CONCEITO E PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS E SEU ENSINO

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1 CONCEITO E PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS E SEU ENSINO Autora: Fabiana Brianez Orientador: Prof. Dr. Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone São Carlos-SP, 3 de Julho de 2013.

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3 CONCEITO E PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS E SEU ENSINO Autora: Fabiana Brianez Orientador: Prof. Dr. Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Sadao Massago Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos- SP, 3 de Julho de Fabiana Brianez (Autora) Roberto Ribeiro Paterlini (Orientador)

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5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, pois sem a ajuda Dele nada seria possível. Aos meus familiares pelo apoio, dedicação, compreensão e incentivo perante todas as dificuldades durante meu curso de graduação. Por fim, agradeço ao meu orientador Roberto Ribeiro Paterlini que contribuiu muito na construção do meu conhecimento não só na realização deste trabalho, mas também durante todo o curso de Licenciatura em Matemática.

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7 RESUMO Este trabalho contempla alguns conceitos e propriedades elementares de poliedros. Na primeira parte discorremos sobre a presença desses sólidos geométricos na sociedade, na ciência e na escola, valorizando a importância do seu estudo. No segundo capítulo desenvolvemos a teoria necessária sobre polígonos para em seguida partirmos para as várias definições de poliedros que existem, destacando a que utilizaremos para o desenvolvimento deste texto e o porquê de algumas definições, serem consideradas incompletas, por nós. Neste capítulo também classificamos e exemplificamos alguns tipos de poliedros. No Capítulo III apresentamos algumas relações válidas apenas para poliedros convexos. No Capítulo IV há uma introdução histórica sobre a Relação de Euler, algumas demonstrações para esta relação e também alguns casos em que ela não é válida. No capítulo seguinte, definimos e classificamos os Poliedros de Platão, provando que são apenas cinco. No sexto capítulo analisamos o ensino de poliedros segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais além de dar um panorama geral de como deve ser o ensino de poliedros nas Séries Iniciais, no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Por fim, no sétimo capítulo refletimos criticamente sobre algumas atividades que envolvem o ensino de poliedros apresentando sugestões e possíveis alterações na dinâmica de tais atividades para que haja um melhor aproveitamento deste conteúdo.

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9 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 07 I. A PRESENÇA DOS POLIEDROS NA SOCIEDADE, NA CIÊNCIA E NO ENSINO 1.1 Introdução A presença dos Poliedros na sociedade A presença dos Poliedros na ciência A Presença dos Poliedros na escola 14 II. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE POLIEDROS 2.1 Introdução Polígonos Definições de Poliedros Principais elementos geométricos de um Poliedro Exemplos de Poliedros Poliedros Regulares Poliedros Não Regulares 27 III. PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS CONVEXOS 3.1 As primeiras relações Duas desigualdades: 2A 3F e 2A 3V 33 IV. RELAÇÃO DE EULER 4.1 Breve histórico sobre a Relação de Euler Uma demonstração elementar da Relação de Euler A demonstração de Legendre para a Relação de Euler Alguns casos em que a fórmula de Euler não é válida 46 V. POLIEDROS DE PLATÃO 5.1 Breve histórico, definição e classificação dos Poliedros de Platão 51

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11 VI. O ENSINO DE POLIEDROS NO BRASIL 6.1 Breve histórico sobre o ensino de Geometria Espacial O ensino de Poliedros segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais O ensino de Poliedros nas Séries Iniciais O ensino de Poliedros no Ensino Fundamental O ensino de Poliedros no Ensino Médio 61 VII. ANÁLISE DE ALGUMAS ATIVIDADES SOBRE POLIEDROS 7.1 Introdução Uma atividade para as Séries Iniciais - O Cubo Soma Uma atividade para o Ensino Fundamental- Verificando a Relação 70 de Euler 7.4 Uma atividade para o Ensino Médio- Trabalhando com embalagens 74 VIII. CONSIDERAÇÕES FINAIS 77 IX. BIBLIOGRAFIA 79

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13 APRESENTAÇÃO Este trabalho faz parte da disciplina Trabalho de Conclusão de Curso B, da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar. O estudo dos Poliedros foi escolhido, pois eles contemplam o mundo que nos cerca e estão presentes em inúmeras atividades do homem, como nas construções arquitetônicas, nas artes e objetos artísticos, nas embalagens dos produtos, nas ciências naturais, etc. Outro fator relevante para escolha deste tema deve-se a importância do conteúdo Geométrico no currículo de Matemática para o ensino Fundamental e Médio. É através da Geometria Espacial que os estudantes organizam, descrevem e representam o mundo ao seu redor desprendendo-se dos objetos reais. Feita a apresentação gostaríamos de fazer alguns esclarecimentos sobre as figuras deste trabalho. Para confecção de grande parte dos poliedros aqui ilustrados foi utilizado o software online Uma Pletora de Poliedros, disponível em Outras figuras foram feitas com a utilização do software Mayura. As figuras retiradas da internet são de domínio público, isto permite a utilização livre da imagem e todas apresentam link disponível. 7

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15 CAPÍTULO I A PRESENÇA DOS POLIEDROS NA SOCIEDADE, NA CIÊNCIA E NO ENSINO 1.1 Introdução A busca por entender o mundo ao nosso redor, identificar a existência de objetos e figuras e as relações entre essas formas no espaço real faz da Geometria um objeto de conhecimento relevante e motivador. Em particular, a Geometria Espacial pode ser vista como uma ferramenta que descreve e exerce uma interação matemática com o mundo, por ser ao mesmo tempo intuitiva, concreta e ligada à realidade. O trabalho com a geometria tridimensional possibilita o desenvolvimento da criatividade, da percepção espacial e do raciocínio hipotético-dedutivo, além de ativar as estruturas mentais, possibilitando a passagem do estágio das operações concretas para o das operações abstratas, contribuindo desta maneira, para a formação de um cidadão com pensamento crítico e autônomo. Buscando ajudar no desenvolvimento desse cidadão, seja ele professor ou aluno, e compreendendo que o saber geométrico tem um papel emancipador, surgiu esta pesquisa cujo objetivo consiste em unir o estudo teórico-abstrato sobre poliedros com o saber escolar. Neste capítulo vamos explorar os sólidos geométricos, observando sua presença na sociedade e nas ciências e discutiremos a cerca da presença dos poliedros nas escolas. 1.2 A presença dos Poliedros na sociedade A Geometria faz parte do mundo que nos cerca, e os poliedros estão presentes em inúmeras atividades do homem: nas construções arquitetônicas, nas embalagens de produtos, nas artes e objetos artísticos. Destacaremos agora como algumas atividades humanas contemplam os conceitos geométricos para alcançar seus objetivos. 9

16 Arquitetura Arquitetura significa construção, e é a técnica ou arte de planejar e edificar o ambiente habitado por nós. É a organização estética e funcional do espaço e dos seus elementos físicos, e dispõe da criatividade na manipulação de materiais e locais através de conceitos científicos e matemáticos. No planejamento de um ambiente há, pelo arquiteto, uma preocupação com as formas que serão construídas. Algumas formas derivam de figuras geométricas simples como os polígonos regulares, já outras construções são caracterizadas por formas complexas como a dos poliedros, o que evidencia que este profissional convive frequentemente com a Geometria, mais especificamente com propriedades e conceitos geométricos. Por exemplo, a necessidade de aproveitar ao máximo a área de um terreno em Tóquio, levou o arquiteto Yasuhiro Yamashita a utilizar a sua percepção visual e seus conhecimentos geométricos sobre poliedros para projetar, em um terreno de 45m², uma casa em formato de poliedro cuja área total construída é de 86m² (Figura 1.1). Figura 1.1- casa em formato de poliedro (disponível em arquitetandonanet.blogspot.com.br) Podemos notar também outros exemplos de construções que utilizaram os poliedros como referência. Na Figura 1.2 à esquerda, temos o projeto Vila da Barca em Belém onde a Sehab/Uni Engenharia buscou se afastar da ideia de bloco de apartamentos padronizados. Suas unidades se articulam de modo a formar um conjunto de poliedros. Já na direita da Figura 1.2, temos a criação do arquiteto colombiano Manuel Villa cuja ideia foi criar um espaço relaxante para o jardim de uma família em Bogotá. 10

17 Figura 1.2- construções que utilizaram o formato de diversos poliedros como referência (disponíveis em cooperaativa.blogspot.com.br e ddimaf.wordpress.com) Embalagens A embalagem influencia a primeira impressão que o consumidor tem de um produto. As cores, os desenhos, as informações e o formato são pontos observados, às vezes, indiretamente durante a compra. É certo que um artigo com embalagem muito grande, muito pequena ou desajeitada não atrai o consumidor, pois a embalagem é o cartão de visita do produto. Sendo assim empresas, com o intuito de chamar a atenção do consumidor, investem em embalagens diferenciadas, a maioria delas em formato de poliedros, o que mais uma vez destaca a presença desses sólidos geométricos no nosso dia-a-dia. A seguir temos algumas figuras que representam embalagens no formato de poliedros. Figura exemplos de embalagens com formato de poliedros 11

18 Arte e objetos artísticos Desde a antiguidade os poliedros são relacionados ao mundo da arte. O ápice desta relação provavelmente se deu no Renascimento. Muitos artistas deste período histórico acreditavam que os poliedros eram modelos que os desafiavam a provar seus conhecimentos sobre perspectiva. Para outros, esses sólidos geométricos representavam ideias da filosofia e da religião. No diálogo platônico Timeu, em que o filósofo Platão apresenta sua teoria sobre a origem e formação do mundo, ele faz uma relação entre os cinco sólidos geometricos regulares e os elementos fogo, terra, ar, água e um sólido que representa o universo. À terra, elemento imóvel, Platão associou ao cubo, poliedro cujas faces são quadradros e por isso apresenta maior estabilidade. O tetraedro representa o fogo por ser pontiagudo e com arestas cortantes e como tem menor número de bases é um poliedro de pouca mobilidade. A instabilidade do octaedro faz o mesmo se relacionar com o ar. O icosaedro retrata a água por ser o elemento mais úmido, segundo os antigos. Por fim, o dodecaedro é o universo, a alma do mundo e está relacionado com os aspectos do zodíaco. Figura 1.4 da esquerda para direita temos, em ordem, o cubo, o tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Porém, para outros artistas e escultores, os poliedros eram uma inspiração devido a suas formas e simetrias, fontes de entusiasmo que compunham suas obras. Na Figura 1.5 abaixo temos a famosa Estrela de Mauritus Corneli Escher, artista reconhecido pelas suas obras de ilusão de ótica e com construções espaciais elaboradas onde a geometria se tranformava em arte e vice-versa. Na Figura 1.6 temos o sistema solar desenhado por Kepler no livro Misterium Cosmographium de 1596, onde podemos notar a presença dos poliedros em sua representação. Finalmente na Figura 1.7 temos o Retrato de Luca Pacioli feito por Jacopo de Barbari (século XV) simbolizando a ligação entre a arte e a Geometria Espacial. 12

19 Figura 1.5- Estrela Figura 1.6- Sistema solar Figura 1.7- Retrato de Luca Pacioli (disponíveis em A presença dos Poliedros na ciência A Geometria estuda as abstrações das formas, sendo assim qualquer ciência que investiga as formas também tem interesses em comum com esta parte da Matemática. Podemos exemplificar o uso da Geometria Espacial na Química. Três pesquisadores ganharam o prêmio Nobel em 1996 pela descoberta da geometria molecular do fulereno C 60 (Figura 1.8) constituído por átomos de carbono cuja forma é um icosaedro truncado. Na biologia, o vírus da poliomelite, dentre outros, (Figura 1.9) e as verrugas, tem a forma de um icosaedro. As células do tecido epitelial têm fomato de cubos e prismas. Figura 1.8- molécula de fulereno Figura 1.9- formato poliedrico de alguns vírus Na natureza encontramos ainda poliedros nos alvéolos que formam o favo de mel das abelhas. Estes alvéolos lembram prismas hexagonais que se encaixam 13

20 perfeitamente. Há também as formas naturais e minerais das pedras preciosas. Enfim, os exemplos de poliedros são inumeráveis e a presença dos mesmos no nosso cotidiano é constante, por isso é de extrema importância o estudo da Geometria Espacial, sobretudo os poliedros, aguçando nossa percepção entre as formas e a nossa visão tridimensional. 1.4 A presença dos Poliedros na escola O conteúdo geométrico é parte extremamente relevante do currículo de Matemática para as Séries Iniciais, Ensino Fundamental e Médio. É por meio dos conceitos da Geometria Espacial que os estudantes desenvolvem uma maneira especial de pensar capaz de lhes possibilitar compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo no qual habitam. O trabalho com tais conceitos auxilia na aprendizagem de medidas, espaço e forma através da observação, percepção de semelhanças, diferenças e identificação de regularidades. E mais, se o ensino de poliedros se der a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao estudante estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. As Orientações Curriculares para o Ensino de Matemática (BRASIL, 2006) apontam que as habilidades de visualização, desenho e argumentação lógica podem ser desenvolvidas com base em um trabalho adequado feito desde os primeiros anos de ensino, para que as crianças possam dispor das formas e suas propriedades geométricas para representar partes do mundo ao seu redor. Naturalmente nossa visão física normal é tridimensional, planificar os objetos é uma abstração da nossa mente e, por isso, nas redes de ensino é importante que primeiro ocorra a aprendizagem dos sólidos geométricos para que de forma natural e consciente as crianças, posteriormente, possam reduzir os objetos tridimensionais para formas bidimensionais. Por esses motivos o ensino de poliedros desde os anos iniciais até os anos finais da escolaridade torna-se tão importante e essencial para a formação de um indivíduo. 14

