OPEN DIMENSIONAL CUTTING PROBLEM: UMA ABORDAGEM HÍBRIDA VIA GRASP E ILS

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1 ! "#$ " %'&)(*&)+,.- C)D 5.,.5FE)5.G.+ &4- (IHJ&?,.+ /?<>=)5.KA:.+5MLN&OHJ5F&4E)2*EOHJ&)(IHJ/)G.- D - ;./);.& OPEN DIMENSIONAL CUTTING PROBLEM: UMA ABORDAGEM HÍBRIDA VIA GRASP E ILS Elias Carlos Correa Temponi (CEFET-MG) elias@uai.com.br Sérgio Ricardo de Souza (CEFET-MG) sergio@dppg.cefetmg.br Mariana Silva Faleiro de Andrade (CEFET-MG) marifaleiro@yahoo.com.br Flávio Antônio dos Santos (CEFET-MG) flavio@dppg.cefetmg.br Neste trabalho, é tratado o problema de corte bidimensional, classificado na literatura como Open Dimension Problem (ODP), que consiste em determinar a melhor forma de cortar o objeto, atendendo à demanda de itens, de modo a minimizar o commprimento do objeto utilizado e a maximizar a demanda de itens. Para a resolução do problema, é proposta uma abordagem meta-heurística híbrida que utiliza a meta-heurística Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP), como geradora da solução inicial e, posteriormente, a meta-heurística Iterated Local Search (ILS) para o refinamento da solução. Os experimentos realizados mostram que a metodologia proposta pode ser apropriada para solucionar instâncias associadas a situações reais. Palavras-chaves: Problema de corte, metaheurísticas, otimização combinatória

2 1. Introdução Diversas indústrias têm, como parte integrante de seus processos produtivos, o corte de peças maiores para a obtenção de produtos intermediários ou finais, sendo que esta operação, geralmente, implica em perdas de matéria prima. A diminuição dos gastos causados por estas perdas pode ser um fator decisivo para garantir sua competitividade em seu ramo de atividades, como, por exemplo, as indústrias de madeira, tecidos, vidro, aço, espuma e a construção civil, dentre outras. Devido a sua importância econômica, os Problemas de Corte tornaram-se um tema relevante para a Pesquisa Operacional. Tratam-se de problemas que apresentam facilidades para serem representados através de modelos matemáticos, mas que, devido à sua complexidade, são difíceis de serem solucionados. Tal dificuldade se deve ao fato deste ser um problema classificado como NP-Difícil, o que significa que não existe um algoritmo exato que o solucione em tempo polinomial. Uma alternativa para solucionar estes problemas é a utilização de métodos heurísticos, que, se de um lado não garantem a obtenção da solução ótima do problema, de outro podem dela se aproximar, garantindo soluções sub-ótimas com menor esforço computacional, quando comparado à utilização de métodos exatos. O Problema do Corte (PC) foi introduzido na literatura por Gilmore e Gomory (1961). Inicialmente, eles estudaram o problema de corte unidimensional. Desde então, diversos métodos para a resolução do problema de corte têm sido propostos, tanto para o caso unidimensional, bi-dimensional até mesmo tri-dimensional. Neste trabalho é proposta, para resolução do problema de corte bidimensional, uma abordagem híbrida que utiliza a meta-heurística Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) como geradora da solução inicial e, posteriormente, a meta-heurística Iterated Local Search (ILS) para o refinamento desta solução. A meta-heurística GRASP, implementada neste trabalho, utiliza procedimentos parcialmente gulosos, baseados na construção de faixas para a obtenção da solução inicial. O método de busca local usado, em todas as metas-heurísticas, é o método da descida randômico, utilizando várias estruturas de vizinhanças. Este artigo está organizado da seguinte forma: inicialmente, na seção 2, além de ser introduzida a estrutura do problema de corte, é definido o problema objeto deste artigo. Em seguida, na seção 3, é apresentada a metodologia utilizada. Na seção 4, são apresentados os problemas teste. Finalmente, na seção 5, são mostrados os resultados obtidos com as metasheurísticas propostas. 2. Problema de corte De uma forma geral, os problemas de corte têm, como objetivo geral, combinar os itens solicitados dentro do objeto, respeitando-se as restrições impostas, geralmente relacionadas ao tipo de indústria e aos equipamentos de corte. Esse problema aparece em diversos processos industriais de corte, nos quais os objetos, em geral disponíveis em estoque, correspondem a barras de aço, bobinas de papel e alumínio, placas metálicas e de madeira, chapas de vidro e fibra de vidro, peças de couro, etc., e os itens, com dimensões especificadas, são em geral encomendados através de uma carteira de pedidos de clientes. 2

