FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO FABIO TIROLLI DE SOUSA ESTRATÉGIA DE ARBITRAGEM ESTATÍSTICA DA VARIÂNCIA IMPLÍCITA VERSUS REALIZADA POR MEIO DA REPLICAÇÃO DINÂMICA DO SWAP DE VARIÂNCIA NO MERCADO DE AÇÕES BRASILEIRO SÃO PAULO 2016

2 FABIO TIROLLI DE SOUSA ESTRATÉGIA DE ARBITRAGEM ESTATÍSTICA DA VARIÂNCIA IMPLÍCITA VERSUS REALIZADA POR MEIO DA REPLICAÇÃO DINÂMICA DO SWAP DE VARIÂNCIA NO MERCADO DE AÇÕES BRASILEIRO Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças Quantitativas. Orientador: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán SÃO PAULO 2016

3 Tirolli de Sousa, Fabio. Estratégia de arbitragem estatística da variância implícita versus realizada por meio da replicação dinâmica do swap de variância no mercado de ações brasileiro / Fabio Tirolli de Sousa f. Orientador: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán. Dissertação (MPEFQ) Escola de Economia de São Paulo. 1. Ações (Finanças). 2. Mercado de opções. 3. Swap (Finanças). 4. Derivativos (Finanças). 5. Volatilidade (Finanças). I. Ruilova Terán, Juan Carlos. II. Dissertação (MPEFQ) Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU

4 FABIO TIROLLI DE SOUSA ESTRATÉGIA DE ARBITRAGEM ESTATÍSTICA DA VARIÂNCIA IMPLÍCITA VERSUS REALIZADA POR MEIO DA REPLICAÇÃO DINÂMICA DO SWAP DE VARIÂNCIA NO MERCADO DE AÇÕES BRASILEIRO Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças Quantitativas. Data da Aprovação: / / Banca Examinadora: Prof. Dr. Juan Carlos Ruilova Terán (Orientador) FGV - EESP Prof. Dr. André Cury Maialy FGV - EESP Prof. Dr. Thiago Barros Martins USP - Instituto de Física

5 Para meus pais

6 Agradecimentos Aos meus pais, por todo apoio, incentivo e por fornecerem todas as condições para que eu pudesse alcançar essa importante etapa na minha vida. Ao Prof. Dr. André Cury Maialy pela orientação e confiança e a todos os professores do MPEFQ pelos diversos conhecimentos transmitidos durante todo o curso. Aos meus amigos e a todos os alunos da turma MPEFQ-2014 pelo apoio e pela ajuda durante todo o curso. Ao Luis Fernando Azevedo, pelas várias dicas e recomendações, principalmente na confecção desta dissertação.

7 The greater our knowledge increases the more our ignorance unfolds. (John F. Kennedy)

8 RESUMO Nos últimos anos, o uso da volatilidade como uma classe de ativo tem ganhado relevância para investidores e gestores de portfólios, e a maneira mais eficaz de se obter proteção ou exposição pura a esse instrumento é através dos derivativos de volatilidade. No entanto, no Brasil, ainda não temos contratos específicos para esses derivativos, sendo uma das principais razões para isto a baixa liquidez no mercado de opções, dado que as opções são os ativos essenciais para se estabelecer um portfólio replicante. O objetivo deste trabalho é apresentar um modelo para encontrar oportunidades de arbitragem estatística entre a variância implícita e a variância realizada das ações preferencias (PN) da Petrobras (PETR4). Assim que uma oportunidade é identificada durante o período de backtesting, para implementar a operação, compramos ou vendemos um contrato logarítmico (variância implícita) sob o ativo-objeto e utilizamos uma estratégia de replicação dinâmica deste contrato log para capturar a variância realizada do ativo-objeto. Veremos que essa dinâmica replica o payoff de um swap de variância. Os resultados obtidos durante o período de backtesting, considerando os custos de transação, demonstram que é possível gerar retornos atrativos. Palavras-chave: Arbitragem estatística. Replicação dinâmica. Swap de variância. Volatilidade. Vega. Ações. Trading.

9 ABSTRACT In recent years, the use of volatility as an asset class has gained relevance for investors and portfolio managers, and the most effective way to get protection or pure exposure to this asset is through the volatility derivatives. However, in Brazil, we still have no specific contracts for these derivatives, and one of the main reasons for that is the low liquidity in the options market, since the options are critical assets to establish a replicating portfolio. The main purpose of this paper is to present a model to find out statistical arbitrage opportunities between the implied variance and the realized variance on the Petrobras preferred shares (PETR4). As soon as an opportunity is identified during the backtesting period, to implement the deal, we buy or sell a logarithmic contract (implied variance) of the underlying asset and then we use a dynamic replication strategy of this log contract to capture the underlying asset realized variance. We will see that this dynamics replicates the payoff of a variance swap. The results obtained during the backtesting period, considering the transaction costs, show that it is possible to generate attractive returns. Keywords: Statistical arbitrage. Dynamic replication. Variance swap. Volatility. Vega. Stocks. Trading.

10 Lista de ilustrações Figura 1 Vega de variância de uma call e de um swap de variância Figura 2 P&L de um swap de variância Figura 3 Replicação do payoff de um contrato logarítmico Figura 4 Payoff do portfólio dado pela Equação 3.36 (curva) e do portfólio de opções ponderadas por seus respectivos pesos w() (segmentos de reta). 33 Figura 5 Comparativo do payoff de um contrato logarítmico sintetizado e de um contrato log Figura 6 Evolução do preço de fechamento do ativo-objeto PETR4 ajustado para proventos Figura 7 Volatilidade implícita e níveis superior e inferior da janela de volatilidade realizada de dois meses Figura 8 Níveis de volatilidade de uma semana e respectivas ordens de compra/- venda Figura 9 Níveis de volatilidade de duas semanas e respectivas ordens de compra/- venda Figura 10 Níveis de volatilidade de três semanas e respectivas ordens de compra/- venda Figura 11 Níveis de volatilidade de um mês e respectivas ordens de compra/venda. 50 Figura 12 Níveis de volatilidade de dois meses e respectivas ordens de compra/venda. 51 Figura 13 Retorno acumulado, sem considerar custos de transação, das operações de swap de variância sintetizadas e dos contratos de swap de variância equivalentes Figura 14 Retorno acumulado das operações de swap de variância sintetizadas, com custos de transação e sem custos Figura 15 Diferença entre os níveis superior e inferior para cada janela da volatilidade histórica Figura 16 Distribuição acumulada da diferença entre os níveis superior e inferior para cada janela da volatilidade histórica Figura 17 Retorno acumulado, sem custos de transação, dos swaps de variância sintetizados e dos contratos de swap equivalentes utilizando a estratégia otimizada Figura 18 Retorno acumulado das operações de swaps de variância sintetizados, com custos de transação e sem custos, utilizando a estratégia otimizada. 57 Figura 19 Distribuição dos retornos, com os custos de transação, das operações de swap de variância utilizando a estratégia não-otimizada