21 CAPÍTULO II DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE POLIEDROS 2.1 Introdução A palavra poliedro tem sido usada em diferentes épocas por diferentes pessoas com os mais variados significados. Não é raro que uma mesma pessoa use o mesmo termo com interpretações diferentes em momentos diferentes. Sem uma definição precisa, interpretações equivocadas (como, por exemplo, sobre a validade da Relação de Euler) podem aparecer. Segundo Grünbaum, (2003) os erros e descobertas sobre a existência dos poliedros se devem ao fato de estudiosos diferentes terem atribuído, cada um à sua maneira, uma definição diferente para esses sólidos geométricos. Ainda, conforme o mesmo autor (tradução livre): todos os resultados estão corretos, o que mudou é o significado do termo poliedro adotado pelos matemáticos. Enquanto pessoas diferentes interpretarem o conceito (de poliedro) de maneira diferente, sempre existirá a possiblidade de que resultados sejam verdadeiros sob uma interpretação e sejam falsos sobre outra interpretação. De fato, mesmo variações sutis na definição podem produzir mudanças significativas na validade dos resultados. (GRÜNBAUM, 2003, p. 462) Devido a estes fatos, apresentaremos algumas definições de poliedros conforme diversos autores e a partir de tais definições adotaremos uma que seja mais adequada para o desenvolvimento do nosso estudo. Antes disso é necessário definirmos o que é polígono e também o que é conjunto convexo, para, por último definirmos o que significa um polígono ser convexo, já que estes termos aparecem frequentemente nas definições de poliedros. 2.2 Polígonos Nesta seção apresentaremos algumas definições básicas sobre polígonos. Estas figuras têm inúmeras propriedades e aplicações por servirem de base para a construção e estudo de outras figuras geométricas complexas, tanto do plano quanto do espaço. 15

22 Definição 1. (Polígono) Consideremos uma sequência de n pontos A1, A2,..., A n de um plano, com n 3. Diremos que A, n A, 1 A 2 são consecutivos, assim como A, A, A,..., A, A, A, A, 1 A n 2 n 1 n n n, 1 A e A, n A 1 e A 2. Suponhamos que quaisquer três pontos consecutivos não são colineares. Chama-se polígono A 1 A 2 A 3... An 1 An à reunião dos segmentos A1 A2, A2 A3,..., An 1An segmentos A1 A2, A2 A3,..., An 1An suas extremidades. e n 1 e n 1 AA se estiver satisfeita a seguinte condição: os AA, se interceptam, quando o fazem, apenas em Figura Exemplos de polígonos à esquerda e de não polígonos à direita Considerando o polígono A1 A2 A3... An 1An, vamos adotar a seguinte nomenclatura. i) os pontos A1, A2, A3,... An 1, A, são chamados vértices do polígono; n ii) os segmentos A1 A2, A2 A3,..., An 1An, An A1 são chamados lados dos polígonos; iii) A1 An A1 A2, A2 A1 A2 A3,..., An An 1An A1 são denominados ângulos dos polígonos; iv) dois lados que têm um vértice em comum são lados consecutivos; v) dois ângulos de um polígono são consecutivos se têm em comum um lado do polígono. Notemos que um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. Uma noção importante sobre polígonos é a de convexidade, que é diferente de conjunto convexo. Enunciamos a seguir as duas definições. Definição 2. (Conjunto convexo) Um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido emc. 16

23 Definição 3. (Polígono convexo) Um polígono P A... 1A2 A3 An se diz convexo quando um dos dois semiplanos determinados por cada uma das retas A1 A2, A2 A3,..., An 1An, An A1 não contém pontos de P. Esclarecemos que neste trabalho vamos considerar que um semiplano não contém a reta que é sua origem. Se um polígono não é convexo, diremos que ele é um polígono não convexo. Na Figura 2.2 temos exemplos de um polígono convexo (à esquerda) e outro não convexo (à direita). Figura 2.2- polígono convexo à esquerda e polígono não convexo à direita Outro conceito importante sobre polígonos é o de regularidade. Temos a Definição 4. (Polígono regular) Um polígono convexo é dito um polígono regular quando tem todos os lados congruentes, ou seja, é equilátero, e tem todos os ângulos congruentes, isto é, é equiângulo. Notamos que, para nós, polígono é uma linha poligonal fechada sem auto interseções, ou seja, cada lado tem apenas um ponto em comum com o lado anterior e com o seguinte, mas não com os demais. Observamos que muitos autores usam a palavra polígono para designar a região do plano limitada por uma linha poligonal fechada sem auto interseções. Essa abordagem exige a constatação de que existe essa região, e que ela é limitada e tem outras propriedades que permitem definir sua área. Para mais detalhes confira o trabalho de Marques (2012). Os principais resultados são os seguintes: 17

24 Teorema 1. Um polígono P determina no plano dois conjuntos disjuntos P i e denominados respectivamente de interior e exterior de P, de modo que P i é limitado e o plano é a reunião de P, P i e P e. P e, Lembramos que uma região triangular é a reunião de um triângulo com o seu interior. Temos agora o Teorema 2. Dado um polígono P, o conjunto PUP i é a reunião de uma quantidade finita de regiões triangulares tais que: (i) cada lado do polígono é lado de uma dessas regiões triangulares; (ii) se duas dessas regiões triangulares se interceptam, a interseção é um lado ou um vértice das duas regiões triangulares. Com isso podemos fazer a seguinte definição: Definição 5. (Região poligonal) Seja P um polígono e seja P i seu interior. O conjunto PUP i chama-se região poligonal determinada por P. Com base nestas propriedades e definições básicas sobre polígonos podemos partir para o estudo dos poliedros. 2.3 Definições de Poliedros Vamos apresentar três definições de poliedros com o objetivo de mostrar que essa noção não é muito simples, e que se pode adotar uma ou outra definição dependendo dos objetivos que se quer atingir. Começaremos com algumas definições retiradas de livros didáticos do ensino básico para vermos que não é fácil elaborar uma definição adequada de poliedro com uma linguagem informal. a) Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos de modo que cada lado de um qualquer desses polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono. (DANTE, 2005) 18

25 b) Poliedros são sólidos cuja superfície é formada por partes planas. Esses sólidos não têm formas arredondadas. (DOMÊNICO, 19--) c) Toda figura geométrica de três dimensões, formada por polígonos é chamada de poliedro. (IMENES, 2006) Observamos dessas definições que apenas a formulação a) guarda uma coerência. As formulações b) e c) contém termos muito vagos, por exemplo, partes planas e figura de três dimensões. Por exemplo, a Figura 2.3 tem três dimensões, mas não condiz com a nossa noção básica de poliedro. Vemos assim que essas duas formulações permitem figuras que não nos interessam como poliedros. As figuras abaixo foram extraídas de Sá (2010). Figura 2.3- faces com lados parcialmente interceptados Figura 2.4- Cubos unidos por uma aresta Figura 2.5- pirâmides unidas por um vértice Figura 2.6- sólidos com infinitas regiões poligonais A formulação a) é melhor, pois evita casos como os das Figuras 2.4, 2.5 e 2.6. Essa formulação certamente pode ser usada num contexto informal, mas ela carece de detalhes importantes. Por exemplo, ela não evita que as faces de um cubo sejam repartidas em dois triângulos através de uma diagonal. Vejamos algumas definições que são mais adequadas para o nível de estudo que se pretende desenvolver no presente texto. A Definição 6 dada a seguir foi adaptada de Sá (2010): 19

26 Definição 6. (Poliedro) Poliedro é uma coleção finita de regiões poligonais planas nas seguintes condições: i) esta coleção forma um conjunto conexo, ou seja, duas quaisquer regiões poligonais estão unidas por uma cadeia de regiões poligonais da coleção; ii) cada lado de uma região poligonal é o lado de somente uma outra região poligonal; iii) as regiões poligonais que rodeiam um vértice formam um circuito simples, ou seja, se começarmos numa das regiões poligonais e passarmos de região poligonal em região poligonal desde que elas tenham um lado com esse vértice em comum, então conseguimos percorrer todas as regiões poligonais que rodeiam o vértice antes de voltarmos à região poligonal inicial; iv) regiões poligonais com um lado em comum pertencem a planos distintos. Com as condições impostas na Definição 6 podemos eliminar a existência de poliedros estranhos. Ao dizermos que um poliedro é uma coleção finita de regiões poligonais excluímos a possibilidade de objetos espaciais com infinitas regiões poligonais, como acontece na Figura 2.6. Por outro lado, a Figura 2.3 também esta eliminada devido a condição ii). A condição i) por sua vez, impede que o objeto da Figura 2.4 seja um poliedro. Conforme a condição iii), as regiões poligonais que rodeiam um vértice devem formar um circuito simples. Assim, se considerarmos o vértice que separa as duas pirâmides da Figura 2.5, notaremos que as regiões poligonais em torno deste vértice compõem dois circuitos independentes. Dessa forma esse objeto não é considerado um poliedro. Finalmente a condição iv) nos previne de, por exemplo, ter num poliedro uma face na forma de hexágono regular repartida em seis triângulos equiláteros. Cromwell (1997) adota uma definição bem parecida com a anterior. Transcrevemos abaixo uma formulação adaptada: Definição 7. (Poliedro) Poliedro é um conjunto finito de regiões poligonais planas no espaço com as seguintes propriedades: i) duas regiões poligonais se intersectam somente em seus lados ou vértices, e a interseção é exatamente um lado ou exatamente um vértice; ii) toda aresta é lado de exatamente duas regiões poligonais; 20

27 iii) iv) é possível ir de uma região poligonal qualquer a outra região poligonal do poliedro por um caminho totalmente contido no poliedro; fixado um vértice V qualquer e as regiões poligonais P,..., 1 P n que o atingem, é possível ir de P j a P k para quaisquer j e k ente 1 e n, passando apenas pelos polígonos P i, com i= 1,...,n, e sem passar pelo vértice V. Parece que esse autor se esqueceu de dizer que duas regiões poligonais que se intersectam estão em planos diferentes. Para o estudo que desenvolvemos nesta pesquisa adotamos a formulação abaixo para definição de poliedro. Essa definição é simples, concisa, adotada pela maioria dos autores e não permite grandes liberdades. Adaptamos essa formulação de Lima (2006). Definição 8. (Poliedro) Poliedro é uma reunião de um número finito de regiões poligonais planas chamadas faces que obedecem a: i) cada lado de uma dessas regiões poligonais é também lado de uma, e somente uma outra região poligonal, situada em um plano diferente do plano da primeira. Se duas regiões se interceptam, elas estão em planos diferentes. ii) A intersecção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice ou é vazia. iii) É sempre possível ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra, sem passar por nenhum vértice. O estudo das propriedades básicas dos poliedros segundo a Definição 8 é bastante extenso. Veremos aqui algumas poucas propriedades. Começamos lembrando o seguinte resultado da Geometria Euclidiana. Dado um plano, os pontos do espaço que não pertencem ao plano formam dois conjuntos tais que: i) cada um dos conjuntos é convexo; ii) se o ponto A pertence a um dos conjuntos e o ponto B ao outro, então o segmento AB intercepta o plano. Os dois conjuntos chamam-se semiespaços determinados pelo plano ou lados do plano, e esse plano chama-se origem de cada um dos conjuntos. 21

28 Um plano se diz suporte de um poliedro quando contém uma das faces do poliedro e se o poliedro não tem ponto em comum com um dos lados do plano. Neste texto adotaremos a seguinte definição de poliedro convexo. Definição 9. (Poliedro convexo) Dizemos que um poliedro é convexo quando cada um dos planos que contém qualquer uma de suas faces é um plano suporte do poliedro. É fácil desenhar exemplos de poliedros convexos: paralelepípedos, prismas cuja base são polígonos convexos, cubos, tetraedros, pirâmides cuja base são polígonos convexos, octaedro regular, etc. É fácil ainda desenhar poliedros convexos e retas não paralelas a nenhuma de suas faces e tais que: i) a reta não intercepta o poliedro; ii) a reta intercepta o poliedro em um único ponto; iii) a reta intercepta o poliedro em exatamente dois pontos. O resultado da Proposição abaixo é usado por alguns autores como definição de poliedro convexo. Para nós é apenas uma consequência da definição. Proposição 1. Dado um poliedro convexo, qualquer reta não paralela a qualquer uma de suas faces o intercepta em, no máximo, dois pontos. Demonstração: Procederemos por redução ao absurdo. Suponhamos que exista um poliedro convexo P e uma reta r, não paralela a qualquer uma de suas faces, e que r intercepta P em três pontos, digamos A- B- C, nesta ordem. O ponto B pertence a, pelo menos, uma face de P, e essa face determina um plano. Assim r intercepta em B e r não é paralela a. Dessa forma o conjunto BA B está em um dos semiespaços determinados por e o conjunto BC B no outro. Assim o poliedro P tem pontos nos dois lados de, o que contraria o fato de ser um plano suporte de P. Portanto vale a afirmação da Proposição 1 e a demonstração está encerrada. está Em geral, um poliedro, convexo ou não, reparte o espaço em dois conjuntos, um deles denominado interior do poliedro. Se chamarmos o poliedro de P, seu interior de 22

