JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA USO DO MICROSOFT EXCEL NA ANÁLISE DE REGRESSÃO NÃO-LINEAR

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1 JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA USO DO MICROSOFT EXCEL NA ANÁLISE DE REGRESSÃO NÃO-LINEAR Monografia de final de curso apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras como parte das exigências do curso de Ciência da Computação para a obtenção do título de Bacharel em Ciência da Computação Orientador Prof. Paulo César Lima LAVRAS MINAS GERAIS - BRASIL 2002

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3 JOSIANE MAGALHÃES TEIXEIRA DO MICROSOFT EXCEL NA ANÁLISE DE REGRESSÃO NÃO-LINEAR Monografia de final de curso apresentada ao Departamento de Ciência da Computação da Universidade Federal de Lavras como parte das exigências do curso de Ciência da Computação, para a obtenção do título de Bacharel em Ciência da Computação APROVADA em 10 de Dezembro de Prof. Paulo Cesar Lima Prof. André Luiz Zambalde Prof. Paulo César Lima UFLA (Orientador) LAVRAS MINAS GERAIS - BRASIL ii

4 iii...embora não queira saber nem como, nem onde, você me ensinou que existe uma pergunta que todos nós devemos fazer, sempre que começamos qualquer coisa. A pergunta é a seguinte: Para quê? Para que tenho que fazer isto? Paulo Coelho

5 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... 6 LISTA DE TABELAS Resumo INTRODUÇÃO REFERENCIAL TEÓRICO Regressão Regressão Linear nos Parâmetros Método dos Mínimos Quadrados Coeficiente de Explicação ou de Determinação Regressão Linear por Transformação Regressão não-linear Regressão não-linear no Excel Regressão não-linear no SAS MATERIAIS E MÉTODOS Exemplo I Exemplo II Exemplo III Exemplo IV RESULTADOS E DISCUSSÕES Exemplo I Exemplo II Exemplo III Exemplo IV CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anexos Anexo A Parâmetros do Solver e suas funções Opções do parâmetro Opções do Solver Anexo B Dados completos do Exemplo II Dados completos do Exemplo III Anexo C Relatório de Limites Exemplo I iv

6 Relatório de Limites Exemplo II Relatório de Limites Exemplo III Anexo D Resultados SAS Exemplo I PROC NLIN Resultados SAS Exemplo I PROC MODEL Resultados SAS Exemplo II PROC NLIN Resultados SAS Exemplo II PROC MODEL Resultados SAS Exemplo III PROC NLIN Resultados SAS Exemplo III PROC MODEL v

7 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Gráfico dos desvios Figura 2 Parâmetros da Função Solver (Microsoft Excel, 2000) Figura 3 Opções do Solver (Microsoft Excel, 2000) Figura 4 Caixa de Diálogo Resultados do Solver (Microsoft 2000) Figura 5 Parâmetros do Solver para os dados da função de Boltzmann (Microsoft Excel, 2000) vi

8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Planilha do Microsoft Excel após ter sido configurada para uso com a função de Boltzmann Tabela 1 Planilha do Microsoft Excel após ter sido configurada para uso com a função de Boltzmann para os dados do Exemplo II Tabela 3 Planilha do Microsoft Excel após ter sido configurada para uso com a função de Boltzmann para os dados do Exemplo III Tabela 4 Resultados do Solver para os dados do Exemplo I Tabela 5 Comparação dos resultados do SAS e do Solver Exemplo I Tabela 6 Resultados do Solver para os dados do Exemplo II Tabela 7 Comparação dos resultados do SAS e do Solver - Exemplo II Tabela 8 Resultados do Solver para os dados do Exemplo III Tabela 9 Comparação dos resultados do SAS e do Solver Exemplo III.. 49 vii

9 RESUMO Um dos problemas freqüentemente encontrados na prática é descrever e predizer fenômenos observados. Isto pode ser obtido através da construção de um modelo matemático que relacione as variáveis envolvidas no fenômeno, estabelecendo uma relação funcional entre essas variáveis. A análise de regressão é um instrumento de ajuste de um modelo probabilístico relacionando determinadas variáveis conhecidas ou não. Geralmente, os modelos considerados são resumidos em 3 categorias: modelos lineares em relação a seus parâmetros, modelos linearizáveis e modelos não-lineares. Os últimos são utilizados em diversas áreas de pesquisa científica, como a agropecuária, em estudos demográficos, em análises de crescimento biológico e outros. Estes modelos têm a vantagem de sintetizar um grande número de informações em apenas alguns parâmetros que podem ser interpretados biologicamente. Em síntese, regressão não-linear, em um primeiro momento, pode ser visto como uma técnica geral para ajuste de curvas para os dados com os quais se está trabalhando, encontrando os valores dos parâmetros que constituem a curva mais representativa destes. Diferentemente do que ocorre com regressão linear, a técnica de regressão não-linear requer uma aproximação computacional, ou seja, um processo iterativo. Por este motivo, programas computacionais são ferramentas imprescindíveis para a resolução de tal tipo de regressão. Neste ponto é que se encontra a diferença básica entre o modelo linear e o não -linear: o fato de que o primeiro pode facilmente ser resolvido sem a ajuda de programas computacionais, o que, em virtude da complexidade dos cálculos de suas derivadas e do procedimento iterativo, é praticamente impossível para a nãolinear. Palavras-chaves: regressão não-linear, Excel, SAS e Solver 8

10 1 INTRODUÇÃO Um dos problemas freqüentemente encontrados na prática é descrever e predizer fenômenos observados. Isto pode ser obtido através da construção de um modelo matemático que relacione as variáveis envolvidas no fenômeno, estabelecendo uma relação funcional entre essas variáveis. Esta relação é dada por uma função, de forma que se tenha uma boa aproximação entre os valores observados e aqueles fornecidos por esta função. Se fosse possível conhecer e controlar todas as variáveis que interferem no fenômeno, seria também possível estabelecer uma função determinística relacionando essas variáveis e, então, os valores obtidos seriam exatos e não aproximados. Entretanto, freqüentemente não se tem conhecimento de todas as variáveis; assim sendo, o modelo que se estabelece leva em consideração as variáveis que podem ser controladas (estas são relacionadas matematicamente) e aquelas que não podem ser controladas (estas são consideradas como tendo uma variação aleatória) (Guerra & Donaire, 1982). A análise de regressão é um instrumento de ajuste de um modelo probabilístico relacionando determinadas variáveis conhecidas ou não. Existem vários métodos de análise de regressão e, para a aplicação de algum destes é necessário a resolução prévia de determinados problemas, os quais podem comprometer os resultados esperados. Tais problemas podem ser resumidos basicamente em 3: - Especificação: consiste em se determinar a forma matemática da função, definindo a maneira como as variáveis controladas influenciam na realização do fenômeno. Isto pode ser feito de duas formas diferentes, muitas vezes complementares: utilizando o conhecimento que se tem a priori sobre o fenômeno ou através da observação do diagrama de dispersão. 9

