Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento

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1 Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento Milson Monteiro Universidade de São Paulo Introdução ao Escalonamento e Aplicações

2 Agenda 1 Introdução 2 Descrição do Sistema 3 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas Variação dos Parâmetros L,µ, e n e o Efeito em ω 4 Limite Geral 5 Um Sistema Modificado 6 Caso Especial no qual está Vazia 7 Um Algoritmo Geral 8 Conclusão 9 REFERÊNCIAS Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 2 / 42

3 Introdução Segundo [5, 6, 8] sistemas multiprocessados são formados por vários processadores executando em paralelo e que podem apresentar determinadas anomalias inesperadas, mesmo que o sistema funcione sob um conjunto de regras naturais; Por exemplo, pode acontecer que o aumento no número de processadores possa aumentar o tempo necessário para executar um determinado conjunto de funções; Modelo típico de um sistema multiprocessado, objetivando determinar a extensão exata do tempo de execução de um conjunto de tarefas que possam ser influenciadas por anomalias de temporização; Um caso especial do modelo será mostrado para gerar uma pergunta interessante da teoria dos números; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 3 / 42

4 Descrição do Sistema Exemplos de Anomalias Suposições 1 Estamos enviando a n unidades idênticas de processamento P i,i=1,...,n um conjunto de tarefas T={T 1...,T r }, que serão processadas por P i ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 4 / 42

5 Descrição do Sistema Exemplos de Anomalias Suposições 1 Estamos enviando a n unidades idênticas de processamento P i,i=1,...,n um conjunto de tarefas T={T 1...,T r }, que serão processadas por P i ; 2 Enviamos também uma ordem parcial em T e uma função µ T (0, ); Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 4 / 42

6 Descrição do Sistema Exemplos de Anomalias Suposições 1 Estamos enviando a n unidades idênticas de processamento P i,i=1,...,n um conjunto de tarefas T={T 1...,T r }, que serão processadas por P i ; 2 Enviamos também uma ordem parcial em T e uma função µ T (0, ); 3 Quando um processador P i começar a executar uma tarefa T j, ele funciona sem interrupção até a conclusão dessa tarefa, requerendo ao todo µ(t j ) unidades de tempo; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 4 / 42

7 Descrição do Sistema Exemplos de Anomalias Suposições 1 Estamos enviando a n unidades idênticas de processamento P i,i=1,...,n um conjunto de tarefas T={T 1...,T r }, que serão processadas por P i ; 2 Enviamos também uma ordem parcial em T e uma função µ T (0, ); 3 Quando um processador P i começar a executar uma tarefa T j, ele funciona sem interrupção até a conclusão dessa tarefa, requerendo ao todo µ(t j ) unidades de tempo; 4 Também é necessário que a ordem parcial seja respeitada da seguinte forma: se T i T j, então T j não pode ser iniciada até que T i tenha sido concluída; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 4 / 42

8 Descrição do Sistema Exemplos de Anomalias Suposições 1 Estamos enviando a n unidades idênticas de processamento P i,i=1,...,n um conjunto de tarefas T={T 1...,T r }, que serão processadas por P i ; 2 Enviamos também uma ordem parcial em T e uma função µ T (0, ); 3 Quando um processador P i começar a executar uma tarefa T j, ele funciona sem interrupção até a conclusão dessa tarefa, requerendo ao todo µ(t j ) unidades de tempo; 4 Também é necessário que a ordem parcial seja respeitada da seguinte forma: se T i T j, então T j não pode ser iniciada até que T i tenha sido concluída; 5 Finalmente, dada uma sequência L={T i1..t ir } formada por todas as tarefas de T é chamada de uma lista de prioridade; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 4 / 42

9 Descrição do Sistema II Exemplos de Anomalias Suposições 6 P i executa T j da seguinte forma: no tempo 0, todos os processadores (instantaneamente) varrem a lista L, desde o início pesquisando as tarefas T i que estão "prontas" para serem executadas, isto é, aquelas que não têm predecessores em ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 5 / 42

