Experimentoteca Ensino Médio

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1 Experimentoteca Ensino Médio Dietrich Schiel Iria Müller Guerrini Versão II Alunos Apoio: CNPq VITAE - FAPESP Centro de Divulgação e Científica de São Carlos - USP Rua 9 de julho, 1227 CEP São Carlos SP Brasil Fone/Fax (016)

2 ÍNDICE Experimento 1 Movimento Uniforme Parte I Movimento de um Carrinho à Pilha... 2 Parte II Movimento de uma gota d água dentro de um fluido... 6 Experimento 2 Movimento Uniformemente Variado... 9 Experimento 3 Movimento de Projéteis Experimento 4 Movimento Circular Uniforme Experimento 5 Determinação da Aceleração da Gravidade - Plano Inclinado Experimento 6 Pêndulo Simples - Medida da aceleração da gravidade Experimento 7 Conservação da Energia Mecânica Experimento 8 Deformação Elástica: Lei de Hooke Experimento 9 Movimento Gravitacional: 2 a Lei de Kepler Experimento 10 Conservação da Quantidade Parte I Choque Frontal... Parte II Choque Bi-Dimensional

3 Experimento 1: Movimento Uniforme Objetivos Estudo do movimento uniforme qualitativa e quantitativamente. Apreender as noções de espaço / variação de espaço, tempo / intervalo de tempo e velocidade, realizando medidas destas grandezas físicas. Construir e interpretar os gráficos S = f(t) e V = f(t) do movimento uniforme, a partir dos dados experimentais obtidos. Estabelecer a equação horária do movimento uniforme. Introdução O movimento é uniforme quando a velocidade escalar do móvel é constante em qualquer instante ou intervalo de tempo, significando que, no movimento uniforme o móvel percorre distâncias iguais em tempos iguais. O movimento é retilíneo uniforme quando o móvel percorre uma trajetória retilínea e apresenta velocidade escalar constante. Como a velocidade escalar é constante em qualquer instante ou intervalo de tempo no movimento uniforme, a velocidade escalar média é igual à instantânea: V = V inst = V média = S/ t (1.1) Equação horária do movimento uniforme A equação horária de um movimento mostra como o espaço varia com o tempo: S = f(t) No movimento uniforme temos que: S = S 0 + V t (equação horária do movimento uniforme) (1.2) S espaço final S 0 espaço inicial t instante final No movimento uniforme a equação horária é uma função do 1 o grau. Gráficos - Movimento Uniforme Gráfico espaço (S) versus tempo (t) / movimento uniforme Sendo S = f(t) uma função do 1 o grau, o gráfico S versus t é uma reta que pode passar ou não pela origem (fig. 2.3). Gráfico V versus t / movimento uniforme Sendo a velocidade constante em qualquer instante e intervalo de tempo, a função V = f(t) é uma função constante e o gráfico V versus t é uma reta paralela ao eixo do tempo. Na equação S = S 0 + V t, S 0 : coeficiente linear da reta V: coeficiente angular da reta ou inclinação da reta Para obter S 0, basta fazer t = 0 na equação horária S = S 0 2

4 Figura Gráfico S (espaço) versus t (tempo) - Movimento uniforme A velocidade escalar é obtida a partir do gráfico S versus t, calculando a inclinação da reta: V = Inclinação da reta = S/ t = (S - S 0 )/(t - t 0 ) (1.1) Figura Gráfico V versus t - Movimento uniforme Pode-se calcular a variação de espaço ocorrida em um intervalo de tempo, calculando-se a área abaixo da reta obtida (área hachurada na fig. 1.2), que é a área de um retângulo. S = A retângulo = base x altura = t V Parte I - Movimento de um carrinho à pilha Material necessário Carrinho à pilha e mesa Cartolina preta para fazer o padrão de medida (5 cm x 10 cm) Filmadora de vídeo Computador com placa de captura Software "SAM" instalado no computador 2 folhas de papel milimetrado ou quadriculado para fazer os gráficos 1 régua Procedimento Experimental Coloque a mesa em posição horizontal e coloque o carrinho para se movimentar tendo o padrão de medida em uma posição visível. Veja como fica o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e branco para a filmagem. Faça a filmagem do carrinho atravessando a mesa em movimento uniforme, fazendo uma trajetória retilínea. Faça a captura de imagem conforme instruções do manual. Em seguida abra o programa SAM e a imagem com extensão avi salva no SAM, para fazer as medidas quantitativas do espaço (S) e tempo (t) utilizando o SAM. Medida do espaço e do tempo Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções (manual 4.8). Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do carrinho (fig.2) a cada seis intervalos (seis quadros), por exemplo. Com a ferramenta "Régua" (manual 4.13), faça as medidas dos espaços, com a janela "Posição" aberta.considere o espaço inicial igual a 0,0 cm. Posicione o cursor sobre a posição 1 (posição inicial S), e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o curso até a nova posição 2, sendo exibida uma linha entre a posição 3

5 inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (S) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" (manual 4.9) e coloque na tabela 1. Meça os espaços (S) em outras posições e a posição inicial e coloque os dados na tabela 2.1. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições do carrinho a cada seis intervalos, o tempo entre as posições 1 e 2,por exemplo, é igual a 6 x 1/30 = 6/30 = 1/5 = 0,2s; entre as posições 1 e 3 é 0,4s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 2.1. Complete a tabela 2.1, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S). Calcule a velocidade média a partir de S 0 e coloque na tabela 2.1. Questões 1) Determine: A) O valor médio das velocidades obtidas na tabela 2.1 B) A velocidade escalar média entre a 1 a e a última posição. 2) Estabeleça a equação horária S = S 0 + V t, considerando o valor de V obtido no item A. 3) Calcular os valores de S = f(t), a partir da equação horária estabelecida, colocando os resultados na tabela 2.2. Considerar os mesmos tempos da tabela ) Compare e discuta os valores obtidos na tabela 2.1. com os da tabela 2.2 e verifique se os reobteve. 5) Construir o gráfico S versus t e o gráfico V versus t: A) Com os dados S, t e V da tabela 2.1. B) Com os dados S e t da tabela 2.2 e o valor de V obtido no item 1.A. 6) Verifique se reobteve os valores experimentais, comparando os gráficos obtidos nos itens acima. Comente o experimento e dê sugestões para melhorá-lo. 4

6 Tabela Movimento Uniforme S (cm) t (s) S (cm) t (s) V (cm/s) Valor do Espaço Inicial (S o ) calculado a partir da Tabela 2.1: Valor da Velocidade Média (V média ) calculada a partir da Tabela 2.1: S (cm) t (s) Tabela Movimento Uniforme 5

7 Parte II - Movimento de uma gota d' água dentro de um fluido Questão prévia Quando uma gota de água é colocada no óleo, ela desce com velocidade constante ou variável? Resposta Objetivos Analisar o movimento de uma gota de água num fluido menos denso (óleo comestível), efetuando marcações das posições ocupadas pelo móvel (gota) em seu deslocamento, Medir esses deslocamentos, determinar sua velocidade utilizando esses dados com alunos de primeira série (ensino médio) para a comprovação prática de conceitos teóricos de movimento uniforme quantitativa e qualitativamente (objetos de estudo nesse nível de ensino). Construir e interpretar os gráficos S = f(t) e V = f(t) do movimento uniforme, a partir dos dados experimentais obtidos. Estabelecer a equação horária do movimento uniforme. Material Recipiente próprio para conter o óleo (sugestão: garrafa pet incolor). Dois litros de óleo comestível. Conta-gotas e corante para colorir as gotas (guache), para destacá-las. Colocar objeto visível e de medidas conhecidas (referencial para a calibração). Filmadora de vídeo. Computador com placa de captura de vídeo. Software SAM instalado no computador. Figura 1.3: Movimento de uma gota d'água dentro do óleo Procedimento Experimental Colocar a garrafa com óleo posicionado em local com fundo homogêneo e claro (branco), à frente de uma folha de papel sulfite, por exemplo. Soltar as gotas d água na superfície do óleo (para conseguir gotas maiores, aproximamos o conta-gotas da superfície superior do óleo e soltando gotas seguidamente, até seu peso vencer a tensão superficial do óleo). Fazer a filmagem do percurso. Capturar a imagem seguindo instruções do manual do SAM. Abrir o SAM e a imagem capturada com extensão avi salva, para fazer as medidas quantitativas de espaço e tempo desse movimento. 6

