Precificação de Opções sobre o Futuro do DI com o Modelo Black, Derman & Toy
|
|
- Luiz Felipe Marroquim Castelo
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Precificação de Opções sobre o Futuro do DI com o Modelo Black, Derman & Toy Marcos Eugênio da Silva 1 1. Introdução Um dos modelos de precificação de derivativos de instrumentos que rendem juros mais popular atualmente é o modelo desenvolvido por BlacK, Derman & Toy, a partir de agora indicado por BDT. 2 O propósito deste artigo é adaptar o modelo de BDT para precficar opções de DI da BM&F, mostrando que os resultados previstos pelo modelo estão bem próximos dos prêmios de opções negociados na prática. As principais características do modelo são: i) trata-se de um modelo de um fator, no qual toda a estrutura a termo da taxa de juros é explicada pela evolução da taxa de juros spot. Isto significa supor que todas as taxas de juros estão perfeitamente correlacionadas com a taxa de juros spot e têm a mesma distribuição de probabilidade. No caso brasileiro, considerar-se-á como taxa spot a taxa de juros mensal implícita no PU futuro de vencimento mais próximo. ii) ele reflete a estrutura a termo de taxas de juros bem como a estrutura de volatilidade da taxa de juros para diferentes prazos de maturação dos contratos futuros. iii) apresenta reversão à média, ou seja, a evolução das taxas de juros spot tem de considerar que o PU no vencimento de qualquer contrato futuro de DI é igual a iv) infelizmente não existe forma fechada para as equações de preços das opções, sendo necessário o uso de métodos numéricos. v) a estrutura do modelo é binomial e recombinante (por construção), o que o torna computacionalmente simples. vi) supõe que a taxa de juros spot siga uma distribuição lognormal, o que implica a não negatividade das taxas de juros. Em razão desta hipótese, a variável chave a ser modelada é a taxa de crescimento da taxa de juros, o que equivale ao retorno da taxa de juros. 3 1 Professor do Departamento de Economia da FEA-USP. 2 BLACK,F, DERMAN,E., TOY,W. A One Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options. Financial Analysts Journal, Jan/Feb Os autores chamam de short rate a taxa que denominamos aqui de taxa de juros spot. 3 Apesar de a expressão retorno da taxa de juros ser um pouco confusa, a lógica do argumento fica clara se a compararmos com a de outro modelo lognormal: o Black & Scholes. Assim como no modelo Black & Scholes modelamos a taxa de crescimento do preço da ação, isto é, o seu retorno, no modelo BDT modelamos a taxa de crescimento da taxa de juros (o que equivaleria ao retorno da taxa de juros). 1
2 vii) a equação de difusão do modelo tem a forma: t d log r ( t) + σ'( ) θ.log r. dt + σ ( t). dz σ( t) que é obtida aplicando-se o lema de Itô no logaritmo da função de t e z(t) que descreve a evolução da taxa de juros: r(t) e µ(t)+ σ(t).z(t), onde z(t) é o processo de Wiener padrão A taxa de juros spot mensal, bem como todas as outras taxas internas de retorno implícitas nos PUs para diferentes vencimentos pode ser obtida através da fórmula: PU N ( y) y PU 1 N 1 onde N número de meses para o vencimento do contrato futuro y taxa interna de retorno (yield to maturity) para aquele vencimento PU preço unitário corrente do contrato futuro para o N-ésimo vencimento 4 A partir dos dados de PUs, que são os divulgados pela BM&F, podemos calcular as taxas internas de retorno, suas volatilidades e as taxas de juros a termo (obtidas pela divisão de um PU pelo anterior). A tabela 1 apresenta um exemplo desses valores. Tabela 1 Volatilidade y (TIR) Termo PU * Venc. σ(0,1) r f P(0,1)98678 Out6 σ(0,2) r f P(0,2)96876 Nov6 σ(0,3) r f P(0,3)95148 Dez6 σ(0,4) r f P(0,4)93482 Jan7 σ(0,5) r f P(0,5)91869 Fev7 σ(0,6) r f P(0,6)90321 Mar7 σ(0,7) r f P(0,7)88840 Abr7 * PUs de fechamento em trazidos a valores de pela taxa efetiva do DI observada entre e (ver abaixo a razão deste ajuste). 4 Neste artigo, os PUs correntes foram transformados em PUs para o primeiro dia do mês corrente a fim de podermos sempre falar em taxas de juros mensais. O procedimento para o emagrecimento dos PUs está explicado adiante. 2
3 A estratégia para precificar as opções de DI futuro será a seguinte: i) gerar uma árvore binomial de taxas de juros spot que seja compatível com as taxas internas de retorno e volatilidades atuais, caminhando-se do presente para o futuro. ii) usando-se como critério a valoração neutra em relação ao risco, gerar uma árvore binomial para os PUs de diferentes maturidades a partir da árvore binomial gerada para a taxa de juros spot, caminhando-se no sentido inverso do tempo cronológico, ou seja, do futuro para o presente. iii) a partir da árvore de PUs, gerar a árvore de preços das opções sob a hipótese de valoração neutra ao risco, mais uma vez no sentido do futuro para o presente. iv) o preço da opção obtido no nó inicial da árvore será o seu preço justo (livre de ganhos de arbitragem). 2. Derivação da Árvore de Taxas de Juros Spot a) Passo 1 A taxa de juros spot inicial é facilmente obtida a partir do PU para o primeiro vencimento: r P( 0, 1) 1 onde r0 taxa de juros spot no momento 0 P(0,1) PU do contrato futuro para o primeiro vencimento (que, como todo PU do DI Futuro termina com o valor de pontos). Como a taxa de juros obtida refere-se apenas ao período entre o dia de negociação do PU (inclusive) e o último dia útil do mês corrente (inclusive), é conveniente fazer-se um ajuste no PU para que ele reflita a taxa de juros desde o início do mês, emagrecendo-o pela taxa efetiva do DI que prevaleceu entre o primeiro dia do mês (inclusive) e o dia anterior ao de negociação (inclusive). O mesmo procedimento será feito para todos os outros PUs. Assim, todas as taxas de juros a serem utilizadas neste artigo referir-se-ão a taxas efetivas mensais. b) Passo 2 A pergunta seguinte é: quais são os possíveis valores da taxa de juros spot no momento seguinte (momento 1)? O BDT supõe uma estrutura binomial para a evolução da taxa spot, com probatilidades iguais de alta ou de baixa. Isto quer dizer que os seus possíveis valores têm de ser compatíveis com o fato de que o PU para o segundo vencimento termina com o valor no momento 2. Este PU deve evoluir da seguinte maneira: 3
