Máquinas simples. Objetivos

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1 Máquinas simples Objetivos Ao fim desta unidade o participante deverá ser capaz de: Identificar as máquinas simples; Determinar a vantagem mecânica de máquinas simples; Determinar o momento ou torque de uma força em situações do cotidiano; Identificar tipos de alavancas; Resolver problemas envolvendo sistemas que funcionam como alavancas; Resolver problemas do cotidiano envolvendo planos inclinados; Identificar roldanas fixas e móveis e suas respectivas vantagens mecânicas; Resolver problemas do cotidiano envolvendo combinações de roldanas. Máquinas são aparelhos destinados a transmitir e multiplicar a ação das forças. Quando a força muscular de um homem é insuficiente para levantar uma pedra, por exemplo, ele pode recorrer a uma alavanca. Com a alavanca o homem poderá executar um trabalho que não poderia ser executado somente com sua força muscular. Portanto, pelo fato de realizar trabalho, a alavanca é uma máquina. 3

2 Por mais complicada que seja uma máquina (torno convencional, torno CNC, retificadora, plaina, desempenadeira, guilhotina, prensa, máquina de costura, motor de automóvel, rotativa, etc.) ela não passa de uma combinação de máquinas simples. As máquinas simples permitem a transferência de energia mecânica de um ponto da máquina para outro ponto da mesma máquina. São três a máquinas simples fundamentais: A roda e o eixo; Plano inclinado; A alavanca. As demais máquinas simples são derivações das citadas. A força que se aplica à máquina, isto é, a que deve ser transmitida pela máquina, chama-se força motriz (F M) ou força potente (F P) A força que se opõe a realização do trabalho e que deve ser vencida pela força motriz chama-se força resistente ou carga (F R). A razão entre o módulo da força resistente e o módulo da força potente recebe o nome de vantagem mecânica (VM). Em símbolos: FR VM = FM Momento de uma força Quando estamos apertando ou desapertando um parafuso, por exemplo, conseguimos produzir uma rotação no parafuso através de uma força aplicada no cabo de uma chave. 4

3 Quando desejamos abrir ou fechar uma porta comum, aplicamos uma força na maçaneta. A partir dos exemplos vistos, podemos definir momento ou torque de uma força do seguinte modo: momento de uma força ou torque é a capacidade que uma força têm de produzir rotação no corpo ao redor de um eixo. A eficiência de uma força para girar um corpo ao redor de um eixo depende: Da intensidade da própria força; Do braço de alavanca, isto é, da distância em que a força atua em relação ao eixo de rotação. No caso do exemplo da porta, as afirmações anteriores ficam bem claras: Podemos abrir a porta puxando a maçaneta com pequeno esforço, pois a distância do ponto de aplicação de nossa força, em relação ao eixo de rotação (dobradiças) da porta é grande. 5

4 Podemos abrir a porta com mais dificuldade, empurrando-a em um local próximo do eixo de rotação (dobradiças). Nesse caso, a força aplicada terá que ser mais intensa para produzir o mesmo efeito, ou seja, abrir a porta. O momento de uma força (M) é calculado multiplicando-se o seu módulo pelo braço de alavanca (d): M = F. d A finalidade do sinal algébrico () é distinguir os momentos que dão tendência de rotação no sentido horário, daqueles que dão tendência de rotação no sentido antihorário. Em cada problema, devemos convencionar que sinal será atribuído ao momento. Não devemos confundir momento de uma força com trabalho mecânico. O momento de uma força é uma grandeza física vetorial e o trabalho mecânico é uma grandeza física escalar. No SI a unidade de momento é newton. metro (N.m) que não tem nome especial. Agora, observe o espargidor de água de jardim e a representação das duas forças, de mesma intensidade, mesma direção e sentidos opostos que o fazem funcionar. 6

5 Tal sistema constitui um binário. Um binário tende a produzir apenas uma rotação no corpo em que é aplicado. Só pode ser equilibrado por outro binário, pois uma força sozinha que atuasse no corpo provocaria uma resultante não nula. A resultante de um binário é nula e o seu momento, em módulo, é dado por: M binário = F. d Condições de equilíbrio Para que um corpo permaneça em equilíbrio duas condições devem ser satisfeitas: Módulo da resultante das forças que nele atuam deve ser nula; Módulo do momento resultante das forças que nele agem deve ser nulo. Em símbolos: F = 0 e M = 0 Exercícios 1. Para movimentar um mecanismo, um operador imprime uma força de 150N ao cabo da manivela. Determine o módulo do momento de força que atua no eixo do mecanismo. Solução: 7