29 P i e o outro conjunto de P, então o espaço é a reunião disjunta P Pi Pe. Os e conjuntos P i e P e são conexos por caminhos, isto é se os pontos A e B estão em um mesmo conjunto, existe uma linha poligonal ligando A a B inteiramente contida no conjunto. Por outro lado, se A Pi e e menos um ponto. Dessa forma P separa os conjuntos P i e P e. B P, o segmento AB intercepta P em pelo Vamos demonstrar esse resultado para poliedros convexos. Proposição 2. Seja P um poliedro convexo. Então os pontos do espaço que não pertencem a P formam dois conjuntos disjuntos P i e P e tais que P i é convexo. Demonstração: Sejam F1, F2,..., F n as faces de P, e 1, 2,..., n os planos que as contêm. Seja L j o lado de j que contém pontos de P. Definimos P i n j 1 L j. Como cada L j é convexo e como a interseção de conjuntos convexos é convexa segue que P i é convexo, e assim vale a afirmação. Definimos agora P e como o complementar de Pi P. Isto termina a demonstração. Muitos autores chamam de poliedro o conjunto Pi P, isto é, incluem na definição de poliedro o seu interior. Mas não demonstram, e nem mesmo definem, o que é interior e suas propriedades. Vejamos agora o que é diagonal de um poliedro. Definição 10. (Diagonal de um poliedro) Chamamos de diagonal do poliedro a qualquer segmento que une dois vértices quaisquer de um poliedro, desde que esses vértices não pertençam à mesma face. Temos então a Proposição 3. Se P é um poliedro convexo, então qualquer diagonal tem seu interior contido no interior do poliedro. Demonstração: Seja VT uma diagonal de P. Queremos provar que VT V T sendo P i o interior de P.,, Pi 23

30 Vamos inicialmente introduzir algumas notações. Sejam F1, F2,..., F m as faces de P, j o plano que contém F j e L j o lado de que contém pontos de P. Algumas dessas faces contêm o vértice V, digamos que sejam F1, F2,..., F l. Por definição de diagonal T Fj para todo 1 j l, de modo que,1 VT V L j l. j j Notamos agora que V L para todo l 1 j m, e, como o conjunto L j é j aberto em 3, assim como as interseções dos L j, l 1 j m, existe P VT, com P T e P V, tal que VP L, l 1 j m. j Em resumo, existe P VT com P T e P V, tal que VP { V} Lj,1 j m ou VP { V} Pi. Por simetria, existe Q VT, com Q V e Q T, tal que TQ {} T Pi. Podemos supor V-P-Q-T, isto é os pontos P e Q estão em VT na ordem V-P-Q-T. Agora, como P i é convexo, vem PQ Isso termina a demonstração. VT V T P. Pi. Daí {, } i Observamos que a propriedade da Proposição 3 é usada, por alguns autores, como caracterização de poliedro convexo. Para nós é uma consequência de nossa definição. 2.4 Principais elementos geométricos de um Poliedro Os poliedros são sólidos que apresentam alguns elementos geométricos em sua constituição, tais como face, aresta, vértice, diagonais e ângulos. Caracterizaremos aqui cada um desses elementos. i) Faces: cada região poligonal é chamada face de um poliedro. ii) Arestas: são os lados das regiões poligonais que definem o poliedro. Uma aresta é sempre lado comum entre duas faces. iii) Vértices: pontos onde as arestas das regiões poligonais se encontram. iv) Diagonais: são segmentos, diferentes das arestas, que ligam vértices não pertencentes a uma mesma face. 24

31 2.5 Exemplos de Poliedros Nesta seção descrevemos alguns tipos de poliedros e apresentamos exemplos de cada tipo. Lembramos que o foco deste trabalho diz respeito aos poliedros regulares, definidos logo a seguir. Entretanto vemos também exemplos de poliedros não regulares a título de informação e ilustração. Os poliedros regulares são os poliedros convexos, também denominados de Poliedros de Platão, e os não convexos, chamados de Poliedros de Kepler-Poinsot. Já os poliedros não regulares estão subdivididos em Poliedros de Arquimedes, Poliedros de Catalán, Prismas, Antiprismas e Pirâmides POLIEDROS REGULARES Começamos com a definição de poliedro regular. Definição 11. (Poliedro regular) Um poliedro se diz regular quando todas as suas faces são regiões poligonais regulares congruentes e quando todos os seus vértices são do mesmo tipo, isto é, a cada vértice concorre a mesma quantidade de arestas. Conforme comentamos um poliedro regular convexo costuma ser chamado de Poliedro de Platão. Provaremos no Capítulo 5, p. 51, que são apenas cinco os poliedros regulares convexos. Esses poliedros são denominados tetraedro, hexaedro ou cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Vemos a seguir um desenho de cada um. As figuras abaixo foram retiradas de Figura 2.8- tetraedro Figura 2.9- cubo Figura octaedro 25

32 Figura dodecaedro Figura icosaedro Uma forma de obter novos poliedros é, dado um poliedro convexo, unir os pontos centrais das faces adjacentes. Fazendo isso para os poliedros de Platão observamos que não aparece nenhum poliedro novo. Assim, o dual de um poliedro de Platão ainda é um poliedro de Platão. Vemos nas figuras a seguir cada poliedro de Platão com o seu dual (figuras retiradas de Figura tetraedo Figura octaedro Figura hexaedro Figura icosaedro Figura dodecaedro Vamos apresentar agora figuras dos chamados poliedros de Kepler-Poinsot. Conforme comentamos acima são poliedros regulares não convexos. Existem quatro desses poliedros. Dois deles, o grande dodecaedro e o grande icosaedro, são obtidos a 26

33 partir do dodecaedro e do icosaedro, respectivamente, fazendo com que o ponto central de cada face se aproxime do centro do poliedro. Os outros dois, o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado, são exemplos de poliedros não convexos. As figuras estão apresentadas a seguir e foram retiradas de Figura grande dodecaedro Figura grande icosaedro Figura pequeno dodecaedro estrelado Figura grande dodecaedro estrelado POLIEDROS NÃO REGULARES Poliedros não regulares são todos aqueles que não se classificam como regulares. Apresentaremos a seguir alguns tipos de poliedros não regulares: Poliedros de Arquimedes, Poliedros de Catalán, Prismas, Antiprismas e Pirâmides. Os Poliedros Arquimedianos são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de pelo menos dois tipos diferentes, e todos os seus vértices são do mesmo tipo, isto é, há o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Existem apenas treze poliedros de Arquimedes. Desse total, onze são obtidos a partir do truncamento dos sólidos platônicos e dois são obtidos por snubificação. A snubificação é uma operação que consiste em afastar todas as faces do poliedro, rodar as mesmas de um certo ângulo, normalmente 45º, e preencher os espaços vazios resultantes com triângulos. Truncar um poliedro consiste em fazer cortes parciais e simétricos nos seus vértices ou arestas de modo que após o corte as seções formadas sejam polígonos. 27

34 Vejamos abaixo os Poliedros de Arquimedes. Essas figuras foram obtidas de Figura tetraedro Figura cuboctaedro Figura octaedro truncado truncado Figura cubo truncado Figura pequeno Figura grande rombicuboctaedro rombicuboctaedro Figura cubo Figura icosidodecaedro Figura icosaedro snub truncado Figura dodecaedro Figura pequeno Figura grande truncado rombicosidodecaedro rombicosidodecaedro Figura dodecaedro snub 28

35 Eugène Charles Catalán, em 1865, estabeleceu uma nova família de poliedros que consiste nos sólidos duais obtidos a partir dos Poliedros Arquimedianos. As faces desses sólidos não são regulares. Existem treze Poliedros de Catalán. Essas figuras foram retiradas de Figura tetraedro Figura dodecaedro Figura hexaedro triakis rômbico triakis Figura octaedro Figura icositetraedro Figura dodecaedro triakis deltoidal disdiakis Figura icositetraedro Figura triacontaedro Figura dodecaedro pentagonal rômbico pentakis Figura 2.44-icosaedro Figura hexecontaedro Figura triacontaedro triakis deltoidal didiakis 29

36 Figura hexecontaedro pentagonal Um prisma é um poliedro convexo formado por duas faces, denominadas bases, que são polígonos convexos congruentes em dois planos paralelos e dispostos de modo que seus lados sejam paralelos. As outras faces são chamadas faces laterais e são compostas por paralelogramos. Um prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases e as faces laterais são retangulares. Um prisma oblíquo possui arestas oblíquas aos planos das bases e suas faces são paralelogramos. Um prisma cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. As bases de um prisma determinam seu nome. Por exemplo, se as bases forem triangulares, dizse que o prisma é triangular, se as bases forem pentágonos diz-se que o prisma é pentagonal. Existem inúmeros tipos de prismas retos e oblíquos que variam de acordo com as características da base. Abaixo apresentamos apenas dois cujas figuras foram retiradas de Figura prisma regular de base hexagonal Figura Prisma obliquo de base triangular No antiprisma os lados das bases não são paralelos. Em um antiprisma as bases são interligadas apenas por polígonos triangulares, denominados faces laterais. É o número de lados presentes nos polígonos das bases que determinam o nome do antiprisma. Existem inúmeros antiprismas, e abaixo temos dois exemplos. O da esquerda, cuja base é um pentágono regular, chamamos de antiprisma regular de base pentagonal e o da direita chamado antiprisma regular de base eneagonal. (Figuras obtidas de ) 30

37 Figura antiprisma regular de base pentagonal Figura antiprisma regular de base eneagonal Se considerarmos um plano, um polígono de n lados contido neste plano e um ponto V localizado fora dele, chamamos de pirâmide à reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade nos vértices do polígono e outra extremidade no ponto V. Tal ponto V é o vértice da pirâmide, e o polígono situado no plano é a base da pirâmide. Podemos descrever dois tipos de pirâmides. A pirâmide reta se caracteriza por ter faces laterais formadas por triângulos congruentes e a projeção do vértice desta pirâmide sobre a base coincide com o centro geométrico da base. A pirâmide obliqua é aquela em que os triângulos das faces laterais não são congruentes e a projeção do vértice na base da pirâmide não é o centro geométrico da base. Assim como nos outros exemplos, existe uma infinidade de pirâmides e a nomenclatura das mesmas é dada de acordo com o número de lados que o polígono da base possui. Figura pirâmide reta quadrangular Figura pirâmide obliqua de base octogonal 31

38 32

39 CAPÍTULO III PROPRIEDADES ELEMENTARES DE POLIEDROS 3.1 As primeiras relações Com base nas definições de poliedro e conhecendo os seus elementos, podemos agora estudar algumas relações presentes nestes sólidos. Inicialmente vamos convencionar que em um poliedro, A representará o número de arestas, F o número de faces e V a quantidade de vértices. Como as faces dos poliedros podem ser polígonos diferentes, denotaremos por F n o número de faces que possuem n lados, n 3, pois cada face deve ter no mínimo três lados. De maneira análoga, V n representará o número de vértices onde concorrem n arestas sendo n 3, devido a cada vértice ser ponto comum de três ou mais arestas. E como cada aresta é comum a exatamente duas faces, podemos escrever: 2 A 3F3 4F4 5 F5... nfn (I) Podemos também observar os vértices dos poliedros e contar suas arestas. Em cada vértice podemos enumerar as arestas que concorrem nele e se somarmos os resultados também obteremos o dobro no número de arestas, porque cada aresta terá sido contada duas vezes: em um extremo e no outro. Assim, 2A 3V 3 4 V4... nvn (II) 3.2 Duas desigualdades: 2A 3Fe 2A 3V Das primeiras relações entre os elementos de um poliedro podemos deduzir duas desigualdades (i) 2A 3F e (ii) 2A 3V. Justifiquemos (i). 2 A 3 F 4 F 5 F A 3 ( F F F... ) F 2 F A 3 F F 2 F A 3F 33

40 Atentemo-nos para o fato de que a igualdade só vale se F4 = F5 =... = 0, isto é, se o poliedro for constituído apenas de faces triangulares. Justifiquemos (ii). 2 A 3 V 4 V 5 V A 3 ( V V V... ) V 2 V A 3 V V 2 V 2 A 3V 4 5 Em (ii) a igualdade só ocorre se em todos os vértices concorrerem três arestas. 34

41 CAPÍTULO IV RELAÇÃO DE EULER 4.1 Breve histórico sobre a Relação de Euler Os poliedros são conhecidos desde a antiguidade, mas até meados do Século XVIII nenhum estudioso havia identificado qualquer relação de natureza combinatória nesses sólidos, ou seja, ainda não haviam descoberto uma relação matemática que envolvesse apenas a disposição relativa dos elementos de um poliedro (vértices, faces e arestas) e a contagem dos mesmos, sem considerar medidas geométricas, como comprimentos e áreas. Foi por volta de 1750 que Leonhard Euler ( ) enunciou sua relação, acreditando em sua veracidade, embora não a tenha provado neste período. Mesmo assim apresentou-a para outros estudiosos da época. Ao longo dos anos, tanto Euler, quanto outros matemáticos, dentre eles, Legendre, Cauchy e Poincaré apresentaram demonstrações da veracidade de tal relação, porém atualmente sabemos que algumas tentativas continham falhas que foram corrigidas com o passar do tempo. A Relação de Euler consiste no fato de que todo poliedro convexo, com A arestas, F faces e V vértices tem característica de Euler igual a 2, isto é, o número V A F é chamado também de característica de Euler, assim para poliedros convexos temos V A F 2. Apresentamos neste capítulo duas demonstrações da Relação de Euler. 4.2 Uma demonstração elementar da Relação de Euler Neste tópico apresentamos uma demonstração elementar da Relação de Euler, que pode ser compreendida por estudantes do Ensino Médio. Esclarecemos que esta demonstração usa alguns procedimentos matemáticos que são apenas indicativos e feitos sem o rigor de uma verdadeira demonstração matemática, pois aqui o nosso intuito é apresentar uma dedução da Relação de Euler que possa ser entendida por alunos da escola básica. 35

