma camada que permite a oferta de um conjunto de serviços independente do protocolo de rede, tornando assim as camadas acima independentes da rede utilizada. Os serviços prestados por esta camada podem ser tão simples como apenas realizar multiplexagem dos protocolos superiores sobre a mesma camada de rede (múltiplos protocolos superiores transportados sobre o mesmo protocolo de rede para o mesmo equipamento destino mas para aplicações distintas no destino), caso, por exemplo, do protocolo UDP (User datagram protocol), ou complexa o suficiente para disponibilizar, para além da multiplexagem antes referida, serviços de transferência de

79 Introdução à comunicação de dados 73 dados com garantia de entrega sem erro, possibilitando nomeadamente o controlo de fluxo e a garantia da sequência correta dos dados transportados nos vários segmentos formados nesta camada, caso, por exemplo, do protocolo TCP (Transmission control protocol) Camadas orientadas à aplicação As camadas orientadas à aplicação (sessão, apresentação, aplicação) são responsáveis pela comunicação entre aplicações a correr em dois equipamentos, pela compatibilidade entre formatos e pela interface com os utilizadores Modelo TCP/IP O modelo TCP/IP (Transport control protocol/internetwork protocol) é um modelo menos rígido mas funcionalmente equivalente ao modelo OSI. É formado por 4 camadas: camada de interface de rede (correspondente às camadas física e de ligação do modelo OSI); camada de Internet (camada de rede); camada de transporte (camada de transporte); camada de aplicação (camadas de sessão, apresentação e aplicação). Este modelo é anterior ao modelo OSI. Os capítulos correspondentes à segunda parte deste texto focarão especificamente a interface elétrica da camada física (secções 8 a ) e os algoritmos de deteção e correção de erros ao nível do bit (secção 3). Outros aspetos, como por exemplo o controlo de fluxo e de sequência, saem do contexto deste texto, devendo sendo abordados em unidades curriculares específicas de redes de computadores. Estes blocos de um sistema de comunicação digital são apresentados como solução para lidar com as limitações do canal de comunicação, otimizando recursos importantes como a energia e a largura de banda disponível.

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81 Códigos de linha binários 75 8 Códigos de linha binários Os códigos de linha têm como objetivo transmitir informação digital (níveis lógicos 0 e ) num canal de comunicação. Estes códigos são constituídos por símbolos que se encontram em banda de base, ou seja, são constituídos por níveis de tensão (ou corrente) que transitam de um modo descontínuo, ocupando uma zona do espetro em torno dos 0 Hz. 8. Atributos dos códigos de linha Diferentes características do canal de comunicação, diferentes aplicações e requisitos de qualidade, levaram a desenvolver diferentes códigos de linha, com atributos diferentes. Quase sempre estes atributos estabelecem compromissos, no sentido em que tentar melhorar um dos atributos corresponde a piorar outro ou mesmo outros atributos. Os atributos mais importantes num código de linha são: 8.. Débito binário Numa transmissão binária em série o débito binário R b (número de bits transmitidos por segundo) corresponde ao inverso do tempo de cada bit T b (duração de cada símbolo binário), ou seja: R b. (8.) T b 8.. Energia média por bit e potência transmitida A energia é um recurso extremamente importante, do qual depende o valor a pagar à empresa fornecedora. Este torna-se ainda mais importante num mundo cada vez mais móvel, em que os equipamentos não estão ligados a tomadas (e.g. telefones móveis, computadores portáteis) mas são alimentados por baterias. Um maior consumo de energia corresponde assim à utilização de baterias de maior capacidade e portanto mais caras e mais pesadas e/ou a um menor tempo da sua duração. Também designado de linha de transmissão, dando origem ao termo código de linha.

82 76 Transmissão de dados Carlos Meneses A energia (normalizada) de cada símbolo é determinada por: E l T b 0 s l t dt, l= 0 ou, (8.) em que l representa o nível lógico 0 ou e s l t a respetiva forma de onda. A energia média por bit, E b, corresponde à média ponderada pela probabilidade de cada nível lógico, p 0 e p, respetivamente para o nível lógico 0 e : E b p E p. (8.3) 0 0 E Neste texto assume-se que os níveis lógicos são equiprováveis, ou seja, p 0 =p =0,5. Esta hipótese é suficientemente realista e simplifica a análise dos sistemas de comunicação. Nesta situação obtêm-se: E b E 0 E. (8.4) A potência (normalizada) transmitida é definida por, S T E b EbRb. (8.5) Tb O valor da potência pode ser referenciado em valor absoluto, em dbw ou em dbm (Apêndice ) Largura de banda e eficiência espetral Qualquer canal de comunicação (secção 9) funciona numa banda de frequências limitada. Para evitar distorção da forma de onda o espetro do código de linha tem de estar contido na banda do canal de comunicação. Por outro lado, quando se pretende transmitir vários sinais digitais ao mesmo tempo no mesmo canal de comunicação, quanto menor for a largura de banda de cada sinal mais sinais se conseguem transmitir. A banda disponível no canal de comunicação aparece assim como um recurso de extrema importância, que deve ser bem administrado.

83 Códigos de linha binários 77 Como os códigos de linha têm transições bruscas entre níveis (descontinuidades), a sua largura de banda é infinita. Este problema e suas soluções serão abordados posteriormente (secção 8.5), mas a largura de banda do código de linha, B, depende do número máximo de transições com inversão de polaridade por segundo T e deve ser a menor possível. A eficiência espetral, medida de qualidade de como determinado código aproveita a largura de banda, correspondente à relação entre o débito binário e a largura de banda ocupada e é dada por: R b. (8.6) B T 8..4 Probabilidade de erro de bit Uma das características dos canais de comunicação é a presença de ruído, que pode levar a erros de bit entre o transmissor e o recetor. Um código de linha deve ser o mais imune possível ao ruído, ou seja, deve ser descodificado com o menor número de erros de bit. Deve-se então minimizar a probabilidade de erro de bit, BER, para uma dada relação sinal-ruído no canal de comunicação. A probabilidade de erro de bit é definida por: BER = Número de bits errados, (8.7) Numero de bits transmitidos em que, como qualquer estimativa estatística, se deve tender o número de bits transmitidos para infinito Capacidade de deteção de erros de bit Alguns códigos são capazes de detetar erros de bit entre o transmissor e o recetor, ao restringir por regra a sequência de símbolos transmitidos. Se houver possibilidade de informar o transmissor destes erros os respetivos bits poderão ser retransmitidos. Esta capacidade, sem o envio de informação redundante, consegue diminuir a probabilidade de erro de bit sem aumentar o débito binário (a menos da informação retransmitida).

84 78 Transmissão de dados Carlos Meneses 8..6 Sincronismo de símbolo De modo a que o recetor consiga extrair corretamente a informação, este tem de conhecer o instante de início e fim de cada símbolo (sincronismo de símbolo). Existem dois modos de transmissão: modo assíncrono e modo síncrono. O modo assíncrono de transmissão é utilizado tipicamente quando a geração da informação é aleatória e em pequena quantidade e exemplificado na subsecção O modo síncrono de transmissão é utilizado para transmitir grande quantidade de informação (trama). No recetor, o relógio com informação de início e fim de cada símbolo (ou bit no caso da transmissão binária) é extraído do próprio código de linha recebido, a partir das transições entre níveis. Esta capacidade deve ser independente da sequência de símbolos transmitidos. Idealmente deve ser garantida uma transição por símbolo (símbolos auto-sincronizáveis). Quando os códigos não são auto-sincronizáveis algumas técnicas descritas na sub-secção podem ser aplicadas Componente DC e desvanecimento Alguns canais de comunicação têm acoplamento AC (corrente alternada), (acoplamento com condensadores ou transformadores) que eliminam a componente DC (corrente contínua). Um canal típico com acoplamento AC é a linha telefónica. Para transmitir neste tipo de canais o código não pode apresentar componente DC, ou seja, o seu valor médio deve ser nulo, pois esta vai ser eliminada até chegar ao recetor. Mesmo que o sinal não tenha componente DC, também é de evitar componentes DC localizadas pois produzem no espectro do sinal componentes de muito baixa frequência. Estas componentes também não são apropriadas para poderem ser transmitidas com acoplamento AC, sendo desvanecidas num tempo curto Insensibilidade à polaridade Há códigos insensíveis à polaridade, ou seja, pode-se inverter a polaridade do cabo de ligação entre os equipamentos transmissor e recetor que a informação continua

85 Códigos de linha binários 79 a ser descodificada corretamente. Também há canais em que poderá ocorrer essa inversão, tornando-se os códigos não insensíveis à polaridade desadequados Complexidade Um código de linha deve ser fácil de realizar e de ser detetado, pois esta facilidade leva à utilização de equipamentos menos complexos que por sua vez se traduzem num custo menor. Por exemplo, os recetores que necessitem de sincronismo de símbolo e este não seja fácil de realizar são mais sofisticados e portanto mais dispendiosos. A necessidade de uma fonte de alimentação simétrica em vez de uma fonte com apenas uma polaridade pode também encarecer os equipamentos. A complexidade leva também a um maior consumo de energia, o que, para além de mais dispendioso, no mundo cada vez mais móvel leva a descargas de baterias com maior rapidez. 8. Formatos dos códigos de linha Quanto à polaridade os códigos de linha binários podem ser: () Polares (P), quando definidos por duas formas de onda simétricas; () Unipolares (U) quando um dos símbolos é definido pela tensão 0 V; (3) Bipolares (B) quando definidos por 3 símbolos, sendo duas formas de onda simétricas e pela tensão 0 V. Este código também é denominado pseudo-ternário (binário mas com 3 símbolos). Quanto à maneira como a informação é transmitida os códigos de linha podem ser: () de nível, quando a informação se encontra no nível de tensão; () de transição, quando a informação se encontra na transição entre níveis. Esta transição pode se dar entre símbolos ou a meio do símbolo. Os códigos de linha podem ainda ser: () de retorno a zero (RZ Return to zero), normalmente a meio do bit, produzindo sempre pelo menos uma transição por símbolo de modo a facilitar o sincronismo (auto-sincronizáveis); () sem retorno a zero (NRZ No return to zero), mantendo a mesma tensão durante todo o tempo de bit. Alguns autores referem-se à codificação bipolar como sendo aquela que neste texto, como referido também por outros autores, é referida como codificação polar.

86 80 Transmissão de dados Carlos Meneses Seguidamente descrevem-se alguns dos códigos de linha mais comuns, representados na figura 8.. Figura 8. Formas de onda dos códigos de linha mais comuns. Exemplo para a sequência binária a) PNRZ b) PRZ c) UNRZ d) Manchester e) AMI f) NRZI g) MLT-3.

87 Códigos de linha binários Polar sem retorno a zero (PNRZ) Este é um código de nível em que o nível lógico é representado pela tensão +A e o nível lógico 0 pela tensão A, como ilustrado na figura 8.-a. O sincronismo de símbolo é conseguido através das transições que só ocorrem quando da troca de níveis lógicos, pelo que este pode ser perdido quando da transmissão de uma sequência longa de bits ao mesmo nível lógico. O número máximo de transições por segundo é de R b, ou seja, no máximo uma transição por símbolo. Esta situação dá-se quando se envia uma sequência alternada de níveis lógicos, sendo as transições sempre com inversão de polaridade. Apenas se os níveis lógicos forem equiprováveis a componente DC é nula. Contudo, para uma sequência ao mesmo nível lógico suficientemente prolongada, existirá desvanecimento do sinal se o canal tiver acoplamento AC. A potência deste código, independentemente da probabilidade de ocorrência de cada nível lógico, é A, obtendo-se para a energia média por bit de, E b S T A T. (8.8) T b b Um exemplo da transmissão com código PNRZ é a interface RS-3, usada para conectar numa rede local dois computadores, ou um computador e teclados, impressoras, modems, etc., com débitos binários até 5 kbit/s. 8.. Polar com retorno a zero (PRZ) Este código é semelhante ao PNRZ mas, como representado na figura 8.-b, é produzido um retorno a 0 V a meio de cada bit. Este código pode ser considerado um código de transição, já que ao símbolo corresponde uma transição positiva no início do bit e negativa a meio do bit, tendo o símbolo 0 as transições contrárias. A vantagem deste código em relação ao PNRZ é serem produzidas sempre duas transições por bit, uma no início e outra a meio do símbolo, nunca se perdendo o

88 8 Transmissão de dados Carlos Meneses sincronismo. Este é portanto um símbolo auto-sincronizável em que o número de transições por segundo é R b, independentemente da sequência de níveis lógicos, sendo as transições sempre com inversão de polaridade. A potência deste código, independentemente da probabilidade de ocorrência de cada nível lógico, é A /, sendo a energia média por bit, E A. (8.9) b T b Apenas se os níveis lógicos forem equiprováveis a componente DC é nula. Uma sequência ao mesmo símbolo lógico produz componente DC localizada, pelo que este código sofre de desvanecimento Unipolar sem retorno a zero (UNRZ) Este código é análogo ao PNRZ mas, como representado na figura 8.-c, o nível lógico 0 é representado por 0 V. A vantagem principal é ser de fácil implementação, nomeadamente por necessitar apenas de uma fonte de alimentação. A grande desvantagem é ter sempre uma componente DC. Todas as outras características são idênticas às do código PNRZ. Aliás, este código pode ser interpretado como um código PNRZ ao qual foi adicionado uma componente DC, de modo que o nível lógico 0 seja representado por 0 V. A energia do símbolo é A T b e a do símbolo 0 é 0 Joules. A energia média por bit é, para símbolos equiprováveis, dada pela equação 8.9. Este código é vulgarmente utilizado para interligar em paralelo (em bus normalmente com dimensão múltipla de um byte) componentes de um computador, tais como o microprocessador, a RAM e controladores. Outra norma utilizando o código UNRZ é o laço de corrente de 0 ma. Esta utiliza 0 ma de corrente ou a ausência de corrente como símbolos. A vantagem da utilização da corrente em vez de tensão é um aumento da distância possível entre equipamentos. A corrente é utilizada no recetor para ativar um led que fará acoplamento ótico com um fototransístor, isolando eletricamente o transmissor do recetor. Uma terceira aplicação é a recomendação IEEE 80.3z Gigabit Ethernet 000BASE-X que modula a luz em fibra ótica a Gbit/s.

89 Códigos de linha binários Manchester Este código, também denominado de split-phase, é um código polar de transição entre níveis. Como representado na figura 8.-d, o nível lógico é representado pela transição a meio do tempo de bit da tensão A para +A e o nível lógico 0 pela transição contrária. Dito de outra forma, o nível lógico é representado pela amplitude A na primeira metade do bit e por +A na segunda metade e o nível lógico 0 pelas amplitudes simétricas. Como existe sempre uma transição a meio do bit o sincronismo de bit é facilitado. Este é portanto um símbolo auto-sincronizável em que o número mínimo de transições por segundo é R b. No máximo o número de transições é de R b, quando se envia uma sequência do mesmo nível lógico, sendo as transições com inversão de polaridade. Os símbolos não têm componente DC, pelo que o código não tem componente DC, seja qual for a sequência a ser transmitida e a probabilidade de ocorrência dos símbolos. A potência é também independente da probabilidade de ocorrência dos símbolos, sendo dada por A e a energia por bit é dada pela equação 8.8. Este código é utilizado por exemplo na recomendação IEEE 80.3i Ethernet 0BASE-T a 0 Mbit/s, para ligar equipamentos em redes locais com cabos de cobre Alternate Mark Inversion (AMI) Neste código de nível BNRZ ou pseudo-ternário, o nível lógico é representado alternadamente pelas tensões +A e A, e o símbolo 0 por 0 V. Este código está ilustrado na figura 8.-e em que se assume que o último nível lógico foi representado por A, denominado alternate mark inversion (AMI), ou seja com inversão dos (mark). Uma das principais vantagens deste código é ter memória e ser possível detetar erros de bit quando da receção dos níveis lógicos que devem ocorrer no recetor com

90 84 Transmissão de dados Carlos Meneses tensões alternadas. Violações a esta regra correspondem a erros de bit. Erros isolados conseguem-se sempre ser detetados desde que: O último nível lógico foi codificado com determinada polaridade e o nível lógico 0 consequente é incorretamente descodificado para com a mesma polaridade; O último nível lógico foi codificado com determinada polaridade e o nível lógico 0 consequente é incorretamente descodificado para a polaridade contrária. No próximo nível lógico haverá uma violação; Havendo erro num nível lógico que foi entendido como nível lógico 0, haverá uma violação no próximo nível lógico transmitido. Outra vantagem deste código é a de ser insensível à polaridade. Pode-se inverter a polaridade do cabo de ligação entre os equipamentos transmissor e recetor que a informação continua a ser descodificada corretamente. Devido à alternância da polaridade no símbolo o código não produz componente DC nem sequer durações prolongadas à mesma tensão e portanto não sofre de desvanecimento. O número máximo de transições é de R b, o que acontece quando se transmitem apenas níveis lógicos a, sendo as transições sempre com inversão de polaridade. A energia do símbolo é A T b e a do símbolo 0 é 0 Joules. A energia por bit é, para símbolos lógicos equiprováveis, dada também pela equação 8.9. Quando de um nível lógico existe sempre uma transição que permite o sincronismo de símbolo. Quando de uma sequência prolongada de níveis lógicos 0 o sincronismo pode perder-se, pois de fato não há sinal na linha (0 Volt). Em relação ao sincronismo de símbolo o código AMI é assim melhor que os códigos NRZ que podem perder o sincronismo quando de uma sequência prolongada a qualquer nível lógico. Este código é utilizado por exemplo em ISDN ITU-T Rec. I.430 a 9 kbit/s e na interligação entre centrais telefónicas por cabo de cobre.

91 Códigos de linha binários Sem retorno a zero invertido (NRZI) O código NRZI parece ser idêntico ao UNRZ mas é um código de transição e não de nível como é o UNRZ. Representa um dos níveis lógicos invertendo o símbolo em relação ao último símbolo transmitido e o outro nível lógico corresponde a manter o último símbolo transmitido. Existem duas versões deste código: NRZ-M (inversão em mark), representado na figura 8.-f, em que o nível lógico é codificado com a inversão do símbolo e o nível lógico 0 sem inversão; e NRZ-S (inversão em space) em que o nível lógico 0 corresponde a inverter o símbolo em relação ao último símbolo transmitido e o nível lógico a manter o último símbolo transmitido. Estes códigos de inversão são também denominados códigos diferenciais, pois a informação está na diferença entre dois símbolos consecutivos. Os códigos diferenciais de inversão a podem ser encarado como um código de linha não diferencial (no caso do código NRZ-M um código UNRZ ou na sua versão PNRZ) em que a sequência binária b[n] é pré-codificada em a[n] = (a[n-] xor b[n]). No recetor esta pré-codificação é desfeita com a pós-descodificação c[n] = (a[n] xor a[n-]) (figura 8.), que se verifica ser igual a b[n]. Figura 8. Código de linha diferencial de inversão a. Pré-codificação e pós-descodificação Pré-codificação (a[n] = a[n-] xor b[n]). Pós-descodificação (c[n] = a[n] xor a[n-] = b[n]). Como o código AMI, este código também é insensível à polaridade, o que emerge do facto de a informação fluir na transição, independentemente de esta ser positiva ou negativa. A potência e energia, para símbolos equiprováveis, são idênticas às do código UNRZ.

92 86 Transmissão de dados Carlos Meneses O código NRZ-M tem sempre transições quando da codificação de bits ao nível lógico, mas pode perder o sincronismo quando é enviada uma sequência longa de bits ao nível lógico 0, acontecendo o oposto para o código NRZ-S. Não sendo auto-sincronizáveis, contudo, como o código AMI, estes códigos diferenciais garantem melhor sincronismo do que os códigos PNRZ e UNRZ. Exemplo da transmissão com código NRZ-S é a interface de computador USB, usada para conectar periféricos. Exemplo de transmissão com código NRZ-M é a recomendação IEEE 80.3u Fast Ethernet a 00 Mbit/s em fibra ótica. 8.. Transição multi-nível 3 (MLT-3) De modo a diminuir a largura de banda o código diferencial NRZI pode ser alterado para um código BNRZ ou pseudo-ternário, dando origem ao código MLT-3 (multi-level transition 3). O bit ao nível impõe transições, tal como no código NRZ-M, mas as transições ocupam sequencialmente as polaridades Como se pode verificar na figura 8.-g), só existe inversão de polaridade do sinal no mínimo de 4 em 4 bits e não de em bits como nos códigos NRZ. Esta situação dá-se numa sequência de 4 bits seguidos ao nível lógico, sendo este efeito responsável por uma diminuição da largura de banda, principal vantagem deste código. Esta regra pode também ser utilizada para a deteção de bits errados. A energia do código MLT-3 é dada pela equação 8.9, já que a tendência é haver tantos símbolos a 0 volts como a soma dos símbolos positivos e negativos. O código não tem componente DC pois oscila em torno de 0 volts e sendo um código diferencial é insensível à polaridade. Sofre no entanto de desvanecimento pois para grandes sequências de bits ao nível lógico 0 não existe transição de símbolo. Exemplo da transmissão com código MLT-3 é a recomendação IEEE 80.3u Fast Ethernet a 00 Mbit/s em par de cobre.

93 Códigos de linha binários Largura de banda Todos códigos de linha têm uma largura de banda infinita, imposta por transições instantâneas entre variações de nível de tensão. Na figura 8.4 são apresentadas as funções densidade espetral de potência para os diversos códigos de linha, sendo as respetivas equações apresentadas no Apêndice 7. Assume-se que os níveis lógicos são equiprováveis, geração independente e potência de W. Não é apresentado o código NRZI, que neste contexto é idêntico ao código UNRZ. Figura 8.4 Funções densidade espetral de potência dos diversos códigos de linha binários. Assume-se para todos os códigos uma potência de W e geração independente e equiprovável dos níveis lógicos Interferência intersimbólica Utilizando canais passa-baixo as transições instantâneas dos códigos de linha transformam-se em variações lentas que interferem com os símbolos subsequentes. A esta distorção dá-se o nome de interferência intersimbólica (ISI Intersymbolic interference). Existem dois critérios para lidar com a interferência intersimbólica e definir a largura de banda do sinal transmitido, apresentados seguidamente: o critério do primeiro zero espetral e o critério de Nyquist.

94 88 Transmissão de dados Carlos Meneses 8.3. Critério do primeiro zero espetral Como se pode verificar na figura 8.3, as funções densidade espetral de potência vão tendendo para zero (segundo o quadrado de uma função sinc) à medida que a frequência aumenta, mais rapidamente quando o primeiro zero se situa em R b (códigos NRZ incluindo MLT-3) e mais lentamente quando este se situa em R b (PRZ, Manchester).. Um critério de determinação da largura de banda corresponde a verificar que a maior parte da potência do sinal está contida até à frequência do primeiro zero espetral considerando ser esta a largura de banda (first null bandwidth). De facto, para qualquer dos códigos apresentados, esta potência é no mínimo 85% do valor total. Uma largura de banda do canal superior à do primeiro zero espetral não produz distorção suficiente, devida à interferência intersimbólica, para que o recetor deixe de detetar o símbolo. É tipicamente esta a situação na transmissão assíncrona, de baixo débito binário, em que o canal tem uma dimensão de apenas alguns metros e a sua largura de banda é mesmo bastante superior à do débito binário Critério de Nyquist Uma solução para evitar a interferência intersimbólica é assumir que em pelo menos um instante por símbolo o sinal à entrada do transmissor tem de passar exatamente pelo valor desejado, ao mesmo tempo que se limita a largura de banda. Se a largura de banda do canal de comunicação for maior que a limitação de banda imposta pelo transmissor o sinal não é distorcido. Nesta análise considera-se o canal ideal até à largura de banda imposta pelo transmissor. Este método de evitar a interferência intersimbólica obriga a uma formatação dos pulsos correspondentes aos símbolos (pulse shaping) no transmissor, já que estes deixam de apresentar transições bruscas para apresentarem transições suaves. Por exemplo no caso do código PNRZ, basta garantir um instante a meio dos símbolos de zero de ISI ( A conforme o nível lógico), sem ser determinante a evolução entre estes instantes. Este método de determinar a largura de banda denomina-se de critério de Nyquist.

95 Códigos de linha binários Filtro ideal Existe uma infinidade de pulsos capazes de corresponder ao critério de Nyquist. Para se obter o pulso a que corresponde a menor largura de banda relembre-se que, pelo teorema de Nyquist-Shannon, um sinal deve ser amostrado com uma frequência igual (ou superior) a duas vezes a sua largura de banda e que o sinal é recuperado sem erro por filtragem passa-baixo ideal com frequência de corte igual a metade da frequência de amostragem. Deste modo, assumindo um instante de zero de ISI a meio de cada símbolo, gera-se uma amostra por símbolo e são consequentemente geradas R b amostras por segundo. Filtrando esta sequência de amostras à frequência R b / produz-se um sinal com esta largura de banda, pelo que, Rb BT. (8.0) O critério de Nyquist pode ser visto então como o dual do teorema de Nyquist-Shannon. Cada símbolo passa a ser definido por pulsos, que em PNRZ são positivos ou negativos conforme o nível lógico correspondente, e que têm a forma da resposta impulsiva do filtro passa-baixo (Transformada de Fourier inversa de um retângulo, correspondente ao filtro ideal): p t AsincR t. (8.) b Na figura 8.5 é apresentada a forma de onda com formatação de pulsos do sinal para a sequência binária em PNRZ, com amplitude A= V. O pulso toma, como se pretende, o valor ±A para t=0 e 0 nos instantes múltiplos de T b, ou seja, para t= T b, T b,, não interferindo nos instantes de amostragem dos outros símbolos. Verifica-se que apesar das variações lentas o código toma os valores A nos instantes de zero de ISI (a meio do símbolo).

96 90 Transmissão de dados Carlos Meneses, ,0 0,0 -,0 t /Tb -,0 Figura 8.5 Resposta do filtro ideal de formatação de pulsos para o código de linha PNRZ. com A= V, tendo como entrada a sequência binária Na figura 8.6 é apresentada a cadeia transmissor canal recetor, em que à saída do transmissor é colocado o filtro de formatação de pulsos. Para que não haja distorção no canal este deve ter uma largura de banda superior à largura de banda dos códigos de linha após a formatação. O recetor pode amostrar o sinal a meio dos símbolos nos instantes de zero de ISI tomando a decisão sobre o nível lógico correspondente. Para tal é necessário sincronismo de símbolo no recetor. Figura 8.6 Transmissão de códigos PNRZ com formatação de pulsos por filtro ideal. O sinal transmitido é filtrado no transmissor de modo a limitar a largura de banda, mas criando um ponto de zero de interferência intersimbólica. Este ponto pode servir no recetor para tomar uma decisão sobre qual o bit enviado. É contudo impossível realizar um filtro passa-baixo ideal e possíveis aproximações são não causais e com a cauda da função sinc da resposta impulsiva exibindo um decaimento lento, criando maior atraso e sendo difíceis de realizar.

97 Códigos de linha binários Filtro de cosseno elevado A filtragem ideal para zero de ISI pode ser alterada de modo a que a resposta ao impulso mantenha o termo da equação 8. e portanto continue a seguir o critério de Nyquist, com um fator que torne a resposta em frequência mais suave, logo mais fácil de realizar. O pulso toma a forma: p t cos Rbt AsincRb t 0, (8.) R t b em que é denominado fator de roll-off, variando entre 0 e. Este pulso é apresentado na figura 8.7-a e a respetiva resposta em frequência na figura 8.7-b, para diversos valores do fator de roll-off. Como se pretende, quanto maior for o fator de roll-off mais depressa decai a cauda da função sinc correspondente à resposta impulsiva, produzindo menor atraso e sendo mais fácil de realizar. p (t ) =0 P (f ) /Rb =0 =0,5 = =0,5 = t /Tb , ,5 0,5 0,75 f /Rb (a) Figura 8.7 Filtro de cosseno elevado. (a) Pulsos de formatação de pulsos para diversos valores de. (b) Respetiva resposta em frequência. (b)

98 9 Transmissão de dados Carlos Meneses A resposta em frequência tem a forma de um cosseno elevado, dando o nome ao filtro respetivo (raised cosine filter). Esta é dada por: P f Rb Rb 0 cos Rb f Rb Rb f R b b f Rb f R. (8.3) Este filtro continua a ser do tipo passa-baixo e produz sinais com uma largura de banda dada por: Rb B T, (8.4) que é tanto maior quanto maior for o fator de roll-off. Tomando =0 obtêm-se a filtragem ideal e, no outro extremo, com =, duplica-se a largura de banda. Na figura 8.7 é apresentada a forma de onda do sinal para a sequência binária em PNRZ, com amplitude A= V. Pode-se verificar que apesar das variações lentas o código toma o valor de A nos instantes de zero de ISI (a meio do símbolo), independentemente do valor do fator de roll-off. O filtro ideal (=0) tem como vantagem impor uma menor largura de banda, mas esta é a única vantagem em relação ao filtro de cosseno elevado. Para além do maior atraso e da dificuldade de realização devido à maior energia da cauda da função sinc, outra desvantagem do filtro ideal advêm do facto de que a sua resposta impulsiva manifesta uma grande variação no instante de zero de ISI nos símbolos adjacentes, correspondendo às passagens por zero da função sinc. Esta característica torna o filtro sensível a erros de sincronismo de símbolo no recetor, já que uma pequena variação no instante de amostragem corresponde a obter um valor bastante diferente do desejado. Com o aumento do fator de roll-off, como se pode verificar nas figuras 8.3 e 8.4,

99 Códigos de linha binários 93 provoca-se menor variação do sinal, sendo mais robusto na presença de erros de sincronismo de símbolo no recetor. Também se pode verificar da comparação das figuras 8.8-a e 8.8-b que com = as passagens por zero do sinal formatado coincidem com as do sinal original, ao contrário do que acontece com fatores de roll-off mais pequenos, facilitando o sincronismo de símbolo., ,0 0,0 -,0 t /Tb -,0 (a) = 0,5, ,0 0,0 -,0 t /Tb -,0 (b) = Figura 8.8 Resposta do filtro de formatação de pulsos para o código de linha PNRZ A= V, tendo como entrada a sequência ; (a) =0,5; (b) =. Verifica-se que quanto maior for o fator de roll-off menor é a energia da cauda da função sinc e as passagens por zero do sinal aproximam-se das do sinal original. A maior robustez a erros de sincronismo, menor atraso e maior facilidade de realização do filtro tem como contrapartida um aumento da largura de banda, sendo a escolha do fator de roll-off claramente um compromisso entre estes atributos.

100 94 Transmissão de dados Carlos Meneses Largura de banda e eficiência espetral Para os códigos de linha sem retorno a zero (PNRZ, UNRZ e BNRZ) a largura de banda é dada pela equação 8.4, pois sendo códigos em que a tensão se mantêm fixa durante todo o tempo de bit necessita apenas de um instante de zero de ISI por bit (abertura da função sinc na origem de T b ). Note-se que todos estes códigos têm um número máximo de transições por segundo de equação 8.6, vem: R B b T R b. A eficiência espetral, dada pela. (8.5) No caso dos códigos de linha PRZ e Manchester, estes são definidos por dois níveis de tensão por símbolo, tendo um número máximo de transições por segundo de R b. Necessitam para cada um destes níveis de um instante de zero de ISI, pelo que o símbolo é definido por dois pulsos que têm uma abertura de apenas T b, e consequentemente a sua largura de banda vem o dobro da produzida pelos códigos sem retorno a zero: B. (8.6) T R b A eficiência espetral vem: R B b T. (8.7) No caso dos códigos NRZ, a máxima frequência ocorre para uma sequência alternada de símbolos, produzindo um sinal com frequência fundamental de R b /. Para os códigos Manchester e RZ a máxima frequência ocorre quando é produzido um sinal com frequência fundamental R b. Estas frequências máximas correspondem à banda do sinal pelo critério de Nyquist com fator de roll-off igual a 0. Todas as outras sequências de bits produzem frequências mais baixas. Seguindo o mesmo raciocínio para o código MLT-3, a máxima frequência ocorre numa sequência de bits ao nível lógico, produzindo um sinal com frequência fundamental R b /4. Todas as outras sequências produzem frequências mais baixas. Conclui-se, como se verifica na figura 8.4, que

101 Códigos de linha binários 95 embora com o primeiro zero espectral em R b como nos outros códigos NRZ, a energia concentra-se (80%) até à frequência R b /4, normalmente considerada a largura de banda. A melhor eficiência espetral é de 4 bits por segundo por Hertz, obtida para o código MLT-3. A pior corresponde a uma eficiência espetral de 0,5 bits por segundo por Hertz, para os códigos RZ e Manchester com fator de roll-off de. 8.4 Sincronismo de símbolo Uma das principais dificuldades na comunicação digital é a necessidade do recetor ter conhecimento do início e fim de cada símbolo (bit no caso de transmissão binária), de modo a o poder descodificar. Os códigos Manchester e RZ são auto-sincronizáveis ao exibir sempre pelo menos uma transição por bit, usado no recetor para ressincronizar um relógio e deste modo nunca se perder o sincronismo, mas à custa de um aumento da largura de banda. Para os códigos não auto-sincronizáveis são apresentados seguidamente métodos de sincronismo Bit de enchimento Relembre-se que os códigos PNRZ e UNRZ podem perder o sincronismo quando envida uma sequência longa de bits ao mesmo nível lógico, e no código NRZI esta situação acontece quando do envio de uma sequência longa de bits ao nível lógico 0. Para evitar a perda de sincronismo quando destas sequências longas, coloca-se um bit de enchimento que imponha uma transição (bit stuffing). Este bit é descartado no recetor, servindo no entanto a sua transição para efetuar o sincronismo, sem aumentar o número máximo de transições e consequentemente a largura de banda. Como desvantagem da introdução do bit de enchimento, esta provoca um aumento artificial do débito binário. Por exemplo na interface USB que funciona com o código NRZI, de modo a nunca perder o sincronismo, para uma sequência de 6 bits ao nível lógico 0 é colocado um sétimo bit ao nível lógico. Mas como a probabilidade da ocorrência de 6 bits consecutivos ao nível lógico 0 é pequena (/64 para sequências equiprováveis), este método consegue garantir o sincronismo de símbolo com a introdução de muito poucos bits de enchimento.

