GUIA DO PROFESSOR. DESCRIÇÃO OBJETIVOS

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1 Página 1 GUIA DO PROFESSOR Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo conteudosdigitais@im.uff.br DESCRIÇÃO No século XVI, o astrônomo alemão Johannes Kepler tentou encontrar uma relação entre os cinco sólidos e os seis planetas que eram conhecidos na época: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler pensou que os dois números estavam conectados, isto é, que a razão pela qual havia somente seis planetas era porque existiam somente cinco sólidos regulares. Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Kepler estabeleceu um modelo do sistema solar onde os cinco sólidos platônicos eram colocados um dentro do outro, separados por uma série de esferas inscritas. Ele conjecturou que as razões entre os raios das órbitas dos planetas coincidiam com as razões entre os raios das esferas. Seu modelo, contudo, não era sustentado pelos dados experimentais da época e foi desaprovado por inteiro pelas descobertas posteriores dos planetas Urano e Netuno. Contudo, de sua pesquisa, nasceram a descoberta de novos sólidos (que hoje, levam o seu nome), a percepção de que as órbitas dos planetas não são círculos (mas, sim, elipses) e as leis do movimento planetário. Através de um software interativo, esta atividade propõe estudar os detalhes matemáticos que compõem este trabalho de Kepler. OBJETIVOS Estudar como Kepler usou os sólidos platônicos e suas esferas circunscritas para compor um modelo matemático para o sistema solar. QUANDO USAR? Sugerimos que a atividade seja usada quando da apresentação da teoria dos poliedros em geometria espacial. COMO USAR? Decidir como usar o computador é uma questão que depende de alguns fatores: número de alunos na turma, número de computadores disponíveis no laboratório de informática e tempo disponível em sala de aula. Em virtude disto, vamos sugerir três estratégias de uso desta atividade: 1. Como um exercício extraclasse.

2 Página 2 Nesta modalidade, você pode propor a atividade para seus alunos como um dever de casa (valendo um ponto extra), para ser realizado fora do tempo de sala de aula, isto é, em um horário livre no laboratório da escola ou na própria casa do aluno, caso ele possua um computador. Você pode definir um prazo pré-determinado para a realização da atividade (por exemplo, uma semana). No decorrer do prazo do dever de casa, você poderá tirar dúvidas eventuais de seus alunos. Para tornar o trabalho mais orientado e focado, recomendamos fortemente que o dever de casa seja conduzido através de algum registro escrito. O formulário de acompanhamento do aluno, apresentado mais embaixo, pode ser usado para este propósito. Este formulário também será útil como instrumento para uma discussão posterior em sala de aula (quando da devolução do formulário) e fornecerá subsídios para uma possível avaliação. 2. Em sala de aula com um projetor multimídia (datashow) Se você tiver acesso a um projetor multimídia (datashow) ou a um computador ligado na TV, você poderá conduzir o jogo da atividade em sala de aula, junto com seus alunos: após resolver um desafio, peça para que eles tentem resolver os demais. 3. Como uma atividade de laboratório sob a supervisão do professor. A grande vantagem desta modalidade é que você poderá acompanhar de perto como os alunos estão interagindo com o computador. Sugerimos que você apresente o jogo aos alunos, resolvendo um dos desafios como exemplo e, a partir daí, deixe-os brincar livremente, intervindo apenas quando necessário. Esta atividade não deverá ocupar mais do que 45 minutos no laboratório. Principalmente nas modalidades 1 e 3, recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre para modificá-lo de acordo com suas necessidades): kepler-aluno.rtf. Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade através do seguinte ícone: As respostas dos questionamentos propostos neste formulário não estão incluídas com a atividade, mas elas podem ser solicitadas através do conteudosdigitais@im.uff.br.. OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em preencher o formulário de acompanhamento. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o registro escrito de suas ideias. Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas. OBSERVAÇÕES TÉCNICAS

3 Página 3 A atividade pode ser acessada usando um navegador (Firefox 2+ ou Internet Explorer 7+), através do link (endereço alternativo: Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet. O jogo pode ser executado em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link /pt_br/. Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável. Combinação de Teclas Efeito Ampliar Reduzir Voltar para a configuração inicial Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade. DICAS O Episódio A Harmonia dos Mundos, do seriado Cosmos do astrônomo Carl Sagan, apresenta a vida Johannes Kepler e os vários modelos matemáticos para as órbitas dos planetas por ele elaborados (incluindo o Mysterium Cosmographicum e suas três leis para o movimento planetário). Caso exista a oportunidade, recomendamos fortemente que este vídeo seja apresentado aos alunos antes da execução da atividade! Foto: NASA (Wikimedia Commons). QUESTÕES PARA DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE

4 Página 4 Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização da tarefa. Se você optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da atividade. Se você optou por um exercício extraclasse, a discussão pode ser feita quando da devolução do questionário. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc. AVALIAÇÃO Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno. Recomendamos que o questionário preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao relatório. REFERÊNCIAS Sagan, C. Cosmos. Editora Villa Rica, Stephenson, B. The Music of Heavens Kepler's Harmonic Astronomy. Princeton University Press, [Clique aqui para voltar para a página principal!] Dúvidas? Sugestões? Nós damos suporte! Contacte-nos pelo conteudosdigitais@im.uff.br.