6 2. Um parafuso deve ser apertado com um momento pré-estabelecido de 40N.m. Se o comprimento do torquímetro é de 0,20m, que força se deve aplicar no seu cabo para obter o aperto ideal do parafuso? Solução: 3. Um motorista de ônibus faz uma curva para a esquerda, aplicando um binário ao volante. Determine o módulo do momento desse binário, sabendo que a força exercida pelo motorista, no volante, tem intensidade 20N e que o raio do volante é de 20cm. Solução: 4. Considere as forças atuantes sobre a barra AD de peso desprezível, indicadas na figura. 8

7 Determine : a) o momento de cada uma das forças em relação ao ponto O; b) o momento resultante em relação ao ponto O. Solução: 5. Uma barra rígida e homogênea de peso 10N articula-se sem atrito em O. Pelo centro de gravidade da barra suspende-se um corpo A de peso 30N. Determine a intensidade da força F que equilibra o sistema. Solução: 9

8 Alavanca Alavanca é um sólido alongado (geralmente uma barra) que pode girar ao redor de um ponto de apoio, também conhecido pelo nome de fulcro ou eixo de rotação. Em toda alavanca encontramos três elementos: Braço motriz ou braço potente ou braço de potência (BP); Braço resistente ou braço de resistência (BR); Fulcro ou eixo de rotação ou ponto de apoio (PA). O braço de potência (BP) é a distância existente entre o ponto de apoio (PA) e o ponto de aplicação da força potente ( F P). O braço de resistência (BR) é a distância existente entre o ponto de apoio (PA) e o ponto de aplicação da força resistente (F R). O ponto de apoio (PA) é o local onde a alavanca se apóia. Conforme a posição do ponto de apoio em relação à força potente e à força resistente, as alavancas são classificadas em três espécies: interfixa; inter-resistente e interpotente. 10

9 Alavanca interfixa O ponto de apoio localiza-se entre o ponto de aplicação da força potente e o ponto de aplicação da força resistente. Esquematicamente: Alavanca inter-resistente O ponto de aplicação da força resistente encontra-se entre o ponto de apoio e o ponto de aplicação da força potente. Esquematicamente: Alavanca interpotente O ponto de aplicação da força potente encontra-se entre o ponto de apoio e o ponto de aplicação da força resistente. Esquematicamente: Muitas ferramentas e dispositivos que utilizamos funcionam como se fossem alavancas. Por exemplo, o alicate funciona como alavanca interfixa; a guilhotina 11

10 manual de cortar chapas e papel funciona como alavanca inter-resistente e a pinça de depilar funciona como alavanca interpotente. Para resolver problemas envolvendo alavancas, basta igualar os momentos em módulo, ou seja: MFP = MFR FP. BR = FR. BR Ferramentas que funcionam como alavancas É interessante estudar a vantagem mecânica que certas ferramentas apresentam quando funcionam como alavancas. Compreender a aplicação dos momentos ou torques é fundamental. Acompanhe. Alicate O alicate, assim como a tesoura, é uma associação de duas alavancas. Quando dobramos ou cortamos um pedaço de fio com um alicate, a força feita no cabo é transferida e ampliada na extremidade contrária. Para determinar a vantagem mecânica do alicate, calculemos o torque da força feita com a mão sobre o cabo e a força que aparece ampliada na ponta da ferramenta em relação ao eixo de rotação (ponto O). A força feita no cabo produz um torque fazendo-o girar em relação ao ponto O. Como o braço b desta força é a distância entre o eixo e o ponto de aplicação da força, o módulo do torque é determinado pela expressão: M no cabo = FP no cabo. b (I) 12