102 96 Transmissão de dados Carlos Meneses 8.4. Codificação BNZS Uma das maneiras de evitar a perda de sincronismo no código AMI é produzir transições como se fossem transmitidos níveis lógicos, mas com violações que permitam ao recetor detetar esta situação e substituir por níveis lógicos 0. A esta técnica dá-se o nome de bipolar com substituição de N zeros (BNZS Bipolar with N zero substitution), em que N é o número de níveis lógicos consecutivos a 0 a ser substituídos. Exemplos comuns deste código são o B3ZS, B6ZS e B8ZS. O B6ZS tem a regra seguinte: Último símbolo transmitido positivo, transmite-se 0 +A A 0 A +A Último símbolo transmitido negativo, transmite-se 0 A +A 0 +A A Note-se que existem duas violações, no º e 5º símbolo. Se o número de zeros for múltiplo de 6 a substituição é efetuada o mesmo número de vezes. A utilização desta técnica não inibe a deteção de erros já que a probabilidade de ocorrência de uma substituição e de haver erros é muito pequena Codificação 4B/5B Utilizando os códigos diferenciais NRZ-M e MLT-3, o risco de perda de sincronismo aparece quando da transmissão de uma sequência longa de bits ao nível lógico 0, em que não são provocadas transições. A codificação 4B/5B transforma blocos de 4 bits em blocos de 5 bits, conforme tabela 8., de tal modo que são garantidas sempre transições dentro do bloco 3 ( bits a ) com código diferencial Tabela 8. Codificação 4B/5B. Blocos de 4 bits são transformados em blocos de 5 bits de modo a garantir pelo menos transições ( ) dentro do bloco. 3 A introdução do código B4/5B torrna dependente a ocorrência dos níveis lógicos de uma sequência independente e altera a probabilidade de ocorrência de bits ao nível lógico de 0,5 para 0,65.

103 Códigos de linha binários 97 Embora com um aumento do débito binário de 5%, esta codificação garante o sincronismo e é mesmo assim mais eficiente que a utilização de códigos Manchester, que duplicam a largura de banda (dobro das transições em relação ao NRZ). Uma das aplicações da codificação 4B/5B é na recomendação IEEE 80.3u Fast Ethernet a 00 Mbit/s, quer em cabo de cobre utilizando código MLT-3, quer em fibra ótica utilizando código NRZ-M. Em qualquer dos casos o débito de 00 Mbit/s inicial é transformado em 5 Mbit/s. Existe uma variação deste código de sincronismo que converte 8 bits em 0 bits, denominado 8B/0B. Esta variação é utilizada na recomendação IEEE 80.3z Gigabit Ethernet 000BASE-X em fibra ótica a Gbit/s Modo de transmissão assíncrono Para distâncias curtas em que o canal de comunicação é um cabo elétrico, nomeadamente na transmissão numa mesma sala, é possível transmitir num segundo condutor a informação do relógio do transmissor para sincronismo do recetor. Contudo existe um outro método para resolver o sincronismo de símbolo que evita a transmissão do relógio, denominado de modo de transmissão assíncrono. O modo de transmissão assíncrono é utilizado também em distâncias curtas, mas especialmente quando a geração da informação é aleatória e em pequena quantidade. É exemplo a geração de informação num teclado e transmitido para um computador, em que cada carácter é representado por um código, por exemplo o código ASCII (American standards committee for information interchange) de 7 bits. O processo de transmissão assíncrono é exemplificado na figura 8.3 com o código de linha PNRZ e para a tecla B, a que corresponde a sequência binária em ASCII Entre o premir de duas teclas não há informação transmitida e a linha fica inativa (idle), representado pela tensão +A. Quando uma tecla é premida é gerado um bit de início (start bit) à tensão A. Esta transição da linha inativa para o bit de início desencadeia o sincronismo de símbolo, que não é perdido se for transmitido

104 98 Transmissão de dados Carlos Meneses apenas um carácter (total 0 bits). O início de sincronismo corresponde a iniciar um relógio a uma frequência mais alta que o débito binário (tipicamente 6 ou 3 vezes maior), para que a meio de cada bit se verifique o valor do nível lógico. Figura 8.3 Exemplo de transmissão assíncrona com código de linha PNRZ para o carácter B, utilizando código ASCII. Começa-se com um bit de início com polaridade contrária ao estado inativo, de modo a sincronizar o relógio. São depois enviados os 7 bits de informação começando pelo bit menos significativo. Segue-se um bit de paridade e termina-se com o bit de fim à mesma polaridade do estado inativo. A seguir ao bit de início são enviados os 7 bits correspondentes ao código ASCII da tecla premida, começando pelo bit menos significativo (LSB). Pode ainda ser transmitido um bit de paridade de modo que o conjunto de 8 bits (byte) transmitidos contenha um número par de bits com nível lógico (paridade par) ou ímpar (paridade ímpar). Este bit serve para detetar erros de bit. Finalmente é enviado um ou mais bits de fim de carácter (stop bit). A transmissão assíncrona é também utilizada para transmitir informação de um conjunto de caracteres, por exemplo para impressoras. Neste caso a informação não é gerada aleatoriamente mas a seguir ao bit de fim de carácter é enviado o bit de início de novo carácter, sincronizando novamente o relógio. O fim da transmissão corresponde ao envio do carácter especial ASCII EOT (end of text). Numa transmissão assíncrona o número de bits de informação, a existência ou não de bit de paridade e o número de bits de fim de carácter têm que estar pré-determinados. Os bits de início e fim de carácter correspondem a cerca de 0% dos bits transmitidos, sendo esta a sua principal desvantagem, quando transmitidas seguidamente grandes quantidades de informação.

105 Canal de comunicação 99 9 Canal de comunicação O canal de comunicação é o meio físico que liga os equipamentos na camada física do modelo OSI. O canal tem quatro características que afetam o desempenho dos sistemas de comunicação, pois diminuem a capacidade do recetor de descriminação dos símbolos: () o ruído, que altera o sinal de modo aleatório; () a largura de banda, que para que não haja distorção tem de ser maior que a largura de banda do sinal transmitido; (3) a resposta em frequência, que provoca diferentes atenuações e atrasos do sinal ao longo da banda; (4) e a dimensão, que atrasa e atenua os sinais e portanto os níveis de tensão que chegam ao recetor. 9. Canal AWGN de banda limitada Independentemente do meio de transmissão (cabo elétrico, fibra ótica, canal rádio) o modelo do canal adotado neste texto é apresentado na figura 9.. À sua entrada encontra-se o sinal de saída do transmissor e à sua saída o sinal de entrada do recetor. s T t H c f B c f + s R t G w f wt N 0 Figura 9. Modelo do canal AWGN com filtragem passa-baixo. O canal adiciona ruído gaussiano e branco ao sinal de entrada. Tem uma característica passa-baixo com ganho Hc(0) e largura de banda Bc. Para simular um canal passa-banda o filtro deve ser do tipo passa-banda. O filtro modela a banda do canal (frequência de corte do filtro) e a atenuação (ganho na zona passante), tornando o canal de banda limitada. O filtro que modela a banda do canal é do tipo passa-baixo, adequado aos códigos de linha, mas poderia modelar um canal do tipo passa-banda (modulações). É ainda adicionado ruído branco e gaussiano, pelo que o canal toma a designação de canal AWGN (Additive white f

106 00 Transmissão de dados Carlos Meneses gaussian noise). O ruído branco é caracterizado por ter uma função densidade espetral de potência do ruído constante ao longo de uma larga gama de frequências (No/ tem dimensão W/Hz ou J). O termo branco provém da analogia com a luz branca, que teoricamente contem todas as frequências e com igual energia. A causa do ruído é o movimento aleatório das partículas elétricas devido à temperatura (ruído térmico). 9. Relação sinal-ruído e relação Eb/No O ruído gaussiano é caracterizado por ter uma distribuição de amplitudes que segue uma distribuição normal (gaussiana), com média nula. A variância corresponde à potência do ruído. Sendo o ruído branco, ocupa uma largura de banda infinita e a sua potência é teoricamente infinita. Este modelo idealizado é válido desde que a função densidade espetral de potência do ruído tenha uma característica plana na banda do sinal transmitido, já que este deve ser filtrado à entrada do recetor com um filtro com essa banda passante. Assumindo um código de linha, este filtro é do tipo passa-baixo com largura de banda B T. A distribuição do ruído nesta banda é também normal (Apêndice 0) com potência c, N0 c (BT ) N0BT. (9.) A relação entre a potência do sinal à saída do canal e a potência do ruído na banda do sinal, ou seja, a relação sinal-ruído à entrada do recetor, é uma medida indireta da qualidade da comunicação e, pelas equações 8.5, 8.6 e 9.,é determinada por: SNR c SR SR Eb Rb Eb, (9.) N B N B N c 0 T 0 T 0 A relação entre a energia média por bit à entrada do recetor e a densidade espetral de potência do ruído E b N0 é também uma medida da qualidade da comunicação, sendo a probabilidade de erro de bit função deste valor, pelo que se torna uma medida mais importante que a relação sinal-ruído. A relação sinal ruído e a relação E b N 0 são geralmente representados em decibéis.

107 Canal de comunicação Canal sem distorção Para que um sinal possa ser transmitido, a largura de banda do sinal, que no máximo igual à largura de banda do canal, B, tem T BT B C. (9.3) Além de seguir a equação 9.3, de modo a que o sinal chegue ao recetor sem distorção, o sinal a transmitir apenas pode ser multiplicado por um fator de escala G (correspondente ao ganho do filtro H (0 c ) no modelo da figura 9.) e sofrer um atraso constante t d. A atenuação corresponde a uma perda de energia, contribuindo para aumentar a probabilidade de erro de bit. Um atraso constante não é significativo porque existem no recetor circuitos de recuperação do relógio síncronos com o sinal recebido. Em comunicação bidirecional, contudo, um atraso longo é psicologicamente incómodo. Na banda do sinal a transmitir o canal não pode portanto ter diferentes ganhos ou provocar diferentes atrasos função da frequência. O sinal de saída do canal, sem a influência do ruído, tem por isso que ser descrito por: S R t Gs t t. (9.4) T d Tendo em conta as propriedades da linearidade e deslocamento no tempo da Transformada de Fourier, o espetro do sinal recebido é descrito por: A resposta em frequência do canal, é descrita por, H c f S R jftd f GS f e S S. (9.5) f f T H c f, até à largura de banda do sinal, B, T R jft Ge d, T T f B. (9.6) Para que não haja distorção de amplitude, H c ( f ) G, f BT. (9.7)

108 0 Transmissão de dados Carlos Meneses Para que não haja distorção de fase, arg H ( f ) t f c, f BT, (9.8) d em que t d é denominado atraso de grupo, definido como o simétrico da derivada da fase em relação à frequência angular. Canais reais, contudo, podem provocar distorção quer de amplitude quer de fase. Neste caso é necessário que, à entrada do recetor, se coloque um equalizador. Este tem como função garantir que o sistema resultante (canal mais equalizador) não provoque distorção de amplitude nem de fase, ou seja, o produto da resposta em frequência do canal de comunicação com a resposta em frequência do equalizador, H e ( f ), cumpra os requisitos da equação 9.7 e 9.8: Hc( f ) He( f ) argh c( f ) He( f ) G t d f, f BT. (9.9) 9.4 Atenuação Devido à dimensão do canal o sinal é atenuado (termo G da equação 9.6 ou ganho do filtro H (0 c ) no modelo da figura 9.), sendo a atenuação correspondente à relação entre a potência transmitida e recebida (sem ruído): ou, em decibéis, At db S S T At, (9.0) R S T 0 log 0 0 log0hc(0) S. (9.) R A atenuação depende da distância, podendo o canal ser caracterizado em decibéis por quilómetro, AtdB AtdB/ km. 000, (9.) D sendo D a dimensão do canal.

109 Canal de comunicação 03 As equações 8.3, 8.4, 8.5 e as que relacionam a potência do sinal com a energia média por bit e a amplitude do sinal são válidas também à entrada do recetor, desde que se utilize a respetiva potência recebida S. Embora a notação para a energia média por R bit e para a amplitude utilizada neste texto seja a mesma à entrada e saída do canal, esta ambiguidade deve ser resolvida do contexto em que os sinais se aplicam. 9.5 Atraso O atraso de uma transmissão define-se como o tempo entre o início da transmissão e o momento que todos os dados estão presentes no recetor. Para além do tempo de processamento dos equipamentos ( T l - latência), existem essencialmente dois tipos de atrasos: o atraso de propagação e o atraso de transmissão. Atraso de propagação Define-se atraso de propagação ao tempo que um sinal leva a atravessar o canal de comunicação. Este depende da dimensão do canal e da velocidade de propagação no meio de transmissão. A velocidade de propagação no meio de transmissão é dada por, C vi, (9.3) n i em que n i é o índice de refração do meio e C a velocidade de propagação da luz no vácuo ( km/s). O atraso de propagação depende da velocidade de propagação no meio e da sua dimensão, sendo dado por, D Tp. (9.4) v i Quanto maior a dimensão do canal maior é o atraso de propagação. No vácuo, a luz demora T / 3,3(3) s a percorrer um quilómetro, sendo normal caraterizar p km um meio de transmissão através deste parâmetro.

110 04 Transmissão de dados Carlos Meneses Atraso de transmissão Nas redes de computadores os bits são normalmente enviados em pacotes de N bits. Define-se tempo de transmissão de um pacote como o tempo que o transmissor demora a colocá-lo no canal, T t N NTb. (9.5) R b O atraso de transmissão é relevante para débitos binários baixos enquanto o atraso de propagação é relevante para canais de grande dimensão. Para canais de dimensão e débito binário elevados o atraso dominante é o atraso de propagação. Pelo contrário, para canais de pequena dimensão e baixo débito binário é o atraso de transmissão o dominante. O atraso total, correspondente à soma dos diversos atrasos, pode ser um problema grave principalmente em aplicações interativas bidirecionais, como é o caso do telefone ou jogos online. T T T T T (9.5) t p l Para canais de grande dimensão, o tempo de propagação é elevado. Por exemplo numa transmissão por satélite geoestacionário, a uma distância de km da terra, o tempo de propagação é de 0,4 s. Já para distâncias curtas este tempo é desprezável. Na transmissão de pacotes com débito binário baixo o tempo de bit é elevado, e o atraso de transmissão para um pacote com um número razoável de bits é elevado. Já para débitos elevados este atraso é desprezável. 9.6 Meios de transmissão Os canais de comunicação são compostos por um ou mais meios de transmissão diferentes em série, cada um com características distintas. Seguidamente caracterizam-se sucintamente alguns dos principais meios de transmissão, sendo a largura de banda, a atenuação e o atraso de propagação típicos de cada um dos meios de transmissão caracterizados, apenas como ilustração, na tabela 9..

111 Canal de comunicação 05 Cabos de par trançado Os cabos de par trançado são constituídos por dois condutores de cobre enrolados em espiral, para, através do efeito de cancelamento, reduzir o efeito das interferências eletromagnéticas. A velocidade de propagação é de cerca de km/s, a que corresponde um atraso de propagação de 5,7 s/km. Um das suas aplicações é o canal telefónico, construído de modo a transmitir sinais de fala entre dois pontos. Este canal tem um ganho praticamente constante entre os 300 e os Hz, capaz de transmitir fala percetível. Embora com maior atenuação que na zona do sinal de fala, este canal é também utilizado até aos, MHz, na transmissão de sinais digitais baseado em ADSL+ (Asymmetric digital subscriber line). Cabo coaxial Os cabos coaxiais são constituídos por um condutor interno de cobre, coberto por um isolante. Uma malha exterior, também em cobre, atua como segundo condutor. Um segundo isolante protege todo o cabo. A largura de banda deste meio de transmissão é superior ao do cabo trançado. A velocidade de propagação é de cerca de km/s, a que corresponde um atraso de propagação de 4 s/km. Uma utilização típica dos cabos coaxiais é a ligação entre equipamentos numa rede local. Outra é a transmissão de sinais de TV analógicos que podem coexistir com sinais digitais no fornecimento de televisão por cabo. Fibra ótica As fibras óticas transportam sinais de luz de um ponto para outro. A sua grande vantagem é uma elevada largura de banda aliada a uma pequena atenuação. A largura de banda depende da distância percorrida (ao contrário dos outros meios de transmissão) pois esta aumenta a dispersão dos impulsos de luz. É ainda imune a interferências eletromagnéticas tendo um tamanho e peso pequenos. A velocidade da luz na fibra é cerca de km/s, sendo o atraso de propagação de cerca de 5 s/km. As fibras óticas são largamente utilizadas na transmissão digital de informação, quer na ligação entre centrais e operadores quer no fornecimento de serviços integrados (Internet, televisão, voz).

112 06 Transmissão de dados Carlos Meneses Canal rádio Os canais de comunicação que empregam a transmissão rádio utilizam o espaço livre como meio de propagação de ondas eletromagnéticas. Têm uma característica passa-banda, servindo para transmitir sinais modulados (áudio, televisão) ou para dar mobilidade à rede telefónica e às redes de computadores. Pode sofrer de receção multipercurso devido a reflexões em obstáculos. O atraso de propagação num canal rádio é praticamente igual ao da luz, 3,3(3) s/km. Satélite Um satélite geoestacionário encontra-se perto da linha do equador, a uma distância de cerca de km, de modo a que as forças centrifuga e centrípeta se anulem. Uma ligação via satélite funciona com frequências mais elevadas que a transmissão rádio normal, dado que tem que transpor a ionosfera, o que se dá apenas acima dos 40 MHz. A velocidade de propagação é praticamente igual à velocidade da luz, pelo que o atraso de propagação do sinal para percorrer duas vezes (ida e volta) a distância da terra ao satélite é de 0,4 s. Os satélites são usados como retransmissores de modo a cobrir uma grande área para difundir sinais de televisão ou efetuar ligações intercontinentais de voz ou televisão. São também utilizados no fornecimento de serviços integrados. Meio de Transmissão Banda [MHz] Atenuação [db/km] Atraso de propagação [s/km] Par trançado classe A 0, 8,3 5,7 Par trançado classe C , Cabo coaxial RG (comp. onda 850 nm) 5 Fibra ótica (comp. onda.30 nm) 0 3 x km 0,3 5 (comp. onda.550 nm) 0, 5 Rádio 0, a ,3(3) Satélite 0 3 a ,3(3) Tabela 9. Características de diversos tipos de meios de transmissão. Os valores apresentados são meramente ilustrativos.

113 Canal de comunicação Padrão de olho Existem essencialmente duas causas, no canal de comunicação, que levam ao aumento da BER num sistema de comunicação: () a interferência intersimbólica devido à largura de banda do canal ser inferior à largura de banda do sinal; () e o ruído no canal. A influência destes dois factos pode ser aferida visualmente através do padrão de olho (eyes pattern). O padrão de olho tem o aspeto corresponde à figura apresentada por um osciloscópio, tendo como sinal de entrada o sinal recebido s R t e sincronizado no início do símbolo, mas em que a luminosidade de cada varrimento não desaparece. Este tem a aparência de um olho (ou dois caso o varrimento corresponda a dois bits), que está tanto mais aberto quanto melhor for o desempenho do sistema. Na figura 9. é apresentado um padrão de olho de um código de linha PNRZ sem formatação de pulsos, em que o canal não tem ruído e a largura de banda corresponde à do primeiro zero espetral ( B R ).Pode-se verificar a interferência intersimbólica correspondente à transição lenta entre símbolos, mas o sinal a meio do bit, aonde se dá a deteção no recetor, está perto do nível correto. T b Na figura 9.3 é apresentado um padrão de olho para o mesmo código da figura 9., mas de modo a se verificar o efeito da interferência intersimbólica o canal tem metade da largura de banda exigida pelo critério do primeiro zero espetral. O olho apresenta-se mais fechado devido às transições mais lentas entre símbolos, diminuindo a qualidade da comunicação e estando sujeito mais facilmente a erros de bit. Comparando as figuras 9. e 9.3, verifica-se que quanto maior for a largura de banda do canal mais aberto se apresenta o olho e o pulso aproxima-se do pulso original sem interferência intersimbólica. Esta melhoria contudo é conseguida através do aumento da largura de banda.

114 08 Transmissão de dados Carlos Meneses Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb Pn=0.00 Watt Figura 9. Padrão de olho com bits consecutivos e 00 varrimento do código de linha PNRZ. Canal sem ruído, do tipo passa-baixo de ª ordem, com B c =R b (primeiro zero espetral). O eixo das abcissas está normalizado em múltiplos de T b. Os instantes de deteção correspondem a 0.5 e.5. Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb/ Pn=0.00 Watt Figura 9.3 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Canal passa-baixo de ª ordem, com B c =R b / e sem ruído. De modo a verificar o efeito do ruído é apresentado na figura 9.4 um padrão de olho para o mesmo código e o mesmo canal da figura 9. (B c =R b ), mas com uma relação sinal-ruído de 3 db. Pode-se verificar também o fecho do olho, mas agora devido ao

115 Canal de comunicação 09 ruído e não devido ao efeito a interferência intersimbólica. Na figura 9.5 é apresentado o efeito conjunto da ISI e do ruído. Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb Pn=0.05 Watt Figura 9.4 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Canal passa-baixo de ª ordem, com B c =R b e 3 db de SNR. Padrão de Olho Canal passa-baixo Bc=Rb/ Pn=0.05 Watt Figura 9.5 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Canal passa-baixo de ª ordem, com B c =R b / e 3 db de SNR.

116 0 Transmissão de dados Carlos Meneses Na figura 9.6 é apresentado o padrão de olho para um código PNRZ com formatação de pulsos para =0. Pode-se verificar que a meio do bit não existe interferência intersimbólica. Contudo, com ruído, como apresentado na figura 9.7, o olho fecha-se deteriorando a qualidade da transmissão..5 Padrão de Olho rolloff=0 Pn=0.00 Watt Figura 9.6 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de roll-off =0 e sem ruído..5 Padrão de Olho rolloff=0 Pn=0.05 Watt Figura 9.7 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de roll-off =0 e 3 db de SNR.

117 Canal de comunicação Na figura 9.8 é apresentado o padrão de olho correspondente ao da figura 9.6 mas com =. A variação a meio do bit não é tão acentuada, sendo mais robusto em relação a erros de sincronismo. Contudo o sinal tem o dobro da largura de banda. Na figura 9.9 ilustra-se o padrão de olho correspondente ao da figura 9.8 mas com 3 db de relação sinal-ruído..5 Padrão de Olho rolloff= Pn=0.00 Watt Figura 9.8 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de roll-off = e sem ruído..5 Padrão de Olho rolloff= Pn=0.05 Watt Figura 9.9 Padrão de olho com bits consecutivos de um código de linha PNRZ. Formatação de pulsos com fator de roll-off = e 3 db de SNR.

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119 Recetor ótimo 3 0 Recetor ótimo Num canal de comunicação AWGN, ao sinal transmitido é adicionado ruído branco e gaussiano. Esta situação é ilustrada na figura 0. para a mesma sequência binária da figura 8.4 e 8.4, com código PNRZ. São exemplificadas as situações sem formatação de bit, com formatação de bit com fator de roll-off, =, com e sem ruído., ,0 0,0 -,0 t /Tb -,0 Figura 0. Código PNRZ com ruído. Sequência em PNRZ com A= V, =, ao qual foi adicionado ruído gaussiano. Caso a deteção fosse efetuada por comparação num ponto intermédio entre os níveis lógicos (=0 volt), pode-se verificar no bit 5 um erro devido ao ruído. À entrada do recetor deve ser colocado um filtro passa-baixo que deixe passar o sinal mas que corte o ruído fora da sua banda, tendo por isso uma largura de banda Como deduzido adiante, a estimativa da probabilidade de erro de bit depende da relação entre a energia média por bit e a densidade espetral de potência do ruído, E b N0 B. T. Esta relação não tem em conta a eficiência espetral mas apenas a limitação de energia. A relação sinal-ruído entre a potência do sinal recebido e a potência do ruído na banda do sinal ( SNR equação 9.) entra em conta com a eficiência espetral, já que estas são c calculadas apenas na banda do sinal. A figura 0. apresenta o diagrama de blocos do recetor, com o filtro passa-baixo que atenua o ruído e o descodificador implementado através do comparador com o valor ótimo de decisão ot

120 4 Transmissão de dados Carlos Meneses Figura 0. Diagrama de blocos do recetor binário. Recetor constituído por filtragem passa-baixo na banda e descodificador MAP. A decisão é efetuada uma vez por símbolo, sincronizado (sincronismo de símbolo) no instante de zero de ISI, sendo este implementado pelo circuito de amostragem e retenção (S&H sampling & hold). A saída deste bloco conterá a sequência binária com eventuais erros de bit, em que cada nível lógico é representado pelas correspondentes tensões de saturação do comparador. 0. Descodificador de máximo a posteriori Denominando por y o valor observado após filtragem nos instante de zero de interferência intersimbólica após o filtro de entrada do recetor, por y e y 0 os valores correspondentes sem ruído quando enviados respetivamente o nível lógico e 0 e assumindo que o filtro não afeta a amplitude do sinal (continuando o exemplo da figura 0., em PNRZ), y y 0 A, (0.) A correspondendo A à amplitude do código à entrada do recetor. Note-se que, sendo esta descodificação efetuada no recetor, assume-se sempre nesta secção amplitudes e energias recebidas e não transmitidas. Como ilustrado na figura 0.3, a função densidade de probabilidade das amplitudes após o filtro, dado enviado o símbolo, é uma distribuição normal, f y "" N(, ) y n, com média y e variância (equação 9.). A função n c

121 Recetor ótimo 5 densidade de probabilidade f y "0" N(, ) média y 0 e a mesma variância. y 0 n, quando enviado o símbolo 0, tem Figura 0.3 Funções densidade de probabilidade do ruído em códigos de linha binários. d é a distância do símbolo sem ruído após filtragem ao valor ótimo de decisão ot. n é a potência do ruído após filtragem. As funções densidade de probabilidade condicionada (a posteriori) de ter sido transmitido cada um dos símbolos lógicos, dada a observação da tensão y após filtragem no instante de amostragem, segue a Lei de Bayes 4, f "" y f "0" y f f y "" p f ( y) y "0" p f ( y) 0 para o nível lógico para o nível lógico "", (0.) "0" em que p e p 0 são as probabilidades a priori de ocorrência dos níveis lógicos e 0, respetivamente. O critério ótimo de descodificação de qual o nível lógico emitido, pois minimiza a probabilidade de erro, corresponde a selecionar o nível lógico com a maior probabilidade a posteriori (MAP Máximo a posteriori), ou seja, f f "" y f "0" y "" y f "0" y detecta - seo nível lógico detecta - se o nível lógico "". (0.3) "0" 4 Thomas Bayes, Inglês, matemático e pastor presbiteriano.

122 6 Transmissão de dados Carlos Meneses 0. Descodificador de máxima verosimilhança Assumindo que as probabilidades a priori são iguais (p =p 0 =0,5) a descodificação MAP, que é ótima no sentido de minimizar a BER, é equivalente à descodificação com um critério de máxima verosimilhança (MV Máxima verosimilhança), dada por, f f y "" f y "0" y "" f y "0" detecta - seo nível lógico detecta - se o nível lógico "". (0.4) "0" Este critério, utilizado na maioria das aplicações, é assumido neste texto, simplificando a estimativa da probabilidade de erro de bit. Note-se que os valores das probabilidades a priori, necessárias no critério MAP, não são conhecidos no recetor antes de se começar a deteção, mas o valor de tem de ser conhecido nessa altura. No caso em análise da descodificação em duas classes em que as distribuições de probabilidade são ambas normais com a mesma variância, este critério corresponde a assumir um limiar de decisão cujo valor ótimo ot (figura 0.3) é o valor médio entre as tensões dos dois símbolos sem ruído, y 0 y ot (0.5) 0.3 Probabilidade de erro de bit A probabilidade de erro de bit, independentemente do critério utilizado (MAP, MV ou outro, nomeadamente utilizando um valor arbitrário do limiar de decisão ) é dada pela probabilidade de erro em cada nível lógico pesadas pelas respetivas probabilidades a priori, ou seja, BER p p p, (0.6) 0 0 p0 em que p 0 é a probabilidade de errar o nível lógico (enviar o nível lógico mas

123 Recetor ótimo 7 descodificar o nível lógico 0 ) e p 0 é a probabilidade de errar o nível lógico 0. Estas probabilidades são definidas por, p p 0 0 f y "". (0.7) f y "0" Utilizando o valor ótimo de, equidistante de y 0 e y, determinado pela equação 0.5, tendo em conta a figura 0.3 e a função complementar de erro (Apêndice 8): p p 0 0 opt opt f f y "" dy erfc y "0" dy erfc d n d n. (0.8) Note-se que as probabilidades de errar os bits ao nível lógico 0 e ao nível lógico são iguais. A probabilidade de erro de bit corresponderá à soma destas probabilidades pesadas pelas probabilidades a priori, ou seja: d BER p p0 p0 p0 erfc n. (0.9) Assinale-se que a BER depende da diferença de tensão entre os símbolos e não dos seus valores absolutos, uma vez que, d y y 0. (0.0) Se em vez de um critério de máxima verosimilhança (MV) fosse utilizado um critério de máximo a posteriori (MAP) as adaptações da figura 0.3 e das equações 0.5, 0.9 e 0.0 seriam as apresentadas no Apêndice 9.

124 8 Transmissão de dados Carlos Meneses 0.3. Código PNRZ Com o código PNRZ exemplificado na figura 0., d A, a largura de banda é dada pela equação 8.4 e a energia média por símbolo dada pela equação 8.8 (assumindo a amplitude e a energia recebida), pelo que a BER vem: BER p 0 p 0 erfc A N B 0 T erfc E b N. (0.) 0 Tendo em conta a relação sinal-ruído (equação 9.) tem-se ainda: SNR BER erfc c. (0.) 0.3. Código UNRZ Se o código for UNRZ, então os valores das tensões sem ruído no instante de amostragem resultam: y A. (0.3) y0 0 Pela figura 0.3 d A, a largura de banda é dada pela equação 8.4 e a energia média por símbolo dada pela equação 8.9 e obtêm-se para a BER: BER erfc A 4 N B 0 T erfc E b N. (0.4) 0 Comparando as equações 0. e 0.4, para que a BER seja igual com os códigos PNRZ e UNRZ, a relação E b N0 tem que ser o dobro (+3 db) em UNRZ do que a do PNRZ. Isto deve-se ao facto de a componente DC dos códigos UNRZ consumirem metade da energia mas não servirem para distanciar os dois símbolos.

125 Recetor ótimo Filtro adaptado O recetor estudado nos pontos anteriores assume filtragem passa-baixo ideal, com frequência de corte igual à largura de banda do sinal recebido, de modo a eliminar o ruído fora da banda. Assume ainda um instante de amostragem em que não exista interferência intersimbólica. Contudo, nem sempre é possível definir um instante de zero de ISI e a filtragem apenas tem em conta a largura de banda e não a forma do sinal transmitido. Para resolver estes problemas o Norte-Americano Dwight North concebeu, em 943, o filtro ótimo (matched filter) para deteção de um sinal conhecido, corrompido por ruído branco e aditivo. Considere-se que o símbolo transmitido é s l t, com l igual 0 ou, respetivamente para os símbolos correspondentes aos níveis lógicos 0 e. A este sinal é adicionado ruído w (t) no canal de comunicação, sendo recebido o sinal sr ( t) sl ( t) w( t). Se for efetuada uma projeção sobre um sinal ks j (t), como mostrado na figura 0.4, é anulada a componente do ruído perpendicular ao símbolo, permanecendo apenas a componente do ruído colinear ao símbolo. Figura 0.4 Interpretação vetorial do filtro adaptado. Esta projeção é realizada através do produto interno entre o sinal recebido com ruído e um vetor de base, por exemplo proporcional ao símbolo (j=l). c t é então, t c t ks. (0.5) O produto interno é determinado através do integral do produto entre o sinal de entrada s R (t) e o vetor de base c(t). Se fosse possível integrar, como definido pelo

126 0 Transmissão de dados Carlos Meneses produto interno, em tempo infinito e sendo o ruído ortogonal aos símbolos, o ruído seria totalmente eliminado. Não é no entanto possível que este integral seja efetuado em tempo infinito mas apenas no tempo de símbolo T b, pois é necessária uma decisão por símbolo. Nestas circunstâncias o produto interno é definido por: b T b t y( T ) c s ( t) dt, (0.6) 0 R que corresponde a uma filtragem em que a resposta impulsiva corresponde a: h t ct t ks T t, (0.7) b pelo que se designa de filtro adaptado (ao símbolo ). O diagrama de blocos do recetor, completo, que é ótimo no sentido que minimiza a BER, é apresentado na figura 0.5. Com este filtro é retirado o ruído ortogonal ao sinal, que corresponde a todo o ruído fora da banda mas também algum ruído na banda do sinal. b Figura 0.5 Diagrama de blocos do recetor ótimo. Recetor constituído por filtro adaptado e deteção MAP. O integrador é colocado a zero no início de cada símbolo, representado na figura 0.5 pela entrada T b +, sendo tomada uma decisão no fim do símbolo, amostrando y(t) nos instantes T b, imediatamente antes de o integrador ser recolocado a zero e se reiniciar o processo para descodificação do próximo símbolo. Com a integração no tempo de bit, a função de verosimilhança para cada símbolo l tem uma distribuição normal N(, ), sendo para a filtragem adaptada y l n

127 Recetor ótimo válida a figura 0.3. y l, com l igual 0 ou, corresponde às tensões sem ruído para os símbolos 0 e respetivamente. A projeção obtêm-se de, y( T ) b T b t c sr ( t) dt 0 Tb ks t s l ( t) w( t) dt 0 Tb Tb ks t sl t dt ks 0 0 Tb y ks w( t) dt l 0 t t w( t) dt l=0 ou. (0.8) O segundo termo desta equação corresponde ao resultado da filtragem do ruído introduzido pelo canal. Note-se que para todos os códigos de linha o símbolo 0 ou é nulo (unipolar, bipolar) ou simétrico ao símbolo (polar, bipolar). Deste modo os valores da projeção sem ruído correspondem a, y y y 0 0 ke ke 0 polar unipolar. (0.9) Definindo A eq como a área equivalente do ruído no filtro adaptado (Apêndice 0), numericamente igual à energia do vetor de base e correspondente ao dobro da largura de banda de um filtro ideal passa-baixo de ganho unitário: A eq T b T b 0 t dt k s t dt k E c, (0.0) 0 a componente filtrada do ruído tem uma distribuição normal com média nula e potência dada por (Apêndice 0): N N N n Aeq Ec k E. (0.)