3 A motivação para estudá-lo é que, além de ser um problema de difícil solução exata, ele é importante em diversos processos industriais de corte de chapas retangulares, por exemplo, no corte de chapas de fibra de vidro (objetos) para produção de placas de circuito impresso (itens) encomendadas por clientes (SILVEIRA, 1999). Em 1990, foi introduzida por Dyckhoff (1990) uma tipologia dos problemas de corte e empacotamento, na qual o autor propõe quatro critérios para classificar os problemas de corte e empacotamento: dimensionalidade, forma de utilização do objeto, classificação dos objetos, classificação dos itens. Como o número de publicações na área de Corte e Empacotamento têm crescido consideravelmente nas últimas duas décadas, a tipologia de Dyckhoff (1990) ficou deficiente para classificar a grande variedade modificações que o problema de corte pode sofrer. Então, Gerhard et. al (2005) propõe uma nova tipologia, baseada nas idéias iniciais de Dyckhoff, sendo esta, atualmente, a tipologia utilizada por vários trabalhos e pelo European Special Interest Group on Cutting and Packing (ESICUP). No presente artigo é abordado o problema de corte bidimensional que, segundo Dyckhoff (1990) é classificado como 2/V/O/M, e, segundo Gerhard et. Al (2005), é classificado como Open Dimension Problem (ODP). Ao tratar o problema ODP, a maioria dos autores propõe a utilização de métodos heurísticos. Exemplos disso podem ser encontrados em Jakobs (1996), que apresenta um algoritmo genético para tratar esse problema; em Hopper e Turton (2001), que propõe uma metaheurística híbrida usando algoritmo genético, simulated annealing e naive evolution na resolução do problema de corte; em Alvarez (2006), que desenvolve uma meta-heurística Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) na resolução do problema de corte. Nos trabalhos acima apresentados, os autores tratam o ODP de forma não guilhotinada, porém, neste artigo, é proposta uma metodologia para a resolução do problema de corte bidimensional guilhotinado (PCBG). Nesse problema, existe uma exigência de que os cortes no objeto sejam do tipo guilhotina, isto é, devem ser paralelos a um de seus lados e se estenderem desde um lado do objeto até o outro, formando dois novos retângulos a cada corte. O problema objeto de interesse é descrito como segue: considere que se tenha, em estoque, um objeto retangular com largura fixa W e comprimento grande o suficiente para alocar todos os itens. Considere também a necessidade de atendimento a um conjunto de pedidos, com demanda conhecida di, i = 1,..., m, de itens de dimensões (li, wi), sendo li o comprimento e wi a largura das peças i, i = 1,..., m. O PCBG consiste em determinar a melhor forma de cortar o objeto, atendendo à demanda di, de modo a minimizar o comprimento do objeto utilizado e a maximizar a demanda de itens. 3. Metodologia Proposta As metas-heurísticas são procedimentos destinados a encontrar uma boa solução, eventualmente a ótima, consistindo na aplicação, em cada passo, de uma heurística subordinada, a qual tem que ser modelada para cada problema específico. Estas técnicas diferem das heurísticas convencionais, por terem um caráter mais geral e maiores condições de escapar de ótimos locais. A diferença entre as metas-heurísticas está no mecanismo usado para escapar de ótimos locais, dividindo-se em duas categorias: metas-heurísticas de busca local e meta-heurísticas de busca populacional, de acordo com o princípio usado para explorar o espaço de soluções. 3