11 Figura 20 Distribuição dos retornos, com os custos de transação, das operações de swap de variância utilizando a estratégia otimizada Figura 21 Retorno acumulado segregando as operações de compra e as de venda de variância durante o período de backtesting

12 Lista de tabelas Tabela 1 Correspondência entre as volatilidades implícitas nos swaps de variância e as janelas de volatilidade histórica Tabela 2 Quantidade total de ordens de compra e de venda de variância implícita. 51 Tabela 3 Valores limites para considerar uma data como "não-crise" Tabela 4 Quantidade total de ordens de compra e de venda de variância implícita na estratégia otimizada Tabela 5 Retorno acumulado total (over CDI) de cada estratégia no período de backtesting Tabela 6 Estatísticas dos retornos das operações de swap de variância realizadas, utilizando ambas as estratégias Tabela 7 Estatísticas dos retornos das operações de compra e de venda de variância. 60

13 Sumário 1 Introdução Motivação para o trabalho Objetivos do trabalho Revisão Bibliográfica Desenvolvimento do Modelo / Teoria Caracterização do problema Abordagem do problema Estratégia dinâmica auto-financiável Contrato Logarítmico Replicando o contrato logarítmico e precificando um swap de variância Modelagem Custos de transação Replicação do contrato de swap de variância Estimando os níveis de volatilidade Obtenção do resultados Aplicação Prática da Metodologia Descrição e coleta de dados Cálculo dos níveis de volatilidade Custos de transação Aplicação da teoria ao caso Apresentação e Discussão dos Resultados Análise da estratégia de arbitragem estatística entre a variância implícita e a realizada Análise dos resultados e otimização da estratégia Análise da estratégia otimizada Conclusão Pesquisas Futuras Referências Apêndices 67 APÊNDICE A Apreçamento de um contrato logarítmico

14 APÊNDICE B Replicação de payoffs europeus generalizados APÊNDICE C Replicação de um contrato logarítmico APÊNDICE D Market-to-market de um contrato logarítmico sintetizado.. 71

15 14 1 Introdução 1.1 Motivação para o trabalho A volatilidade e a variância nada mais são do que uma medida do nível de variação do preço de um ativo durante um intervalo de tempo. Apesar do termo mais utilizado e conhecido no mercado financeiro ser a volatilidade, veremos que a volatilidade de um ativo é, na verdade, derivada de sua variância - o segundo momento da distribuição dos retornos dos ativos. Com o passar do tempo, cada vez mais investidores estão considerando a volatilidade de um determinado ativo - definida da forma mais simples como a raiz quadrada da variância (desvio-padrão) - como uma classe de ativo. Dentre os seus principais usos podemos citar: assumir um posicionamento direcional 1, diversificar o retorno dos investimentos, fazer o hedge de riscos indesejáveis 2 ou explorar ineficiências dos mercados. Desde o início dos anos 90, gestores e investidores de países desenvolvidos têm conseguido administrar de forma mais eficiente o risco de volatilidade dos ativos de suas carteiras. Isso se deve ao fato da crescente liquidez de produtos que têm como ativo-objeto a volatidade e da criação de alguns índices de volatilidade, sendo o mais conhecido deles, o VIX. 3 Desta maneira, o mercado de derivativos de volatidade nesses países se desenvolveu consideravelmente e a modelagem tem evoluído a cada dia. Conforme observado por (LUTERMAN, 2013), apesar de não termos visto essa mesma evolução no mercado brasileiro, algumas iniciativas já foram tomadas, como a criação do índice de volatilidade FXvol 4 e das operações de volatilidade da BM&F (VTC, VCA, VID, VOI e VTF). Porém, utilizando essas estratégias de volatilidade 5, não conseguimos fixar a volatilidade de um determinado ativo-objeto para fazer uma aposta contra a sua volatilidade realizada, cuja estratégia é o objetivo deste trabalho. Devido a essas limitações no mercado doméstico, umas das formas mais utilizadas para se ter exposição à volatidade é através da compra de opções no mercado financeiro, 1 Através de estudos macroeconômicos, por exemplo, podemos comprar volatilidade ou variância antes de uma possível recessão ou vender durante picos de volatilidades temporários. 2 A volatilidade normalmente aumenta quando o mercado está em queda (bear market), logo possuir uma posição comprada em volatilidade pode ajudar a proteger uma carteira de ações. 3 Calculado pela Chicago Board Option Exchange (CBOE) e representa a medida da volatilidade implícita nas opções de S&P 500 com vencimento em 30 dias. 4 Permite medir a incerteza da taxa de câmbio que está embutida na negociação das opções de dólar, que são negociadas na BM&F. Esse índice foi construído com as mesmas características dos principais índices de volatilidade disponíveis no exterior. 5 As operações de volatilidade da BM&F são equivalentes à compra de opções com delta-hedge, conforme apresentado em (BM&F, 2006).

