Cosmologia Básica. Laerte Sodré Jr. April 15, 2009

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1 April 15, 2009

2 objetivos: abordagem rápida da cosmologia, focando no modelo cosmológico padrão uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoria da Relatividade Geral veremos como interpretar e calcular algumas quantidades importantes

3 Figure: A composição do universo no modelo ΛCDM.

4 O modelo de trabalho atual: ΛCDM o universo é plano e dominado por energia escura e matéria escura fria (Cold Dark Matter) a matéria bariônica constribui com apenas 4% do conteudo de matéria e energia do universo a constante cosmológica Λ é a forma mais simples de energia escura a energia escura é necessária para explicar a aceleração do universo, descoberta a partir da observação de supernovas distantes

5 O modelo de trabalho atual: ΛCDM a matéria escura fria (CDM) explica as galáxias e as estruturas em grandes escalas CDM- principais propriedades: ela é escura, não interage com os fótons ela só interage gravitacionalmente ela é não-bariônica ela é fria ela é estável (algumas dessas propriedades podem ser relaxadas...)

6 A Teoria da Gravitação Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915) Porquê a gravitação? em grandes escalas é a gravitação que determina a dinâmica dos objetos no universo apenas as interações gravitacionais e eletromagnéticas são de longo alcance como a matéria é em média eletricamente neutra, em grandes distâncias apenas a gravitação é cosmologicamente relevante

7 A Teoria da Gravitação TRG: matéria+energia determinam a geometria do ET equações de Einstein: G µν = 8πG c 4 T µν Gµν : tensor de Einstein- depende da geometria do espaço-tempo através de g µν, o tensor métrico Tµν : o tensor de energia-momentum- depende da distribuição de matéria+energia lado esquerdo: depende apenas da geometria lado direito: distribuição de matéria+energia a distribuição de matéria e energia pode distorcer a geometria

8 A Teoria da Gravitação Figure: A matéria distorce o espaço-tempo, como neste exemplo de lente gravitacional.

9 A Teoria da Gravitação testes da TRG: sistema solar; pulsar binário; lentes gravitacionais mal testada no limite de campos fortes (como buracos negros) ou muito fracos (halo das galáxias) limitação da TRG: não incorpora efeitos quânticos incompleta em escalas menores que a escala de Planck: r Pl = ( ) 1/2 Gh c 3 = cm. ou antes do tempo de Planck: t Pl = ( ) 1/2 Gh c 5 = s. precisamos de uma teoria quântica da gravitação

10 O Princípio Cosmológico em escalas suficientemente grandes o universo é homogêneo e isotrópico homogêneo: todos os lugares são equivalentes isotrópico: todas as direções são equivalentes evidências: em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribuição de galáxias é bastante uniforme (a uniformidade aumenta com a escala) homogeneidade da radiação cósmica de fundo: as flutuações de temperatura têm uma amplitude muito pequena

11 O Princípio Cosmológico Figure: Mapa com as flutuações de temperatura da radiação cósmica de fundo medida pelo satélite WMAP. Este mapa é notavelmente uniforme; a amplitude média das flutuações é 10 5.

12 A cosmologia newtoniana modelo cosmológico baseado na gravitação newtoniana as equações que descrevem a dinâmica do universo são muito parecidas com as da Cosmologia Relativística modelo proposto por Milne e McCrea em 1934 problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que não são comportadas pela física newtoniana

13 A cosmologia newtoniana vamos supor que o universo é ocupado por um fluido: o fluido cosmológico as partículas deste fluido seriam, por exemplo, as galáxias esse fluido obedece ao Princípio Cosmológico: deve estar em repouso ou em expansão ou contração isotrópica - observamos a expansão os observadores que estão localmente em repouso com o fluido, que o acompanham em sua expansão, são chamados de observadores comóveis

14 A cosmologia newtoniana para que as leis de Newton sejam válidas, os referenciais usados devem ser inerciais suponha que nossa galáxia seja um referencial inercial PC: todos os observadores que participam da expansão (os observadores comóveis) têm a mesma visão do universo Logo, todos os observadores comóveis são inerciais, embora possam apresentar acelerações entre si!

15 A cosmologia newtoniana Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, caso contrário o PC não seria válido (nos bordos, por exemplo) mas em um universo infinito e isotrópico, qual é a direção da aceleração gravitacional g? lei de Gauss: a aceleração da gravidade produzida por uma região esférica homogênea de massa M centrada num ponto O é g = G r 2 ρdv = GM r 2 se g = 0 em todos os lugares, então ρ = 0: o único universo que satisfaz o PC é um universo completamente vazio!

16 A cosmologia newtoniana Regra de Birkhoff: a velocidade (radial) v de qualquer galáxia vista por um observador em O a uma distância r depende apenas da atração gravitacional das galáxias dentro da esfera de raio r centrada em O não tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite o desenvolvimento de uma cosmologia newtoniana...

17 A cosmologia newtoniana O fator de escala galáxias A e B: num certo instante t1 elas estão separadas por uma distância r 1 e, num outro instante t, a separação entre elas é r fator de escala R(t): r = R(t) R(t 1 ) r 1 mede as variações nas escalas produzidas pela expansão (ou contração) do universo.

