MODELAÇÃO NUMÉRICA E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA PONTE PEDONAL

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1 MODELAÇÃO NUMÉRICA E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE UMA PONTE PEDONAL Elsa CAETANO Prof. Auxiliar FEUP Porto Álvaro CUNHA Prof. Associado Agregado FEUP Porto SUMÁRIO Neste artigo, é efectuada a descrição de um estudo experimental e numérico do comportamento dinâmico de uma ponte pedonal de tipo stress-ribbon, envolvendo a identificação modal baseada num ensaio de vibração ambiental e a subsequente actualização sucessiva de um modelo numérico desenvolvido para simulação da resposta dinâmica da ponte sob a acção de peões. Este estudo evidencia com clareza a importância da abordagem experimental no estudo do comportamento dinâmico deste tipo de estruturas, fortemente condicionado por nãolinearidades de natureza geométrica.. INTRODUÇÃO No novo Campus da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, foi construída uma ponte pedonal do tipo stress-ribbon, efectuando a ligação entre o edifício da Cantina e a zona da Biblioteca, a qual exibe níveis de vibração francamente perceptíveis mesmo quando atravessada por um reduzido número de peões. Esse facto motivou o desenvolvimento de uma modelação numérica do comportamento dinâmico da estrutura, no sentido de avaliar o grau de importância destas vibrações face a valores limite sugeridos por códigos estrangeiros, bem como a realização de algumas medições de campo. Todavia, a especificidade própria deste tipo de pontes, em que o comportamento não-linear geométrico assume um papel determinante, levou à necessidade de actualizar sucessivamente a modelação numérica, por forma a alcançar-se uma boa correlação entre parâmetros modais

2 6 SÍSMICA 4-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica identificados e calculados da estrutura, tendo em consideração as particularidades próprias do seu processo contrutivo. Este estudo, que envolveu a realização de um ensaio de vibração ambiental e sucessivas actualizações do modelo numérico de análise dinâmica, serve para evidenciar claramente a importância da abordagem experimental na análise deste tipo de pontes, tendo, por um lado, a identificação experimental de frequências naturais e de modos de vibração sido essencial para a calibração do modelo numérico e, por outro, a medição de coeficientes de amortecimento sob acções de serviço sido fundamental para o cálculo da resposta dinâmica da ponte à acção de peões.. DESCRIÇÃO DA PONTE.. Características estruturais A ponte pedestre que integra o novo campus da Faculdade de Engenharia do Porto (Figura ) foi projectada pelo Gabinete de Projectos ENCIL (998), sendo constituída por um tabuleiro do tipo stress-ribbon contínuo, apoiado nos encontros e num pilar intermédio, formando dois vãos de 8m e 3m. Figura : Vista da ponte pedonal A laje de tabuleiro constitui uma estrutura laminar de betão armado com 3,8m de largura e cerca de,5m de espessura, cuja resistência é dada por 4 cabos embebidos na secção de betão traccionados entre os encontros (Figura ). A forma curva da estrutura resulta do equilíbrio estático entre as forças gravíticas e as forças de tracção nos cabos. O pilar central, cuja extremidade superior possui uma cota de m acima da cota dos encontros, é uma estrutura metálica formada por 4 tubos dispostos segundo as arestas de uma pirâmide quadrangular invertida, ligados superiormente por uma sela de desvio dos cabos do tabuleiro e cujo vértice forma uma rótula. Sendo a resistência às acções horizontais conferida pelos cabos traccionados, tornou-se necessária a utilização de um sistema de apoio longitudinal durante a fase construtiva. De acordo com a memória descritiva do projecto (ENCIL, 998), o processo construtivo assentou nos seguintes passos fundamentais: (i) instalação e esticamento dos cabos até se atingir em cada um uma força de 75kN; (ii) colocação de pré-lajes com uma largura de m de forma progressiva e alternada, de um e outro lado do pilar, começando na face vertical anterior