4 P(0,2) Pu Pd Pu e Pd são os valores do PU para segundo vencimento no momento 0, quando estivermos no momento 1, nos dois estados da natureza que o modelo binomial permite existir: estado de alta (u) e estado de baixa (d). Eles devem refletir o valor de descontado pelas taxas de juros spot possíveis nestes dois estados da natureza: Pu ru ; Pd Por sua vez, a média entre Pu e Pd trazida para o momento 0 usando-se a taxa de juros spot r0 tem de refletir o PU corrente para o segundo vencimento (lembrando sempre que todos os nossos PUs referem-se a preços no início do mês, em virtude do emagrecimento que sofreram): P( 0, 2) 0, 5. Pu + 0, 5. Pd r0 P( 0, 2).. 0, , ru r0 ( 1) Trata-se de uma equação com duas incógnitas, ru e, haja vista que conhecemos o valor corrente do PU para o segundo vencimento P(0,2) e a taxa de juros spot r0 (obtida no passo 1). Para resolver o nosso problema precisamos de mais uma equação, que será dada pela volatilidade do PU que vence no momento 2, P(0,2). A estrutura binomial e a hipótese de lognormalidade para a taxa de juros implicam que os valores ru e têm de satisfazer as seguintes equações: ru r0.e µ + σ(0,2) r0.e µ - σ(0,2) onde µ média da taxa de crescimento da taxa de juros spot entre os momentos 0 e 1 4
5 σ(0,2) desvio padrão da taxa de crescimento da taxa de juros spot entre os momentos 0 e 1 ru Portanto, µ + σ( 0,2 ) e σ e ru e eµ σ( 0,2 ). 2. ( 0,2 ) 2. σ( 0,2 ) (2) Substituindo a equação (2) na equação (1): P( 0, 2) , 5.,. 1. e. ( ) σ 0,2 + r0 Trata-se de uma equação com uma incógnita. Infelizmente não existe uma maneira de se isolar, em virtude da não linearidade da equação. Para resolvêla, é necessário o uso de métodos numéricos, tais como o Newton-Raphson ou o método da bissecção. As rotinas computacionais que implementaram os exemplos abaixo usaram o método da bissecção, por ser mais estável que o Newton-Raphson. Achado o valor de, ru é facilmente obtido a partir da equação (2), gerando-se então a seguinte árvore de taxas de juros de curto prazo: r0 ru 0 1 c) Passo 3 Para o cálculo das possíveis taxas de juros spot no momento 2, usaremos um procedimento similar ao do passo 2. Só que agora levaremos em conta o PU que vence no momento 3 e a sua volatilidade. A árvore de PUs que queremos obter é: P(0,3) Pu Puu Pd Pud Pdd
6 As equações que os preços acima têm de satisfazer são: Puu ruu ; Pud rud ; Pdd d ( 3a) Pu 0, 5. Puu + 0, 5. Pud ru ( 3b) Pd 0, 5. Pud + 0, 5. Pdd ( 3c) 0, 5. Pu + 05,. Pd P( 0, 3) r( 01, ) ( 3d) Este conjunto de equações pode ser transformado em uma única que depende de três incógnitas: ruu, rud, d. Para determiná-las, lançaremos mão novamente da estrutura de volatilidade e das relações que o modelo lognormal com árvore recombinante permite que sejam feitas: ruu ru.e µ + σ(0,3) rud ru.e µ - σ(0,3) u.e µ + σ(0,3) d.e µ - σ(0,3) Como rud u por hipótese, as quatro equações acima podem ser resumidas a duas: ruu rud.e 2.σ(0,3) rud d.e 2.σ(0,3) (4a) ruu d. e 2.σ(0,3). e 2.σ(0,3) ruu d. e 4.σ(0,3) (4b) Assim, as incógnitas ruu e rud mostraram ser funções de d. Da mesma maneira que fizemos no passo 2, agora podemos reescrever as equações (3) como uma só e em função de uma única incógnita, d: 0, , , ( 0, 3) 0, ( 0, 3). 0, ( 0, 3) 0, 5. 1 ru 1 d. e 1 d. e 1 1 d. e 1 d P( 0, 3) σ σ + + σ r 0 A solução desta equação mais uma vez é obtida pelo método da bissecção. Dado d, as equações (4a) e (4b) permitem achar rud e ruu. Temos então a árvore de taxas de juro spot até o momento 2: 6
7 r0 ru ruu rud d d) Passo 4 em diante O processo continua de maneira igual para qualquer nível de expansão da árvore binomial, gerando-se trajetórias de evolução do PU que vence no (N+1)- ésimo mês e as taxas de juros spot possíveis até o N-ésimo mês. As árvores abaixo ilustram como devem evoluir estas variáveis: Árvore da taxa de juros spot: r(0,1) ru ruu ruuu ruuuu... rud ruud ruuud... d ud ruudd... dd udd... ddd Árvore do PU que vence no momento 5: P(0,5) Pu Puu Puuu Puuuu Pd Pud Puud Puuud Pdd Pdud Puudd Pddd Pdudd Pdddd As incógnitas em cada passo são as taxas de juros spot no N-ésimo momento, que podem ser colocadas como função da taxa de juros possível na folha mais baixa da árvore expandida até aquele momento. Por exemplo, as taxas de juros spot no momento 4 são todas funções de ddd: 7
8 ruuuuddd. e 8.σ(0,5) ruuudddd. e 6.σ(0,5) ruuddddd. e 4.σ(0,5) uddddd. e 2.σ(0,5) 3. Exemplo de Árvore de Taxas de Juros Spot e Árvore de PUs Com base nos dados da tabela 1, podemos obter a árvore para a taxa de juros spot mostrada na tabela 2. Tabela 2 Árvore de Taxas de Juros Spot 0,0134 0,0191 0,0190 0,0196 0,0196 0,0205 0,0207 0,0181 0,0182 0,0184 0,0185 0,0191 0,0192 0,0173 0,0172 0,0175 0,0177 0,0179 0,0162 0,0166 0,0165 0,0166 0,0157 0,0153 0,0154 0,0142 0,0143 0,0133 Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan7 Fev7 Mar7 Como conseqüência da evolução acima da taxa spot, o PU que vence em abril de 1997, por exemplo, terá a evolução mostrada na tabela 3. Tabela 3 Árvore de preços do Contrato DI Futuro para Abril de Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan7 Fev7 Mar7 Abr7 Podemos gerar uma árvore semelhante para cada um dos PUs até o seu vencimento. Todas estas árvores refletirão a estrutura de volatilidade atual para os 8