11 - Estimação dos parâmetros: após se especificar a forma matemática da função é necessário estimar os valores dos parâmetros do modelo. Esse cálculo é feito a partir dos valores observados na amostra, por processo de estimação. Um dos métodos mais comuns para se fazer estimação destes parâmetros é chamado Método dos Mínimos Quadrados. - Verificação da especificação: consiste em se verificar se a especificação adotada na primeira etapa adapta-se convenientemente aos dados. Esta verificação é feita, após o cálculo das estimativas dos parâmetros, comparando os valores observados com aqueles calculados através da especificação adotada (Guerra & Donaire, 1982). Segundo Barroso et al. (1987), além de considerar o modelo através do qual os sistemas estão representados, deve-se também considerar, os valores associados que uma variável pode assumir, os valores dos erros experimentais e outras variáveis cujos valores se alteram durante o experimento. Geralmente, os modelos considerados são resumidos em 3 categorias: - Modelos lineares em relação a seus parâmetros - Modelos linearizáveis, que podem ser transformados em lineares através de alguma transformação (anamorfose) - Modelos não-lineares No presente estudo daremos ênfase aos modelos de regressão nãolinear. Tais modelos são utilizados em diversas áreas de pesquisa científica, como a agropecuária, em estudos demográficos, em análises de crescimento biológico e outros. Estes modelos têm a vantagem de sintetizar um grande número de informações em apenas alguns parâmetros que podem ser interpretados biologicamente. 10

12 Segundo Ratkowsky (1983), um modelo de regressão não-linear é aquele no qual os parâmetros apresentam-se da seguinte maneira: Y i = X i + e i, onde é o parâmetro a ser estimado, Y i são os valores observados, X i é a variável independente e e i uma variável aleatória não controlável. Segundo Souza (1986), existe uma grande variedade de métodos para a resolução de problemas que utilizam regressão não-linear, e qual deles é o melhor irá depender da aplicação específica. Na realidade, não existe um método que seja superior a todos os outros para todos os problemas, o que se vê é que certos tipos de métodos são mais eficientes para determinados tipos de problemas. Por ser o processo mais simples, a maioria dos livros e softwares de estatística, descrevem o ajuste de modelos lineares nos parâmetros. Estes fornecem as estimativas dos parâmetros que definem a reta que minimiza a soma da distância entre os dados observados e os valores fornecidos pela função. As equações usadas para se chegar a este fim podem ser facilmente derivadas, podendo este processo sem muita dificuldade, ser executado mecanicamente por qualquer um que tenha conhecimentos básicos de cálculo. Mas, muitas relações não seguem um modelo deste tipo. Sendo assim, existem duas opções: - realizar transformações matemáticas a fim de forçar os dados a se relacionarem de maneira linear, usando então o ajuste da regressão linear; - usar modelos de regressão não-linear Em síntese, regressão não-linear, em um primeiro momento, pode ser visto como uma técnica geral para ajuste de curvas para os dados com os quais se está trabalhando, encontrando os valores dos parâmetros que constituem a curva mais representativa destes. Com exceção de alguns casos 11

13 especiais, não é possível derivar diretamente a função que compute os melhores valores ajustados para os dados. Diferentemente do que ocorre com regressão linear, a técnica de regressão não-linear requer uma aproximação computacional, ou seja, um processo iterativo. Por este motivo, programas computacionais são ferramentas imprescindíveis para a resolução de tal tipo de regressão. Neste ponto é que se encontra a diferença básica entre o modelo linear e o não-linear: o fato de que o primeiro pode facilmente ser resolvido sem a ajuda de programas computacionais, o que, em virtude da complexidade dos cálculos de suas derivadas e do procedimento iterativo, é praticamente impossível para a nãolinear. Baseado no fato de que grande maioria dos computadores possui instalado o Microsoft Excel, estudou-se a utilização e viabilidade de tal software para a resolução de problemas de regressão não-linear. 12

14 2 REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 Regressão De acordo com Souza (1986), a teoria de Regressão teve origem no século XIX com Galton. Em um de seus trabalhos ele estudou a relação entre a altura dos pais e dos filhos (X i, Y i ), procurando saber como a altura do pai influenciava a altura do filho. Notou que se o pai fosse muito alto ou muito baixo, o filho teria uma altura tendendo à média. Por isso, ele chamou de regressão, ou seja, existe uma tendência de os dados regredirem à média. Segundo Magalhães (2002), a análise de regressão é uma técnica potencialmente útil na análise de dados, tendo grande aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento. Tal aplicação a um conjunto de dados é feita quando se pretende estudar o comportamento de uma variável dependente em função de uma ou mais variáveis independentes. Sendo assim, os principais objetivos da aplicação da análise de regressão podem ser resumidos nos seguintes pontos: Predição: uma vez que se espera que uma parte (que se deseja que seja a maior) da variação de Y seja explicada pelas variáveis X, então, podese utilizar o modelo para obter valores de Y correspondentes a valores de X que não estavam entre os dados. Esse processo denomina-se predição e, em geral, são usados valores de X que estão dentro do intervalo de variação estudado. A utilização de valores fora desse intervalo recebe o nome de extrapolação e, deve ser usada com muito cuidado, pois o modelo adotado pode não ser correto fora do intervalo estudado. Este, talvez, seja o uso mais comum dos modelos de regressão. Seleção de variáveis: freqüentemente, não se tem idéia de quais são as variáveis que afetam significativamente a variação de Y. Para responder a esse tipo de questão, conduzem-se estudos onde está presente um grande número de variáveis. A análise de regressão pode auxiliar no processo de 13

15 seleção de variáveis, eliminando aquelas cuja contribuição não seja importante. Estimação de parâmetros: dado um modelo e um conjunto de dados (amostra) referente às variáveis respostas e preditoras, estimar parâmetros, ou ainda, ajustar o modelo aos dados significa obter valores (estimativas) para os parâmetros, por algum processo, tendo por base o modelo e os dados observados. Em alguns casos, o valor do coeficiente tem valor por si só. Inferência: o ajuste de um modelo de regressão tem, em geral, por objetivos básicos, além de estimar os parâmetros, realizar inferências sobre eles, tais como testes de hipóteses e intervalos de confiança. Guerra & Donaire (1982), descrevem um modelo da seguinte maneira: Y = g (X 1, X 2,..., X n ) = g (X 1, X 2,..., X k ) + g (X k+1,..., X n ) onde: Y X 1, X 2, X 3,..., X n g variável que se quer conhecer ou analisar variáveis que influenciam Y função que relaciona as variáveis, e: X 1, X 2, X 3,..., X k X k+1, X k+2,..., X n variáveis controladas. variáveis não controladas, 14

