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3 7."+#2-0#83%) Agradeço ao Professor Luciano Irineu de Castro Filho pelas contribuições seminais; aos Professores Rodrigo Andrés de Souza Peñaloza e José Guilherme de Lara Resende pelas intervenções providenciais. Agradeço também ao Tribunal de Contas da União, na pessoa do Ministro Walton Alencar Rodrigues e dos gerentes vanguardistas na sua gestão, pelo apoio institucional. À Ana Stella Miranda Silva agradeço pelo apoio emocional e pela resiliência em face das intempéries da vida. Agradeço ainda ao Senhor do Universo e a seu filho, Governador da Terra, pela oportunidade que me proporcionaram.

4 (#)90% Este trabalho tem por objetivo estudar as receitas esperadas de leilões de primeiro preço com adoção de preço de reserva. Para isso, parte-se de um modelo alternativo (distribuição de malha) ao tradicional na literatura (afiliação) com o intuito de verificar qual solução é a preferível em termos de receita esperada: com preço de reserva anunciado ou sigiloso. Por intermédio de simulações numéricas, são calculadas receitas esperadas ínterim e ex-ante de leilões de primeiro preço com base na existência de equilíbrios monótonos em estratégias puras dos lances dos jogadores, os quais são também testados. Conclui-se que quanto menor for o preço de reserva, mais favorável será o uso de preço de reserva secreto, pois proporcionará maior receita esperada do que a opção pelo preço de reserva divulgado. Esse resultado decorre do fato de que o sigilo do preço de reserva provoca incerteza sobre seu valor, o que promove lances mais elevados pelos participantes do leilão. No entanto, à medida que o preço de reserva aumenta, o leilão com preço de reserva divulgado passa a ser vantajoso vis-à-vis o sigiloso, pois o conhecimento do valor do preço de reserva assegura que os jogadores de maior tipo apresentem lances maiores. Também é simulada a maior concorrência nos leilões por meio do incremento do número de participantes, resultando em uma indiferença cada vez maior entre a escolha do preço de reserva anunciado ou sigiloso à medida que aumenta o número de participantes. A situação de conluio apresenta igual comportamento no comparativo efetuado antes. No entanto, situações em que há assimetria do conhecimento do preço de reserva secreto entre os participantes não são consideradas neste estudo. No âmbito das licitações públicas, as conclusões são similares, bastando apenas inverter a métrica de preços, por tratarem de leilões de compra e não de venda. Quanto maior for o preço de reserva (ou preço de referência) em uma concorrência, mais favorável será o uso de preço de reserva secreto, pois este proporcionará menor custo esperado de aquisição do que a opção pelo preço de reserva divulgado. Considerando que as estimativas de preço de reserva efetuadas pelo governo, por conservadorismo e/ou conhecimento parcial dos mercados, são geralmente mais elevadas, é recomendada a princípio a utilização do preço de reserva secreto, principalmente em certames de reduzida concorrência. O tema é oportuno, pois recentemente foi proposta reforma na legislação de licitações, denominada de Regime Diferenciado de Contratação, que contempla, entre vários itens, a controversa questão do orçamento sigiloso. Palavras-chave: preço de reserva; licitações; orçamento sigiloso.

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7 ;&<83"%9$=% Licitação pública é tema interdisciplinar que pode contar com contribuições advindas não só do direito, como também de outras áreas do conhecimento, tal qual a economia. A discussão travada no âmbito jurídico, por valorizar em demasia alguns princípios, tal como o da publicidade, tem proporcionado uma visão parcial e equivocada do orçamento sigiloso. No entanto, devem ser considerados, para uma avaliação mais completa, outros aspectos, notadamente de natureza econômica, tal como a busca do menor custo esperado de aquisição do bem licitado. O desenho de mecanismos econômicos, mais especificamente o de leilões, tem sido umas das áreas mais promissoras não apenas no âmbito acadêmico, como também no corporativo. Por meio de tais instrumentos, busca-se otimizar resultados desejados nas transações econômicas realizadas por empresas e governos. Entre as aplicações de desenho de mecanismos, destaca-se a Teoria de Leilões. Uma questão interessante a ser levantada nesse sentido consiste em identificar quão proveitoso economicamente é, para o leiloeiro, adotar um preço de reserva sigiloso em um leilão. Entenda-se como proveitosa economicamente a obtenção de maior receita em um leilão de venda ou de menor custo de aquisição em um leilão de compra no qual se enquadram, neste último caso, as licitações públicas. Sabemos que a teoria produzida não é abundante, bem como ainda não logrou responder definitivamente sobre o tema. Este trabalho apresenta uma contribuição para o entendimento das vantagens de se adotar um preço de reserva sigiloso perante o divulgado, embora esta última opção seja a mais utilizada. O tema é contemporâneo na discussão da reforma da legislação brasileira das licitações públicas e veio à tona com intensidade no debate travado nos meios político, administrativista e jurídico provocado pela proposição do Regime Diferenciado de Contratação (Lei n /2011), o qual prevê o uso de orçamentos sigilosos nas licitações de obras públicas para a Copa do Mundo e as Olimpíadas. Na segunda seção deste trabalho apresentamos os objetivos perseguidos, contextualizando-os no rol das leis licitatórias brasileiras. Na terceira seção, apresentamos uma introdução dos ambientes em que se inserem os modelos econômicos de leilões. Na quarta seção, trazemos um levantamento dos estudos anteriores realizados especificamente sobre o tema principal. Na quinta seção, esclarecemos o grau de abrangência do modelo adotado. Apresentamos na sexta seção o modelo de distribuição de malha trabalhado ao longo de todo o trabalho. A sétima seção traz passo a passo o desenvolvimento da modelagem utilizada, o qual é auxiliado pelos apêndices. Por fim, a oitava e a nona seções revelam os resultados e as conclusões alcançadas. 7

8 A9"-)B"9C82-+&6"+)-/#-"+)&)%6"#&& /-2-3+$4#)&B56/-2+) Complementar o direito positivado referente às licitações com a Teoria de Leilões pode auxiliar nas decisões polêmicas tomadas sobre o assunto. A lei é sempre incompleta perante todas as situações presentes na realidade, deixando lacunas de subjetividade sobre o tema regulamentado. A Teoria de Leilões pode auxiliar no preenchimento dessas lacunas de entendimento, apontando para a melhor opção em função do que se deseja. Também, não raro, a legislação licitatória e a Teoria de Leilões apresentam conflitos que motivam a busca de aprimoramentos na legislação. 1 A literatura econômica define quatro tipos básicos de leilões: leilão de primeiro preço, leilão de segundo preço, leilão inglês e leilão holandês. Nos dois primeiros tipos de leilão, as propostas devem ser apresentadas em envelopes lacrados, razão pela qual são ditos leilões de tipo selado ou fechado. Em ambos, vence o certame o licitante que houver apresentado a menor proposta. 2 Diferem, no entanto, apenas quanto ao valor que será cobrado pela Administração. No de primeiro preço, o valor cobrado será o lance do licitante vencedor, que corresponde ao menor preço. No de segundo preço, o valor cobrado corresponderá ao segundo menor lance, corresponde ao valor apresentado pelo licitante perdedor de menor lance. Nos outros dois tipos de leilão, as propostas não são seladas e há possibilidade de uma dinâmica de lances, cujos valores se tornam conhecidos entre os licitantes à medida que estes são apresentados. São ditos leilões abertos. O leilão inglês é modelado tradicionalmente por meio do leiloeiro, que parte de um preço suficientemente alto, em que todos os licitantes queiram participar do leilão. O leiloeiro reduz gradualmente o preço inicial, de modo que os licitantes desistam sequencialmente até que reste o último deles, o qual será contratado pelo último preço consignado. Este preço vencedor é marginalmente menor que o preço do último desistente. O leilão holandês acontece de maneira inversa. O leiloeiro começa por um preço suficientemente reduzido pelo qual nenhum dos licitantes deseja!" "#$" %&" &" (&)*+)(",-&" )".&/(0)" %&" 1&0*2&" )3(&&4+)" (&-*+)%/" &5/46705/" (&*)50/4)%/" )",-)*,-&(" 3(/5&/" %&" 8

9 contratar. Gradualmente, ele vai elevando esse preço até que o primeiro licitante se disponha a aceitá-lo, valor pelo qual será contratado. Tendo em mente essa classificação dos leilões segundo a literatura econômica, podemos traçar um comparativo com as modalidades existentes na legislação nacional. O leilão inglês assemelha-se à fase de lances verbais e sucessivos do pregão, previsto no art. 4, VIII, da Lei n /2002. Por sua vez, o leilão selado de primeiro preço corresponde às principais modalidades dispostas na Lei n /1993, ou seja, concorrência, tomada de preços, convite, quando julgadas pelo menor preço. No entanto, o formato do leilão de primeiro preço não se restringe às licitações da Lei n /1993. Vários leilões destinados à delegação de serviços públicos (concessões, permissões e autorizações), regidos pela Lei n /1995 e outras leis específicas, correspondem a leilões selados de primeiro preço, tais como leilões de arrendamento de terminais portuários e de concessão de rodovias e ferrovias. Dada a importância desse tipo de leilão, trabalharemos doravante com o leilão selado de primeiro preço. A Teoria de Leilões trata de diversos aspectos desejáveis, tais como: eficiência, menor custo esperado, menor corrupção, menor conluio, etc. A escolha de um ou de vários dos objetivos citados, juntamente com a adoção de mecanismos complementares que proporcionem propriedades desejadas, guia a seleção da melhor modalidade de leilão. Dentre os vários princípios encontrados no art. 3 da Lei n /1993 está o de selecionar a proposta mais vantajosa para a Administração. Esse princípio nada mais é do que um dos principais objetivos perseguidos pela Teoria de Leilões: o do menor custo esperado. 3 Este será o aspecto trabalhado ao longo desta monografia. Um instrumento importante que pode ser acrescentado aos tipos de licitações é o preço de reserva, que corresponde ao valor máximo que a Administração aceitaria pagar pelo bem/serviço licitado. Ou seja, seria o preço de mercado levantado ou estimado por meio dos orçamentos elaborados pela Administração para as licitações, comumente chamado de preço de referência ou, ainda, preço máximo ou preço-teto. O preço de reserva consubstancia-se na fixação de preço máximo previsto no art. 40, X, da Lei n /1993, com suas alterações. Esse valor serve de parâmetro para desclassificação caso a proposta comercial do licitante seja superior, de acordo com o art. 48, II, da Lei n /1993. Uma das questões mais interessantes na Teoria de Leilões e, particularmente, na abordagem econômica das licitações é qual seria a melhor escolha para promover 9

10 menores custos de aquisição para a Administração Pública: divulgar ou não a priori, no edital, o preço máximo (preço de reserva) de aceitação. No arcabouço normativo brasileiro, há duas situações distintas quanto à divulgação do preço de reserva: a regida pela Lei n /1993, referente às modalidades licitatórias de concorrência, tomada de preços e convite; e a regida pela Lei n /2002, relativa aos pregões. 4 Pela Lei de Licitações e Contratos, em seu art. 40, 2, II, constituem anexos do edital o orçamento estimado em planilhas de quantitativos e preços unitários, ou seja, a Administração Pública é obrigada a disponibilizar esses valores a priori no edital. Também de acordo com o art. 40, 1, é vedada a utilização de qualquer elemento, critério ou fator sigiloso, secreto, que [...] possa ainda que indiretamente elidir o princípio da igualdade entre os licitantes. 5 Portanto, segundo a Lei de Licitações e Contratos, há obrigatoriedade de divulgação do preço de reserva. Diferentemente, reza o art. 3, III, da Lei do Pregão, que o orçamento constará dos autos do procedimento licitatório, em outras palavras, a estimativa de orçamento apenas necessita compor os autos do processo, não necessariamente o edital. Portanto, nas concorrências, é obrigatório para a Administração Pública o anúncio do preço de reserva, enquanto nos pregões o anúncio lhe é facultado. Dessa forma entende a Corte de Contas, em repetidas decisões. 6 Recentemente, o Congresso Nacional aprovou o polêmico Regime Diferenciado de Contratação (RDC) para as licitações referentes à Copa do Mundo e às Olimpíadas, que insere a possibilidade de preço de reserva secreto nas licitações, ao prescrever, no art. 6, caput, da Lei n /2011, que: O orçamento previamente estimado para a contratação será tornado público apenas e imediatamente após encerramento da licitação, sem prejuízo da divulgação do detalhamento dos quantitativos e das demais informações necessárias para a elaboração das propostas. Nessa discussão, a Teoria de Leilões pode contribuir no sentido de revelar se os custos de aquisição nas licitações promovidas pela Administração Pública realmente podem ser melhorados com uma política de sigilo nos preços de reserva. São comuns os argumentos de que caso o preço máximo seja conhecido pelos licitantes estes apresentarão propostas comerciais mais elevadas, próximas do preço máximo, do que no caso de não saberem do preço máximo. Esse comportamento é tanto mais provável quanto menor for o número de licitantes concorrentes. 10

11 Portanto, este trabalho tem como objetivo utilizar a Teoria de Leilões para avaliar se há circunstâncias em que leilões de primeiro preço alcançam maior receita esperada com preço de reserva secreto se comparados aos leilões de preço de reserva anunciado, ou, em linguagem licitatória, se há circunstâncias em que as licitações da Lei n /1993 (concorrência, tomada de preços ou convite) podem alcançar menor custo de contratação quando os preços máximos forem mantidos em sigilo perante o caso de serem divulgados previamente. O mecanismo de preço de reserva secreto que ora propomos seria isento de comportamento oportunista por parte do leiloeiro, no nosso caso, a Administração. O preço de reserva seria previamente estimado e registrado nos autos do processo licitatório e não estaria sujeito a pedido de vista pelos licitantes. 7 Na seção pública da licitação, junto aos envelopes das propostas dos licitantes, seria disponibilizado o envelope da proposta de preço de reserva estimado pela Administração, evitando-se também comportamento oportunista por parte do leiloeiro governamental. Esse mecanismo proporciona, assim, uma propriedade importante em leilões: o compromisso com o valor previamente estabelecido. Doravante, trabalharemos com leilão de primeiro preço, em que o vencedor será o de maior proposta. Essa abordagem permite que possamos adaptar melhor o desenvolvimento deste trabalho à literatura econômica existente, sem, no entanto, nos afastarmos do âmbito das licitações públicas, haja vista que as conclusões dos leilões de primeiro preço, seja o vencedor o de maior (abordagem de leilões) ou o de menor proposta (abordagem licitatória), são equivalentes (CASTRO; FRU- TOS, 2010). Em momento futuro apropriado, após a obtenção das conclusões, retornaremos à abordagem licitatória, bastando, para isso, simplesmente inverter a métrica de preços. D&706-#83#)&%)&0%#/%)&#&/#-/4#) Os modelos de leilões, assim como todo modelo econômico, adotam suposições de comportamento dos agentes econômicos. As suposições, ao simplificarem os modelos, permitem aos estudiosos o desenvolvimento teórico. Esse procedimento é comum às ciências. Nesta seção, tratamos das suposições concernentes à forma como os licitantes ou jogadores valoram os objetos licitados. A primeira forma de valoração de licitantes em um leilão é conhecida por valores privados. Na modelagem com valores privados considera-se que cada 11

12 licitante não conhece o valor dos demais licitantes, e, mesmo que soubesse, essa informação não influenciaria seu próprio valor. Essa suposição é plausível quando o objeto licitado for destinado ao uso ou ao consumo próprios. Nesses casos, os licitantes possuem um valor intrínseco pelo bem que independe dos valores de mercado, a exemplo das obras de arte, como quadros e mobílias, e dos objetos de coleção, como selos. Essa suposição traz facilidades matemáticas aos modelos que a adotam. A maioria dos resultados possíveis em Teoria de Leilões já foi obtida utilizando esse ambiente modelatório. Entretanto, as suposições da modelagem de valores privados são irrealistas em muitas situações. Caso os objetos licitados sejam comprados para revenda no mercado, a modelagem de valores privados estará limitada a descrever o comportamento dos licitantes no leilão. Assim, faz-se necessário sofisticar os modelos de modo que permitam que os valores entre os licitantes influenciem uns aos outros. Uma das alternativas nesse caminho é o modelo de valor comum. Nessa espécie de modelo, o preço do bem leiloado deriva de um preço de mercado, fazendo com que as valorações individuais propostas pelos licitantes convirjam para um valor único. Não é difícil entender que essa é a situação mais comum na prática. Assim, em um leilão de uma planta de geração de energia, os licitantes possuirão valores diferentes, em razão dos próprios estudos de valoração do empreendimento licitado. Porém, os valores ofertados pelos diversos licitantes tenderão a um valor único de mercado, pois o valor da energia a ser produzida e o investimento a ser realizado possuem balizadores de mercado. Ainda assim, valor comum é um tipo de modelagem específica para o conjunto de situações impostas pelo comportamento dos licitantes. Há duas dimensões que precisam ser consideradas para que definamos, de modo mais geral, a valoração exercida pelos licitantes: a dependência estatística entre os sinais dos jogadores e a composição funcional desses sinais para a formação do valor. Consideramos que cada licitante possui uma informação particular do objeto a ser licitado que o ajuda a valorá-lo, que pode ser proveniente, por exemplo, de estudos realizados ou, inclusive, de estimativas pessoais rudimentares. Essa informação do licitante, ou jogador i, é representada por um sinal, uma variável aleatória X i, e o valor V i do objeto será 12 V i = v i (X 1, X 2,... X N ) onde v i é a função valoração do licitante i. Essa é uma formulação mais geral, pois a dependência estatística entre os sinais é qualquer, seguindo uma função densidade de probabilidade f(x 1,... X N ), e o valor de cada jogador depende dos sinais dos demais jogadores de acordo com a função v i (. ). A formulação abrange o modelo particular de valores privados, bastando fazermos v i (X 1, X 2,... X N ) = V i, no qual o valor do jogador depende apenas do próprio sinal. Também inclui o modelo par-

13 ticular de valor comum, bastando fazermos v i (X 1, X 2,... X N ) = v(x 1, X 2,... X N ) = V. Da mesma forma, a formulação pode ser usada para representar modelos afiliados de Milgrom e Weber (1982). A afiliação, enquanto mantém uma função valoração v i (. ) geral, adota uma espécie de correlação positiva entre os sinais dos jogadores, em que a probabilidade de um sinal é tanto maior quanto maiores forem os sinais dos demais. Tomando por base esses diversos modelos, a Teoria de Leilões desenvolve- -se no sentido de auxiliar na escolha do melhor formato de leilões em razão de vários aspectos, como receita esperada, eficiência, corrupção, conluio, mercado pretendido, etc. Neste trabalho, o objetivo é verificar, em um modelo mais geral dos que os existentes atualmente, qual o melhor formato de leilão de primeiro preço a proporcionar maior receita esperada: o com preço de reserva anunciado ou o com preço secreto. E&F)39%)&+83#"-%"#) Riley e Samuelson (1981) adotaram uma modelagem de leilões com as seguintes características: indivisibilidade do bem a ser leiloado, simetria entre os participantes neutros ao risco e valorações independentes entre eles. Entre outros achados, concluíram que o vendedor maximizador de sua receita deveria estabelecer um preço de reserva maior que sua própria valoração. Quanto à revelação do preço de reserva, não haveria diferença entre anunciá-lo ou não no caso de leilão de segundo preço. Entretanto, no caso de leilão de primeiro preço, revelar o preço de reserva traria uma receita para o leiloeiro maior ou igual do que se o preço fosse ocultado. Em seu artigo seminal, Milgrom e Weber (1982) afirmaram que, em termos de receita esperada, anunciar o preço de reserva seria sempre melhor que mantê-lo em sigilo. Os autores inovaram na literatura de leilões ao introduzir a modelagem de afiliação no contexto de leilões. Segundo eles, a afiliação significa que altas estimativas de valor por um participante de leilão aumentariam a probabilidade de a estimativa dos demais ser também elevada. Além disso, a afiliação seria um modelo de leilão mais geral do que os existentes até então, ou seja, os modelos de valores privados independentes e de valor comum seriam casos especiais do modelo de afiliação. Os resultados principais deste trabalho foram a caracterização do equilíbrio em estratégias puras para os modelos afiliados e a obtenção de um ordenamento entre os diversos tipos de leilões. O leilão inglês, o leilão de primeiro preço e o leilão de segundo preço apresentariam ordem decrescente de receita esperada. Outro resultado importante apresentado neste artigo foi o estudo do efeito 13

