A Reologia Computacional

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1 ENGENHARIA 005 Inovação e Deenvolvimento, ubiengenharia, Univeridade da Beira Interior 1-3 Nov 005 A Reologia Comutacional Paulo J Oliveira* * Deartamento de Engenharia Electromecânica, Unidade de Materiai êxtei e Paeleiro, Univeridade da Beira Interior Covilhã elf: ; fax: ; jo@ubit Reumo A reologia comutacional é uma área científica relativamente recente na qual e rocura reolver, atravé de método numérico, a equaçõe de conervação e reológica que regem o movimento de fluido não newtoniano Um aecto novo relativamente à mai tradicional dinâmica do fluido comutacional (CD) é que, ara o fluido não newtoniano, não exite em geral uma única equação contitutiva que caracterize univeralmente o comortamento material de todo o fluido, em todo o ecoamento Nete artigo erão areentado algun avanço na "arte" da reolução numérica com o método do volume finito da equaçõe que governam o ecoamento de líquido não newtoniano Dar-e-á obretudo ênfae ao cao em que ee líquido areentam caracterítica de vicoelaticidade, ou eja miturando roriedade tíica de líquido vicoo com outra tíica de ólido elático 1 Introdução Ao contrário da ideia comum enraizada na mente de um aluno que e inicia na arendizagem da Mecânica do luido, acontece que a maior arte do fluido com que e deara na rática um engenheiro mecânico oui caracterítica não newtoniana De forma imlita, odemo dizer que qualquer fluido comoto or molécula relativamente imle (monómero, como O, N, HO, etc) irá er bem decrito ela equação tenão--deformação newtoniana, como é o cao do ar ou da água; ma, fluido com molécula comlexa (molécula com uma certa extenão e etrutura, or ex o olímero) não eguem tal equação e areentam comortamento em ecoamento mai comlicado, endo deignado como fluido não newtoniano Aim na hidrodinâmica, or exemlo no etudo do movimento de navio ou ubmarino, e na aerodinâmica, fabrico de aviõe ou foguetõe, a mecânica do fluido newtoniano é erfeitamente adequada e, deve dizer-e, abrange um leque muito vato de ituaçõe divera e de grande comlexidade teórica (bata enar no fenómeno da turbulência, o último aecto não reolvido da mecânica do fluido ) No entanto o fabrico e conceção de aeronave ou automóvei não é ainda comum em Portugal, onde o comum ara um engenheiro mecânico é lidar com roceo de rodução ou de tranformação de roduto, como tinta, óleo, vernize, cola, maa alimentare, iogurte, comético, ata, emulõe ou uenõe divera, etc No camo da engenharia biomecânica, quando e trata de alicar conhecimento de engenharia ou de fíica ao entendimento do funcionamento de um er vivo, o fluido que aarecem ão o angue, a aliva, muco e outro fluido biológico Em todo ete cao o comortamento do fluido não é decrito adequadamente ela equação newtoniana que relaciona localmente a tenõe τ com a taxa de deformação D : ( ) τ = µ D µ ( u) I = µ u+ u µ ( u) I (1) 3 3 endo o coeficiente de roorcionalidade µ a vicoidade, que não deende da quantidade cinemática (a velocidade u, ou o gradiente de velocidade u ; o índice deigna o tenor tranoto) Uma rimeira caracterítica batante imortante do onto de vita da engenharia que urge dede logo nete fluido dito não newtoniano é que a vicoidade já não é contante, ma aa a er uma função do rório etado de deformação ou de tenão a que um elemento de fluido etá ujeito Ete tio de fluido é deignado com fluido newtoniano generalizado (GN, do inglê), contituindo a rimeira generalização da mecânica de fluido cláica ara a mecânica do fluido não newtoniano Neta ituação a equação contitutiva continua a er emelhante à anterior (o termo em u é negligenciado): ( u u ) τ = ηγ ( ) + () ma onde a vicoidade η () γ é agora uma função da taxa de deformação γ (eta é igual ao egundo invariante do tenor D) Exitem muito modelo emírico que fornecem relaçõe matemática entre η e γ ma que ó ão válido ara determinado fluido ou em determinada gama de alicação; um do mai comun é o modelo de lei-de-otência (com contante K e n ): n 1 η( γ) = K γ (3) que ermite rereentar o efeito de reofuidificação (hear-thinning, no inglê) tão comum no materiai de uo diário (or exemlo, a manteiga ealha-e mai facilmente quando a deformação imota ela faca aumenta) Bata que o índice n eja menor do que 1 ara que a vicoidade de corte η diminua com o - 1 -

