RESUMO. Palavras-chave: Estratégias matemáticas, operações fundamentais, educação matemática.

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1 ESTRATÉGIAS FORMAIS E INFORMAIS DE OPERAÇÕES MATEMÁTICAS UTILIZADAS POR CRIANÇAS NO TRABALHO E NA ESCOLA Alan Gonçalves Lacerda & Marinalva Silva Oliveira Universidade Federal do Amapá NEC- alan-lacerda@uol.com.br RESUMO O objetivo deste estudo foi descrever e compreender as estratégias que as crianças utilizam na resolução de problemas matemáticos na escola e no trabalho informal. Os sujeitos foram conduzidos a uma sala e solicitados a resolver quatro problemas matemáticos. Ao final era questionado sobre como havia resolvido. Em outro momento, no ambiente de trabalho destes alunos, foram aplicados problemas matemáticos oralmente e, ao final era questionado sobre quais estratégias utilizou para alcançar o resultado. Os resultados evidenciaram que as estratégias utilizadas pelos sujeitos na escola e no trabalho informal são diferentes. O modo de solução oral predominou em todos os sujeitos, entretanto, quando os problemas exigiam complexidade os sujeitos utilizavam a escrita, este fato conduzia a maior número de acertos. Os resultados podem ser úteis na criação de condições mais efetivas de aprendizado em matemática. Palavras-chave: Estratégias matemáticas, operações fundamentais, educação matemática. 1. INTRODUÇÃO: A Matemática tem se destacado, no contexto da problemática do fracasso escolar, entre as diversas disciplinas por altos índices de reprovação, colaborando desta forma para a evasão observada em todo sistema educacional brasileiro (RANGEL, 1992). Neste sentido, o insucesso da criança na escola tem sido vinculado à disciplina Matemática que separa os indivíduos, selecionando sob a forma de provas e exames os mais capazes, delegando aos excluídos do sistema educacional o rótulo de burro e de que não levam jeito para aprender matemática (RANGEL, 1992). Rangel (1992) afirma que o fracasso na solução encontrada no contexto formal da escola ao problema matemático é resultado de um ensino arbitrário, que não se relaciona com o pensar efetivo e não estabelece relações significativas, vinculadas a um contexto de vida. De modo similar Correa e

2 2 Moura (1997) entendem que o fracasso pode ter como causa o fato da escola valorizar e priorizar o modo escrito de resolução de problemas matemáticos, desprezando as experiências dos alunos em matemática no seu cotidiano. Há um predomínio dos algoritmos escritos sobre as estratégias orais que são desenvolvidas nas situações práticas. Em estudos realizados por Carraher, Carraher e Schliemann (2003) com crianças feirantes muitas estratégias apresentadas na resolução de problemas aritméticos são diferentes dos algoritmos ensinados na escola. Nestes trabalhos os resultados mostravam que crianças feirantes eram eficientes na resolução de problemas na feira, mas o mesmo não ocorria na escola. Neste aspecto estudos realizados por Carraher, Carraher e Schliemann (2003), ao investigar o desempenho de crianças que trabalham informalmente com vendas, revelam que o uso de estratégias desenvolvidas no ambiente de trabalho, como por exemplo, as orais, que se mostraram mais eficientes dos que aquelas ensinadas no ambiente escolar, as escritas. Já outros estudos (OLIVEIRA & TOURINHO, 2001) têm defendido que as estratégias orais só são eficientes quando os problemas apresentados são de simples resolução. Quando os problemas envolvem parcelas de um algarismo a solução oral é eficiente, porém, quando os problemas envolvem um maior grau de dificuldade, estes são solucionados utilizando as estratégias escritas. Este aspecto remete à interpretação de alguns estudiosos de que a compreensão da aritmética na solução de problemas depende não apenas de uma aprendizagem matemática, mas também da aquisição de um repertório adequado relacionado à leitura, escrita e ortografia (OLIVEIRA & TOURINHO, 2001). Desta forma as pesquisas mostram que o fracasso escolar em matemática se deve a uma série de fatores. E um dos fatores mais evidentes tem sido o comprometimento relacionado ao emprego do que convencionou chamar de estratégias algorítmicas. Os algoritmos para a realização das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são formados por um conjunto de regras para manipular símbolos numéricos escritos. Embora essas regras tenham como base as propriedades do sistema numérico decimal, seu ensino pode se dar sem