14 da revelação de informação privada pelo leiloeiro. Nos três tipos de leilão citados, qualquer informação privada revelada pelo leiloeiro aos participantes, entre elas o preço de reserva, levaria ao aumento da sua receita esperada. Assim, ao dar conhecimento aos participantes sobre seu preço de reserva, no modelo trabalhado de afiliação, o leiloeiro aumentaria sua receita esperada. Carey (1993) trabalhou com um leiloeiro comprador de um bem em um ambiente tradicional de leilão, a saber, valores privados independentes, agentes simétricos e neutros ao risco. O leilão era de primeiro preço, e o vencedor seria o que apresentasse o menor lance. O leiloeiro teria a opção de realizar ele mesmo o serviço por um determinado valor, o preço de reserva, acima do qual não valeria a pena atribuir a outrem sua realização. Carey concluiu que, em termos de custos incorridos na contratação, seria preferível para o leiloeiro manter o preço de reserva secreto, uma vez que, ao divulgá-lo, a contratação seria conduzida a preços iguais ou maiores, a qualquer nível de preço de reserva e de competição. No entanto, essa conclusão choca-se com os resultados obtidos por Milgrom e Weber (1982), que afirmaram que os custos de contratação, ao contrário, seriam maiores caso se mantivesse o preço de reserva em sigilo antes do leilão. Carey (1993) inseriu o leiloeiro comprador na modelagem de preço de reserva fechado, igualando sua estratégia de equilíbrio à dos demais jogadores, o que é uma suposição equivocada. Além disso, nota-se que a demonstração não é tão rigorosa, pois a própria autora adota, segundo suas palavras, uma demonstração heurística. Em igual ambiente, Elyakime et al. (1994) afirmaram que o preço de reserva público seria melhor que o secreto para efeito de receita esperada. O trabalho foi motivado pelos leilões de madeira, que eram usados para construção na França. Tais leilões eram de primeiro preço com preço de reserva secreto. Utilizando desenvolvimento teórico para um ambiente de valores privados independentes e agentes neutros ao risco, os autores demonstraram que a estratégia de equilíbrio do vendedor leiloeiro seria distinta da dos compradores. A estratégia do vendedor seria a de um lance verdadeiro, ou seja, sua função estratégia seria a identidade. Diversamente, os compradores apresentariam, em equilíbrio, lances menores que suas valorações. A solução dessas estratégias de equilíbrio precisou do uso de integrações numéricas. Os autores demonstraram que o preço de reserva público seria melhor em termos de receita para o leiloeiro do que um que fosse secreto. Utilizaram-se também de trabalho empírico por meio de econometria estrutural de leilões para quantificar e confirmar a evidência teórica de que a opção pelo preço de reserva público seria mais vantajosa do ponto de vista de receita para o leiloeiro. Segundo Vincent (1995), a teoria tradicional prescrevia que, em leilões de valor comum, em que o leiloeiro detém a informação privada acerca do valor do 14

15 bem, ele poderia aumentar sua receita anunciando o preço de reserva, pois evitaria a maldição do vencedor, encorajando, assim, a participação com lances maiores. Mas o que se via, na prática, eram muitos leilões realizados sem divulgação do preço de reserva. Adotando uma metodologia de teoria dos jogos, em que o leilão de preço de reserva secreto poderia ser representado como um jogo bayesiano, o autor mostrou que manter o preço de reserva em sigilo poderia aumentar a receita em leilões de valor comum por induzir a uma maior participação. Vincent (1995) estudou a questão do preço de reserva em leilões de segundo preço, propondo uma função utilidade para os compradores de sinal x i igual a v i (,x -i = ax i + (1 a) R j i x i / (n 1), que, apesar de não corresponder ao modelo de afiliação em termos da função valoração, abrangeria os casos de valor comum e de valores privados caso a fosse, respectivamente, 1/n e 1. Contudo, afastou-se do modelo geral de afiliação quando modelou não só os sinais x i, como também o sinal s do vendedor, independentes entre si. Ele concluiu que a receita esperada para o caso de preço de reserva fechado seria maior do que para o caso aberto nas situações de valor comum, ou seja, a < 1. A explicação intuitiva para sua modelagem seria o fato de que o preço de reserva, uma vez divulgado, afastaria não só os compradores com sinal menor que o preço de reserva, mas também os compradores com sinal maior ou igual, desde que suficientemente próximo ao preço de reserva. A ausência desses jogadores ocasionaria falta de informação para os jogadores participantes, o que acabaria por comprometer a receita esperada para o caso aberto. Essa consideração faria com que a receita esperada do leiloeiro, no caso de preço de reserva fechado, pudesse ser maior, uma vez que, desse modo, não haveria efeito inibidor na participação. Brisset e Naegalen (2006) fizeram uma mudança no modelo tradicional ao estudar o efeito de aversão ao risco dos participantes sobre leilão inglês com preço de reserva divulgado vis-à-vis o secreto. Estudaram o efeito da revelação do preço de reserva sobre a receita do leiloeiro em um leilão inglês com participantes avessos ao risco e com valores privados e independentes. Segundo eles, desde que a aversão relativa constante ao risco fosse suficientemente alta e o leiloeiro pudesse se comprometer com o preço de reserva, a política de manter em sigilo o preço de reserva seria ótima. Mas se o leiloeiro não pudesse se comprometer com a fixação de um preço de reserva, a política de sigilo no preço de reserva sigiloso poderia não resultar em um equilíbrio bayesiano. Por fim, sugeriram preço de reserva secreto em leilões governamentais, por ter o governo capacidade institucional de comprometimento com o valor do preço de reserva estabelecido. Partindo de um modelo de valores privados, sinais independentes e simétricos, Rosenkranz e Schmitz (2007) tomaram emprestado das ciências comportamentais a função utilidade referencial (reference-based utility) para alterar a modelagem padrão de leilões e alcançar conclusões sobre preços de reserva opostas às 15

16 dos modelos tradicionais. A utilidade referencial teria a forma v-t-f(t-ρ), em que v seria o tipo; t, o pagamento; ρ, o ponto de referência; e f, um número positivo pequeno. Se f > 0, teríamos o modelo padrão tratado pela literatura. Mas se f > 0, o comprador teria uma desutilidade em pagar um adicional relativo ao ponto de referência, que poderia ser, entre outros elementos, o preço de reserva. Baseados no modelo de utilidade referencial, os autores afirmaram que seria vantajoso para o leiloeiro manter o preço de reserva em sigilo para os leilões de primeiro e segundo preços. G&76"+8.C82-+&%&0%#/%&+%3+% Castro (2008) ofereceu um novo ambiente para o modelo de leilões que generalizaria as relações de dependência entre os jogadores, sendo, portanto, um modelo mais geral que o de afiliação, proposto por Milgrom e Weber (1982), quanto à função de distribuição conjunta dos sinais entre os jogadores. Segundo o autor, enquanto a existência de equilíbrios monótonos em estratégias puras (MPSE) é estabelecida para um caso especial de dependência positiva (afiliação), não há resultados de existência de MPSE com dependência genérica. Dada essa lacuna, Castro propôs um novo modelo, chamado de distribuição em malhas (grid distribution), que permitiria generalizar a relação de dependência entre os jogadores. Ele demonstrou que o modelo de distribuição em malhas sempre teria equilíbrio em estratégias puras. Cabe uma melhor explicação quanto à afirmativa de que a distribuição de malha é mais geral do que o modelo de afiliação. Na verdade, quanto à função valoração dos participantes, o modelo de afiliação é mais geral do que o de distribuição em malhas, pois neste último modelo os valores são privados e independentes (Figura 1.A). Entretanto, quanto à dependência entre os sinais, o modelo de distribuição em malhas, por conter uma dependência geral entre os sinais, generaliza os sinais afiliados (Figura 1.B). Para visualizar melhor a abrangência do modelo ora proposto, podemos usar a Figura 2. O modelo de afiliação de Milgrom e Weber (1982) utiliza as situações localizadas nos quadrantes A e C, no quais os sinais têm relação de afiliação e os valores são interdependentes. Por sua vez, o modelo de Castro (2008) utiliza as situações dos quadrantes A e B, em que os sinais são em malha e valores são privados ou independentes. Portanto, as situações do quadrante B são possibilidades de o modelo de distribuição de malhas gerar resultados que não são alcançados pelo modelo de afiliação. Logo, se nos restringirmos ao conjunto dos modelos com 16

17 função de valoração privada, a afirmativa de generalidade do modelo de Castro (2008) é válida. Fonte: elaboração do autor $%&( &)*"+,-+./+)0/+1&#+)/+1+"12+. Fonte: elaboração do autor $%&3 &*%&,#4,5"&/0)0/+10&/0-&/0 Trabalhando, portanto, sobre esse conjunto de distribuições mais geral, as distribuições em malhas, procuramos responder adiante o que seria mais vantajoso para o leiloeiro em termos de receita esperada: revelar ou não o preço de reserva. 17

18 H&7&-)3"-69-$=%&#0&0+/I+&J."-&-)3"-693-%8K Sejam n jogadores em um leilão de um bem. Como é costume, podemos normalizar os tipos dos jogadores para um intervalo [0,1] n. Esses valores encontram-se distribuídos de acordo com a função densidade de probabilidade (fdp) conjunta f:[0,1] n +. Essa função é simétrica no sentido de que, se r:{1,..., n} {1,..., n} é uma permutação dos participantes, então f(x 1,..., x n ) = f(x r(1),..., x r(n) ). A função f é geral quanto à dependência entre os tipos (x 1,..., x n ), ou seja, ela contempla os casos de independência e de afiliação entre os jogadores. As funções de distribuição correspondentes aos tipos dos jogadores têm sido representadas comumente por funções contínuas. Continuidade é uma suposição que possibilita o melhor desenvolvimento das operações matemáticas, sobretudo do cálculo diferencial. Todavia, o conjunto de funções de densidade de probabilidade contínuas é um conjunto muito grande para ser representado totalmente. Dessa maneira, os pesquisadores são levados a estudar resultados de leilões em subconjuntos muito restritos em relação ao conjunto das funções de densidade de probabilidade contínuas, a exemplo das funções de densidade que apresentam afiliação entre os tipos concebidos por Milgrom e Weber (1982). Essa e outras restrições podem levar a uma representação insuficiente do caso mais geral, o que pode resultar em conclusões equivocadas se tais conclusões se aplicarem a um caso particular de dependência, mas não ao caso geral. Com o objetivo de tratar as funções de densidade do modo mais geral possível, Castro (2008) sugeriu a construção de um modelo com funções de distribuição de malha, que, apesar de simples, são funções gerais. Uma função contínua qualquer pode ser discretizada de modo que, em intervalos iguais e quadrangulares do domínio, ela apresente valores constantes. O número de intervalos na operação de discretização é representado por k. A Figura 3 mostra 1 simulação de uma distribuição de malha com 2 jogadores de tamanho k = 3, com os seus 9 patamares escalonados de valores da função. 18

19 $%&()*"+,%"-$"./0123&45&6&%& $%&()*"+,%"-$"./0123&45&6&%&, para {1, 2,... k}. Observe que T 9 6&%& k () é cons- ; B-+2%C2 A$2. Seja D k a imagem de D por T k, ou seja, $%&6 /".-%"*$"780/+)&19&:&%&k;6 70% +"364"8"1&129 80:+"12%2 $3 42"4/ "+ 6&%,"8"6&:,2+; <2=& 0 Fonte: 70% elaboração +"364"8"1&129 do autor 80:+"12%2 com base em Castro $3 42"4/0 (2008) "+ 6&%,"8"6&:,2+; <2=& 0 80:=$:,01&+1"+,%"-$".>2+23$%&( ) ;7&%& 912?":&&,%&:+?0%3&./0 80:=$:,01&+1"+,%"-$".>2+23$%&( ) ;7&%& 912?":&&,%&:+?0%3&./0 60%@ 60%@ 60%@ +236%2 A$2 sempre +236%2 que A$2 (x, y) +236%2 A$2 9 6&%& ; B-+2%C2 A$2 9 6&%& ; B-+2%C2 A$2 D 80:+,&:,2 tante em 23 cada 8&1& quadrado A$&1%&10 D 80:+,&:,2 23 8&1& A$&1%&10 ; <2=& ; <2=& &"3&#23 12 D 80:+,&:,2 23 8&1& A$&1%&10 &"3&# % 9 0$ +2=&9 ; *2++& 3&:2"%&9 D $3& 6%0=2./ &.0 60% 9 0$ +2=&9 ; *2++& 3&:2"%&9 D $3& 6%0=2./ &.0 1"32:+"0:&4 ":?":",0 +0-% &.0 1"32:+"0:&4?":",0 ; *2?&,09 D$3 1"32:+"0:&4 A = (a":?":",0 +0-% &.0 1"32:+"0:&4?":",0 ; *2?&,09 ij ) kk (Figura 4). D$3 80:=$:,0 1"32:+"0:&4?":",09 60"+ A$&4A$2%?$:./ :+"1& % 80:=$:,0 1"32:+"0:&4?":",09 60"+ A$&4A$2%?$:./ :+"1& % " " 70% +"364"8"1&129 80:+"12%2 $3 42"4/ "+ 6&%,"8"6&:,2+; <2=& 0 80:=$:,01&+1"+,%"-$".>2+23$%&( ) ;7&%& 912?":&&,%&:+?0%3&./0 Por simplicidade, considere um leilão com dois participantes. Seja D o conjunto das distribuições em [0,1] n. Para k, defina a transformação T k : D D por: L k T k (L). Dessa maneira, T k é uma projeção do espaço ; dimensional <2=& infinito D &"3&#23 12 sobre o espaço dimensional finito D k. De fato, D k é um conjunto dimensional finito, pois qualquer função de densidade f D k pode ser descrita por uma matriz 60% 9 0$ +2=&9 ; *2++& 3&:2"%&9 D $3& 6%0=2./ &.0 1"32:+"0:&4 Castro ":?":",0 (2008) +0-%2 usou essa 0 2+6&.0 modelagem 1"32:+"0:&4 para estudar?":",0 resultados ; *2 diferentes?&,09 dos D$3 obtidos na literatura até então. Em seu trabalho, demonstrou que as receitas esperadas 1"32:+"0:&4 dos leilões?":",09 de primeiro 12+8%",&60%$3&3&,%"E 80:=$:,0 60"+ A$&4A$2%?$:./ :+"1&12 F$%&GH; e de segundo preços destoavam dos resultados % considerados na literatura. Esse autor utilizou a modelagem supracitada para 12+8%",&60%$3&3&,%"E dois compradores. F$%&GH; Este trabalho emprega uma modelagem para n compradores que parte de Castro (2008). Há naturalmente um paralelismo nos resultados entre!!" os casos para!!" " 2 e n compradores. Nosso objetivo é inserir preços de reserva anunciados e secretos no modelo para n compradores. 12+8%",&60%$3&3&,%"E F$%&GH; 19!!"

20 # $ $% &% %% & % $& && %& $ % $$ &$ %$!! $ % & % $ " $%&< /+,."/&/+%+:%+.+,-&/&:0%$)&)&-%"= Fonte: CASTRO (2008) A restrição ao conjunto D k D das distribuições não implica nenhuma perda de generalidade no problema que ora estudamos. Note que o fechamento L é o conjunto de todas as densidades. Castro (2008) usou essa modelagem para estudar resultados diferentes dos obtidos na literatura até então. Em seu trabalho, demonstrou que as receitas esperadas dos leilões de primeiro e de segundo preços destoavam dos resultados considerados na literatura. Esse autor utilizou a modelagem supracitada para dois compradores. Este trabalho emprega uma modelagem para n compradores que parte de Castro (2008). Há naturalmente um paralelismo nos resultados entre os casos para 2 e n compradores. Nosso objetivo é inserir preços de reserva anunciados e secretos no modelo para n compradores. 20

21 M&L#)#8*%/*-0#83%&+&0%#/+.#0 Com o intuito de compararmos, em leilões de primeiro preço, as receitas esperadas entre os casos de preço de reserva aberto (ou anunciado) e fechado (ou sigiloso), as duas etapas seguintes são cumpridas: a) modelagem de distribuição de malha com n jogadores para preço de reserva anunciado; b) modelagem de distribuição de malha com n jogadores para preço de reserva secreto. Para cada um dos casos citados seguem-se subetapas similares para a obtenção dos resultados. Em primeiro lugar, gera-se uma realização da densidade conjunta dos sinais dos jogadores de acordo com o ambiente de distribuição em malha. Em seguida, busca-se encontrar, para essa particular realização da densidade conjunta, o candidato à estratégia de equilíbrio simétrico em estratégias puras para leilões de primeiro preço. O candidato à estratégia de equilíbrio é testado se, realmente, é um equilíbrio Nash-bayesiano e, caso o seja, é levado à próxima subetapa. Com base nesses equilíbrios, calculam-se as receitas esperadas dado o preço de reserva (receita esperada ínterim), bem como as receitas esperadas (receita esperada ex-ante). Isso é repetido milhares de vezes, sendo cada simulação correspondente a uma realização da densidade conjunta dos sinais dos jogadores. As receitas esperadas desejadas compreendem a média das receitas esperadas ao longo das simulações anteriores. As receitas esperadas são finalmente comparadas. A Figura 5 apresenta os passos da modelagem utilizada, que passamos a descrever. 21

22 $%&#&"#(#")*& *+,+-.*%& $%&#&"#(#")*&(#-"#4%& /0&1#"*$2%&*3#*45".*&#&,6*& (.6,3*$2%&*&7,+$2%&#+(.*#&#&& 8"%9*9.3.*#& N0&O(%&*&"#*3.P*$2%&*3#*45".*&*& #4*8*&/0& :0&;<,*-.%+*6#+4%&#&#=8"#((>#(& #&8"%9*9.3.*#& Q0&R+-3,(2%&%&8"#$%&#&"#(#")*& #&#<,.3D9".%E&*%&"& #&#<,.3D9".%& F0&G#(4#&#&#<,.3D9".%&H*(IJ 9*K#(.*+%&8*"*&*&#(4"*4BC.*&*-.6*E& *%&"& /U0&G#(4#&#&#<,.3D9".%&H*(IJ 9*K#(.*+%&8*"*&*&#(4"*4BC.*&*-.6*& "&& -*(%&%&8"#$%&#&"#(#")*&(#W*&"& $%&> /+.+,?01?")+,-0/&)0/+1&#+):&..0&:&..0 Fonte: elaboração do autor Passo 1 Inicialmente, uma realização da densidade conjunta f D k entre os jogadores é obtida aleatoriamente. Essa geração aleatória segue Castro (2008) e Devroye (1986, citado por Castro, 2008). Passo 2 A partir da realização de f D k, obtêm-se expressões necessárias para o desenvolvimento das estratégias de lance, tais como F y1 t1 (y x) e f y1 t1 (y x), onde x é o tipo de um jogador 1, y é maior dos tipos dos jogadores diferentes de 1, F( ) é a função distribuição acumulada condicional e f( ) é a função densidade de probabilidade (Apêndice B). 22