16 Tem-se então que: Y = f (X i ) + U i = 1, 2,..., k onde f (X i ) = g (X 1, X 2, X 3,..., X k ) é chamada parte funcional do modelo e, U = g (X k+1, X k+2, X k+3,..., X n ) é a parte aleatória do modelo. Segundo Toledo & Ovalle (1985), a parte aleatória é responsável pelo fato de que para um mesmo X pode-se não observar necessariamente o mesmo Y. Desta maneira, uma nova relação pode ser escrita como Y = f (X i ) + e na qual f(x i ) continuará sendo uma função matemática e, e será o resíduo (erro). Segundo Bussab (1986), este resíduo é a diferença entre os valores observados (coletados) e os valores ajustados (calculados). Para cada observação i temos associado o resíduo ê i como sendo ê = Y - A finalidade de se estudar o resíduo é verificar se modelos errôneos e de pouca utilidade forma utilizados, acarretando baixa confiabilidade nos seus resultados. 15

17 2.2 Regressão Linear nos Parâmetros Dado um determinado conjunto de valores observados de X e Y, um modelo de regressão linear é construído obtendo-se a partir destes valores, uma reta que melhor represente a verdadeira relação entre as duas variáveis em questão. Segundo Guerra & Donaire (1982), existem vários tipos de regressão linear: a regressão linear simples, a múltipla, a polinomial e a regressão linear por transformação. A regressão linear simples é o caso de regressão em que só é conhecida e se controla a variável que afeta o fenômeno, e, além disso, a parte funcional da regressão é uma reta: Y = f (X) + U = (α + βx) + U A reta obtida é chamada reta de regressão de Y sobre X, β é chamado de coeficiente de regressão, sendo calculado assim como α, pelo método dos mínimos quadrados. A regressão linear múltipla é o caso de regressão em que se sabe como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear: Y = f(x 1, X 2,..., Xk) + U onde f(x 1, X 2,..., X K ) = α + β 1 X 1 + β 2 X β K X K A estimativa dessa equação de regressão será dada por: 16

18 = a + b 1 X 1 + b 2 X b K X K onde as estimativas a, b 1, b 2,... b k dos coeficientes α, β 1, β 2,..., β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, de maneira análoga àquelas adotadas para regressão linear simples. Já a regressão polinomial é o caso em que se conhece a maneira segundo qual uma única variável contribui para a realização do fenômeno. A parte funcional da regressão é uma função polinomial: Y = f (X) + U onde f (x) = α + β 1 X 1 + β 2 X 2 +β 3 X β k X k A estimativa desta equação de regressão será dada por: = a + b 1 X + b 2 X 2 + b 3 X b k X k onde as estimativas a, b 1, b 2, b 3... b K dos coeficientes α, β 1,..., β k podem, também, ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados. E por último, a regressão linear por transformação é realizada com a utilização de expressões deduzidas para regressão linear simples, no caso de regressões que não sejam lineares, podendo se tornar mediante transformações simples. 2.3 Método dos Mínimos Quadrados Segundo Guerra & Donaire (1982), o método dos mínimos quadrados é um dos métodos mais utilizados para estimar os parâmetros da 17

19 regressão. A finalidade é calcular as estimativas de forma que as diferenças entre os valores observados e os calculados sejam mínimas. Esta diferença é chamada desvio de cada valor real Y i em relação à sua estimativa i e é dado por Yi i. O gráfico abaixo mostra esta diferença. Y i Y pontos estimados ( i) pontos observados Figura 1: Gráfico dos desvios X i X O método os mínimos quadrados fornece estes valores de a e b tais que (Yi i ) 2 seja mínimo. No caso de regressão linear simples, é desenvolvido da seguinte forma: Seja Y = α + βx a reta de regressão de Y sobre X = a + bx a estimativa da reta de regressão γ função das estimativas (a e b) dos Portanto: parâmetros (α e β) da regressão 18

20 γ (a, b) = min [ Σ (Y i - i) 2 ] = mín [Σ (Y i - a bx i ) 2 ] Para que o somatório dos quadrados dos desvios seja mínimo deve-se garantir a condição de minimização. Tal condição estabelece que as derivadas parciais da função γ em relação às variáveis a e de b sejam igualadas a 0: dy/da = 0 e dy/db = 0 onde dγ / da e dγ / db representam as derivadas parciais da função γ em relação às variáveis a e b, respectivamente. Derivando γ tem-se que: dγ/da = -2Σ (Y i a bx i ) = 0 dγ/db = -2Σ [X i (Y i a bx i )] = 0 Como se tem n observações, é possível escrever as expressões acima da seguinte maneira: -2Σ (Y i a bx i )=0 Σ(Y i a bx i ) = ΣY i na - bσx i = 0-2Σ[X i (Y i a bx i )]=0 Σ(Y i a bx)x i = ΣX i Y i - aσx i - bσx 2 =0 E ainda como: ΣY i = na + bσx i ( I ) ΣX i Y i = aσx i + bσx 2 ( II ) 19

21 Mas, isto ainda não é suficiente, pois o objetivo do método é estimar os parâmetros em questão, a e b. É fácil observar que as duas equações acima constituem um sistema linear com 2 incógnitas e pode ser resolvido por qualquer método conhecido. Seja então a equação ΣY i = na + bσx i isolando a teremos: a = Σ Y i / n bσx i / n Após isto ser feito, basta substitui o valor de a encontrado na equação (II) para se achar o valor de b. 2.4 Coeficiente de Explicação ou de Determinação (R 2 ) Em qualquer tipo de regressão, seja ela linear ou não linear, não basta determinar os valores dos parâmetros em questão. É necessário, também, avaliar a qualidade do ajuste feito, para verificar o quanto o modelo adotado explica a realidade. Segundo Guerra & Donaire (1982) existem alguns indicadores que podem ser usados para tal fim. Um deles é o coeficiente de explicação (R 2 ), que explica a relação entre a variação explicada pela regressão e a variação total. O valor deste fornece a proporção da variação total da variável Y explicada pela variável X através da função ajustada. O valor de R 2 poderá variar entre 0 e 1. Segundo Toledo & Ovalle (1985), quanto mais próximo de 1 estiver o coeficiente, melhor a qualidade do ajuste da função, e quanto mais próximo de 0 menos confiável é o ajuste feito. 20

22 2.5 Regressões Lineares por Transformações Segundo Guerra & Donaire (1982) é possível com as mesmas expressões utilizadas em regressão linear realizar outros tipos de regressões que, embora não sejam lineares, podem se tornar lineares mediante transformações simples. Observe que o modelo Y I = β 0 + β 1 X I + β 2 X 2 + e i tem como formar resultante uma curva, no entanto o espaço caracterizada por seus parâmetros é de natureza linear. Modelos que podem ser linearizados são denominadas de intrinsicamente não lineares. Alguns desses casos são mostrados abaixo. Função Potência W = AR b onde A, b = constantes. Esta função pode ser escrita como logw = loga + blogr. Com isto, a seguinte transformação pode ser feita: logw = Y, loga = a, logr = X. Assim, tem-se que Y = a + bx (linear). Função Hipérbole I W = AR -b onde A, b = constantes. Pode-se escrever esta mesma função como logw = loga - blogr. Com as mesmas transformações realizadas para a função potência tem-se que Y = a bx. Função Hipérbole II 21