128 Transmissão de dados Carlos Meneses 0.5 Filtro adaptado normado Assumindo que o vetor de base c(t) tem energia unitária, a área equivalente do ruído é também unitária (filtro adaptado normado 5 ): A, (0.) eq e da equação 0.0, o fator de escala k vem: k. (0.3) E As tensões sem ruído no instante de amostragem, para o filtro adaptado normado (equações 0.9 e 0.3) resultam: y y y E E polar unipolar, (0.4) e a potência do ruído vem (equações 0. e 0.), N 0 n. (0.5) Nesta situação a equação 0.9 pode ser reescrita como: d BER erfc. (0.6) N0 Note-se que assumir o vetor de base normado, ou tomando qualquer outro valor arbitrário, não altera a probabilidade de erro, já que a amplitude de c(t) tanto afeta o sinal como o ruído. Torna no entanto mais fácil a comparação com espaços vetoriais e simplifica as expressões da potência do ruído após filtragem e da BER. 5 Referencial com vetor de base com norma unitária.

129 Recetor ótimo Código PNRZ Retomando o exemplo com código PNRZ, os símbolos correspondem a tensões contínuas localizadas com amplitude A ou A. Com o filtro adaptado ao símbolo, c(t)=ka=c. O Valor de C, impondo que o filtro está normado, é determinado por 6, A eq Tb 0 b t C dt C T c C R. (0.7) b Nesta situação y é determinado por: y Tb Tb c t) s( t) dt Rb Adt Rb ATb A Tb E 0 0 ( E, (0.8) b como já definido pela equação 0.4. O valor de y 0, também como na equação 0.4, é igual a y, uma vez que os símbolos são simétricos e, pela mesma razão, 0 (equação 0.5). O valor de d é definido pela equação 0.0: ot d y y 0 E b, (0.9) A figura 0.6 é uma adaptação da figura 0.3 para a situação PNRZ com filtro adaptado normado. Desta figura, e das equações 0.6 e 0.9, a BER em PNRZ resulta: BER erfc E N b 0. (0.30) Ao contrário da equação 0., deduzida com filtro de banda plano, com um filtro cuja resposta em frequência é dada (filtro adaptado) pela transformada de Fourier dos símbolos (símbolo ), ao contrário da equação 0., a BER deixa de ser 6 O resultado da eq..7 é válido para todos os códigos apresentados com exceção do código PRZ e Manchester. Para código PRZ o resultado é C R de 0 a T e 0 de b b T b a b Manchester a amplitude é dada por.7 mas com a forma de onda do código Manchester. T. Para código

130 4 Transmissão de dados Carlos Meneses dependente do fator de roll-off e passa a depender apenas da relação sinal-ruído entre energias Eb/No, proporcional à SNR c no canal (equação 9.). Figura 0.6 Funções densidade de probabilidade do ruído em PNRZ com filtro adaptado normado. Adaptação da figura 0.3, com ot 0, d E, N 0 b n. vem: Mantendo a potência recebida e tendo em conta a equação 8.8, a equação 0.30 BER erfc A T b S R erfc. (0.3) N 0 Rb N 0 Desta equação deduz-se que, desde que não se altere a potência recebida, o aumento do débito binário e consequente diminuição da energia de bit, corresponde a um aumento na probabilidade de erro de bit. Para manter a probabilidade de erro de bit, ao aumento do débito binário terá que corresponder um aumento da potência recebida. As formas de onda para o código PNRZ, ao longo do recetor ótimo normado, são apresentadas na figura 0.7.

131 Recetor ótimo 5 Figura 0.7 Formas de onda no recetor ótimo com código PNRZ com ruído para os bits a) Sequência de símbolos com ruído; b) Sinal após filtragem c) bits descodificados. A tracejado, forma de onda se não houvesse ruído. A descodificação dos bits insere símbolo de atraso devido à decisão ser tomada apenas no fim do bit. Apesar do ruído não existem erros.

132 6 Transmissão de dados Carlos Meneses 0.7 BER em códigos de linha binários Seguidamente deduz-se a equação da BER para os diversos códigos em estudo neste texto Códigos polares Genericamente para os casos dos códigos de linha polares (PNRZ, PRZ, Manchester), em que os símbolos estão relacionados por : t t s s0. (0.3) As tensões no instante de amostragem correspondem a (equação 0.9): y y 0 ke ke keb. (0.33) ke Nesta situação o valor ótimo de decisão vem, keb keb ot 0. (0.34) O valor de d é determinado por: b d y. (0.35) ot ke b A potência do ruído é dada pela equação 0. e a BER vem (equação 0.9), BER erfc d n erfc k Eb k E N b 0 erfc E N b 0. (0.36) 0.7. Códigos unipolares A figura 0.8 apresenta a adaptação da figura 0.3 para o caso dos códigos de linha unipolares (UNRZ), em que o símbolo 0 corresponde a 0 V.

133 Recetor ótimo 7 Figura 0.8 Funções densidade de probabilidade do ruído em UNRZ com filtro adaptado não normado. Adaptação da figura 0.3, com ke, d ke, k E N b n b 0 ot b As As tensões de observação de cada símbolo sem ruído no instante de amostragem são (equação 0.9): y ke ke b. (0.37) y0 0 Nesta situação o valor ótimo de decisão é determinado por, ke 0 b ot keb. (0.38) O valor de d é obtido de: d y ke ke ke. (0.39) ot b b b Uma vez que a potência do ruído é dada pela equação 0.0 e 0.: A BER vem (equação 0.9): k n EbN. (0.40) 0 BER erfc d n erfc k Eb k E N b 0 erfc Eb N 0. (0.4)

134 8 Transmissão de dados Carlos Meneses Como nos códigos polares, a probabilidade de erro de bit depende apenas da relação sinal ruído E b N0 e não, como na equação 0.4, do fator de roll-off. Se o filtro adaptado estiver normado, c(t) é o mesmo que o deduzido na equação 0.7 pois os símbolos lógicos em PNRZ e UNRZ são iguais Código AMI Na situação do código de linha bipolar sem retorno a zero existem duas possibilidades quando se transmite o nível lógico : ou se transmite o símbolo A ou se transmite o símbolo A, situações que ocorrem alternadamente e portanto com a mesma probabilidade. A figura 0.3 é então adaptada para três símbolos, conforme mostrado na figura 0.9. Figura 0.9 Funções densidade de probabilidade na receção do código AMI. São apresentados 3 símbolos (pseudo-ternário), pois existem dois símbolos correspondentes ao símbolo lógico. As tensões no instante de amostragem do filtro adaptado, denominadas respetivamente por y e y e y 0, são dadas por: y y y 0 ke ke 0 ke b ke. (0.4) b

135 Recetor ótimo 9 O valor de d é definido pela equação 0.0, pelo que: d ke 0 ke b ke. (0.43) b O nível lógico 0 é descodificado com erro se o valor de y for maior que d ou menor que d ( vezes a área abaixo da curva de Gauss). Cada um dos dois símbolos, representando o nível lógico com polarização positiva ou negativa, tem probabilidade a priori de metade da probabilidade a priori deste nível lógico. O esquema de blocos do recetor AMI é apresentado na figura 0.0, em que o comparador que efetua a descodificação MV é substituído por um quantificador de três níveis. Figura 0.0 Recetor ótimo para o código AMI. Pode-se trocar a posição dos comparadores e do S&H. Havendo 3 símbolos o comparador é substituído por um quantificador de três níveis. Deste modo resulta para a BER: BER erfc d p erfc p erfc p0 n n n d d. (0.44) Assumindo os níveis lógicos equiprováveis esta equação reduz-se a: BER 3 erfc 4 d n, (0.45) pelo que, utilizando as equações 8.9, 0. e 0.43, vem: BER 3 erfc 4 k E b 3 E b erfc. (0.46) k E N b 0 4 N 0

136 30 Transmissão de dados Carlos Meneses Este valor da BER não entra em conta com a capacidade deste código detetar erros por violação da regra de polaridade alternada quando do envio de níveis lógicos. Se houver a capacidade do recetor informar o transmissor destes erros, a informação poderá ser reenviada Códigos diferenciais Nos códigos diferenciais, um erro de símbolo isolado (antes da pós-codificação) origina dois erros de bit seguidos (após a pós-descodificação), uma vez que cada símbolo contém informação sobre o nível lógico presente e o imediatamente posterior. Uma vez que estes códigos são insensíveis à polaridade, se antes da pós-descodificação forem cometidos erros consecutivos de símbolos, apenas são produzidos dois erros de bit com pós-descodificação, na posição do primeiro erro de símbolo e na posição seguinte ao último símbolo errado. Os códigos diferenciais exibem então uma BER inferior ao do dobro da BER do respetivo código não diferencial. Para os códigos NRZI unipolar tem-se que, da equação 0.4: BER erfc E b N 0. (0.47) Desde que a probabilidade de erro de símbolo seja baixa a BER tende para a igualdade na equação Esta é a situação mais realista que sendo um limite máximo vai ser adotada no resto do texto Código MLT-3 Caso o código seja o MLT-3, de 3 símbolos como o AMI, a probabilidade de erros de símbolo é dada pela equação No entanto, devido à descodificação diferencial, a probabilidade de erro duplica pelo que, BER 3 erfc E b. (0.48) N 0

137 Recetor ótimo Regeneração do sinal Por vezes é necessário comunicar a distâncias consideráveis (maior atenuação) e através de canais que inserem bastante ruído, o que faz aumentar a probabilidade de erros. Uma estratégia para evitar estes erros é a regeneração. Por regenerar o sinal entende-se, em pontos intermédios do canal, detetar os símbolos e retransmiti-los sem ruído (e.g. nos equipamentos da rede como hubs, switchs e routers), como mostrado na figura 0.0. Figura 0. Cadeia Transmissor-canal-regenerador-canal-recetor. Por regenerar o sinal entende-se detetar os símbolos e retransmiti-los sem ruído, em pontos intermédios, por exemplo nos equipamentos da rede. Se a atenuação ainda não for grande e o sinal ainda não tiver sido muito afetado pelo ruído, é possível regenerar o sinal praticamente sem erros. Note-se que não é possível regenerar um sinal analógico mas apenas amplificá-lo, o que implica amplificar também o ruído. 0.9 Comparação da BER entre códigos de linha binários Na figura 0. são apresentados os valores da probabilidade de erro dos diversos códigos de linha binários, função da relação entre a energia média por bit e a potência do ruído por Hertz (Eb/No) em decibéis. Desta figura podem ser tiradas várias conclusões comparativas sobre o desempenho em termos da probabilidade de erro de bit, tais como: Os códigos de linha polares (PNRZ, PRZ, Manchester), com símbolos simétricos, obtêm o melhor desempenho em termos da BER, pois são os que têm a menor energia para o máximo afastamento entre símbolos. Os códigos de linha unipolares (UNRZ) estão distanciados dos códigos polares de 0log0/ 3 db de relação Eb/No, ou seja, têm o mesmo desempenho para +3 db (o dobro em linear) de relação Eb/No;

138 3 Transmissão de dados Carlos Meneses Figura 0. BER dos diversos códigos em função da relação sinal-ruído Eb/No. O melhor desempenho (BER) para a menor relação Eb/No é conseguido pelos códigos polares. Os códigos unipolares precisam de +3 db de Eb/No para obter o mesmo desempenho. Os códigos diferenciais têm o dobro da BER para a mesma Eb/No. O código AMI têm quase o pior desempenho mas possuem capacidade de deteção de erros. O código MLT3 tem o pior desempenho mas tem a melhor eficiência espectral. Os códigos diferenciais (NRZI, MLT-3) têm o dobro da BER alcançada pelos códigos não diferencias correspondentes; Os códigos com três símbolos (AMI e MLT-3), têm o pior desempenho em termos da probabilidade de erro de bit dos códigos binários. O código MLT-3, sendo também diferencial, é mesmo o que obtém pior desempenho;

139 Transmissão M-ária em banda de base 33 Transmissão M-ária em banda de base Como visto na secção 8, a largura de banda depende do número máximo de transições por segundo produzido pelo código de linha. Uma maneira de diminuir o número de transições e consequentemente a largura de banda é fazer com que o símbolo contenha informação de mais do que bit, diminuindo o débito de símbolos R s (baud rate) sem diminuir o débito binário. O símbolo deixa de ser binário para ser M-ária, ou seja, com M formas de onda possíveis.. Modulação por amplitude de pulsos digital Um código de linha M-ária, em que os símbolos são representados por diferentes amplitudes, apresentado na figura., é denominado PAM (pulse amplitude modulation) digital 7 (ou PNRZ M-ária). Figura. Código PAM digital. M símbolos simétricos em torno do zero. A distância entre símbolos adjacentes é de a. O número de bits por símbolo K e o número de símbolos diferentes M (neste caso amplitudes diferentes) do código estão relacionados por: K M. (.) 7 Em contraste com o PAM analógico, em que são transmitidos diretamente as amplitudes de um sinal analógico após amostragem, podendo estes ter uma gama contínua de valores.

140 34 Transmissão de dados Carlos Meneses O tempo de símbolo T s e o tempo (médio) de bit estão relacionados por: O débito de símbolos, Ts KT b. (.) R s, está relacionado com o débito binário por: R R b s K. (.3). Energia média por símbolo Denominando a como a tensão entre símbolos adjacentes, a energia média por símbolo, assumindo que estes são equiprováveis, é dada por, E s a Ts M M / k a ( M ) 4 3 ( M ) 3 k 0,5 Ts Emin, (.4) que aumenta com o quadrado de a e de M. energia, com amplitude a/: E min é a energia do símbolo de menor E min A energia média por bit vem:.3 Largura de banda T s a. (.5) E E s b K. (.6) Assumindo o instante de zero de ISI a meio dos símbolos, a abertura dos pulsos com critério de Nyquist é de Ts e a largura de banda vem: Rs Rb BT. (.7) K Como se pretende, a largura de banda diminui com o aumento do número de bits por símbolo. A equação.7 é um caso geral da equação 8.4, substituindo R b por R s.

141 Transmissão M-ária em banda de base 35 A eficiência espetral (equação 8.6) também melhora com o aumento do número de bits por símbolo: R B b T K. (.8).4 Probabilidade de erro de símbolo O recetor ótimo para códigos PAM digital é mostrado na figura. e é idêntico ao do recetor binário da figura 0.5, mas com o comparador substituído por um quantificador/codificador de modo a detetar M níveis de saída do filtro adaptado. Figura. Recetor ótimo normado PAM digital. Filtro adaptado (normado) seguido de quantificador/codificador. Assumido que o filtro ótimo está normado e dado que os símbolos correspondem a tensões contínuas localizadas, c(t)=c, pela equação 0.: A eq Ts 0 s t C dt C T c C R, (.9) s que é um caso geral da equação 0.7, outra vez substituindo R b por R s. As funções densidade de probabilidade do ruído, para os diversos símbolos, à saída do filtro no momento de amostragem, são apresentadas na figura.3. O valor de d para o cálculo da probabilidade de erro de símbolo vem: T s s 0 s a a a d ct dt R T T E. (.0) s min

142 36 Transmissão de dados Carlos Meneses Figura.3 Funções densidade de probabilidade no código PAM digital. Adaptação da figura 0.3 para M-ária. No cálculo da probabilidade de erro de símbolo terá de se ter em conta com as áreas acima de d à esquerda e à direita, a menos das duas funções densidade de probabilidade das pontas, em que esta área só contará uma vez. A probabilidade de erro de símbolo, ( SER Symbol error rate), vem então, assumindo que todos os símbolos são equiprováveis: M d d SER erfc erfc. (.) M N0 M N0 Através das equações 0.6,.4,.0 e., chega-se a: ( M ) SER erfc M E N min 0 ( M ) erfc M 3K E b M N 0. (.).5 Probabilidade de erro de bit Um símbolo representa um conjunto de K bits. Para o cálculo da probabilidade de erro de bit em função da probabilidade erro de símbolo irão admitir-se duas situações na disposição dos bits em cada símbolo: () disposição aleatória: erro de símbolo corresponde a errar de a K bits de um modo equiprovável; () código Gray: erro de símbolo corresponde com maior probabilidade ao erro de apenas bit.

143 Transmissão M-ária em banda de base Código aleatório Se não houver qualquer preocupação no modo em como se define o código de K bits do símbolo, poderá assumir-se que quando se erra um símbolo estarão errados qualquer número de bits entre e K. Em média estarão errados (K+)/ bits, pelo que: K K símbolos bits símbolo errado bits errados, (.3) SER SER e a BER é dada por: K K SER BER. (.4) K SER K.5. Código Gray A probabilidade de, quando existe um erro de símbolo, ser descodificado um dos dois símbolos adjacente (amplitudes adjacentes) é muito maior do que ser descodificado qualquer outro símbolo. Se houver o cuidado que a símbolos adjacentes correspondam códigos apenas com bit de diferença, como num código Gray, então quando se erra símbolo apenas bit está errado. A tabela. ilustra o código Gray para 4 bits Nestas circunstâncias, vem: Tabela. Código Gray de 4 bits. Duas palavras consecutivas apenas têm um bit trocado, minimizando os erros de bit. K símbolos bits símbolo errado bit errado, (.5) SER SER pelo que, SER BER. (.6) K

144 38 Transmissão de dados Carlos Meneses Sendo esta uma situação mais favorável que a utilização de uma disposição aleatória, assume-se desde que nada seja dito em contrário a utilização de um código Gray. Para uma transmissão M-ária a BER vem então, pelas equações. e.6: ( M ) BER erfc KM 3K E b M N 0. (.7) Note-se que para valores altos da BER deixa de ser válida a aproximação de que o erro de símbolo é sempre para um vizinho e corresponde apenas a um erro de bit..6 Código BQ Um bom compromisso entre o desempenho e a complexidade corresponde a utilizar um código PAM digital com bits por símbolo (BQ binary quaternary) e código Gray, apresentado na figura.4. Figura.4 Código BQ Correspondente a PAM digital quaternário ou 4-ária, utilizando código Gray. Aplicando a equação.7 com K= bits por símbolo, obtêm-se: 3 BER erfc 8 E 5N b 0. (.8) A largura de banda vem, pela equação.7: Rb B T. (.9) 4 Obtém-se então metade da largura de banda comparando com um código PNRZ (M=), com um aumento moderado da complexidade e da BER. O recetor ótimo deste

145 Transmissão M-ária em banda de base 39 código corresponde ao da figura., mas em que o quantificador/codificador é de apenas bits em código Gray. Na figura.5 é apresentado o padrão de olho do código BQ com fator de roll-off =0 e distância entre símbolos adjacentes a= V. Pode-se verificar os instantes sem ISI a meio dos símbolos, com tensões V e 3 V Padrão de Olho rolloff=0 Pn=0.00 Watt/Hz Figura.5 Padrão de olho do código BQ =0 e a=, sem ruído. O código BQ é utilizado por exemplo em RDIS (Rede Digital Integrada de Serviços) entre a central telefónica e o equipamento de entrada que fará a distribuição. A RDIS utiliza o sistema telefónico, permitindo dois canais de 64 kbit/s mais um canal de 6 kbit/s para sinalização e controlo.

146 40 Transmissão de dados Carlos Meneses.7 Comparação do desempenho Na figura.6 e tabela. é apresentada uma comparação entre as probabilidades de erro para diversos números de bits por símbolo (M=, 4, 8, 6). Pode-se verificar o aumento da BER à medida que se aumenta o número de bits por símbolo, mas relembre-se que se diminui a largura de banda ocupada (equação.7). Figura.6 BER em função da relação 0, para PAM digital. Código Gray com M a variar entre e 6. E b N M= M=4 M=8 M=6 eficiência espetral (+) 4(+) 6(+) 8(+) Eb/No db (BER=0-6 ) 0,5 4,4 8,8 3,5 BER (Eb/No=5 db) 8,9x0-6,8x0-7 7,7x0-4 x0 - Tabela. Compromisso entre a eficiência espetral e BER para PAM digital. Quanto maior for o número de bits por símbolo e portanto melhor a eficiência espetral, pior será a BER do sistema.

147 Transmissão M-ária em banda de base 4.8 Capacidade de canal Assumindo a largura de banda mínima do critério de Nyquist (=0) para transmissão sem ISI, das equações.7 e. vem, R b BT K BT log M. (.0) Das equações.4 e.5 vem, S R De.0 e., S M M Es a R. (.) T a s S R Rb BT log. (.) a Considerando um canal com ruído gaussiano e de banda limitada B c, sendo recebido um sinal com potência S R, Shannon demonstrou em 949 que existe um débito binário máximo para transmissão com probabilidade de erro de bit arbitrariamente pequena, denominando-o de capacidade de canal. A equação da capacidade de canal (gaussiano) é semelhante à equação.: C B C S R S R log BC log. (.3) σc N0BC Este é um limite teórico, conhecido por Lei de Hartley 8 -Shannon. Se o débito binário for superior à capacidade de canal não é possível transmitir sem erros. Shannon não especificou qual o método de codificação e descodificação capaz de atingir este limite, mas a Lei de Hartley-Shannon tem vindo a servir de referência de modo a verificar a eficiência de uma transmissão. 8 Ralph Vinton Lyon Hartley, Americano, engenheiro eletrotécnico.

148 4 Transmissão de dados Carlos Meneses Para determinada capacidade de canal pode-se reduzir a largura de banda à custa do aumento da potência transmitida ou vice-versa. Note-se que a capacidade de canal depende linearmente da largura de banda mas para se obter o mesmo efeito é necessário alterar a potência transmitida exponencialmente. A limitação de potência estabelece um número máximo de bits por símbolo para determinada SNR, de modo a que os níveis correspondentes aos diversos símbolos estejam suficientemente espaçados para que o ruído não interfira na sua descodificação.

149 Discussão sobre códigos de linha 43 Discussão sobre códigos de linha Nas secções 8 a foram descritos os principais códigos de linha, binários e M-ária, com uma característica passa-baixo. Constituem atributos dos códigos de linha: a energia média por bit (esforço); o débito binário e eficiência espetral (velocidade); a probabilidade de erro de bit (qualidade); a capacidade de deteção de erros; a capacidade de auto sincronização; a presença de componente DC e/ou desvanecimento do sinal; e a complexidade de implementação dos transmissores e recetores. Existem claramente compromissos em relação a estes atributos, já que, por exemplo, para diminuir a largura de banda ocupada diminui-se o número de transições por segundo, o que dificulta o sincronismo de símbolo, que por sua vez aumenta a complexidade do recetor. Num outro exemplo, para melhorar a probabilidade de erro de bit pode-se aumentar a energia média por bit ou vice-versa. Para todos os códigos de linha apresentados foram deduzidas as expressões da energia média por bit, da probabilidade de erro de bit e da largura de banda. Para a determinação da largura de banda foi utilizado o critério do primeiro zero espetral, bastante para que a interferência intersimbólica não seja suficiente para afetar o sinal, e segundo o critério de Nyquist, que a evita completamente. Foram também estudados os outros atributos dos códigos de linha. Foram apresentados os recetores ótimos, realizados com filtro adaptado e deteção segundo o critério de máxima verosimilhança. Estes recetores pressupõem uma transmissão corrompida com ruido aditivo branco e gaussiano (canal AWGN). Tendo sido assumido que os símbolos são equiprováveis, a deteção de máxima verosimilhança é de facto equivalente à deteção ótima com critério de máximo a posteriori. De modo a diminuir a probabilidade de erro é possível regenerar o sinal em pontos intermédios do canal de comunicação, por exemplo nos equipamentos da rede (e.g. hubs, switchs, routers). Se a atenuação ainda não for demasiada e o sinal ainda não tiver sido muito afetado pelo ruído é possível regenerar o sinal praticamente sem erros. Note-se que não é possível regenerar um sinal analógico mas apenas amplificá-lo, o que implica amplificar também o ruído.

150 44 Transmissão de dados Carlos Meneses Apresentam-se seguidamente, conforme refletido na tabela 3., algumas características e compromissos dos códigos de linha: Os códigos de linha polares (PNRZ, PRZ, Manchester), com símbolos simétricos, obtêm o melhor desempenho em termos da BER, pois são os que têm a menor energia para o máximo afastamento entre símbolos. Os códigos de linha unipolares (UNRZ) estão distanciados dos códigos 0log0 / db de relação Eb/No, ou seja, têm o mesmo polares de 3 desempenho para +3 db (o dobro em linear) de relação Eb/No; Os códigos diferenciais (NRZI, MLT-3) têm o dobro da BER alcançada pelos códigos não diferencias correspondentes. No entanto são insensíveis à polaridade, o que para certos canais pode ser uma vantagem; Os códigos com três símbolos (AMI e MLT-3) têm o pior desempenho em termos da probabilidade de erro de bit dos códigos binários. O código MLT-3, sendo também diferencial, é mesmo o que obtém pior desempenho em relação a este atributo. São no entanto os únicos que têm capacidade de deteção de erros, devido às regras de utilização dos três símbolos; PNRZ PRZ UNRZ Manch. AMI NRZI MLT-3 M-ária E (mesma BER) - - b BER (mesma E b ) Deteção de Erros Capacidade de Sincronismo - - Componente DC Desvanecimento Inversão de polaridade Complexidade do transmissor Complexidade do recetor - Tabela 3. Códigos com melhor, ( ) e pior ( ) desempenho em termos de atributos. Como se pode verificar, existem compromissos entre os diversos códigos, não existindo nenhum código com melhor desempenho para todos os seus atributos nem nenhum código com pior desempenho para todos os seus atributos. Os códigos com transição a meio do bit (Manchester e PRZ) são auto-sincronizáveis, simplificando o recetor. Contudo esta transição faz aumentar a largura de banda, sendo os códigos com menor eficiência espectral.

151 Discussão sobre códigos de linha 45 O código AMI tem boa capacidade de sincronismo desde que utilize a técnica BNZS, que não aumenta o débito binário, ocupando a largura de banda dos outros códigos NRZ, não auto-sincronizáveis. O código MLT-3, devido à regra de transição entre símbolos, apresenta a melhor eficiência espectral de entre os códigos binários. No entanto exibe a pior probabilidade de erro e maior complexidade do transmissor e do recetor. Os códigos sem componente DC (Manchester em que os símbolos têm componente DC nula; e AMI em que pares de símbolos a têm componente DC nula) podem ser implementados com acoplamento DC; Os códigos com componente DC localizada (PNRZ, PRZ, NRZI, UNRZ, MLT-3 e M-ária) sofrem de desvanecimento, pelo que mesmo sem componente DC não podem ser implementados com acoplamento DC; Nos códigos em que o valor de decisão é sempre 0, (códigos polares ) independentemente da amplitude do sinal recebido e portanto da atenuação no canal, tornam o recetor mais simples de implementar; Os códigos de linha M-ária correspondem também a compromissos. Com o aumento do número de bits por símbolo adquirem uma melhor eficiência espetral mas aumentam a complexidade e a probabilidade de erro de bit. Quanto maior for o débito binário maior necessidade de serem implementados com dispositivos eletrónicos mais rápidos, o que se reflete no aumento do preço dos equipamentos e energia consumida; Para a definição da complexidade dos transmissores e dos recetores é necessário entrar em consideração com vários fatores, tais como: capacidade de auto sincronismo ou utilização de técnicas de sincronismo; número de símbolos; simplicidade na definição dos valores ótimos de decisão; ou débito binário. Relembre-se que sistemas menos complexos são mais baratos e consomem menos energia. ot

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153 Codificação para controlo de erros 47 3 Codificação para controlo de erros Num sistema de comunicação digital existem dois tipos de erros de bit: os erros devido aos efeitos do canal AWGN; e os erros devido a interferências eletromagnéticas esporádicas ou a variações rápidas das condições do próprio canal. Os primeiros correspondem a erros aleatórios independentes, como apresentado nas secções e. Os segundos correspondem a erros em rajada. Dependendo do tipo de erros existem estratégias diferenciadas para, no recetor, os detetar ou mesmo corrigir. Em qualquer dos casos, como ilustrado na figura 4., é necessário no transmissor introduzir bits com informação redundante (codificação para controlo de erros), produzindo um aumento do débito binário de R b (débito binário da informação) para R b (débito binário no canal de comunicação). O efeito da codificação para o controlo de erros é a diminuição da probabilidade de erro de bit de BER para BER (descodificação para controlo de erros). Figura 4. Cadeia transmissor-canal-recetor com codificação para controlo de erros. A codificação de erros no transmissor coloca bits de redundância aumentando o débito binário. No recetor, após deteção ou correção de erros, os bits de redundância são retirados.

154 48 Transmissão de dados Carlos Meneses 3. Atributos dos códigos de controlo de erros Seguidamente descrevem-se os atributos dos códigos de controlo de erros, que devem ser ponderados face ao tipo de aplicação desejada. 3.. Razão do código Um código composto por um bloco de dimensão fixa é denominado código de bloco. Ao contrário, existem códigos, denominados códigos convolucionais, que estendem a sua atuação a todos os bits transmitidos em vez de estarem limitados a dimensões fixas. Este texto focará apenas os códigos de bloco. A dimensão do bloco é denominada n, com k (k<n) bits de informação, sendo referido como código de bloco (n, k). Os códigos de bloco contêm c palavras de código (blocos válidos) diferentes: c = k. (4.) Quando os k bits de informação são transmitidos sem qualquer alteração o código é denominado de código sistemático. Os códigos apresentados neste texto são todos sistemáticos, sendo mais fáceis de tratar do que os códigos não sistemáticos. A razão do código, R c, é uma das medida da eficiência do código que mede os bits de informação em relação ao número total de bits do código, sendo dada por: R c = k n = R b R b, 0 < R c <. (4.) Com o aumento do número de bits devido à inserção do código, duas situações (ou uma situação intermédia) podem ocorrer em relação à situação sem codificação: Mantêm-se o tempo de transmissão da informação. Aumenta-se o débito binário no canal de comunicação de modo a manter o mesmo débito de informação Este procedimento diminui a energia por bit, que por sua vez aumenta a BER. Espera-se que, após deteção ou correção, o valor da probabilidade de erro seja mais baixo que o valor sem codificação, o que, dependendo do código e da probabilidade antes da correção, nem sempre acontece. ' R b.

155 Codificação para controlo de erros 49 Mantêm-se o débito binário Rb no canal de comunicação. Diminui-se o débito binário da informação e demora-se mais tempo a transmitir: 3.. Capacidade de deteção e correção T com codificação = T sem codificação R c. (4.3) Existem códigos de controlo de erros que levam a que seja possível afirmar que num conjunto de bits alguns estão errados, mas não se sabe quais. Estes códigos denominam-se de códigos de deteção de erros. Nalgumas aplicações o recetor descarta esta informação mas consegue continuar a operar. Noutras aplicações, contudo, tem que existir um mecanismo para que o recetor informe o transmissor da presença desses erros, para que a informação seja retransmitida (ARQ Automatic repeat request). Caso se consiga encontrar a posição dos erros, estes podem ser corrigidos (FEC Forward error correction) por inversão do valor lógico do respetivo bit. Estes códigos denominam-se códigos de correção de erros. Ao contrário dos códigos de deteção, os códigos de correção não necessitam de ligações bidirecionais e portanto não necessitam (ou não podem) esperar que a informação seja retransmitida. A capacidade de deteção de bits errados, l, mede-se através do número máximo de bits errados capazes de ser sempre detetados. A capacidade de correção de bits errados, t, mede-se através do número máximo de bits errados capazes de ser sempre corrigidos. Na situação de correção, se estes números forem ultrapassados duas situações podem acontecer: manter a informação recebida; ou inverter bits corretos originando mais erros. Para a mesma capacidade de deteção e correção, os códigos de correção necessitam de colocar maior redundância no canal do que os códigos de deteção, apresentando portanto uma razão de código pior Probabilidade de erro após controlo de erros Não sendo possível detetar/corrigir todos os erros é importante medir a diminuição da probabilidade de erro após deteção e retransmissão ou correção, BER em

156 50 Transmissão de dados Carlos Meneses relação à BER, que mede o ganho efetivo da introdução dos códigos de controlo de erros. Assumindo a mesma probabilidade de erro no canal, códigos diferentes mas com a mesma capacidade de deteção/correção podem apresentar probabilidade de erro após controlo de erros diferentes, dependendo da razão do código. A razão do código por um lado e a capacidade de deteção/correção ou a probabilidade de erro após controlo de erros, por outro, são de difícil otimização em conjunto. Quanto maior (melhor) for a razão do código menor (pior) a capacidade de deteção/correção e vice-versa. Para códigos com a mesma capacidade de deteção/correção, quanto maior (melhor) for a razão de código maior (pior) a probabilidade de erro após controlo de erros e vice-versa. A solução a implementar corresponde assim sempre a um compromisso entre estes atributos Controlo de erros aleatórios e erros em rajada Algumas perturbações, como por exemplo descargas eletromagnéticas, podem corromper um bloco de dados com vários erros, sendo este efeito denominado de rajada de erros. Define-se comprimento de uma rajada de erros como o número de bits entre o primeiro e o último erro, inclusive. Dentro da rajada os bits podem ou não estar errados. Haverá entre rajadas pelo menos determinado número de bits corretos, denominado banda de guarda, que fará parte da definição de comprimento da rajada. Na transmissão de um carater ou pacote, caso a banda de guarda for definida como a sua dimensão, o comprimento da rajada corresponde ao número de bits entre o primeiro e o último erro. Alguns códigos têm a capacidade de detetar ou corrigir erros aleatórios independentes, mas não rajadas de erros. Outros são capazes de detetar rajadas de erros, sendo esta capacidade medida através do comprimento máximo da rajada que é sempre detetada e pela relação total de rajadas não detetadas. Não é possível corrigir diretamente os erros de uma rajada, mas através da técnica interleaving, apresentada adiante, é possível converter erros em rajada em erros isolados, sendo estes corrigidos.