23 &3-"2:, "4>2+ 1$ %&10%2+ 2 C2:1210%2+ &6%2+2:,&3 4&:82+; X03&: "#$&4&:10 0 :Y32%0 12 C2:1210%2+ & M9 +"3$4&30+ $3 42"402"%0Y:"80A$2&6%2+2:,&$34&:82;Z++2C&40%80%%2+60:12&06%2.012%2+2%C& Passo 3 2D%26%2+2:,&1060%$3&C&%"LC24&42&,[%"&& Obtidas as funções acumulada e de densidade, 3&"+: ;W06%2+2:,28&+09 é possível fazer uso da modelagem de leilão duplo de Williams (1991) e Castro e Riascos (2009). No ambiente 2+,&C&%"LC24&42&,[%"&D,%&:+?0%3&1&23$3&80:+,&:,296&%&":80%60%&%$36%2.0 de leilões duplos, compradores e vendedores apresentam lances. Tomando o modelo e igualando o número de vendedores a 1, simulamos um leiloeiro único que 12%2+2%C&&:$:8"&10F&6J:1"82RH; apresenta um lance. Esse valor corresponde ao preço de reserva e é representado por uma variável aleatória a mais no modelo. No caso em pauta, essa variável aleatória *& 30124&#23 é transformada &8"3& em 2 uma 80:+"12%&:10 constante para $3& incorporar?$:./0 $,"4"1&12 um preço :2$,%& de reserva &0 %"+809 anunciado (Apêndice C). 1-*/"*9D60++OC24&?"%3&%A$208&:1"1&,0\2+,%&,D#"&122A$"4O-%"06&%&6%2.012 Considerando a modelagem anterior e uma função utilidade neutra ao risco, u(x) = x, é possível afirmar que o candidato à estratégia de equilíbrio para preço %2+2%C&&-2%,012C&40%2D de reserva aberto de valor r é Nas Figuras 6 e 7, apresentamos uma amostra de curvas de estratégia de equilíbrio para preço de reserva nulo. A primeira figura é um gráfico com cinco simulações de estratégias de equilíbrio para k = 3 e n = 2, enquanto para a segunda W&+?"#$%&+ ] 2 ^9 &6%2+2:,&30+ $3& &30+,%& 12 8$%C& ,%&,D#"& 12 figura n = 10. 2A$"4O-%"09 6&%& 6% %2+2%C& :$40; I 6%"32"%&?"#$%& D $3 #%L?" ":80 +"3$4&.> ,%&,D#"&+ 12 2A$"4O-%"0 6&%& 3 23 )"49 2:A$&:,0 A$29 6&%& & +2#$:1&?"#$%&9)"%; # $%&@ #%A!"50/+.")$1&72+./+1&,5+:&%&!;6+";3 Fonte: elaboração do autor 23

24 $%&B #%A!"50/+.")$1&72+./+1&,5+:&%&!;6+";(C 5-6/23, :,0+$%&(2&1"?2%2:8"&-"4"1& Fonte: elaboração do autor "1& /23, :,0+$%&(2&1"?2%2:8"&-"4"1& %2C"+,0:0I6J:1"82I;*&$%&^2+628"?"8&32:,29A$&:100 Podemos comprovar a consistência dos gráficos gerados por algumas evidências. A primeira é que as estratégias ou lances de equilíbrio estão, como é de 96%2C"+,0:0I6J:1"82I;*&$%&^2+628"?"8&32:,29A$&:100 0%2+D12MU :84$"%A$2&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0,0%:&) se esperar, sempre abaixo da reta de inclinação unitária (diagonal do quadrado), 012=0#&10%2+D12MU :84$"%A$2&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0,0%:&) ou seja, o lance de equilíbrio é um valor inferior à valoração do jogador em um 2,OC24 montante \ C04&,"4"1&12 de H(z). 1280%%2:,2 A segunda é 1& que &42&,0%"21&12 é permitido visualizar 1&+?$:.>2+ de modo fácil a continuidade de \ b(z) C04&,"4"1&12 em todos os 1280%%2:,2 pontos [0,1] 1& e a diferenciabilidade &42&,0%"21&12 1&+ em?$:.>2+ (0, 1)\A, em :0+ +$+82,OC24 &+; que A = {0, 1 _,..., 1}, previsto no Apêndice A. Da Figura 7 especificamente, quando k &12#2%&1&+; o número de jogadores é de 10, podemos concluir que a estratégia de equilíbrio se torna menos suscetível à volatilidade decorrente da aleatoriedade das funções #$%(% densidade geradas. 08&:1"1&,0\2+,%&,D#"&124&:8296%08212)+2\&C2%"#$&./0+2& R&48$4&1008&:1"1&,0\2+,%&,D#"&124&:8296%08212)+2\&C2%"#$&./0+2& "&D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)-&_2+"&:0232+,%&,D#"&+6$%&+; Passo 4 &2+,%&,D#"&D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)-&_2+"&:0232+,%&,D#"&+6$%&+;,D#"&5-.&2/D$32A$"4O-%"092:,/0 Calculado o candidato à estratégia de lance, procede-se à averiguação se a +2&2+,%&,D#"&5-.&2/D$32A$"4O-%"092:,/0 referida estratégia é realmente um equilíbrio Nash-bayesiano em estratégias puras. Assim, se a estratégia b(,r) é um equilíbrio, então, em que 23A$2 e 2 24

25 2 70%,&:,090,2+,2122A$"4O-%"080:+"+,2:&-$+8&1060:,03LK"301&?$:./0 Portanto, o teste de equilíbrio consiste na busca do ponto máximo da função D(x, z) no domínio [r, 1] 2 e, caso ele seja positivo, rejeita-se a simulação específica :0103O:"0 por não representar equilíbrio. 298& =&60+","C09%2=2",&)+2&+"3$4&./02+628O?"8& Na busca de pontos (x, z) que tornem a função D(x, z) > 0, graças a simplificações algébricas do modelo de distribuição de malha, 60% :/0 não é %26%2+2:,&% necessário percorrer 2A$"4O-%"0; todos W& os pontos -$+8& em 12 [r, 60:,0+ 1] 2, mas apenas A$2 um subconjunto,0%:2 &?$:./0 menor de pontos, o que torna essa busca computacionalmente mais célere e exata. 9#%&.&+&+"364"?"8&.>2+&4#D-%"8& "+,%"-$"./0123&45&9 Portanto, a estratégia b(,r) será equilíbrio apenas no caso de não se encontrar D(x, z) > 0 no domínio da função (Apêndice D). :/0D:282++L%"062%80%%2%, :,023 93&+&62:&+$3+$-80:=$:,0 32:0%1260:,0+90A$2,0%:&2++&-$+8&8036$,&8"0:&432:,23&"+8D42%222K&,&; 70%,&:,09 2+,%&,D#"& 5-.&2/ &62:&+ +2%L 2A$"4O-%"09 8&+0 :/0 +2 2:80:,%2 :0103O:"01&?$:./0FI6J:1"82*H; # Fonte: elaboração do autor $%&D #%A!"50/0+E$"1F*%"0,&.9G*&H+."&,0 A Figura 8 apresenta uma simulação da função D(x, z) para k = 5. A superfície do gráfico evidencia a continuidade em z e a descontinuidade em x nos pontos A = {0, 1,..., 1}, estando de acordo com o exposto no Apêndice A. Para _k que o equilíbrio se confirme, é necessário que toda a superfície D(x, z) esteja abaixo do hiperplano de nível 0. No exemplo apresentado, percebemos que a maioria da superfície se encontra abaixo do plano, à exceção dos pontos em torno de (x, z) = (0,4; 0,4) e (x, z) = (0,8; 0,8). A existência desses dois pontos implica ausência de equilíbrio. 8 8 f 25

26 26 Passo 5 Se b(,r) gerado aleatoriamente é equilíbrio, então podemos empregá-lo no cálculo das receitas esperadas, dado o preço de reserva r (receita esperada ínterim). O pagamento esperado do leilão de primeiro preço é dado por. I%282",&2+62%&1&1042"402"%0D I%282",&2+62%&1&1042"402"%0D A receita esperada do leiloeiro é, onde n é o número de jogadores (Apêndice E). B:12:D0:Y32%012=0#&10%2+FI6J:1"82ZH; B:12:D0:Y32%012=0#&10%2+FI6J:1"82ZH; #$%)% Passo 6 #$%)% R&48$4&1&+&+%282",&+2+62%&1&+9,&:,&+A$&:,&+?0%230+C&40%2+1"?2%2:,2+ Calculadas as receitas esperadas, tantas quantos forem os valores diferentes de R&48$4&1&+&+%282",&+2+62%&1&+9,&:,&+A$&:,&+?0%230+C&40%2+1"?2%2:,2+ preço de reserva tomados no passo anterior, obtém-se, então, a receita esperada 126%2.012%2+2%C&,03&10+:06&++0&:,2%"0%90-,D3)+292:,/09&%282",&2+62%&1& ex-ante, por meio da média das receitas esperadas ínterim ao longo dos valores de 126%2.012%2+2%C&,03&10+:06&++0&:,2%"0%90-,D3)+292:,/09&%282",&2+62%&1& preço de reserva escolhidos. 7*38)97960%32"01&3D1"&1&+%282",&+2+62%&1&+O:,2%"3&040:#010+C&40%2+12 7*38)97960%32"01&3D1"&1&+%282",&+2+62%&1&+O:,2%"3&040:#010+C&40%2+12 6%2.012%2+2%C&2+8045"10+; Passo 7 6%2.012%2+2%C&2+8045"10+; Para fins de comparação futura, a mesma função densidade gerada aleatoriamente #$%*% no passo 1 é empregada novamente, desta vez para o leilão com preço de reserva #$%*% fechado. 7&%&?": &%&./0?$,$%&9 & 32+3&?$:./0 12:+"1&12 #2%&1& 7&%&?": &%&./0?$,$%&9 & 32+3&?$:./0 12:+"1&12 #2%&1& &42&,0%"&32:,2 Passos :0 8 6&++0 e 9 M D 236%2#&1& :0C&32:,29 12+,& C2E9 6&%& 0 42"4/0 803 &42&,0%"&32:,2 :0 6&++0 M D 236%2#&1& :0C&32:,29 12+,& C2E9 6&%& 0 42"4/ %2.012%2+2%C&?285&10; No caso do preço de reserva aberto, a estratégia de equilíbrio foi obtida da 6%2.012%2+2%C&?285&10; transformação da variável aleatória de lance do leiloeiro em um valor constante correspondente #$#%+%,%-% ao preço de reserva anunciado. No caso do preço de reserva secreto, #$#%+%,%-% utilizamos também a modelagem de leilão duplo, fazendo-se necessária aqui a W08&+0106%2.012%2+2%C&&-2%,09&2+,%&,D#"&12 permanência desse lance como variável aleatória, representando 2A$"4O-%"0 o desconhecimento W08&+0106%2.012%2+2%C&&-2%,09&2+,%&,D#"&12 do valor do preço de reserva antes da abertura dos envelopes. 2A$"4O-%"0 Adotamos?0"0-,"1&1&?0"0-,"1&1&,%&:+?0%3&./0 uma função 1& de C&%"LC24 distribuição &42&,[%"& uniforme 12 para 4&:82 o leiloeiro, 10 42"402"%0 por esta 23 significar $3 C&40% a ausência de informação 1& C&%"LC24 por parte &42&,[%"& dos participantes 12 4&:82 e 10 por 42"402"%0 facilitar o 23 equacionamento $3 C&40% 80:+,&:,2 e o 80:+,&:,2,%&:+?0%3&./0 80%%2+60:12:,2 processamento &0 computacional. 6% %2+2%C& Portanto, &:$:8"&10; há incerteza, W0 para 8&+0 cada 10 licitante, 6%2.0 quanto 12 %2+2%C& 80%%2+60:12:,2 ao valor do &0 preço 6%2.0 de reserva, 12 %2+2%C& mas a &:$:8"&10; distribuição uniforme W0 8&+0 do 10 sinal 6%2.0 do leiloeiro 12 %2+2%C& +28%2,09$,"4"E&30+ U(0,1) é conhecida,&3-d3 de todos & 30124&#23 (Apêndice F). 12 A estratégia 42"4/0 1$6409 de equilíbrio?&e2:10)+2 candidata :282++L%"& a +28%2,09$,"4"E&30+ lance de equilíbrio,&3-d3 é dada & por 30124&# "4/0 1$6409?&E2:10)+2 :282++L%"& &A$"&62%3&:J:8"&12++24&:828030C&%"LC24&42&,[%"&912?0%3&&%26%2+2:,&%0 &A$"&62%3&:J:8"&12++24&:828030C&%"LC24&42&,[%"&912?0%3&&%26%2+2:,&% :528"32:,0 10 C&40% 10 6% %2+2%C& &:,2+ 1& &-2%,$%& 10+ 2:C24062+;

27 <20,"6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3& 1"+,%"-$"./0$:"?0%32F Se o tipo do vendedor é representado por uma distribuição uniforme H92:,/0 (G(x)), então <20,"6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3& 1"+,%"-$"./0$:"?0%32F H92:,/0 Enquanto para o preço de reserva aberto foi possível uma solução algébrica para a obtenção da estratégia de equilíbrio, no caso do preço de reserva fechado Z:A$&:,0 fez-se necessário A$29 o 6&%& uso de 6%2.0 solução 12 numérica %2+2%C& para &-2%,09 a equação?0" 60++OC24 diferencial $3& anterior. +04$./0 Na Figura 9, mostramos, para uma malha k = 2, o gráfico da estratégia de equilíbrio do leilão fechado em linhas pontilhadas, conjuntamente com as estratégias &4#D-%"8&6&%&0-,2:./01&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"09:2+,28&+0126%2.012%2+2%C& Z:A$&:,0 de equilíbrio A$29 do 6&%& leilão 6%2.0 aberto 12 para %2+2%C& preços de &-2%,09 reserva?0" iguais 60++OC24 a 0,1; $3& 0,2;...; +04$./0 1 em?285&109 linhas?2e)+2 cheias. :282++L%"00 $ $./0 :$3D%"8& 6&%& & 2A$&./0 1"?2%2:8"&4 &4#D-%"8&6&%&0-,2:./01&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"09:2+,28&+0126%2.012%2+2%C& &8"3&; W& $%& Q9 30+,%&30+9 6&%& $3& 3&45& `at9 0 #%L?"80 1& 2+,%&,D#"& 12?285&109?2E)+2 :282++L%"00 $ $./0 :$3D%"8& 6&%& & 2A$&./0 1"?2%2:8"&4 2A$"4O-%"01042"4/0?285&109234":5&60:,"45&1&+980:=$:,&32:,2803&+2+,%&,D#"&+ &8"3&; W& $%& Q9 30+,%&30+9 6&%& $3& 3&45& `at9 0 #%L?"80 1& 2+,%&,D#"& A$"4O-%"01042"4/0&-2%,06&%&6%2.0+12%2+2%C&"#$&"+&U9MbU9Tb;;;bM9234":5&+ 2A$"4O-%"01042"4/0?285&109234":5&60:,"45&1&+980:=$:,&32:,2803&+2+,%&,D#"&+ 852"&+; 122A$"4O-%"01042"4/0&-2%,06&%&6%2.0+12%2+2%C&"#$&"+&U9MbU9Tb;;;bM9234":5&+ 852"&+; $%&I # 50):&%&780+,-%+1&,5+./+:%+70/+%+.+%?&.+5%+-0+&,$,5"&/0 Fonte: elaboração do autor 27 #

28 2.012%2+2%C&D:/0:$409DY,"41"C$4#L)406&%&A$20+=0#&10% %2.012%2+2%C&D:/0:$409DY,"41"C$4#L)406&%&A$20+=0#&10% ,"60 6%[K"30 &0 6% %2+2%C&9 60++&3 &6%2+2:,&% 4&:82+ &A$ As,"60 quebras 6%[K"30 de inclinação &0 6%2.0 dos 12 gráficos %2+2%C&9 no 60++&3 valor de 0,5 &6%2+2:,&% devem-se 4&:82+ ao fato de ser 0 12 %2+2%C&; nesse ponto *2++& a divisão?0%3&9 da $3 malha =0#&10% k = 2 (fosse A$2 C&40%& a malha 0 de 0-=2,0 tamanho 23 k U9M = 3, as quebras 6%2.0 ocorreriam 12 %2+2%C&; em *2++& 0,333 e?0%3&9 0,663). Observa-se $3 =0#&10% que, A$2 quando C&40%& o preço 0 0-=2,0 de reserva 23 U9M r = 0, os 12U9M98&+006%2.012%2+2%C&+2=&&-2%,0212C&40%Mb2:A$&:,0 lances serão sempre maiores para preço de reserva fechado. Porém, à medida que o 4&:8212U9M98&+006%2.012%2+2%C&+2=&&-2%,0212C&40%Mb2:A$&:,0 preço de reserva aumenta, os lances para preço de reserva aberto passam a superar 12 6%2.0 gradualmente 12 %2+2%C& os?285&109 para preço +2$ de reserva 4&:82 +2%"& fechado. :/0 Isso &6%0C2",LC24 ocorre porque, :0 a reduzidos 8&+0 12 preços 6%2.0 de 12 reserva, %2+2%C& a não?285&109 divulgação +2$ de 4&:82 tais valores +2%"& faz :/0 com &6%0C2",LC24 que os jogadores :0 de "&&-&"K012U9M;W02:,&:,098036%2.012%2+2%C&&":1&%21$E"1012 maior tipo apresentem maiores lances ao se depararem com a incerteza do valor "++2%"&&-&"K012U9M;W02:,&:,098036%2.012%2+2%C&&":1&%21$E"1012 do preço de reserva estabelecido secretamente pelo leiloeiro. Caso o preço de reserva seja revelado antes, a tendência dos jogadores é aproximarem seus lances $",0+=0#&10%2+A$2912C"10\":82%,2E&106%2.012%2+2%C&+28%2,09 &5L3$",0+=0#&10%2+A$2912C"10\":82%,2E&106%2.012%2+2%C&+28%2,09 do valor reduzido do preço de reserva. Podemos verificar esse efeito observando +$62%"0%2+&08&+012+2,2%6%2.012%2+2%C&&-2%,0912&80%10803 que se o leiloeiro fixar o preço de reserva como nulo, mas não divulgá-lo, isso é o :82++$62%"0%2+&08&+012+2,2%6%2.012%2+2%C&&-2%,0912&80%10803 bastante para provocar lances mais elevados de todos os licitantes. 0+,&:06&%L#%&?0&:,2%"0%;c321"1&A$20C&40%126%2.012%2+2%C& 02K60+,&:06&%L#%&?0&:,2%"0%;c321"1&A$20C&40%126%2.012%2+2%C& Se o preço de reserva é não nulo, é útil divulgá-lo para que os jogadores, em 0?&,0%%2C24&10%106%2.012%2+2%C&&,$&:0+4&:82+&6%0C2",LC2"+ especial aqueles de tipo próximo ao preço de reserva, possam apresentar lances 93&"+0?&,0%%2C24&10%106%2.012%2+2%C&&,$&:0+4&:82+&6%0C2",LC2"+ acima do preço de reserva. Dessa forma, um jogador que valora o objeto em 0,1.0 12%2+2%C&H daria um 2%2+,&3 lance de 0,1, 32:0+ caso o =0#&10%2+ preço de reserva 12 3&"0%,"60 fosse aberto A$2 e 60++&3 de valor 1; enquanto 0 6%2.0 no 12%2+2%C&H caso de preço 2%2+,&3 de reserva 32:0+ fechado =0#&10%2+ seu lance 12 seria 3&"0%,"60 não aproveitável A$2 60++&3 no leilão, +0-":82%,2E&9?&E2:10803A$2042"4/08036%2.012%2+2%C&&-2%,0 pois seria abaixo de 0,1. Entretanto, com preço de reserva reduzido de 0,1, ainda :82++0-":82%,2E&9?&E2:10803A$2042"4/08036%2.012%2+2%C&&-2%,0 há muitos jogadores que, devido à incerteza do preço de reserva secreto, dariam #%&1$&432:,2 lances superiores +$62%"0%2+ àqueles &0 8&+0 no caso?285&10; de preço I++"39 de reserva 6012)+2 aberto, 0-+2%C&% de acordo com a :82+ #%&1$&432:,2 situação exposta +$62%"0%2+ no parágrafo &0 8&+0 anterior.?285&10; À medida I++"39 que o 6012)+2 valor de preço 0-+2%C&% de reserva 0+ 12%2+2%C& aumenta, +$62%"0%2+& mais o fator revelador U9]9 0+ do 4&:82+ preço 10+ de reserva 42"4>2+ atua 803 nos 6%2.0 lances 12 aproveitáveis & 6%2.0+ (acima 12%2+2%C& do preço +$62%"0%2+& de reserva), restando U9]9 0+ menos 4&:82+ jogadores "4>2+ de maior 803 tipo 6%2.0 que 12 possam +/0+236%232450%2+10A$ %2.012%2+2%C&?285&10; elevar lances sob incerteza, fazendo com que o leilão com preço de reserva aberto -2%,0+/0+236%232450%2+10A$ %2.012%2+2%C&?285&10; tenha lances gradualmente superiores ao caso fechado. Assim, pode-se observar /% que, para preços de reserva superiores a 0,6, os lances dos leilões com preço de ##$%./% reserva aberto são sempre melhores do que os com preço de reserva fechado A$206&++0G &:1"1&,0\2+,%&,D#"&124&: A$206&++0G &:1"1&,0\2+,%&,D#"&124&:829 &C2%"#$&./0+2&%2?2%"1&2+,%&,D#"&D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5) Passo 10 +2\&C2%"#$&./0+2&%2?2%"1&2+,%&,D#"&D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5) 2+,%&,D#"&+6$%&+;I++"39+2&2+,%&,D#"&5-./3D$32A$"4O-%"092:,/0 Do mesmo modo que o passo 4, obtido o candidato à estratégia de lance, 0232+,%&,D#"&+6$%&+;I++"39+2&2+,%&,D#"&5-./3D$32A$"4O-%"092:,/0 procede-se à averiguação se a referida estratégia é realmente um equilíbrio Nash- -bayesiano em estratégias puras. Assim, se a estratégia b( ) é um equilíbrio, então, em que A$2. Se o tipo do vendedor é representado por uma distribuição uniforme (G(x) 010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3&1"+,%"-$"./0$:"?0%32F = x), então 0,"6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3&1"+,%"-$"./0$:"?0%32F 28

