Modelos de fenda discreta na simulação do comportamento em flexão de betão reforçado com fibras de aço

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1 Modelos de fenda discreta na simulação do comportamento em flexão de betão reforçado com fibras de aço Alberto Fernandes Ribeiro Dissertação apresentada ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho para a obtenção do grau de Mestre Dissertação realizada sob a orientação do Professor Joaquim Barros do Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho JULHO de, GUIMARÃES

2 Agradecimentos Quero, antes de mais, expressar o meu agradecimento ao Professor Joaquim Barros, orientador desta dissertação, pela disponibilidade, apoio e incentivo. Devo ainda frisar a minha profunda admiração pelo elevado conhecimento científico e capacidade de trabalho, demonstrado pelo Professor Joaquim Barros. Ao Mestre Engenheiro José Sena Cruz devo igualmente uma palavra de apreço pela disponibilidade e partilha de conhecimentos preponderantes para a realização desta dissertação. Gostaria também de realçar o apoio de todos os que constituem o Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho durante este trabalho. De modo algum poderia deixar de salientar a presença e apoio dos inúmeros amigos assim como todo o amor, ternura e carinho da minha namorada. Finalmente, agradeço aos meus pais, irmãos e à Catarina todo o carinho e paciência.

3 ii Resumo No presente trabalho é descrita a estratégia desenvolvida para a determinação dos parâmetros de fractura de betão de desempenho melhorado, de betão de custo competitivo reforçado com fibras de aço (BCCRFA) para aplicação em pavimentos de edifícios industriais e de betão auto-compactável reforçado com fibras de aço para aplicação em painéis pré-fabricados. De este modo determinou-se a forma da relação tensão-abertura de fenda e a energia subjacente ao processo de fendilhação destes materiais de matriz cimentícia. Para tal recorreu-se a resultados experimentais obtidos em ensaios de flexão com três pontos de carga, realizados por terceiros, e na análise inversa efectuada com dois códigos computacionais. O primeiro código computacional suporta-se num modelo de secção, com o qual se determina a relação momento-curvatura de uma dada secção e a relação força-flecha de elementos com rotura por flexão, por recurso às equações da linha elástica. O segundo código baseia-se no método dos elementos finitos, tendo sido introduzido o elemento de interface de linha num programa de cálculo automático já existente, designado de FEMIX, de forma a simular o comportamento de estruturas governadas pela propagação, em modo I de fractura, de fendas discretas. Os modelos numéricos são descritos e o seu desempenho é avaliado. No BCCRFA foi analisada a influência que a idade, a percentagem de substituição de cimento por cinzas volantes, e a quantidade e tipo de fibras têm nos parâmetros de fractura deste material.

4 iii Abstract The strategy developed to evaluate the fracture parameters of high performance concrete, cost competitive steel fiber reinforced concrete (CCSFRC) for industrial pavements, and selfcompacting steel fiber reinforced concrete is described in the present work. The shape of the stresscrack opening displacement relationship and the fracture energy were assessed. For this purpose, an inverse analysis was carried out, using two numerical approaches, and taking into account the forcedeflection relationship obtained in three point bending notched beam tests. The first numerical approach is based on a cross section layered model, from which the momentcurvature relationship is attained and, as well, the force-deflection response of elements failing in bending. The second approach is supported on the finite element method, having been implemented an D line interface element into the FEMIX computational code, in order to simulate the behavior of plane stress-state structures governed by the fracture mode I propagation of discrete cracks. The numerical strategy is described in this work and its performance is assessed. For the CCSFRC, the sensitivity of the fracture parameters to the influence of the material age, percentage of cement replaced by fly-ash and content and type of steel fibers was analyzed.

5 iv Palavras Chave Betão reforçado com fibras de aço Mecânica de fractura Análise inversa Modelo de secção Elementos de interface Keywords Steel fibre reinforced concrete Fracture mechanics Inverse analysis Cross section model Interface elements

6 v Índice geral Agradecimentos... i Resumo... ii Abstract... iii Palavras Chave... iv Keywords... iv Índice geral...v Índice figuras... vii Índice tabelas... xi Capítulo. Introdução.... Objectivos do presente trabalho.... Descrição da dissertação...3 Capítulo. Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação...5. Introdução Formulação..... Avaliação do desempenho do modelo....3 Método dos elementos finitos - Elementos de interface Formulação Avaliação do desempenho do MEF com elementos de interface...9 Capítulo 3. Determinação dos parâmetros de fractura por análise inversa Introdução Programas experimentais simulados Propriedades mecânicas do betão Análise inversa Aplicação do modelo de secção Análise de sensibilidade aos parâmetros que definem o diagrama σ - w do BCCRFA Parâmetros de fractura do betão reforçado com fibras de aço, BCCRFA Aplicação do Parâmetros de fractura do betão auto-compactável reforçado com fibras de aço, BACRFA...

7 vi 3.. Parâmetros de fractura do betão de elevado desempenho, BED... 9 Capítulo. Conclusões Conclusões gerais Sugestões para futuros desenvolvimentos... Bibliografia... 3 Anexos... 9 Anexo A. - Diagrama bilinear e trilinear σ - w Cálculo das tensões e módulos de rigidez... 9 Anexo A. - Curvas experimentais e numéricas paras as séries de BCCRFA Anexo A.3 - Influência da quantidade fibras, da idade e da percentagem de substituição de cimento por cinzas volantes nos parâmetros de fractura para o BCCRFA... Anexo A. - Energia de fractura e módulo de elasticidade para as séries de BCCRFA... 3 Anexo A.5 - Parâmetros obtidos nos ensaios de flexão para o BACRFA... Anexo A. - Curvas experimentais e numéricas para o BACRFA... 5 Anexo A.7 - Curvas experimentais e numéricas para o BED... 7

