Capítulo 5: Análise através de volume de controle

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1 Capítulo 5: Análi atravé d volum d control Volum d control Conrvação d maa Conrvação da quantidad d movimnto linar Conrvação d nrgia (Primira li da trmodinâmica aplicada ao ) Equação d Brnoulli Sgunda li da trmodinâmica Ciclo d Rankin EM-54 Fnômno d Tranport

2 Volum d control É um volum arbitrário do paço atravé do qual há maa ntrando aindo. Su contorno gométrico é dnominado d uprfíci d control: Eta uprfíci pod r ral ou imaginária; Pod tar m rpouo (tacionária) ou m movimnto (móvl). Pod atravar a uprfíci d control: Maa, trabalho, calor quantidad d movimnto. Em gral, qualqur rgião do paço pod r colhida como volum d control. No ntanto, uma colha apropriada pod implificar batant a rolução d um problma. EM-54 Fnômno d Tranport

3 Princípio d conrvação Na análi do itma trmodinâmico foi uado o princípio da conrvação da nrgia (Primira li) a Sgunda li da trmodinâmica. No volum d control, além dt, é ncário também analiar o princípio da conrvação d maa da conrvação d momnto linar, uma vz qu xit fluxo d maa. EM-54 Fnômno d Tranport

4 Conrvação d maa para S a maa contida no no intant t for rprntada como m (t), o nunciado do princípio da conrvação pod r xpro dta forma: dm dt m m dm dt m m EM-54 Fnômno d Tranport

5 Ecoamnto Unidimnional Ar V, T, ρ Ára A Conidrando qu V ρ ão rpctivamnt a vlocidad d coamnto do ar a dnidad do ar, num coamnto unidimnional a taxa d maa ou vazão máica (kg/) rá: Ou ainda: EM-54 Fnômno d Tranport m m ρav AV ν AV é a taxa volumétrica ou vazão volumétrica Ond ν é o volum pcífico (m 3 /kg)

6 Conrvação d maa para Aim, conidrando qu o tnha apna uma ntrada uma aída, obtém-: dm dt ρ AV ρ AV Analogamnt, quando o tivr vária ntrada () vária aída (), obtém-: dm dt ρav ρ AV EM-54 Fnômno d Tranport

7 Ecoamnto m rgim prmannt Quando a variávi do coamnto num ponto do paço não variam com o tmpo, diz- qu o coamnto ocorr m rgim prmannt. Logo: dm dt 0 ρ AV m ρ AV m Quando um fluido incomprívl (ρ contant) coa atravé do, tm-: EM-54 Fnômno d Tranport A V AV

8 Conrvação d momnto linar para O nunciado do princípio da conrvação pod r xpro dta forma: F V m V m ond fluxo V é a vlocidad rlativa ao d maa intantân a na ntrada m m na ão aída a taxa do rpctiva mnt. A força qu atuam obr o podm r parada m: força d campo (gravitacional) força d uprfíci (prão tnão d cialhamnto). EM-54 Fnômno d Tranport

9 Força xtrna total no A força xtrna total atuando m um é: F F F F grav pr vi F ρgv (-n)pda SC SC τ da A força vicoa rá analiada no Capítulo 6 7. EM-54 Fnômno d Tranport

10 Conrvação d nrgia no O nunciado do princípio da conrvação pod r xpro dta forma: E m m ( E ) ond ""é a nrgia total pcífica na ntrada aída m m M ão a taxa do fluxo d maa (no intant "t") na ntrada na aída. EM-54 Fnômno d Tranport

11 Conrvação d nrgia no No xit a contribuição da nrgia tranfrida atravé do fluxo d maa qu cruza a SC, ndo: E Q - W Eup ond E up rfr- à tranfrência d nrgia dvido ao tranport d maa atravé da uprfíci d control (SC) tá aociada à força qu atuam no fluido. A partir da conrvação d momnto linar dfiniu qum contribui para dtrminar E up : EM-54 Fnômno d Tranport Eup E pr E vi

12 Conrvação d nrgia no E a taxa d nrgia armaznada no (pla 1ª Li): E Q W Eup m m E Q W Pν m Pν m m m Taxa d nrgia tranfrida como calor trabalho EM-54 Fnômno d Tranport Taxa d nrgia tranfrida dvido à força d prão na SC Taxa d nrgia total tranfrida atravé da SC

13 Conrvação d nrgia no No ntanto, rprnta a nrgia total pcífica tranfrida no fluxo d maa. Rlmbrando o concito d nrgia total: V E U M Mgz E a nrgia total pcífica é: V u gz EM-54 Fnômno d Tranport