42 No desenvolvimento da mesma utilizaremos um recurso que nos auxiliará a transferir o cálculo da relação de Euler do poliedro para a sua planificação, após a retirada de uma de suas faces. Ao analisar os dados obtidos através desta demonstração veremos que será possível estender a fórmula para outros poliedros. Usaremos um sólido bastante presente no nosso dia-a-dia, o cubo, mas alertamos que este procedimento é análogo se utilizarmos qualquer outro poliedro convexo. Também chamamos atenção para o fato de que esta demonstração é muito útil devido ao seu fácil entendimento e por isso, o objetivo de sua apresentação é, além de evidenciar uma maneira adequada e dinâmica de introduzirmos o estudo desta relação para alunos do ensino médio, fazer com que os estudantes visualizem faces, vértices e arestas de um poliedro qualquer, projetado sobre uma superfície plana, após uma deformação do poliedro. Tal demonstração foi baseada em Barros (2011). Vamos a ela. Antes de a iniciarmos de fato, devemos realizar alguns procedimentos. 1) Encape um poliedro qualquer, no nosso caso um cubo, com um balão de borracha de modo que o sólido não fure o balão e que o balão fique bem ajustado ao sólido, sem bolhas de ar. 2) Marque no balão todas as arestas e vértices do poliedro que está encapado. 3) Retire o poliedro de dentro do balão. Quando encapamos o poliedro, o orifício do balão cobria uma das faces. Retiremos então a parte do balão que cobria esta face do poliedro cortando esta superfície do balão com uma tesoura bem rente às arestas e vértices desta face, de modo que as marcas dos vértices e arestas não sejam retiradas. 4) Após este recorte, devemos esticar a superfície restante do balão sobre uma folha grossa que deve estar apoiada sobre uma superfície plana. Prenda o balão na folha grossa com alfinetes, um em cada vértice da face que foi removida. Através das etapas de 1 a 4 descritas anteriormente, foi possível obter uma região plana, que é limitada pela linha poligonal formada pelas arestas e vértices da face retirada. A região que obtemos é formada em seu interior por polígonos resultantes da deformação das outras faces do poliedro original. No nosso caso, obtivemos a deformação do cubo, após a retirada de uma de suas faces seguido da planificação do restante do poliedro, tais procedimentos estão exemplificados pela Figura 4.1 que foi baseada em Barros (2011) assim como todas as outras ilustrações desta demonstração. 36

43 Figura 4.1- processo de planificação do cubo após a retirada de uma de suas faces Se quisermos deduzir a relação de Euler para qualquer outro poliedro, basta agirmos de maneira semelhante à descrita acima, ou seja, basta retirarmos uma das faces do poliedro escolhido e deformarmos o que restou formando uma região poligonal plana. O próximo passo é mostrar que se a região plana obtida tem V vértices, A arestas e F faces ela estará satisfazendo a relação de Euler, e a característica dessa região deverá ser 1, pois o poliedro, que tem característica de Euler igual a 2, tem uma face a mais do que a região que foi gerada por ele. Podemos perceber agora que nosso estudo sobre a característica do poliedro foi transferido para o plano. Figura 4.2- Processo de retirada de uma aresta da região poliédrica projetada no plano Notamos (Figura 4.2) que ao retirarmos uma aresta da região que foi projetada no plano, duas faces adjacentes passam a formar apenas uma região. Desta maneira a nova região passa a ter uma face e uma aresta a menos que a região original projetada, porém, continua com o mesmo número de vértices. Sendo assim a relação de Euler fica V ( A 1) ( F 1) V A F 37

44 Ou seja, o número de Euler da relação original é mantido. Há casos em que, ao removermos uma aresta há a eliminação de uma das faces adjacentes. Quando isto ocorrer haverá a diminuição de uma aresta e de uma face, mas o número de vértices continua o mesmo assim como a característica de Euler. Figura 4.3- Desaparecimento de uma face devido a remoção de uma aresta Avançando em nossa dedução da relação de Euler, seguimos a procura de arestas que sejam comuns a mais de uma região poligonal da figura. Ao eliminarmos esta aresta procurada, pode ocorrer o surgimento de uma aresta solta, isto é, uma aresta que já não determina um limite entre regiões adjacentes e que tenha um vértice que não é comum a mais nenhuma outra aresta, tal como acontece na terceira imagem da Figura 4.4. Figura 4.4 Processo de eliminação de uma aresta comum a mais de uma região poligonal onde a última imagem da direita mostra a presença de uma aresta solta Notamos que a retirada de uma aresta que provocou o surgimento de uma aresta solta, tal como mostra a sequência da figura acima, não alterou o número de vértices, mas diminuiu em uma unidade a quantidade de arestas e faces. Com isto a Relação de Euler para esta nova configuração ainda é: V A F V A F Toda vez que houver o aparecimento de uma ou mais arestas soltas, o passo seguinte será eliminar arestas deste tipo. A Figura 4.5 ilustra este procedimento. 38

45 Figura 4.5 Processo de eliminação de uma aresta solta Mais uma vez, a retirada de uma aresta solta não altera o número de faces, mas desta vez diminui em uma unidade o número de arestas e de vértices. O vértice retirado é aquele que não é comum a duas arestas adjacentes, sendo extremidade apenas da aresta retirada (Figura 4.6). A relação de Euler para esta nova configuração resultante é V 1 A 1 F V A F Figura 4.6 Processo de desaparecimento de uma face devido a retirada das arestas Em alguns casos, após a remoção de uma aresta uma face pode desaparecer completamente e ainda pode permanecer uma aresta solta (imagem central da Figura 4.6). Mesmo assim, recalculando a característica de Euler, observaremos que ele não se altera, pois não houve a retirada de nenhum vértice da figura: V A F V A F Por fim, após a retirada de uma determinada aresta, obteremos uma configuração formada por apenas uma região delimitada por uma linha poligonal fechada, sem subdivisões e sem arestas soltas. Esta região tem apenas uma face e o número de arestas é igual ao número de vértices. Assim, para esta configuração final (última imagem da Figura 4.7) a característica de Euler será dada por: 39

46 V A F V V 1 1 Figura 4.7 Processo de surgimento de uma região poligonal fechada sem subdivisões Como esse número também é o número de Euler da configuração original, então a nossa demonstração da relação de Euler está concluída. Estas etapas para a dedução da relação de Euler são válidas para qualquer poliedro convexo, se executarmos uma sequência de retirada de arestas. Essa retirada deve obedecer a retirada das arestas soltas, sempre que elas ocorrerem e, caso contrário devem ser retiradas as arestas comuns a mais de uma região poligonal até obtermos uma única região poligonal sem subdivisões internas e sem arestas soltas. Em cada etapa o número de Euler não se altera e ao final conclui-se que este número é sempre igual a A demonstração de Legendre para a Relação de Euler Adrien Marie Legendre ( ) foi um famoso matemático francês que desenvolveu importantes trabalhos na área de geometria assim como em outras áreas da matemática. Uma das mais reconhecidas obras deste estudioso é o livro Élements de Géometrie que devido a sua importância foi traduzido para o inglês, alemão, italiano, romeno e português. O texto de Geometria de Legendre auxiliou o desenvolvimento do estudo de vários matemáticos como Gauss, Abel e Galois, dentre outros. Suas obras costumavam ser escritas de maneira clara, simples e com extrema originalidade. Mas, de todo o trabalho desenvolvido por Legendre, o que nos interessa é a sua demonstração sobre a relação de Euler para poliedros convexos. Foi a primeira demonstração inteligível desta relação a ser publicada. A redação apresentada aqui é baseada em Lima (1984). 40

47 Seja P um poliedro convexo, com V vértices, A arestas e F faces. Por conveniência, supomos que as faces de P são triângulos. (Se isto não for verdade, por meio de diagonais decomporemos cada face em triângulos, sem alterar o número V A+F. Com efeito, cada vez que traçamos uma diagonal numa face, o número V não se altera, enquanto cada um dos números A e F aumentam de uma unidade, esses aumentos se cancelam na expressão V A+F). Consideremos uma esfera E, de raio r, cujo centro O é um ponto situado no interior do poliedro P. Projetando radialmente o poliedro P sobre a esfera E, obtemos uma decomposição de E em triângulos esféricos, dispostos de modo semelhante à situação das faces de P. Em particular, a esfera E fica recoberta por F triângulos esféricos, com um total de A lados e V vértices. Figura 4.8- O ponto x da esfera E é a projeção radial do ponto X do poliedro P. Figura 4.9- O triângulo esférico t, sobre a esfera E, é a projeção radial do triângulo T. Esclareçamos que uma figura sobre a esfera E chama-se um triângulo esférico quando seus três lados são arcos de círculos máximos (todos menores do que uma semcircunferência). Note que a interseção E L de uma esfera E com qualquer plano L que a encontre, é um círculo (ou um ponto, no caso excepcional em que o plano L é tangente à esfera). Quando o plano L passa pelo centro da esfera E, a interseção E L é chama-se um círculo máximo. A projeção radial de um segmento de reta AB é um arco de círculo máximo AB sobre a esfera E (salvo no caso em que A, B e o centro O da 41

48 esfera estão na mesma reta). Com efeito, A, B e O determinam um plano, que corta a esfera segundo um círculo máximo do qual AB é um arco. Figura 4.10 Quando dois arcos de círculos máximos têm uma extremidade comum, o ângulo formado por esses arcos é, por definição, o ângulo entre as semi-retas tangentes a esses arcos. Figura 4.11 O geômetra francês Albert Girard demonstrou (em 1629) que se os ângulos, e de um triângulo esférico forem medidos em radianos, a soma é dada por a 2 r onde a é a área do triângulo e r é o raio da esfera. Esta fórmula é o fato básico no qual se fundamentou Legendre para demonstrar o Teorema de Euler. Após o término desta demonstração, provaremos a fórmula de Girard. Agora vamos mostrar como o Teorema de Euler resulta dela, de forma simples e elegante. Voltemos à nossa decomposição da esfera E em F triângulos esféricos, com um total de A lados e V vértices. Para cada um desses triângulos t, vale a fórmula de Girard s a r 2 t t, onde t s é a soma dos ângulos e a t é a área do triângulo esférico t. Temos ao todo F igualdades como esta acima. Somando-as todas vem: 42

49 at st F Ora, 2 t 2. r s V porque a soma dos ângulos em torno de cada. vértice é igual a 2. Além disso, a igualdade acima se escreve 2 a 4 r = área da superfície esférica E. Portanto t 2 V F 4 r r 2 2. Simplificando, temos 2V=F+4, isto é: 2V F = 4 (I) Para obter uma relação entre F (número de triângulos esféricos) e A (número total de lados desses triângulos), observamos que todo triângulo tem 3 lados, e toda aresta é lado de 2 triângulos, logo 3F = 2A, ou seja: F = 2A 2F. Substituindo F por este valor na igualdade (I), vem 2V 2A + 2F = 4, donde que é a relação de Euler. V A + F = 2. Vamos provar agora a relação de Girard. Seja E uma esfera de centro O e raio r, a qual permanecerá fixa no decorrer desta seção. Um fuso é uma região da esfera compreendida entre dois círculos máximos. Esses círculos têm dois pontos (diametralmente opostos) em comum, chamados os vértices do fuso. O ângulo do fuso é, por definição, o ângulo entre os dois círculos máximos que constituem os lados do fuso. Figura Um fuso de ângulo 43

50 Um fuso de ângulo é um hemisfério (cuja área é 2 2 r ). Um fuso de ângulo ocupa 1 2 da esfera, de modo que sua área é r. De um modo geral a área 2 4 de um fuso é proporcional ao seu ângulo. Assim sendo, se o ângulo do fuso mede radianos, a área desse fuso é igual a 2 2 r. Dado um ponto qualquer x na esfera, seu antípoda x é, por definição, o único ponto da esfera tal que o segmento de reta xx contém o centro O. Dado um fuso na esfera, o conjunto formado pelos antípodas dos pontos de é ainda um fuso, chamado o fuso antípoda de. A reunião ' chama-se um fuso completo. Figura Um fuso completo Teorema: Seja um fuso completo, cujo ângulo mede radianos. Qualquer plano que passe pelo centro da esfera a decompõe em dois hemisférios H e H. As partes R, R do fuso completo contidas em cada um desses hemisférios têm a mesma área 2 2 r. Figura A região hachurada é a parte de um fuso completo contida num hemisfério 2 arbitrário. Sua área é 2 r. Demonstração: Consideremos a função f : E E, que transforma cada ponto x E em seu antípoda f(x) = x. Esta função tem as seguintes propriedades: i) se x é um ponto do hemisfério H, seu antípoda x = f(x) pertence ao hemisfério oposto H ; 44

51 ii) iii) se x é um ponto do fuso completo, seu antípoda x = f(x) ainda pertence a ; dada qualquer região R na esfera, a região antípoda R = f (R), formada pelos pontos antípodas dos pontos de R, tem a mesma área que R. Portanto, se chamarmos de R a parte do fuso completo situada no hemisfério H, veremos que sua região antípoda R é a parte de situada no hemisfério H e que 2 área de = (área de R) + (área de R ) = 2.(área de R), logo área de R = 2 r. Agora podemos demonstrar o teorema de Girard. Teorema: Se e, são os ângulos internos de um triângulo esférico, medidos em a radianos, então, onde a é a área desse triângulo. 2 r Demonstração: Consideremos um hemisfério H que contenha o triângulo dado. Prolongando, nos dois sentidos, os lados que formam o ângulo a, até encontrarem o bordo do hemisfério H, obtemos uma região R H, cuja área mede 2 2 r, de acordo com o teorema anterior. Figura a parte hachurada é a região R Fazendo o mesmo com os ângulos e, obtemos regiões R e R, cujas áreas medem respectivamente 2 2.r e 2 2.r. A reunião dessas 3 regiões é o hemisfério H, com o triângulo dado contado três vezes (duas vezes mais do que devia). Segue-se que a soma das áreas das regiões R, R e R é igual à área do hemisfério H mais duas vezes 45

