UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CURSO DE DOUTORADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ANDRÉ SOARES VELASCO ALGORITMOS HÍBRIDOS PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL Tese apresentada ao Curso de Doutorado em Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do Grau de Doutor em Engenharia de Produção. Professor Orientador: Prof. EDUARDO UCHOA BARBOZA, DSc. Niterói 2017

2 Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF V433 Velasco, André Soares Algoritmos híbridos para o problema de corte bidimensional / André Soares Velasco. Niterói, RJ : [s.n.], f. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) - Universidade Federal Fluminense, Orientador: Eduardo Uchoa Barboza. 1. Pesquisa operacional. 2. Metaheurística. 3. Programação inteira. 4. Programação dinâmica. I. Título. CDD

3 ANDRÉ SOARES VELASCO ALGORITMOS HÍBRIDOS PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL Tese apresentada ao Curso de Doutorado em Engenharia de Produção da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do Grau de Doutor em Engenharia de Produção. Aprovada em 22 de março de 2017 BANCA EXAMINADORA Professor Orientador: Eduardo Uchoa Barboza, D.Sc. Universidade Federal Fluminense Artur Alves Pessoa, D.Sc. Universidade Federal Fluminense Luiz Satoru Ochi, D.Sc. Universidade Federal Fluminense Geraldo Galdino de Paula Junior, D.Sc. Universidade Estadual do Norte Fluminense Reinaldo Morabito Neto, D.Sc. Universidade Federal de São Carlos Niterói 2017

4 DEDICATÓRIA A minha doce mãe Hudinéa, ao meu corajoso irmão Julinho e aos queridos avós Irani e Florentino.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus, por ter me conduzido e iluminado em todos os momentos. Ao meu orientador Eduardo Uchoa Barboza, pela valiosa orientação, amizade, compreensão e, sobretudo, pela confiança depositada no desenvolvimento deste trabalho. Aos amigos Frederico Galaxe e Marcos Roboredo, pelo apoio e amizade imprescindíveis para essa conquista. A vocês minha eterna gratidão. Aos professores Artur Alves Pessoa, Luiz Satoru Ochi, Geraldo Galdino de Paula Junior e Reinaldo Morabito Neto, membros da comissão examinadora, pelas sugestões apresentadas para o aperfeiçoamento deste trabalho. Aos meus amigos, colegas de doutorado e servidores da UFF: Leonardo Lube, Alex Barcellos, Ricardo Gurgel, Wirley Almeida, Diogo Nadai, Ricardo Torres, Ronaldo Rangel, Elaine Moreira, Roberta Ramalho, Augusto Pimentel, Philippe Leal, Tiago Santos, Ailton Ferreira, Érik Oliveira, Liana Souza, Hugo Kramer, Max Oliveira, Daniel Dias, Luiz Santanna, Eduardo Montalvão, José Mauricio Brasil, Luiz Aizemberg, Ana Paula dos Santos, Mario Brazão, Hermilcinéa Alves, Tânia Machado e tantos outros que, direta ou indiretamente, contribuíram para realização deste trabalho, não hesitando momento algum em me incentivar. Ao querido casal Marcelo e Danielle Velasco e a todos os demais familiares, pelo apoio irrestrito e palavras de encorajamento nos momentos difíceis. Ao meu filho Pedro Julio, pela sua presença na minha vida ser a maior fonte de encorajamento para realização deste trabalho. Ao Instituto Federal Fluminense e a CAPES pelo incentivo e apoio financeiro durante o período de doutorado.

6 RESUMO O presente trabalho tem como objetos de estudo dois tipos de Problemas de Corte e Empacotamento, conhecidos na literatura como Problema de Corte Bidimensional Guilhotinado Restrito (PCBGR) e Problema de Corte de Estoque Bidimensional Guilhotinado (PCEBG), ambos pertencendo à classe NP-difícil, nos casos com e sem rotação de itens. Esses problemas possuem grande aplicabilidade em diversos setores produtivos que consideram as ações de corte na transformação de materiais em produtos semiacabados ou finais, tais como: metal mecânico, moveleiro, rochas ornamentais, entre outros. Primeiramente, são apresentadas as contribuições para o PCBGR: o algoritmo RG 2D, fundamentado no Reactive Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP Reativo) e implementado a partir de melhorias feitas no algoritmo GRASP-2D (G 2D ), para tratar o problema em destaque; o algoritmo X, baseado em Programação Inteira e capaz de provadamente obter os pesos ótimos para a relaxação de espaço de estados da Programação Dinâmica proposta em (CHRISTOFIDES; HADJICONSTANTINOU, 1995); o algoritmo X2, proposto como uma generalização de X que usa pesos bidimensionais para obter limites ainda mais fortes; o algoritmo X2H que consiste na adaptação de X2 para transformá-lo em uma heurística primal; o método X 2D, resultante da combinação desses quatro elementos, foi testado em um grande conjunto de instâncias e mostrou ser capaz de encontrar soluções com garantias de qualidade ou mesmo certificado de otimalidade nas variantes com e sem rotação dos itens. A seguir, tendo como objeto de estudo o PCEBG, as contribuições são: a proposta de um algoritmo híbrido que combina a técnica de Geração de Colunas com Programação Dinâmica e o novo algoritmo RG 2D. Os resultados computacionais obtidos até o momento foram bastante positivos. Em todas as instâncias testadas as soluções encontradas nunca ficaram mais do que 1 unidade além do limite inferior dado pela Geração de Colunas. Palavras-chave: Corte Bidimensional, GRASP, Programação Dinâmica, Programação Inteira, Geração de Colunas.

7 ABSTRACT The present work addresses two types of Cutting and Packing Problems, known in the literature as Two-dimensional Guillotine Restricted Cutting Problem (TGRCP) and Twodimensional Guillotine Cutting Stock Problem (TGCSP), both in the NP-hard class, with and without item rotation. Those problems have applications in industry, where cutting operations are performed for transforming raw stocks into final or semi-final products, in sectors like metallurgy, furniture, glass, ornamental stones, among others. Firstly, the following contributions are presented: the RG 2D algorithm based on the Reactive Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP Reactive) and implemented from improvements made in the GRASP-2D (G 2D ) algorithm, to address the highlighted problem; the Algorithm X, based on Integer Programming and capable of provably to obtain the optimal weights for the Dynamic Programming state space relaxation proposed in (CHRISTOFIDES; HADJICONSTANTINOU, 1995); the X2 algorithm proposed as a generalization of X that uses two-dimensional weights in order to obtain even stronger upper bounds; the X2H algorithm that consists in the adaptation of X2 to transform it into a primal heuristic; the method X 2D that results from the combination of those four elements was tested in a large set of instances and showed to be able to find solutions with quality guarantees or even certificate of optimality. Next, in order to handle TGCSP, the contributions are: hybrid algorithms that combine in different ways Column Generation with Dynamic Programming and the new RG 2D algorithms are proposed. The computational results obtained so far were very positive. In all tested instances, the final solutions were never more than 1 unit above the lower bound given by the Column Generation. Keywords: Two-dimensional Cutting, GRASP, Integer Programming, Dynamic Programming, Column Generation.

8 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1: Instância de Christofides e Whitlock Adaptada...53 Tabela 4.2: Resultados nas Instâncias Clássicas sem Rotação e com Peso Tabela 4.3: Resultados nas Instâncias Clássicas sem Rotação e sem Peso Tabela 4.4: Resultados nas Instâncias APT sem Rotação e com Peso Tabela 4.5: Resultados nas Instâncias APT sem Rotação e sem Peso Tabela 4.6: Resultados nas Instâncias gcut sem Rotação e sem Peso Tabela 4.7: Resultados nas Instâncias Clássicas com Rotação e com Peso Tabela 4.8: Resultados nas Instâncias Clássicas com Rotação e sem Peso Tabela 4.9: Resultados nas Instâncias APT com Rotação e com Peso Tabela 4.10: Resultados nas Instâncias APT com Rotação e sem Peso Tabela 4.11: Resultados nas Instâncias gcut com Rotação e sem Peso Tabela 5.1: Resultados nas Instâncias Clássicas sem Rotação e com Peso Tabela 5.2: Resultados nas Instâncias Clássicas sem Rotação e sem Peso Tabela 5.3: Resultados nas Instâncias Randômicas da Classe 1 sem Rotação e sem Peso Tabela 5.4: Resultados nas Instâncias Randômicas da Classe 2 sem Rotação e sem Peso Tabela 5.5: Resultados nas Instâncias Randômicas da Classe 3 sem Rotação e sem Peso Tabela 5.6: Resultados nas Instâncias APT sem Rotação e com Peso Tabela 5.7: Resultados nas Instâncias APT sem Rotação e sem Peso Tabela 5.8: Resultados nas Instâncias gcut sem Rotação e sem Peso Tabela 5.9: Resultados nas Instâncias Clássicas com Rotação e com Peso Tabela 5.10: Resultados nas Instâncias Clássicas com Rotação e sem Peso Tabela 5.11: Resultados nas Instâncias Randômicas da Classe 1 com Rotação e sem Peso Tabela 5.12: Resultados nas Instâncias Randômicas da Classe 2 com Rotação e sem Peso Tabela 5.13: Resultados nas Instâncias Randômicas da Classe 3 com Rotação e sem Peso Tabela 5.14: Resultados nas Instâncias APT com Rotação e com Peso Tabela 5.15: Resultados nas Instâncias APT com Rotação e sem Peso Tabela 5.16: Resultados nas Instâncias gcut com Rotação e sem Peso Tabela 5.17: Limites Superiores e Inferiores por Fases do X 2D para o PCBGR Tabela 5.18: Limites Superiores e Inferiores por Fases do X2D para o PCBGR Rotacionado Tabela 6.1: Resultados do GCH 2D com Padrões de Corte Residuais RG 2Da Tabela 6.2: Resultados do GCH 2Dr com Padrões de Corte Residuais RG 2Dar

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1: Problema de Corte de Estoque Bidimensional Guilhotinado Figura 2.1: Estrutura dos Problemas de Corte e Empacotamento Figura 2.2: Padrões de Corte Bidimensionais Ortogonais Figura 3.1: Itens Regulares e Irregulares Figura 3.2: Corte Guilhotinado Ortogonal Figura 3.3: Cortes Guilhotinados em Dois Estágios Figura 4.1: Cortes Guilhotinados e Faixas Guilhotinas Figura 4.2: Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais Figura 4.3: Padrão de Corte para o PCBGR Figura 4.4: Geração de Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais com Algoritmo G 2D Figura 4.5: Geração de Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais com Algoritmo G 2D Figura 4.6: Padrão de Corte Ótimo da Instância CU2 com Repetição de Faixas Homogêneas Figura 4.7: Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais com Melhoria A Figura 4.8: Padrão de Corte Ótimo da Instância OF1 com Melhorias M e A Figura 4.9: Padrão de Corte Ótimo da Instância ChW1 com Algoritmo G 2Dv Figura 4.10: Faixas Guilhotinas Horizontais e Reaproveitamento de Dentes Figura 4.11: Faixas Guilhotinas Verticais e Reaproveitamento de Dentes Figura 4.12: Padrão de Corte com Reaproveitamento de Dentes Figura 4.13: Padrão de Corte gcut13 com Reaproveitamento de Dentes e LRF Figura 4.14: Padrões de Corte APT33 com Algoritmo RG 2D Figura 5.1: Padrões de Corte Inviáveis da Instância CW4 com Algoritmo X Figura 5.2: Padrão de Corte Ótimo da Instância CW4 com Algoritmo X

10 LISTA DE QUADROS Quadro 2.1: Nomenclatura da Tipologia Quadro 2.2: Tipologia de Alguns Problemas Quadro 3.1: Artigos Revisados do Problema de Corte de Estoque Quadro 3.2: Artigos Revisados do Problema de Corte Bidimensional... 42

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO TIPOLOGIA DOS PROBLEMAS DE CORTE E EMPACOTAMENTO DIMENSIONALIDADE MEDIDAS QUANTITATIVAS FORMATO DAS FIGURAS SORTIMENTO DISPONIBILIDADE RESTRIÇÕES DE PADRÃO RESTRIÇÕES DE ALOCAÇÃO OBJETIVOS ESTADO DA INFORMAÇÃO E VARIABILIDADE NOMENCLATURA DE DYCKHOFF PROBLEMAS DE CORTE BIDIMENSIONAL PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO RESTRITO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA AMPLIAÇÕES DO ALGORITMO G 2D PARA O PCBGR METAHEURÍSTICA GRASP Fase de Construção da GRASP Fase de Melhoria da GRASP GRASP Reativo ALGORITMO G 2D ORIGINAL Fundamentos para Implementação do G 2D Fase de Construção das Faixas no Algoritmo G 2D Fase de Melhoria das Faixas no Algoritmo G 2D Geração de Padrão de Corte no Algoritmo G 2D Algoritmo G 2D ALGORITMOS G 2Da E G 2Dv Parâmetro φ e Repetição de Faixas Homogêneas Movimento de Melhoria A Pseudocódigo do Algoritmo G 2Da Lista Restrita de Candidatos do Algoritmo G 2Dv ALGORITMOS G 2D REATIVOS Parâmetro δ e Dentes nas Faixas Guilhotinas Parâmetro ψ e Lista Restrita de Faixas Pseudocódigo Genérico do Algoritmo RG 2D RESULTADOS COMPUTACIONAIS ALGORITMO PRIMAL-DUAL PARA O PCBGR PROGRAMAÇÃO DINÂMICA PARA O PCBGI Programação Dinâmica para Discretização Algoritmo Dynamic Programming PROGRAMAÇÃO DINÂMICA PARA O PCBGR Relaxação do Espaço de Estados da Programação Dinâmica LIMITES SUPERIORES PARA O PCBGR POR PROGRAMAÇÃO DINÂMICA E INTEIRA Algoritmo X... 92

