Soluções Compatíveis e Soluções Equilibradas em Análise Dinâmica

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1 Soluções Compatíveis e Soluções Equilibradas em Análise Dinâmica Aplicação no Domínio do Tempo a Estruturas Porticadas Pedro Miguel Lopes Loreto dos Santos Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira Orientador: Doutor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida Vogal: Doutor Luís Manuel Coelho Guerreiro Novembro de 28

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3 Resumo Esta tese considera uma abordagem equilibrada de elementos finitos, para a obtenção de um conjunto de equações alternativo às equações do Método dos Elementos Finitos compatível, preferencialmente utilizado nos problemas de raiz dinâmica. O elemento considerado é uma estrutura plana porticada, com flexão baseada na teoria de Euler- Bernoulli e deformação axial. Apesar de se tratar de um tipo de estruturas de apenas uma dimensão, exemplifica as características dos problemas dinâmicos e o tipo de soluções obtidas. Este modelo alternativo discretiza impulsos, dos quais é possível obter, por derivação, um campo de esforços equilibrado. Os elementos finitos clássicos não permitem, em problemas dinâmicos, a obtenção de soluções deste tipo, dado que o equilíbrio é apenas garantido em termos de forças nodais equivalentes. A discretização utilizada em ambos os modelos utiliza funções de aproximação de 3º grau. Este tipo de polinómios não permite a obtenção da solução exacta, pelo que foi considerado um refinamento da solução tipo-h. Esta tese introduz as bases teóricas da formulação, tal como alguns exemplos e interessantes resultados obtidos da comparação dos dois modelos. Os resultados obtidos reflectem a importância de estudos complementares e mais aprofundados sobre o tema, de forma a melhor compreender as complementaridades de ambos os modelos, nomeadamente no campo da estimativa de erro. Palavras-Chave Elementos de Equilíbrio Elementos Compatíveis Estruturas Porticadas Análise Dinâmica Elasticidade Linear i

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5 Abstract This thesis presents an equilibrium finite element formulation for dynamics, providing an alternative to the displacement based equations, used in most structural problems. The element used is based on the Euler-Bernoulli beam, with axial strain. Although it is only a 1D problem, it exemplifies most of the characteristics of dynamical problems and of the solutions that are obtained. This model discretizes the internal impulses, from which equilibrated stresses can be derived, unlike the classic finite element result, which is equilibrated only in terms of equivalent nodal forces. The discretization used in both models is based on 3rd degree polynomials. As in dynamical problems it is not possible to obtain the exact solution, the difference between them is studied using an h refinement strategy. This thesis introduces the basis of this formulation, as well as some examples with interesting results in the comparison of both models. They reflect the importance of further studies, which may eventually be used to improve finite element results and error estimation. Keywords Equilibrium Finite Elements Compatible Finite Elements Dynamics Frame Structures Linear Elasticity iii

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7 Agradecimentos Ao Professor José Paulo Baptista Moitinho de Almeida, pelo volume dos seus ensinamentos e pela sua permanente disponibilidade. Após os meses em Erasmus, a sigla ZP deixou uma marca indelével na minha memória. v

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9 Notação Alfabeto latino: Matriz de compatibilidade do elemento ; Matriz de compatibilidade global; Área da secção; Matriz de amortecimento generalizada; Parâmetro de amortecimento por unidade de comprimento; Amortecimento dual de um oscilador de um grau de liberdade; c Amortecimento de um oscilador de um grau de liberdade; Amortecimento crítico; Matriz de amortecimento generalizada; Matriz de amortecimento nodal concentrado; Matriz das relações constitutivas; Módulo de elasticidade do material; - Matriz de flexibilidade; Vector das forças nodais equivalentes; Flexibilidade de um oscilador de um grau de liberdade (inverso da rigidez ); Esforços transmitidos pelas barras; Esforços nodais resultantes das suas características intrínsecas; Espaço das matrizes Hermitianas de dimensão ; Momento de inércia da secção na direcção ; Impulso aplicado no domínio do sistema; Termo imaginário; Energia cinética; Matriz de rigidez da malha; Rigidez de um oscilador de um grau de liberdade; Energia cinética complementar; Matriz de rigidezes generalizadas; Matriz de rigidezes nodais concentradas; Momento flector na secção; Matriz das massas consistente generalizada; Matriz de mobilidade; Massa de um oscilador de um grau de liberdade; vii

10 Mobilidade de um oscilador de um grau de liberdade (inverso da massa ); Matriz de massas generalizadas; Matriz de massas nodais concentradas; Esforço normal na secção; Matriz da normal à fronteira; Frequência natural do sistema; Vector de forças aplicadas no sistema; Frequência de vibração amortecida; Frequência própria do modo de vibração i; Polinómios de Legendre de grau ; Carregamento axial; Carregamento transversal; Força aplicada no sistema; Vector dos esforços aplicados; Esforços aplicados no nó; Carregamento i em coordenadas modais; Parte real do número; Matriz de aproximação dos deslocamentos no elemento ; Matriz da normal à fronteira; Vector das forças aplicadas na fronteira; Energia potencial de deformação; Matriz das Funções de interpolação dos deslocamentos na malha; Energia complementar de deformação; Vector de deslocamentos; Vector dos parâmetros de deslocamento nos nós da malha; - Vector dos deslocamentos aplicados; Vector dos deslocamentos no elemento ; Vector dos deslocamentos nodais do elemento ; Vector dos deslocamentos impostos no nó j; Vector dos parâmetros de deslocamento do nó ; Campo de deslocamentos da solução compatível; Solução complementar de um sistema dinâmico; Campo de deslocamentos da solução equilibrada; Campo de deslocamentos da solução exacta; Solução particular de um sistema dinâmico; Deslocamento da barra na direcção do eixo das abcissas; Deslocamento da barra na direcção do eixo das ordenadas; Vector de velocidades generalizadas impostas no sistema; Trabalho das forças aplicadas; viii

11 Trabalho dos deslocamentos impostos; Trabalho da força ; Trabalho dos deslocamentos impostos pela força ; Vector de forças do elemento no referencial global; Erro absoluto; Configuração longitudinal deformada; Configuração transversal deformada; Termo independente do sistema dual; Vector dos parâmetros dos impulsos e dos deslocamentos dos nós na malha. Alfabeto grego: α grau de indeterminação estática da estrutura Parâmetro do amortecimento de Rayleigh; β Parâmetro de velocidade do método de Newmark; Parâmetro do amortecimento de Rayleigh; Fronteira cinemática; Fronteira estática; γ Parâmetro de aceleração do método de Newmark; Erro relativo; Extensão linear da secção; Vector das deformações; Extensões na secção na direcção ; Taxa de amortecimento do sistema; Taxa de amortecimento do modo de vibração i; Função de interpolação utilizada nos elementos finitos compatíveis; Matriz das Funções de interpolação dos impulsos na malha; Impulso de forças; Vector de impulsos de uma solução equilibrada; Vector dos parâmetros dos impulsos dos nós na malha; Vector dos impulsos do elemento ; Vector de tensões virtual; Deslocamento i em coordenadas modais; Funcional na formulação equilibrada; Funcional na formulação compatível; Massa por unidade de comprimento; Vector das tensões; Campo de esforços num elemento na formulação compatível; Campo de esforços num elemento na formulação equilibrada; ix

12 Campo de tensões da solução equilibrada; Curvatura da secção; Matriz das funções de interpolação no elemento ; Função de interpolação utilizada nos elementos finitos compatíveis; Domínio; Domínio do elemento ; Operador diferencial de compatibilidade; Operador diferencial de equilíbrio; Matriz dos modos de vibração normalizados. x

13 Índice 1. Introdução Contexto Objectivo Organização Hipóteses Consideradas No Método dos Elementos Finitos Nas acções Elementos Finitos Compatíveis - Formulação Primal Equações Governativas Compatibilidade Relações constitutivas Parcela axial Parcela de flexão Euler-Bernoulli Equilíbrio Parcela axial Parcela de flexão Euler-Bernoulli Equação do Método dos Elementos Finitos Amortecimento Funções de Forma Sistema Matricial Final e Novas Equações das barras Relações constitutivas Equilíbrio Matrizes Elementares... 2 xi

14 4. Elementos Finitos de Equilíbrio - Formulação Dual Equações Governativas Compatibilidade Relações constitutivas Equilíbrio Equação do Método dos Elementos Finitos Amortecimento Funções de Forma Sistema Matricial Final Matrizes Elementares Características das Formulações Princípios Energéticos Elementos Finitos Compatíveis Formulação Primal Elementos Finitos de Equilíbrio Formulação Dual Propriedades das matrizes Frequências Próprias Naturais Formulação Primal Formulação Dual Modos de vibração Número de equações Comparativo entre as duas formulações com amortecimento de Rayleigh Integração numérica no tempo Método de Newmark Formulação Primal Formulação Dual Avaliação do Erro na Solução Exemplo de teste - Consola Solução Exacta Não Amortecida Parcela axial Parcela de flexão Euler-Bernoulli Solução Exacta Amortecida xii

15 Parcela axial Parcela de flexão Euler-Bernoulli Condições iniciais Modelo de Teste Frequências Próprias e Modos de Vibração Convergência Admissibilidade Estática e Garantia da Segurança Esforços Problema Porticado Condições iniciais Modelo Frequências Próprias e Modos de Vibração Amplificação de deslocamentos Tempo de Processamento Relação entre deslocamentos em ambas as formulações Conclusão Conclusões Desenvolvimentos futuros Bibliografia Anexos Anexo I Anexo II Anexo III Anexo IV xiii

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17 Índice de Figuras Figura Esforços axiais na barra... 9 Figura 3.2 Esforços axiais na barra Figura 3.3 Esforços de flexão na barra Figura 3.4 Esquerda, Decaimento exponencial associado aos vários tipos de amortecimento; Direita, Regime livre subamortecido Figura 4.1 Representação dos eixos considerados Figura 8.1 Consola e forças aplicadas Figura 8.2 Representação do modelo de teste Consola Figura 8.3 Discretização da consola em quatro elementos (Consola4) Figura 8.4 Evolução das energias cinética e potencial no tempo, para = Figura 8.5 Representação dos doze primeiros modos de vibração da formulação de elementos finitos compatíveis de uma discretização em 8 elementos Figura 8.6 Representação dos doze primeiros modos de vibração da formulação de elementos finitos equilibrados de uma discretização em 8 elementos Figura 8.7 Carregamento aplicado na extremidade livre da consola Figura 8.8 Esforços nas barras para o carregamento considerado Figura 8.9 Deformadas em ambas as formulações para 1 = Figura 8.1 Novo carregamento aplicado na extremidade da consola Figura 8.11 Deslocamento no bordo livre da consola nas discretizações Consola1 (à esquerda) e Consola4 (à direita) Figura 8.12 Esforço transverso no encastramento (Representação do deslocamento dual com desfasamento de ) Figura 9.1 Representação da Discretização Figura 9.2 Representação da Discretização Figura 9.3 Representação dos doze primeiros modos de vibração da estrutura na formulação de elementos finitos compatíveis (45 modos de vibração no total, obtidos de 45 equações) Figura 9.4 Representação dos doze primeiros modos de vibração da estrutura na formulação de elementos finitos equilibrados (48 modos de vibração no total, obtidos de equações) Figura 9.5 Separação do carregamento em parcela simétrica e parcela anti-simétrica Figura 9.6 Deslocamento transversal do ponto G na Discretização I Figura 9.7 Deslocamento transversal no ponto A na Discretização Figura Campo de esforços para altas frequências xv

18 Figura 12.1 Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um vinte avos do período Figura 12.2 Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um cinquenta avos do período Figura 12.3 Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um cinquenta avos do período Figura 12.4 Resposta com amortecimento com um passo de integração de um vinte avos do período Figura 12.5 Caso primal deslocamento longitudinal Figura 12.6 Caso dual deslocamento longitudinal Figura 12.7 Caso primal deslocamento transversal Figura 12.8 Caso dual deslocamento transversal Figura 12.9 Caso primal erros relativos no deslocamento longitudinal Figura 12.1 Caso primal erros relativos no deslocamento longitudinal da discretização Consola Figura Caso dual erros relativos no deslocamento longitudinal Figura Caso dual erros relativos no deslocamento longitudinal da discretização Consola Figura Caso primal erros relativos no deslocamento transversal Figura Caso primal erros relativos no deslocamento transversal da discretização Consola Figura Caso dual erros relativos no deslocamento transversal Figura Caso dual erros relativos no deslocamento transversal da discretização Consola Figura Modos e frequências de vibração do pórtico na formulação primal Figura Modos e frequências de vibração do pórtico na formulação primal Índice de Tabelas Tabela 8.1 Comparação entre os valores aproximados e exacto das principais frequências próprias Tabela 8.2 Erro absoluto e relativo dos deslocamentos horizontal e transversal máximos na formulação primal provocados por uma excitação igual a uma frequência própria Tabela 8.3 Erro absoluto e relativo dos deslocamentos horizontal e transversal máximos na formulação dual provocados por uma excitação igual a uma frequência própria xvi

19 1. Introdução 1.1. Contexto Com o advento dos computadores, o Método dos Elementos Finitos tem sido uma das ferramentas mais utilizadas na análise estrutural. Dado que, em geral, não é possível obter a solução exacta dos problemas, a obtenção de soluções aproximadas através deste método tem um papel crucial em toda a modelação hoje em dia. O dito consiste, simplificadamente, em dividir o domínio de um problema complexo, em subdomínios simples, onde são aproximadas variáveis e definidas equações, que conduzem à determinação do sistema global. Tradicionalmente, são utilizados elementos finitos compatíveis, onde é, a priori, imposta a compatibilidade, enquanto a condição de equilíbrio o é apenas ponderadamente, por não ser possível verificá-la na totalidade. É um método muito simples e onde o equilíbrio é verificado em termos de forças nodais independentes, o que torna o método bastante imediato. No entanto, o não equilíbrio da solução, a possibilidade de existência de descontinuidades dos campos de tensões nas fronteiras entre elementos, a grande dependência entre o carregamento e a malha de elementos finitos, por exemplo, podem ir contra os objectivos de uma análise que pretenda grande exactidão no valor das tensões em qualquer um dos pontos pertencentes ao domínio. Estas e outras limitações, mesmo relacionadas com o campo de deslocamento, nomeadamente a dificuldade em impor descontinuidades locais, limitam os usos desta formulação. Ainda assim, a simplicidade e intuitividade levou ao uso quase exclusivo dos elementos finitos compatíveis na resolução de problemas de raiz dinâmica. Daí que a literatura tenha a base da solução de problemas desta natureza nestes termos. No entanto, desde sempre na História, uma visão alargada do conhecimento permitiu melhores soluções para os problemas com que o Homem se foi deparando. Por isso, faz todo o sentido abordar formulações alternativas. É isso que este documento faz, ao utilizar uma hipótese introduzida por [Toupin, 1952], que sugere o equilíbrio em termos de impulsos. A utilização desta hipótese no âmbito do Método dos Elementos Finitos, onde o equilíbrio é imposto a priori e a compatibilidade garantida apenas na forma dos resíduos pesados, foi sugerida por [Voibeke, 1973]. Outra importante diferença para a formulação clássica prende-se na discretização do campo de impulsos, ao invés do campo de deslocamentos. Com esta nova formulação dinâmica, um âmbito alargado de aspectos poderia ser tratado. A aplicação na qual este documento mais se irá centrar é resposta da estrutura ao longo do tempo, 1