8 vii Índice figuras Capítulo Figura. - Modos I, II e III de fractura...5 Figura. - Modelo de fenda fictícia, MFF...7 Figura.3 - Resposta de um elemento sujeito a uma carga F, com comportamento de amolecimento...7 Figura. - Processo de determinação da energia de fractura, G f, (Barros, 995)....7 Figura.5 - Curvas de amolecimento de σ - w.... Figura. - Sistema de ensaio de tracção directa (Barros, 995)....9 Figura.7 - Modelo de fenda fictícia no BRF.... Figura. - Fenda em betão reforçado com fibras de aço.... Figura.9 - Fluxograma do programa de cálculo....3 Figura. - Discretização da secção em camadas e distribuição linear de extensões na secção.... Figura. - Idealização da progressão da fenda.... Figura. - Idealização na modelação do provete utilizado pela RILEM na caracterização experimental do comportamento à flexão de BRFA...7 Figura.3 - Representação da viga e da secção modelada para avaliação do desempenho do modelo proposto.... Figura. - (a) Lei de comportamento σ - ε para o betão à compressão, CEB-FIP (993); (b) Lei de comportamento σ - ε para o betão à tracção até o início da fendilhação; (c) Lei de comportamento σ - w para o betão fendilhado.... Figura.5 - Relações F - δ obtidas pelas diversas análises... Figura. - Elemento de interface de linha de seis nós.... Figura.7 - Funções quadráticas de interpolação para um elemento de três nós...5 Figura. - Representação do modelo simulado....9 Figura.9 - Lei de comportamento σ - w para o betão fendilhado....9 Figura. - Malha de elementos finitos utilizada na simulação numérica....3 Figura. - Relações F - δ obtidas pelas diversas análises...3 Capítulo 3 Figura 3. - Esquema de ensaio - Tipologia da viga de ensaio e do sistema de suporte....3 Figura 3. - Representação das curvas F - δ obtidas nos ensaios de flexão....3 Figura Resistência equivalente e residual à tracção em flexão: (a) f eq, e f R, ; (b) f eq,3 e f R, Figura 3. - Diagrama σ - w bilinear adoptado para o BS fendilhado...3 Figura Diagrama σ - w trilinear adoptado para o BCCRFA e BACRFA fendilhado...

9 viii Figura 3. - Determinação de G f com base na lei σ - w... Figura Determinação da energia de fractura segundo a RILEM (Barros, 995)... Figura 3. - Fluxograma do processo de análise inversa realizado Figura Representação das condições adoptadas na determinação de σ i e w i por análise inversa Figura 3. - Secção em análise no presente estudo e modelo adoptado.... Figura 3. - Influência da tensão de início de fendilhação, σ, na curva F - δ.... Figura 3. - Influência da tensão σ na curva F - δ Figura Influência de w na curva F - δ: (a) Até.3 mm; (b) Entre. a. mm... Figura 3. - Influência da tensão σ 3 na curva F - δ Figura 3.5- Influência de w 3 na curva F - δ Figura 3. - Influência de w na curva F - δ Figura Curvas experimentais e respectivas simulações numéricas com lei σ - w obtida por análise inversa Figura 3. - Relação entre (f ck ) /3 e σ... 5 Figura Relação entre f eq, e σ (a), e entre f R, e σ (b) Figura 3. - Relação entre f eq,3 e σ 3 (a), e entre f R, e σ 3 (b) Figura 3. - Influência da quantidade de fibras nos parâmetros de tensão em provetes com dias... 5 Figura 3. - Influência da quantidade de fibras nos parâmetros de abertura de fenda em provetes com dias Figura Relação entre os parâmetros de tensão e sua evolução com Q f Figura 3. - Influência da idade nos parâmetros de tensão para % de Cv Figura Influência da idade nos parâmetros de abertura de fenda para % de Cv Figura 3. - Influência da percentagem de Cv nos parâmetros de tensão em provetes com dias Figura Influência da percentagem de Cv nos parâmetros de abertura de fenda em provetes com dias... Figura 3. - Relação entre f eq,3 e G f,num.... Figura Relação entre Q f e G f,num em provetes com dias... 3 Figura 3.3- Relação entre N f e G f,num... 3 Figura Malha de elementos finitos utilizada na simulação numérica... Figura Curvas experimentais e numéricas obtidas na modelação Figura Curva experimental média e curva numérica obtida na modelação... Figura Relação entre f eq, e σ (a), e entre f R, e σ (b)... Figura Relação entre f eq,3 e σ 3 (a), e entre f R, e σ 3 (b)... 9 Figura Malha de elementos finitos utilizada na simulação numérica... 9 Figura Curva experimental vs curvas numéricas Figura Diagramas σ - w obtidos na modelação numérica Figura Relação entre f ctm e σ (a), e entre f ctm e σ (b) Figura 3. - Relação entre G f,exp e G f,num Figura 3. - Influência da idade e da % de Cv no parâmetro σ para as séries C5 e C... 7 Figura 3. - Influência da idade e da % de Cv no parâmetro σ para as séries C5 e C... 7 Figura Influência da idade e da % de Cv no parâmetro D n, para as séries C5 e C.... 7

10 ix Figura 3. - Influência da idade e da % de Cv no parâmetro D n, para as séries C5 e C Figura Influência da idade e da % de Cv na relação σ /f ctm para as séries C5 e C...75 Figura 3. - Influência da idade e da % de Cv em G f,num para as séries C5 e C...75 Anexos Figura A. - Diagrama bilinear σ - w...9 Figura A. - Diagrama trilinear σ - w....9 Figura A.3 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv para os 7, e 9 dias Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv.5 para os 7, e 9 dias...93 Figura A.5 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv5 para os 7, e 9 dias...9 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv para os 7, e 9 dias....9 Figura A.7 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv.5 para os 7, e 9 dias...95 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv5 para os 7, e 9 dias...95 Figura A.9 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf35 e Cv para os 7, e 9 dias....9 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf35 e Cv.5 para os 7, e 9 dias...9 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf35 e Cv5 para os 7, e 9 dias...97 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv para os 7, e 9 dias...97 Figura A.3 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv.5 para os 7, e 9 dias...9 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F5/ com Qf5 e Cv5 para os 7, e 9 dias...9 Figura A.5 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf e Cv para os 7, e 9 dias...99 Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf e Cv.5 para os 7, e 9 dias...99 Figura A.7 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf e Cv5 para os 7, e 9 dias... Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf e Cv para os 7, e 9 dias... Figura A.9 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf e Cv.5 para os 7, e 9 dias... Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf e Cv5 para os 7, e 9 dias... Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf3 e Cv para os 7, e 9 dias... Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf3 e Cv.5 para os 7, e 9 dias... Figura A.3 - Curvas experimentais e numéricas para as séries F/ com Qf3 e Cv5 para os 7, e 9 dias...3 Figura A. - Influência da quantidade de fibras nos parâmetros de tensão em provetes com 7 dias.... Figura A.5 - Influência da quantidade de fibras nos parâmetros de abertura de fenda em provetes com 7 dias....5 Figura A. - Relação entre os parâmetros de tensão e sua evolução com Q f, em provetes com 7 dias...5 Figura A.7 - Influência da quantidade de fibras nos parâmetros de tensão em provetes com 9 dias.... Figura A. - Influência da quantidade de fibras nos parâmetros de abertura de fenda em provetes com 9 dias.... Figura A.9 - Relação entre os parâmetros de tensão e sua evolução com Q f, em provetes com 9 dias...7 Figura A.3 - Influência da idade nos parâmetros de tensão para.5 % de Cv....7 Figura A.3 - Influência da idade nos parâmetros de abertura de fenda para.5 % de Cv... Figura A. 3 - Influência da idade nos parâmetros de tensão para 5 % de Cv....