9 contratos de diferentes vencimentos bem como a estrutura atual de taxas internas de retorno. 4. Precificação de Opções Para acharmos o preço de uma call européia neste contexto basta trazermos a valor presente o ganho esperado no vencimento, usando-se como taxa de desconto em cada período a taxa de juros spot possível em cada nó da árvore de juros. Trata-se de um procedimento similar ao usado para precificar uma call européia pelo modelo binomial tradicional. A partir do vencimento da opção, e de volta para o presente, calculamos o valor da call em cada nó, ou seja, o máximo entre: a) a média dos preços da call nos nós descendentes descontada pela taxa de juros spot no nó em questão e b) zero Repetimos este procedimento até voltarmos ao período zero. O preço da opção será aquele obtido no nó inicial da árvore de preços da call. A tabela 5 mostra a árvore de uma call européia com vencimento em Jan7, com preço de exercício de pontos, sobre o DI 30 dias (DI vence em Fev7). Usamos a árvore de PUs da tabela 4 e a árvore de juros da tabela 2. Uma put européia pode ser precificada da mesma maneira. 5 Tabela 4 Árvore de Preços do Contrato DI Futuro para Fevereiro de Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan6 Fev6 Tabela 5 Árvore de Preço da Call Européia sobre o DI 30 (em pontos de PU) * 5 Caso a BM&F negociasse opções americanas, o procedimento seria semelhante, apenas que em cada nó da árvore haveria uma decisão de exercer a opção ou não. A rotina computacional montada pelo autor gera também estes preços. Naturalmente, o preço da call americanna coincide com o preço da call européia. 9
10 48,99 23,56 6, ,74 41,49 13, ,74 71,19 27,08 158,20 117,76 203,75 Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan7 Preço de Exercício pontos O preço livre de arbitragem da call no início do mês de setembro de 1996 seria então de 48,99 pontos de PU. Como o nosso exemplo foi montado a partir de preços do dia , é preciso engoar o preço da call pela variação do CDI até o dia O preço final será então de: Call 48,99 x 1, ,20 Este resultado está bem próximo do preço negociado no fechamento do pregão, como podemos ver pela tabela 6 A mesma conclusão é válida para as outras séries de opções mostradas na tabela. Tabela 6 Preço da Call Previsto pelo BDT e Observado no Fechamento em Série Preço de Exerc. BDT Fechamento JA ,35 80,00 JA ,20 49,00 JA ,93 27,00 10
4 Modelo de Black-Derman-Toy
31 4 Modelo de Black-Derman-Toy O modelo de estrutura a termo desenvolvido em 1990 por Fischer Black, Emanuel Derman e William Toy é um modelo de não-arbitragem unifatorial, isto é, os preços dos títulos
Leia maisBernardo de Mendonça G. Ferreira. Valoração de uma opção sobre um contrato futuro. Dissertação de Mestrado
Bernardo de Mendonça G. Ferreira Valoração de uma opção sobre um contrato futuro Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de
Leia maisApreçamento de Opções
Apreçamento de Opções Introdução ao Mercado de Opções Aula 29 Instituto Educacional BM&FBOVESPA Prof. Paulo Lamosa Berger 06/06/2016 Confidencial Restrita Confidencial x Uso Interno Público 1 Índice Black-Scholes
Leia mais8 Análise de Resultados
68 8 Análise de Resultados Neste capítulo são apresentados os resultados gerados para diferentes datas e séries e realizadas análises de sensibilidade dos fatores que afetam o valor da opção para os modelos
Leia mais3 Modelo Teórico. 3.1 Mercados Incompletos
32 3 Modelo Teórico O modelo teórico adotado neste estudo está baseado em duas premissas principais. A primeira é o uso do Valor Presente do projeto sem flexibilidade como melhor estimador do seu valor
Leia mais6.1 Características da Opção sobre Futuro de Depósitos Financeiros de 1 dia
50 6 Implementação Neste capítulo serão discutidas algumas características do ativo objeto de nossa análise, assim como outros fatores de suma importância para o trabalho, tais como: fonte de dados, taxa
Leia maisIND Análise de Investimentos com Opções Reais
IND 2072 - Análise de Investimentos com Opções Reais PROA P1 1 o Semestre de 2007-10/05/2007 OBS: 1) A prova é SEM CONSULTA. A nota da prova é = mínimo{10; pontuação da P1} 2) Múltipla escolha: responder
Leia maisProbabilidades de Mudanças na Meta de Taxas de Juros do COPOM Implícitas no DI-Futuro
temas de economia aplicada 9 Probabilidades de Mudanças na Meta de Taxas de Juros do COPOM Implícitas no DI-Futuro Marcos Eugênio da Silva (*) 1 Introdução No Brasil, o Comitê de Política Monetária do
Leia mais3.1. Primeira Premissa: valor presente sem flexibilidade é o melhor estimador do valor de mercado
3 Modelo teórico O modelo teórico utilizado para o desenvolvimento deste estudo é baseado em duas premissas. A primeira é que o Valor Presente do projeto sem flexibilidade é o melhor estimador do seu valor
Leia maisMestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV. Derivativos
Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivativos Parte 5: Apreçamento de Opções: método binomial Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. Fundamentos de apreçamento: vetor de preços de
Leia mais7 Modelo de Apreçamento de Opções
47 7 Modelo de Apreçamento de Opções Os modelos de Vasicek (1977) e Black-Derman-Toy (1990) foram implementados respectivamente por simulação de Monte Carlo e árvores Binomiais para o apreçamento de uma
Leia maisDerivativos - MFEE Monitoria do dia 23/11/2009 Monitor: Rafael Ferreira
Derivativos - MFEE Monitoria do dia 3/11/009 Monitor: Rafael Ferreira Questão 1 11.3, Hull 5th ed. A company s cash position in millions of dollars follows a generalized Weiner process with a drift rate
Leia maisMANUAL DE CÁLCULO DOS TÚNEIS DE OPÇÕES
MANUAL DE CÁLCULO DOS TÚNEIS DE OPÇÕES [Data de Publicação] INFORMAÇÃO PÚBLICA SUMÁRIO 1 METODOLOGIA DOS TÚNEIS DE OPÇÕES... 4 2 INSUMOS UTILIZADOS... 5 2.1 VOLATILIDADE... 5 2.2 PREÇOS DO ATIVO OBJETO...