14 EM-54 Fnômno d Tranport Conrvação d nrgia no gz V P u m gz V P u m W Q E ν ν gz V h m gz V h m W Q E Rarrumando, tm-: gz V h m gz V h m W Q E No cao do pouir vária ntrada aída, o balanço da taxa d nrgia é:

15 Cao pciai: coamnto m rgim prmannt Aim, a quação d conrvação d maa no (contndo apna uma ntrada uma aída) m RP é: dm m m m m m dt 0 E a quação da conrvação d nrgia é: E 0 Q W m h V gz m h V gz EM-54 Fnômno d Tranport

16 EM-54 Fnômno d Tranport Cao pciai: coamnto d ga prfito m RP No coamnto m RP: gz V m h gz V m h W Q S o fluido é um gá prfito (idal com c p ct): ( ) p T T c h h O coamnto m RP do gá prfito no é: [ ] p gz gz V V T T c m W m Q ) (

17 Cao pciai O cao pciai podm r aplicado m difrnt, ou ja, m difrnt dipoitivo, como por xmplo m bomba, turbina, bocai, difuor, tc. Além dito, m cada dipoitivo podm xitir condiçõ pcífica ito prcia r lvado m conta na análi d cada dipoitivo. EM-54 Fnômno d Tranport

18 Dipoitivo: bocai difuor Um bocal é um dipoitivo formado por um duto com ára d ção rta variávl, na qual a vlocidad d um fluido aumnta na dirção do coamnto. Um difuor é um dipoitivo contrário ao bocal, no qual a vlocidad d um fluido diminui na dirção do coamnto. Em bocai difuor, o único trabalho é aqul aociado ao coamnto do fluido, m locai ond a maa ntra dixa o. Em muita ituaçõ, a variação d nrgia potncial na ntrada na aída é dprzívl. EM-54 Fnômno d Tranport

19 Dipoitivo: turbina A turbina ão uada m intalaçõ motora a vapor, intalaçõ motora a gá m motor d aronav. Nt cao, vapor upraqucido ou gá ntra na turbina xpand até uma prão d aída mai baixa, produzindo trabalho. Quando o fluido for d vapor ou gá, a variação d nrgia potncial é uualmnt dprzada. A colha apropriada da uprfíci do m torno da turbina faz com qu a variação d nrgia cinética ja frqüntmnt dprzada também. EM-54 Fnômno d Tranport

20 Dipoitivo: compror bomba O compror ão dipoitivo no qual trabalho é ralizado obr o gá paando atravé dl com o objtivo d aumntar a prão. Já na bomba, o trabalho ralizado obr o fluido (normalmnt um líquido) circulando m u intrior pod r utilizado para aumntar a prão ou mudar o u tado. Em ambo o cao, a variação d nrgia potncial é normalmnt dprzada. A tranfrência d calor para a vizinhança é frqüntmnt um fito cundário. EM-54 Fnômno d Tranport

21 Dipoitivo: trocador d calor Et dipoitivo tranfrm calor ntr fluido a difrnt tmpratura plo modo d tranfrência d calor. Um xmplo ão o radiador d automóvi, condnador itma d rfriamnto. A única intração m trmo d trabalho com a frontira d um é o trabalho do coamnto no locai ond a matéria ai ntra. Aim a taxa d trabalho do pod r conidrada zro. A nrgia potncial gralmnt pod r dprzada na ntrada aída. EM-54 Fnômno d Tranport

22 Cao pciai: coamnto d líquido m RP P V gρ g z P V gρ g z 1 g u u Q W mg m Carga manométrica total ntrando no (H T ) Carga manométrica total aindo no (H T ) Carga manom. prdida por atrito tranf. d calor (h L ) Carga manométrica quivalnt do trabalho ralizado plo fluido (h W ) EM-54 Fnômno d Tranport H H h T T L h W

23 Cao pciai: coamnto P V gρ g z d líquido m RP P V gρ g z h L W mg A carga manométrica total (H T ), ja na ntrada ou aída, é dfinida como a oma da carga manométrica d prão (P/ρg), da carga manométrica d vlocidad (V /g) da carga manométrica potncial gravitacional (z) por unidad d vazão máica. H T tm a dimnõ d um comprimnto (m ou ft). A carga manométrica tm ua origm no campo da hidráulica é a rprntação da prão m um fluido. EM-54 Fnômno d Tranport