16 Capítulo 1. Introdução 15 pois as mesmas possuem um vega 6 positivo e seria como se estivéssemos montado uma posição comprada em volatilidade ou, também, através de uma posição em straddles 7. Porém, essas estratégias geram uma exposição ao ativo-objeto (o delta não é neutro) e vegas que variam de acordo com o preço do ativo-objeto, características que são indesejáveis 8 para o trading da volatilidade implícita do ativo-objeto versus a realizada. Para isso, suponha que, em t, possuímos uma opção de compra com strike K e vencimento em T, o seu valor é dado pela fórmula de Black Scholes, C BS (S, K, σ τ), onde S é o valor atual do ativo-objeto, τ é o tempo até o vencimento (T t), σ é a volatilidade dos retornos do ativo-objeto e σ 2 é a variância. Para fins de simplicidade, vamos assumir que a taxa livre de risco é zero. Diferenciando a fórmula de Black Scholes dessa opção com relação a variância, podemos notar que existe uma dependência do vega de variância (V ) com relação ao valor do ativo-objeto. Essa dependência ocorre no termo de moneyness da opção, log ( ) S K, conforme podemos ver abaixo: V = C BS σ 2 = S τ 2σ exp ( d2 1 2 ) 2π onde, d 1 = log(s/k) + (σ2 τ)/2 σ τ Notamos que d 1 depende somente de duas combinações S/K e σ τ. Portanto, V diminui rapidamente conforme S se afasta do strike K. Para ilustrar melhor o exposto acima, segue abaixo o perfil de vega de variância de um swap de variância 9 e de uma call com K = Mede a sensibilidade do preço da opção com relação à sua volatilidade implícita, ou seja, é a derivada do preço da opção com relação à sua volatilidade implícita. 7 Um straddle é estruturado através da compra simultânea de uma call (opção de compra) e de uma put (opção de venda) ambas com o mesmo strike. Essa posição replica uma posição comprada em volatilidade. 8 Não conseguimos fixar a volatilidade de um determinado ativo para fazer uma aposta contra a sua volatilidade realizada. 9 Swap de variância é um contrato futuro sobre a variância realizada. Seu payoff é dado por (σ 2 K var ) N variance. Sendo que, N variance é o notional, σ 2 é a variância realizada anualizada e K var é o strike do swap.

17 Capítulo 1. Introdução 16 Figura 1 Vega de variância de uma call e de um swap de variância. Podemos observar que o vega de variância do swap de variância permanece constante conforme o preço do ativo-objeto oscila, enquanto o da call decai rapidamente quando o preço do ativo-objeto se afasta do strike K da opção. Logo, para conseguirmos fixar um determinado valor da variância do ativo-objeto para estruturarmos uma aposta contra a sua variância realizada, os swaps de variância são a opção mais adequada, já que eles não apresentam a dependência mostrada acima. 1.2 Objetivos do trabalho O objetivo principal deste trabalho é encontrar oportunidades de arbitragem estatística 10 da variância implícita versus a variância realizada das ações preferenciais da Petrobras (PETR4), utilizando uma estratégia de replicação dinâmica, que definiremos nas próximas seções, de um contrato logarítmico sob o ativo-objeto escolhido. Veremos que essa dinâmica replica o payoff de um contrato de swap de variância, ou seja, quando identificarmos uma oportunidade de arbitragem estatística, na realidade, estaremos vendendo ou comprando a variância implícita do ativo-objeto através de um contrato de swap de variância. Conforme já comentamos na seção anterior, no mercado brasileiro não existe um contrato de swap de variância. Portanto, temos que replicá-lo utilizando os produtos financeiros disponíveis no mercado. Considerando que o apreçamento e a replicação de um derivativo de volatilidade demanda maior liquidez no mercado de opções, a escolha do ativo PETR4 se apresentou como uma das melhores alternativas para esse estudo. 10 O termo arbitragem estatística reune uma variedade de estratégias de investimentos, as quais possuem como principais características, o uso de ferramentas estatísticas para gerar excessos de retorno e os sinais para se iniciar uma operação são baseados em regras pré-definidas, ao invés de fundamentos. Nessas estratégias o retorno não é garantido, mas é estatisticamente provável que tenhamos lucro.

18 Capítulo 1. Introdução 17 Espera-se que o maior desafio para a replicação de um contrato de swap de variância sob as ações da Petrobras esteja relacionado com a baixa liquidez do mercado brasileiro de opções. Devido à esse motivo, optamos por operações de curto prazo com vencimento de no máximo 35 dias úteis. Seguimos uma estratégia de arbitragem estatística da variância baseada em níveis superior e inferior da volatilidade histórica (cones de volatilidade) e na volatilidade implícita do ativo-objeto no momento em que estruturamos a operação. Baseado nessa estratégia e utilizando os contratos de swap sintetizados, realizamos um backtesting nos últimos oito anos, comprando ou vendendo a variância implícita e considerando os custos de transação envolvidos em cada operação. A principal forma de avaliar o resultado será através do retorno acumulado de todas as operações durante o período do backtesting. Espera-se que a estratégia adotada gere retornos positivos, mas, dado as características do mercado, esses resultados devem ser voláteis. Portanto, iremos considerar na análise do resultado as estatísticas descritivas da distribuição dos retornos das operações. Iremos avaliar a consistência da replicação dos contratos de swap, comparando o retorno acumulado final com o retorno gerado pelo contrato de swap de variância equivalente e também analisaremos o impacto dos custos de transação no retorno total da estratégia utilizada. Por fim, vamos separar as operações de compra e de venda de variância realizadas no período de backtesting e analisar separadamente o retorno acumulado das compras e das vendas. Espera-se que as operações de venda gerem ganhos frequentes, mas, ocasionalmente, pode acontecer alguma perda muito grande. Com o intuito de facilitar o entendimento do trabalho e a leitura, este estudo está divido em sete capítulos, incluindo este introdutório. O segundo capítulo apresenta uma breve exposição da teoria e conceitos básicos envolvidos, além de fazer uma extensa revisão da bibliografia sobre o assunto, situando o presente trabalho na literatura existente até o momento. O próximo capítulo discute todo o arcabouço teórico, definindo a metodologia utilizada para resolver o problema e a forma como os resultados serão avaliados. No capítulo quatro, aplicamos todo o framework teórico apresentado no capítulo anterior à um caso prático, detalhando os parâmetros utilizados no modelo, a base de dados e as premissas assumidas. O capítulo cinco contém os resultados das simulações e a discussão dos seus resultados. No sexto capítulo, provemos a conclusão do estudo proposto, listando resumidamente o que foi feito e as implicações dos resultados obtidos. E no último capítulo são detalhadas futuras implicações do trabalho desenvolvido.