23 Y = a + Br -1 onde a, b = constantes. A transformação a ser feita é: R -1 = X. Assim, obtêm-se Y = a + bx (linear). O mesmo processo pode ser realizado para Y = a - Br -1. Função Hipérbole III 1/W = Y. W = (a + bx) -1 onde a, b = constantes. Após a transformação a função é da seguinte forma Y = a + bx, onde Função Exponencial W = AB X onde A, B são constantes. A função pode ser escrita como logw = loga + XlogB. Para realizar a transformação é necessário fazer logw = Y, loga = a e logb = b. Tem-se então a seguinte função linear Y = a + bx. Função Exponencial Múltipla W = AB X1 1 B X2 2 onde A, B 1, B2 são constantes. Esta função pode ser escrita como logw = loga + X 1 logb 1 + X 2 logb 2. Para transforma-la em Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 que é uma função linear basta realizar a seguinte substituição: logw = Y, loga = a, logb 1 = b 1 e logb 2 = b 2 (Guerra & Donaire, 1982). 2.6 Regressão não-linear 22

24 Modelos lineares nem sempre são adequados para representar algumas situações, mas podem ser mais facilmente resolvidos, em parte devido ao seu fácil ajuste (sem o uso de computadores), do que os modelos não-lineares. Segundo Brown (2001), antes do surgimento dos computadores pessoais e dos programas para ajustes de curvas não lineares, os dados podiam ser transformados para uma forma linear e em seguida analisados por este tipo de regressão (linear). O que ocorre é que estas transformações poderiam trazer resultados imprecisos se realizada com dados transformados como se fosse uma regressão linear, e estes também poderiam distorcer o erro experimental e também alterar a real relação entre os valores de X e de Y. Portanto, é um método que não deve ser utilizado por causa de sua imprecisão. Em vez disto, para dados que não são descritos por uma função linear, deve-se implementar um protocolo que fará o ajuste dos dados com o uso de uma função não linear. Draper & Smith (1998), classificam um modelo não-linear como sendo um modelo que não se enquadra em nenhum dos outros dois casos: não é um modelo linear e também não é possível transformá-lo em um. Considera-se o modelo: Y i = x i + e i onde o erro é dito aditivo e não existe transformação capaz de tornar o modelo linear. Pode-se verificar que a derivada de tão função é também nãolinear i -1 i ) De forma semelhante aos modelos lineares, o processo de estimação do parâmetro pode ser obtido através da minimização da soma de 23

25 quadrados dos resíduos. A diferença é que se obtém um sistema de equações normais não-lineares, o qual não apresenta uma solução explicita para. A solução é obtida por processos iterativos ou cíclicos. Tal processo envolve uma estimativa inicial dos valores dos parâmetros, podem esta ser feita baseada na experiência anterior com os dados ou no conhecimento do responsável pelo processo. A primeira iteração envolve o cálculo da soma dos quadrados baseado no valor inicial do parâmetro. A segunda iteração envolve uma pequena variação no valor do parâmetro com a qual se recalcula a soma dos quadrados. Este processo é repetido algumas vezes para assegurar que a mudança no valor do parâmetro resulta no menor valor possível da soma dos quadrados. Para regressão linear por serem as 2ª e 3ª derivadas iguais a zero apenas um cálculo simples é necessário para gerar um menor valor da soma dos quadrados. Portanto, o algoritmo requer apenas uma iteração simples. Para regressão não linear, estas derivadas são diferentes de zero o que torna o processo iterativo essencial para o cálculo dos valores ótimos dos parâmetros. Vários algoritmos diferentes podem ser usados em regressão nãolinear, tais como: Gauss-Newton, o algoritmo de Marquardt-Levenberg, o método de Steepest Descents e outros. Todos estes algoritmos possuem propriedades similares. Todos necessitam dos valores iniciais dos parâmetros, e o uso destes fornecem uma melhor estimativa dos parâmetros empregados no processo iterativo. Segundo Gallant (1987), o método dos mínimos quadrados é utilizado na estimação dos parâmetros em modelos não-lineares, da mesma maneira que em modelos lineares. Seja uma equação de regressão não-linear Y i = f (X i e i onde i = 1, 2, 3,, n 24

26 A função Y i, pode ser escrita na forma matricial como Y = f( ) + e Onde Y = [Y 1, Y 2,..., Y n ] f( ) = [ f(x 1, ), f(x 2, ),, f(x n, )] e = [ e 1, e 2,..., e n ] A estimativa para quadrados do resíduo, é dada pelo vetor que minimiza a soma de [Y i f(x i 2 Escrevendo-se S( ) na forma matricial, tem-se: S( ) = [Y f( )] [Y f( )] Derivando a S( ) em relação a, tem-se: ds( )/d = d[y f( )] [Y f( )]/d Fazendo df( )/d = F( ) 25

27 tem-se ds( )/d = -2[Y f( )] F( ) Igualando a equação acima a zero, obtém-se -2[Y f( )] F( ) = 0 [Y f( )] F( ) = 0 [Y f( )] F( ) = 0 é chamado de Sistemas de Equações Normais (SEN) não-linear. Substituindo-se F( ) por X, a equação fica X [Y f( )] = 0 X Y X f( ) = 0 ão linear Fazendo-se no SEN, [Y f( )] = ê, tem-se X ê = 0 Como já foi dito, as soluções são obtidas por métodos iterativos pois não existe solução explícita para o SEN não-linear. 2.7 Regressão não-linear no Excel O Microsoft Excel pode ser usado para diversos fins, contendo para isto um vasto número de funções. A análise de regressão não-linear pode ser realizada através da função Solver. 26

28 O Excel é um programa com planilhas de cálculo desenvolvido pela Microsoft para ambiente Wndows, e faz parte de um pacote conhecido como Microsoft Office. As planilhas são usadas para fazer vários tipos de cálculo, (financeiro, estatístico, etc) e gerar gráficos a partir deles e são, sem dúvida alguma, um dos aplicativos mais usados em informática, sendo vasto ambiente computacional, com grande quantidade (e qualidade) de recursos. O preço que o usuário paga por este vasto número de recursos é o enorme gasto de tempo necessário para enfrentar alguns quilogramas de manuais a cada novo programa que decide utilizar, sem ao menos ter certeza de que tudo o que está descrito funciona corretamente para qualquer tipo de dado. Em compensação, a integração de vários softwares tem feito com que vários deles trabalhem com uma única filosofia de interface (a parte do programa que põe seus recursos em contato com o usuário), e o uso de programas "desconhecidos" acaba sendo facilitado, embora com a tendência de subutilização de seus recursos. Dentre estes inúmeros recursos presentes no Microsoft Excel, podese citar a Função Solver, que foi usada neste trabalho para realizar o processo de análise de regressão não-linear. Segundo Dodge (1998), o Solver pode solucionar problemas que envolvam muitas células variáveis e pode ajudar a encontrar combinações de variáveis que maximizam ou minimizam uma célula destino. Além disto, o Solver permite especificar uma ou mais restrições ou condições que precisam ser satisfeitas para que a solução seja válida. Ainda segundo o mesmo autor, o Solver funciona melhor quando os problemas em questão compartilham de três importantes características: - os problemas têm um único objetivo; por exemplo, maximizar os lucros, reduzir o tempo necessário para obtê-los, etc... - os problemas têm limitações que normalmente são consideradas como irregularidades; por exemplo, os materiais utilizados não podem exceder a quantidade em estoque, ou as horas programadas 27