12 5.3.2 Algoritmo X LIMITES INFERIORES PARA O PCBGR POR GRASP, PROGRAMAÇÃO DINÂMICA E INTEIRA Heurística X2H Múltiplos Padrões na Matriz da Programação Dinâmica Heurística de Viabilização ALGORITMO X 2D RESULTADOS COMPUTACIONAIS ALGORITMOS GERAÇÃO DE COLUNAS PARA O PCEBG ALGORITMOS GCH 2D E GCH 2Dr RESULTADOS COMPUTACIONAIS CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO: INSTÂNCIAS DOS PADRÕES DE CORTE ILUSTRADOS

13 12 1 INTRODUÇÃO O planejamento operacional de ações que consistem na transformação de materiais em produtos semiacabados ou finais, não somente evidenciam a tecnologia de processos como também destacam a produtividade, utilizando de forma inteligente os recursos da produção. Nas empresas atuantes em setores produtivos que consideram o beneficiamento de materiais, através do corte realizado em madeiras, metais, vidros, rochas ornamentais, tecidos entre outras matérias-primas, cujas sobras praticamente não são reaproveitadas, o objetivo de minimizar o desperdício nestas transformações resultariam em considerável melhoria e eficiência dos processos, promovendo estimável redução nos custos e, principalmente, agregando diferencial competitivo a esses produtos. Nesse contexto, é importante ressaltar que as empresas bem sucedidas consideram imprescindível um rigoroso controle de seus custos. As empresas que desejam aumentar sua competitividade no mercado devem ter como objetivos a alta qualidade e a eficiência, pois um processo não otimizado pode significar altos custos. Diminuir o desperdício de matéria prima no processo produtivo reduz os custos e, consequentemente, esses produtos podem chegar ao mercado com um preço menor, aumentando o volume de vendas, a receita da empresa e a satisfação do consumidor. Ressaltando ainda que os custos de uma operação podem ser reduzidos melhorando a eficiência do processo. Assim, a realização de suas atividades de forma apropriada, no menor custo possível, proporciona a uma empresa considerável vantagem competitiva. Dos problemas de Engenharia de Produção que podem ser representados através de um modelo de otimização, o trabalho destaca alguns dos Problemas de Corte e Empacotamento, como são conhecidos na literatura, evidenciando variantes dos clássicos Problema de Corte (Cutting Problem) e Problema de Corte de Estoque (Cutting Stock Problem). Restringido a cortes ortogonais do tipo guilhotina, possivelmente realizados por lâminas ou lasers, para obtenção de produtos retangulares a partir de materiais com o mesmo formato, o Problema de Corte Bidimensional Guilhotinado Restrito (PCBGR) e o Problema de Corte de Estoque Bidimensional Guilhotinado (PCEBG) apresentam-se como objeto de estudo no presente trabalho. Nessa ordem, um problema com relativo destaque na literatura é o Problema de Corte Bidimensional (PCB) que busca determinar um único padrão de corte, com duas dimensões relevantes, comprimento e largura, que minimize a perda de matéria prima gerada ou maximize o lucro total, com o corte dos itens, dá as características necessárias para

14 13 identificar as variantes do PCB. Aos itens, atribui-se um valor de utilidade que pode ser a medida de sua área (PCB sem peso) ou estar relacionado à sua importância em presença aos outros itens (PCB com peso). Uma rotação de 90º nos itens pode ser aceita (PCB com rotação) ou proibida (PCB sem rotação). Os cortes ortogonais podem ser guilhotinados e gerar dois novos retângulos (PCBG) ou não guilhotinados (PCBNG). A quantidade de cada item produzido a partir de cortes guilhotina pode ser restrita (PCBGR) ou ilimitada (PCBGI), e abordagens para estas variantes também são evidenciadas neste trabalho. O número de estágios no padrão de corte está relacionado à quantidade de mudanças permitidas na direção dos cortes guilhotina, ou seja, pode-se admitir apenas k rotações de 90º nas direções destes cortes (k-estagiado) ou não restringir esta quantidade (não estagiado). A Figura 1.1 destaca dois padrões de corte distintos com dois e quatro estágios, respectivamente, e indicando a sequência dos k estágios por Gk. Itens a Produzir Padrão de Corte 1 Padrão de Corte 2 Perda FIGURA 1.1 Problema de Corte de Estoque Bidimensional Guilhotinado Já o PCEBG consiste em determinar como se deve cortar um conjunto de peças retangulares (Objetos) em quantidade suficiente, a partir de cortes ortogonais a um dos lados dessas peças, com o intuito de produzir certa quantidade de peças retangulares menores (Itens), utilizando a menor quantidade possível desses objetos. Com sua grande aplicabilidade em variados setores de produção, anteriormente exemplificados, uma solução ótima para este problema apresentaria quais padrões bidimensionais, produzidos a partir de cortes com guilhotina, devem ser repetidos o mínimo de vezes para atender uma demanda, conforme ilustrado na Figura 1.1. Na tipologia apresentada por Dyckhoff (1990) para os Problemas de Corte e Empacotamento, o PCBGR é apontado pela quádrupla 2/B/O/R, que determina ser um

15 14 problema da classe bidimensional (2), (B) determina a alocação de todos os objetos e uma parte dos itens, (O) delimita o problema a um objeto e relativamente poucos itens, com várias cópias de cada item (R). Já o PCEBG é indicado pela quádrupla ordenada 2/V/I/R, com todos os itens sendo designados a uma seleção de objetos (V) e estes possuindo formatos idênticos (I). Uma nova tipologia, aprimorada a partir desta por Wäscher et al. (2007), na qual os Problemas de Corte e Empacotamento são caracterizados por dimensionalidade, tipo de alocação, variedade dos itens, variedade dos objetos e forma dos itens, também aparece em destaque na literatura e atribui aos respectivos problemas supracitados a seguinte classificação: 2-d Retangular SLOPP (Two-dimensional Rectangular Single Large Object Placement Problem) e 2-d Retangular SSSCSP (Two-dimensional Rectangular Single Stock- Size Cutting Stock Problem). Do ponto de vista prático, o PCBGR e o PCEBG estão presentes no cotidiano das várias empresas do setor de beneficiamento de rochas ornamentais, por exemplo, as encontradas nas regiões Norte e Noroeste Fluminense. As marmorarias, como são conhecidas essas empresas, produzem peças sob encomenda para a construção civil, cortando-se placas de mármore ou granito em pedaços menores. Os cortes nessas placas podem ser arranjados de várias maneiras e, geralmente, produzem retalhos de matéria prima, provenientes dos pedaços que sobram, após o corte das peças desejadas. Nos casos em que a otimização das placas não se faz presente, os retalhos, sobras de matéria-prima que dificilmente são reaproveitadas, acabam influenciando o preço do produto final, devido ao valor irrelevante destes no mercado. Como em muitas dessas empresas, a forma de se determinar este arranjo não é fundamentada em métodos científicos, e sim por métodos, que, baseados apenas na experiência, acabam produzindo retalhos em quantidades indesejáveis, refletindo diretamente no custo final do produto. Portanto, minimizar a perda de matéria prima, ou maximizar o seu aproveitamento, com a melhoria e a eficiência das atividades de corte, pode resultar em economias substanciais vindos a ser um importante diferencial de competitividade para as empresas deste setor. A fácil compreensão destes problemas supracitados esconde a sua real complexidade quando o objetivo é obter soluções rápidas, que atendam às necessidades cotidianas dos setores produtivos em tempo real. De uma forma geral, os Problemas de Corte pertencem à classe de problemas denominada NP-Difícil (GAREY; JOHSON, 1979), em que não é interessante o uso exclusivo de algoritmos exatos para problemas de médio e grande porte. Isto significa que a determinação da solução ótima para todas essas variantes do PCB, assim como o PCEBG correspondente, está relacionada a um processo de otimização combinatória

16 15 intratável do ponto de vista computacional, devido ao grande número de padrões de corte possíveis. Nestes casos, os métodos heurísticos e híbridos são bastante considerados, constituindo-se uma alternativa válida para os respectivos problemas. Uma abordagem clássica para o tratamento dos Problemas de Corte de Estoque (PCE) em geral, é a Geração de Colunas (GC), introduzida por Gilmore e Gomory (1961, 1963, 1965). Para determinar as colunas interessantes no Problema Linear Mestre (PL Mestre), a GC exige a solução dos chamados problemas de corte com peso (subproblema de apreçamento), que buscam por um padrão de corte que maximize o lucro total dos itens produzidos nesse padrão. Na literatura, as técnicas baseadas em GC têm alcançado bons resultados no PCEBG k-estagiado, onde os subproblemas de apreçamento são do tipo PCBGR k-estagiado ou PCBGI k-estagiado. Neste caso, abordagens utilizando híbridos com GC e heurísticas, ou mesmo modelos completos de Programação Inteira Mista (PIM), podem ser conferidas em Cintra et al. (2008), Silva et al. (2010) e Furini et al.(2012). Entretanto, sabe-se que o PCBGR é fortemente NP-Difícil (HIFI, 2004b) e o não estagiado é mais difícil de resolver de forma exata do que o PCBGR k-estagiado ou o PCBGI não estagiado. Existem relativamente poucos trabalhos propondo métodos exatos para a resolução do PCBGR, como os algoritmos exatos propostos por Christofides e Whitlock (1977), Christofides e Hadjiconstantinou (1995), Hifi (1997a), Cung et al. (2000) e Dolatabadi et al. (2012). Algumas abordagens utilizam também Programação Inteira Mista (PIM) como apresentado em Furini et al. (2016). Porém, todos estes métodos ainda apresentam tempos proibitivos nas instâncias consideradas de médio e grande porte. Consequentemente, a utilização de métodos heurísticos e híbridos aparece com uma alternativa plausível e algumas dessas abordagens podem ser conferidas nos trabalhos de Alvarez-Valdés et al. (2002a), Hifi (2004b), Morabito e Pureza (2010). Defronte a esta dificuldade, o trabalho apresenta um estudo sobre a aplicação da técnica Reactive Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP Reativo), juntamente a algoritmos baseados em Programação Dinâmica (PD) e Programação Inteira (PI), para o PCBGR. Com a mesma incumbência, propõe-se reunir as técnicas GC, PD e a metaheurística GRASP na construção de um algoritmo para tratar do PCEBG. Apresentado inicialmente em (VELASCO et al., 2008), as novas ampliações do algoritmo GRASP-2D (G 2D ) são inspiradas nos conceitos GRASP Reativo (PRAIS; RIBEIRO, 2000) para determinação do melhor parâmetro α. Entretanto, a fase de ajustes nesses novos algoritmos reativos vai incorporar o parâmetro ψ, associado à escolha da nova faixa que compõe um padrão de corte. Sendo as ampliações reativas denominadas RG 2Da e

17 16 RG 2Dv para as variantes sem peso e com peso do PCBGR, estas também passam a considerar os casos sem rotação e com rotação via RG 2Dar e RG 2Dvr. Além disso, são realizados melhorias nas faixas que consideram inclusive o reaproveitamento dos subretângulos categorizados como perdas e chamados de dentes. Para fins de validação, os resultados para o caso sem rotação são comparados com os apresentados nos trabalhos de Alvarez-Valdés et al. (2002a), Morabito e Pureza (2010), e Dolatabadi et al. (2012). Sabendo que Christofides e Hadjiconstantinou (1995) propuseram uma PD com relaxação do espaço de estados para obter de limites superiores Z UB fortes para o PCBGR, onde a qualidade desse limite depende de um vetor de pesos q, com dimensão dada pelo total de itens distintos. Para ajustar tais pesos, criaram um algoritmo inspirado no método do subgradiente para relaxação lagrangeana. O presente trabalho propõe o algoritmo dual X, em que os pesos são calculados por PI. Esse algoritmo é provadamente ótimo no sentido de sempre obter os pesos que minimizam o limite superior final alcançado. É proposta também uma generalização da relaxação do espaço de estados que utiliza pesos bidimensionais, para melhorar ainda mais a qualidade dos limites superiores, e o algoritmo dual X2 é apresentado para esse ajuste ótimo dos pesos. O algoritmo primal X2H é outra proposta que consiste em uma heurística primal baseada na adaptação de X2. Assim como os novos algoritmos RG 2D, X2H tem a finalidade de obter um padrão de corte viável que melhore o limite inferior Z LB. Admitindo a possibilidade de que a substituição de itens que apresentam quantidade acima da demanda por outros ainda não produzidos pode gerar uma solução de maior valor, é apresentada uma heurística de viabilização do padrão de corte. Esse processo de viabilização pode ser realizado nos padrões ótimos e subótimos da PD relaxada para algum vetor de pesos q. Finalmente, o método composto pelos algoritmos X, X2 RG 2D e X2H é proposto para resolução do PCBGR, nas variantes que se diferenciam pelo valor de utilidade dos itens e a questão de sua rotação. Chamado de X 2D, este algoritmo é capaz de fornecer certificado de otimalidade a solução de valor Z LB igual a Z UB. Este algoritmo X 2D é testado em 513 instâncias que se dividem nas variantes sem rotação e seus respectivos resultados são comparados com os algoritmos DP_AOG e A1, propostos por Morabito e Pureza (2010) e Dolatabadi et al. (2012). No caso rotacionado, é importante ressaltar que ainda não há resultados disponíveis na literatura para comparação com o algoritmo X 2D. A aplicação conjugada da técnica GC para o PCEBG, com um algoritmo de Programação Dinâmica para o PCBGI e a versão reativa RG 2D para o PCBGR, constitui o algoritmo híbrido GCH 2D, proposto por Velasco e Uchoa (2015). Sabendo que o algoritmo denominado DP, incialmente apresentado por Beasley (1985) para o PCBGI, foi reestruturado