20 a qual se torna possível utilizando um dos inúmeros métodos de integração numérica no tempo que existem. Por último, refira-se que este documento apenas considera o problema de uma estrutura porticada 1D. Com certeza que é apenas uma ínfima parte das aplicações de elementos finitos possíveis, mas pretende-se que este estudo seja o ponto de partida para outros cada vez mais aprofundados no âmbito da aplicação dinâmica desta formulação Objectivo O objectivo central desta tese consiste na obtenção das equações dinâmicas da formulação equilibrada do Método dos Elementos Finitos, para estruturas porticadas em regime elástico, e aplicá-las numa análise ao longo do tempo. Para isso, utilizam-se os mesmos pressupostos da formulação clássica, incluindo equações de compatibilidade, de equilíbrio e relações constitutivas. A consideração da hipótese dinâmica, e nomeadamente o amortecimento de Rayleigh, leva a uma alteração das equações que importa não deixar de ter em conta. Obtidas as equações, estas são integradas ao longo do tempo de forma a testar e ilustrar a sua validade e utilização. Com a análise dos resultados obtidos, pretende-se testar a adequabilidade da sua utilização e lançar ideias para futuras investigações neste âmbito. Este objectivo não foi definido à partida, mas surgiu como uma extensão lógica do trabalho que se veio a desenvolver. Sendo o objectivo desta tese, todos os passos conducentes à obtenção desta forma alternativa das equações do Método dos Elementos Finitos são trabalho original do autor conjuntamente com o Professor J. P. Moitinho de Almeida. Refira-se, aliás, que este trabalho original é a base de todo o documento Organização Essencialmente, este documento está dividido em quatro partes. Início: Capítulos 1 e 2. Trata das assumpções segundo as quais formulações são elaboradas. Formulação Compatível: Capítulo 3. Faz uma revisão do modelo clássico de elementos finitos, de forma a permitir estabelecer um paralelismo com o modelo equilibrado. 2

21 Formulação Equilibrada: Capítulo 4. Define as equações da formulação dual de elementos finitos. Características das formulações e Integração no Tempo: Capítulos 5 e 6. No Capítulo 5 são explicados alguns aspectos mais específicos das formulações, assim como é feito um comparativo entre ambas. No Capítulo 6 é explicado como é feita a integração no tempo, neste caso o método de Newmark. Aplicações e Conclusões: Capítulos 7, 8, 9 e 1. No Capítulo 7 é mostrada a gama de erros de resultados que as aplicações têm. No Capítulo 8 é apresentado um exemplo de teste, uma consola, e é comparada a sua solução, em ambas as formulações, com a solução exacta. É considerado ainda um modelo de um pórtico no Capítulo 9. Para ambos os modelos são analisados os resultados obtidos. O Capítulo 1 é dedicado às conclusões e desenvolvimentos futuros. Neste capítulo não só são sistematizados alguns comentários e observações feitas ao longo de todo o documento, como também são acrescentadas algumas conclusões obtidas duma análise do global do documento. No final são sugeridos possíveis desenvolvimentos a seguir. Neste trabalho as letras a negrito são utilizadas na representação de vectores ou matrizes, enquanto os escalares são apresentados em texto corrente. Finalmente, de referir as diferentes terminologias utilizadas nas formulações. A formulação de Elementos Finitos Compatíveis é também chamada de Formulação/Caso Primal ou Formulação Clássica. Os Elementos Finitos Equilibrados são também denominados de Formulação/Caso Dual. 3

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23 2. Hipóteses Consideradas 2.1. No Método dos Elementos Finitos Neste documento são contempladas estruturas planas porticadas considerando dois tipos de deformação: axial e por flexão. Desde logo, o problema vai ser simplificado pela consideração das seguintes hipóteses: 1) Linearidade Física as tensões variam linearmente com a deformação Lei de Hooke sendo que, após a deformação devido à carga aplicada, o material retorna à posição inicial de equilíbrio; 2) Linearidade Geométrica a estrutura sofre pequenas deformações pelo que as relações de equilíbrio e de compatibilidade são lineares. Ainda assim, a aplicação da teoria da elasticidade, no âmbito da mecânica dos meios contínuos, é desnecessariamente complexa para situações comuns, e pode implicar malhas envolvendo um excessivo número de elementos finitos. Daí a consideração de mais algumas assumpções: 3) A barra é recta e coincide com o centro geométrico da secção, o que garante que o esforço axial não provoca nem tensões de flexão nem de torção; 4) O material que constitui a barra é isotrópico; 5) Hipótese das secções planas, i.e., não há empenamento das secções. Consequentemente as tensões variam linearmente na secção; 6) Hipótese de Euler-Bernoulli a secção mantém-se perpendicular ao eixo deformado; 7) A barra não tem libertações internas e é contínua; 8) A relação entre comprimento/largura e altura da barra é relativamente grande (>1), e consequentemente as tensões perpendiculares à barra são muito menores que as paralelas à barra; 9) É desprezada a deformação por corte, havendo, por isso, uma subavaliação do deslocamento transversal e uma sobreavaliação da rigidez da barra com o consequente incremento das frequências próprias; 5

24 1) É desprezada a inércia de rotação da secção. O corolário desta assumpção está relacionado com os modos de vibração da estrutura, que, quando associados a frequências longe da frequência própria, se tornam progressivamente menos correctos, com a barra mais dobrada e a energia cinética de rotação a deixar de ser negligenciável comparativamente à de translação Nas acções Neste documento não são consideradas qualquer outro tipo de acções para além de forças pontuais aplicadas nos nós da estrutura. Dessas forças, grande parte são harmónicas. Isto porque um estudo feito para acções harmónicas pode ser estendido a outras acções periódicas, por estas poderem ser decompostas em termos de série de Fourier. 6

25 3. Elementos Finitos Compatíveis Formulação Primal A aproximação do domínio de um problema por um número finito de subdomínios é o conceito em que se baseia o Método dos Elementos Finitos (MEF). Os elementos finitos são esses subdomínios, neste caso barras de dimensão menor ou igual que as originais. Na sua formulação os elementos satisfazem certas condições a priori. Aquelas que não o são, tentam ser aproximadas da melhor maneira. Utilizadas nessas condições, as variáveis em estudo são aproximadas, no interior de cada elemento, por funções simples. A solução aproximada consiste numa combinação linear dessas funções. A formulação clássica do MEF, a que este Capítulo se refere, é baseada na aproximação do campo de deslocamentos e na verificação, a priori, de todas as condições de compatibilidade. No caso estático, com excepção das situações em que se obtém a solução exacta, as soluções obtidas por este método estão contra a segurança. Isto acontece porque as condições de equilíbrio não são respeitadas em cada ponto, por este ser garantido apenas na forma fraca. Estas condições, não sendo impostas pelo modelo, nem no domínio nem na fronteira, são apenas verificadas em termos das forças nodais equivalentes. Como consequência, a solução é caracterizada, por um lado, pela continuidade do campo de deslocamentos, mas por outro lado, pela existência de descontinuidades no campo de tensões nas fronteiras inter-elementares, dificultando a obtenção dos esforços reais nos elementos. A convergência desta formulação está garantida, e o refinamento da solução será conseguido através da discretização num maior número de elementos refinamento tipo-h mantendo-se o grau das funções de aproximação. Como se verá mais à frente, são utilizados modelos matemáticos independentes na definição da deformação axial e por flexão, daí que se tente, tanto quanto possível, fazer uma diferenciação dos dois casos, para um raciocínio mais claro e conciso. Antes da definição das equações do MEF serão definidos os elementos que regem o comportamento do sistema: equações de compatibilidade, relações constitutivas e equilíbrio. Estes permitem a caracterização global do problema em estudo. 7

26 3.1. Equações Governativas Compatibilidade A deformação axial está relacionada com a variação dos deslocamentos no eixo das abcissas. Esta parcela é apresentada como: Em que: Extensão linear da secção; = - Deslocamento da barra na direcção do eixo das abcissas. (3.1) A deformação por flexão da secção está relacionada com os deslocamentos no eixo das ordenadas sendo traduzida pela seguinte expressão: = (3.2) Em que: Curvatura da secção; Deslocamento da barra na direcção do eixo das ordenadas. Como referido no início do capítulo, verifica-se que as parcelas são, por definição, totalmente independentes. Resumidamente, estas equações tomam a seguinte forma matricial: =..: = As extensões na secção na direcção de um ponto genérico da secção, podem ser obtidas pela seguinte expressão: (3.3) = + (3.4) Sendo que a compatibilidade na fronteira estática é dada por: = (3.5) 8

27 Em que: Vector dos deslocamentos aplicados no nó Relações constitutivas Parcela axial O esforço normal numa secção é dado por: Em que: Módulo de elasticidade do material; Área da secção = (3.6) Parcela de flexão Euler-Bernoulli Admite-se que o momento flector numa secção é proporcional à curvatura e pode ser traduzido pela seguinte equação: Em que: Momento de inércia da secção na direcção. = (3.7) Estas relações têm a seguinte forma matricial: =..: = (3.8) Equilíbrio Parcela axial Considere-se a Figura 3.1, o diagrama de corpo livre de uma parte infinitesimal da barra. O equilíbrio na direcção axial é feito num elemento de comprimento. 9

28 ,,, + + Figura 3.2 Esforços axiais na barra. Nesta parcela infinitesimal de barra o deslocamento no eixo das abcissas é traduzido por,. Estão ainda presentes os esforços axiais, e, +,, as forças de inércia onde é a massa por unidade de comprimento, as forças de amortecimento em que é o parâmetro de amortecimento por unidade de comprimento, e o, carregamento axial,., +, Simplificando obtém-se:,,, +, = (3.9),,, +, = (3.1) A substituição da equação (3.1) na relação constitutiva da deformação axial (3.6) e a substituição deste conjunto na equação acima dá origem a:,,, +, = (3.11) Como para o caso de estudo tem-se uma barra uniforme, o que se traduz por características mecânicas e sua massa constantes ao longo do seu comprimento, e constantes, a equação acima tem o seguinte aspecto: 1

29 ,, Parcela de flexão Euler-Bernoulli, +, = (3.12) A equação que governa o equilíbrio numa peça sujeita a flexão é obtida a partir do diagrama de corpo livre de uma parte infinitesimal da barra. O seu comprimento é e está lateralmente limitada por faces planas perpendiculares ao seu eixo.,, +, + + Figura 3.3 Esforços de flexão na barra. Neste diagrama estão presentes forças de corte, e, +, ; os momentos flectores, e, +, ; o carregamento transversal, ; as forças de inércia, e as forças resultantes do amortecimento,. O somatório das forças de corte deste diagrama é:,, +, +,,, E o somatório dos momentos em relação à extremidade direita é o seguinte: = (3.13) 11

30 ,,, +, +, 2 +, 2 +, 2 = (3.14) Tendo em consideração que na equação anterior os termos que envolvem o carregamento e as forças de inércia multiplicam pelo quadrado do comprimento infinitesimal, ambos podem ser desprezados. Desta forma, as duas últimas equações apresentadas podem tomar o seguinte formato:, +,, = +,, =, (3.15) (3.16) Juntando as duas equações acima, tendo em conta a relação constitutiva (3.7) e equação de compatibilidade da barra (3.2) obtém-se a equação diferencial que rege a barra:, +, +,, = (3.17) Tal como no caso do equilíbrio longitudinal, também se considera a barra uniforme, o que se traduz por características mecânicas, amortecimento e massa constantes ao longo do seu comprimento, e constantes. Por isso a equação tem o seguinte aspecto:,,, +, = (3.18) Genericamente as equações de equilíbrio (3.11) e (3.17) são apresentadas matricialmente da seguinte forma: + = Finalmente, o equilíbrio na fronteira estática é dado por: = Em que: Matriz da normal à fronteira; Vector das forças aplicadas na fronteira. (3.19) (3.2) 12

31 3.2. Equação do Método dos Elementos Finitos Na formulação clássica do MEF é apenas discretizado o campo de deslocamentos. Esta discretização é feita de forma a satisfazer a condições de admissibilidade cinemática. Uma solução é cinematicamente admissível se satisfizer as relações de compatibilidade no domínio e na fronteira. A discretização do campo de deslocamentos leva a que este passe a ser definido a partir do deslocamento de um certo número de pontos, os nós da malha, utilizando para isso as funções de interpolação no domínio: = Em que: Vector de deslocamentos de uma solução compatível Matriz das funções de interpolação dos deslocamentos na malha; Vector dos parâmetros de deslocamento nos nós da malha. (3.21) Esta função de interpolação no domínio é obtida a partir das funções de interpolação elementares. Estas funções formam uma base para os deslocamentos considerados. As funções escolhidas são contínuas e têm um valor unitário para o deslocamento a que se referem (rotação ou translação) e nulo para os outros deslocamentos. Para cada elemento a discretização toma a seguinte forma: = Em que: Matriz das funções de interpolação dos deslocamentos no elemento; Vector dos deslocamentos nodais do elemento. (3.22) Num elemento, (3.22) é traduzido por: = Sendo que as funções no domínio e elementares coincidem em cada elemento: (3.23) =, (3.24) 13

32 A compatibilidade cinemática entre elementos é obtida por imposição do mesmo deslocamento transversal e rotação nas extremidades de barras adjacentes. As condições de fronteira cinemáticas são satisfeitas por imposição do valor dos deslocamentos no nó dessa fronteira cinemática : = Em que: Deslocamento aplicado no nó. (3.25) Estas condições são incluídas no sistema quando é feita a assemblagem, o que torna o sistema mais compacto e simples de representar. A continuidade do campo de tensões não é assegurada à partida, sendo o equilíbrio imposto em termos de forças nodais. Tanto a formulação do problema como a equação do MEF Primal para o caso estático, isto é, sem a consideração nem de forças de inércia, nem de forças de amortecimento, está bem definida em qualquer literatura relacionada com o método. Essa equação é habitualmente apresentada como: Em que: Matriz de rigidez da malha; Vector das forças nodais equivalentes. = (3.26) A matriz de rigidez pode ser obtida adicionando os termos das várias matrizes de rigidez elementares: = (3.27) Não se consideraram molas nem qualquer outro tipo de rigidezes associadas às barras ou aos nós das barras, pelo que não há mais parcelas a adicionar. O vector é também obtido por adição dos termos dos vários elementos: = (3.28) No equilíbrio de forças especificado em (3.19), existe não apenas a força aplicada a actuar, mas também a acção do amortecimento e as forças de inércia. Tem-se então que: 14

33 + + = (3.31) = = (3.29) Aplicando (3.22), o deslocamento é aproximado pelas funções de forma e deslocamentos nodais. Desta forma, a equação acima é apresentada como: = Expandindo (3.26) obtém-se a Equação Fundamental da Dinâmica: (3.3) Em que: Matriz de amortecimento generalizada; Matriz das massas consistente generalizada;, notação que será a partir daqui utilizada. Como consequência de (3.3), as matrizes elementares da equação acima podem ser então definidas como a seguir indicado: = (3.32) = (3.33) Amortecimento A definição da matriz de amortecimento, é complicada dado que os valores de são difíceis de determinar. Sendo este um exemplo puramente académico, optou-se por uma formulação muitas vezes utilizada e simples para esta matriz, o amortecimento de Rayleigh. Este assume que a matriz de amortecimento é uma combinação linear das matrizes de massa consistente e de rigidez, i.e.: = + (3.34) Há várias formas de determinar ou arbitrar os parâmetros e. Entre elas, a escolhida é baseada no arbítrio da taxa de amortecimento do sistema. Para que se compreenda esta 15

