Um modelo gravitacional simplificado para análise de textura

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1 Um modelo gravitacional simplificado para análise de textura Jarbas Joaci de Mesquita Sá Junior Departamento de Engenharia de Teleinformática - DETI Centro de Tecnologia - UFC Campus do Pici, S/N, Bloco 725 Caixa Postal 6007, CEP: , Fortaleza, Brasil e Departamento de Engenharia de Computação - UFC Rua Estanislau Frota, S/N, Centro CEP: , Sobral, Brasil jarbas joaci@yahoo.com.br Paulo César Cortez Departamento de Engenharia de Teleinformática - DETI Centro de Tecnologia - UFC Campus do Pici, S/N, Bloco 725 Caixa Postal 6007, CEP: , Fortaleza, Brasil cortez@lesc.ufc.br André Ricardo Backes Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, , Uberlândia, MG, Brasil backes@facom.ufu.br Renato Rodrigues da Silva Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia Av. João Naves de Ávila, , Uberlândia, MG, Brasil renato.rsufu@gmail.com Resumo As texturas estão entre os mais importantes atributos visuais na análise de imagens. Este trabalho apresenta um novo método para analisar textura, baseado na representação de um processo simplificado de colapso gravitacional cujos estados são descritos pelo método da lacunaridade. O resultado da abordagem proposta é comparado com outros métodos clássicos usando a base de dados Outex como benchmark. 1. Introdução A análise de textura é um dos mais importantes campos da visão computacional. Não obstante não haja uma definição formal do conceito de textura, esta é facilmente identificada por humanos e é rica em informação visual. No geral, texturas são padrões visuais complexos compostos por entidades, ou sub-padrões, com brilho, cor, orientação e tamanho característicos [12]. Assim, as texturas provêem informações úteis para reconhecimento automático e interpretação de uma imagem por computador [6]. Ao longo dos anos, muitos métodos de análise de textura foram desenvolvidos, cada um deles obtendo informação de uma maneira diferente. Atualmente, a maioria dos métodos pode ser agrupada em quatro categorias principais [19]: estatísticas, geométricas, baseadas em modelos e em processamento de sinais. A abordagem estatística inclui métodos clássicos, como matrizes de co-ocorrência. Um importante exemplo de métodos baseados em processamento de sinais é o descritor por filtros de Gabor [7]. Ainda nessa categoria há muitos estudos sobre análise de textura no domínio do espectro, especialmente após a invenção da transformada wavelet ([14, 21, 2]). Nos anos mais recentes, muitas outras abordagens têm sido desenvolvidas para estudar o relacionamento entre os pixels. Uma delas almeja representar as relações entre os pixels usando a Teoria das Redes Complexas [8]. Uma outra abordagem importante é a Caminhada do Turista [5], em que cada pixel é um turista que visita N cidades de acordo com a seguinte regra: ir para a cidade mais próxima que não foi visitada nos últimos µ passos de tempo. Outrossim, foi recentemente proposto que a análise fractal pode substituir o histograma no estudo das distribuições de nível de cinza de um padrão de textura [20]. Com o intuito de amplificar as metodologias de interpretação de imagens e, por conseguinte, extrair informações delas, este trabalho apresenta uma abordagem original, a qual transforma uma imagem em um processo de colapso gravitacional. Esse processo transforma a imagem em um sistema dinâmico que apresenta diferentes estados, cada qual representando um novo padrão de

2 textura e fonte de informações a ser explorada. Para tal intento, nós empregamos o método da lacunaridade para quantificar cada estado de modo a obter um vetor de características. Nossa apresentação é composta da seguinte maneira: a Seção 2 mostra as regras estabelecidas para simular o colapso gravitacional simplificado de uma imagem. A Seção 3 descreve o processo de compor assinaturas pela aplicação do método lacunaridade nos estados do processo de colapso. Na Seção 4, nós descrevemos um experimento que usa 68 classes de texturas (20 imagens por classe). A Seção 5 demonstra a performance superior da abordagem proposta quando comparada aos resultados de outros métodos importantes. Finalmente, nós fazemos algumas considerações sobre este trabalho na Seção Sistema Gravitacional Simplificado Quando um objeto está em órbita, como a terra em torno do sol, duas forças precisam ser consideradas. A primeira é a força gravitacional, que foi estabelecida pelo físico inglês Isaac Newton nos Principia e que pode ser definida pela seguinte sentença: duas partículas massivas no universo se atraem com uma força que é diretamente proporcional ao produto de duas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa [16]. Essa força, como ilustrada na figura 1, é dada pela seguinte equação: f a = G.m 1.m 2 r r 2. r, (1) em que G é a constante gravitacional, m 1 e m 2 são as massas das