CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA NA VERIFICAÇÃO SIMULTÂNEA DOS ELU E ELS DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS A FLEXÃO

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1 ISSN CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA NA VERIFICAÇÃO SIMULTÂNEA DOS ELU E ELS DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS A FLEXÃO Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos 1 & Márcio Roberto Silva Corrêa 2 Resumo A consideração da não-linearidade está cada vez mais sendo tratada na análise de estruturas, particularmente aquelas ligadas às estruturas de concreto. Porém, ainda não se tem uma metodologia consistente que contemple a veriicação simultânea dos estados limites últimos e de serviço. Desse modo, este trabalho procurou abranger tal veriicação. O estudo abordou uma nova proposta para a veriicação simultânea dos estados limites últimos (ELU) e dos estados limites de serviço (ELS) para elementos de concreto armado submetidos lexão, considerando a não-linearidade ísica e utilizando o método dos elementos initos. As propostas alternativas apresentadas na consideração de coeicientes minoradores das resistências dos materiais trataram da utilização de valores médios para as relações tensão-deormação e para as resistências dos materiais; valores de reerência que permitiram a composição de coeicientes globais de segurança, que independem da ruptura ser causada por esgotamento da capacidade resistente do concreto ou do aço e, inalmente, valores médios para as relações tensão-deormação no aço e no concreto, com limitação das resistências em seus valores de projeto. Foram estudadas vigas isostáticas e hiperestáticas, incluindo a veriicação das reservas da capacidade resistente da estrutura, sendo que oi considerada a redistribuição dos esorços internos no caso hiperestático. Com base em critérios de simplicidade, viabilidade e suiciência de precisão, o trabalho conclui, elegendo a terceira proposta como a mais viável para as aplicações práticas na veriicação simultânea dos estados limites. Palavras-chave: não-linearidade ísica; concreto armado; estados limites. 1 INTRODUÇÃO A partir da década de 60 o meio cientíico vem desenvolvendo importantes avanços na análise não-linear de estruturas de concreto, particularmente aquelas ligadas diretamente ao concreto armado. Porém, tal avanço ainda não oi incorporado 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, geilsonmav@hotmail.com 2 Proessor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mcorrea@sc.usp.br

2 136 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa ao meio técnico, em especial no que se reere à análise estrutural em virtude das diiculdades inerentes ao processo e, também, ao descompasso ainda existente entre os procedimentos de análise estrutural e os de dimensionamento, com ênase para os coeicientes de ponderação de ações e de resistências. Normalmente o modelo elástico-linear é utilizado para representar o comportamento dos materiais, devido à relativa simplicidade em sua ormulação e, conseqüentemente, em seu equacionamento, quando comparado a modelos de cálculo mais reinados, como é o caso da análise estrutural considerando a nãolinearidade ísica. O estudo da não-linearidade ísica tem evoluído bastante, tanto no aspecto das ormulações teóricas quanto na melhoria da qualidade das implementações computacionais; melhorias nos modelos não-lineares, como otimizações nas rotinas de cálculo, agilizam o processamento de estruturas usuais de concreto. Essas rotinas de cálculo podem se tornar viáveis para uso nos escritórios de projeto de estruturas, sob a orma de programas computacionais. Usualmente, as normas que regulamentam as estruturas de concreto recomendam, por serem mais consistentes, o emprego de análises não-lineares ísicas. Muitas vezes permitem-se simpliicações, pois, em alguns casos, a análise não-linear torna-se inviável em virtude da necessidade de emprego de computadores de grande porte, elevado tempo computacional, entre outros. De acordo com a NBR 6118:2003 e o CEB-FIP MC90, os métodos de análise não-lineares podem ser empregados tanto para os estados limites últimos (ELU) quanto para os estados limites de serviço (ELS), desde que satisaçam às condições de equilíbrio e de compatibilidade. Este trabalho contempla a veriicação simultânea dos ELU e ELS de elementos de concreto armado submetidos à lexão, considerando-se o comportamento não-linear dos materiais. Nas análises realizadas oram considerados os valores médios para as relações tensão-deormação no aço e no concreto, limitando suas resistências aos valores de projeto. O trabalho mostra, também, a ormulação de uma nova proposta para veriicação destes estados limites que, independentemente da ruptura do elemento se dar por esgotamento da resistência do aço ou do concreto, tenha-se um mesmo coeiciente global de segurança. 2 MÉTODO NÚMERICO UTILIZADO O método numérico utilizado nas análises considerando o comportamento não-linear dos materiais oi o Método dos Elementos Finitos (MEF). O sistema ANSER (ANálise de Sistemas Estruturais Reticulados), desenvolvido por Ramalho (1990) e Corrêa (1991) e implementado por Oliveira (2001), inclui, em sua biblioteca um elemento de barra tridimensional, com nós em suas extremidades e seis graus de liberdade por nó, conorme igura 1. Essa nova versão do sistema computacional, desenvolvida por Oliveira para a análise não-linear de pavimentos de concreto armado, será designada por ANPAV, sendo que os elementos utilizados no presente estudo são a seguir descritos.

3 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças x z j y i Li Figura 1 Elemento inito tridimensional de barra. Na igura 1 são representados os graus de liberdade do elemento de barra: u x translação segundo o eixo local x; u y translação segundo o eixo local y; u z translação segundo o eixo local z; θ x rotação em torno do eixo local x; θ y rotação em torno do eixo local y; θ z rotação em torno do eixo local z; L i comprimento do elemento inito. O programa ainda contempla a estratiicação da seção transversal do elemento. Para elementos não-estratiicados, a seção transversal apresenta geometria constante ao longo do elemento, composta por um único material. Considerar a seção transversal estratiicada implica na extensão do domínio de integração também sobre essa seção. Assim, a integração sobre a seção transversal é obtida pelo somatório discreto da contribuição de cada uma das camadas que a compõe, igura 2. Novotny et al. (1994) realizaram uma investigação sobre métodos de integração mais empregados na previsão dos deslocamentos de elementos estruturais, considerando um comportamento elastoplástico. Esses autores concluíram que a integração por camadas pode ser considerada suiciente no emprego da análise não-linear. Os autores izeram estudos variando o número de camadas e/ou pontos de integração de Gauss. Concluíram que empregando um número de camadas superior a oito (8), o erro de integração torna-se praticamente desprezível. Nos exemplos analisados no presente trabalho, oram utilizadas dez (10) camadas nas seções transversais estratiicadas. A igura 2 mostra um elemento inito de seção retangular com estratiicação da seção transversal.