157 Codificação para controlo de erros 5 3. Probabilidade de erro de bloco Assume-se neste texto que a probabilidade de geração dos símbolos lógicos e a respetiva probabilidade de os descodificar erradamente, BER, é a mesma (canal binário simétrico). Num bloco de n bits, a probabilidade de errar i bits, independentemente da posição no bloco, é dada pela função de probabilidade binomial (Apêndice ): f(i n, BER) = C n i BER i ( BER) n i. (4.4) A probabilidade de errar i ou mais bits é dada pela soma das respetivas probabilidades. Para i 0, valores típicos de BER pequenos e nber (nber corresponde ao valor médio), esta simplifica-se para: f(i ou mais n, BER) = n j=i C n j BER j ( BER) n j f(i n, BER) C n. (4.5) i BER i O número médio de erros num bloco de n bits iguala a média (A..3): erros = nber. (4.6) A probabilidade de um bloco de n bits não conter erros vem: f(0 n, BER) = ( BER) n. (4.7) Havendo bits com erros aleatórios com probabilidade BER, é produzido em média erro de /BER em /BER bits. O tempo médio entre erros vem igual a esse valor multiplicado pelo tempo de cada bit, ou seja: T e = BER T b = R b BER. (4.8) Num sistema de deteção de erros com retransmissão, assumindo a aproximação ao º termo da equação 4.5, a probabilidade de retransmissão é aproximadamente igual à probabilidade de errar bit no bloco: P r = f( n, BER) = C n BER( BER) n nber. (4.9)

158 5 Transmissão de dados Carlos Meneses 3.3 Código de paridade A paridade de um bloco de bits é considerada par se o número de bits com valor lógico for par e considerada ímpar se este número for ímpar. Um código de paridade é constituído por n bits, dos quais k=n são bits de informação, sendo adicionado um bit de modo a garantir a paridade desejada. Ao conjunto dos bits de informação e bit de paridade denomina-se palavra de código. Este texto assume sempre paridade par. Para n=3, as palavras de código válidas são 0 0 0, 0, 0 e 0, correspondendo o último bit ao bit de paridade colocado pelo transmissor. No recetor, caso se receba um bloco com paridade ímpar, como por exemplo 00, conclui-se que foi produzido entre o transmissor e o recetor pelo menos erro e o bloco deve ser retransmitido. Caso se produzam dois erros a paridade vem novamente correta. Por exemplo, caso se transmita 0 e se receba 0, são produzidos erros nos primeiro e terceiro bits, mas o bloco corresponde a uma palavra de código válida. De facto só é possível detetar um número ímpar de erros. Assumindo a aproximação da equação 4.5, a probabilidade do recetor não detetar erros corresponderá à probabilidade de errar bits no bloco de n bits: P b f( n, BER) = C n BER = n(n ) BER. (4.0) Nesta situação estarão errados apenas bits em n bits, pelo que a probabilidade de erro de bit vem, aproximadamente: BER n P b (n )BER. (4.) Este código tem uma fraca capacidade de deteção (máximo bit errado), não sendo capaz de corrigir qualquer bit. Pelo contrário, dado que os bits de informação são k n, a razão do código é a melhor possível para o mesmo n: R c = n n, (4.)

159 Codificação para controlo de erros 53 O tempo médio entre erros após correção corresponde à aplicação da equação 4.8, substituindo BER por BER e com um débito binário R b sem os bits de redundância. Este é um tempo médio entre erros mas note-se que, num código de paridade, os erros sucedem-se aos pares no mesmo bloco. A melhoria na probabilidade de erro de bit é conseguida à custa da implementação de um sistema de retransmissão e de um maior número de bits transmitidos (bits de paridade e bits retransmitidos). O código de paridade pode ser utilizado em recuperação de discos em falha (disaster recovery). Por exemplo se quando da escrita de um bloco cada bit for armazenado num disco diferente, e num disco suplementar for armazenado o respetivo bit de paridade, qualquer disco em falha pode ser recuperado recalculando a paridade dos bits correspondentes dos outros discos 3.4 Código de repetição Um código de repetição corresponde a repetir um bit de informação n vezes, produzindo um código (n, ), também denominado R(n), com n ímpar. Por exemplo para n=5, as duas palavras de código são e. No recetor, descodifica-se o bit em maioria, pelo que se corrige até (n ) bits errados. Por exemplo, se, para n=5, for recebido o bloco é descodificado o nível lógico 0, pois existe uma maioria de 0 recebidos. Para (n + ) ou mais bits errados, a descodificação produz um erro. A probabilidade de erro vem então: A razão do código de repetição (k=) é dada por, BER Cn+ n BER n+. (4.3) R c = n. (4.4) Para o mesmo n, o código de repetição tem a razão de código menor (pior) possível, pois o numerador da equação 4.4 é k=. Como contrapartida é o código que

160 54 Transmissão de dados Carlos Meneses consegue corrigir o maior número de erros, ou seja, até metade (exclusive) de n, e detetar o maior número de bits errados, ou seja,(n ) bits. Ao contrário do código de Repetição, o código de Paridade cuja razão é a maior (melhor) possível para o mesmo n, consegue apenas detetar um erro de bit e não consegue corrigir nenhum erro de bit, encontrando-se estes códigos nos dois extremos de razão do código versus capacidade de deteção e correção. Na figura 4. apresentam-se os blocos possíveis de 3 bits num espaço tridimensional, em que cada bloco corresponde a um vértice de um cubo. Os pontos a cheio representam as palavras de código. Errar bit corresponde ao deslocamento numa aresta. O código de repetição tem maior separação entre palavras de código (3 arestas) do que o código de paridade ( arestas). Utilizando o código de paridade, quando existe erro o bloco recebido fica posicionado num vértice, à distância de uma aresta de 3 palavras de código diferentes, todas com a mesma probabilidade. No código de repetição o bloco recebido fica a uma aresta da palavra original e a duas da outra palavra de código, corrigindo-se para a palavra de código correta. (a) (b) Figura 4. Blocos de 3 bits num espaço tridimensional. (a) Código de repetição (b) Código de paridade. Palavras de código. Errar bit corresponde ao deslocamento numa aresta. Embora com uma razão do código muito baixa, o código de repetição é utilizado no armazenamento de dados que necessitem de alta proteção, como por exemplo os dados de clientes num banco, colocando n discos em paralelo. Quando da escrita a mesma informação é gravada em todos os discos. Quando a informação é lida é aplicada

161 Codificação para controlo de erros 55 uma regra por maioria de modo a corrigir eventuais erros. Erros sistemáticos num dos discos conseguem ser detetados sem perder a informação, de modo a que o disco seja substituído (disaster recovery). O número de discos que podem entrar em falha simultaneamente corresponde à capacidade de correção. Comparando com o código de Paridade, embora este tenha apenas capacidade de corrigir um disco em falha, este método necessita apenas de mais um disco (boa razão do código), enquanto utilizar o código de repetição é economicamente muito mais dispendioso (má razão do código). 3.5 Carater de verificação de bloco Um bloco de bits pode ser subdividido em sub-blocos, em que cada sub-bloco está protegido através de um bit de paridade. Por exemplo, na transmissão de carateres ASCII (7 bits), cada caráter pode estar protegido por bit de paridade ( p x ). Este procedimento está ilustrado na figura 4.3, em que cada caráter é colocado em cada linha. Por sua vez cada coluna, correspondente ao bit com o mesmo peso de cada caráter, está também protegida por bit de paridade, produzindo um caráter de verificação ( c x ), que dá o nome ao código de caráter de verificação de bloco (BCC Block check character). Figura 4.3 Código de carácter de verificação de bloco. m bits de mensagem; p bits de paridade; c carácter de verificação de bloco. A relação de código é função do número de colunas (cl) e linhas (li): R c = (cl )(li ). (4.5) cl li

162 56 Transmissão de dados Carlos Meneses Seguidamente apresenta-se situações de deteção e/ou correção de bits: erro de bit é sempre detetado e a sua posição encontrada pela interseção entre a linha e coluna com paridade erradas. erros de bit embora possam escapar à deteção numa linha, não passam na deteção de bloco (coluna) e vice-versa. erros, desde que não na mesma linha ou na mesma coluna, são também detetados, mas não é possível corrigi-los porque a posição dos erros fica indefinida entre duas hipóteses (duas diagonais de um retângulo). 3 erros de bit são também sempre detetados. Note-se que se os 3 erros corresponderem a erros na mesma coluna e erros na mesma linha, apenas uma linha e uma coluna apresentam paridades erradas, confundindo-se com a situação de erro de bit e a correção corresponde de fato a errar um quarto bit. 4 erros de bit Embora na maiorias das situações se consiga detetar os erros, uma situação de erros não detetados corresponde a 4 erros nos vértices de um retângulo. Dado que com bits errados já não é possível corrigir, a capacidade de correção deste código é de bit. Dado que com 4 bits errados algumas situações não são detetadas, a capacidade de deteção é de 3 bits. Este código pode então funcionar ao mesmo tempo como corretor de bit e detetor de ou 3 bits. 3.6 Interleaving Se o comprimento de uma rajada for grande, e portanto o número de erros for grande, um código detetor ou corretor pode não detetar os erros, muito menos corrigi-los. De modo a resolver esta insuficiência, o interleaving (entrelaçamento) é uma técnica capaz de converter erros em rajada em erros isolados, para que estes sejam detetados ou corrigidos através de um qualquer código de controlo de erros. O interleaving é implementado criando uma matriz, em que os bits são colocados por linha, mas transmitidos por coluna. No recetor, os bits são recolocados na

163 Codificação para controlo de erros 57 sua ordem original. Os bits que no canal apareciam consecutivos passam a estar distanciados do número de linhas. Se a rajada de erros tiver um comprimento inferior ao número de linhas, erros em rajada transformam-se em erros isolados. Na figura 4.4 apresenta-se um exemplo em que os bits são substituídos por letras, para mais fácil demonstração do procedimento. E x e m p l o D e T r a n s m i s s a o I n t e r l e a v i n g ExemploDeTransmissaoInterleaving Código Original EpensIrvxlTssnlieormatenmDaioeag Código Com Interleaving EpensIrvxlTssnlieormatenmDaioeag Código com erro em rajada ExemploDeTransmissaoInterleaving Código com erros isolados após reconstrução Figura 4.4 Exemplo de código com interleaving. O comprimento da rajada de erros é de 6 (rvxlts), menor que o número de linhas, 8. Nesta condição os erros em rajada transformam-se em erros isolados espaçados do número de colunas, 4. O código BCC utiliza o interleaving se a informação for transmitida por coluna e cada linha for composta por um caráter e respetivo bit de paridade (código de deteção de erro). Uma rajada de erros de comprimento máximo igual ao número de linhas produz apenas bit errado por caráter e esta situação é verificada através do respetivo bit de paridade. Para corrigir uma rajada de erros deverão ser colocados os bits de um código de correção em cada linha e transmitida a informação por colunas. Se o código corretor tiver a capacidade de corrigir apenas bit, o comprimento máximo da rajada corrigida é igual ao número de linhas. Utilizando um código de correção de t bits e em que li é o número de linhas ou número de blocos do código de correção utilizado, o comprimento máximo da rajada corrigida, b max, é de: b max = t li. (4.6) No projeto de um sistema interleaving toma-se então em consideração o número de bits n do código que se quer utilizar (número de colunas: cl=n) e o respetivo número de bits máximo corrigidos pelo código para, dado o comprimento máximo da rajada que

164 58 Transmissão de dados Carlos Meneses se quer corrigir, determinar o número de linhas. A razão de código final é a razão do código de correção utilizado em cada linha. Se não for já inerente um atraso na transmissão, como por exemplo na transmissão de um pacote em redes de computadores, o sistema interleaving impõe um atraso correspondente à dimensão do número de bits da matriz, já que no recetor é preciso ter acesso a todos os bits para os poder recolocar. Para além do aumento da complexidade, o atraso é pois a contrapartida a pagar pela utilização do sistema interleaving para correção de erros em rajada. O interleaving é por exemplo utilizado na televisão digital terrestre (TDT), já que sendo um sistema rádio está fortemente sujeito a interferências, e sendo um sistema broadcasting unidirecional não pode ser utilizado como detetor de erros. 3.7 Descodificação por máxima verosimilhança Dado um bloco (palavra de código com ou sem erros) recebido, b r, a função de probabilidade condicionada (probabilidade a posteriori) de ter sido transmitida a palavra de código c j, é dada por: f(c j b r ) = f(b r c j )p Cj f(b r ). (4.7) Como código corretor e utilizando um critério de máximo a posteriori é descodificada a palavra de código c j com maior probabilidade a posteriori (MAP). Assumindo que todas as palavras de código são equiprováveis, o critério de máximo a posteriori é equivalente ao critério de máxima verosimilhança (MV), pelo que é descodificada a palavra de código c j que maximiza a função de verosimilhança: f(b r c j ). (4.8)

165 Codificação para controlo de erros Distância de Hamming e capacidade de deteção e correção Pela análise da função de probabilidade binomial (equação 4.5 com BER muito pequeno e nber <<), verifica-se que a função de verosimilhança é tanto maior quanto menor for o número de bits diferentes entre b r e c j. Define-se distância de Hamming 9 entre dois blocos, d(b r, c j ), como o número de bits diferentes entre b r e c j, em igual posição. Por exemplo os blocos 00 e 00 terão uma distância de Hamming de, porque os º e 3º bits são diferentes. Para correção de erros, o critério de máxima verosimilhança é equivalente a: Descodificar a palavra de código que diste a menor distância de Hamming em relação ao bloco recebido. Define-se distância mínima de Hamming de um código, d min, como a menor distância de Hamming entre todas as palavras desse código. Este é um parâmetro que limita a capacidade de deteção e de correção. Se o número de erros for igual a d min o bloco recebido pode corresponder a outra palavra de código. Como ilustrado na figura 4.5, para deteção de erros o número de erros tem que ser inferior a d min. Figura 4.5 Capacidade de deteção e correção. Exemplo de código com d min =5. Bloco recebido r a d(r, c i )= bits e d(r, c j )=3 bits. Código de deteção uma vez que não é uma palavra de código, são detetados erros. Código de correção descodificado c i, já que é esta palavra de código que lhe fica mais próxima (menor distância de Hamming). 9 Richard W. Hamming, Americano, trabalhou nos Laboratórios Bell e foi professor na Naval Postgraduate School.

166 60 Transmissão de dados Carlos Meneses Para correção, se o número de erros for superior a metade de d min, pode existir outra palavra de código com distância de Hamming menor, e a tentativa de correção dá origem a descodificar uma palavra de código errada. A capacidade de deteção e correção vêm: Deteção até l erros l < d min (4.9-a) Correção até t erros t d min (4.9-b) O código de Paridade tem uma distância mínima de Hamming de, pelo que não consegue corrigir qualquer erro e só consegue detetar bit errado, pois neste caso ocorrem sempre pelo menos duas palavras de código com distância de Hamming de. Revendo a figura 4.-b, duas palavras de código estão à distância de arestas e um erro fica equidistante de 3 palavras de código. O código de Repetição tem uma distância mínima de Hamming de n, (de n bits a 0 até n bits a ) pelo que se corrige até (n ) bits errados (regra por maioria). Para (n + ) ou mais bits errados, a descodificação produz um erro. Revendo a figura 4.-a para n=3, as duas palavras de código estão à distância de 3 arestas e um erro fica a uma aresta da palavra de código correta e a duas da outra palavra de código. O código BCC tem uma distância mínima de Hamming de 4 bits, já que consegue sempre corrigir bit errado e detetar sempre ou 3 bits errados, mas existem situações de 4 bits errados não detetados. Este valor também podia ser obtido observando que, ao alterar bit de informação, altera-se a paridade da sua linha e coluna, e altera-se c 0, paridade dos bits de paridade, sendo alterados ao todo 4 bits. 3.9 Limite de Hamming Como ilustrado na figura 4.6, para um código de dimensão n ser capaz de corrigir bit, tem que haver por cada uma das k palavras de código pelo menos mais n blocos não válidos, cada um correspondendo a erro em cada uma das n posições Como ao todo existem n blocos diferentes de n bits: n (n + ) k. (4.0)

167 Codificação para controlo de erros 6 Figura 4.6 Separação de palavras de código para correção de bit. Palavras de código Blocos de n bits. Existem k palavras de código (não ilustradas na totalidade), cada uma com n blocos à sua volta, correspondendo cada um desses blocos a bit trocado em cada uma das n posições. Para que se consiga corrigir até bits tem que se acrescentar ao lado direito desta inequação o número de combinações de n, a e assim sucessivamente até combinações de n, t a t: n k (n + ) + C n + + C n t n t = j=0 C j. (4.) Define-se limite de Hamming como o número mínimo de bits de redundância necessários para se corrigir até t bits, que satisfaz a inequação 4.. Pelo limite de Hamming depreende-se que quanto maior for a capacidade de correção maior é o número de bits de redundância necessários e portanto menor a razão do código. Contudo, nem todos os códigos que satisfaçam esta inequação conseguem de facto corrigir t bits errados, sendo necessário também que o código tenha uma distância mínima de Hamming que respeite a equação 4.9-b. Um código que utilize o mínimo de bits de redundância, segundo o limite de Hamming, designa-se de código perfeito de correção de t bis. Note-se que os códigos de repetição são sempre códigos perfeitos.

168 6 Transmissão de dados Carlos Meneses 3.0 Códigos lineares Um código linear define-se como aquele em que a adição em aritmética em módulo- de quaisquer duas das suas palavras ( ou exclusivo bit a bit; paridade par) de código dá origem a outra palavra do código. Contem ainda a palavra de código nula, com todos os bits ao nível lógico 0. O peso de Hamming de uma palavra de código é definido como o número de elementos não 0 dessa palavra. A distância mínima de Hamming de um código linear corresponde ao menor peso de Hamming de todas as palavras do código, com exceção da palavra de código nula. Caso haja erros, definidos por um padrão de erro E, em que: quando é produzido um erro na posição i e i = { 0 quando não é produzido um erro na posição i, (4.) o efeito do canal corresponde a adicionar (módulo-) os bits transmitidos com o padrão de erro, como ilustrado na figura 4.7. E = T = 0 0 R = 0 0 Figura 4.7 Efeito do canal de comunicação modelado pelo padrão de erro E. T Código transmitido. R Código recebido. R = T E. As posições dos bits ao nível lógico no padrão de erro correspondem a erros no canal de transmissão. Dado que num código linear a soma de duas palavras de código dá origem a outra palavra de código, se um código for linear e o padrão de erro coincidir com uma palavra de código o bloco recebido corresponde a outra palavra de código e os erros não são detetados. Esta é uma propriedade importante dos códigos lineares. Os códigos de Paridade par, Repetição e BCC são todos códigos lineares.

169 Codificação para controlo de erros Código de Hamming Um código perfeito com uma distância de Hamming mínima de 3, capaz de corrigir bit ou detetar bits errados, é o código de Hamming. Para ilustrar este código considere-se uma mensagem de 4 bits, por exemplo 0 0. Este código requer 3 bits de paridade, num total de 7 bits (equação 4.0 com código perfeito), correspondendo a um código H(7,4) (Hamming (7,4)). Coloque-se os bits de informação da esquerda para a direita, respetivamente nas posições: m7 m6 m5 p4 m3 p p 0 0 x x x Os 3 bits marcados com x, que estão nas posições condizentes com potências de, corresponderão aos bits de paridade. Coloque-se agora os bits de mensagem nas posições indicadas na figura 4.6-a, como ilustrado na figura 4.6-b. (a) (b) Figura 4.6 Cálculo dos bits de redundância do código de Hamming (7,4). (a) Diagrama genérico (b) Exemplo. Os bits de paridade correspondem ao cálculo da paridade par dentro do mesmo círculo. Os bits transmitidos, incluindo os bits de paridade, são: m7 m6 m5 p4 m3 p p bits transmitidos Caso haja um erro, por exemplo em m6, os bits recebidos são: m7 m6 m5 p4 m3 p p bits recebidos 0 0 0

170 64 Transmissão de dados Carlos Meneses O procedimento de correção a ser efetuado no recetor é o seguinte: ) Recalculam-se os bits de paridade, a partir dos bits de informação recebidos, Figura 4.7 Cálculo do código de Hamming (7,4). No recetor, recalcula-se os bits de paridade para comparação com os recebidos. ) Adicionam-se (módulo-) os bits de paridade recebidos e calculados correspondentes (ou, de um modo equivalente, calcula-se a paridade par), produzindo um número denominado síndrome; m7 m6 m5 p4 m3 p p bits recebidos bits calculados Síndrome 0 3) Lendo os bits da síndrome da esquerda para a direita, e transformando-a em decimal 0 6, então o bit errado é o bit m6; 4) Inverte-se o nível lógico do bit errado e retiram-se os bits de paridade, descodificando os bits m7, m6, m5, m3 = 0 0, os bits corretos; 5) Quando não há erros os bits de paridade recebidos e recalculados são iguais, pelo que a síndrome vem 0 0 0, indicando não haver erros. Note-se pelo diagrama da figura 4.6-a, que o bit m6 influência apenas as paridades (p4, p) exatamente as posições com nível lógico da conversão para binário do seu índice (6 0, assumindo as posições pela ordem p4, p, p). Esta situação repete-se para todos os outros bits de informação e é por este facto que a síndrome corresponde ao bit errado.

171 Codificação para controlo de erros 65 Pelo mesmo motivo anterior, pode-se calcular as paridades adicionando em módulo- as posições em binário dos bits de informação ao nível lógico. Seguindo o exemplo anterior, o bit m3 influência apenas as paridade p e p, e o bit m7 influência todas paridades, pelo que, p4 p p Paridade 0 0 chegando-se exatamente as mesmos bits de redundância. No recetor, repete-se o procedimento, incluindo os bits de paridade. As paridades que estiverem ao nível lógico 0, p e p, não influenciam o se próprio resultado e as que estiverem a, p4, invertem-se apenas afetando a si próprio para 0. Consequentemente, se a síndrome der 0 não existem erros: p4 p p Síndrome Assumindo um erro a síndrome corresponde novamente à posição errada, bastando para corrigir o bit inverter o seu nível lógico. Por exemplo se o erro for na posição m6, de 0 para, aparece na adição na posição do bit 6, p4 e p, e a síndrome assume esse valor. p4 p p Síndrome Caso o erro seja do nível lógico para 0 a sua posição é retirada à soma e a síndrome toma também o valor do bit errado. Caso se retirem ou se somem parcelas correspondentes a dois erros, a síndrome irá corresponder a um terceiro bit e a correção corresponderá de facto à produção de um terceiro erro.

172 66 Transmissão de dados Carlos Meneses Num código de Hamming, qualquer que seja o número de bits de redundância introduzidos é apenas possível corrigir bit, pois a distância mínima de Hamming é sempre 3. A relação entre o número de bits de informação e a dimensão do código torna o código de Hamming perfeito, ou seja, corresponde ao menor valor de n da inequação 4.0, dado pela equação: n = n k. (4.3) Qualquer que seja o código de Hamming a probabilidade de errar um bloco corresponde à probabilidade de errar bits (ou mais, aproximação ao primeiro termo): P b f( n, BER) = C n BER = n(n ) BER. (4.4) Nesta situação o bit corrigido é sempre um terceiro bit (mal corrigido), o que corresponde no final a 3 bits errados em n, pelo que: BER = 3 n P b = 3 (n )BER. (4.5) A Tabela 4. apresenta, para cada número de bits n k de redundância introduzidos, o respetivo número de bits totais e de informação, a razão do código e a probabilidade de erro após correção. Com apenas n k = bit de redundância o número de bits de informação k seria 0, pelo que não é possível construir o código. n k n k n k R c BER ,33 3BER ,57 9BER ,73 BER ,84 45BER ,9 93BER ,94 89BER Tabela 4. Relação entre bits e razão do código em códigos de Hamming. Para apenas bit de redundância o número de bits de informação é 0, o que não é possível. Para bits de redundância o código degenera num código de repetição de 3 bits e não é considerado um código de Hamming. À medida que o número de bits totais aumenta, aumenta a probabilidade de errar bits mas também diminui a razão do código. O número de hipóteses da síndrome, n k, corresponde sempre ao número total de bits n indicando que bit está errado, mais a hipótese 0 indicando ausência de erro.

173 Codificação para controlo de erros 67 Utilizando bits de redundância é gerado um código (3,), corresponde a um código de repetição de 3 bits. No entanto este não é considerado como tal, embora gozando de todas as propriedades dos códigos de Hamming: m3 p p À mediada que o número total de bits do código, n, aumenta, a probabilidade de se errar bits e não ser possível a correção aumenta, aumentando a probabilidade de erro após correção, tendo como contrapartida o aumento da razão do código. Para 4 bits de paridade o código corresponde a um código H(5,), com 4 bits de paridade a síndrome gera 6 hipóteses, sendo possível corrigir de 5 bits: m5 m4 m3 m m m0 m9 p8 m7 m6 m5 p4 m3 p p O procedimento de codificação e descodificação é idêntico ao do código H(7,4). Na codificação, tomam-se os bits de informação com nível lógico e escrevem-se as respetivas conversões para binário do seu índice. Os bits de paridade correspondem pela ordem (p8-p) à paridade par dos bits do mesmo peso. Na descodificação repete-se o procedimento incluindo os bits de paridade para encontrar a síndrome, correspondendo a sua leitura em decimal ao bit errado. Caso a síndrome dê 0 não há erros. O número de hipóteses da síndrome, n k, corresponde sempre ao número total de bits n indicando que bit está errado, mais a hipótese 0 indicando ausência de erro. 3. Códigos cíclicos Os códigos cíclicos são uma subclasse dos códigos lineares, com uma estrutura algébrica bem definida e simples de implementar. O princípio dos códigos cíclicos é o seguinte: suponha-se um número a enviar entre o transmissor e o recetor. No transmissor, faça-se a divisão inteira deste número por um dividendo conhecido no transmissor e no recetor. É enviado o número original e o resto da divisão inteira. No recetor é subtraído o resto e novamente efetuada a divisão. Caso o resto seja zero é

174 68 Transmissão de dados Carlos Meneses considerado que não há erros. Erros em que resulte um resto diferente de zero serão detetados. Aplicando este princípio para transmissão binária, considerando: m(x) polinómio de grau k ( k bits ou coeficientes do polinómio, tomando valores 0 ou, correspondentes à mensagem a enviar 0 ); g(x) divisor ou polinómio gerador, de grau n k; r(x) polinómio correspondente aos resto da divisão inteira em (módulo-) com g(x), de grau n k (com n k coeficientes); tem-se que, m(x)x n k g(x) = q(x) + r(x) g(x), (4.6) e, m(x)x n k r(x) g(x) = q(x) + r(x) r(x) = q(x). (4.7) g(x) g(x) As palavras de código correspondem a T(x) = m(x)x n k r(x), equivalente a colocar os n k bits de r(x) nos bits à direita de m(x)x n k (somar ou subtrair é idêntico). O polinómio m(x) tem exatamente k bits e são adicionados n k bits de redundância (resto) pelo que este código corresponde a um código (n, k). No recetor o polinómio recebido é também dividido por g(x), não se obtendo resto como resulta da equação 4.7. Como consequência todas as palavras de código são múltiplas (módulo-) do polinómio gerador g(x). Havendo erros representados pelo padrão de erro da equação 4., o que é recebido é T(x) + E(x). Este polinómio é dividido pelo polinómio gerador para se verificar o resto: T(x)+E(x) g(x) = T(x) g(x) + E(x) g(x). (4.8) 0 Para x= os polinómios correspondem à leitura dos bits em binário.

175 Codificação para controlo de erros 69 Como T(x) g(x) produz resto zero, os erros só não são detetados se E x gx não produzir resto zero. Esta situação dá-se quando o padrão de erro é múltiplo do polinómio gerador, coincidindo com uma das palavras de código. A mesma conclusão é tirada da propriedade dos códigos lineares segundo a qual os padrões de erro correspondentes às palavras de código não são detetados. Se uma palavra de código for rodada para a esquerda, colocando o coeficiente de ordem n na posição do coeficiente de ordem 0, o resultado é outra palavra de código. É esta característica que dá o nome de códigos cíclicos. É também a estrutura cíclica que torna este código fácil de implementar. Contudo, para se garantir que um código com dimensão n é cíclico, duas condições devem ser satisfeitas: g(x) tem que ser um fator de x n ; O coeficiente de ordem 0 de g(x) tem que ser. Se a segunda condição não fosse satisfeita, o bit mais à direita do resto e portanto das palavras de código seria sempre 0, independentemente dos bits a transmitir, o que para além de tornar o código não cíclico é inútil. 3..Códigos cíclicos como códigos de correção Para além das condições para que o código seja cíclico, para corrigir t bits o número de bits de redundância a introduzir deverá satisfazer o limite de Hamming dado pela equação 4.. Uma escolha apropriada do polinómio gerador deverá ainda atender à distância mínima de Hamming, satisfazendo a equação 4.9-b. A informação sobre quais os bits errados é dada pelo resto, que opera como síndrome. Apresentam-se três exemplos de polinómios geradores: os polinómios dos códigos H(7,4) e H(5,), com distância mínima de Hamming de 3; e o polinómio do código de Goley (3, ), com distância mínima de Hamming de 7, único código perfeito conhecido para correção de 3 bit. Hamming (7,4) (m5 m7 m6 m3) x 3 +x+ Hamming (5,) x 4 +x+ (4.9) Código de Goley (3, ) x +x 9 +x 7 + x 6 +x 5 +x+

176 70 Transmissão de dados Carlos Meneses 3.. CRC Verificação cíclica de redundância Na transmissão de pacotes em redes de computadores estes atingem uma dimensão de centenas ou mesmo milhares de bits, sendo de dimensão variável. A implementação de códigos corretores para estas dimensões é uma tarefa complexa, nomeadamente na presença de erros em rajada. Contudo, para o código funcionar apenas como detetor de erros, basta verificar se o resto é diferente de zero. O resto não opera como síndrome, pelo que não há qualquer restrição ao número de bits de informação em relação à dimensão total do código. Note-se que o código deixa de ser cíclico uma vez que g(x) deixa de ser um fator de x n. Daqui se conclui que, quando se pretende apenas detetar erros, qualquer polinómio gerador pode ser utilizado qualquer que seja a dimensão dos bits a transmitir. Neste contexto os códigos cíclicos tomam o nome de códigos de verificação cíclica de redundância (CRC Cyclic redundancy check). Uma das grandes vantagens do código CRC é como detetor de rajadas de erros. Segundo a equação 4.8, não se deteta erros se o padrão de erro for múltiplo do polinómio gerador. Relembrando que uma rajada começa e acaba sempre com um erro, existem três casos a serem considerados: Rajadas de comprimento menor ou igual ao grau (n k) do polinómio g(x) não poderão corresponder aos seus múltiplos e são todas detetadas; Para rajadas com comprimento (n k+) existe apenas um padrão de erro múltiplo de g(x), que condiz exatamente com g(x), em (n k ) padrões de erro possíveis, devidas a (n k+) bits no interior da rajada. Assumindo que estes padrões são equiprováveis, vem para a relação de rajadas não detetadas: (n k ) = (n k ), (4.30) definindo relação de rajadas não detetadas como a relação entre o número de rajadas não detetadas e o número total de rajadas;

177 Codificação para controlo de erros 7 Para rajadas de comprimento (n k+) existe apenas um múltiplo de g(x) em ( ) nk padrões de erro possíveis, devidas a (n k+) bits no interior da rajada. Por cada bit que se aumenta no comprimento da rajada o número de padrões de erro diferentes duplica mas também duplica o número de múltiplos de g(x), mantendo-se a mesma relação (n k). A relação total de rajadas não detetadas numa trama, BFER, (Burst frame error rate) entre o número de rajadas não detetadas e o número total de rajadas, corresponde ao valor médio das três situações anteriores. Dado que o somatório de padrões de erro da situação () iguala os da situação (), a sua média iguala a da situação (3). A relação de rajadas não detetadas BFER, assumindo que todas as dimensões de rajadas de erros e todos os padrões de erro são equiprováveis, vem: BFER = nº rajadas não detetadas nº total de rajadas = (n k). (4.3) Apesar da dimensão do polinómio gerador não estar à partida definido, este é um parâmetro importante que determina o comprimento das rajadas de erros a detetar. Com o aumento da dimensão (n k) do polinómio gerador, a razão do código diminui. Contudo, aumenta o comprimento mínimo (n k) das rajadas sempre detetadas e diminui, segundo a equação 4.3, a relação de rajadas não detetadas. Note-se ainda que, mesmo para um polinómio gerador com uma ordem moderada, são detetados a maioria dos padrões de erro. Alguns exemplos de polinómios utilizados como CRC são: Paridade x+ CRC 5 USB x 5 +x + CRC8 ITU T x 8 +x 7 +x 3 +x + (4.3) CRC6 ITU T x 6 +x +x 5 + CRC6 (USA) x 6 +x 5 +x + Os códigos CRC são utilizados por exemplo na interface USB e em redes de computadores, ou na escrita e leitura de ficheiros em computadores.