3 3 referência explícita às propriedades que as tornam possíveis e sem considerarse o valor das quantidades sobre as quais se opera. Este ensino de regras destituídas de significado pode ser a causa das dificuldades que muitas crianças encontram ao tentar utilizar os algoritmos (SCHLIEMANN, SANTOS & COSTA, 2001). Diante das dificuldades de aprendizagem em matemática se torna necessário conhecer melhor a matemática inerente às atividades da vida diária na cultura dessas crianças a fim de construir, a partir dessa matemática, pontes e ligação efetivas para a matemática mais abstrata que a escola pretende ensinar. Neste sentido este estudo pretende ampliar o conhecimento acerca das estratégias que as crianças da rede pública de Macapá utilizam ao resolver problemas aritméticos e desta forma buscar soluções aos problemas, principalmente no que se refere ao fracasso na disciplina matemática. Esta linha de investigação se integra a tendências recentes na psicologia da educação e do desenvolvimento cognitivo, em que ênfase especial é dada aos processos ou estratégias usadas em situações específicas de solução de problemas, especialmente em situações práticas ou do cotidiano. 2. OBJETIVO: Descrever e compreender as estratégias que as crianças utilizam na resolução de problemas matemáticos na escola e no trabalho informal. 3. METODOLOGIA DE PESQUISA 3.1 Sujeitos participantes: Participaram desta pesquisa três alunos do Ensino Fundamental de escolas públicas estaduais que fazem uso da matemática em seu trabalho com vendas. 3.2 Materiais: Papel com problemas matemáticos, filmadora, papel e lápis. 3.3 Procedimentos de coletas de dados: Inicialmente os pesquisadores visitaram as escolas e solicitaram ao corpo administrativo autorização para desenvolver a pesquisa. Obtida a concordância, os pesquisadores entraram em contato com os professores das turmas do ensino fundamental, aos quais foi solicitado a identificação dos conteúdos trabalhados em sala de aula e dos alunos que possuem trabalho

4 4 informal, e neste fazem uso da matemática. Identificados os alunos, os pesquisadores os conduziram a um ambiente da própria escola para que pudesse ser realizada uma entrevista inicial objetivando o reconhecimento dos sujeitos participantes e dos respectivos trabalhos que desenvolvem. A entrevista foi registrada com o auxilio de uma câmera de vídeo. Após essa entrevista, os alunos foram submetidos individualmente a quatro problemas matemáticos contextualizados referentes aos conteúdos já trabalhados em sala de aula Teste Formal: Era solicitado ao aluno que respondesse, da melhor forma que lhe convinha, quatro problemas matemáticos apresentados por escrito referentes às quatro operações fundamentais. Quando o aluno indicava que havia concluído a resolução do problema, o pesquisador o questionava sobre como havia chegado ao resultado Teste Informal: Em um segundo momento, no ambiente de trabalho dos mesmos alunos foram aplicados oralmente problemas matemáticos condizentes com sua realidade de trabalho e com o mesmo nível de dificuldade dos problemas do teste formal. Ao final o aluno/trabalhador era questionando sobre as estratégias que utilizou para alcançar o resultado. Todas as sessões tanto na escola quanto no ambiente de trabalho informal foram filmadas e posteriormente transcritas. Ao término da coleta de dados, as fitas foram transcritas e analisadas tendo como suporte de análise o método microgenético, a fim de averiguar o uso das múltiplas estratégias empregadas no trabalho informal e na escola pelos alunos na solução de problemas envolvendo: adição, subtração, multiplicação e divisão. 4. RESULTADOS: Este estudo está em andamento e, portanto, os dados aqui apresentados são parciais. Os dados foram transcritos e analisados segundo o método microgenético. Os dados relativos ao desempenho dos participantes foram transcritos em um quadro no qual se especificou: o participante, o número do problema, a forma de solução (oral ou escrita), a avaliação da resposta (certa ou errada), as explicações dadas pelo participante para sua resposta. A partir das explicações dadas pelos participantes e do material por eles escrito, as estratégias foram