18 A cosmologia newtoniana lei de Hubble: v = dr dt = r 1 dr(t) = R(t) R(t 1 ) dt R(t 1 ) r 1 1 R(t) Sendo temos H(t) = 1 dr(t) = Ṙ R(t) dt R v = H(t)r dr(t) dt nesta formulação, H não é constante, mas uma função do tempo: o parâmetro de Hubble H mede a taxa de expansão no instante t t 0 : idade do universo; H 0 = H(t 0 ) fator de escala normalizado em relação ao valor atual: a(t) = R(t) R(t 0 ) a(t 0 ) = 1

19 A cosmologia newtoniana A densidade da matéria o fluido cosmológico é não-viscoso: caracterizado pelo campo de velocidades v(r, t) e pelas distribuições de densidade, ρ(r, t), e pressão, p(r, t) homogeneidade em grande escala (PC): ρ(r, t) e p(r, t) devem ser os mesmos para todos os observadores comóveis em um tempo t - ρ(r, t) = ρ(t) - p(r, t) = p(t) na cosmologia newtoniana assumimos p(t) = 0: os efeitos dinâmicos da pressão da matéria são muito pequenos hoje

20 A cosmologia newtoniana evolução da densidade de matéria com o tempo: devido à expansão comóvel, uma certa quantidade de matéria, M, que num instante t 0 ocupava uma esfera de raio r 0, num instante t ocuparia uma esfera de raio r ρ(t 0 ) = 3M/4πr 3 0 ρ(t) = 3M/4πr 3 ou ρ(t) = ρ 0 [r 0 /r(t)] 3 ou, em termos do fator de escala: ( ) 3 R0 ρ(t) = ρ 0 = ρ 0 a(t) 3 R

21 A cosmologia newtoniana A equação de evolução do universo regra de Birkhoff: a dinâmica de uma galáxia de massa m, observada a uma distância r de um observador comóvel num ponto O, depende apenas da massa dentro da esfera de raio r centrada em O: M(r) = 4 3 πr 3 ρ força de atração gravitacional que essa massa exerce sobre a galáxia: F = m r = GmM(r) r 2 = 4π 3 Gmρr ou, r = 4πGρr 3

22 A cosmologia newtoniana Introduzindo o fator de escala vem e temos que r = R(t) R 0 r 0 = a(t)r 0 r = ä(t)r 0 ä = 4πG 3 ρa nessa equação não aparece r: a dinâmica da expansão, descrita pelo fator de escala a(t), é determinada apenas pela densidade de matéria ρ(t) (na cosmologia relativística depende também da pressão)

23 A cosmologia newtoniana Conservação de energia e o futuro da expansão a gravitação tende a desacelerar a expansão. Mas será a gravitação suficientemente forte para interromper a expansão e revertê-la? newtonianamente, o universo é gravitacionalmente ligado?

24 A cosmologia newtoniana galáxia de massa m a uma distância r de O energia total dessa galáxia (que deve se conservar durante a expansão): E = 1 2 mv 2 GMm r = constante E < 0: o universo é ligado, e à expansão deve se suceder uma fase de contração E > 0: o universo não é gravitacionalmente ligado e a expansão será perpétua E = 0: caso crítico, onde a expansão diminuirá sempre mas sem entrar numa fase de contração

25 A cosmologia newtoniana E = 0: ou ou H 2 r 2 2 v 2 2 = GM r = G r ρ πr 3 ρ = 3H2 8πG densidade crítica ρ c : a densidade que o universo deveria ter para que E = 0 ρ c = 3H2 0 8πG = h 2 g cm 3 onde h H 0 /(100 km/s/mpc) ρ 0 > ρ c, então E < 0; ρ 0 < ρ c, então E > 0

26 A cosmologia newtoniana equação de conservação de energia: E = 1 2 mv 2 GMm r = constante como v = (ȧ/a)r, M = 4πr 3 ρ/3 e r = r 0 a, onde K é uma constante ȧ 2 = 8πG 3 ρ(t)a2 K

27 A cosmologia newtoniana resumo: equações básicas da cosmologia newtoniana: ä = 4πG 3 ρa ȧ 2 = 8πG 3 ρ(t)a2 K

28 Cosmologia Relativística equações de Einstein: estabelecem uma relação entre a geometria do espaço-tempo e a distribuição de matéria e energia G µν = 8πG c 4 T µν a geometria é caracterizada pelo tensor de Einstein, G µν, que depende dos coeficientes da métrica e de suas derivadas até segunda ordem

29 Métrica e curvatura de superfícies métrica de superfícies bi-dimensionais métrica: distância entre dois pontos vizinhos, num dado sistema de coordenadas por exemplo, numa superfície plana ds 2 = dx 2 + dy 2 = dr 2 + r 2 dφ 2 =... (em coordenadas cartesianas, polares,...) coordenadas (x 1, x 2 ): ds 2 = ij g ij (x 1, x 2 )dx i dx j ds 2 não depende do sistema de coordenadas: é um invariante

30 Métrica e curvatura de superfícies coordenadas (x 1, x 2 ): ds 2 = ij g ij (x 1, x 2 )dx i dx j g ij : são as componentes do chamado tensor métrico, que caracteriza a geometria e depende da curvatura superfície esférica de raio R: superfície de curvatura constante e positiva coordenadas esféricas: ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θdφ 2

31 Métrica e curvatura de superfícies superfície esférica de raio R: superfície de curvatura constante e positiva coordenadas esféricas: ds 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θdφ 2 sistema de coordenadas onde A = R sin θ: ds 2 = da2 + A 2 dφ 2 1 A2 R 2

32 Métrica e curvatura de superfícies reescrevendo como [ ] dσ ds 2 = R kσ 2 + σ2 dφ 2 vale para qualquer superfície de curvatura constante! k = 0: plano; k = +1: superfície esférica k = 1 superfície de curvatura constante negativa não cabe num espaço tri-dimensional, mas podemos projetá-la sobre um plano

33 Métrica e curvatura de superfícies Figure: Superfícies de curvatura nula, positiva e negativa.

34 Métrica e curvatura de superfícies Figure: Obra de Escher, representando a projeção de uma superfície de curvatura negativa constante sobre um plano.