178 7 Transmissão de dados Carlos Meneses 3.3 IP Checksum Um código robusto de deteção de erros, embora não linear, é o código IP checksum (soma de verificação), utilizado na deteção de erros dos cabeçalhos do protocolo TCP/IP. Considere-se que se divide os bits de informação em sub-blocos, M i, com dimensão (n k) bits. O código IP checksum utiliza sub-blocos de dimensão de 6 bits. O checksum corresponde ao complemento para um (negação) da adição a (n k) bits em complemento para um de todos os sub-blocos. CS = ~X = ~(M + M + M 3 + M 4 + +M j ). (4.33) A adição em complemento para um tem a mesma dimensão das parcelas, qualquer que seja o número de parcelas, pois, ao contrário da adição vulgar, os bits de arrasto são adicionados aos bits menos significativos. O checksum tem portanto (n k) bits correspondendo aos bits de redundância. O código é sistemático, sendo a palavra de código constituída pelos bits de informação e pelo checksum. A adição em complemento para um para um goza das propriedades comutativa e associativa da adição vulgar, M + M + M 3 + M 4 + +M j = ((((M + M ) + M 3 ) + M 4 ) + + M j ) = (M + M ) + (M 3 + M 4 ) + + M j. (4.34) Estas propriedades podem ser utilizadas para diminuir a complexidade na implementação, quer em hardware quer em software, nomeadamente efetuando a adição aos pares ou em paralelo. No recetor, repete-se o procedimento do transmissor, incluindo o checksum. Correspondendo o checksum ao complemento para um da adição em complemento para um, o resultado final é zero: ~(X + CS) = ~(X + ~X) = 0. (4.35) Caso este valor não seja 0 é porque foram produzidos erros entre o transmissor e o recetor e o pacote deve ser retransmitido.

179 Codificação para controlo de erros Discussão sobre controlo de erros Foram apresentados alguns dos principais códigos de bloco de controlo de erros e suas limitações e os seus atributos são sintetizados na Tabela 4.. Código Deteção de rajadas d min [bit] l [bit] t [bit] R c BER Paridade Não 0 n n (n )BER Repetição Não n (n ) n n C n n+ BER n+ BCC Sim 4 3 (cl )(li ) cl li Hamming Não 3 3 (n )BER CRC Sim Sim IP-checksum Não Sim 0 Tabela 4. Comparação dos codificadores de controlo de erros em termos de atributos. Como se pode verificar, existem compromissos entre os diversos códigos, não existindo nenhum com melhor desempenho para todos os seus atributos. Na escolha de um código é necessário levar em conta os seus atributos: razão de código, medida da quantidade de redundância introduzida; capacidade de deteção e correção, medida do número de erros que um código é capaz de detetar e corrigir; probabilidade de erro após controlo, medida efetiva do ganho da introdução do código; capacidade de deteção de erros em rajada. Todos os códigos podem operar como detetores de erros, mas só alguns códigos operam como corretores de erros. Estão neste último caso os códigos BCC, Repetição e Hamming. Como resultado do limite de Hamming dado pelo mínimo da inequação 4., quanto maior o número de bits a corrigir maior o número de bits redundantes a colocar, diminuindo e portanto piorando a razão do código. Por exemplo num código de

180 74 Transmissão de dados Carlos Meneses repetição, como mostrado na figura 4.8, quanto maior for o número de bits repetidos mais bits se conseguem corrigir mas a razão do código decai também muito rapidamente E-04.E-08.E-.E-6.E-0 R(5) R(3)=H(3,) H(7,4) H(5,) H(3,6).E-4.E-8.E-3 BER'.E-36.E-40.E-44.E-48.E-5.E-56.E-60.E-64.E-68.E-7 R(3) Razão do código Figura 4.8 Desempenho dos códigos de repetição e códigos de Hamming. Exemplo com para BER=0-5. A probabilidade de erro após correção é tanto maior (pior) quanto maior (melhor) for a razão do código. Também através do limite de Hamming se verifica o compromisso entre a razão do código e a probabilidade de erro após controlo de erros. Por exemplo, assumindo a mesma probabilidade de erro no canal, códigos diferentes mas com a mesma capacidade de correção podem apresentar probabilidade de erro após correção diferentes, dependendo da razão do código. É o caso dos códigos de Hamming (incluindo o código de repetição de 3 bits) que têm, todos, capacidade de correção de bit, mas apresentam probabilidades de erro após correção diferentes, como mostrado na figura 4.8, sendo melhores (menores) para razões de código piores (menores). Estes códigos, mantendo constante a capacidade de corrigir bit, melhoram a razão do código à medida que vão protegendo maior número de bits de informação, pois a probabilidade de ter um erro à medida que a dimensão do bloco aumenta também aumenta.

181 Codificação para controlo de erros 75 Com a introdução dos códigos de controlo de erros vai-se introduzir bits de redundância. Assumindo que se quer manter o débito binário dos bits de informação, vai ter de se aumentar o débito binário e, mantendo amplitude dos símbolos, a energia de cada símbolo vai diminuir. Como consequência a probabilidade de erro antes da correção vai aumentar, mas espera-se que, após correção, o valor da probabilidade de erro seja mais baixo que o valor sem codificação. Dependendo do código e da probabilidade antes da correção, contudo, nem sempre esta melhoria acontece, como se pode verificar na figura 4.9, exemplo para o código de repetição de 3 (R3) e código de linha binário polar. Figura 4.9 Desempenho do código R3 com a relação Eb/No. Só vale a pena utilizar o código de correção R(3) em polar acima dos 6, db. Utilizando 9,35 db com controlo de erros obtém-se o mesmo desempenho que com,35 db (+3 db, o dobro da energia) sem controlo de erros.

182 76 Transmissão de dados Carlos Meneses Para o código R(3) só acima dos 6, db de relação Eb/No o código é eficaz. Isto deve-se ao facto de o código conseguir corrigir apenas um bit e abaixo deste valor a probabilidade de serem cometidos erros ser grande, pelo que o próprio descodificador comete um terceiro erro ao tentar corrigir. Acima deste valor a probabilidade de existirem erros vai diminuindo e a melhoria pela introdução do código é cada vez maior. Por exemplo, como se pode verificar na tabela 4., para 9,35 db de relação Eb/No com controlo de erros obtém-se uma melhoria na probabilidade de erro de mais de vezes. Para se obter a mesma qualidade sem controlo de erros seria necessário aumentar 3 db na relação Eb/No, ou seja, seria necessário duplicar a energia de bit. Sem código Com código R3 BER (Eb/No=6, db) x0-3 x0-3 BER (Eb/No=9,35 db),68x0-5,84x0-9 Eb/No db (BER=,84x0-9 ) 9,35,35 Tabela 4. Desempenho do código R3 com a relação Eb/No. Dos códigos apresentados apenas os códigos de repetição e de Hamming têm o número de bits à entrada (k) do codificador fixos. Em todos os outros códigos é possível utilizar à entrada do codificador um número arbitrário de bits, o que os torna bons candidatos no caso do envio de pacotes em que a sua dimensão não é fixa. É ainda apresentado o interleaving, procedimento para lidar com erros em rajada mas utilizando códigos para erros aleatórios. Como código para lidar diretamente com os erros em rajada é apresentado o CRC e calculada a respetiva relação de rajadas não detetadas, que funciona como medida de qualidade da transmissão na presença deste tipo de erros.

183 Discussão sobre controlo de erros 77 Apêndices Principais Equações Perguntas Teóricas Exercícios Resolvidos Exercícios Propostos Exercícios em MATLAB

184 78 Apêndices Carlos Meneses Apêndice Estimação estatística da potência de um sinal Assumindo um sinal x t com função densidade de probabilidade das amplitudes f x verifica-se que o seu valor médio corresponde à componente contínua e o valor esperado de segunda ordem corresponde à potência do sinal: T / x lim xt dt xf xdx T T (A..) T / T / Px lim x t dt x f xdx T T (A..) T / Tem-se ainda que, P P P, (A..3) x x x xdc xac em que P xdc é a potência da componente contínua e PxAC a po ncia da componente AC ou variável. Se a componente DC for 0 V, o que acontece na maioria dos sinais de interesse: P x x x 0 f xdx Estes conceitos podem ser estendidos a sinais discretos: (A..4) N / x lim xn xf xdx N N (A..5) n. N / N / Px lim x n x f xdx N N (A..6) nn / O que estas equações traduzem é que não é preciso conhecer um sinal em todos os instantes, mas apenas a função densidade de probabilidade das amplitudes, para estimar a sua componente contínua e a sua potência. Esta conclusão é de extrema utilidade quando se analisam sinais aleatórios como o ruído (e.g. com distribuição de amplitudes uniforme ou normal).

185 Apêndice Estimação estatística da potência de um sinal 79 Exemplo: Calcule o valor da componente contínua e a potência de um sinal dente de serra mt com período T0 e amplitude m max. No domínio do tempo, uma vez que o sinal é periódico, o valor médio é dado por, m DC T 0 T0 m T T0 0 max m t dt T0 max T0 T0 m tdt T max 0 t T0 T0 m T max 0 T0 4 T0 4 0 P m T 0 T0 m T T0 0 max t 4m dt T max 3 0 T0 T0 4m t dt 3T max 3 0 t T0 3 T0 4m 3T max 3 0 T T 0 m 8 3 max Uma vez que as amplitudes do sinal dente de serra tem distribuição uniforme entre, mmax e mmax max max m mmax mmax mdc mf mdm 0 mdx (A..7) m 4m 4m max m m max max m m max max P x max m max 3 max 3 3 m mmax mmax mmax m f mdm m dx m (A..8) 6m 6m 3 m max max Segundo as equações A.. e A.., o cálculo no domínio do tempo ou no domínio das amplitudes dão valores iguais. m m max max

186 80 Apêndices Carlos Meneses Apêndice Decibéis O Decibel (db) é uma unidade que expressa a relação entre duas grandezas físicas, geralmente entre duas potências (S e S ), através de uma escala logarítmica, sendo definido como: 0log 0 ( S S ). (A..) O Decibel corresponde a um décimo de Bel, nome atribuído em homenagem ao fundador da companhia de telefones Bell (877), nos Estados Unidos da América. Seguidamente apresentam-se utilizações típicas do Decibel enquanto medida: Relação sinal ruído Medida de qualidade entre dois sinais analógicos que deveriam ser iguais, mas em que um deles (normalmente os sinal de saída de um sistema) está contaminado com ruído. Mede-se assim a qualidade através da SNR (Signal to noise ratio), relação entre a potência do sinal (P) e a potência do ruído (N): SNR db = 0log 0 ( P N ). (A..) Atenuação Relação entre a potência de entrada e a potência de saída de um sistema que atenua um sinal, por exemplo um canal de comunicação, em que a potência do sinal no recetor, S R é menor que a potência no transmissor, S T : em que A t é a atenuação em relação linear. At db = 0log 0 ( S T S R ) = 0log 0 (A t ), (A..3) Amplificação Relação entre a potência de saída (S o ) e entrada (S i ) de um sistema (e.g. amplificador) que amplifica um sinal: G db = 0log 0 ( S o S i ) = 0log 0 (G) = 0log 0 ( v o v i ), (A..4) considerando v o e v i respetivamente como as tensões de saída e entrada do sistema (assumindo sobre a mesma carga).

187 Apêndice Decibéis 8 Decibel como valor absoluto Um valor de potência é expresso em relação a um valor de referência, como por exemplo W, dando origem à unidade dbw: S dbw = 0log 0 ( S ). (A..5) Note-se que, por exemplo, que uma potência de W corresponde a 0 dbw, W a 3 dbw, 0 W a 0 dbw e mw a 30 dbw. Sinais com potência menor que W tornam o valor em dbw negativo, o que é evitado tomando como referência mw em vez de W, definido como dbm (ou mesmo W, definindo-se como db): Para converter potencias em dbw para dbm tem-se que: S dbm = 0log 0 ( S 0 3). (A..6) S dbm = 0log 0 ( S 0 3) = 0log 0(S) + 0log 0 ( 0 3) = S dbw (A..7) As principais vantagens da utilização do Decibel são: - O resultado dos ganhos e atenuações de sistemas consecutivos correspondem à sua soma (ou subtração) em decibéis, e não à multiplicação (ou divisão); S odbw = 0log 0 ( S o ) = 0log 0(S i G) = S idbw + G db ; (A..8) S RdBW = 0log 0 ( S R ) = 0log 0 ( S T A t ) = S TdBW At db. (A..9) - Transforma números muito pequenos ou muito grandes em números mais fáceis de operar; - Na acústica, está mais próximo da sensibilidade do ouvido humano, que tem uma resposta logarítmica da sensação em relação à potência (relativa à potência de referência de 0 - W/m ou pa (pascal), denominada SPL Sound Pressure Level).

188 8 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 3 Algoritmo de quantificação ótima Entradas: Número L de valores de quantificação; Histograma normalizado dos valores de entrada m i : i=:k; k>>l; Histograma normalizado dos valores de entrada f M (m i ): i=:k; Índice de distorção ; Inicialização: ) Calculam-se arbitrariamente L níveis de quantificação v j ; j=:l; (e.g.: quantificação uniforme); ) Assume-se a potência do ruído de quantificação da iteração, ( ) ; 3) Ordem de iteração n=0; q Iteração: ) Calculam-se os espaços S j, j=:l com m i S j se, (m i v j ) (m i v l ), l j, l=:l; j=:l; ) Calcula-se a potência do ruído de quantificação da iteração n, ( n ), m v f ( m ) ( n) m, m i S j ; q j i i q ( n ) q ( n) 3) Se calculam-se as saídas e termina-se o algoritmo; ( n) q 4) Calculam-se novos valores de quantificação como a média normalizada dos espaços S j : j i 5) Incrementa-se n e retorna-se ao ponto ); v i i j mi f M ( mi ) j=:l, m f ( m ) i S j ; M i q Saídas: Valores de quantificação: v j, j=:l Valores de decisão: (L ) valores equidistantes dos valores de quantificação;

189 Apêndice 4 Parecença entre sinais e vetores 83 Apêndice 4 Parecença entre sinais e vetores x ac c e c t xt a c t e t Pretende-se representar o vetor x à custa do vetor de base c, por, ac, de modo que a norma do vetor de erro e resultante da representação seja a menor possível. Esta representação dá-se pela projeção na ortogonal, ou seja, pelo produto interno entre x e c, normalizado pela norma ao quadrado do vetor de base, a x, c, c, c Pretende-se representar o sinal de energia t t, por, x à custa do sinal de base a c t, de modo que a energia Ee do sinal de erro e t resultante da representação seja a menor possível. Esta representação dá-se pela projeção na ortogonal. c E e e t dt x t ac t dt. Para minimizar E e é necessário derivar a sua expressão em ordem a a e igualar a 0. a E e a x t a c t xt a ct dt 0 x c cos( ) a. (A.4.) c a c t xt c t dt 0 x t c t c a. (A.4.) dt t Comparando as equações A.4. e A.4., as equações são análogas, desde que se denomine produto interno entre dois sinais de energia dt x t e t y, t yt xt yt x, dt. (A.4.3)

190 84 Apêndices Carlos Meneses x ac ac ac a c t t a c t a c t x c c t ac c c t a c t Se a base for composta por mais do que uma direção, a projeção em cada um dos vetores de base c n é dada por, a x, c n n. cn, cn Se a base for ortogonal (vetores de base ortogonais, pelo que o seu produto interno é 0) e completa, o vetor x é representado pela soma das suas componentes em cada direção, x a c n n. n Pelo teorema de Pitágoras generalizado, o quadrado da norma do vetor x pode ser calculado pela soma dos quadrados das normas das componentes, x a n c n. n Pitágoras, viveu por volta de a.c.. Grego. Filósofo e Matemático. Se a base for composta por mais do que um sinal, a projeção em cada um dos sinais de base c n t é dada por, t t x, c a n n c ( t), c ( t). n Se a base for ortogonal (sinais de base ortogonais, pelo que o seu produto interno é 0) e completa, o sinal x t é representado pela soma das suas componentes em cada direção, x t n t a c. n Pelo teorema de Rayleigh, a energia do sinal xt pode ser calculada pela soma das energias das suas componentes, E x n O mesmo tipo de analogia se pode fazer para sinais de potência, pelo que: xt, yt lim xt ct dt, T T T e em particular para sinais periódicos: x a T n n n E T en t, yt xt ct 0 T0 Por analogia com a análise vetorial, a raiz quadrada da potência, denominada de valor médio quadrático ou RMS, pode ser denominada de norma.. dt

191 Apêndice 5 Função de autocorrelação 85 Apêndice 5 Função de autocorrelação A função de autocorrelação temporal (não estatística) de sinais discretos é definida por N lim, (A.5.) N mnm n k R k N nn correspondendo ao produto interno do sinal com a sua versão deslocada de k amostras. A autocorrelação normalizada é dada pela relação entre a autocorrelação e a potência (autocorrelação de ordem 0), e torna esta independente da amplitude do sinal. r k R k R k. (A.5.) P R 0 A função de autocorrelação para sinais em tempo contínuo corresponde ao produto interno do sinal e da sua versão deslocada do tempo : R mt mt T Exemplo para uma sinusoide: t m f t T lim dt. (A.5.3) T T m max 0 cos, de período fundamental T o. Opta-se por a calcular em tempo contínuo e amostrar seguidamente. R m R / T max 0 T0 / 0 m cos f t m cos f ( t ) T 0 cos f cos4 f t f 0 max 0 dt f T / T / max mmax cos dt t T0 / T 0 T T0 / 0 Amostrando esta função com período T A autocorrelação normalizada vem: r mmax R cos f0 (A.5.4) vem, s kt s R k m R cos f0 rk R0 cos max 0 R k R f 0 k f (A.5.5) s f 0 cos k. (A.5.6) f s A autocorrelação de uma sinusoide não depende da fase inicial. A autocorrelação de uma sinusoide discreta depende da relação f 0 /f s e não dos seus valores absolutos.

192 86 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 6 Sinusoide com preditor unitário Prova que, V mmax, com preditor unitário, é exato para entrada sinusoidal: G p i. Pela equação 5.5, G p r ii. A autocorrelação de uma sinusoide normalizada (A.5.6) para uma amostra de atraso f 0 vem r cos, pelo que: G. p f s f 0 cos f s iii. Assumindo a aproximação da equação 5.0, m max f 0 f 0 f mmax cos mmax 4sin mmax sin Gp f s f s f V 0, (A.6.) que corresponde de facto, para uma sinusoide, à máxima variação no tempo T s, que se dá na zona de maior declive, ou seja, à volta de 0, como se pode verificar pela figura seguinte: m max sin(f o t s m max sin(f o T s ) -T s / T s / -m max sin(f o t) t Figura A.6. Maior variação de uma sinusoide amostrada. iv. Para DM e com a certeza que o sinal de entrada é uma sinusoide, f 0 V mmax sin, f s (A.6.) é uma melhor (menor) estimativa de do que a produzida por m f0. Estas aproximam-se se f f 0 s, pois nestas condições f f. (A.6.3) ' 0 0 m maxts mmax sin mmax f s fs max f s

193 Apêndice 7 Funções densidade espetral de potência em códigos de linha 87 Apêndice 7 Funções densidade espetral de potência em códigos de linha PNRZ PRZ UNRZ AMI Manchester NRZI MLT-3 G G G G G G G f f f f f f f A R A 4R f sinc (A.7.) b R b f sinc b R b (A.7.) A f A sinc f 4R b R (A.7.3) b 4 A R A R b b A R f f sinc sin (A.7.4) Rb Rb f sinc Rb sin f R b (A.7.5) f sinc (A.7.6) b R b A f f 6f sinc cos 0,5cos... R b Rb Rb Rb (A.7.6) Figura A.7. Funções densidade espetral de potência dos diversos códigos de linha binários. Potência de W e geração independente e equiprovável dos níveis lógicos.

194 88 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 8 Função complementar de erro A função Figura A.8. Distribuição normal ou gaussiana. erfc x está tabelada e é definida por: e sabendo que a área a tracejado é dada por: x erfc x e d Área y d y y y e y dy (A.8.) (A.8.) Fazendo a mudança de variável: y dy y d y y y y d y y y yd Área d y e y y d d y e d Área erfc d erfc y x, (A.8.3) d x. (A.8.4) y d erfc Nota: Q x x e x (A.8.5)

195 Apêndice 8 Função complementar de erro 89 x ½ erfc(x) x ½ erfc(x) x ½ erfc(x) 0 5,000E 0,339E ,709E 09 0,05 4,78E 0,05,87E 03 4,05 5,094E 09 0, 4,438E 0,,490E 03 4, 3,350E 09 0,5 4,60E 0,5,8E 03 4,5,9E 09 0, 3,886E 0, 9,34E 04 4,,48E 09 0,5 3,68E 0,5 7,34E 04 4,5 9,53E 0 0,3 3,357E 0,3 5,76E 04 4,3 5,967E 0 0,35 3,03E 0,35 4,446E 04 4,35 3,830E 0 0,4,858E 0,4 3,443E 04 4,4,446E 0 0,45,63E 0,45,653E 04 4,45,554E 0 0,5,398E 0,5,035E 04 4,5 9,83E 0,55,83E 0,55,553E 04 4,55 6,87E 0,6,98E 0,6,80E 04 4,6 3,875E 0,65,790E 0,65 8,94E 05 4,65,45E 0,7,6E 0,7 6,77E 05 4,7,498E 0,75,444E 0,75 5,03E 05 4,75 9,43E 0,8,89E 0,8 3,75E 05 4,8 5,676E 0,85,47E 0,85,783E 05 4,85 3,469E 0,9,05E 0,9,055E 05 4,9,09E 0,95 8,955E 0,95,50E 05 4,95,77E 7,865E 0 3,05E ,687E 3,05 6,878E 0 3,05 8,040E 06 5,05 4,606E 3, 5,990E 0 3, 5,84E 06 5,,747E 3,5 5,94E 0 3,5 4,99E 06 5,5,630E 3, 4,484E 0 3, 3,03E 06 5, 9,66E 4,5 3,855E 0 3,5,5E 06 5,5 5,657E 4,3 3,300E 0 3,3,59E 06 5,3 3,308E 4,35,8E 0 3,35,08E 06 5,35,96E 4,4,386E 0 3,4 7,60E 07 5,4,6E 4,45,05E 0 3,45 5,330E 07 5,45 6,439E 5,5,695E 0 3,5 3,75E 07 5,5 3,664E 5,55,49E 0 3,55,577E 07 5,55,09E 5,6,83E 0 3,6,779E 07 5,6,66E 5,65 9,8E 03 3,65,E 07 5,65 6,66E 6,7 8,05E 03 3,7 8,358E 08 5,7 3,886E 6,75 6,664E 03 3,75 5,686E 08 5,75,0E 6,8 5,455E 03 3,8 3,850E 08 5,8,0E 6,85 4,444E 03 3,85,594E 08 5,85 5,55E 7,9 3,605E 03 3,9,740E 08 5,9 5,55E 7,95,90E 03 3,95,6E 08 5,95 0,000E+00

196 90 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 9 BER com critério MAP Numa transmissão binária num canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) em que os símbolos não têm a mesma probabilidade, a distribuição do ruído no instante de amostragem é ilustrado pela figura: Figura A.9. Funções densidade de probabilidade com critério MAP. Assumindo um critério de máximo a posterior (MAP), retira-se da figura: d y opt y 0 opt d 0, (A.9.) p d p0 d0 BER p p0 p0 p0 erfc erfc n n. (A.9.) Note-se que estas equações são válidas para qualquer valor de, p 0 e p, e não apenas para a situação ótima. O valor ótimo de decisão, ot, é o ponto y de intersecção das densidades espetrais de potência do ruído, distribuições normal com variância idêntica respetivas probabilidades a priori: n, pesadas pelas y "" p0 f y "0" y ot p f. (A.9.3)

197 Apêndice 9 BER com critério MAP 9 Desta equação, após alguma manipulação algébrica, obtêm-se: y y0 n p0 ln ot. (A.9.4) p y y0 0,9 pf(y "") 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 p0f(y "0") 0, 0, 0 ot y - -0,5 0 0,5 0,45 0,4 BER 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0 ot -=y0-0,5 0 0,5 y= Figura A.9. BER em função do valor de decisão. Assume-se y0= ; y=; p0=0,5, p=0,85, 0, 4 Em cima: Funções densidade de probabilidade de y para cada um dos níveis lógicos. Em baixo: BER em função do valor de decisão. O valor ótimo de decisão ot = 0,347 (equação A.9.4), a que corresponde o mínimo da BER de 0,037 (equação A.9.). n

198 9 Apêndices Carlos Meneses Apêndice 0 Largura de banda equivalente do ruído Função densidade espetral de potência do sinal de entrada: Função densidade espetral de potência do sinal de saída: Potência do sinal de saída: P y [W] Resposta em frequência do filtro: H f [ ] Densidade espetral de potência do ruído branco: Potência do ruído na saída do filtro: n [W] Largura de banda equivalente do ruído: Área equivalente do ruído: A eq [Hz] B eq [Hz] G x f [W/Hz] G y f [W/Hz] G w f [W/Hz] Das relações de densidade espetral de potência num SLIT tem-se: f G f H f Gy, (A.0.) x P y G y f df G f H f x df. (A.0.) O ruído branco é caracterizado por ter uma função densidade espetral de potência constante para todas as frequências: f N 0 G w. (A.0.3) Tendo o sinal de entrada uma distribuição de amplitudes normal, a distribuição das amplitudes do sinal de saída é também normal. Tendo o filtro à entrada ruído branco, obtêm-se para a potência do ruído filtrado: N 0 n Gy f df Gw f H f df H f df. (A.0.4)

199 Apêndice 0 Largura de banda equivalente do ruído 93 Se o filtro tiver característica passa-baixo ideal de banda B e ganho g, N B 0 n g df N0Bg. (A.0.5) B Define-se largura de banda equivalente do ruído, em frequência arbitrária B eq, de um filtro de ganho g e resposta H f, como sendo a largura de banda de um filtro ideal com o mesmo ganho g e cuja saída produza a mesma potência do ruído. Igualando as equações A.0.4 e A.0.5 tem-se que: B eq H f g df. (A.0.6) Define-se a área equivalente do ruído como: A eq f B g H df h( t) dt, (A.0.7) eq correspondente ao dobro da largura de banda (bilateral) de um filtro ideal com ganho unitário cuja saída gere a mesma potência do ruído que um filtro com ganho g. Da equação A.0.4 vem, para a potência do ruído à saída do filtro: N0 N0 N0 n H f df ht dt N0Beqg Aeq. (A.0.8) Note-se que quer a área equivalente quer a largura de banda equivalente referem-se a uma largura de banda e têm como unidades Hertz. Note-se ainda que o valor da área equivalente corresponde numericamente (A.0.7) à energia da resposta impulsiva do SLIT (embora tenha como unidades Hertz e não Joules).

200 94 Apêndices Carlos Meneses Apêndice BER em sistemas discretos ) Num canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) simulado discretamente, assumindo uma sequência de ruído branco gaussiano n Xun em que u n tem média nula e variância unitária, então: w com potência w e N / N / w lim w N N N nn / N n lim X u n X nn / X w. (A..) ) é a potência total do ruído entre f e. Para um sistema discreto w s f s assume-se uma frequência de amostragem normalizada f Hz. s N0 N0 w f s (A..) 3) O recetor ótimo discreto, com os símbolos definidos por T pontos, é representado pelo diagrama de blocos seguinte: Figura A.. Recetor ótimo binário discreto. 4) A potência do ruído n (figura 0.3) após a filtragem é dada por: No No n Aeq Ec Ec w. (A..3)

201 Apêndice BER em sistemas discretos 95 5) BER para qualquer código de linha polar: w b o b E erfc N E erfc BER (0.36) PNRZ e Manchester: TA A E E T n b PRZ: TA A E E T n b 6) BER para qualquer código de linha unipolar: 4 w b o b E erfc N E erfc BER (0.4) UNRZ: TA A E E T n b 7) BER para código de linha PAM M-ária com código Gray 0 min ) ( ) ( w T a erfc KM M N E erfc KM M BER (.7) T a E min (.) Nota: PNRZ é um caso particular de M-ária, com A=(a/), M= e K=. 8) BER para BQ (caso particular de M-ária com K= e M=4) w b T a erfc N E erfc BER (.8) T a E b 8 5 (.4-5-6)

202 96 Apêndices Carlos Meneses Apêndice Distribuição de probabilidade binomial A distribuição binomial de probabilidades é a distribuição do número de sucessos em n provas independentes, provas realizadas sempre nas mesmas condições, em que em cada prova só há resultados possíveis: sucesso ou insucesso. Dada a probabilidade, p, de sucesso numa prova, a função binomial é definida por: f n l n i n p C p p i,, i=0:n (A..) i n C i corresponde ao número de combinações em que podem ocorrerem i sucessos em n provas e é definida por: C n i n! (A..) n i! i! i p corresponde à probabilidade de i provas com sucesso e probabilidade das restantes n i provas não terem sucesso. p ni corresponde à A média e a variância da distribuição binomial são dadas respetivamente por: i np (A..3) np p (A..4) l A probabilidade de não ocorrer qualquer sucesso em n provas vem: f n, p p n e a probabilidade de ocorrer apenas um sucesso vem: 0, (A..5) n n n n, p C p ( p) np( p f. (A..6) ) A probabilidade de acontecerem até r provas com sucesso iguala a soma das respetivas probabilidades e é dada pela função de distribuição: F r r ni,. (A..7) n l r f i r n p f i n, p Ci p p l 0 l 0

203 Apêndice Distribuição de probabilidade binomial 97 ni Quando a probabilidade de sucesso da prova, p, é muito pequena, o termo pelo que a função de probabilidade, desde que i 0, simplifica-se para: f n i i n p C i p p,,, i=:n. (A..8) Quando, para além da probabilidade do sucesso ser pequena, a média np, a probabilidade de i+ provas com sucesso é muito menor que a probabilidade de i provas com sucesso: C n i n i i p Ci p, (A..9) pelo que a probabilidade de sucesso de mais do que r provas é aproximadamente igual à probabilidade de sucesso em r provas (aproximação ao primeiro termo), pelo que: f i r n p n r f i r n, p C p r,. (A..0),E+00,E-0,E-04,E-06,E-08,E-0,E-,E-4,E-6,E-8,E-0,E-,E-4,E-6,E-8,E-30 Número de provas Figura A.. Exemplo da função de probabilidade binomial Média np=0,0, probabilidade de sucesso p=0,00 e número de provas n=0 a 0.

204

205 Modulação de pulsos 99 Principais Equações Modulação de pulsos m t Sinal de entrada (analógico) [V] ou [A] m n Sinal de entrada (amostrado) [V] ou [A] W Máxima frequência do sinal de entrada [Hz] F s Frequência de amostragem [amostras/s] [Hz] R Número de bits de codificação por amostra [bit/amostra] [ ] R b Débito binário [bit/s] [Hz] P Potência do sinal de entrada [W] M max Amplitude do sinal de entrada [V] ou [A] P n Potência normalizada do sinal de entrada R[k] Autocorrelação do sinal de entrada [W] r[k] Autocorrelação normalizada do sinal de entrada [ ] V Máximo valor de quantificação em PCM [V] ou [A] q q Intervalo de quantificação em quantificação uniforme [V] ou [A] Potência do ruído de quantificação [W] SNR db SNR de quantificação em decibéis [db] V Máximo valor de quantificação do erro de predição em DPCM [V] ou [A] P e Potência do erro de predição [W] Gp Ganho de predição [ ] A Coeficiente de predição [ ] f Frequência equivalente à que produz a derivada máxima [Hz] Passo de quantificação em DM ' m max Derivada máxima G f Ganho de filtragem OSR Over sampling ratio Teorema de Nyquist-Shannon f s W (3.) Gerais q n mn m n. (3.3) R q R (3.7) b f s P SNR (3.9) q P P n (3.3) m max

206 00 Principais Equações Carlos Meneses r k 0 R k R Rk P (A.5.) Sinal com distribuição uniforme (com média nula): m max P (A..8) 3 P n m P max 3 Sinal sinusoidal: t m cos f t m max 0 P m max P n m P max R k r k f m cos max f 0 k f (A.5.5) s f 0 cos k (A.5.6) fs f m max sin (A.6.3) m ' max 0 s f s PCM uniforme: V q (3.6) R q q (3.8) PCM companding, Lei-A/Lei-, zona logarítmica: 3P SNR db 6,0R 0log 0 (3.0) V V m max (3.) SNR db 6,0R 0 (4.)