19 18 2 Revisão Bibliográfica Muitos estudos e pesquisas têm sido direcionados em uma maneira de prever a volatilidade de diferentes variáveis macroecômicas, por exemplo, índices de ações, taxas de juros e de câmbio. Porém, dado que temos um view para investir em volatilidade e queremos fazer uma aposta pura nesta classe de ativos, notamos que, comparativamente, poucos estudos têm sido realizado nesta área. Segundo (CARR; MADAN, 2002), essa ausência de estudos, provavelmente, se devia à crença de que a volatilidade era complicada de se operar. Porém, nos últimos dez anos, os estudos nesta área cresceram consideravelmente. Entre as formas mais utilizadas e simples para assumir uma posição em volatilidade, podemos citar um straddle ou uma compra/venda de opções com um delta-hedging dinâmico. Essas duas formas sofrem a influência do nível do ativo-objeto e, consequentemente, nossa exposição à volatilidade irá depender desse nível. Logo, não conseguimos fixar um determinado valor da volatilidade do ativo-objeto para fazermos uma aposta contra a sua volatilidade realizada. Devido a essas limitações, os swaps de variância surgiram como uma das maneiras mais utilizadas pelos portfolio managers para operar a variância, ou seja, um produto que paga a diferença entre a variância realizada durante um periodo T e um strike pré-definido (variância implícita). Com esse instrumento, o vega se mantém constante com a variação do valor do ativo-objeto. Segundo (GATHERAL; LYNCH, 2002), os swaps de volatilidade surgiram com a crise envolvendo o fundo LTCM (Long-Term Capital Management) no final de Esse início se deu, provavelmente, pela disparada da volatilidade implícita gerada por essa crise quando comparada com níveis históricos nunca antes observados. Então os hedge-funds observaram uma oportunidade de trading direcional de volatilidade, vendendo a variância implícita através de swaps de variância. Conforme observado por (GANGAHAR, 2006) em uma matéria do Finantial Times publicada em 2006, a volatilidade tem se tornado uma classe de ativos em seu próprio direito. Uma variedade de produtos derivativos estruturados, particularmente os swaps de variância, são a maneira preferida de muitos hedge-funds e mesas proprietárias para fazerem apostas em volatilidade. Sob a perspectiva de um market-marker 1, o swap de variância precisa ser sintetizado com ativos disponíveis no mercado financeiro e um dos primeiros trabalhos nesta direção foi o de (NEUBERGER, 1994), onde ele demostra que o payoff de um contrato logarítmico 1 É uma empresa ou um indivíduo que estão prontos para comprar ou vender um determinado ativo de forma regular ou contínua a um preço cotado publicamente.

20 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19 delta-hedged depende somente da diferença entre a volatilidade realizada e a volatilidade implícita do ativo-objeto no início da operação. Mas ainda tinhamos um problema, pois não existe um contrato com payoff logarítmico no mercado financeiro. Isso foi tratado de maneira pioneira por (DEMETERFI et al., 1999), por meio da construção de um portfólio replicante com posições estáticas em opções e em um contrato forward sob o ativo-base. A partir deste momento, poderiámos precificar um contrato de swap de variância, inclusive na presença de um skew de volatilidade. Primeiramente, os autores explicam como uma opção exótica (contrato log) sob uma ação pode ser replicado por um portfólio de opções plain-vanilla de ações com diferentes strikes e o custo dessas opções seria o preço do swap de variância. Logo em seguida, demonstram que o delta-hedging dinâmico de um contrato log gera um instrumento com uma exposição constante à variância realizada do ativo-objeto. As fórmulas para a construção do portfólio replicante com opções também são apresentadas, especialmente para o caso prático onde há um número finito de strikes disponíveis. Também dedicam uma seção detalhando os impactos para casos práticos onde temos um número limitado de strikes e quando ocorre um jump no preço do ativo-objeto. Ainda relacionado ao apreçamento de derivativos de volatilidade, podemos citar alguns trabalhos de qualidade, por exemplo, (CARR; MADAN, 2002) comparam três abordagens diferentes (uma posição estática em opções, uma estratégia dinâmica somente em futuros e uma combinação das duas primeiras) para se operar a volatilidade. Chegam a conclusão que a última é a que gera exposição somente à volatilidade do ativo-base. Também precificam uma opção calendar spread somente assumindo a continuidade nos preços do ativo-base. Essa opção gera exposição à volatilidade entre dois vencimentos. Em (CARR; LEE, 2008), foram precificados diferentes payoffs de variância realizada sob a hipótese de que a volatilidade do ativo-objeto fosse independente e, caso essa hipótese fosse relaxada, os modelos ainda seriam válidos, em primeira ordem, quando a correlação fosse diferente de zero. Com a contribuição desses autores, o mercado de derivativos de volatilidade tem evoluído consideravelmente, principalmente com a criação dos índices de volatilidade e derivativos sob os mesmos. O principal índice de volatilidade, o VIX, é um indicador da volatilidade do índice S&P 500 para os próximos 30 dias. Ele é calculado pela Chicago Board Option Exchange (CBOE) como uma média ponderada das volatilidades implícitas nas opções de S&P 500 com vencimento em 30 dias. Em (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER, 2006), os autores abordam de forma mais profunda os swaps de variância, descrevendo o mercado, mecanismos, precificação e usos. É dada uma maior ênfase nas propriedades de um swap de variância, na descrição desse mercado nos Estados Unidos e na Europa e quais são as diversas estratégias de trading que poderiam ser implementadas utilizando esses contratos. Em suma, é um estudo