2 aumento da taxa de deformação γ É claro que um método numérico concebido ara reolver a equação contitutiva newtoniana (Eq 1) também oderá facilmente, em rincíio, reolver a equação contitutiva do fluido GN (Eq ), batando tomar em conta a variação local da vicoidade egundo o modelo emírico deejado Portanto a imulação dete tio de fluido não oferece dificuldade acrecida relativamente ao fluido newtoniano ma é de ainalar dede logo o facto da equação do movimento aar a er não linear na velocidade, memo ara número de Reynold nulo No entanto o materiai não newtoniano areentam uma outra caracterítica que vai tornar a imulação do eu movimento conideravelmente mai comlicada e também, or conequência, o eu comortamento fíico conideravelmente mai intereante: além de erem vicoo, como qualquer outro fluido newtoniano, têm caracterítica elática, tíica de um material ólido É fácil retirarmo a imlicaçõe deta ituação coniderando um modelo mecânico muito imle: filamento material a comortar-e como uma mola (comortamento elático) e como um amortecedor (comortamento vicoo) colocado em érie A equação ara a tenão da mola elática é Gγ = τ (G é a contante de rigidez da mola 1 e γ a correondente deformação) e ara o 1 amortecedor µ γ = τ ; como a deformação no ramo em érie tem de er omada, chegamo à equação τ + λτ = µγ (onde γ = γ + γ, τ = τ / t, e λ = µ / G 1 é um temo de relaxação) Eta é a equação de etado ara um meio vicoelático linear, válida ara equeno delocamento Em geral, a equação que rereenta a caracterítica de um material não ode deender de movimento do itema de coordenada uado como referencial, o que matematicamente imlica a eguinte generalização decoberta or Oldroyd (1958): τ+ λ τ = η D (4) com λ endo o temo de relaxação, = 1 ( + D u u ) o tenor da taxa de deformação ( D = γ ), η um coeficiente de vicoidade de corte e o índice deigna uma derivada eecial (derivada convectiva de Oldroyd [18]) que garante a objectividade : { u u } τ = Dτ/ Dt τ+ τ (5) com: Dτ/ Dt = τ/ t + u τ Qualquer da equaçõe contitutiva de tio diferencial aqui utilizada ode er vita como correondendo a equena modificaçõe da Eq (4) Eta é aim a equação material a er reolvida conjuntamente com a equaçõe de conervação da i maa e da quantidade de movimento, que regem o movimento do meio contínuo, ficando bem atente o grau de dificuldade relativamente ao cao newtoniano: O cálculo do tenor da tenõe τ requer a reolução de equaçõe diferenciai à derivada arciai ara cada um do eu comonente; O etado de tenão num onto já não deende ó do etado de deformação local: a convecção de tenõe é agora relevante, introduzindo um efeito de memória na evolução da mema; Já não é oível ubtituir τ na equação da quantidade de movimento ara e obter uma equação final exlícita ara o camo de velocidade (como a equação de Navier- Stoke); A equaçõe ara a tenõe ão hierbólica, enquanto que a equaçõe de conervação da quantidade de movimento ão arabólica ou elítica (roblema etacionário) O facto de er neceário reolver equaçõe diferenciai ara a tenõe, num roblema envolvendo o movimento de fluido não newtoniano vicoelático, indicia alguma emelhança com roblema de ecoamento turbulento de fluido newtoniano, onde urgem equaçõe diferenciai de tranorte ara a tenõe turbulenta Ea emelhança de forma, e também em algun ormenore, foi já aontada or algun autore, ma deve er referido em contraonto que a equaçõe que urgem no modelo de tranorte da tenõe de Reynold contêm termo de tio difuivo, fazendo com que o itema deixe de ter carácter uramente