3 Z=6.65 Elsa CAETANO, Álvaro CUNHA 63 dos encontros e terminando junto ao limite da sela central; (iii) betonagem do tabuleiro de forma aproximadamente simétrica em relação ao pilar central após montagem da armadura passiva, terminando sobre as selas de desvio, onde é utilizado um sistema de escoramento deformável apropriado, de modo a assegurar uma curvatura de 6m de raio; (iv) injecção das juntas entre as pré-lajes com grout epoxi, após endurecimento do betão; (v) eventual aplicação de um pré-esforço adicional nos cabos do tabuleiro, a fim de corrigir a geometria da estrutura; (vi) injecção dos cabos com calda de cimento. Z=4.5 Z= Z=.5 Z=9. Z= Z=6.65. % % Z= Comportamento estático Figura : Alçado e secção transversal da ponte pedonal Um aspecto particular das pontes do tipo stress-ribbon reside no facto de a sua estabilidade e rigidez serem determinadas pelos esforços axiais instalados em cabos longitudinais tensionados, sendo a correspondente configuração geométrica definida pelas condições de equilíbrio destes elementos sob as cargas permanentes. A utilização de tabuleiros de elevada esbelteza permite obter baixas curvaturas. Contudo, tais curvaturas estão associadas a elevadas forças axiais nos cabos e, por outro lado, pequenas alterações da configuração geométrica podem conduzir a variações significativas das forças axiais. Por este facto, o comportamento estrutural da ponte evidencia uma grande dependência em relação ao processo contrutivo utilizado. Esta característica ressalta evidente da análise numérica realizada, procurando ter em conta as diversas fases seguidas na construção. Esta análise foi realizada desenvolvendo um modelo D baseado em elementos finitos de viga e de treliça. Em primeiro lugar, o conjunto dos quatro cabos de pré-esforço foi modelado através de uma série de 59 elementos de treliça, suportados a partir dos encontros e apoiados no pilar intermédio, considerando uma força de projecto inicial de 3kN. Numa segunda fase, estes elementos foram progressivamente carregados com o peso dos segmentos pré-fabricados, colocados no sentido dos encontros para o pilar intermédio. A resposta estrutural foi calculada tendo em atenção o comportamento não-linear geométrico da estrutura. Numa terceira fase, o peso do betão colocado in situ foi adicionado aos mesmos elementos de treliça. Numa quarta etapa, activaram-se também elementos de viga efectuando a ligação entre os nós dos elementos de treliça. Finalmente, a carga correspondente

4 64 SÍSMICA 4-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica à camada superior de betuminoso foi introduzida. A Figura 3 mostra a malha de elementos finitos antes e depois da aplicação das cargas permanentes. Figura 3: Configurações inicial (tracejado) e final, após aplicação das acções permanentes (cheio) A geometria final calculada do tabuleiro coincide praticamente com a geometria especificada pelo projecto, como se mostra na Figura 4 (Calculada/projecto vs Projecto). Contudo, a geometria da ponte obtida a partir de um levantamento topográfico (Figura 4: Medida) apresenta um desvio máximo de cerca de cm próximo do meio do maior vão. Além disso, medições das dimensões da laje de betão efectuadas no local mostram que a sua verdadeira espessura é cerca de % superior ao valor de projecto. A simulação numérica da geometria real da ponte foi então realizada modificando de forma iterativa a força instalada nos cabos, de modo a fazer coincidir o perfil longitudinal resultante com o perfil longitudinal medido (Figura 4: Calculada/corrigida). A força inicial instalada nos cabos foi assim alterada para 34kN, em vez do valor de projecto de 3kN. Altura (m) Medido Projecto Calculado/projecto Calculado/corrigido Distância (m) Figura 4: Perfil longitudinal do tabuleiro da ponte: valores medidos, de projecto e calculados Quadro : Forças iniciais e finais nos cabos Força axial Inicial (kn) Final Variação Projecto Calculada (,xmassa)