18 17 para o subproblema da GC proposta por Cintra et al. (2008) e caso a solução ótima do PL Mestre não seja inteira, basicamente o processo consiste em utilizar o RG 2D para resolver o problema residual como um PCBGR até que a demanda seja atendida. Para avaliar o desempenho dos algoritmos híbridos GCH 2D e GCH 2Dr, nos casos sem e com rotação, foram realizados testes em 24 instâncias do PCEBG e comparados com os algoritmos CG, CG P, CGR e CGR P apresentados em Cintra et al. (2008). Este trabalho está dividido em 7 capítulos. Além do Capítulo 1 introdutório, duas estruturas lógicas, compreendendo as características essenciais para a classificação dos Problemas de Corte e Empacotamento, segundo Dyckhoff (1990) e Wäscher et al.(2007), são descritas no Capítulo 2. No Capítulo 3, são apresentadas as definições dos Problemas de Corte Bidimensional que caracterizam o PCEBG e o PCBGR. Ainda neste capítulo, são mostradas as dificuldades envolvidas na modelagem destes problemas e uma introdução conceitual do método Geração de Colunas, concluindo com uma revisão bibliográfica que aborda ambos. No Capítulo 4, é apresentada a implementação computacional das ampliações do algoritmo G 2D que culminaram nas suas versões reativas para o PCBGR, com e sem peso ou rotação. Este capítulo inicia-se com os procedimentos característicos da metodologia GRASP e as definições necessárias na arquitetura dos procedimentos que dão origem as faixas horizontais e verticais do padrão de corte guilhotinado. Os novos parâmetros e estratégias de ajuste, definição de uma Lista Restrita de Faixas e suas atualizações e movimentos de melhoria que incluem o reaproveitamento de dentes nas faixas guilhotinas são apresentados com ênfase no decorrer desse Capítulo. Por último, é descrito o pseudocódigo geral do algoritmo RG 2D e confrontados os respectivos resultados computacionais com algoritmos reconhecidos da literatura. Inicialmente no Capítulo 5, é descrito o algoritmo DP para o PCBGI apresentado em (CINTRA et al., 2008), incluindo o algoritmo DDP que retorna um conjunto de pontos de discretização de um padrão canônico. Também é dada a devida ênfase a relaxação do espaço de estados proposta por Christofides e Hadjiconstantinou (1995). Em seguida, os algoritmos duais X e X2 são apresentados de forma a obter limites superiores sempre mais fortes, com os respectivos vetores de pesos da PD relaxada sendo calculados por Programação Inteira. Descreve-se então, a heurística primal X2H e a possibilidade de atualizar os limites inferiores com os respectivos algoritmos RG 2D, nos múltiplos padrões subótimos da PD ou através de uma heurística de viabilização aplicada nos padrões inviáveis gerados por X, X2 e X2H. Sendo o algoritmo X 2D uma composição dos algoritmos supracitados, este é apresentado com

19 18 destaque por ter a capacidade de garantir certificação de otimalidade para soluções do PCBGR, nas variantes com e sem rotação. Ao final desse Capítulo, são expostos os testes computacionais e suas devidas comparações para validação do algoritmo proposto. O Capítulo 6 apresenta o desenvolvimento dos algoritmos híbridos GCH 2D e GCH 2Dr, para o PCEBG com e sem rotação. O Capítulo inicia-se com a apresentação dos fundamentos necessários na arquitetura desses algoritmos, seguido de um pseudocódigo genérico e dos resultados computacionais dos algoritmos relacionados. Finalmente, no Capítulo 7, são apresentadas algumas considerações sobre as contribuições adquiridas com a utilização dos algoritmos RG 2D, X 2D e GCH 2D propostos para otimização dos respectivos PCBGR e PCEBG, além de expor novas sugestões para continuidade da pesquisa.

20 19 2 TIPOLOGIA DOS PROBLEMAS DE CORTE E EMPACOTAMENTO O Problema de Corte consiste em determinar a melhor maneira de produzir um conjunto de peças menores (denominadas itens) efetuando cortes em peças maiores (denominadas objetos). Enquanto, o Problema de Empacotamento consiste basicamente em determinar o melhor arranjo de um conjunto de itens dentro de objetos. Empacotar itens dentro de objetos também pode ser visto como cortes de espaços, sendo estes espaços ocupados por itens ou considerados perdas. De forma recíproca, o problema de corte pode ser encarado como empacotamento de espaços ocupados por itens em espaços ocupados por objetos (DYCKHOFF, 1990). Os Problemas de Corte e Empacotamento, tais como corte de barras de ferro e barrotes de madeira na construção civil, corte de placas de granito nas marmorarias, corte de espumas para colchões e empacotamento de caixas em contêineres estão centrados em objetos e itens definidos por uma, duas ou três dimensões do espaço Euclidiano. De forma análoga, problemas desta categoria podem ter objetos e itens com dimensões abstratas, como por exemplo, o balanceamento de uma linha de montagem com dimensões temporais. Neste caso, o estoque de objetos é definido pelas estações de trabalho com intervalos de tempo fixados e a lista de itens é dada por tarefas específicas com durações que devem ser determinadas. Exceto pela restrição que impõe um ordenamento nas tarefas a cumprir, a estrutura lógica é a mesma encontrada nos problemas de empacotamento. Assim como em Dyckhoff (1990), a Figura 2.1 exibe uma estrutura dos Problemas de Corte e Empacotamento, evidenciando a questão das dimensões espaciais e abstratas. E também, nos exemplos citados são apresentadas algumas das aplicações para os problemas dessa natureza. Em vista da multiplicidade dos Problemas de Corte e Empacotamento nos setores produtivos e da importância desses problemas no planejamento da produção de algumas empresas há um incessante interesse de administradores, economistas, engenheiros, matemáticos, entre outros pesquisadores, em buscar soluções para esses problemas. Com a finalidade de classificar os Problemas de Corte e Empacotamento, identificar características comuns e concentrar pesquisas futuras em problemas de tipos específicos, Dyckhoff (1990) sugeriu em seu artigo uma nomenclatura baseada em uma estrutura lógica. A notoriedade deste trabalho culmina na publicação do livro Cutting and Packing in Production and Distribution, por Dyckhoff e Finke (1992), relacionando esta estrutura lógica junto à realidade dos Problemas de Corte e Empacotamento.

21 20 FIGURA 2.1 Estrutura dos Problemas de Corte e Empacotamento. Esta estrutura lógica inclui características suficientes para especificar o tipo de um problema de corte e empacotamento. A seguir, uma precisa descrição dessas características é apresentada. 2.1 DIMENSIONALIDADE A dimensionalidade é a característica mais importante, já que determina o número de dimensões relevantes, em objetos e itens, na definição de um padrão para o problema. Um padrão corresponde a uma disposição de itens em objetos. Quanto à dimensionalidade, um problema pode ser classificado como: Unidimensional; Bidimensional; Tridimensional; Multidimensional; n½ - dimensional. O problema é unidimensional quando uma única dimensão é relevante para a definição de um padrão. Por exemplo, na indústria de papel, bobinas de comprimento padronizado devem ser cortadas em rolos de vários comprimentos pré-determinados. O problema mencionado anteriormente de balanceamento de uma linha de montagem é um problema unidimensional.

22 21 Quando duas dimensões são relevantes na determinação de um padrão, o problema é bidimensional. No corte de placas de granito em peças menores, nas empresas do setor de beneficiamento de rochas ornamentais (marmorarias), a largura e o comprimento são as medidas relevantes. A Figura 1.1 ilustra padrões de corte para o problema bidimensional. No corte de colchões a partir de blocos de espumas ou no empacotamento de caixas em contêineres, a largura, o comprimento e a altura de objetos e itens são imprescindíveis na resolução do problema. Este problema é dito tridimensional devido às três dimensões relevantes na definição de um padrão. Se o número de dimensões relevantes para definição de um padrão for maior que três, então este problema é multidimensional. Um exemplo de problema de quatro dimensões seria estocar caixas num contêiner por períodos de tempo fixados e ininterruptos. Neste caso, junto ao problema de empacotamento tridimensional, apresenta-se uma quarta dimensão, o tempo de permanência de cada caixa. Os problemas n½ - dimensionais têm n+1 dimensões relevantes na definição de um padrão, sendo n dimensões fixas e uma variável. No cotidiano das gráficas, o corte de lona em rolos, para produção de cartazes de dimensões fixas, é um exemplo de problema 1,5 dimensional. Um padrão de corte para este problema, que apresenta 1+1 dimensões relevantes, é definido em um tecido de largura fixa e comprimento variável, ou seja, com comprimento suficiente para atender a demanda. 2.2 MEDIDAS QUANTITATIVAS Os valores atribuídos às variáveis que indicam o número de objetos e itens em uma solução podem ser: Discretos; Contínuos. Em problemas com dimensões bem definidas, como o caso bidimensional, as variáveis estão condicionadas a assumir valores discretos. Enquanto nos problemas com uma dimensão variável há variáveis assumindo valores contínuos. 2.3 FORMATO DAS FIGURAS Outra característica a ser observada é o formato das figuras de objetos e itens envolvidos no problema. Seja uma figura distinguida por: Forma; Tamanho; Orientação.

23 22 Figuras de mesma forma podem diferir em tamanho ou orientação no espaço relevante. Como por exemplo, no corte de vergalhões para armadura na construção civil (VIEIRA NETO et al., 2013), onde objetos e itens apresentam comprimentos variados, ou no corte de peças retangulares de vidro, onde é permitida uma rotação de 90 graus em objetos e itens. Em problemas com mais dimensões relevantes, as figuras possuem formas regulares, especialmente retangulares ou em blocos, ou irregulares, no caso destas serem assimétricas ou não convexas tipicamente encontradas nas indústrias têxteis e de calçados. O tamanho de uma figura pode ser determinado pela medida de seu comprimento, área ou volume. Este consiste em um importante aspecto, pois o tamanho dos itens em relação aos objetos pode impor dificuldades na resolução de um problema específico. Em um problema bidimensional, o tamanho das figuras pode ser definido pelas suas respectivas áreas. De acordo com o problema, a posição ou orientação de itens em relação a objetos pode ser fixa, admitindo-se apenas 90 graus de rotação ou permitindo-se qualquer orientação. Neste trabalho, também se trata a hipótese de um item qualquer poder ser rotacionado em 90 graus e as respectivas figuras rotacionadas ou não rotacionadas serem consideradas idênticas. Sob essa hipótese, um item retangular de comprimento x e largura y não difere de outro item que possui comprimento y e largura x. 2.4 SORTIMENTO Tanto o formato quanto a diversidade das figuras de objetos e itens são fundamentais na caracterização de um problema. Por exemplo, a indústria de circuito impresso convive com o problema de cortar chapas retangulares (objetos com formatos idênticos) de fibra de vidro para fabricação de placas (muitos itens com formatos distintos) de circuito impresso. 2.5 DISPONIBILIDADE Com respeito à disponibilidade de objetos e itens são considerados três fatores: Limites, superior e inferior, em sua quantidade; Sequência ou ordem; Data de utilização. De acordo com o problema, a quantidade de objetos e itens pode ser restrita ou irrestrita, isto é, limitada ou ilimitada, respectivamente. Em alguns problemas, os padrões são determinados em uma quantidade limitada de objetos com itens em quantidades ilimitadas. Já em outros, deseja-se obter padrões que produzam itens em quantidades limitadas ou não, a partir de uma indefinida quantidade de objetos. Por exemplo, no cotidiano das empresas do

24 23 setor vidraceiro, uma quantidade suficiente de chapas é utilizada na produção de uma determinada quantidade de peças. Nas metalúrgicas, a necessidade de se respeitar certa ordem para objetos e itens, quanto ao tempo na definição de um padrão, é observado quando barras incandescentes cobertas de aço são produzidas, em um processo sequencial e sem retardos. 2.6 RESTRIÇÕES DE PADRÃO Basicamente, as restrições de padrão estão ligadas às características geométricas e operacionais do problema. Estas restrições são esclarecidas e distinguidas em quatro importantes grupos descritos a seguir. i) Os espaços entre os itens em um padrão são extremamente importantes em alguns casos, como por exemplo, no corte de placas de vidro, onde estes espaços resultam em perda de matéria-prima. Outra situação relevante em processos produtivos está relacionada ao desperdício do objeto, ocasionado por um instrumento cortante. Neste caso, geralmente, esta espessura está adicionada às dimensões dos itens encontrados no padrão em questão. ii) A posição dos itens, em relação aos mesmos, ou em relação ao objeto, tem de ser levada em consideração, como no caso do carregamento de produtos frágeis. iii) Podem existir restrições quanto ao número de itens em um padrão, como por exemplo, no empacotamento de bombons de chocolate em caixas para comercialização, onde a quantidade de itens distintos é limitada. iv) O tipo de corte executado e o número de cortes permitidos são essenciais nos problemas em que objetos e itens são retangulares ou em forma de blocos. Em um problema bidimensional, cujo padrão é definido através de cortes guilhotinados e ortogonais, a sua complexidade depende do número de mudanças nas direções de corte (estágios) como também do número de cortes paralelos por estágio. Pode haver padrões resultantes de cortes não ortogonais e guilhotinados, como também, de cortes ortogonais e não guilhotinados. A Figura 2.2 destaca dois tipos de padrões resultantes de cortes ortogonais, com cinco itens em ambos, sendo o padrão de corte guilhotinado configurado com cinco estágios. Ainda nessa figura, os k estágios são indicados por Gk e consideram uma sequência de rotações de 90º na direção dos cortes, paralelas aos lados do objeto.