hierbólico Como iremo ver, o facto da equaçõe contitutiva erem hierbólica não acarreta imlicaçõe de monta do onto de vita do método de reolução, ma tem conequência imortante do onto de vita da rereentação do termo convectivo reente na equaçõe contitutiva Neta areentação iremo lidar com método deenvolvido elo autor e colega com vita à reolução de roblema de ecoamento de líquido não newtoniano vicoelático A clae de método em caua egue a formulação do volume finito ara a dicretização eacial (VM= inite Volume Method, ver eg [1-3]), utilizando malha comutacionai genérica (odendo er não ortogonai ara e adatarem a curvatura imota ela fronteira do domínio) ma etruturada, com um arranjo colocado do camo variávei (toda a variávei deendente ão calculada no centro do volume de controlo que comõem a malha), e com um algoritmo de olução do tio de correcção-de-reão Deta forma o método reflectem a origem do autor, em termo de invetigação, que e iniciou na Dinâmica de luido Comutacional cláica (CD) tendo oteriormente vindo a ituar-e na área da Reologia Comutacional, o tema deta areentação - -

3 Equaçõe de Conervação e Modelo Reológico Em geral qualquer roblema de mecânica de fluido requer atifação da equaçõe de conervação de maa: ρ + ( ρu) = 0 (6) t e de quantidade de movimento: ( ρu) + ( ρuu) = + τ + τ (7) t No roblema aqui coniderado a maa volúmica ρ é contante e não ão tomado em conta efeito de comreibilidade; no entanto, do onto de vita do método numérico não há diferença em tratar o cao de um fluido em que ρ varie com a temeratura, or exemlo, elo que referimo deixar doravante a equaçõe inalterada, exceto a Eq (6) onde o termo ρ / t é anulado O fluido em conideração irá er uma mitura de um olvente e um oluto olimérico O olvente é aumido como newtoniano com tenõe dada or uma equação igual à Eq (1), τ = η D O tenor da tenõe adicionai τ (tenõe elática ou olimérica ) na Eq (7) é obtido atravé de uma equação contitutiva com uma forma emelhante à Eq (4), com a arte da derivada de Oldroyd (entre chaveta na Eq 5) ecrita no membro da direita: τ τ+ λ + = + + eq ( uτ) u u t λ τ + τ (8) eq η, eq ( ) ( u u ) onde λ e η ão o temo de relaxação e o coeficiente eq, eq de vicoidade olimérica equivalente, definido como λ λ / f ( τ) e η eq, η / f ( τ ), onde f ( τ ) é uma eq função de invariante de τ que deverá er eecificada ara cada modelo coniderado No modelo de Phan- hien e anner (P, [16]), or exemlo, f (τ ) toma a forma: λ f ( τ) = 1 + ε tr( τ ) (P linear) (9) η ou λ f ( τ) = ex ε tr( τ ) (P exonencial) (10) η Neta exreõe, ε é um arâmetro do modelo relacionado com a ua roriedade extenionai: quando um filamento de fluido é etirado axialmente, a ooição ao etiramento é tanto maior quanto menor for ε Por outra alavra, um ε maior correonde a um fluido com uma vicoidade elongacional menor A comreenão dete tio de caracterítica requer um etudo mai alargado, que extravaa o âmbito deta areentação, na qual o interee etá mai directamente relacionado com o método numérico deenvolvido ara reolver a equaçõe contitutiva vicoelática tíica A única ideia a er retida do que foi dito é que uma olução numérica é mai facilmente coneguida quando o fluido areentam um ε maior (ma ε < 1) Ete modelo concebido em 1977 or Phan-hien e anner [16] a artir da teoria de rede ( network throry ) tem ido muito utilizado ara rereentar o comortamento de olímero fundido, or exemlo o olietireno ou o olietileno a temeratura elevada (cerca de 00 ºC), e nete cao a contribuição de uma vicoidade de olvente η é muito equena, odendo er ignorada Obviamente em ecoamento de olímero fundido não exite nenhum olvente e η deve er interretado como um coeficiente reultante de um modo com temo de relaxação muito eequeno No modelo original exite um termo adicional roveniente de uma derivada convectiva inferior de Oldroyd, quando e define a Eq (5), e que reulta num termo ξλ eq ( τ D+ D τ ) a er acrecentado ao membro da