52 a área a do triângulo dado, isto é, r r r r a, pois a área de H é 2 2 r. A fórmula de Girard nos mostra que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é sempre superior a dois ângulos retos. 4.4 Alguns casos em que a Relação de Euler não é valida Ao mesmo tempo em que Cauchy desenvolveu sua demonstração para a Relação de Euler, o matemático suíço Simon Antoine Jean L Huilier ( ), professor de matemática da Academia de Geneva, encontrou três tipos excepcionais de poliedros, ou seja, poliedros que falham à relação de Euler. Apresentaremos estes casos, mas evidenciamos que neste trabalho, devido à definição adotada por nós, tais liberdades já foram excluídas. A primeira exceção pode ocorrer quando dois poliedros são unidos para formar outro, por exemplo, quando um cubo pequeno é colocado no topo de um maior (Figura 4.16). Se o cubo pequeno é colocado de forma que nenhuma de suas arestas se encontre com as arestas do cubo grande, então o novo poliedro terá onze faces: cinco do cubo pequeno e seis do cubo grande. Todos os vértices e arestas dos cubos constituintes também são vértices e arestas do novo poliedro. Assim, para este poliedro V-A+F= =3. Sólidos deste tipo podem ser encontrados na natureza na forma de cristais. L Huilier teve contato com estes tipos de sólidos através de um amigo que lhe permitiu estudar sua coleção de minerais. Um tipo semelhante a essa exceção ocorre se é feito um buraco no centro de uma das faces. Um tijolo de construção (Figura 4.17) é um tipo comum deste sólido e satisfaz a relação V-A+F=3. Na verdade, a soma V-A+F pode ser tão grande quanto se deseje. L Huilier exemplifica com uma torre formada de prismas empilhados. Se existem n prismas empilhados na torre, então o sólido formado obedecerá a relação V-A+F= n+1. A origem desta discrepância é a mesma para todos estes poliedros que não obedecem à Relação de Euler, pois eles contêm faces que possuem duas bordas separadas como exemplifica a Figura

53 Figura cubos empilhados Figura poliedro com buraco em uma das faces, semelhante a um tijolo de construção Figura torre de prismas que apresentam bordas separadas L Huilier também descobriu que a relação V-A+F pode ser tão pequena quanto se queira, não só chegando a zero, mas pode ser negativa. Um exemplo citado por ele é o seguinte: se cortarmos um prisma por um plano paralelo a sua base e desenharmos um polígono na secção plana que se encontra no interior do prisma e cujos lados são paralelos aos lados do prisma, então podemos adicionar trapézios entre as bases do prisma e o polígono interno (Figura 4.19). Para este poliedro V-A+F=0. Outros exemplos que apresentam a mesma relação entre V, A e F podem ser construídos através da formação de túneis no poliedro, este tipo de poliedro é conhecido como toro. Desta vez, as discrepâncias surgem devido aos túneis que atravessam o poliedro. Se forem feitos n túneis em um sólido, então este sólido irá satisfazer V-A+F =2(1-n). Figura prisma cortado por um plano paralelo a sua base e novamente ligado a base por trapézios Um terceiro tipo de exceção acontece quando o poliedro tem cavidades internas. Tais sólidos são encontrados na natureza e ocorrem quando um cristal encapsula-se 47

54 dentro de outro. Por exemplo, os cristais de chumbo às vezes são encontrados encapsulados dentro de cristais translúcidos de fluoreto de cálcio. A parte translúcida deste cristal é um exemplo de sólido com uma cavidade. Se um sólido contém n cavidades internas, então, V-A+F=2(1+n). Os diferentes tipos de exceção que não obedecem a formula de Euler onde V-A +F=2 podem ser reunidos em uma única relação. Se B denota o número de faces que possuem duas bordas separadas, T o número de túneis, e C o número de cavidades em um poliedro, então, V-A+F=2+B-2T+2C. Além de destacar algumas exceções à fórmula de Euler, L'Huilier também construiu uma demonstração de tal fórmula que vale para poliedros convexos. Ele fez isso imaginando um vértice no centro de um poliedro original e depois decompondo este sólido em pirâmides, cada uma com seu ápice no vértice adicionado ao centro do poliedro original e uma face do poliedro original como base da pirâmide (Figura 4.20). Em seguida, ele mostrou que a fórmula é válida para as pirâmides e ainda é válida quando as pirâmides são coladas umas às outras para formar o poliedro original. Figura decomposição de um poliedro em pirâmides Em 1830 mais contraexemplos à Relação de Euler foram registrados pelo mineralogista Johann Friedrich Christian Hessel. Ele encontrou dois outros tipos de exceção que não têm túneis, não tem cavidades e nem faces anulares, e ainda assim não conseguem satisfazer a relação. Um exemplo é o sólido formado pela união do ápice de duas pirâmides, formando algo parecido a uma ampulheta (Figura 4.21). 48

55 Figura duas pirâmides unidas pelos seu vértices São vários os casos onde a Relação de Euler não é valida, e por isso a necessidade e o cuidado em estabelecermos uma definição precisa do que, neste trabalho, consideramos como poliedro. Obedecendo à Relação de Euler temos alguns poliedros que são bastante conhecidos e estudados, inclusive no Ensino Fundamental, são os Poliedros de Platão, sobre os quais discutiremos a seguir. 49

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57 CAPÍTULO V POLIEDROS DE PLATÃO 5.1 Breve histórico, definição e classificação dos Poliedros de Platão Os poliedros despertam o interesse de estudiosos desde a antiguidade. Segundo Boyer (1996) foi encontrado no papiro Rhind alguns registros feitos pelos egípcios sobre o cálculo de área e volume de um tronco de pirâmide. Porém, foi através de Platão e seus seguidores que estes sólidos ganharam atenção especial. Platão nasceu em Atenas e durante sua juventude conheceu desde a África até a Itália. Foi através destas viagens que entrou em contato com os estudos de Pitágoras e aos quase quarenta anos decidiu ir para Magna Grécia entender mais de perto os princípios deste matemático. Ao retornar para Atenas decidiu dedicar-se a filosofia fundando a famosa Academia que logo foi tomada tanto pela presença de inúmeros jovens que estavam em busca de instruções, quanto de senhores ilustres a fim de discutir suas ideias matemáticas e filosóficas. Platão permaneceu no comando desta Academia desde sua fundação até a sua morte e mesmo sem Platão ela perdurou por mais oito séculos. Embora o contato e a forte influência dos estudos pitagóricos, o lema da Academia de Platão era Não entre aqui ninguém que não seja geômetra enquanto os seguidores de Pitágoras enfatizavam Tudo são números. Sobre os poliedros, Platão e seus seguidores foram os responsáveis por concluir que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Por esses sólidos terem sido intensamente estudados por Platão e pelos demais membros da Academia, eles ficaram conhecidos como poliedros de Platão. Porém, segundo Eves (2004) a descoberta desses sólidos não se deve a este matemático, [...] três deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro se devem a Teeteto (EVES, 2004, p.14 ). Timeu é um tratado teórico escrito por Platão em meados de 360 a. C. na forma de um diálogo socrático e apresenta especulações sobre a natureza do mundo físico. Nesta obra Platão misticamente associou quatro dos cinco sólidos regulares a elementos 51

58 da natureza: fogo, ar, água e terra e o quinto sólido ele associou ao universo. Uma explicação mais detalhada sobre esta associação pode ser encontrada em Eves (2004): Johann Kepler ( ), mestre da astronomia, matemático e numerologista, deu uma explicação engenhosa para as associações do Timeu. Intuitivamente ele assumiu que, desses sólidos, o tetraedro abarca o menor volume para a sua superfície, ao passo que o icosaedro o maior. Agora, essas relações volume superfície são qualidades de secura e umidade, respectivamente, e como fogo é o mais seco dos quatro elementos e a água o mais úmido, o tetraedro deve representar o fogo e o icosaedro a água. Associa-se o cubo com a terra porque o cubo, assentando quadradamente sobre uma de suas faces, tenha maior estabilidade. O octaedro, seguro frouxamente por dois de seus vértices opostos, entre o indicador e o polegar, facilmente rodopia, tendo a estabilidade do ar. Finalmente, associa-se o dodecaedro com o Universo porque o dodecaedro tem 12 faces e o zodíaco tem 12 seções. (EVES, 2004, p.114) Os cinco poliedros regulares serviram de inspiração para Kepler estudar o movimento de planetas conhecidos como Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio. Em sua sobra "The Cosmographic Mystery" ele utilizou os poliedros regulares para explicar as distâncias relativas dos planetas ao sol. A análise de tais sólidos é de grande importância, pois muitos resultados da matemática são subprodutos do estudo dessas figuras. Feito este breve histórico sobre os poliedros de Platão, podemos agora defini-los. Um poliedro é considerado de Platão se é i) regular; ii) convexo; iii) têm o mesmo número de lados em todas as faces; iv) e em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas Com base nesta definição, podemos provar que existem cinco e somente cinco Poliedros de Platão, também chamados de poliedros regulares convexos. Teorema: Existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Demonstração: Para demonstrar a existência de apenas cinco poliedros regulares convexos, vamos denotar por n o número de lados de cada face e por p o número de arestas que concorrem em cada vértice. Segundo a relação apresentada no Capítulo III, cada aresta é comum a exatamente duas faces, por isso temos 2A = nf, ou ainda: 52

59 nf A (I) 2 Também podemos enumerar, em cada vértice, as arestas que concorrem nele, e se somarmos os resultados obteremos o dobro no número de arestas, porque cada aresta pv terá sido contada duas vezes: em um extremo e no outro, por isso 2A=pV ou A. 2 Ainda podemos escrever 2A=nF=pV e daí que:. nf V (II) p Substituindo I e II na Relação de Euler dada por V-A+F=2, obtemos nf nf F p 2 4 p F 2p 2n pn 2 Devemos ter 2p+2n-pn>0, ou seja, 2n n 2 p Como p 3, chegamos a n<6, ou ainda 3 n 6, pois cada face deve ter, no mínimo, três lados. Então temos os seguintes casos: 4 p Caso1: n 3 F então podemos ter p=3, p= 4 e p=5. 6 p a) Se p=3 temos F=4, e o poliedro regular convexo de quatro faces é o tetraedro. b) Se p=4 temos F= 8, e o poliedro regular convexo de oito faces é o octaedro. c) Se p= 5 temos F= 20, e o poliedro regular convexo de vinte faces é i icosaedro. 2 p Caso 2: Se n 4 F, temos p=3, então F= 6 e o poliedro regular convexo de 4 p seis faces é o cubo. 53

60 Caso 3: Se 4 p n 5 F, temos p=3, então F=12 e o poliedro regular convexo 10 3p de doze faces é o dodecaedro e terminamos a demonstração. A seguir a ilustração dos cinco sólidos de Platão. As figuras foram retiradas de tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro Figura 5.1- os cinco sólidos de Platão 54

61 CAPÍTULO VI O ENSINO DE POLIEDROS NO BRASIL 6.1 Breve histórico sobre o ensino da Geometria Espacial no Brasil O ensino de Geometria Espacial surge no currículo escolar de nosso país a partir de Como evidencia Muller e Nehring (2006, p.1), antes desse período, a Geometria, Álgebra, Aritmética e Trigonometria eram disciplinas isoladas e tratadas de modo fragmentado nos cursos primário e secundário. Ainda segundo as autoras, o ensino de Geometria Espacial era focado de modo mais cuidadoso nos cursos profissionalizantes de artilharia, nos quais se permitiam aplicações específicas. Euclides de Medeiros Guimarães Roxo, por sua vez, trouxe grande contribuição às discussões sobre o ensino da Matemática no Brasil, quando, em atuação como professor no colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, criou um currículo de Matemática que uniu os diversos campos, até então fragmentados, da Matemática. A criação do Ministério da Educação e Saúde ocorre em 1930 e a partir dele, inclusive com ajuda de Euclides Roxo, desencadeia-se a reforma Francisco Campos, com uma nova estruturação de proposta curricular do ensino. Um fato marcante na história da Educação Matemática do século XX, que impactou profundamente o ensino de Geometria no Brasil e que, segundo Meneses (2007), acentuou as dificuldades no ensino de Geometria, foi o Movimento da Matemática Moderna, que centrava o estudo da matemática a partir da teoria dos conjuntos. No Brasil isso significou um abandono bastante significativo do ensino de geometria e uma defasagem na formação dos professores: Esse abandono, percebido principalmente durante os anos de 1960 a 1990, também se refletiu nos cursos de graduação de professores e nos cursos de magistério, pois esses cursos não tinham preocupação e nem um currículo voltado ao ensino de geometria, fato esse que foi responsável pela geração de inúmeros professores órfãos dessa formação e, consequentemente, sem a consciência da importância da aprendizagem desse conteúdo (MENESES, 2007, p.3). Esses são apenas alguns fragmentos de história, para que possamos ter ideia do quão delicado é avançar no sentido de garantir um ensino de matemática que contemple todas as áreas dessa disciplina e ainda desafiar todos os limites históricos do sistema educacional. 55