Leia mais4. Modelos Básicos Utilizados na Avaliação de Opções Reais
4. Modelos Básicos Utilizados na Avaliação de Opções Reais 4. Modelos Básicos Utilizados na Avaliação de Opções Reais Os métodos de avaliação de opções reais devem ter, em primeiro lugar, a capacidade
Leia maisProbabilidades objetivas versus probabilidades Risk-neutral
GV INVEST 04 Probabilidades objetivas versus probabilidades Risk-neutral Para evitar arbitragem, os preços dos derivativos têm que ser calculados via probabilidades que pertencem a um espaço de probabilidade
Leia mais3 Definições. 3.1 Processos Estocásticos e Processo de Wiener
25 3 Definições 3.1 Processos Estocásticos e Processo de Wiener Um processo estocástico corresponde a uma variável que evolui no decorrer do tempo de forma incerta ou aleatória. O preço de uma ação negociada
Leia maisCOMO DETERMINAR O PREÇO DE UMA
COMO DETERMINAR O PREÇO DE UMA Modelo Cox-Ross Rubinstein Árvore recombinante de 3 passos Autores: Francisco Cavalcante(f_c_a@uol.com.br) Administrador de Empresas graduado pela EAESP/FGV. É Sócio-Diretor
Leia maisPrecificação de Opções
Um modelo em tempo-discreto Arthur Mendes Alves Instituto de Matemática, Estatística e Física Universidade Federal do Rio Grande 15 de dezembro de 2014 Sumário 1 Introdução Opções Arbitragem 2 Processos
Leia maisCAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS DE MERCADOS FUTUROS CAPÍTULO 3 MERCADO FUTURO DE DÓLAR COMERCIAL
SUMÁRIO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO CAPÍTULO 2 CONCEITOS BÁSICOS DE MERCADOS FUTUROS 2.1. Introdução 2.2. Posições 2.3. Padronização dos Contratos 2.4. Margem e Ajustes Diários 2.5. Custos Operacionais 2.6.
Leia mais3 Metodologia Objetivo da análise
3 Metodologia 3.1. Objetivo da análise Esse trabalho tem como objetivo comparar os prêmios de referência da BM&F Bovespa para as opções de dólar e de futuro de Ibovespa, disponíveis a cada data analisada,
Leia maisA Matemática e as Finanças da Matemática Financeira
A Matemática e as Finanças da Matemática Financeira 1 1 Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade de Coimbra Centro de Matemática da Universidade de Coimbra O que é a Matemática
Leia maisDerivativos - MFEE Monitoria do dia 30/11/2009 Monitor: Rafael Ferreira
Derivativos - MFEE Monitoria do dia 30//009 Monitor: Rafael Ferreira Questão Suponha que a lei de movimento de uma ação siga o movimento geométrico browniano: ds t = µs t dt + σs t dw t Você irá apreçar
Leia mais2 Risco de Base e Estatísticas Descritivas
2 Risco de Base e Estatísticas Descritivas 2.1 Amostra A amostra inclui os preços diários de todos os contratos futuros negociados de três commodities agropecuárias e dois ativos financeiros, entre 3 de
Leia maisCritérios para a Apuração dos Preços de Ajuste e Prêmios das Opções de Compra e de Venda Maio 2011
Critérios para a Apuração dos Preços de Ajuste e Prêmios das Opções de Compra e de Venda Maio 2011 Informamos os procedimentos a serem aplicados durante o mês de maio de 2011 para a apuração dos preços
Leia maisIND Análise de Investimentos com Opções Reais
IND 2072 - Análise de Investimentos com Opções Reais PROVA 1 o Semestre de 2006-11/07/2006 Parte I: Demonstração (5 pontos). Seja V o valor do projeto que segue um movimento geométrico Browniano. V tem
Leia maisDefinição. Características. Classificações da Opções. Valor das Opções. Modelo Black & Scholes. Gregas. Estratégias de Opções
Definição Características Classificações da Opções Valor das Opções Modelo Black & Scholes Gregas Estratégias de Opções O que é uma opção? É um contrato acordo - que lhe dá o direito de negociar um determinado
Leia maisO F Í C I O C I R C U L A R. Participantes dos Mercados da BM&FBOVESPA Segmentos BOVESPA e BM&F
20 de julho de 2016 066/2016-DP O F Í C I O C I R C U L A R Participantes dos Mercados da BM&FBOVESPA Segmentos BOVESPA e BM&F Ref.: Subscrição de Debêntures Conversíveis ou Permutáveis em Ações da Metalúrgica
Leia mais8 Análise utilizando a teoria das opções reais
8 Análise utilizando a teoria das opções reais Uma opção é um derivativo (aquele cujo fluxo de caixa depende funcionalmente de um outro ativo, chamado de ativo base) escrito sobre um ativo base. Quando
Leia maisOPERAÇÕES ESTRUTURADAS DE VOLATILIDADE DA TAXA DE JURO FORWARD (VTF)
OPERAÇÕES ESTRUTURADAS DE VOLATILIDADE DA TAXA DE JURO FORWARD (VTF) 1. Informações das Operações Estruturadas Objeto Código de Negociação Contrato de Opção de Compra ou de Venda sobre Futuro de Taxa Média
Leia maisOptimização Financeira (Estimação da Função de Densidade de Probabilidade de Risco Neutro para Preços de Opções)
Optimização Financeira (Estimação da Função de Densidade de Probabilidade de Risco Neutro para Preços de Opções) Ana Margarida Monteiro (Univ. Coimbra) Reha H. Tütüncü (Carnegie Mellon Univ.) Luís Nunes
Leia mais2.Referencial Teórico
14 2.Referencial Teórico 2.1.Técnica Tradicional Avaliação por Fluxo de Caixa Descontado Investimento, segundo Dixit & Pindyck (1994), pode ser definido como o ato de incorrer em custo imediato na expectativa
Leia maisOpções Reais: Uma alternativa para avaliação de investimentos em condições de risco