11 x Figura A.33 - Influência da idade nos parâmetros de abertura de fenda para 5 % de Cv Figura A.3 - Influência da percentagem de Cv nos parâmetros de tensão em provetes com 7 dias.... Figura A.35 - Influência da percentagem de Cv nos parâmetros de abertura de fenda em provetes com 7 dias... Figura A.3 - Influência da percentagem de Cv nos parâmetros de tensão em provetes com 9 dias.... Figura A.37 - Influência da percentagem de Cv nos parâmetros de abertura de fenda em provetes com 9 dias... Figura A.3 - Relação entre Q f e G f,num em provetes com 7 dias... Figura A.39 - Relação entre Q f e G f,num em provetes com 9 dias.... Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para o BACRFA, nas vigas de V a V Figura A. - Curvas experimentais e numéricas para o BACRFA, nas vigas V7 e V... Figura A. - Curva experimental e numérica para as séries C... 7 Figura A.3 - Curva experimental e numérica para as séries C5 com Cv.... Figura A. - Curva experimental e numérica para as séries C5 com Cv.... Figura A.5 - Curva experimental e numérica para as séries C5 com Cv Figura A. - Curva experimental e numérica para as séries C5 com Cv Figura A.7 - Curva experimental e numérica para as séries C com Cv.... Figura A. - Curva experimental e numérica para as séries C5 com Cv.... Figura A.9 - Curva experimental e numérica para as séries C com Cv.... Figura A.5 - Curva experimental e numérica para as séries C com Cv....

12 xi Índice tabelas Capítulo Tabela. - Valores dos parâmetros que definem as leis de comportamento consideradas.... Tabela. - Valores dos parâmetros de caracterização do material....3 Capítulo 3 Tabela 3. - Séries de ensaios do programa experimental....3 Tabela 3. - Composição do BACRFA para m 3 com 3 kg/m 3 de fibras...33 Tabela Resultado dos ensaios de compressão...3 Tabela 3. - Séries de ensaios do programa experimental Tabela Parâmetros da lei trilinear σ - w para as séries de ensaios com betão reforçado com fibras F5/....5 Tabela 3. - Parâmetros da lei trilinear σ - w para as séries de ensaios com o betão reforçado com fibras F/ Tabela Parâmetros do diagrama trilinear σ - w, módulo de elasticidade e energia de fractura...7 Tabela 3. - Valores dos parâmetros dos modelos apresentados....7 Tabela Parâmetros do diagrama bilinear σ - w, módulo de elasticidade e G f,num....7 Anexos Tabela A. - Estatuto da fenda no diagrama bilinear e trilinear σ - w....9 Tabela A. - Resultados obtidos nos ensaios de flexão...

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14 . Introdução Com o desenvolvimento das sociedades e da indústria da construção civil foram introduzidas novas fronteiras, ou patamares, de exigências a um material tão sobejamente conhecido, como o betão. Assim, além da necessária estabilidade estrutural, têm vindo a ser exigidos novos requisitos ao betão, tais como, durabilidade, sustentabilidade ambiental, economia e ductilidade. Estas novas exigências têm despoletado vasta investigação, desde novos constituintes até novas técnicas de amassadura e aplicação. Dado o carácter frágil do betão simples, BS, e os elevados custos associados à aplicação de armadura convencionais no reforço do betão, tem havido um esforço no sentido de diminuir a fragilidade deste material por intermédio da utilização de fibras discretas. Estas fibras são incluídas no betão no momento da sua amassadura, pelo que os recursos humanos associados a esta tarefa são marginais. Dos vários tipos de fibras existentes no mercado, as fibras de aço são as mais utilizadas em aplicações estruturais, destacando-se, os pavimentos e os túneis. A ausência de ferramentas de dimensionamento apropriadas tem impedido que as fibras sejam usadas em aplicações estruturais onde os benefícios resultantes seriam significativos. As estruturas de parede delgada e os depósitos são exemplo destes casos. Isto é surpreendente se tivermos em conta que o betão reforçado com fibras de aço, BRFA, é aplicado desde os anos setenta. Esta situação pode se explicada pelo facto de que as ferramentas tradicionais de dimensionamento apenas considerarem o comportamento pré pico dos materiais, pelo que a maior resistência residual, proporcionada pelo reforço das fibras não é tido em conta. Assim, e uma vez que a fendilhação condiciona o comportamento da estrutura para os estados de serviço e últimos, os mecanismos de reforço proporcionados pela presença das fibras devem ser contabilizados no dimensionamento. A necessidade de medidas emergentes para a solução desta problemática resultou na elaboração, por parte de algumas organizações, em particular da RILEM, a publicação de documentos recomendatórios no âmbito do dimensionamento de elementos constituídos por BRFA, com base em leis constitutivas de tensão-extensão ou tensão-abertura de fenda para o betão fendilhado (RILEM, a; RILEM, 3). Estas recomendações suportam-se em resultados obtidos em ensaios experimentais (RILEM, b; RILEM, ).