21 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20 sob um ponto de vista mais prático. Toda essa evolução no mercado offshore de derivativos de volatilidade não tem acontecido no mercado brasileiro. Uma das iniciativas, segundo (LUTERMAN, 2013), foram as operações de volatilidade da BM&F (VTC, VCA, VID, VOI, VTF) e a criação do índice FXvol. Conforme já explicado na seção anterior, eles ainda não apresentam eficácia na proteção à volatilidade, pois não conseguimos fixar a volatilidade de um determinado ativo-objeto para fazer o hedge contra a sua volatilidade realizada. Um dos primeiros trabalhos sobre swaps de variância para o mercado brasileiro foi o de (KAPOTAS; SCHIRMER; MANTEIGA, 2003), onde eles apresentam o valor justo de um swap de variância como sendo o valor esperado da variância realizada a termo (variância implícita) de um ativo do IBOVESPA. Neste trabalho, os autores não fazem nenhum teste para a comprovação de que a variância esperada poderia ser um preditor e/ou um termômetro de risco e nem abordam os efeitos da falta de liquidez nos ativos utilizados para a replicação e hedge dos swaps de variância. Outra referência sobre o mercado brasileiro é o trabalho de (DARIO, 2006), onde ele calibra um modelo de Heston para o mercado de opções de dólar negociadas na BM&F e obtém os parâmetros para a precificação dos swaps de volatilidade e de variância. O trabalho de (JUNIOR; LAURINI, 2010) utiliza o modelo de (DEMETERFI et al., 1999) para testar sob quais circunstâncias as opções plain-vanilla europeias de câmbio, disponíveis na BM&F, poderiam formar aproximadamente um portfólio replicante para um swap de variância. Os autores dão uma maior ênfase em mostrar a viabilidade de hedge para esses swaps quando há apenas liquidez em alguns strikes das opções utilizadas para compor o portfólio replicante. Um dos últimos trabalhos desenvolvidos neste área para o mercado brasileiro foi o de (LUTERMAN, 2013), onde ele apresenta um modelo para se apreçar e replicar swaps de volatilidade sob a taxa de câmbio BRL/USD. Ele apresenta vários modelos para medir a volatilidade realizada, utiliza diferentes taxas de referência do preço do ativo-objeto e dois modelos para a replicação do swap de volatilidade. São feitas várias combinações entre esses métodos e um backtesting utilizando cada uma delas. A melhor combinação é selecionada, ou seja, a que possui maior aderência a um swap de volatilidade seguindo as métricas adotas no trabalho para a avaliação dos resultados. Podemos notar que o principal foco dos trabalhos desenvolvidos para o mercado brasileiro é a precificação e replicação dos swaps de volatilidade e variância para a taxa de câmbio BRL/USD, verificando a viabilidade principalmente devido à falta de liquidez nos ativos necessários para a sintetização do contrato no mercado local. Em nenhum desses trabalhos são considerados custos de transação para tal replicação e também não são avaliadas estratégias de trading de variância ou volatilidade.

22 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 21 O trabalho aqui proposto pretende preencher essa lacuna, pois o grande objetivo é avaliar uma estratégia de arbitragem estatística da variância implícita versus a realizada de uma ação do IBOVESPA considerando os custos de transação e, por consequencia, também surge a necessidade de fazermos a precificação e replicação dos contratos de swap de variância e verificar a sua viabilidade devido a falta de liquidez dos ativos necessários para tal replicação. Esse estudo pode ser entendido como uma junção dos trabalhos desenvolvidos até o momento para o mercado brasileiro, que abordam o assunto de forma mais técnica e do trabalho de (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER, 2006), que aborda o assunto sob um ponto de vista mais prático, porém somente para os mercados europeu e americano. Em suma, a grande contribuição deste trabalho está no fato de estruturarmos uma estratégia de trading utilizando a replicação dinâmica do swap de variância de um ativo do mercado de ações brasileiro, com o objetivo de encontrarmos oportunidades de arbitragem estatística entre a variância implícita e a realizada deste ativo e lucrar com essas operações.

23 22 3 Desenvolvimento do Modelo / Teoria O objetivo deste capítulo é apresentar com maiores detalhes a metodologia descrita sucintamente no capítulo 1. Para isso, o capítulo está divido em quatro partes. A primeira contém a descrição do problema a ser resolvido, logo em seguida, apresentaremos as teorias e modelos utilizados para resolver o problema. Na terceira parte, mostraremos como o problema será resolvido utilizando a metodologia definida anteriormente e, finalmente, especificaremos como os resultados serão avaliados. 3.1 Caracterização do problema Conforme mencionado no capítulo 1, um swap de variância é um contrato futuro sobre a variância realizada, ou seja, o quadrado da volatilidade realizada. Seu payoff é dado por: payoff = (σ 2 K var ) N variance (3.1) onde, N variance é o notional, σ 2 é a variância realizada anualizada e K var é o strike do swap, que será definido nas próximas seções. A variância realizada, σ 2, é definida por uma medida RMS (root-mean-square), que consiste em um cálculo parecido com o do desvio padrão, mas assumindo o valor zero para a média dos retornos. Podemos considerar a média dos retornos como sendo zero, pois ela é muito pequena e, consequentemente, estatisticamente insignificante, como são os casos de muitos ativos financeiros. A variância realizada é dada por: σ 2 = 252 n n ( i=1 log S ) 2 i (3.2) S i 1 onde, S i é o preço de fechamento do ativo-objeto na data i, S i 1 é o preço de fechamento do ativo-objeto na data i 1, n é o número de observações e log é o logarítmo natural. Por convenção, a volatilidade é multiplicada por um fator de 100. Por exemplo, um strike de 20 representa uma volatilidade de 20%. Como podemos notar, os swaps de variância são instrumentos que oferecem aos investidores uma exposição direta e pura à variância de um ativo-objeto, por exemplo, de uma ação ou de um índice. Eles são contratos de swap onde as partes concordam em

24 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 23 trocar uma variância pré-determinada (K var ) por uma variância realizada (σ 2 ) durante um período de tempo especificado (Figura 2). Figura 2 P&L de um swap de variância. Fonte: (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER, 2006) O resultado de cada operação, no vencimento, também pode ser calculado da seguinte maneira: ( σ 2 ) K var P &L = 2 N vega = (σ 2 K 2 ) N variance (3.3) K var onde, N variance representa o variance-notional e, segundo (ALLEN; EINCHCOMB; GRANGER, 2006), é dado por: N variance = N vega 2 K var O notional de um swap de variância pode ser expresso como um variance-notional ou um vega-notional. O variance-notional é, de certa forma, o notional "verdadeiro", pois representa o P &L para cada ponto de diferença entre a variância pré-determinada (K var ) e a variância realizada. Porém, como a variância não é uma quantidade intuitiva para os investidores, muitos preferem pensar em termos de volatilidade. Logo, o notional é normalmente expresso em vega-notional. O vega-notional representa o ganho ou perda média para uma mudança de 1% (1 vega) na volatilidade, fornecendo, desta maneira, um maior significado econômico da exposição do swap de variância à volatilidade. Para a implementação da estratégia de arbitragem estatística, na replicação dinâmica, os swaps de variância vão ter como ativo-objeto as ações preferenciais da Petrobras (PETR4) e terão um vencimento de no máximo 35 dias úteis. O valor de K var será a variância implícita 1 do ativo-objeto no início da operação, ou seja, é o valor esperado da variância futura que será realizada no decorrer da operação. 1 Nas próximas seções veremos que essa variância implícita pode ser interpretada como uma média ponderada entre as variâncias implícitas nas opções de diferentes strikes sob o ativo-objeto.