35 A métrica de Robertson-Walker (MRW) Teoria da Relatividade Restrita: métrica de Minkowski, ds 2 = c 2 dt 2 (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) separação entre dois eventos (pontos no espaço-tempo, ET) próximos TRG: distribuição arbitrária de matéria pode levar a um espaço de curvatura arbitrária PC: espaços de curvatura constante métrica de Robertson-Walker: [ ] dσ ds 2 = c 2 dt 2 R(t) kσ 2 + σ2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 )

36 A métrica de Robertson-Walker MRW: [ ] dσ ds 2 = c 2 dt 2 R(t) kσ 2 + σ2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) t: tempo R(t): fator de escala σ, θ, φ: coordenadas comóveis k: sinal da curvatura (-1, 0, +1) R(t) determina como a distância entre 2 observadores comóveis varia com o tempo observadores comóveis: em repouso em um sistema de coordenadas comóveis

37 A métrica de Robertson-Walker Figure: Coordenadas comóveis.

38 A métrica de Robertson-Walker tempo próprio τ: ds cdτ observador comóvel: dσ = dθ = dφ = 0 ds = cdt dt = dτ o tempo t é o tempo próprio dos observadores comóveis TRG: as trajetórias das partículas livres são geodésicas no ET Geodésicas: linhas de comprimento mínimo (ou máximo) entre 2 eventos no ET a luz segue geodésicas nulas, ds 2 = 0, enquanto que partículas com massa seguem trajetórias time-like: ds 2 > 0

39 O desvio espectral desvio espectral observado no espectro das galáxias: uma medida direta da expansão do universo coordenadas comóveis: observador O: na origem - (σg, θ G, φ G ) = (0, 0, 0) galáxia G: (σ G, θ G, φ G ) = (σ G, 0, 0) t 0 : o observador recebe um fóton que foi emitido por G no tempo t t 0 + t 0 : o observador recebe um outro fóton que foi emitido por G no tempo t + t

40 O desvio espectral Figure: Linhas de mundo de fótons emitidos por uma galáxia G.

41 O desvio espectral como a luz viaja por geodésicas nulas (ds 2 = 0): e, portanto, σg 0 c dt R(t) = dσ 1 kσ 2 dσ 1 kσ 2 = c t0 t dt R(t) para o segundo fóton emitido em t + t e recebido em t 0 + t 0 : logo, σg 0 dσ 1 kσ 2 = c t0 + t 0 t0 t t+ t dt t0 + t 0 R(t) = t+ t dt R(t) dt R(t).

42 O desvio espectral vamos supor que t e t 0 são muito menores que t e t 0 : t R(t) t 0 R(t 0 ) vamos associar a t e t 0 o período da radiação emitida e recebida os comprimentos de onda correspondentes são λ e = c t e λ 0 = c t 0 Então, λ 0 λ e = R(t 0) R(t) = R 0 R = 1 a(t)

43 O desvio espectral temos desvio espectral: portanto, λ 0 = R(t 0) λ e R(t) = R 0 R = 1 a(t) z λ 0 λ e λ e a(z) = R R 0 = z

44 O desvio espectral relação entre desvio espectral e fator de escala: 1 + z = 1 a z depende apenas da razão entre os fatores de escala quando a luz foi emitida e quando foi recebida e, portanto, é uma medida de quanto o universo se expandiu desde que a luz foi emitida Ex.: z = 1 a = 1/2 - as escalas no universo eram metade do que são hoje universo em expansão: R(t 0 ) > R(t) (ou a < 1) z > 0 e λ 0 > λ e a radiação sofre redshift Hoje (a = 1): z = 0 Big-Bang (a = 0): z =

45 Equações de Friedmann - Lemaître (EFL) as equações de evolução do fator de escala que derivamos na cosmologia newtoniana são, na forma, parecidas com a que se obtém das equações de campo da TRG, com a MRW tensor de energia-momentum: depende da distribuição de matéria e energia (ρ(t) e p(t)) (note que na TRG p contribui para a energia!) Equações de Friedmann - Lemaître: (ȧ ) 2 = 8πG a 3 ρ Kc2 a 2 ( ä a = 4πG ρ + 3p ) 3 c 2

46 Equações de Friedmann - Lemaître Equações de Friedmann - Lemaître (EFL): (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρ Kc2 a 2 ä a = 4πG 3 K = k/r 2 0 dessas equações vem que: EXERCÍCIO: MOSTRAR ISSO ( ρ + 3p c 2 ) d dt (ρa3 ) = p d c 2 dt (a3 )

47 A equação de estado relação entre a pressão e a densidade: p = p(ρ) com a relação d dt (ρa3 ) = p d c 2 dt (a3 ) temos, por exemplo: matéria ( poeira, p = 0): ρm a 3 radiação (p = ρr c 2 /3): ρ r a 4 vácuo: p = ρv c 2, ρ v = Λ/(4πG) (pressão negativa) modelo simples para energia escura: p = wρc 2, com w constante diferentes equações de estado diferentes modelos e comportamentos para a(t)

48 A constante cosmológica universo onde, além de matéria e radiação (com densidade e pressão ρ e p), tem também a energia do vácuo (w = 1) ρ ρ + ρ v e p p + p v com p v = ρ v c 2, (ȧ ) 2 = 8πG a 3 ρ Kc2 a 2 + Λ 3 e onde ( ä a = 4πG ρ + 3p ) 3 c 2 + Λ 3 Λ 4πGρ v é a chamada constante cosmológica note que, se p e ρ são positivos, não existe solução estática das EFL sem constante cosmológica