4 Nas metas-heurísticas baseadas em busca local, a exploração do espaço de soluções é feita por meio de movimentos, os quais são aplicados, a cada passo, sobre a solução corrente, gerando outra solução promissora em sua vizinhança. Exemplos de métodos que se enquadram nesta categoria são as metas-heurísticas Busca Tabu, Simulated Annealing, Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP), Iterated Local Search (ILS) e Variable Neighborhood Search (VNS). As subseções a seguir apresentam a técnica de encaixe dos itens dentro dos objetos, as estruturas de vizinhança adotadas e as implementações das meta-heurísticas estudadas neste trabalho: ILS (Iterated Local Search), GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure). 3.1 Técnica de encaixe Na literatura podem ser encontrados alguns algoritmos para o encaixe dos itens no objeto. Dentre esses algoritmos os mais utilizados são são: Next-Fit (NF), First Fit (FF), First Fit Decreasing (FFD), Next Fit Decreasing (NFD), Bottom-Left (BL). Dentre essas, a heurística mais utilizada na resolução do ODP é a BL, que funciona como segue: ela inicia alocando o item no canto superior direito do objeto. Em seguida, esse item é deslocado verticalmente para baixo, até que encontre o final do objeto ou outro item. Depois, o item é deslocado horizontalmente para esquerda, até que atinja o lado esquerdo do objeto ou outro item. Esse movimento para baixo e para esquerda se repete até que não seja mais possível movimentar o item (LIU E TENG, 1999). A Figura 2 ilustra esse procedimento. Figura 2 Representação da heurística Bottom-Left Neste trabalho, o procedimento adotado para o encaixe dos itens consiste em inserir os itens na ordem na qual aparecem. O primeiro item é inserido no canto inferior direito do objeto. O segundo item é inserido ao lado direito do primeiro item, o terceiro item ao lado do segundo e assim em diante. Após um determinado número de inserções, o próximo item a ser inserido não caberá no objeto no sentido do seu comprimento. Neste caso, tenta-se inserir o maior item que caiba nesse espaço, formando-se, assim, uma faixa com altura correspondente à altura do item com a maior dimensão nesse sentido. Em seguida, após a formação da primeira faixa, considerando-se o sentido da altura do objeto, são formadas outras faixas, até que a demanda total de cada item seja satisfeita. A Figura 3 ilustra o procedimento proposto. 4

5 3.2 Função de Avaliação No presente trabalho, como o objetivo é minimizar a altura utilizada do objeto para alocar toda a demanda dos itens, então a função de avaliação é o somatório das alturas das faixas. Na figura 3, a variável H representa o valor da função de avaliação. 3.3 Estruturas de Vizinhanças Por se tratar de um problema de natureza combinatória, neste trabalho optou-se por utilizar cinco estruturas de vizinhança, que basicamente executam uma permutação entre os itens dentro do objeto, ou seja, realizam trocas simultâneas dos itens dentro do objeto. A primeira estrutura de vizinhança realiza apenas uma troca de dois itens; a segunda realiza duas trocas de dois itens, e, assim em diante, até a quinta estrutura de vizinhança na qual são executadas cinco trocas simultâneas de dois itens. 3.4 Busca Local Figura 3 Representação da heurística proposta Neste trabalho, foi utilizado o Método da Descida Randômico, que parte de uma solução inicial qualquer e, a cada iteração, utilizando uma estrutura de vizinhança aleatória, analisa um vizinho da solução corrente, movendo-se somente para o vizinho que representa uma melhora no valor atual da função de avaliação. O método pára após IterMax iterações. A Figura 4 ilustra esse procedimento. Procedimento DescidaRandomica( s, IterMax ): 1 Iter = 0 2 enquanto Iter < IterMax faça 3 Iter = Iter s GeraVizinhoAleatoriamente( s ) 5 se ( f( s ) < f ( s ) ) então 6 Iter = 0 7 s s 8 fim-se; 9 fim-enquanto; 10 Retorne s 5

6 Figura 4 - Algoritmo de Busca Local 3.5 Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP) GRASP é um método iterativo, proposto em Feo e Resende (1995), composto de duas fases: uma fase de construção, na qual uma solução é gerada, elemento a elemento; e uma fase de busca local, na qual um ótimo local na vizinhança da solução construída é pesquisado. A melhor solução encontrada ao longo de todas as iterações GRASP realizadas é retornada como resultado. A Figura 5 ilustra um procedimento GRASP. Procedimento GRASP: 1 f * 2 para Iter = 1 até GRASPmax faça 3 s ConstruçãoParcialmenteGulosa 4 s BuscaLocal( s ) 5 se ( f( s ) < f * ) então 6 s * s 7 s * f(s ) 8 fim-se; 9 fim-para; 10 s s* 11 Retorne s 3.6 Iterated Local Search (ILS) Figura 5. - Algoritmo GRASP O método Iterated Local Search (ILS) é baseado na simples idéia de que um procedimento de busca local pode ser melhorado, gerando-se novas soluções de partida, as quais são obtidas por meio de perturbações na solução ótima local. A perturbação precisa ser suficientemente forte, para permitir que a busca local explore diferentes soluções, mas também fraca o suficiente para evitar um reinício aleatório. O método ILS é, portanto, um método de busca local que procura focar a busca não no espaço completo de soluções, mas em um pequeno subespaço, definido por soluções que são ótimos locais de determinado procedimento de otimização (LOURENÇO, et. al, 2002). Para aplicar um algoritmo ILS, três componentes têm que ser especificados: a) Procedimento GeraSolucaoInicial, que gera uma solução inicial para o problema. Neste trabalho, foram testados duas formas de gerar a solução inicial para o ILS: a primeira, é o procedimento descrito no item 3.1, no qual os itens serão inseridos de forma aleatória; a segunda, é utilizar a meta-heurística GRASP para fornecer a solução inicial. b) Procedimento BuscaLocal, que retorna uma solução melhorada. Neste trabalho, foi implementada a metodologia descrita na seção 3.4 para a realização desse procedimento. c) Procedimento Perturbação, que modifica a solução corrente, guiando-a a uma solução intermediária. O mecanismo de perturbação deve ser forte o suficiente para permitir escapar do ótimo local corrente e permitir, também, a exploração de diferentes regiões do espaço de soluções. Ao mesmo tempo, a modificação precisa ser fraca o suficiente para guardar características do ótimo local corrente. Neste trabalho, a perturbação da solução corrente é feita utilizando-se as estruturas de vizinhanças, expostas na seção 3.3, de forma aleatória. 6