34 grandeza, considere-se a equação fundamental da dinâmica para um oscilador livre de um grau de liberdade, dividida pela massa desse oscilador: + c + = (3.35) Definindo-se os seguintes parâmetros, e, respectivamente a frequência natural e o amortecimento crítico do sistema: Consegue-se simplificar (3.35): =, = c = c 2 (3.36) = Para esta equação, e admitindo uma solução exponencial do tipo: (3.37) =, Obtém-se a equação característica do problema: C (3.38) = Por substituição dessa solução na equação diferencial. (3.39) Resolvendo em ordem a, esta equação apresenta-se simplesmente como: = ± 1 Existem três tipos de resultados possíveis em (3.4). Quando: (3.4) < 1 O sistema é subamortecido (amortecimento abaixo do amortecimento crítico). é um número complexo. A equação característica tem duas raízes complexas; = 1 c = 2 = 2 O sistema tem amortecimento crítico. As raízes são reais e repetem-se. O amortecimento crítico é o valor para o qual o sistema converge para o repouso sem oscilação e mais rapidamente (um valor acima do amortecimento crítico faz o sistema convergir mais lentamente para o repouso); > 1 O sistema é sobreamortecido. As raízes são reais, mas distintas. Neste trabalho são apenas considerados amortecimentos abaixo do amortecimento crítico. Um sistema subamortecido livre tem a seguinte solução: 16

35 = cos, = 1 (3.41) Em que: frequência de vibração amortecida. Desta equação, a parte da solução é um decaimento exponencial, que vai provocar a diminuição da energia do sistema. A segunda parte da solução é periódica (um co-seno) e vai provocar a oscilação do sistema em torno da posição de repouso, como exemplifica a Figura ζ<1 ζ=1 ζ>1 1.5 /.4 / o T 2T tempo(s) tempo(s) Figura 3.4 Esquerda, Decaimento exponencial associado aos vários tipos de amortecimento; Direita, Regime livre subamortecido. Voltando à equação fundamental da dinâmica (3.31), pode ser feita uma transformação ortogonal: + + = (3.42) Utilizando a propriedade da ortogonalidade das matrizes de Massa e Rigidez com os modos de vibração normalizados em relação à matriz de massa (Capítulo 5 - Frequências Próprias) i.e.: = (Ortogonalidade de ) (3.43) = (Ortogonalidade de ) (3.44) Obtêm-se, por simplificação, n equações correspondentes a n graus de liberdade: Em que: = Deslocamento i em coordenadas modais; = 1,2,3 (3.45) 17

36 = Taxa de amortecimento do modo de vibração i; = Frequência própria do modo de vibração i; Carregamento i em coordenadas modais. A parte da transformação relacionada com a matriz de amortecimento só é possível porque esta é função das matrizes e. Com esta transformação, a matriz de amortecimento de um sistema de graus de liberdade reduz-se a: + = + + (3.46) O que traz óbvias vantagens em partes do tratamento matemático do problema. Por exemplo, a matriz acima pode reduzir-se a n equações da forma: De onde se obtém, por simplificação: 2 = + = 1,2,3 (3.47) = = 1,2,3 (3.48) Pela equação verifica-se que valores de frequência muito baixos ou altos traduzem valores de amortecimento demasiado altos. Se o primeiro caso não tem relevância, dado que as frequências dos sistemas estruturais comuns não são tão baixas, já para as frequências mais altas isso poderia ser problemático. Mas como os modos de vibração com uma frequência associada mais alta têm pouca influência no problema, dado que a frequência de excitação não vai atingir esses valores e porque o modelo adoptado não traduz bem a resposta para frequências longe da primeira frequência própria, considera-se este modelo aceitável. Como já foi referido, a forma utilizada para definir e é o arbítrio de um valor para a taxa de amortecimento do sistema. Para tal, basta resolver a equação (3.48) para duas frequências e, originando assim um sistema de duas equações a duas incógnitas conducentes à obtenção dos parâmetros pretendidos. = = (3.49) Neste trabalho são utilizadas as duas frequências mais baixas de cada sistema para definir estes parâmetros. Esta foi a opção tomada, se bem que outras frequências pudessem ser utilizadas, nomeadamente as frequências não próprias do sistema ou mesmo a frequência de excitação. 18

37 Funções de Forma As funções de forma são representadas em (3.23). As da parcela axial, para uma barra de comprimento L, traduzem-se pelas seguintes expressões: = 1 = (3.5) Foi escolhida uma formulação bastante simples por apenas se pretender ter duas funções linearmente independentes, o que contrasta com as maiores dificuldades de cálculo associadas, por exemplo, a funções harmónicas ou polinómios de grau mais elevado. O facto de ter pelo menos uma função de primeira derivada contínua e não nula permite a obtenção de extensões não nulas (ainda que constantes, dado que = ) e consequentemente esforços axiais não nulos. Na parcela de flexão foram considerados polinómios de Hermite Como se vê na sua representação, cada um desses polinómios está relacionado com um deslocamento independente. Estes, quando se referem a uma translação, têm um valor unitário para esse deslocamento; por sua vez, quando se referem a uma rotação, têm primeira derivada unitária (dado que = ). = ; = = ; = 1 + (3.51) Como a parcela do operador referente à flexão é de segunda ordem, é necessário que a aproximação do campo de deslocamentos seja de classe, o que se garante com a utilização de polinómios de 3º grau Sistema Matricial Final e Novas Equações das barras Após a consideração do amortecimento de Rayleigh, as equações de compatibilidade e relações constitutivas tomam um formato diferente. Também a Equação Fundamental da Dinâmica (3.31) se apresenta como: Que num instante i se simplifica para: = = (3.52) (3.53) 19

38 Fazendo um percurso inverso à discretização, está associada ao problema uma representação matricial alternativa das equações de equilíbrio (3.19): Relações constitutivas = (3.54) Não considerando o conjunto de forças actuantes e de inércia obtém-se da relação constitutiva do problema: = +..: = + (3.55) Equilíbrio E as equações de equilíbrio com amortecimento de Rayleigh passam a: + + = As equações de compatibilidade mantêm-se inalteradas. (3.56) Matrizes Elementares A forma das matrizes elementares com as simplificações e as condições consideradas é: = = (3.57) (3.58) 2

39 É ainda utilizada a matriz da normal à fronteira para orientar as matrizes segundo o sistema global de eixos: cos sin sin cos = 1 cos sin sin cos 1 ângulo da normal à fronteira Sendo que os elementos da equação do MEF são afectados da seguinte forma por esta matriz: (3.59) = = = (3.6) 21

40

41 4. Elementos Finitos de Equilíbrio Formulação Dual Relativamente aos elementos finitos compatíveis, as equações que compõem esta formulação do MEF são diferentes, na medida em que satisfazem as condições de equilíbrio a priori e a compatibilidade apenas ponderadamente, na forma fraca. Também as grandezas a discretizar não são as mesmas. Na formulação clássica são discretizados os deslocamentos, enquanto nesta o são os impulsos. Outra diferença prende-se na compactação do problema clássico, onde o equilíbrio é obtido em termos de deslocamentos nodais independentes, apresentando o sistema um número de equações igual ao grau de indeterminação cinemática do problema. Já na formulação equilibrada essa compactação não é obtida implicando a inclusão no sistema de equações de mais um conjunto de incógnitas, os deslocamentos nodais. Introduza-se, por ora, a grandeza a discretizar, os impulsos de forças. A definição desta grandeza é dada na física clássica por: = Em que: Força aplicada no sistema. (4.1) Note-se que, num corpo rígido, o impulso das forças aplicadas é igual à variação do momento linear do sistema. Tal como no caso compatível, a convergência desta formulação está garantida, e o refinamento da solução será conseguido através da discretização num maior número de elementos refinamento tipo-h mantendo-se o grau das funções de aproximação. A separação do problema em duas parcelas diferentes, vindo da formulação compatível, mantém-se. As hipóteses e condições são iguais. 23

42 4.1. Equações Governativas As hipóteses avançadas após a consideração do amortecimento de Rayleigh mantêm-se, dado que só assim se podem comparar os resultados. Apresenta-se, de seguida, um resumo das equações que regem este sistema Compatibilidade A compatibilidade é garantida na derivada no tempo das deformações. Dito isto, a velocidade de deformação axial resulta directamente da diferenciação no tempo de (3.1) e (3.2), tomando a seguinte forma matricial:..: = = Obtendo-se, consequentemente, da derivada no tempo de (3.4), a velocidade das extensões na secção na direcção, i.e.: (4.2) = + Sendo que na fronteira cinemática a condição a impor é dada por: + = (4.3) (4.4) Relações constitutivas Derivando no tempo as relações constitutivas já apresentadas para o caso primal (3.55), é possível apresentar as que regem este problema: = +..: = + (4.5) Equilíbrio O equilíbrio é garantido na primitiva dos esforços, isto é, nos impulsos. Integrando (3.56) no tempo obtêm-se as equações de equilíbrio que regem o problema nesta formulação: 24

43 Em que: Impulso aplicado no domínio do sistema. + + = (4.6) Finalmente, o equilíbrio na fronteira estática é dado por: = (4.7) 4.2. Equação do Método dos Elementos Finitos Nesta formulação dos MEF são discretizadas as funções que aproximam os impulsos (e consequentemente de tensões). As equações satisfazem localmente as equações de equilíbrio e ainda as condições de fronteira estática. A compatibilidade é apenas imposta pela forma fraca, ou seja, não em todos os pontos, mas em termos médios. É também necessário acrescentar uma incógnita, os deslocamentos nos nós dos elementos, de forma a poder impor o equilíbrio nodal. Esta discretização dos deslocamentos é feita de modo a satisfazer as condições de fronteira cinemáticas, não garantindo compatibilidade entre os diferentes elementos da malha. As variáveis do sistema vão ser, portanto, os pesos das funções de aproximação dos impulsos nos elementos e ainda os deslocamentos nos nós dos elementos. O campo de impulsos é definido a partir dos parâmetros dos impulsos da malha, utilizando as funções de interpolação no domínio. = Em que: Vector de impulsos de uma solução equilibrada; Matriz das funções de interpolação dos impulsos na malha; Vector dos parâmetros dos impulsos na malha. (4.8) Outra vez a função de interpolação no domínio é obtida a partir das funções de interpolação elementares, formando uma base para os impulsos considerados (tal como o formam para os deslocamentos na formulação primal). = Em que: Matriz das funções de interpolação dos impulsos no elemento; (4.9) Vector dos parâmetros de impulso do elemento. 25

44 Num elemento, esta equação é traduzida por: = Sendo que as funções no domínio e elementares coincidem em cada elemento: (4.1) =, Estas funções são polinómios de Legendre, definidos no subcapítulo (4.11) Num elemento, a relação entre os deslocamentos no referencial local (no sentido positivo dos impulsos internos/esforços correspondentes a cada parâmetro) e global, é dada por: Em que: = = Vector dos parâmetros de deslocamento dos nós do elemento ; (4.12) Matriz de aproximação dos deslocamentos no elemento. Esta matriz é de seguida apresentada: = (4.13) - Matriz da normal à fronteira, igual à anteriormente considerada para os elementos finitos compatíveis (3.59); - Matriz de compatibilidade do elemento. Referencial local Referencial global Figura 4.1 Representação dos eixos considerados. 26

45 A transformação dos esforços do referencial local, para forças no referencial global dos nós de uma barra e, é feita como indicado de seguida: = Também o equilíbrio entre elementos e na fronteira estática é dado de uma forma similar por: (4.14) Em que: Esforços aplicados nos nós; = (4.15) Esta condição de equilíbrio juntamente com a condição de equilíbrio no domínio assegura a admissibilidade estática da solução. Para cada elemento, ao isolar o termo do campo de velocidades da equação de equilíbrio (4.6), a sua derivada vem como: = 1 + (4.16) Por sua vez, invertendo a relação constitutiva (4.5) em ordem a, obtém-se outra definição para a derivada no tempo das deformações para o elemento : = (4.17) = (4.18) A partir destas duas equações, é garantida a compatibilidade das velocidades de deformação, (4.2), na forma fraca, ou seja, não em todos os pontos, mas em termos médios, ponderado com um campo de tensões virtual, i.e.: = (4.19) Generalizando a equação acima para o sistema, tem-se: 1 + = (4.2) 27

46 Serão agora estudados os vários termos da equação, procedendo-se à discretização dos campos de tensões e deslocamentos nodais. 1º Termo Procedendo à integração por partes deste termo tem-se: 1 + = = = (4.21) Em que se utilizam os seguintes operadores diferenciais auxiliares, resultantes da integração por partes: 1 =, = = 1 1 Refira-se que a última igualdade é possível dado que, de acordo com (4.6): (4.22) 1 + = + (4.23) Para simplificação, introduza-se a definição de Matriz de Mobilidade e vector de velocidades generalizadas impostas no sistema : = 1 (4.24) = 1 (4.25) Nas parcelas de fronteira, ao invés de utilizar funções de forma no domínio, é considerada a matriz de compatibilidade (cuja obtenção é explicada em (4.12)) que transforma os deslocamentos no nó de um referencial global para o local. Assim sendo, o 1º termo toma o seguinte formato final: 2º Termo = (4.26) 28

47 = + (4.27) Esta igualdade foi obtida a partir da equação (4.17). Introduza-se agora a definição de Matriz de Flexibilidade : = Utilizando esta definição, o 2º termo toma este formato: (4.28) 3º Termo - 4º Termo - = + = = = (4.29) (4.3) = (4.31) Neste caso, foi utilizada a equação (4.16). Utilizando a integração por partes considerada no 1º termo, este toma a seguinte forma: = + O somatório de todos os termos é: = (4.32) + = De onde se obtém, por simplificação e troca de sinal: (4.33) = (4.34) 29

48 Para a obtenção do sistema final de equações é necessário incluir o equilíbrio nodal, i.e.: + = (4.35) Em que: Forças resultantes das suas características intrínsecas do nó (rigidez, de amortecimento ou de massa); Forças transmitidas pelas barras; Forças aplicadas no nó. As forças nodais podem ser representadas como: = + + (4.36) Em que na equação, as matrizes, e têm os significados habituais, apenas com a ressalva de que, desta feita, estão apenas relacionadas com características nodais, ou seja: Matriz de massas nodais concentradas; Matriz de amortecimento nodal concentrado; Matriz de rigidezes Nodais concentradas; Por sua vez, os esforços transmitidos pelas barras ao nó,, estão contemplados em (4.14) como: = Com a consideração de (4.36) e (4.37), o equilíbrio nodal é dado por: (4.37) = (4.38) Para obter o sistema algébrico final da equação dos elementos finitos basta reunir os sistemas de equações obtidos em (4.35) e (4.38). A equação do MEF de equilíbrio é a seguinte: + + =..: = (4.39) Amortecimento Considere-se a matriz de amortecimento : = + (4.4) 3