49 A constante cosmológica proposta por Einstein (1919) para se obter uma solução estática (isto é, independente do tempo) a lei de Hubble só seria descoberta em 1929 Einstein: o maior erro de sua vida hoje é associada à energia do vácuo (equação de estado com pressão negativa) vácuo: o estado de menor energia de um certo campo físico é a explicação mais simples para a energia escura

50 A constante cosmológica mas w pode depender do desvio espectral z! modelo simples: z w == w 0 + w a [1 a(z)] = w 0 + w a 1 + z, com w 0 e w a constantes este tipo de modelo deverá ser testado nos surveys dos próximos anos

51 Parâmetros cosmológicos parâmetro de Hubble: parâmetro de densidade: H(t) = ȧ a Ω = ρ(t) ρ c (t) onde é a densidade crítica ρ c (t) = 3H2 8πG

52 Parâmetros cosmológicos Quando se tem várias espécies simultaneamente, pode-se definir um parâmetro de densidade para cada espécie, Ω i = ρ i (t)/ρ c (t) Por exemplo, para os bárions: Ω b = ρ b(t) ρ c (t)

53 Parâmetros cosmológicos parâmetro de densidade do vácuo (ou constante cosmológica): parâmetro de curvatura: Ω λ = Λ 3H 2 parâmetro de desaceleração: Ω k kc2 H 2 R 2 q = äa ȧ 2 = ä ah 2 todos esses parâmetros dependem do tempo

54 Parâmetros cosmológicos valores atuais desses parâmetros, de acordo com a equipe do WMAP (Hinshaw et al. 2008; assumindo Ω k = 0): H0 =70.1 km s 1 Mpc 1 ρc,0 = h 2 g cm 3 = g cm 3 Ωm,0 = 0.28 Ω λ = 0.72 Ω b,0 =

55 Dinâmica dos universos de Friedmann modelos de Friedmann: dominados pela matéria (ρ = ρ m ), com constante cosmológica e pressão nulas nesse caso, q = Ω/2 (EXERCÍCIO: MOSTRAR ISSO) 3 soluções possíveis: se q > 1 2 ou Ω > 1, então k = +1 universo fechado e oscilante se q = 1 2 ou Ω = 1, então k = 0 universo aberto em expansão perpétua se q < 1 2 ou Ω < 1, então k = 1 universo aberto em expansão perpétua

56 Dinâmica dos universos de Friedmann Figure: Evolução do fator de escala nos modelos de Friedmann: (i) k=-1; (ii) k=0; (iii) k=+1.

57 O modelo de Einstein-de Sitter modelo cosmológico muito simples: universo plano, apenas com matéria: k = 0, Λ = 0, p = 0 ρ = ρ m = ρ 0 a 3 a primeira das EFL fica: (ȧ ) 2 = 8πG a 3 ρ = 8πG 3 ρ 0a 3 esta equação é fácil de resolver e dá logo, a(t) = (6πGρ 0 ) 1/3 t 2/3 ρ(t) = 1 6πGt 2 H(t) = 2 3t ρ c (t) = 3H2 8πG = 1 = ρ(t) 6πGt2 Ω = 1 EXERCÍCIO: verifique essas equações

58 As 4 eras do Universo O paradigma cosmológico atual sugere que o universo passou por 4 etapas distintas: o Big-Bang e a inflação a era da radiação a era da matéria a era da energia escura

59 A inflação Big-Bang: t = 0 e a = 0 singularidade nas equações possivelmente vai requerer uma nova física (do tipo gravitação quântica) inflação : fase muito curta, de expansão muito rápida (exponencial) teria ocorrido logo após o Big-Bang, talvez logo após a quebra espontânea de simetria da grande unificação t s (num certo cenário)

60 A inflação dinâmica do universo inflacionário: durante um breve intervalo de tempo o universo pode ser considerado dominado pela energia do vácuo de um campo escalar (o inflaton), agindo como uma constante cosmológica então, e, portanto, ρ ρ I = cte ρ r ȧ 2 8πG 3 ρ I a 2 a exp(h I t) onde H I = (8πGρ I /3) 1/2 (parâmetro de Hubble) é constante EXERCÍCIO: MOSTRAR ISSO

61 A inflação o problema da planura (flatness): WMAP: o universo tem curvatura nula, Ω = 1 para se ter Ω entre 0.95 e 1.05 hoje, na época da recombinação (z 10 3 ) se deveria ter Ω entre e , a menos que a curvatura seja estritamente nula (k = 0)

62 A inflação a inflação produz um universo localmente plano Figure: Esfera inflada por um fator 3 entre 2 imagens sucessivas

63 A inflação o problema do horizonte a informação viaja no máximo à velocidade da luz: há uma distância limite a que se tem acesso causal: raio do horizonte ( ct) radiação cósmica de fundo: notavelmente uniforme na época em que ela foi emitida (z 1000), o tamanho do horizonte era muito menor que o universo observável hoje nem todo o universo observável estava dentro de uma região causalmente conexa e, portanto, não se esperaria que os fótons da radiação de fundo vindo de regiões diferentes do céu tivessem essencialmente a mesma temperatura!