5 Elsa CAETANO, Álvaro CUNHA 65 O Quadro sumariza os valores de projecto e calculados das forças axiais máximas nos cabos antes e após a aplicação das cargas permanentes. Estes valores mostram, em particular, que a geometria real da ponte (com maior curvatura) conduz a uma estrutura mais flexível do que foi inicialmente previsto, pelo que a aplicação de cargas transversais origina oscilações mais elevadas das forças axiais. Uma vez alcançada a configuração correspondente ao perfil real da ponte, o comportamento da ponte sob acções de serviço pôde ser estudado de forma apropriada. A Figura 5 resume os principais resultados obtidos em termos de deslocamentos, forças axiais e momentos flectores, referidos à aplicação de uma carga uniformemente distribuída ou a uma carga concentrada a meio do maior vão, para diferentes níveis de intensidade. A observação desta figura mostra que a ponte parece comportar-se linearmente para acções de serviço, apesar do seu comportamento não-linear geométrico durante a fase construtiva. Além disso, a rigidez desta ponte pedonal, calculada como sendo a relação entre a força pontual aplicada e o correspondente deslocamento a meio vão, é de cerca de kn/mm, valor bastante baixo face à gama de valores habituais em pontes pedonais de betão, metálicas ou mistas (kn/mm 3kN/mm) [3]. Incremento de deslocamento a meio vão (m) Deslocamento Momento flector Esforço axial nos cabos Força uniformemente distribuída (kn/m ) Inc. Momento flector (kn.m) Inc. Esforço axial cabo (kn) Incremento de deslocamento a meio vão (m) Deslocamento Momento flector Força no cabo Força concentrada a meio do maior vão (kn) Inc. Momento flector (kn.m) Inc. Esforço axial cabos (kn) Figura 5: Variação do deslocamento, força e momento flector com a intensidade da carga.3. Comportamento dinâmico: análise modal.3.. Ensaio de vibração ambiental O ensaio de vibração ambiental da ponte foi realizado com base em quatro sismógrafos, dotados de acelerómetros triaxiais de tipo force-balanced, devidamente sincronizados por um PC. A resposta ambiental da ponte foi medida em sucessivos set-ups, considerando dois pontos de referência fixos (pontos 3 e 8, Figura 6) e 8 pontos de medida móveis, todos situados sobre o eixo longitudinal da ponte. A Figura 7 mostra alguns detalhes deste ensaio. Ref Ref Estações de medida Estações de referência Figura 6: Pontos de medida utilizados Em cada set-up, a resposta ambiental foi medida adquirindo-se séries temporais de

6 66 SÍSMICA 4-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica aceleração com 6 minutos de duração. Estas séries foram posteriormente analisadas e processadas, por forma a obter estimativas de espectros de potência médios (PSD) e de funções de transferência, relacionando a resposta em cada ponto móvel com um ponto de referência. A Figura 8 mostra duas estimativas espectrais médias obtidas nos dois pontos de referência, a partir das quais as principais frequências naturais da estrutura podem ser identificadas. Figura 7: Ensaio de vibração ambiental: vista das operações; sismógrafos sobre ponto de referência Densidade espectral de potência média.e+.e-.e-.e-3.e-4.e-5 Ref. Ref..E Frequência (Hz) Figura 8: Estimativas espectrais médias relativas aos dois pontos de referência A aplicação do método convencional de Peak-Picking ao conjunto das funções de resposta em frequência obtidas possibilitou a identificação de frequências naturais e de modos de vibração, os mais significativos dos quais se encontram apresentados na Figura 9. O Quadro resume os valores das frequências naturais identificadas, bem como as características dos correspondentes modos de vibração. O Quadro inclui também uma comparação com resultados obtidos através do modelo numérico calibrado, discutido posteriormente. É de realçar que os parâmetros modais identificados com esta campanha de medição se revelaram muito próximos dos resultados alcançados um ano antes, através de um outro ensaio de vibração ambiental, envolvendo a utilização de acelerómetros piezoeléctricos e de um analisador de Fourier [5], embora se tenha registado um leve decréscimo da frequência fundamental, a qual pode dever-se a efeitos de temperatura, ou então reflectir alguma

7 Elsa CAETANO, Álvaro CUNHA 67 degradação, em particular, relacionada com as guardas metálicas, que não foram consideradas na modelação numérica. Um outro ponto a destacar diz respeito aos modos e 3 (Quadro ), associados a frequências naturais muito próximas de Hz. A elevada interacção modal tornou muito difícil a separação destes modos, mediante a aplicação do método Peak-Picking. Quadro : Frequências naturais identificadas e calculadas Ordem Frequência Frequência medida (Hz) calc. (Hz) Tipo de modo,99,949 º anti-simétrico (dois vãos, oposição de fase),83,99 º simétrico (dois vãos, em fase) 3,78,43 º anti-simétrico (L=3m) 4,43,47 º anti-simétrico (L=8m) 5 3,753 3,334 º simétrico (dois vãos, oposição de fase) 6 3,857 3,869 º simétrico (L=3m) 7 4,9 4,38 º simétrico (L=8m) 8 5,76 5,95 3 º anti-simétrico (L=3m) 9 6,57 6,8 3 º anti-simétrico (L=8m) 8,6 8,7 4 º simétrico (dois vãos, oposição de fase ) Exp:.99Hz Num:.949Hz Exp:.83Hz Num:.99Hz Exp:.78Hz 3 Num:.43Hz Exp:.43Hz.5 Num:.47Hz Exp.: 3.753Hz Num: 3.334Hz Exp: 3.857Hz 3 Num: 3.869Hz Exp: 4.9Hz Num: 4.38Hz Exp.5.76Hz Num.:6.8Hz Figura 9: Modos de vibração identificados e calculados.3.. Desenvolvimento e actualização de um modelo de elementos finitos A simulação do comportamento dinâmico da ponte foi realizada, em primeira instância, modelando o tabuleiro através de uma série de elementos de viga, com a a geometria inicial

