Planejamento e Otimização de Experimentos

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1 Planejamento e Otimização de Experimentos Metodologia de Superfície de Resposta Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira anselmo.quimica.ufg.br [email protected]

2 Visão geral técnicas matemáticas estatísticas modelar analisar resposta muitas variáveis

3 Objetivo otimizar a resposta superfície de resposta resposta esperada

4 Resposta esperada

5 Resposta esperada

6 Resposta esperada

7 Modelos Resposta modelada de modo adequado por uma função linear das variáveis independentes modelo de 1ª ordem Se há uma curvatura no sistema: polinômio de grau maior modelo de 2ª ordem

8 Modelos mínimos quadrados parâmetros do polinômio análise da superfície de resposta

9 Modelos os modelos dos parâmetros podem ser estimados de modo mais efetivo se planejamentos experimentais adequados são utilizados planejamentos de superfície de resposta

10 Planejamento de superfície de resposta natureza sequencial condições de operação caminho condição ótima

11 Natureza sequencial Procedimento sequencial O objetivo é conduzir, de modo rápido e eficiente, ao caminho em ascensão em direção à vizinhança do ótimo Modelo de 1 a ordem Modelo de 2 a ordem Subir o morro

12 Natureza sequencial Ou descer o morro

13 Exemplo Como encontrar as condições ótimas para o tempo, t, e a temperatura, T, que resultam em um maior rendimento para um processo? Condições iniciais: t = 75 min T = 130 o C s = 1,5 Planejamento de 1ª ordem t = 70 e 80 min T = 127,5 e 132,5 o C

14 Planejamento fatorial 2 2 com três pontos centrais experimento t /min T / o C y /g variáveis codificadas, x 1 e x ,5 54, ,5 60, ,5 64, ,5 68, , , ,3 ordem: 5,4,2,6,1,7,3

15 Planejamento fatorial 2 2 com três pontos centrais Modelo Ajuste dos mínimos quadrados Inclusão do erro a partir de b 12 (σ) como b 12 < σ b Ou seja, o modelo planar supõe que os efeitos das variáveis são aditivos

16 Planejamento fatorial 2 2 com três pontos centrais Os efeitos calculados nessa regressão correspondem ao dobro dos valores dos coeficientes t = 4,7 T = 9,0 t x T = -1,3

17 Verificação da curvatura Estimativa da curvatura da superfície, E c E c = y f y pc experimento t /min T / o C y /g média dos pontos do fatorial 2 2 média dos pontos centrais ,5 54, ,5 60, ,5 64, ,5 68, ,3 64,3 y pc = 62, ,3

18 Verificação da curvatura Com = 1,5 V E c = V y f y pc = V y f + V y pc = σ N f σ N pc 2 2 = 1, ,5 3 V E c = 1,31 s c = 1,15 Logo, não há motivo para questionar a adequação do modelo planar

19 Estimativa do erro experimental considerando as replicatas no ponto central s c = 2,0 com u c = 2 = 1,5 (série histórica) Equação ajustada do modelo

20 Estimado x Observador

21 Resíduos

22 Superfície de resposta Octave Gráficos 3D > x1=-1:0.1:1; > x2=x1; > [X1,X2]=meshgrid(x1,x2); > y= *x1+4.5.*x2;

23 plot3 > plot3(x1,x2,y)

24 mesh > mesh(x1,x2,y)

25 meshc > meshc(x1,x2,y)

26 meshz > meshz(x1,x2,y)

27 surf > surf(x1,x2,y)

28 surf > shading interp

29 surfc > surfc(x1,x2,y)

30 contour > contour(x1,x2,y)

31 surface > surface(x1,x2,y)

32 Representação Gráfica: 4D

33 Impressão > help print > title( Modelo Linear ) > xlabel( x1 ) > ylabel( x2 ) > zlabel( y ) > print color djpg linear_mesh.jpg > print deps linear_mesh.eps

34 Caminho em ascensão perpendicular às linhas de contorno

35 Caminho em ascensão caminho em ascensão x 2 região da superfície de 1ª ordem ajustada x 1

36 Caminho em ascensão Nas unidades do planejamento Ou seja, 1,91 unidades de x 2 para cada 1,0 unidade de x 1 centro caminho em ascensão x 1 x 2 t T experimento y obs ,6,7 62,3 1 1, ,8 8 73,3 2 3, ,6 3 5, , ,8 4 7, ,1 5 9, ,9 9 58,2

37 Caminhar na superfície Antes de caminhar na superfície de um modelo de 1ª ordem deve-se obter uma estimativa do erro verificar as interações verificar a curvatura

38 2º planejamento Melhor condição: experimento 10 Logo, planejamento fatorial 2 2 próximo ao experimento 10, com dois pontos centrais t = 90 min T = 145 o C Variáveis codificadas

39 2º planejamento x 1 x 2 t T experimento y obs , , , , , ,8 2 2 pontos centrais

40 Modelo de 1ª ordem o intervalo de confiança não inclui o zero b 12 0 t x T = -9,76 >> = 1,5 modelo aditivo não se aplica

41 Análise da curvatura E c 0 Logo, o modelo de 1ª ordem é inadequado para representar a função resposta local

42 Estimativa do erro Pontos centrais: s c = 2,05 com u 2 = 1 Estimativa conjunta dos dois planejamentos estimativa inicial com base na série histórica era de 1,5

