2.8 Resumo e considerações finais... 79

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Lorenzo Eger Bergmann
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1 Sumário 1 Conceitos Preliminares Introdução Conceitos em probabilidade Algumas distribuições Variáveis aleatórias multidimensionais Desigualdades em probabilidade e teoremas limites Inferência estatística Resumo e considerações finais Apêndice I - Desigualdades de Chebyshev e Markov Desigualdade de Chebyshev Desigualdade de Markov Apêndice II - Distribuição de Poisson Econometria em Finanças Processos estocásticos Conceitos básicos em séries temporais Estacionariedade Formulação dos modelos Box e Jenkins Séries financeiras Séries de retornos Modelos para as séries de retornos Testes para estacionariedade Testes para autocorrelação Volatilidade condicional Modelos de volatilidade condicional lineares Modelos de volatilidade condicional não lineares Teste para GARCH linear Teste para GARCH não linear Testes de adequação do modelo Volatilidade estocástica Resumo e considerações finais Apêndice - Análise de Modelos em Séries Financeiras

7 Resumo e considerações finais........................ 36 1.8 Apêndice I - Desigualdades de Chebyshev e Markov............ 38 1.8.1 Desigualdade de Chebyshev..................... 38 1.8.2 Desigualdade de Markov.

2 xxii Ajuste do modelo Teste de adequação do modelo Resultados Cálculo Estocástico Processo Browniano Propriedades do processo Browniano padrão Definições básicas Valor esperado condicional Conceitos básicos Noção de σ-álgebra, espaço e medida de probabilidades Valor esperado condicional Processos martingais Integração estocástica Integral de Riemann Integral de Riemann-Stieltjes Integral de Itô de um processo simples Integral de Itô do processo generalizado Regras básicas de operacionalização Variação e covariação do processo de Itô Fórmula de Itô Exemplos de EDE s Processo geométrico Browniano Equação de Langevin Processo de Ornstein-Uhlenbeck Resumo e considerações finais Apêndice I - Teoremas 3.1 e Apêndice II - Proposição Apêndice III - Variação quadrática de I t Apêndice IV - Integração por partes Apêndice V - Condições de Lipschitz e Hölder Modelo de Black, Merton e Scholes Apreçamento em finanças Conceitos básicos Modelo de Black e Scholes Modelo de Merton Modelo de Margrabe Gregas Volatilidade implícita Resumo e considerações finais Apêndice - Solução da EDP de BMS Solução da EDP de BMS Transformada de Fourier Solução da equação do calor Resultados básicos

2 Valor esperado condicional.......................... 95 3.2.1 Conceitos básicos........................... 96 3.2.2 Noção de σ-álgebra, espaço e medida de probabilidades...... 99 3.2.3 Valor esperado condicional.

3 xxiii 5 Mudança de Medida Conceitos básicos Mudança de medida Mudando a medida do Browniano Teorema de Girsanov Mudando a medida dos processos de preços Apreçamento pela medida martingal Teoremas fundamentais de finanças Extensões do modelo de BMS Derivativos exóticos Opções com barreiras Opções lookback Opções asiáticas Resumo e considerações finais Apêndice I - Modelo de Bachelier Apêndice II - Lema Apêndice III - Teoremas fundamentais Apêndice IV - Método de Monte-Carlo Equações Diferenciais Estocásticas Conceitos básicos Definições em processos multivariados Gerador de difusão de Itô Equação de Kolmogorov Equação de Fokker-Planck Equação de Feynman-Kac Equações diferenciais estocásticas Definições básicas Solução forte da EDE Solução geral da EDE Resumo e considerações finais Apêndice I - Densidade implícita Apêndice II - Volatilidade local Derivativos Americanos Conceitos básicos Apreçamento do derivativo Apreçamento da opção de venda Fronteira ótima de exercício Soluções Numéricas Método binomial Derivativos americanos e bermudianos Aplicações do conceito de não arbitragem Resumo e considerações finais Apêndice - Método binomial de CRR

7 Teoremas fundamentais de finanças..................... 201 5.8 Extensões do modelo de BMS........................ 207 5.9 Derivativos exóticos.............................. 209 5.9.1 Opções com barreiras.

4 xxiv 8 Tópicos em finanças Volatilidade estocástica Modelo de Heston Fórmula de Heston Modelos com saltos Conceitos básicos Processos de Poisson e processo composto Processo de difusão com saltos Fórmula de Itô Simulação e estimação de processos com saltos Mudança de medida Apreçamento com saltos Mudança de numerário Noções de numerário Mudança de numerário e de medida Aplicação - modelo de Margrabe Aplicação - medida forward Resumo e considerações finais Apêndice - Teorema Mercados futuros Contrato forward Contrato futuro Forward e futuro de ativos financeiros Futuro de commodities Prêmio de risco Modelo de Black Fundamentos do Gerenciamento de Risco Preço à vista de commodities Resumo e considerações finais Modelos em commodities I Modelo de um fator A natureza do retorno de conveniência Modelo de Gibson e Schwartz Modelos de Schwartz Modelo de dois fatores Modelo de três fatores Comentários adicionais Modelo de Schwartz e Smith Filtro de Kalman Introdução Definição do modelo na forma espaço-estado Derivação do filtro de Kalman O algorítmo do filtro de Kalman Estimação por máxima verossimilhança Implementação da calibragem

................... 290 8.2.4 Fórmula de Itô............................ 293 8.2.5 Simulação e estimação de processos com saltos........... 297 8.2.6 Mudança de medida......................... 301 8.

5 xxv 10.8 Aplicações e extensões do modelo de dois fatores Resumo e considerações finais Apêndice - Calibragem do modelo de dois fatores Séries de preços Calibragem da série completa Calibragem dos subperíodos e análise dos resultados Modelos em commodities II Modelo de longo prazo Modelo de Casassus e Collin-Dufresne Modelos com saltos Modelo de Hilliard e Reis Outros modelos com saltos Modelos de estrutura a termo (tipo HJM) Modelagem da curva futura Modelo de Miltersen e Schwartz Modelo de Björk e Landén Commodity energia elétrica As características do mercado Modelos para os preços da energia Opções sobre margem (spread options) Opções com aproximação Gaussiana Aproximação de Carmona e Durrleman Extensão da aproximação (saltos) Extensão da aproximação (reversão) Resumo e considerações finais Apêndice - Opções Reais Referencias ˆ bibliograficas 421 Indice 433

....... 379 11 Modelos em commodities II 389 11.1 Modelo de longo prazo............................ 390 11.2 Modelo de Casassus e Collin-Dufresne.................... 392 11.3 Modelos com saltos.

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