8 68 SÍSMICA 4-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica correspondente à configuração definida a nível de projecto para os cabos de pré-esforço sob as acções permanentes. O Quadro 3 sumariza os valores das frequências naturais obtidas (modelo ), os quais podem ser comparados com os correspondentes valores identificados. Este quadro mostra não só que as frequências calculadas diferem significativamente dos valores medidos, mas também que a ordem dos modos se apresenta alterada, o que significa que este modelo numérico é incapaz de reproduzir as características dinâmicas da ponte. Quadro 3: Frequências naturais identificadas e calculadas usando vários modelos numéricos Modo nº Frequência identificada (Hz) Modelo Freq. (Hz) Modelo Freq. (Hz) Modelo 3 Freq. (Hz) Modelo 4 Freq. (Hz) Modelo final Freq. (Hz),99,849,794,74,96,949,83,448,654,937,44,99 3,78,9,8,446 3,83,43 4,43,96,,547 3,895,47 5 3, ,7 7,496 3, ,857 3,45 3,4 3,376 7,569 3, ,9 3,78 3,63 3,34,4 4,38 No sentido de tentar melhorar a modelação numérica, introduziu-se uma correcção passando a considerar-se a configuração do perfil longitudinal medido. As frequências naturais correspondentes (Quadro 3, modelo ), associadas a modos de vibração com configuração idêntica aos anteriores, apresentam contudo ainda grandes diferenças em relação aos valores medidos. Tentando enquadrar as características do comportamento dinâmico da ponte, a rigidez à flexão do tabuleiro foi desprezada, numa segunda fase. Então, foi desenvolvido um terceiro modelo numérico (modelo 3) baseado na discretização do tabuleiro em elementos de viga, com a configuração geométrica do perfil longitudinal medido, com uma área igual à da secção transversal dos cabos de pré-esforço e uma inércia desprezável, submetidos a uma força inicial de 34kN. As frequências naturais obtidas (Quadro 3) são claramente inferiores aos valores medidos. Contudo, a ordem dos modos calculados coincide com a ordem dos modos identificados. Modelando o comportamento estático através da discretização do tabuleiro em elementos de treliça e de elementos de viga sucessivamente activados por forma a reproduzir o processo construtivo e, considerando a matriz de rigidez tangente após a aplicação das cargas permanentes e a activação dos elementos de viga (com a inércia de projecto), novas frequências naturais e modos de vibração foram calculados. Este modelo (modelo 4) tenta assim combinar a rigidez à flexão com a rigidez geométrica associada à configuração de equilíbrio. Comparando estas frequências calculadas com os valores experimentais, pode observar-se que este modelo é significativamente mais rígido que a estrutura real. Os resultados anteriormente obtidos mostram que a vibração da ponte mobiliza não só rigidez à flexão, mas também rigidez axial. Contudo a primeira é apenas parcialmente mobilizada. A modelação numérica cujos resultados se apresentam no Quadro 3 (modelo final) e na Figura 9 foi obtida após várias modificações introduzidas no modelo 4, considerando a espessura medida da laje de betão em vez do valor de projecto, e também a possibilidade de rotação parcial entre elementos adjacentes. Além disso, a área e inércia da secção transversal desses