7 Na Figura 6, mostra-se o pseudo-código do algoritmo ILS básico. Procedimento ILS: 1 s 0 GeraSolucaoInicial( ); 2 s BuscaLocal( s 0 ) 3 enquanto Iter ILSmax faça 4 s Pertubacao( s ); 5 s BuscaLocal( s ) 6 se ( f( s ) < f( s ) ) então 7 s s 8 f( s ) f( s ) 9 fim-se 10 fim-enquanto 11 Retorne s Figura 6: Algoritmo Iterated Local Search. 3.7 Meta-Heuristica Híbrida GRASP e ILS A meta-heurística ILS é fortemente dependente da solução inicial. Neste trabalho, então, é proposta uma meta-heurística híbrida, que utiliza, como base, a meta-heurística ILS, sofrendo modificações no procedimento de geração da solução inicial. A modificação proposta consiste em se utilizar a meta-heurística GRASP para gerar a solução inicial para a meta-heurística ILS. Essa modificação se justifica pelo fato do GRASP ser um algoritmo que apresenta boas soluções em tempo computacional relativamente baixo. Sendo assim, espera-se que a solução final dessa meta-heurística híbrida seja melhor do que as metahíbridas trabalhando de forma isolada, em termos de valor da função de avaliação. Os demais procedimentos do ILS não serão modificados. Na Figura 7, mostra-se o pseudocódigo da meta-heurística híbrida proposta. Procedimento GRASP_ILS: 1 s 0 Acionar Meta-heuristica GRASP 2 s BuscaLocal( s 0 ) 3 enquanto Iter ILSmax faça 4 s Pertubacao( s ); 5 s BuscaLocal( s ) 6 se ( f( s ) < f( s ) ) então 7 s s 8 f( s ) f( s ) 9 fim-se 10 fim-enquanto 11 Retorne s 4. Problema Teste Figura 7: Algoritmo da Meta-heurisitca híbrida. Como não foram encontrados, na literatura, trabalhos que tratam o problema de corte ODP de forma guilhotinada, foram realizados experimentos utilizando os arquivos teste de Hopper e Turton (2001), disponíveis na OR-Library (BEASLEY, 1990). 7