29 para o funcionamento da máquina não podem exceder 24 horas menos o tempo de manutenção. - os problemas têm valores de entrada que direta ou indiretamente afetam as limitações e os valores que estão sendo otimizados. Um dos pontos negativos do Solver é que, com freqüência, é necessário ajustar a planilha ao tipo de modelo mais adequado, e para isto é importante que se tenha um bom entendimento das relações existentes entre as variáveis e fórmulas. A figura abaixo mostra os principais parâmetros da função Solver, no Anexo são descritos com maiores detalhes tais parâmetros. Figura 2: Parâmetros da função Solver (Microsoft Excel, 2000) 28

30 O botão Opções, como o próprio nome já diz, fornece uma nova tela (Figura 3) com os parâmetros que podem ser ajustados, tais com: número de iterações, tolerância, convergência e outros. Maiores detalhes encontram-se em Anexo. Figura 3: Opções do Solver (Microsoft Excel, 2000) Quando o botão Resolver presente na Figura 2 é acionado, um resultado é encontrado uma outra caixa de dialogo (Figura 4), mostrada abaixo, é aberta. 29

31 Figura 4: Caixa de diálogo Resultados do Solver (Microsoft Excel, 2000) Os parâmetros dos Resultados do Solver, e suas respectivas funções, encontram-se detalhados em Anexo. 2.8 Regressão não-linear no SAS Segundo Veiga et al. (2000), o sistema SAS Statistical Analysis System desenvolvido pelo SAS Institute Inc., consiste em um poderoso sistema de análise de dados e linguagem de programação, com amplas aplicações em diversas áreas, principalmente estatística. 30

32 O sistema tem sido um dos mais utilizados no mundo todo em análise de dados em geral, além de ser também muito utilizado por grandes empresas que exploram os recursos de programação. O sucesso do sistema se deve basicamente ao total controle dos dados, à flexibilidade em interfaces para usuários, à integração de ambientes computacionais e ao acesso de um grande pacote de aplicações completas. Quando se usa o SAS para a resolução de regressão não-linear, 2 procedimentos podem ser utilizados: PROC MODEL e PROC NLIN. Tais procedimentos podem fazer uso de diferentes métodos, dependendo do tipo de problema em questão. Tais métodos são: - método Gauss-Newton - método Marquardt - método de Steepest-descent ou método do gradiente - DUD Geralmente, o software utilizado para regressão linear, também, é o SAS, mas deve-se ressaltar que a utilização de tal sistema requer, no seu início, a dedicação de bastante tempo de leitura de manuais e, para um melhor aproveitamento deve-se ter um conhecimento mínimo de linguagem de programação, enquanto que o EXCEL é um software mais comum e difundido. 31

33 3 MATERIAIS E METODOS Testou-se o exemplo encontrado em Brown (2000), Exemplo I, com duas outras seqüências de dados (Exemplos II e III). Isto foi feito com o intuito de exemplificar e posteriormente comparar resultados. Para estes exemplos, foi usada a mesma função (Função de Boltzmann), variando o conjunto de dados e os valores dos parâmetros iniciais. Utilizou-se o Solver para ajustar um conjunto de dados a outra função: Y = Ax b (Exemplo IV). Os dados foram gerados seguindo sempre o mesmo processo (a ser descrito a seguir), e os resultados observados serão discutidos posteriormente. Os valores encontrados, nos exemplos utilizando a Função de Boltzmann, foram então comparados com os resultados obtidos através do SAS com os mesmos conjuntos de dados. Para o Exemplo IV não foi possível realizar esta comparação, pois o Solver não foi capaz de realizar a análise de regressão não-linear. A seguir, é descrito o método utilizado nos exemplos. 3.1 Exemplo I Neste primeiro exemplo foram usados os dados estão em Brown (2000). Os dados são referentes aos valores da Voltagem, aos dados observados (valores de y), aos valores da função e aos limites inferior e superior. A função de Boltzmann pode ser descrita como Y = (1/(1+exp((V- E)/SLOPE))) onde 32

34 Y = variável dependente V e SLOPE = variáveis cujos valores se quer achar (valores ótimos) E = variável dependente (Voltagem) Inicialmente, foi necessário configurar a planilha de maneira que as fórmulas descritas em Brown (2000) fossem quando necessário, adaptadas sem que sua função fosse alterada. Configurou-se a planilha da seguinte forma: - Primeira Coluna (Coluna A): contém a Voltagem (variável independente) - Segunda Coluna (Coluna B): contém os valores da variável dependente (aqui chamado de Dados) - Terceira Coluna (Coluna C): contém os valores calculados para a função de Boltzmann com os valores da Coluna A, de V e do SLOPE (inclinação) - Quarta e Quinta Colunas (Colunas D e E): contém, respectivamente, os valores do limite superior e inferior A planilha contém ainda os valores: - V (é iniciado com o valor de 20) - Slope (iniciado com 10) - Média de Y (calculada pela fórmula básica do Excel MÉDIA(B2:B20)) - GL (graus de liberdade, calculado pela fórmula CONT.NÚM(B2:B20)-CONT.NÚM(H1:H2)) - DP de Y (desvio padrão de Y, calculado pela RAIZ(SOMAXMY2(B2:B20;C2:C20 )/DF) - R 2 (coeficiente de determinação, sendo calculado por 1- SOMAXMY2(B2:B20;C2:C20)/(SOMAQUAD(B2:B20)- (((SOMA(B2:B20)^2))/CONT.NÚM(B2:B20))) - T crítico (calculado pela fórmula INVT(0,05;DF)) 33