24 Cao pciai: Equação d Ela é um cao particular da quação d conrvação d nrgia, válida quando o proco for: 0 Em rgim prmannt Brnoulli E Adiabático (m tranfrência d calor) rvrívl (m diipação vicoa ou invícido) h L 0 Sm ralização d trabalho 0 W P V gρ g z P V gρ g z contant EM-54 Fnômno d Tranport

25 Cao pciai: Equação d Brnoulli Conidrando o coamnto m uma tubulação (com pard paralla) no plano horizontal (z1z): Rarrumando tm-: P1 prão tática; ρv / prão dinâmica xit apna quando há coamnto; P T prão total ou prão d tagnação. EM-54 Fnômno d Tranport P V P V ρ ρ 1 ρv1 ρv P 1 P PT

26 Manômtro São mdidor d prão qu opram m condiçõ HIDROSTÁTICAS (ou ja, não há vlocidad). 1 Mmo fluido à mma altura aprnta mma prão porqu a prão ó varia com a dnidad (ρ) a altura (z). P Z gz P ρ gz P ρ EM-54 Fnômno d Tranport

27 Manômtro Difrncial Rrvatório Rrvatório p A Rgra: mmo fluido mma altura aprntam mma prão. P P 3 P A P B ρ B gh 3 ρ M gh - ρ A gh 1 Mdidor d Prão tipo Bourbon EM-54 Fnômno d Tranport

28 Tubo d Pitot O coamnto livr é daclrado d modo rvrívl até a tagnação. A nrgia total conrva. (1) Corrnt Livr () Etagnação; V0 P 1 1 ρ1v1 P ρ V P. Etat P. Din P. Etag. 0 1 P P 1 1 ρ V 1 ou V 1 ( P1 ) P ρ Primira olução qu rlaciona campo d vlocidad com campo d prão. EM-54 Fnômno d Tranport

29 Slção d um volum d control () A lção do é fundamntal para rolvr um problma. O mlhor é normalmnt dtrminado pla xpriência por uma análi cuidadoa da variávi conhcida dconhcida para o problma particular. EM-54 Fnômno d Tranport

30 Variação d ntropia m um No a quação gral para a variação d ntropia (tanto m itma rvrívi quanto irrvrívi) dvrá conidrar também a tranfrência d ntropia do fluxo d maa atravé da uprfíci d control: ds dt Q T m m S gr Taxa d variação d ntropia no no intant t. Taxa d tranfrência d ntropia atravé da SC no intant t. Taxa d gração d ntropia no no intant t. EM-54 Fnômno d Tranport

31 Variação d ntropia m um Para vária ntrada aída do : ds dt Q m T m S gr δs gr 0 Proco rvrívl δs gr > 0 Proco irrvrívl δs gr I S d um pod crcr por adição d calor /ou d maa ou pla prnça d irrvribilidad. S d um pod diminuir por rmoção d calor ou rmoção d maa. EM-54 Fnômno d Tranport

32 Rgim prmannt Em RP a taxa d variação d ntropia no (com uma ntrada uma aída) é zro: 0 EM-54 Fnômno d Tranport Q m m I T Sndo ainda um proco rvrívl: Q Q 0 m m T m q T q ( ) Td

33 Rgim prmannt No cao d r m RP adiabático : 0 m m I I ( ) m No cao d r m RP adiabático rvrívl: 0 m m Iontrópico EM-54 Fnômno d Tranport

34 EM-54 Fnômno d Tranport Trabalho m RP no A quação da 1ª li m um : Dividindo por m: ( ) ( ) z z g V V h h m W Q ( ) ( ) z z g V V h h w q

35 Trabalho m RP no Conidrando dprzívi a variaçõ d nrgia cinética potncial : Pla ª li para m proco rvrívl q: A gunda quação Td: Td q dhνdp EM-54 Fnômno d Tranport w h h 1 1 Td 1 dh q h h ν 1 dp w 1 1 νdp νdp Td

36 Ciclo d Rankin Conit d quatro proco trmodinâmico ditinto. Proco d comprão na bomba (1-): É conidrado adiabático rvrívl; O proco ral é muito próximo do adiabático porém xitm irrvribilidad. Proco d rcbimnto d calor na caldira (-3): Ocorr a prão contant; No proco ral ocorr uma quda d prão à mdida qu o fluido coa pla caldira. EM-54 Fnômno d Tranport

37 EM-54 Fnômno d Tranport Ciclo d Rankin Conit d quatro proco trmodinâmico ditinto. Proco d xpanão na turbina (3-4): É conidrado como ndo adiabático rvrívl; O fluido d trabalho ncontra na rgião d aturação (vapor aturado), porém no proco ral opra- a turbina ntrando com vapor upraqucido. No proco ral também aprntará irrvribilidad qu aumntarão a ntropia. Proco d rjição d calor no condnador (4-1): Ocorr a prão contant; É rcomndávl qu a bomba não rcba uma mitura líquido-vapor por ito a mudança d fa vai até o tado d líquido aturado.