4 138 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa x z h y c h 2 b w2 Li b w Figura 2 Elemento inito de seção transversal retangular estratiicada em n camadas. De acordo com Oliveira (2001), a seção transversal estratiicada, além de permitir a aplicação dos modelos constitutivos dos materiais aço e concreto, abre espaço à implementação consistente da relação de interação entre as camadas compostas por dierentes materiais. 3 MODELOS CONSTITUTIVOS DOS MATERIAIS Os modelos constitutivos para os materiais oram considerados de orma a representar os parâmetros mais importantes envolvidos nos problemas em questão. Será apresentado apenas o estado uniaxial para ambos os materiais empregados no concreto armado. 3.1 Concreto Sabe-se que o concreto apresenta propriedades mecânicas dependentes da intensidade de solicitação. Comportando-se como material rágil quando submetido a tensões de tração. Por outro lado, apresenta comportamento que pode ser admitido como plástico sob compressão. O modelo constitutivo aplicado ao concreto à compressão oi o proposto pelo CEB FIP MC90. Observa-se no diagrama, relacionado à compressão do concreto, igura 3, o comportamento não-linear; nota-se também que o segundo trecho estendese além do ponto correspondente à deormação última do concreto ( ε cu ), representando o comportamento do concreto pós-esmagamento. Estas curvas são propostas para carregamento de curta duração.

5 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças σ c cm Trecho 1 cm2 Trecho 2 Ε c Ε c1 ε c1 ε cu ε c Figura 3 Diagrama tensão-deormação para o concreto à compressão, CEB FIP MC90. Na região tracionada do concreto, Oliveira (2001) considerou em suas implementações o modelo proposto por Figueiras (1983) que contempla o enrijecimento à tração, igura 4. Desse modo, tem-se a contribuição do concreto íntegro entre issuras, tornando-se o mais realista possível para a representação do comportamento do concreto submetida a esorços de tração. σ c t α. t Ε c ε t ε m ε c Figura 4 Diagrama tensão-deormação para o concreto à tração, FIGUEIRAS (1983). Sendo t a tensão de tração do concreto, ε m a deormação especíica limite ε = 0,0020 e α o coeiciente que impõe o grau de do concreto à tração ( m ) enrijecimento ( 0,5 α 0, 7). 3.2 Aço O aço utilizado na construção civil tem comportamento dúctil, por apresentar um patamar de escoamento, sendo bastante semelhante quer na tração quer na compressão. Um modelo elastoplástico pode ser considerado para representação de

6 140 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa seu comportamento mecânico. Sob a ação de esorços combinados, esse comportamento é bem representado pelo critério de escoamento de Von Mises. O comportamento mecânico das barras de aço, empregado nos modelos dos elementos estruturais, oi representado por um modelo constitutivo uniaxial elastoplástico pereito, ilustrado na igura 5. σ s y Ε s ε ys ε smax ε s Figura 5 Diagrama tensão-deormação para o aço. 4 MÉTODO DOS COEFICIENTES GLOBAIS O método dos coeicientes globais de segurança, abordado inicialmente por König et al (1997), permite que a estrutura tenha um único coeiciente de segurança, independentemente de a ruptura ser causada por esgotamento da capacidade resistente do concreto ou do aço. O tratamento da margem de segurança das estruturas de concreto novamente está em discussão no âmbito acadêmico, pela larga utilização de procedimentos nãolineares. Segundo Tue (1996), König et al. (1997), a margem de segurança da seção transversal de concreto armado pode ser descrita pela razão entre a capacidade resistente teórica determinada com os valores médios e os valores de projeto das resistências dos materiais. Em estruturas isostáticas, a margem de segurança da seção transversal é igual à margem de toda a estrutura, pois existe uma única seção crítica. Assim, alcançada a capacidade resistente da seção transversal, um novo estado de equilíbrio da seção tornar-se-ia impossível. No caso de estruturas hiperestáticas, é possível um novo estado de equilíbrio, em virtude da redistribuição dos esorços solicitantes, serem determinados simultaneamente pelas condições de equilíbrio e de compatibilidade, tornando-se condizente caso exista capacidade de deormação em pelo menos uma seção transversal. Desse modo, a margem de segurança da seção transversal e da estrutura não é necessariamente a mesma. Uma nova proposta para veriicação de estruturas de concreto que pode ser implantada consiste no emprego do método dos coeicientes globais na avaliação da margem de segurança das estruturas. Esta proposta, de acordo com o Bulettin d Inormation nº 239 do CEB (1997), tem como inalidade estabelecer uma

7 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças metodologia consistente capaz de ser utilizada para qualquer tipo de modelo e de estrutura. A equação 1 expressa o método dos coeicientes globais. Rsys S( γq Q+ γ g G) (1) γ gl Sendo S os esorços solicitantes; γ q o ator de segurança parcial para as ações variáveis; Q as ações variáveis; γ g o ator de segurança parcial para as ações permanentes; G as ações permanentes; R sys a capacidade resiste da estrutura ou da seção transversal; γ gl o ator de segurança global para a resistência da estrutura. A grande diiculdade está na deinição do valor do coeiciente global a ser utilizado. O coeiciente pode variar de acordo com o mecanismo de ruína da estrutura, proveniente do esgotamento da capacidade resistente do concreto ou do aço. Podese estabelecer as resistências médias dos materiais do concreto à compressão e do aço de orma simpliicada, conorme a equação2. cm ym = 1,10 = 1,10 ck yk (2) De acordo com as resistências dos materiais deinidas acima, o coeiciente global ( γ gl ) para uma determinada seção transversal situa-se aproximadamente entre 1,650 quando ocorre o esgotamento da capacidade resistente do concreto e 1,265 quando esgota a capacidade resistente do aço, ao serem utilizados os coeicientes minoradores da resistência dos materiais deinidos pelo CEB-FIP MC90. Estes valores podem ser determinados analiticamente como apresentados por König et al. (1997), mostrados na equação 3 e equação 4 para o concreto e para o aço, respectivamente. ck cm cd = e cm = 1,10 ck = 1,10 1,5 = 1, 650 (3) 1, 50 cd yk ym yd = e ym = 1,10 yk = 1,10 1,15 = 1, 265 (4) 1,15 Os coeicientes de segurança são dierentes se a ruptura ocorrer no concreto ou no aço, como comentado no parágrao anterior. Caso a ruptura seja mista, há uma lacuna no procedimento, não sendo possível determinar o coeiciente de segurança nesses casos, o que diiculta a deinição de uma metodologia única para a veriicação das estruturas. Segundo König et al. (1997), ), um possível caminho para uma investigação determinística do coeiciente global de segurança é a modiicação na resistência média do concreto; sendo esta a solução encontrada pelo reerido autor e pelos membros do CEB-Commission 1 para adaptar o valor da resistência média do concreto, desse modo substituindo-a por um valor convencional de reerência. Pesquisas realizadas por König et al. (1997) apud. Bulettin d Inormation nº 239 do CEB (1997) airmam que a resistência média do concreto, medida in-situ, é cerca de 85% do respectivo valor característico, podendo ser expresso conorme a equação 5. yd