15 Introdução. Objectivos do presente trabalho O presente trabalho tem como principal objectivo desenvolver uma estratégia numérica de determinação dos parâmetros de fractura de materiais de matriz cimentícia. Para este efeito, foram desenvolvidos dois modelos numéricos, fundamentados na mecânica da fractura e nos resultados obtidos em programas experimentais realizados para os seguintes materiais: Betão de custo competitivo reforçado com fibras de aço, BCCRFA, para pavimentos de edifícios industriais; Betão auto-compactável reforçado com fibras de aço, BACRFA, para a pré-fabricação de painéis sandwich; Betão de elevado desempenho, BED. O primeiro modelo permite determinar a relação momento-curvatura de uma secção com base nas leis que regem o comportamento dos materiais, nas equações de equilíbrio e de compatibilidade. O segundo modelo, resulta da aplicação de elementos finitos de interface para simular a descontinuidade originada pela fenda, no quadro do método dos elementos finitos, MEF. Dos modelos referidos resultaram duas ferramentas de análise numérica que foram utilizadas com o objectivo de: Estabelecer uma relação constitutiva tensão-abertura de fenda, σ - w, capaz de representar o modo I de fractura dos referidos materiais; Simular o comportamento registado em ensaios de flexão com três pontos de carga para provetes de BRFA, BACRFA e BED; Compreender a influência que os parâmetros que definem o diagrama trilinear σ - w têm na resposta força-flecha; Determinar os parâmetros de fractura do betão fendilhado para os materiais em causa, com base numa análise inversa; Observar e reportar a influência das variabilidades apresentadas nas campanhas experimentais estudadas nos parâmetros de fractura; Estabelecer relações entre os parâmetros de fractura e os parâmetros determinados através dos ensaios flexão, de forma a estabelecer um modelo de dimensionamento expedito.

16 Capítulo 3. Descrição da dissertação A dissertação é composta por seis capítulos, incluindo a introdução, as conclusões, a bibliografia e os anexos. No segundo capítulo são apresentados dois modelos numéricos. Para ambos os modelos, apresentase a formulação e as considerações adoptadas para a modelação de uma fenda discreta. A teoria em que os modelos se fundamentam é também apresentada neste capítulo. No terceiro capítulo os modelos apresentados são aplicados, num processo de análise inversa, na caracterização dos parâmetros de fractura do BCCRFA, BACRFA e BED. Neste capítulo procedese ainda a uma análise de sensibilidade aos parâmetros que definem o diagrama trilinear σ - w. No quarto capítulo são apresentadas as principais conclusões, que se podem ser extraídas da investigação desenvolvida ao longo deste trabalho. Apresenta-se ainda, sugestões e perspectivas para futuros desenvolvimentos.

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18 . Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação. Introdução A capacidade deformacional e de carga de estruturas de materiais de matriz cimentícia são geralmente condicionadas pela resistência ao início de fendilhação e de retenção de tensões de tracção após fendilhação destes materiais. Os modelos clássicos baseados no comportamento elástico dos materiais não traduzem os fenómenos associados à fendilhação, negligenciando uma descrição detalhada dos mecanismos na formação e propagação da fenda. Os problemas derivados da formação de fendas e da ruptura frágil dos materiais conduziram ao desenvolvimento da disciplina da mecânica da fractura linear elástica, MFLE, sendo os primeiros trabalhos nesta área do saber atribuídos a Griffith (9) e a Irwin (957). Segundo este último, é possível identificar três modos de fractura: Modo I, ou de abertura de fenda: refere-se à separação das faces da superfície de fractura, por abertura relativa, onde se desenvolvem tensões normais (Figura. (a)); Modo II, ou deslizamento: as faces deslizam uma sobre a outra no sentido longitudinal da fenda, desenvolvendo-se tensões tangenciais (Figura. (b)); Modo III, ou modo deslizamento lateral: as faces deslizam uma sobre a outra no sentido transversal da fenda, desenvolvendo-se tensões tangenciais (Figura. (c)). F F F (a) (b) (c) Figura. - Modos I, II e III de fractura.

19 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação Contudo, os modelos fundamentados por estes autores são apenas aplicáveis para fendas de reduzida dimensão quando comparadas com as dimensões dos elementos. Além disto, estes modelos não são capazes de simular o comportamento da zona de processamento da fractura, ZPF, conduzindo a respostas que podem ser significativamente diferentes das registadas na análise experimental (Bazant e Planas, 99). Barenblatt (959) e Dugdale (9) fizeram a primeira tentativa de simulação dos processos não lineares localizados nas extremidades de uma fenda pré-existente. Para tal, consideraram forças coesivas nas extremidades da fenda. Originalmente, o modelo coesivo ou de fenda coesiva, não era nada mais que uma fenda fictícia capaz de transferir tensões de uma face para a outra. Este modelo tem sido usado por muitos investigadores para simular a zona não linear verificada na extremidade da fenda para os materiais mais comuns (metais, polímeros, cerâmica, e geomateriais). Hillerborg et al (97) estendeu o conceito da fenda coesiva ao betão. A extensão do modelo de fenda coesiva incidiu na possibilidade da formação da fenda em qualquer ponto, mesmo não existindo um defeito pré-localizado no material. A ZPF em conjunto com a abertura de fenda sujeita ao imbricamento dos agregados, IA, é referida como fenda fictícia, FF (Figura.). O comportamento mecânico da fenda fictícia é caracterizado por uma relação de tensão - abertura de fenda, σ - w, onde unicamente se consideram as tensões normais ao plano de fenda. A fenda fictícia é iniciada quando a tensão principal máxima de tracção atinge o valor da resistência à tracção do material. O modelo de fenda fictícia, MFF, é aplicável a materiais que, após a sua máxima resistência, desenvolvam um aumento de deformação sob diminuição de capacidade de carga (Figura.3). À fase de acréscimo de deformação com decréscimo de carga atribui-se a designação de amolecimento. O ensaio de tracção uniaxial com controlo por deformação constitui a forma mais precisa de determinar o comportamento deformacional do material (Figura.) (Petersson, 9a; Petersson, 9b; Hordijk, 99).