35 - CL (necessário para se calcular os limites inferior e superior, sendo calculado por MULT(Ct;DP)) Após ser configurada, a planilha apresenta a seguinte forma, mostrada na tabela abaixo. Tabela 1: Planilha do Microsoft Excel após ter sido configurada para uso com a função de Boltzmann Voltagem Dados Boltzmann Limite Sup. CL Limite Inf. CL V ,018 0,301-0,265 Slope ,029 0,312-0,254 Média de y 0, ,05 0,047 0,330-0,235 df ,08 0,076 0,359-0,207 DP de y 0, ,1 0,119 0,402-0,164 R² 0, ,15 0,182 0,465-0,100 t critico 2, ,18 0,269 0,552-0,014 CI 0, ,2 0,378 0,660 0, ,3 0,500 0,783 0, ,4 0,622 0,905 0, ,5 0,731 1,014 0, ,6 0,818 1,100 0, ,7 0,881 1,164 0, ,8 0,924 1,207 0, ,85 0,953 1,235 0, ,89 0,971 1,254 0, ,9 0,982 1,265 0, ,95 0,989 1,272 0, ,993 1,276 0,710 Neste exemplo, pretende-se ajustar o valor de R 2 de maneira que os valores de V e de Slope sejam os melhores possíveis. A figura a seguir mostra como os parâmetros do Solver foram configurados para os dados em questão. 34

36 Figura 5: Parâmetros do Solver para os dados da função de Boltzmann (Microsoft Excel, 2000) Os resultados obtidos serão descritos mais adiante. Para testar este, e também os outros exemplos que serão relatados, usou-se dois procedimentos: PROC MODEL e PROC NLIN. Foi necessário a utilização de dois procedimentos em razão do PROC NLIN não fornecer o valor de R 2, e como se quer também comparar, além dos valores dos parâmetros, a validade do ajuste realizado isto se tornou indispensável. Abaixo encontra-se o código com os dois procedimentos. 35

37 data exemp; input E Y; datalines; ; proc nlin method=gauss; parms v=-20 s=10; model Y=1/(1+exp((v-E)/s)); der.v= (-exp((v-e)/s))/(((1+exp((v-e)/s))**2)*s) ; der.s= ((v-e)*exp((v-e)/s))/(((1+exp((v-e)/s))**2)*s**2); output out=neia0 predicted=estimado ; run; proc print data=neia0; run; /* proc model ; Y=1/(1+exp((v-E)/s)); parms v=-20 s=10; fit y/outall out=all printall; run;*/ 36

38 3.2 Exemplo II Neste exemplo foi usada a mesma função (Função de Boltzmann), mas os dados foram modificados. O objetivo é testar se a configuração realizada no exemplo acima é válida também quando os dados são obtidos de maneira aleatória. Estes dados foram gerados da seguinte forma: 1º) Uma seqüência de valores (que serão designados para a variável x) foi obtidos, com intervalo de 2 unidades entre eles, obedecendo-se o valor mínimo de 60 e o valor máximo de 30 (mesmo intervalo utilizado no Exemplo I) 2º) Para cada um destes valores foi calculado o valor da Função de Boltzmann (Y = variável dependente), fixando os parâmetros V e SLOPE em 20 e 10. Espera-se chegar a estes valores utilizando os dados aleatórios. 3º) Foi calculada a variância (=VAR B2:B47) deste conjunto de valores de y. Esta variância foi chamada variância do modelo (σ 2 m). 4º) Foi fixado um valor inicial de R 2 = 0,80 (por já ser este um valor aceitável para um processo de regressão). 5º) Com o valor da variância do modelo, pode-se então calcular, da maneira descrita abaixo, o valor da variância do erro que será usado para determinar os valores de, R 2 = σ 2 m / (σ 2 m + σ 2 e) Desenvolvendo-se a fórmula chega-se a 37

39 σ 2 e = σ 2 m *(1 - R 2 )/ R 2 6º) A variância do erro (σ 2 e) foi usada para determinar o valor do desvio padrão (e foi calculado por σ 2 e ^0,5) que será usado para calcular o erro que será utilizado em = Y + e. 7º) Feito isto, foi gerado aleatoriamente, uma amostra de 20 números entre 60 e 30. Para tal processo foi usado a função Geração de Números Aleatórios da Ferramenta Análise de Dados do Excel. Esta amostra será usada para resolver a regressão não-linear no Solver. 8º) A cada um dos valores da amostra está associado um erro. Este será gerado a partir do desvio padrão calculado, utilizando-se, novamente, a função Geração de Números Aleatórios. Considera-se que estes erros são distribuídos normalmente. 9º) Tendo-se a amostra e os valores dos erros aleatórios associados a esta, é necessário calcular o valor da função com seus respectivos desvios. A planilha com os valores do processo descritos acima encontra-se em Anexo. Após este processo ser realizado, é necessário configurar uma nova planilha para a utilização do Solver. Tal planilha é mostrada a seguir. 38

40 Tabela 2: Planilha do Microsoft Excel após ter sido configurada para uso com a função de Boltzmann para os dados do Exemplo II Voltagem Dado Boltzmann Lim. Sup. Lim. Inf. V ,6953 0,101 5,8932E-05 6,3828E-01-6,3816E-01 SLOPE 5-58,4619-0,013 6,1749E-05 6,3828E-01-6,3816E-01 media de y 0, ,0858 0,041 8,1310E-05 6,3830E-01-6,3814E-01 df 18-55,9075 0,01 1,0292E-04 6,3832E-01-6,3812E-01 dp de y 0, ,9387-0,251 2,7796E-04 6,3850E-01-6,3794E-01 R² 0, ,5274-0,068 5,4976E-04 6,3877E-01-6,3767E-01 t crítico 2, ,2284 0,287 8,7040E-04 6,3909E-01-6,3735E-01 CL 0, ,2350 0,158 2,3594E-03 6,4058E-01-6,3586E-01-37,9470 0,302 3,7233E-03 6,4194E-01-6,3450E-01-34,3461 0,098 7,6208E-03 6,4584E-01-6,3060E-01-29,1220 0,046 2,1365E-02 6,5959E-01-6,1685E-01-27,8365 0,616 2,7457E-02 6,6568E-01-6,1076E-01-25,6200 0,453 4,2128E-02 6,8035E-01-5,9609E-01-23,3320 0,374 6,4985E-02 7,0321E-01-5,7323E-01-10,1727 0,824 4,9136E-01 1,1296E+00-1,4686E-01-6,3164 0,507 6,7628E-01 1,3145E+00 3,8058E-02 17,6922 1,252 9,9608E-01 1,6343E+00 3,5786E-01 19,6149 0,621 9,9733E-01 1,6355E+00 3,5911E-01 20,9195 0,903 9,9794E-01 1,6362E+00 3,5972E-01 26,2618 1,641 9,9929E-01 1,6375E+00 3,6107E-01 O código do programa SAS para este exemplo é o seguinte: data exemp; input E Y; datalines;