25 24 Padrão Ortogonal Não Guilhotinado Padrão Ortogonal Guilhotinado Perda FIGURA 2.2 Padrões de Corte Bidimensionais Ortogonais. 2.7 RESTRIÇÕES DE ALOCAÇÃO Em relação à designação de itens para objetos, são evidenciadas as seguintes restrições: Tipo de alocação; Número de estágios; Número, frequência ou sequência dos padrões; Dinâmica de alocação. O tipo de alocação é uma propriedade fundamental na classificação de um problema de corte e empacotamento. O corte de objetos para produção de itens pode ser visto como uma alocação de itens em objetos, onde duas categorias de alocação se destacam na distinção de um problema: i) Típica dos problemas clássicos de corte e empacotamento, a designação de um conjunto de itens a um subconjunto de objetos. ii) Observada no carregamento de pallet, quando um subconjunto de itens é designado a um conjunto de objetos. O número de estágios de um problema está relacionado com a quantidade de passos necessários para definição de um padrão. No problema bidimensional, um padrão pode ser obtido por cortes ou empacotamentos, estagiados (com um número pré-determinado de estágios) ou não estagiados (sem limitação de estágios). Nos processos produtivos, tanto as conexões estabelecidas entre as etapas, como as tecnologias envolvidas nos processos de alocação podem impor restrições relacionadas à

26 25 sequência ou ordem de padrões. Também podem existir limitações quanto ao número de padrões de mesmo tipo ou de tipos distintos. A alocação de itens em objetos pode ser de natureza dinâmica ou estática. Na alocação estática, se os objetos e itens são previamente conhecidos, o processo é dito off-line, caso contrário o processo é on-line. Já no processo dinâmico, em função da não disponibilidade de objetos e itens em um mesmo período, as alocações seguem uma regra préestabelecida que permita a realocação dos itens em objetos. 2.8 OBJETIVOS Um objetivo significa usar um critério a ser maximizado ou minimizado para expressar a dimensão da eficácia obtida na solução de um problema. Alguns critérios a serem satisfeitos em Problemas de Corte e Empacotamento são listados abaixo. i) Minimizar a perda de material nos processos de corte ou empacotamento. ii) Minimizar os custos envolvidos no processo produtivo, como por exemplo, despesas com armazenagem. iii) Maximizar os lucros com a eficácia e a qualidade dos processos. 2.9 ESTADO DA INFORMAÇÃO E VARIABILIDADE Determinar se os dados de um problema são determinísticos ou estocásticos, ou ainda, se estes são exatos ou podem ser variáveis, são características relevantes não apenas para os Problemas de Corte e Empacotamento. Por exemplo, uma demanda de determinados itens ordenada em um pedido geralmente possui dados determinísticos podendo ser variável caso certas mudanças sejam admitidas pelos clientes NOMENCLATURA DE DYCKHOFF As características dimensionalidade, sortimento e restrições de alocação constituem uma base para elaboração de uma nomenclatura que associe os Problemas de Corte e Empacotamento afins, além de influenciarem diretamente na escolha e na complexidade do método de solução. A tipologia de um problema é indicada através da quádrupla, dimensionalidade/ tipo de alocação/ sortimento de objetos/ sortimento de itens, e cada característica é subdividida em determinados tipos que são indicados por letras, conforme o quadro 2.1 a seguir.

27 26 QUADRO 2.1 Nomenclatura da Tipologia. Dimensionalidade (1) Unidimensional (2) Bidimensional (3) Tridimensional (N) N-dimensional, com N > 3 Sortimento de Objetos (O) Um objeto (I) Objetos de formatos idênticos (D) Objetos de formatos distintos Tipo de Alocação (B) Todos os objetos e uma seleção de itens (V) Uma seleção de objetos e todos os itens Sortimento de Itens (F) Poucos itens de diferentes formatos (M) Muitos itens de muitos formatos distintos (R) Muitos itens de formatos distintos em relativa quantidade (C) Itens de formatos congruentes Os agrupamentos formados por todos os tipos destas quatro características indicam 96 tipos distintos de Problemas de Corte e Empacotamento, onde cada agrupamento consta de uma quadrúpla ordenada α/β/γ/δ, em que α representa o número de dimensões relevantes do problema, β o tipo de alocação considerada com relação a objetos e itens, γ o sortimento dos objetos envolvidos e δ o sortimento dos itens requisitados. Por exemplo, a notação 2/V/I/R é utilizada para indicar o PCEBG, enfatizado neste trabalho, que é do tipo bidimensional (2), com todos os itens sendo designados a uma seleção de objetos (V), objetos estes de formatos idênticos (I) e itens de formatos distintos em relativa quantidade (R). No quadro 2.2 são listados alguns dos clássicos da literatura atribuídos à classe dos Problemas de Corte e Empacotamento, com as suas respectivas quadrúplas, como o PCBGR que é apontado pela quádrupla 2/B/O/R, onde (B) determina a alocação de todos os objetos e uma parte dos itens e (O) delimita o problema a um objeto. É importante ressaltar, também, que uma nova tipologia, aprimorada a partir dessa por Wäscher et al. (2007), onde os Problemas de Corte e Empacotamento são caracterizados por dimensionalidade, tipo de alocação, variedade dos itens, variedade dos objetos e forma dos itens. Segundo Wäscher et al. (2007), as modificações permitiram que cada problema tivesse uma codificação única, de acordo com a sua modelagem e os respectivos métodos, e atribui aos objetos deste estudo a seguinte classificação: 2-d Retangular SSSCSP (Twodimensional Rectangular Single Stock-Size Cutting Stock Problem) e 2-d Retangular SLOPP (Two-dimensional Rectangular Single Large Object Placement Problem).

28 27 QUADRO 2.2 Tipologia de alguns problemas. Problema Tipo Problema da mochila clássico Problema da mochila multidimensional Problema do carregamento de pallet Problema do carregamento de veículos Problema do carregamento de contêiner Problema do bin packing clássico Problema do bin packing dual Problema do bin packing bidimensional Problema do cutting stock clássico Problema do cutting stock bidimensional 1/B/O/ /B/O/ 2/B/O/C 1/V/I/F ou 1/V/I/F 3/V/I/ ou 3/B/O/ 1/V/I/M 1/B/O/M 2/V/D/M 1/V/I/R 2/V/I/R Problema do cutting stock generalizado 1/ / /, 2/ / / ou 3/ / / Problema do balanceamento de uma linha de montagem Problema de alocação de memória Problema de alocação de tarefas em multiprocessador Problema de câmbio monetário Problema de investimento financeiro em multiperíodos 1/V/I/M 1/V/I/M 1/V/I/M 1/B/O/R N/B/O/

29 28 3 PROBLEMAS DE CORTE BIDIMENSIONAL Em diversos processos produtivos encontram-se atividades de corte de material, que são efetuadas em objetos retangulares para atender a uma demanda de itens retangulares menores, de maneira que o desperdício de material durante este processo seja minimizado. Este problema caracteriza-se como bidimensional quando duas dimensões são fundamentais na sua resolução, ou seja, a largura e o comprimento dos objetos e itens envolvidos no processo são essenciais na definição de um padrão de corte. A geração de padrões de corte para o problema bidimensional, envolvendo objeto e itens que a presentam forma regular, isto é, de formato retangular, aparecem com relativo destaque na literatura deste problema. Porém, em alguns casos, os itens podem ser irregulares, ou seja, não apresentam formato retangular. A Figura 3.1 exibe alguns exemplos de contornos de itens que possuem forma regular e irregular. Forma Regular Forma Irregular FIGURA 3.1 Itens Regulares e Irregulares. De acordo com a geometria dos itens envolvidos e as características operacionais do problema, se os itens apresentam formato retangular, um padrão de corte pode ser obtido através de cortes guilhotinados ou não guilhotinados. Esses padrões guilhotinados são distinguidos em ortogonais e não ortogonais. Se um corte ao ser realizado em um objeto retangular gerar outros dois retângulos, este é chamado de guilhotinado ortogonal, quando não, é denominado de guilhotinado não ortogonal. A fim de delimitar o problema, os cortes efetivados devem ser paralelos aos lados do retângulo, conforme é apresentado na Figura 3.2, e um padrão de corte guilhotinado é aquele definido por série de cortes guilhotinados verticais ou horizontais.

30 29 Corte Vertical Corte Horizontal Corte Guilhotinado FIGURA 3.2 Corte Guilhotinado Ortogonal. Na utilização de cortes guilhotinados, estes ainda são classificados em: Cortes estagiados; Cortes não estagiados. Os cortes são estagiados se houver restrições, provenientes das características operacionais do problema, que limitam o número de estágios permitidos para determinação de um padrão de corte. No entanto, se o número de estágios em um padrão de corte é irrelevante na solução de um problema, os cortes são ditos não estagiados. A Figura 3.3 ilustra um processo de execução de cortes guilhotinados, onde os cortes efetuados em uma única direção definem um estágio e a cada mudança na direção dos cortes, um novo estágio é estabelecido. 1º Estágio 2º Estágio Itens Produzidos P2 P2 P2 P2 P2 P2 P1 P1 P3 P1 P1 P3 P1 P1 P3 FIGURA 3.3 Cortes Guilhotinados em Dois Estágios. Assim como no cotidiano das empresas, os valores associados aos objetos e itens podem estar relacionados a grandezas de natureza quantitativa ou qualitativa distintas. Neste

31 30 trabalho, os cortes guilhotinados são realizados em objetos idênticos, com suas dimensões previamente padronizadas, onde não se fez necessário discutir seu valor. Porém, aos itens têm-se associado um valor de utilidade que pode ser a medida de sua área ou estar relacionado à sua importância em presença aos outros itens. Com relação ao número de itens existentes em um padrão de corte, o problema pode ser restrito ou irrestrito. Se não houver restrições de limitação associadas ao número de itens, o problema é irrestrito. Caso contrário, o problema é dito restrito. A imposição de um limite superior à quantidade de um determinado item no padrão de corte, assim como o desimpedimento relativo ao número de estágios permitidos, acrescenta considerável dificuldade à resolução deste problema. Para o melhor entendimento dos problemas objeto de estudo deste trabalho, as seções seguintes discriminaram as especificidades do PCEBG e do PCBGR. 3.1 PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO Com os padrões de corte bidimensionais guilhotinados definidos e uma quantidade de objetos em estoque suficiente para atender a uma demanda de itens pré-estabelecida, o PCEBG consiste em escolher quais e quantos destes padrões devem ser executados para que todos os itens sejam produzidos. É importante ressaltar que esta seleção dos objetos pode ser modelada como um problema de Programação Linear Inteira. A formulação clássica para o PCEBG a seguir, consiste em determinar o número de vezes x j que cada padrão de corte j é utilizado, de forma a atender a demanda d i, consumindo-se o menor número possível de objetos. Min n j=1 n j=1 j x j s.a: a x d, i = 1,...,m (3.1) x ij j i 0 e Inteiro, j = 1,...,n Onde: x j é a variável que representa o total de vezes que o padrão de corte j é utilizado; a ij é a constante que indica número de itens i gerados no padrão de corte j; d i é a constante que indica a demanda de itens i; m é a constante que indica o número de itens distintos; n é a constante que indica o número total de padrões de corte.

32 31 A condição que o modelo impõe às variáveis x j de não assumir valores contínuos torna o problema difícil de ser resolvido, até para instâncias relativamente pequenas. Mas mesmo resolver a relaxação contínua do modelo pode não ser fácil. Se a quantidade de itens diferentes, encontrados em problemas de médio e grande porte, promove um aumento considerável no número n de padrões viáveis e para encontrar a solução ótima da relaxação contínua é preciso conhecer todos os padrões de corte, então a utilização do método simplex para resolução deste problema se torna inviável nestas circunstâncias, visto que o número de colunas do modelo pode ultrapassar facilmente a casa dos bilhões. Esse impedimento pode ser contornado com o método conhecido como Geração de Colunas (DANTIZG; WOLFE, 1960). Este método pode ser visto como uma extensão do Simplex Revisado, onde o apreçamento (pricing) das variáveis é realizado através da resolução de um subproblema, e foi primeiramente introduzido por Gilmore e Gomory (1961, 1963) para versão unidimensional desse problema. De forma geral, a GC é iniciada montando-se o Problema Linear Mestre (PL Mestre), que corresponde ao modelo 3.1 sem a restrição de integralidade e contendo apenas um pequeno subconjunto das variáveis, correspondendo a alguns dos muitos padrões de corte viáveis. Por exemplo, este subconjunto inicial pode ser formado apenas pelos padrões de corte homogêneos, onde um único item é colocado o maior número de vezes possível. A GC baseia-se na utilização do método do simplex revisado, onde, a cada iteração, é gerado e inserido um novo padrão desde que ele possa melhorar o valor da função objetivo. Caso contrário, a solução corrente relaxada é ótima. Sendo o problema de minimização, deve-se buscar por novos padrões que correspondam as variáveis com custo reduzido negativo. Sejam Onde: c j = 1 П é o vetor dos multiplicadores duais; z j = c B B -1 m a j z j = П a j z j = i=1 π i a ij c j é o coeficiente da variável j na função objetivo no PL Mestre; c B é o vetor de coeficientes das variáveis básicas na função objetivo no PL Mestre; B -1 é a inversa da matriz dos coeficientes das variáveis básicas nas restrições no PL Mestre; a j é a coluna da variável j na matriz dos coeficientes do PL Mestre e a ij é o coeficiente na linha i nessa coluna.