8 142 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa cm = 0,85 (5) ck Considerando-se válida a equação 5, os valores médios da resistência do concreto à compressão e do aço para determinação do comportamento de estruturas de concreto armado, podem ser redeinidos conorme a equação 6. No presente texto são denominados valores de reerência das resistências dos materiais, para não serem conundidos com os valores médios anteriormente deinidos. cr yr = 0,85 = 1,10 ck yk (6) Com a respectiva adaptação à resistência do concreto à compressão, o valor do coeiciente global de segurança icou em torno de 1,27 independentemente da ruptura ser causada pelo concreto ou pelo aço. Para comprovar a homogeneização dos coeicientes, König et al. (1997) e Anher & Tue (1997) izeram algumas análises numéricas de uma seção transversal de concreto armado submetida à lexão. Os resultados das análises correspondentes a valores médios e de reerência para as resistências dos materiais são mostrados na igura 6. Figura 6 Razão ente os momentos resistentes com dierentes resistências dos materiais König et al. (1997) e Ahner & Tue (1997) [adaptada]. Sendo M pl o momento resistente obtido com as resistências médias e de reerência e M pl, d o momento resistente obtido com as resistências de projeto, utilizando os valores dos coeicientes minoradores do CEB FIP MC90. Observa-se na igura 6 uma pequena variação do coeiciente global de segurança ( γ gl ) entre os momentos resistentes com o acréscimo da taxa de armadura, quando são utilizadas as resistências de reerência, tornando-se praticamente constante a partir de taxas de 0,012. No entanto, empregando-se os

9 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças valores médios esta variação oi bastante signiicativa. Assim, o uso de valores de reerência torna-se bastante adequado ao emprego de um coeiciente global de segurança único em estruturas de concreto. Alguns trabalhos oram desenvolvidos com o intuito de veriicar o comportamento das estruturas de concreto, considerando a análise não-linear e as relações das resistências médias e de reerência dos materiais, podendo-se destacar Ahner (1999), Anher (2000), Wittek e Meiswinkel (2000) e Henriques et al. (2002). Admitidas como válidas as considerações eitas por König et al. (1997) para as resistências médias dos materiais, cabe adaptá-las à normalização brasileira. O coeiciente minorador da resistência do concreto ( γ c ) é dierente do considerado pelo CEB-FIP MC90, com o valor de γ c = 1, 4 utilizado pela NBR 6118:2003. Assim, o coeiciente global de segurança pode ser determinado analiticamente conorme a equação 7. cm cm = 0,85 ck = 0,85 1, 4 = 1,19 (7) cd Como a idéia é manter um mesmo coeiciente global de segurança, independente do critério de ruptura, seja por esmagamento do concreto ou por alongamento excessivo da armadura, deve-se determinar um valor para que a resistência do aço proporcione um coeiciente de segurança igual ao do concreto, como expressa a equação 8. ym yd yk = 1,19 ym = 1,19 ym = 1, 035 yk (8) 1,15 Percebe-se que, para obtenção da resistência média do aço, os coeicientes são dierentes comparados com o anterior. O Bulettin d Inormation nº 239 do CEB (1997) não justiica a consideração do valor 1,10 para a resistência média. No entanto, tem-se conhecimento que o critério de produção do aço é mais rigoroso que o do concreto, e, com isso, o valor de 10% da resistência característica para o aço parece estar excessivo. Assim, a bem da consistência, parece razoável adotar a razão entre o valor médio e o valor característico da resistência do aço em 1,035, com acréscimo de 3,5%. Desse modo, a resistência média dos materiais, adaptada à normalização brasileira é dada pela equação 9, também denominada resistência de reerência. cr yr = 0,85 ck = 1,035 yk (9) Com o intuito de veriicar o comportamento do método do coeiciente global de segurança, oram realizadas algumas análises para a avaliação da capacidade resistente de seções transversais submetidas à lexão pura, conorme igura 7. Considerou-se nestas análises o diagrama parábola-retângulo para o concreto e o bilinear para o aço, veriicando o ELU da seção para os valores de reerência e de projeto.

10 144 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa M M Figura 7 Seção transversal submetida à lexão simples: seção retangular e seção do tipo T. Medidas em cm. Os resultados obtidos para a seção retangular em que se variou a taxa de armadura e a classe do concreto são mostrados nas iguras 8 e 9. (a) (b) Figura 8 Seção retangular submetida à lexão: a) sem armadura de compressão e b) porta estribo como armadura de compressão. (a) (b) Figura 9 Seção retangular submetida à lexão: a) taxa de armadura de compressão ρ = 0,25% e b) taxa de armadura de compressão ρ = 0,50%.