www.iem.efei.br/edson Opções Reais: Uma alternativa para avaliação de investimentos em condições de risco Prof. Edson de Oliveira Pamplona http://www.iem.efei.br/edson 2005 Por quê Opções Reais? Por quê
Leia maisExercício Programa - MAP2310. Prof. Pedro Peixoto. Entrega 28/09/14
Precificação de Opções no Mercado Financeiro Exercício Programa - MAP2310 Prof. Pedro Peixoto Entrega 28/09/14 1 Precificação de Opções Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não a obrigação, a
Leia maisMatemática e Finanças: O homem que calculava e negociava
Matemática e Finanças: O homem que calculava e negociava Max O. Souza & Jorge P. Zubelli 9 de novembro de 2006 Outline Precificação via arbitragem 1 Precificação via arbitragem 2 O modelo básico Análise
Leia maisMANUAL DE APLICAÇÃO DO MODELO BLACK SCHOLES PARA A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES
São Paulo, 2014 MANUAL DE APLICAÇÃO DO MODELO BLACK SCHOLES PARA A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES Time: Guilherme Sola Raphael Noronha Luiz Razuk Mateus Schwening NassimGhosn Caio Conde Mateus Ribeiro Guilhermessantos94@gmail.com
Leia maisLista de Exercícios 2. Exercício 1*: Considere as informações sobre um projeto de minério contidas na tabela abaixo.
FGV-MFEE Prof. Edson Gonçalves Avaliação de Empresas Monitor: Diogo Saraiva Lista de Exercícios 2 Os exercícios marcados com * deverão ser entregues e terão participação na nota final. Exercício 1*: Considere
Leia maisOpções Reais. Modelagem do Ativo Básico. Processos Estocásticos. Modelando Incerteza. Processos Estocásticos. IAG PUC-Rio
Opções Reais Modelagem do Ativo Básico Prof. Luiz Brandão brandao@iag.puc-rio.br IAG PUC-Rio Processos Estocásticos Modelando Incerteza Processos Estocásticos A incerteza em um projeto pode ter mais do
Leia mais6 Análise de Sensibilidade do Método LSM
Análise de Sensibilidade do Método LSM 72 6 Análise de Sensibilidade do Método LSM Para fazer uma análise de sensibilidade do método LSM, tomamos como base exemplos de call e put americanas 1. Para os
Leia maisLista 2 - Derivativos (MFEE) Prof. Alexandre Lowenkron Monitor: Rafael Ferreira
Lista - Derivativos (MFEE) Prof. Alexandre Lowenkron Monitor: Rafael Ferreira Questão 1 Um Banco possui a seguinte carteira de opções sobre o ativo X: Posição Delta Gama Vega Call 1000 0, 5 3 1, 9 Put
Leia maisO F Í C I O C I R C U L A R. Participantes dos Mercados da BM&FBOVESPA Segmentos BOVESPA e BM&F
20 de setembro de 2016 095/2016-DP O F Í C I O C I R C U L A R Participantes dos Mercados da BM&FBOVESPA Segmentos BOVESPA e BM&F Ref.: Subscrição de Debêntures Simples e de Bônus de Subscrição de Emissão
Leia maisSão Paulo, 2014 MANUAL DE APLICAÇÃO DO MODELO BINOMIAL PARA A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES
São Paulo, 2014 MANUAL DE APLICAÇÃO DO MODELO BINOMIAL PARA A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES Objetivo do Manual O presente manual tem como objetivo explicar os conceitos básicos referentes ao Modelo Binomial de
Leia maisOpções de IDI. Operando Reuniões do COPOM e o CDI. Riccardo Aranha
Opções de IDI Operando Reuniões do COPOM e o CDI Sumário 1- Introdução... 2 2- CDI Certificado de Depósito Interbancário... 2 3- Taxa SELIC... 2 4- COPOM... 2 5- IDI... 3 6- Opções sobre IDI... 3 a) Exemplo
Leia maisModelos de Estrutura a Termo
Mestrado em Finanças e Economia Empresarial EPGE - FGV Derivativos Parte 12: Modelos para a Estrutura a Termo das Taxas de Juros Derivativos - Alexandre Lowenkron Pág. 1 Modelos de Estrutura a Termo Modelos
Leia mais2 Revisão Bibliográfica
2 Revisão Bibliográfica Os principais artigos, livros e apostilas relacionados a esta dissertação foram enumerados durante o presente capítulo. Os principais tópicos de cada um deles, assim como suas conclusões
Leia mais6 Especificação dos produtos negociados na BM&F
40 6 Especificação dos produtos negociados na BM&F 6.1 Especificações do Contrato Futuro de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia 1. Definições Preço unitário (PU): o valor, em pontos, correspondente
Leia mais1o. Método - utilização das taxas de juros a termo em base anualizada
Método para estimar a taxa Selic esperada pelo mercado para reuniões futuras do COPOM - Comitê de Política Monetária do Banco Central -, utilizando-se para isso o mercado futuro de taxas de juro - DI's
Leia mais30 de Junho de PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES FINANCEIRAS VIA TRANSFORMADA DE ESSCHER NÃO- PARAMÉTRICA Pedro Henrique Cunningham Amorim
30 de Junho de 2013 PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES FINANCEIRAS VIA TRANSFORMADA DE ESSCHER NÃO- PARAMÉTRICA Pedro Henrique Cunningham Amorim PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES FINANCEIRAS VIA TRANSFORMADA DE ESSCHER NÃO-
Leia mais4 Modelo de Equilíbrio Geral e Opções
37 4 Modelo de Equilíbrio Geral e Opções 4.1. Introdução Para melhor compreender a teoria utilizada para encontrar a probabilidade de default de uma empresa, é importante conhecer as bases conceituais
Leia maisUniversidade de São Paulo. Escola de Engenharia de Lorena. O modelo Black & Scholes para tomada de decisões no mercado financeiro.