38 Ciclo d Rankin Proco d comprão na bomba (1-) Proco d rcbimnto d calor na caldira (-3) Proco d xpanão na turbina (3-4) EM-54 Fnômno d Tranport Proco a d rjição b d calor no condnador (4-1)

39 Ciclo d Rankin Idal Bomba: hipót Adiabático rvrívl: W EM-54 Fnômno d Tranport Q 0 1 A variaçõ d nrgia cinética potncial ão dprzívi; O fluido é incomprívl: ν ν 1 ( ) ( ) h m h1 h w h1 h m h Pla gunda quação Td conidrando o proco intrópico: Td dhνdp 0 dh νdp h h ν( P P ) 1 Logo: w b w ν( P ) 1 1 P1 h h1 1

40 Ciclo d Rankin Idal Turbina: hipót Adiabático rvrívl: Q 0 1 A variaçõ d nrgia cinética potncial ão dprzívi; W ( ) ( ) h m h3 h4 wt h3 h4 m h Em alguma turbina a vapor rai a variação d nrgia cinética não é dprzívl informaçõ prciarão r forncida para dtrminar a ua contribuição. EM-54 Fnômno d Tranport

41 Ciclo d Rankin Idal Caldira: hipót A variaçõ d nrgia cinética potncial ão dprzívi; Trabalho não tá ndo ralizado: W 0 Q ( ) ( ) h m h3 h qc h3 h m h No cao da caldira, o calor tá ndo forncido. EM-54 Fnômno d Tranport

42 Ciclo d Rankin Idal Condnador: hipót A variaçõ d nrgia cinética potncial ão dprzívi; Trabalho não tá ndo ralizado: W 0 Q ( ) ( ) h m h1 h4 q h1 h4 m h q cond q h 4 h 1 No cao do condnador, o calor tá ndo rmovido. EM-54 Fnômno d Tranport

43 Ciclo d Rankin Idal Trabalho líquido do ciclo: É o trabalho da turbina mno o da bomba: w q w ( h h ) ( h ) c w t w b q 3 4 h1 A tranfrência líquida d calor do ciclo: É o trabalho líquido do ciclo: ( h h ) ( h h ) w w 3 4 t b cond 1 A ficiência térmica do ciclo: η EM-54 Fnômno d Tranport w q c w t w q c b Eta ficiência é qu d Carnot.

44 Ciclo d Rankin η w q c w t w q c b η w q c ára ára a b-a EM-54 Fnômno d Tranport

45 Exrcício 1: Vapor ntra m uma turbina a 4000 kpa a 500ºC a partir d uma tubulação com 50mm. Ao air pla tubulação d 50mm tá com uma prão d 80 kpa título d 1,0. Para uma vlocidad d ntrada d 00m/, calcul a potência d aída da turbina oprando m RP a ntropia grada na turbina. Ignor qualqur tranfrência d calor para a vizinhança Ec Ep. EM-54 Fnômno d Tranport

46 Exrcício : Uma uina hidrlétrica tá localizada na ba d uma quda d água d 100 m d altura. A turbina hidráulica pod movimntar uma vazão d 100 m 3 /. Aumindo qu não há prda qu a nrgia cinética na aída da turbina é dprzívl, calcul a potência máxima qu pod produzir. EM-54 Fnômno d Tranport

47 Exrcício 3: Água a 30 ºC coa d um tanqu muito grand (m RP) atravé d um bocal convrgnt-divrgnt como motrado abaixo. O bocal dcarrga na atmofra tm um diâmtro d,5 dg, ond dg é o diâmtro da garganta do bocal (mínimo diâmtro). Aumindo um coamnto idal (m prda d carga por atrito ou tranfrência d calor), dtrmin a altura d água ( z água ) na qual vaporização vai comçar a ocorrr na garganta do bocal (P vap 4, Pa). Conidr a água como um fluido incomprívl. EM-54 Fnômno d Tranport