9 Elsa CAETANO, Álvaro CUNHA 69 elementos foram reduzidas em 5 e 6%, respectivamente, em relação ao valor de projecto. Estas hipóteses tendem a reflectir as deficientes condições de aderência entre o betão préfabricado e o colocado in situ, e a falta de selagem entre segmentos pré-fabricados, contrariamente às especificações de projecto. Embora a primeira destas hipóteses não possa ser facilmente confirmada, a segunda é facilmente evidenciada através de inspecção visual. A observação do Quadro 3 e da Figura 9 permite constatar o bom grau de correlação alcançado entre resultados experimentais e numéricos..4. Comportamento dinâmico: amortecimento O amortecimento é um factor determinante na caracterização do comportamento dinâmico de estruturas excitadas na vizinhança de ressonâncias, como sucede com a presente ponte pedonal sob acções de serviço. Em literatura técnica ligada ao projecto de pontes, é indicada a gama habitual de variação do amortecimento, consoante o tipo de estrutura a tratar. No caso de pontes de betão, é usual assumir coeficientes de amortecimento não superiores a % [3]. No caso de pontes do tipo stress-ribbon, Block & Schlaich [6] referem o valor % medido numa ponte alemã. É de notar contudo que, para este tipo de pontes, é natural encontrar uma variação significativa nas estimativas de amortecimento, não só devido ao processo construtivo, mas também em virtude da possibilidade de existência de algumas zonas de dissipação de energia nas ligações entre vários elementos estruturais. No presente estudo, foram realizados ensaios dinâmicos para a identificação de coeficientes de amortecimento modais associados aos modos de vibração mais relevantes em termos da resposta dinâmica à acção dos peões. O procedimento de ensaio adoptado consistiu em excitar a estrutura com um frequência próxima da correspondente frequência natural, utilizando um peão saltando num ponto fixo. Após alguns ciclos de oscilação, a estrutura entra em ressonância. Interrompendo subitamente o movimento, pode registar-se a resposta em vibração livre, a qual serviu de base à aplicação do método do decremento logarítmico para extracção do coeficiente de amortecimento modal. A Figura mostra a resposta medida relativa aos dois primeiros modos de vibração, associados a frequências de cerca de Hz e Hz. Os coeficientes de amortecimento medidos foram,7% e,6% para cada um destes modos, respectivamente. É de realçar todavia que o amortecimento aumenta com o nível de oscilação. De facto, introduzindo um nível elevado de oscilação (4m/s ) a Hz, foi possível identificar um coeficente de amortecimento de 4,8%. Deslocamento (m Est.5 Est Tempo (s) Aceleração (m/s ) Stat. 3 ξ.7% - ξ.6% Tempo (s) Figura : Resposta em vibração livre: Salto a Hz, pontos 3 e 5; Salto a Hz, ponto 3

10 6 SÍSMICA 4-6º Congresso Nacional de Sismologia e Engenharia Sísmica 3. CONCLUSÕES Esta comunicação descreve a calibração e validação experimental da modelação numérica do comportamento dinâmico de uma ponte pedonal do tipo stress-ribbon, tendo por base a realização de um ensaio de identificação modal output-only. Este trabalho compreendeu a realização de um ensaio de vibração ambiental para identificação rigorosa de frequências naturais e modos de vibração, e o desenvolvimento de uma série de diferentes modelos de elementos finitos. A melhor correspondência entre parâmetros modais identificados e calculados foi alcançada considerando uma discretização da ponte em elementos finitos de treliça e de viga sucessivamente activados por forma a reproduzir o processo construtivo, e assumindo uma matriz de rigidez tangente após a aplicação das acções permanentes. Além disso, foi considerada a espessura real da laje de betão em vez do valor de projecto, as rotações entre elementos foram parcialmente permitidas e a área e inércia da secção transversal destes elementos foram reduzidas em relação ao valor de projecto, de modo a reflectir a deficiente aderência entre betão pré-fabricado e fabricado in situ, bem como a falta de selagem entre segmentos pré-fabricados. Esta investigação evidenciou o comportamento complexo de uma aparentemente simples ponte pedonal, e o importante papel que os ensaios experimentais assumiram na caracterização do seu comportamento estrutural e na calibração e validação do modelo de elementos finitos desenvolvido para análise dinâmica da ponte sob a acção de peões. 4. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a colaboração do colega António Vasconcelos, que realizou as medições topográficas da ponte. 5. REFERÊNCIAS [] Caetano, E. & Cunha, A., Experimental and Numerical Assessment of the Dynamic Behaviour of a Stress-Ribbon Footbridge, Journal of Structural Concrete, ICE, accepted for publication, 3. [] ENCIL, U.P. Pólo, Passagem para Peões- Projecto Base de Fundações e Estruturas, 998. [3] Bachmann, H. et al., Vibration Problems in Structures: Practical Guidelines, Birkhäuser Verlag, Basel, 995. [4] Cunha, A.; Caetano, E. & Delgado, R., Dynamic Tests on a Large Cable-Stayed Bridge. An Efficient Approach, Journal of Bridge Engineering, ASCE, Vol.6, No., pp.54-6,. [5] Caetano, E. & Cunha, A., Dynamic tests on a lively footbridge, in International Conference on Footbridges, Paris, France,. [6] Block, C. & Schlaich, M., Dynamic Behaviour of a Multi-span Stress-ribbon Bridge, in Footbridge, Paris, Nov..