8 Medida do Espaço e Tempo Fazer a calibração, ajustando a relação pixels/cm, através da janela Calibração do SAM, conforme instruções do programa. Com Marcador do SAM, assinalar as posições da gota (fig. 1.3) a cada seis intervalos (dez quadros), por exemplo. Com a Régua do SAM, fazer as medidas dos espaços, com a janela Posição aberta. Considerar o espaço inicial igual a 0,0 cm. Posicionar o cursor sobre a posição 1 (posição inicial) e mantendo pressionado o botão esquerdo, arrastar o cursor até a nova posição 2, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final soltar o botão e ler o valor do espaço percorrido indicado na janela Posição Posição espacial/distância e colocar na tabela. Medir os espaços (S) entre outras posições e a posição inicial e colocar os dados na tabela1. Se a captura é feita na razão de 15 quadros por segundo, o intervalo de tempo entre duas posições seguidas será de 1/15s. Informações na janela Posição do SAM. Com as marcações das posições da gota a cada seis quadros, o tempo entre as posições 1 e 2, por exemplo, é igual a 6 x 1/15 = 6/15 = 2/5 =0,4s; entre as posições 1 e 3 será 0,8s e assim por diante. Colocar estes valores dos tempos (t) na tabela 2.1. Complete a tabela 2.1, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S). Calcule a velocidade média a partir de S 0 e coloque na tabela 2.1. Questões 1) Determine: A) O valor médio das velocidades obtidas na tabela 2.1 B) A velocidade escalar média entre a 1 a e a última posição. 2) Estabeleça a equação horária S = S 0 + V t, considerando o valor de V obtido no item A. 3) Calcular os valores de S = f(t), a partir da equação horária estabelecida, colocando os resultados na tabela 2.2. Considerar os mesmos tempos da tabela ) Compare e discuta os valores obtidos na tabela 2.1. com os da tabela 2.2 e verifique se os reobteve. 5) Construir o gráfico S versus t e o gráfico V versus t: A) Com os dados S, t e V da tabela 2.1. B) Com os dados S e t da tabela 2.2 e o valor de V obtido no item 1.A. 6) Verifique se reobteve os valores experimentais, comparando os gráficos obtidos nos itens acima. Comente o experimento e dê sugestões para melhorá-lo. 7) E agora, você consegue responder a questão prévia? 7

9 Tabela Movimento Uniforme S (cm) t (s) S (cm) t (s) V (cm/s) Valor do Espaço Inicial (S o ) calculado a partir da Tabela 2.1: Valor da Velocidade Média (V média ) calculada a partir da Tabela 2.1: S (cm) t (s) Tabela Movimento Uniforme 8

10 Experimento 2 - Movimento Uniformemente Variado Questão prévia Quando você deixa cair uma pedra, ela cai com velocidade constante ou variável? Justificar a resposta. Resposta Objetivos Estudo do Movimento Uniformemente Variado (MUV), qualitativa e quantitativamente. Apreender as noções de velocidade/variação de velocidade/aceleração. Construir e interpretar gráficos: S versus t, V versus t e a versus t do movimento uniformemente variado a partir dos dados experimentais obtidos e dos calculados das equações do movimento. Estabelecer a equação horária e da velocidade para este movimento. Introdução Conceito de Movimento Uniformemente Variado No Movimento Uniformemente Variado a velocidade varia no decorrer do tempo uniformemente, imprimindo uma aceleração constante em qualquer instante ou intervalo de tempo, tal que: a média = a instantânea = V/ t Equação da velocidade/ Equação horária - Movimento uniformemente variado Equação da velocidade - MUV Gráfico V versus t MUV V = V 0 + a t (Equação da velocidade MUV) (3.1) Para a equação da velocidade - MUV, V = V 0 + at, sendo uma função do 1 o grau, o gráfico é uma reta passando ou não pela origem (fig. 2.1). Equação horária - MUV S = S 0 + v 0 t + (a t 2 )/2 (2.2) (Equação horária MUV) Figura Gráfico V versus t - MUV 9

11 Gráfico S versus t - MUV A equação horária do MUV, S = S 0 - V 0 t + ( at 2 )/2 é uma função do 2 o grau. A representação gráfica desta função é uma parábola (fig. 2.2). Equações do MUV - Queda Livre Figura Gráfico espaço (S) versus tempo (t) (A) Parábola com concavidade voltada para cima (a > 0). (B) Parábola com concavidade voltada para baixo (a < 0). Quando o movimento é de queda livre, a aceleração que está caindo é a aceleração da gravidade g, que como já vimos tem o valor aproximado de 9,8 m/s 2, próximo à superfície da terra e o espaço S é a altura h. Neste caso as equações do MUV podem ser reescritas como: Equação da velocidade MUV/Queda Livre V = V 0 + g t (3.3) onde a = g Equação horária MUV/Queda Livre h = h 0 + v 0 t + (g t 2 )/2 (3.4) onde S = h e a = g Material 1 bola de pingue-pongue ou outra qualquer Cartolina preta para fazer o padrão de medida (5 cm x 10 cm) Filmadora de vídeo Computador com placa de captura Software "SAM" instalado no computador 3 folhas de papel milimetrado ou quadriculado para fazer os gráficos 1 régua Procedimento Experimental Abandone a bola de uma altura de aproximadamente 2,0 m. Veja como fica o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e branco para a filmagem. Faça a filmagem da bola caindo, procurando observar que a queda seja na vertical. Faça a captura de imagem conforme instruções do manual (manual 4.3). Em seguida abra o programa SAM e a imagem com extensão avi salva no SAM, para fazer as medidas quantitativas do espaço (S) e tempo (t) utilizando o SAM. 10

12 Medida do espaço e do tempo Figura 2.3: Posições da bola a cada três quadros. Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções (manual 4.8). Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições da bola a cada três intervalos (três quadros), por exemplo. Com a ferramenta "Régua" (manual 4.13), faça as medidas dos espaços, com a janela "Posição" aberta.considere o espaço inicial igual a 0,0 cm. Posicione o cursor sobre a posição 0 (posição inicial S), e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o curso até a nova posição 1, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (S) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" (manual 4.9) e coloque na tabela 3.1. Meça os espaços (S) em outras posições e a posição inicial e coloque os dados na tabela 3.1. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições da bola a cada três intervalos, o tempo entre as posições 0 e 1, por exemplo, é igual a 3 x 1/30 = 1/10 = 0,1s; entre as posições 0 e 2 é 0,2 s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 3.1. Complete a tabela 3.1, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S). Calcule a velocidade média a partir de S 0 e coloque na tabela 2.1. Calcule V = V posterior - V anterior, colocando estes valores na tabela 3.1. Calcule a aceleração média, que neste caso como o movimento é de queda livre, é o valor aproximado da aceleração da gravidade local (g), a= g = V/ t, colocando os valores na tabela 3.1. Faça os seguintes gráficos com os dados obtidos na tabela 3.1: - S versus t - V versus t - a versus t Calcule o valor médio das acelerações obtidas na tabela 3.1. Calcule o valor de V 0 através da equação da velocidade, V = V 0 + at, usando um valor qualquer de V e o correspondente t da tabela 3.1, e o valor médio da aceleração obtido no item anterior. Estabeleça a equação horária e a equação velocidade para este movimento. 11

13 Calcule os valores de S através da equação horária S = S 0 + V 0 t + (at 2 )/2. Use para t os valores intermediários (0,05 s, 0,15 s...) e o valor médio de a já calculado. Coloque os valores de S e t na tabela 3.2. Calcule os valores de V através da equação da velocidade V = V 0 + at, e coloque os valores de V e t (0,05 s, 0,15 s...) na tabela 3.2. Faça os gráficos: S versus t, V versus t com os dados obtidos na tabela 3.2, nos mesmos eixos dos gráficos da tabela 3.1. Para diferenciar os gráficos experimentais (tabela 3.1) dos gráficos dos valores calculados (tabela 3.2), use os símbolos: Questões experimental calculado Compare os gráficos obtidos da tabela 3.1 com os da tabela 3.2 e responda às seguintes perguntas: 1) Considerando os gráficos S versus t experimental e calculado, houve diferença entre os valores encontrados? Justifique a resposta 2) O movimento é acelerado ou retardado? Justifique a resposta. Para qual intervalo de tempo o PUCK apresentou maior variação de velocidade? 3) Qual a variação total de espaço e o intervalo de tempo correspondente para este movimento? A partir destes dados calcule a velocidade escalar média. 4) Considerando os gráficos V versus t experimental e calculado, há diferenças entre os valores encontrados? Justifique a resposta. 5) Qual a função matemática que mais se aproxima dos gráficos encontrados? 6) E agora você consegue responder a questão prévia? Procure resumidamente dar as conclusões, críticas e sugestões para melhoria do experimento. 12