33 32 O custo reduzido de uma variável j é dado por c j - z j. O objetivo de selecionar essas melhores colunas ou padrões com custo reduzido negativo resulta no seguinte subproblema: Min (1 - π y ) m i=1 t [ y,..., y ] i 1 m i s.a: é um padrão viável (3.2) y i 0 e Inteiro Onde: y i é a variável que representa o número de itens i no padrão de corte; π i é o multiplicador da restrição i no PL Mestre. É importante ressaltar que no PCEBG tratado neste trabalho, o subproblema 3.2 seria apenas um PCBGI com peso. Ainda assim, é dada a devida ênfase ao PCBGR, pois este além de ser resolvido pelos algoritmos propostos, também é fundamental na resolução da instância residual obtida após o arredondamento da solução ótima do PL Mestre. A relaxação contínua do modelo (3.1) costuma ser muito forte, no sentido em que o limite inferior obtido costuma ser muito próximo da solução ótima. Para o caso do PCE Unidimensional, antes do trabalho de Marcote (1986) não se conhecia uma única instância em que esse limite inferior arredondado para cima não fosse igual ao valor da solução ótima. Depois disso, Scheithauer e Terno (1995) propuseram a seguinte conjectura, conhecida como Modified Integer Round-Up Property (MIRUP): Conjectura MIRUP (para o caso unidimensional). O limite inferior do modelo 3.1 arredondado para cima está no máximo uma unidade abaixo do valor da solução ótima inteira. Até hoje, a maior diferença conhecida entre o limite inferior e a solução ótima é de 1, (RIETZ et al., 2002). Entretanto, apesar de um grande esforço de pesquisa, ainda não foi possível provar essa conjectura. Não foi publicada uma conjectura equivalente para qualquer variante do PCE Bidimensional, mas o autor desta tese desconhece a existência de alguma instância que mostre que ela não é verdadeira. 3.2 PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL GUILHOTINADO RESTRITO O PCBGR consiste em determinar a melhor forma de se gerar uma quantidade de itens menor ou igual a uma demanda pré-estabelecida, realizando cortes ortogonais do tipo

34 33 guilhotinado em um objeto também retangular e de dimensão insuficiente para atender toda a demanda. Diferentemente do problema já apresentado, o PCBGR é abordado na literatura como uma seleção de itens para um objeto. Seja o objeto (C, L), de comprimento C e largura L, n itens com demanda d i e dimensões fixas p i = (c i, l i ), com i = 1,...,m. Uma solução ótima do PCBGR consiste em determinar o melhor arranjo destes itens, que não extrapolem as dimensões do objeto, nem apresentem superposição dos mesmos, por meio de cortes guilhotinados, respeitando os limites d i. Então, esta seleção de itens, que atribui o maior somatório de utilidade a um padrão de corte restrito, pode ser descrito pelo seguinte modelo analítico. Max m i=1 v y i t [ y,..., y ] i s.a: é um padrão viável (3.3) 1 m y 0 i e Inteiro Onde: y i é a variável que representa o número de itens i produzido no padrão de corte; v i é a constante que indica o valor de utilidade do item i. A viabilidade de um padrão de corte depende das restrições geométricas e operacionais envolvidas em cada problema. Diante da dificuldade de se apresentar uma formulação que utiliza cortes guilhotinados não estagiados para o PCBGR, são desenvolvidos nos próximos Capítulos algoritmos primais e duais, utilizando as técnicas GRASP, PD e PI, para a resolução do problema supracitado, com estratégias que se distinguem pela forma como é determinado o valor de utilidade e a permissão por rotação dos itens. 3.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Diversos pesquisadores têm se dedicado a buscar soluções para os problemas de corte de estoque. Alguns trabalhos, referindo-se ao problema abordado serão citados seguindo uma evolução cronológica. Em trabalhos pioneiros, Gilmore e Gomory (1961, 1963) propuseram o procedimento Geração de Colunas (GC) para obtenção de soluções aproximadas com garantia de qualidade para o PCE Unidimensional. Para a resolução eficiente do subproblema da mochila (equivalente ao problema de corte unidimensional), Gilmore e Gomory apresentaram em 1961, uma PD e, em 1963, um algoritmo de enumeração lexicográfica. Gilmore e Gomory (1965) trataram do PCEBG restrito a dois e três estágios aplicado ao corte de rolos de papel. Nesse trabalho, o subproblema de corte é decomposto em duas

35 34 etapas que são resolvidas pelo algoritmo lexicográfico. Na primeira etapa, são produzidas faixas ótimas, maximizando o valor dos itens que são encaixados em uma faixa com largura l j (l j L), e na segunda etapa, as faixas são selecionadas e arrumadas em um retângulo (C, L), com o intuito de gerar um padrão de corte com maior valor possível. Com respeito à geração de padrões em dois ou três estágios, em dois estágios é imposto que os itens pertencentes às faixas tenham larguras iguais, e em três estágios é necessário apenas que a largura dos itens que compõem a faixa (C, l j ) não seja superior à largura l j da faixa. Já em Gilmore e Gomory (1966), foi apresentada uma rotina fundamentada em PD, que gera padrões guilhotinados para o PCE Bidimensional k-estagiado. Como ainda ocorre, a PD apenas pode ser aplicada de forma eficiente nos casos em que o número de vezes que um item pode ser produzido em um padrão de corte não está limitado, ou seja, são problemas irrestritos. Herz (1972) propôs uma alteração na PD apresentada por Gilmore e Gomory (1966), redefinindo as funções recursivas para determinar o melhor padrão de corte na resolução do PCBGI. Segundo Oliveira e Ferreira (1993), as melhorias feitas por Herz (1972) e posteriormente por outros pesquisadores não compensam o acréscimo de dificuldade na implementação desses algoritmos de PD, nem suprime o verdadeiro problema do algoritmo de Gilmore e Gomory, ou seja, continuam não sendo praticáveis para instâncias de médio ou grande porte do problema. Como constatado a seguir no presente trabalho, isso não é mais verdade. Atualmente, algoritmos de PD são capazes de resolver bem instâncias com dimensões bastante razoáveis. Utilizando um algoritmo de busca em árvores, que emprega uma rotina baseada no problema de transporte, Christofides e Whitlock (1977) sugeriram um método exato para resolução do PCBGR que utiliza PD junto a um procedimento para a avaliação de nós. Neste caso, cada nó determinado por um conjunto de itens cortados, a localização do próximo corte a ser efetuado e os ramos da árvore são definidos com as condições impostas para realização de um corte guilhotinado. Wang (1983) apresenta dois métodos combinatórios que geram padrões de corte a partir de uma sequência de construções horizontais e verticais em estruturas resultantes da composição dos itens requeridos. Estas estruturas são produtos do agrupamento dos itens na horizontal ou na vertical. Com a finalidade de diminuir o número de subconjuntos de estruturas armazenados, adota-se um limite para o percentual de perda aceitável em cada subconjunto. Desta forma, as abordagens heurísticas propostas nesse trabalho são clássicas na literatura do PCBGR.

36 35 Beasley (1985) propôs uma formulação baseadas em PD para o PCBGI que, diferentemente das propostas feitas por Gilmore e Gomory (65) e, posteriormente, por Christofides e Whitlock (1977), não restringe o número de estágios no padrão de corte. Essa fórmula de recorrência é de grande importância no desenvolvimento dos algoritmos descritos neste trabalho para o PCEBG e, portanto, será apresentada de forma mais detalhada no Capítulo 5. Oliveira e Ferreira (1990) introduzem modificações no algoritmo desenvolvido por Wang, melhorando o desempenho. O algoritmo Wang Modificado (MWA) é o resultado de uma alteração no nível de aspiração, isto é, no critério de rejeição de soluções indesejáveis. Desta forma, o algoritmo avalia a perda associada a cada solução parcial construída (padrão embrionário). Caso este valor seja maior que o limite estabelecido, a solução parcial é rejeitada. O PCBGI é tratado por Morabito, Arenales e Arcaro (1992) adotando a representação grafo E/OU, apresentada anteriormente em Morabito et al. (1989), para construção de soluções viáveis do referido problema. Um percurso completo no grafo supracitado representa uma sequência de cortes guilhotinados (arcos) a ser efetuada no objeto original, produzindo novos retângulos (nós) de forma a gerar uma solução viável para o problema. O caminho a ser escolhido é aquele que maximiza o valor dos itens gerados e, portanto, representa o melhor padrão de corte produzido. Nesse trabalho, a proposta de uma busca híbrida, combinando as estratégias clássicas de busca depht-first e hill-climbing com procedimentos heurísticos específicos, conseguem diminuir significantemente os branchings e, em consequência, o tempo de execução. Um procedimento de busca em grafos E/OU invertido foi apresentado por Alvarenga e Daza (1992) para o PCBGR. A composição entre retângulos, tal como empregado no algoritmo de Wang, foi representada por um grafo E/OU invertido, sendo que cada estrutura equivale a um nó e cada agrupamento entre as estruturas representa um arco. Os nós são agrupados dois a dois para gerar um terceiro. Assim, um par de nós dá origem a dois novos nós considerando a geração de um agrupamento horizontal e um vertical. Quando comparado ao algoritmo Wang Modificado, apresentou vantagens, tanto em relação à memória requerida como em número de operações. Os algoritmos heurísticos Busca Tabu e Simulated Annealing são apresentados por Amaral (1994) para tratar o PCBGR. Com o objetivo de produzir padrões, de uma forma ótima, esta abordagem permite aceitar padrões de corte inviáveis como soluções na busca do melhor padrão. Sendo assim, uma penalidade é inserida na função objetivo, de forma a

37 36 conduzir o procedimento para uma solução viável. Para ilustrar a efetividade dos algoritmos propostos, foram apresentados resultados computacionais, descrevendo seus respectivos desempenhos para alguns exemplos gerados aleatoriamente e outros extraídos de trabalhos considerados na literatura. As instâncias, assim como os resultados apresentados pelos algoritmos Busca Tabu e Simulated Annealing, foram utilizadas para validar a versão original do algoritmo G 2D (VELASCO, 2005), que será abordada no Capítulo 4. Christofides e Hadjiconstantinou (1995) apresentam algoritmo de busca em árvores para resolução do PCBGR, que é um melhoramento do algoritmo proposto por Christofides e Whitlock (1977). Esse algoritmo exato diminui o espaço de soluções a ser examinado, utilizando um limite superior proveniente de uma relaxação do espaço de estados da formulação de PD para o problema. Como o limite superior dessa PD relaxada depende do vetor de pesos q, um algoritmo inspirado no método do subgradiente foi proposto para obter bons pesos. Os resultados obtidos indicam que este procedimento executa razoavelmente bem problemas de porte médio e apresenta um desempenho computacional bem superior à proposta de Christofides e Whitlock. Em Daza, Alvarenga e Diego (1995) foi proposto um algoritmo exato para tratar o PCBGR. Uma generalização dos algoritmos apresentados por Wang (1983) e Oliveira e Ferreira (1990) foi usada para definir o algoritmo AAO*, que é um método de busca sobre grafos E/OU aditivo. Esses grafos são usados para representar uma combinação entre as estruturas, garantindo a viabilidade do padrão a ser gerado. O algoritmo AAO* usa informação futura para orientar a busca no espaço de soluções. Para isto, uma função é definida como a medida aproximada da perda futura associada a uma solução parcial. Fazendo uso dessa função, denominada função heurística, é possível analisar várias alternativas percorrendo o domínio do problema parcialmente. Esse método é um resultado importante porque, por meio de uma representação adequada, pode ser usado não somente para resolver o PCBGR, mas também resolver outros problemas tão difíceis. Uma abordagem em grafo E/OU para o PCBGR estagiado foi proposta por Morabito e Arenales (1996). Essa proposta consiste em representar padrões de corte como caminhos completos no grafo E/OU, onde os nós representam os retângulos provenientes do objeto e os arcos representam os cortes guilhotinados, respeitando o número máximo de estágios. Além do fato da abordagem em grafo E/OU poder controlar restrições importantes, esse procedimento pode ser facilmente estendido para resolver o Problema de Empacotamento Tridimensional.

38 37 Em um trabalho pioneiro, Vieira Neto (1999) utilizou a técnica GRASP na resolução do PCE Unidimensional. Como base para o desenvolvimento do algoritmo GRASP, foi utilizada a técnica heurística First Fit Decreasing (FFD). Na implementação da fase de construção do algoritmo proposto por Vieira Neto, foi criada a estratégia de compor a Lista Restrita de Candidatos aplicando o parâmetro de aleatoriedade ao valor dado por uma função gulosa, que retorna o comprimento do maior item com demanda não atendida. Utilizando dados de problemas reais e da literatura, foram executados testes computacionais que permitiram a comparação entre a FFD e a GRASP. Demostrando assim, a eficiência do algoritmo GRASP na otimização de cortes unidimensionais. Cung, Hifi e Le Cun (2000) desenvolveram um algoritmo Branch-and-Bound, que é uma nova versão do algoritmo proposto por Hifi (1997a) para o PCBGR. Para melhorar o desempenho do algoritmo, foi aumentado o limite inferior inicial, diminuindo inicialmente o espaço de busca. Também se tentou aperfeiçoar o limite superior efetuado a cada nó desenvolvido na árvore, aplicando algumas combinações simples e eficientes. Além disso, foram introduzidas novas estratégias simétricas usadas para negligenciar alguns padrões de corte duplicados. Inspirados na busca de um melhor desempenho computacional dos métodos de busca orientada, Parada, Pradenas e Solar (2000) sugeriram um método híbrido para resolução do PCBGR e, também, da variante não guilhotinada. O algoritmo reuniu elementos construtivos dos métodos de busca informada e elementos evolutivos dos algoritmos genéticos. A proposta consiste em utilizar ramificações reguladas na geração dos nós intermediários, armazenando as populações de nós que evoluíram segundo os princípios envolvidos nos algoritmos genéticos. Em Alvarez-Valdés, Parajón e Tamarit (2002a), foi proposto um sofisticado algoritmo Busca Tabu (TS500), para tratar instâncias de grande porte do PCBGR, que obtém resultados de alta qualidade em tempos computacionais moderados. Também foram apresentados mais dois algoritmos, um GRASP puro muito rápido que retorna bons resultados e outro que utiliza a GRASP com Path Relinking (GR/PR), tanto para problemas restritos como irrestritos. Para auxiliar na construção dos padrões de corte, foram propostos dois algoritmos heurísticos, baseados em limites superiores simples (BK1 e BK2) que são obtidos resolvendo um problema de mochila. A fase de melhoria está focalizada na fusão de cada retângulo desperdiçado, isto se possível, com um item adjacente, para criação de um novo retângulo que poderia ser cortado com maior valor. Em tal processo, dois retângulos são consideramos adjacentes se eles tiverem um lado em comum. O critério de parada utilizado