10 Descrição do Sistema II Exemplos de Anomalias Suposições 6 P i executa T j da seguinte forma: no tempo 0, todos os processadores (instantaneamente) varrem a lista L, desde o início pesquisando as tarefas T i que estão "prontas" para serem executadas, isto é, aquelas que não têm predecessores em ; 7 A primeira tarefa T j pronta em L que trata de P i é iniciada por P i ; P i continua a executar T j para as µ(t j ) unidades de tempos necessários para completar T j ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 5 / 42

11 Descrição do Sistema II Exemplos de Anomalias Suposições 6 P i executa T j da seguinte forma: no tempo 0, todos os processadores (instantaneamente) varrem a lista L, desde o início pesquisando as tarefas T i que estão "prontas" para serem executadas, isto é, aquelas que não têm predecessores em ; 7 A primeira tarefa T j pronta em L que trata de P i é iniciada por P i ; P i continua a executar T j para as µ(t j ) unidades de tempos necessários para completar T j ; 8 Geralmente, a qualquer momento, um processador P i conclui uma tarefa, analisa imediatamente L para a tarefa disponível primeiro pronta para executar; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 5 / 42

12 Descrição do Sistema II Exemplos de Anomalias Suposições 6 P i executa T j da seguinte forma: no tempo 0, todos os processadores (instantaneamente) varrem a lista L, desde o início pesquisando as tarefas T i que estão "prontas" para serem executadas, isto é, aquelas que não têm predecessores em ; 7 A primeira tarefa T j pronta em L que trata de P i é iniciada por P i ; P i continua a executar T j para as µ(t j ) unidades de tempos necessários para completar T j ; 8 Geralmente, a qualquer momento, um processador P i conclui uma tarefa, analisa imediatamente L para a tarefa disponível primeiro pronta para executar; 9 Se não existem atualmente tais tarefas, então P i torna-se ocioso. (Vamos dizer também que P i está executando uma tarefa vazia denotada por φ k ); Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 5 / 42

13 Descrição do Sistema III Exemplos de Anomalias Suposições III 10 P i permanece inativo até que algum outro P j conclua uma tarefa, imediatamente P i verifica as L tarefas prontas (que podem agora existir por causa da realização de P j ); Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 6 / 42

14 Descrição do Sistema III Exemplos de Anomalias Suposições III 10 P i permanece inativo até que algum outro P j conclua uma tarefa, imediatamente P i verifica as L tarefas prontas (que podem agora existir por causa da realização de P j ); 11 Se dois (ou mais) processadores tentam começar a executar uma tarefa, será nossa convenção em atribuir a tarefa ao processador com o menor índice. O menor tempo no qual todas as tarefas de T tenham sido concluídas será representado por ω; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 6 / 42

15 Descrição do Sistema III Exemplos de Anomalias Suposições III 10 P i permanece inativo até que algum outro P j conclua uma tarefa, imediatamente P i verifica as L tarefas prontas (que podem agora existir por causa da realização de P j ); 11 Se dois (ou mais) processadores tentam começar a executar uma tarefa, será nossa convenção em atribuir a tarefa ao processador com o menor índice. O menor tempo no qual todas as tarefas de T tenham sido concluídas será representado por ω; 12 No interesse do rigor matemático, será conveniente considerar os µ(t j ) unidades de tempo necessários para a execução de T j ser um intervalo semiaberto [t,t+µ(t j )] sobre o eixo do tempo; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 6 / 42

16 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas I Exemplo Indicamos a ordem parcial em T e a função µ por um grafo direcionado G(,µ); Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 7 / 42

17 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas I Exemplo Indicamos a ordem parcial em T e a função µ por um grafo direcionado G(,µ); Em G(,µ) os vértices correspondem a T i e a aresta direcionada de T i para T j é representada por T i T j ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 7 / 42

18 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas I Exemplo Indicamos a ordem parcial em T e a função µ por um grafo direcionado G(,µ); Em G(,µ) os vértices correspondem a T i e a aresta direcionada de T i para T j é representada por T i T j ; Consideramos agora um exemplo que ilustra o funcionamento do sistema de multiprocessamento precedente e as diversas anomalias associadas com ele; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 7 / 42