14 Tabela Movimento Uniformemente Variado S(cm) t(s) S(cm) t(s) V(cm/s) V(cm/s) a(cm/s 2 ) Valor do Espaço Inicial (S o ) calculado a partir da Tabela 3.1: Valor da Velocidade Inicial (V o ) calculado a partir da Tabela 3.1: Valor da Aceleração Média (a média ) calculado a partir da Tabela 3.1: Tabela Movimento Uniformemente Variado S(cm) V(cm/s) t(s) 13

15 Experimento 3 - Movimento de Projéteis Questão prévia Um telejornal reproduziu o gol de um famoso jogador de futebol, colocando na trajetória da bola, a velocidade instantânea da bola (fig. 3.1). Estão corretas as velocidades colocadas? Justificar a resposta. Resposta Figura 3.1 Trajetória da bola de futebol com as respectivas velocidades instantâneas Objetivos Analisar a trajetória de um projétil, considerando: - O movimento na vertical (Y) e na horizontal (X) - O tipo de movimento em cada direção. Verificar o Princípio da Independência dos Movimentos de Galileu Introdução Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu) O movimento de um projétil bola é um movimento bidimensional, sendo realizado nas direções horizontal (X) e vertical (Y); este movimento é composto de dois tipos movimentos: movimento uniforme na direção horizontal (X) e movimento uniformemente variado na direção vertical (Y). Galileu já sabia disto no século XVI, e baseando-se em fatos experimentais, enunciou o Princípio da Independência dos Movimentos, que diz o seguinte: quando um móvel realiza um movimento composto cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem." Análise vetorial / Movimento de projéteis A fig. 3.2 mostra a trajetória de uma bola de futebol. Foram traçados os vetores velocidade, V 0, V 1, V 2, V 3, V 4, V 5 e V 6, que são tangentes a cada ponto da trajetória. Na figura também está indicado o alcance, A, e a altura máxima da bola, H. Estes vetores velocidade apresentam as componentes, V x e V y, para cada posição, nas direções X e Y (fig. 3.3). Figura Trajetória de um projétil (a bola de futebol), mostrando os vetores velocidade e suas componentes vetoriais 14

16 O vetor resultante V (fig. 4.4) é dado pela soma dos dois vetores V x e V y : V = V x +V y (3.2) Pode-se determinar o módulo do vetor velocidade, V, para cada posição, sendo conhecidos os módulos das componentes, V x e V y (fig. 3.4), obtendo: V 2 = V 2 x + V 2 y (3.3) Figura Vetor velocidade V e as componentes V x e V y Material 1 bola de pingue-pongue ou outra qualquer Cartolina preta para fazer o padrão de medida (10 cm x 20 cm) Filmadora de vídeo Computador com placa de captura Software SAM instalado no computador 2 folhas de papel milimetrado para fazer os gráficos Procedimento Lance a bola, tal que a sua trajetória seja uma parábola, atingindo uma altura máxima aproximada de 1 m. Observe como ficou o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e branco. Faça a filmagem da bola em movimento, fazendo a trajetória parabólica. Para fazer a captura da imagem, acelere o hardware do computador. Faça a captura da imagem conforme instruções do manual SAM (p2). Faça o tratamento das imagens utilizando o VídeoFramer, por exemplo, acompanhando as instruções. Salve a imagens com extensão avi. Em seguida desacelere o hardware do computador, para poder abrir as imagens no SAM. Abra as imagens no software SAM para fazer as medidas dos espaços nas direções de x e y e do tempo (t). Medidas do espaço e do tempo Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções. Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições da bola a cada quadro, por exemplo (fig. 3.5). Com a ferramenta Reta, trace um sistema de eixos cartesianos, x e y, fazendo com que a origem coincida com a posição inicial da bola (fig. 3.5). Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, x e y, com a janela "Posição" aberta.considere os espaços iniciais, x 0 e y 0, iguais a 0,0 cm. Figura 3.5: Lançamento de projéteis Posicione o cursor sobre a posição 1, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor perpendicularmente aos eixos x ou y, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (x) ou y percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque os valores de x na tabela 4.1 e os de y na tabela

17 Meça os espaços (x,y) em outras posições e coloque os dados nas tabelas. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 15 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/15 = 0,066 s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Coloque estes valores dos instantes (t) nas tabelas 4.1 e 4.2. Complete a tabela 4.1, calculando os intervalos de tempo ( t), calculando as correspondentes variações de espaço ( x) e o valores de V x = x / t. Complete a tabela 4.2, calculando os intervalos de tempo ( t), as correspondentes variações de espaço ( y); os valores de Vy = y / t e as correspondentes variações de Questões Considerando os resultados obtidos nas tabelas 4.1 e 4.2 e a trajetória da bola: 1) Determine o valor médio da velocidade, considerando os valores obtidos na tabela ) Determine o valor médio de a y, considerando os valores obtidos na tabela ) O movimento na direção x é uniforme? Justifique a resposta, verificando se a velocidade V x é aproximadamente constante (tabela 4.1). 4) E na direção y, o movimento é uniformemente variado? Justifique a resposta, verificando se a aceleração é aproximadamente constante (tabela 4.2). 5) Faça os gráficos: x versus t, y versus t 6) Analisando os gráficos do item E, as conclusões a que você chega com relação ao tipo de movimento, são as mesmas dos itens C e D? 7) Calcule os módulos do vetor velocidade (V) para cada posição, a partir da origem, considerando os valores das componentes V x e V y obtidos nas tabelas 4.1 e 4.2, respectivamente, (adição de dois vetores perpendiculares), colocando estes valores na tabela ) Como as velocidades obtidas no item G variam na subida e na descida da bola? 9) Analisando a trajetória da bola, qual o valor da altura máxima e em que instante atingiu esta altura? Qual o alcance e em que instante o atingiu? Estas medidas são obtidas através da própria trajetória da bola (fig Projéteis). 10) E agora você consegue responder a questão prévia? Dê as conclusões e as sugestões para a melhoria do experimento. 16

18 Tabela Movimento de Projéteis X (cm) t (s) X (cm) t (s) V x (cm/s) Tabela Movimento de Projéteis Y(cm) t(s) Y(cm) t(s) V y (cm/s) V y (cm/s) a y (cm/s 2 ) Tabela Movimento de Projéteis V x (cm/s) V y (cm/s) V(cm/s) 17

19 Experimento 4 - Movimento Circular Uniforme Questão Prévia No ventilador da figura abaixo (fig. 4.1), as velocidades escalares nos pontos A e B das pás de um ventilador são iguais ou diferentes? Justificar a resposta. Resposta Figura 4.1 Ventilador Objetivos Realizar experiências quantitativas do movimento circular uniforme. Verificar que a aceleração centrípeta e a velocidade escalar são constantes. Comparar o valor da aceleração centrípeta obtido experimentalmente com o valor obtido na teoria. Apreender os conceitos de freqüência, período, velocidade angular, aceleração centrípeta. Introdução Conceito de movimento circular uniforme Vamos afirmar que: "Um carro estando com a velocidade escalar constante pode ter aceleração". O que você acha? Esta afirmativa parece falsa, mas é verdadeira.esta situação acontece quando o carro está se movimentando em uma trajetória circular (fig. 5.2A). Figura 4.2A - Carro em movimento circular Figura 4.2B - Vetores força centrípeta e aceleração centrípeta 18