11 Na ponta do alicate, a força é mais intensa que no cabo, e também produz um torque em relação ao ponto O. Neste caso o braço r da força é menor que o anterior, correspondendo à distância entre o local onde o fio é comprimido e o ponto O. O módulo do torque desta força é dado por: M na ponta = FR na ponta. r (II) Como os torques tem a mesma intensidade podemos igualar as expressões (I) e (II) : M no cabo = M na ponta FP no cabo. b = FR na ponta. r FR FP na ponta no cabo = b = VM r Observe que a vantagem mecânica pode ser obtida pela relação entre os módulos das forças de resistência e potente como pode ser obtida pela relação entre os braços das forças. A vantagem mecânica indica o quanto foi ampliada a força feita pela mão do operador sobre o cabo do alicate. Observe, também, que quanto menor for o braço da força ampliada (braço r), maior será a vantagem mecânica do alicate. É por esta razão que o local do corte fica bem próximo da articulação (ponto O), pois aí o braço é o menor possível e a força terá ampliação máxima. Chave de fenda Quando usamos uma chave de fenda para apertar um parafuso, a mão exerce no cabo duas forças paralelas de sentidos opostos, simétricas ao eixo de rotação, constituindo um binário. A ponta da chave também aplica um binário de forças no parafuso, só que os valores das forças que compõem este binário devem ser maiores do que as do cabo para produzir o mesmo torque em relação ao eixo, uma vez que o braço na fenda R é menor do que o braço no cabo (b). Supondo que as forças aplicadas pela mão tenham a mesma intensidade, o torque produzido por elas em relação ao eixo de rotação tem também a mesma intensidade. 13

12 Este dois torques produzem um giro da chave no mesmo sentido e por isso, o torque resultante é dado por: M resultante no cabo = 2FP. b (I) Este mesmo torque resultante é produzido na cabeça do parafuso, ou seja: M resultante na ponta = 2FR. r (II) Igualando as expressões (I) e (II) obtemos: 2P. b = 2R. r 2 FR 2 FP b VM r Mesmo aplicando um torque pode não ocorrer rotação, como é o caso de um parafuso enferrujado, em que o torque da força de atrito, entre o parafuso e a porca, constitui um torque oposto ao produzido pela pessoa com a chave de fenda. Nestas situações, o torque resultante é nulo. Assim para que um objeto permaneça em repouso, isto é, não translade e não gire em relação um referencial, além de a força resultante ser nula, o torque resultante também deve ser nulo. Pé - de - cabra e martelo de unha Tanto para o pé de - cabra quanto para o martelo de unha, quando utilizados para arrancar cravos ou pregos, a vantagem mecânica será dada por: MP mão = MR prego FP mão. d = FR prego. x. cos FR FP prego mão d x. cos = VM Salientemos que não há economia de trabalho usando máquinas. O trabalho sempre se conserva, ou seja, o trabalho realizado pela força motriz ou potente é igual ao 14

13 trabalho realizado pela força resistente. De fato, o que ganhamos em força perdemos em distância e vice versa. Exercícios 1. O braço de resistência de uma tesoura de bancada mede 0,20m e o braço de potência mede 1,60m. Se um operador exerce uma força muscular de 40N para cortar uma chapa de aço, determine o módulo da força resistente oferecida pela chapa. Solução: 2. Uma chave de fenda é usada para apertar um parafuso. Determine a vantagem mecânica dessa ferramenta, supondo que seu cabo tenha diâmetro de 20mm e sua ponta 4mm. Solução: 15

14 Plano inclinado O plano inclinado é uma superfície plana e inclinada que forma com a horizontal um ângulo compreendido entre 0 e 90. Por ser encontrado na natureza, o plano inclinado é a máquina simples mais antiga que se conhece. De fato, encostas de montanhas são planos inclinados. Já estudamos alguma coisa a respeito de plano inclinado no capítulo de atrito. Recordando: No equilíbrio estático temos que P. sen. P. cos Pt F at ou seja: Dispositivos que derivam do plano inclinado Derivando do plano inclinado encontramos a cunha e o parafuso. Cunha A cunha funciona como dois planos inclinados ao mesmo tempo. 16

15 Veja os exemplos ilustrativos mostrando a presença de cunhas. Gume do machado Gume da faca Gume do formão Gume da ferramenta de corte Gume do corta frio Gume do alicate de corte lateral Para as cunhas existe a seguinte relação: F M = 2. F R. sen 2 Essa relação têm pouco valor prático, pois devido ao atrito na cunha, o valor real da força motriz é muito diferente daquele dado pela equação. Parafuso O parafuso é um plano inclinado enrolado em um cilindro. 17