19 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas I Exemplo Indicamos a ordem parcial em T e a função µ por um grafo direcionado G(,µ); Em G(,µ) os vértices correspondem a T i e a aresta direcionada de T i para T j é representada por T i T j ; Consideramos agora um exemplo que ilustra o funcionamento do sistema de multiprocessamento precedente e as diversas anomalias associadas com ele; Indicamos a ordem parcial em T e a função µ por um grafo direcionado G(,µ); item Em G(,µ) os vértices correspondem a T i e a aresta direcionada de T i para T j é representada por T i T j ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 7 / 42

20 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas II Exemplo O vértice T j de G(,µ) vão realmente ser marcados com os símbolos T j µ(t j ) ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 8 / 42

21 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas II Exemplo O vértice T j de G(,µ) vão realmente ser marcados com os símbolos T j µ(t j ) ; As atividades de cada P i são convenientemente representadas por um diagrama de temporização D; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 8 / 42

22 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas II Exemplo O vértice T j de G(,µ) vão realmente ser marcados com os símbolos T j µ(t j ) ; As atividades de cada P i são convenientemente representadas por um diagrama de temporização D; D é representado por n meias-linhas horizontais (rotuladas por P i ), em que cada linha é um eixo do tempo iniciando do tempo 0 e é subdividido dentro de rótulos semiabertos de segmentos de acordo com a atividade correspondente de P i ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 8 / 42

23 Sistema de Multiprocessamento Precedente e as Anomalias Associadas III Figura 1: n=3;l=(t 1,T 2,...,T 9,). Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 9 / 42

24 Variação dos Parâmetros L,µ, e n e o Efeito em ω I Substituir L por L =(T 1,T 2,T 4,T 5,T 6,T 3,T 9,T 7,T 8 ), deixando µ, e n inalterados. Neste caso, obtém-se: Figura 2: ω =ω (L,µ,,n)=14 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 10 / 42

25 Variação dos Parâmetros L,µ, e n e o Efeito em ω II Substituir por removendo T 4 T 5 e T 4 T 6 ; Figura 3: ω = ω (L,µ,, n) = 16 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 11 / 42

26 Variação dos Parâmetros L,µ, e n e o Efeito em ω III Diminuir µ para µ por definição µ (T i )=µ(t i ) 1 para todo i. Neste caso, G(,µ) torna-se: Figura 4: ω = ω (L,µ,, n) = 13 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 12 / 42

27 Variação dos Parâmetros L,µ, e n e o Efeito em ω IV Diminuir µ para µ por definição µ (T i ) = µ(t i ) - 1 para todo i. Neste caso, G(,µ) torna-se: Figura 5: ω = 15 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 13 / 42

28 Variação dos Parâmetros L,µ, e n e o Efeito em ω V Se S(T j1 ) B e S(T j1 ) não é um ponto de fronteira de B, então pela definição B existem alguns processadores P i que para alguns ε>0 está ocioso durante o tempo [S(T j1 ) ε,s(t j1 )]. Por que T j1, não iniciou até o tempo S(T j1 ), quando P i estava ocioso antes e durante este tempo. A única resposta possível é que lá pode estar alguma tarefa T j2 em D de modo que T j2 T j1 e T j2 esteja concluída no tempo S(T j1 ) (para isso certamente causaria que T j1 esperasse até que o tempo de S(T j1 ) seja iniciada); Suponha S(T j1 ) A ou S(T j1 ) 0 seja um ponto de fronteira de B e lá existem x< S(T j1 ) de tal forma que x B. Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 14 / 42

29 Limite Geral I Suponha que temos um conjunto T de tarefas que queremos executar em dois tempos separados; O primeiro tempo é representado por uma função do tempo µ, uma ordem parcial, uma lista de prioridade L e um sistema multiprocessado composto de processadores idênticos P i, i = 1,...,n; O segundo tempo é representado por uma função µ µ, uma ordem parcial, uma lista de prioridade L e um sistema multiprocessado formado de n processadores idênticos P i = 1,..., n; De forma que ω e ω representem os respectivos tempos de término; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 15 / 42