207 Modulação de pulsos 0 DPCM: 3P SNR db 6,0R 0 log 0 V (5.4) 3P mmax SNR db 6,0R 0log 0 0log 0 mmax V (5.6) ' m max V. (5.8) f s G p P m (aproximação na situação ótima de V P V ) (5.9) e max SNR db 3P GpdB 6,0R 0log 0 GpdB SNRPCMdBmn m (5.) max G p db 0log0 a ar Com preditor unitário: G G p db p db 0log 0log 0 0 r r ; ; a a r (5.4) ' m max V. (5.8) f s Entrada sinusoidal: f mmax sin (A.6.) f s V 0

208 0 Principais Equações Carlos Meneses DM: Rb f s (5.8) q (5.4) 3 Entrada sinusoidal: ' m max V (5.) f s mmax G p (5.7) r f mmax sin (A.6.) f s V 0 Sem ganho de filtragem: 3P SNR db 0log0 0log0 4, 77 Pn GpdB (5.5)(5.6) Com ganho de filtragem: G f f s OSR (5.9) W 3P SNR db 0log0OSR 0log0 (5.30) ADM: n n n bn b 0 (5.3)

209 Transmissão binária 03 Transmissão binária T b Tempo de símbolo [s] R b Débito binário [bit/s] [Hz] B T Largura de banda de sinal transmitido [Hz] Eficiência espetral [ ] [bit/s/hz] A Amplitude do código de linha [V] ou [A] s l Símbolo lógico =0 [V] ou [A] t E l Energia (normalizada) do símbolo =0 [J] E b S T S R A t t km Energia (normalizada) média por bit [J] Potência (normalizada) transmitida [W] Potência (normalizada) recebida [W] Atenuação A / Atenuação por quilómetro [/km] c N o/ SNR c B C T T t p p km Potência do ruído na banda do sinal [W] Potência por Hertz do ruído no canal de comunicação [W/Hz] [J] Relação sinal-ruído no canal de comunicação na banda do sinal Largura de banda do canal de comunicação [Hz] Atraso de transmissão [s] Atraso de propagação [s] T / Atraso de propagação por quilómetro [s/km] D v i N d ot l Dimensão do canal [m] Velocidade de propagação [m/s] Número de bits da trama Valor ótimo de decisão na deteção binária [V] ou [A] y Valor após filtragem sem ruído para o símbolo =0 [V] ou [A] BER n t Metade da distância entre símbolos após filtragem [V] ou [A] Probabilidade de erro de bit Potência do ruído no recetor após filtragem [W] c Vetor de base no recetor [V] ou [A] k A eq Fator de escala no vetor de base Área equivalente do ruído do filtro ótimo [Hz] Fator de roll-off

210 04 Principais Equações Carlos Meneses R b (8.) T b R B b (8.6) T S E l E T b 0 s t dt (8.) l E b E 0 E (8.4) b T EbRb (8.5) STdBW 0log0S T Tb Canal de comunicação: (A..5) S R Eb Rb Eb c N 0 B T (9.) SNRc (9.) B T BC (9.3) N B N c 0 T 0 S T 0 log (9.) SR AtdB 0 AtdB AtdB/ km 000 (9.) D i S RdBW D Tp (9.4) v S T 0 log SR 0 0 log STdBW AtdB A (A..9) t 0 N Tt (9.5) TT Tt Tp Tl (9.6) R b Descodificador de máxima verosimilhança: y 0 y y ot (0.5) y 0 d (0.0) d BER p p0 p0 p0 erfc x erfc. n (0.9) (A.8.3)

211 Transmissão binária 05 Filtro adaptado: A eq 0 t c t ks (0.5) T b T b 0 y y y 0 0 ke ke 0 unipolar polar (0.9) N 0 c t dt k s t dt k E (0.0) n Aeq (0.) Filtro adaptado normado: A (0.) eq k (0.3) E y y y E E polar unipolar (0.4) N 0 n (0.5) d BER erfc (0.6) N0 Código Binário Energia por bit E b DC Desvanecimento Códigos de linha binários Fácil Sincronismo º zero espetral B T Largura de Banda B T BER PNRZ PRZ UNRZ Manchester A T b Não () b Sim Não R b A A T b T b Não () Não Sim Rb () Sim Sim Não b A T b Não Não Sim Rb R erfc ( E b ) N o R b R b erfc ( E b N o ) R erfc ( E b ) N o R b erfc ( E b N o ) AMI A T b () Não Não Não () b R 3 4 erfc ( E b ) N o b R NRZI (unipolar) MLT-3 A A Tb T b Sim Sim Não b Não Sim Não R b R R b R b (3) 4 erfc ( E b N o ) 3 erfc ( E b N o ) Desde que com 50% de ocorrência de bits a cada nível lógico. Sim, mas apenas com código BNZS. 3 Baseado em 85% da energia e não no critério de Nyquist.

212 06 Principais Equações Carlos Meneses K M R T s E R b T b E s s b Transmissão M-ária Número de bits por símbolo Número de símbolos diferentes Débito de símbolos [símbolo/s] [baud] Tempo de símbolo [s] Energia média por símbolo [J] Débito binário [bit/s] [Hz] Tempo de símbolo [s] Energia (normalizada) média por bit [J] a Distância entre símbolos adjacentes [V] ou [A] E min Energia do símbolo com menor energia [J] B T Largura de banda de sinal transmitido [Hz] Eficiência espetral [ ] [bit/s/hz] SER Probabilidade de erro de símbolo BER Probabilidade de erro de bit C Capacidade de canal [bit/s] [Hz] K M (.) Ts KT b (.) R R b s K (.3) E s a ( M ) ( M ) Ts Emin (.4) E min T s a (.5) E E s b K (.6) Rs Rb BT K (.7) R B b T K. (.8)

213 Transmissão M-ária 07 ( M ) SER ercf M E N min 0 ( M ) ercf M 3K E b M N 0 (.) Código aleatório: Código Gray: K SER BER (.4) K SER BER (.6) K Código Largura de Banda B R b BQ 4 R b M-PAM K T Energia média por bit E b BER (Código Gray) 5 a T b b erfc 8 8 5N 0 ( M ) a K Tb 3 E ( M ) 3K E erfc KM b M N 0 Capacidade de canal (Lei de Hartley-Shannon) C B C S R log B c S R log N0B C C (.3)

214 08 Principais Equações Carlos Meneses Codificação para controlo de erros BER Probabilidade de erro de bit sem correção c Número total de palavras de código R c Razão do código n Dimensão em número de bits das palavras de código k Dimensão em número de bits antes da aplicação do código R b Débito binário no canal (com aplicação do código) [bit/s] [Hz] R b Débito binário da informação (sem aplicação do código) [bit/s] [Hz] BER Probabilidade de erro de bit após correção ou retransmissão T e Tempo médio entre erros de bit sem correção [s] T e Tempo médio entre erros de bit após correção ou retransmissão [s] P r Probabilidade de deteção de erro e retransmissão d min Distância mínima de Hamming [bit] [ ] t Número máximo de erros corrigidos l Número máximo de erros detetados li Número de linhas em interleaving b max Comprimento máximo da rajada corrigida em interleaving BFER Relação de rajadas não detetadas Distribuição Binomial (Valores aproximados, assumindo nber<<): f(i n, BER) = C i n BER i ( BER) n i C i n BER i (4.3) f(i ou mais n, BER) f(i n, BER) C i n BER i (4.5) f(0 n, BER) = ( BER) n (4.7) C n l n! (A7.) n l! l!

215 Codificação para controlo de erros 09 Gerais c = k (4.) R c = k n = R b R b (4.) erros = nber (4.6) T e = R b BER T e = R b BER (4.8) P r nber (4.9) l < d min (4.9-a) t d min (4.9-b) Limite de Hamming: n k t n j=0 C j (4.) (correção de bit) n k (n + ) (4.0) Interleaving: b max = t li (4.6) CRC: BFER = (n k) (4.3) Código Deteção de rajadas d min [bit] Capacidade de deteção l [bit] Capacidade de correção t [bit] Paridade Não 0 Repetição Não n (n ) n BCC Sim 4 3 Hamming Não 3 CRC Sim Sim IP-checksum Não Sim 0 Razão do código, R c n n n (cl )(li ) cl li Probabilidade de erro após controlo, BER (n )BER n C n+ BER n+ 3 (n )BER Código R c BER R(3) 0,333(3) 3BER R(5) 0, 0BER 3 H(7,4) 0,57 9BER H(5,) 0,73 BER

216

217 Perguntas teóricas Perguntas teóricas. (secção 5.3) Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) Em PCM companding, tira-se partido da correlação entre amostras para aumentar a relação sinal-ruído; b) Em DPCM, não é importante que tipo de preditor se está a usar para se calcular a relação sinal-ruído. Basta ser conhecido o valor do intervalo de quantificação.. (secção 5.3) Explique o mecanismo de adaptação do quantificador em ADPCM. 3. (secção 5) Em DM, que tipos de ruído existem? Existe algum compromisso entre eles? Que tipo de soluções conhece? 4. (secção 6) Compare, dizendo das vantagens e desvantagens, dos seguintes métodos de codificação de sinais de fala: PCM uniforme; PCM companding; DPCM; ADPCM; DM; ADM. 5. (secção 6) Das codificações apresentadas, em quais e porquê a potência do ruído depende do sinal de entrada? 6. (secção 6) Nos codificadores de sinais estudados, de que tipo de características dos sinais se tira partido para diminuir o débito binário? 7. (secção 6) Existe algum compromisso entre o débito binário, a qualidade e a complexidade? Dê exemplos. Quais as unidades de medição de cada um destes atributos? 8. (secção 8) Que atributos se devem ter em conta num código de linha? 9. (secção 8) Sabendo que numa linha telefónica não podem ser transmitidas componentes DC e que componentes DC localizadas sofrem de desvanecimento, comente a utilização do código Manchester por exemplo comparando com um PNRZ ou um UNRZ. 0. (secção 8) Compare as técnicas para facilitar o sincronismo, bit de enchimento e BNZS e 4B/5B, respondendo nomeadamente às seguintes questões: () Pode utilizar BNZS com qualquer código? () Com bit de enchimento aumenta o débito binário? E com BNZS? (3) Qual dos códigos tem menor eficiência em termos do débito binário final?. (secção 9) Como e que efeitos do canal de comunicação limitam a comunicação de sinais digitais?. (secção 8) Existe algum compromisso entre a eficiência espetral e a capacidade de sincronismo de símbolo? A técnica de bit de enchimento ou 4B/5B para ajudar ao sincronismo podem ser uma boa solução para este compromisso?

218 Perguntas teóricas Carlos Meneses 3. (secção 8) Quais as vantagens e desvantagens de utilizar, para definição da largura de banda, o critério de primeiro zero espetral ou o critério de Nyquist? 4. (secção 8) Que efeito se evita com um filtro de formatação de pulsos? Como é conseguido? 5. (secção 9) Para que serve o padrão de olho? 6. (secção 0) Quais as causas que leva a haver erros de bit numa transmissão digital? Como podem ser estes erros evitados/minimizados? 7. (secção 0) Explique o objetivo e o funcionamento do filtro adaptado de receção. 8. (secção 0) Em que limites se situa a probabilidade de erro de bit? 9. (secção 0) Diga se são verdadeiras ou falsas, justificando, as seguintes afirmações: a) O aumento do débito de símbolos faz diminuir a BER; b) A medida de qualidade de um sistema de comunicação digital é a SNR; c) Um código de linha com componente DC tem sempre um pior desempenho (maior BER) que o correspondente código sem componente DC. Estude duas situações distintas: ) mantendo a potência recebida; ) mantendo a distância entre símbolos. 0. (secção ) Compare os atributos dos códigos de linha PRZ e PNRZ.. (secção ) Quais as vantagens e desvantagens de uma transmissão binária em relação a uma transmissão M-ária?. (secção 3) Quais as vantagens e desvantagens da introdução de códigos de controlo de erros numa transmissão digital? 3. (secção 3) Existe algum compromisso entre a razão de um código de correção de erros e a probabilidade de erro de bit após correção? 4. (secção 3) Quais as vantagens e desvantagens entre os códigos de ( bit) de paridade e de Hamming? 5. (secção 3) Quais as vantagens e desvantagens entre os códigos de correção e de deteção de erros? Existe alguma gama de valores da probabilidade de erro de bit para a qual é preferível utilizar um ou outro método? Dê exemplos de aplicações que utilizem cada um dos métodos.

219 Exercícios resolvidos 3 Exercícios resolvidos. (secção 3.3) Produza quantificadores midtread e midrise com 8 intervalos de quantificação uniformes, para quantificar sinais até V. Defina um código numérico sequencial do valor mais pequeno para o mais elevado. Resolução: i. Pela equação 3.4, o intervalo de quantificação q=v/l=/8=50 mv. ii. Os valores de quantificação em midtread incluem o valor 0 V, somando e subtraindo desde aí q, não ultrapassando as tensões máximas ± V. iii. Os valores de decisão encontram-se a meio dos valores de quantificação, com exceção dos extremos cujos valores são ±. iv. Os valores de decisão em midrise incluem o 0 V, somando e subtraindo desde aí q, nunca ultrapassando as tensões máximas ± V, com exceção dos extremos cujos valores são ±. v. Os valores de quantificação estão a meio dos valores de decisão. vi. Numera-se cada valor de quantificação, sequencialmente, do valor mais pequeno para o mais elevado. Quantificação midtread Quantificação midrise Código Valores de Valores de Valores de Valores de dec/bin decisão quantificação decisão quantificação 0,875 7 () 0,875 0,75 0,75 0,65 6 (0) 0,65 0,5 0,5 0,375 5 (0) 0,375 0,5 0,5 0,5 4 (00) 0, ,5 3 (0) 0,5 0,5 0,5 0,375 (00) 0,375 0,5 0,5 0,65 (00) 0,65 0,75 0,75 0,875 0 (000)

220 4 Exercícios resolvidos Carlos Meneses. (secção 3.3) Utilize o quantificador midrise e consequente codificador do exercício para quantificar um sinal sinusoidal de amplitude V e frequência de.300 Hz (sen(.300t)), amostrado com amostras por segundo (8 khz). Represente as 8 primeiras amostras e a respetiva sequência binária transmitida. Calcule o débito binário. Resolução: i. A amostra de ordem n corresponde a substituir no sinal t por nt s.300 mn sen(.300t) sen n tnt s ii. Para cada amostra verifica-se em que intervalo do quantificador esta recai (tabela do exercício ) e o respetivo código. Amostra Amostragem Quantificação Codificação n m[n] m q [n] q[n] decimal binário 0 0,000 0,5 0, ,853 0,875 0,0 7 0,89 0,875 0, ,078 0,5 0, ,809 0,875 0, ,94 0,875 0, ,56 0,5 0, ,760 0,875 0,5 7 iii. A sequência binária a ser transmitida corresponde à concatenação por ordem temporal dos códigos em binário: iv. Note-se que para os cálculos do transmissor apenas é necessário conhecer os valores de decisão e respetiva codificação, não sendo necessário conhecer os valores de quantificação. No recetor apenas é necessário conhecer os valores de decisão e respetiva codificação, não sendo necessário conhecer os valores de quantificação. v. O Débito binário é de (equação 3.7) R b = f s R = 8.000x3 = 4 kbit/s.

221 Exercícios resolvidos 5 3. (secção 3) Suponha um sinal sinusoidal com amplitude V, amostrado a amostras/s e com um débito binário de 4 kbit/s. a) Calcule a potência do sinal, bem como a sua variância; b) Determine a SNRq de um codificador PCM uniforme com este sinal; Resolução: i. a) A potência de um sinal sinusoidal é dada por m max P 0, 5 W. Este valor corresponde à variância pois a média é 0 V. ii. b) Pelo teorema da amostragem a frequência mínima de amostragem (produz o débito binário mínimo) é o ritmo de Nyquist W=8 khz. iii. O número de bits por amostra, dado pela equação 3.7, é de 4/8=3 bits/amostra, a que correspondem 8 valores de quantificação. iv. Pela equação 3.4, o intervalo de quantificação q=/8=50 mv. vi. Utilizando a equação 3.8 a potência do ruído de quantificação vem: q q 0,005 W, pelo que a 0log P SNR db 0 9, 8 db. q vii. O mesmo valor pode ser obtido através da equação 3.0: 6 3P 3 0,5 SNR db,0r 0log0 6,0 3 0log0 9,8 db. V

222 6 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 4. (secção 3) Um CD de áudio contém sinais em estéreo amostrados a 44, khz e codificados em PCM uniforme com 6 bits por amostra. a) Quantos minutos de música podem ser gravados num CD de 700 Mbyte? b) Qual a banda máxima dos sinais contidos no CD? c) Suponha um sinal com uma distribuição de amplitudes uniforme entre e + V. Calcule a potência do sinal, bem como a sua variância; d) Determine a SNRq com este sinal; e) Determine a SNRq com um sinal de potência normalizada de 45 db; Resolução: i. a) O débito binário total em estéreo é de x6x4400=,4 Mbit/s. ii. Um CD com capacidade de 700 Mbyte (valor aproximado) poderá gravar até 8x700/,4 = 3968 segundos ou aproximadamente 66 minutos. iii. b) A banda máxima, pelo teorema de Nyquist-Shannon, é de metade da frequência de amostragem, ou seja,,05 khz. iv. c) A distribuição de amplitudes do sinal de entrada uniforme entre e + V, vale 0 fora do intervalo e ½ no intervalo para que a sua área seja. v. Sendo a função densidade de probabilidade simétrica à volta do valor 0 a média do sinal é 0 (equação A..7), pelo que a potência é igual à variância. m = f m (m)mdm = m max m m max mmax = (m 4m max m max ) = 0 V max vi. A equação genérica da potência de um sinal com distribuição uniforme amplitude m max é dada (equação A..8) por m max /3. vii. Calculando diretamente a potência (equação A..) vem, P = σ m = f m (m)m dm = m max 3 m3 m max mmax = 3 3 (m 6m max + m max ) = m max max 3 e = 3 W viii. d) A qualidade dos sinais CD áudio é de (equação 3.0). ix. SNR db = 6,0R + 0log 0 ( 3P V ) = 6, log 0 ( 3m max ) = 96,3 db 3m max x. e),0r 0log 3 0log P 96,3 0log , SNR db, db n 0

223 Exercícios resolvidos 7 mantendo elevada qualidade para uma larga gama de potência, embora à custa do elevado débito binário.

224 8 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 5. (secção 4.) Produza um quantificador companding Lei-A (A=87,56) com 8 intervalos de quantificação. Resolução: i. Gera-se um quantificador uniforme midrise (exercício ). ii. Gera-se o quantificador companding utilizando os valores do quantificador uniforme como entrada da não linearidade inversa da equação 4.9 (Lei-A). Quantificação uniforme Companding Lei-A Valores de decisão Valores de quantificação Valores de decisão Valores de quantificação 0,875 0,505 0,75 0,55 0,65 0,8 0,5 0,065 0,375 0,033 0,5 0,07 0,5 0, ,505 0,875 0,75 0,55 0,75 0,8 0,65 0,5 0,065 0,5 0,033 0,375 0,5 0,07 0,5 0,008 0, ,000 0,50 0,500 0,750,000

225 Exercícios resolvidos 9 6. (secção 3.) Suponha um sinal com uma distribuição de amplitudes uniforme entre e + V. A largura de banda do sinal é de 4 khz e pretende-se um débito binário máximo de 48 kbit/s. a) Calcule a potência do sinal; b) Determine a SNRq de um codificador PCM uniforme com este sinal; c) Suponha agora que utiliza um codificador PCM com companding usando Lei-A, sendo A=87,56. Calcule as percentagens de tempo em que o sinal está na zona linear e na zona logarítmica; d) Calcule a SNRq na situação correspondente à alínea anterior e compare com o resultado obtido com PCM uniforme. e) Qual a SNRq com quantificador ótimo para este sinal? Resolução: i. a) A equação genérica da potência de um sinal com distribuição uniforme e amplitude m max é dada por P=m max /3, pelo que a potência é /3 W. ii. b) Pelo teorema da amostragem a frequência mínima de amostragem (produz o débito binário mínimo) é o ritmo de Nyquist W=8 khz. iii. O número de bits por amostra, dado pela equação 3.7, são 48/8=6 bits/amostra. iv. A SNRq em PCM uniforme é dada pelas equações 3.0 ou P 3 SNR db,0r 0log 0 6,0 6 0log 0 36, db. V 3 v. c) A percentagem de tempo que o sinal se encontra na zona linear, m, A corresponde à área da função densidade de probabilidade nesta condição, ou seja, à área do retângulo de lados / e /A. Esta área vale /A. Como A=87,56, a percentagem de tempo é de,4%.

226 0 Exercícios resolvidos Carlos Meneses vi. A percentagem de tempo na zona logarítmica é a restante, ou seja, 0,04=0,9886=98,86%. vii. O sinal está praticamente sempre na zona logarítmica, pelo que a aproximação correspondente à equação 4. é válida. viii. d) A SNRq é de SNR db 6,0R 0 6, , db. ix. Este valor é menor que o obtido através de um PCM uniforme porque a potência normalizada do sinal de entrada é bastante grande ( 4,77 db). Como se verifica pela figura 4.5 a SNRq em PCM uniforme é melhor que em companding quando a potência normalizada está acima dos 4,77 db. x. e) O quantificador ótimo para um sinal com distribuição uniforme é de facto um quantificador uniforme. 36, db é assim a melhor SNRq em PCM.

227 Exercícios resolvidos 7. (secção 4.3) Suponha três quantificadores, cada um com 4 valores de quantificação, cujos valores de quantificação são apresentados em cada linha da tabela seguinte. A última linha corresponde ao código binário de codificação de cada valor de quantificação. Valores de quantificação Quantificador 0,8536 0,945 0,983 0,859 Quantificador 0,7485 0,463 0,535 0,755 Quantificador 3 0,3057 0,090 0,0948 0,306 Código Estes quantificadores são resultado do algoritmo de quantificação ótima Max-Lloyd, tendo como entrada as três funções densidade de probabilidade ilustradas na figura seguinte, referenciadas por a, b, e c Distribuiçao a x Distribuiçao b Distribuiçao c a) Identifique qual das funções densidade de probabilidade (a, b, c) corresponde a cada um dos quantificadores (,, 3). Explique. b) Para o quantificador, calcule os valores de decisão. c) Suponha amostras consecutivas com valores 0,5 0, e. Qual a sequência binária transmitida supondo o quantificador? d) Descodifique qual os valores representados pela sequência 000.

228 Exercícios resolvidos Carlos Meneses Resolução: i. a) As 3 funções densidade de probabilidade distinguem-se por a (a) estar mais concentrada na origem, a (b) ser praticamente uniforme, e a (c) estar mais concentrada nos valores maiores em módulo. Assim, a função (a) corresponde ao quantificador com valores menores, o quantificador (3). A função (c) ao quantificador com valores maiores, o (). À função (b) corresponde o quantificador que falta atribuir, o quantificador (), mas esta é de facto aquele que se aproxima de um quantificador uniforme. ii. b) Os valores de decisão estão a meio dos valores de quantificação (equação 3.). Assim: Valores de 0,8536 0,945 0,983 0,859 quantificação Valores de 0,574 0,009 0,5756 decisão Código iii. c) Para cada amostra verifica-se em que intervalo do quantificador esta recai (quantificação) e o respetivo código (codificação). 0,5 recai no intervalo [0,009 : 0,5756] a que corresponde o código 0 ; 0, recai no intervalo [ 0,574 : 0,009] a que corresponde o código 0 ; recai no intervalo [0,5756 : ] a que corresponde o código. As distribuições têm o valor máximo de, pelo que o quantificador está saturado; iv. A sequência binária a ser transmitida corresponde à concatenação por ordem temporal dos códigos em binário: 00. v. d) Divide-se a sequência em conjuntos de R= bits 0 00, correspondendo cada para ao código de cada amostra (3 amostras). vi. (Descodificação) Verifica-se para cada código o valor de quantificação, corresponde ao valor de quantificação 0,859 0 corresponde ao valor de quantificação 0, corresponde ao valor de quantificação 0,8536

229 Exercícios resolvidos 3 8. (secção 5.) Suponha um sinal sinusoidal de amplitude V e frequência 500 Hz, amostrado a Hz e codificado em DPCM unitário. O valor máximo do quantificador midrise é de 0,4 V. O número de bits de codificação por amostra é de. O valor de predição inicial é 0 V. Qual a sequência binária a ser transmitida para as 8 primeiras amostras? Resolução: i. Segue-se a metodologia do problema para projetar o quantificador: Valores de decisão 0, 0 0, Valores de quantificação dec/bin 0,3 3 () 0, (0) 0, (0) 0,3 0 (00) ii. As 8 primeiras amostras correspondem a substituir n por 0 até 7 na equação 500 mn sin( 500t) sin n tnt s iii. Assume-se um valor predito inicial de 0 V. iv. Calcula-se o erro de predição como a diferença entre a amostra de entrada e a sua predição. v. Quantifica-se este valor com o quantificador calculado em i). vi. Calcula-se a amostra quantificada como a soma do valor predito com o erro de predição quantificado. vii. Este valor corresponde ao valor predito da próxima amostra. viii. Repete-se iv) a vii) até à última amostra (Figura 4. a)). n m[n] mp[n] e[n] eq[n] mq[n] Código Ruído 0 0,00 0 0,00 0, 0, 0 0, 0,38 0, 0,8 0,3 0,4 0,0 0,7 0,4 0,3 0,3 0,7 0,0 3 0,9 0,7 0, 0,3 0,08 4,00 0,00 0,, 0 0, 5 0,9, 0,8 0, 0 0,08 6 0,7 0,9 0,3 0,7 00 0,0 7 0,38 0,7 0,3 0,3 0,4 00 0,0

230 4 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 9. (secção 5.) Suponha um codificador DPCM com preditor unitário e quantificador de 4 bits por amostra. O sinal de entrada é amostrado a 0 khz, tem uma amplitude de V, potência de 4/3 W e uma derivada máxima de V/s. a) Qual o débito binário? b) Qual o valor máximo de quantificação? c) Qual a relação sinal-ruído de quantificação? d) Qual o ganho de predição? e) Qual a potência do erro de predição? f) Qual a autocorrelação normalizada de ª ordem? g) Qual a autocorrelação de ª ordem? Resolução: i. a) O débito binário vem: R Rf bit/s ii. b) Pelo valor mínimo da inequação 5.8: b V m s T ' max s 0,5 V iii. c) A relação sinal-ruído de quantificação vem, pela equação 5.4: 3P 3 4 SNR db 6,0R 0log 6,0 4 0log 0 V 30,5 iv. d) O ganho de predição vem, pela equação 5.9: 0 P mmax Gp 6 (,04 db) P V 0,5 v. e) A potência do erro de predição vem, pela equação 5.9: P e p e P G 4 0,0833W 36 36, db. vi. f) A autocorrelação normalizada de ª ordem (preditor unitário), pela equação 5.4: G p r 0,5 p r 0, G vii. g) A autocorrelação de ª ordem vem, desnormalizando pela potência: r P, 9 G R W. p

231 Exercícios resolvidos 5 0. (secção 5.) Suponha um codificador DPCM com preditor unitário. O sinal de entrada é uma sinusoide amostrada a.566,37 Hz com amplitude de V e frequência.000 Hz. Qual o valor máximo de quantificação? Resolução: viii. Solução A derivada máxima vem: m ' max m f ,37 V/s max ix. Pelo valor mínimo da inequação 5.8, o valor máximo de quantificação vem, '.566,37 V m maxts V..566,37 m x. Solução A autocorrelação normalizada de ª ordem para uma sinusoide vem (A.5.6), r ,37 cos 0, xi. O ganho de predição vem, pela equação 5.5, G p r 0, xii. O valor máximo de quantificação vem, pela equação 5.0, 4, mmax 4 V 0,98966 V. 4, G p xiii. Solução 3 Utilizando a equação A.6.. f V mmax sin sin 0,98966 V. f s.566,37 xiv. As soluções e 3 são exatas. A solução tende para a solução exata à medida que a relação entre as frequências de amostragem e da sinusoide aumenta.

232 6 Exercícios resolvidos Carlos Meneses. (secção 5.) Suponha um sinal com função de autocorrelação dada por: k 4,5cos 0, k R 0833 a) Que tipo de sinal se trata. Qual a sua potência e amplitude? b) Qual a relação entre a frequência deste sinal e a frequência de amostragem? c) Qual a relação sinal-ruído obtida por um codificador PCM uniforme que opere com 0 bits por amostra? d) Qual a autocorrelação normalizada de ª ordem? e) Calcule o ganho de predição utilizando um codificador DPCM com preditor adaptado; f) Calcule o valor máximo de quantificação do erro de predição, de tal modo que não haja saturação de declive mas se maximize a relação sinal-ruído; g) Qual a relação sinal-ruído? h) Assumindo que a frequência de amostragem é de 0 khz, qual o débito binário? i) Se codificar com mais bit/amostra qual a nova SNRq e débito binário? j) Se voltar a utilizar 0 bit/amostra e duplicar a frequência de amostragem, qual a nova SNRq e débito binário? k) Compare os resultados obtidos em i) e j). Resolução: i. a) Pelo Apêndice 5, a função de autocorrelação corresponde à de um sinal sinusoidal. ii. Sendo m f f max m m Rk cos k Pcos k 4,5cos 0, 0833k f s f, s então tem-se que R0 4, 5 P W e m 3V. max iii. b) Por analogia das fórmulas a relação entre a frequência do sinal e a frequência de amostragem é f 0, m f s iv. c) A SNRq em PCM uniforme vem, com V m max 3V, valor que evita a saturação de amplitude e maximiza a SNRq, 3P SNR db 6,0R 0log V 0 6,96 db.

233 Exercícios resolvidos 7 R 4,5cos 0,0833 3, W. A v. d) A autocorrelação de ª ordem vem 898 autocorrelação normalizada de ª ordem vem vi. e) O ganho de predição, com preditor adaptado, vem: G p r 4(linear) e G p db R 3,898 r 0,867. P 4,5 0log r 0 6,0 db vii. f) O valor máximo de quantificação do erro de predição, de tal modo que não haja saturação de declive mas se maximize a relação sinal-ruído, vem, V V G p,5 V. O mesmo valor é obtido diretamente através de A.6.. viii. Pelo mínimo da inequação 5.8, o valor aproximado de V vem, ' V m max T m f f 30,0833,57 V. ix. g) A SNRq vem, s max m s SNR db Gp db SNR PCMdB 3P ou SNR db 6,0R 0log0 67, 98 db. V x. h) O débito binário vem, R Rf b s kbit/s mn 67, 98 xi. i) R Rf kbit/s. Melhoria de 6,0 db na qualidade, para 74 db. b s xii. j) Se a frequência duplicar, R k,5cos 0,0833 k 4 W, e rk cos0, 0833k cos 0,0833 0, 966 r, e G, 74 db SNR db Gp db SNR PCMdB p db mn 73, 7 R Rf kbit/s b s db. xiii. k) De modo a melhorar a qualidade, é mais eficiente aumentar bit de codificação por amostra do que aumentar a frequência de amostragem, pois produz melhor qualidade com menor débito binário. Deve ser utilizado sempre que possível o ritmo de Nyquist W e ajustar o número de bits de codificação por amostra à qualidade desejada. db.

234 8 Exercícios resolvidos Carlos Meneses. (secção 5) Num codificador ADM o algoritmo de adaptação do passo de quantificação é dado por: n n As amostras do sinal de entrada são: n n 0,5b. b n m[n] No instante n = o valor do sinal quantificado mq[n] = 0, o valor do passo de quantificação [n] = 0,5 V, e o nível lógico do bit de codificação é. Calcule o sinal quantificado mq[n]. Resolução: Tendo em atenção o esquema de blocos do codificador DM, e as respetivas inicializações para n =, então: n m[n] mp[n] e[n] [n] b[n] eq[n] mq[n] 0, ,75 0,75 0,75 0,75,5,5,5,875 3,875,5,6875,6875 3, ,565 0,565 0, ,84375, ,7875 0,85 0,4875 0,4875 3, ,4065 0,4063 0,0938 0,094, , ,9969 0, ,364,638 7,638,638 0, ,4746, ,3867,3867 0,794 0,79, ,46758,4676,06787, , ,358887,35889,60807,608,49

235 Exercícios resolvidos 9 3. (secção 5) Suponha-se um sinal sinusoidal de amplitude V e frequência 30 Hz, amostrado a Hz. Calcule a SNRq para os diversos codificadores apresentados. Tome como referência 8 bits por amostra. Resolução: i. Como a amplitude da sinusoide é de V a sua potência é de 0,5 W, que coincide com o seu valor normalizado. ii. Um codificador PCM uniforme com 8 bits por amostra (64 kbit/s) produz uma SNRq de 49,9 db (equação 3.). iii. Um codificador PCM companding, com A=87,56, produz uma SNRq de 38, db (equação 4.). iv. A função de autocorrelação de um sinal sinusoidal é uma função cosseno com a mesma frequência (A.5.6), r[k]=cos(30kt s ). r[]=0,968, pelo que o ganho de predição de um codificador DPCM com adaptação do preditor vem Gp=6,7 (linear) ou Gp =, db (equação 5.9). v. Note-se que para uma autocorrelação normalizada tão elevada praticamente não existe diferença de um preditor adaptado para um preditor unitário, que produz Gp=5,9 (equação 5.5), ou seja,,0 db. vi. Um codificador DPCM com 8 bits por amostra produz 6 db de SNRq (equação 5., SNRq em PCM uniforme + Gp). vii. O valor máximo de quantificação é de V=0,48 V (equação 5.0). viii. Para manter a mesma SNRq que em PCM uniforme são necessários apenas 6 bits de codificação por amostra (48 kbit/s), que originam a perda de x6 db correspondentes ao ganho de predição. ix. Se a frequência da onda sinusoidal subisse para 640 Hz a autocorrelação desceria para r[]=0,876 e Gp =6,3 db, pelo que a melhoria em relação ao codificador PCM seria equivalente a apenas bit por amostra (56, db). x. A mesma SNRq em DPCM com preditor adaptado e PCM dá-se para a frequência fs/4=.000 Hz (equação 5.9, a=r[]=0). Acima desta frequência o codificador DPCM tem novamente melhor desempenho.