64 A inflac a o I soluc a o : com a inflac a o o horizonte tambe m cresce exponencialmente e todo o universo observa vel hoje estaria dentro de uma regia o causalmente conexa antes da inflac a o Laerte Sodre Jr. Cosmologia Ba sica

65 A inflação flutuações primordiais de densidade: a inflação produz flutuações quânticas que são amplificadas: as amplitudes dessas flutuações são aproximadamente independente da escala a gravidade amplifica estas flutuações, produzindo galáxias, aglomerados, etc. este cenário ajusta bem as observações

66 A era da radiação logo após o Big-Bang (e a inflação ) o universo é extremamente quente sua dinâmica é regida pela radiação: p = ρc 2 /3 nesse caso, ρ a 4 No expoente, 3 é devido à variação na densidade de fótons e 1 é devido à variação da energia de cada fóton considera-se que a radiação está em equiĺıbrio termodinâmico: o espectro da radiação é planckiano e depende apenas da temperatura T

67 A era da radiação densidade de radiação, em erg cm 3 : em g cm 3 : u = at 4 = T 4 erg cm 3 K 4 ρ = 4σ SB c 3 T 4 = T 4 g cm 3 K 4 logo, a temperatura varia com o fator de escala como: T a 1 fator de escala: ȧ 2 8πG 3 ρa2 pois no começo do universo, a densidade é muito grande. Daí, a t 1/2

68 A origem da matéria supõe-se que a matéria seja formada a partir do campo de radiação : interconversão de partículas pares de partícula e antipartícula de massa m estão em equiĺıbrio termodinâmico se kt >> mc 2 : p + p 2γ quando a temperatura cai abaixo de kt 2mc 2, o par se desacopla do campo de radiação : p e p se aniquilam e as partículas que sobrevivem constituem as reĺıquias

69 A nucleosíntese primordial e a abundância dos bárions abundâncias típicas (em massa) observadas no universo hoje: H: 75%; He 25%; o resto: 1% abundância do hélio: 25% estrelas: a nucleosíntese estelar só pode converter 5% da massa em He Gamow (anos 40)- nucleosíntese primordial: nucleosíntese do He no começo do universo

70 A nucleosíntese primordial

71 A nucleosíntese primordial depois da aniquilação sobra mais matéria que anti-matéria (porquê?) p e n que sobram ficam em equiĺıbrio, via interações fracas: p + e n + ν n + e + p + ν a densidade relativa de p e n é dada pelo fator de Boltzmann baseado na diferença de massa m = m n m p : r = n n /n p = exp( mc 2 /kt ) exp( K/T )

72 A nucleosíntese primordial os n livres são instáveis (tempo de decaimento = 890 s): a razão pela qual os n existem é que estas interações fracas desacoplam logo e a nucleosíntese primordial ocorre poucos minutos depois disso, de modo que a maior parte deles termina no núcleo de He e de outros elementos leves série de reações nucleares: p e n se combinam para formar núcleos atômicos mais pesados que o do 1 H têm o deutério D como intermediário: p + n D + γ D + D 3 He + n 3 H + p 3 H + D 4 He + n

73 A nucleosíntese primordial deutério: pode ser formado via n + p D é frágil: facilmente destruído acima de 10 9 K por fotodissociação : D + γ n + p mas abaixo de 10 9 K o D pode sobreviver abundância em massa do He prevista: Y 0.24 além do 4 He e do D, na nucleosíntese primordial forma-se um pouco de 3 He, 7 Li, 7 Be elementos mais pesados não se formam porque não há núcleos estáveis com massa atômica 5 e 8 quando t 3 min a nucleosíntese primordial termina

74 A nucleosíntese primordial Figure: Síntese dos elementos leves no universo primordial.

75 A nucleosíntese primordial parâmetro η: número de bárions sobre o número de fótons η n p + n n n γ densidade numérica de fótons para um corpo negro: n γ = 2ζ(3) π 2 ζ(x): função zeta de Riemann daí, ( ) 3 kb T T 3 cm 3 c η (T /2.73K) 3 Ω b h 2 Ω b : parâmetro de densidade dos bárions

76 A nucleosíntese primordial a abundância dos elementos leves depende fundamentalmente de η: conhecendo-se η, a temperatura da radiação cósmica de fundo e H 0, pode-se determinar Ω b η (T /2.73K) 3 Ω b h 2 EXERCÍCIO: MOSTRE ISSO.

77 A nucleosíntese primordial Figure: Abundância dos elementos leves produzidos na nucleosíntese primordial em função da abundância de bárions (e de η).

78 A nucleosíntese primordial dos elementos leves formados na nucleosíntese primordial, qual é o melhor bariômetro? que isótopo é melhor para se determinar η? a abundância do 4 He é pouco sensível a η 3 He: sua formação e destruição em estrelas é pouco conhecida a abundância do D parece ser a melhor opção pois apresenta forte dependência com η, além dele não ser produzido em estrelas 7 Li: apresenta um comportamento com η não-monotônico

79 A nucleosíntese primordial Estimativas de abundâncias primordiais deutério observações no UV (Ly-α); espectroscopia de alta resolução isótopo frágil: só é destruído: sua abundância deve decrescer com o tempo meio interestelar local: D/H = (1.32 ± 0.08) 10 5 nuvem protosolar (4.6 Ganos atrás): D/H = (2.1 ± 0.5) 10 5 linhas de absorção em quasares (produzidos em nuvens Ly-α ) D/H = (2.6 ± 0.4) 10 5 (Kirkman et al. 2003)

80 A nucleosíntese primordial Figure: Observação de uma linha do D no espectro do quasar

81 A nucleosíntese primordial ĺıtio estimativas a partir do plateau de Spite (Li/H vs metalicidade): 7 Li/H = (2.6 ± 0.4) 10 5 (em número; Ryan et al. 2000) Figure: Abundância do Li (em massa) em função da metalicidade (abundância do Fe).

82 A nucleosíntese primordial Figure: Observações de uma linha do Li em 5 estrelas do aglomerado globular NGC6397, com modelos sobrepostos.