duas partículas, r é um vetor conectando as posições das partículas e f a é a força gravitacional entre elas. denota a magnitude ou norma do vetor. Figura 1. Exemplo de força gravitacional entre duas partículas massivas. A outra força é a força centrípeta, cuja direção é o centro de uma trajetória circular descrita por um objeto, e que é diretamente proporcional à sua velocidade tangencial. Essa força pode ser definida pela seguinte equação: f c = m a c = m v2 r, (2) em que f c é a força centrípeta, m é a massa, a c é a aceleração centrípeta, v é a velocidade tangencial e r é o raio da trajetória circular. Figura 2. (a) Uma particula movendo de p 1 para p 2 e sua velocidade variando de v 1 para v 2 ; (b) Triângulo que determina a direção da mudança na velocidade v. A aceleração centrípeta a c pode ser derivada da figura 2(a), a qual mostra uma partícula em dois momentos diferentes. A partícula está no ponto p 1 no tempo t 1 com velocidade v 1 e no ponto p 2 no tempo t 2 com velocidade v 2. Se for assumido que v 1 = v 2 = v, isto é, as velocidades diferem apenas na direção, a magnitude da aceleração pode ser definida como a seguir: a c = v 2 v 1 v =. (3) t 2 t 1 t Como os dois triângulos na figura 2 são similares (ambos são isósceles e possuem o mesmo ângulo θ), é possível estabelecer a seguinte relação: v v = r d. (4) r d Se a equação acima é resolvida para v e a expressão resultante é substituída em a c = v / t (equação 3), nós obtemos a c = v r d. (5) r d t Como último etapa, nós consideramos que os pontos p 1 e p 2 estão extremamente próximos, o que acarreta que v aponte para o centro da trajetória circular. Como a aceleração possui a mesma direção de v, ela também aponta para o centro da referida trajetória. Além disso, à

3 medida que os pontos p 1 e p 2 aproximam-se um do outro, t tende a 0, e a divisão aproxima-se da magnitude da velocidade v. Finalmente, quando t 0, a magnitude da aceleração centrípeta é a c = v2 r. (6) Antes de aplicar esses conceitos a uma imagem de textura, mais algumas considerações são necessárias. A literatura comumente descreve uma textura em nível de cinza como uma estrutura bidimensional de pixels. Assim, seja I(x, y) = , (x, y = 1... N) um pixel numa imagem quadrada I, em que x e y são as coordenadas cartesianas do pixel. Os valores inteiros associados ao pixel I(x, y) representam o nível de cinza do pixel. Uma vez estabelecida a base teórica, nós consideramos cada pixel I(x, y) como uma partícula em um sistema gravitacional, no qual a intensidade associada a esse pixel I(x, y) é sua massa m. Em um sistema gravitacional real, todos os pixels interagem uns com os outros. Em vez de adotar essa abordagem, a qual possui um alto custo computacional, nós consideramos que há apenas interação entre cada pixel e um objeto de massa M, localizado no centro da imagem de textura. Para cada pixel, nós estabelecemos uma força gravitacional de acordo com a equação 1, em que nós substituímos a massa m 1 por M e m 2 pelo nível de cinza do pixel, e a força centrípeta de acordo com a equação 2, em que cada intensidade de pixel substitui m e determina sua velocidade tangencial. Para determinar essa velocidade, nós temos de levar em conta que uma velocidade muita baixa causa um colapso muito rápido e, por conseguinte, perda de informação, enquanto que altas velocidades implicam na ausência de colapso. Assim, com o intuito de encontrar uma faixa de velocidades tangenciais de modo que todos os pixels possam colapsar lentamente, nós estabelecemos que f a = f c, assim encontrando a mais alta velocidade tangencial que os pixels podem obter, de acordo com a seguinte equação: v max = GM r max, (7) em que v max é a máxima velocidade de um pixel e r max é a maior distância entre um pixel e o centro da imagem. Essa velocidade garante que até mesmo o pixel mais distante do centro da imagem colapsará, isto é, o pixel se aproximará gradualmente do centro da imagem. Para extrair informação relacionada tanto à distância como à intensidade de nível de cinza, cada pixel tem sua velocidade determinada de acordo com a seguinte equação: v pix = ( 1 + ) I(x, y) vmax 255 2, (8) em que v pix é a velocidade tangencial do pixel e I(x, y) é a intensidade do seu nível de cinza. Dessa maneira, cada pixel tem uma trajetória particular definida por sua distância ao centro da imagem e por sua intensidade, o que resulta em uma imagem com uma assinatura característica. Essas regras permitem que os pixels tenham dois tipos de movimento. O primeiro é constante, circular e anti-horário, definido por D 1 = v pix.t, em que D 1 é a distância percorrida pelo pixel no tempo t. Para computar essa nova posição o pixel é rotacionado usando um ângulo de D 1 /(2πr), em que r é a distância entre o pixel e o centro da imagem. O segundo movimento é retilíneo e acelerado, direcionado ao centro da imagem. A nova localização do pixel é computada como D 2 = (1/2). a pix.t 2, em que a pix é a aceleração do pixel em direção ao centro da imagem, dada pela seguinte equação: a pix = { fa f c /I(x, y), if I(x, y) 0 0, if I(x, y) = 0, e D 2 representa o espaço percorrido pelo pixel no tempo t. Para computar essa nova posição, nós decrementamos/incrementamos os eixos x e y usando a proporção D 2 /r. A figura 3 mostra o movimento de um pixel em um determinado tempo t. Figura 3. Exemplo de um modelo gravitacional simplificado em que um pixel p colapsa. A nova posição do pixel é definida pelas distâncias D 1 e D 2. Aplicando esse modelo gravitacional em imagens, eventualmente dois ou mais pixels tentam ocupar a mesma posição durante o processo de colapso. Se essa situação ocorre, a posição receberá a média dos níveis de cinza dos pixels. Essa adaptação foi necessária para reduzir a comple- (9)

4 xidade do método e para preservar as informações da imagem. 3. Assinaturas Nesta seção, nós apresentamos uma abordagem para extrair assinatura de textura usando o modelo de colapso proposto e um descritor de textura tradicional, a lacunaridade. O conceito de lacunaridade foi introduzido por Mandelbrot [15] para caracterizar diferentes padrões de textura que apresentavam a mesma dimensão fractal. Inicialmente proposta para padrões binários, a lacunaridade descreve uma textura de acordo com o número de gaps (lacunas) dispersos sobre ela. Esse descritor é considerado como uma medida multi-escala da heterogeneidade da textura, uma vez que a medida de lacunaridade depende do tamanho do gap [1]. O algoritmo gliding-box (janela deslizante) é frequentemente usado para computar a lacunaridade devido à sua simplicidade [1, 11]. O método consiste em deslizar uma janela de tamanho r sobre um padrão de textura e contar o número de gaps existentes no padrão binário. Com o passar dos anos, essa abordagem foi também estendida para aplicação em imagens em nível de cinza [9, 10]. Em vez de simplesmente contar o número de gaps, essa abordagem computa o valor mínimo u e máximo v de pixels dentro de uma janela. De acordo com esses valores, uma coluna com mais de um cubo pode ser necessária para cobrir as coordenadas de intensidade da imagem. Essa altura relativa de coluna é definida como S = v u 1. Considerando cada possível posição de janela na imagem, nós computamos a distribuição de probabilidade Q(S, r) da altura relativa pelo tamanho da janela r. Desse modo, a lacunaridade é computada como S 2.Q(S, r) Λ(r) = [ S.Q(S, r)] 2. (10) Durante o colapso de uma imagem de textura, seu padrão de rugosidade muda. Isso significa que a sua lacunaridade é diferente para cada tempo de colapso t. Assim, a abordagem gravitacional proposta permite caracterizar um padrão de textura por meio das variações de sua lacunaridade. Desse modo, nós propomos um vetor de características que representa o padrão de textura em diferentes tempos de colapso t por meio de um conjunto de valores de lacunaridade computados para um mesmo tamanho de janela r: ψ t1,t 2,...,t M (r) = [Λ t1 (r), Λ t2 (r),..., Λ tm (r)]. (11) É preciso enfatizar que a lacunaridade é uma medida multi-escala, isto é, ela depende do tamanho da janela r [1]. Desse modo, é conveniente considerar um segundo vetor de características que explore essa particularidade. Assim, nós propomos um segundo vetor de características que analisa a textura em diferentes estágios de colapso usando diferentes valores de lacunaridade. Esse vetor é obtido por meio da concatenação das assinaturas calculadas usando ψ t1,t 2,...,t M (r) para diferentes valores de r: [ ϕ(r max ) = ψt1,t 2,...,t M (2),..., ψ t1,t 2,...,t M (r max )], (12) em que r max é o máximo tamanho de janela usado. 4. Experimentos Para a realização desse experimento, foi considerada a base de texturas Outex [17]. Trata-se de uma coleção de texturas naturais que fornece entidades significativas para a avaliação empírica de um algoritmo de análise de textura. Ao todo, uma base contendo 1360 amostras de texturas em tons de cinza ( ) foi construída dividindo cada uma das 68 imagens da base original ( ) em 20 sub-imagens sem sobreposição (Figura 4). Figura 4. Exemplo de cada classe de textura utilizada no experimento. Para avaliar o método proposto, as amostras de texturas foram classificadas utilizando a classificação por distância euclidiana mínima (KNN para K = 1). A assinatura proposta é calculada para cada textura, e o esquema de validação cruzada leave-one-out é usado durante a classificação. De modo a obter uma melhor avaliação do método, uma comparação com métodos tradicionais na área de análise de texturas também foi realizada. Para tanto, os seguintes métodos foram considerados: Descritores de Fourier [3], Matrizes de Co-ocorrência [12], Filtros de Gabor [13], Caminhada do Turista [4]. É importante salientar quue os parâmetros dos métodos citados foram definidos com base em trabalhos já estabelecidos na literatura.