49 Os parâmetros e utilizados são obtidos da mesma forma considerada na formulação clássica. Esta opção é tomada para se obter um amortecimento igual em ambos os casos. Num raciocínio análogo ao caso primal, obtém-se a equação dinâmica de um oscilador livre de um grau de liberdade, frequência natural do sistema,, e a taxa de amortecimento do sistema, : + + =, = 1, = 1, = 1, =, = = 2 (4.41) Ainda analogamente aos elementos finitos compatíveis, há três tipos de amortecimento, cujas características físicas já anteriormente foram especificadas: < 1 o sistema é subamortecido; = 1 = 2 = 2 o sistema tem amortecimento crítico; > 1 - o sistema é sobreamortecido. Onde os sistemas subamortecidos livres têm a seguinte solução: = cos, = 1 (4.42) A solução desta função é igual à do caso primal e tem as mesmas características, apenas com a ressalva de se referir a impulsos e não a deslocamentos. Mas, como já foi descrito anteriormente, os deslocamentos são função das tensões (derivadas dos impulsos). O que torna possível afirmar que também os deslocamentos, presentes na equação dos elementos finitos, vão apresentar um comportamento deste tipo, mas com uma desfasagem. Esta formulação da matriz de amortecimento, à semelhança do caso primal, permite a obtenção de um amortecimento modal. Para o comprovar, considere-se a equação dinâmica da formulação dual (4.34) homogénea e apenas no seu domínio: = (4.43) Fazendo uma transformação ortogonal, utilizando os vectores próprios normalizados em relação à matriz de flexibilidade, i.e.: = = (Ortogonalidade de ) = (Ortogonalidade de ) (4.44) (4.45) (4.46) 31

50 Obtém-se, por simplificação, um sistema de n equações a n graus de liberdade: Em que: = = 1,2,3, (4.47) = Frequência própria do modo de vibração i; 2 = + = 1,2,3 - Deslocamento i em coordenadas modais; = Taxa de amortecimento do modo de vibração i; Em ambos os casos a taxa de amortecimento do modo de vibração,, é: = O que mostra que o amortecimento produzido é igual Funções de Forma As funções de forma utilizadas, representadas em (4.26), são polinómios de Legendre. Na parcela axial são utilizados dois polinómios até ao 1º grau: = 1 = 2 (4.48) E na parcela de flexão são utilizados quatro polinómios até ao 3º grau (mínimo para formar uma base de elementos linearmente independentes): = 1 ; = = 2 ; = Listam-se agora algumas propriedades destes polinómios importantes de referir: (4.49) 1) Para polinómios de grau consecutivo, as funções são alternadamente par e impar, i.e.: = 1 (4.5) Onde é um polinómio de Legendre de grau. 2) Estes polinómios são ortogonais em relação ao seu produto interno no intervalo /2 /2; 32

51 / / Onde é o símbolo de Kronecker. = (4.51) Esta última propriedade tem duas consequências importantes. Em primeiro lugar, atentando à equação que define a matriz de Flexibilidade (4.28) e considerando uma transformação de coordenadas, em que o comprimento L da barra é definido no intervalo, esta matriz é diagonal. Isto permite uma pequena redução no tempo de processamento numérico. Mas o aspecto mais importante na utilização destes polinómios é a simplificação da matriz de Mobilidade. Olhando a sua definição: = 1 (4.52) E considerando, definido em (3.3), verifica-se que a parcela toma um valor nulo quando: Para a parcela axial a função de forma é constante (e consequentemente = ); Para a parcela de flexão a função de forma é um polinómio de grau ou 1º grau (e consequentemente = ). Assim, para a aplicação apenas de cargas pontuais, e dividindo a resposta entre uma parcela estática e uma dinâmica: a parcela estática do caso axial é representada por um polinómio de grau zero, dado que para este tipo de carregamento o esforço axial terá de ser constante. A parcela dinâmica é representada pelo polinómio de primeiro grau; a parcela estática da flexão é representada por polinómios de grau zero ou 1º grau, isto porque uma carga concentrada provoca um diagrama de esforço transverso de grau zero e diagrama de momentos flectores linear. A parcela dinâmica é, por isso, representada pelos polinómios de 2º e 3º graus. Genericamente, pode ser subdividida a matriz de Mobilidade, Flexibilidade e Amortecimento da seguinte forma: = = = (4.53) Em que o índice S traduz estático ( static em inglês) e D dinâmico e cada uma das submatrizes elementares é quadrada 3x3. A matriz de compatibilidade pode também ser subdividida conforme esteja relacionada com os parâmetros estáticos ou os dinâmicos: 33

52 = Onde cada uma das submatrizes tem as dimensões de 3x6. (4.54) Tendo em conta as considerações acerca da parcela realizadas anteriormente, a matriz de Mobilidade simplifica-se para: = (4.55) O que permite uma não só uma diminuição no tempo de processamento, como também uma simplificação do problema de valores próprios Sistema Matricial Final Utilizando as simplificações que advêm da utilização destas funções de forma, o sistema matricial a utilizar é o seguinte: = + (4.56) Acontece que nos problemas a solucionar, as acções serão apenas pontuais e nodais. Por esta razão, optou-se por incluir estas acções nas equações de equilíbrio nodal, o que leva a que o termo + tome um valor nulo. Também não se incluíram características dinâmicas intrínsecas dos nós, ou seja, = = =. Como tal, o formato final da equação do MEF para o caso dual é: = (4.57) Matrizes Elementares A forma das matrizes elementares com as simplificações e as condições consideradas é: 34

53 = = (4.58) (4.59) 35

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55 5. Características das Formulações Após a definição das duas formulações, mostram-se agora algumas características, grandezas e propriedades de ambas Princípios Energéticos As equações do MEF podem ser obtidas não só a partir das equações governativas consideradas neste trabalho (compatibilidade, relações constitutivas e equilíbrio), como também através da minimização ou maximização do funcional do problema. São baseados nesta propriedade os princípios que garantem que as soluções aproximadas convergem para a solução exacta, particularmente importantes na definição das condições de existência e unicidade das soluções. Também na análise de sistemas dinâmicos é fundamental a definição das grandezas energéticas, de forma a compreender correctamente o sistema. Por isso, são de seguida associadas as várias variáveis do problema às correspondentes energias Elementos Finitos Compatíveis Formulação Primal A energia de potencial de deformação é obtida como o trabalho realizado pelas forças interiores quando há variação das deformações do elemento de = para = : = = 1 2 = 1 2 Isto considerando o material elástico linear e nulas as constantes de integração (que se traduziriam numa deformação devido à temperatura, por exemplo). A energia cinética resulta do trabalho realizado ao acelerar um sistema de partículas: (5.1) = = 1 2 Esta fórmula é resultante de alguma manipulação matemática que demonstra que =. (5.2) 37

56 Elementos Finitos de Equilíbrio Formulação Dual Para os elementos finitos de equilíbrio, a relação constitutiva (4.17): = Toma a seguinte forma, para uma resposta harmónica ( = : (5.3) = (5.4) Daqui obtém-se a definição da deformação a utilizar para o cálculo da energia complementar de deformação,, dos elementos finitos equilibrados: = 1 + (5.5) é definido como o trabalho realizado pelas deformações quando há variação dos esforços do elemento de = para =, i.e.: = Utilizando a discretização já anteriormente considerada, esta equação toma a seguinte forma: (5.6) = 1 + = (5.7) A expressão acima apresenta-se na sua forma final introduzindo a matriz de Flexibilidade (4.28): = Para a obtenção da energia cinética complementar do sistema considere-se a seguinte manipulação matemática da definição de energia cinética anteriormente introduzida para uma partícula: (5.8) = = = E a definição de velocidade (4.16) em função dos impulsos internos: (5.9) = 1 (5.1) 38

57 Considerando a resposta sinusoidal ( = a equação acima toma o seguinte formato: = (5.11) Generalizando a equação (5.9) para a malha, são utilizados os impulsos que provocam deformações o que leva a: = = (5.12) Utilizando a definição da Matriz de Mobilidade (4.24), a energia cinética complementar do sistema é dada por: = (5.13) A definição final das energias na formulação de elementos finitos equilibrados, considerando apenas a sua parte real, é a seguinte: = 1 2, = 1 2 (5.14) 5.2. Propriedades das matrizes Como consequência das hipóteses consideradas, as matrizes do MEF deduzidas anteriormente têm algumas propriedades a elas associadas. No caso primal as matrizes são simétricas, provando-se que a matriz de massas consistente é positiva definida, i.e.: >, Enquanto que a matriz de rigidez é positiva semi-definida, i.e.: (5.15), (5.16) Estas afirmações têm várias consequências. (5.15) implica que a energia cinética, dada por =, é sempre positiva para velocidade não nula. Já (5.16) implica que, para o movimento de corpo rígido, a energia de deformação do elemento, dada por =, é nula, como, aliás, seria de esperar dada a utilização da Lei de Hooke. Prova-se que uma matriz positiva definida tem valores próprios do sistema positivos. Esta situação tem consequências a nível das frequências próprias e modos de vibração, como se verá 39

58 mais à frente. Uma matriz semi-definida positiva pode ter valores próprios nulos, mas esta situação está necessariamente ligada a um determinante da matriz nulo, dado que: = (5.17) O que implica uma matriz singular. Assim, valores próprios nulos na matriz de rigidez terão necessariamente de estar ligados a uma estrutura não totalmente restringida e consequentemente passível de sofrer movimentos de corpo rígido. Por isso é possivel afirmar que é positiva definida neste trabalho. Olhando agora para o caso dual, e comparando a definição da matriz de Flexibilidade (4.28) com a de Massas (3.32) e a de Mobilidade (4.24) com a de Rigidez (3.27) observa-se que são formuladas de forma análoga. Pode então garantir-se que é positiva definida, i.e.: E que é positiva semi-definida, i.e.: >, (5.18), (5.19) Neste caso, a energia complementar de deformação = nunca pode tomar valores nulos para esforços não nulos. Isto justifica-se pelo facto de ser discretizado o campo de impulsos, cuja existência implica deformação. Já a energia cinética complementar = é nula se a distribuição de impulsos for auto-equilibrada. No entanto, não são contempladas neste trabalho casos de tensões auto-equilibradas como, por exemplo, variações de temperatura. Daí que se possa afirmar que as matrizes,, e são definidas positivas, i.e.: >, >, >, >, (5.2) 5.3. Frequências Próprias Naturais Formulação Primal Este subcapítulo pretende explicar a obtenção das frequências próprias nas duas formulações consideradas. Considere-se primeiro a homogénea da equação do MEF (3.31) não amortecida: + = Esta pode tomar o seguinte formato, dado que o deslocamento é harmónico: (5.21) 4

59 = Para o caso não trivial ( ), esta equação é satisfeita quando: = (5.22) (5.23) A solução deste determinante é o chamado polinómio característico e a partir deste obtêm-se as frequências próprias naturais do sistema (em que é um valor próprio do sistema). Conhecidas estas, podem ser obtidos modos de vibração, nada mais nada menos que os vectores próprios do problema Formulação Dual No caso dual, o problema de valores e vectores próprios apresenta a particularidade de ter valores próprios nulos, visto que é singular (4.58). Os modos de vibração associados a esses valores próprios nulos podem ser denominados de modos de vibração estáticos, em contraponto com os dinâmicos, característicos de frequências próprias positivas. Esta situação poderia ser ignorada, simplesmente resolvendo o sistema de equações da formulação equilibrada de elementos finitos. Mas como não há necessidade de resolver um problema de valores próprios tão grande, foi encontrado um algoritmo que possibilita a sua resolução de uma forma mais eficaz. Considere-se a homogénea não amortecida de (4.56), e ainda as características intrínsecas dos nós, e, nulas, como já anteriormente foi referido: + = (5.24) Após alguma manipulação matemática dos blocos de equações e obtêm-se e como as seguintes funções de : = = Inserindo ambas no bloco obtém-se o seguinte conjunto de equações: (5.25) = (5.26) Que depende exclusivamente de. A resolução deste sistema permite a obtenção das frequências próprias naturais e, consequentemente, dos modos de vibração do sistema dual. 41

60 5.4. Modos de vibração Com a determinação dos valores próprios podem ser obtidos os vectores próprios do sistema, que correspondem aos seus modos de vibração. Os vectores próprios são ortogonais a e, na formulação compatível, e ortogonais a e, na formulação equilibrada. Esta propriedade deve-se ao facto de que, genericamente, para uma matriz quadrada, simétrica, haver uma matriz ortogonal tal que: = (5.27) Em que é uma matriz diagonal composta por valores próprios na diagonal e as colunas de são os vectores próprios. No caso dual, as dimensões de e de e são diferentes, mas os blocos de vectores são ortogonais a estas matrizes. Por isso, o raciocínio seguido para o amortecimento (Sub-Capítulo 4.2.1) mantém-se válido. Importa agora analisar as razões das diferenças no problema de valores próprios nas duas formulações. Ao contrário da solução MEF compatível, já foi referido que os elementos finitos equilibrados apresentam modos de vibração estáticos (valor próprio zero). Esta situação deve-se à utilização de polinómios de 3º grau. O que acontece é que a derivação das matrizes de forma (pelo operador diferencial ) transforma polinómios de 3º grau em 1º grau, no caso da parcela de flexão, e polinómios de 1º grau em grau. Como tal, só é possível que tenha 3 elementos linearmente independentes. Esta situação não se coloca nos elementos finitos compatíveis dado que a matriz de rigidez não é singular (onde não há diferenciação dos polinómios que, como tal, formam uma base de 2+4 elementos para um elemento sem restrições). Outra diferença surgiria nos valores próprios obtidos, caso se considerassem as características intrínsecas dos nós no bloco de equações. Nesse caso, apareceriam frequências próprias somente dependentes da massa e rigidez consideradas para esse nó. Daí que, caso fosse necessário inserir estas grandezas no sistema, seria aconselhável formular as matrizes de Flexibilidade e Mobilidade de modo a que as incluissem, de forma a não deturpar os resultados junto dessas frequências. Não considerando este último caso específico (que nem é considerado nos exemplos que a seguir são apresentados) têm-se, resumidamente, na: Formulação de elementos finitos compatíveis 6 frequências próprias por elemento sem restrições e antes da assemblagem. Por cada deslocamento assemblado desaparece uma frequência própria. Um elemento isostático apresenta 3 frequências próprias. 42

61 Formulação de elementos finitos de equilíbrio 3 frequências próprias por elemento. Finalmente, é importante assinalar que, genericamente, para o estudo da resposta ao longo do tempo de uma estrutura não tem de ser resolvido o problema de valores próprios, porque o tempo de processamento desta operação é demasiado elevado. Acontece que, para além do interesse académico desta operação, os exemplos considerados são de baixa discretização, cujo tempo de processamento não é significativo quando comparado com os problemas usuais de elementos finitos Número de equações Neste ponto, estabelece-se o paralelismo entre o número de equações de ambas as formulações. O tempo de processamento computacional depende grandemente deste aspecto, daí a sua importância. Na formulação de elementos finitos compatíveis, o número de equações é igual ao grau de indeterminação cinemática β do sistema. O sistema utilizado para a obtenção das frequências próprias e modos de vibração utiliza todas essas equações. Já a formulação equilibrada de elementos finitos apresenta um número maior de equações. Atentando à equação (4.56), o sistema é constituído por: Equações relativas à parcela estática - 3; Equações relativas à parcela dinâmica - 3; Equações de equilíbrio nodal - 3 α + 3. ( - número de barras, - número de nós da estrutura, α - grau de indeterminação estática da estrutura). Note-se que, mesmo quando acontecem libertações de esforços, o número de equações do sistema dual se mantém, dado que os impulsos na barra não são obtidos directamente a partir dos impulsos nodais. Também o número de equações de equilíbrio nodal é usualmente igual ao grau de indeterminação cinemática Comparativo entre as duas formulações com amortecimento de Rayleigh A seguinte tabela compara, resumidamente, os termos obtidos segundo ambas as formulações. 43

62 Primal Dual + = Equilíbrio + + = = + Relação Constitutiva = + = Compatibilidade = Condições de Fronteira = Fronteira Cinemática + = = Fronteira Estática = Matrizes do Sistema Governativo = = = Rigidez Massa Amortecimento = 1 Flexibilidade Mobilidade = = 1 = 1 2 Energia de Deformação = 1 2 = 1 2 Energia Cinética =