11 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças Os resultados obtidos para a seção do tipo T são mostrados nas iguras 10 e (a) (b) Figura 10 Seção do tipo T submetida à lexão: a) sem armadura de compressão e b) porta estribo como armadura de compressão. (a) (b) Figura 11 Seção do tipo T submetida à lexão: a) taxa de armadura de compressão ρ = 0,25% e b) taxa de armadura de compressão ρ = 0,50%. De orma geral, os diagramas mostraram boa uniormidade do coeiciente global de segurança, em torno do valor esperado ( γ gl = 1,19), indicando que o método pode ser empregado para a veriicação da segurança de estruturas de concreto. Nas seções transversais retangulares, o menor valor do coeiciente global de segurança oi de 1,154 para seção sem armadura de compressão. Quando considerada armadura de compressão, o coeiciente global teve pequenas variações com o menor valor em torno de 1,162.

12 146 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa As seções do tipo T apresentaram um melhor comportamento do coeiciente global em razão da contribuição da mesa comprimida de concreto. O menor valor em todos os casos oi 1,177, com ou sem armadura de compressão. Percebe-se que em todos os casos (seções retangulares e do tipo T ) houve menor variabilidade do coeiciente global quando empregadas classes de concreto maiores, o que é uma tendência natural. Em todas as análises, a mudança do coeiciente global de segurança ocorreu quando a proundidade da linha neutra passou para o domínio 4 (seção superarmada), o que é usualmente evitado em virtude da possível ruptura rágil dos materiais. Em resumo, o método dos coeicientes globais de segurança mostrou-se útil para a veriicação da segurança de estruturas de concreto armado. Apesar de esta proposta ser interessante por uniormizar o coeiciente global de segurança, ela não contempla o dimensionamento de estruturas de concreto armado para o ELU quando considerada a não-linearidade ísica. 5 PROPOSTA DE DIMENSIONAMENTO Esta proposta de dimensionamento para elementos de concreto armado vem contemplar a veriicação simultânea dos ELU e ELS. Esta alternativa considera os valores médios para as relações tensão-deormação no aço e no concreto, limitando suas resistências aos valores de projeto ( d ). A deinição de uma relação constitutiva para o aço é mais simples, em virtude da invariabilidade do seu módulo de deormação longitudinal, como mostra a igura 12. σ ym = yk yd Ε s ε smax ε Figura 12 Diagrama tensão-deormação para o aço. No entanto, a deinição de uma relação constitutiva para o concreto torna-se mais complexa, dada a variabilidade do seu módulo de deormação longitudinal. Ao limitar a tensão ao valor da resistência de projeto alteram-se, além da capacidade resistente teórica, as relações constitutivas do material. A curva tensão-deormação correspondente aos valores médios é substituída por uma relação elastoplástica pereita até que seja atingida a deormação última do concreto a partir do que volta a

13 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças considerar a relação média, na ase inal do amolecimento, como mostra a igura 13. A curva tensão-deormação do concreto à compressão considerada corresponde à proposta pelo CEB-FIP MC Tensão (Pa) εc Deormação (ε) Valor médio Valor de projeto Proposta de dimensionamento 1.36 εcu Figura 13 Diagrama tensão-deormação para o concreto à compressão C30. 6 AFERIÇÃO DO PROGRAMA Os exemplos realizados nesta seção oram estudados por Wittek e Meiswinkel (2000), nos quais oram considerados os mesmos parâmetros adotados pelos autores para melhor avaliar os resultados obtidos com o programa ANPAV. Cabe ressaltar que aerições do programa, reproduzindo a comparação entre resultados teóricos e experimentais oram apresentadas por Oliveira (2001). Os dois exemplos seguintes, placa biapoiada e viga contínua, oram analisados considerando a não-linearidade ísica com o programa ANPAV. Foram eitas algumas modiicações no programa ANPAV original com relação à deormação última do aço, onde se considerou o valor adotado pelo CEB-FIP MC90 ( yu 25 ) 0 00 ε =, e introduzido o encruamento no aço. Desta orma, o modelo para o aço tornou-se elastoplástico com encruamento, ao invés de elastoplástico pereito como inicialmente adotado no programa original. Estas mudanças oram eitas para melhor representar os resultados. A resistência última do aço, considerando o encruamento, é representada pela equação 10. tu = 1, 08 (10) y sendo tu a resistência última do aço e do aço. y a resistência característica ao escoamento

14 148 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa Os coeicientes ponderadores da resistência dos materiais aplicados aos exemplos oram os propostos pelo CEB-FIP MC90, ou seja, γ c = 1, 5 para o concreto e γ s = 1,15 para o aço. Os valores da resistência média (índice m ) e de reerência (índice R ) do concreto e do aço são mostrados na equação 11. cm = + 8 em MPa (11a) ck ym = (11b) yk cr yr = 0,85 (11c) ck = 1,10 (11d) yk Nas análises não-lineares os módulos de elasticidade longitudinais tangentes iniciais do concreto e do aço oram considerados segundo o CEB-FIP MC90, expressos pela equação 12. E c 1 3 ck α + e cmo = (12a) Es = MPa (12b) 4 Sendo α = 2,15 10 MPa, = 8 MPa e = 10 MPa. e cmo 6.1 Placa biapoiada Foi analisada uma placa apoiada em duas extremidades, estudada por Wittek e Meiswinkel (2000). A placa biapoiada está submetida à carga uniormemente distribuída, sendo que sua seção transversal tem 100 cm de largura e 18 cm de altura, igura 14. q=γg.g + γq.q = 13,58 (kn/m 2 ) Medidas em cm Figura 14 Placa biapoiada Wittek e Meiswinkel (2000). A estrutura oi dimensionada em regime elástico-linear atendendo ao ELU. Consideraram-se os valores dos coeicientes ponderadores das resistências dos materiais segundo o CEB-FIP MC90. Os valores das resistências características à compressão do concreto de 25 MPa e à tração do aço de 500 MPa.