62 Frente a esses aspectos, o aluno que ingressa no sistema educacional brasileiro pode ter como herança características de alguns ou de todos esses instantes vividos pelo ensino de Matemática e principalmente da Geometria Espacial. Assim os reflexos históricos permeiam as salas de aulas contribuindo para a ausência da reflexão pessoal dos profissionais que reproduzem inconscientemente o que receberam. 6.2 O ensino de Poliedros segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais O enfoque dado à Geometria pelos Parâmetros Curriculares Nacionais evidencia sua contribuição para o desenvolvimento da abstração e do raciocínio dedutivo. Costa, Bermejo e Moraes (2009) reforçam essa ideia quando expressam: O estudo da Geometria Espacial é de suma importância para o desenvolvimento da capacidade de abstração, resolução de problemas práticos do quotidiano, estimar e comparar resultados, reconhecer propriedades das formas geométricas (COSTA, BERMEJO E MORAES, 2009, p.1). No que tange ao estudo dos poliedros os alunos têm possibilidade de ampliar sua capacidade de imaginação, pois nem tudo está visível em primeiro plano. No caso de um cubo, por exemplo, há arestas que ficam escondidas quando se faz o seu desenho. Também há necessidade de noções de projeção quando se pensa na altura de uma pirâmide, cujo cálculo não se faz através de uma aplicação simples e direta do Teorema de Pitágoras. Nem sempre, nas escolas, o corpo docente e a equipe supervisora conseguem transformar as instruções presentes nos parâmetros em situações concretas. Há sempre uma dificuldade de fazer com que as pesquisas educacionais atinjam as salas de aula. As razões para isso são diversas; entre elas, a carga horária excessiva de trabalho, a falta de incentivo por parte dos gestores e a falta de motivação, em consequência de um sistema educacional que nem sempre ocupa patamares de prioridade. Como afirmam Costa, Bermejo e Moraes (2009), as salas de aula ainda não retratam novos tempos no que tange ao ensino de poliedros. (...) ao nos depararmos com a realidade em sala de aula, no ensino de Geometria Espacial, observamos que os discentes estão presos a fórmulas e em sua maioria não conseguem relacionar conceitos, identificar os elementos 56

63 do sólido ou ainda estabelecer relação entre dois sólidos, isto se deve muitas vezes a deficiências de conceitos básicos da Geometria Plana e mesmo da Geometria Espacial (COSTA; BERMEJO; MORAES, 2009, p.2). Situar o estudo da Geometria como um conteúdo de difícil compreensão vai ao encontro do pensamento de Vidaletti (2009) de que os alunos terminam o Ensino Médio sem ter uma base nesse conteúdo. Ao definir o enfoque de sua pesquisa, a autora pontua: A escolha em trabalhar com Geometria Espacial advém da constatação de que os alunos não aprendem esse conteúdo da forma como deveriam, chegando ao final do Ensino Médio sem ter tido a oportunidade de construir o seu conhecimento (VIDALETTI, 2009, p.14). Para a pesquisadora, uma aprendizagem significativa dos conceitos referentes a Geometria Espacial, em especial sobre a aprendizagem de poliedros, deve permitir uma ligação entre os conhecimentos que os alunos já têm e o que desejam adquirir: Aprender significa interiorizar ações e mudar comportamentos por meio de participação ativa dos educandos no processo de ensino-aprendizagem. Um estudo significativo, por exemplo, a respeito da Geometria Espacial, deve partir dos conhecimentos prévios, trazidos pelos alunos, nos anos anteriores, em disciplinas diferentes da Matemática. No entanto, nem sempre a postura pedagógica dos professores é condizente com esta exigência, especialmente porque a constatação de que os educandos têm muitas dificuldades, especialmente em relação à visualização da terceira dimensão das formas geométricas espaciais se transforma em certeza e nem sempre é trabalhada como deveria ser (VIDALETTI, 2009, p.13). De maneira específica, conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, o estudo de Geometria Espacial, área da matemática onde se situa o ensino de poliedros, deve ocorrer efetivamente nas séries iniciais (do 1º ao 5º ano, também chamadas de 1º ciclo). Os conteúdos devem ser apresentados por meio de procedimentos simples e experimentais, de maneira a possibilitar o desenvolvimento de atitudes positivas frente à Matemática. Por exemplo, a manipulação de objetos tridimensionais, o reconhecimento desses objetos no dia-a-dia através de caixas de embalagens, formato de casas e prédios, reconhecimento dos poliedros em obras de arte, montagem e desmontagem de embalagens como caixas de bombom, pasta de dente e, etc. Assim, mesmo que de maneira informal, objetiva-se que as crianças reconheçam os poliedros no espaço real onde está, de fato, inserido. Para que isso se efetive, não há um caminho único a ser seguido. O planejamento do professor deve respeitar e contemplar as especificidades de cada grupo, 57

64 mas os objetivos de aprendizagem devem sempre se constituir como um norteador do trabalho docente. Assim, nas atividades geométricas realizadas no primeiro ciclo, é importante estimular os alunos a progredir na capacidade de estabelecer pontos de referência em seu entorno, a situar-se no espaço, deslocar-se nele, dando e recebendo instruções, compreendendo termos como esquerda, direita, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás, perto, para descrever a posição, construindo itinerários. Também é importante que observem semelhanças e diferenças entre formas tridimensionais e bidimensionais, figuras planas e não planas, que construam e representem objetos de diferentes formas. (BRASIL, 1997, p.49) Em outras palavras, o trabalho com geometria no primeiro ciclo visa desenvolver, nos educandos, a capacidade de localizar-se e de localizar objetos no espaço, utilizando referências e conceitos aprendidos. Os conteúdos conceituais e procedimentais devem ser ensinados sem o uso obrigatório da nomenclatura (BRASIL, 1997, p.51). Já a proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o segundo ciclo, Ensino Fundamental (do 5º ao 9º ano) é de que haja uma continuidade do trabalho realizado no ciclo anterior, obedecendo aos mesmos princípios norteadores. Há, nesse ciclo, a proposição de um aprofundamento dos conteúdos trabalhados, levando-se em consideração as mudanças cognitivas pelas quais os educandos passam. Eles começam a estabelecer relações de causalidade, o que os estimula a buscar a explicação das coisas (porquês) e as finalidades (para que servem). O pensamento ganha maior flexibilidade, o que lhes possibilita perceber transformações. A reversibilidade do pensamento permite a observação de que alguns elementos dos objetos e das situações permanecem e outros se transformam. Desse modo, passam a descobrir regularidades e propriedades numéricas, geométricas e métricas. (...) (BRASIL, 1997, p. 55) Ainda assim, as generalizações são elementares e ligadas à observação e à experimentação, sem se preocupar com formalizações rigorosas. Embora a capacidade de abstração já esteja em processo de desenvolvimento, a ação do aluno ainda é baseada naquilo que é observável. Nesse momento, a valorização da interação entre os alunos começa a se evidenciar e devem ser reconhecidas como meios para que os educandos cheguem às representações convencionais. No Ensino Médio, os Parâmetros Curriculares Nacionais orientam que os alunos sejam capazes de resolver problemas que envolvam poliedros, tanto em Matemática 58

65 quanto em outras áreas do conhecimento, é importante que o aluno tenha a capacidade de visualização, de compreensão e representação de formas geométricas, além de habilidades de quantificar comprimentos, áreas e volumes. Ainda de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais ao concluir o Ensino Médio os alunos devem compreender propriedades de posição de objetos geométricos, relações entre figuras espaciais e planas, propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais, analisar diferentes representações de figuras espaciais e planas, conhecer um sistema dedutivo seus teoremas e demonstrações. Dado este panorama geral, destacamos que durante toda a vida escolar, o objetivo principal do ensino de poliedros conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais, é que, ao final do ensino básico, o aluno desprenda-se dos objetos reais para fazer transformações mentais. O aluno deve ter a oportunidade de criar e representar, formalmente, objetos geométricos com precisão. 6.3 O ensino de Poliedros nas Séries Iniciais O estudo dos sólidos geométricos e de figuras planas logo nos anos iniciais é primordial para o início do desenvolvimento da abstração do pensamento. Podemos relacionar as formas tridimensionais e bidimensionais através da planificação dos objetos. Todo poliedro pode ser apresentado na forma de figura plana, que possui como característica principal facilitar o reconhecimento e numeração de vértices, arestas e faces do sólido. Com isso a criança pode se habituar a reconhecer figuras espaciais existentes além de adquirir informações para futuramente concretizar os conceitos que envolvem os poliedros. Embora esse contato seja importante, no inicio da vida escolar a familiarização com os objetos tridimensionais e suas respectivas planificações não requer um ensino rigoroso e a apresentação formal das características e propriedades de tais sólidos pode ser feita intuitivamente. Mas, nos anos iniciais, mesmo de maneira simples, a proposta deve ir além da manipulação de sólidos e da observação de figuras, a fim de acabar de vez com o rompimento que existe entre a aprendizagem de representações planas e de sólidos tridimensionais, como se ambos não estivessem presentes simultaneamente na vida da criança. 59

66 Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais Estudos sobre a construção do espaço pela criança destacam que a construção espacial se inicia muito cedo [...] É multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço em que vive que a criança aprenderá a construir uma rede de conhecimentos relativos à localização, à orientação, que lhe permitirá penetrar no domínio da representação dos objetos e, assim distanciar-se do espaço sensorial ou físico. É o aspecto experimental que colocará em relação esses dois espaços: o sensível e o geométrico. De um lado, a experimentação permite agir, antecipar, ver, explicar o que se passa no espaço sensível, e, de outro, possibilita o trabalho sobre as representações dos objetos do espaço geométrico, e, assim, desprender-se da manipulação dos objetos reais para raciocinar sobre as representações mentais. (BRASIL, 1997, p ) Assim, o ensino de poliedros nas séries iniciais deve ser implementado em uma prática que priorize não apenas a observação e manipulação de sólidos geométricos, mas também a descrição e reconhecimento destes objetos e seus elementos. Ressaltamos que esta temática, pouco usual em aulas das Séries Iniciais, é de extrema importância para o desenvolvimento da abstração e do pensamento geométrico da criança. Por isso, é natural que este estudo se inicie através das figuras tridimensionais, que permeiam o mundo em que vivemos para que depois, de forma natural e consciente, haja a abstração para o plano com o ensino de figuras planas, reta, ponto e assim todo o desenvolvimento da geometria plana. 6.4 O ensino de Poliedros no Ensino Fundamental Do ponto de vista Matemático, o trabalho com a Geometria no Ensino Fundamental (6º ao 9º ano), em especial com os Poliedros é considerado importante por muitos educadores. O Daffer (1980) e Post (1981) apontam a Geometria como o ramo da Matemática mais adequado ao desenvolvimento de capacidades intelectuais como a percepção espacial, a criatividade e o raciocínio hipotético-dedutivo. Davis e Hersh (1985) lembram que, por muito tempo, a Geometria foi considerada o campo ideal para o desenvolvimento desse tipo de raciocínio, e o estudo de poliedros propicia ao estudante um treino básico para ele. É importante salientar que durante o Ensino Fundamental os Parâmetros Curriculares orientam que a abordagem da Geometria Espacial seja feita através da 60

67 aplicação de problemas do cotidiano, os alunos não podem conviver com atividades escolares que versam apenas a solução de problemas externos ao seu mundo. Para alunos desta faixa etária, o ensino de poliedros deve ser desvinculado da necessidade de aprender tal conteúdo para a futura utilização no Ensino Médio ou Superior. Outra vertente a ser seguida é que no Ensino Fundamental os tópicos sobre poliedros sejam relacionado com outros tópicos de outras disciplinas e também dentro da própria Matemática. Por exemplo, o pensamento geométrico associado ao algébrico permite abstrações e generalizações em nível mais profundo do que o aritmético desenvolvido especialmente nos primeiros anos de escolaridade, constituindo um marco importante no desenvolvimento do Ensino Fundamental. O pensamento geométrico utilizado no estudo dos poliedros, durante o Ensino Fundamental, está ligado ao desenvolvimento da capacidade de abstração e representação do espaço. 6.5 O ensino de Poliedros no Ensino Médio O estudo da Geometria Espacial no Ensino Médio tem por finalidade relacionarse com os demais conteúdos estudados no currículo de Matemática, e também de outras disciplinas. O aluno, ao final desta fase do ensino, deve ter uma visão ampla do que é e onde podem ser aplicados seus conhecimentos sobre poliedros e as transformações mentais que o estudo deste conteúdo exige. Uma estrutura de Ensino Médio que trate do ensino de poliedros poderá ser base para o estudo da Geometria Analítica, em que o aluno toma conhecimento de que todas as formas possuem fundamento e estruturação matemática. É nesse período da vida escolar que muitos estudantes optam por uma profissão. Embora alguns desses alunos não se tornem matemáticos, muitas profissões contemplam o estudo de poliedros, como é o caso dos cursos de Engenharia, Propaganda e Marketing, Arquitetura, Química, Artes, Moda, Design, dentre outros. A Engenharia, Arquitetura e Design, por exemplo, utilizam modelos tridimensionais em formas de maquetes para que o aluno do Ensino Superior possa melhorar suas condições de visualização espacial de maneira a associar mais rapidamente os conteúdos teóricos com a realidade. Na Química o formato poliédrico de alguns vírus interfere em seu comportamento. Nas Artes e Moda a beleza proveniente na simetria e proporção dos poliedros é explorada. 61