5 5 identificadas e categorizadas. Para efeito de facilitar a identificação P1 se refere ao pesquisador e os sujeitos S1, S2 e S3, representam respectivamente os alunos das séries, 7ª; 4ª; 3ª, nas realizações das tarefas que configuram o presente quadro e nas referências que por ventura aparecerão. A categorização diferenciou o uso de estratégias "algorítmicas" (que envolviam o uso de uma regra) e não "algorítmicas" (que não envolviam o uso de regras). A designação de cada tipo particular de estratégia foi orientada por informações veiculadas em livros didáticos de Matemática do ensino fundamental (por exemplo, "montagem da operação" e "decomposição") e pelos próprios relatos dos participantes (por exemplo, "memorização"). As respostas foram tabuladas em termos da eficiência do desempenho (acertos na solução dos problemas), e da relação entre acertos e (a) a forma de solução (oral/escrita) e (b) estratégias empregadas (OLIVEIRA & TOURINHO, 2001). Os resultados parciais evidenciaram que as estratégias utilizadas pelos sujeitos na escola e no trabalho informal são diferentes: Estratégias identificadas: Na Escola Contagem oral, Contagem escrita, Decomposição, Montagem da operação, Composição, Cálculo Mental, Agrupamento; No Ambiente De Trabalho Contagem oral, Decomposição, Composição, Memorização, Cálculo mental; O modo de solução oral predominou para o sujeito S1, entretanto, quando os problemas exigiam complexidade S1 utilizava a escrita, este fato conduzia a maior número de acertos. Ex: P1: Você resolveu de forma oral? S1: Não, porque o número é alto, entendeu?. A dificuldade do sujeito não estava somente na representação pelos algoritmos escritos devido à complexidade do problema, mas também em dar uma resposta por cálculo mental. Embora consiga armar a questão como ensinada na escola não faz uso das estratégias ensinadas pela mesma. Em um outro problema, o mesmo se depara com a mesma situação, mas logo se corrige (neste momento ele resolve escrever os valores). Quando indagado sobre o modo de resolução utilizado, ele respondia que fazia na mente. Apenas para reconstituir o problema, e dar uma explicação o sujeito recorria às

6 6 estratégias ensinadas na escola, fazendo uso de lápis e papel, (este fato o conduzia ao acerto) embora não os utilizasse para facilitar a resolução. Mesmo quando utilizavam estratégias orais para solucionar o problema, os sujeitos, quando solicitados a explicar a estratégia utilizada, recorriam a explicações que descreviam estratégias aprendidas no ensino formal como decomposição, agrupamento, comutação, associativa. A estratégia emprega pelo participante S2, revela-nos um aspecto interessante, no que diz respeito ao uso das estratégias algorítmicas, ao remeter ao número um valor unitário. Ex. S2: eu fiz 185 menos 302, aí eu botei lá, depois o resultado deu 120, aí eu multipliquei com 203, aí eu fiz lá, aí o resultado 323. S2: Era cinco menos dois... aí eu coloquei zero(...) P1: Por que colocaste o zero? S2: Porque aqui (identificando no problema) o zero não tem valor. Aqui se evidencia o valor posicional que a criança atribui ao número, tratando o valor das dezenas como um valor unitário, pois concebe ao zero representado neste caso, o algarismo das dezenas um valor dado ao mesmo na unidade, na tentativa de reproduzir os algoritmos ensinados pela escola. O motivo para tanta dificuldade com relação ao valor posicional, apresentada na resposta das crianças sugere que o valor posicional é algo muito difícil, pois o sistema escrito de base decimal exige construção mental de inclusão hierárquica, além disso, a criança precisa compreender que o todo é igual a soma das partes. De certo modo, este 0 tem o mesmo valor que isolado, porque também representa a ausência de elementos; porém, como esta ausência se dá em uma posição determinada, suprimir o 0 equivaleria suprimir a posição, conseqüentemente outros algarismos passam a posições diferentes. De fato, os dados analisados até agora mostram que as crianças podem aplicar, em determinadas situações, um mecanismo que lhe foi explicado [algoritmo], ainda que não o compreendam. A seguir, serão analisadas as dificuldades encontradas na resolução de problemas cuja estrutura lógica só parece ser compreendida pela criança quando ela atinge o estágio das operações concretas. Pois a criança está passando da contagem concreta para a contagem abstrata, passagem essa,