48 Exrcício 4: Um praqucdor é uado para praqucr água (m RP) m um ciclo d uma uina d força, conform a figura abaixo. O vapor upraqucido tá a uma tmpratura d 50 o C a água qu ntra tá ub-rfriada a 45 o C. Toda a prõ tão a 600 kpa. Calcul a taxa d produção ntrópica conidrando qu não há tranfrência d calor para a vizinhança. T1 45 o C 3 - Água qunt - Vapor (0,5 kg/) 1 - Água fria (4 kg/) Em RP adiabático (m tranfrência d calor): I m3 3 m1 1 m T 50 o C P 600 kpa EM-54 Fnômno d Tranport

49 3 - Água qunt Em RP: EM-54 Fnômno d Tranport - Vapor (0,5 kg/) 1 - Água fria (4 kg/) m 3 m1 m 4 0,5 4,5kg / T1 45 o C T 50 o C P 600 kpa Pla primira li, conidrando qu a variação d nrgia cinética, potncial, tranfrência d calor trabalho jam zro: 3 h3 m1 h1 m h m Pla tabla, a corrnt 1 é líquido ubrfriado h1188,45 kj/kg 10,6387 kj/kg.k (ntalpia ntropia do líquido aturado m T145 o C). A corrnt é vapor upraqucido h957, kj/kg 7,1816 kj/kg.k m1 h1 m h 4 188,4 0,5 957, h3 496 kj/kg m 4,5 3

50 3 - Água qunt - Vapor (0,5 kg/) 1 - Água fria (4 kg/) T1 45 o C T 50 o C P 600 kpa Pla tabla, a corrnt 3 é água ub-rfriada com h3496 kj/kg. Como não há valor d ntalpia tablado, é prcio intrpolar (uando dado d líquido aturado) para achar T3. A faixa d tmpratura m qu h3 ncontra é ntr 115º C 10º C: 503,71 48,48 503, T 3 T o C A ntropia d 3 prcia r obtida também por intrpolação: 503,71 48,48 503, ,576 1,4734 1, ,5079 kj/kg.k EM-54 Fnômno d Tranport

51 3 - Água qunt - Vapor (0,5 kg/) 1 - Água fria (4 kg/) T1 45 o C T 50 o C P 600 kpa Logo: I 3 3 m1 1 m m I 4, 5* 15079, 0, 5* 71816, 4* 0, ,640 kw/k A gração d ntropia é maior qu zro. Logo, t proco d mitura ntr o vapor upraqucido a água ub-rfriada é um proco irrvrívl. EM-54 Fnômno d Tranport

52 Exrcício 5: Uma uina d força a vapor é propota para oprar ntr a prõ d 10 kpa MPa com uma tmpratura máxima d 400 o C, como motrado indicado. Dtrmin a ficiência do ciclo d Rankin uando a tabla d vapor. Em 1: líquido aturado a 10 kpa (h1191,8 kj/kg) Em 3: vapor upraqucido a 400º C MPa (h3348 kj/kg 37,179 kj/kg.k) A ficiência do ciclo d vapor é: w wt wb η q q c c MPa 10 kpa EM-54 Fnômno d Tranport Na bomba (proco 1-) ab- qu: w w ν( P P) h b 1,99 kj/kg 1 h1 w ν( P P) 0, ( 10) w b b 1 ν ν líq. Saturado a 10 kpa

53 MPa 10 kpa A ntalpia na aída da bomba é: w h b h h1 h wb h1 199, 191, 8 193,8 kj/kg Na caldira (proco -3) ab- qu: q c h 3 h , , kj/kg q c Na turbina (proco 3-4): w t h 3 h4 Na turbina o proco é adiabático rvrívl: 347,179 kj/kg.k. Na aída da turbina tm- uma mitura líquido-vapor a P410kPa, cujo título: x 7179, 0, , 0, l, v l Em 1: líquido aturado a 10 kpa (h1191,8 kj/kg) Em 3: vapor upraqucido a 400º C MPa (h3348 kj/kg 37,179 kj/kg.k) EM-54 Fnômno d Tranport

54 Em 1: líquido aturado a 10 kpa (h1191,8 kj/kg) MPa 10 kpa Em 3: vapor upraqucido a 400º C MPa (h3348 kj/kg 37,179 kj/kg.k) A ntalpia na aída da turbina é: h 4 h l x ( hv hl ) (, 191, ) h , 0, h 58,6kJ/kg 4 O trabalho na turbina é: w t h 3 h , 6 989,4 kj/kg w q t b η η 0, 333 c w w q c 989, 4199, 3054, A ficiência do ciclo é d aproximadamnt 3%. EM-54 Fnômno d Tranport