20 Neste caso o vetor velocidade varia de direção e sentido no decorrer do tempo, podendo o seu módulo permanecer constante ou não. Quem provoca esta variação na direção do vetor velocidade? Sabemos que para mudar qualquer característica do vetor velocidade é necessária uma força. Esta força, denominada força centrípeta, atua na direção do raio da circunferência, buscando o centro, imprimindo ao carro uma aceleração na mesma direção e no mesmo sentido, denominada aceleração centrípeta (fig. 4.2B).No caso do carro, a força centrípeta é a força de atrito entre os pneus e a estrada. Se não existisse esta força, o carro sairia pela tangente em movimento retilíneo uniforme (posição 4 da fig. 4.2A). Veja que esta aceleração é devida à variação da direção do vetor velocidade e não à variação do módulo do vetor velocidade. Concluímos que a nossa afirmativa inicial é verdadeira, isto é, o carro pode estar com velocidade escalar constante e possuir uma aceleração (aceleração centrípeta), quando sua trajetória é circular. Movimento circular uniforme: quando a trajetória é circular e a velocidade é constante em módulo. Da fig. 4.2A, o carro estando em movimento circular uniforme, temos que: V 1 = V 2 = V 3 = V 4 (velocidades escalares iguais) V 1 V 2 V 3 V 4 (velocidades vetoriais diferentes) Características do vetor aceleração centrípeta Notação: a c vetor aceleração centrípeta Direção do vetor aceleração centrípeta: a direção do raio (perpendicular ao vetor V) Sentido do vetor aceleração centrípeta: de fora para dentro da circunferência (buscando o centro) Módulo do vetor aceleração centrípeta: a c = V 2 /R 4.1 Conceito de velocidade angular Velocidade angular é o ângulo ( ) percorrido em um intervalo de tempo ( t). Notação: velocidade angular. Expressão: = ( )/( t) (velocidade angular) (4.2) onde (ângulo descrito) é medido em radianos. Figura Ângulo descrito e arco percorrido em um intervalo de tempo ( t), quando o carro vai da posição A para B. Unidade da velocidade angular (Sistema Internacional) 1 rad/s Relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular V = R (relação entre a velocidade escalar e a velocidade angular) (4.6) Observação: para determinar a medida de 1 rad basta considerar a medida do arco compreendido entre os lados do ângulo igual à medida do raio (fig. 4.3), obtendo: 19

21 1 rad 57,3 o Freqüência e Período De um modo geral todos nós temos noção do que seja freqüência e período. Freqüência seria o número de vezes que um fenômeno se repete em um determinado tempo, e período é o tempo que leva para o fenômeno se repetir. Em linguagem mais específica para o movimento circular, definiremos: Freqüência é o número de voltas que a partícula dá por unidade de tempo Notação: f freqüência Período: é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa Notação: T período Pelas próprias definições temos que a freqüência é o inverso do período e vice-versa, ou seja: f = 1/T ou T = 1/f (4.3) Unidades de medida de freqüência e período (SI) Unidade de período = unidade de tempo = 1 s Outras unidades: 1 min, 1 h, 1 mês, 1 ano, 1 século... Unidade de freqüência = 1/unidade de tempo = 1/s = 1 s -1 = 1 hertz (1 Hz) Quando no movimento circular se tem uma freqüência de 10 Hz, significa que o móvel faz 10 voltas em cada segundo. Relação entre a velocidade angular e a freqüência = 2 f (relação entre a velocidade angular e a freqüência) (4.4) A filmagem pode ser realizada utilizando um carrinho movido à pilha, com rodas livres (fig. 4.4). Medida do espaço e do tempo Figura Medindo os valores de x e y Figura Posições do carro em movimento circular uniforme Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções. 20

22 Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do bola a cada seis intervalos (seis quadros - fig.4.4), por exemplo. Escolha uma posição como origem e trace com as ferramentas "Reta" e Transferidor" o sistema de eixos cartesianos (x,y). Com a ferramenta "Régua", e "Transferidor" faça as medidas dos espaços, x e y com a janela "Posição" aberta.considere os espaços x e y iniciais iguais a 0,0 cm. Medidas - Direção x Para medir o espaço x, posicione o cursor sobre a posição inicial, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor, perpendicular ao eixo y, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão (fig. 4.5). Leia o valor do espaço (x) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 5.1. Meça os espaços (x) em outras posições utilizando o mesmo método e coloque os dados na tabela 5.1. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 15 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/15 s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições do carro a cada seis intervalos, o tempo entre a primeira e a segunda posição, por exemplo, é igual a 6 x 1/15 = 2/5 = 0,4 s; entre a primeira e a terceira posição é 0,8 s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 5.1. Complete a tabela 5.1, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( x). Calcule a velocidade média a partir de x 0 e coloque na tabela 5.1. Calcule V = V posterior - V anterior, colocando estes valores na tabela 5.1. Calcule a aceleração média a x, a x = V/ t, colocando os valores na tabela 5.1. Medidas - Direção Y Para medir o espaço y, posicione o cursor sobre a posição inicial, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor, perpendicular ao eixo x, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão (fig. 6). Leia o valor do espaço (y) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 5.2. Complete a tabela 5.2 usando o mesmo procedimento realizado na direção x. Determinação da velocidade escalar e da aceleração centrípeta Coloque os valores encontrados V x e a x da tabela 5.1, V y e a y da tabela 5.2 na tabela 5.3. Calcule:as velocidades escalares V (V = ( V x 2 + V y 2 ) 1/2 )as acelerações centrípetas a c (a c = ( a x 2 + a y 2 ) 1/2 ) e coloque estes valores na tabela

23 Questões 1) Faça o gráfico velocidade em função do tempo e analise o gráfico obtido. 2) Determine o valor médio das acelerações centrípetas obtidas na tabela ) Determine o valor médio das velocidades obtidas na tabela ) Valor da aceleração centrípeta (a c = V 2 média/r). 5) Calcule: - a velocidade angular do carro - a freqüência do carro - o período do carro 6) Você chegou à conclusão, através dos resultados obtidos na tabela 5.3, que o movimento do carro é circular uniforme? Justifique a resposta. 7) Responda novamente a questão prévia: No ventilador da figura abaixo (fig. 4.1), as velocidades escalares nos pontos A e B das pás de um ventilador são iguais ou diferentes? Justificar a resposta. Dê resumidamente as suas conclusões e sugestões para melhoria do experimento. Tabela Movimento Circular x (cm/s) t (s) x (cm/s) t(s) V x (cm/s) V x cm/s) a x (cm/s 2 ) Tabela Movimento Circular y (cm} t (s) y (cm) t (s) V y (cm/s) V y (cm/s) a y (cm/s 2 ) 22

24 Tabela Movimento Circular V x (cm/s) V y (cm/s) V (cm/s) a x (cm/s 2 ) a y (cm/s 2 ) a c(cm/s 2 ) 23

25 Experimento 5 Determinação da aceleração da gravidade Plano inclinado Questão prévia É mais fácil você levantar um bloco na vertical ou empurrá-lo sobre um plano inclinado? Justificar a resposta. Resposta Objetivos Apreender o conceito de força. Aplicar a 2 a Lei de Newton para compreensão da mesma (parte I). Determinar o valor da aceleração da gravidade local. Introdução Conceito de força: é qualquer agente responsável pela variação das características do vetor velocidade. Há vários tipos de força tais como: força de tração, força de compressão, força de atrito, força peso e outras. A força peso, por exemplo, varia o módulo do vetor velocidade, comunicando ao corpo uma aceleração denominada aceleração da gravidade (g). A aceleração da gravidade (g) varia com a latitude e altitude. O valor da aceleração da gravidade padrão, ao nível do mar, é 9,80665 m/s 2 (aproximadamente 9,80 m/s 2 ou 980 cm/s 2 ). Enunciado da 2 a Lei de Newton: "A força ou a resultante de forças que atua sobre um corpo de massa m é igual ao produto da massa pela aceleração, tendo a aceleração, a mesma direção e o mesmo sentido da força". Expressão: F r = m a (2 a Lei de Newton) (6.1) Unidade de força - Sistema Internacional: 1 Newton (1 N) 1 N= 1 kg m/s 2 Quando o PUCK desce um plano inclinado (fig. 5.1) com movimento uniformemente acelerado, a força que acelera o PUCK é a componente da força peso na direção do movimento; a força de atrito é praticamente nula. Figura 5.1 PUCK em movimento uniformemente acelerado 24

26 Pela 2 a Lei de Newton: F resultante = p sen = m a (5.2) A força peso é igual a: p = m g Substituindo em (5.2): m g sen = m a Obtendo: g = a / sen expressão que permite calcular o valor da aceleração da gravidade sendo conhecidos os valores da aceleração do PUCK e o ângulo de inclinação do plano (5.3) Material Kit PUCK 1 calço de aproximadamente 5 cm de altura Câmera de vídeo Computador com placa de captura Software SAM Procedimento Nivele a mesa fazendo com que o PUCK fique parado na mesa. Coloque o calço na mesa para que esta fique inclinada. Ligue somente a bomba de ar para o puck descer o plano inclinado praticamente sem atrito. Posicione o PUCK no topo da mesa, abandonando-o para que este desça a mesa em uma trajetória retilínea, paralela à margem lateral da mesa. Repita a experiência se o PUCK não fizer esta trajetória. Faça a filmagem da descida do PUCK procurando que o fundo seja homogêneo e branco e utilizando um padrão para medida. Medida do espaço S e do tempo t Figura 5.2: Posições ocupadas pelo PUCK a cada três quadros Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração". 25