7 7 que é necessária à compreensão do sistema de numeração, pois auxiliará na contagem baseada na correspondência um-a-um [contagem essa que obedece ao princípio da inclusão hierárquica, pois a criança irá fazendo somas sucessivas as parcelas acrescidas de uma unidade]. A criança que ainda não estruturou estas formas de operações abstratas [número], tem dificuldades em apresentar uma resposta fazendo uso dos algoritmos escritos (que envolvem o seguimento de uma regra para manipular símbolos numéricos e fazer uso das operações [as quatros operações fundamentais] que contornam o seu ensino). Alguns sujeitos utilizaram mais de uma estratégia na resolução de um único problema. Apesar da diferença das operações aritméticas em que são empregadas, tanto a decomposição quanto o agrupamento repetido compartilham a característica da presença da manipulação de quantidades iniciais e produção de subtotais mais convenientes para o cálculo. Embora não explicitado pelo aluno da forma que é concebido, são inferidas em suas atividades. Essa passagem gradual da representação concreta à representação escrita é que vai permitir também que, diante de um problema apresentado verbalmente e sob a forma de símbolos matemáticos, a criança procure entendê-lo como representado por dados do mundo real os quais deverão ser relacionados para que se encontre a solução. Por exemplo, diante de um problema apresentado oralmente ao sujeito participante, o mesmo irá proceder na resolução fazendo uso das estratégias que requerem o uso da manipulação de quantidades, estratégia essa que descreve através da manipulação dos produtos na qual fazem parte de sua realidade de trabalho. Os sujeitos também utilizaram estratégias denominadas não algorítmicas (que não envolviam o uso de regras). Ex. Em um estojo há dois sabonetes e um perfume. Cada sabonete custa 10,50 Reais e o perfume custa 14,50 Reais. Se eu tiver 2525 reais quantos desses estojos eu poderei comprar?. S1 = Aqui dá 101! S1 =Como eu sei que 100 estojos estojos dá como se eu fizesse com 1,ou então 10, ou então 100, ou então e 100 estojos 2500, aí com mais 25 acho que é 2500 mais 25, aí 101 estojos.

8 8 Nota-se que o problema maior não é decomposto, o sujeito compõe a solução ao invés de decompor o problema. O que lhe permitira resolver um outro problema, mas de forma canônica, apresentado oralmente no ambiente de trabalho, fazendo o uso da mesma estratégia descrita anteriormente ao problema. 5. DISCUSSÃO: A análise da distribuição das estratégias empregadas pelas crianças diante dos problemas matemáticos, confirma a evidência de múltiplas estratégias empregadas por um único sujeito ao problema. Essas estratégias se baseiam em procedimentos que envolvem o seguimento de regras que revelam a compreensão ou não dos sujeitos sobre os problemas apresentados como evidenciado na análise dos dados. Os sujeitos ao empregarem as estratégias revelam dispor de procedimentos apropriados de cálculos, baseados em estruturas que se configuram como o uso de manipulação de quantidades e de manipulação simbólica. A passagem que justifica o presente método de manipulação de quantidades desenvolvido pelo sujeito é observado em seus gestos quando faz uso de seus dedos para auxiliar na contagem. Ambos os métodos, a manipulação de quantidades como observado nas estratégias informais de cálculo e a manipulação simbólica, como no uso de algoritmos escritos, são classificados como procedimentos pertinentes quanto ao seu uso na solução dos problemas aritméticos. A primeira constatação derivada desta análise é que existem múltiplas lógicas corretas na resolução de problemas, podendo, então, as lógicas formais e informais e as estratégias algorítmas ou não algorítmas serem apresentadas pela escola no processo ensino-aprendizagem. Sob esta ótica Carraher, Carraher e Schliemann (2003), em um de seus vários estudos nesta linha de pesquisa, analisam a lógica natural construídas pelos sujeitos em situações de vendas, a partir dos procedimentos formais e informais de cálculos realizados por estes sujeitos. A abordagem revela que os procedimentos envolvidos no seguimento de uma regra [propriedades algorítmicas] e em estratégias não algorítmicas, compartilham em ambos os ambientes (escolar e o de trabalho), os mesmos invariantes: As propriedades associativas, comutativas