236 30 Exercícios resolvidos Carlos Meneses xi. Com preditor adaptado a SNRq é sempre superior à do PCM. Para a=r[]=0 o codificador DPCM degenera num codificador PCM. xii. A SNRq em PCM não varia com a variação da frequência do sinal. xiii. Relembre-se o ponto ix), em DPCM, da perda de 6 db de SNRq quando se aumentou a frequência do sinal de entrada de 30 Hz para 640 Hz. Estes 6 db poderiam ser recuperados aumentando a f s de oitava, para os 6 khz, pois novamente r[]=0,968 (ver ponto iv)). xiv. A somar a estes 6 db, estariam mais 3 db devido ao ganho de filtragem, num total de 65 db. Contudo o débito binário total é de 6.000x8=8 kbit/s. xv. Obtêm-se melhores resultados mantendo a frequência de amostragem a 8 khz e aumentando em o número de bits de codificação por amostra para 8+=0, ganhando db e não 9 db, para um total de 68,3 db. xvi. O débito binário é de apenas 80 kbit/s. xvii. Com modulação delta, Gp=5,9 (ponto v.) =V/Gp=50,6 mv. O mesmo que A.6.. xviii. Um valor aproximado para é obtido utilizando o valor mínimo da inequação 5., m ' T ' max s, com mmax mmax f 00, 6 V/s, 5, 3mV. xix. Pela equação 5.4 a potência de ruído de quantificação é de q 0,9 mw. xx. A potência do sinal de entrada é de é de 0,5 W e a SNRq corresponde a 3,78 db (equação 5.4). Este cálculo não entra em conta com o ganho de filtragem. xxi. O ganho de filtragem é de, f / W 0log 8.000/ 30 0, 97 Gf db 0log 0 s 0 db. xxii. A SNRq total é de 3,78 + 0, 97 = 4,75 db. A SNRq é mais baixa que em PCM uniforme mas o débito binário também é de apenas R f 8 kbit/s. xxiii. Para que o débito binário seja o mesmo que em PCM uniforme, R f 64 khz. xxiv. r[]=cos(30/f s )=0,9995; Gp=30,06 db (03,3); =3,4 mv; xxv. G log f / W 0log / 30 0 f db 0 0 s 0 b s db. b s q 39 W. xxvi. Quer calculando SNRq pela relação entre potências, quer utilizando a equação 5.6, SNRq=3,8 db sem ganho de filtragem. Com ganho de filtragem obtém-se 5,8 db, ligeiramente melhor que em PCM uniforme.

237 Exercícios resolvidos 3 4. (secção 8) Considere um sinal com débito binário de 0 kbit/s, transmitido em PNRZ com amplitude 4 V. a) Calcule a energia por bit à saída do transmissor; b) Calcule a potência do sinal transmitido; c) Calcule a largura de banda utilizando o critério de primeiro zero espetral; d) Calcule o valor mínimo e máximo da largura de banda utilizando o critério de Nyquist (com filtro de formatação de pulsos); e) Qual a eficiência espetral? Resolução: i. a) A energia por bit em PNRZ é dada pela equação 8.8, pelo que E A T ,6 mj. b b ii. b) A potência do sinal transmitido é obtida da equação 8.5, S T Eb Tb A 6 W. que correspondem a (equações A..5 e A..6): STdBw 0log06,04 6 dbw, ou STdBm 0log0 4, 04 3 dbm. 0 iii. Através da equação A..7, pode-se relacionar o resultado em dbw e dbm. S TdBm S TdBW 30, ,04 dbm. iv. c) Pela figura 8.4, o primeiro zero espetral dá-se, para o código PNRZ, em R b =0 khz, pelo que é este o valor de B. T v. d) A largura de banda é definida pela equação 8.4, com =0 para o valor mínimo e = para o valor máximo: R Hz valor mínimo Hz valor máximo b vi. B T vii. e) A eficiência espetral, para o critério do primeiro zero espetral vem, pela equação 8.6: R b BT bit/s/hz (não tem unidades). viii. Com filtro de formatação de pulsos, valor mínimo 0 R b BT. valor máximo ix. Note-se que a largura de banda e consequentemente a eficiência espetral são idênticas para os critérios do primeiro zero espetral e critério de Nyquist com =.

238 3 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 5. (secção 9) Considere um sinal com débito binário de 0 kbit/s, transmitido em PNRZ com potência 6 W(ver exercício 4). O canal tem uma dimensão de km, atenuação de 3,0 db/km, densidade espetral de potência do ruído de 0 W/Hz e atraso de propagação de 5 s/km. a) Calcule a potência do sinal recebido; b) Calcule a energia por bit à entrada do recetor; c) Assuma para a definição da largura de banda o critério do º zero espetral. Qual a relação sinal-ruído no canal de comunicação? d) Calcule a amplitude do código à entrada do recetor; e) Calcule o atraso de propagação; f) Calcule o atraso de transmissão de um pacote com.000 bits; g) Calcule o atraso total da transmissão. Resolução: i. a) A atenuação para um canal de dimensão D= km é (equação 9.) de, At D At 3,0 db/ km db 6,0 db. ii. Em relação linear a atenuação é obtida da equação 9.0, ST At 0 6 / 0 4. S R iii. Sendo a potência transmitida de 6 W (exercício ) a potência recebida resulta, S R =6/4=4 W. que corresponde a: 0log04 6,0 4 dbw, ou 0log0 36, 0 3 dbm. 0 iv. O mesmo valor pode ser obtido de (A..9): S S RdB RdBm S TdB S At TdBm db At,04 6,0 6,0 db, db 4,04 6,0 36,0 dbm. v. b) A energia recebida por bit corresponde a: E b S T J. R b

239 Exercícios resolvidos 33 vi. Alternativamente pode-se afetar a energia transmitida (exercício ) da atenuação, pelo que, Eb, J. vii.c) A SNRq no canal, relação entre a potência do sinal recebido e a potência do ruído na banda do sinal, vem (equação 9.): viii. d) A amplitude do sinal recebido é de: SR 4 SNR c (3 db) N B o T A V. ix. e) O atraso de propagação em km vem (equação 9.4): SR D T 50 6 p 0 s. v x. f) O atraso de transmissão vem (equação 9.5): i N.000 T t 0, s. R b xi. g) O atraso total da transmissão corresponde à soma do atraso de propagação e de transmissão: T p T t 0 5 0, 0, s sendo neste caso o atraso de transmissão dominante.

240 34 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 6. (secção 0.3) Considere um sinal com débito binário de 0 kbit/s, codificado em PNRZ e recebido com amplitude V, num canal AWGN com densidade espetral de potência do ruído de 0 W/Hz. Assuma para a definição da largura de banda o critério do º zero espetral. Considere que no recetor o sinal é filtrado com um filtro passa-baixo de ganho unitário (figura 0.) para cancelar o ruído fora da banda do sinal (ver exercícios 4, 5 e 6). a) Qual a largura de banda do filtro? b) Calcule a potência do ruído após o filtro. c) A seguir ao filtro coloca-se um comparador (figura 0.) para detetar qual o bit transmitido. Qual o valor ótimo de? d) Qual a BER deste sistema? Resolução: i. a) A largura de banda do filtro é o da largura de banda do sinal. Com o critério de primeiro zero espetral, B R =0 khz (exercício 4). T b ii. b) A potência do ruído após este filtro vem, (equação 9.) N B 0, W. iii. c) O valor ótimo de vem, pela equação 0.5, equidistante dos valores correspondentes aos símbolos lógicos sem ruído, A V, correspondendo, como em qualquer código polar, 0 V. ot iv. d) Tendo em conta a figura 0.3, utilizando a equação 0.9 com o valor de d determinado pela equação 0.0, d= V, a BER vem: 4 6 BER erfc 3,6 40 0, erfc (Apêndice 8). n c 0 T

241 Exercícios resolvidos (secção 0.6) Considere uma transmissão binária em PNRZ com um débito binário de 0 kbit/s, em que o sinal recebido tem uma amplitude de V. O sinal é corrompido com ruído branco, gaussiano e aditivo, com densidade espetral de potência do ruído de 0 W/Hz (ver exercícios 4, 5, 6, 7). a) Desenhe o recetor ótimo normado; b) Calcule as tensões sem ruído, à saída do filtro adaptado, no instante de amostragem; c) Calcule a potência do ruído à saída do filtro adaptado, no instante de amostragem; d) Calcule a probabilidade de erro de bit através da equação geral 0.9; e) Calcule a relação E b N0 ; f) Calcule a probabilidade de erro de bit pela equação 0.36; g) Compare com o resultado do problema anterior. Resolução: i. a) O recetor ótimo binário corresponde à figura 0.5 (filtro adaptado e deteção MAP, equivalente a MV desde que p 0 =p ). ii. 0 V (equação 0.5, polar, y0=-y) ot iii. Pela equação 0.5, t t (PNRZ) com amplitude b normado, equação 0.7). c ks (adaptado ao símbolo ), que é um sinal constante c t R =00 V, de modo a que A Hz (filtro iv. b) Sendo um código polar as tensões sem ruído à saída do filtro adaptado normado, no momento de amostragem, são dadas por (equação 0.4): v. ou, alternativamente, y Eb A Tb 0 mv e y E 0 mv. 0 b eq y Tb T c b 0 0 b t s ( t) dt 00 dt 00T 0 e, por ser um código polar, y y 0mV. 0 mv,

242 36 Exercícios resolvidos Carlos Meneses vi. c) A potência do ruído à saída do filtro adaptado é definida pela equação 0.: N 0 n A eq. vii. Com o recetor normado, A Hz, eq 0 N n 0 W. viii. d) É válida a figura 0.3, com d y 0 mv e, pela equação geral 0.9: BER opt d erfc erfc erfc 4,47, n ix. e) A relação sinal-ruído, E b N0, vem:. E b N ou 3 db. x. Este valor é igual à SNRc pois = (equação 9.). xi. f) Através da equação 0.36, a BER vem: BER erfc E 0 erfc b N 0 4,47,3 0 xii. g) O resultado da BER é substancialmente melhor (menor) que do exercício anterior ( ). Ao não se utilizar o filtro adaptado mas sim um filtro de banda, como no exercício anterior, o ruído é dependente da banda do sinal. Para o critério do primeiro zero espectral o argumento da função erfc é menor que utilizando o filtro adaptado.

243 Exercícios resolvidos (secção 0.6) Considere uma transmissão binária em PNRZ com um débito binário de 0 kbit/s, em que o sinal recebido tem uma amplitude de V. O sinal é corrompido com ruído branco, gaussiano e aditivo, com densidade espetral de potência do ruído de 0 W/Hz (ver exercícios 4, 5, 6, 7 e 8). a) Calcule as tensões sem ruído, à saída do filtro adaptado, no instante de amostragem, assumindo que a amplitude do sinal com que se está a fazer o produto interno é de 0 V; b) Calcule a potência do ruído à saída do filtro adaptado; c) Calcule a probabilidade de erro de bit através da equação geral 0.9; d) Compare com os resultados obtidos no exercício anterior. Resolução: c t V, xiii. a) Com 0 e, por ser um código polar, y mv. y T b c T b t s ( t) dt 0 dt 0T b mv, xiv. b) A área equivalente do ruído vem A 0 T 0, 0 Hz, pelo que a potência do ruído vem: N eq n Aeq 00 0,0 0 W. xv. c) É válida a figura 0.3, com d y mv e, pela equação geral 0.9: BER opt b d erfc erfc erfc 4,47, n xvi. d) A BER calculada das três maneiras é sempre a mesma, sendo nomeadamente independente da amplitude do vetor de base com que se efetua o produto interno..

244 38 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 9. (secção 0.7) Considere uma transmissão binária com código NRZI (unipolar). A amplitude do sinal recebido é de 3 V. O canal de comunicação é AWGN com densidade espetral de potência do ruído de 0,5x0-6 W/Hz, uma atenuação de 6,0 db/km e mede 3 km. Pretende-se uma probabilidade de erro de bit de,x0-5. Resolução: a) Calcule a energia por bit. b) Calcule o débito binário. c) Suponha o critério do primeiro zero espetral. Qual a relação sinal-ruído no canal de comunicação? d) Qual a potência do sinal transmitido? e) Qual a amplitude do sinal transmitido? f) Qual a energia média por bit à saída do transmissor? i. a) Para o código NRZI, BER erfc E b 5 Eb, 0 N 0 N 0 3, 6 ii. e a energia média por bit no recetor vem E b 9 N 90 8 J. A 3 iii. b) R b 50 kbit/s. 6 E 80 b iv. c) Com o critério do º zero espetral B R 50 khz. T b 0 v. A potência recebida vem S A R 4, 5W. (6,53 dbw). SR 4,5 vi. Pela equação 9. SNR c 8 (,6 db). 6 3 N B T vii. d) 6,0 db de atenuação/km correspondem em relação linear a 4 atenuação/km. Em 3 quilómetros a atenuação é de (8,06 db). viii. Pela equação 9.0, S 64S 88 W (4,5 dbw). T R ix. Calculando de outra forma, a atenuação é de A D 36,0 8, 06 db x. e S S A 4, 5dBW. TdB RdB tdb xi. e) A amplitude no transmissor vem, A S 4 V. T tdb At db / km 88 xii. f) A energia média por bit no transmissor vem, Eb STTb, 5 mj

245 Exercícios resolvidos (secção ) Uma transmissão digital num canal AWGN passa-baixo de largura de banda,5 MHz e densidade espetral de potência do ruído de 0-9 W/Hz. O débito binário é de 0 Mbit/s e pretende-se uma probabilidade de erro de bit máxima de Resolução: a) Qual o número mínimo de bits por símbolo? b) Qual o valor máximo do fator de roll-off? c) Calcule o débito de símbolos; d) Qual a energia mínima por bit do sinal recebido? e) Qual a energia mínima por símbolo? f) Qual a potência mínima a ser recebida? g) Qual a tensão mínima entre símbolos adjacentes? h) Se o método de disposição de bits por símbolo não seguisse um código Gray mas fosse aleatório, qual o aumento da probabilidade de erro de bit? i) Qual a capacidade do canal, assumindo a mesma relação sinal ruído? i. a) A transmissão tem que ser M-ária pois para uma transmissão binária: R 6 b 6 B T, ii. O número de bits por símbolo vem (equação.7 com =0): 6 Rb 00 K 3,3 bit/símbolo, 6 B,5 0 c e sendo o número de bits por símbolo um número inteiro, vem o valor mínimo de K=4 bits por símbolo. iii. b) O fator de roll-off máximo é calculado de modo a não ser ultrapassada a largura de banda B do canal de comunicação: c iv. c) O débito de símbolos vem: 6 KBc 4,5 0 0,. 6 R 00 b b 6 s,5 0 símbolos/s (baud). R K R

246 40 Exercícios resolvidos Carlos Meneses v. d) A energia por bit do sinal recebido é calculada de: ( M ) 3K Eb BER erfc KM M N0 5 E b E 0,46875 b erfc erfc 0, N N0 E b 3 0, E erfc 8,530 0, b 5 N 0 N 0 3 0, E b 5 53 N N 0 E b 0 (7,5 db) 9 E b 53N 53 0,063 J. 0 vi. e) Da equação.6, a energia por símbolo corresponde a: E KE 4,5 J vii. f) E R 0, 6 R s b b S W 3 viii. g) Da equação.4: E b a M e 4 3 s T s S RdBw 0log 0 S 0, a R dbw Es Rs 0,7 V. M ix. h) Comparando as equações.4 e.6, o aumento da probabilidade de erro de bit vem: x. ou seja, K,5 xi. i) Pela equação.3, C B c 3 BER, S log R E log 7,68 brb Bc Mbit/s. c N0Bc xii. Arredondado para baixo pois é o máximo débito binário neste canal.

247 Exercícios resolvidos 4. (secção 3.6) Considere um sistema de transmissão com controlo de erros, em que se pretende corrigir rajadas de erros. Este sistema é composto por 50 blocos do código de repetição de 5 bits, transmitidos em interleaving. Qual o comprimento máximo da rajada capaz de ser corrigida? Resolução: i. A matriz de interleaving é composta por 50 linhas, uma por cada palavra de código de repetição de 5 bits. Cada linha tem 5 bits. (li=50; cl=5) 50 linhas Uma por cada palavra de código Cada palavra de código 5 bits C, C, C,3 C,4 C,5 C 50, C 50, C 50,3 C 50,4 C 50,5 ii. Tratando-se de um código de repetição de 5 bits, tem uma distância mínima de Hamming de 5 bits e é portanto capaz de corrigir bits por palavra de código (t=). iii. Os bits são transmitidos por coluna, primeiro o º bit de cada palavra de código, a seguir o segundo bit de cada palavra de código e assim sucessivamente. iv. Uma rajada de comprimento 50 bits afeta apenas bit por palavra de código que é corrigido. Uma rajada de comprimento 00 bits afeta bits por palavra de código, também corrigidos. Rajadas de comprimento superior a 00 afetam pelo menos 3 bits por palavra de código, não sendo possível corrigi-los. v. O comprimento máximo da rajada capaz sempre de ser corrigida (equação 4.5) é portanto de: b max = t li = 50 = 00 bit.

248 4 Exercícios resolvidos Carlos Meneses. (secção 3.9) Considere uma transmissão digital binária polar, com um débito binário de 0 kbit/s (no canal de comunicação, com ou sem código de correção de erros) com uma relação E b N o = 9. Calcule o tempo médio entre erros de bit nas seguintes condições: Resolução: a) Sem código de correção ou deteção; b) Com código de repetição de 3 bits; c) Com código de repetição de 5 bits; d) Com código de Hamming H(7,4); e) Compare os resultados anteriores. i. A BER desta transmissão (polar) é determinada por: BER = erfc ( E b ) = erfc( 9) 0 5 N o ii. a) Sem códigos de correção de erros, o tempo médio entre erros (equação 4.8) vem: T e = = R b BER = 0 s iii. b) Para um código (de correção) de repetição de 3 bits, a probabilidade de erro de bit (equação 4.3) após correção vem: BER ' C n n 3 0 n BER C BER 30. iv. A razão do código e o débito binário dos bits da informação virão: k R 0,33 ' krb c R 0 4 b 3, 33 kbit/s. n 3 n 3 v. O tempo entre erros vem (equação 4.8): T e = R b BER = 3, = 06 s (,6 dias). vi. c) Para um código de correção de repetição de 5 bits, a probabilidade de erro de bit após correção vem: BER ' C n n BER n C 5 3 BER

249 Exercícios resolvidos 43 vii. A razão do código e o débito binário dos bits da informação virão: k R 0, ' krb c R 0 4 b kbit/s. n 5 n 5 viii. O tempo entre erros vem: T e = R b BER = = 5 00 s (5,85 séculos). ix. d) Para um código de Hamming H(7,4), a probabilidade de erro de bit após correção vem: ' BER 9BER 90 x. A razão do código e o débito binário dos bits de informação (equação 4.) virão: R c n k 4 7 0,57 xi. e o tempo entre erros após correção vem: R kr n ,70 ' b 4 3 b bit/s, T e = R b BER = 5, =,94 05 s (54 horas) xii. e) A diminuição da razão do código, devido ao aumento do número de bits de paridade introduzidos, faz diminuir o número de erros e portanto aumenta o tempo médio entre erros. No entanto o débito binário dos bits da informação também diminui, sendo necessário mais tempo para transmitir a mesma informação. Razão do Débito dos bits da BER Te [s] código informação [kbit/s] Sem código H(7,4) 0,57 5, , R3 0,33 3, R5 0, Tabela síntese dos resultados.

250 44 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 3. (secção 3.9) Considere uma transmissão digital binária polar, com um débito binário de 0 kbit/s e uma relação E b N o = 9. Calcule o tempo médio entre erros de bit nas seguintes condições: Resolução: a) Sem código de correção ou deteção; b) Com código de Hamming H(7,4) mas mantendo o débito binário dos bits de informação; c) Compare o resultado anterior com o resultado obtido mantendo o débito binário no canal (problema anterior); d) Qual a variação de amplitude do sinal que deve produzir de modo a que o tempo médio entre erros mantendo o débito binário dos bits de informação seja o mesmo que mantendo o débito binário no canal (problema anterior). i. a) A BER desta transmissão é dada por: BER = erfc ( E b ) = erfc( 9) 0 5 N o ii. Sem códigos de correção ou deteção o tempo médio entre erros (equação 4.8) vem: T e = = R b BER = 0 s iii. b) A razão do código,r c, e débito binário no canal, virão: R c = k = 4 ' 4 = 0,57 nrb 7 0 R 7, 5 n 7 b kbit/s k 4 iv. A variação do débito binário muda o tempo de bit, que vem agora (equação 4.) 4 ' Tb T b, o que muda da mesma proporção a energia de bit. A nova relação 7 Eb 4 Eb sinal-ruído vem ( anterior ) 5, 4 e a nova BER vem: N 7 N o o BER erfc 5 5,4 67 0

251 Exercícios resolvidos 45 v. Para um código H(7,4), a probabilidade de erro de bit após correção vem: ' BER 9BER 9 vi. E o tempo entre erros de bit após correção vem: T e = = R b BER = 5 s vii. c) Comparando o resultado anterior com o resultado obtido no problema 7 alínea b), verifica-se que se aumenta o débito binário dos bits da informação mas aumenta-se a probabilidade de erro de bit e, consequentemente, diminui-se o tempo entre erros. viii. d) Para manter o tempo entre erros é preciso manter a BER e consequentemente manter a energia média por bit, pelo que a potência do sinal com um débito binário no canal maior (mesmo débito binário dos bits da informação) deve compensar a diminuição do tempo de bit de R c. Consequentemente a potência do sinal deve aumentar da mesma quantidade. Como a potência é proporcional ao quadrado da amplitude, então o aumento da amplitude vem: A A novo anterior,3 R ix. A BER é a mesma que na alínea b) do exercício anterior mas com débito binário dos bits da informação de 0 kbit/s, pelo que o tempo médio entre erros vem: Razão do código c T e = R b BER = =, 05 s A A novo anterior Débito binário dos bits da informação [kbit/s] BER Te [s] Sem código H(7,4) 0, H(7,4) 0,57, , 0 5 H(7,4) 0,57 5, , Tabela síntese dos resultados.

252 46 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 4. (secção 3.) Considere um código cíclico com polinómio gerador do código de H(7,4), equação 4.9, Resolução: g x= x 3 + x + ( 0 ). nk a) Calcule os bits transmitidos Tx mxx rx informação 0 0 ; b) Verifique a situação de uma transmissão sem erros; para os bits de c) Considere um padrão de erro E x = x 4 ( ). Qual os bits recebidos? d) Verifique a situação de erro; e) Qual o comprimento máximo da rajada sempre detetada? f) Qual a relação de rajadas não detetadas? i. a) Com 4 bits de informação k=4 e o grau máximo de x ii. iii. m é k =3. O grau de g x é 3, pelo que o resto da divisão terá n k=3 bits. Conclui-se que n=7, correspondendo a um código (7,4). m x=x nk + ( 0 0 ), mxx mxx 3 r x e q x são calculados de: = x 5 + x 3 ( ). m(x)x n-k = g(x) = q(x) = = r(x) nk iv. Pelo que Tx mxx rx v. b) No recetor, calcula-se o resto de x g x erros na transmissão. vem x 5 + x 3 + x ( ) T e, caso este seja igual a 0, não houve T(x) = g(x) = q(x) =

253 Exercícios resolvidos 47 vi. c) x Ex x T serão os bits recebidos. x T(x) = E(x) = T(x) + E(x) = T E = x 5 +x 4 + x 3 + x ( ), bit m6 errado (equação 4.9). vii. d) Verifica-se se T x Ex g x 0, detetando erros: T(x)+E(x) = g(x) = q(x) = p4 p p viii. Pela equação 4.8, o resto de x Ex g x Também o quociente de x Ex g x T x g x e E x g x. T é igual ao resto de E x g x. T é igual à soma dos quocientes de E(x) = g(x) = q(x) = ix. e) O comprimento máximo da rajada sempre detetável é 3, igual ao grau do polinómio gerador. x. f) Pela equação 4.3, BFER=0,5.

254 48 Exercícios resolvidos Carlos Meneses 5. (secção 3.) Em relação ao código de Hamming H(7,4), qual o polinómio gerador correspondente, sabendo que se mantém a estrutura cíclica? Resolução: i. Este código, sendo H(7,4), tem k=4 e n=7. ii. Relembre-se que, para manter a estrutura cíclica, x n x 7 e, 3 3 x x x x x 7 x. g x tem que ser um fator de iii. Como a ordem do polinómio gerador tem que ser n k 3, duas hipóteses são possíveis: 3 3 g x x x ou g x x x

255 Exercícios resolvidos (secção 4.) Calcule o checksum do código IP checksum tendo como bits de informação a sequência 00EF3459ABCA89 (em hexadecimal) com sub-blocos de 4 dígitos (6 bits). Verifique a soma do conjunto dos sub-blocos, em sequência e aos pares. Resolução: iv. Divide-se a sequência a codificar em subconjuntos de 4 dígitos hexadecimais, resultando nos números 00E, F345, 9ABC e A89. v. A adição destes números é: 00E+F345+9ABC+A89=46A vi. A adição em complemento para um requer que se adicione o último arrasto () à soma sem esse arrasto: 46A+=46A3. vii. Somando a em sequência, obtêm-se o mesmo resultado: 00E+F345= =0354 ( * ) ABC=9E0 9E0 9E0+A89=46A 46A+=46A3 viii. Adicionando aos pares com soma final obtêm-se o mesmo resultado: 00E+F345= =0354 9ABC+A89=434E 434E+=434F F=46A3 46A3 ix. O complemento para um de 46A3 é CS=FFFF 46A3=B95C. x. É transmitida a informação inicial mais o código checksum: 00EF3459ABCA89 B95C. xi. O recetor repete este procedimento incluindo o código checksum: 00E+F345+9ABC+A89+ B95C=FFFD; xii. Adicionando o arrasto () dará FFFD+=FFFF xiii. Este valor é sempre FFFF (todos os bits a ), cujo complemento para um é 0000, indicando que não existem erros. Qualquer outro valor indicaria que foram cometidos erros no canal de comunicação e os dados deveriam ser retransmitidos. ( * ) Pode ser realizado em binário: 00E= F345= = =

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257 Exercícios propostos 5 Exercícios propostos. (secção 3) Suponha um sinal com largura de banda de 0 khz e amplitude de 0 V. a) Qual a frequência mínima para amostragem deste sinal sem erro? b) Calcule os valores de quantificação e os valores de decisão para um quantificador uniforme midtread que permita codificar o sinal em PCM com um débito binário total de 40 kbit/s; c) Calcule a SNR de quantificação nas condições da alínea anterior, assumindo uma sinusoide como sinal de entrada.. (secção 4) Suponha um sinal com uma distribuição de amplitudes uniforme entre e + V. A largura de banda do sinal é de 5 khz. a) Qual a frequência mínima para amostragem deste sinal sem erro? b) Calcule os valores de quantificação e os valores de decisão para um quantificador midrise que permita codificar o sinal em PCM uniforme com um débito binário de 0 kbit/s; c) Calcule a SNR de quantificação nas condições da alínea anterior; d) Qual a SNRq se a quantificação fosse companding Lei-A (A=87,56)? e) Qual a SNRq se o quantificador for obtido através do algoritmo de quantificação ótima? 3. (secção 3) Suponha um sinal com uma distribuição gaussiana de média V e variância,5 W, aplicado à entrada de um quantificador uniforme cuja excursão varia entre 3,5 e 5,5 V e cujo intervalo de quantificação é de 35,6 mv. a) Calcule a potência do sinal; b) Qual é a potência do ruído de quantificação? Está a fazer alguma aproximação? c) Determine a relação sinal/ruído de quantificação com este sinal; d) Qual o débito binário deste codificador, sabendo que a largura de banda do sinal é de khz? 4. (secção 5.) Num codificador DPCM com preditor unitário, o valor máximo de quantificação do erro de predição é de 0,5 V, sendo utilizado um quantificador midrise de 4 intervalos de quantificação. Uma sequência de bits recebidos no recetor é: a) Determine o quantificador. Assuma um código numérico binário sequencial do valor de quantificação mais pequeno para o mais alto. b) A quantas amostras corresponde a sequência de bits recebida? c) Determine o sinal descodificado para as amostras respetivas. Assuma que o valor predito na primeira amostra é 0.

258 5 Exercícios propostos Carlos Meneses 5. (secção 5.) Suponha um sinal sinusoidal, amostrado a 6 khz com 7 bit/amostra. a) Qual é a SNRq quando este sinal é codificado com PCM uniforme? b) Qual a SNR de quantificação para PCM companding Lei-A? Porque é que este valor é pior do que o obtido com quantificador uniforme? c) Qual a frequência do sinal de entrada para que a SNRq em DPCM com preditor unitário seja igual à do PCM uniforme? d) Suponha que aumenta a frequência de amostragem para o dobro. Qual a variação da SNR? e) Qual a caraterística do qual o DPCM tira partido, que permite a variação da alínea anterior? f) Qual o aumento do débito binário correspondente à alínea d)? g) Existiria um processo mais eficiente de melhorar a qualidade? Qual? h) Qual o aumento do débito binário correspondente à alínea anterior? 6. (secção 5.) Suponha um sinal a codificar com 5 khz de largura de banda, amplitude V e potência de /500 W. a) Quantos bits (aproximadamente) são necessários para quantificar este sinal com 38 db de relação sinal-ruído em PCM uniforme? b) Qual o débito binário desta codificação? c) Se a autocorrelação de primeira ordem (não normalizada) for de /570 W, qual o ganho de predição e respetiva relação sinal-ruído de quantificação, para um codificador DPCM unitário? d) Calcule os valores de quantificação e os valores de decisão que permita codificar o sinal em DPCM unitário que não produza ruído granular e com um débito binário total de 60 kbit/s. 7. (secção 5.) Suponha um sinal com uma distribuição uniforme entre e + V. A largura de banda do sinal é de 4 khz e pretende-se um débito binário máximo de 56 kbit/s. Admita que a autocorrelação normalizada de ª ordem é de 0,9. a) Calcule a potência do sinal, bem como a sua variância; b) Determine a SNRq de um codificador PCM uniforme com este sinal; c) Determine a SNRq usando um codificador DPCM, em que o preditor é adaptado de ª ordem; d) Calcule o valor máximo do quantificador; e) Determine a SNRq com o valor máximo do quantificador de 0,8 V. 8. (secção 5.) Suponha um sinal sinusoidal de amplitude V, amostrado a 0 khz e codificado com 8 bit/amostra. a) Qual a SNRq quando este sinal é codificado com PCM uniforme? b) Qual a frequência do sinal de entrada para que a SNRq em DPCM unitário seja igual à do PCM uniforme?

259 Exercícios propostos 53 c) Suponha que aumenta a frequência de amostragem para o dobro; Qual a variação da SNRq usando PCM uniforme? d) Repita a alínea anterior para DPCM unitário, mantendo a frequência do sinal calculada na alínea b); e) Nas condições da alínea b) (sem o aumento da frequência de amostragem para o dobro da alínea c)), qual o aumento da SNRq assumindo um preditor de ª ordem adaptado ao sinal? f) Em relação à alínea e) determine o valor máximo do quantificador; g) Repita as alíneas e) e f) usando um coeficiente de predição de 0,8. 9. (secção 5.) Suponha um sinal com média 0 V e variância W, tendo uma largura de banda de 5 khz. a) Determine o valor do intervalo de quantificação se este sinal for codificado em PCM uniforme com um débito binário de 60 kbit/s, com uma SNRq de 9,9 db. b) Qual o valor máximo de quantificação? c) Determine o valor máximo do quantificador se este sinal for codificado em DPCM com o mesmo débito binário e a mesma SNR; d) Que tipo de preditor está a assumir na alínea anterior? e) Se o valor máximo possível da SNRq em DPCM unitário for de 36 db, qual o valor da autocorrelação normalizada de ª ordem do sinal de entrada? 0. (secção 5.) Considere um sinal de entrada, m(t), de média 0 V e variância W e com uma largura de banda 5 khz. a) Determine o valor do intervalo de quantificação, se este sinal for quantificado em PCM uniforme com uma SNRq de 5,84 db; b) Qual a amplitude do sinal se este for codificado com 50 kbit/s? c) Suponha que o sinal foi codificado em DPCM com um preditor adaptado de ª ordem e uma variação máxima do erro de predição de V. Qual o ganho de predição? d) Qual o número de bits por amostra para uma SNRq de 5,84 db?. (secção 5.) Considere um sinal de entrada, m(t) com a seguinte autocorrelação: sen R m sinc a) Qual a potência do sinal? b) Supondo que o sinal é codificado em DPCM adaptado de ª ordem, amostrado a 34,5 khz, qual o valor do coeficiente de predição? c) Qual o coeficiente de predição para um preditor de ª ordem?

260 54 Exercícios propostos Carlos Meneses. (secção 5.) Num descodificador ADM o algoritmo de adaptação do passo de quantificação é dado por: 0,5b n n n. b n Os níveis lógicos dos bits recebidos são: n No instante n = o valor do sinal quantificado mq[n] = 0,5, o valor do passo de quantificação [n] = V, e o nível lógico do bit de codificação é 0. Calcule o sinal quantificado mq[n]. 3. (secção 8) Considere uma transmissão digital com código AMI. Diga em que sequências se conseguem detetar erros na transmissão e comente. a) b) c) (secção 8) Considere uma transmissão em NRZI. a) Transmite os bits com os níveis lógicos A polaridade do último símbolo transmitido antes desta sequência é negativa. Qual a polaridade dos símbolos transmitidos? b) Recebe os símbolos com polaridade e a polaridade do último símbolo transmitido é 0. Qual os níveis lógicos dos bits transmitidos? 5. (secção 9) Considere um canal de fibra ótica, de dimensão 75 km (Distância entre Lisboa e Porto), utilizado no comprimento de onda.550 nm (caraterísticas na tabela 9.). a) Calcule o atraso de propagação. b) Se a transmissão fosse feita por satélite, quantas vezes mais demoraria o sinal a propagar-se? c) Se o sinal for transmitido a um débito de 50 Mbit/s em pacotes de.000 bits, qual o tempo de transmissão de cada pacote? d) Supondo que os equipamentos utilizados originam um atraso de 60 s, qual o atraso total? e) Numa conversa telefónica, qual o tempo mínimo entre uma eventual pergunta de um dos oradores e a correspondente resposta? f) Qual a atenuação?