15 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças O valor do momento solicitante máximo é M = 42,44 knm m, a altura útil da peça é de 15 cm ( d 15 cm) =, portanto a área de armadura é d 2 As = 7,05 cm. m O coeiciente de segurança da seção transversal M γ u ST = M oi de d γ = 1,18 considerados os valores médios e γ = 1, 27 para os de reerência, ST ST praticamente os mesmos encontrados por Wittek e Meiswinkel (2000), que oram de 1,19 (valores médios) e 1, 27 (valores de reerência). Para as análises não-lineares considerou-se a mesma taxa de armadura encontrada no regime elástico-linear. O elemento estrutural oi discretizado em 13 nós e 12 elementos, com maior discretização na região de momento máximo; a seção transversal oi estratiicada em 10 camadas. Os resultados das análises realizadas com o programa ANPAV-modiicado são apresentados nas iguras 15 e 16, tanto para os valores médios como os de reerência da resistência dos materiais. Figura 15 Fator de carga vs. deslocamento análises com valores médios e de reerência.

16 150 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa Figura 16 Fator de carga vs. deslocamento presente trabalho. Percebe-se que as análises com o programa ANPAV proporcionaram resultados semelhantes aos da reerência utilizada, Wittek e Meiswinkel (2000), indicando que pode ser utilizado para análises de outros elementos. Porém, ocorreu uma pequena dierença após a issuração da peça de concreto, com menores deslocamentos nas análises realizadas com o programa ANPAV. Provavelmente esta dierença ocorreu porque o modelo adotado no programa ANPAV considera o enrijecimento à tração do concreto, com modelo proposto por Figueiras (1983). Na igura 16 são mostrados apenas os resultados da análise desta investigação. O valor do ator de carga último considerando-se os valores médios oi de λ u = 1, 21, enquanto para os valores de reerência oi de λ u = 1, 28, praticamente iguais aos das análises do coeiciente de segurança da seção transversal, que oram de γ = 1,18 e γ = 1, 27, respectivamente. Como a placa biapoiada é uma estrutura ST ST isostática, resultando um único estado de equilíbrio, os valores dos coeicientes de segurança icaram bastante próximos aos da veriicação da seção resistente, como era esperado. 6.2 Viga contínua com dois vãos A viga contínua está submetida à orça uniormemente distribuída, com seção transversal de 20 cm de largura e 70 cm de altura, igura 17. q=γg.g + γq.q = 81,00 (kn/m) Figura 17 Viga contínua com dois Wittek e Meiswinkel (2000). Medidas em cm

17 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças Consideraram-se as mesmas armaduras empregadas pelos autores Wittek e Meiswinkel (2000). As armaduras da ace inerior oram dispostas ao longo de todo o elemento e a armadura na ace superior apenas junto ao apoio. As resistências características à compressão do concreto e à tração do aço oram de 25 MPa (C25) e 500 MPa (CA-50), respectivamente. 2 As armaduras das seções transversais têm área de A s = 19,70cm junto ao 2 apoio para combater o momento negativo e As = 16,60cm nos vãos do elemento. Com os valores das áreas das armaduras longitudinais oram calculados os coeicientes de segurança das seções críticas transversais ( γ ) (vão e apoio) ST utilizando o programa de veriicação de seção resistente desenvolvido pelo autor no sotware MathCad, cujos valores são mostrados na tabela 1. Tabela 1 Segurança das seções transversais críticas da viga contínua Caso Apoio Vão VM VR VM VR Presente trabalho 1,15 1, 26 1, 27 1, 27 Wittek e Meiswinkel (2000) 1,17 1, 25 1, 25 1, 27 VM Valores médios VR Valores de reerência Os valores dos coeicientes de segurança das seções transversais críticas oram praticamente iguais aos valores encontrados pelos autores ciados. As análises, considerando a não-linearidade ísica, oram realizadas e comparadas com as da reerência citada. A viga contínua oi discretizada em 31 nós e 30 elementos e a seção transversal estratiicada em 10 camadas. As análises realizadas com o programa ANPAV-modiicado proporcionaram bons resultados para a viga hiperestática comparando-os com os de Wittek e Meiswinkel (2000), tanto para os valores médios quanto para os valores de reerência da resistência dos materiais, igura 17.

18 152 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa Figura 17 Fator de carga vs. deslocamento análises com valores médios e de reerência. A igura 18 mostra os resultados do presente trabalho. O ator de carga oi maior que o valor do coeiciente de segurança da seção transversal, tanto para valores médios ( λu = 1,48 > γ = 1,27 ) quanto para os valores de reerência ST ( λu = 1,52 > γ = 1, 27 ). As análises realizadas indicam a segurança da estrutura para ST a quantidade de armadura longitudinal considerada. Os esorços solicitantes no apoio ainda podem ser reduzidos, empregando-se a redistribuição dos esorços e conseqüente redução da taxa de armadura no apoio; entretanto, az-se necessária a inclusão de veriicações adicionais, tais como issuração e capacidade máxima de rotação da rótula plástica. Figura 18 Fator de carga vs. deslocamento presente trabalho.

19 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças O escoamento da armadura ocorreu primeiro no apoio, igura 18, em virtude da redistribuição do momento letor (diminuindo o momento no apoio e aumentando no vão), como era de se esperar. Esta inormação é obtida no arquivo de saída de resultados ornecida pelo programa ANPAV. Desta orma, ocorreu redução da taxa geométrica de armadura negativa e aumento da positiva. Aumentado-se o carregamento, ator de carga ( λ ), ocorreu o escoamento da armadura no vão e, posteriormente, oi ormada a segunda rótula plástica, agora no vão. Assim, a estrutura se tornou hipostática, chegando ao colapso com escoamento do aço e ruptura do concreto no apoio e no vão. 7 EXEMPLOS APLICADOS À NBR 6118:2003 Nos exemplos seguintes oram utilizados os parâmetros recomendados pela NBR 6118:2003, porém, com a consideração do diagrama tensão-deormação proposto pelo CEB-FIP MC90 para o concreto à compressão e o modelo de Figueiras (1983) à tração; o diagrama tensão-deormação para o aço, como um comportamento elastoplástico pereito e deormação última ε 10 0 su = 00, anteriormente descritos no item dos modelos constitutivos. A NBR 12655:1996 sugere que o valor médio da resistência à compressão do concreto possa ser expressa pela equação 13. = + 1, 65 s (13) cm ck d Sendo cm a resistência média à compressão; ck a resistência característica à compressão e s d o desvio-padrão. Quando não é realizado ensaio laboratorial, o desvio padrão pode ser adotado em unção da condição de preparo do concreto. De acordo com a NBR 12655:1996 para condição A, o desvio padrão é de 4,0MPa. Porém, não se tem recomendação alguma para o aço. Assim, no presente trabalho, será adotada a proposta de Oliveira (2001) que considera a resistência média do aço igual à resistência característica. Nas análises não-lineares, os módulos de elasticidade longitudinais dos materiais e a resistência média à tração do concreto considerada pela NBR 6118:2003, estão expressos na equação 14. E c 1 2 = 5600 (14a) ck Es = MPa (14b) ct m ck 2 3, = 0,3 (14c) O carregamento considerado nos exemplos é composto apenas por orças uniormemente distribuídas, com parcela permanente de 25,00 kn m e variável de 5,00 kn m. As composições dos carregamentos de cálculo para as análises dos ELU