41 ; proc nlin method=gauss; parms v=-10 s=5; model Y=1/(1+exp((v-E)/s)); der.v= (-exp((v-e)/s))/(((1+exp((v-e)/s))**2)*s) ; der.s= ((v-e)*exp((v-e)/s))/(((1+exp((v-e)/s))**2)*s**2); output out=neia0 predicted=estimado ; run; proc print data=neia0; run; /* proc model ; Y=1/(1+exp((v-E)/s)); parms v=-20 s=10; fit y/outall out=all printall; run;*/ 3.3 Exemplo III Neste exemplo, como nos outros 2, foi usado a função de Boltzmann. Os valores dos dados foram gerados da mesma maneira que no Exemplo II, mas com duas diferenças: os dados iniciais têm agora um intervalo de 1 e os dados da amostra são 30 no total. Após ser aplicado todo o processo descrito anteriormente, configurou-se uma nova planilha para a utilização do Solver. A planilha com os valores do processo descrito, encontra-se em Anexo, e a planilha usada para o Solver encontra-se a seguir. 40

42 Tabela 3: Planilha do Microsoft Excel após ter sido configurada para uso com a função de Boltzmann para os dados do Exemplo III Voltagem Dado Boltzmann Lim. Sup. Lim. Inf. V ,08 0,228 8,1400E-05 4,7669E-01-4,7653E-01 SLOPE 5-56,193-0,187 9,7202E-05 4,7671E-01-4,7651E-01 media de y 0, ,146-0,228 9,8114E-05 4,7671E-01-4,7651E-01 df 28-54,504-0,082 1,3626E-04 4,7675E-01-4,7647E-01 dp de y 0, ,956 0,4092 6,1627E-04 4,7723E-01-4,7599E-01 R² 0, ,524 0,0351 2,7191E-03 4,7933E-01-4,7389E-01 t crítico 2, ,148 0,4741 6,4987E-03 4,8311E-01-4,7011E-01 CL 0, ,921 0,3587 2,2220E-02 4,9883E-01-4,5439E-01-24,535 0,4091 5,1808E-02 5,2842E-01-4,2480E-01-19,432 0,3446 1,3166E-01 6,0827E-01-3,4495E-01-15,271 0,69 2,5844E-01 7,3505E-01-2,1817E-01-10,129 0,6246 4,9356E-01 9,7017E-01 1,6951E-02-8,2748 0,5284 5,8541E-01 1,0620E+00 1,0881E-01-3,2896 0,789 7,9283E-01 1,2694E+00 3,1622E-01-1,4905 0,6359 8,4578E-01 1,3224E+00 3,6917E-01 1,4182 0,8584 9,0751E-01 1,3841E+00 4,3090E-01 1, ,1898 9,1131E-01 1,3879E+00 4,3470E-01 1, ,1213 9,1437E-01 1,3910E+00 4,3776E-01 5, ,9559 9,5989E-01 1,4365E+00 4,8328E-01 7, ,9934 9,6846E-01 1,4451E+00 4,9186E-01 7, ,3077 9,7259E-01 1,4492E+00 4,9598E-01 11,0398 0,9178 9,8534E-01 1,4620E+00 5,0873E-01 11,8363 1,0078 9,8747E-01 1,4641E+00 5,1086E-01 15,0472 1,1501 9,9337E-01 1,4700E+00 5,1676E-01 15,5443 0,9075 9,9399E-01 1,4706E+00 5,1738E-01 21,2079 1,2353 9,9806E-01 1,4747E+00 5,2145E-01 23,647 1,1813 9,9881E-01 1,4754E+00 5,2220E-01 25,6081 1,1148 9,9919E-01 1,4758E+00 5,2258E-01 27,5335 0,7585 9,9945E-01 1,4761E+00 5,2284E-01 29,8709 1,1138 9,9966E-01 1,4763E+00 5,2305E-01 41

43 O código do programa SAS para este exemplo é o mesmo utilizado para os exemplos anteriores, contendo apenas uma modificação: os dados em questão. data exemp; input E Y; datalines; ; /* proc nlin method=gauss; parms v=-10 s=5; model Y=1/(1+exp((v-E)/s)); der.v= (-exp((v-e)/s))/(((1+exp((v-e)/s))**2)*s) ; der.s= ((v-e)*exp((v-e)/s))/(((1+exp((v-e)/s))**2)*s**2); 42

44 output out=neia0 predicted=estimado ; run; proc print data=neia0; run;*/ proc model ; Y=1/(1+exp((v-E)/s)); parms v=-10 s=5; fit y/outall out=all printall; run; Exemplo IV Neste exemplo uma nova função foi usada: Y = Ax b. Para a utilização de tal função gerou-se novos valores a partir do mesmo processo já descrito no Exemplo II. Os parâmetros A e b foram iniciados, respectivamente, com 3 e 5. Espera-se que no final os valores calculados sejam próximos destes. A tabela com os valores deste exemplo será omitida em razão de seu tamanho: foram gerados números com intervalo de 0,1, entre 20 e 50, sendo a amostra determinada a partir destes valores da mesma maneira como foram as amostras dos outros exemplos. Com esta amostra, utilizou-se o SAS para se fazer análise de regressão não-linear, sendo o processo bem sucedido. 43

45 4 RESULTADOS E DISCUSSÕES As tabelas com os resultados das análises de regressão não-linear no Solver são descritas para os três primeiros exemplos.. Os resultados do SAS serão apresentados resumidamente, mas se encontram na íntegra em anexo. 4.1 Exemplo I Após a planilha com os valores iniciais ter sido configurada, os devido parâmetros (restrições, células variáveis e outros) terem sido determinados e a função Solver ter sido utilizada, tem-se os resultados mostrados na tabela seguinte. Tabela 4: Resultados do Solver para os dados do Exemplo I Voltagem Dados Boltzmann Limite Sup. CL Limite Inf. CL V -10, ,017 0,059-0,026 Slope 12, ,025 0,068-0,018 Média de y 0, ,05 0,037 0,080-0,005 df ,08 0,055 0,098 0,012 DP de y 0, ,1 0,081 0,123 0,038 R² 0, ,15 0,117 0,159 0,074 t critico 2, ,18 0,166 0,209 0,123 CI 0, ,2 0,231 0,273 0, ,3 0,311 0,354 0, ,4 0,405 0,448 0, ,5 0,506 0,549 0, ,6 0,607 0,650 0, ,7 0,700 0,742 0, ,8 0,778 0,821 0, ,85 0,841 0,884 0, ,89 0,889 0,931 0, ,9 0,923 0,966 0, ,95 0,948 0,990 0, ,965 1,007 0,922 44

46 Quando o Solver é executados, tem-se a opção de, no final, gerar alguns relatórios. Tais relatórios são chamados relatórios de limites, e encontram-se em Anexo. Os resultados encontrados neste exemplo diferem dos valores encontrados em Brown (2000) apenas na 3ª ou 4ª casa decimal. Os resultados obtidos com o uso do SAS foram, praticamente, idênticos aos entrados com o Solver. Tais resultados, juntamente com os valores encontrados com o uso do Solver, encontram-se na tabela abaixo. Tabela 5: Comparação dos resultados do SAS e do Solver para o Exemplo I Exemplo I Resultados SAS PROC NLIN V Slope R² Valor inicial valor calculado -10, , PROC MODEL V Slope R² Valor inicial valor calculado -10, , ,9969 Resultados Solver V Slope R² Valor inicial ,872 valor calculado -10, , ,997 Com a comparação acima pode-se notar que a análise de regressão não-linear neste exemplo é um processo satisfatório visto que R² é igual a 0,9969 no SAS e 0,997 no Solver, sendo em ambos muito próximo de Exemplo II 45