Universidade de São Paulo Escola de Engenharia de Lorena O modelo Black & Scholes para tomada de decisões no mercado financeiro. Grupo: Gabriel Padovan Professor: Dra. Rebeca Bacani Henrique Sarmento Lucas
Leia maisFundação Getúlio Vargas / EPGE Economia Monetária e Financeira Prof. Marcos Antonio Silveira
Fundação Getúlio argas / EPGE Economia Monetária e Financeira Prof. Marcos Antonio Silveira Nota de Aula 0: Renda Fixa Bibliografia: FABOZZI, F. J. The handbook of fixed income securities. McGraw-Hill,
Leia mais2 Referencial teórico
2 Referencial teórico 2.1 Conceitos sobre investimentos produtivos As empresas investem em projetos buscando maximizar os seus valores. Os investimentos em capacidade produtiva possuem três características
Leia mais2 Revisão da Literatura
2 Revisão da Literatura 2.1. Método do Fluxo de Caixa Descontado (FCD) O objetivo dos administradores de empresas é criar valor para os acionistas. A criação de valor, por sua vez, é efetivada mediante
Leia mais" # $ %& & & '& ( & (& & ) *!
Derivativos.- Alexandre Lowenkron Pág. 1 " # $ %& & & '& ( & (& & ) * + # &, Derivativos.- Alexandre Lowenkron Pág. 2 1 " -.$ / 0 &. + # &, ""# % ) & # #. 1), (, 23 & ' 4 # & & 0 + 1), ( #) 3 Derivativos.-
Leia maisESTIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NEUTRA AO RISCO A PARTIR DE DADOS DE MERCADO
29/06/2016 ESTIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NEUTRA AO RISCO A PARTIR DE DADOS DE MERCADO Rodrigo de Carvalho Amatruda Haddad Caleiro ESTIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NEUTRA AO RISCO A PARTIR DE DADOS DE MERCADO Aluno(s):
Leia maisPROF. RICARDO RATNER ROCHMAN
Opções Reais PROF. RICARDO RATNER ROCHMAN FGV-EESP RICARDO.ROCHMAN@FGV.BR Orçamento de Capital com o VPL A receita do bolo: Fazer a previsão dos fluxos de caixa futuros esperados do projeto Descontar os
Leia maisGood Deal Bounds e o caso das opções EuroStoxx50
Good Deal Bounds e o caso das opções EuroStoxx50 André Ribeiro Carlos Pinto Mestrado em Matemática Financeira Factor de Desconto Estocástico Os indíviduos, valorizam mais o consumo presente que o futuro.
Leia mais10º Fórum Perspectivas de Investimentos 2015
10º Fórum Perspectivas de Investimentos 2015 Revista Investidor Institucional Sávio Borba Gestão de Renda Fixa Novembro 2014 nov-13 dez-13 jan-14 fev-14 mar-14 abr-14 mai-14 jun-14 jul-14 ago-14 set-14
Leia mais2 Mercado de Juros no Brasil
16 2 Mercado de Juros no Brasil As taxas de juros negociadas no mercado financeiro são influenciadas pelas políticas econômica, monetária e fiscal do governo federal. A expectativa do mercado por estas
Leia maisFundamentos de Finanças Curso de Ciências Econonômicas Universidade Federal de Pelotas (UFPel)
Fundamentos de Finanças Curso de Ciências Econonômicas Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Prof. Regis A. Ely Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Regis A. Ely Matemática
Leia maisEES-49/2012 Prova 1. Q1 Dado o seguinte conjunto de equações:
Q1 Dado o seguinte conjunto de equações: EES-49/2012 Prova 1 Onde: h C é o sinal de entrada do sistema; θ é o sinal de saída do sistema; T P é uma entrada de perturbação; T T, T R e h R são variáveis intermediárias;
Leia mais4 Aplicação ao Carro Flex Fuel
58 4 Aplicação ao Carro Flex Fuel 4.1. Introdução Como visto no início da dissertação, o conceito do automóvel flex fuel tem como origem a possibilidade do carro utilizar como combustível álcool, gasolina
Leia maisECONOFÍSICA Uma Breve Introdução. L. Moriconi IF-UFRJ
ECONOFÍSICA Uma Breve Introdução L. Moriconi IF-UFRJ I Panorama II Conceitos Basilares III Modelagem de Black-Scholes IV Mercados Não-Gaussianos V Econofísica & Turbulência VI Conclusões I. PANORAMA Métodos
Leia mais6 Precificação da Opção de Parar Temporariamente e Resultados
6 Precificação da Opção de Parar Temporariamente e Resultados Neste trabalho será realizada uma análise de viabilidade econômica e também será precificada a opção de parada temporária de uma planta GTL.