29 6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3&1"+,%"-$"./0$:"?0%32F?$:./0 :0 103O:"0 29 8& =& 60+","C09 %2=2",&)+2 & +"3$4&./ O?"8& 60% :/0%26%2+2:,&% 2A$"4O-%"0; *"?2%2:,2 10 8& %2.0 12%2+2%C&. &-2%,09 & +04$./0 60++OC249 :0 6%2+2:,2 8&+09 D &62:&+ & :$3D%"8& 60% 32"0 1& A função b(z) é a solução da equação diferencial dada pelo!!" passo 9, substituindo-se x por z. O teste de equilíbrio consiste na ;I2+,%&,D#"&5-./&62:&++2%L busca do ponto máximo da 3&K"3"E&./0960%8L48$40:$3D%"8091&?$:./0 função D(x, z) no domínio [0,1] 2, e, caso ele seja positivo, rejeita-se a simulação 2A$"4O-%"098&+0:/0+22:80:,%2 específica por não representar equilíbrio. :0103O:"01&?$:./0FI6J:1"82dH; Diferentemente da situação com preço de reserva aberto, a solução possível, neste caso, é apenas a numérica por meio da maximização, #$%..% por cálculo numérico, da função D(x, z). A estratégia b( ) será equilíbrio apenas se não se encontrar D(x, z) > 0no domínio da função (Apêndice G). <2 5-./ #2%&10 &42&,0%"&32:,2 D 2A$"4O-%"09 2:,/ %2#L)40 :0 8L48$401&+%282",&+2+62%&1&+91&106%2.012%2+2%C& Passo 11 2F%282",&2+62%&1&O:,2%"3H; Se b( ) gerado aleatoriamente é equilíbrio, então podemos empregá-lo no I %282",& 2+62%&1& 10 42"4/0 12 6%"32"%0 6%2.09 6&%& 0 8& % %2+2%C& cálculo das receitas esperadas, dado o preço de reserva r (receita esperada ínterim). A receita esperada do leilão de primeiro preço, para preço de reserva sigiloso, é dada +"#"40+09D1&1&60% por onde 0:12)D0:Y32%012=0#&10%2+FI6J:1"82eH; n é o número de jogadores (Apêndice H). Para vários valores de preço de reserva, a receita esperada calculada aqui é comparada 7&%&CL%"0+C&40%2+126%2.012%2+2%C&9&%282",&2+62%&1&8&48$4&1&&A$"D àquela do passo 5, com preço de reserva aberto. 8036&%&1&\A$24&106&++0f9108&+08036%2.012%2+2%C&&-2%,0; Passo 12 #$%.&% Do mesmo modo que o passo 6, calculadas as receitas esperadas, tantas quantos * forem 3010 os valores A$2 diferentes 0 6&++0 de ]9 preço 8&48$4&1&+ de reserva &+ tomados %282",&+ no 2+62%&1&+9 passo anterior,&:,&+ 11, obtém-se a receita esperada ex-ante por meio da média das receitas esperadas A$&:,&+?0%230+C&40%2+1"?2%2:,2+126%2.012%2+2%C&,03&10+:06&++0&:,2%"0% ínterim ao longo dos valores de preço de reserva escolhidos. A cada geração aleatória ou simulação da função densidade conjunta dos MM90-,D3)+2&%282",&2+62%&1&7*38)97960%32"01&3D1"&1&+%282",&+2+62%&1&+ tipos dos jogadores, segundo a modelagem de distribuição de malha, os passos 1 a 12 são executados computacionalmente. O:,2%"3&040:#010+C&40%2+126%2.012%2+2%C&2+8045"10+; Ao longo dos milhares de simulações realizados, são calculadas médias das receitas calculadas nos passos 5, 6, 11 e 12 com o objetivo de comparar as receitas esperadas ínterim e ex-ante. As comparações estão demonstradas na próxima seção., # 29

30 N&(#)9/3+%) Em virtude de sua natureza simulatória, aspectos importantes deste trabalho foram a eficiência na execução dos milhares de simulações em termos de tempo de processamento e a precisão requerida para os resultados. Três fatores definem a eficiência em termos de processamento em trabalhos dessa natureza: software, hardware e algoritmos. Para a consecução deste trabalho, utilizamos como software numérico o MatLab (R2009a). O MatLab mostrou- -se uma ferramenta eficiente para executar os inúmeros cálculos matriciais e diferenciais necessários. Apesar das escolhas adequadas em termos de recursos computacionais e de algoritmos, o número de simulações não pôde ser elevado em demasia em razão do tempo de produção deste trabalho. Dado o número de módulos computacionais a serem executados em repetição, realizamos o número factível e suficiente de 10 mil simulações para cada caso de k e n. Além disso, a precisão numérica que estabelecemos para o cálculo numérico das equações diferenciais foi de 1e-18; o das integrações, de 1e-5; e para o das maximizações de funções no 2, de 1e-6. De posse das formulações construídas na modelagem, podemos calcular as estratégias de equilíbrio, testá-las e calcular as receitas esperadas para os leilões de primeiro preço com preço de reserva aberto ou fechado. Com o objetivo de traçar uma curva de receita esperada em função de preços de reserva, podemos tomar um conjunto de valores de preço de reserva. Por razões de limite computacional, optamos por encontrar equilíbrios e calcular receitas esperadas para 51 preços de reserva distribuídos de modo equidistante no intervalo (0,1). No confronto final dos resultados, são consideradas tão-somente as simulações para as quais é confirmado o equilíbrio Nash-bayesiano, ou seja, serão calculadas as receitas esperadas mais adiante apenas para as simulações que gerarem cumulativamente equilíbrio nos casos de preço de reserva fechado e aberto. 9 Portanto, é salutar evidenciar o quantitativo de simulações utilizadas para diferentes valores de k e n. Na Tabela 1, mostramos um total de 10 mil simulações para cada valor de k (colunas) e n (linhas). Podemos observar que, quanto maior k, muito mais difícil será encontrar uma simulação com o equilíbrio estudado. A aleatoriedade dos valores dos elementos na lista [] kn gera uma volatilidade, que cresce à medida que k aumenta. Isso faz com que seja cada vez mais difícil encontrar 30 "-S0TT1

31 equilíbrio nas simulações, embora sempre exista o equilíbrio, como demonstrado por Castro (2009). O mesmo efeito acontece com o aumento do número de jogadores n, mas em menor magnitude. Os saltos que ferem esse comportamento decrescente monótono do número de equilíbrios, a exemplo de (em n = 4; k = 2) para 6049 (em n = 5; k = 2), são decorrentes, naturalmente, da aleatoriedade das simulações geradas. Essa distorção tende a desaparecer se aumentarmos o número de simulações. Dado o reduzido número de equilíbrios para k = 4, apresentaremos, doravante, os resultados apenas para k = 2 e 3. -&*+1&(,J)+%0/++E$"1F*%" : 9 : ;"9<< < ; <<; Fonte: elaboração do autor Agregaremos, por meio de uma média aritmética simples, as receitas esperadas ao longo das simulações que apresentaram equilíbrio. Assim, teremos 51 receitas esperadas médias para os leilões com preço de reserva aberto e fechado correspondentes aos preços de reserva calculados. Essas são receitas ínterim, que correspondem a receitas esperadas, dado o valor do preço de reserva estabelecido pelo leiloeiro, conhecido ou não pelos jogadores. Os resultados para n = 2, 3,..., 7 encontram-se expostos na Figura 10, para k = 2, e na Figura 11, para k = 3. Dois fatores contrários acontecem na receita esperada do leilão aberto à medida que o preço de reserva aumenta. A adoção de um preço de reserva não nulo garante que a receita do vendedor, caso venda o bem, não seja menor que o referido valor de preço de reserva, o que acarreta um efeito de maior receita esperada. Por outro lado, o preço de reserva acaba por eliminar os jogadores de menor tipo, reduzindo o nível de participação no leilão e, por conseguinte, gerando menor efeito de receita esperada. Outra maneira de ver o efeito do nível de participação é perceber que a probabilidade de lance acima do preço de reserva (lance aproveitável) diminui à medida que este aumenta. Por conta desses dois fatores, o de truncagem do pagamento e o de redução do nível de participação, o comportamento 31

32 da receita esperada do vendedor versus o preço de reserva é uma curva côncava que apresenta um ponto de máximo. Ela é ascendente, enquanto o fator de truncagem do pagamento sobre a receita esperada é maior que o fator da redução de participação. Ao atingir o máximo, o segundo fator iguala-se e, daí em diante, torna-se superior ao primeiro fator, o que gera a curva descendente até atingir a receita esperada nula, quando o preço de reserva é suficientemente próximo do valor máximo unitário. Fonte: elaboração do autor $%&(C %+5+"-&.+.:+%&/&.:&%&!;3 Fonte: elaboração do autor $%&(( %+5+"-&.+.:+%&/&.:&%&!;6 32

33 No caso do leilão de preço de reserva fechado, os jogadores, mesmo aqueles de menor tipo, não se abstêm inicialmente de dar seus lances, pois desconhecem o preço de reserva estabelecido a priori. Seus lances são invalidados a partir da revelação a posteriori do preço de reserva, caso este seja maior. Há, pois, o fator de diminuição de ocorrência de lance aproveitável sobre a receita esperada, haja vista que, assim como no leilão de preço de reserva aberto, à medida que aumenta o preço de reserva a probabilidade de lance acima do preço de reserva diminui. Comparando-se as duas curvas de receita esperada para 2 jogadores, observa-se uma nítida superioridade da receita do leilão de preço de reserva fechado para valores inferiores de preço de reserva. A incerteza quanto ao valor do preço de reserva estabelecido secretamente pelo leiloeiro faz com que os lances dos jogadores sejam maiores para a maior parte dos seus tipos, como pode ser visto na Figura 9 para preços de reserva reduzidos. Assim, apenas pelo fato de não anunciar qual valor foi estabelecido como preço de reserva, um leilão de preço de reserva secreto de valor zero aufere maior receita esperada comparada ao leilão com preço de reserva em que os jogadores sabem abertamente seu preço zero. Essa vantagem do leilão fechado sobre o aberto diminui à medida que o preço de reserva se eleva. A partir de um valor de preço de reserva, essa relação se inverte, tornando a receita esperada do leilão aberto maior do que a do fechado, até ambos, naturalmente, anularem-se, quando o preço de reserva for o máximo unitário. Pode-se concluir ser melhor um leilão fechado para valores de preço de reserva reduzidos e um leilão aberto para valores de preço de reserva elevados. Caso o preço de reserva seja reduzido e enquanto tal valor não deteriore as chances de lances aproveitáveis, um leilão fechado permite que os jogadores se aventurem mais em seus lances, dada a incerteza do preço de reserva secreto. Caso o preço de reserva seja elevado, as chances de lances aproveitáveis deterioram-se exacerbadamente, sendo preferível a divulgação do preço de reserva para garantir que aqueles jogadores de tipo maior possam dar lances suficientemente altos para superar o preço de reserva. Podemos também extrair comparações importantes das curvas em função do número de jogadores. As receitas esperadas, como era de se desejar, elevam-se quando o número de jogadores n aumenta, demonstrando a importância do fator concorrencial. Esse fator também pode ser depreendido da aproximação entre as curvas de leilão aberto e fechado, à medida que aumenta o número de jogadores, ou seja, a maior concorrência exerce dois efeitos: o de maior receita esperada generalizada e o de indiferença na escolha entre os leilões aberto e fechado. Devemos frisar que a modelagem apresentada anteriormente se fundamenta em jogos não cooperativos entre jogadores simétricos, ou seja, o estudo não abrange as ocorrências de conluio e insider information entre os jogadores. 33

34 No entanto, quanto à situação de conluio, podemos, ainda assim, concluir do mesmo modo para o comportamento das receitas esperadas para leilões aberto e fechado. Podemos emular um conluio por meio da presença de um único jogador no leilão, este a representar por um único lance o acordo firmado previamente entre os conluiados. 10 Perceba-se que se o preço de reserva for revelado esse único jogador sempre apresentará lance igual ao preço de reserva fixado pelo leiloeiro. Mas com preço de reserva secreto o risco é de não haver lances aproveitáveis no resultado final do leilão. A conjugação desses dois fatores leva a um comportamento similar aos exemplos dos casos de n 2 jogadores anteriormente descritos. Com um único jogador, podemos compreender o resultado como uma extrapolação do caso de n = 2 jogadores. A Figura 12 demonstra o comportamento de um único jogador em um leilão de primeiro preço, considerando uniformes as distribuições do sinal desse jogador e do preço de reserva (Apêndice I). Fonte: elaboração do autor $%&(3 %+5+"-&.+.:+%&/&.:&%&"#;( Por fim, vale ressaltar que todas as receitas esperadas citadas neste estudo correspondem a receitas esperadas ínterim, ou seja, a receita esperada é calculada para valores determinados de preço de reserva. Em contraposição, a receita esperada ex-ante, considerando-se todos os possíveis valores de preço de reserva, pode 34

35 ser obtida com base na média dos valores de receita esperada ao longo das curvas obtidas para os distintos preços de reserva. 11 Desse modo, podemos comparar as receitas esperadas dos leilões aberto e fechado (Tabela 2). $%"&& %+5+"-&.+.:+%&/&.$%&! $ %&&()"*$ +,(-,.$ /)0,-,&1" Fonte: elaboração do autor Vê-se que as receitas esperadas ex-ante possuem diferenças na casa dos décimos de milésimo, indicando a igualdade numérica entre as receitas. Reforça essa afirmativa o fato de, em simulações complementares, as receitas esperadas ex-ante convergirem ainda mais quando aumentamos o número de preços de reserva na interpolação e tornamos o cálculo da receita esperada mais preciso. Essa igualdade das receitas esperadas entre os leilões aberto e fechado não confronta os resultados encontrados por Milgrom e Weber (1982), pois eles afirmaram que a receita esperada ex-ante do leilão aberto seria maior ou igual à do fechado, e, neste estudo, encontramos a igualdade entre as receitas. Tal resultado provém da simplificação feita quando da introdução do sinal do leiloeiro, no qual fizemos o citado sinal independente estatisticamente dos sinais dos jogadores (demonstração do Teorema F no Apêndice F). O princípio da ligação (linkage principle) (KRISHNA, 2010) justifica o fato de nosso desenvolvimento ter resultado 11 (8U-$/( 35

36 em igualdade, pois a independência entre os sinais do leiloeiro e os sinais dos jogadores implica igualdade das receitas esperadas. 12 A maior contribuição deste estudo encontra-se na revelação do comportamento das receitas esperadas ínterim, dependentes de distintos valores de preço de reserva. Assim, os resultados encontrados desvendam as situações em que a receita esperada do leilão fechado é maior que a do aberto e vice-versa. Esse comportamento dicotômico acontece para o conjunto amplo de todas as funções densidade de probabilidade pretendido pelo estudo, incluindo-se aí os casos em que as funções são afiliadas. O&P%82/9)4#) Com o objetivo de comparar os leilões de primeiro preço com preço de reserva anunciado e sigiloso em termos de receita esperada, adotamos modelo mais geral denominado de distribuição em malha, na expectativa de gerarmos conclusões adicionais ou divergentes às encontradas pelo modelo de afiliação por Milgrom e Weber (1982). Os resultados obtidos não tiveram o poder de contrapor-se aos resultados dos citados estudiosos, pois simplificações realizadas no desenvolvimento do modelo geral acabaram por impossibilitar tal intuito. Todavia, resultados adicionais podem ser acrescidos à literatura de leilões acerca das receitas esperadas ínterim, estas não tratadas por Milgrom e Weber (1982). Em leilões de primeiro preço, a comparação das receitas esperadas entre as opções de preço de reserva anunciada e secreta mostra-se ambígua, dependendo do preço de reserva estabelecido pelo leiloeiro. A receita esperada é maior para preço de reserva sigiloso, quando o valor do preço de reserva é reduzido, enquanto ela é maior para preço de reserva anunciado, quando o valor do preço de reserva é elevado. Portanto, a opção pelo preço de reserva sigiloso apresenta-se mais vantajosa nas situações de preço de reserva reduzido, devido ao fato de a incerteza do seu valor levar os jogadores de maior tipo a oferecerem lances maiores do que na situação de preço de reserva anunciado. Contudo, à medida que o preço de reserva aumenta, esse efeito é neutralizado pelo maior risco de não termos mais lances aproveitáveis, ou seja, aqueles acima do valor de preço de reserva, o que torna a opção pelo preço de reserva anunciado melhor em termos de receita esperada. Adicionalmente, quando o número de jogadores no leilão aumenta, em contexto de maior competição, a diferença entre as opções sigilosa e anunciada reduz-se gradativamente, tornando cada vez mais indiferente a escolha entre uma ou outra 12 2&$R->()"9&$&"2( 36