27 Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do PUCK a cada três intervalos (três quadros), por exemplo (fig. 5.2). Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, com a janela "Posição" aberta.considere o espaço inicial igual a 0,0 cm. Posicione o cursor sobre sobre a posição 0 (posição inicial S), e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor até a nova posição 1, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (S) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 6.1. Meça os espaços (S) em outras posições e a posição inicial e coloque os dados na tabela 6.1. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 15 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/15 = 0,066 s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições do carrinho a cada seis intervalos, o tempo entre as posições 0 e 1 por exemplo é igual a 3 x 1/15 = 3/15 = 1/5 = 0,2s; entre as posições 0 e 2 é 0,4s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 6.1. Complete a tabela 6.1, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S). Calcule: - as velocidades médias para cada duas posições consecutivas (V média = S/ t) - as variações de velocidade ( V) - as acelerações médias (a = V/ t) e coloque estes valores na tabela 6.1. Determine o valor médio da aceleração Meça o ângulo (fig. 5.3) usando o "Transferidor" Figura Medida do ângulo usando o transferidor virtual. A medida pode ser realizada também usando como referência a base do plano Calcule aceleração da gravidade com os dados obtidos (g = a / sen ). Questões 1) Aumentando a inclinação da mesa, o valor da aceleração seria maior ou menor? Justificar a resposta. 2) E o valor da aceleração da gravidade variaria? Justificar a resposta. 3) Se você não mora na praia, o valor da aceleração da gravidade encontrado deve ter sido menor ou maior que o valor ao nível do mar (g= 980 cm/s 2 )? Por quê? 4) E agora você consegue responder a questão prévia? 26

28 Tabela Introdução ao Estudo da Dinâmica s (cm) t (s) s (cm/s) t (s) V (cm/s) V (cm/s) a (cm/s 2 ) 27

29 Experimento 6 - Pêndulo Simples - Medida da Aceleração da Gravidade Questão prévia Quando um relógio de pêndulo simples, é transportado de uma região quente, por exemplo Rio de Janeiro, para uma região fria, por exemplo a Sibéria, ele atrasa ou adianta? Resposta: Objetivos: Realizar experiências quantitativas do movimento de um pêndulo simples. Medir a aceleração da gravidade utilizando um pêndulo simples. Obter o valor da aceleração da gravidade utilizando outro método. Determinar o período, a freqüência, a velocidade angular, aceleração centrípeta do pêndulo simples. Introdução Um pêndulo simples consiste de um fio leve e inextensível de comprimento L, tendo na extremidade inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a extremidade superior é fixada em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente (resistência do ar desprezível), com amplitudes pequenas ( máximo = 3 o ) (fig.6.1). Quando o pêndulo é deslocado de sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a ação da força peso, apresentando um movimento periódico. As forças que atuam sobre a esfera de massa m são: a força peso p e a força de tração T. A força centrípeta, F c, que mantém o pêndulo na trajetória de um arco circular, é a resultante da força de tração T que o fio exerce e da componente da força peso p y na direção do raio, que imprime a aceleração centrípeta, a c : a c = V 2 / R Podemos determinar a aceleração da gravidade local, medindo a aceleração tangencial e o ângulo de um pêndulo simples. g = - a t / sen 6.1 Figura Pêndulo simples e as forças que atuam sobre a esfera de massa m Período do pêndulo simples Quando o ângulo for muito pequeno ( 3 o ) sen. Neste caso o pêndulo executa um movimento harmônico simples (MHS e o período pode ser calculado pela expressão: T = 2 (L / g) 1/

30 Período, freqüência, e velocidade angular de um pêndulo simples O período de um pêndulo, T, é o tempo que ele leva para dar uma oscilação completa, ou seja, o tempo que leva para sair da sua posição inicial e voltar para a mesma posição. Para medir este tempo vamos medir o tempo t que leva para dar um número determinado de oscilações, n: T = t / n 6.3 A freqüência é o número de oscilações, n, que o pêndulo executa em uma unidade de tempo, t. Para medir a freqüência vamos medir o número de oscilações que daria em uma determinado tempo, t: f = n / t 6.4 Relação entre período e freqüência: observa-se pelas expressões do período e da freqüência que o período é o inverso da freqüência e vice-versa: T = 1 / f ou f = 1 / T Unidade de período e freqüência Sistema Internacional U (T) = 1 segundo (1 s) U (f) = 1 segundo 1 = 1 s -1 = 1 hertz (1 Hz) A velocidade angular é calculada como sendo: ω = 2Π f ou ω = 2Π / T 6.5 e é medida em rad/s Material Pêndulo Um padrão de medida Filmadora de vídeo Computador com placa de captura Software "SAM" instalado no computador Procedimento Experimental Faça o pêndulo oscilar em um plano paralelo a câmera de vídeo. Observe como fica o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo para a filmagem. Faça a filmagem do pêndulo em movimento, e em seguida a captura de imagem conforme instruções do manual. Abra o programa SAM e a imagem com extensão avi salva no SAM, para fazer as medidas quantitativas dos espaços (S) e tempos (t) utilizando o SAM. Medidas do espaço e tempo/velocidade e aceleração (a) Figura Posições do pêndulo (b) 29

31 Para determinarmos a aceleração tangencial, a t, do movimento na posição escolhida (2) (fig. 6.2), devemos determinar a aceleração escalar média entre as posições (1) e (3), ou seja, imediatamente anterior e posterior á posição fixada: a 2 = V 1-3 / t 1-3. Portanto precisamos determinar os valores de V 1 e V 3, considerando: na posição S n, a velocidade do pêndulo nesta posição (1) (fig.6.2) é determinada pela velocidade média entre uma posição imediatamente posterior e uma posição imediatamente posterior, ou seja, V 1 = S 0-2 / t 0-2.O mesmo procedimento para V 3 ( V 3 = S 2-4 / t 2-4 ). Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração". Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do pêndulo a cada quadro, por exemplo. Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, com a janela "Posição" aberta. Considere o espaço inicial igual a 0,0 cm. Posicione o cursor sobre a posição 0 (posição inicial S), e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor até a nova posição 2, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (S) percorrido indicado na janela Posição - Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 6.1. Meça os espaços (S) em outras posições e a posição inicial e coloque os dados na tabela 6.1. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 15 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/15 = 0,066 s e entre as posições (0) e (2), 2/15 s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Coloque os valores dos espaços (S) e dos instantes (t) na tabela 6.1. Complete a tabela 6.1, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S). Como sugestão pode repetir o procedimento para outras posições do pêndulo, se possível. Calcule: - as velocidades médias (V média = S / t) para cada duas posições (0,2) e (2,4) - a(s) aceleração (ões) (a = V / t) e coloque estes valores na tabela 6.1. Calcule o valor médio das acelerações encontradas (a t ) Medidas da amplitude, comprimento do fio e período Meça o ângulo (fig. 6.2a) considerando a amplitude até a posição (2) usando o "Transferidor". Meça o comprimento do fio (L) utilizando a ferramenta régua Meça o período T que é o tempo correspondente a uma oscilação completa do pêndulo. Esta medida pode ser obtida na janela posição do SAM. Questões 1. Calcule o valor de g, através da expressão 6.1: g = - a t / sen 2. Calcule de um outro modo o valor de g usando a expressão 6.2: T = 2 (L / g) 1/2 3. Os valores encontrados em 1 e 2 são aproximadamente iguais 4. Calcule a freqüência, a velocidade angular, e a aceleração centrípeta. 5. E agora, você consegue responder a questão prévia? Sugestão:Faça novamente a experiência utilizando diferentes comprimentos de fio, diferentes amplitudes, diferentes massas e verifique se o período do pêndulo varia. 30