5 5. Resultados Para aplicar o método no conjunto de imagens previamente descritas alguns parâmetros tiveram de ser estabelecidos. Esses parâmetros são a massa M e a constante gravitacional G. A massa M pode ser interpretada como um buraco negro no centro da imagem. Essa massa deve ser capaz de atrair os pixels mais distantes e de menores intensidades de nível de cinza (menores massas) da imagem. Para alcançar esse objetivo, o valor foi empiricamente estabelecido como M = 200. A constante gravitacional foi estabelecida como G = 1 a fim de dar aos pixels uma aproximação gradativa ao centro da imagem durante o processo de colapso. A figura 5 mostra um exemplo de processo de colapso de uma textura da base Outex em três tempos t diferentes usando os valores de parâmetros citados. Primeiramente, nós analisamos o comportamento da lacunaridade estimada usando diferentes janelas enquanto a imagem colapsava (figura 6). Nós notamos que diferentes valores de r resultariam em uma estimação diferente da lacunaridade. Contudo, as mudanças no valor de lacunaridade Λ(r) são sutis enquanto o tempo de colapso t aumenta, independente do tamanho de janela usado. Como consequência, um vetor de características ψ construído usando passos de tempo sequenciais apresentaria uma grande quantidade de informação redundante, situação esta que deve ser evitada. Por conseguinte, o uso de valores espaçados de t é mais apropriado. É importante salientar que a lacunaridade é considerada uma medida multi-escala. Isso é evidente na figura 6, na qual a lacunaridade Λ(r) é diferente para cada tamanho de janela r considerado. passo de tempo t e o tamanho de janela r, nós propusemos usar múltiplos valores r e diferentes conjuntos de valores de t para compor o vetor de características ϕ. A seguir, esse vetor foi usado para classificar as amostras da base Outex no experimento proposto. Usando configurações avaliadas em um trabalho prévio [18], nós obtivemos o melhor resultado (73.60% das amostras são corretamente classificadas em suas respectivas classes) quando nós usamos t = {1, 6, 12, 18} e r max = 11. A tabela 1 apresenta os resultados obtidos por cada método comparado. Os resultados demonstram que nossa abordagem é um eficiente descritor de textura, uma vez que o seu resultado superou todos os métodos tradicionais usados nos experimentos de comparação Complexidade computacional A fim de gerar um estágio de colapso de uma textura é necessário processar cada pixel da imagem. Considerando uma imagem de tamanho N N, temos um total de N 2 pixels para serem processados. Para cada imagem gerada, é necessário calcular a lacunaridade da mesma. Para um determinado valor de janela r, o custo computacional da lacunaridade é (N r + 1) 2 r 2. Note que o maior tamanho de caixa usado nos experimentos foi r = 11, muito inferior ao tamanho da imagem N = 128. Assim, podemos considerar o custo computacional da lacunaridade como sendo N 2. Por fim, o custo computacional do nosso método pode ser estimado como sendo O(T.N 2 + R.N 2 ), onde T é o número de estágios de colapso considerado para uma imagem, e R é o número total de valores de lacunaridade calculados para cada estágio de colapso. 6. Conclusão Figura 6. Lacunaridade estimada para os passos de tempo t = 1,..., 20 e tamanhos de janela r = {2, 3, 4, 5, 6}. De acordo com as considerações precedentes sobre o Este trabalho apresenta um método novo para extrair informação de texturas pela transformação dessas imagens em um sistemas gravitacional simplificado cujos estados são explorados pelo método da lacunaridade. Essa abordagem mostrou resultados superiores ao resultados de métodos clássicos, quando testado na base de imagens Outex. Os resultados mostraram que o método apresenta os melhores resultados usando valores espaçados de t e um conjunto de valores r. Assim, a abordagem proposta abre uma nova pesquisa na análise de textura e amplifica o conjunto de métodos para sua identificação, melhorando a precisão dos sistemas já desenvolvidos. Referências [1] C. Allain and M. Cloitre. Characterizing the lacunarity of random and deterministic fractal sets. Phys. Rev. A, 44(6): , 1991.