63 6. Integração numérica no tempo Após a obtenção das equações do MEF, uma vastidão de aspectos poderia ser analisado. Não podendo ser a totalidade englobada neste trabalho, o desafio colocado foi fazer uma análise no domínio do tempo. Para tal, é necessário escolher um método de integração no tempo. Há dois tipos de integração: Integração Explicita desta integração obtém-se um sistema de equações não-lineares. Este tipo de métodos utiliza equações diferenciais no instante para prever a solução em +. Geralmente o passo integração ( ) tem de ser bastante pequeno de forma a obter uma solução estável. Daí dizer-se que este tipo de métodos é condicionalmente estável relativamente ao passo de integração; Integração Implícita estas integrações procuram satisfazer a equação diferencial no instante + utilizando a solução do instante. Em cada instante a integração é feita através de um conjunto de equações lineares. Em relação à integração explícita, em geral maiores passos de integração podem ser considerados, havendo métodos de integração incondicionalmente estáveis (estáveis qualquer que seja o passo de integração). Das opções, a que será utilizada é uma forma de integração implícita, o método de Newmark. Esta escolha deve-se não só à facilidade de processamento numérico, como também à possibilidade de utilização de uma maior gama de passos de integração. Há métodos que permitem a integração exacta no tempo, mas para a sua utilização seria necessária a resolução do problema de valores próprios. Como já foi anteriormente referido, dado o elevado número de graus de liberdade usualmente presentes nos modelos, esta operação não costuma ser feita, dado o seu elevado custo de processamento. Se bem que é verdade que os problemas presentes nesta tese não têm um número elevado de valores próprios, não é menos verdade que não tem interesse académico utilizar um tipo de operação que não possa ser utilizado nos casos mais comuns Método de Newmark Genericamente, para uma variável, a utilização da série de Taylor assegura a obtenção das seguintes equações: 45

64 = = Newmark considerou apenas as três primeiras derivadas obtendo: (6.1) (6.2) = β = + + γ Considerando a aceleração linear no passo de integração: (6.3) (6.4) Obtêm-se: = (6.5) = β + β = + 1 γ + γ (6.6) (6.7) Formulação Primal Para a obtenção das fórmulas a utilizar no processamento numérico, basta partir da equação fundamental da dinâmica, reescrevendo-a: + + = (6.8) Particularizando para o caso primal o conjunto de equações (6.6) e (6.7), a variável a integrar no tempo é dada por: = β + β (6.9) = + 1 γ + γ (6.1) Basta então substituir estas equações em (6.8) para obter a aceleração para o instante +,, conhecidos que são os valores dos deslocamento, velocidade e aceleração para o instante e ainda (do qual é conhecida a variação). 46

65 Obtido utilizam-se novamente as equações (6.9) e (6.1) para conhecer o valor da velocidade e do deslocamento, obtendo assim os valores a utilizar na próxima iteração. Para os coeficientes β e γ há várias combinações que poderiam ser utilizadas. Por exemplo, considerando β= e γ=1/2 estaria a ser utilizado o método da Diferença Central, com β=1/6 e γ=1/2 seria o método da aceleração linear. Mas estes dois exemplos são apenas condicionalmente estáveis, o que torna indesejável a sua utilização. Haveria ainda a hipótese de introduzir algum amortecimento relacionado com o algoritmo utilizando γ>1/2, ou retirar amortecimento utilizando γ<1/2. Também não parece que essa seja a melhor solução dado que o sistema por si só já tem amortecimento e isso iria desvirtuar a solução. Por isso, procurou utilizar-se uma combinação estável e escolheu-se o método da aceleração média, que não é mais que a regra dos trapézios. A partir da simplificação da série de Taylor tem-se, considerando a aceleração média entre instantes: = = Comparando estas com as equações (6.9) e (6.1) retira-se que β=¼ e γ=½. (6.11) (6.12) Este algoritmo é estável para qualquer passo de integração e não introduz amortecimento, ou seja, é um algoritmo energeticamente conservativo para o caso da vibração livre, + = Formulação Dual A aplicação do método de Newmark nesta formulação é análoga aos elementos finitos compatíveis. Partindo da equação de equilíbrio dinâmico, devem-se reescrever as equações do seguinte modo: + + = (6.13) Particularizando para o problema dual, o conjunto de equações (6.6) e (6.7) toma a seguinte forma: = β + β = + 1 γ + γ (6.14) (6.15) 47

66 Contando com os valores no instante e a força no instante +, basta substituir estas equações no sistema (6.13) para obter no instante +. Após a obtenção desta incógnita, utilizam-se novamente as equações (6.14) e (6.15) para obter e. Estes são utilizados na iteração seguinte. Os valores de ¼ para β e ½ para γ são novamente considerados. 48

67 7. Avaliação do Erro na Solução Há vários factores que contribuem para a diferença entre a solução do problema real e do modelo matemático. Desde logo há uma diferença entre o problema real e o modelo matemático, que se denomina como erro de modelação. Este é, regra geral, o erro mais importante, mas é ao mesmo tempo aquele que é mais facilmente controlável pelo utilizador. Mas a verdade é que o controlo deste tipo de erro de nada serve se não se puder confiar no modelo numérico. E para que se confie neste modelo é necessário que o seu erro esteja controlado. Daí que seja importante enumerar e analisar os vários tipos de erros numéricos associados às soluções obtidas em Matlab 7.: 1) Diferença entre modelo exacto e modelo em Elementos Finitos; 2) Erros numéricos devido à integração no tempo; 3) Erros de arredondamento. É, de seguida, discutido em que medida estes erros influenciam o resultado final. 1) Este é um erro inerente à utilização do Método de Elementos Finitos. Uma parte deste erro está relacionada com a discretização utilizada e a sua adequabilidade. Para uma maior discretização, e de acordo com a propriedade da estacionaridade do funcional do sistema, a solução do método converge para a solução exacta. Mas a distribuição dos elementos no domínio é também da máxima importância nesta convergência. Uma malha inadequada pode provocar erros grosseiros no resultado final. Outra parte está relacionada com as funções de forma utilizadas. Quanto maior for o grau do polinómio utilizado como função de forma, mais perto estará a solução aproximada da solução exacta. No caso estático, para os exemplos considerados, a solução exacta poderia ser obtida através da utilização dos polinómios de 3º grau, como os casos dos polinómios de Hermite e Legendre. Acontece que a solução do problema dinâmico é harmónica, mas, dado que as funções utilizadas são polinómios de 3º grau, as mesmas do caso estático, a solução a obter nunca poderá ser a solução exacta do problema. Um dos maiores interesses na consideração das duas diferentes formulações de elementos finitos está relacionado com a eventualidade de ser possível utilizar o par de soluções primal/dual para estimar, ou talvez majorar, este erro. No entanto este objectivo apenas foi atingido para problemas estáticos, não para problemas dinâmicos. 49

68 2) Estes erros numéricos são os que provêm da utilização do método de Newmark. Como já foi referido, este é um método aproximado. Neste caso, considera-se que a aceleração entre instantes consecutivos de integração é constante. Sendo a função deslocamento no caso primal e impulso e deslocamento no caso dual harmónicas, e a aceleração destas variáveis a sua segunda derivada em ordem ao tempo, estas nunca poderiam ser constantes como considerado. Este tipo de erros diminui com o passo de integração. Por isso, e para o minimizar, é usualmente recomendada a utilização de um passo de integração entre e, em que T é o menor período do modelo. Uma das consequências da utilização deste modelo prende-se com a estabilização da resposta. Esta estabilização da resposta é tanto mais rápida quanto menor for o passo de integração. Este período de estabilização (warm-up period) é também tanto mais evidente quanto mais perto das frequências próprias estiver a frequência de excitação, dado que a energia envolvida é maior (daí que um maior amortecimento também diminua este período). Para evidenciar este tipo de erro estão, no Anexo I, representados três gráficos com o deslocamento máximo na extremidade de uma consola (o modelo de teste), com diferentes passos de integração e sem amortecimento. Verifica-se com este exemplo a necessidade de impor amortecimento no sistema para a obtenção de resultados confiáveis. 3) Os erros de arredondamento acontecem pelo facto do programa não armazenar valores exactos, apenas valores aproximados. A importância deste tipo de erros está relacionada com o número de casas decimais armazenadas nas operações pelo programa. Como o ambiente utilizado opera com variáveis com quinze dígitos de precisão, este é um tipo de erro pouco importante na generalidade dos problemas, nomeadamente naqueles com que estes modelos vão lidar. 5

69 8. Exemplo de teste - Consola Para testar a validade da formulação obtida considerou-se um modelo teste, programado em Matlab 7.. Após a obtenção dos resultados, estes serão comparados com os da solução exacta. O modelo escolhido foi uma consola, sob o efeito de acções concentradas sinusoidais: Figura 8.1 Consola e forças aplicadas. Qualquer sistema dinâmico tem, genericamente, para cada grau de liberdade, uma solução do tipo: = + (8.1) A solução complementar, também denominado regime transitório, é traduzida, para sistemas subamortecidos ( < 1), pela equação (4.42). Esta tem como função verificar as condições iniciais específicas do problema, atenuando-se ao longo do tempo. Já o regime permanente,, traduzido por uma função harmónica, mantém-se invariável ao longo do tempo. Para o sistema contínuo, a solução pode ser obtida pela separação da resposta em duas componentes:, = Em que é a configuração deformada e é uma função suposta harmónica. (8.2) Considerando apenas o regime permanente, função da frequência de excitação, a resposta da consola é a seguinte: 51

70 = = +, R (8.3) A solução exacta será obtida para o regime permanente do caso não amortecido e do caso amortecido. Isto porque se pretende, para o caso não amortecido, a obtenção das frequências próprias naturais e modos de vibração, enquanto a solução amortecida será a utilizada para o estudo no tempo do problema. A importância da obtenção da solução exacta prende-se essencialmente com a validação do modelo Solução Exacta Não Amortecida Num sistema não amortecido sujeito a uma acção sinusoidal, a resposta em regime permanente é igualmente sinusoidal, daí que: = sin = (8.4) Parcela axial Partindo da equação de equilíbrio (3.12), com a técnica da separação de variáveis anteriormente discutida e homogeneizando a equação, no domínio este problema resume-se a: = Onde a forma do deslocamento longitudinal é dada por. (8.5) Por simplificação desta equação, obtém-se a seguinte, que rege a parcela do deslocamento da barra não dependente do tempo: + = (8.6) Tendo em consideração que a velocidade de propagação de ondas elásticas em barras uniformes é traduzida por, a equação anterior toma a seguinte forma: + =, = A solução desta equação diferencial é a seguinte: (8.7) = sin + cos (8.8) 52

71 Onde A e B são constantes que dependem das condições de fronteira, as quais são cinemáticas e estáticas. Na fronteira cinemática, tem-se que: = Que traduz o encastramento deslocamento longitudinal nulo na origem. (8.9) Na fronteira estática a condição é: = Que é, por sua vez, o esforço normal nulo no bordo livre. (8.1) Sujeita às condições de fronteira, a equação (8.8) dá as frequências naturais exactas do problema: = 2 1, Z 2 (8.11) Parcela de flexão Euler-Bernoulli Utilizando a equação de equilíbrio (3.18) não amortecida, homogeneizando e utilizando a separação de variáveis anteriormente discutida, no domínio o problema da flexão resume-se a: Em que: Forma do deslocamento transversal; + = (8.12) De onde é possível obter a parcela não dependente do tempo que rege o deslocamento transversal da barra: =, = = A solução desta equação tem a seguinte forma: (8.13) = sin + cos + sinh + cosh (8.14) Em que ( = 1,2, 3 4) são constantes de integração dependentes das condições de fronteira. A consola tem as seguintes condições de fronteira cinemática : 53

72 =, = (8.15) Que são, respectivamente, deslocamento transversal e rotação nulas no encastramento ( = ). Já as condições de fronteira estática são estas: =, = (8.16) Que indicam curvatura (e consequentemente momento) e esforço transverso nulos no bordo livre ( = ). Das condições de fronteira cinemática obtém-se + = e + =. A equação (8.14) simplifica-se então para: Das condições de fronteira estática tira-se: = sin sinh + cos + cosh (8.17) sin + sinh + cos + cosh = (8.18) cos + cosh sin sinh = (8.19) Estas condições, após simplificação, levam à equação das frequências: cosh = 1 cos, (8.2) Que permite a obtenção das frequências próprias naturais exactas do problema: =, = 1,875 = 1, 2, 3,, = 4,694, = 7,855, = 1,996,, = 2 1, 2 (8.21) É importante referir que, embora a equação das frequências tenha um número infinito de soluções, os modos de vibração vão ficando cada vez menos aproximados da realidade. Isto está relacionado com as assumpções consideradas já que para modos de vibração associados a frequências altas, a barra fica muito dobrada deixando a energia cinética de rotação de ser negligenciável em relação à de translação (referido no Subcapítulo assumpção número 1). 54

73 8.2. Solução Exacta Amortecida Num sistema amortecido a resposta é dependente das parcelas de seno e co-seno da equação (8.3) Parcela axial De acordo com (3.54), o problema contínuo com amortecimento de Rayleigh tem este aspecto no caso axial:, +,, +, =, (8.22) Que pode tomar o seguinte formato, utilizando novamente a técnica da separação de variáveis e homogeneizando: + + = Esta equação é passível de simplificação para: = A condição de fronteira cinemática é o encastramento: (8.23) (8.24) = (8.25) Enquanto na fronteira estática, o bordo livre, a condição é a de esforço normal igual à força aplicada no bordo da consola: 1 + = Porque relembrando (3.55), o esforço normal é dado por: (8.26), =, +, = 1 +, = 1 +, (8.27) Que corresponde aos esforços internos gerados pelas características mecânicas e amortecimento. 55

74 Parcela de flexão Euler-Bernoulli Com o amortecimento de Rayleigh, a equação que rege o comportamento de flexão da barra é a seguinte:, +, +, +, =, (8.28) Separando as variáveis e homogeneizando, da mesma forma que se fez para a parcela axial, obtém-se: = Em que a parcela não dependente do tempo se apresenta como: (8.29) As condições de fronteira cinemática respectivamente deslocamento e rotação nulas: = (8.3) são as consequentes do encastramento, =, Já as condições de fronteira estática : = (8.31) 1 + =, 1 + = (8.32) São, por sua vez, curvatura (e consequentemente momento) e esforço transverso nulos no bordo livre, dado que o momento e o esforço transverso, nesta formulação, são traduzidos pelas seguintes expressões (3.55):, =, +, = 1 +, = 1 +,, =, = 1 +, (8.33) (8.34) 56

75 8.3. Condições iniciais Separada novamente a resposta em regime permanente da resposta em regime transitório (8.1), pretende-se, para continuar a estudar a resposta em regime permanente, diminuir ao máximo essa perturbação inicial, garantindo condições iniciais tais que =. Para tal considere-se, para o caso primal, a equação fundamental da dinâmica (3.31). Para uma acção harmónica temse: + = A acção considerada será sinusoidal daí que se possa considerar que, para =, se tem: (8.35) = Como tal para obter as condições iniciais basta isolar num dos termos da equação, i.e.: (8.36) = + Para obter as restantes condições iniciais basta proceder à derivação de : (8.37) = + = + (8.38) Para o caso dual o raciocínio é análogo. Basta partir da equação da dinâmica (4.39) e considerar a acção harmónica para obter a seguinte equação: + = E as condições iniciais a seguir apresentadas: = + = + = + (8.39) (8.4) 8.4. Modelo de Teste O modelo é uma consola com as seguintes características: =.2 ; h =.5 ; = 2,83 1 ; 57