16 O passo de um parafuso corresponde ao espaço compreendido entre dois fios de rosca. Esse espaço equivale a uma volta completa do parafuso. O passo de um parafuso é a altura de seu plano inclinado. O comprimento do plano inclinado do parafuso é obtido por meio da aplicação do teorema de Pitágoras: C = p + ( D. ) C = p + ( D. 2 2 ) C = p (D. 2) Adotando = 10, temos: C = p 2 2 (D. 10) Os parafusos são utilizados como elementos de fixação e também podem ser utilizados para movimentar os corpos. É o caso do macaco articulado utilizado para trocar pneus 18

17 Consideremos, agora, uma morsa de bancada. Se avançarmos um passo (p) o parafuso deslocará uma resistência ( F R ), com velocidade constante. Assim, o trabalho da força resistente (R) é dado pelo produto do módulo da força resistente pelo passo, ou seja, FR.p. Porém, para darmos um passo, será necessário darmos uma volta completa no manípulo da morsa sob a ação de uma força potente F P. Como a força F P é aplicada ao punho do manípulo, ela agirá sempre tangencialmente a uma trajetória circular de raio r. Portanto, o trabalho da força potente (P) será dado pelo produto: FP. 2.. r. Como o trabalho da força potente é igual ao trabalho da força resistente (princípio da conservação do trabalho), teremos, desprezando os atritos, a seguinte vantagem mecânica: P = R FP. 2.. r = FR. p VM = FR 2..r FP p 19

18 Exercícios 1. Um trabalhador carrega um caminhão com grandes bobinas de fios de cobre. Para cada bobina o trabalhador aplica uma força de 250N. A altura do piso até a carroçaria mede 1,5m e as pranchas utilizadas têm o comprimento de 3m. Determine o módulo da força resistente oferecida por cada bobina, desprezando os atritos. Solução: 2. Em relação ao problema anterior, considerando que o ângulo formado pelas pranchas em relação ao solo é de 25 0, determine o módulo da força potente necessária para elevar uma carga de 8000N até a carroçaria do caminhão. Dados: sen 25 0 = 0,42 e cos 25 0 = 0,90. Solução: 20

19 Roda A roda, com certeza, é uma das mais importantes invenções do homem. Como ela foi inventada ninguém sabe. Contudo, podemos imaginar que, devido às necessidades de deslocar grandes cargas a longas distâncias, o homem primitivo não podia contar somente com sua força ou com a força de animais domesticados. Era preciso descobrir alguma coisa para facilitar a tarefa. Surgiu, então, a roda. Mas, para ser útil, a roda precisa estar acoplada a um eixo que não passa de uma segunda roda. No mundo moderno a presença das rodas é imprescindível. Sem elas não teríamos automóveis, caminhões, tratores, aviões, polias, roldanas, volantes, engrenagens, etc. Não teríamos tantos progressos tecnológicos, com certeza. As primeiras aplicações da roda foram o sarilho e a roda d água. Sarilho Roda d água As engrenagens ou rodas dentadas também derivam da roda. As engrenagens são utilizadas na transmissão de movimentos. Substituem polias e correias quando é preciso eliminar prováveis perdas de rotação em transmissões de grandes esforços. 21

20 Roldanas Também as roldanas derivam das rodas. As roldanas giram ao redor de eixos que passam por seus centros. Cordas ou cabos de aço, por exemplo, se encaixam em sulcos denominados garganta, gola ou gorne e as contornam parcialmente. As roldanas podem ser fixas ou móveis. Na roldana fixa, o eixo é fixado a um suporte e, quando em uso, ela não acompanha a carga. Uma roldana fixa funciona como se fosse uma alavanca interfixa de braços iguais. Examine o esquema: Aplicando a relação das alavancas no esquema temos: F P. BO = F R. AO (1) Mas BO = AO = r (2) Substituindo (2) em (1) resulta: F P. r = F R. r FP F R 23