43 Second-order Model 06 parameters: b 0, b 1, b 2, b 11, b 22 e b leves: --, -+, +-, ++, 00 Since the number of parameters is higher than the levels, the design must be augmented Central Composite Design

44 Central Composite Design (CCD) a = 1.414

45 Central Composite Design (CCD) The initial design is augmented with a group of star points 04 axial points 02 central points , ,

46 Central Composite Design (CCD) x 1 x 2 t T run y obs , , , , , ,0 The design matrix consists of runs 11 to 22; The resulting model equation is y = x x x x x 1 x 2

47 Error Estimates Coefficient standard errors o b 0 = 0,75 o b 1, b 2, b 11, b 22, and b 12 = 0,53 Standard deviation of center runs o s c = 0.5/ υ c = 1 Pooled variance s 2 = = 1.78 having υ = 4

48 Surface Model b 2 = 0,36 0,53 means that b 2 can be considered as noise. The resulting surface model equation is y = x x x x 1 x 2

49 mesh

50 surf

51 surf

52 surfc

53 contour 79,5 91,2 77,4 1st design: T and t y x 2 83,3 87,4 81,2 2nd design: T and t y 78,8 84,5 81,2 x 1

54 Analysis of a Second-Order Response Surface When the experiment is relatively close to the optimum, a model that incorporates curvature is usually required to approximate the response k k k k y = b 0 + b i x i + b ii x ii 2 + b ij x i x j + ε i=1 i=1 i<j j

55 Location of the Stationary Points Stationary point Let X be a function differentiable and continuous, and X D a subset of R n X 0 D is a stationary point if X 0 = 0 x k X 0 = x k x 0,1, x 0,2,, x 0,n = 0, k = 1,2,, n

56 Location of the Stationary Points Stationary point coordinates Stationary point o Maximum response o Minimum response o Saddle point Response Surface

57 Location of the Stationary Points Model y = x x x x 1 x 2 The maximum is out of the design region x 1 = time 90 min 10 min x 2 = Temperature 145 o C 5 o C

58 Response Surface y x 2 x 1

59 Response Surface 89,307 Stationary point x 2 x 1

60 Location of the Stationary Points Model y = 87,375 1,38x 1 5,14x 1 2 2x 2 2 2x 1 x 2 Gradients y x 1 = 1,38 10,28x 1 2x 2 = 0 y x 2 = 4x 2 2x 1 = 0 roots x 1 = 0,074 x 2 = 0,149 y = 87,478

61 Response Surface y x 1 x 2

62 Location of the Stationary Points > x1=-1:.05:1; > x2=x1; > [X1,X2]=meshgrid(x1,x2); > y= *x *x1.*x1-2.*x2.*x2-2.*x1.*x2; > surf(x1,x2,y) > contour(x1,x2,y) > hold on > X1=-1.38/18.56*2 > X2=1.38/18.56 > plot(x1,x2)

63 Location of the Stationary Points y x 2 87,023 x 1

64 Response Surfaces maximum

65 Response Surfaces Saddle point

66 Response Surfaces minimum

67 Response Surfaces

68 Multiple Response Optimization Desirability Objective Function o It is one of the most widely used methods in industry for the optimization of multiple response processes o For each response y i x, a desirability function d i y i assigns numbers between 0 and 1 to the possible values of y i d i y i = 0 represents a completely undesirable value of y i d i y i = 1 represents a completely desirable or ideal response value

69 Multiple Response Optimization o The individual desirabilities are then combined using the geometric mean, which gives the overall desirability n D = d i y i i=1 1 n with n denoting the number of responses o It determines the best combination of responses

70 Multiple Response Optimization o The desirability approach consists of the following steps Conduct experiments and fit response models for all n responses Define individual desirability functions for each response Maximize the overall desirability D with respect to the controllable factors

71 Experimental Designs for Fitting Response Surfaces Orthogonal First-Order Designs o Simplex design k y = b 0 + b i x i + e i=1 k = 2 k = 3

72 Second-Order Models Central Composite Design o 2 k Factorial (or fractional factorial of resolution V) o n f factorial runs o 2 k axial or star runs o n c center runs k = 2 k = 3

73 Second-Order Models Rotability o V y x is the same at all points x that are at the same distance from the design center o α = n f 1 4, where nf is the number of points used in the factorial portion of the design

74 Second-Order Models circumscribed n f = 4 α = 2 1,4 face centered inscribed

75 Second-Order Models

76 Second-Order Models Box-Behnken Design o Spherical design o 2 radius o It does not contain any points at the vertices This could be advantageous when the points on the corners are prohibitively expensive or impossible to test

77 Second-Order Models

78 Second-Order Models Runs X 1 X 2 X

79 Second-Order Models Cuboidal Region of Interest o Face-centered central composite design

80 Second-Order Models Equiradial Designs x 2 x 1

81 Second-Order Models x 2 x 1

82 Simplex Optimization x 2 x 1

83 Simplex Optimization

84 Simplex Optimization

85 Simplex Optimization Variable-size

86 Simplex Optimization Spyridon Konstantinidis, Sunil Chhatre, Ajoy Velayudhan, Eva Heldin, Nigel Titchener-Hooker, Analytica Chimica Acta 743 (2012) 19 32

87 Simplex Optimization

88 Simplex Optimization 4 vertexes x 2 x 1 x 3