83 A nucleosíntese primordial 4 He observações de regiões HII extrapolação de Y em função da metalicidade Yp = ± (Izotov & Thuan 2004) Figure: Relação entre a abundância do 4 He com a metalicidade de regiões HII. A abundância do He foi determinada a partir da intensidade das linhas λλ4471, 5876 e 6678 Å do He I.

84 A nucleosíntese primordial abundância dos bárions, obtida pela determinação das abundâncias dos elementos leves (Kneller & Steigman, 2004): 4 He: Ω b h 2 = ± D: Ω b h 2 = ± Li: Ω b h 2 = ± se Ω b h e h = 0.7, temos que Ω b note que Ω m 0.3, ou seja, a maior parte da matéria é não bariônica! É a matéria escura.

85 A era da matéria depois da era radiativa segue-se a era dominada pela matéria num universo dominado pela matéria: p ρv 2 então, v é a velocidade típica das galáxias v c p ρc 2 e pode ser desprezado nas EFL ρ m a 3

86 A época da recombinação voltemos à era radiativa o universo se expande e a densidade de radiação varia como ρ r a 4 enquanto que a de matéria varia como ρ m a 3 assim, embora a radiação domine o começo da evolução do universo, depois de um certo tempo a matéria vai dominar época da igualdade : quando ρ r = ρ m z eq Ω m0 h 2 T

87 A época da recombinação Figure: Definição da época da igualdade.

88 A época da recombinação durante a era radiativa, como o universo era muito quente, a matéria era ionizada após o começo da era da matéria a temperatura cai abaixo do potencial de ionização do hidrogênio e torna possível a formação de átomos: é a época da recombinação: z rec 1100 o universo, que era opaco aos fótons, fica transparente e a matéria bariônica fica praticamente neutra para z a reionização ocorrerá, quando as primeiras estrelas começarem a se formar

89 A era da energia escura observações de SNs tipo Ia distantes levaram à descoberta de que o universo está se acelerando (ä < 0) EFL ( ä a = 4πG ρ + 3p ) 3 c 2 para isso acontecer, é necessário ter-se pressão negativa essa aceleração seria produzida por uma energia escura modelo simples para a equação de estado da energia escura: p = wρc 2 onde w pode depender do tempo (e talvez da posição) modelo mais simples: constante cosmológica, w = 1 outras opções : energia fantasma (w < 1) paredes de domínio (w = 2/3) cordas cósmicas (w = 1/3)...

90 O modelo padrão: ΛCDM modêlo canônico : ΛCDM um universo dominado por matéria escura fria com uma constante cosmológica com a equação de Friedmann (ȧ a ) 2 = 8πG 3 ρ Kc2 a 2 é fácil verificar que num universo com matéria, radiação e constante cosmológica temos EXERCÍCIO: MOSTRE ISSO Ω m + Ω r + Ω λ + Ω k = 1

91 O modelo padrão: ΛCDM seja H(z) = H 0 E(z) E(z) caracteriza a dependência em redshift do parâmetro de Hubble vamos reescrever o parâmetro de densidade de cada espécie: Ω m = ρ m ρ c = 8πGρ m 3H 2 Como ρ m = ρ m0 (R 0 /R) 3 = ρ m0 (1 + z) 3 e H = H 0 E(z), temos: Ω m = 8πGρ m0(1 + z) 3 3H0 2E 2 = Ω m0(1 + z) 3 E(z) 2

92 O modelo padrão: ΛCDM Analogamente, Ω r = Ω r0(1 + z) 4 E(z) 2, Ω λ = Ω λ0 E(z) 2, Ω k = Ω k0(1 + z) 2 E(z) 2, de modo que fica fácil ver que E(z) = [Ω m0 (1 + z) 3 + Ω r0 (1 + z) 4 + Ω λ0 + Ω k0 (1 + z) 2 ] 1/2 observações do WMAP e SNIa mais as considerações teóricas da inflação sugerem que o universo tem curvatura nula (k = 0, Ω k = 0) e é dominado por matéria escura, Ω m0 0.3, e energia escura, Ω λ0 0.7 Ω r0 é muito pequeno e a radiação pode ser desprezada (exceto na era radiativa, claro!)

93 O modelo padrão: ΛCDM modelo para o universo atual: k = 0, matéria e constante cosmológica ( ) ( ) 1/3 Ωm0 a = sinh 2/3 3H0 Ω 1/2 λ0 t 2 Ω λ0 Figure: Expansão para diferentes valores de Ω m e Ω λ. De cima para baixo as curvas descrevem (Ω m, Ω λ ) = (0.3, 0.7), (0.3, 0), (1, 0), (4, 0).

94 O modelo padrão: ΛCDM o universo passou a maior parte de sua vida em expansão desacelerada mas, mais recentemente, a constante cosmológica sobrepujou a densidade de matéria, produzindo uma fase de expansão acelerada inflexão desaceleração - aceleração : ä = 0 a I = ( ) 1/3 Ωm0 2Ω λ0 isso acontece em t I = 2 3H 0 Ω 1/2 λ0 arcsinh [ ] 1 2 t 0 /t I 1.84; z I 0.7

95 O modelo padrão: ΛCDM num universo com k = 0, a densidade da energia escura (Ω λ ) domina a da matéria (Ω m ) para z < z c, onde z c = (Ω λ0 /Ω m0 ) 1/

96 A idade do universo relação entre tempo e redshift H = H 0 E(z) E(z) = [ Ω m0 (1 + z) 3 + Ω k0 (1 + z) 2 ] 1/2 + Ω λ0 (onde desprezamos a radiação) como H = ȧ/a e a = (1 + z) 1, temos ou, H = ż 1 + z dt = dz (1 + z)h