20 Capítulo 7 F ZPF I.A. FF f ct σ (w) δ Figura. - Modelo de fenda fictícia, MFF. Figura.3 - Resposta de um elemento sujeito a uma carga F, com comportamento de amolecimento. σ F, δ σ f ct δ el w δpl A σ = F,δ F A fct w Curva de amolecimento G a ~. f =. ~ = ct f ct G f G f,res δ p δ δ u,est δ w w u,est w Figura. - Processo de determinação da energia de fractura, G f, (Barros, 995). Até ao pico, a carga aumenta enquanto as extensões no provete permanecem distribuídas uniformemente ao longo do mesmo. No pico, a fenda coesiva normal ao eixo do provete aparece na zona de maior fragilidade. Após o pico, a abertura de fenda, w, aumenta enquanto a tensão entre as faces da fenda diminui. Ao mesmo tempo, o material envolvente entra em descarga e a extensão reduz-se continuamente até a carga se anular. A deformação total registada no elemento é a adição da deformação elástica, δ el, plástica, δ pl, e abertura de fenda, δ = δel + δ pl + w (.) Segundo Hillerborg, o comportamento plástico do material envolvente é desprezável, resultando, δ = δ el + w (.)

21 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação com σ δ = L (.3) E el em que L, σ e E correspondem, respectivamente, ao comprimento da zona deformada, à tensão instalada na fenda e ao módulo de elasticidade do material. A função σ - w que simula o amolecimento é a componente básica do MFF. Da investigação bibliográfica efectuada constatou-se que os diagramas de amolecimento representados na Figura.5 são os mais utilizados. w w w (a) Constante (b) Linear (c) Bilinear w w w (d) Trilinear (e) Cornelissen (c) Free - Form Figura.5 - Curvas de amolecimento de σ - w. Os parâmetros que definem o comportamento de um material em fase de amolecimento designamse por parâmetros de fractura, destacando-se a tensão de início da fendilhação, f ct, a energia despendida na formação de uma fenda de área unitária (energia de fractura, G f ) e a forma da relação σ - w. Segundo Hillerborg et al (97) a G f pode ser obtida de,

22 Capítulo 9 Gf = σ. dw w c (.) em que w c é a abertura de fenda para σ =. Para que não se dissipe energia fora da zona de fractura, os provetes devem ser entalhados (Petersson, 9a; Hordijk, 99). A energia despendida até à formação da zona de fractura não deve ser incluída na quantificação da energia de fractura, pois trata-se de energia dissipada na deformação elástica (ou elasto-plástica) de todo o provete. Da Figura. pode-se percepcionar a complexidade do sistema necessária à realização estável de um ensaio de tracção directa (Barros 995). De facto, é necessário uma estrutura de reacção de rigidez muito elevada, e os ensaios devem ser efectuados sob sofisticado sistema de controlo de deslocamento (Wang e Li, 99; Hordijk, 99; Carpinteri e Ferro, 99). Petersson (9b) mostrou que, para se assegurar a estabilidade do ensaio, a rigidez do equipamento deve ser superior ao maior declive da curva de amolecimento. Devido a estas dificuldades, Petersson propôs, em 9, um método de quantificação da energia de fractura baseado num ensaio de flexão em viga com entalhe a meio vão, submetida a três pontos de carga. Mais tarde, a RILEM (95) também propôs, sob a forma de recomendação, o mesmo tipo de ensaio para determinação de G f. Figura. - Sistema de ensaio de tracção directa (Barros, 995). Posteriormente, os princípios da mecânica da fractura estenderam-se ao betão reforçado com fibras, BRF (Hillerborg, 9). A Figura.7 representa o MFF aplicado ao BRF. Os mecanismos de reforço proporcionados pelas fibras passam a ser relevantes no processo de transferência de tensões entre as faces das fendas (Figura.). Acima de determinada percentagem de fibras, o

23 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação comportamento geral da estrutura fendilhada é bastante afectado pela presença das fibras, sendo significativo o aumento da capacidade de absorção de energia durante o processo de fendilhação. ZPF fct I.A. FF σ (w) Figura.7 - Modelo de fenda fictícia no BRF. Figura. - Fenda em betão reforçado com fibras de aço. Neste capítulo são descritos dois modelos para simulação do comportamento de elementos estruturais sujeitos a modo I de fractura, com base nos princípios apresentados. A eficácia dos modelos é aferida com a confrontação de resultados obtidos por estes modelos com outros obtidos por diversos autores.. Conhecidas as leis que regem o comportamento dos materiais que constituem determinada secção de um elemento estrutural e estabelecidas as equações de equilíbrio e de compatibilidade de deformação ao nível da secção, pode ser desenvolvido um modelo numérico simples para determinar a relação momento - curvatura, M - χ, dessa secção (Barros e Figueiras, 999; Kooiman, ; Barros e Sena, ). Nesta secção, é descrita a formulação de um modelo de secção implementado num programa de cálculo automático designado por DOCROS (Ribeiro et al, 3). Na presente versão, o modelo permite simular o comportamento à compressão e à tracção de betão simples e betão reforçado com fibras. Também é possível simular o comportamento de armaduras de aço e de materiais compósitos ("Fiber Reinforced Polymers - FRP"), pelo que se trata de uma ferramenta de cálculo também útil no reforço de estruturas com o recurso, quer a materiais convencionais quer à utilização de novos materiais. Conhecendo a relação M - χ das secções tipo

24 Capítulo que constituem uma determinada estrutura, é possível avaliar a sua resposta deformacional recorrendo ao modelo de secção desenvolvido e a simples algoritmos de análise estrutural (Oliveira et al, ). Em diversos elementos estruturais o dano, quer por fendilhação que por deformação plástica irreversível, localiza-se numa zona restrita desses elementos. Essa zona designa-se por banda de não linearidade, BNL (RILEM, a). A resposta deformacional desses elementos pode ser efectuada idealizando-se como constituídos por dois tramos, com comportamento linear e elástico, ligados entre si pela banda de não linearidade. Distintas abordagens têm sido adoptadas na modelação da progressão da fenda na BNL. As abordagens distinguem-se fundamentalmente pelas hipóteses base que consideram. Em todas as abordagens a dimensão da BNL, de largura s, permite determinar o ângulo de abertura da fenda, ϕ, por: ϕ χ = (.5) s em que χ corresponde à curvatura da BNL. Perdersen (99), considera que a superfície de fractura permanece plana, i.e., a abertura de fenda máxima, w c, pode ser determinada por: wc = ϕ a (.) onde a representa a profundidade de progressão da fenda. Este modelo considera ainda que o ângulo de abertura da fenda é igual à rotação das faces da BNL, sendo a largura da BNL um valor a atribuir. Da mesma forma, o modelo proposto por Casanova e Rossi (997) assume que a superfície de fractura e as faces da BNL permanecem planas. Porém, este modelo considera que o valor de s é determinado em função de a, s = a (.7) e que a curvatura média é determinada por intermédio da seguinte expressão:

25 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação ( χel + χ fd ) χ = (.) 3 em que χ el representa a curvatura supondo que a secção não se encontra fendilhada, e χ fd representa a curvatura para a secção fendilhada. Para Olesen () e Ulfkjacr et al (995) as faces da BNL permanecerem planas enquanto que o comportamento da superfície de fractura é governado por uma relação de σ - w bem como pela rotação da BNL e do comprimento da fenda fictícia. A formulação deste modelo para uma lei bilinear pode ser encontrada em Stang e Olesen (99)... Formulação Na Figura.9 apresenta-se o fluxograma do programa de cálculo desenvolvido com base no modelo de secção descrito neste capítulo. O algoritmo principal é constituído por dois ciclos. O ciclo mais externo procede ao incremento da extensão numa camada seleccionada pelo utilizador, enquanto que o ciclo mais interno determina a posição do eixo neutro por meio de um processo iterativo envolvendo uma equação de equilíbrio de forças. Dentro deste ciclo são chamadas funções que calculam as tensões nas camadas que discretizam a secção, tendo por base as leis constitutivas dos correspondentes materiais e os valores de extensão ou de abertura de fenda. Após o equilíbrio de forças ter sido garantido, calcula-se o momento para essa configuração de equilíbrio e, caso haja interesse (opção no ficheiro de dados), pode-se determinar a relação força-flecha, F - δ, do elemento estrutural em análise.

26 Capítulo 3 Leitura dos dados da secção Incremento de extensão Variação da profundidade do eixo neutro (z ) EN Cálculo da abertura de fenda N Cálculo das tensões N Verificação das condições de equilibrio Cálculo das forças S Cálculo do momento resistente Saída de resultados S Verificação da condição de paragem Cálculo da relação F-δ Figura.9 - Fluxograma do programa de cálculo. Cálculo do eixo neutro A profundidade do eixo neutro, z EN (Figura.) é determinada por intermédio de um ciclo em que se varia o valor de z EN até ser atingido o equilíbrio estático verificado pela seguinte expressão: nlc nls nlf F + F + F tolef ci, s, j f, k i= j= k= (.9) em que nlc, nls e nlf são o número de camadas de betão, de armadura e de FRP, respectivamente, e tolef é uma dada tolerância. Em (.9) F c,i, F s,j e F f,k são as forças na camada i de betão, na armadura j e no FRP k, respectivamente. Estas forças são determinadas pelas seguintes expressões: F = b h σ (.) ci, i i ci, Fs, j As, jσ s, j = (.)

27 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação Ff, k Af, kσ f, k = (.) em que b i, h i e σ c, i são, respectivamente, a largura, a espessura e a tensão da camada i de betão. Em (.), A s,j e σ s,j correspondem, respectivamente, à área e à tensão na armadura j. Em (.), A f,k e σ f,k são, respectivamente, a área e a tensão na camada k de FRP. O cálculo da tensão em cada camada é efectuado por intermédio da extensão ou abertura de fenda e das leis constitutivas atribuídas ao material em questão. As respectivas extensões, abertura de fenda, tensões e forças são referidas à superfície média de cada camada, como se constata na Figura.. Cálculo da curvatura A curvatura, χ, é determinada por intermédio do diagrama linear de extensões obtido na iteração convergida, efectuando o seguinte procedimento: χ = ε c, h zen (.3) em que ε c, corresponde à extensão do folheto médio da primeira camada, e h representa a espessura dessa camada. Cálculo da abertura de fenda O cálculo da abertura de fenda é imprescindível para modelar o comportamento do betão fendilhado, dado que a capacidade de transferência de tensões entre as faces da fenda é simulada por uma relação tensão - abertura de fenda, σ - w, recorrendo-se aos conceitos de fenda fictícia propostos por Hillerborg et al (97). No processo de cálculo da abertura e da progressão da fenda admite-se que a superfície de fractura permanece plana e o ângulo de abertura da fenda é igual à rotação das secções de extremidade da

28 Capítulo 5 BNL. Assim, em cada iteração é calculado um novo diagrama linear de abertura de fenda e, para cada uma das camadas que discretizam a parte fendilhada da secção, obtém-se a abertura de fenda e a correspondente tensão é calculada por intermédio da lei σ - w adoptada (Figura.). As expressões seguintes permitem determinar a abertura de fenda para uma dada curvatura: u ε = (.) s ε χ = (.5) z EN s ϕ = χ (.) c ( ϕ ) w = a= sχa (.7) em que s é a largura da BNL considerada, u é o deslocamento na camada superior da secção, ε é a extensão nesta camada, χ é a curvatura para uma determinada posição do eixo neutro, z EN é a distância do topo da secção ao eixo neutro, a representa a profundidade de progressão da fenda, ϕ é a rotação numa das faces da BNL e w c representa a abertura da fenda na base da secção (abertura máxima de fenda). Cálculo do momento flector Conhecida a posição do eixo neutro para determinada configuração de equilíbrio, procede-se ao cálculo do momento: ( ci, ci, ) ( s, j s, j) ( f, k f, k) (.) M = F z + F z + F z em que z c, i, z s, j e f k z, correspondem, respectivamente, à distância entre o eixo neutro e o centro de cada camada de betão, de aço e de FRP (Figura.).

29 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação y b Ac, h z EN εc, z=z-z EN Ac,i εc,i zc,i zs,j zfrp,k hi h As,j εf,k εs,j Af,k z Figura. - Discretização da secção em camadas e distribuição linear de extensões na secção. σ ε Corte da Secção χ z EN u / ϕ a Zona Fendilhada ϕ w c s Figura. - Idealização da progressão da fenda.