25 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria Abordagem do problema Conforme descrito nas seções anteriores, o objetivo principal deste trabalho será encontrar oportunidades de arbitragem estatística entre a variância implícita e a realizada do ativo-objeto PETR4. Como não existe no mercado brasileiro um contrato que ofereça exposição única e exclusivamente à variância, teremos que replicar este derivativo utilizando uma estratégia dinâmica auto-finaciável com os produtos disponíveis no mercado local Estratégia dinâmica auto-financiável A derivação da estratégia dinâmica auto-financiável apresentada abaixo é baseada em (CARR, 2005). Segundo o autor, primeiramente vamos assumir que todas as premissas do modelo de Black Scholes permanecem verdadeiras, exceto a de que a volatilidade é conhecida. Vamos assumir também que não há jumps na evolução dos preços do ativo-objeto, que não há arbitragem e que existe uma taxa livre de risco constante r 0 e uma dividend yield constante q 0 durante um período [0, T ]. Suponha que a evolução do preço do ativo-objeto {S t, t [0, T ]} é continua e dada por: ds t S t = µ t dt + σ t dw t (3.4) Para qualquer constante σ, vamos supor que V (S, t, σ) é a única função C 2,1 que resolve a equação diferencial parcial de Black Scholes: t V (S, t, σ) σ2 S 2 2 V (S, t, σ) + (r q)s V (S, t, σ) rv (S, t, σ) = 0 (3.5) S2 S sujeita à condição final: lim V (S, t, σ) = f(s) (3.6) t T onde, f() deve ser uma função contínua, mas não necessariamente diferenciável em todos os pontos. Vamos supor que em t = 0, vendemos um derivativo de estilo europeu com payoff f(s T ) e, cujo preço de mercado V (S 0, 0, σ i ) é dado pelo modelo de Black Scholes, onde σ i é a volatilidade implícita inicial. Seja N t o número de ações que possuímos em t [0, T ]

26 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 25 e σ h a volatilidade assumida no momento em que é feito o delta-hedge do derivativo. O valor em caixa em t [0, T ] é dado por, β t. Vamos definir o portfólio Π t, como sendo: sendo que, Π t = V t + t S t + ϕ t B t t = N t = S V (S t, t, σ h ) (3.7) Para fazer o delta-hedge referente à venda do derivativo, inicialmente compramos N 0 ações do ativo-objeto pelo preço S 0. O valor em caixa em t = 0 é então dado pela diferença entre o cash recebido com a venda do derivativo e do custo de comprar as ações. Π 0 = 0 = β 0 = ϕ 0 B }{{ 0 = } 0 S 0 + V (S 0, 0, σ i ) (3.8) valor em caixa inicial β 0 = S V (S 0, 0, σ h )S 0 + V (S 0, 0, σ i ) = [ ] S V (S 0, 0, σ h )S 0 + V (S 0, 0, σ h ) + [V (S 0, 0, σ i ) V (S 0, 0, σ h )] (3.9) A partir deste momento, vamos seguir uma estratégia onde todas as compras de ações do ativo-objeto são financiadas tomando dinheiro emprestado ou com o dinheiro disponível em caixa e todas as vendas diminuem esse montante emprestado ou aumentam o valor em caixa. O valor em caixa em t, definido como β t, é corrigido pelo custo de carregamento, ou seja, irá crescer à taxa livre de risco r durante a operação. Além disso, a posição em ações paga dividendos, que aumenta o valor em caixa. Logo para cada t, a variação do valor em caixa, é dado por: dβ t = dn t (S t + ds t ) }{{} custo de comprar ações + rβ t dt }{{} juros + N t qs t dt }{{} dividendos O primeiro termo pode ser representado como a variação responsável por ganhos de capital sobre a posição inicial de ações menos a varição no valor da posição de ações: dβ t = N t ds t }{{} ganhos de capital na posição inicial de ações d(n t S t ) }{{} variação no valor da posição em ações + rβ t dt }{{} juros + N t qs t dt }{{} dividendos (3.10) Relembrando que, a quantidade de ações que possuímos (N t ) é a calculada pelo modelo de Black Scholes e dada pela Equação 3.7.

27 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 26 Pelo Lemma de Itô, temos que: dv (S t, t, σ h ) = [ t V (S t, t, σ h ) σ2 t St 2 2 ] S V (S t, t, σ 2 h ) dt + S V (S t, t, σ h )ds t (3.11) subtraindo a Equação 3.5 (usando σ = σ h ) da Equação 3.11, obtemos: dv (S t, t, σ h ) = (σ 2 t σ 2 h) S2 t 2 2 [ ] S V (S t, t, σ 2 h )dt + r V (S t, t, σ h ) S t S V (S t, t, σ h ) dt + qs t S V (S t, t, σ h )dt + S V (S t, t, σ h )ds t (3.12) Resolvendo para os últimos dois termos da Equação 3.12 e substituindo esse resultado e o da Equação 3.7 na Equação 3.10, temos: β τ = dβ t = d [ ] S t S V (S t, t, σ h ) (σ 2 t σ 2 h) S2 t 2 + rβ t dt + dv (S t, t, σ h ) 2 [ ] S V (S t, t, σ 2 h )dt r V (S t, t, σ h ) S t S V (S t, t, σ h ) dt A solução dessa equação é dada por: [ ] β 0 + S 0 S V (S 0, 0, σ h ) V (S 0, 0, σ h ) S τ τ S V (S τ, τ, σ h ) + V (S τ, τ, σ h ) e r(τ t) (σt 2 σh) 2 S2 t 0 2 e rτ 2 S 2 V (S t, t, σ h )dt Substituindo o valor em caixa inicial dado pela Equação 3.9 e utilizando o resultado das Equações 3.6 e 3.7, temos que no vencimento t = T, o valor em caixa é dado por: β T = [ ] β 0 + S 0 S V (S 0, 0, σ h ) V (S 0, 0, σ h ) f (S T ) + f(s T ) T 0 e rt e r(t t) (σ 2 t σ 2 h) S2 t 2 2 S 2 V (S t, t, σ h )dt (3.13) onde, f (S T ) deve ser uma função generalizada. As Equações 3.6 e 3.7 também indicam que a quantidade final de ações no portfólio é: N T = S V (S T, T, σ h ) = f (S T )