6 Figura 5. Exemplos de imagens de textura em processo de colapso: (a) Imagem original; (b)-(d) Texturas em processo de colapso nos tempos t = {10, 20, 30}. Método Imagens corretamente classificadas Taxa de acertos (%) Descritores de Fourier Matrizes de Co-ocorrência Filtros de Gabor Caminhada do Turista Abordagem Proposta Tabela 1. Resultados de diferentes métodos de textura na base de imagens Outex. [2] S. Arivazhagan and L. Ganesan. Texture classification using wavelet transform. Pattern Recognition Letters, 24(9-10): , [3] R. Azencott, J.-P. Wang, and L. Younes. Texture classification using windowed fourier filters. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell, 19(2): , [4] A. R. Backes, W. N. Gonçalves, A. S. Martinez, and O. M. Bruno. Texture analysis and classification using deterministic tourist walk. Pattern Recognition, 43(3): , [5] A. R. Backes, W. N. Gonçalves, A. S. Martinez, and O. M. Bruno. Texture analysis and classification using deterministic tourist walk. Pattern Recognition, 43: , [6] J. W. Bala. Combining structural and statistical features in a machine learning technique for texture classification. In IEA/AIE (Vol. 1), pages , [7] D. Casanova, J. J. de Mesquita Sá Junior, and O. M. Bruno. Plant leaf identification using gabor wavelets. International Journal of Imaging Systems and Technology, 19(1): , [8] L. da F. Costa, F. A. Rodrigues, G. Travieso, and P. R. V. Boas. Characterization of complex networks: A survey of measurements. Advances in Physics, 56: , [9] P. Dong. Test of a new lacunarity estimation method for image texture analysis. International Journal of Remote Sensing, 21(17): , [10] G. Du and T. S. Yeo. A novel lacunarity estimation method applied to SAR image segmentation. IEEE Trans. Geoscience and Remote Sensing, 40(12): , [11] J. Facon, D. Menoti, and A. de Albuquerque Araújo. Lacunarity as a texture measure for address block segmentation. In Progress in Pattern Recognition, Image Analysis and Applications, 10th Iberoamerican Congress on Pattern Recognition, CIARP 2005, Havana, Cuba, November 15-18, 2005, Proceedings, volume 3773 of Lecture Notes in Computer Science, pages Springer, [12] R. M. Haralick. Statistical and structural approaches to texture. Proc. IEEE, 67(5): , [13] M. Idrissa and M. Acheroy. Texture classification using gabor filters. Pattern Recognition Letters, 23(9): , [14] C. S. Lu, P. C. Chung, and C. F. Chen. Unsupervised texture segmentation via wavelet transform. Pattern Recognition, 30(5): , [15] B. Mandelbrot. The fractal geometry of nature. Freeman, San Francisco, [16] I. Newton. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. University of California, original 1687, translation guided by I.B. Cohen. [17] T. Ojala, T. Mäenpää, M. Pietikäinen, J. Viertola, J. Kyllönen, and S. Huovinen. Outex: New framework for empirical evaluation of texture analysis algorithms. In International Conference on Pattern Recognition, pages , [18] J. J. M. Sá Junior and A. R. Backes. A simplified gravitational model for texture analysis. In CAIP (1), volume 6854 of Lecture Notes in Computer Science, pages Springer, [19] M. Tuceryan and A. K. Jain. Texture analysis. In C. H. Chen, L. F. Pau, and P. S. P. Wang, editors, Handbook of Pattern Recognition and Computer Vision, pages World Scientific, [20] M. Varma and R. Garg. Locally invariant fractal features for statistical texture classification. In ICCV International Conference on Computer Vision, pages 1 8, [21] H. Wendt, S. G. Roux, S. Jaffard, and P. Abry. Wavelet leaders and bootstrap for multifractal analysis of images. Signal Processing, 89: , 2009.