32 Tabela Pêndulo Simples s (cm) t (s) s (cm/s) t (s) V (cm/s) V (cm/s) a (cm/s 2 ) 31

33 Experimento 7 - Conservação da Energia Mecânica Questão prévia Uma esfera foi abandonada sucessivamente das posições A, B, C e D (fig. 7.1). Coloque na figura as posições A, B, C e D que ela atinge o solo. Justificar a resposta. Resposta Figura 7.1 Trajetórias da esfera abandonada das posições A, B, C e D Objetivos Verificar quantitativamente a conservação da energia mecânica durante a queda livre de um objeto. Trabalho Como que você definiria trabalho? Provavelmente você responderia um esforço mental ou físico realizado por uma pessoa ou uma máquina. Não está errado, mas vamos ver como ficaria a definição de trabalho em mecânica. O trabalho é realizado por uma força e precisa ter outras condições para que seja realizado um trabalho. Há duas condições para que uma força realize trabalho: i) Que haja deslocamento ii) Que haja força ou componente da força na direção do deslocamento. Definição de trabalho em mecânica: é o produto da força ou componente da força na direção do deslocamento, pelo deslocamento. Notação: T (trabalho) 32

34 Expressão: T = F. d 7.1 Observe que o trabalho é uma grandeza escalar porque é decorrente do produto escalar de duas grandezas vetoriais F e d. Quando a força atua na direção do deslocamento o trabalho é simplesmente o produto do módulo da força pelo módulo do deslocamento (fig.7.2): Expressão: T = F d 7.2 E quando a força não atua na direção do deslocamento? Neste caso projetamos a força na direção do deslocamento e determinamos a sua componente e a expressão para calcular o trabalho será (fig.7-3): Expressão: T = (F cos ) d 7.3 Figura Realização de um trabalho da força F na direção do deslocamento d Figura Trabalho realizado pela componente da força na direção do deslocamento Unidade de trabalho - SI U (T) = U (F) U (L) (unidade de trabalho) = unidade de força x unidade de comprimento No Sistema Internacional a unidade de força (U (F)) é 1 newton (1 N) e a do comprimento (U(L)) 1 metro (1 m), portanto: U (T) = 1 newton x 1m = 1 joule (1 J) 1 joule é o trabalho realizado por uma força de 1 N para deslocar o bloco a uma distância de 1 m. Energia - Energia cinética e potencial Energia é a capacidade de realizar trabalho. Energia cinética (E c ) está associada ao movimento do corpo (cine = movimento) e é definida como sendo a metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade do corpo: Expressão: E c =( m v 2 )/2 7.4 "O trabalho realizado pela força resultante F (conservativa) que desloca um corpo de uma posição para outra, é igual à variação de energia cinética". T = E c (final) - E c (inicial) 7.5 Observe que a unidade de energia é a mesma de trabalho, ou seja no SI é o joule (J). 33

35 Energia potencial: quando um objeto de massa m está a uma determinada altura em relação a um nível de referência, ele tem capacidade de realizar um trabalho; esta energia associada à posição que o objeto está que é denominada energia potencial gravitacional (E p ). A energia potencial gravitacional (E p ) é calculada como sendo o produto do peso do objeto pela altura que ele está em relação a um nível de referência: E p = p h = m g h 7.6 Conservação da energia mecânica A energia mecânica (E mec ) de um sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. Princípio da Conservação da Energia Mecânica Na ausência de forças dissipativas, a energia mecânica total do sistema se conserva, ocorrendo transformação de energia potencial em cinética e vice-versa (fig. 7.4). Podemos escrever: E mec = E p + E c = constante 7.7 onde E p = mgh e E c =( m v 2 )/2.Substituindo em 8.7, obtemos: E mec = mgh + ( m v 2 )/2 = constante ou E mec / m = gh + v 2 /2 = constante 7.8 Figura Queda livre de um objeto Material necessário 1 bola de ping-pong ou outra qualquer Cartolina preta para fazer o padrão de medida (5 cm x 10 cm) Filmadora de vídeo Computador com placa de captura Software "SAM" instalado no computador Procedimento Experimental Abandone a bola de uma altura de aproximadamente 2,0 m. Veja como fica o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e branco para a filmagem. Faça a filmagem da bola caindo, procurando observar que a queda seja na vertical. Faça a captura de imagem conforme instruções do manual. Em seguida abra o programa SAM e a imagem com extensão avi salva no SAM, para fazer as medidas quantitativas do espaço (S) e tempo (t) utilizando o SAM. Medida do espaço e do tempo Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções. Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições da bola a cada três intervalos (três quadros - em vermelho na fig.7.5), por exemplo. Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, com a janela "Posição" aberta.considere o espaço inicial igual a 0,0 cm. Posicione o cursor sobre a posição 0 (posição inicial S), e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o curso até a nova posição 1, sendo exibida uma linha entre a posição 34

36 inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (S) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 8.2. Meça os espaços (S) em outras posições e a posição inicial (fig.7.5) e coloque os dados na tabela 8.2. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições da bola a cada três intervalos, o tempo entre as posições 0 e 1, por exemplo, é igual a 3 x 1/30 = 1/10 = 0,1s; entre as posições 0 e 3 é 0,2 s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 8.2. Complete a tabela 8.2, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S) e os valores da velocidade média (v = S/ t). Medida das alturas relativas às posições intermediárias Calcule os valores intermediários S ' ' para cada intervalo como sendo (S 1 + S 2 )/2, (S 2 + S 3 )/2,... Calcule as alturas h i relativas às posições intermediárias como sendo h i = S ' i - S ' n onde i = 1, 2, 3,..., n e S ' n é a última posição intermediária (nível de referência) considerada na descida da bola tal que nesta posição vamos considerar E p = 0. Exemplo: h 1 = S ' 1 - S ' 5. Coloque estes valores na tabela 8.2. Cálculo da energia mecânica do sistema Figura Alturas relativas às posições intermediárias Calcule a soma de gh + 1/2 v 2 para cada posição intermediária que é o valor da energia mecânica dividido pela massa (E mec /m). Coloque estes valores na tabela 8.2. Questões 1) São constantes os valores de E mec /m obtidos na tabela 8.2? 2) Calcule o valor médio das E mec /m obtidas na tabela 8.2. Qual o desvio padrão médio das medidas de E mec /m relativo ao valor médio? 3) Procure resumidamente dar as conclusões, críticas e sugestões para melhoria do experimento. 4) E agora você consegue responder a questão prévia? 35

37 Parâmetros sen (seno do ângulo de inclinação do plano): g (valor da aceleração da gravidade em cm/s 2 ) Tabela Conservação da Energia Mecânica S (cm) t (s) S (cm) t (s) V (cm/s) S' (cm) D (cm) y = d sen (cm) g y + 1/2 v 2 (erg/g) 36

38 Experimento 8 Deformação Elástica: Lei de Hooke Questões prévias Quando você estica um elástico aplicando uma força, por que ele volta ao seu comprimento inicial quando a força é retirada? Resposta Objetivo Relacionar a 2 a Lei de Newton com a Lei de Hooke Introdução Medida de forças - Lei de Hooke Quando a deformação (x) da mola é elástica, cessando a ação da força (F) que produziu a deformação, a mola volta à posição inicial devido à ação da força elástica (F el ) intrínseca à mola (fig. 6.1). Hooke estabeleceu uma lei que relaciona a força elástica (F el ) com a deformação (x) produzida na mola que é a seguinte: Enunciado da Lei de Hooke "A intensidade da força elástica (F el ) é proporcional à deformação (x)". Expressão: F el = K x (Lei de Hooke) (6.1) ou vetorialmente: Figura Força elástica (F el ) que atua no sentido contrário ao da deformação (x) F el = - K x onde K é a constante elástica da mola. A unidade da constante elástica da mola no Sistema Internacional é 1 N/M. Observação: O sinal negativo na expressão vetorial da Lei de Hooke, significa que o vetor força elástica (F el ) atua no sentido contrário ao vetor deformação (x). 37

39 Relação Quando o sistema PUCK/ mola é solicitado por uma força externa F, a mola é deformada de uma quantidade x. Nesta situação, tem-se a ação da força elástica (F el ) que tem a mesma intensidade e sentido contrário ao de F (fig. 6.2 B). Cessando a ação da força F, a mola retorna à posição inicial devido à ação exclusiva da força elástica que imprime à mola uma aceleração a (fig. 6.2 C). Da 2 a Lei de Newton (parte I) tem-se que a intensidade da força é: F = F el = m a 6.2 Da Lei de Hooke (6.1) tem-se que: F el = K x Igualando as expressões (6.1) e (6.2), obtemos: Figura 6.2- Deformação da mola A - Posição inicial da mola B - Posição da mola deformada de uma quantidade x, quando aplicada uma força externa F C - Posição intermediária da mola quando está voltando à posição inicial sob ação da força elástica F el m a = K x ou a/x = K/m Como K e m são constantes para um mesmo corpo, K/m = constante, obtemos: a/x = constante 6.3 A expressão (6.3) mostra que: "A razão entre a aceleração e a deformação da mola é constante". Significa que quando a deformação duplica, a aceleração também duplica; quando a deformação triplica, a aceleração triplica e assim sucessivamente, indicando que as grandezas deformação e aceleração são diretamente proporcionais. Material Kit PUCK Câmera de vídeo 1 mola ou um pedaço de elástico 1 ventosa 1 folha de papel Procedimento Nivele a mesa. Prenda uma das extremidades da mola no PUCK e a outra na ventosa. Filme a posição do PUCK com a mola ou elástico não deformado. Estique a mola sem que o PUCK toque a mesa. Faça a filmagem soltando o PUCK tal que através de uma trajetória retilínea este se dirija ao ponto de fixação da mola. Medidas Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração". Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do PUCK a cada quadro, por exemplo. Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, com a janela "Posição" aberta.considere o espaço inicial igual a 0,0 cm para a posição em que a mola está com deformação máxima (fig. 8.5b). 38