261 Exercícios propostos (secção 9.7) As figuras abaixo representam o padrão de olho, com varrimento de bits, da transmissão de um código de linha Numa das figuras o canal tem ruído e noutro não. Diga, justificando, a) Que tipo de código é representado? b) Existe interferência intersimbólica? c) Está à espera de muitos erros nesta transmissão? 7. (secção 0) Considere uma transmissão digital binária em PNRZ, num canal com largura de banda GHz e em que o ruído tem uma densidade espetral de potência do ruído de W/Hz. A probabilidade de erro de bit deve ser no máximo 7,7 0. a) Qual o débito binário com critério de primeiro zero espetral? b) Qual a energia por bit? c) Qual a amplitude do sinal transmitido? 8. (secção 0) Considere uma transmissão binária em PNRZ com um débito binário de 0 kbit/s e com tensões de 3 V. O sinal é transmitido num canal AWGN com densidade espetral de potência do ruído de 00 W/Hz. a) Desenhe o diagrama de blocos recetor ótimo normado; b) Calcule as tensões sem ruído e a potência do ruído após o filtro adaptado; c) Determine o valor da BER deste sistema; d) Considere que a amplitude do sinal de base do produto interno é de 0 V; Calcule as tensões sem ruído e a potência do ruído após o filtro adaptado e determine o valor da BER.

262 56 Exercícios propostos Carlos Meneses 9. (secção 0) Considere uma transmissão digital binária UNRZ, com débito binário de 4 kbit/s. A amplitude do símbolo é de V. O canal é AWGN (ruído branco, gaussiano e aditivo) com densidade espetral de potência do ruído de W/Hz. a) Calcule as tensões sem ruído à saída do filtro adaptado do recetor ótimo normado, para cada símbolo, bem como a potência do ruído; b) Desenhe o diagrama de blocos do recetor ótimo; c) Calcule a BER. 0. (secção 0) Considere uma transmissão binária num canal com uma largura de banda de Hz (banda telefónica). O canal é AWGN com densidade espetral de potência do ruído de 00 W/Hz. O código de linha usado é Manchester, mas as amplitudes recebidas são V para o símbolo 0 e 3 V para o símbolo. a) Determine o máximo valor do débito binário se o filtro de formatação de pulsos tiver um fator de roll-off de 0,5; b) Desenhe o diagrama de blocos de um recetor ótimo normado; c) Calcule as tensões correspondentes aos símbolos lógicos após o filtro adaptado; d) Calcule a BER desta transmissão; e) Em média, em quanto tempo é cometido um erro de bit?. (secção 0) Considere uma transmissão binária em que o canal tem uma densidade espetral de potência do ruído de G w (f)= N0/ W/Hz, com os símbolos seguintes: a) Qual a energia média por bit (função de A e Tb)? b) Desenhe o recetor ótimo normado adaptado ao símbolo ; c) Calcule, função de Eb, as tensões y e y0, correspondentes ao símbolo e 0 sem ruído, no instante de amostragem; d) Qual o valor da BER (função de Eb, e N0)? e) Se o símbolo 0 fosse representado por S0(t)=0 V (unipolar) e não alterasse o valor de A, a BER seria alterada? Ganharia alguma coisa com esta mudança?

263 Exercícios propostos 57. (secção ) Considere uma transmissão digital, com débito binário de 40 kbit/s. A largura de banda do canal é de 0 khz, e o filtro de formatação de pulsos tem um fator de roll-off de 0,. O sinal transmitido é M-ária, sendo a diferença entre símbolos adjacentes de V. O canal é do tipo AWGN, com densidade espetral de potência do ruído de 0-6 W/Hz. a) Calcule o máximo débito de símbolos; b) Desenhe o recetor ótimo com filtro adaptado normado; c) Calcule a potência do ruído à saída do filtro; d) Calcule as tensões à saída do filtro adaptado para distinguir as diversas hipóteses; e) Calcule a probabilidade de erro de bit. 3. (secção 3) Considere uma transmissão com BER = 0-6, de blocos de 0 bits, incluindo bit de paridade. a) Qual a razão do código? b) Qual a probabilidade de retransmissão? c) Qual a probabilidade de erro de bit? 4. (secção 3) Considere o seguinte código BCC, em que os bits m correspondem aos bits de informação, os bits p n aos bits de paridade de linha e os bits c n ao carácter de verificação de bloco, sendo utilizada em ambos os casos paridade par. m m 3 m p m m 3 m p p m 33 m 3 3 m 3 c 3 c c c bits recebidos situação bits recebidos situação a) Qual a razão do código? b) (situação ) Existem bits errados? Se sim, é possível corrigi-los? Se sim, corrija-os. Se não, é possível perceber em que subconjunto de bits foram produzidos os erros? c) Repita a alínea anterior para a situação.

264 58 Exercícios propostos Carlos Meneses 5. (secção 3) Considere uma transmissão binária em PNRZ com um débito binário de 0 kbit/s e com amplitude 5 V. Adicionalmente considere que o sinal é corrompido por ruído branco, gaussiano e aditivo (canal AWGN), com densidade espetral de potência do ruído de 00 W/Hz. a) Determine o valor da BER deste sistema; b) Considere que se utiliza um código H(7,4) e que não altera o débito binário no canal. Qual o débito binário dos bits da informação? c) Considere que não altera a amplitude do sinal transmitido. Qual a nova BER deste sistema (após correção)? d) Se mantiver o débito binário dos bits da informação igual ao débito binário sem codificação, qual a nova BER do sistema? e) Compare os resultados anteriores e comente. 6. (secção 3) Uma transmissão em PRZ com um débito no canal de 4 kbit/s, protegida por um código de repetição de 3 bits, tem em média erro em cada.000 segundos antes da correção. a) Qual o débito binário dos bits da informação? b) Qual a probabilidade de erro de bit antes da correção? c) Calcule a relação sinal-ruído Eb/No; d) Qual o tempo médio entre erros após correção? e) Se gerar a sequência de dados binária 0, qual a sequência a transmitir após a aplicação do código de correção? f) Recebendo a sequência de bits aos níveis lógicos 0, quais os bits descodificados? 7. (secção 3) Numa transmissão protegida com um código H(7,4), a) Qual o resultado da aplicação da sequência binária 0 0 (m7 m6 m5 m3)? b) Qual o resultado da aplicação da sequência binária 0 0 (m7 m6 m5 m3)? c) Suponha que durante a transmissão dos bits correspondentes à alínea anterior erra o bit m3 e p4. Quais os bits descodificados? d) Recebendo a sequência de bits aos níveis lógicos 0 0, qual a sequência de bits de informação após correção? 8. (secção 3) Uma transmissão binária polar tem um débito binário de 40 kbit/s e uma BER de 0-5. a) Calcule, em média, em quanto tempo é cometido um erro;

265 Exercícios propostos 59 b) Se esta transmissão passar a ser protegida com um código de correção de erros Hamming H(5,), mantendo o débito binário dos bits da informação, qual o débito binário no canal? c) Qual o aumento da amplitude do sinal transmitido, de modo a que se mantenha a mesma energia por bit? d) Qual a BER deste sistema (após correção)? e) De quanto em quanto tempo é cometido um erro? f) Supondo que mantêm a amplitude do sinal transmitido inalterada em relação à alínea a), qual a nova BER? g) De quanto em quanto tempo é cometido um erro no sistema? h) Qual o resultado da aplicação da sequência de bits ao nível lógico a um código de correção H(5,) (m5 m4 m3 m m m0 m9 m7 m6 m5 m3)? i) Quais os bits descodificados se for recebida a sequência binária com os níveis lógicos ? 9. (secção 3) Num código com distância de Hamming mínima de 5. a) Quantos bits errados se conseguem detetar? b) Quantos bits se conseguem corrigir? 30. (secção 3) Considere o código de controlo de erros cujas palavras estão organizadas na forma c=[m m p0 p], tal que p0= m m e p= m. a) Qual a matriz de geração e de verificação para este código? b) Apresente todas as palavras de código. c) Calcule a distância mínima de Hamming e as capacidades de deteção e correção de erros. d) Suponha que se transmite a mensagem 0 e que sobre a palavra de código resultante é aplicado o padrão de erro 0 0. O que resulta no recetor? e) Suponha que se transmite a mensagem 0 e que sobre a palavra de código resultante é aplicado o padrão de erro 0 0. O que resulta no recetor? x 3. (secção 3) Para um código CRC com polinómio gerador um código com palavras de 6 bits. a) Este polinómio gera um código cíclico? b) Pretende-se codificar os bits 0 0. Quais os bits enviados? c) São recebidos os bits Verifique se existem erros. d) Qual o comprimento máximo da rajada capaz de ser sempre detetada? g x. Suponha

266 60 Exercícios propostos Carlos Meneses e) Qual a relação de rajadas não detetadas? 3. (secção 3) Considere um código IP checksum tendo como bits de informação a sequência hexadecimal 75A38B0CFFEE em sub-blocos de 4 dígitos hexadecimais. a) Qual a razão do código? b) Qual o checksum? c) Recebem-se os bits 75A38B0CFF60FF60. Existem erros? 33. (secção 3) Suponha um código de controlo de erros com 4 palavras de código (C, C, C3, C4) definidas por: C= C= C3= C4= a) Qual a distância mínima de Hamming deste código? b) Qual a capacidade de deteção e correção do código? c) Qual a razão do código?

267 Exercícios propostos 6 Soluções (não inclui respostas teóricas nem figuras):. a) fs=0 khz; b) Valores de quantificação [ ] V Valores de decisão [,5,5 7,5 ] V; c) SNRq=3,8 db. a) fs=0 khz; b) b) Valores de quantificação [ 0,75 0,5 0,5 0,75] V Valores de decisão [ 0,5 0 0,5 ] V; c) SNRq=,04 db; d) SNRq=,04 db; e) SNRq=,04 db. 3. a) P=3,5 W; b) 03 W. Sim, não se leva em conta alguma saturação; c) SNRq=45 db; d) Rb=3 kbit/s. q 4. a) Valores de quantificação [ 0,375 0,5 0,5 0,375] V Valores de decisão [ 0,5 0 0,5 ]V; Código b) 4; c) n código eq[n] mp[n] mq[n] , , ,5 0,375 0,5 0 0,5 0,5 0, ,375 0, a) SNRq=43,9 db; b) SNRq=3,4 db; c) f =.000 Hz; d) Aumento de 5,7 db; e) A correlação entre amostras consecutivas; f) Aumento de 4 kbit/s; g) Aumento do número de bit/amostra; h) Aumento de 6 kbit/s. 6. a) R=0 bit/amostra; b) Rb=300 kbit/s; c) Gp=6, db SNR=44, db; d) Valores de quantificação [ 0,5 0 0,5 0,5] V Valores de decisão [ 0,5 0,5 0,375 ] V. 7. a) P m 0,33(3) W; b) SNRq=4,4 db; c) SNRq=49,35 db; d) V=0,44 V; e) SNRq=44,08 db. 8. a) SNRq=49,9 db; b) f=666,6(6) Hz; c) Aumento de 0 db; d) Aumento de 5,7 db; e),5 db; f) V=0,87 V; g) Aumento de 0,76 db e V=0,9 V;

268 6 Exercícios propostos Carlos Meneses 9. a) q=0,56 V; b) V=5 V; c) V=5 V; d) Não depende do preditor; e) r[]=0, a) q=0,5 V; b) mmax=4 V; c) Gp=6,0 db; d) R=4 bit/amostra.. a) P= W; b) a=0,867; c) a=0,53.. n b[n] [n] eq[n] mp[n] mq[n] 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 0,5 0,75 0, ,875 0,875 0,875,065 Soluções (não inclui comentários nem figuras): 3. a) Tem erros; b) Não tem erros; c) Tem erros. 4. a) ; b) c[n] = a),375 ms; b) 74,5; c) 40 s; d),475 ms; e),95 ms; f) 55 db. 6. a) UNRZ; b) Não; c) Não. 7. a) R b = Gbit/s; b) E b = 3 nj; c) A=5,66 V. 8. a) Figura 0.5; c(t)=00 V b) y o = 30 mv, y =30 mv;, ot =0 V; c) BER=,35x0-3 ; d) y o = 3 mv, y =3 mv, 0-6 W, BER=,35x0-3. n 9. a) y o =0 V, y =,9 mv; b) Figura 0.5 ; c(t)=54,9 V, ot =6,45 mv; c) BER=5,4x0 -.

269 Exercícios propostos a) Rb=.00 bit/s; b) c(t) bit a Manchester com amplitude 46,9 V, ot =0,66 mv; c) yo= 4,64 mv, y=63,96 mv; d) BER=8,x0-5 ; e) Te=5,5 s. a) Eb=A Tb; b) b d) BER erfc c t R ; c) y Eb ; y 0 0 ; E b 4N 0 e) A BER não seria alterada; Sim, pois diminuiria a energia por bit sem alterar a BER.. a) R s =3,3(3) kbaud; b) c(t)=5,47 V; c) n W; d) =0 V, 8,66 mv, 7,3 mv, 5,98 mv; e) BER=4,35x a) R 9 0; P 0-5 ; b) BER ' 9x0 -. c r 4. a) R 9 6; b) sim; sim; bit m 3 = ; c c) sim; não; os bits (m 3 e m 3 ) ou (m e m 33 ) estão errados. 5. a) BER=,87x0-7 b) R b =5,7 kbit/s; c) BER'=7,4x0-3 ; d) BER'=5,55x a) R b =8 kbit/s; b) BER=4,7x0-8 ; c) 0log 0 E b N0,6 db; d) Te=,4 x0 0 s (7,6 séculos); e) ; f). 7. a) (m7 m6 m5 p4 m3 p p); b) ; c) 0 0 (m7 m6 m5 m3); d) 0 (m7 m6 m5 m3). 8. a) T e =,5 s; b) R b =54,545 kbit/s; c) Aumento de,68; d) BER =,x0-9 ; e) T e =.900 s (3 horas e.00 s); f) BER =3,6x0-7 ; g) T e =70 s; h) i) Síndrome= ; ;

270 64 Exercícios propostos Carlos Meneses 9. a) l=4; b) t=. 30. a) T G 0 H 0 0 b) c0=[ ], c=[0 ], c=[ 0 0], c3=[ 0 ]. c) dmin=, t=0, l=. d) Descodifica c3. e) Corrige para c ou deteta erro. 3. a) Para um código ser cíclico 6 x que se verifica, pois 4 x x e resto 0. x b) 0 0 ; c) r(x)= 0. Existem erros; g x ; e) BFER=0,5. d), ordem de g x x tem que ser raiz de x n x 6, o 3. a) R 3 4 ; b) FF60. c) Soma igual a 008E. Existem erros. c R. 33. a) d min =3; b) d=, t=; c) 6 c

271 Exercícios propostos em MATLAB 65 Exercícios propostos em MATLAB Modulação de pulso Parte PCM (secções 3 e 4) Funções a desenvolver em Matlab:. Uma função que crie um sinal sinusoidal que tenha como entradas: A amplitude, frequência e fase inicial do sinal a gerar. A frequência de amostragem. O tempo (em segundos) do sinal a gerar Uma função que crie as tabelas de quantificação uniforme (o livro de código e a partição), que tenha como entradas: O número de bits de codificação por amostra. O valor máximo do quantificador. O tipo de quantificador (midtread ou midrise). E tenha como saídas: Os valores de quantificação e decisão Uma função que implemente um codificador (transmissor) PCM e que tenha como entradas: Uma amostra (e apenas uma) do sinal a codificar. O número de bits de codificação por amostra. Os valores de decisão do quantificador a utilizar. E tenha como saída: O código PCM em binário

272 66 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses 4. Uma função que implemente um descodificador (recetor) PCM e que tenha como entradas: O código PCM em binário de uma amostra. Os valores de quantificação do quantificador a utilizar E tenha como saída: A amostra quantificada. 5. Uma função que calcule a SNR db de quantificação real e que tenha como entradas: O sinal original. O sinal quantificado. Problemas. Produza s de um sinal sinusoidal com amplitude V, frequência.37 Hz, amostrado a 8 khz (frequência de amostragem da banda telefónica). Codifique e descodifique este sinal em PCM com 3 bits por amostra e com um quantificador uniforme midrise e midtread. a) Codifique e descodifique o sinal. Visualize o código transmitido e o sinal descodificado para as 8 primeiras amostras. Qual o erro de quantificação? Nota: para o quantificador midrise, compare os resultados com os dos exercícios resolvidos e. b) Produza os gráficos do sinal original e do sinal descodificado. Determine o valor da SNR db teórica e compare com o valor real. c) Produza o gráfico do ruído de quantificação. Compare o seu valor máximo com o valor teórico. d) Produza o gráfico do sinal original em relação ao sinal descodificado (não interligue os pontos). O que é que este gráfico representa?

273 Exercícios propostos em MATLAB 67. Repita o problema b), com um quantificador midrise e midtread e 6 bits por amostra. Utilize um sinal de fala como entrada. a) Em termos do ruído de quantificação, quais são as principais diferenças entre os dois quantificadores? b) Produza o histograma do ruído de quantificação, com uma resolução de 00 pontos. Este gráfico explica a diferença de resultados entre os valores da SNR q teórica e real? 3. Codifique e descodifique um sinal de fala normalizado (m max = V) em PCM com quantificação uniforme, com um quantificador midrise, e com um número de bits por amostra R={3, 4, 5, 6, 7, 8}. Oiça o sinal original e os sinais descodificados. Produza um gráfico com os valores da SNR db teórica e real em termos do número de bits por amostra (coloque o número de bits no eixo das abcissas o os valores da SNR db no eixo das ordenadas). Comente. 4. Comprima um sinal de fala por uma não linearidade companding Lei-A (A=87, 56). a) Produza os histogramas do sinal original e do sinal comprimido e compare as duas distribuições. Quais são as principais diferenças e o que é que estas diferenças significam? b) Produza o gráfico do sinal original em função do sinal comprimido (não interligue os pontos). O que é que este gráfico representa? 5. A partir de tabelas de quantificação uniforme midrise de 3 bits, produza as respetivas tabelas em PCM companding. Comente os resultados. Nota: compare os resultados com os do exercício resolvido Implemente um sistema PCM companding com 8 bits de codificação por amostra e um quantificador midrise e determine o valor da SNR db real e teórica. Implemente de formas e compare os resultados. Através do sistema representado na figura 4.3. Criando tabelas de quantificação não uniformes (expansão de tabelas de quantificação uniformes).

274 68 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses 7. Para um codificador PCM companding Lei-A com 8 bits por amostra, mantenha a mesma tabela de quantificação e varie a potência (varie a amplitude sem saturar o quantificador) de uma sinusoide e calcule a SNR db. Produza um gráfico com os valores da SNR db real em termos da potência do sinal (Potência em decibéis no eixo das abcissas em função da SNR db no eixo das ordenadas). Nota: Ver figura Produza o histograma de uma sinusoide com uma resolução de 00 pontos e calcule os valores ótimos de quantificação (algoritmo Max-Lloyd) para 3 bits por amostra. Tire conclusões. Repita para um sinal de fala. 9. Codifique e descodifique um sinal de fala e uma sinusoide, com um quantificador ótimo, com 8 bits por amostra. Compare os resultados obtidos com os obtidos em PCM uniforme e companding. Comente os resultados nomeadamente listando pela ordem do melhor para o pior. Repita para um sinal sinusoidal. Compare e tire conclusões. Problemas Parte - Codificação preditiva (secção 5) 0. Para um sinal sinusoidal (seno) amostrado a f s 6 khz e frequência 47 Hz, a) Produza o gráfico de cada amostra do sinal em função da respetiva amostra anterior (não interligue os pontos). Existe correlação entre as amostras e as amostras anteriores? b) Calcule o erro de predição (preditor unitário) e[n] = m[n] m[n ] = m[n] m p [n]. Calcule o seu valor máximo. Quais são as vantagens em codificar o erro de predição em vez do sinal original? Nota: Num codificador DPCM a predição é feita a partir das amostras quantificadas. c) Calcule a potência do sinal de entrada e do erro de predição, o ganho de predição e o valor máximo de quantificação através de mmax V. Visualize G p o erro de predição e tire conclusões sobre o seu valor máximo.

275 Exercícios propostos em MATLAB 69 d) Calcule a autocorrelação normalizada do sinal de entrada para um atraso de uma amostra. Compare com o valor teórico. e) Calcule o ganho de predição e o valor máximo de quantificação a partir do valor da autocorrelação e compare com os resultados obtidos na alínea b) e c).. Repita o exercício utilizando um sinal de fala normalizado. Compare e tire conclusões.. Para sinais sinusoidais com frequência 667,.500 e.333 Hz, produza o gráfico do sinal original em função da sua predição m p [n]=am[n ], para preditor unitário e preditor adaptado. Compare os gráficos com os obtidos em a) e e tire conclusões quer quanto à variação da frequência dos sinais quer quanto ao tipo de preditor. Funções a desenvolver em Matlab:. Uma função que implemente um codificador DPCM, que tenha como entradas: Uma amostra (e apenas uma) do sinal a codificar. O número de bits de codificação por amostra. Os valores de quantificação e decisão (o livro de código e a partição). O valor predito da amostra. E tenha como saídas: O código binário em DPCM. A amostra descodificada Uma função que implemente um descodificador DPCM, que tenha como entradas: O código binário em DPCM (correspondente a apenas uma amostra). Os valores de quantificação. O valor predito da amostra. E tenha como saída: A amostra descodificada

276 70 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses 3. Uma função que simule um canal digital que tenha como entradas: A sequência binária original. A probabilidade de erro de bit. E tenha como saída: Problemas A sequência binária com erros. 3. Codifique e descodifique um sinal de fala normalizado (m max = V) em DPCM com o valor máximo de quantificação calculado a partir da autocorrelação com preditor unitário. Utilize um quantificador midrise e midtread de 4 bits/amostra e compare-os. a) Visualize o sinal codificado e tire conclusões sobre o ruído granular; b) Visualize o erro de quantificação. Tire conclusões sobre a saturação de declive; c) Calcule as relações sinal-ruído de quantificação reais e teóricas. 4. Repita o problema anterior para um sinal sinusoidal (seno, f s 6 khz, frequência 47 Hz). 5. Codifique e descodifique um sinal sinusoidal (seno, f s 6 khz e frequência 47 Hz) em DPCM, com 4 bits por amostra e com V calculado na melhor situação do exercício anterior, acrescido de 0% de modo a minimizar a saturação de declive. Faça uma tabela com os valores de V, ganho de predição e relações sinal-ruído de quantificação reais e teóricas nas seguintes situações: a) Com preditor unitário; b) Com preditor adaptado; c) Com coeficiente de predição 0; Qual método de codificação está a utilizar? 6. Repita o problema anterior introduzindo 0,00 de probabilidade de erros de bit no canal de transmissão. Liste por ordem os métodos de codificação em relação ao impacto dos erros no canal e explique as causas deste impacto. 7. Implemente um codificador DM como caso particular de DPCM com bit por amostra e com = V, tendo como entrada uma sinusoide. Calcule a relação sinal-ruído. Analise o comportamento na presença de erros de bit no canal de transmissão.

277 Exercícios propostos em MATLAB 7 Tenha em atenção as seguintes funções do MATLAB: wavread lê ficheiros tipo wav wavwrite grava ficheiros tipo wav sound toca um sinal soundsc normaliza e toca um sinal quantiz quantifica e codifica um sinal compand comprime ou descomprime debi converte de decimal para binário bide converte de binário para decimal plot cria um gráfico com um sinal subplot define áreas para gráficos grid desenha grelha num gráfico hist cria histograma lloyds cria tabelas de quantificação com o algoritmo Max-Lloyd

278 7 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses Transmissão num Canal AWGN (secções e ) Funções a desenvolver em Matlab:. Uma função que gera uma sequência binária equiprovável, que tenha como entrada: O número de bits a gerar Uma função que gera o símbolo a do código de linha Manchester e o código correspondente a uma sequência binária e tenha como entradas: A sequência binária a codificar. A amplitude A do código de linha. O número T de pontos de simulação por símbolo (T é par e maior ou igual a 4) Uma função que implemente um canal AWGN. Esta função devolve o código de linha com ruído e tem como entradas: O código de linha correspondente à sequência binária. A potência do ruído Uma função que implemente um recetor ótimo para um código de linha binário com ruído. Esta função devolve a sequência binária descodificada, e tem como entradas: O código de linha com ruído. O símbolo ao nível lógico a utilizar no filtro adaptado. O valor do limiar de decisão

279 Exercícios propostos em MATLAB Uma função que gera o símbolo a do código de linha UNRZ e o código correspondente a uma sequência binária e tenha como entradas: A sequência binária a codificar. A amplitude A do código de linha. O número T de pontos de simulação por símbolo Uma função que gera o código de linha PAM BQ, e que tenha como entradas: A sequência binária a codificar. A distância entre símbolos a. O número T de pontos de simulação por símbolo Uma função que implemente um recetor ótimo para o código de linha PAM BQ. Esta função devolve a sequência binária descodificada e tem como entradas: O código de linha com ruído. A distância entre símbolos a. O número T de pontos de simulação por símbolo Problemas. Simule um sistema de transmissão digital em MATLAB. O sistema deve converter uma sequência binária num código de linha Manchester, UNRZ ou BQ, simular um canal AWGN adicionando ruído branco e gaussiano ao sinal a transmitir e descodificar a sequência com filtro ótimo. O sistema tem como entradas (e valor de referência): O número de bits a simular (00 kbit). A amplitude A, do código de linha ( V) ou a distância a ( V) em BQ. O número T, de pontos de simulação por símbolo (4 pontos). A potência do ruído no canal de comunicação (0 dbw).

280 74 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses e tem como saídas: A sequência binária recebida. A BER. O valor teórico da BER (Apêndice ). Determine a BER real e teórica, produza uma tabela e um gráfico dos resultados e comente a evolução da BER nas situações seguintes: a) Variando A (ou a). b) Variando T. c) Variando a potência do ruído no canal. d) Para Manchester e UNRZ varie (Apêndice 9, Equação A.9.). Nota : Tenha em conta o número de bits transmitidos na escolha do limite mínimo da BER.. Produza o gráfico da BER em função da relação E b N0 (ver figuras 0. e.6) para os três métodos em conjunto e compare-os. Nota : Para valores elevados da BER em BQ, justifique porque o valor teórico é mais baixo que o valor real. Tenha em atenção as seguintes funções do MATLAB: rand, randn gera números aleatórios ones gera uma matriz de uns erfc função complementar do erro

281 Exercícios propostos em MATLAB 75 Codificação de controlo de erros (secção 4) Funções a desenvolver em Matlab:. Uma função que gera uma sequência binária equiprovável (ver função do exercício Transmissão num Canal AWGN ), que tenha como entrada: O número de bits a gerar Uma função que implemente um codificador de repetição e que tenha como entradas: A sequência binária a codificar. O número de repetições Uma função que simule um canal digital (ver função 4 do exercício Codificação Preditiva ) gerando erros numa sequência binária e que tenha como entradas: A sequência binária sujeita a erros. A probabilidade de erro de bit Uma função que implemente um descodificador de repetição e que tenha como entrada: A sequência binária a descodificar. O número de repetições Uma função que implemente um codificador Hamming H(7,4) e que tenha como entrada: A sequência binária a codificar

282 76 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses 6. Uma função que implemente um descodificador Hamming H(7,4) e que tenha como entrada: A sequência binária a descodificar Problemas. Pretende-se simular um sistema de controlo de erros num canal digital. O sistema deve codificar uma sequência binária através de um código de repetição, sujeitar a sequência resultante a erros e descodificar corrigindo os erros. a) Para o número de repetições de 3, avalie o codificador para diversos valores da probabilidade de erro e compare os valores obtidos com os valores teóricos. b) Para uma BER de 0,, avalie o codificador para diversos valores de repetições compare os valores obtidos com os valores teóricos. c) Para um código Hamming H(7,4), avalie o codificador para diversos valores da probabilidade de erro e compare os valores obtidos com os valores teóricos. d) Compare os resultados com os obtidos com os diversos códigos, nomeadamente o compromisso entre a BER após correção e a razão de código. Tenha em atenção as seguintes funções do MATLAB: nchoosek Cálculo de combinações Nota: Dado que utiliza valores elevados da BER não deve desprezar o termo ( BER) n j da equação 4.5 nas fórmulas teóricas, sendo j o número de bits errados.

283 Exercícios propostos em MATLAB 77 Projeto de Comunicação Digital de Sinais Objetivo: Pretende-se implementar e testar um sistema de comunicação digital simulado em MATLAB, representado no diagrama de blocos seguinte: Especificações do sistema Sinal de entrada Sinal em formato wav; Em alternativa colocar uma sinusoide com amplitude, frequência e frequência de amostragem especificadas pelo utilizador. Codificador/Descodificador Codificar DPCM; Número de bits de codificação por amostra especificado pelo utilizador; Valor máximo de quantificação especificado pelo utilizador ou calculado automaticamente; Coeficiente de predição especificado pelo utilizador ou calculado automaticamente. Código de linha Código de linha PAM BQ; Distância entre símbolos especificado pelo utilizador; Número de pontos de simulação especificado pelo utilizador.

284 78 Exercícios propostos em MATLAB Carlos Meneses Canal Canal com ruído aditivo branco e gaussiano (AWGN); Potência do ruído no canal especificada pelo utilizador. Receção de sinais digitais Recetor ótimo com detetor de máxima verosimilhança. Codificação para controlo de erros Código de Hamming H(7,4), apenas na situação de codificação de 4 bits por amostra. Inibição do código especificada pelo utilizador. Medidas de qualidade. Para o sinal de fala SNRq; Para a cadeia binária BER (antes e após correção); Comparar valores teóricos com valores obtidos na simulação. Situações a simular Codificador/Descodificador de sinal:. Variar o número de bits de codificação por amostra;. Variar o coeficiente de predição. Testar o valor 0,, ótimo e a sua vizinhança; 3. Verificar o impacto do coeficiente de predição no impacto dos erros do canal; Código de linha: 4. Variar a energia por bit (com a mesma potência de ruído no canal); Variar a distância entre símbolos; Variar o número de pontos de simulação por símbolo. 5. Variar a potência do ruído no canal; Codificação para controlo de erros: 6. Verificar o efeito do código de Hamming H(7,4); 7. Verificar a SNRq com o mesmo débito binário com e sem correção de erros.

285 Glossário 79 Glossário BQ binary quaternary AC Corrente alternada ADM Adaptive Delta Modulation (DM Adaptativa) ADPCM Adaptive Differential Pulse Code Modulation (DPCM Adaptativo) ADSL Asymmetric Digital Subscriber Line AMI Alternate Mark Inversion AQB Adaptive quantization with backward estimation (quantificação adaptativa com estimação sobre o sinal quantificado) AQF Adaptive quantization with forward estimation (quantificação adaptativa com estimação sobre o sinal original) ARQ Automatic repeat request ASCII American Standards Committee for Information Interchange AWGN Additive White Gaussian Noise BCC Block (sum) check character BER Bit Error Rate BFER Burst Frame Error Rate bit binary digit (dígito binário) BNRZ Bipolar No Return to Zero BNZS Bipolar with N Zero Substitution CD Compact Disc CRC Cyclic redundancy check DC Direct current (corrente continua) DECT Digital Enhanced Cordless Telecommunications DM Delta Modulation (Modulação Delta) DPCM Differential Pulse Code Modulation (Mod. por Código de pulso Diferencial) erfc complementary error function FEC Forward error correction GSM Group special mobile

286 80 Glossário Carlos Meneses IP Internet protocol ISI Inter-symbolic Interference ISO International Organization for Standardization ITU-T International Telecommunication Union-Telecommunication MAP Máximo a posteriori MLT-3 Multi-Level Tansition MV Máxima Verosimilhança NRZI No Return to Zero Invert NRZ-M No return to Zero - Mark NRZ-S No return to Zero - Space OSI Open System Interconnection PAM Pulse Amplitude Modulation PCM Pulse Code Modulation (Modulação por código de pulso) PNRZ Polar no Return to Zero POTS Plain old telephone service PRZ Polar Return to Zero RAM Random Access Memory RDIS Rede Digital Integrada de Serviços RZ Return to zero S&H Sampling & Hold (Amostragem e Retenção) SNR Signal to Noise Ratio (Relação Sinal-Ruído) SPL Sound Pressure Level TDT Televisão Digital Terrestre UMTS Universal Mobile Telecommunications System UNRZ Unipolar no Return to Zero USB Universal Serial Bus

287 Bibliografia 8 Bibliografia S. Haykin, Michel Moher, Communication Systems, 5 th Ed., Willey, 009. S. Haykin, Michel Moher, Communication Systems, International Students Version, 5 th Ed., Willey, 009. A. Bruce Carlson, Paul B. Crilly, Janet C. Rutledge, Communications and Systems, 4 th Ed., McGrawHill, 00. F. Halsall, Data Communication, Computer Networks and Open Systems, 4 th Ed., Addison-Wesley, 996. F. Halsall, Computer Network and the Internet, 5 th Ed., Addison-Wesley, 005. H. P. Hsu, Comunicação Analógica e Digital, ª Ed., Coleção Schaum, 006. N. S. Jayant, P. Noll, Digital Coding of Waveforms, Principles and Applications to Speech and Video, Prentice-Hall Signal Processing Series, 970. N. S. Jayant, Digital Coding of Waveforms: PCM, DPCM, and DM Quantizers, Proc. IEEE, pp. 6-63, 974. B. P. Lahti, Sistemas de Comunicação, Editora Guanabara, 968. Y. Lai, Implementation of Adaptive Differential Pulse-Code Modulation (ADPCM) Transcoder with the DSP6 Digital Signal Processor, AT&T Appl. Note, 988. S. P. Lloyd, Least squares quantization in PCM, Bell Telephone Laboratories Paper, 957, republicado em IEEE Transactions on Information Theory 8 (): 9-36, 98.

288 8 Bibliografia Carlos Meneses J. L. LoCicero, B. P. Patel, Chapter 6 of Mobile Communication Handbook (J. Gibson) - Line Coding, Chapman & Hall/CRCnetBASE, 999. J. Max, Quantizing for Minimum Distortion, IRE Trans. Inform. Theory, vol. IT-6, pp. 7-, Março de 960. M. Schwartz, Information Transmission Modulation and Noise, 4 th Ed., Mc Graw Hill, 990. C. E. Shannon, Communication in the presence of noise, Proc. IRE, vol. 37, pp. 0-, January B. Skalar, Digital Communication Fundamentals and Applications, Prentice Hall, 00.