39 38 pelo algoritmo GRASP é um determinado número de iterações sem aperfeiçoar a melhor solução conhecida. Os resultados computacionais serão explorados no Capítulo 4 para fins de comparação com a versão reativa do algoritmo G 2D. O estudo computacional apresentado por Alvarez-Valdés, Parajón e Tamarit (2002b) considerou o PCEBG com múltiplos objetos sendo abordado pela técnica GC, onde a cada iteração um padrão de corte é obtido como solução de um subproblema. Na resolução do subproblema foi utilizada a técnica de PD proposta por Beasley (1985) e, também, três heurísticas baseadas nas metodologias GRASP e Busca Tabu. Para obter a solução inteira a partir da solução ótima do PL Mestre, segundo o clássico processo de Gilmore e Gomory, foram considerados três procedimentos: arredondamento para cima, truncamento na árvore Branch-and-Bound e a solução do problema residual. Os resultados demostraram que as melhores soluções foram obtidas com a PD de Beasley (1985), com considerável custo computacional. Vieira Neto (2004) apresentou três algoritmos baseados na técnica GRASP, sendo que dois foram desenvolvidos com a metodologia GRASP com filtro, para o PCE Unidimensional. Esse trabalho teve como escopo avaliar a independência entre as soluções finais e as soluções iniciais construídas, assim como a influência do parâmetro de aleatoriedade nas soluções finais. Os algoritmos foram testados computacionalmente, utilizando instâncias geradas aleatoriamente e instâncias práticas retiradas da indústria. Os testes da GRASP com filtro apresentaram resultados superiores aos obtidos pela heurística FFD. Hifi (2004b) propõe um algoritmo híbrido que utiliza a técnica hill-climbing de busca em profundidade combinada com alguns procedimentos baseados em PD para tratar o PCBGR, nos casos com e sem peso conferido aos itens. Com o limite inferior calculado a partir da resolução de uma série de problemas da mochila, para construção das faixas horizontais e verticais, os autores afirmam que a aplicação de estratégias hill-climbing promovem ganho computacional em tempo e qualidade. Os resultados computacionais foram superiores aos mostrados em Alvarez-Valdés et al. (2002a). Com a metodologia GRASP sendo utilizada na composição de faixas horizontais e verticais do padrão de corte, o algoritmo GRASP-2D (G 2D ) foi proposto por Velasco (2005) para resolver simultaneamente o PCBGR e o PCEBG, no caso não estagiado, sem peso e admitindo a rotação dos itens. Com o intuito de validar a heurística proposta, as soluções dos testes realizados foram comparadas as soluções produzidas com algoritmos Busca Tabu e Simulated Annealing, propostos por Amaral (1994) para resolver PCBGR. Os resultados

40 39 foram bastante significativos, demonstrando que a GRASP pode ser aplicada com sucesso para o PCBGR. Cui (2007) apresenta um algoritmo que combina as técnicas de recursão com a abordagem Branch-and-Bound para resolução do PCBGI sem rotação, retornando a solução denominada padrão SB (simple block). Inicialmente é selecionado um item denominado principal, colocado no canto inferior esquerdo do objeto. Sendo que, a cada corte no objeto é produzida apenas uma faixa SB. Adota-se um limite superior externo para podar alguns ramos pouco promissores durante o processo de busca. Os resultados são obtidos em tempos computacionais razoáveis e indicaram que o algoritmo é eficiente. Chen (2008) apresenta um algoritmo heurístico recursivo para o PCBGR sem rotação. Com uma estratégia que consiste em dividir o objeto em subretângulos menores, efetuando cortes horizontais ou verticais, a partir de cada item selecionado e posicionado no canto inferior esquerdo. O algoritmo utiliza como limite superior o valor da melhor solução do PCBGI, obtida com o algoritmo recursivo apresentado por Cui (2007). Os resultados computacionais em instâncias da literatura foram satisfatórios na comparação com a Busca Tabu proposta por Alvarez-Valdés et al. (2002a) e o híbrido TDH2 de Hifi (2004b). Cintra, Miyazawa, Wakabayashi e Xavier (2008) apresentou um artigo que trata das variantes do PCBGI, com e sem limitação de estágios, do PCEBG considerando um único objeto e múltiplos objetos e o problema 1,5 dimensional, conhecido na literatura como strip packing, todos admitindo também a rotação dos itens. Em destaque, a partir de uma modificação na fórmula de recorrência proposta por Beasley (1985) que, juntamente com os pontos de discretização definidos por Herz (1972), propuseram o algoritmo Dynamic Programming (DP), que confirmou sua eficiência ao produzir a solução ótima de uma instância clássica do PCBGI até então em aberto. O algoritmo DP é de grande importância no presente trabalho e será apresentado com mais detalhes no Capítulo 5. Considerado uma importante referência da literatura do PCEBG com um objeto, os resultados obtidos com os algoritmos GC propostos para este problema são confrontados no presente trabalho. Morabito e Pureza (2010) apresentam um procedimento heurístico que emprega PD e busca em grafo E/OU para resolução do PCBGR, retratando as variantes que os itens podem ou não ter seu valor igual à medida de sua área. O método consiste em combinar a formulação dinâmica proposta por Christofides e Hadjiconstantinou (1995), com a abordagem de busca em grafo E/OU e uma heurística de viabilização para produzir padrões de corte não estagiado. O excelente desempenho desse algoritmo foi comprovado a partir das comparações com os algoritmos propostos por Fayard et al. (1998), Alvarez-Valdés et al. (2002a) e Hifi (2004b) e

41 40 dos certificados de otimalidade para as respectivas instâncias teste. Além disso, tais resultados computacionais são utilizados neste trabalho com o propósito de validar as respectivas versões propostas dos algoritmos RG 2D e X 2D. Em Silva, Alvelos e Carvalho (2010), para o PCEBG limitado a dois e três estágios, foi proposto um modelo de PI. Em tal modelo, considerado uma extensão do one-cut model proposto por Dyckhoff (1981) para o PCE Unidimensional, as colunas correspondem aos possíveis cortes no objeto e as respectivas variáveis representam o número de vezes que o corte é realizado. Um algoritmo ficou responsável por fornecer como dado de entrada do modelo um conjunto com todos os cortes possíveis para o modelo. Nessa proposta, obtiveram-se os ótimos da maioria das instancias, limitando-se o tempo de execução em duas horas, também mostrou eficiência quando comparado com os modelos de propostos por Lodi e Monaci (2003) e Puchinger e Raidl (2007), para os casos de dois e três estágios, nesta ordem. Furini, Malaguti, Durán, Persiani e Toth (2012) consideraram o PCEBG, onde os itens são obtidos a partir de cortes, em dois estágios, realizados em objetos de tamanhos diferentes. Nesse trabalho, foi proposto um algoritmo heurístico baseado na técnica GC, com o subproplema sendo tratado como um Problema da Mochila Bidimensional com cortes guilhotinas em dois estágios. Para resolução do problema da mochila supracitado, os autores evidenciam a definição de um modelo de PIM, assim como um procedimento heurístico baseado em PD. Os resultados computacionais, para os casos com e sem rotação dos itens, demostraram a eficácia da proposta quando comparados com Cintra et al. (2008). Em Dolatabadi, Lodi e Monaci (2012), são apresentados dois algoritmos exatos para o Problema da Mochila Bidimensional Guilhotinada sem rotação. O algoritmo A1 encontra as melhores soluções em recursões que fazem busca exaustiva no espaço de soluções. Entretanto, não é completo porque precisa de um limite inferior e outro superior, ambos provenientes de algum algoritmo externo. Assim, estes limitantes são tidos como dados de entrada nesse algoritmo. Por exemplo, nas instâncias de grande porte e indicadas pela sigla APT, os respectivos limites são encontrados em (HIFI, 2004b) e (CHEN, 2008). Nas demais instâncias teste, uma heurística aleatorizada de múltiplas descidas baseada no método FFD obtém o limite inferior e o superior é dado pelo menor valor entre os valores do padrão ótimo não guilhotinado e do irrestrito. Esse algoritmo exato resolve a maioria das instâncias clássicas de forma bem rápida, mas pode não melhorar seu limite inferior em outras. É importante destacar que alguns dos seus melhores resultados são comparados com os algoritmos propostos RG 2D e X 2D.

42 41 Furini, Malaguti e Thomopulos (2016) propuseram um algoritmo para o Problema da Mochila Bidimensional Guilhotinada não estagiado em que os cortes são modelados em PIM. Nesse modelo, cada decisão de corte é representada pelo terno ordenado (q, j, o), onde q é à distância do canto inferior esquerdo, de um objeto ou subretângulo de tipo j, no qual um corte com orientação o é realizado. Sua função objetivo determina o valor de utilidade total dos itens produzidos e o conjunto de restrições impõe: que o número de vezes que determinado subretângulo é cortado não exceda o número de vezes que o mesmo subretângulo é obtido em outros subretângulos; o objeto é usado uma única vez; e a demanda dos itens não seja excedida. O modelo tem complexidade pseudo-polinomial, mas é apresentada uma discussão sob quais condições o número de variáveis pode ser reduzido. No Quadro 3.1 encontra-se uma síntese dos artigos revisados que tratam as variantes evidenciadas do Problema de Corte de Estoque. Com o mesmo propósito, o Quadro 3.2 designa-se aos trabalhos que abordam os casos em destaque do Problema de Corte Bidimensional. Essas descrições consideram os autores e a ordem cronológica dos trabalhos, explicitando as principais técnicas que contribuíram na resolução dos respectivos Problemas de Corte e Empacotamento. QUADRO 3.1 Artigos Revisados do Problema de Corte de Estoque. Autores Técnicas Problemas Gilmore e Gomory (1961) Gilmore e Gomory (1963) Gilmore e Gomory (1965) GC e PD GC e Enumeração Lexicográfica GC e Enumeração Lexicográfica PCE Unidimensional PCE Unidimensional PCEBG Gilmore e Gomory (1966) GC e PD PCEBG Herz (1972) Busca em Árvore, PD e Heurística PCEBG Wang (1983) Combinatória e Heurística PCEBG Vieira Neto (1999) Alvarez-Valdés et al. (2002b) Vieira Neto (2004) Metaheurística GC, Branch-and-Bound, PD e Metaheurística Metaheurística PCE Unidimensional PCEBG PCE Unidimensional Velasco (2005) Metaheurística PCEBG Cintra et al. (2008) GC e PD PCEBG Silva et al. (2010) PI PCEBG Furini et al. (2012) GC, PD, PIM e Heurística PCEBG

43 42 QUADRO 3.2 Artigos Revisados do Problema de Corte Bidimensional. Autores Técnicas Problemas Christofides e Whitlock (1977) Busca em Árvore e PD PCBGR Wang (1983) Combinatória e Heurística PCBGR Beasley (1985) PD e Heurística PCBGI Morabito et al. (1989) Oliveira e Ferreira (1990) Morabito et al. (1992) Alvarenga e Daza (1992) Busca em Grafos e Heurística Combinatória e Heurística Busca em Grafos e Heurística Busca em Grafos, Combinatória e Heurística PCBGI PCBGR PCBGI PCBGR Amaral (1994) Metaheurística PCBGR Christofides e Hadjiconstantinou (1995) Busca em Árvore e PD PCBGR Daza et al. (1995) Morabito e Arenales (1996) Cung et al. (2000) Parada et al. (2000) Busca em Grafos, Combinatória e Heurística Busca em Grafos e Heurística Branch-and-Bound, PD e Heurística Busca em Grafos e Metaheurística PCBGR PCBGR PCBGR PCBGR Alvarez-Valdés et al. (2002a) Metaheurística PCBGR/PCBGI Hifi (2004b) Busca em Grafos, PD e Heurística PCBGR Velasco (2005) Metaheurística PCBGR Cui (2007) Chen (2008) Estrutura Recursiva e Branch-and-Bound Estrutura Recursiva e Heurística PCBGI PCBGR Cintra et al. (2008) PD PCBGI Morabito e Pureza (2010) Dolatabadi et al. (2012) Busca em Grafos, PD e Heurística Estrutura Recursiva e Heurística PCBGR PCBGR Furini et al. (2016) PIM PCBGR

44 43 4 AMPLIAÇÕES DO ALGORITMO G 2D PARA O PCBGR Admitindo que nem sempre é possível achar a solução ótima para um problema fortemente NP-Difícil, certamente, a composição do padrão ótimo do PCBGR deve possuir faixas otimizadas e um arranjo preciso dessas faixas. Em decorrência a essa dedução, provém a ideia de implementar um algoritmo sob forte influência da metodologia GRASP que atua diretamente no processo de formação e organização de faixas guilhotinas do padrão de corte. Originalmente chamado de GRASP-2D (G 2D ), o presente capítulo descreve a evolução deste algoritmo especificando as propostas de melhorias implementadas que culminaram nas versões dos algoritmos G 2D Reativo para resolução das variantes do PCBGR que combinam a seguintes características: quando o valor dos itens está associado exclusivamente a sua medida de área (sem peso) ou sem essa distinção (com peso) e com proibição ou permissão destes itens sofrerem uma rotação de 90º em torno de seus eixos de simetria. Na seção seguinte, a metodologia GRASP recebe o devido destaque e são apresentadas as definições essenciais na implementação dos algoritmos propostos. 4.1 METAHEURÍSTICA GRASP A metodologia Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP), surgida na década de 80 e desenvolvida por Feo e Resende (1989), é essencialmente um procedimento mult-start, em que a cada iteração tem-se a combinação de uma heurística construtiva com uma de busca local. O método GRASP é um procedimento iterativo probabilístico que atua por amostragem em um espaço de soluções restrito. A cada iteração é gerada uma solução de forma míope, aleatória e adaptativa que será refinada por uma busca local, sendo a melhor solução global mantida como resultado final. Assumindo um problema de maximização, o pseudocódigo genérico GRASP é apresentado como segue. Algoritmo GRASP( ) 1. melhorsolução - ; 2. Enquanto (Critério de parada não satisfeito) faça 3. solução ConstruçãoGulosaAleatória( ); 4. solução BuscaLocal (solução); 5. Se valor(solução) > valor( melhorsolução) então melhorsolução solução; 6. Retorna (melhorsolução); Fim GRASP Entre as linhas 2 e 5 temos um conjunto de instruções que são executadas repetidamente até que uma condição de parada seja satisfeita. A fase de construção da