40 Figura Deformação de um elástico utilizando o puck: a) deformação mínima; b) deformação máxima Posicione o cursor sobre a posição 0 (posição inicial S), e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor até a nova posição 1, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (S) percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque na tabela 6.2. Meça os espaços (S) em outras posições e a posição inicial e coloque os dados na tabela 6.2. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 15 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/15 = 0,066 s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Complete a tabela 6.2, colocando os intervalos de tempo ( t) e calculando a correspondente variação de espaço ( S). Meça a massa do puck. Calcule: - as velocidades médias para cada duas posições consecutivas (V média = S/ t) - as variações de velocidade ( V) - as acelerações médias (a = V/ t) e coloque estes valores na tabela 6.2. Meça os valores da deformação da mola (x). Estes valores são obtidos a partir da posição do PUCK com a mola não deformada (x = 0 cm) à deformação máxima, x (fig 8.5. Coloque estes valores medidos na tabela 6.2. Calcule as razões entre a aceleração e a deformação (a/x) e coloque estes valores na tabela 6.2. Calcule o valor médio das razões (a/x). Faça o gráfico a versus x. Determine a razão a/x a partir do gráfico obtido. Determine o valor da constante elástica da mola. Questões 1) A razão entre a aceleração e a deformação ficou aproximadamente constante? 2) O valor encontrado a partir do gráfico de a/x é aproximadamente igual ao valor médio encontrado? Justificar a resposta. 3) Qual o valor da constante elástica da mola? Utilize para os cálculos o valor médio da razão (a/x) já calculado. 4) E agora, você consegue responder a questão prévia? 39

41 Tabela Introdução ao Estudo da Dinâmica S(cm) t(s) s (cm) t (s) V(cm/s) v(cm/s) a (cm/s 2 ) X (cm) a/x (s -2 ) 40

42 Experimento 9 - O Movimento Gravitacional: 2 a Lei de Kepler Questão prévia A trajetória de um planeta ao redor do sol é elíptica, tal que o Sol ocupa um dos focos (fig. 7.1). Quando o planeta mais próximo do Sol (periélio), a sua velocidade aumenta ou diminui? Por que? Resposta Objetivos Verificar experimentalmente a 2ª Lei de Kepler Comparar as velocidades próximas ao centro de atuação da força e as velocidades afastadas do centro de atuação da força Introdução Leis de Kepler (1 a e 2 a ) 1 a Lei de Kepler Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma forma elíptica da qual o Sol ocupa um dos focos (fig. 9.1)". 2 a Lei de Kepler A reta que une um planeta ao Sol "varre" áreas iguais em tempos iguais (fig. 9.2).. Figura a Lei de Kepler - O Sol ocupa um dos focos da elipse e a órbita do planeta é elíptica. Figura a Lei de Kepler - As áreas A 1 e A 2 são iguais. Nestes desenhos exageramos a excentricidade das elipses para facilitar a compreensão. Da fig. 9.2 você pode observar que: As áreas A 1 e A 2 são iguais considerando que os tempos para o planeta ir de A a B e de C a D são iguais. O planeta se move com maior velocidade perto do Sol (arco AB) do que quando está mais afastado do Sol (arco CD). Isto acontece porque o planeta, estando mais próximo do Sol, sofre uma força de atração maior (comprovado mais tarde por Newton). Observação: A 2 a Lei de Kepler é válida para qualquer movimento em que haja atuação de forças dirigidas para um único ponto. Assim, no movimento circular, por exemplo, vale a 2 a Lei de Kepler. 41

43 Lei da Gravitação Universal (Isaac Newton - séc XVII) Mais tarde, Newton, apoiado nas idéias de Kepler, observou que os planetas deviam estar sujeitos a uma força centrípeta, pois não sendo assim, suas trajetórias não seriam curvas. Logo Newton concluiu que essa força era devida à atração do Sol sobre os planetas, deduzindo as Leis de Kepler, que antes disso eram baseadas apenas em observações. A Lei da Gravitação Universal é uma expressão matemática baseada na força de atração do Sol nos planetas cujo enunciado é: "Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Expressão: F = (Gm 1 m 2 ) / d 2 (9.2) Onde: F: força de atração G: constante de gravitação universal m 1 e m 2 : massas dos corpos estudados d: distância entre os corpos Esta lei estabelece duas relações importantes: Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa. Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa. Da fig. 9.2 temos que a força F 1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F 2 porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2. Como há muitas dificuldades para simular um movimento gravitacional no laboratório, a 2 a Lei de Kepler vai ser demonstrada para um movimento central realizado por uma mola. Material Kit PUCK Câmera de vídeo Mola ou um pedaço de elástico Ventosa Procedimento Nivele a mesa. Fixe a ventosa próxima à margem da mesa (fig. 9.3). Prenda uma das extremidades da mola ou elástico ao PUCK e a outra à ventosa. Ligue apenas a bomba de ar do PUCK Figura Montagem do Kit do Puck. 42

44 Dê um pequeno impulso no PUCK para ele descrever uma trajetória ao redor do centro de atuação da força. Faça a filmagem, colocando a câmera em uma posição tal que fique paralela à mesa de vidro. Faça a captura e o tratamento da imagens obtidas Medidas Fazer a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções. Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do puck a cada três intervalos (três quadros), por exemplo (fig. 5). Com a ferramenta Reta, trace os triângulos que está sendo "varrido" pelo vetor posição, unindo as posições do puck marcadas ao centro C, como mostra a figura 9.4a. Figura 9.4a - Áreas "varridas" pelo vetor posição com origem em C, quando o puck vai da posição A (1) para B (2) e de B (2) para D (3) Figura 9.4b - Utilizando as ferramentas do SAM para determinar a altura h do triângulo CAB Para obter as áreas varridas em tempos iguais: Determine a altura h, utilizando a ferramenta círculo, considerando, por exemplo, a base como sendo BC (b 1 ). Para tal, trace (fig. 9.4b): - Uma circunferência com centro C e raio CA e em seguida outra com centro em B e raio BA. - Com a ferramenta Reta, trace o segmento AA, que une as intersecções das duas circunferências. - A altura h é dada pela distância AH, que é a perpendicular traçada do ponto A à base BC (b). Meça a altura h e a base BC (b) com a ferramenta régua. Faça o mesmo procedimento para obter as alturas e bases dos outros triângulos Coloque os valores na tabela 7.1. Calcule as áreas (A = (b* h) / 2) dos triângulos como mostra a figura 9.4a. Questões 1) Calcule o valor médio das áreas encontradas na tabela ) Da sua compreensão da 2 a Lei de Kepler, os resultados das áreas obtidos na tabela 7.1 são os esperados? Justificar a resposta. 3) As velocidades do PUCK, quando está próximo ao centro de força, são maiores ou menores que as velocidades do PUCK afastado do centro de força? Justificar a resposta sem fazer cálculos, observando apenas a trajetória do PUCK. 43

45 4) E agora, você consegue responder a questão prévia? Dê resumidamente as conclusões e sugestões para melhoria do experimento. Triângulo b (cm) h (cm) A (cm 2 ) A B C D E F G H I 44