21 Se FP FR, a vantagem mecânica de uma roldana fixa será sempre igual a 1, isto é, ela não economiza força. De fato, as roldanas fixas servem para elevar pequenas cargas com comodidade e segurança, além de possibilitarem a mudança de direção e sentido das forças aplicadas. Em termos de deslocamento, a distância percorrida pelo ramo onde a força motriz é aplicada é a mesma percorrida pelo ramo onde a força resistente é aplicada, ou seja: S 1 = S 2. Esquematicamente: S 1 = S 2 Opostamente, a roldana móvel, quando em uso, desloca-se juntamente com a carga. A roldana móvel funciona como se fosse uma alavanca inter-resistente. 24

22 Examine o esquema: Pelo esquema temos que: FP.AB FR.AO (1) Mas, AB = 2r e AO = r (2) Substituindo (2) em (1) resulta: FP.2r FR.r FR FP 2 Como se nota, a vantagem mecânica de uma roldana móvel será igual a 2, economizando força, portanto. FR A expressão FP só é válida somente se as forças F P 2 Uma expressão mais geral encontra-se no apêndice III. e F R forem paralelas. 25

23 Em termos de deslocamento, enquanto o ramo onde a força resistente está aplicada percorre uma distância S 1, o ramo onde a força motriz é aplicada percorre uma distância S 2 que é o dobro de S 1, ou seja: S 2 = 2S 1 As roldanas fixas e móveis, quando combinadas, dão origem aos mais diversos aparelhos: moitão, cadernal, talha exponencial, talha diferencial, etc. A figura abaixo mostra um moitão. Observe que o moitão apresenta a mesma quantidade de roldanas fixas e móveis. Tanto as roldanas fixas quanto as móveis encontram-se fixadas solidariamente nos respectivos eixos. No moitão ao lado temos três roldanas fixas e três roldanas móveis. Para o moitão é válida a seguinte relação : F P = F R 2.m onde m é o número de roldanas móveis. 26

24 Ao lado temos o esquema de um cadernal. No cadernal, o número de roldanas fixas é igual ao número de roldanas móveis. As roldanas fixas são presas em um único suporte e seus eixos não são solidários uns com os outros. As roldanas móveis são presas em outro suporte e seus eixos também não são solidários entre si. Para o cadernal é válida a mesma relação matemática vista para o moitão, ou seja, F P = F R 2.m onde m é o número de roldanas móveis. A figura abaixo mostra uma talha exponencial. A talha exponencial é constituída por uma roldana fixa e várias roldanas móveis. Para a talha exponencial é válida a seguinte relação entre os módulos das forças resistente e motriz: FR FP n 2 27

25 Legenda: n = número de roldanas móveis. Já a talha diferencial é constituída por duas roldanas fixas de diâmetros diferentes e solidárias ao mesmo eixo e uma roldana móvel : A roldana móvel é responsável pela elevação da carga e encontra-se vinculada às outras roldanas por uma corrente ou cabo que não possui extremidade livre. Para a talha diferencial é válida a seguinte relação: FR ( a b ) FP 2.a onde a = raio da roldana fixa maior e b = raio da roldana fixa menor. Sarilho Uma outra derivação da roda é o sarilho. O sarilho compõe-se de um cilindro ou tambor horizontal, montado sobre um eixo que se apóia sobre dois mancais. Numa das extremidades do eixo há uma manivela que permite girar o tambor sob a ação de uma força motriz. 28

26 No tambor se enrola uma corda que serve para prender a carga a ser deslocada. Para calcular a relação entre a força motriz e a força resistente (carga), consideremos a vista lateral do sarilho: No equilíbrio os momentos, em módulo, são iguais, ou seja: MF M = MF R F M. b = F R. r F F R. r M = b O sarilho só permite aplicar uma força motriz de módulo menor que o módulo da carga se o braço de sua manivela for maior que o raio do cilindro de seu tambor. 29

27 Exercícios 1. Um corpo de massa 10kg é suspenso por um operador até a altura h de 2m em relação ao solo.considerando g = 10m/s 2 e desprezando o peso da roldana móvel e os atritos, determine o módulo da força motriz exercida pelo operador. Solução: 30

28 2. Um servente de pedreiro eleva um balde cheio de concreto por meio do mecanismo mostrado abaixo. Sabendo que a massa do balde é 1kg e que a massa do concreto é 9kg e que g = 9,8m/s 2, determine o módulo da força motriz exercida pelo servente. Solução: 31