76 = 48 ; = 1 /; = 4,8 1 sin ; = 3 sin ; = =.5; = 1. Figura 8.2 Representação do modelo de teste Consola. Os dados deste problema foram escolhidos para que o deslocamento estático fosse.1 na direcção axial e na direcção transversal, para o carregamento e, respectivamente. Esse cálculo está feito em (8.46). Relativamente às soluções, a exacta foi calculada no programa Mathematica 6 e para a obtenção da aproximada foram utilizados modelos de seis diferentes discretizações em Matlab 7.. Em todas elas, os elementos considerados têm as mesmas dimensões. Para exemplificar apresentase se seguida uma delas. Esta é uma discretização em 4 elementos, de 2,5 metros de comprimento, e é denominada Consola4. O nome das outras discretizações é igual, apenas com alteração do sufixo, que representa o número de elementos que as compõem. Figura 8.3 Discretização da consola em quatro elementos (Consola4). São de seguida apresentados os estudos realizados Frequências Próprias e Modos de Vibração Antes de adiantar a explicação relativa a este tema, importa referir que as representações de deformadas obtidas pela formulação dual não são as verdadeiras. O que foi feito para representar o deslocamento na barra foi utilizar os deslocamentos dos nós obtidos neste método e uni-los pelo polinómio de 3º grau que a eles se adequa. Isso inclui a representação dos modos de vibração apresentada. Esta opção foi tomada por se julgar pouco relevante a obtenção das reais deformadas neste estudo. No entanto, se assim se desejasse, os deslocamentos poderiam ser obtidos utilizando a série de Taylor de uma forma similar à considerada no método de Newmark. As equações a considerar seriam obtidas de (4.6): 58

77 = + = + = + (8.41) Neste sistema de equações, conhecidos que são, e, para uma estrutura amortecida considera-se = e assim obtém-se directamente as equações, enquanto quando o sistema não é amortecido pode ser utilizada uma aproximação de terceira ordem da série de Taylor (utilizando os valores de, e obtidos de (8.41)) ou, se assim se desejar, pode ser obtida maior exactidão de resultados considerando =. Relativamente ao modelo em si, houve uma situação, relacionada com as condições iniciais, que se revelou pertinente. Calculadas no subcapítulo 8.3, estas foram-no para condições ideais, i.e., uma integração no tempo exacta, coisa que a integração pelo método de Newmark não é. Esta diferença vai introduzir uma perturbação no sistema, que terá de ser dissipada em regime transitório. Para que se compreenda melhor acrescente-se que, se o passo de integração fosse infinitamente pequeno, este problema não se colocaria. Mas como tal não é possível é necessário encontrar um compromisso tempo de integração/número de iterações necessário para que o sistema fique em regime estacionário (praticamente) puro. Para tal decida-se primeiro o passo de integração. A literatura relacionada com o tema geralmente recomenda passos de integração de, ou, onde é a maior frequência natural do sistema. Acontece que a consideração de tais passos de integração não é sustentável por serem demasiado baixos e, como consequência, provocarem um aumento desmesurado do tempo de processamento. Para contornar este problema, e dado que se procura que o sistema assuma o regime estacionário, considera-se um passo de integração função da frequência desse regime. De entre as três opções optou-se pelo menor. Esta opção permite introduzir menor distúrbio inicial no sistema e um integração mais exacta que as outras duas hipóteses. Foi testado e chegou-se à conclusão que passados 35, o sistema já tinha praticamente estabilizado. Por isso, para a obtenção dos valores dos deslocamentos, foram apenas considerados os 5 passos de integração após esses 35. Ainda assim, não fossem consideradas condições iniciais tão parecidas com o regime permanente e um passo de integração tão baixo comparado com o período de excitação da estrutura, e o número de iterações necessárias para a obtenção de resultados seria largamente superior. Esta situação prende-se com o efeito da utilização de diferentes passos de integração, já referido no Capítulo 7. Para confirmar o regime estacionário dos 5 passos de integração registados, observem-se os gráficos que relacionam as energias potencial e cinética, respectivamente na formulação primal e dual, para um = 2, escolhido aleatoriamente: 59

78 7 6 U K 7 6 U* K* ( J ) 3 ( J ) Tempo (s) Tempo (s) Figura 8.4 Evolução das energias cinética e potencial no tempo, para = 2. Como é fácil de verificar, ambos têm uma amplitude similar e encontram-se em regime estacionário. A Tabela 8.1 mostra os valores obtidos para as três primeiras frequências próprias associadas a modos de vibração de flexão, e a primeira frequência própria relacionada com um modo de vibração axial. É ainda apresentada a diferença para a solução exacta (Df.) e a percentagem dessa mesma diferença. A tabela mostra, como aliás seria de esperar, que quanto maior a discretização, mais se aproximam os resultados da solução exacta. Verifica-se, para este modelo de teste, que numa discretização em duas barras apenas existem erros significativos a partir da terceira frequência própria, e que a partir da discretização em três barras os erros são quase negligenciáveis a nível das principais frequências próprias, chegando ao ponto de, para uma discretização em 16 barras, o erro máximo para a frequência própria ser.44 hz, correspondentes a.2% da frequência exacta. Ainda como esperado, os valores aproximam-se por excesso, o que era perfeitamente expectável e mais uma vez confirma os resultados. A demonstração dessa propriedade é conseguida através por uma extensão do princípio da inclusão (inclusion principle) [Meirovitch e Baruh, 1983]. Este princípio é aplicado a matriz que constitua um subespaço de uma matriz simétrica real positiva definida, i.e.:,, R, > (8.42) 6

79 Considere-se, por hipótese, que a matriz tem valores próprios do tipo,,,, e a matriz tem valores próprios do tipo,,,,. O princípio da inclusão garante que os valores próprios das matrizes satisfazem as seguintes desigualdades:, (8.43) A aplicação deste conceito, por exemplo, à matriz de rigidez, significa a libertação de algumas restrições (uma matriz poderá ser apresentada como igual a, nas primeiras linhas e colunas, e apresentar valores nulos de + 1 até, em que esses valores nulos funcionam como restrições). Ainda em [MEIROVITCH E BARUH, 1983], é apresentada aplicado o Princípio da Inclusão para o sistema de equações: = (8.44) Que também garante a ordenação dos valores próprios do sistema segundo a forma (8.43). Essa prova pode ser estendida para o sistema de equações dual. Um corolário destas provas é: (8.45) Por outro lado, também se conclui que, na comparação entre as frequências obtidas segundo ambas as formulações, e dado que ambas aproximam as frequências próprias por excesso, a melhor estimativa será a menor. Observe-se outra vez a Tabela 8.1 (note-se que, ainda que neste exemplo o seu valor esteja bastante próximo, as frequências próprias não são as mesmas em ambas as formulações), agora em conjunto com a representação das doze primeiras frequências e modos de vibração de uma discretização em 8 elementos (Figura 8.5 e Figura 8.6). Não só se verifica que ambas as formulações se aproximam das soluções previstas no modelo exacto, como mesmo para frequências mais altas e modos de vibração a elas associados, ambos apresentam valores muito próximos. Os valores obtidos são próximos dado que a estrutura é isostática, situação em que ambas as formulações têm o mesmo número de frequências próprias, três por cada barra (Capítulo 5.4). Mais à frente se verá que ao impor hiperestatia no sistema, as frequências próprias deixam de ser tão parecidas. Estes resultados demonstram não só a convergência, como o bom comportamento da formulação equilibrada com uma malha mais refinada, em linha com os resultados da já bastante estudada formulação compatível. 61

80 Parcela de flexão Tabela 8.1 Comparação entre os valores aproximados e exacto das principais frequências próprias. Caso p1 (hz) Df.(hz) Erro relativo p2 (hz) Df. (hz) Erro relativo Solução exacta Parcela axial p3 (hz) Df. (hz) Erro relativo pa (hz) Df. (hz) Erro relativo Formulação Primal Elementos Finitos Compatíveis Consola % % % Consola % % % % Consola % % % % Consola % % % % Consola % % % % Consola % % % % Formulação Dual - Elementos Finitos de Equilíbrio Consola % % % Consola % % % % Consola % % % % Consola % % % % Consola % % % % Consola % % % % 62

81 Modo 1, Freq= rads -1 Modo 2, Freq= rads -1 Modo 3, Freq= rads L(m) Modo 4, Freq=19.3 rads L(m) Modo 5, Freq= rads L(m) Modo 6, Freq=21.16 rads L(m) Modo 7, Freq=321.5 rads L(m) Modo 8, Freq= rads L(m) Modo 9, Freq= rads L(m) Modo 1, Freq= rads L(m) Modo 11, Freq= rads L(m) Modo 12, Freq= rads L(m) L(m) L(m) Figura 8.5 Representação dos doze primeiros modos de vibração da formulação de elementos finitos compatíveis de uma discretização em 8 elementos. Modo 1, Freq= rads -1 Modo 2, Freq= rads -1 Modo 3, Freq= rads L(m) Modo 4, Freq=19.3 rads L(m) Modo 5, Freq= rads L(m) Modo 6, Freq=21.16 rads L(m) Modo 7, Freq=321.5 rads L(m) Modo 8, Freq= rads L(m) Modo 9, Freq= rads L(m) Modo 1, Freq= rads L(m) Modo 11, Freq= rads L(m) Modo 12, Freq= rads L(m) L(m) L(m) Figura 8.6 Representação dos doze primeiros modos de vibração da formulação de elementos finitos equilibrados de uma discretização em 8 elementos. 63

82 Uma nota às representações gráficas: ambas as formulações são capazes de representar 24 modos de vibração (3 8 ) com alguns dos modos praticamente iguais. No entanto, parte desses são apresentados com sentidos diferentes apenas porque o vector próprio é aproximadamente simétrico. Também os modos axiais são difíceis de visualizar, por apenas representarem extensões e compressões das barras, apresentadas a uma dimensão. Finalmente, e ainda relacionado com a representação gráfica, nota-se que associado a uma melhor estimativa encontra-se um traçado menos dobrado e consequentemente com menor energia de deformação Convergência Para estudar a convergência das soluções obtidas pelo MEF considerou-se também o deslocamento da extremidade da consola comparando-se as amplitudes de deslocamento máximas aproximadas e exacta. Os deslocamentos estáticos horizontal e vertical no bordo livre são, respectivamente: =,1 3 =,1 (8.46) Foram obtidos valores para a diferença entre o modelo em MEF e exacto para as seguintes frequências : Deslocamento Axial Todos os números pares de 2 a 15 Deslocamento Transversal Todos os números inteiros de 1 a 5 e todos os números pares de 52 a 1 Optou-se pela limitação da frequência utilizada no cálculo dos deslocamentos. O objectivo foi, num primeiro momento, focar a atenção no estudo da convergência das frequências próprias que mais significado costumam ter em engenharia. Mas também porque, para frequências mais altas de excitação, as assumpções feitas ficam cada vez menos aproximadas da realidade e não só o deslocamento se torna diminuto, como também o amortecimento evita que, junto de frequências próprias, surjam grandes deslocamentos. Os vários gráficos que comparam o deslocamento exacto e o aproximado (a diferença entre estas grandezas é o erro absoluto ) estão representados no Anexo II. O seu erro relativo,, está no Anexo III. Mais especificamente, para as excitações na frequência própria, são apresentadas tabelas no final deste subcapítulo. 64

83 Quer para o caso primal quer para o dual os gráficos e tabelas mostram que, no âmbito das frequências analisadas, basta uma discretização em três elementos para se obter uma aproximação aceitável. Verifica-se novamente que, com o aumento da discretização, a solução converge, obtendo-se um valor médio de erro relativo cada vez menor. Tabela 8.2 Erro absoluto e relativo dos deslocamentos horizontal e transversal máximos na formulação primal provocados por uma excitação igual a uma frequência própria. Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Deslocamento Axial = E-5 3.4E % 4.89% 2.3% 1.24%.24%.2% - δ Deslocamento Transversal = E E E-5 7.8E E-5 - = %.8%.4%.6%.7%.7% - δ E E E E E % 1.63%.18%.15%.1%.1% - δ = E E E E E % 69.44% 4.53%.98%.1%.3% - δ Tabela 8.3 Erro absoluto e relativo dos deslocamentos horizontal e transversal máximos na formulação dual provocados por uma excitação igual a uma frequência própria. Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Parcela Axial = E E E-5 6.1E-6 1.1E %.35%.32%.15%.3%.5% - δ Parcela Euler-Bernoulli = E-5 6E E E E-5 - = %.3%.6%.7%.7%.7% - δ E E E E E % 3.4%.46%.8%.1%.1% - δ = E E E E E E % 66.57% 6.38% 2.21%.12%.3% - δ 65

84 Admissibilidade Estática e Garantia da Segurança Foi referido, no início do capítulo de elementos finitos compatíveis, que, no caso estático, estes estariam contra a segurança. Pelo contrário, os elementos finitos equilibrados seriam prósegurança, por garantirem uma solução equilibrada, ainda que não respeitasse as condições cinemáticas. Porém, com o aparecimento da parcela dinâmica estes conceitos deixam de fazer sentido. Imagine-se o caso não amortecido sujeito a uma acção harmónica. Como já se verificou, por muito que se discretize a malha, é sempre possível utilizar uma malha mais refinada e encontrar uma melhor solução. Então, como a solução do método dos elementos finitos nunca é a exacta, a frequência própria do modelo contínuo nunca é a do modelo discretizado. Desta forma, se se considerar uma excitação com a frequência de uma frequência própria do modelo contínuo, a resposta obtida pelo modelo aproximado é menor que a resposta exacta, o que está contra a segurança. Acrescente-se ainda que, tal como se podem obter resultados contra a segurança pelas duas formulações, também entre elas não há uma que apresente sempre valores superiores. Basta novamente pensar que as frequências próprias dos modelos nas duas formulações são diferentes Esforços A pertinência deste capítulo prende-se com um dos aspectos mais importantes nesta breve análise dos elementos finitos equilibrados a distribuição de esforços na estrutura. Para tal, a resposta da estrutura será obtida a partir do repouso, contrariamente ao estudo em regime permanente, feito até ao momento. O carregamento é aplicado na extremidade livre de uma consola discretizada em quatro elementos (Figura 8.3), segundo a direcção transversal: 2 Q v (kn) 1 Passo de integração: = Tempo (s) x 1-3 Figura 8.7 Carregamento aplicado na extremidade livre da consola Recorde-se que a obtenção do campo de esforços nos elementos compatíveis e equilibrados é baseada, respectivamente, em (3.55) e (4.14): = + = (8.47) 66

85 A partir dos resultados obtidos em ambos os modelos podem ser traçados os diagramas de esforços nas barras. São apresentados de seguida esses diagramas no instante = Formulação Primal Formulação Dual N (kn) 1-1 N (kn) x (m) x (m) V (kn) 1-1 V (kn) x (m) x (m) M (knm) 1-1 M (knm) x (m) x (m) Figura 8.8 Esforços nas barras para o carregamento considerado. Os diagramas obtidos confirmam várias características de ambas as soluções: O campo de esforços no caso primal apresenta descontinuidades entre elementos, por ser garantido o equilíbrio em termos médios e não em cada ponto; Por sua vez, o campo de esforços do caso dual apresenta continuidade, como preconizado pelas equações. É uma solução equilibrada verificando-se que os esforços na fronteira estática (a extremidade da consola) são iguais ao vector força aplicado nesse ponto ( = 1 ; = =. Já nos elementos finitos compatíveis o esforços na extremidade não são iguais às forças aplicadas, por, em geral, não ser garantido o equilíbrio em cada ponto; Ainda no campo de esforços do caso dual, o esforço transverso não diferenciável em todo o domínio porque nos nós apenas é garantida a sua continuidade (pela condição de equilíbrio do esforço transverso). Já o diagrama de momentos é de classe, porque é imposta não só a sua continuidade, pelo equilíbrio de momentos flectores, mas também a primeira derivada contínua, pelo equilíbrio do esforço transverso; Os maus resultados do caso primal são evidentes, mesmo utilizando uma malha não excessivamente grosseira, como é a de 4 elementos. 67