30 Capítulo 7 Determinação da relação F - δ A relação força-flecha, F - δ, determina-se por intermédio da utilização da equação da linha elástica e da rigidez à flexão, EI, conhecida a partir da relação M - χ de cada secção tipo do elemento em análise. A determinação do valor das constantes que surgem na integração das equações da linha elástica, efectua-se por imposição de condições de compatibilidade de deslocamentos e rotações entre os tramos que discretizam o elemento estrutural em estudo. Para o caso da viga entalhada utilizada nos ensaios propostos pela RILEM TC -TDF (b), este comité propôs para comprimento da BNL o valor de metade da altura da secção entalhada, h sp /. Assim, no caso do provete da Figura., este é discretizado em três tramos: central, constituído pela BNL; laterais, em que se admite que o material se encontra em regime linear e elástico. A dimensão da BNL é considerada constante durante a progressão da fenda. F h sp Banda não linear δ x x 3 Linear - elástica s Linear - elástica Figura. - Idealização na modelação do provete utilizado pela RILEM na caracterização experimental do comportamento à flexão de BRFA. A relação F - δ determina-se recorrendo à equação da linha elástica,

31 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação EI χ = M (.9) em que E e I representam, respectivamente, o módulo de elasticidade do material e a inércia da secção. O momento instalado numa qualquer secção entre o ponto e (Figura.) é determinado por: M, F = x (.) Por sua vez, para o tramo entre os pontos e 3, o momento é determinado por: F M,3 ( l x) = + (.) em que o parâmetro l representa a distância entre os pontos e. Substituindo as expressões (.) e (.) em (.9) e procedendo a uma dupla integração, obtémse: 3 F x EI u = C x C L ( ), (.) 3 F x F x EI u NL,3 = l + + C3 x + C (.3) 3 ( ) em que ( ) L representa a rigidez à flexão do tramo ( ) NL EI com comportamento linear e EI traduz a rigidez à flexão da BNL (tramo 3). Na expressão (.) representa a flecha de uma secção u, afastada de x do ponto, localizado no tramo, enquanto u,3 traduz a flecha de uma secção afastada de x do ponto, localizado no tramo 3.

32 Capítulo 9 As constantes de integração são determinadas por intermédio das condições fronteira, isto é, da compatibilização de deslocamentos e de rotações entre os tramos. As condições adoptadas são expressas pelas seguintes equações: ( ) u x= = (.), s θ x,3 = = (.5) θ ( x= l ) = θ ( x= ) (.),,3 u ( x= l ) = u ( x= ) (.7),,3 Da substituição das condições fronteira estabelecidas obtém-se: ( ) ( EI ) EI L l s s F l C = F + NL (.) C = (.9) l s s C3 = F + (.3) C ( EI ) ( EI ) 3 NL F l = + C l 3 L (.3) A flecha a meio vão da viga,δ, é determinada após substituição das constantes de integração na expressão (.3), resultando: δ = u,3 x= s (.3)

33 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação 3 C3 s F l s F s C 9 δ = ( EI ) NL (.33) em que F é a força correspondente ao momento actuante, M act, ( s Mact = M3 x = ) (.3) que substituído em (.) resulta em: M F = act s l + (.35) Assim para um dado M act, a relação M - χ da secção permite determinar ( EI ) NL da BNL. A força, F, e a correspondente flecha, δ, para um são calculados por meio das expressões (.35) e (.33). M act.. Avaliação do desempenho do modelo Resultados obtidos por autores que desenvolveram modelos de secção e resultados obtidos com o código computacional DIANA foram utilizados para avaliar o desempenho do modelo desenvolvido. Na Figura.3 encontra-se representada a viga analisada. Em RILEM (a) estão descritas as formulações dos modelos de secção utilizados na simulação da resposta, F - δ, desta viga. Na simulação com o DIANA a secção a meio vão da viga foi discretizada por elementos de interface, sendo o restante volume da viga discretizada por elementos em regime linear elástico. Na análise com modelos de secção, o comportamento do betão foi simulado por intermédio dos diagramas representados na Figura.. Os valores dos parâmetros que caracterizam estes diagramas estão indicados na Tabela., e foram retiradas de RILEM (a). Estas leis também

34 Capítulo foram adoptadas na simulação com o modelo de secção desenvolvido no presente trabalho. Para comprimento da banda de não linearidade foi considerado o valor de metade da altura da viga, i.e., s = h sp / = 75 mm. F 5 mm 5 mm 5 mm δ Figura.3 - Representação da viga e da secção modelada para avaliação do desempenho do modelo proposto. c t t f c E c f ct,ax E c α f f ct,ax ct,ax εc ε c ε t,p ε t w w 3 w (a) (b) (c) Figura. - (a) Lei de comportamento σ - ε para o betão à compressão, CEB-FIP (993); (b) Lei de comportamento σ - ε para o betão à tracção até o início da fendilhação; (c) Lei de comportamento σ - w para o betão fendilhado. Tabela. - Valores dos parâmetros que definem as leis de comportamento consideradas. f c 5 MPa E c 35 GPa f ct,ax 3 MPa α.97 - w.5 mm w 3 mm

35 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação Na Figura.5 apresenta-se a relação F - δ obtida por outros autores e a determinada com o modelo desenvolvido. Constata-se que o modelo desenvolvido conduz a simulações similares às obtidas por outros investigadores. 5 5 Pedersen (99), Olesen (), Massicote et al () DIANA Modelo desenvolvido Casanova e Rossi (997) Figura.5 - Relações F - δ obtidas pelas diversas análises..3 Método dos elementos finitos - Elementos de interface De forma a ser possível simular a propagação da fendilhação com modelo de fendas discreto, foram implementados elementos de interface contínuos num código computacional, já existente, denominado de FEMIX (Azevedo et al, 3). A formulação implementada no referido programa é descrita na presente secção. No âmbito do método dos elementos finitos (MEF), os elementos de interface permitem simular problemas associados ao contacto e a descontinuidades físicas dos materiais intervenientes. Apesar da formulação implementada permitir simular quer a abertura (modo I de fractura) quer o deslizamento (modo II de fractura) de uma dada fenda, neste trabalho somente será focada a modelação do modo I de fractura. Das tipologias de elementos de interface conhecidos podem-se destacar as seguintes: Elementos de interface contínuos; Elementos de interface lumped.