37 opção. O conluio, representado na modelagem por um único jogador, não altera os resultados já descritos. Transportando a linguagem da Teoria de Leilões para as licitações públicas, podemos depreender alguns ensinamentos importantes. Nas concorrências, quanto maior for o preço de referência, maior a possibilidade de que menores custos de contratação sejam obtidos com a opção pelo preço de referência sigiloso vis-à-vis o divulgado. Na prática, sabe-se que a Administração Pública, costumeiramente, não conhece tão bem o mercado em que opera quanto os licitantes, e, em razão desse desconhecimento parcial e/ou por conservadorismo devido ao temor de licitação deserta ou fracassada, tende a adotar preços de referência mais elevados dentro da faixa de preços possíveis. Essa lógica leva à recomendação de que as concorrências públicas deveriam optar preferencialmente por certames com preço de referência sigiloso em prol de menores custos de aquisição de obras, materiais e serviços. Logo, o advento do recente Regime Diferenciado de Contratação para licitações da Copa do Mundo e das Olimpíadas pode ser benéfico economicamente para a Administração Pública, em virtude, particularmente, do caráter sigiloso dos preços de referência contidos nos orçamentos licitatórios. Trabalhos futuros podem melhorar os resultados aqui alcançados. Inicialmente, o modelo de distribuição de malha pode ainda ser aprimorado ao impor à geração dos dados que as funções de distribuição geradas sejam mais suaves, o que exigirá maior capacidade de processamento computacional. No modelo, há espaço para inserir alguma dependência entre o leiloeiro e os participantes do leilão, o que demandará modificações nas expressões das funções de distribuição de malha. Adicionalmente, a inclusão de custo de participação no leilão pode levar a outros resultados quanto às vantagens de se aumentar o número de participantes. Por fim, a existência de alguns participantes conhecedores do preço de reserva sigiloso (insider information) deve exigir a quebra da simetria da modelagem. (#Q#"C82-+) BIERMAN, H.; FERNANDEZ, L. Game theory with economic applications. 2. ed. Addison-Wesley, BRASIL. Lei n , de 5 de agosto de Institui o Regime Diferenciado de Contratações Públicas RDC. Disponível em: < Acesso em: 10/11/ Tribunal de Contas da União (2002). Decisão 300/2002 Plenário. Relator Ministro Benjamin Zymler. Sessão de 03/04/2002. Disponível em: < portaltextual/pesquisaformulario>. Acesso em: 30/07/

38 . Tribunal de Contas da União (2006). Acórdão 201/2007 Plenário. Relator Ministro Benjamin Zymler. Sessão de 22/02/2006. Disponível em: < portaltextual/pesquisaformulario>. Acesso em: 30/07/ Tribunal de Contas da União (2006). Acórdão 1405/2007 Plenário. Relator Ministro Marcos Vilaça. Sessão de 09/08/2006. Disponível em: < portaltextual/pesquisaformulario>. Acesso em: 30/07/ Tribunal de Contas da União (2006). Acórdão 1925/2007 Plenário. Relator Ministro Augusto Nardes. Sessão de 18/10/2006. Disponível em: < br/portaltextual/pesquisaformulario>. Acesso em: 30/07/ Tribunal de Contas da União (2007). Acórdão 114/2007 Plenário. Relator Ministro Benjamin Zymler. Sessão de 07/02/2007. Disponível em: < portaltextual/pesquisaformulario>. Acesso em: 30/07/2010. BRISSET, K.; NAEGALEN, F. Why the reserve price should not be kept secret. Topics in Theorical Economics, v. 6, n. 1, artigo 5, CAREY, K. Reservation price announcement in sealed bid auctions. The Journal of Industrial Economics, v. 41, n. 4, p , Dec CASTRO, L. Grid distributions to study single object auctions. Trabalho para discussão, Disponível em: < Acesso em: 11/05/ Afilliation and dependence in economic models. Northwestern University, Center for Mathematical Studies in Economics and Management Science. Trabalho para discussão 1479, Disponível em: < math/papers/1479.pdf>. Acesso em: 11/05/2009. CASTRO, L.; FRUTOS, M. How to translate results from auctions to procurements. Economics Letters, 106, p , CASTRO, L.; RIASCOS, A. Characterization of bidding behavior in multi-unit auctions. Journal of Mathematics Economics, v. 45, n. 9-10, p , Sept DEVROYE, L. Non-uniform random variate generation. Springer-Verlag, Disponível em: < luc/rnbookindex.html>. Acesso em: 15/05/2009. ELYAKIME, B.; LAFFONT, J.; LOISEL, P.; VUONG, Q. First-price sealed-bid auctions with secret reservation prices. Annales d economie et de statistique, v. 34, GIBBONS, R. Game theory for applied economists. Princeton University Press, HEATH, M. Scientific computing: an introductory survey. Second Edition. McGraw- -Hill, KRISHNA, V. Auction theory. Second Edition. Elsevier, LEVIN, D.; SMITH, J. Optimal reservation prices in auctions. The Economic Journal, v. 106, n. 438, p , Sept

39 LIMA, E. Curso de análise. v ed. Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Impa, Análise real: Funções de uma variável. v ed. Rio de Janeiro: Impa, MAS-COLELL, A.; WHISTON, M.; GREEN, J. Microeconomic theory. Oxford University Press, MENEZES, F.; MONTEIRO, P. An introduction to auction theory. Oxford University Press, MACAFEE, R.; MCMILLAN, J. Auctions and bidding. Journal of Economic Literature, v. 25, n. 2, p , June MILGROM, P.; WEBER, R. A theory of auctions and competitive bidding. Econometrica, v. 50, n. 5, p , Sept RECKTENWALD, G. Numerical methods with Matlab: implementation and application. Prentice Hall, RILEY, J.; SAMUELSON, W. Optimal auctions. The American Economic Review, v. 71, n. 3, p , June ROSENKRANZ, S.; SCHMITZ, P. Reserve prices in auctions as reference points. The Economic Journal, n. 117, p , Apr SILVA, A. Preço de reserva: divulgar ou não? Tese (Doutorado em Economia) Brasília, Universidade de Brasília, VINCENT, D. Bidding off the wall: why reserve prices may be kept secret. Journal of Economic Theory, n. 65, p , WILLIAMS, S. Existence and convergence of equilibria in buyer s bid double auction. The Review of Economic Studies, v. 58, n. 2, p , Apr

40 12N%&+O4"&9TUMU; $%:&40?Z80:03"8X520%_9:;]f966;f^f)fVG9MQQf; 0$%:&40?Z80:03"8X520%_9:;]f966;f^f)fVG9MQQf; 12N%&+O4"&9TUMU; igwrzwx9 *; 4--10& 566& 78#& 9+//,& :8;& "#)#"*#& <"-=#)& )#="#7; ,%0%7%8934":,3;$#%4$%:$4,<$ igwrzwx9 *; 4--10& 566& 78#& 9+//,& :8;& "#)#"*#& <"-=#)& )#="#7; k0$%:&40?z80:03"8x520%_9:;]f966;f^f)fvg9mqqf; ,%0%7%8934":,3;$#%4$%:$4,<$ ,%0%7%8934":,3;$#%4$%:$4,<$ k0$%:&40?z80:03"8x520%_9:;]f966;f^f)fvg9mqqf; 7BC8-2#) <2#$:10 R&+,%0FTUUVH96&%&12?":"%&,%&:+?0%3&./0 96%28"+&30+ <2#$: ,%0%7%8934":,3;$#%4$%:$4,<$ R&+,%0FTUUVH96&%&12?":"%&,%&:+?0%3&./0 96%28"+&30+,%01$E"%&+2#$":,2:0,&./0;<2=& ,%0%7%8934":,3;$#%4$%:$4,<$ &?$:./0A$2&++08"&&*0,%01$E"%&+2#$":,2:0,&./0;<2=& <2#$:10 R&+,%0FTUUVH96&%&12?":"%&,%&:+?0%3&./0 &?$:./0A$2&++08"&&*0 G<L$.&")(G(3(H7$.%)$+#=(.#(%#.)-# 96%28"+&30+,2"%09A$2D03O:"30":,2"%03&"0%0$"#$&4&!*;*2++&3&:2"%&96&%&8&1&,2"%09A$2D03O:"30":,2"%03&"0%0$"#$&4& <2#$:10 R&+,%0FTUUVH96&%&12?":"%&,%&:+?0%3&./0 96%28"+&30+ ":,%01$E"%&+2#$":,2:0,&./0;<2=&!*;*2++&3&:2"%&96&%&8&1& &?$:./0A$2&++08"&&*0 9,230+ Segundo ":,%01$E"%&+2#$":,2:0,&./0;<2=& A$2 Castro (2008), para definir a transformação &?$:./0A$2&++08"&&*0 T k : D D, precisamos introduzir a seguinte notação: seja II:[0,1] {1, 2,..., k} a função que associa 9 9 ":,2"%09A$2D03O:"30":,2"%03&"0%0$"#$&4&,230+,230+ A$2 ; <"3"4&%32:,29 12:0,2 0 A$&1%&10 ; <"3"4&%32:,29 12:0,2!*;*2++&3&:2"%&96&%&8&1& 0 A$&1%&10 ":,2"%09A$2D03O:"30":,2"%03&"0%0$"#$&4&!*;*2++&3&:2"%&96&%&8&1& a x o inteiro, que é o mínimo inteiro maior ou igual a kx. Dessa maneira, para 9,230+ A$2 ; <"3"4&%32:,29 12:0,2 0 A$&1%& Z:,/09 12?":"30+ cada 23 x 9 [0,1], A$2 temos,230+ que x ; Z:,/09 12?":"30+ 30&,%&:+?0%3&./0A$2&++08"&6&%&8&1& &12:+"1&12 ;. Similarmente, <"3"4&%32:,29 denote 12:0,2 (x) o 0 quadrado A$&1%&10 1&1&60% 030&,%&:+?0%3&./0A$2&++08"&6&%&8&1&, 9 em 23 que x = (x ; Z:,/09 12?":"30+ 1, x&12:+"1&12 2,..., x n ) [0,1] n. Então, 1&1&60% definimos T k : D D como a transformação 9 23 A$2 que associa ; Z:,/09 12?":"30+ para cada f D a densidade T k ( f ), dada por 8030&,%&:+?0%3&./0A$2&++08"&6&%&8&1& &12:+"1&12 1&1&60% 23 A$2 8030&,%&:+?0%3&./0A$2&++08"&6&%&8&1& ; B-+2%C2 D80:+,&:,2 &12:+"1&12 +0-%2, 8&1& 1&1&60% 23 A$2 ; B-+2%C2 A$2 D80:+,&:,2 +0-%2 8&1& &1%&10 em que a = (a 1, a 2,..., a n ). Observe que T k ( f ) é constante sobre cada quadrado 9 6&%&,01&+ &+ 803-":&.>2+ 12 $&1%&10 ; B,2%30! ) 23 A$2 9 para 6&%& todas,01&+ as &+ combinações 803-":&.>2+ ; B-+2%C2 de 12 A$2 m D80:+,&:,2 ; B,2%30! +0-%2 ) i {1,..., k}. O termo k n acima 8&1& vem do ; B-+2%C2 A$2 D80:+,&:,2 +0-%2 8&1& A$&1%&10 A$&1%&10 "3&C2310?&,012A$28&1&A$&1%&10 fato de que cada quadrado,23c04$32 tem volume 1/k ;W0,2A$2 n. Note que, para todas as 8"3&C2310?&,012A$28&1&A$&1%&10 9 6&%&,01&+ &+ 803-":&.>2+ 12 densidades f D, T 1 A$&1%&10 ( f )(x) = 1, ; B,2%30! ) n, isto é, T,23C04$32 1 ( f ) é distribuição ;W0,2A$2 uniforme em [0,1] n. %&,01&+ &+ 12:+"1& &%& 9,01&+ &+ 803-":&.>2+ 9 "+,0 D9 12 D ; B,2%30! ) &%&,01&+ &+ A 12:+"1&12+ maioria dos 9 argumentos &8"3&C2310?&,012A$28&1&A$&1%&10 utilizados 9 em,23c04$32 ;W0,2A$2 Castro 9 "+,0 &8"3&C2310?&,012A$28&1&A$&1%&10 (2008) D9,23C04$32 são D os tradicionais +,%"-$"./0$:"?0%3223 ; em Teoria dos Leilões. Seja b:[0,1] um lance de equilíbrio,23c04$32 simétrico crescente, ;W0,2A$2 "+,%"-$"./0$:"?0%3223 6&%&,01&+ &+ 12:+"1&12+ ; I3&"0%"&10+&%#$32:,0+$,"4"E&10+23R&+,%0FTUUVH+/00+,%&1"8"0:&"+23 denotemos por b -1 (b) a sua inversa, 9 ou seja, 9 b -1 9 "+,0 D9 (b) = sup{x [0,1]:b(x) b}. Como D 6&%&,01&+ &+ 12:+"1& "+,0 D9 D I3&"0%"&10+&%#$32:,0+$,"4"E&10+23R&+,%0FTUUVH+/00+,%&1"8"0:&"+23 b é crescente, b -1 também 20%"& 10+ 1"+,%"-$"./0$:"?0%3223 h2"4>2+; <2=& é. Sejam Y $3 ; 4&: = max 2A$"4O-%"0 j 1 t +"3D,%"80 j e B 1 = max 8%2+82:,29 j 1 b(t j ) e definamos 1"+,%"-$"./0$:"?0%3223 ; * @ ; 20%"& 10+ h2"4>2+; <2=& $3 4&: A$"4O-%"0 +"3D,%"80 8%2+82:,29 2:0, % I3&"0%"&10+&%#$32:,0+$,"4"E&10+23R&+,%0FTUUVH+/00+,%&1"8"0:&"+23 & +$& ":C2%+&9 0$ +2=&9. ; * @ * @ 2:0, % & +$& ":C2%+&9 0$ +2=&9 X20%"& 10+ h2"4>2+; <2=& ; D 8%2+82:,29 Desse 5 modo:,&3-d3 D; <2=&3 $3 4&: A$"4O-%"0 +"3D,%"80 2 8%2+82:,29 * @ X20%"& 10+ h2"4>2+; <2=& $3 4&: A$"4O-%"0 +"3D,%"80 8%2+82:, D 8%2+82:,29 5 ;,&3-D3 12:0, % D; <2=&3 & +$& ":C2%+&9 0$ +2=& ?":&30+ ; 12:0, % & +$& ":C2%+&9 0$ +2=&9 ; 2?":&30+ R030 5 D 8%2+82:,29 5 ;,&3-D3 D; <2=&3 R030 5 D 8%2+82:,29 5 ; 2 2,&3-D3 D; <2=&3 2 2, 23 A$2 12?":&30+ ; I++"39 23 $3 42"4/0 12 6%"32"%0 6% ?":&30+ em 00":,2%" A$2 12 que A$2 $3 =0#&10% 12,"60 9. Assim, em um leilão de primeiro preço, o payoff 1&:10 4&:82 9 2:A$&:,0 A$ ?":&30+ ínterim de um jogador de tipo x [0,1], dando lance b, enquanto os oponentes # 23 A$2 2:,2++2#$2359D seguem # b, é ;. <2#$:10 R&+,%0FTUUVH96&%&12?":"%&,%&:+?0%3&./0 96%28"+&30+ ":,%01$E"%&+2#$":,2:0,&./0;<2=& &?$:./0A$2&++08"&&*0 ":,2"%09A$2D03O:"30":,2"%03&"0%0$"#$&4&!*;*2++&3&:2"%&96&%&8&1& ; I++"39 23 $3 42"4/0 12 6%"32"%0 6% =00":,2%"3 <8+=00":,2%" $3 $3 =0#&10% =0#&10% 12 12,"60," &:10 1&:10 4&:82 4&: :A$&:,0 2:A$&:,0 A$2 A$ <8+=00":,2%"3 Em uma 12 $3 série =0#&10% de lemas, 12 Castro,"60 9 (2008) demonstrou 60:2:,2++2#$2359D 1&:10 4&:82 9 2:A$&:,0 A$ :2:,2++2#$2359D # que se f D Z3 $3& +D%" &+9 R&+,%0 FTUUVH 1230:+,%0$ ; A$29 ; +2 k, F Y1 t 9 1 (x x) > 0, u(x) = x 1-c, (com c 0), o equilíbrio simétrico crescente 060:2:,2++2#$2359D b:[0,1] seria ; Z3 9 dado Z3 $3& por $3& +D%"2+ F803 +D%" &+9 H902A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,2 423&+9 R&+,%0 R&+,%0 FTUUVH FTUUVH 1230:+,%0$ 1230:+,%0$ A$29 A$ ; <"3"4&%32:,29 12:0,2 0 A$&1%& A$2 ; Z:,/09 12?":" &,%&:+?0%3&./0A$2&++08"&6&%&8&1& &12:+"1&12 1&1&60% 23 A$2 ; B-+2%C2 A$2 D80:+,&:,2 +0-%2 8&1& 9 6&%&,01&+ &+ 803-":&.>2+ 12 ; B,2%30! ) ;W0,2A$2 6&%&,01&+ &+ 12:+"1& "+,0 D9 D I3&"0%"&10+&%#$32:,0+$,"4"E&10+23R&+,%0FTUUVH+/00+,%&1"8"0:&"+23 X20%"& 10+ h2"4>2+; <2=& $3 4&: A$"4O-%"0 +"3D,%"80 8%2+82:,29 12:0, % & +$& ":C2%+&9 0$ +2=&9 ; R030 5 D 8%2+82:,29 5 ;,&3-D3 D; <2=&3 2 2 ; I++"39 ; I++" $3 $3 42"4/0 42"4/ %"32"%0 6%"32"%0 6%2.09 6% &1060% Z3 $3& +D%" &+9 R&+,%0 FTUUVH 1230:+,%0$ A$ F803 F803 H902A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,2 H902A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,2 9 F803 H902A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,2 2%"&1&1060% +2%"&1&1060%