20 154 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa e ELS estão de acordo com as prescrições da NBR 6118:2003. Os valores para os respectivos estados de veriicação são mostrados na tabela 2. Tabela 2 Carregamentos distribuídos para os respectivos estados limites Carregamento Estado limite kn m ELU 42,00 ELS (CQP) 26,50 ELS (CF) 27, Viga biapoiada A viga biapoiada com seção transversal de 15 cm de largura e 50 cm de altura submetida a orça uniormemente distribuída é mostrada na igura 19. q=γg.g + γq.q (kn/m) Medidas em cm Figura 19 Viga biapoiada. A viga oi dimensionada em regime elástico-linear atendendo ao ELU, com carga segundo a tabela 2 para o respectivo estado limite. Foram considerados os valores das resistências características à compressão do concreto de 30 MPa e à tração para o aço de 500 MPa. O valor do momento letor máximo no vão é M = 189,00 kn m, que para uma altura útil de 47 cm leva a uma área de armadura d As 11,59 2 = cm. A veriicação da seção resistente e as análises não-lineares oram realizadas com as resistências médias, de reerência e de cálculo dos materiais, expressas na tabela 3. Tabela 3 Resistência dos materiais Média Reerência Cálculo Material Valor Valor Valor Expressão Expressão Expressão (MPa) (MPa) (MPa) Concreto ck + 1, 65 sd 36,60 0,85 ck 25,50 ck 1, 4 21,43 Aço yk 500, 00 1, 035 yk 517,50 yk 1,15 434,78

21 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças O coeiciente de segurança da seção transversal M γ u = ST M oi de d γ = 1, 24 considerando os valores médios e γ = 1,19 para os valores de reerência. ST Nas análises não-lineares a viga oi discretizada em 15 nós e 14 elementos, com maior densidade na região de momento máximo; a seção transversal estratiicada em 10 camadas. Os resultados das análises considerando os valores médios, de reerência das resistências dos materiais e com a proposta de dimensionamento apresentada anteriormente, são mostrados na igura 20. ST Figura 20 Fator de carga vs. deslocamento no meio do vão da viga biapoiada. O valor último do ator de carga, considerando os valores médios da resistência dos materiais, oi de λ u = 1, 24, representando uma margem de 24% no valor do carregamento original, enquanto para os valores de reerência o ator de carga oi de λ u = 1, 21. Observa-se que esses resultados são praticamente iguais aos valores das análises do coeiciente de segurança da seção transversal, como esperado, já que se trata de uma viga isostática. O ator último de carga considerando a proposta de dimensionamento deste trabalho oi de λ u = 1, 00 satisazendo ao ELU, igura 20. Percebe-se que o elemento estrutural, quando considerada a proposta de dimensionamento, representou a rigidez de orma adequada, ou seja, com valores praticamente iguais aos médios, o que é desejável. As pequenas alterações ocorrem nas proximidades do im do carregamento, pois o modelo proposto atende às condições de dimensionamento, isto é, limita as tensões aos valores de projeto das resistências. Essa transição do valor médio ao valor de projeto se dá de orma suave e consistente. Assim, percebe-se que esta proposta contempla simultaneamente as

22 156 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa veriicações do ELU e do ELS em comportamento não-linear. Para conirma que o ELS é satiseito oram eitas as análises reerentes a este estado limite. A veriicação das lechas para o ELS (combinação quase permanente CQP), oi realizada no regime não-linear avaliando a proposta de dimensionamento eita neste trabalho e, de orma simpliicada, como prescreve a NBR 6118:2003, cujo carregamento para esta situação é mostrado na tabela 2. Na análise não-linear ísica e como prescreve a NBR 6118:2003, a lecha oi determinada tanto para o instante da aplicação do carregamento quanto para o carregamento ao longo do tempo, com recorrência de 70 meses, resultando em um coeiciente de luência de ϕ (, tto ) = 1, 84. Os valores das lechas são mostrados na tabela 4. Tabela 4 Flechas na viga biapoiada Flecha Valor (cm) Análise não-linear NBR 6118:2003 Imediata 1,54 1,57 Final 2,32 3,58 O valor da lecha inal calculado segundo a prescrição normalizada, não satisez ao limite de aceitabilidade sensorial estabelecido pela NBR 6118:2003 para elementos estruturais de concreto armado ( L 250 = 2,40 cm). Na análise nãolinear, o processamento considerando o coeiciente de luência produziu uma lecha inal de 2,32 cm, que satisaz ao limite de aceitabilidade sensorial. Na avaliação da abertura característica de issuras para o ELS (combinação reqüente CF) oi realizada segundo as prescrições da NBR 6118:2003. Na análise numérica considerou-se φ = 16,00 mm para as armaduras longitudinais tracionadas dispostas em duas camadas e classe de agressividade ambiental tipo I (CAA I). Assim, a abertura máxima de issuras no vão oi de 0,11 mm. A NBR 6118:2003 recomenda uma abertura máxima de issuras de 0,40 mm para a classe de agressividade especiicada. Portanto, a abertura máxima das issuras encontradas para a viga biapoiada satisez a prescrição normalizada ( w = 0,11 w = 0,40 mm). ap k 7.2 Viga apoiada-engastada A viga apoiada-engastada com seção transversal de 15 cm de largura e 50 cm de altura, submetida à orça uniormemente distribuída, é mostrada na igura 21.