direita da Eq (8) azendo ξ = 0 ete termo anula-e, uma imlificação invocada amíude Por limitaçõe de ordem fíica ξ deve er inferior a um certo valor (tiicamente ξ 0 ) e aim a contribuição dete termo adicional é equena, endo omente imortante em ituaçõe na quai é neceário exitir uma egunda diferença de tenõe normai, ito é N 0, or exemlo ara que ocorra um ecoamento ecundário numa conduta de ecção rectangular Exitem outro modelo reológico cuja fundamentação etá baeada em teoria cinética, deduzida a artir de conideraçõe relativa à microetrutura do fluido, que acabam or oder er ecrito ob uma forma análoga aquela dada ela Eq (8) No cao do modelo ENE-CR (de Chilcott e Rallion, 1988) tem-e ara a função f (τ ) que divide o temo de relaxação: λ f ( τ ) = L + tr( τ ) /( L 3) (11) η enquanto que a função f ( τ ) que divide a vicoidade η fica unitária A vicoidade dete fluido é contante, igual a η 0 = η + η Na Eq (11) o arâmetro L do modelo rereenta a extenibilidade adimenional da molécula (máximo comrimento oível a dividir elo comrimento em equilíbrio) Ete modelo tio ENE ( inite Extenible Nonlinear Elatic ) reduz-e à conhecida equação de Oldroyd-B [18] quando L tende ara infinito, deduzida or Oldroyd a artir de conideraçõe relacionada uramente com a mecânica do meio contínuo (em qualquer jutificação de ordem molecular ) Quando vita egundo a teoria cinética, a equação de Oldroyd-B rereenta o movimento de etrutura efera/mola ( dumbbell ) quando a mola egue a lei de Hooke (elaticidade linear - 3 -

4 e extenibilidade ilimitada), e ecreve-e: τ τ+ λ + ( uτ) = η ( u+ u ) + t λ τ u+ u τ (1) ( ) com λ e η contante Adicionalmente, e a vicoidade do olvente for coniderada nula, η = 0, o que equivale a dizer que não há tenõe newtoniana devida a um olvente ( τ = 0 na Eq 7), obtém-e a equação contitutiva de Maxwell (fluido tio UCM) Para terminar eta ecção tem interee referir o modelo reológico deenvolvido or Gieeku [17], também baeado em conideraçõe moleculare com itema efera/mola em que a mola egue a lei de Hooke, ma onde foi introduzido um efeito de não iotroia na definição da força de arratamento obre a efera Ete modelo reulta numa equação com forma ainda análoga à anteriore contendo um termo adicional: α τ+ λ τ+ τ τ = η D (13) η Se α 0 (e 0 α ) ete modelo conduz a um N diferente de zero, de forma emelhante à que acontecia com o P quando ξ 0, como exlicado acima 3 Método de Reolução Volume inito A equaçõe de governo ão dicretizada or integração em volume de controlo que formam a malha comutacional, o que reulta em equaçõe algébrica que reflectem a conervação de maa e de quantidade de movimento, e o tranorte de tenõe [5;1-3] A equação da continuidade fica: = 0 (14) f f onde rereenta o fluxo máico que aiem da f célula em quetão atravé da ua face f (f varia de 1 a 6, no cao genérico tridimenional) A forma linearizada da equação algébrica correondente à conervação da quantidade de movimento é: a u = a u + S( ) + S ( u) + S( τ ) + S( u ) (15) P P HRS onde a e a P ão coeficiente (incluem efeito convectivo e difuivo), e o termo fonte S no egundo membro rereentam, uceivamente, a força devida ao gradiente de reão, o efeito devido ao equema de alta reolução (HRS="High Reolution Scheme", [10]), o efeito do termo devido à tenõe elática, e o termo de inércia reultante da variação temoral da quantidade de movimento Nete trabalho rocurou-e obter oluçõe recia na evolução temoral, elo que ete último termo irá conter n P contribuiçõe reultante da dicretização mai cuidada de u / t, comarativamente à alicação imle de um n+ 1 n equema de 1ª ordem u/ t ( u u )/ δt A equação contituiva dicretizada vai ter uma forma análoga à da equação da quantidade de movimento, ito é: τ τ τ τ τ a τ = a τ + S ( τ) + S ( τ, u) + S ( τ ) (16) P P HRS onde o coeficiente incororam omente efeito convectivo, e um do termo fonte contém a arte da derivada de Oldroyd contituído or roduto de tenõe or