47 Com os dados da planilha configurados pode-se executar o Solver e verificar se os valores obtidos de V e de SLOPE correspondem a 20 e 10, respectivamente. Os resultados são mostrados na tabela abaixo, e os relatórios de limite encontram-se em Anexo. Tabela 6: Resultados do Solver para os dados do Exemplo II Voltagem Dado Boltzmann Lim. Sup. Lim. Inf. V -19,77-58,6953 0,101 2,7115E-02 5,4090E-01-4,8667E-01 SLOPE 10,871-58,4619-0,013 2,7688E-02 5,4147E-01-4,8609E-01 media de y 0, ,0858 0,041 3,1307E-02 5,4509E-01-4,8247E-01 df 18-55,9075 0,01 3,4766E-02 5,4855E-01-4,7902E-01 dp de y 0, ,9387-0,251 5,3826E-02 5,6761E-01-4,5996E-01 R² 0, ,5274-0,068 7,2233E-02 5,8601E-01-4,4155E-01 t crítico 2, ,2284 0,287 8,7751E-02 6,0153E-01-4,2603E-01 CL 0, ,2350 0,158 1,3215E-01 6,4593E-01-3,8163E-01-37,9470 0,302 1,5821E-01 6,7199E-01-3,5557E-01-34,3461 0,098 2,0745E-01 7,2123E-01-3,0634E-01-29,1220 0,046 2,9737E-01 8,1115E-01-2,1641E-01-27,8365 0,616 3,2265E-01 8,3643E-01-1,9113E-01-25,6200 0,453 3,6872E-01 8,8250E-01-1,4506E-01-23,3320 0,374 4,1891E-01 9,3269E-01-9,4872E-02-10,1727 0,824 7,0749E-01 1,2213E+00 1,9371E-01-6,3164 0,507 7,7520E-01 1,2890E+00 2,6142E-01 17,6922 1,252 9,6912E-01 1,4829E+00 4,5534E-01 19,6149 0,621 9,7400E-01 1,4878E+00 4,6022E-01 20,9195 0,903 9,7687E-01 1,4907E+00 4,6309E-01 26,2618 1,641 9,8572E-01 1,4995E+00 4,7194E-01 Como pode ser observado acima, os valores encontrados de V e de SLOPE se aproximam em muito dos valores originais. A diferença entre eles se deve a presença de um erro aleatório. 46

48 Abaixo, como no Exemplo I, encontra-se uma tabela com os resultados obtidos no SAS em comparação com os resultados obtidos no Solver. Tabela 7: Comparação dos resultados do SAS e do Solver para o Exemplo II Exemplo II Resultados - SAS PROC NLIN V Slope R² valor inicial valor calculado -19, , PROC MODEL V Slope R² valor inicial valor calculado -19, , ,749 Resultados - Solver V Slope R² valor inicial ,6127 valor calculado -19,77 10,871 0,749 Como pode ser visto na tabela com todos os dados usados no exemplo, que se encontra em anexo, os valores encontrado tanto no SAS quanto no Solver são próximos dos valores estimados 20 e 10, para V e Slope respectivamente. A diferença entre estes valores, estimado e calculado, como já foi dito, refere-se a um erro aleatório presente na amostra (devido ao processo como esta foi calculada). O valores de R², igual a 0,749 para ambos os processos é aceitável para a análise de regressão. 4.3 Exemplo III Da mesma maneira como foi feito no Exemplo anterior, após a planilha ter sido configurada pode-se executar o Solver. Os resultados 47

49 obtidos para os valores de V e de SLOPE encontram-se muito próximo de 20 e 10, respectivamente. Os resultados são mostrados abaixo e os relatórios de limites encontram-se em Anexo. Tabela 8: Resultados do Solver para os dados do Exemplo III Voltagem Dado Boltzmann Lim. Sup. Lim. Inf. V ,08 0,228 2,4063E-02 4,1844E-01-3,7032E-01 SLOPE 10,014-56,193-0,187 2,6233E-02 4,2061E-01-3,6815E-01 media de y 0, ,146-0,228 2,6353E-02 4,2073E-01-3,6803E-01 df 28-54,504-0,082 3,0905E-02 4,2529E-01-3,6348E-01 dp de y 0, ,956 0,4092 6,3462E-02 4,5784E-01-3,3092E-01 R² 0, ,524 0,0351 1,2460E-01 5,1898E-01-2,6978E-01 t crítico 2, ,148 0,4741 1,8055E-01 5,7493E-01-2,1384E-01 CL 0, ,921 0,3587 2,9093E-01 6,8531E-01-1,0345E-01-24,535 0,4091 3,8868E-01 7,8306E-01-5,6995E-03-19,432 0,3446 5,1418E-01 9,0856E-01 1,1980E-01-15,271 0,69 6,1592E-01 1,0103E+00 2,2154E-01-10,129 0,6246 7,2824E-01 1,1226E+00 3,3386E-01-8,2748 0,5284 7,6330E-01 1,1577E+00 3,6892E-01-3,2896 0,789 8,4140E-01 1,2358E+00 4,4701E-01-1,4905 0,6359 8,6393E-01 1,2583E+00 4,6955E-01 1,4182 0,8584 8,9461E-01 1,2890E+00 5,0023E-01 1, ,1898 8,9677E-01 1,2911E+00 5,0238E-01 1, ,1213 8,9853E-01 1,2929E+00 5,0415E-01 5, ,9559 9,2982E-01 1,3242E+00 5,3544E-01 7, ,9934 9,3752E-01 1,3319E+00 5,4314E-01 7, ,3077 9,4162E-01 1,3360E+00 5,4723E-01 11,0398 0,9178 9,5687E-01 1,3513E+00 5,6249E-01 11,8363 1,0078 9,6004E-01 1,3544E+00 5,6566E-01 15,0472 1,1501 9,7068E-01 1,3651E+00 5,7630E-01 15,5443 0,9075 9,7206E-01 1,3664E+00 5,7768E-01 21,2079 1,2353 9,8393E-01 1,3783E+00 5,8955E-01 23,647 1,1813 9,8736E-01 1,3817E+00 5,9298E-01 25,6081 1,1148 9,8959E-01 1,3840E+00 5,9521E-01 27,5335 0,7585 9,9139E-01 1,3858E+00 5,9701E-01 29,8709 1,1138 9,9317E-01 1,3876E+00 5,9879E-01 48