86 Representa-se de seguida, e a título de curiosidade, para o instante considerado, a deformada do sistema. Refira-se novamente que a deformada dual não é a real, é apenas a união dos deslocamentos dos nós por um polinómio de 3º grau. Formulação Primal Formulação Dual Figura 8.9 Deformadas em ambas as formulações para = Ainda atentando aos diagramas de esforço transverso apresentados na Figura 8.8, repara-se que a reprodução de elementos carregados é feita de forma deficiente nos elementos compatíveis (note-se a extremidade livre da consola). No entanto não é clara a qualidade da aproximação longe desse tipo de elementos. Por isso, é de seguida analisado o esforço transverso no encastramento. O carregamento (Figura 8.1) é similar ao anterior, mas tem maior duração. Esta opção foi tomada para diminuir o tempo de estudo em regime livre, segundo o qual a estrutura vibra a partir do instante Q V (kn) 1 Passo de integração: = Tempo (s) Figura 8.1 Novo carregamento aplicado na extremidade da consola. Os valores dos esforços estão representados na Figura Esse diagramas mostram que: A aproximação de esforços na formulação equilibrada é bastante melhor, por apresentar, com baixas discretizações, resultados mais aproximados dos valores para os quais o sistema converge. Repare-se, por exemplo, que os extremos para a Consola2 são bastante melhor aproximados no caso dual que no primal; Aparentemente, o valor do dual é, em módulo, superior ao do primal. Ainda que efectivamente assim o seja neste exemplo, tal não foi possível provar para a generalidade dos casos a partir dos valores obtidos ao longo deste trabalho. Por exemplo, há algumas frequências em regime permanente nas quais os deslocamentos, e consequentemente os esforços, são maiores para o primal (hipótese já referida no Subcapítulo 8.4.3). Por isso, recomendam-se mais estudos, porque esta situação pode estar relacionada, por exemplo, com a possibilidade de estimação do erro da solução de elementos finitos. 68

87 Finalmente, e de novo a título de curiosidade, apresenta-se o deslocamento do bordo livre da consola para as discretizações Consola1 e Consola x x u u Tempo (s).5 Formulação primal Formulação dual Tempo (s) Figura 8.11 Deslocamento no bordo livre da consola nas discretizações Consola1 (à esquerda) e Consola4 (à direita). Estes gráficos mostram que, neste exemplo, a reprodução dos deslocamentos na formulação dual é boa, com a discretização em quatro elementos a fornecer um par de soluções bastante próximo. 69

88 Consola2 Consola V (kn) Tempo (s) Tempo (s) 3 2 Formulação Primal Formulação Dual 1 V (kn) Consola Consola8 Figura 8.12 Esforço transverso no encastramento (Representação do deslocamento dual com desfasamento de 4. 1 ).

89 9. Problema Porticado Após a consideração da consola, pretende-se aplicar as equações obtidas a um caso um pouco mais complexo. Este problema não só será hiperestático, como haverá variabilidade na direcção das barras, que deixam de apresentar igual secção Condições iniciais Pretende-se que este sistema, tal como a consola, atinja o regime permanente no menor número de iterações possível. Para tal, são consideradas as mesmas condições iniciais da consola, visto que estas não foram obtidas especificamente para essa estrutura: Elementos Finitos Compatíveis = + = + = + (9.1) Elementos Finitos equilibrados = + = + = + (9.2) 9.2. Modelo Ao contrário da opção óbvia, escolheram-se propriedades do modelo características de uma situação extrema, em vez de um caso real. De entre as várias opções para tal, escolheu-se uma situação em que o valor das duas primeiras frequências próprias fosse parecido. Foram estudadas duas discretizações (1 e 2) da estrutura que apresenta as seguintes características: =.3 ; h =.3 ; 71

90 = ; =.3 ; h =.15 ; =8, ; = 3 ; = 3; = /; = 1, 1 sin ; = 5 1 sin ; = =.2. Discretização2 Figura 9.1 Representação da Discretização2. Discretização1,,h,,,h,,h 5 1 Figura 9.2 Representação da Discretização1. Como apenas se pretende estudar o regime estacionário, novamente se coloca o problema do número de iterações a realizar antes da obtenção de resultados. Testaram-se várias hipóteses e escolheu-se correr 1 iterações, obtendo os valores apenas das últimas 5. Este valor é maior que o escolhido na consola, pelo amortecimento ser menor. O passo de integração utilizado nestes casos foi novamente Frequências Próprias e Modos de Vibração Tal como foi feito para o exemplo da consola, apresentam-se os modos e frequências próprias de vibração para a Discretização1 em ambas as formulações nas figuras seguintes. 72

91 Modo 1, Freq= rads -1 Modo 2, Freq= rads -1 Modo 3, Freq= rads (m) (m) (m) Modo 4, Freq= rads Modo 5, Freq= rads Modo 6, Freq= rads -1 (m) (m) (m) Modo 7, Freq= rads Modo 8, Freq= rads Modo 9, Freq= rads -1 5 (m) (m) (m) Modo 1, Freq= rads Modo 11, Freq= rads Modo 12, Freq= rads -1 5 (m) (m) (m) Figura 9.3 Representação dos doze primeiros modos de vibração da estrutura na formulação de elementos finitos compatíveis (45 modos de vibração no total, obtidos de 45 equações). Modo 1, Freq= rads -1 Modo 2, Freq= rads -1 Modo 3, Freq= rads (m) (m) (m) Modo 4, Freq= rads Modo 5, Freq= rads Modo 6, Freq=52.48 rads -1 (m) (m) (m) Modo 7, Freq= rads Modo 8, Freq= rads Modo 9, Freq= rads -1 5 (m) (m) (m) Modo 1, Freq= rads Modo 11, Freq= rads Modo 12, Freq= rads -1 5 (m) (m) (m) Figura 9.4 Representação dos doze primeiros modos de vibração da estrutura na formulação de elementos finitos equilibrados (48 modos de vibração no total, obtidos de equações). 73

92 Comparando os doze primeiros modos de vibração segundo ambas as formulações (Figura 9.3 e Figura 9.4), não só se verifica que os modos de vibração são bastante parecidos como também que a diferença entre as frequências próprias destes modos é bastante reduzida. Tendo em conta o 12º modo de vibração, a diferença percentual entre as duas frequências, comparativamente ao valor da frequência nos elementos compatíveis, é, aproximadamente, apenas 1.5%. No Anexo IV estão representados os modos de vibração da Discretização2. Comparando as frequências próprias e modos de vibração segundo ambas as formulações, verifica-se que as três mais baixas são similares. A 4ª e 5ª frequências próprias já apresentam diferenças assinaláveis sendo que a partir daí as semelhanças são praticamente inexistentes. Ainda se verifica que essas frequências são quase sempre menores na formulação dual, o que é característico de uma melhor aproximação (consequência do Princípio da Inclusão). Esta situação, que também se sucede na Discretização1, era esperada, porque os elementos equilibrados apresentam um maior número de valores próprios. Por outro lado, na comparação das frequências e modos de vibração de ambas as discretizações, quando na Discretização2 os valores segundo ambas as formulações começam a divergir, revela-se uma não-adequação da malha. Isto não só porque se obtêm valores diferentes segundo as duas formulações, mas também porque se afastam dos valores obtidos aquando do refinamento da malha. Esta situação não pode ser generalizada para estruturas isostáticas, porque, como já se viu, os valores das frequências próprias nas duas formulações são muito parecidos, mas pode ser um aspecto importante na análise de estruturas hiperestáticas Amplificação de deslocamentos Foi-se novamente comparar as soluções obtidas segundo as duas formulações. Os deslocamentos referem-se aos pontos indicados e as frequências de excitação são mais à frente especificadas. O ponto G não foi escolhido ao acaso. Repare-se que o carregamento pode ser dividido em parcela simétrica e anti-simétrica: Parcela Simétrica Parcela Anti-simétrica Figura 9.5 Separação do carregamento em parcela simétrica e parcela anti-simétrica. 74

93 Olhando para os dois primeiros modos de vibração (Figura 9.3 e Figura 9.4), há bastantes pontos cujo deslocamento é nulo para uma das parcelas. O deslocamento escolhido foi tal que sofre a influência de ambas as parcelas, e consequentemente amplifica para frequências de excitação perto dessas duas primeiras frequências próprias. Ao contrário do que foi feito para a consola, não se procurou fazer um varrimento das frequências de excitação. Foram somente obtidos valores para a discretização indicada e excitada a estrutura, em ambas as formulações do MEF, nas seguintes frequências : A cada acréscimo de A cada acréscimo de A cada acréscimo de Formulação Primal Formulação Dual y máximo (m) ω (rad/s) Figura 9.6 Deslocamento transversal do ponto G na Discretização I. São representados na Figura 9.6, os resultados obtidos em ambas as formulações. No entanto, a diferença é tão pequena que apenas é representada uma linha. O andamento irregular deve-se ao facto de terem sido consideradas duas frequências próprias tão próximas. Comparem-se agora os valores obtidos para o deslocamento horizontal no ponto A na Discretização2: 75

94 .4.35 Formulação primal Formulação dual.3.25 x (m) ω (rads -1 ) Figura 9.7 Deslocamento transversal no ponto A na Discretização2. É fácil de verificar que, desta feita, os deslocamentos em ambas as formulações não são tão próximas. Sendo que ambas convergem para o mesmo valor, dependendo da exactidão requerida, esta malha de elementos finitos pode não ser adequada Tempo de Processamento A programação de ambas as formulações em Matlab 7., pelo menos da forma alcançada, teve tempos de processamento não muito díspares. A diferença é da ordem de 1% a mais na formulação equilibrada. As dimensões do sistema de equações levariam a pensar que essa diferença seria maior, no entanto, a diagonalização dos sistemas no caso dual previne essa situação. O único caso onde se obtiveram diferenças maiores foi no caso da Discretização2 do pórtico. Isso deve-se à sua hiperestatia, que leva a que, para uma baixa discretização, a relação entre o número de equações do caso dual e do caso primal aumente. Nesse caso a diferença situou-se nos 2%. Refira-se que estes valores são meramente indicativos, e foram obtidos utilizando o algoritmo criado em Matlab 7.. Obviamente que existirão processos de melhoramento dessa algoritmo que alterariam esta relação no tempo de processamento das duas formulações. 76

95 9.4. Relação entre deslocamentos em ambas as formulações Pouco antes do final do trabalho, e já fora do âmbito do objectivo da tese, procurou-se observar se existia uma relação entre os deslocamentos em ambas as formulações. Como já foi referido, enquanto se trata de frequências não muito altas nem muito baixas, a relação entre as duas parece não seguir um padrão, i.e., não há uma consistência de resultados que permita afirmar ou especular uma relação entre ambas. Recorde-se, por exemplo, que devido às frequências próprias das formulações e da solução exacta não serem iguais, ao se considerar uma excitação de frequência igual à frequência própria de uma das formulações, o deslocamento nessa é maior. No entanto, para o deslocamento do ponto de aplicação da força, foram observados aspectos pertinentes, em ambos os exemplos e em todas as discretizações consideradas: O deslocamento obtido pela formulação primal, para excitações de frequência muito baixa, apresenta valores inferiores ao obtido pela formulação dual; Também para excitações de frequência muito alta, o deslocamento obtido pela formulação primal, apresenta valores inferiores ao obtido pela formulação dual. Recorde-se a definição de funcional na formulação compatível ( ) e na equilibrada ( ) é a seguinte: = = (9.3) Considerando a introdução das forças de inércia (3.29), o funcional passa a ter a seguinte forma: = 1 2 = + 2 = 1 2 = + 2 (9.4) No caso estático (onde, por consequência, a energia cinética é nula), é minimizado e maximizado. Isso implica que as energias de deformação sigam o sentido inverso, i.e., é maximizado e é minimizado, dado que: = = (9.5) Ou seja, numa análise estática, de entre todos os campos cinematicamente admissíveis, aquele que corresponde à solução exacta maximiza a energia de deformação do sistema. Por outro lado, de entre todos os campos equilibrados, aquele que corresponde à solução exacta minimiza a energia de deformação do sistema. Isto pode ser representado como: 77

96 Em que: Campo de deslocamentos da solução compatível; Campo de deslocamentos da solução exacta; Campo de tensões da solução equilibrada. (9.6) O facto da energia de deformação se aproximar da exacta por defeito e a energia complementar de deformação se aproximar por excesso, implica, indirectamente, que quando aplicada uma força, o deslocamento do seu ponto de aplicação,, é menor ou igual na solução compatível relativamente à solução equilibrada, i.e.: Relembrando o Princípio da Inclusão (no Subcapítulo 8.4.1)), as energias de deformação das possíveis discretizações podem ser apresentadas da seguinte forma:, = 1,2 (9.7) Se fosse feito o cálculo estático, a solução exacta poderia ser obtida, dado que contém polinómios de 3º grau e polinómios lineares (a solução exacta para uma barra de secção constante e carregamento transversal pontual é um campo de deslocamentos constituído por um polinómio de 3º grau que produz um campo de momentos linear). Com a consideração da acção dinâmica, a solução deixa de ser um polinómio de 3º grau, passando a uma função harmónica. Logo, não é possível aproximar obter a solução exacta. Utilizando um deslocamento quase estático, isto é, de frequência de excitação tão baixa quanto se quiser, existe uma valor para o qual, na formulação primal, a energia extra de deformação do sistema, dada a não coincidência das deformadas real e aproximada, não é compensada pelo acréscimo de energia do sistema provocado pela energia cinética (dada a baixa frequência de excitação ). Esta situação poder-se-ia arrastar até uma maior frequência de excitação, mas parece que a energia cinética do sistema se comporta de forma a evitá-lo. Este raciocínio, justifica a razão pela qual o deslocamento do caso dual começa com maior amplitude. Repare-se agora no outro extremo do problema: as altas frequências. Para uma excitação harmónica não amortecida, o funcional do sistema (9.4) pode ser simplificado para: 78

97 = = 1 2 (9.8) Em, para grande, acima da última frequência própria, e para matrizes e finitas, sabese que, genericamente, a parcela de energia de deformação perde importância, porque a parcela de energia cinética aumenta, obtendo-se a seguinte desigualdade -. Para esse caso sabe-se também que o funcional pode apresentar o seguinte formato, utilizando para isso a equação fundamental da dinâmica (3.31): = (9.9) Como a primeira parcela é, em módulo, metade da segunda, a seguinte afirmação também será verdadeira: Considere-se agora, por absurdo, que não tende para um valor nulo: Vindo de (9.9), o funcional é igual a: (9.1) = Para que esta condição se verifique, uma das seguintes tem de ser verdadeira: (9.11) (9.12) A verificação da primeira hipótese não é possível dado que se considerou, por absurdo, (9.1). A verificação da segunda hipótese, também considerando (9.1) e grande, implicaria grande, ou seja: (9.13) O que é falso. Desta forma conclui-se que. Dada esta condição, também se tem que: 1 2 Visto que, vindo de (9.11): (9.14) 79