8 Os arquivos testes estão divididos em sete categorias de acordo com o tamanho do problema, sendo que cada categoria foi sub-dividida em três instâncias. Cada categoria apresenta número de itens, a largura do objeto e a altura da solução ótima. Neste artigo, foram utilizados apenas os a primeira instância de cada uma das 5 categorias, conforme a Tabela 1. Categoria Número de Itens Altura Ótima (cm) Largura do Objeto (cm) C1P C2P C3P C4P C5P Tabela 1- Instâncias utilizadas nos testes. Para medir o desempenho dos algoritmos propostos ILS, GRASP e GRASP+ILS, cada uma das meta-heurística implementadas foi executada dez vezes. A Tabela 2 mostra a média das 10 execuções, tanto para o valor da função de avaliação (FA) como o tempo de processamento (T) para cada problema teste. Na Tabela 2, ainda é apresentado, para cada heurística, o valor do desvio médio das 10 execuções. Os algoritmos foram desenvolvidos em linguagem JAVA e executados em um computador AMD Sempron 3200+, tendo 1Gb de memória RAM e ambiente Windows XP. 5. Resultados A Tabela 2 apresenta os resultados da aplicação das metas-heurísticas propostas para a solução dos problemas-teste mostrados na Tabela 1. Além de apresentarem a média de dez execuções, as tabelas mostram os valores relativos aos resultados da meta-heurística que representa a altura do objeto necessária para cortar os itens. Observa-se que os resultados encontrados pela meta-heurística, como já era de se esperar, foram piores que a solução ótima. Isto deve-se ao fato de que na solução ótima os itens estão arranjados de forma não guilhotinada. Na figura 8 podemos observar claramente essa diferença. Apesar disso, para o problema proposto neste trabalho (ODP guilhotinado), a meta-heurística proposta apresentou bons resultados, chegando a ser bem próxima da solução ótima em algumas instâncias, como mostrado na tabela 2. Problemas Testes Heuristicas C1P1 C2P1 C3P1 C4P1 C5P1 FA T (s) FA T (s) FA T (s) FA T (s) FA T (s) GRASP Desvio-Médio ILS Desvio-Médio GRASP+ILS Desvio-Médio Tabela 2 - Resultados obtidos pela metodologia proposta 8

9 6. Conclusão (a) Figura 8: (a) Exemplo de solução para a metodologia proposta; (b) Exemplo de solução ótima de uma instância teste Neste artigo, estudou-se o open dimension problem guilhotinado, no qual os objetos possuem forma retangular e têm duas dimensões relevantes. Por se tratar de um problema de natureza NP - Difícil, foi proposta, para sua resolução, uma abordagem híbrida via meta-heurística, utilizando-se as metas-heurísticas GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) e ILS (Iterated Local Search), além de uma abordagem híbrida via GRASP e ILS. Analisando-se os resultados obtidos, pode-se destacar que: a abordagem via GRASP apresentou, nos cinco problemas-teste, bons resultados e um menor tempo computacional, além de possuir o menor desvio médio; a meta-heurística ILS mostrou, em termos de função de avaliação, os piores resultados, com um grande desvio médio, apesar de um tempo computacional razoável. a abordagem híbrida usando GRASP e ILS foi, dentre as três, a que apresentou o melhor resultado, apesar do esforço computacional mais elevado; O fato desta meta-heurística híbrida ter se destacado está relacionado com o fato da metaheurística ILS ser fortemente dependente da solução inicial utilizada, ou seja, quanto melhor a solução inicial, melhor será a solução final. As evidências empíricas deste trabalho mostram que a metodologia proposta pode ser apropriada para solucionar instâncias associadas a situações reais, nas quais o objetivo seja cortar um objeto de forma a atender à demanda e minimizar o desperdício de material envolvido no processo. Referências ALVAREZ-VALDES, R., PARREÑO, F., TAMARIT, J.M., Reative GRASP for the strippacking problem, Computer & Operations Research, Aceito para publicação, BEASLEY, J.E., OR-Library: Distributing Test Problems by Eletronic Mail. Journal Operations Research Society, Vol. 41, pp , DYCKHOFF, H., A typology of cutting and packing problems. European Journal of Operational Research 44, , FEO, T.A. E RESENDE, M.G.C. (1995), Greedy randomized adaptive search procedures, Journal of Global Optimization, Vol. 6, pp GILMORE, P. E GOMORY, R., A linear programming approach to the cutting stock problem, Operations Research, Vol. 9, pp , HOPPER, E., TURTON, B.C.H., An empirical investigation of meta-heuristic and heuristic algorithms for a 2D packing problem, European Journal of Operational Research, Vol. 128, pp , JAKOBS, S., On genetic algorithms for the packing of polygons, European Journal of Operations Research, Vol. 88, pp ,1996. (b) 9

10 LIU, D. E TENG, H., An improved BL-algorithm for genetic algorithm of the orthogonal packing of rectangles, European Journal of Operational Research, Vol. 112, pp , LOURENÇO, H.R., MARTIN, O., STÜTZLE, T.. Iterated Local Search. In F. Glover and G. Kochenberger, editors, Handbook of Metaheuristics, pages Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA, SILVEIRA, R. J., O Problema de Corte Bidimensional Guilhotinado e Restrito: Aplicação na Indústria de Circuitos Impressos. Dissertação (Mestrado) DEP, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, Brasil, WÄSCHER, G., HAU NER, H., SCHUANN, H., An improved typology of cutting and packing problems, European Journal of Operations Research, Aceito para publicação,