68 Sendo assim, percebemos que o Ensino Médio muitas vezes se caracteriza como base para o Ensino Superior, por isso é necessário que o Ensino Médio, trate da Geometria com devida importância, através de planejamentos que proporcionem uma aprendizagem significativa deste conteúdo, para que no futuro o aluno consiga aumentar a sua compreensão sobre o espaço que está ao seu redor através de experiências concretas. Acredita-se que ainda hoje possa existir uma aprendizagem, no que se refere aos poliedros, puramente cultural. Esta aprendizagem consiste apenas na obtenção dos nomes e propriedades dos objetos geométricos. Neste sentido, falta por parte do ensino, um maior estudo e incentivo, para o aluno adquirir o domínio do objeto e suas relações com o espaço. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio tem-se que a Geometria Espacial deve proporcionar ao aluno a leitura e a interpretação do espaço, que está a sua volta. Esse documento deixa claro que (...) as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas, podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 1999, p.64) Uma maneira bastante conhecida e que resulta em um bom desempenho por parte dos alunos quando o assunto tratado é poliedros, é o trabalho com situaçõesproblemas. Trata-se da aprendizagem concebida de maneira que os alunos não possam resolver a questão por simples repetição ou aplicação de conhecimentos ou competências adquiridas, e sim pela necessidade de formular novas hipóteses. É necessário induzir motivação, curiosidade por um problema, um desafio por uma pergunta. O aluno, no entanto, deve saber que essa é uma situação na qual está prevista a construção do seu conhecimento e que se aplica à sua realidade. A estrutura das tarefas e atividades de ensino aplicadas ao Ensino Médio deve permitir a cada aluno efetuar as operações mentais necessárias para atingir o objetivo da aprendizagem. O ensino de poliedros no Ensino Médio está associado ao estudo das propriedades relacionadas à posição das formas e às medidas, possibilitando maneiras de pensar a Geometria: pela identificação das propriedades e pela quantificação de áreas, volumes e comprimentos. Podemos entender esse ensino como o desenvolvimento do raciocínio espacial, baseado no conjunto de processos que permitem construir representações mentais dos objetos geométricos e suas propriedades. 62

69 Em um estudo sobre o pensamento geométrico, Hoffer (1981), citado por Smole (2008), afirma que: o pensamento geométrico está associado à aquisição de determinadas habilidades geométricas, dentre as quais destaca cinco: visuais, verbais, de desenho, lógicas e aplicadas. (HOFFER, 1981, p.45). As habilidades visuais são ligadas à capacidade de ler desenhos e esquemas, discriminar formas e visualizar propriedades nelas contidas. As verbais relacionam-se ao saber expressar percepções, elaborar e discutir argumentos, justificativas e definições, empregar o vocabulário geométrico dentre outros. As habilidades de desenho envolvem a expressão de ideias por meio de desenhos e a utilização de régua, compasso, esquadro, transferidor e programas gráficos de computador. Já as habilidades lógicas ocupam-se da capacidade de analisar e reconhecer argumentos, dar contra-exemplos, compreender e elaborar demonstrações. Por fim as habilidades aplicadas que envolvem a capacidade de observar a geometria no mundo físico, apreciar e reconhecer a geometria em diferentes áreas. Por isso, no decorrer do Ensino Médio, é dever do professor trabalhar com situações problemas e atividades de ensino que estimulem a criação de hipóteses e também o conhecimento das nomenclaturas e fórmulas envolvidas no ensino de poliedros. Mas, devemos ressaltar que as atividades aplicadas não devem ter o objetivo de apenas fazer com que os alunos memorizem nomes e fórmulas específicas deste conteúdo. É com este intuito, que apresentamos, no próximo capitulo, algumas atividades sobre poliedros que foram desenvolvidas e aplicadas em sala de aula. Também demos nossa contribuição, através de comentários, críticas e sugestões de como potencializar uma atividade que trate do ensino de poliedros para que a mesma realmente contribua para o desenvolvimento da visão espacial e concretização dos conceitos fundamentais sobre poliedros. 63

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71 CAPÍTULO VII ANÁLISE DE ALGUMAS ATIVIDADES SOBRE POLIEDROS 7.1 Introdução Neste capítulo analisaremos algumas atividades que contemplam o ensino da Geometria Espacial, especificamente que tratam dos poliedros, de um modo geral. Optamos por escolher três atividades. Uma para as Séries Iniciais, uma para o Ensino Fundamental e por último uma para o Ensino Médio. Esta escolha tem o objetivo de enfatizar a ideia de que o estudo dos poliedros pode e deve ocorrer em qualquer fase da vida escolar, cabendo ao professor determinar o que vai explorar deste conteúdo de acordo com o nível de ensino no qual o aluno se encontra. Destacamos que todas as atividades que serão comentadas e analisadas adiante foram aplicadas e, portanto já testadas em sala de aula. Todas estão disponíveis na bibliografia deste trabalho. Nossa intenção com esta análise é pontuar alguns aspectos das atividades e sugerir alterações, pois desta forma esperamos contribuir no planejamento das ações de professores quando o assunto abordado é o ensino de poliedros. 7.2 Uma atividade para as Séries Iniciais - O Cubo Soma O Cubo Soma é um quebra cabeça que possui sete peças diferentes, chamadas de policubos. Todas essas peças são constituídas de cubos menores e o objetivo é unir todos os policubos formando um cubo maior de lado com três unidades de medida. Na Figura 7.1 à esquerda, temos a representação das sete peças do Cubo Soma e à direita o cubo montado. 65

72 Figura 7.1 Cubo Soma Segundo Rodrigues, Almeida e Menezes o Cubo Soma...é um experimento matemático desenvolvido em 1936, pelo poeta, filósofo, inventor e matemático dinamarquês Piet Hein. Trata-se de um quebra cabeça formado por sete peças, onde todas as peças unidas formam um cubo maior, como também, as peças podem ser reunidas de formas variadas originando outras figuras geométricas tridimensionais [...]. É uma ferramenta que auxilia o processo de ensino e aprendizagem da matemática, principalmente na Geometria não se limitando a mesma. Com a Soma Cubo podemos trabalhar conteúdos referentes a: área, volume, formas e analise combinatória, explorando seus conceitos e propriedades.(rodrigues, ALMEIDA E MENEZES 2008, p.2) A atividade que aqui será analisada é de Passos e Nacarato (2003). A proposta da atividade é que o aluno das Séries Iniciais, após entrar em contato por meio da manipulação das peças do Cubo Soma, escreva uma carta a um amigo. O enunciado da atividade é o seguinte: Imagine que você tenha um amigo, que também esta na 4ª série, e que ele mora em Jaguariúna. Ele tem uma caixa de cubos plásticos, todos do mesmo tamanho. Você gostaria que ele construísse as seguintes formas (mostrando-lhes o conjunto de peças do Cubo Soma). Prepare uma mensagem para ele de modo que ele possa construir essas formas. Você poderá dar explicações usando palavras ou desenhos, como desejar. Espera-se com esta atividade, que o aluno, mesmo sem a noção exata de perspectiva e profundidade, e usando a criatividade e linguagem, dê as instruções corretas sobre a quantidade de cubos utilizados para montar cada peça e a disposição 66

73 desses mesmos cubos para formar os policubos presentes no Cubo Soma. Abaixo segue a atividade de um dos alunos que participou desta experiência. Para estas crianças as peças do Cubo Soma foram intituladas de A, B, C, D, E, F e G. 67

74 Figura 7.2- Resposta da atividade do Cubo Soma (imagem retirada de Passos e Nacarato (2003)) Quando olhamos esta atividade é natural nos assustarmos com a clareza dos desenhos feitos por uma criança do 5º ano (4ª série). Mas por quê? Porque somos induzidos a pensar que nas Séries Iniciais os alunos ainda não tem visão tridimensional, ou por acharmos que tal conteúdo é inapropriado para a idade, ou até mesmo que as crianças são incapazes de fazê-la. Isto leva os professores, muitas vezes, a tratar o conteúdo geométrico a partir da geometria plana esquecendo-se que os objetos 68

75 tridimensionais estão presentes no dia-a-dia dos alunos e por isso é natural representalos. A geometria plana, com a ideia de ponto, reta, plano e até mesmo com a planificação dos sólidos, pode ser tratada posteriormente. A abstração do tridimensional para o bidimensional acontece de maneira natural, pois é tridimensionalmente que a criança percebe o mundo ao seu redor. Trabalhados adequadamente nos primeiros anos de ensino, os sólidos geométricos contribuem para o aprimoramento da visão espacial, permitindo ao aluno compreender, descrever e representar as formas presentes no seu cotidiano de maneira organizada solidificando assim alguns conceitos relativos a espaço e forma. Em relação a possíveis alterações e sugestões na dinâmica da atividade, acreditamos que uma alternativa seria, primeiramente, que os alunos, em grupo, construíssem com cartolinas todas as formas policúbicas, ou seja, eles confeccionariam inicialmente cubinhos separados, desenhando a planificação do cubo, recortando, dobrando e colando a cartolina. Através da observação das peças do Cubo Soma, os próprios alunos, já com os cubinhos prontos, produziriam os policubos e em seguida o desafio seria montar o Cubo Soma. Essa sugestão visa estimular a participação, envolvimento e discussão dos alunos em um trabalho em grupo. Neste momento o professor poderia introduzir, mesmo que informalmente, os conceitos de vértice, face e aresta fazendo algumas conexões deste conteúdo com o dia-a-dia, enfatizando as formas poliédricas presentes no mundo que nos cerca. Outra sugestão é que durante a confecção das peças, o professor estimule o reconhecimento das figuras planas presentes em algumas formas espaciais, explorando a geometria tridimensional de forma divertida e prazerosa. Após esta etapa, com a montagem do Cubo Soma pretende-se explorar, a percepção espacial, o planejamento de estratégias para a montagem e a composição e decomposição de sólidos geométricos. Alguns questionamentos também poderiam ser feitos a fim de que os alunos manipulem e descubram algumas propriedades: Quais peças são formadas por três cubos? É possível formar peças diferentes utilizando apenas três cubos? Usando quatro cubos é possível construir outras peças além das do Cubo Soma? Quantos cubos 69

76 pequenos formaram o cubo maior? Qual peça tem maior volume? (moção intuitiva) Essas figuras são planas ou tridimensionais? Qual o nome dessas figuras? Só então, depois desta abordagem, é que pediríamos aos alunos que escrevessem uma carta para algum colega, instruindo não só para que o colega monte as peças do Cubo Soma, mas também dando instruções de como montar o Cubo Soma. Acreditamos que essas alterações qualificam ainda mais a atividade incialmente proposta, proporcionando maior exploração do Cubo Soma e permitindo a construção do conhecimento matemático no que tange o ensino de poliedros e seus desdobramentos. 7.3 Uma atividade para o Ensino Fundamental - Verificando a Relação de Euler A Relação de Euler, V+F=A+2, já discutida no Capítulo IV, p. 35 deste trabalho, é tema de muitas atividades. Na maioria dos casos, o objetivo principal resume-se a induzir os alunos a descobrir esta relação através da montagem de uma tabela. Para isso o professor apresenta os cinco sólidos de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) para os quais a relação é válida, sugere a montagem de uma tabela onde consta o nome do sólido geométrico e as quantidades de vértices, faces e arestas e, a partir destas informações, os alunos devem chegar à conclusão de que há uma relação entre essas quantidades e tal relação é V+F =A+2. É exatamente isto que encontramos na atividade Um novo olhar para o Teorema de Euler proposta por Gandulfo e Oliveira (2010). Ao analisarmos este tipo de atividade, percebemos que os alunos são induzidos a chegar à Relação de Euler, o professor orienta para que se faça a soma V+F=A+2 e por isso há a percepção da regularidade, que nestes casos não ocorre de maneira intuitiva. Ao procurar em anais de congressos de educação matemática, mais especificamente nos anais do Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) que ocorreram nos anos 2001, 2004, 2007 e 2010 encontramos cerca de 10 trabalhos que trataram da Relação de Euler e a maioria deles, 8, abordaram esta relação de maneira igual ou semelhante a descrita acima. Os outros dois consistiam em demonstrações para esta relação. 70

77 O ENEM é o maior evento organizado pela SBEM (Sociedade Brasileira de Educação Matemática), tendo como foco o professor que ensina Matemática. Constituise em um espaço privilegiado para o intercâmbio entre professores e pesquisadores, de modo que os avanços no campo científico se disseminem nas salas de aulas, bem como as experiências dos professores são compartilhadas pela comunidade científica e escolar. Devido à importância deste evento e a semelhança encontrada nos trabalhos que tratam da Relação de Euler, apresentaremos algumas sugestões para a atividade Um novo olhar para o Teorema de Euler e para as demais atividades que, assim como esta, procuram intencionar os alunos à descoberta da Relação de Euler. É fato que a maioria dos programas atuais tem recomendado mais atenção à geometria tridimensional. Entretanto trabalhar Geometria Espacial sem que os alunos manipulem, construam ou "vejam" objetos não é satisfatório, o tema tende a ser desinteressante e desprovido de significados e desafios. As sugestões aqui propostas pretendem trabalhar objetivos de natureza conceitual, atitudinal e procedimental. Permite que os alunos desenvolvam habilidades de visualização, percepção visual e representação mental de figuras tridimensionais; enriquece suas capacidades de investigar e predizer resultados, de combinar, decompor e transformar figuras. Quanto às atitudes matemáticas, essas são enriquecidas quando os alunos desenvolvem hábitos de problematização, formulação de conjecturas, organização de dados, geração de novos problemas e hipóteses. Desta forma, inicialmente o professor deve apresentar diversos sólidos, incluindo os Sólidos de Platão e também os que não pertencem a esta. O professor também poderá trabalhar com embalagens. O próximo passo é o preenchimento da seguinte tabela, na qual sugerimos alguns sólidos a serem apresentados: cubo, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro, pirâmide, prisma, caixa de creme dental, caixa de bombom, caixa de pizza, caixa do chocolate Toblerone, dentre outros. Nome do sólido Nº de Vértices (V) Nº de Faces (F) Nº de Arestas (A) Figura 7.3- tabela 71