23 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças q=γg.g + γq.q (kn/m) Figura 21 Viga apoiada-engastada. Medidas em cm A viga oi dimensionada em regime elástico-linear atendendo ao ELU, cujo valor do carregamento é mostrado na tabela 2 para o respectivo estado limite. Foram considerados os valores das resistências características do concreto à compressão de 30 MPa e à tração para o aço de 500 MPa. O valor do momento letor máximo junto ao engaste é M d = 189,00 kn m d = 51 cm, o que resulta em uma área de para uma altura útil da peça é de 51 cm ( ) armadura de M d As 10,19 2 = cm. Para o momento letor máximo no vão de = 106,30 kn m a armadura é de As 5, 25 2 = cm. As armaduras longitudinais principais oram dispostas na ace inerior apenas na região de momento positivo e a armadura na ace superior na região de momento negativo, junto ao engaste. Sob o ponto de vista prático, parte da armadura inerior deveria ser prolongada até o engstae. Isso não oi considerado no exemplo, por não modiicar os conceitos envolvidos. Nesta primeira situação não se considerou a redistribuição dos esorços solicitantes. O cálculo dos coeicientes de segurança das seções transversais críticas (engaste e vão) e as análises não-lineares oram eitos com as resistências expressas na tabela 3. A seção do engaste apresentou coeiciente de segurança igual a 1, 22 (valores médios) e 1,19 (valores de reerência), enquanto a seção crítica do vão igual a 1,18 (valores médios) e 1,19 (valores de reerência). Para as análises não-lineares a viga oi discretizada em 17 nós e 16 elementos, com maior discretização nas regiões de maiores momentos (vão e engaste), e seção transversal estratiicada em 10 camadas. Os resultados das análises são mostrados na igura 22. Os atores últimos de carga oram maiores do que os coeicientes de segurança das seções transversais críticas tanto para os valores médios ( λ u = 1, 26 ) quanto para os de reerência ( λ u = 1, 25 ) das resistências dos materiais. Como a viga apoiada-engastada é hiperestática já era esperada a dierença entre os coeicientes de segurança da seção transversal e da estrutura. Isto ocorre pelo ato dos esorços serem determinados simultaneamente pelas condições de equilíbrio e de compatibilidade.

24 158 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa Figura 22 Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga sem redistribuição. O ator último de carga, empregando a proposta de dimensionamento deste trabalho, oi de λ u = 1, 07, satisazendo ao ELU. Percebe-se que o elemento estrutural, quando considerada esta proposta, representou a rigidez de orma adequada, ou seja, com valores praticamente iguais aos médios, o que é desejável. Surgem apenas, pequenas alterações nas proximidades do im do carregamento, pois o modelo proposto atende às condições de dimensionamento. Neste caso de viga hiperestática a proposta mostrou uma reserva de carregamento, ainda que pequena (7%). Nota-se, mais uma vez, que esta proposta permite veriicar simultaneamente os ELU e os ELS, considerando o comportamento não-linear ísico. Adicionalmente devem ser veriicados os ELS de deormação excessiva da viga e de aberturas de issuras. As veriicações das lechas para o ELS (CQP) oram realizadas no regime não-linear, utilizando-se a proposta deste trabalho e de orma simpliicada como prescreve a NBR 6118:2003. Os resultados das lechas imediatas e inais são mostrados na tabela 5. Tabela 5 Flechas na viga apoiada-engastada Flecha Valor (cm) Análise não-linear NBR 6118:2003 Imediata 0,59 1,20 Final 0,89 2,74 A lecha imediata na análise não-linear oi bem menor que o valor com o uso da rigidez equivalente de Branson estabelecida por norma. O valor da lecha inal para um tempo de recorrência de 70 meses não satisez ao limite de aceitabilidade sensorial estabelecido pela NBR 6118:2003 ( L 250 = 2,40 cm), quando veriicado com as suas prescrições. No entanto, para a análise não-linear com o programa

25 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças ϕ =, este critério oi atendido. A veriicação da abertura máxima de issuras para o ELS (CF) oi realizada segundo as prescrições da NBR 6118:2003. Na análise numérica considerou-se φ = 16,0 mm dispostas em duas camadas para as armaduras longitudinais ANPAV, considerando-se o coeiciente de luência ( (, tto) 1, 84) tracionadas e classe de agressividade ambiental tipo I (CAA I). O valor da abertura máxima de issuras oi de 0, 21 mm no vão e 0,12 mm no engaste. A NBR 6118:2003 recomenda abertura máxima de issuras de 0,40 mm para a classe de agressividade especiicada. Desta orma, as aberturas máximas das issuras encontradas para a viga apoiada-engatada com as respectivas armaduras satisizeram à prescrição normativa. Na análise anterior não oi considerada a redistribuição dos esorços solicitantes. Entretanto, a NBR 6118:2003 permite redução dos momentos letores sobre os apoios em até 10% para estruturas de nós móveis e 25% para os outros casos. A NBR 6118:2003 indica, ainda, que no caso de reduzir o momento letor de M para δ M em uma determinada seção transversal, a razão entre o coeiciente de redistribuição ( δ ) e a proundidade da linha neutra na seção ( x d ) deve obedecer ao prescrito em 15. δ 0,44 + 1,25 x para ck 35MPa (15a) d δ 0,56 + 1,25 x para ck > 35 MPa (15b) d A norma brasileira recomenda, ainda, que a posição da linha neutra, no ELU, deva satisazer aos limites estabelecidos nas inequações 16a e 16b para melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não orem eitas redistribuições de esorços solicitantes. x 0,50 para ck 35 d MPa (16a) x 0,40 para ck 35 d > MPa (16b) Na seção do apoio, a proundidade da linha neutra oi de 20,03 cm, ou seja, x = 0,39 < 0,50 satisazendo à condição da equação 16. De acordo com a inequação d 15a o coeiciente de redistribuição mínimo é de δ = 0,93, permitindo com isso a redução do momento negativo em 7%. A viga apoiada-engastada oi novamente dimensionada, agora para os novos esorços solicitantes provenientes da redistribuição. O valor da altura útil oi mantido. O momento letor máximo no apoio de M = 175,77 kn m resultou em armadura de d