97 A idade do universo a idade do universo (t 0 ) é então dada por ou t 0 = 1 H 0 t0 0 dt = onde τ H é o tempo de Hubble: 0 0 dz (1 + z)h dz (1 + z)e(z) = τ dz H 0 (1 + z)e(z) τ H = H 1 0 = 9.78 h 1 Ganos Einstein-de Sitter (Ω λ0 = 0, Ω m0 = 1): t 0 = 2 3 τ H

98 A idade do universo idade do universo no redshift z: t(z) = τ H z dz (1 + z )E(z ) look-back time de um objeto no redshift z: t l (z) = t 0 t(z) = τ H z 0 dz (1 + z )E(z )

99 A idade do universo universo de curvatura nula: [ ( t(z) = 2 ) ] 3 τ HΩ 1/2 Ω 1/2 λ0 λ0 arcsinh Ω m0 (1 + z) 3 no intervalo de interesse (0.1 < Ω m0 < 1, Ω λ0 < 1), a solução exata pode ser aproximada dentro de alguns % por (Peacock, 1999): t τ H (0.7Ω m0 0.3Ω λ ) 0.3 note que o universo não pode ser mais jovem que os objetos que contém: isso permite por limites nos valores dos parâmetros cosmológicos.

100 A idade do universo Turn-off da Sequência Principal de Aglomerados Globulares revisão: Demarque, 1997, The ages of globular star clusterstem no Level 5 turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no núcleo e vai para o ramo das gigantes no diagrama HR limite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do H termina quando 10% da massa da estrela é convertida em He t TO : depende principalmente da massa da estrela, mas também de Y, Z, convecção, rotação... t TO M 2 Maeder (XEAA): modelos com rotação aumentam as estimativas de idade dos AG até 25%!

101 A idade do universo Chaboyer et al. (1998): t AG = 11.5 ± 1.3 Ganos t 0 : depende da época de formação dos AGs Peacock: t 0 está entre 12 e 16 Ganos Figure: Isócronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.

102 A idade do universo Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da galáxia (Lineweaver, 1999, Sci. 284, 1503; tem no Level 5).

103 A idade do universo Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em função do redshift para vários modelos cosmológicos (Ω m0, Ω λ0 ). Linha sólida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).

104 Distâncias Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology, astro-ph/ o conceito de distância não é único em um espaço-tempo dinâmico medidas de distância relacionam 2 eventos em geodésicas separadas que estão em um mesmo cone de luz; podem ser caracterizados pelos tempos t e e t 0 de emissão e observação, ou pelo fator de escala nesses tempos, R(t e ) e R(t 0 ), ou pelos redshifts correspondentes, z e e z 0

105 Distância própria e comóvel distância própria entre dois eventos ao longo de uma geodésica, D p note que não se mede D p! elemento de distância própria: dd p = cdt como dt = dz/[(1 + z)h], é fácil verificar que dd p = D H dz/[(1 + z)e(z)], onde D H = c H h 1 Mpc é a distância de Hubble

106 Distância própria e comóvel distância própria entre dois eventos em z 1 e z 2 : D p = D H z2 dz z 1 (1 + z )E(z ) toda a cosmologia está embutida em E(z) distância comóvel D c dd p = (R/R 0 ) dd c distância comóvel entre z 1 e z 2 : z2 dz D c = D H z 1 E(z )

107 Distância própria e comóvel como a luz viaja por geodésicas nulas (ds 2 = 0), c dt R = dd c R 0 = dσ 1 kσ 2. então, distância comóvel entre um observador na origem e outro na coordenada radial σ: D c = R 0 σ 0 dσ 1 kσ 2 = R 0S(σ) assim, para os vários sinais da curvatura temos: k = +1: Dc = R 0 arcsin σ k = 0: Dc = R 0 σ k = 1: D c = R 0 arcsinh σ

108 Distância própria e comóvel note que não se pode medir diretamente nem as distâncias próprias nem as distâncias comóveis entre as distâncias que se medem, as mais importantes são as de luminosidade e de diâmetro

109 Distância própria e comóvel Figure: Distância comóvel entre O e G, D c, sobre um círculo.

110 Distância de luminosidade D l : medida por métodos baseados na luminosidade aparente classicamente, fluxo, luminosidade e distância estão relacionados como f = L 4πD 2 elemento de área (hoje) na métrica de RW: da = R 2 0 σ 2 sin θdθdφ = R 2 0 σ 2 dω área de uma esfera de raio σ hoje é A = 4πR 2 0 σ 2

111 Distância de luminosidade L(ν, t)dν: energia emitida por uma galáxia G por segundo com frequência ν entre ν e ν + dν no instante t esses fótons são recebidos com energia menor, devido ao redshift: hν 0 = hν 1 + z além disso, essa energia é recebida em um intervalo de tempo maior: t 0 = (1 + z) t energia recebida por cm 2 por s (fluxo) no intervalo [ν 0, ν 0 + dν 0 ]: f (ν 0, t 0 )dν 0 = L(ν, t)dν L(ν, t)dν 4πR0 2 = σ2 (1 + z) 2 4πDl 2

112 Distância de luminosidade onde f (ν 0, t 0 )dν 0 = L(ν, t)dν L(ν, t)dν 4πR0 2 = σ2 (1 + z) 2 4πDl 2 D l = R 0 σ(1 + z) D l é denominada distância de luminosidade

113 Distância de luminosidade Figure: Distância de luminosidade normalizada em função do redshift para três modelos de mundo: (Ω m, Ω λ ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