9 9 distributivas. Propriedades estas, as quais Vernaud denominou de teoremas em ação, que as crianças provavelmente compreendem apenas de modo implícito, sem ser capaz de verbalizar (apud NUNES & BRYANT, 2005). Como relatado, em outros trabalhos (NUNES & BRYANT, 2005; CARRAHER, CARRAHER & SCHLIEMANN, 2003; LAUTERT E SPINILLO, 2002), ao examinar o conhecimento que a criança tem sobre um dado conceito, e o que expressam as explicitações verbais destas, Donadson (apud LAUTERT E SPINILLO, 2002), aponta duas razões para que um indivíduo forneça explicações sobre algo: (1) quando deseja auxiliar alguém a compreender algo; ou (2) quando deseja demonstrar a alguém a própria compreensão sobre algo. Em relação ao segundo caso, a habilidade da criança em fornecer explicações sobre um conceito torna-se tão essencial quanto o próprio conhecimento que possui sobre este conceito. Por um lado, a dificuldade em explicar pode não significar, necessariamente, uma dificuldade em lidar com o conceito em questão, pois muitas vezes a criança domina um dado conceito embora não o explicite verbalmente (a fala do sujeito S2 ao problema 1 aí eu botei lá ), fato este conhecido na literatura como 'falso negativo', como indicam Roazzi & Bryant (apud LAUTERT & SPINILLO, 2002). Por outro lado, como ressalta Karmiloff-Smith (1992), a explicitação verbal de um conhecimento indica uma fase mais elaborada na aquisição deste conhecimento, pois permite tornar verbalmente explícito aquilo que está implícito nas representações procedimentais (apud LAUTERT & SPINILLO, 2002). Entretanto, o sujeito S1 no presente estudo demonstra utilizar métodos de resolução de problemas que, embora totalmente corretos, não são aproveitados pela escola. Em alguns problemas, observa-se o uso do que pode ser chamado de composição do problema: o indivíduo determina a resposta de um subproblema simples e vai juntando componentes simples até compor a solução (CARRAHER, CARRAHER & SCHLIEMANN, 2003). Este método de resolução é pouco comum nos ambientes escolares, mas é comum no cotidiano dessas crianças que trabalham e fazem uso dos procedimentos informais de cálculos. Segundo Rangel (1992) estas crianças, na escola, "buscam resolver as questões aplicando regras arbitrárias, sem relacionar as propostas com o seu

10 10 contexto de vida e (...) fracassam na solução encontrada (p. 92). Este fracasso é resultado de um ensino arbitrário, que não se relaciona com o pensar efetivo e o estabelecer relações significativas, vinculadas a um contexto de vida e que portanto, remete a um ensino não comprometido com a construção do conhecimento lógico-matemático (RANGEL, 1992). Os resultados do presente estudo e de outros nesta mesma linha podem ser úteis na criação de condições mais efetivas de aprendizado pela consideração do que a criança pensa e conhece além do que lhe é ensinado na escola. 6. BIBLIOGRAFIA CARRAHER, Terezinha Nunes; CARRAHER, David William; SCHLIEMANN, Analúcia Dias. Na vida dez, na escola zero. 13.ed. São Paulo: Cortez, 2003 CORREA, Jane e MOURA, Maria Lucia Seidl de. A solução de problemas de adição e subtração por cálculo mental. Psicologia Reflexão e Crítica. vol.10, no.1, p.71-86,1997. LAUTERT, S. L.; SPINILLO, A. G. As relações entre o desempenho em problemas de divisão e as concepções de crianças sobre a divisão. Psicologia: Teoria e Pesquisa. Brasília, v.18, n. 3, p , NUNES, Terezinha; et al. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, v. 1, OLIVEIRA, Marinalva S. e TOURINHO, Emmanuel Z. Desempenho de crianças do ensino fundamental na solução de problemas aritméticos. Estudos de. psicologia. Natal, vol.6, no.1, p.63-74, RANGEL, Ana Cristina. Souza. Educação matemática e a construção do número pela criança: uma experiência em diferentes contextos sócioeconômicos. Porto Alegre: Artes Médicas, SCHLIEMANN, Analúcia; SANTOS, Clara Melo dos; COSTA, Solange Canuto da. Da compreensão do sistema decimal à construção de algoritmos. In: ALENCAR, E. (Org.). Novas contribuições da psicologia aos processos de ensino e aprendizagem. 4.ed. São Paulo: Cortez, 2001, p