78 PERGUNTA Descubra relações algébricas entre os valores de V, F e A. Após o preenchimento da tabela, os estudantes devem ter um tempo para responder a pergunta, investigando possíveis relações. Embora a tabela acima tenha apenas quatro linhas, na aplicação deve ser considerada uma quantidade maior de exemplos. Após a realização da atividade o professor recolhe o material produzido pelos estudantes e faz uma síntese sobre o que foi descoberto. Em uma aula posterior poderá comentar os resultados. Se a Relação de Euler foi descoberta o professor tem aí uma oportunidade de desenvolver seus diversos aspectos, enfatizando sua importância. Se a Relação de Euler não foi percebida, o professor poderá apresenta-la. Na etapa seguinte, cada equipe de alunos, receberá uma pedra de sabão e um estilete e serão orientados a fazer cortes no sabão (há a necessidade de orientação e monitoramento em relação ao uso dos instrumentos cortantes pelos alunos, por isso para aplicação desta atividade, dependendo do número de alunos, serão necessários mais professores ou estagiários, ou qualquer outro adulto que auxilie na atividade). Com as pedras de sabão e o estilete em mãos os grupos devem ser indagados. Poderão ser feitas as seguintes perguntas: Que decisões devem ser tomadas para obter um cubo a partir de cortes no sabão? Quais são as propriedades emergentes do cubo que orientam essas decisões?. Espera-se que a partir dos cortes os alunos procurem garantir o perpendicularismo das faces para em seguida cuidar que as medidas das arestas sejam iguais. Daqui em diante toda referência a cortes, deve ser entendida como uma operação de corte que produz seções planas. Assim, podemos questiona-los novamente. Por exemplo, uma pergunta possível seria O que acontece quando cortamos um "naco" qualquer do cubo de sabão? Obtemos poliedros ao fazermos estes cortes? Cortando, por exemplo, um dos cantos do cubo, de acordo com o indicado pela Figura 7.4 abaixo, obtém-se dois poliedros: uma pirâmide de base triangular e um outro poliedro de formato irregular. Chamemos este último de 7-edro (poliedro de 7 faces). As faces de nosso 7-edro são: 3 quadrados, 3 pentágonos e 1 triângulo. Para os propósitos desta atividade um n-edro é um poliedro de n faces. Assim um poliedro de 7 faces será chamado de 7-edro ao invés de heptaedro como se poderia esperar. A escolha deve-se ao fato de que nomes particulares têm sido reservados para poliedros especiais 72

79 como os de Platão : tetraedro (4-edro), hexaedro (6-edro), octaedro (8-edro), dodecaedro (12-edro) e icosaedro (20-edro), e em um poliedro regular todas as faces são polígonos regulares do mesmo tipo e seus ângulos diedros são todos iguais. Figura 7.4- representação de uma seção triangular em um cubo Podemos então questionar: Quantos vértices tem este 7-edro? e observar em conjunto com os alunos que o corte fez perder um dos vértices do cubo original, e fez surgir outros 3 vértices (os vértices do triângulo da seção de corte). Quanto às arestas, o corte alterou o tamanho de 3 arestas do cubo, e fez surgir 3 arestas (os lados do triângulo da seção de corte). Podemos propor que eles ampliem a tabela da Figura 7.3 analisando como variam V, F e A depois do primeiro corte e depois de outros cortes, feitos a critérios dos próprios alunos verificando para cada novo n-edro a validade da Relação de Euler. Repetindo o procedimento de cortes e de ampliação da tabela os alunos são provocados a formular conjecturas a partir da observação de regularidades e invariantes. Enquanto a tabela é ampliada a partir do aumento do número de cortes, aumentam as possibilidades dos alunos perceberem que as operações de corte não alteram a relação entre vértices, faces e arestas, ela mantém-se invariável, ou seja, V+F=A+2. De modo geral a constante 2 é verificada pelos alunos sempre que têm a oportunidade de fazer variar os dados, construir e ampliar a tabela. O teorema de Euler que relaciona faces, arestas e vértices de um poliedro é um resultado que há décadas vem sendo estudado por vários geômetras e que devido a simplicidade do seu enunciado e a generalidade de sua validez, tornou-se um resultado atraente e popular. A utilização de materiais didáticos para desenvolver a atividade proposta neste trabalho trará aos professores uma oportunidade de abordar os conteúdos de geometria envolvidos neste teorema. Além disso, fornece uma alternativa didática as aulas, através da utilização de materiais concretos para serem usados tanto em sala de aula ou em um possível laboratório de matemática. 73

80 7.4 Uma atividade para o Ensino Médio Trabalhando com embalagens Atividades que envolvam o ensino de Poliedros durante o Ensino Médio devem ser elaboradas levando-se em consideração a realidade do aluno. Por isso optamos por analisar a sequência de atividades de Corrêa (2009) intitulada Modelagem Matemática: um trabalho com embalagens. A sequência escolhida trata do ensino de poliedros através de embalagens e utiliza a Modelagem como metodologia de ensino. Modelagem Matemática consiste na arte de transformar, problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. (Bassanezi, 2002, p. 24). Essa afirmação reforça o pensamento de que trabalhar Modelagem Matemática se constitui em um processo, em que, para elaborar um modelo é preciso muito mais do que o conhecimento matemático formal, sendo necessárias intuição e criatividade para perceber qual conhecimento matemático melhor descreve a situação estudada. A atividade analisada ocorreu no 1º ano do Ensino Médio da seguinte maneira: inicialmente a professora levou algumas embalagens (caixa de bombom, caixa de panetone, caixa de cinto, lata de ervilha, casquinha de sorvete e embalagem de suco tetra-pack) e pediu aos grupos de estudantes que analisassem e classificassem as embalagens de acordo com os poliedros existentes e identificassem se tais embalagens eram prismas, pirâmides ou corpos redondos. Em seguida pediu aos alunos que registrassem os dados em uma tabela. A figura seguir é um exemplo de tabela semelhante às construídas pelos grupos de alunos. Tipo de Nome do sólido semelhante Prisma Pirâmide Corpos embalagem redondos Caixa de Paralelepípedo retângulo x bombom Caixa de Tronco de cone x panetone Caixa de cinto Prisma hexagonal x Lata de ervilha cilindro x Casquinha de cone x sorvete Caixa de suco Poliedro irregular Figura 7.5 Tabela 74

81 O próximo passo foi pedir aos alunos para contar o número de vértices, faces e arestas e relacionar essas informações ao tamanho e utilidade da embalagem. A organização desses dados deveria ser arranjada em uma tabela semelhante ao exemplo acima. A possibilidade de manusear as embalagens facilitou e reforçou a compreensão dos conceitos teóricos. Nesta atividade os alunos puderam concluir que somente nos poliedros podemos identificar faces, arestas e vértices, o que não acontece com os demais sólidos como cilindro, cone e esfera. A última atividade consistiu em os alunos medirem as dimensões de uma caixa de leite, e calcularem a área e volume. Após terem calculado a área e o volume da caixinha, foi proposto para cada equipe criar um modelo para caixinha de leite com menor gasto de material. Analisando esta atividade percebemos que o objetivo da professora foi relacionar o estudo de poliedros com o cotidiano dos alunos, fazendo com que os mesmos percebessem que tais formas geométricas são importantes e estão presentes no mundo que os cercam. Também direcionou o estudo quanto às características de cada poliedro, nomeando-os e classificando-os em prisma e pirâmide ou identificando-os como corpos redondos. Por fim, houve, através da criação de um novo modelo de caixa de leite que preservou o volume e gastou menos material, o ensino de áreas e volumes em uma aplicação real do conteúdo sobre poliedros. Observando esta primeira etapa, uma forma de enriquecer este trabalho seria levar os alunos ao supermercado, e propor que, em grupos, observassem e fotografassem os diferentes tipos de poliedros e não poliedros que compõe as embalagens. Feito isto, em sala de aula, os grupos, além de levarem algumas embalagens para análise, deveriam observar seus registros, classificar as imagens e as embalagens levadas conforme os poliedros (por exemplo, uma caixa de bombom é um paralelepípedo). Outro trabalho interessante consiste em os alunos, analisarem embalagens diferentes de um mesmo tipo de produto, calculando a área e volume destas embalagens e analisando qual é mais econômica, fazendo suas planificações e sugerindo uma nova opção de embalagem menor e de maior custo benefício. Este trabalho contemplaria a passagem do tridimensional para o bidimensional de forma totalmente ligada a realidade. Ao fim da atividade, poderia ocorrer a socialização dos resultados pelos alunos. Uma conclusão esperada é que o modelo ideal do ponto de vista matemático pode ser 75

82 inadequado ao manuseio, transporte e estocagem, e por isso algumas embalagens no formato de poliedros poderiam ser mais econômicas se tivessem outra forma, mas isso não acontece. Outro desdobrando interessante seria fornecer as dimensões da antiga caixa de sabão em pó de uma empresa e as atuais. Pedir que calculassem a área externa e volume e fazer alguns questionamentos. Por exemplo, qual a razão que levou a empresa a mudar o formato da embalagem de sabão em pó? quanto foi a economia de papel? Qual o percentual de papel que a empresa passou a economizar com a mudança?. Com o desenvolvimento dessa atividade os alunos poderão perceber, por meio dos cálculos matemáticos, que uma pequena mudança na embalagem pode resultar em uma boa economia de material e que os poliedros estão muito mais presente em nossas vidas do que imaginamos. Só não percebemos porque alguém já fez todo o trabalho. Sendo assim, o assunto Poliedros esta ligado tanto à realidade quanto a muitas outras áreas dentro da própria matemática e seu estudo deve ser amplamente explorado não só no Ensino Médio, mas em todas as outras etapas da vida escolar. 76

83 CONSIDERAÇÕES FINAIS O mundo está repleto de objetos tridimensionais e os conceitos geométricos, que contribuíram para a confecção desses objetos, são objetivos das propostas de Matemática para todos os níveis de ensino. Tais propostas, como os Parâmetros Curriculares Nacionais, há anos insistem na necessidade de a Geometria Espacial ser introduzida logo nas Séries Iniciais através do estudo de Poliedros. Isto possibilita que o aluno primeiro construa a noção de espaço (repleto de formas) antes perceptivo, depois representativo e por último operatório. Ou seja, ao final da vida escolar o aluno deve estar apto a resolver problemas que envolvam a visão tridimensional, fazendo as representações mentais e as operações matemáticas necessárias. Ao fazer o estudo teórico sobre a definição, os conceitos e as propriedades elementares de Poliedros assim como a história sobre a Relação de Euler e algumas demonstrações, oferecemos toda a base necessária para que o professor do Ensino Básico ao Médio possa tratar deste tema em sala de aula. Ao analisar algumas atividades sobre o ensino de Poliedros, nos preocupamos em refletir sobre situações que possam promover no aluno o desenvolvimento do pensamento geométrico, além de incentivar, por meio das sugestões feitas nas atividades, o espírito investigativo, a argumentação e o trabalho em grupo, para favorecer a relação professor aluno, por meio da contextualização de situações presentes na vida do aluno e procurando envolver o mesmo na atividade a fim de que ele tenha um aprendizado significativo, no sentido de uma maior compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos no estudo de Poliedros. Desta forma, acreditamos que este trabalho auxilia o docente em sala de aula apresentando-se como sugestão, pois se constitui em um meio de aprendizagem de alguns conceitos relativos ao estudo de Poliedros e também de algumas alternativas de atividades para que as aulas de geometria não fiquem distantes das metas do ensino de Poliedros. 77

84 78

85 BIBLIOGRAFIA BARROS, T. E. ; DIAS, C.C.; ROSA, M. B.; SAMPAIO, J.C. V. Matemática na Prática, Módulo II - Geometria Espacial. Brasília, BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, Secretaria de Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006 (Orientações curriculares para o ensino médio; volume 2). Disponível em Acesso em 6 de agosto BERMEJO, A. P.B.; COSTA, M. A. C.; MORAES, M. S. F. Análise do Ensino de Geometria Espacial. In: Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Ijuí, Caxias do Sul, p BOYER, C. B. História da matemática. 2ª Edição. São Paulo: Edgard Blücher Ltda, CROMWELL, P. R. Polyhedra: One The Most Charming Chapters of Geometry. Cambridge University Press, DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. 3a ed. 4 vols. São Paulo: Ática DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Trad. J. B. Pitombeira. Rio de Janeiro: Francisco Alves, EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução de Domingues, H. H. Campinas, Editora da UNICAMP, GANDULFO, A. M. R; OLIVEIRA, I.A.A. Um novo olhar para o Teorema de Euler. In: ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática- Educação Matemática, Cultura e Diversidade. Salvador BA, 2010.p GRÜNBAUM, B. Are Your Polyhedra The Same as My Polyhedra?. Em Aronov, B.; Basu, S.; Pach, J.; Sharir, M. (editores). Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. Springer-Verlag, pp , HILLE, E. Analytic Function Theory. Volume 1. Ginn, Boston,

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87 SMOLE, K. S. Cadernos do Mathema: jogos de matemática de 1º a 3º ano. Porto Alegre: Editora Artmed, VIDALETTI, V. B. B. O ensino e aprendizagem da geometria espacial a partir da manipulação de sólidos. Lajeado: UNIVATES,