45 44 GRASP é indicada na linha 3, enquanto a linha 4 é a fase de busca local, que encontra a melhor solução dentro de uma certa vizinhança da solução de entrada gerada pelo construtivo. Caso a busca local tenha obtido alguma melhoria na solução corrente, a solução é atualizada na linha 5. Todo esse processo pode ser interrompido definindo-se um número máximo de iterações, determinando um tempo máximo de execução ou quando certo valor de solução procurada for obtido (FEO; RESENDE, 1995). Neste trabalho, opta-se como critério de parada por um número máximo de iterações. Como o algoritmo GRASP constitui-se a cada iteração de duas fases, a primeira de construção e a segunda de melhoria, estas são descritas separadamente como segue FASE DE CONSTRUÇÃO DA GRASP Basicamente, na primeira fase, uma solução viável é construída iterativamente incluindo um elemento de cada vez. Esse elemento é retirado aleatoriamente de um conjunto denominado de Lista Restrita de Candidatos (LRC). A LRC é composta pelos elementos mais interessantes de uma lista constituída de candidatos a serem incluídos em uma solução, segundo um critério guloso. Essa técnica de escolha permite que soluções distintas sejam produzidas em cada iteração GRASP. A cada elemento incluído na solução, uma função gulosa é adaptada. Essa função gulosa estima o benefício associado à inclusão de cada elemento a uma determinada solução. O pseudocódigo descrito abaixo apresenta a fase de construção da GRASP. Algoritmo ConstruirSoluçãoGulosaAleatória ( ) 1. solução ; 2. Enquanto (solução estiver incompleta) faça 3. LRC CriaLRC ( ); 4. x SelecionaElementoAleatório (LRC); 5. solução solução {x}; 6. AtualizaFunçãoGulosa (x); 7. Retorna (solução); Fim ConstruirSoluçãoGulosaAleatória A construção iterativa de uma solução é iniciada na linha 1 do pseudocódigo. Os comandos entre as linhas 3 e 6 são repetidos até que a solução seja construída. Na linha 3, a lista restrita de candidatos é construída a partir de uma função gulosa. Um candidato de LRC é selecionado ao acaso na linha 4 e acrescentado a solução na linha 5. Na linha 6, a função gulosa é atualizada de acordo com o elemento incluído. Um parâmetro α no intervalo [0,1] determina a quantidade de elementos incluídos no LRC. Seja X um conjunto finito formado pelos elementos possíveis de serem incluídos na solução, f: X R uma função gulosa que indica o valor de cada um desses elementos, ou

46 45 seja, quanto à inclusão desse elemento beneficiaria o valor da solução parcial corrente, e β = max {f(x); x X} o maior valor retornado pela função gulosa. O subconjunto LRC, formado pelos melhores elementos de X, é determinado aplicando o parâmetro α ao valor β na definição de um intervalo de valores como segue, LRC = {x X α.β f(x) β}. Para α = 1 se gera soluções totalmente gulosas e para α = 0 se produz soluções totalmente aleatórias. Assim, o parâmetro α regula o grau de miopia e aleatoriedade da fase de construção. Este é o principal parâmetro a ser ajustado no algoritmo GRASP original, pois se a cardinalidade de LRC for pequena, a diversidade das soluções geradas também se constitui pequena e, consequentemente, a probabilidade de escapar de um ótimo local de baixa qualidade na fase de melhoria tende a diminuir. Já uma LRC que apresenta uma cardinalidade grande, produz muitas soluções diferentes, aumentando a perspectiva de escapar de tal ótimo local na fase melhoria. Entretanto, isto implica em um acréscimo considerável no número de iterações com soluções ruins, com baixa probabilidade de melhorar a melhor solução conhecida. Sendo assim, é imprescindível a análise sobre o valor assumido pelo parâmetro α com respeito à qualidade das soluções encontradas, número de iterações utilizadas e vizinhança explorada (FEO; RESENDE, 1995) FASE DE MELHORIA DA GRASP A segunda fase é um procedimento de busca local. As soluções construídas pela primeira fase não são necessariamente de boa qualidade e quase sempre a busca local pode melhorá-las. Determinada uma estrutura de vizinhança V para o problema Y, que gere um subconjunto de soluções V(y) a partir de uma solução y do problema. A condição para que uma solução y seja declarada como um ótimo local é não haver solução melhor em V(y). Na tentativa de melhorar as soluções originadas na fase de construção, emprega-se o procedimento de busca local, que examina o espaço de soluções mudando de uma solução para outra vizinha. A eficiência desta fase está diretamente relacionada à qualidade das soluções iniciais, a estrutura V e sua estratégia de busca local. A seguir é apresentado o pseudocódigo de um procedimento básico de busca local para um problema Y sobre uma vizinhança V para essa fase da GRASP: Algoritmo BuscaLocal (solução) 1. Enquanto (solução não é localmente ótima) faça 2. Encontrar uma melhor solução y V(solução); 3. solução y; 4. Retorna (solução); Fim BuscaLocal

47 46 O laço iniciado na linha 1 é executado até encontrar um ótimo local para uma vizinhança. A busca por soluções indicada na linha 2 é realizada através de movimentos, isto é, modificações que transformam uma solução em outra pertencente a sua vizinhança. Caso uma solução obtida na vizinhança seja melhor que a solução tratada, este vizinho passa a ser a solução corrente na linha 3. A condição de parada deste procedimento é não haver solução melhor que a solução atual, em sua estrutura de vizinhança GRASP REATIVO O método GRASP Reativo provém do GRASP clássico e, basicamente, diferencia-se na fase de construção, quando o parâmetro α é deliberado após uma fina calibragem feita a partir de uma variação deste parâmetro no decorrer de algumas iterações. Com o intuito de agregar qualidade às soluções construídas e, consequentemente, obter melhor desempenho na fase de melhoria, executam-se as demais iterações com o valor do parâmetro α ajustado (PRAIS; RIBEIRO, 2000). 4.2 ALGORITMO G 2D ORIGINAL Primeiramente, o algoritmo G 2D foi proposto por Velasco (2005) e tratou simultaneamente o PCBGR e o PCEBG, apenas na variante não estagiada, sem peso e com a possibilidade de rotação dos itens. Fixando-se o parâmetro α e o número máximo de iterações, a cada execução destas, uma solução do PCEBG é produzida, gerando-se um padrão de cada vez e atualizando a demanda dos itens já relacionados para que não haja um excesso de produção. Ao final, este algoritmo retorna além do padrão de corte de maior valor para o PCBGR, com a função objetivo calculando o seu percentual de aproveitamento em relação à área do objeto, uma solução de boa qualidade para o PCEBG (VELASCO et al., 2008). Os resultados computacionais para o PCBGR se mostraram bastante promissores, em testes realizados em instâncias de até 20 itens, comparados às heurísticas Busca Tabu e Simulated Annealing (AMARAL, 1994), dando indicativas que o G 2D poderia ser aplicado com sucesso a esse problema. É importante ressaltar na proposta original que a criação das faixas em um padrão de corte baseia-se na metodologia GRASP, onde um item é escolhido da LRC na fase de construção para dar origem a uma faixa horizontal e outra vertical. Os movimentos da fase seguinte consideram apenas a altura ou o comprimento dos próximos itens a compor as respectivas faixas horizontal ou vertical, e a escolha das faixas produzidas para integrar um padrão considera o menor percentual de perda em relação a sua área. Os fundamentos

48 47 necessários nessa implementação, assim como as distintas fases da GRASP, são apresentadas nas subseções a seguir FUNDAMENTOS PARA IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO G 2D Considere o objeto retangular R = (C, L), de comprimento C e largura L, utilizado para produzir itens também retangulares x i = (c i, l i ), pertencentes ao conjunto I, com as dimensões c i C e p i L e demandas d i previamente estabelecidas, com i = 1,...,m. Estes elementos podem ser associados a pontos no plano cartesiano já que o objeto e os itens são representados por pares ordenados. Em relação a um sistema de coordenadas cartesianas com origem no canto inferior esquerdo de R, a execução de uma série de cortes guilhotinados paralelos aos eixos coordenados, isto é, aos lados do objeto R, para produção dos itens x i, definiria um padrão de corte para o PCBGR. Corte Horizontal Corte Vertical C C S R L F V S R l i F H l i c i (a) c i (b) Item (c i, l i ) FIGURA 4.1 Cortes Guilhotinados e Faixas Guilhotinas. Se o item x i é obtido em R sem sofrer uma rotação de 90º, este é indicado por p i = (c i, l i ). Quando posicionado no canto inferior esquerdo de R, esse dá origem a dois tipos de faixas com a execução de cortes do tipo guilhotina sobre este objeto. Verifica-se na Figura 4.1(a) que uma faixa guilhotina horizontal F H = (C, l i ) é definida a começar de um corte guilhotinado horizontal de largura l i. Esse corte ainda determina um subretângulo S R = (C, L-l i ) que deve ser utilizado, provavelmente, na definição de outras faixas guilhotina do padrão. Já a Figura 4.1(b), ilustra uma faixa guilhotina vertical F V = (c i, L), obtida a partir de um corte guilhotinado vertical, de comprimento c i em R. O outro subretângulo originado com esse corte vertical, S R = (C-c i, L), também tem o propósito de ser aproveitado na configuração das demais faixas do padrão de corte. Caso x i seja rotacionado, o item passa a

49 48 ser designado por r i = (l i, c i ). Deste modo, as faixas guilhotinas F H = (c i, C) e F V = (l i, L) e seus respectivos subretângulos S R são definidos de forma análoga. Diante disso, um padrão é distinguido pelo conjunto de faixas guilhotina que o configura e pela maneira como essas faixas são arranjadas. Conforme observado na Figura 4.2, uma faixa guilhotina é constituída pelo agrupamento de peças na horizontal ou na vertical e, ao posicionar os itens que dão origem a essas faixas sempre no canto inferior esquerdo de R ou de S R, fica estabelecido um padrão de corte guilhotinado normal (CHRISTOFIDES; WHITLOCK, 1977). Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais H3P1 P1 P1 P1 H3R1 R1 R1 R1 V4P2 P2 P2 V4R2 R2 R2 H3P1M3P2 P1 P1 P1 P2 P2 P2 P2 P2 R2 R2 FIGURA 4.2 Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais. Outra questão importante a ser considerada é que se utiliza uma expressão definida por caracteres alfanuméricos para descrever uma faixa guilhotina. As letras H e V são empregadas ao executar faixas guilhotinas horizontal e vertical, nessa ordem. Os itens nãorotacionados p i pertencentes a estas faixas são simbolizados por P e os itens rotacionados r i por R. Por exemplo, na Figura 4.2, a expressão H3P1 representa uma F H contendo três itens p 1. Ainda na Figura 4.2, a expressão H3R1 indica que a F H possui três itens r 1. Da mesma forma, uma F V composta por quatro itens p 2 é indicada pela expressão V4P2. Assim, uma F V com quatro itens r 2, sua expressão é V4R2 e, também, pode ser conferida na Figura 4.2. Observe que os caracteres começam sempre por H ou V e se apresentam seguidos de: um dígito representando a quantidade de itens incluídos, um caractere P ou R indicando a orientação destes itens e outro dígito, informando o índice deste item inserido. Para descaracterizar a homogeneidade da faixa, esta deve apresentar outros itens além do item comprometido na sua geração. Neste caso, novas sequências de caracteres alfanuméricos iniciadas por M são concatenadas as já formadas por H ou V. A presença desta

50 49 nova letra particulariza movimentos de melhoria distintos nessas faixas. Se a escolha do próximo item a compor uma F H, quando comparado aos demais itens com demanda não atendida e dimensões que não descaracterizem o corte guilhotinado nesta faixa, considera a largura l i deste item, essa melhoria é indicada pela letra M. A ocorrência dessa melhoria em uma faixa guilhotina horizontal pode ser observada na Figura 4.2 e indicada pela expressão H3P1M3P2. De forma análoga, considerando a grandeza comprimento c i decisiva na escolha do próximo item a ser gerado em uma F V, a letra M assinala a efetivação dessa melhoria. Por exemplo, é compreensível através da Figura 4.2 que uma faixa representada por V4R2M1R1 não inviabiliza algum corte guilhotinado e agrega valor a faixa originária V4R2. Diante disto, um padrão de corte fica caracterizado pelas diferentes expressões apresentadas por cada faixa guilhotina, considerando a ordem de registro dessas expressões. Para exemplificar, a Figura 4.3 ilustra um padrão de corte com três faixas guilhotinas e três estágios, que pode ser descrito pela sequência de caracteres H2P3M2R5M1P4M1P6M1R7 V2R2 H1P1. Padrão de Corte G2Ι G2 G3 G3 R2 G1 R2 G2 F V P1 F H G3 G3 F H G1Ι G3Ι P3 P3 R5 R5 P4 P6 R7 G2Ι G2Ι G2Ι G2Ι G2Ι G2Ι Perda Externa Perda Interna FIGURA 4.3 Padrão de Corte para o PCBGR. O somatório das medidas de superfície improdutivas no objeto R define a perda no padrão de corte e são categorizadas como perda interna e perda externa (WANG, 1983). Quando um corte realizado em R impossibilita nova faixa guilhotina, a medida de área deste subretângulo S R é denominada perda externa. Se determinada faixa guilhotina apresenta áreas improdutivas, estas são apontadas como perda interna. Sendo assim, a perda total de um padrão de corte equivale à soma das perdas externa e internas de suas faixas guilhotina. Para

51 50 exemplificar, ainda na Figura 4.3, são evidenciados os dois tipos de perda encontrados nos padrões de corte. Em resumo, uma solução para o PCBGR é definida por um conjunto de faixas em um padrão de corte e representadas respectivamente por sequências de caracteres alfanuméricos. A perda total encontrada na solução equivale à soma das perdas externas e internas produzidas nas faixas guilhotina que a compõe. Nas seções seguintes, têm-se o intuito de apresentar como são abordadas as duas fases características da metodologia GRASP no algoritmo G 2D FASE DE CONSTRUÇÃO DAS FAIXAS NO ALGORITMO G 2D Nessa fase é realizada a construção de faixas guilhotinas viáveis sobre um retângulo S = (C S, L S ), que pode ser tanto o objeto original R = (C, L) ou subretângulos residuais S R gerados após o corte de faixas anteriores. Seja y um vetor solução m-dimensional atualizado com a quantidade de cada item x i I na solução parcial corrente. O valor d i - y i > 0 indica que o item x i ainda possui demanda a ser atendida e credencia sua inclusão no padrão de corte corrente. Com as medidas das faixas sendo definidas não somente pelas dimensões de S, mas também pelo item x k escolhido aleatoriamente na LRC, destaca-se três elementos fundamentais na concepção desta lista restrita: i) A função gulosa g a : R 2 R, que associa a cada item x i um único valor g(x i ) = c i.l i igual sua medida de área; ii) O conjunto I constituído dos itens aspirantes a originar uma faixa, com I m e atualizado se d i - y i = 0; iii) O critério guloso β = max {g a (x); x I} que retorna a medida de área do maior item em I. Dessa forma, LRC = {x I α.β g a (x) β} apresenta os itens mais interessantes de I, segundo valor de utilidade, e sua cardinalidade é diretamente influenciada pelo parâmetro α [0,1]. Em suma, uma seleção aleatória determina o item de LRC responsável por determinar as dimensões nas faixas guilhotinas horizontal e vertical como segue. A escolha aleatória de um item x k = (c k, l k ) na LRC dá início ao processo de construção das faixas F H = (C FH, L FH) e F V = (C FV, L FV) no S corrente. A primeira decisão refere-se a determinação de uma orientação para produção de x k. Se apenas uma das orientações p k ou r k puder ser obtido nas dimensões de S, x k = p k ou x k = r k, exclusivamente. Se tanto p k quanto r k couberem em S, um novo sorteio estabelece qual dessas orientações deve definir x k. Caso não seja viável a geração de x k, a LRC é atualizada sem este item e o sorteio é refeito.