46 Experimento 10 - Conservação da Quantidade de Movimento Questões prévias Parte I- Choque frontal Considere um carro pequeno com a mesma velocidade de um caminhão que estão se movimentando na mesma direção e em sentidos contrários. Em um determinado instante, eles colidem frontalmente. Está correto afirmar que o carro fica mais danificado que o caminhão porque o caminhão exerce maior força sobre o carro? Resposta Parte II- Choque bi-dimensional Considere uma bola de bilhar que está com uma determinada velocidade se chocando com outra de mesma massa que está em repouso (fig.10.1). Após o choque, elas se movimentam em direções diferentes. Qual adquire a maior velocidade: a que estava em repouso ou a que estava em movimento? Resposta Objetivo Verificar experimentalmente o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento em choques frontal e bi-dimensional. Introdução Impulso Você sabe o que acontece quando a bola de futebol fica em contato com o pé do jogador (fig. 10.1)? Vai ser aplicada uma força, F, em um pequeno intervalo de tempo t (na ordem de centésimos de segundos), tal que esta força vai direcionar a bola para onde o jogador quiser. O impulso desta força é o produto da força, F, multiplicada pelo intervalo de tempo, t. O impulso é uma grandeza vetorial porque vai ser dada direção e sentido para a bola, através da força aplicada. Notação: I impulso Expressão: I = F t 10.1 Observe que o vetor impulso, I, tem a mesma direção e sentido do vetor força, F. Figura 10.1-II - Interação da bola com o pé do jogador Unidade de medida - Impulso - Sistema Internacional U (I) = U (F) U (t) = 1 Newton segundo (1 N s) 45

47 Quantidade de Movimento A quantidade de movimento é definida como sendo o produto da massa da bola pela velocidade adquirida. É também vetorial porque é o produto de uma grandeza escalar (massa) por uma grandeza vetorial (velocidade). Notação: Q quantidade de movimento Expressão: Q = m V 10.2 Observe que o vetor quantidade de movimento, Q, tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade, V. Unidade - Quantidade de Movimento - Sistema Internacional: U (Q) = U (m) U (V) = 1 quilograma metro/segundo (1 kg m/s) Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento: "É constante a quantidade de movimento de um sistema quando a resultante das forças externas for nula". Q 1 + Q 2 = 0 Q inicial = Q final 10.3 sendo as quantidades de movimento grandezas vetoriais. Vamos analisar o caso mais simples em que bolas de massas diferentes, movimentando-se na mesma direção e em sentidos opostos (fig. 10.1a), e após a colisão se movimentam na mesma direção e mesmo sentido (fig. 10.1b). (a) (b) Figura 10.1 Colisão de duas bolas de massas diferentes, com velocidades diferentes antes da colisão Quando houve a colisão das bolas, considerando que o sistema seja isolado de forças externas (forças externas nulas), ou se a resultante das forças externas for nula. Calculando a quantidade de movimento antes da colisão: Q i = m A V 1A - m B V 1B 10.3 Calculando a quantidade de movimento depois da colisão: Q f = m A V 2A +m B V 2B 10.4 Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento (Q i = Q f ), podemos igualar 10.3 e 10.4: m A V 1A - m B V 1B = m A V 2A +m B V 2B 10.5 Material necessário Dois PUCKS Mesa de vidro Cartolina para fazer o padrão de medida (10 cm x 20 cm) Filmadora de vídeo Computador com placa de captura Software SAM instalado no computador 46

48 Parte I Choque frontal Procedimento Nivele a mesa de vidro fazendo com que os pucks fiquem em repouso na parte central da mesa. Permaneça um puck em repouso e no outro dê um pequeno impulso, tal que após choque os dois pucks se movimentem na mesma direção e em sentidos contrários (choque frontal). Observe como ficou o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e preto. Faça a filmagem dos pucks antes e após a colisão. Repita o procedimento fazendo com que os pucks, antes e depois do choque, se movimentem em direções diferentes. Para fazer a captura da imagem, acelere o hardware do computador. Faça a captura da imagem conforme instruções do manual SAM. Faça o tratamento das imagens utilizando o VídeoFramer, por exemplo, acompanhando as instruções. Salve a imagens com extensão avi. Em seguida desacelere o hardware do computador, para poder abrir as imagens no SAM. Abra as imagens no software SAM para fazer as medidas dos espaços nas direções de x e y e do tempo (t). Medidas do espaço e do tempo Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções. Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do puck antes e após o choque, a cada três quadros, por exemplo (fig. 10.2). Com a ferramenta "Régua", faça as medidas dos espaços, x, com a janela "Posição" aberta.considere os espaços iniciais, x 0, antes e depois do choque, iguais a 0,0 cm. Coloque os na tabela 4.1. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições do puck a cada três intervalos, o tempo entre as posições 1 e 2 por exemplo é igual a 3 x 1/30 = 3/30 = 1/10 = 0,1s; entre as posições 1 e 3 é 0,2s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 4.1. Figura Choque frontal de dois pucks. Posições assinaladas a cada 3 quadros. Complete a tabela 4.1, calculando os intervalos de tempo ( t), calculando as correspondentes variações de espaço ( x) e o valores de V x = x / t, antes e depois do choque. Calcule os valores médios das velocidades de cada puck, antes e depois do choque. Sendo as massas dos dois pucks iguais a m, calcule as quantidades de movimento antes e depois do choque. Questões: I-1) A quantidade de movimento é conservada? I-2) E agora, você consegue responder a questão prévia? 47

49 Tabela Quantidade de Movimentos Movimento na direção X X (cm) t (s) X (cm) t (s) V x (cm/s) Parte II- Choque bi-dimensional Procedimento Nivele a mesa de vidro fazendo com que os pucks fiquem em repouso na parte central da mesa. Faça com que os pucks colidam estando inicialmente em direções diferentes. Observe como ficou o enquadramento do movimento com o padrão de medida. Procure utilizar um fundo homogêneo e preto. Faça a filmagem dos pucks antes e após a colisão. Repita o procedimento fazendo com que os pucks, antes e depois do choque, se movimentem em direções diferentes. 48

50 Para fazer a captura da imagem, acelere o hardware do computador. Faça a captura da imagem conforme instruções do manual SAM. Faça o tratamento das imagens utilizando o VídeoFramer, por exemplo, acompanhando as instruções. Salve a imagens com extensão avi. Em seguida desacelere o hardware do computador, para poder abrir as imagens no SAM. Abra as imagens no software SAM para fazer as medidas dos espaços nas direções de x e y e do tempo (t). Medidas do espaço e do tempo Faça a calibração, ajustando a relação "pixels/cm", abrindo a janela "Calibração" conforme instruções. Com a ferramenta "Marcador", assinale as posições do puck antes e após o choque, a cada três quadros, por exemplo (fig. 10.3). Com a ferramenta "Régua", e "Transferidor", trace o sistema de eixos cartesianos, antes do choque, e depois do choque, tal que a origem do sistema coincida com a origem do movimento, antes e depois do choque como mostra a fig Figura 10.3-II - Choque de dois pucks. Posições assinaladas a cada 3 quadros. Posicione o cursor sobre a posição 1, e mantendo pressionado o botão esquerdo, arraste o cursor perpendicularmente aos eixos x ou y, sendo exibida uma linha entre a posição inicial e final e solte o botão. Leia o valor do espaço (x) ou y percorrido indicado na janela Posição - "Posição Espacial/Distância" e coloque os valores de x na tabela 4.1 e os de y na tabela 4.2. Se a captura da imagem foi realizada a uma razão de 30 quadros/s, o intervalo de tempo entre duas posições sucessivas (de um quadro para outro) é igual a 1/30 = 0,033s. Verifique no próprio SAM, clicando no botão "Avança" quadro a quadro e conferindo as informações na janela "Posição". Tendo marcado as posições do puck a cada três intervalos, o tempo entre as posições 1 e 2, por exemplo, é igual a 3 x 1/30 = 3/30 = 1/10 = 0,1s; entre as posições 1 e 3 é 0,2s e assim sucessivamente. Coloque estes valores dos instantes (t) na tabela 4.1 e 4.2. Complete as tabelas 4.1 e 4.2, calculando os intervalos de tempo ( t), calculando as correspondentes variações de espaço ( x) e ( y) e o valores de V x = x / t, V y = y / t antes e depois do choque. Calcule os valores médios das velocidades V x e V y, antes e depois do choque para cada puck. Sendo as massas dos dois pucks iguais a m, calcule as quantidades de movimento antes e depois do choque, nas direções x e y. Questão 1. As quantidades de movimento foram conservadas nas direções x e y? 2. E agora você consegue responder a questão prévia? Tabela Quantidade de Movimentos Movimento na direção X X (cm) t (s) X (cm) t (s) V x (cm/s) 49

51 Tabela Quantidade de Movimento: Movimento na direção y y (cm) t (s) y (cm) t (s) V y (cm/s) 50