5 Anexo Formulário de Acompanhamento do Aluno

6 Atividade: Mysterium Cosmographicum Aluno(a): Turma: Professor(a): Parte 01 A circunsfera de um poliedro é a esfera cuja superfície contém todos os vértices do poliedro. Nem todos os poliedros possuem uma circunsfera, mas os sólidos platônicos regulares possuem. Justificando a sua resposta, complete a tabela abaixo (o número a representa a medida das arestas do poliedro). Sólido Platônico Regular Raio da Circunsfera Cubo Octaedro Tetraedro Dodecaedro Icosaedro Parte 02 (a) Dê um exemplo de um poliedro convexo que não possui uma circunsfera. (b) Todo tetraedro possui uma circunsfera? Justifique sua resposta! (c) Todo poliedro que não é regular não possui circunsfera? Justifique sua resposta! Parte 03 A insfera de um poliedro é a esfera cuja superfície tangencia todas as faces do poliedro. Nem todos os poliedros possuem uma circunsfera, mas os sólidos platônicos regulares possuem. Justificando a sua resposta, complete a tabela abaixo (o número a representa a medida das arestas do poliedro). Sólido Platônico Regular Raio da Insfera Cubo Octaedro Tetraedro Dodecaedro Icosaedro Parte 04 (a) Dê um exemplo de um poliedro que não possui uma insfera. (b) Todo tetraedro possui uma insfera? Justifique sua resposta! (c) Todo poliedro que não é regular não possui uma insfera? Justifique sua resposta! 1

7 Parte 05 A razão harmônica é uma propriedade de um poliedro. A razão harmônica é a razão entre o raio da circunsfera e o raio da insfera do poliedro. Justificando sua resposta, complete a tabela abaixo. Sólido Platônico Regular Cubo Octaedro Tetraedro Dodecaedro Icosaedro Razão harmônica Parte 06 A distância de cada planeta ao Sol não é constante ao longo do tempo (Kepler já sabia disto quando escreveu o Mysterium Cosmographicum). Há um raio máximo, que é a maior distância do planeta ao Sol; um raio mínimo, que é a menor distância do planeta ao Sol; e um raio médio, que é a média aritmética entre o raio máximo e o raio mínimo. A tabela abaixo [Moore & Hunt, 1983] fornece estes valores em milhões de quilômetros (MKm). Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno 69,70 109,00 152,00 249,00 815, ,00 57,91 108,21 149,60 227,94 778, ,01 Raio Mínino 45,90 107,40 147,00 206,00 740, ,00 Com estes dados, complete as tabelas seguintes com as razões entre os diversos raios entre um planeta e seu antecessor. Vênus Mercúrio Terra Vênus Marte Terra Júpiter Marte 2

8 Saturno Júpiter Parte 07 Para cada par de planetas consecutivos indicados na tabela abaixo, determine quais tipos de razões calculadas na Parte 06 mais se aproximam das razões harmônicas calculadas na Parte 05. Indique também o erro percentual nessas aproximações. Par de planetas Vênus/Mercúrio Terra/Vênus Marte/Terra Júpiter/Marte Saturno/Júpiter Tipo da razão entre as órbitas Valor da razão entre as órbitas Razão harmônica Poliedro(s) Erro Percentual Parte 08 (a) No software da atividade você pode montar uma sequência de 5 sólidos regulares, um dentro do outro. Quantas sequências podem ser montadas no total? Quantas sequências podem ser montadas no total sem repetição de poliedros? (b) Um cosmograma é uma sequência de 5 sólidos regulares, um dentro do outro, de tal modo que as razões harmônicas destes poliedros, do mais interno para o mais externo, são aquelas indicadas nas linhas da quarta coluna da tabela da Parte 7 (isto é, as razões harmônicas que melhor aproximam as razões entre as órbitas de planetas consecutivos). Quantos cosmogramas existem? A escolha de planetas feita originalmente por Kepler está entre eles? Lembre-se que Kepler escolheu a seguinte sequência: octaedro, icosaedro, dodecaedro, tetraedro e cubo. (c) Quantas sequências de poliedros possuem as mesmas razões harmônicas que a sequência de Kepler? Quantas sequências existem sem repetições de poliedros? Parte 09 Quando Kepler escreveu o seu Mysterium Cosmographicum, os planetas Urano e Netuno não haviam sido descobertos. Usando as razões harmônicas calculadas na Parte 5, determine quais os poliedros mais adequados para estender o modelo de Kepler de forma a incluir os planetas Urano e Netuno. A terceira coluna da tabela abaixo exibe a razão do planeta mais externo pelo do planeta mais interno. Par de planetas Tipo da razão entre as órbitas Valor da razão entre as órbitas Urano/Saturno Mínimo/Máximo 1,7149 Netuno/Urano Mínimo/Máximo 1,1834 Razão harmônica Poliedro(s) Erro Percentual Parte 10 Plutão, que era o planeta mais distante do Sol, foi rebaixado a planeta-anão em Se Plutão ainda fosse um planeta, que poliedro se adequaria a sua razão com Netuno? E qual seria o erro? Par de planetas Tipo da razão Valor da razão entre as órbitas entre as órbitas Plutão/Netuno Mínimo/Máximo Razão harmônica Poliedro(s) Erro Percentual Parte 11 Antes de usar o modelo 3D baseado nos sólidos platônicos, Kepler tentou usar um modelo 2D baseado em polígonos regulares. 3

9 Neste modelo, as órbitas de dois planetas consecutivos seriam os círculos inscrito e circunscrito de um polígono regular. O círculo circunscrito a um polígono regular é o círculo que contém todos os vértices do polígono. Já o círculo inscrito em um polígono regular é aquele que é tangente a todos os lados do polígono. Se R e r são, respectivamente, os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um polígono regular, a razão R/r é denominada razão harmônica do polígono. (a) Calcule a razão harmônica de um polígono regular de n lados. O que acontece com a razão harmônica quando n tende a infinito? (b) Por que Kepler abandonou a ideia de usar polígonos regulares para construir um modelo do universo? 4