41 9 F803 H902A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,2 +2%"&1&1060%, e que, além disso, caso exista, será ele único. 2A$29&4D31"++098&+02K"+,&9+2%L242Y:"80; Dadas as mesmas condições do resultado anterior, o equilíbrio simétrico crescente *&1&+ &+ b:[0,1] 32+3&+ é 80:1".>2+ contínuo em 10 (0,1) %2+$4,&10 e é diferenciável &:,2%"0%9 em 0 quase 2A$"4O-%"0 todo lugar, +"3D,%"80 mais precisamente, b é diferenciável em (0,1)\0, em que A é o conjunto {0, 8%2+82:,2 D 80:,O:$ _,..., 1}, k 2 D 1"?2%2:8"LC24 23 A$&+2,010 4$#&%9 quando f D k. 3&"+6%28"+&32:,295D1"?2%2:8"LC A$2>D080:=$:,0 Por fim, demonstrou que há uma reciprocidade entre f e T k ( f ), k k 9 0, TUUVH; 70% 32"0 12++&+ 2K6%2++>2+9 2K,%&23)+2 &+?$:.> :+"1&129 quanto ao equilíbrio simétrico em estratégias puras, o que possibilita os testes de A$&:10 &8$3$4&1& equilíbrio ; neste 2 80:1"8"0:&4 trabalho. 23?$:./ "+ 6&%l32,%0+9 & +&-2%9 0,"60 12 $3 0% 32"0 12++&+ 2K6%2++>2+9 2K,%&23)+2 &+?$:.> :+"1&129 VH; 70% TUUVH; =0#&10%6&%,"8$4&%9*9203&"0%10+,"60+2:,%20+123&"+=0#&10%2+9? 32"0 G<L$.&")(B(3(!I<0)==M)=(&%<#0+$+)= 70% 70% 12++&+?"39 32"0 1230:+,%0$ 12++&+ 2K6%2++>2+9 2K6%2++>2+9 2K,%&23)+2 A$2 5L $3& 2K,%&23)+2 &+?$:.>2+ %28"6%08"1&12 &+ 2:,%2?$:.> :+"1&129 2 ; 12 12:+"1&129 & 2 80:1"8"0:&4 23?$:./ "+ 6&%l32,%0+9 & +&-2%9 0,"60 12 $3 3$4&1& &8$3$4&1& 2 A$&:,0 TUUVH; 80:1"8"0:&4 &02A$"4O-%"0 Inicialmente, 2 70% 80:1"8"0:&4 32"0 23 +"3D,%" &+?$:./0 faz-se 2K6%2++> necessário?$:./0 10"+ 2+,%&,D#"&+ 6&%l32,%0+9 2K,%&23)+2 o desenvolvimento 10"+ 6$%&+9 6&%l32,%0+9 &+ & +&-2%9?$:.>2+ A$2 de "-"4",& algumas +&-2%9 12,"60 12:+"1& expressões 0 0+,"60 $3,2+,2+ 12 $3 &%,"8$4&%9*9203&"0%10+,"60+2:,%20+123&"+=0#&10%2+9? <2=&3 ) =0#&10% TUUVH; TUUVH; 70% 32"0 70% 12++&+ 32"0 12++&+ 2K6%2++>2+9 2K6%2++>2+9 2K,%&23)+2 $3&%2&4"E&./012 2K,%&23)+2 &+?$:.>2+ ; 2 &+ 12?$:.>2+ 12:+"1&129 TUUVH; 70% 32"0 12++&+ 2K6%2++>2+9 2K,%&23)+2 &+?$:.> :+"1& :+"1&129 10%6&%,"8$4&%9*9203&"0%10+,"60+2:,%20+123&"+=0#&10%2+9? &8$3$4&1& probabilísticas 80:1"8"0:&4 que serão 23 de?$:./0 suma importância 12 10"+ 6&%l32,%0+9 na construção & +&-2%9 do 0 modelo,"60 12 (CAS- $3 =0#&10%6&%,"8$4&%9*9203&"0%10+,"60+2:,%20+123&"+=0#&10%2+9? ; 2A$"4O-%"0:2+,2,%&-&450; TRO, &8$3$4&1& 2008). 2 Por 80:1"8"0:&4 meio dessas expressões,?$:./0 10"+ extraem-se 6&%l32,%0+9 as funções +&-2%9 de densidade, ; &8$3$4&1& =&3 &8$3$4&1& ) =0#&10% :1"8"0:& A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? 80:1"8"0:&4?$:./0 $3&%2&4"E&./012?$:./0 10"+ 6&%l32,%0+9 10"+ 6&%l32,%0+9 +&-2%9,"60 +&-2%9 12 $3,"60 12 $3,"60 12 acumulada e condicional em função de dois parâmetros, a saber, o tipo ; $3 2 2*D =0#&10%6&%,"8$4&%9*9203&"0%10+,"60+2:,%20+123&"+=0#&10%2+9? <2=&3 de um jogador ,%=%7%>?1@,##A,#%5:1$@;"3;,#% ) particular, <2=&3 =0#&10%2+9 ) x, =0#&10%2+9 =0#&10%6&%,"8$4&%9*9203&"0%10+,"60+2:,%20+123&"+=0#&10%2+9? e o maior dos $3&%2&4"E&./012 tipos entre $3&%2&4"E&./012 ; ; os demais jogadores, Y 1. ; <2=&3 ) =0#&10%2+9 $3&%2&4"E&./ A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? 2*D g:"8"&432:,29 Sejam <2=&3 n ) jogadores, =0#&10%2+9?&E)+2 :282++L%"0012+2:C04C"32:,0 y 2 $3&%2&4"E&./012 uma realização de Y 12 &4#$3&+ 2K6%2++>2+ 1 = max j 1 t2 j e t 1 = x <2=&3 ) =0#&10%2+9 $3&%2&4"E&./ A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? 2 923A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? <2=&3 ) =0#&10%2+9 $3&%2&4"E&./ *D 923A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? e, em que m, p e k são números inteiros. A distribuição conjunta 2*D de Y 2*D 6%0-&-"4O+,"8&+ 1 e x é 923A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? 923A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? 923A$2@9<2!+/0:Y32%0+":,2"%0+;I1"+,%"-$"./080:=$:,&12? +2%/0 2*D 12 +$3& "360%,l:8"& :& 80:+,%$./0 2*D *D FR&+,%09 # 23A$2 12:0,&);%262,".>2+12 9$36&%&8&1&O:1"82 ;<2, A$2 12:0,&);%262,".>2+12 D$3 +$-80:=$:,0 12O:1"82+9 9$36&%&8&1&O:1"82 +2=& A B 0 +2$ ;< :,0 ; 23A$2 12:0,&);%262,".>2+12 9$36&%&8&1&O:1"82 ;<2 Z+8%2C A$2 12:0,&);%262,".>2+12 9$36&%&8&1&O:1"82 ;<2 23A$2 D$3 23A$2 +$-80:=$:,0 em 23A$2 que 12:0,&);%262,".> O:1"82+9 denota 6&%& 23A$2 12:0,&);%262,".>2+12 n-1 12:0,&% +2=& repetições A B 0 A$2 +2$ de :,0 ":,2#%&4, 9$36&%&8&1&O:1"82 um para %2?2%2)+2 &0+ O:1" A; 9$36&%&8&1&O:1"82 cada índice ; ;<2 j 1. ;<2 Se P {2, ;<2 ;<2..., D$3 +$-80:=$:,0 12O:1" =& A B 0 +2$ :,0 n} é um subconjunto D$3 +$-80:=$:,0 de índices, 12O:1"82+9 seja P c ; o seu +2=& complemento A B 0 +2$ :,0 {2,..., n}\p. Escrevemos ; Z+8%2C230+ D$3 +$-80:=$:,0 B 0 +2$ :,0 D$3 D$3 A B +$-80:=$:,0 0 +2$ ; Z+8%2C230+ 6&%& 12:0,&% 12O:1"82+9 A$2 & ":,2#%&4 +2=& A B ; D$3 +$-80:=$:,0 12O:1" =& A B R5& &%& para 6&%& 12:0,&% denotar A 0 12:0,&% A$2 C2,0% A$2 que & & a ":,2#%& integral 80%%260:12:,2+ & $ O:1" :,0 23 A; 0 +2$ :,0 ; %2?2%2)+2 &0+ &0+ O:1"82+ O:1" A$2 A; &6&% A; se refere aos índi.ces em P. Chamemos a P o vetor ; %2?2%2)+2 &0+ O:1" A; Z+8%2C :,/02+8%2C2% dos a s correspondentes aos índices que aparecem 6&%& 12:0,&% A$2 & ":,2#%&4 em P. Podemos então escrever R5&3230+ A 0 C2,0% Z+8%2C230+ 6&%& 12:0,&% &0+ O:1"82+ A$2 A$2 ":,2#%&4 %2?2%2)+2 &6&%2823 &0+ 23 A; O:1" A; %2C230+ A 0 C2,0% Z+8%2C &%& + 80%%260:12:,2+ %2?2%2)+2 &0+ O:1" A; R5& :0,&% A 0 6&%& C2,0% :0,&% A$2 &&0+ ":,2#%&4 O:1" %%260:12:,2+ A$2 & ":,2#%&4 A$2 %2?2%2)+2 &6&%2823 &0+ O:1"82+ %2?2%2)+2 &0+ 23 O:1"82+ A; A$2 &6&%2823 &0+ 23 O:1"82+ A; :,/02+8%2C2% 23 A; 23 A; 2:,/02+8%2C2% R5&3230+ A 0 C2,0% %%260:12:,2+ &0+ O:1"82+ A$2 &6&% A; R5&3230+ A 0 C2,0% %%260:12:,2+ &0+ O:1"82+ A$2 &6&% A; R5&3230+ A 0 C2,0% A C2,0% %%260:12:, %%260:12:,2+ &0+ O:1"82+ &0+ A$2 O:1"82+ &6&%2823 A$2 &6&% A; 23 A; :,/02+8%2C2% :,/02+8%2C2% :,/02+8%2C2% :,/02+8%2C2% :,/02+8%2C2%

42 , 23A$2&+03&D+0-%2, $-80:=$:,0+A12 ; 23A$2 em 23A$2 <2 que a soma 23A$2&+03&D+0-%2, $-80:=$:,0+A é sobre todos D&?$:./0A$2&++08"&&032:0%":,2"%0A$2D %26%2+2:,&% os subconjuntos? 60% $3& P de. 4"+,& ; 98$= :,0+ 23A$2 D&?$:./0A$2&++08"&&032:0%":,2"%0A$2D 23A$2 Se F D k, podemos representar D&?$:./0A$2&++08"&&032:0%":,2"%0A$2D f por uma lista [] kn, cujos elementos 3&"0%0$"#$&4&;j+&:10&:0,&./09,230+ +/0 são <2 [](i %26%2+2:,&%? 60% $3& 4"+,& 1, 90$+2=&9 3&"0%0$"#$&4&;j+&:10&:0,&./09, , i n ), ou seja, 98$= :,0+ 3&"0%0$"#$&4&;j+&:10&:0,&./09,230+ +/0 23A$2 90$+2=&9 D&?$:./0A$2&++08"&&032:0%":,2"%0A$2D em que II:[0,1] {1,..., k} é a função que associa a a o menor inteiro que é maior 3&"0%0$"#$&4&;j+&:10&:0,&./09,230+ ou igual a ka. Usando a notação, temos # A$2 A$2 12:0,& 12:0,& 0 :Y32%0 :Y32% :, :, A 2 A 2 23 # A 2 D,&4 D A$2,&4 A$2 23 A$2 12:0,& 0 :Y32% :,0+ 12 A 2 D D,&4,&4 A$2 A$2 b b b ; <2=& ; <2=& C-*&+&A/ C-*&+&A/ 0 80:=$:,0 0 80:=$:,0 12,&"+ 12,&"+ b b 9 +2 b ; ; <2=& C-*&+&A/ :=$:, ,&"+,&"+ O:1"82+90$+2=&9 em 23 que A$2 P 12:0,& denota o número 0 :Y32%0 de elementos :,0+ de P e i = 12 (i 1, A..., 2 i n ) é tal que i 1 = II(a D,&4 i ); A$2 O:1"82+90$+2=&9 i j = m, se j e P; i j = II(a i ), se j e P C. Seja I(x, y, P) o conjunto de tais índices, ou seja, b 9 +2 b ; <2=& C-*&+&A/ 0 80:=$:,0 12,&"+ O:1"82+90$+2=&9 B,:"NM@*&1&+12?":".>2+&8"3&9,230+A$2@ B,:"NM@*&1&+12?":".>2+&8"3&9,230+A$2@ B,:"NM@*&1&+12?":".>2+&8"3&9,230+A$2@ Lema B1: Dadas as definições anteriores, temos que: B,:"NM@*&1&+12?":".>2+&8"3&9,230+A$2@ e 2 2 0:12 onde 0:12 0:12 p 2 = II(x) 2 e ;.; ; 0:12 2 ; C,:$3#;@"DE$FB Demonstração: O resultado é demonstrado por Silva (2010). C,:$3#;@"DE$FB g:8"12+0-%2&?$:./0&#2%&./0&42&,[%"&10 Incide sobre a função [](i) a geração aleatória do modelo :12 2 ; grid D2EF3FEG92E519E=)9 distribution, que D2EF3FEG92E519E=)9 g:8"12+0-%2&?$:./0&#2%&./0&42&,[%"&10 corresponde a obter aleatoriamente os patamares a ij da função de distribuição D2EF3FEG92E519E=)9 A$280%%2+60:12&0-,2%&42&,0%"&32:,20+6&,&3&%2+ 8 EH 1&?$:./0121"+,%"-$"./0 das Figuras 1 e 2. Castro (2008) segue Devroye (1986) A$280%%2+60:12&0-,2%&42&,0%"&32:,20+6&,&3&%2+ C,:$3#;@"DE$FB 8 EH 1&?$:./0121"+,%"-$"./0 e demonstra como obter 8 EH A$280%%2+60:12&0-,2%&42&,0%"&32:,20+6&,&3&%2+ rigorosamente essas realizações. Assim, cada realização de 8 EH 1&?$:./0121"+,%"-$"./0 [a ij ] kk corresponderá a 1&+?"#$%&+ M 2 T; R&+,%0 FTUUVH +2#$2 *2C%0_2 FMQV]H :+,%& ,2% &+ 1&+?"#$%&+ uma?"#$%&+ g:8"12+0-%2&?$:./0&#2%&./0&42&,[%"&10 M simulação 2 M T; R&+,%0 em nosso T; R&+,%0 FTUUVH estudo. FTUUVH +2#$2 +2#$2 *2C%0_2 *2C%0_2 FMQV]H FMQV]H :+,%& :+,%& D2EF3FEG92E519E=) ,2% 0-,2% 1&+?"#$%&+ M 2 T; R&+,%0 FTUUVH +2#$2 *2C%0_2 FMQV]H :+,%& ,2% %"#0%0+&32:,22++&+%2&4"E&.>2+;I++"398&1&%2&4"E&./ %%2+60:12%L A$280%%2+60:12&0-,2%&42&,0%"&32:,20+6&,&3&%2+ %"#0%0+&32:,22++&+%2&4"E&.>2+;I++"398&1&%2&4"E&./012 8 EH 1&?$:./0121"+,%"-$"./0 80%%2+60:12%L %"#0%0+&32:,22++&+%2&4"E&.>2+;I++"398&1&%2&4"E&./012 80%%2+60:12%L &$3&+"3$4&./023:0++02+,$10;

43 g364232:,&:10 $3& 301"?"8&./0 +"3642+ :0 2A$&8"0:&32:,0 6%01$E"10 60% 6240 R&+,%0 I6J:1"82 FTUUVH9 I A$2 0 8&:1"1&,0 ":+2%"% 6&%& 6%2.0 2A$"4O-%"0 12 %2+2%C& "4/0 A$2 %21$:1&%L 12 6%"32"%0 :0 6%2.0 2A$"4O-%"0 803 G<L$.&")(*(3(!=+0+N8&(.)();7&-C,0&#("#%(<0)O#(.)(0)=)0>($7$"&.# 1-6/"6 &-&"K0; g364232:,&:10 ;B $3& 301"?"8&./0 +"3642+ :0 2A$&8"0:&32:,0 6%01$E"10 60% 2+236%2.012%2+2%C&D1&1060%@ R&+,% FTUUVH9 I6J:1"82 Dada I uma A$2 realização, 0 ":+2%"% 8&:1"1&,0 podemos utilizar a expressão do lema anterior para 6%2.0 6&%& 12 2A$"4O-%" "4/0 12 6%"32"%0 6% construir uma estratégia de equilíbrio do nosso modelo grid distribution. Sabemos 1-6/"6 pelo ;B Apêndice A que o candidato para %2+2%C&9 equilíbrio A$2 %21$:1&%L :0 2A$"4O-%" I6J:1"82 I A$2 0 8&:1"1&,0 6&%& 2A$"4O-%" "4/0 12 6%"32"%0 6% em leilão de primeiro preço com u(z) = z 1-c e sem preço de reserva é dado por: &-&"K0; 1-6/"6 ;B 2+236%2.012%2+2%C&D1&1060%@ g364232:,&:10 $3& 301"?"8&./0 B 2A$&8"0:&32:,0 &8"3&,&3-D3 +"3642+ :0 2A$&8"0:&32:,0 6%01$E"10 60% % 0-,"109 &0 +2 +"364"?"8&% 0 R&+,%0 %2+$4,&10 FTUUVH9 6&%& g364232:,&: "4>2+ 1$640+ $3& 301"?"8&./0 ":+2%"% 0-,"10 +" % I6J:1"82 :0 2A$&8"0:&32:,0 %2+2%C&9!9 A$2?&E2:10)+2 6%01$E"10 60% %21$:1&%L :0 2A$"4O-%" R&+,%0 Implementando FTUUVH uma ":+2%"% modificação 0 6% %2+2%C&9 simples A$2 %21$:1&%L no equacionamento :0 2A$"4O-%"0 produzido B &-&"K0; por g364232:,&:10 2A$&8"0:&32:,0 Castro (2008), podemos $3& &8"3& 301"?"8&./0 inserir,&3-d3 o preço +" de +2% reserva, :0 2A$&8"0:&32:,0 0-,"109 que redundará &0 +2 +"364"?"8&% no 6%01$E"10 equilíbrio abaixo: :A$&:,0A$2 6&%&,0106:,0:0+$60%,2; 60% &-&"K0; %2+$4,&10 R&+,%0 6&%& FTUUVH9 42"4> $640+ ":+2%"% 0-,"10 0 6% I6J:1"82 12 %2+2%C&9 A$2 %21$:1&%L :0 2A$"4O-%"0 &-&"K0;!9?&E2:10) Z++& +"364"?"8&./0,%&:+?0%3& 0 6%2.0 %2+2%C& 12 C&%"LC24 &42&,[%"& FC&40% :528"10H6&%&$3&80:+,&:,2FC&40%80:528"10H; :A$&:,0A$2 6&%&,0106:,0:0+$60%,2; O equacionamento anterior também pode ser obtido ao se simplificar o resultado Z++& +"364"?"8&./0 B R0:+"12%&:10+032:,2=0#&10%2+:2$,%0+FB"%H9,2%230+ %2+$4,&10 2A$&8"0:&32:,0 6&%&,%&:+?0%3& 42"4>2+ 1$640+ &8"3& 0-,"10 0 6%2.0,&3-D3 10 I6J:1"82 %2+2%C& 6012!9?&E2:10)+2 +2% 12 0-,"109 C&%"LC24 9 &0 &42&,[%"& "364"?"8&% FC&40% para leilões duplos obtido do Apêndice F, fazendo-se G(b(x)) = 0, se x < 0 r, e 92 G(b(x)) = 1, 9+2 se x r 92:A$&:,0A$2, enquanto g(b(x)) = 6&%&,0106:,0:0+$60%,2; 12+80:528"10H6&%&$3&80:+,&:,2FC&40%80:528"10H; 0 para todo ponto no suporte. Essa %2+$4,&10 42"4>2+ 1$ ,"10 10 I6J:1"82 simplificação transforma o preço reserva de variável!9 aleatória?&e2:10)+2 (valor desconhecido) B para 2A$&8"0:&32:,0 uma constante (valor &8"3& conhecido).,&3-d Z++& +"364"?"8&./0,%&:+?0%3& 0 6%2.0 %2+2%C& 12 C&%"LC24 &42&,[%"& FC&40% R0:+"12%&:10+032:,2=0#&10%2+:2$,%0+FB"%H9,2% % 0-,"109 &0 +2 +"364"?"8&% :12D12?":" :528"10H6&%&$3&80:+,&:,2FC&40%80:528"10H; :A$&:,0A$2 6&%&,0106:,0:0+$60%,2; Considerando somente jogadores neutros (c = 0), teremos %2+$4,&10 6&%& 42"4>2+ 1$ ,"10 10 I6J:1"82!9 R0:+"12%&:10+032:,2=0#&10%2+:2$,%0+FB"%H9,2%230+?&E2:10) Z++& +"364"?"8&./0,%&:+?0%3& b(z, 0 r) 6%2.0 = z H(z, %2+2%C& r), 12 C&%"LC24 &42&,[%"& FC&40% N,$@,:" RM@ Z3 $3 42"4/0 12 6%"32"%0 6% % %2+2%C& &-2%, :A$&:,0A$2 6&%&,0106:,0:0+$60%,2; 12+80:528"10H6&%&$3&80:+,&:,2FC&40%80:528"10H; 0:12D12?":" onde é definido como ;. 0:12D12?":" ; 803C&40% Z++& R0:+"12%&:10+032:,2=0#&10%2+:2$,%0+FB"%H9,2%230+ +"364"?"8&./0 9&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,212$3=0#&10%,%&:+?0%3& 0 6%2.0 %2+2%C& 12 C&%"LC24 &42&,[%"& FC&40% N,$@,:" N,$@,:" RM@ Z3 RM@ $3 Z3 $3 42"4/0 12 6%"32"%0 6%2.0 6% % %2+2%C& 6%2.0 &-2%,0 12 %2+2%C& &-2%,0 12,"606D1&1&60% Teorema C1: Em um leilão de primeiro preço com preço de reserva aberto 12+80:528"10H6&%&$3&80:+,&:,2FC&40%80:528"10H; com 803C&40% valor r 803C&40% 9&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,212$3=0#&10% 9&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,212$3=0#&10%, a estratégia de equilíbrio simétrico crescente de um jogador de tipo z é dada por R0:+"12%&:10+032:,2=0#&10%2+:2$,%0+FB"%H9,2% ,"606D1&1&60% 0:12D12?":" b(z, r) = z H(z, r), ; 12,"606D1&1&60% 0:12 onde 0:12 N,$@,:" RM@ Z3 $3 42"4/0 12 6%"32"%0 6% % %2+2%C& &-2%,0 0:12D12?":" ; 803C&40% 0:12 9&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,212$3=0#&10% N,$@,:" RM@ Z3 $3 42"4/0 12 6%"32"%0 6% % %2+2%C& &-2%,0 # 12,"606D1&1&60% 803C&40% 9&2+,%&,D#"&122A$"4O-%"0+"3D,%"808%2+82:,212$3=0#&10% # # B 2A$&8"0:&32:,0 &8"3&,&3-D % 0-,"109 &0 +2 +"364"?"8&% 0 12,"606D1&1&60% 0:12 43