30 Limite Geral II Teorema 1 ω ω 1+ n 1 n (1) Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 16 / 42

31 Limite Geral III Figura 6: Diagrama de temporização D Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 17 / 42

32 Limite Geral IV O conjunto de todos os intervalos do tempo em [0,ω ] pode ser dividida em dois subconjuntos A e B; A é definido como sendo o conjunto de todos os pontos de tempo durante o qual todos os processadores estão executando alguma tarefa de T; Do mesmo modo, B é definido como sendo o conjunto de todos os pontos de tempo para o qual pelo menos um processador está ocioso (mas nem todos os processadores estão ociosos); Observamos que ambos A e B são disjuntos de intervalos semiabertos; T j representa uma tarefa que finaliza em D no tempo ω ; S(T j1 ) representa o tempo no qual T j1 é iniciado. Existem duas possibilidades; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 18 / 42

33 Limite Geral V Se S(T j1 ) B e S(T j1 ) não é um ponto de fronteira de B, então pela definição B existem alguns processadores P i que para alguns ε>0 está ocioso durante o tempo [S(T j1 ) ε,s(t j1 )]; A questão que ocorre naturalmente é por que T j1, não iniciou até o tempo S(T j1 ), quando P i estava ocioso antes e durante este tempo. A única resposta possível é que lá pode estar alguma tarefa T j2 em D de modo que T j2 T j1 e T j2 esteja concluída no tempo S(T j1 ) (para isso certamente causaria que T j1 esperasse até que o tempo de S(T j1 ) seja iniciada). T jm T jm 1... T j2 T j1 ; Em D de tal forma que em cada momento t B, algumas T jk estão sendo executadas. Dizemos que essa cadeia cobre B. O importante a notar sobre essa cadeia é: µ (φ φ i ) (n 1) m µ (T jk ); i D k=1 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 19 / 42

34 Um Sistema Modificado I A qualquer momento um processador está livre, e imediatamente começa a executar a tarefa pronta que atualmente encabeça a lista mais longa de tarefas não executadas (no sentido de que a soma dos tempos de tarefa na cadeia é máxima). Suponha que, seguindo este algoritmo de escolher as tarefas, temos um tempo de finalização ω L ; ω O representa o tempo mínimo possível de finalização (para todas as listas possíveis), então é preciso afirmar algo sobre a relação ω L ω O ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 20 / 42

35 Um Sistema Modificado II O Teorema 1, mostra que o melhor limite possível nesta relação é dada por: ω L ω O 2 n+1 2 Da mesma forma, podemos usar o algoritmo em que um processador sempre tenta executar a tarefa pronta T i que tem a maior soma µ(t i )+ Ti T j µ(t j ) ; Se representarmos o tempo de finalização utilizando este algoritmo por ω m, então, é possível produzir exemplos para os quais é ω m ωo é imensamente maior que 2 n+1 2 ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 21 / 42

36 Um Sistema Modificado III Obs Este não é um caso especial, onde é possível baixar os limites precedentes significativamente e ainda usar algoritmos que exigem relativamente pouco esforço; Este é o caso em que está vazia, e é neste caso que devemos restringir a nossa atenção; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 22 / 42

37 Caso Especial no qual está Vazia I As tarefas T={T 1,...,T r } são atribuídas, em função do tempo µ T (0, ), a uma unidade de processamento n; Algoritmo para escolher o T i para o qual o tempo de término seja ótimo, isto é, seja o menor possível. Parece bastante provável que este só poderia ser alcançado por um número exponencial (em r) de passos, e até mesmo para r moderado, este seria proibitivo; É mais razoável pedir um método de obtenção de um tempo de término ω tal que ω ω 0 seja conhecido por ser relativamente próximo de 1, e somente uma pequena quantidade de energia é gasta na obtenção de ω; O algoritmo que gera ω L descrita na seção anterior é um exemplo deste método. Neste algoritmo, uma vez que está vazia, um processador livre sempre leva mais tempo para executar a tarefa restante não executada; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 23 / 42

38 Caso Especial no qual está Vazia II Teorema 2 ω L ω O n, (2) Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 24 / 42

39 Caso Especial no qual está Vazia III Figura 7: Suponha que a seguinte configuração ocorra em D 0. Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 25 / 42