Leia maisAVALIAÇÃO DE DERIVATIVOS DE TAXAS DE JUROS: UMA APLICAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO LUCAS BASSANI DALMAGRO AVALIAÇÃO DE DERIVATIVOS DE TAXAS DE JUROS: UMA APLICAÇÃO DO MODELO CIR
Leia maisRevista Brasileira de Finanças ISSN: Sociedade Brasileira de Finanças Brasil
Revista Brasileira de Finanças ISSN: 1679-0731 rbfin@fgv.br Sociedade Brasileira de Finanças Brasil Marinho Junior, José Ferreira; Rincon, Mauro Antonio Aplicaçã o das Opções Compostas na Avaliação da
Leia maisIntrodução aos Métodos Numéricos
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho Conteúdo temático Zeros de Função Conteúdo específico Aspectos básicos
Leia mais2 Referencial Teórico
2 Referencial Teórico De acordo com Black e Scholes (1973) o prêmio de uma opção de compra ou venda européia é função do preço do ativo-objeto, do preço de exercício, do tempo até o exercício, da taxa
Leia maisImpacto das reuniões do COPOM no preço de opções de índice de taxas de juros (IDI)
Impacto das reuniões do COPOM no preço de opções de índice de taxas de juros (IDI) Erick Wakamoto Takarabe Marcos Eugênio da Silva 25-Novembro-2014 Sumário 1 2 Calibragem do DTMC 3 Consistência do modelo
Leia maisO F Í C I O C I R C U L A R. Participantes dos Mercados da BM&FBOVESPA Segmentos BOVESPA e BM&F
16 de janeiro de 2017 003/2017-DP O F Í C I O C I R C U L A R Participantes dos Mercados da BM&FBOVESPA Segmentos BOVESPA e BM&F Ref.: Subscrição de Ações de Emissão da Iochpe-Maxion S.A. Tratamento pelo
Leia maisANÁLISE DE INVESTIMENTOS
CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS GRADUAÇÃO PARA GRADUADOS ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Profº Marcelo Cambria Duration 2 Reflete o rendimento (yield) efetivo dos títulos de Renda Fixa até o seu vencimento (maturity)
Leia maisDEPARTAMENTO DE CONTABILIDADE E ATUÁRIA DA FEA/USP. Aula 05.1 Opções Padrão (vanilla option)
DEPARTAMENTO DE CONTABILIDADE E ATUÁRIA DA FEA/USP EAC 0466 Precificação de Derivativos e Outros Produtos Aula 05.1 Opções Padrão (vanilla option) Ciências Atuariais 2017 Programa 1. Introdução 2. Aspectos
Leia mais4 Processos Estocásticos e Simulação de Monte Carlo
33 4 Processos Estocásticos e Simulação de Monte Carlo O processo estocástico faz a descrição de uma variável com comportamento ao menos em parte de maneira aleatória através do tempo, onde se assume valores
Leia maisFUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IDI COM PREÇO DE MERCADO DO RISCO VARIÁVEL
FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS Escola de Pós-Graduação em Economia Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Ricardo José da Costa Silva Borges PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IDI COM PREÇO DE MERCADO DO RISCO
Leia maisFluxos de Capitais, Derivativos Financeiros e Intervenções nos Mercados de Câmbio
Fluxos de Capitais, Derivativos Financeiros e Intervenções nos Mercados de Câmbio Márcio Gomes Pinto Garcia Departamento de Economia - PUC-Rio Reunião de Conjuntura IPEA Rio de Janeiro sexta-feira, 10
Leia maisApreçamento de Opções sobre Futuro de Depósitos Inter-financeiros de um Dia
Luciano Molter de Pinho Grosso Apreçamento de Opções sobre Futuro de Depósitos Inter-financeiros de um Dia Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título
Leia maisDocumentação Técnica Opções Flexíveis sobre Taxa de Câmbio
Documentação Técnica Opções Flexíveis sobre Taxa de Câmbio Ref.: CETIP-RANGER-DT-0001/006 maio de 006 Criação: 30/03/006 Última revisão: 5/04/006 Impressão: 05/05/006 1. INTRODUÇÃO...3. ETAPAS...3.1. ASSUME-SE
Leia maisFluxos de Capitais, Derivativos Financeiros e Intervenções nos Mercados de Câmbio
Fluxos de Capitais, Derivativos Financeiros e Intervenções nos Mercados de Câmbio Márcio Gomes Pinto Garcia Departamento de Economia - PUC-Rio Seminário: Perspectivas de Longo Prazo para Câmbio e Juros
Leia maisDO PREÇO llvre DE ARBITRAGEM
DO PREÇO llvre DE ARBITRAGEM Cícero Augusto Vieírn Neto Pedro L. Vnlls Pereírn 1. INTRODUÇÃO Este artigo utiliza a teoria de avaliação de títulos contingentes em mercados completos e livres de arbitragem,
Leia maisUM ESTUDO SOBRE A MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE TÍTULOS DE RENDA FIXA.
UM ESTUDO SOBRE A MODELAGEM DA ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE TÍTULOS DE RENDA FIXA. Octavio Manuel Bessada Lion TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
Leia maisAs bases da Dinâmica Molecular - 2
As bases da Dinâmica Molecular - 2 Alexandre Diehl Departamento de Física - UFPel Um pouco de história... SCEF 2 Um pouco de história... A pré-história da Dinâmica Molecular A ideia da Dinâmica Molecular
Leia maisCurrículo Sintético. Edson Ferreira de Oliveira. Mestre em Administração Universidade Mackenzie
Currículo Sintético Edson Ferreira de Oliveira Doutor em Controladoria e Contabilidade FEA/USP Doutor em Administração Universidade Mackenzie Mestre em Administração Universidade Mackenzie Engenheiro de
Leia mais4. Precificando as Opções Asiáticas Americanas
4. Precificando as Opções Asiáticas Americanas Este capítulo é dedicado à precificação das opções asiáticas americanas de compra e de venda dos tipos Floating Strike e Fixed Strike baseadas em média Aritmética
Leia maisELE2005: Análise Estratégica de Investimentos e de Decisões com Teoria dos Jogos e Jogos de Opções Reais.