44 0:12 2 ; C,:$3#;@"DE$F 0: ,%C%%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$% ; C,:$3#;@"DE$F ,%C%%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$% B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&RM80:?"#$%&)+2:/0&62:&+ C,:$3#;@"DE$F ,%C%%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$% B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&RM80:?"#$%&)+2:/0&62:&+ 23 $ ,%C%%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$% B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&RM80:?"#$%&)+2:/0&62:&+ 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 23 $3 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 0:12 onde 0: :?0%3202K60+,0:0I6J:1"82I;70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&10 B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&RM80:?"#$%&)+2:/0&62:&+. 23 $3 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 80:?0%3202K60+,0:0I6J:1"82I;70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&10 6&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$32A$"4O-%"0; 23 C,:$3#;@"DE$F 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 80:?0%3202K60+,0:0I6J:1"82I;70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&10 6&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$32A$"4O-%"0; Demonstração: O resultado é demonstrado por Silva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equacionamento de lance obtido pelo Teorema C1 configura-se não apenas 23 A$2 23 $3 *2 8&:1"1&,0 8&:1"1&,0 em um candidato 1& & 2A$"4O-%"09 2+,%&,D#"& 2A$"4O-%"09 a equilíbrio, 3& &+9 :& mas, :& C2%1&129 C2%1&129 na verdade, 0-,"1& :0 : Y:"80 no Y:"80 único X20%23& 8&:1"1&,0 8&:1"1&,0 candidato RM9 & a & 2A$"4O-%"09 6%08$%&30+ C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+ & 2+,%&,D#"& 8&:1"1&,& & 2A$"4O-%"0 D 5-6&2/3 "3 63 ;3 I-6&2/ 8030 equilíbrio, & 2+,%&,D#"& conforme o 8&:1"1&,& exposto no & Apêndice 2A$"4O-%"0 A. Portanto, D 5-6&2/3 esse "3 63 candidato ;3 I-6&2/ necessita 8030 ser 12+8%",& 2A$"4O-%" %",& A$2 80:?0%3202K60+,0:0I6J:1"82I;70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&10 &:,2%"0%32:,2; C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+ A$2 testado & 2+,%&,D#"& para se confirmar 8&:1"1&,& se & é realmente 2A$"4O-%"0 um D equilíbrio. 5-6&2/3 "3 63 ;3 I-6&2/ %",& &:,2%"0%32:,2; 6&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$32A$"4O-%"0; 6&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$32A$"4O-%"0; A$2 & 2+,%&,D#"& De posse 8&:1"1&,& da estratégia & de 2A$"4O-%"0 equilíbrio obtida pelo Teorema 63 I-6&2/ C1, procuramos %",& &:,2%"0%32:,2; I?$:./05-6&2/3"363;3I-6&2/3D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ verificar I?$:./05-6&2/3"363;3I-6&2/3D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ se tal estratégia de lance é realmente um equilíbrio Nash-bayesiano. Temos *2 &:,2%"0%32:,2; * que a estratégia 1& 1& 2+,%&,D#"& 2+,%&,D#"& candidata A$"4O-%"0 a 2A$"4O-%"0 equilíbrio 0-,"1& 0-,"1& é b(z,r) = z X20%23& X20%23& H(z,r), RM9 como RM9 6%08$%&30+ descrita I?$:./05-6&2/3"363;3I-6&2/3D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ 6%08$%&30+ anteriormente. C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+ C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X A$2 I?$:./05-6&2/3"363;3I-6&2/3D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ A função b(z,r) = z H(z,r) é equilíbrio se o seguinte acontece: 23A$2 A$2 A$2 & & 2+,%&,D#"& 2+,%&,D#"& 8&:1"1&,& 8&:1"1&,& & & 2A$"4O-%"0 2A$"4O-%"0 D D 5-6&2/3 5-6&2/3 "3 " ;3 ;3 I-6&2/ I-6&2/ %",& 12+8%",& 23A$2 em que &:,2%"0%32:,2; &:,2%"0%32:,2; 23A$2 2 I?$:./05-6&2/3"363;3I-6&2/3D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ 2 ei?$:./05-6&2/3"363;3i-6&2/3d2a$"4o-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ A$2 23A$2 IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39 IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39 A última função de probabilidade foi obtida do Lema B1. Assim, IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39. 2 IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39 2 Portanto, caso uma determinada simulação de estratégia de equilíbrio apresente valor positivo para a função D(x, z) em algum ponto do seu domínio [0,1] 2, a correspondente estratégia de equilíbrio deve ser desprezada no estudo, uma vez # que indica a ausência de equilíbrio. O resultado procurado para o sinal da função # D(x, z) pode ser obtido por meio da sua maximização numérica. No entanto, utilizamos a proposição de Castro (2008) para simplificar essa operação. # IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39 IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39 Proposição D1: A função D(x, z): # (i) x, é contínua em z; 44

45 (ii) F"H F""H F"H 9D80:,O:$&236b 9D80:,O:$&236b F""H 960++$"$3:Y32%0?":", :,":$"1&12+91& :=$ z, possui um número finito de descontinuidades, dado pelo conjunto ; $"$3:Y32%0?":", :,":$"1&12+91& :=$:,0 ; C,:$3#;@"DE$@g++0C231"%2,&32:,21&?0%3$4&./012 9A$21262:12 C,:$3#;@"DE$@g++0C231"%2,&32:,21&?0%3$4&./012 9A$21262 Demonstração: Isso vem diretamente da formulação de D(x, z), que depende de F Y1 t A$2 D 80:,O:$& _ 3&+ :/0 23 K; *2?&,09 +2 K 3$1& 12 $3 (x z), que 9 A$2 é contínua D 80:,O:$& em y, 23 mas _ não 3&+ em :/0 x. De 23 fato, K; se *2 x?&,09 muda +2 de K um 3$1& 12 intervalo ":,2%C&40 para 6&%& outro, 0$,%09 os 0+ termos,2%30+ [f ](i 1,..., i n-1, p) que A$2 aparecem &6&%2823 no :0 denominador de ":,2%C&40 F 6&%& 0$,%09 0+,2%30+ Y1 t 1 (x z) mudarão arbitrariamente. A$2 &6&% :03":&10%12 A proposição anterior permite 12:03":&10%12 que a busca dos máximos da função e a consequente I6%060+"./0&8"3&62%3",2A$2&-$+8&10+3LK"30+1&?$:./0 verificação de equilíbrio não precise estender-se sobre todos 2& os pontos do domínio [0,1] 2, de modo que é possível simplificar a maximização em um 80:+2A$2:,2C2%"?"8&./0122A$"4O-%"0:/06%28"+22+,2:12%)+2+0-%2, :,0+ subconjunto menor I6%060+"./0&8"3&62%3",2A$2&-$+8&10+3LK"30+1&?$:./0 e mais simples dos pontos do referido domínio, tornando a operação O:"0 extraordinariamente 80:+2A$2:,2C2%"?"8&./0122A$"4O-%"0:/06%28"+22+,2:12%)+2+0-%2, : A$2 mais D 60++OC24 exata. +"364"8&% & 3&K"3"E&./0 23 $3 +$-80:=$:,0 32:0% 2 3&" O:"0 +" :,0+ 10 %2?2%"10 103O:"09,0%:&:10 & G<L$.&")(!(3(P)")&+()=<)0.(<0(<0)O#(.)(0)=)0>($7$"&.# A$2 D 60++OC24 +"364"8&% & 3&K"3"E&./ %&./02K,%&0%1":&%"&32:,23&"+2K&,&; Com +$-80:=$:,0 base na formulação 32:0% 2 3&"+ do pagamento +"3642+ esperado :,0+ do leilão 10 %2?2%"10 de primeiro 103O:"09 preço, pode-se obter N,$@,:"Z@<2=&3)=0#&10%2+2$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50!;I a receita esperada pelo seguinte teorema:,0%:&:1 % N,$@,:"Z@<2=&3)=0#&10%2+2$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50!;I ,%>%%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$% I 062%&./02K,%&0%1":&%"&32:,23&"+2K&,&; 6&%,"% 1&?0%3$4&./0 10 6&#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06%2.09 %282",& 2+62%&1& %282",& Teorema 2+62%&1& 1042"4/0 E: Sejam 1042"4/0 12 n jogadores 6%"32"%0 12 6%"32"%0 e 6%2.0 uma distribuição 803 6%2.0 6% %2.0 12%2+2%C&&-2%,0 de malha 12%2+2%C&&-2%,0 de tamanho k. C&40% 12 C&40% A 6012)+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ receita % esperada ,%>%%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%"39365"4$% do leilão de primeiro preço com preço de reserva aberto de valor D I D é 6&%,"% 1&?0%3$4&./0 10 6&#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06%2 6012)+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ 0:12 ; onde ϕ = kr ρ :12 ; C,:$3#;@"DE$@ C,:$3#;@"DE$@ Demonstração: ,%8%%>#;@";HI5"%4,%,J95<KL@5$%4,%<,5<E$%491<$% O resultado é demonstrado por Silva (2010) ,%8%%>#;@";HI5"%4,%,J95<KL@5$%4,%<,5<E$%491<$% N,$@,:"%8 <2=&3 J-./ & 6%0-&-"4"1&12 10,"60 10 C2:1210% 2 & N,$@,:"%8 6%0-&-"4"1&1280:1"8"0:&412?":"1&:0I6J:1"82N;<$60:5&A$20,"6010C2:1210%D <2=&3 J-./ & 6%0-&-"4"1&12 10,"60 10 C2:1210% 2 & 45 6%0-&-"4"1&1280:1"8"0:&412?":"1&:0I6J:1"82N;<$60:5&A$20,"6010C2:1210%D ":1262:12:,210+," %&10%2+;<2 D$32A$"4O-%"0+"3D,%"80!!"

46 6%0-&-"4"1&1280:1"8"0:&412?":"1&:0I6J:1"82N;<$60:5&A$20,"6010C2:1210%D ":1262:12:,210+," %&10%2+;<2 <2=&3 J-./ & 6%0-&-"4"1&12 10,"60 D$32A$"4O-%"0+"3D,%"80 10 C2:1210% 2 & G<L$.&")(H(3(!=+0+N8&(.)();7&-C,0&#(.)(-)&-K#(.7<-# 8%2+82:,292:,/0-D1&1060% 6%0-&-"4"1&1280:1"8"0:&412?":"1&:0I6J:1"82N;<$60:5&A$20,"6010C2:1210%D Teorema F: Sejam G( ) a probabilidade do tipo do vendedor e a probabilidade condicional ":1262:12:,210+," %&10%2+;<2 D$32A$"4O-%"0+"3D,%"80 definida no Apêndice B. Suponha que o tipo do vendedor é independente dos tipos dos compradores. 8%2+82:,292:,/0-D1&1060% Se é um equilíbrio simétrico crescente, então b é dado por C,:$3#;@"DE$FZ3R&+,%02S"&+80+FTUUVH9?&.&30+803A$20:Y32%012-2:+: =& K"2960%80:+2#$":,29,2:5&30+&62:&+$3C2:1210%)"; 23A$2 D0," %&10%E; R030 23A$2 C,:$3#;@"DE$FZ3R&+,%02S"&+80+FTUUVH9?&.&30+803A$20:Y32%012 P"44"&3+ Demonstração: FMQQMH9 D0," %&10%E; &++$3"30+ Em Castro e Riascos C2:1210% (2009), façamos &6%2+2:,& com 4&:82 que o "#$&4 número &0 +2$ R0:+"12%&:10 A$2 0,"60 10 C2:1210% D ":1262:12:,2 10+," de 23A$2 bens no modelo seja K = 1 e, por conseguinte, tenhamos apenas um vendedor C&40%; -2:+:0 S2&4"E&:10 n = =&,&"+ D0," %&10%E; Como Williams K"2960%80:+2#$":,29,2:5&30+&62:&+$3C2:1210%)"; 301"?"8&.>2+9,230+ A$2 & 6%"32"%& 12%"C&1& 10 <8+= %&10%2+9 R0:+"12%&:10 23A$2 A$2 D0," %&10%E; (1991), assumimos que o vendedor D ":1262:12:,2 apresenta lance 10+ igual,"60+ ao 10+ D12?":" seu R0:+"12%&:10 valor. Realizando A$2 tais 0 modificações,,"60 10 C2:1210% temos que D a ":1262:12:,2 primeira derivada 10+ do payoff," %&10%E23%24&./0&0+2$4&: %&10%2+9 R030 do P"44"&3+ comprador FMQQMH9 i em relação &++$3"30+ ao seu lance A$2 D R0:+"12%&:10 D12?":" b C2:1210% &6%2+2:,& 4&:82 "#$&4 &0 +2$ A$2 0,"60 10 i,1 C2:1210% é D ":1262:12:,2 10+," A$2 C&40%; 23A$2 23A$2 S2&4"E&:10 D0," %&10%E; 8036%&10%2+9 23A$2,&"+ D0," %&10%E; D12?":" D0," %&10%E; 8036%&10%2+9 23A$2 301"?"8&.>2+9 D0," %&10%E;,230+ A$2 & 6%"32"%& 12%"C&1&, 10 <8+=00 10 R0:+"12%&:10 A$2 0 D12?":" A$2 em R0:+"12%&:10 que R0:+"12%&:10,"60 v 8036%&10%E23%24&./0&0+2$4&:82 i,1 = t i é A$2 o A$2 tipo 0 A$2 D& 10 C2:1210% do,"60 comprador 0 10," %0-&-"4"1&12 D ":1262:12:,2 i. C2:1210% D D 10+ D ":1262:12:,2 C&40%2+ 10+," Y:"80 10+,"60+,"60+ C2:1210% 10+," R0:+"12%&:10 A$2,"60 10 C2:1210% 10+ R0:+"12%&:10 A$2,"60 10 C2:1210% D D ":1262:12:,2 10+," %&10% A$2 D ":1262:12:,2 10+," %&10%2+9 D12?":" # Considerando que o tipo do vendedor é independente dos tipos dos com- 8036%&10%2+9 D12?":" D& 6%0-&-"4"1& C&40%2+ 10 Y:"80 C2:1210% %&10%2+9 D12?":" ; B 2C2:,0 23 A$2 8036%&10%2+9 pradores, D12?":" é definido como D& 6%0-&-"4"1& C&40%2+ 10 Y:"80 C2:1210% 2 23 A$2 D& 6%0-&-"4"1&12 ; B 2C2:,0 10+ C&40%2+ 10 Y:"80 C2:1210% 80%%2+60:12& 2 ; 23 A$2, 23 D& 6%0-&-"4"1& ; C&40%2+ B 2C2:,0 10 Y:"80 C2:1210% 10+ C&40%2+ 10 Y:" %%2+60:12& C2:1210% 2 # em que A$2 A$2 D& D& é a 6%0-&-"4"1&12 6%0-&-"4"1&12 probabilidade ; C&40%2+ B 10 2C2:,0 Y:"80 C2:1210% dos C&40%2+ valores 10 do Y:"80 único C2:1210% 2 vendedor 2 ; B-,230+ e 12%"C&:10&8"3&@ 80%%2+60:12& 23 A$2 D& 6%0-&-"4"1& C&40%2+ 10 Y:"80 C2:1210% 2 23 A$2 D& 6%0-&-"4"1&12 ;. O B evento 10+ 2C2:,0 C&40%2+ 10 Y:"80 C2:1210% 2 ; B 2C2:,0 ; ; B 2C2:,0 corresponde 80%%2+60:12& B-,230+ ; B 2C2:,0 a 12%"C&:10&8"3&@ 80%%2+60:12& 80%%2+60:12& ;. ; B-,230+ ; B 2C2:,0 12%"C&:10&8"3&@ ; ; B 2C2:,0 80%%2+60:12& B-,230+ B-,230+ Obtemos ; 80%%2+60:12& B-, %"C&:10&8"3&@ 12%"C&:10&8"3&@ derivando acima: 12%"C&:10&8"3&@ ; 80%%2+60:12& B-, %"C&:10&8"3&@ ; B-, %"C&:10&8"3&@ B-, %"C&:10&8"3&@ 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2. 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 Portanto, a equação final torna-se 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 70%,&:,09&2A$&./0?":&4,0%:&)+2 W& :0++&,2%3":040#"&9 ; 7&%& A$2 2:80:,%230+ W& :0++& ; 7&%& ; 7&%& A$2 A$2 2:80:,% A$"4O-%"0 Na nossa terminologia, v W& :0++&,2%3":040#"&9 2A$"4O-%"0 W& :0++&,2%3":040#"&9 i,1 = t i = t. Para que encontremos o equilíbrio simétrico, 2&12%"C&1&6%"32"%&10<8+=0010=0#&10%E12C2 e a derivada ; 7&%& A$2 2:80:,% A$"4O-%"0 +"3D,%"809 ; primeira 7&%& A$2 do 2:80:,%230+ payoff do jogador 0 2A$"4O-%"0 i deve W& se anular +"3D,%"809 :0++&,2%3":040#"&9 ; 7&%& A$2 2:80:,% A$"4O-%"0 +"3D,%"809 +"3D,%"809 W& W& :0++& :0++& +2&:$4&% 2&12%"C&1&6%"32"%&10<8+=0010=0#&10%E12C2,2%3":040#"&9,2%3":040#"&9 2&12%"C&1&6%"32"%&10<8+=0010=0#&10%E12C2 ; 7&%& ; A$2 7&%& 2:80:,%230+ A$2 2:80:,%230+ 2A$"4O-%"0 2A$"4O-%"0 +"3D,%"809 +2&:$4&% +2&:$4&% 2&12%"C&1&6%"32"%&10<8+=0010=0#&10%E12C2 +2&:$4&% +"3D,%"809 +"3D,%"809 +2&:$4&% 2&12%"C&1&6%"32"%&10<8+=0010=0#&10%E12C2