40 Caso Especial no qual está Vazia IV Figura 8: Então em D 0 a (possibilidade) do novo tempo de término ω certamente satisfaz ω ω 0, isto é, este único intercâmbio não poderia ter causado o aumento de ω 0. Além disso, se a configuração ocorre em D 0 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 26 / 42

41 Caso Especial no qual está Vazia V Figura 9: Movendo a linha com α i para a linha com α j não pode causar o aumento de ω o. Vamos chamar qualquer uma destas duas operações anteriores uma operação Tipo 1. Por uma operação Tipo 2 que significa modificar qualquer ocorrência de D 0 Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 27 / 42

42 Caso Especial no qual está Vazia VI Figura 10: Suponha que a seguinte configuração ocorra em D 0. Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 28 / 42

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46 Caso Especial no qual está Vazia X Para qualquer diagrama de temporização D nós definimos uma função l(d) como: Deixe F i representar o menor tempo t de forma que para todo t t, o processador P i está ocioso em D. Então, l(d) = F i F j 1 i<j n Não é difícil verificar: a) Se D é obtida de c por uma operação Tipo 1, então l(d )<l(d); b) Se D é obtida de D por uma operação Tipo 2, então l(d )=l(d) ; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 32 / 42

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48 Caso Especial no qual está Vazia XII Figura 15: Assim, por um rearranjo adequado das linhas de D D podemos deixar D na forma. Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 34 / 42

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51 Caso Especial no qual está Vazia XV Figura 18: ω o = 3n Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 37 / 42

52 Um Algoritmo Geral I D. Kleitman e Knuth D {ainda para o caso em que está vazia} 1: para um inteiro k 0, escolha as k maiores tarefas do conjunto de tarefas T = {T 1,...,T r } e organizá-la em uma lista L a qual dá uma solução ótima ω k para estas k tarefas faça 2: Estenda L para uma sequência que contenha todas as tarefas de T por contiguidade das tarefas r - k restantes arbitrariamente a L, formando a lista L(k); 3: Novamente, deixe que ω 0 represente o mínimo possível do tempo de término para T; 4: Este resultado dá origem a função maior inteiro; 5: fim para Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 38 / 42

53 Um Algoritmo Geral II Teorema 3 ω(k) ω n 1+[ k n ] (3) Este limite é o melhor possível para k 0(modn) Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 39 / 42

54 Conclusão O problema básico nesta área é fazer com que o conceito de precedência estabeleça a "quantidade de trabalho" e desenvolver limites fortes inferiores e superiores necessários para chegar próximo de soluções ótimas. Por exemplo, suponha que restringimos as duas operações de adição e de comparação e assumimos n = 2. Isto é provavelmente verdade se existe uma constante C > 0 de modo que qualquer algoritmo que determine uma partição ótima π (isto é, de forma que m(π)=m 0 ) para qualquer conjunto finito de tarefas T podem requerer no mínimo C T operações. Contudo, isto não é conhecido no momento; Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 40 / 42

55 REFERÊNCIAS I E. L. CODD, Multiprogram scheduling, Comm. ACM, 3 (1960), pp R. L. GRAHAM, Bounds for certain multiprocessing anomalies, Bell System Tech. J., 45 (1966), pp J. HELLER, Sequencing aspects of multiprogramming, J. Assoc. Comput. Mach., 8 (1961), pp J. L. KELLEY, General Topology, Van Nostrand, Princeton, B. LIEBESMAN, The use of a special algebra in schedule analysis, to appear. G. K. MANACHER, Production and stabilization of real-time task schedules, J. Assoc. Comput. Mach., 14 (1967), pp P. OCHSNER, Controlling a multiprocessor system, Record 44, Bell Laboratories, 1966, pp Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 41 / 42

56 REFERÊNCIAS II P. RICHARDS, Parallel programming, Rep. TD-B60-27, Technical Operations Inc., M. ROTHKOPF, Scheduling independent tasks on one or more processors, Interim Tech. Rep. 2, Operations Research Center, M.I.T., Cambridge, Milson Monteiro (IME/USP) Limites sobre Anomalias de Temporização em Multiprocessamento 42 / 42