gradiente de velocidade (vide Eq 5), aim como o termo em D Neta equaçõe toda a variávei ão calculada no centro do volume de controlo (célula) e a malha comutacional é não ortogonal O itema de equaçõe lineare, como Eq (15) e (16), ão oteriormente reolvido elo método do gradiente conjugado A dicretização é feita com método de egunda ordem Genericamente ito é coneguido utilizando interolação linear, regra de integração egundo o equema do onto médio, e aroximação do termo convectivo com um equema de alta reolução denominado CUBISA [10] Segundo ete equema, um valor na face de um volume de controlo é dado or [1]: { }, Min,, φ = Max φ φ + φ + φ (17) f P P P P onde φ denota o valor normalizado de uma variável genérica (φ ode er uma comonente da velocidade ou da tenão τ ) A normalização introduz na equaçõe ij dicretizada a roriedade de tranorte ao tomar em conta a direcção local do camo de velocidade no onto f da face, endo definida como φ = ( φ φ )/( φ φ ); neta equação φ U D U U e φ D ão o valore no nó ituado em uwind e downwind, reectivamente, do nó P em caua Por fim, o equema de dicretização temoral é dado or: φ (1 + κ ) φ (1 + κ ) φ + κφ t δt n+ 1 n n 1 n P (18) onde e toma κ = 1/ (equema regreivo de egunda ordem no temo) e onde o índice n rereenta o nível temoral O algoritmo numérico de olução, decrito com mai detalhe na Ref [1], conite em reolver uceivamente, artindo de um camo de variávei * deendente exitente u e * n no temo, tem-e u = u e u i * τ (no início de cada ao * n τ = τ ): (i) uma equação de conervação da quantidade de movimento: - 4 -

5 ** ** * * * a u = a u + S ( u ) + S( τ ) + P P HRS ρv {(1 ) } n n + κ u κu 1 (19) P δ t ** de forma a e obter uma velocidade intermédia u ; (ii) uma equação ara a correcção de reão: 1 ** ρv ' u = (1 +κ ) (0) δ t ' de forma a e obter ea correcção De eguida, tanto a reão como a velocidade ão corrigida exlicitamente atravé da fórmula: e n+ 1 * ' = + (1) u 1 n+ 1 ** ρv ' = u (1 + κ ) δ t () obtendo-e a reão e velocidade correondente ao nível de temo eguinte n + 1 Neta altura encontra-e reolvida a rimeira arte do algoritmo, que conitiu na obtenção de camo de velocidade e de reão, tai que, eja imultaneamente atifeita uma equação aroximada ara a quantidade de movimento, e a equação da conervação de maa Na egunda arte do algoritmo a equação contitutiva ara a tenão é avançada imlicitamente no temo: a τ = a τ + S ( τ ) + S ( τ, u ) + τ n 1 τ n 1 τ * τ * n 1 P P HRS λv n n {(1 + κ) τ κτ } 1 ) (3) * P f ( τ ) δt n+1 reultando num novo camo de tenõe τ Uma vez que a equação da quantidade de movimento é omente aroximada, devido ao roblema linear da interligação velocidade/reão, e como temo também a quetão da velocidade deenderem da tenõe, e a tenõe da velocidade, torna-e neceário iterar o roceo decrito anteriormente A iteração é roeguida, dentro de cada ao no temo, até que a equaçõe ejam atifeita com uma tolerância normalizada de 1% a 001% ara 1; o modelo reológico foram o UCM e o Oldroyd-B; foram tetado vário equema de dicretização eacial ara o termo convectivo: uwind, uwind linear e CUBISA [6,7,1,14] Ecoamento em torno de cilindro livre [5] e confinado, ara número de Reynold nulo e moderado, com vita à revião de intabilidade elática e do efeito da vicoelaticidade obre o derendimento de vórtice de Karman [1,8,13] Ecoamento em exanõe lana, ara razõe de exanão de 1:3 e de 1:4, com fluido vicoelático em reofluidificação na vicoidade de corte (modelo ENE-CR); efeito da vicoelaticidade obre a bifurcação do ecoamento quando o número de Reynold é aumentado [11,15] Como exemlo, areentamo aqui algun reultado ara o roblema do ecoamento dum fluido ENE-CR dentro de uma cavidade quadrada a Re = 0 e De = λu w / H =, numa malha com 160x160 volume de controlo A figura que e eguem ilutram o fenómeno de recueração elática ( recoil ), que ó acontece ara fluido vicoelático No temo t=0 oberva-e o adrão de ecoamento recirculatório