26 160 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa As 2 = 9,32 cm, enquanto para o momento letor no vão de M d 111,33 2 As = 5,52 cm. armadura oi de = kn m a Na análise não-linear ísica, considerando-se a redistribuição dos esorços solicitantes, as armaduras longitudinais principais oram dispostas da mesma orma que no caso anterior, bem como a discretização da viga. Os resultados das análises estão ilustrados na igura 23. Figura 23 Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga com redistribuição. Percebe-se que os atores de carga oram maiores que os coeicientes de segurança da seção transversal. Entretanto, os atores de carga correspondentes à redistribuição dos esorços, oram iguais aos das análises sem redistribuição. Esperava-se uma redução da margem de segurança da estrutura pelo ato de ter sido realizada a redistribuição dos esorços solicitantes; isto, porém, não aconteceu, provavelmente em virtude da baixa redistribuição dos esorços, no caso apenas 7%. A proposta de dimensionamento também satisez ao ELU tendo um comportamento semelhante à análise sem redistribuição dos esorços solicitantes. Os resultados das veriicações das lechas imediatas e inais estão mostrados na tabela 6.

27 Consideração da não-linearidade ísica na veriicação simultânea dos elu e els de peças O valor da echa na análise não-linear, com redistribuição dos esorços solicitantes, oi o mesmo da análise sem redistribuição; não houve variação em virtude da pequena redistribuição, satisazendo ao critério de aceitabilidade sensorial estabelecido pela norma brasileira. Na veriicação da lecha, segundo as simpliicações normalizadas, ocorreu pequena variação devido ao acréscimo de armadura no vão, sendo praticamente desprezível em relação à análise anterior. Nesta análise também oi ultrapassado o limite estabelecido pela NBR 6118:2003 para o critério de aceitabilidade. Para a veriicação de abertura máxima de isssuras, as armaduras longitudinais dispostas em duas camadas, com bitola das barras de φ = 16,0 mm, e CAA I, o valor da abertura máxima de issuras oi de 0,19 mm no vão e 0,14 mm no engaste. Os valores oram menores que os recomendados na NBR 6118:2003 que é de 0,40 mm para a classe de agressividade especiicada. Assim, as aberturas máximas das issuras encontradas para a viga apoiada-engatada, considerando redistribuição dos esorços solicitantes, satisizeram à prescrição normativa. Nos dois casos analisados, viga biapoiada e apoiada-engastada, as estruturas mostraram-se seguras com a proposta de dimensionamento apresentada e com reserva de carga para a viga apoiada-engastada, satisazendo tanto ao ELU quanto ao ELS. VASCONCELOS (2005) ez estudos de outros sistemas hiperestáticos de estruturas de concreto armado submetidos à lexão, considerando uma maior redistribuição dos esorços solicitantes e veriicando a capacidade de rotação da rótula plástica, chegando a resultados bastante satisatórios. A proposta de dimensionamento apresentada mostrou-se sempre adequada para a veriicação simultânea dos ELU e ELS para estes sistemas estruturais. 8 CONCLUSÕES A necessidade de considerar valores médios para as resistências dos materiais para representar a rigidez e de valores reduzidos de cálculo no dimensionamento de peças de concreto armado, normalmente conduz a uma inconsistência, ao considerar-se a evolução do carregamento. Procurando superar tal inconsistência, oram analisadas algumas alternativas de modelos para melhor representar o comportamento das estruturas de concreto armado, que pudessem atender simultaneamente aos ELU e ELS. A alternativa que se mostrou mais viável e adequada para a veriicação simultânea dos estados limites é a que considera os valores médios para a relação tensão-deormação, limitando-se as resistências dos materiais aos seus valores de cálculo. Esta proposta representou de orma adequada a rigidez do elemento durante a evolução do carregamento. O método dos coeicientes globais, com a adoção de um único coeiciente de segurança, independente da ruptura ocorrer no aço ou no concreto, é uma alternativa viável para a veriicação da segurança das estruturas de concreto armado, principalmente para sistemas isostáticos que possuem apenas uma seção crítica. No entanto, para sistemas hiperestáticos, em que há várias situações de equilíbrio possíveis, em virtude da redistribuição dos esorços solicitantes, esta alternativa pode

28 162 Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos & Márcio Roberto Silva Corrêa caracterizar coeicientes de segurança globais dierentes dos das seções transversais. Assim, não pode ser considerada para o dimensionamento de elementos estruturais de concreto considerando a não-lineardade ísica, por não limitar suas resistências aos valores de projeto, tornando-se inconsistente para tal avaliação. 9 AGRADECIMENTOS Agradecemos à CAPES pelo apoio inanceiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. 10 REFERÊNCIAS AHNER, C. (1999). Results o deterministic investigations o reinorced concrete structures or the saety o non-linear calculations. (Leipzig Annual Civil Engineering Report, 4). AHNER, C. (2000). Reliability o slender columns. (Leipzig Annual Civil Engineering Report, 5). AHNER, C.; TUE, N. V. (1997). A new saety ormat or the design o reinorced concrete structures with non-linear behaviour o materials. (Leipzig Annual Civil Engineering Report, 2). ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996). NBR 12655: Concreto preparo, controle e recebimento. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto procedimento. Rio de Janeiro. CEB BULLETIN D INFORMATION (1990). Lausanne, n.203/204, July. CEB BULLETIN D INFORMATION (1997). Lausanne, n.239, Aug. CORRÊA, M. R. S. (1991). Apereiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de ediícios. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos FIGUEIRAS, J. A. (1983). Ultimate load analysis o anisotropic and reinorced concrete plates and shells. Swansea. Ph.D. Thesis, Depart. O Civil Engineering, University College o Swansea. HENRIQUES, A. A. R.; CALHEIROS, F.; FIGUEIRAS, J. A. (2002). Saety ormat or the design or concrete rames. Engineering Computations, Swansea, v.19, n.3, p KÖNIG, G.; TUE, N. V.; AHNER, C. (1997). Consistent saety ormat. CEB Bulletin d Inormation, Lausanne, n.239, p.1-16, May. NOVOTNY, A. A. et al. (1994). Análise comparativa entre alguns procedimentos de integração na espessura para problemas elastoplásticos em placas semi-espessas.