36 Capítulo 3 O primeiro tipo refere-se aos elementos em que os deslocamentos relativos em qualquer ponto do elemento são obtidos por interpolação dos deslocamentos relativos dos pontos nodais do elemento. Nos elementos do tipo lumped, os deslocamentos relativos são avaliados directamente entre os nós do elemento..3. Formulação Na Figura. representa-se o elemento linear de interface de nós considerado. O campo de deslocamentos contínuo, o eixo normal, u ', do elemento é definido no sistema local pelo eixo tangente, x, e pelo x, do elemento de junta, [ ] u' = u' u' u' u' (.3) B B T T em que e u correspondem, respectivamente, ao deslocamento na face inferior e superior do u Bi Ti elemento. Os deslocamentos nodais do elemento são definidos pelo vector a, [ ] a = a a a a a a a a a a a a (.37) T em que a ij é o deslocamento do nó i segundo o eixo x j.

37 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação x Topo (T) 5 x' x' 3 Base (B) x Figura. - Elemento de interface de linha de seis nós. O campo de deslocamentos do elemento é obtido por intermédio dos deslocamentos dos seus nós, u = N a (.3) em que N é a matriz das funções de forma do elemento. Expandindo (.3) obtém-se a a a a u B N N N3 a u B N N N3 3 a = 3 u N N N a T 5 ut N N5 N a a 5 a 5 a a (.39) em que N i é a função de forma do nó i de um elemento linear de três nós, representada na Figura.7.

38 Capítulo 5 N, s=- s= s N,5 s s=- s= N 3, s s=- s= Figura.7 - Funções quadráticas de interpolação para um elemento de três nós. As componentes do vector dos deslocamentos relativos, u, representam o deslizamento e a abertura das faces que constituem o elemento de interface, de forma a simular os modos II e I de fractura, respectivamente, sendo obtidas a partir do vector u, u B s u ut u B u B u = L w = u = ut u = = B u (.) u T u T Substituindo (.3) em (.) obtém-se, em que u = L N a = B a B (.) = L N (.) é a matriz de deformação,

39 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação N N N3 N N N3 B = N N5 N N N5 N (.3) N N N3 N N5 N =. N N N3 N N5 N As tensões no elemento de interface, σ, são dadas pelo produto da matriz constitutiva, D, com u, em que σ σ = = D u σ Dt D = D n (.) (.5) sendo D t e D n o módulo de rigidez tangente e normal do elemento de interface, respectivamente. A matriz de rigidez, K, do elemento obtém-se por intermédio da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais, PTV. Assim, o trabalho interno de deformação é dado por: W int S T ( u ) = δ σ ds (.) T em que δ ( u ) é o vector dos deslocamentos relativos virtuais. Os deslocamentos nodais definidos no referencial local, a, relacionam-se com os deslocamentos nodais no referencial geral, a, por meio da relação: a = T a (.7) em que T é a matriz de transformação. Substituindo (.7) em (.): u = B a = B T a (.)

40 Capítulo 7 e (.) em (.) σ = D B T a (.9) que substituídas em (.) resulta em, int S T T T W = δ a T B D B T ads T T T = δ a T B D B T ds a S (.5) O trabalho externo é traduzido por: em que W T ext δ a F = (.5) F = T F (.5) Substituindo (.7) e (.5) em (.5) obtém-se ext T W = δ a T T F T = δ a F T (.53) pelo que do PTV resulta, i.e., Wext = W (.5) int T T T B D B TdS a= F (.55) S ou K a = F (.5) em que T T S (.57) S K = T B D B Td

41 Modelos de abordagem discreta da propagação da fendilhação é a matriz de rigidez do elemento e F é o vector das forças nodais equivalentes às acções que actuam sobre o elemento. Conhecidos os deslocamentos num determinado elemento, as forças nodais equivalentes ao estado de tensão instalado nesse elemento são dadas por: ' int T 'ds (.5) S F = B σ em que σ é determinado por (.9). A forças nodais equivalentes são dadas no sistema referencial global por: F = T F' (.59) int T int que após assemblado no vector F int da estrutura e por subtracção do vector das forças nodais equivalentes à acções actuantes, permite determinar o vector das forças resíduo a ser utilizado como vector solicitação na próxima iteração do processo incremental e iterativo do método de Newton- Raphson empregue na resolução das equações não lineares que regem o fenómeno da progressão da fenda (Barros 995). Rigidez inicial e tipo de integração A formulação do elemento de interface requer particular cuidado quanto à selecção do valor a ser adoptado para os módulos de rigidez inicial (D t,i, D n,i ), isto é, a rigidez do elemento antes da formação da fenda. Para que não ocorram deformações adicionais devido à presença dos elementos de interface durante a fase de resposta elástica, do elemento estrutural a modelar, é necessário atribuir uma rigidez fictícia inicial de valor razoável a estes elementos. Trabalhos realizados neste âmbito, (Rots, 9; Schellekens, 99), indicam que, dependendo do valor da rigidez e do tipo de integração usada no cálculo, podem surgir oscilações nos esforços obtidos. No trabalho realizado por estes autores verifica-se que para a integração de Gauss, mesmo

42 Capítulo 9 com três pontos de amostragem, para um elemento de interface de seis nós, a solução conduz a oscilações nos esforços para determinados valores de rigidez..3. Avaliação do desempenho do MEF com elementos de interface A avaliação do desempenho dos elementos de interface na simulação da propagação de uma fenda discreta, em modo I de fractura, é realizada para a viga descrita na secção.. (Figura.). Na Figura. representa-se a malha de elementos finitos utilizada na análise para um estado plano de tensão. Os elementos de interface, de seis nós, estão dispostos no centro da viga, e têm espessura nula. Os restantes elementos que compõem a malha, serendipiticos de oito nós, têm comportamento linear. Na presente simulação adoptou-se N/mm 3 para valor inicial de D n,i. Quanto ao valor de D t, este não é relevante para o presente problema. No cálculo da matriz de rigidez e das forças nodais equivalentes ao estado de tensão utilizou-se a integração de Gauss - Lobatto com três pontos de amostragem, enquanto que, nos elementos de oito nós utilizou-se a integração de Gauss-Legendre, com por pontos de amostragem. A deformação não linear é concentrada nos elementos de interface, no modo I de fractura, em que o módulo de rigidez D n é determinado com base na lei σ - w apresentada na Figura.9. Na Tabela. constam os valores das propriedades do material, empregues na simulação, em que v representa o coeficiente de poisson. F 5 mm 5 mm 5 mm α f f ct,ax ct,ax D n, D n, w w 3 w δ Figura. - Representação do modelo simulado. Figura.9 - Lei de comportamento σ - w para o betão fendilhado.