28 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 27 sendo que o valor de cada ação é S T. Então, o P&L final é dado por: (P &L) T = N T S T + β T f(s T ) (3.14) (P &L) T = [V (S 0, 0, σ i ) V (S 0, 0, σ h )]e rt Contrato Logarítmico T + e r(t t) (σh 2 σt 2 ) S2 t S 2 V (S t, t, σ h )dt (3.15) Ainda segundo (CARR, 2005), se o derivativo que vendemos na estratégia dinâmica auto-finaciável descrita acima, possuir um payoff dado por: V T = V (T, S T ) = 2 log(s T ) o valor em t do derivativo, é dado por: ( V t = e [2 r(t t) log(s t ) + 2 r q 1 ) ] 2 σ2 h (T t) (3.16) Para maiores detalhes sobre a dedução da Equação 3.16, ver o Apêndice A. O delta é dado por: e o gamma, = S t V (S t, t, σ h ) = e r(t t) 2 S t (3.17) Γ = 2 V (S St 2 t, t, σ h ) = e r(t t) 2 St 2 (3.18) Substituindo as Equações 3.16 e 3.18 na Equação 3.15, temos: (P &L) T = (σ 2 h σ 2 i )(T t) + T 0 (σ 2 t σ 2 h)dt = T 0 σ 2 t dt σ 2 i (T t) (3.19) E, coincidentemente, o P&L final corresponde ao payoff de um swap de variância, onde a volatilidade implícita (fixa) é dado por σ i : (P &L) T = T 0 (σ 2 t σ 2 i )dt (3.20)

29 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria Replicando o contrato logarítmico e precificando um swap de variância Conforme vimos na seção anterior, para sintetizarmos um swap de variância precisamos negociar um contrato logarítmico. Como este contrato não existe no mercado local, teremos que replicá-lo. Para a replicação deste contrato, assumiremos que o leitor já está familiarizado com o modelo de (BLACK; SCHOLES, 1973), mantendo como premissa somente o pressuposto da evolução contínua do ativo-objeto, ou seja, sem jumps. Portanto, vamos assumir que a evolução do preço da ação é dada por: ds t S t = µ(t,... )dt + σ(t,... )dz t (3.21) Consideramos que o drift µ e a volatilidade σ são funções arbitrárias do tempo e de outros parâmetros e que Z é um processo de Wiener. A definição teórica da variância realizada de uma série de preços históricos é uma integral contínua, dada por: V = 1 T T 0 σ 2 (t,... )dt (3.22) Na maioria dos contratos de swaps de variância são utilizados retornos diários, ou seja, o cálculo da variância é em tempo discreto. O valor de um contrato forward F sobre a variância futura realizada com strike K é dado, em um mundo neutro ao risco, pelo valor presente esperado do payoff do contrato no vencimento: F = E[e rt (V K)] (3.23) onde, r é a taxa de desconto livre de risco esperada em T e E[ ] é a esperança. Portanto, o valor justo da variância futura realizada é o strike, K var, para o qual o contrato tenha valor presente zero: K var = E[V ] (3.24) Se a volatilidade futura na Equação 3.21 fosse conhecida, então uma forma de calcular o valor justo da variância seria: V = 1 [ ] T T E σ 2 (t,... )dt 0 (3.25) Porém, ninguém sabe com certeza qual será o valor da volatilidade futura.

30 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 29 Para replicarmos esse contrato, vamos imaginar uma posição que no próximo instante de tempo gera um payoff proporcional ao incremento da variância do ativo-objeto durante esse período. Aplicando o lema de Itô em log(s t ), temos: d(log S t ) = ( µ 1 2 σ2) dt + σdz t (3.26) Subtraindo a Equação 3.26 da Equação 3.21, obtemos: ds t S t d(log S t ) = 1 2 σ2 dt (3.27) Integrando a Equação 3.27 para todos os instantes entre 0 e T, temos que a taxa média da variância realizada é dada por: V 1 T T 0 σ 2 dt = 2 [ T T 0 ds t S t log S ] T S 0 (3.28) Assim, temos que o portfólio que replica a variância é composto por duas posições ponderadas por 2/T. A primeira pode ser interpretada como o resultado de um rebalanceamento contínuo de uma posição em um determinado ativo-objeto, sendo que sempre estaremos comprado em 1/S t ativos-objeto de valor equivalente a uma unidade monetária. A segunda posição representa uma posição estática vendida em um contrato que, no vencimento, paga o logarítmo do retorno total do ativo-objeto. Seguindo essa estrátegia de rebalanceamento contínuo, conseguimos capturar a variância realizada do preço do ativo-objeto do início da operação até o vencimento T. A Equação 3.28 garante que a variância pode ser capturada independentemente do caminho que o preço do ativo-objeto seguir, contanto que seja contínuo. Ao invés de calcularmos a variância dada pela Equação 3.25, vamos utilizar a Equação 3.28 para obter o valor esperado da variância futura em mundo neutro ao risco, ou seja, vamos calcular diretamente o custo de replicação do swap. K var = 2 T E [ T 0 ds t S t log S ] T S 0 (3.29) O valor esperado do primeiro termo da Equação 3.29 é o custo de rebalanceamento. Em um mundo neutro ao risco, com uma taxa livre de risco r e uma dividend yield q, a evolução do preço do ativo-objeto é dada por: ds t S t = (r q)dt + σ(t,... )dz t (3.30)