ELE2005: Análise Estratégica de Investimentos e de Decisões com Teoria dos Jogos e Jogos de Opções Reais. Segunda Prova Extra (P2 de segunda chamada) 18/12/2006 OBS: 1) A prova é SEM CONSULTA. A nota da
Leia maisSe pensarmos em um campo sem massa (m = 0) e cuja fonte externa é uma carga pontual. Por outro lado, para esta teoria livre sabemos que (eq. 109.
Teoria Quântica de Campos I 178 Se pensarmos em um campo sem massa (m = 0) e cuja fonte externa é uma carga pontual temos que φ(x) = φ(x) é justamente 1/ x (o Laplaciano agindo em φ(x) tem produzir a delta)
Leia maisTabela 1: Opções de compra de ações PN da Petrobrás
3 Metodologia Para analisarmos o comportamento da Árvore Trinomial Implícita, utilizamos como base dados de mercado, com a lista das opções de compra de ações da Petrobrás e Vale no período de Janeiro
Leia maisCURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA. O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston. Gabriel Mesquita
FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE MATEMÁTICA APLICADA CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston por Gabriel Mesquita Rio de Janeiro 2016 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS
Leia maisAPLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA PARA ESTRATÉGIAS DE INVESTIMENTOS EM FUNDOS ESTRUTURADOS
Trabalho apresentado no CMAC-Sul, Curitiba-PR, 2014. APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO ESTOCÁSTICA PARA ESTRATÉGIAS DE INVESTIMENTOS EM FUNDOS ESTRUTURADOS Bruno Marquetti Vanzetto e Oswaldo L.V. Costa Universidade
Leia maisPOLÍTICA COMERCIAL. [Data de Publicação] INFORMAÇÃO EXTERNA
POLÍTICA COMERCIAL [Data de Publicação] INFORMAÇÃO EXTERNA SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 3 2 SOBRE O UP2DATA... 3 2.1 Informações disponíveis... 3 2.2 Características... 5 3 USUÁRIOS DO UP2DATA... 5 4 UTILIZAÇÃO
Leia maisANDRÉ HASSIN PINTO GRÁFICOS DE CONTROLE TIPO SHEWHART NO MONITORAMENTO DA VOLATILIDADE DE RETORNO DE ATIVOS FINANCEIROS
ANDRÉ HASSIN PINTO GRÁFICOS DE CONTROLE TIPO SHEWHART NO MONITORAMENTO DA VOLATILIDADE DE RETORNO DE ATIVOS FINANCEIROS Trabalho de Formatura apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Leia mais3 Referencial Teórico
3 Referencial Teórico 3.1 Método Tradicional de VPL Os agentes econômicos estão constantemente à procura de ampliar sua riqueza através de investimentos em ativos que lhes garantam melhores retornos. O
Leia maisFormas da Equação de Black-Scholes
Capítulo 1 Formas da Equação de Black-Scholes No essencial a equação de Black-Scholes apresenta-se sob a forma V t +1 2 σ2 2 V S 2 +rs V S rv =0 (1.1) ondev =V(S,t)éumafunçãodefinidaem(0,+ ) [0,+ )querepresenta
Leia maisPOLÍTICA COMERCIAL. [Data de Publicação] INFORMAÇÃO EXTERNA
POLÍTICA COMERCIAL [Data de Publicação] INFORMAÇÃO EXTERNA SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 3 2 SOBRE O UP2DATA... 3 2.1 Informações disponíveis... 3 2.2 Características... 4 3 USUÁRIOS DO UP2DATA... 5 4 UTILIZAÇÃO
Leia maisContratos a termo e futuro Mercado brasileiro
Contratos a termo e futuro Mercado brasileiro José Valentim Machado Vicente, D. Sc. jose.valentim@gmail.com Aula 3 Conteúdo da aula Contratos a Termo e Futuro Futuro de Dólar Futuro de Ibovespa DI Futuro
Leia maisMecanica Operacional dos Mercados Futuros e a Termo. EAD Caderno 2 FEA / USP
2.1 Mecanica Operacional dos Mercados Futuros e a Termo EAD 733 - Caderno 2 FEA / USP 2.2 Contratos Futuros vs Contratos a Termo TERMO Contrato particular entre duas partes Contrato não padronizado Usualmente
Leia maisModelo de Spread de Crédito
Modelo de Spread de Crédito Crescimento Estrutural nas Falências V@R Margens de empréstimos mais competitivas diário Crescimento do mercado de Derivativos Necessidade de tornar os riscos mais visíveis
Leia maisIntrodução aos Métodos Numéricos
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares.
Leia mais5 Filtro de Kalman Aplicado ao Modelo de Schwartz e Smith (2000)
5 Filtro de Kalman Aplicado ao Modelo de Schwartz e Smith (2000) A primeira parte deste capítulo, referente à passagem dos modelos estocásticos para as equações do Filtro de Kalman, já foi previamente
Leia maisCritérios para a Apuração dos Preços de Ajuste e Prêmios das Opções de Compra e de Venda Setembro 2013
Critérios para a Apuração dos Preços de Ajuste e Prêmios das Opções de Compra e de Venda Setembro 2013 Informamos os procedimentos a serem aplicados durante o mês de setembro de 2013 para a apuração dos
Leia maisCompatibilizando Títulos Pré e Pós Fixados nas Carteiras. Sávio Borba Maio 2015
Compatibilizando Títulos Pré e Pós Fixados nas Carteiras Sávio Borba Maio 2015 Gestão Ativa/Passiva Gestão de recursos em um maneira geral, consiste na otimização da alocação dos recursos em ativos que
Leia mais