52 51 A seguir, são construídas duas faixas guilhotinas viáveis F H = (C S, l k ) e F V = (c k, L S ), uma através de um corte horizontal e outra a partir de um corte vertical. Com os vetores m- dimensionais y H e y V sendo atualizados pelas respectivas quantidades dos itens presentes nestas faixas, são calculados o número y Hk = min{d k -y k, [[C S /c k ]]} de itens x k a serem obtidos na faixa F H e y Vk = min{d k -y k, [[L S /l k ]]} em F V. Também, nas respectivas faixas, são determinados os subretângulos residuais S H = (C S -y Hk.c k, l k ) e S V = (c k, L S -y Vk.l k ), caracterizados de perda interna, e seus indicadores percentuais de qualidade dados por perdaint(f H ) = (g a (F H )-g a (x k ).y Hk )/g a (F H ) e perdaint(f V ) = (g a (F V )-g a (x k ).y Vk )/g a (F V ). O pseudocódigo da fase de construção das faixas no algoritmo G 2D, denominado ConstruçãoFaixa, é especificado como segue. Procedimento ConstruçãoFaixa (I, y, α, S) 1. y H = y V = 0, F H = F V = 0, S H = S V = 0; 2. β max {g a (x); x I}; 3. LRC {x I α.β g a (x) β}; 4. Escolha, aleatoriamente, x k de LRC que mantenha a viabilidade em S; 5. Determine a orientação de x k e construa F H e F V ; 6. Atualize y H, S H, y V e S V ; 7. Retorna (F H, y H, S H, F V, y V, S V ); Fim ConstruçãoFaixa Se as faixas homogêneas construídas possuem perda interna suficiente para produzir algum outro item x j de I, as grandezas c j e l j são analisadas nas dimensões dos subretângulos S F e S V para providenciais melhorias. Ao final, o procedimento de melhoria detalhado na subseção seguinte retorna à faixa com menor percentual de perda interna FASE DE MELHORIA DAS FAIXAS NO ALGORITMO G 2D No procedimento de melhoria, faixas guilhotinas F H e F V, inicialmente construídas, são tratadas com o propósito de minimizar a perda interna em ambas e, consequentemente, obter um melhor aproveitamento dos respectivos subretângulos S H = (C SH, L SH) e S V = (C SV, L SV) correntes. Para intensificar este processo simbolizado com caractere M, dois conjuntos B H e B V são criados com a finalidade de acelerar as ações dessa etapa, excluindo movimentos desnecessários que acarretariam em faixas guilhotinas infactíveis ou fariam descaracterizar o corte do tipo guilhotinado. Sendo assim definidos B H = {x i I (d i -y Hi > 0) e ((c i C SH e l i L SH) ou (l i C SH e c i L SH))} e B V = {x i I (d i -y Vi > 0) e ((c i C SV e l i L SV) ou (l i C SV e c i L SV))}, os itens pertencentes a B H, assim como os incluídos em B V, não apresentam dimensões que ultrapassem as de S H e S V, nessa ordem, mantendo assim a viabilidade das faixas quando

53 52 selecionados para executar melhorias. É importante destacar que no algoritmo G 2D original é permitida a inserção de itens rotacionados nos conjuntos em destaque. Na faixa horizontal, este processo inicia-se com B H sendo constituído dos itens de I com demanda positiva e que cabem no subretângulo de perda interna S H atual. Seja o item x j selecionado neste conjunto por apresentar uma largura maior ou igual aos demais, pois em caso de empate essa escolha é aleatória. Decerto que a quantidade de itens x j está diretamente relacionada às dimensões de S H e a sua demanda atualizada, calcula-se o número y Hj = min{d j -y j, [[C SH/c j ]]} destes itens a serem incluídos nesta faixa. A cada inclusão de y Hj itens de x j implica na atualização do subretângulo S H = (C SH-y Hj.c j, L SH) e dos itens pertencentes ao conjunto B H. Com o intuito de gerar um melhor aproveitamento da faixa F H, este processo é repetido enquanto B H não for vazio. Análogo ao B H, o conjunto B V é constituído pelos itens de I que, ao serem incluídos no subretângulo S V corrente, não impossibilitariam a efetivação da faixa F V no padrão de corte gerado. Entre os itens deste conjunto, um item x t também entra na composição da faixa F V desde que apresente o maior comprimento entre os demais. Nesse caso, a quantidade y Vt = min{d t -y t, [[L SV/l t ]]}de itens x t, a serem produzidos no subretângulo S V presente, considera o mínimo entre a demanda existente e o piso do coeficiente L V /l t. Assim como S V = (C SV, L SV-y Vt.l t ), o conjunto B V também é atualizado, até não existir mais item que melhore o valor de utilidade da faixa F V. Ao término desta fase, a faixa guilhotina que apresenta o menor percentual de perda interna é incluída no padrão de corte. Os percentuais de perda interna destas faixas são atualizados por perdaint(f H ) = (g a (F H )- g (x). y )/g a (F H ) e perdaint(f V ) = (g a (F V )- g (x). y )/g a (F V ). Caso haja empate entre estes valores, a escolha da faixa a compor o padrão de corte é aleatória. Além disso, o subretângulo residual da perda externa deve ser atualizado de acordo com as dimensões da melhor faixa, isto é, S R = (C S, L S - L FH) ou S R = (C S - C FV, L S ). O pseudocódigo MelhoriaFaixa esboçado a seguir, representa a fase de melhoria das faixas do algoritmo G 2D original. Procedimento MelhoriaFaixa (I, y, S, F H, y H, S H, F V, y V, S V ) 1. Crie B H e B V ; 2. Enquanto ( B H 0) faça 3. Selecione x j de B H com maior largura, para usar M ; 4. Atualize y H, S H e B H ; 5. Enquanto ( B V 0) faça 6. Selecione x t de B V com maior comprimento, para usar M ; 7. Atualize y V, S V e B V ; 8. Determine perdaintf melhor = min {perdaint(f H ), perdaint(f V )}; 9. Atualize y e S relacionado à perdaintf melhor ;

54 Retorna (y, S); Fim MelhoriaFaixa Nessa versão, a fase de melhoria ainda pode ser interpretada como continuação do procedimento de construção das respectivas faixas F H e F V. Entretanto, os itens utilizados na nova composição da faixa corrente não mais são retirados da LRC, contrapondo a metodologia adotada. Sob outra perspectiva, se as faixas F H e F V são analisadas como vetores de m-dimensonais e suas posições inicialmente preenchidas com as respectivas quantidades do item escolhido na fase de construção apresentam-se fixas, qualquer simples atualização destes vetores com estratégias diferentes da construção inicial já caracterizam um procedimento de busca local GERAÇÃO DE PADRÃO DE CORTE NO ALGORITMO G 2D Um padrão de corte é obtido numa subrotina da primeira versão do G 2D que inicia com os procedimentos de construção e de melhoria das faixas guilhotinas sendo executados em sequência e termina quando não houver mais item em I com demanda positiva que puder ser produzido no S corrente, isto é, fazendo I =. Com os parâmetros de entrada do GeraPadraoCorte já declarados anteriormente, conforme descrito a seguir, este procedimento retorna uma solução y do PCBGR e seu valor de utilidade total Z y = g (x). y. Procedimento GeraPadraoCorte (I, y, α, S) 1. Enquanto ( I > 0) faça 2. Execute ConstruçãoFaixa (I, y, α, S); 3. Execute MelhoriaFaixa (I, y, S, F H, y H, S H, F V, y V, S V ); 4. Atualize I; 5. Calcule Zy; 6. Retorna (y, Zy); Fim GeraPadraoCorte TABELA 4.1 Instância de Christofides e Whitlock Adaptada. i d i (c i, l i ) v i 1 1 (2, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (8, 2) (3, 7) (8, 4) 32 Para exemplificar a geração de um padrão de corte rotacionado, a instância clássica ChW1 de Christofides e Whitlock (1977), com o total de itens m = 7 e o objeto de dimensões C = 15 e L = 10, é adaptada para a variante sem peso, isto é, o valor dos itens v i passa a

55 54 corresponder à medida de sua área. Na Tabela 4.1, suas colunas trazem informações sobre índice, demanda, dimensões e valor dos respectivos itens x i. Adotando o parâmetro α = 0.1, primeiramente, assume-se I possuindo todos os 7 itens, os vetores y, y H e y V nulos e S = (15, 10). Inicia-se então a fase de construção, obtendo β = 32 e LRC = {x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 }. Sendo o item x 2 escolhido aleatoriamente em LRC, uma nova escolha decide pela orientação p 2 = (3, 2). A Figura 4.4 (a) apresenta as faixas F H = (15, 2) e F V = (3, 10) iniciais, descritas a princípio por H2P2 e V2P2, ambas com a quantidade de itens y H2 = y V2 = 2 determinada por sua demanda d 2 = 2. Definidos, também, os subretângulos S H = (15-6, 2) = (9, 2) e S V = (3, 10-4) = (3, 6), a fase de melhoria começa com B H = {p 5, r 1 } e B V = {p 1, p 3, p 4, r 1, r 3 }. Na melhoria da F H, a escolha do item r 1 promove as seguintes mudanças em y H1 = d 1 = 1, S H = (9-1, 2) = (8, 2) e B H = {p 5 }. Essa última escolha aconteceu porque r 1 e p 5 têm medidas iguais de largura. Como B H é unitário, isto indica que a melhoria de F H continua com a inserção do item p 5 e as atualizações são y H5 = [[8/8]] = 1, S H = (8-8, 2) = (0, 2) e B H =. Com B H vazio, dá-se início a melhoria na faixa F V e a escolha do item p 4 em B V resulta nas modificações em y V4 = [[6/4]] = 1, S V = (3, 6-4) = (3, 2) e B V = {p 1, r 1 }. Essa fase se encerra com a inclusão do item p 1 e, consequentemente, com as alterações y V1 = d 1 = 1, S V = (3, 2-1) = (3, 1) e B V =. A Figura 4.4 (a), também, ilustra as modificações realizadas nas respectivas faixas pela fase de melhoria, H2P2M1R1M1P5 e V2P2M1P4M1R1. Como perdaint(f H ) = 0 é inferior a perdaint(f V ) = 4/30 = 0.13, o vetor solução y = y + y H e S = (15, 10-2) = (15, 8) e I = {x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 } são atualizados com a presença desta F H na composição do padrão de corte. Geração de Faixas Guilhotinas (a) (b) FIGURA 4.4 Geração de Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais com Algoritmo G 2D.

56 55 Para o subretângulo corrente S = (15, 8), mantém-se β = 32. Um sorteio na nova LRC = {x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 } define que o item x 7, com orientação p 7, é responsável pelas novas faixas F H = (15, 4) e F V = (8, 8) e pela atualização dos vetores nulos y H e y V, modificando-os em y H7 = [[15/8]] = 1 e y V7 = d 7 = 2, além dos subretângulos S H = (7, 4) e S V = (8, 0). No processo de melhoria da F H, o item p 4 é selecionado em B H = {p 3, p 4, r 3, r 4, r 6 } por ter maior largura. Isso acarreta em y H4 = [[7/3]] = 2, S H = (7-6, 4) = (1, 4) e B H =. Observe na Figura 4.4 (b) a ilustração desses passos, indicados pelas sequências por H1P7M2P4 e V2P7, sem a melhoria da F V, pois S V = (8, 0) resulta em B V =. A inclusão da F V no padrão de corte se deve ao seu valor de perda interna menor que perdaint(f H ) = 4/60 = Geração de Faixas Guilhotinas (a) (b) FIGURA 4.5 Geração de Faixas Guilhotinas Horizontais e Verticais com Algoritmo G 2D. Posteriormente as atualizações de y = y + y V, S = (15-8, 8) = (7, 8) e I = {x 3, x 4, x 5, x 6 }, inicia-se a nova fase de construção, fazendo y H e y V nulos e calculando β = 21, para construir a LRC = {x 3, x 4, x 5, x 6 }. Sendo x 4 escolhido na orientação p 4, as respectivas alterações em y H4 = [[7/3]] = 2 e y V4 = [[8/4]] = 2 produzem as faixas F H = (7, 4) e F V = (3, 8) e suas perdas internas S H = (3, 0) e S V = (1, 4), conforme observado na Figura 4.5 (a). Com B H e B V ambos vazios e a perdaint(f H ) = 4/21 = 0.19, decide-se então pela F V com perdaint(f V ) = 0 para composição do agora padrão de corte H2P2M1R1M1P5 V2P7 V2P4. Dessa forma, é necessário registrar os incrementos com as modificações em y = y + y V e S = (7-3, 8) = (4, 8). Esse processo finaliza com a escolha do item r 5 na última LRC, e a decisão entre as faixas indicadas por H2R5 e V1R5 se deu por sorteio, pois ambas possuem perdaint(f H ) = perdaint(f V ) = 0. Nesse caso, o vetor nulo y H é atualizado na posição y H5 = [[4/2]] = 2 e