114 Distância de diâmetro distância de diâmetro (D A ; A de aperture): obtida pelos métodos baseados no tamanho aparente sendo θ o tamanho aparente de um corpo de diâmetro D, a distância de diâmetro D A é tal que θ = D D A diâmetro próprio: D = Rσ θ como 1 + z = R 0 /R, temos D A = R 0σ 1 + z = D l (1 + z) 2

115 Distância de diâmetro em estudos de lentes aparece a distância de diâmetro entre o redshift z 1 e z 2 (z 1 < z 2 ), que é dada por: D A (z 1, z 2 ) = R 2 σ 12 = R 0σ z 2 onde σ 12 é a distância de coordenadas entre z 1 e z 2

116 Distância de diâmetro em um universo dominado apenas por matéria, vale a relação de Mattig (1959): D A (z) = 2c H 0 Ω 2 m0 (1 + z)2 [Ω m0z + (Ω m0 2)( 1 + Ω m0 z 1)]

117 Distância de diâmetro Figure: Distância de diâmetro normalizada em função do redshift para três modelos de mundo: (Ω m, Ω λ ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

118 Cálculo das distâncias distância comóvel transversal : D M R 0 σ então, D l = (1 + z)d M e D A = D M /(1 + z) logo, se conhecermos D M (z) podemos calcular D l (z) e D A (z) distância comóvel de um objeto no redshift z: então, se D c = D H z k = +1: DM = R 0 sin(d c /R 0 ) k = 0: DM = D c k = 1: D M = R 0 sinh(d c /R 0 ) 0 dz E(z ) = R 0S(σ)

119 Cálculo das distâncias Ω k0 = kc 2 /(H0 2R2 0 ), de modo que, se k for diferente de zero, R 0 = D H / Ω k0 juntando tudo, temos: k = +1: D M = D H / ( Ωk0 ) Ω k0 sin D c /D H k = 0: DM = D c k = 1: DM = D H / ( Ωk0 ) Ω k0 sinh D c /D H onde D c /D H = z 0 dz /E(z )

120 Volumes espaço euclidiano: o elemento de volume é dv = r 2 dωdr espaços curvos, com a MRW, dv = R2 σ 2 dωrdσ 1 kσ 2 substituindo Rdσ/ 1 kσ 2 por cdt = cdz/[(1 + z)h], o elemento de volume fica: elemento de volume comóvel: dv = D HD 2 A dωdz (1 + z)e(z) dv c = (1 + z) 3 dv

121 Volumes contagem de objetos: qual é o número de objetos dentro de dω e dz? dn = n(z)dv onde n(z) é a densidade de objetos no redshift z

122 Volumes Figure: Elemento de volume comóvel normalizado,(1/d H ) 3 (dv c /dz), em função do redshift para três modelos de mundo: (Ω m, Ω λ ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.

123 Exercícios 1. Mostre que, com a constante cosmológica, é possível obter-se uma solução estática para o universo: o universo de Einstein. Como Λ se relaciona com ρ? Em termos de curvatura, que tipo de universo é esse? Qual é seu raio? 2. Um quasar em z = 1 varia com uma escala de tempo observada de 1 ano. Qual é a escala de tempo de variabilidade no referencial do quasar? Esse resultado depende do modelo cosmológico? 3. Suponha que k = 0 e Λ = 0. Calcule H(t) para um universo dominado apenas por radiação e apenas por matéria. 4. Suponha que a densidade de energia e a pressão estão relacionadas como p = wρc 2, com w constante. Mostre que ρ R 3(1+w).

124 Exercícios 5. Mostre que, se k = 0 e p = wρc 2, com w constante, então R t 2 3(1+w). 6. Mostre que η (T /2.73K) 3 Ω b h Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que os aglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que voce diria sobre H 0? 8. Calcule t l e t(z) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique, em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades em z = 1 e z = 15.

125 Exercícios 9. Mostre que [ ( t(z) = 2 ) ] 3 τ HΩ 1/2 Ω 1/2 λ0 λ0 arcsinh Ω m0 (1 + z) 3 é a idade do universo num redshift z para um universo de curvatura nula com matéria e constante cosmológica. Verifique, em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade em z = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter. 10. Friaça, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasar APM , em z = A razão de abundância Fe/O observada é 3.3 em unidades solares. Usando um modelo de evolução químio-dinâmico do quasar, concluem que sua idade é t q =2.1 Ganos. Discuta as implicações disso para a constante de Hubble, supondo um universo plano com Ω m0 = 0.3 e Ω λ0 = Mostre que num universo de Einstein-de Sitter, o diâmetro aparente em função do redshift tem um mínimo. Determine o redshift onde isso ocorre.

126 Exercícios 12. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, em minutos de arco, um diâmetro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e Faça um programa para reproduzir as figuras que mostram as idades, e as distâncias de luminosidade e diâmetro em função do redshift. 14. Use o site icosmo ( para estudar um modelo onde a energia escura pode ser descrita como w = w 0 + w a (1 a) Suponha que w 0 = 1 e w a = ±0.1. Que variação isso produz nas distâncias de diâmetro e luminosidade em z = 0.8 em relação ao modelo ΛCDM convencional ( w 0 = 1 e w a = 0)?

127 Referências Hinshaw, G. et al., 2008, arxiv: Hogg, D.W., 1999, astro-ph/ Kneller, J.P., Steigman, G., 2004, astro-ph/ Peacock, J.A., 1999, Cosmological Physics, CUP Steigman, G., 2007, arxiv: um site muito útil é o Level 5: A Knowledgebase for Extragalactic Astronomy and Cosmology