47 +"3D,%"809 2&12%"C&1&6%"32"%&10<8+=0010=0#&10%E12C2 +2&:$4&% *2 &80% R&+,%0 FTUUVH9 & 2A$&./0 1"?2%2:8"& % %2+04C"1& *2&80% R&+,%0 FTUUVH9 & 2A$&./0 1"?2%2:8"& % %2+04C"1& ":,2%C&4060%":,2%C&40;X03&:10)+206%"32"%0":,2%C&40 *2 &80% R&+,%0 FTUUVH9 & 2A$&./0 1"?2%2:8"&4 9, :1"./ % %2+04C"1& ":,2%C&4060%":,2%C&40;X03&:10)+206%"32"%0":,2%C&40!":&432:,29-&+,&?&E2% !":&432:,29-&+,&?&E2%30+ Finalmente, basta fazermos 9 2 9, :1"./0 e ":,2%C&4060%":,2%C&40;X03&:10)+206%"32"%0":,2%C&40 <2 Se!":&432:,29-&+,&?&E2%30+ <2 92+$60:10A$2D$:"?0%329,230+A$2, e supondo que G( ) é uniforme, temos que 92+$60:10A$2D$:"?0%329,230+A$2 ":"8"&4 5-%/"%; R03 +04$./0 10 6%"32"%0 ":,2%C&409 0-,230+ 9, :1"./0 & 0 C&40% ":"8"&4 5-%/"%; R03 +04$./0 10 6%"32"%0 ":,2%C&409 0-,230+ & 0 C&40% ":"8"&4 5-%/"%; R03 +04$./0 6%"32"%0!" # <2 92+$60:10A$2D$:"?0%329,230+A$2 ":,2%C&409 0-,230+ & C&40% 12 2K,%230+$62%"0%10":,2%C&409A$2+2%L960%+$&C2E9&80:1"./0":"8"&4106%[K"30 2K,%230+$62%"0%10":,2%C&409A$2+2%L960%+$&C2E9&80:1"./0":"8"&4106%[K"30 2K,%230+$62%"0%10":,2%C&409A$2+2%L960%+$&C2E9&80:1"./0":"8"&4106%[K"30 ":,2%C&40 ## ;Z&++"36%0++2#$2)+26&%&,010+0+":,2%C&40+; # ":,2%C&40 *2 &80% R&+,%0 FTUUVH9 & 2A$&./0 1"?2%2:8"&4 ;Z&++"36%0++2#$2)+26&%&,010+0+":,2%C&40+; % %2+04C"1& ":,2%C& ,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% ;Z&++"36%0++2#$2)+26&%&,010+0+":,2%C&40+; ":,2%C&4060%":,2%C&40;X03&:10)+206%"32"%0":,2%C&40 9, :1"./ % %2+04C"1& ,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% *2 &80% R&+,%0 FTUUVH9 & 2A$&./0 1"?2%2:8"& % %2+04C"1& B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&!80:?"#$%&)+2:/0&62:& ,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% De acordo com Castro (2008), a equação diferencial pode ser resolvida intervalo por ":,2%C&4060%":,2%C&40;X03&:10)+206%"32"%0":,2%C&40 intervalo. Tomando-se o primeiro intervalo *2 &80%10 ":"8"& %/"%; R&+,%0 R03 +04$./0 FTUUVH9 10 & 6%"32"%0 2A$&./0 ":,2%C&409 1"?2%2:8"&4 0-, % %2+04C"1& :1"./0 9, :1"./0 & 0 C&40% B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&!80:?"#$%&)+2:/0&62:&+, temos como condição B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&!80:?"#$%&)+2:/0&62:&+ inicial 2K,%230+$62%"0%10":,2%C&409A$2+2%L960%+$&C2E9&80:1"./0":"8"&4106%[K"30 b(0) = 0. Com a solução do primeiro intervalo, 23 $3 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"0; ":,2%C&4060%":,2%C&40;X03&:10)+206%"32"%0":,2%C&40 ":"8"&4 5-%/"%; R03 +04$./0 10 6%"32"%0 ":,2%C&409 0-,230+ 9, :1"./0 obtemos o valor de 0 C&40% $3 8&:1"1&,0 do 10 extremo & superior 2A$"4O-%"09 do intervalo, 3&+9 :& que C2%1&129 será, por :0 sua Y:"80 vez, a 8&:1"1&,0 condição & C&40% inicial 12 & 2A$"4O-%"0; do 10 70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&106&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$3 próximo intervalo ":,2%C&40 23 $3 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"09 ;Z&++"36%0++2#$2)+26&%&,010+0+":,2%C&40+;. E assim 3&+9 prossegue-se :& C2%1&129 para :0 todos Y:"80 os intervalos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equacionamento ,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% de lance obtido pelo Teorema F configura-se não apenas ":,2%C&40 em um 1& 2+,%&,D#"& 12 2A$"4O-%"0 0-,"1& 6240 X20%23&!9 6%08$%&30+ C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+ candidato?"#$%&)+2:/0&62:&+ ;Z&++"36%0++2#$2)+26&%&,010+0+":,2%C&40+; 23 8&:1"1&,0 a equilíbrio, & 2A$"4O-%"09 mas, na verdade, 3&+9 :& C2%1&129 no único :0 candidato Y:"80 8&:1"1&,0 a equilíbrio. & 2A$"4O-%"0; * & B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&!80:?"#$%&)+2:/0&62:&+ 2+,%&,D#"& 2A$"4O-%"0 0-,"1&!9 6%08$%&30+ C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+ Portanto, esse 70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&106&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$3 candidato necessita ser testado para se confirmar se é realmente um :1"1&,0 A$2&2+,%&,D#"&8&:1"1&,&&2A$"4O-%"0D5-6/ %",&&:,2%"0%32:,2; 2A$"4O-%"0; equilíbrio. 23 8&:1"1&,0 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 2A$"4O-%"0; C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X ,%P%7%N,#;,%4,%,J95<KL@5$%6$:%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% 2A$"4O-%"0; &%+2D%2&432:,2$3 A$2&2+,%&,D#"&8&:1"1&,&&2A$"4O-%"0D5-6/ %",&&:,2%"0%32:,2; I?$:./05-6/3"363D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ De 70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&106&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$3 posse da estratégia de equilíbrio obtida pelo Teorema F, procuramos verificar B2A$&8"0:&32:,0124&:820-,"106240X20%23&!80:?"#$%&)+2:/0&62:&+ se tal estratégia * de lance 1& 2+,%&,D#"& é realmente 2A$"4O-%"0 um equilíbrio 0-,"1& Nash-bayesiano.!9 Temos 6%08$%&30+ A$2&2+,%&,D#"&8&:1"1&,&&2A$"4O-%"0D5-6/ %",&&:,2%"0%32:,2; que I?$:./05-6/3"363D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ a estratégia 2A$"4O-%"0; candidata a equilíbrio é b(z), como descrita anteriormente. %23&!9 23 6%08$%&30+ $3 I?$:./05-6/3"363D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ 8&:1"1&,0 C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+ & 2A$"4O-%"09 3&+9 :& C2%1&129 :0 Y:"80 8&:1"1&,0 & 2A$"4O-%"0; A função *2 b(z) = z 1& é equilíbrio 2+,%&,D#"& se 12 o 2A$"4O-%"0 seguinte 0-,"1& acontece: 6240 X20%23&!9 6%08$%&30+ A$2&2+,%&,D#"&8&:1"1&,&&2A$"4O-%"0D5-6/ %",&&:,2%"0%32:,2; 5)N&_2+"&:0;X A$2 70%,&:, &:1"1&,0:282++",&+2%,2+,&106&%&+280:?"%3&%+2D%2&432:,2$3 C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X230+, 23A$2 I?$:./05-6/3"363D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ %"0%32:,2; em que A$2&2+,%&,D#"&8&:1"1&,&&2A$"4O-%"0D5-6/ %",&&:,2%"0%32:,2; 2A$"4O-%"0; 23A$2 I?$:./05-6/3"363D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ * & 2+,%&,D#"& 12 2A$"4O-%"0 0-,"1& 6240 X20%23&!9 6%08$%&30+ e 2 C2%"?"8&%+2,&42+,%&,D#"&124&:82D%2&432:,2$32A$"4O-%"0W&+5)N&_2+"&:0;X A$2 23A$ A$2&2+,%&,D#"&8&:1"1&,&&2A$"4O-%"0D5-6/ %",&&:,2%"0%32:,2; IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39 I?$:./05-6/3"363D2A$"4O-%"0+20+2#$":,2&80:,282@ IY4,"3&?$:./0126%0-&-"4"1&12?0"0-,"1&10h23&NM;I++"39

48 <20,"6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3&1"+,%"-$"./0$:"?0%32F I 6&%,"% 1&?0%3$4&./0 10 6&#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06%2.09 H92:,/0 6012)+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ A última função de probabilidade foi obtida do Lema B1. Assim, <20,"6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3&1"+,%"-$"./0$:"?0%32F. N,$@,:"e@<2=&3 H92:,/0 ) =0#&10%2+9$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50!32 H92:,/0 Se o tipo do vendedor é representado por uma distribuição uniforme (G(x)), ,%Q%%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% então <20,"6010C2:1210%D%26%2+2:,&1060%$3&1"+,%"-$"./0$:"?0%32F 12C&40% H92:,/0 I 6&%,"% 1&?0%3$4&./0 126%2.012%2+2%C&?"K& "402"%0;I%282",&2+62%&1& &#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06% ,%Q%%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% ,%Q%%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% 42"4/0126%"32"%06% %2.012%2+2%C&?285&10D 6012)+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ G<L$.&")(:(3(P)")&+()=<)0.(<0(<0)O#(.)(0)=)0>(=&8&-#=# I 6&%,"% 1&?0%3$4&./0 10 6&#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06% ,%Q%%O,6,5;"%,#1,@"4"%1"@"%1@,D$%4,%@,#,@M"%#5I5<$#$% I N,$@,:"e@<2=&3 6012)+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ 6&%,"% 1&?0%3$4&./0 10 6&#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06%2.09 ) =0#&10%2+9$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50!32 Com base na formulação do pagamento esperado do leilão de primeiro preço, pode-se obter a receita esperada pelo seguinte teorema: 6012)+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ 12C&40% I 6&%,"% N,$@,:"e@<2=&3 1&?0%3$4&./0 10 6&#&32:,0 2+62%& "4/012 6%"32"%06%2.09 Teorema 126%2.012%2+2%C&?"K& "402"%0;I%282",&2+62%&1&10 ) =0#&10%2+9$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50!32 H: Sejam n jogadores e uma distribuição de malha de tamanho k com N,$@,:"e@<2=&3 12C&40% valor ) =0#&10%2+9$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50! )+20-,2%&%282",&2+62%&1&6240+2#$":,2,20%23&@ 126%2.012%2+2%C&?"K& "402"%0;I%282",&2+62%&1&10 de preço de reserva fixado pelo leiloeiro. A receita esperada 42"4/0126%"32"%06% %2.012%2+2%C&?285&10D do leilão de primeiro preço com preço de reserva fechado é 12C&40% 42"4/0126%"32"%06% %2.012%2+2%C&?285&10D N,$@,:"e@<2=&3 126%2.012%2+2%C&?"K& "402"%0;I%282",&2+62%&1&10 ) =0#&10%2+9$3&1"+,%"-$"./0123&45&12,&3&:50!32 12C&40% 42"4/0126%"32"%06% %2.012%2+2%C&?285&10D 126%2.012%2+2%C&?"K& "402"%0;I%282",&2+62%&1&10 0:12 ; C,:$3#;@"DE$ 42"4/0126%"32"%06% %2.012%2+2%C&?285&10D ,% R% % O,6,5;"%,#1,@"4"% 1"@"% 1@,D$#% "39365"4$%,% #5I5<$#$% onde ϕ = kr ρ "@"%9:%S356$%T$I"4$@% Demonstração: O resultado é demonstrado por Silva (2010). 0:12 0:12 ; ; 7&%& $3 Y:"80 =0#&10% 12 +":&4 *9 :0 8& % %2+2%C& 2 +2% G<L$.&")(R(3(P)")&+()=<)0.(<0(<0)O#=(.)(0)=)0>($7$"&.#()(=&8&-#=#( C,:$3#;@"DE$ &:$:8"&109 <0(7%(2$&"#(S#8.#0 4&: =0#&10% +2%L ; ,% R% % O,6,5;"%,#1,@"4"% 1"@"% 1@,D$#% "39365"4$%,% #5I5<$#$% ,% 0:12 ; R% % O,6,5;"%,#1,@"4"% 1"@"% 1@,D$#% "39365"4$%,% #5I5<$#$% R0:+"12%&:10A$29,230+A$2&%282",&2+62%&1&91&1006%2.012%2+2%C& 1"@"%9:%S356$%T$I"4$@% Para um único jogador de sinal x, no caso do preço de reserva r ser anunciado, 0:12 o lance desse ; jogador será b(x) = 0, se x < r, e b(x) = r, se x r. Considerando 1"@"%9:%S356$%T$I"4$@% C,:$3#;@"DE$ 29D 7&%& $3 Y:"80 =0#&10% 12 +":&4 *9 :0 8& % %2+2%C& 2 +2% que x~u(0,1), temos que a receita esperada, dado o preço de reserva r, é ,% R% % O,6,5;"%,#1,@"4"% 1"@"% 1@,D$#% "39365"4$%,% #5I5<$#$% C,:$3#;@"DE$ 7&%& $3 Y:"80 =0#&10% 12 +":&4 *9 :0 8& % %2+2%C& 2 +2% &:$:8"& &: =0#&10% +2%L ; 1"@"%9:%S356$%T$I"4$@% ,% &:$:8"&109 R0:+"12%&:10A$29,230+A$2&%282",&2+62%&1&91&1006%2.012%2+2%C& R% 0 % 4&:82 O,6,5;"% 12++2,#1,@"4"% =0#&10% 1"@"% +2%L 1@,D$#% 9 4,% 9 "39365"4$% 2 9,% +2 #5I5<$#$% ; W08&+0106%2.012%2+2%C&+"#" &_0??10Y:"80=0#&10%+2%L 7&%& $3 Y:"80 =0#&10% 12 +":&4 *9 :0 8& % %2+2%C& 2 +2% 1"@"%9:%S356$%T$I"4$@% R0:+"12%&:10A$29,230+A$2&%282",&2+62%&1&91&1006%2.012%2+2%C& No caso do preço de reserva sigiloso, o payoff do único jogador será 29D &:$:8"& &: =0#&10% +2%L, 9 29D # ; em 7&%& que $3 1 Y:"80 =0#&10% 12 +":&4 *9 :0 8& % %2+2%C& 2 +2% 23A$2 A denota a função indicadora do evento A e a esperança é sobre r. 12:0,&&?$:./0":1"8&10%&102C2:,0>2&2+62%&:.&D+0-%22; R0:+"12%&:10A$29,230+A$2&%282",&2+62%&1&91&1006%2.012%2+2%C& &:$:8"&109 Temos, 0 4&:82 então, que =0#&10% +2%L ; X230+92:,/09A$2 29D R0:+"12%&:10A$29,230+A$2&%282",&2+62%&1&91&1006%2.012%2+2%C& # 48 29D

49 X230+92:,/09A$2 23A$2 12:0,&&?$:./0":1"8&10%&102C2:,0>2&2+62%&:.&D+0-%22; X230+92:,/09A$2 X230+92:,/09A$2 0:12$+&30+:&Y4,"3&"#$&41&120?&,012A$2 ;Z:,/0904&:8210 0:12$+&30+:&Y4,"3&"#$&41&120?&,012A$2 ;Z:,/0904&:8210 ;Z:,/0904&:8210 0:12$+&30+:&Y4,"3&"#$&41&120?&,012A$2, =0#&10%+04",L%"0+2%L ;Z:,/0904&:8210 =0#&10%+04",L%"0+2%L onde 0:12$+&30+:&Y4,"3&"#$&41&120?&,012A$2 usamos na última igualdade o fato de que r~u(0,1). ;Z:,/0904&:8210 Então, o lance do joga- =0#&10%+04",L%"0+2%L dor solitário será =0#&10%+04",L%"0+2%L 70%,&:,09&%282",&2+62%&1&6&%&042"4/0?285&10D. 70%,&:,09&%282",&2+62%&1&6&%&042"4/0?285&10D 70%,&:,09&%282",&2+62%&1&6&%&042"4/0?285&10D 70%,&:,09&%282",&2+62%&1&6&%&042"4/0?285&10D 70%,&:,09&%282",&2+62%&1&6&%&042"4/0?285&10D Portanto, a receita esperada para o leilão fechado é 70%,&:,09&%282",&2+62%&1&6&%&042"4/0?285&10D. I08036&%&%30+ I08036&%&% :84$O30+A$2&%282",&2+62%&1& :84$O30+A$2&%282",&2+62%&1& I08036&%&% :84$O30+A$2&%282",&2+62%&1& I08036&%&%30+ Ao compararmos 1042"4/0?285&10D3&"0%10A$2&10&-2%,09&,D06%2.012%2+2%C& I08036&%&%30+ R anunciado 803 com R 803 sigiloso, concluímos 980:84$O30+A$2&%282",&2+62%&1& que a receita esperada do 980:84$O30+A$2&%282",&2+62%&1& 92:A$&:,0 92:A$&:,0 1042"4/0?285&10D3&"0%10A$2&10&-2%,09&,D06%2.012%2+2%C& leilão fechado é maior do que a do aberto, até o preço de reserva 92:A$&:,0, enquanto a 1042"4/0?285&10D3&"0%10A$2&10&-2%,09&,D06%2.012%2+2%C& A$2&%282",&2+62%&1&3LK"3&D12 receita I08036&%&%30+ esperada máxima é de :84$O30+A$2&%282",&2+62%&1& 1042"4/0?285&10D3&"0%10A$2&10&-2%,09&,D06%2.012%2+2%C& 23 em R 2 92:A$&:,0 A$2&%282",&2+62%&1&3LK"3&D12 anunciado 2 e R F$%& sigiloso (r=0) (Figura 12) :A$&:,0 1042"4/0?285&10D3&"0%10A$2&10&-2%,09&,D06%2.012%2+2%C& 2 F$%& MTH; A$2&%282",&2+62%&1&3LK"3&D12 92:A$&:,0 A$2&%282",&2+62%&1&3LK"3&D A$2&%282",&2+62%&1&3LK"3&D MTH; F$%& 23 F$%& MTH; 2 MTH; F$%& MTH; # # # # # 49