98 1 2 (9.15) Para o raciocínio envolvendo o funcional complementar, novamente para grande tem-se a aproximadamente a forma estática: (9.16) Dado que = = 2. Verifique-se agora o que acontece ao campo de esforços. Neste caso foi aplicada uma força harmónica vertical de muito alto, com a intensidade de 1 kn, na extremidade da consola. Os esforços máximos são representados na Figura 9.8. Consola2 Consola4 Consola16 V (kn) M (knm) Figura Campo de esforços para altas frequências. Verifica-se que, com a imposição de equilíbrio, os esforços não descem abaixo de um certo limite. A partir de uma certa frequência, todos os diagramas de apresentam em este formato no instante de maiores esforços. Daí que se possa afirmar que: (9.17) As expressões matemáticas confirmam as observações sistematizadas para os casos de estudo, referidas no início do subcapítulo. Daí que se possa fazer um pequeno resumo do andamento relativo dos deslocamentos no ponto de aplicação da carga em ambas as formulações: Frequências muito baixas: deslocamentos primais inferiores, porque a acção é quase estática e para uma acção estática os deslocamentos primais são inferiores; Frequências muito altas: os modelos aproximados não reproduzem convenientemente o modelo exacto, dado que não modelam as suas frequências próprias. No entanto é possível afirmar que o modelo de elementos finitos compatíveis apresenta valores de deslocamento a aproximarem-se assimptoticamente do zero, enquanto os elementos finitos equilibrados apresentam um valor finito. Isto trata-se de uma importante diferença entre as duas formulações, podendo se considerar uma limitação da formulação equilibrada; 8

99 Outras frequências: não parece haver um padrão de comportamento relativo entre os deslocamentos das duas formulações. Isto está relacionado com o facto das frequências próprias não coincidirem quer entre as formulações, quer entre estas e o modelo exacto, como já foi anteriormente discutido. 81

100

101 1. Conclusão 1.1. Conclusões Esta tese constitui uma contribuição para o estudo de modelos alternativos de elementos finitos em problemas dinâmicos de elasticidade linear. Este domínio tem recebido pouca atenção dos investigadores essencialmente devido à facilidade de utilização dos elementos finitos clássicos. Nesse tipo de elementos, a interpolação nodal dos deslocamentos torna o raciocínio imediato; Em contraponto, na formulação equilibrada são discretizados os impulsos, uma grandeza com pouco significado em utilizações comuns da engenharia. Ainda assim, este facto não se revela problemático porque da derivação no tempo do campo de impulsos resulta a obtenção do campo de tensões dos elementos. Este campo é contínuo, conducente de um equilíbrio imposto a priori. Desta forma, a formulação equilibrada constitui-se como uma alternativa a considerar no sentido de melhorar a soluções, quer seja numa perspectiva de substituição quer para complemento da formulação compatível. Apesar de não ter sido estudada neste documento, uma utilização complementar das duas formulações apresenta boas perspectivas. Para que pudesse ser eficazmente comparada, foi necessário que as condições consideradas nos elementos clássicos fossem correctamente reproduzidas no caso dual. Daí que, entre outros aspectos, se tomasse especial cuidado com o amortecimento de Rayleigh, nomeadamente em termos matemáticos. Também foram analisados os princípios energéticos de ambas as formulações tal como foram comparadas rigorosamente algumas das suas características e resultados. Relativamente à qualidade das soluções, há três aspectos que o permitem aferir: as frequências e modos de vibração obtidos, os deslocamentos e também os esforços na estrutura. Nos primeiros dois, uma das características que mais influencia a qualidade das soluções é a existência de hiperestatia. No caso da consola, isostática, não só as frequências próprias, mas também os deslocamentos obtidos foram bastante similares. No entanto, a introdução de um problema com hiperestatia veio evidenciar que, nestes casos, a formulação equilibrada produz tão bons ou melhores resultados, independentemente da malha, com um custo temporal associado de apenas mais 1 a 2%, decorrentes de operações necessárias para a integração pelo método de Newmark. Este valor seria potencialmente mais alto, dado o maior número de equações, mas a consideração de algumas simplificações, de um 83

102 equilíbrio nodal bastante simples, assim como dos polinómios de Legendre, permitem diminuir esse tempo. Mas há uma ressalva a fazer. Os deslocamentos analisados foram os deslocamentos nos nós, e não na extremidade dos elementos, para os quais seria necessário seguir o esquema (8.41). A utilização destas incógnitas extra nos elementos equilibrados, que não acontece nos compatíveis, decorrente da assemblagem, é totalmente válida, simplesmente porque sendo uma informação extra fornecida pela solução, não há razões para não a considerar. Assim, e de acordo com o exemplo corrido, constata-se que para uma igual discretização, e apesar de um custo temporal ligeiramente superior, consequência de um maior número de equações, obtêm-se resultados mais perto dos exactos com a melhor aproximação das frequências próprias, e portanto uma menor discrepância provocada pelos factores de amplificação. Já os esforços na estrutura, obtidos segundo as duas formulações, são um aspecto bastante diferenciador de ambas. Claramente são obtidos esforços pela formulação equilibrada bastante mais aproximados do exacto. Se é verdade que quando se considerou o regime permanente, e um conjunto de frequências de excitação isoladas, o resultado depende muito da capacidade do modelo em prever as frequências próprias, quando se considerou outro tipo de excitação, a qualidade dos resultados foi óbvia. E para além da exactidão dos resultados, esta formulação caracteriza-se por fornecer uma solução equilibrada, claramente uma mais-valia. Foram ainda introduzidos aspectos na relação entre os deslocamentos e a energia das duas formulações. Concluiu-se que para frequências muito baixas ou muito altas as energias envolvidas são superiores no sistema dual, o que tem como consequência um deslocamento superior do ponto de aplicação da carga pontual. No entanto, não se chegou a conclusão alguma acerca da energia do sistema quando as frequências não são valores muito baixos ou muito altos. Para estes valores de excitação, a convergência de ambas as formulações não pode ser, ao contrário do caso estático, justificada directamente como consequência do Princípio da Inclusão, mas terá em consideração o factor dinâmico, nomeadamente da dependência das frequências próprias, porque estas têm influência nos deslocamentos. De referir que o tipo de análises, ideias e conclusões decorrentes deste trabalho parecem muito esparsas e pouco direccionadas, mas a ideia é que há tanto para estudar acerca deste assunto, que estas conclusões não mais são que uma introdução aos próximos passos que poderão ser dados no âmbito deste tema Desenvolvimentos futuros Como autor desta tese, considero que estas são as duas páginas mais importantes deste trabalho. São os estudos futuros que poderão apurar a utilidade da formulação aqui proposta. Dito isto, e dado que me sobrou pouco tempo para explorar convenientemente variadíssimas 84

103 situações, há relativamente à base matemática da formulação alguns aspectos poderiam ser melhor estudados e possivelmente melhorados: - São utilizadas quatro funções de forma para simular a flexão. A questão é se seriam necessárias tantas funções por elemento. A acção dinâmica é característica de sistemas inerciais, causado pela aceleração da massa. Se a massa se encontra distribuída pelo elemento, então será lógico utilizar pelo menos uma função de aproximação dos momentos do 2º grau, considerada neste trabalho como parcela dinâmica. No entanto, para diminuir o número de equações, e no âmbito de um refinamento tipo-h, poderia ser testada a não utilização do polinómio de 3º grau. Isto porque parece viável a utilização apenas de três funções, duas representativas da parcela estática e uma da dinâmica; Pelo contrário, optar por um refinamento tipo-p. Possivelmente este tipo de refinamento levaria a uma melhor aproximação das frequências próprias do sistema, porque poderiam ser eliminados os modos de vibração puramente estáticos. Isto teria como consequência a existência de 6 modos de vibração por barra, que provavelmente permitiria uma melhor aproximação destes e consequentemente de todo o sistema dinâmico; Reparando nos sistemas de equações formulação dual, a introdução do amortecimento de Rayleigh torna as matrizes do sistema não simétricas, contrariamente ao que acontece na formulação primal. Sendo que os resultados atestam a validade da formulação proposta, a verdade é que nada leva a crer que não exista a possibilidade de tornar o sistema simétrico. Seria interessante avaliar essa hipótese; A extensão das equações para outros tipos de elementos, nomeadamente em elasticidade plana e 3D. Para além do formalismo e características matemáticas, há resultados que seria interessante analisar mais aprofundadamente: As características energéticas dos sistemas. Sobre este assunto são apresentadas algumas conclusões no Subcapítulo 9.4. No entanto há outros resultados que não foram apresentados por não terem sido devidamente aprofundados. Entre eles o estudo energético segundo as várias frequências, com especial ênfase nas frequências próprias de cada modelo. Isto é, por exemplo, obter a energia num sistema primal sujeito a uma excitação de frequência igual à frequência própria desse modelo, e compará-la com a energia do modelo dual sujeito a uma acção de frequência igual à frequência própria dual, para um dado amortecimento; Ligado à sugestão anterior, o estudo do deslocamento num ponto da barra, e não apenas no nó. Seria importante esta análise porque os valores de deslocamento no nó não são, em geral, iguais aos das extremidades do elemento que conflui no nó; Estudar diferentes estruturas, mais complexas e com diferentes carregamentos; 85

104 Estudar a formulação segundo outras abordagens, nomeadamente a aplicação da transformada de Fourier (FFT), de forma a aplicar a formulação no domínio das frequências. Na opinião do autor, a continuação de estudo poderá ter como consequência a possibilidade de utilização deste tipo de elementos em: Vários domínios do conhecimento, nomeadamente na engenharia civil e mecânica, porque, entre outras coisas, permitem a obtenção de campos de tensões equilibrados; Paralelo com os elementos compatíveis, para tirar partido dos pontos fortes de cada uma; Estimativas de erro utilizando ambas as soluções. Sendo esta uma muito interessante aplicação, tem sofrido grande atenção por parte dos investigadores, para carregamentos estáticos. Claro que outros aspectos, como a consideração de domínios não elásticos ou o melhoramento das rotinas computacionais, poderiam ser estudados, mas não são, neste momento, os mais pertinentes. 86

105 11. Bibliografia BATHE, K. J., 1982, Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, New Jersey CHOWDHURY, F. e DASGUPTA, S. P., Computation of Rayleigh Damping Coefficients for Large Systems GUERREIRO, L., 1999, Osciladores Lineares Contínuos Apontamentos da Disciplina de Dinâmica e Engenharia Sísmica, Instituto Superior Técnico MEIROVITCH, L. e BARUH, H., 1983, On the Inclusion Principle for the Hierarchical Finite Element Method, em International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 19, PEREIRA, O. J. D. A., 1996, Utilização de Elementos Finitos de Equilíbrio em Refinamento Adaptativo, Tese de Doutoramento, Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa PIRES, E. B., 1987, Resistência de Materiais, Instituto Superior Técnico, Lisboa TOUPIN, R.A., 1952, A Variational Principle for the Mesh-Type Analysis of Mechanical System, Washington, D.C. VEUBEKE, B. F., 1973, "The dual principles of elastodynamics - finite element applications", em Lectures on Finite Element Methods in Continuum Mechanics, , J. T. Oden e E. R. de Arantes e Oliveira, editores. U. Alabama Press, Huntsville WILSON, E. L., FARHOOMAND, I. e BATHE, K. J., 1973, Nonlinear Dynamic Analisys of Complex Structures, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1, ZIENKIEWICZ, O. C., TAYLOR, R. L., e ZHU, J. Z., 25, The Finite Element Method It s Basis & Fundamentals, Elsevier, Oxford MathWorld Website: WEISSTEIN, E. W. "Damped Simple Harmonic Motion--Critical Damping." obtido a

106

107 12. Anexos Anexo I Estes gráficos referem-se à necessidade de impor um período de estabilização e a sua dependência relativamente ao passo de integração. Dados: Modelo em Elementos Finitos Compatíveis Consola4 Sem amortecimento; = 15 ; Tempo (abcissas) Deslocamento vertical na extremidade da consola (ordenadas). Passo de integração a variar de até : 8 x 1-5 = 2 = = d (m) t (s) Figura 12.1 Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um vinte avos do período. 89

108 = 5 = x d (m) t (s) Figura 12.2 Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um cinquenta avos do período. 6 x 1-5 = 1 = d (m) t (s) Figura 12.3 Resposta sem amortecimento com um passo de integração de um cinquenta avos do período. 9

109 E, para mostrar o efeito do amortecimento, considerem-se as mesmas condições mas com amortecimento e o seguinte passo de integração: = x d (m) t (s) Figura 12.4 Resposta com amortecimento com um passo de integração de um vinte avos do período. 91

110 12.2. Anexo II Neste caso são apresentados os deslocamentos obtidos na consola. Nas abcissas está representada a frequência de excitação, em, enquanto nas ordenadas está representado o deslocamento em metros. São representados, nos vários gráficos, os deslocamentos longitudinal e transversal, nas formulações primal e dual., ,1,1 Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Estático Exacto Figura 12.5 Caso primal deslocamento longitudinal., ,1,1 Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Estático Exacto Figura 12.6 Caso dual deslocamento longitudinal. 92

111 ,1,1,1,1,1 Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Estático Exacto Figura 12.7 Caso primal deslocamento transversal ,1,1,1,1,1 Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Estático Exacto Figura 12.8 Caso dual deslocamento transversal. 93

112 12.3. Anexo III São agora apresentados os erros relativos também para os vários casos. Repare-se no valor residual obtido para uma discretização em 16 elementos. 5,% 45,% 4,% 35,% 3,% 25,% 2,% 15,% 1,% 5,%,% Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Figura 12.9 Caso primal erros relativos no deslocamento longitudinal.,2%,15%,1%,5%,% Consola16 Figura 12.1 Caso primal erros relativos no deslocamento longitudinal da discretização Consola16. 94

113 5,% 4,% 3,% 2,% 1,%,% Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Figura Caso dual erros relativos no deslocamento longitudinal.,2%,15%,1%,5%,% Consola16 Figura Caso dual erros relativos no deslocamento longitudinal da discretização Consola16. 95

114 1% 8% 6% 4% 2% % Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Figura Caso primal erros relativos no deslocamento transversal. 1,%,8%,6%,4%,2%,% Consola16 Figura Caso primal erros relativos no deslocamento transversal da discretização Consola16. 96

115 1% 8% 6% 4% 2% % Consola1 Consola2 Consola3 Consola4 Consola8 Consola16 Figura Caso dual erros relativos no deslocamento transversal. 1,%,8%,6%,4%,2%,% Consola16 Figura Caso dual erros relativos no deslocamento transversal da discretização Consola16. 97

116 12.4. Anexo IV Neste anexo são apresentados os modos e frequências de vibração da Discretização2 do pórtico. Modo 1, Freq= Modo 2, Freq= Modo 3, Freq= (m) (m) (m) Modo 4, Freq= Modo 5, Freq= Modo 6, Freq= (m) (m) (m) Modo 7, Freq= Modo 8, Freq= Modo 9, Freq= (m) (m) (m) Figura Modos e frequências de vibração do pórtico na formulação primal. Modo 1, Freq= Modo 2, Freq= Modo 3, Freq= (m) (m) (m) Modo 4, Freq= Modo 5, Freq= Modo 6, Freq= (m) (m) (m) Modo 7, Freq= Modo 8, Freq= Modo 9, Freq= (m) (m) (m) Modo 1, Freq= Modo 11, Freq= Modo 12, Freq= (m) (m) (m) Figura Modos e frequências de vibração do pórtico na formulação primal. 98