tíico dentro de uma cavidade em que a arede uerior e move ara a direita (com velocidadeu w ) Ete vectore de velocidade correondem à ituação em regime ermanente Nea altura a tama da cavidade é ubitamente arada, e o interee erá obervar a artir daí o decaimento do ecoamento Io é motrado na figura ara t=0015, 001 etc, em que é viível o aarecimento de um vórtice a rodar em entido contrário ao original (ito é, em entido contrário ao onteiro do relógio) A origem dee vórtice, que urge no canto uerior direito da cavidade, ode er exlicada ela libertação de energia elática que foi acumulada durante o movimento anterior Na figura o temo etá normalizado com um temo difuivo caracterítico ( ρh / η ) 0 t=0 4 Reultado O reultado a erem areentado durante a conferência, deendendo da dionibilidade temoral, correondem a ecoamento fundamentai que oderão englobar o eguinte cao e geometria: Ecoamento tio li/tick ara modelo reológico UCM [5] e Gieeku [9] (ecoamento de entrada num canal lano) Ecoamento em contracçõe lana bidimenionai, com razõe de contracção de 4-5 -

6 t=000 t=05e- igura 1 Camo de velocidade durante o regime traniente que reulta aó ceação do movimento da tama da cavidade t=001 Referência [1] PJ Oliveira, "Method for time-deendent imulation of vicoelatic flow: Vortex hedding behind cylinder", J Non-Newt luid Mech,101, (001) [] G Monean, M Deville, "Unteady finite volume imulation of Oldroyd-B fluid through a three-dimenional lanar contraction", J Non-Newt luid Mech, 7, 5379 (1997) [3] SC Xue, N Phan-hien, RI anner, "ully threedimenional, time-deendent numerical imulation of Newtonian and vicoelatic wirling flow in a confined cylinder Part I Method and teady flow", J Non-Newt luid Mech, 87, (1999) [4] MD Chilcott, JM Rallion, "Creeing flow of dilute olymer olution at cylinder and here", J NonNewt luid Mech, 9, (1988) [5] PJ Oliveira, Pinho e GA Pinto Numerical Simulation of Non-linear Elatic low with a General Collocated inite-volume Method, J Non-Newtonian luid Mech, 79, 1-43 (1998) [6] MA Alve, Pinho e PJ Oliveira, Effect of a HighReolution Differencing Scheme on inite-volume Prediction of Vicoelatic low, J Non-Newtonian luid Mech, 93, (000) [7] PJ Oliveira (000), A racele Stre enor ormulation for Vicoelatic luid low, J NonNewtonian luid Mech, 95, (000) [8] MA Alve, Pinho, PJ Oliveira, he low of Vicoelatic luid Pat a Cylinder: inite-volume HighReolution Method, J Non-Newtonian luid Mech, 97, 07-3 (001) [9] P J Oliveira, On the Numerical Imlementation of NonLinear Vicoelatic Model in a inite-volume Method, Numer Heat ranf B, 40, (001) [10]MA Alve, PJ Oliveira e Pinho, A Convergent and Univerally Bounded Interolation Scheme for the reatment of Advection, Int J Num Method in luid, 41, (003) [11]PJ Oliveira, Aymmetric low of Vicoelatic luid in Symmetric Planar Exanion Geometrie, J NonNewtonian luid Mech, 114, (003) t=

7 [1]MA Alve, PJ Oliveira, Pinho, On the Effect of Contraction Ratio in Vicoelatic low hrough Abrut Contraction, J Non-Newtonian luid Mech, 1, (004) [13]PJ Oliveira, AIP Miranda, A Numerical Study of Steady and Unteady Vicoelatic low Pat Bounded Cylinder, J Non-Newtonian luid Mech, 17, 51-66(005) [14]MA Alve, Pinho, PJ Oliveira (005), Viualization of Boger luid low in a 4:1 Square/Square Contraction, AIChE J, in re, (005) [15]GN Rocha, PJ Oliveira, Vicoelatic low in 1-to-4 Sudden Exanion, IBEREO'04 Encontro Ibérico de Reologia, "Progre in Rheology of Biological and Synthetic Polymer Sytem", Ed AC Diogo et al, Int Politéc de Beja, (004) [16]N Phan-hien, RI anner, "A new contitutive equation derived from network theory", J Non-Newt luid Mech,, (1977) [17]H Gieeku, A imle contitutive equation for olymer fluid baed on the concet of the deformation deendent tenorial mobility, J Non-Newt luid Mech, 11, (198) [18]JG Oldroyd, Non-newtonian effect in teady motion of ome idealized elatico-vicou liquid, Proc Royal Soc, A 45, (1958) - 7 -