31 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 30 logo, o valor, em um mundo neutro ao risco, do termo de rebalanceamento da Equação 3.29 é: [ T E 0 ] ds t = (r q)t (3.31) S t Como o contrato logarítmico não existe no mercado, este precisa ser sintetizado. A metodologia de replicação deste contrato apresentada a seguir é a utilizada por (DEME- TERFI et al., 1999). O payoff logarítmico pode ser replicado, em todos os níveis de preço do ativo-objeto no vencimento, através de sua decomposição em um termo linear e outros não lineares. O termo linear pode ser sintetizado por um contrato forward sobre o ativo-objeto com vencimento em T, e os outros termos de ordem quadrática ou superior podem ser replicados com opções plain-vanilla sob o ativo-objeto utilizando todos os strikes disponíveis para o mesmo vencimento T. Conforme demonstrado no apêndice B, qualquer payoff que possa ser diferenciado duas vezes pode ser replicado estaticamente por um portfólio de opções europeias, sendo a quantidade de cada opção equivalente a segunda derivada do payoff desejado calculada no valor referente ao strike da opção correspondente. Por questões de liquidez, vamos replicar o log payoff com opções líquidas, ou seja, com uma combinação de calls e puts fora do dinheiro. Para isso, criamos um novo parâmetro S 2 para definir a fronteira entre calls e puts. O payoff logarítmico pode se reescrito da seguinte maneira: log S T S 0 = log S T S + log S S 0 (3.32) O segundo termo log(s /S 0 ) é constante, independente do valor final S T do ativoobjeto. Portanto, o primeiro termo é o único que necessita ser sintetizado. A identidade matemática a seguir, que é verdadeira para todos os valores futuros de S T, expõe a decomposição do payoff logarítmico da seguinte maneira: 2 S é um valor do ativo-objeto e é definido como sendo o melhor strike disponível. Segundo (HULL, 2008), esse valor tende a ser o strike com valor igual ou imediatamente inferior ao futuro do ativo-objeto com mesmo vencimento do contrato de swap.

32 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 31 log S T S = S T S S (contrato futuro) S K 2 max(k S T, 0)dK (opções de venda) (3.33) 1 + S K max(s 2 T K, 0)dK (opções de compra) No apêndice C, há maiores detalhes da derivação da equação acima. A Equação 3.33 demonstra que para a replicação de um posição vendida em um contrato logarítmico, são necessárias as seguintes posições: uma posição vendida em (1/S ) contratos futuros de preço S ; uma posição comprada em (1/K 2 ) opções de venda com strike K, para cada strike K entre 0 e S ; uma posição comprada em (1/K 2 ) opções de compra com strike K, para cada strike K entre S e. Todos os contratos possuem o mesmo vencimento em T. O gráfico a seguir ilustra a replicação do payoff de um contrato log para S = 24, conforme a metodologia descrita acima. Figura 3 Replicação do payoff de um contrato logarítmico. Podemos notar que a replicação do payoff do contrato log, representado no gráfico pela linha "Log sintetizado", replica com exatidão o contrato original. O autor também demonstra que o valor justo da variância futura realizada pode ser relacionada com o valor esperado no mundo neutro ao risco de cada termo da Equação Utilizando os resultados das Equações 3.31, 3.32 e 3.33, temos:

33 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 32 K var = 2 T ( (r q)t + e rt S 0 ( ) S0 e (r q)t 1 log S S S 0 1 P (K)dK (3.34) K2 ) + e rt 1 S K C(K)dK 2 onde, P (K) e C(K) são os preços das calls e puts com strike K e vencimento T. Se utilizarmos os preços de mercado dessas opções, obtemos uma estimativa do preço de mercado atual da variância futura. A Equação 3.34 fornece uma relação direta entre o custo das opções e a estratégia para capturar a variância futura realizada, mesmo quando há um skew de volatilidade, onde a fórmula de Black Scholes não é válida. Se fosse possível comprar as opções em todos os strikes entre zero e infinito, o valor justo da variância seria dado pelo Equação 3.34, mas na prática isso não é possível. Somente alguns strikes possuem liquidez e, segundo (DEMETERFI et al., 1999), utilizando essa equação com apenas alguns strikes conduz a erros consideráveis. Para resolver esse problema, vamos começar pela definição da variância justa dada pela Equação 3.29, que pode ser reescrita como: temos: dado por: K var 2 T E [ T 0 ds t S t S T S S log S + S T S log S ] T S 0 S S Substituindo os respectivos valores esperados de cada termo da equação acima, K var = 2 T [ (r q)t ( ) S0 e (r q)t 1 log S ] + e rt Π CP (3.35) S S 0 onde Π CP é o valor presente do portfólio de opções, cujo payoff no vencimento é f(s T ) = 2 T ( ST S S log S ) T S (3.36) O autor então sugere uma aproximação para replicar o portfólio de opções Π CP, que consiste em ajustar a quantidade alocada em cada opção de 1/K 2 por pesos w(k i ). Com esse ajuste, o valor presente desse portfólio é dado por: Π CP = w(k ip )P (S, K ip ) + i i w(k ic )C(S, K ic ) (3.37)

34 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 33 onde, K ip são os strikes de valor igual ou inferior a S das puts do portfólio Π CP, K ic são os strikes de valor igual ou superior a S das calls do mesmo portfólio e w() é a quantidade alocada em cada opção desse portfólio. As quantidades w() representam a inclinação de uma reta entre o payoff do portfólio f() com relação a cada strike, conforme podemos ver nas equações abaixo e na Figura 4: w c (K 0 ) = f(k 1c) f(k 0 ) K 1c K 0 (3.38) w p (K 0 ) = f(k 1p) f(k 0 ) K 0 K 1p (3.39) w c (K n, c ) = f(k n+1, c) f(k n, c ) K n+1, c K n, c w p (K m, p ) = f(k m+1, p) f(k m, p ) K m, p K m+1, p n 1 i = 0 m 1 i = 0 w c (K i, c ) (3.40) w p (K i, p ) (3.41) sendo que, w c (K n, c ) representa a quantidade alocada em uma call, para todo n no intervalo 0 > n N, onde N é o número total de calls utilizadas. E w p (K m, p ) representa a quantidade alocada em uma put, para todo m no intervalo 0 > m M, onde M é o número total de puts utilizadas. Figura 4 Payoff do portfólio dado pela Equação 3.36 (curva) e do portfólio de opções ponderadas por seus respectivos pesos w() (segmentos de reta). Fonte: (DEMETERFI et al., 1999) 3.3 Modelagem O problema a ser resolvido é replicar o swap de variância para explorarmos as oportunidades de arbitragem estatística que surgirem no decorrer do período de backtesting.